行程问题中的相遇问题之二

2 相遇问题（二）学习目标:1、认识速度和、相遇时间、相遇路程，掌握三者之间的等量关系；2、利用数形结合思想，熟悉画线段图和矩形图的方法解决问题；3、在解决相遇问题的过程中，运用问题解决的模式，让学生经历发现问题、分析问题、解决问题的过程，发展学生的模型思想。

教学重点:1、掌握速度和、相遇时间、相遇路程三者之间的等量关系；2、利用数形结合思想，熟悉画线段图和矩形图的方法解决问题。

教学难点：如何解决较复杂的相遇问题教学过程：一、情景体验PPT展示图片，师根据书本讲解故事。

师：同学们，你知道这条小狗一共跑了多少路程吗？实际上小狗跑的时间就是小奥和朋朋相遇时所用的时间。

这里面就涉及到我们之前学习的行程问题中的相遇问题。

首先来看两道简单的应用题。

实用文档1、A、B两地相距500千米，甲、乙两车以每小时60千米、40千米的速度分别从A、B两地同时相向出发，几小时两车相遇？学生读题师：本题关键词“从A、B两地同时相向出发”，说明是什么问题？生：相遇问题。

师引导学生画出线段图师：之前已经学过相遇问题，现在我们再来复习回顾一下。

甲车每小时行60千米，乙车每小时行40千米，那么甲乙两车合起来一小时行60+40=100（千米）。

所以两车相遇，即走完全程500千米需要的时间为500÷100=5（小时）。

列综合算式：500÷（60+40）=5（小时）500是指A、B两地的距离，也是甲乙两车所走的路程和，我们称为相遇路程。

60是甲车的速度，40是乙车的速度，所以60+40是两车的速度和。

5小时是两车的相遇时间。

因此可以得出：相遇路程÷速度和=相遇时间。

根据这个数量关系，还可以得到：相遇路程÷相遇时间=速度和，相遇时间×速度和=相遇路程。

2、A、B两地相距500千米，甲、乙两人相向而行，5小时相遇，已知甲每小时比乙快20千米，甲、乙的速度各是多少？学生读题实用文档师：读完题目，发现这仍然是什么问题？生：相遇问题。

行程问题（二）知识要点：相遇问题两个物体由于相向运动而相遇。

解答此类问题的关键是求出两个运动物体的速度和。

基本关系式有：速度和×相遇时间＝相遇路程相遇路程÷速度和＝相遇时间相遇路程÷相遇时间＝速度和相遇路程：两个运动物体从两地同时相向运动所行的路程。

例题精讲：【例1】一辆客车和一辆货车同时从A、B两城相对开出。

客车的速度是62每小时千米，货车的速度是50千米每小时，经过4小时相遇，A、B两城相距多远？【例2】解放军某部通讯兵在一次演习中，摩托车每小时行60千米，汽车每小时行40千米，汽车出发1.5小时后，摩托车沿同路去追赶汽车，需要几小时追上？【例3】运动场的跑道400米，王芳和陈月两名运动员从起跑线同时出发，王芳每分钟跑390米，陈月每分钟跑310米，求多少分钟后王芳超过陈月一周？基础巩固：1、小亚和小巧同时从自己家里走向学校。

小亚每分钟走65米，小巧每分钟走70米，经过4分钟两人在校门相遇，他们两家相距多少米?2、3、客车和货车同时从甲、乙两地相向开出，客车每小时行40千米，货车每小时行32千米，4小时后两车相遇，甲、乙两地相距多少千米？4、甲、乙两地相距288千米，客车和货车同时从甲、乙两地相向开出，客车每小时行40千米，货车每小时行32千米，几小时后两车相遇？5、一辆拖拉机要去拉货，每小时走30千米，出发30分钟后，家中有事派一辆小轿车50千米/小时的速度去追拖拉机，问小轿车用多少时间可以追上拖拉机？6、一条环形跑道长400米，甲骑自行车平均每分钟骑300米，乙跑步，平均每分钟跑250米，两人同时同地同向出发，经过多少分钟两人相遇?7、客车和货车同时从丙地开出，向相反方向开出，客车每小时行40千米，货车每小时行32千米，开出4小时后，两车相距多少千米？8、甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行，环形公路的一周是360米。

现在已知甲走一圈的时间是60分钟，乙走一圈的时间是30分钟，那么甲、乙两人何时相遇？9、两地的距离是1200千米，有两列火车同时相向开出。

专题04 多次相遇问题（二）2022-2023学年小升初数学行程问题高频常考易错真题专项汇编一．解答题1．甲、乙两人同时从A、B两地动身相向而行，而甲速快于乙速，两人第一次相遇在距B 点240米的地方，两人分别到达B、A后又马上以原速返回，其次次相遇在距A地120米的地方，求A、B两地相距多少米？2．甲乙两车分别从A、B两地同时相对开出，第一次在距离A地75千米处相遇，相遇后连续前进，分别到达B地、A地后，又马上返回．其次次距离B地55千米处相遇，求A、B 两地间的距离．3．王欣欣和陆萌萌两人同时从相距2000米的两地相向而行，王欣欣每分钟行110米，陆萌萌每分钟行90米，假如一只狗与王欣欣同时同向而行，每分钟行500米，遇到陆萌萌后马上返回跑向王欣欣，遇到王欣欣后再马上跑向陆萌萌，这样不断来回，直到两人相遇为止．狗共跑了多少米？4．甲从A地往B地，乙、丙两人从B地往A地，三人同时动身，甲首先在途中与乙相遇，之后15分钟又与丙相遇，甲每分钟走70米，乙每分钟走60米，丙每分钟走50米，问：A、B两地相距多少米？5．小明步行从甲地动身到乙地，李刚骑摩托车同时从乙地动身到甲地.48分钟后两人相遇，李刚到达甲地后马上返回乙地，在第一次相遇后16分钟追上小明．假如李刚不停地来回于甲、乙两地，那么当小明到达乙地时，李刚共追上小明几次？6．甲乙两辆汽车分别从A、B两地同时动身，相向而行，乙车的速度是甲车的23，当它们第一次相遇后，乙车连续向A地前进，到达A地后马上返回，甲车连续向B地前进，到达B 后马上返回，到其次次相遇时，其次次的相遇点与第一次相遇点相距3000千米，求AB两地的距离是多少千米？7．甲、乙两车分别从A、B两地相向开出，速度比是7:9，两车第一次相遇后连续按原来方向前进，各自到达终点后马上返回，其次次相遇时甲车离B地80千米，A、B两地相距多少千米？8．甲、乙两车从A、B两地相向而行，将在距A地270千米的C地相遇，假如乙车速度提高20%，则两车在距C地30千米的D地相遇．实际甲车在行驶一段后因事返回，两车仍在D点相遇，问AB两地全程是多少？9．甲乙两人在90米的直跑道的两端同时动身来回跑，甲每秒跑6米，乙每秒跑9米，当他们两个又同时回到各自动身点时，他们相遇了几次？5分钟他们相遇几次？10．兄、弟两人来回于A、B两市之间，兄和弟的速度比为4:3，两人同时由A市动身30分钟后，弟以原速的2倍开头跑，兄正好由B市返回．这两人由A地动身后，经过多少分钟又相遇？11．甲、乙两人在圆形跑道上从同一点A并且同时动身按相反方向跑步，他们的速度分别是每秒5米和7米，到他们第一次在A点再相遇时跑步结束，问他们从开头开结束之间相遇多少次？12．甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地相向动身，两人在途中距B地20千米处第一次相遇，然后两人连续前行，甲、乙到达B、A两地后都马上返回，两车在途中距A地15千米处其次次相遇，求A、B两地间的距离．（列式计算）13．一条大路长400m，小光和他的小狗分别以均匀的速度同时从大路的起点动身．当小光走到这条大路的14时候，小狗已经到达大路的终点．然后小狗返回与小光相向而行，遇到小光以后再跑向终点，达到终点以后再与小光相向而行 直到小光达到终点．小狗从动身开头，一共跑了多少m？14．甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相对开出，第一次相遇离A地有200千米，然后各自按原速连续行驶，分别到达对方动身地后马上沿原路返回．其次次相遇时离A地距离占A、B两站间全长的75%．A、B两地间的路程长多少千米？15．甲乙两人在A、B两地间来回闲逛，甲从A、乙从B同时动身；第一次相遇点距B处60米．当乙从A处返回时走了10米其次次与甲相遇．A、B相距多少米？16．甲、乙两辆汽车分别从A、B两地相对开出，2.5时后相遇，相遇时，乙车行了105千米，相遇后连续行驶．甲、乙两车分别到达B、A两地后，马上往回开，其次次相遇时，乙车离A地90千米，求A、B两地的路程．17．甲、乙两辆汽车分别从A、B两地同时相向而行，速度比为7:11，相遇后两车连续行驶，分别到B、A两地后马上返回，当其次次相遇时，甲车距B地60千米，A、B两地相距多少千米？18．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距B地68千米处相遇，两车各自到达对方车站后，马上返回原地，途中又在距A地52千米处相遇．求两次相遇地点之间的距离．19．A、B两城同时对开客车，两车第一次在距A城50千米外相遇，到站后各停20分钟上下乘客再返回，返回时在距B城40千米处又相遇，问A、B两城相距多少千米？20．快慢两车同时从甲乙两地相对开出，快车每小时行80千米，慢车每小时行45千米．两车到达对方的动身点后都马上返回，两车其次次相遇时，快车比慢车多行210千米．求甲乙两地之间的距离．21．甲、乙两车分别从A、B两地相对开出，第一次相遇离A地90千米，相遇后两车连续以原速前进，到达目的地后又马上返回，其次次相遇在离B地50千米处．求A、B两地间相距多少千米？22．有个边长为200米的正方形操场，甲乙两个机器人分别从操场的相邻两个点同时同向动身，按逆时针行走，甲的速度为190米/分，乙的速度为150米/分。

第二讲相遇问题知识点1.行程问题中的相遇问题涉及到三个数量：路程、速度和时间，其关系为路程=速度×时间2.甲、乙两人在行程中相遇，就有甲走的路程+乙走的路程=甲的速度×时间+乙的速度×时间=（甲的速度+乙的速度）×时间通俗地说，“相遇问题”要考虑两人的速度和。

3.多次相遇问题两个物体从不同地点相向而行，第一次相遇后走1个全程，第二次相遇是合走3个全程，以后每相遇一次都是多走了2个全程。

4.流水问题（注意流水的影响）、钟表问题（注意时针和分针两者重合成直线）都属于相遇问题。

顺水速度=船速+水速逆流速度=船速—水速顺流行程=（船速+水速）×顺水时间逆水行程=（船速—水速）×逆水时间静水行程=（顺水速度+逆水速度）÷2水速=（顺水速度—逆水速度）÷2经典例题例1 快、慢车分别从A、B两地同时相向而行，快车每小时行78千米，慢车每小时行58千米，两车在离中点25千米处相遇。

那么A 、B两地相距多少千米？及时巩固1.小张从甲地到乙地步行需要36分钟，小王骑自行车从乙地到甲地需要12分钟。

他们同时出发，几分钟后两人相遇？例2 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，6小时后相遇于点C。

如果甲车的速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A、B两地同时出发，相向而行，则相遇地点距点C处12千米，如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还从A、B两地同时出发，相向而行，则相遇地点距C处16千米。

求A、B两地间的距离。

及时巩固2.小张和小王各以一定速度,在周长为500米的环形跑道上跑步。

小王的速度是每分钟180米。

（1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，75秒后两人第一次相遇，小张的速度是每分钟多少米？（2）小张和小王同时从同一地点出发，同向跑步，小张跑多少圈后，才能第一次追上小王？例3 甲、乙两人同时从A、B两地出发，相向而行，第一次在距A地25千米处相遇，相遇后两个继续前进，到达目的地后又立即返回，在距B地15千米处第二次相遇。

行程问题之相遇问题【题目1】两列货车从相距450 千米的两个城市相向开出，甲车每小时行40 千米，乙车每小时比甲车多行1/4，出发几小时后两车相遇？【解答】本题是计算相遇时间，知道计算方法——相遇时间＝总路程÷速度和。

【解法一】乙车的速度是40×（1＋1/4）＝50 千米/小时，甲乙两车的速度和是40 ＋50＝90 千米/小时，相遇的时间是450÷90＝5 小时。

【解法二】甲车行了450÷（1＋1＋1/4）＝200 千米，相遇的时间是200÷40＝5 小时。

【解法三】甲车行完450÷40＝45/4 小时，相遇时间是45/4÷（1＋1＋1/4）＝5 小时。

【解法四】甲乙两车的速度比是1：（1＋1/4）＝4：5，乙车行的路程是450×＝200 米，相遇时间是200÷40＝5 小时。

4 4 + 5【题目2】甲乙两列客车同时由相距600 千米的两地相对出发，经过8 小时后相遇。

已知甲车的速度是乙车速度的2/3，乙车每小时行多少千米？【解答】本题让学生明确——速度和＝总路程÷相遇时间。

【解法一】根据题意只要求出速度和就可以求得乙车的速度。

则有两车速度和是600÷8＝75 千米/时，把乙车速度看作单位1，甲车速度是2/3，那么速度和就是乙车的1＋2/3＝5/3，则乙车的速度是75÷5/3＝45 千米/时。

【解法二】乙车需要8×（1＋2/3）＝40/3 小时行完全程，乙车的速度是600÷40/3＝45 千米/时。

【解法三】乙车8 小时行了600÷（1＋2/3）＝360 千米，则乙车的速度是360÷8＝45 千米/时。

【题目3】甲乙两列火车同时从A、B 两个城市对面开来，甲火车每小时行36 千米，乙火车每小时比甲火车多行2/9，开出4 小时后两车相遇。

求A、B 两地之间的距离是多少千米？【解答】本题要让学生知道——总路程＝速度和×相遇时间。

行程问题问题中的相遇问题之二姓名：例题1: A、B两城相距458千米，甲车每小时行46千米，乙每小时行38千米，两车先从两城出发，相向而行，相遇时甲行驶了230千米，乙车比甲车早出发几小时？同步练习一：1、两港相距267千米，货船以每小时33千米的速度，客船以每小时45千米的速度先后从两港开出，相向而行，相遇时客船行了135千米。

货船比客船提前几小时开出？2、小勇和小丽相距2360米的两地相向而行，小勇每分钟走100米，小丽每分钟走80米，相遇时小丽走了960米，小丽比小勇晚出多少分钟？例题2: 甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地60千米处第一次相遇，各自到达对方出发地后立即返回，途中又在距A地40千米处相遇，A、B 两地相距多少千米？同步练习二：3、甲、乙两人同时从A、B两地相向而行，相遇时距A地128千米，相遇后继续前进达到目的地后立即返回，在距A地150千米处再此相遇。

A 、B两地相距多少千米？2、客车从甲地开往乙地，货车从乙地开往甲地，同时开出，到达对方出发地后返回。

第一次相遇时距乙地80千米，第二次相遇距甲地50千米。

甲、乙两地相距多少千米？例题3: 甲、乙两车同时从AB两地相对开出，甲每小时行75千米，乙每小时行65千米。

甲乙两车在第一次相遇后继续前进，分别到达B、A两地后，立即按原路返回，两车从出发到第二次相遇共行了6小时，A、B两地相距多少千米？同步练习三：1、甲乙两名同学从相距100米的两地同时出发，相向而跑，当跑到另一个地点时立即返回。

甲每秒跑6.5米，乙每秒跑5.5米。

经几秒两人第二次相遇？行程问题问题中的相遇问题家庭作业2 姓名：1、A、B两辆汽车同时从甲、乙两站相对开出，两车第一次在距甲站32千米处相遇，相遇后两车继续行驶，当各自到达乙站，甲站又立即返回，第2次在距离甲站64千米处两车相遇，甲乙两站相距多少千米？2、甲乙两列车同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地75千米处相遇，遇后继续前进，到达目的地后又立即返回，第二次相遇在离B地55米处。

多次相遇问题：“多次相遇”问题有直线型和环型两种模型。

（一）两岸型两岸型甲、乙两人相遇分两种情况，可以是迎面碰头相遇，也可以是背面追及相遇。

题干如果没有明确说明是哪种相遇，考生对两种情况均应做出思考。

1、迎面碰头相遇：如下图，甲、乙两人从A、B两地同时相向而行，第一次迎面相遇在a处，（为清楚表示两人走的路程，将两人的路线分开画出）则共走了1个全程，到达对岸b后两人转向第二次迎面相遇在c处，共走了3个全程，则从第一次相遇到第二次相遇走过的路程是第一次相遇的2倍。

之后的每次相遇都多走了2个全程。

所以第三次相遇共走了5个全程，依次类推得出：第n次相遇两人走的路程和为（2n-1）S，S为全程。

而第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，分开看每个人都是2倍关系，经常可以用这个2倍关系解题。

即对于甲和乙而言从a到c走过的路程是从起点到a的2倍。

相遇次数全程个数再走全程数1 1 12 3 23 5 24 7 2… … …n 2n-1 22、背面追及相遇与迎面相遇类似，背面相遇同样是甲、乙两人从A、B两地同时出发，如下图，此时可假设全程为4份，甲1分钟走1份，乙1分钟走5份。

则第一次背面追及相遇在a处，再经过1分钟，两人在b处迎面相遇，到第3分钟，甲走3份，乙走15份，两人在c处相遇。

我们可以观察，第一次背面相遇时，两人的路程差是1个全程，第二次背面相遇时，两人的路程差为3个全程。

同样第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，单看每个人多走的路程也是第一次的2倍。

依次类推，得：第n次背面追及相遇两人的路程差为（2n-1）S。

（二）单岸型单岸型是两人同时从一端出发，与两岸型相似，单岸型也有迎面碰头相遇和背面追及相遇两种情况。

1、迎面碰头相遇：如下图，假设甲、乙两人同时从A端出发，假设全程为3份，甲每分钟走2份，乙每分钟走4份，则甲乙第一次迎面相遇在a处，此时甲走了2份，乙走了4份，再过1分钟，甲共走了4份，乙共走了8份，在b处迎面相遇，则第二次相遇多走的跟第一次相遇相同，依次类推，可得出：当第n次碰头相遇时，两人的路程和为2ns。