高斯投影

第八章 椭球面元素归算至投影面 ——高斯投影
一、高斯投影概述 （正形投影，高斯坐标正反算及换带计算） 二、把椭球面元素归算到高斯投影面 （方向改化，距离改化） 三、各种投影方法概述 四、工程测量投影面与投影带选择的概念
重庆交通大学土木建筑学院测绘系《控制测量学》课件
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本章提要
本章介绍从椭球面上大地坐标系到平面上 直角坐标系的正形投影过程。研究如何将大地 坐标、大地线长度和方向以及大地方位角等向 平面转化的问题。重点讲述高斯投影的原理和 方法，解决由球面到平面的换算问题，解决相 邻带的坐标坐标换算。讨论在工程应用中，工 程测量投影面与投影带选择。


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y5 2 4 2 2 2 5 28 t 24 t 6 8 f f f ftf 5 120 N f cos B f

3、高斯投影坐 标正反算公式的 几何解释 ：
x
平行圈
赤道 子午线
O
y
中央子午线
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4)、投影带的划分
我国规定按经差6º和3º 进行投影分带。
6º带自首子午线开始， 按6º的经差自西向东分成60 个带。
3º带自1.5 º开始，按 3º的经差自西向东分成 120个带。
高斯投影带划分
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6º带与3º带中央子午线之间的关系如图:
3º带的中央子午线与6º带中央子午线及分带子午线重 合，减少了换带计算。 工程测量采用3 º带，特殊工程可采用1.5 º带或任意带
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长度比:
投影面上的边长与原面上的相应长度之比，称为长度比。
AB E A m AB EA
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2、地图投影的分类
• 1）按变形性质分类
•
• •

高斯-克吕格投影高斯-克吕格(GAUSS-KRUGER)是等角横切椭圆柱投影，由德国数学家高斯提出，后经克吕格扩充并推倒出计算公式，故称为高斯-克吕格投影，简称高斯投影。

该投影以中央经线和赤道投影后为坐标轴，中央经线和赤道交点为坐标原点，纵坐标由坐标原点向北为正，向南为负，规定为X轴，横坐标从中央经线起算，向东为正，向西为负，规定为Y轴。

所以，高斯-克吕格坐标系的X、Y轴正好对应MAPGIS坐标系的Y和X。

为了控制变形，本投影采用分带的办法。

我国1:2.5-1:50万地形图均采用6度分带；1:1万及更大比例尺地形图采用3度分带，以保证必要的精度。

6度分带从格林威治零度经线起，每6度分为一个投影带，全球共分为60个投影带。

东半球的30个投影带的中央经线用L0=6n-3计算（n为投影带带号），从0到180度，其编号为1-30。

西半球也有30个投影带，从-180度回到0度，其编号为31-60，各带的中央经线用L0=6(n-30)-3-180计算。

该投影带将地球划分为60个投影带，每带经差为6度，已被许多国家作为地形图的数学基础。

一般从南纬度80到北纬度84度的范围内使用该投影。

3度分带法从东经1度30分算起，每3度为一带。

这样分带的方法在于使6度带的中央经线均为3度带的中央经线。

但是，在标准比例尺图幅编号中，带号是从西经-180度算起，每6度为1带，自西向东1-60。

这样，我们国家的高斯带号在标准图幅编号中，要加30，如20带，表示为J50等。

6度分带投影区的代号与其所对应的经度范围如6度分带图表所示。

由于高斯-克吕格投影每一个投影带的坐标都是对本带坐标原点的相对值，所以各带的坐标完全相同，使用时只需变一个带号即可。

因此，计算一个带的坐标值，制成一个表，就可以供查取各投影带的坐标时使用，称为高斯坐标表，表中的值成为通用坐标值。

在高斯坐标系中，为了避免横坐标Y有负值，将其起算原点向西移动500公里，即对横坐标Y值按代数法加上500000米。

高斯-克吕格投影我国现行的大于1：50万比例尺的各种地形图都采用高斯-克吕格（Gauss-Kruger ）投影。

从地图投影的变形角度来看，高斯-克吕格投影属于等角投影。

该投影没有角度变形。

从几何概念来分析，高斯-克吕格投影是一种横切椭圆轴投影。

它是假想一个椭圆柱横套在地球椭球体上，使其与某一条纬线（称为轴子午线或中央子午线）相切，椭圆柱的中心轴通过地球椭球的中心，用解析法按等角条件，将椭球面上轴子午线东西两侧一定经差范围内的区域投影到椭球柱面上，再沿着过极点的母线将椭圆柱剪开，然后将椭圆柱展开成平面，即获得投影后的图形。

如图6-12所示，为高斯-克吕格投影的几何概念图。

图6-12 高斯-克吕格投影的几何概念高斯-克吕格投影的基本条件为：（1） 中央子午线的投影为直线，而且是投影的对称轴，赤道的投影为直线并与中央子午线正交；（2） 投影后没有角度变形，即经纬线互相垂直，且同一地点各方向的长度比不变；（3） 中央子午线上没有长度变形。

若以高斯-克吕格投影中的中央子午线的投影为X 轴，以赤道的投影为Y 轴，两轴的交点为原点，则就构成高斯-克吕格平面直角坐标系，如图6-12所示。

根据高斯-克吕格投影的上述三个条件，即可导出高斯-克吕格投影的大地坐标（L ，B ）与高斯平面直角坐标（x ，y ）之间的函数关系式（6-8）。

+++-++=)49tan 5(cos sin 24cos sin 2422342ηηB B B N L B B N L S x++-++-+=)tan tan 185(cos 120)tan 1(cos 6cos 42552233B B B N L B B N L B LN y η（6-8） 式中：x 、y −− 平面直角坐标系的纵、横坐标；L 、B −− 椭球面上大地坐标系的经、纬度；S −− 由赤道至纬度B 的经线弧长；N −−卯酉圈曲率半径；η −− η2 = e '2cos 2B ，其中e '为地球的第二偏心率。

高斯投影原理高斯投影原理是地图投影中常用的一种方法，它是由德国数学家高斯在19世纪提出的。

高斯投影原理的基本思想是将地球表面上的经纬度坐标系投影到一个平面上，以便于制作地图和进行测量。

在实际应用中，高斯投影原理被广泛用于各种地图的制作和测量工作中。

高斯投影原理的核心是将地球表面上的三维坐标投影到一个二维平面上。

这种投影会引入一定的形变，但是可以通过适当的数学变换来减小形变的影响。

高斯投影原理的优势在于可以将地球表面上的曲线投影成直线或者近似直线，这样就方便了地图的制作和使用。

在高斯投影原理中，地球被看作是一个椭球体，而投影面通常是一个圆柱面或者圆锥面。

根据投影面的不同，高斯投影可以分为圆柱高斯投影和圆锥高斯投影两种。

在实际应用中，圆柱高斯投影常用于大范围的地图制作，而圆锥高斯投影常用于局部地图的制作。

高斯投影原理的具体数学表达可以通过一系列的数学公式来描述。

这些公式涉及到大量的数学知识，包括球面三角学、微积分、线性代数等。

通过这些数学公式，可以将地球表面上的经纬度坐标转换为平面坐标，或者将平面坐标转换为经纬度坐标。

在实际应用中，高斯投影原理需要考虑到地图的精度和形变的影响。

由于地球是一个椭球体，而不是一个完美的球体，因此在进行投影时需要考虑到椭球体的形状参数。

此外，由于地图投影会引入形变，因此需要通过一些数学手段来补偿这种形变，以保证地图的精度。

总的来说，高斯投影原理是地图投影中非常重要的一种方法。

它通过将地球表面上的经纬度坐标投影到一个平面上，方便了地图的制作和使用。

在实际应用中，需要考虑到地球的形状参数和形变的影响，以保证地图的精度。

通过高斯投影原理，我们可以更好地理解地图的制作和使用，为地理信息系统的发展提供了重要的理论基础。