0是自然数吗

由0是自然数引发的思考由0是自然数引发的思考由0是自然数引发的思考由0是自然数引发的思考随着九年义务教育小学数学教材（试用修订版），把0划归自然数后，一些数的概念是否发生变化，引起小学了数学教师的关注。

无论是在日常的教研活动，还是教师私下交流，或是因特网上的教育论坛，都有许多教师提出疑问，引发了大家的思考。

思考之一：为什么要把0划归自然数。

从历史上看，国内外数学界对于0是不是自然数历来有两种观点：一种认为0是自然数，另一种认为0不是自然数。

建国以来，我国的中小学教材一直规定自然数不包括0。

目前，国外的数学界大部分都规定0是自然数。

为了方便于国际交流，1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB3100-3102-93）《量和单位》（11-2.9）第311页，规定自然数包括0。

所以在近几年进行的中小学数学教材修订中，教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改。

即一个物体也没有，用0表示。

0也是自然数。

思考之二：最小的一位数是“1”还是“0”？0是最小的自然数，那么最小的一位数是“1”还是“0”？在0没有归入自然数以前大家都很清楚，最小的一位数是1。

那么，现在0也成为自然数了，最小的一位数还是1吗？这是许多教师提出的疑问，笔者认为最小的一位数还是1。

大家都知道，0是自然数中最小的一个。

0加1得1，1加1得2，2加1得3，……这样继续下去可以得到任意一个自然数。

而从自然数的排列顺序可知，后面一个自然数比前面一个自然数多1。

因此，任何一个自然数都是由若干个1合并而成，所以1是自然数的单位。

0可以看成是由0个1组成的自然数。

思考之四：0是其它非零自然数的倍数吗？《九年义务教育六年制小学数学》第十册中，关于“数的整除”及“约数和倍数”的定义并未做任何改变，教材第54页就有这样的叙述：“因为0也能被2整除，所以0也是偶数”。

以此类推，0能被所有非零自然数整除，根据约数倍数的定义，0是任何非零自然数的倍数，任何非零自然数都是0的约数。

最小一位数是“0”还是“1”思考之一：为什么要把0划归自然数。

从历史上看，国内外数学界对于0是不是自然数历来有两种观点：一种认为0是自然数，另一种认为0不是自然数。

建国以来，我国的中小学教材一直规定自然数不包括0。

目前，国外的数学界大部分都规定0是自然数。

为了方便于国际交流，1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB 3100-3102-93）《量和单位》（11-2.9）第311页，规定自然数包括0。

所以在近几年进行的中小学数学教材修订中，教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改。

即一个物体也没有，用0表示。

0也是自然数。

思考之二：最小的一位数是“1”还是“0”？0是最小的自然数，那么最小的一位数是“1”还是“0”？在0没有归入自然数以前大家都很清楚，最小的一位数是1。

那么，现在0也成为自然数了，最小的一位数还是1吗？要回答这个问题须从“位数”和“数位”说起。

位数是指一个整数所占有数位的个数。

把占有一个数位的数叫一位数，占有两个数位的数叫两位数……例如，48076是五位数，因为它占有五个数位，这里“0”占有数位。

因为，0表示一个物体也没有，在记数法中是表示空位的一个符号，如3005里“0”就分别表示这个数的十位、百位、都是空位。

这次调整虽然将“0”划归自然数，然而对几位数的概念并没改变。

关于“几位数”是这样定义的“只用一个有效数字表示的数，叫做一位数，只用两个有效数字，其中左边第一个数字是有效数字来表示的数就叫做两位数……”假设0也算作一位数的话，那么最小的两位数是“10”还是“00”呢？那么最小的三位数、四位数……又是多少呢？《九年义务教育六年制小学数学第八册教师教学用书》第98页“关于几位数”是这样叙述的：“通常在自然数里，含有几个数位的数，叫做几位数。

例如，2，含有一个数位的数，叫做一位数；30含有两个数位的数，叫做两位数；405含有三个数位的数，叫做三位数……但是要注意：一般不说0是几位数。

自然数包括0吗(共10篇)自然数包括0吗（一）: 自然数有0吗是自然数随着九年义务教育小学数学教材（试用修订版）的陆续使用,我们接到一些小学数学教师、家长和学生的来信、来电,询问0是否是自然数的问题.现予以解答如下：从历史上看,国内外数学界对于0是不是自然数历来有两种观点：一种认为0是自然数,另一种认为0不是自然数.建国以来,我国的中小学教材一直规定自然数不包括0.目前,国外的数学界大部分都规定0是自然数.为了国际交流的方便,1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB 3100~3102-93）《量和单位》（11-2.9）第311页,规定自然数包括0.所以在近几年进行的中小学数学教材修订中,我们的教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改.即一个物体也没有,用0表示.0也是自然数.但是,在小学阶段的“整除”部分,仍然不考虑自然数0,因而在约数、倍数等概念中都不包括0.另外,一般情况下我们不说数0是几位数,所以最小的一位数是1.自然数包括0吗（二）: 自然数不是不包括0吗,怎么现在又变了【自然数包括0吗】以前的教科书上明确规定自然数是不包括0的,但为了世界统一,从2023年新初一的教科书上已经更改0是自然数,所以如果问家长可能说0不是自然数. 当然0是整数,因为整数包括正整数、负整数和零.自然数包括0吗（三）: 自然数的概念是什么指什么自然数包括1和0吗用以计量事物的件数或表示事物次序的数 .即用数码0,1,2,3,4,……所表示的数 .表示物体个数的数叫自然数,自然数由0开始(包括0),一个接一个,组成一个无穷的集体.自然数包括0吗（四）: 自然数里有0吗0是不是自然数现在的规定0属数自然数自然数包括0吗（五）: 自然数包括0,分数,小数和负数吗以前老教材里定义『自然数:指正整数(即一切大于零的整数,不包括零)』; 后来教材改版,新教材规定：『自然数:指零和一切正整数』,因此小数是不属于自然数的.【自然数包括0吗】自然数包括0吗（六）: 自然数包不包括0自然数简单说就是大于等于零的整数.自然数用以计量事物的件数或表示事物次序的数.即用数码1,2,3,4,……所表示的数.自然数由1开始,一个接一个,组成一个无穷集合.自然数集有加法和乘法运算,两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数,也可以作减法或除法,但相减和相除的结果未必都是自然数,所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的.自然数是人们认识的所有数中最基本的一类.为了使数的系统有严密的逻辑基础,19世纪的数学家建立了自然数的两种等价的理论——自然数的序数理论和基数理论,使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述.序数理论是意大利数学家G.皮亚诺提出来的.他总结了自然数的性质,用公理法给出自然数的如下定义.自然数集N是指满足以下条件的集合：①N中有一个元素,记作1.②N中每一个元素都能在N中找到一个元素作为它的后继者.③1不是任何元素的后继者.④不同元素有不同的后继者.⑤(归纳公理)N的任一子集M,如果1∈M,并且只要x在M中就能推出x的后继者也在M中,那么M=N.自然数,即1、2、3、4……或0、1、2、3、4…….其中,0是否为自然数目前没有定论．0”是否包括在自然数之内存在争议,有人认为自然数为正整数,即从1开始算起；而也有人认为自然数为非负整数,即从0开始算起.目前关于这个问题尚无一致意见.不过,在数论中,多采用前者；在集合论中,则多采用后者.目前中小学教材中规定0为自然数.自然数包括0吗（七）: 自然数包不包括0和负数“0”是否包括在自然数之内存在争议,有人认为自然数为正整数,即从1开始算起；而也有人认为自然数为非负整数,即从0开始算起.目前关于这个问题尚无一致意见.不过,在数论中,多采用前者；在集合论中,则多采用后者.国外的数学界大部分都规定0是自然数.为了国际交流的方便,1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB3100~3102-93）《量和单位》（11-2.9）第311页,规定自然数包括0.但是,在小学阶段的“整除”部分,仍然不考虑自然数0,因而在约数、倍数等概念中都不包括0.另外,一般情况下我们不说数0是几位数,所以最小的一位数是1.自然数包括0吗（八）: 0是自然数吗三分之零有意义吗在以前,0是不被当做自然数去看的,现在就把它当做自然数了.三分之零也是有它的数学意义的,至少它还是个数学意义上的实数.自然数包括0吗（九）: 自然数包括零,正分数和小数吗自然数全是0（包含0）以上的整数自然数包括0吗（十）: 自然数到底包括0不从历史上看,国内外数学界对于0是不是自然数历来有两种观点：一种认为0是自然数,另一种认为0不是自然数.建国以来,我国的中小学教材一直规定自然数不包括0.目前,国外的数学界大部分都规定0是自然数.为了国际交流的方便,1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB 3100~3102-93）《量和单位》（11-2.9）第311页,规定自然数包括0.所以在近几年进行的中小学数学教材修订中,我们的教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改.即一个物体也没有,用0表示.0也是自然数.但是,在小学阶段的“整除”部分,仍然不考虑自然数0,因而在约数、倍数等概念中都不包括0.另外,一般情况下我们不说数0是几位数,所以最小的一位数是1.自然数的定义自然数包括什么。

内涵丰富的“0”内涵丰富的“0” “像个蛋，不是蛋，说它圆，不太圆，说它没有它也有，成千上万连成串”——这就是“0”。

0虽然被叫做阿拉伯数字，但它可是印度⼈创造的。

⼀切从0开始，0可谓万数之⾸。

它是最⼩的⾃然数，是任何⾃然数的倍数，是最⼩的偶数，但⼜不算是最⼩的⼀位数。

这就叫独⼀⽆⼆，⼀枝独秀。

恩格斯曾经说过：“零⽐其它⼀切数都有更丰富的内容。

”是的，0在不同的场合有着不同的性质和作⽤。

在数物体的个数时，0的意义是表⽰“没有”；在研究问题时，0代表着⼀个起点，正如⼈们常说的“⼀切从0开始”；在计数时，0表⽰数位，2与20⼤不相同；在近似计算中，0表⽰近似值的精确度，3.0和3.00分别表⽰绝对误差⼩于0.05和0.005；0⽤于某些编号或年⽉⽇的简写，如：001号表⽰总数量不超过999，2006年5⽉1⽇简记作20060501。

0表⽰界限，0℃是零上温度与零下温度的分界点；0点（夜⾥12点）是“今天”与“明天”的分界点；在有理数（初中才会学到）范围内，0是正数与负数的分界点。

0也有着怪脾⽓。

写数的时候，它总不肯排头；作为⾃然数的⼀员，它⼜不算最⼩的⼀位数；在除法中，它不作除数；在分数中，它不作分母；在⽐中，它不作⽐的后项；0没有倒数。

0在四则运算中的作⽤可⼤了！在加减法中，⼀个数加、减0，原数不变，等于不加不减；在乘除法中，0与任何数相乘，得到的积都是0，0被任何⾮0数除，得到的商仍然是0。

0的负担最轻，但任务最重。

看到0，⼈们往往会浮想联翩。

0是谦虚者的起点，骄傲者的终点；0是⼀⾯镜⼦，帮你认识⾃⼰；在弱者⾯前，0是⼀只救⽣圈，让你随波逐流；在强者⾯前，0是⼀⾯敲响的战⿎，催你不断奋进；0是公正⽆私的，你勤奋，它就远离你，你懒惰它就亲近你；0是⼀块空地，可以长荒草，⽣荆棘，也可以种庄稼，收果实；0是⼀个神奇的套环，能把99拉回原地，令⼈“望百兴叹”。

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为什么要把0作为一个自然数现在，已经明确地把数“0”作为一个自然数看待。

为什么？听了很多的解释，大部分的解释是把这看作一个“规定”，就是说可以把“0，1，2，…，n，…”作为自然数，也可以把“1，2，…，n，…”做为自然数。

显然，这样的“解释”是不够的。

在这儿谈谈我们的理解，供老师和同学参考。

首先，应该从自然数的功能说起，自然数是人类最早用来描述周围世界“数量关系”的概念，几乎从一开始就具有三个基本功能，一个是帮人类来刻画某一类“东西”的多少，用现代的数学语言来说就是描述一个有限集合的基数（性质）；另一个就是刻画一类“事物”的顺序，“第一”，“第二”，……，用现代的数学语言来说，描述一个有限集合中元素的“顺序”性质。

这就是说，自然数既具有用来描述集合（有限）元素多少的基数性质，又具有描述集合元素顺序的序数性质。

或者可以进一步说，自然数既是基数，又是序数。

“自然数”的第三个基本功能是“运算功能”。

自然数可以做加法运算和乘法运算。

在此基础上，随着对运算的深入研究使得我们一步一步地建立起了有理数实数和它们的运算。

我们知道“空集”是集合中一种最主要也是最基本的集合，也是我们在描述周围现象中经常用到的集合，在数学中更是经常要用的。

例如：所有不能表示为两个素数之和的偶数集合是空集吗？这就是哥德巴赫猜想。

一般地说，集合常常被分为有限集合和无限集合两类。

有限集合是含有有限元素的集合。

像学校中人的集合，学校中男人的集合，学校中女人的集合，学校中老师的集合和学生的集合，某个一元二次方程解的集合等等都是有限集合；无限集合是含有的元素不是有限的集合。

像自然数集合、有理数集合、实数集合、复数集合等等。

把“空集”作为一个有限集是很自然的。

并且我们很容易理解应该用“0”来描述“空集”中含元素的多少。

有了前面这些说明，我们就容易理解这样一个事实：如果把“0”作为一个自然数，那么“所有自然数”就可以完整地完成刻画“有限集合元素多少”的“任务”了。

0的特殊性
在自然数中，0是一个特殊的数，0乘任何一个数都等于0，所以说0是任何一个非零自然数的倍数，任何非0自然数都是0的因数。

在研究因数和倍数的问题中，如果不排除0 ，很多问题无法讨论，也没有研究价值。

因此在研究因数和倍数时，所说的数一般指的是不包括0的自然数。

0能被所有非零自然数整除，根据约数倍数的定义，0是任何非零自然数的倍数．任何非零自然数都是0的约数。

但考虑到研究分解质因数、最大公约数、最小公倍数时，一般限于非零自然数范围内，如讲最小公倍数时，是把0排除在外的。

因此，为了方便，以后在研究约数和倍数时，我们所说的数一般不包括0。

”这样就避免了一些不必要的麻烦。

但过去的一些说法就必须加以纠正了。

例如，“一个自然数的最小倍数是它本身”、“自然数的约数的个数是有限的”等，这样的结论必须纠正。

龙源期刊网
规定0是自然数的几点说明
作者：储秀梅
来源：《初中生世界·七年级》2014年第10期
在阅读一些参考书时发现，有些书上规定1，2，3，…是自然数，0不是自然数，而我们现在的教材中规定0是自然数，这两种说法哪一个正确？
0是自然数的规定主要从2000年开始出版的初中和高中数学教材中陆续出现. 事实上，我国在1993年12月27日发布的、从1994年7月1日起实施的《中华人民共和国标准——量和单位》中已经明确规定：“0”是自然数，而这个规定需要时间逐步推行，所以在有些参考材料中，出现了0不是自然数的说法. 当前及今后一段时间内，应该执行新的规定. 规定了0是自然数后要注意以下几点：
1. 自然数集中，最小的数不是1而是0，最小的偶数不是2而是0了.
2. “自然数集中，每个数的约数个数都只有有限个”这个结论，需要加注“0除外”，因为0
的约数有无限个.
3. “自然数集中，每个数的约数中，最小的是1，最大的是它本身”这个结论，也要加注“0除外”.
4. 原来的自然数集分成质数、合数和1（单位）三部分，现在规定的自然数集应分成质数、合数及0和1四个部分.
5. 原来的两个自然数的最小公倍数是指这两个数的公共的倍数中最小的一个，例如4与6的公倍数是12，24，36，…，其中最小的是12；但自然数中有了0以后，0当然是4与6的一个公共的倍数，且是它们中最小的，那么4与6的最小公倍数应该是0了，这显然不合原意. 因此，必须修改为：两个（或多个）非零自然数的最小公倍数是指这些数的非零的公倍数中最小的一个.
特别地，两个（或多个）自然数（至少有一个是0）的最小公倍数是0.
（作者单位：江苏省海安县李堡镇初级中学）。

0是正整数吗
0不是正整数。

0既不是正整数，也不是负整数，它是介于正整数和负整数的数。

0是介于-1和1之间的整数，是最小的自然数，也是有理数，是正数和负数的分界点。

0没有倒数，0的相反数是0，0的绝对值是0，0的平方根是0，0的立方根是0，0乘任何数都等于0，除0之外任何数的0次方等于1。

0不能作为分母出现，0的所有倍数都是0，0不能作为除数，0除以任何非零实数等于0。

0是极为重要的数字，关于0这个数字概念在其它地区很早就有。

公元前3千年，巴比伦人就已经懂得使用零来避免混淆。

古埃及早在公元前2千年就有人在记账时用特别符号来记载零。

玛雅文明最早发明特别字体的0。

玛雅数字中0以贝壳模样的象形符号代表。

标准的0这个数字由古印度人在约公元5世纪时发明。

他们最早用黑点表示零，后来逐渐变成了“0”。

在东方国家由于数学是以运算为主（西方当时以几何并在开头写了“印度人的9个数字，加上阿拉伯人发明的0符号便可以写出所有数字）。

由于一些原因，在初引入0这个符号到西方时，曾经引起西方人的困惑，因当时西方认为所有数都是正数，而且0这个数字会使很多算式、逻辑不能成立(如除以0)，甚至认为是魔鬼数字，而被禁用。

直至约公元15，
16世纪0和负数才逐渐给西方人所认同，才使西方数学有快速发展。

和0是计算机处理数据的基本单位，你在电脑上看到的所有一切都是由1和0两个数组成的，每个1或0表示一个位，即一位比特，8个比特是一个字节（B）。

我们在电脑中看到的图像视频等都是计算机通过对储存器中无数个1和0的计算得来的。