2020年安徽省马鞍山市高考数学一模试卷(理科)

2020 年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量监测理科数学试题本试卷4页，满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名和座位号填在答题卡上。

将条形码横贴在答题卡 “条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并收回。

（A ）A B⊆（B ）AB =∅（C ）B A ⊆（D ）A B R=【答案】A【命题意图】本题考查集合基本运算，难度：简单题．2．已知复数z 满足(1)2i z i -=+，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在（ ▲ ）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限【答案】D【命题意图】本题考查复数基本概念与运算，难度：简单题． 3．已知平面向量(2,1)a =，(,2)b m =-，且a b ⊥，则a b -=（ ▲ ）（A （B ）5（C （D ）10【答案】C【命题意图】本题考查平面向量基本运算，难度：简单题．4．设sin 2cos αα=，(0,)2πα∈，则tan 2α的值是（ ▲ ）（A ）3（B ）3-（C ）33（D ）33-【答案】A【命题意图】本题考查三角恒等变换，难度：简单题．5．已知圆22:()1C x a y -+=与抛物线24y x =-的准线相切，则a 的值是（▲ ）（A ）0（B ）2（C ）0或1（D ）0或2【答案】D【命题意图】本题考查抛物线，圆的基础知识，难度：简单题．6．执行下面的程序框图，若输出结果为273，则判断框处应补充的条件可以为（ ▲ ）（A ）7i >（B ）7i ≥（C ）9i >（D ）9i ≥【答案】B【命题意图】考查算法框图. 难度：简单题．7．某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入.若该高校2017年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是（ ▲ ）（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30） （A ）2020年（B ）2021年（C ）2022年（D ）2023年【答案】B【命题意图】本题考查函数模型应用题，指数对数运算，难度：中等题．8．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >,0ω>,||2πϕ<）的部分图象如图所示，则将()y f x =的图象向左平移3π个单位后，得到的图象对应的函数解析式为（ ▲ ）（A ）cos 2y x =-（B ）cos 2y x=（C ）5sin(2)6y x π=+（D ）sin(2)6y x π=-【答案】C【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，难度：中等题．9．已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的外接球的表面积是（ ▲ ）（A ）43π（B ）4π（C ）163π（D ）16π【答案】C【命题意图】本题考查空间几何体的基本计算，难度：中等题．第6题图第8题图10．函数1()ln ||1xf x x+=-的大致图象是（ ▲ ） （A（B（D11．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视（A ）（B ）（D ）【答案】B 【命题意图】本题考查三视图，难度：中等题．12．若一个四面体的四个侧面是全等的三角形，则称这样的四面体为“完美四面体”，现给出四个不同四面体(1,2,3,4)k k k k A B C D k =，记k k k A B C △的三个内角分别为k k k A B C ，，，其中一定不是“完美四面体”的为（ ▲ ） （A ）111::3:5:7A B C =（B ）222sin :sin :sin 3:5:7A B C =（C ）333cos :cos :cos 3:5:7A B C =（D ）444tan :tan :tan 3:5:7A B C =【答案】B【命题意图】本题考查空间几何体以及解三角形的相关知识，难度：较难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知样本容量为200，在样本的频率分布直方图中，共有n 个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其余1n -个小矩形面积和的13，则该组的频数为 ▲ ．【答案】50【命题意图】本题考查统计的基础知识，难度：简单题．14．若二项式nx ⎛+ ⎝展开式中各项系数的和为64，则该展开式中常数项为 ▲．【答案】15第11题图【命题意图】本题考查二项式定理，难度：简单题．15．若直线1y kx =-上存在点(,)x y 满足约束条件210,280,320,x y x y x y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩则实数k 的取值范围是 ▲ ．【答案】3[,2]4【命题意图】本题考查线性规划的基础知识，难度：中等题．16．已知双曲线22:145x y C -=的焦点为12F F ，，P 为双曲线C 上一点且12F PF △的内切圆半径为1，则2F PF △的面积为▲．【解析】如图，不难证明12F PF △的内切圆与x 轴相切于实轴端点2A ，注意到||||1IA A F ==，故45IF A ∠=，即PF x ⊥轴， 已知数列{}n a 的首项11a =，且()11n n n a a a ++⋅=，*n N ∈. （1）求证：数列1{}na 是等差数列；（2）设n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【命题意图】本题考查数列的基础知识与基本运算，难度：简单题．【解析】（1）11111111111n n n n n n n n na a a a a a a a a ++++=⇒==+⇒-=+， 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11a =为首项，以1为公差的等差数列；（6分）（2）由（1）可知，1nn a =，1n a n =，11⎛=+++⋅⋅⋅+=⎝. （12分）18．（12分）某种产品的质量以其“无故障使用时间t（单位：小时）”衡量，无故障使用时间越大表明产品质量越好，且无故障使用时间大于3小时的产品为优质品.从某企业生产的这种产品中抽取100件，并记录了每件产品的无故障使用时间，得到下面试验结果：率.（1）从该企业任取两件这种产品，求至少有一件是优质品的概率；（2）若该企业生产的这种产品每件销售利润y（单位：元）与其无故障使用时间t的关系式为0,0110,1320,3ty tt<≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩从该企业任取两件这种产品，其利润记为X（单位：元），求X的分布列与数学期望.【命题意图】本题考查概率的计算，随机变量的分布列与期望．难度：中等题．【解析】（1）由题意可知，从该企业任取一件这种产品是优质品的概率的是0.4，所以从该企业任取两件这种产品，至少有一件是优质品的概率为210.60.64-=；（5分）（2）由题意知，X的分布列为所以X的数学期望()00.04100.16200.32300.32400.1624E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.（12分）19．（12分）如图，正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，13AA =，F 为棱AC 上靠近A 的三等分点，点E 在棱1BB 上且BF ∥面1A CE ．（1）求BE 的长；（2）求二面角11A CE B --的余弦值．【命题意图】本题考查空间几何体的线面位置关系，空间想象能力，空间角的计算问题．难度：中等题． 【解析】【方法一】（1）如图，作1FG CC ∥与1AC 交于点G ，∵1BE CC ∥，∴BE FG ∥，面BEGF 面1ACE EG =， ∵BF ∥面1ACE ，∴BF EG ∥， 于是在BEGF 中，1223BE FG AA ===． （6分） （2）取11B C 的中点H ，∵111ABC A B C -是正三棱柱，∴111A H B C ⊥，1A H ⊥面11BB C C ，连结HE ， 由（Ⅰ）知145CEB HEB ∠=∠=，∴HE CE ⊥，又1A H ⊥面11BB C C ，∴1A H CE ⊥，从而CE ⊥面1A EH ， 于是二面角1A CE B --的平面角为∠由题，1A H =，HE =1A E ==，故二面角11A CE B --的余弦值为11cos EH A EH A E ∠==（12分） 【方法二】取11B C 的中点H ，∵111ABC A B C -∴111A H B C ⊥，1A H ⊥面11BB C C ， 取BC 的中点I ，则11IH B C ⊥，如图，以点H 为坐标原点，11,,HI HB HA 分别为,,x y z 正半轴建立空间直角坐标系H xyz -，则：1A ，(3,1,0)B ，(3,1,0)C -，1(3,,33F -．（1）设(,1,0)(03)E a a ≤≤，面1ACE 的法向量(,,)n x y z =， 则11(,,)(3,1,30(,,)(,1,0n AC x y z x y n A E x y z a ax y ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨⋅=⋅=+=⎪⎩，不妨设1x =，则3(1,2a n -=，又BF ∥面1ACE ，∴342(3)3(1,(0,,023333a a an BF --+⋅=⋅-=+=， 解得1a =，故2BE =．1A 1B 1C A BCFE1A 1B 1C A BCFGH（2）由（1）知面1ACE 的法向量2(1,1,n =，又面1B CE 的法向量(0,0,1)m =，所以二面角11A CE B --的余弦值为||10|cos ,|5||||n m n m n m ⋅<>==⋅． （12分） 20．（12分）已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>经过点(1，，过原点O 作两条直线1l ，2l ，直线1l 交椭圆于A C 、，直线2l 交椭圆于B D 、，且222224AB BC CD DA +++=．（1）求椭圆的方程；（2）若直线1l ，2l 的斜率分别为12k k ,，求证：12||k k ⋅为定值．【命题意图】本题考查直线与椭圆的位置关系，运算求解能力的培养．难度：中等题．【解析】（1）由题意知，11222=+b a 且22=a c， 解得2,422==b a ，椭圆的方程为22142y x =+；（5分）（2）由对称性可知，四边形ABCD 是平行四边形，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,)C x y --,22(,)D x y --由12422=+y x ， 得2242y x =-()()()()()22222222221212121222AB BC CD DA AB DAx x y y x x y y +++=+=-+-++++⎡⎤⎣⎦()()222222221212121244424x x y y x x x x =+++=++-+-()22124824x x =--=所以22122x x +=，（10分）121212||y yk k x x ⋅===2==故12||k k ⋅为定值2.（12分）21．（12分）（1（2为自然对数的底数．【解析】（1）【法一】由()ln 20f 'x x ax =-=得ln 2xa x=，记ln ()2xx xϕ=，则21ln ()2x 'x x ϕ-=， 当0x e <<时，()0'x ϕ>；当x e >时，()0'x ϕ<， ∴()x ϕ在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减，又1()2e eϕ=，0x →时()x ϕ→-∞，x →+∞时()0x ϕ→，由题，()f x 有两个极值点12,x x ，即方程ln 2xa x=有两解，即()x ϕ的图象与直线y a =有两个公共点，故1(0,)2a e∈． （6分）【法二】由题，方程()ln 20f 'x x ax =-=有两根12,x x ，即ln y x =与2y ax =图象有两个公共点，设过原点ln y x =的切线l 与其相切于点00(,ln )x x ，∵1(ln )x 'x =，∴切线l 的方程为：0001ln ()y x x x x -=-， 将(0,0)代入解得0x e =，即l 的方程为：1y x e=，结合图象可知102a<<，故1(0,)a ∈． （6分）xy e=2y ax =ln y x=Oxy（二）选考题：共10分。

安徽省高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若复数z满足zi=1+2i，则复数z的共轭复数=（）A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i2．已知集合A、B是非空集合且A⊆B，则下列说法错误的是（）A．∃x0∈A，x0∈B B．∀x0∈A，x0∈B C．A∩B=A D．A∩（∁u B）≠∅3．已知数列{a n}为等差数列，a1+a8+a15=π，则cos（a4+a12）则的值为（）A．﹣B．C．D．4．某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数，日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．从该车间6名工人中，任取2人，则至少有1名优秀工人的概率为（）A．B．C．D．5．执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．6．已知函数的图象经过点，且f（x）的相邻两个零点的距离为，为得到y=f（x）的图象，可将y=sinx图象上所有点（）A．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变B．先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变C．先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变D．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变7．定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），已知函数y=2f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的单调递减区间为（）A．（1，+∞）B．（1，2）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）8．在△ABC外，分别以AC、BC、AB为边作正方形，得到三个正方形的面积依次为S1、S2、S3，若S1+S2=S3=8，则△ABC的面积最大值是（）A．2 B．C．4 D．9．设关于x、y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）10．已知边长为1的等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D的余弦值为，若A、B、C、D、E在同一球面上，则此球的体积为（）A．2πB．πC．πD．π11．设函数f（x）=sin2x+acosx在（0，π）上是增函数，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1] C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）12．已知直线l：y=kx+b与抛物线x2=2py（常数p＞0）相交于不同的两点A、B，线段AB的中点为D，与直线l：y=kx+b平行的切线的切点为C．分别过A、B作抛物线的切线交于点E，则关于点C、D、E三点横坐标x c、x D，x E的表述正确的是（）A．x D＜x C＜x E B．x C=x D＞x E C．x D=x c＜x E D．x C=x D=x E二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知二项式（x2+）n的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是______．14．抛物线y2=﹣12x的准线与双曲线﹣=1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于______．15．已知某四棱锥的三视图所示，其中俯视图和左视图都是腰长为4的等腰直角三角形，主视图为直角梯形，则几何体的体积是______．16．正12边形A1A2…A12内接于半径为1的圆，从、、、…、这12个向量中任取两个，记它们的数量积为S，则S的最大值等于______．三、解答题（共5小题，满分60分）17．设函数．（1）求函数f（x）最小正周期；（2）设△ABC的三个内角A、B、C的对应边分别是a、b、c，若，，，求b．18．第五届全国绿色运动健身大赛于2015年10月24日在安徽池州开赛．据了解，本届绿运健身大赛以“绿色池州、绿色运动、绿色生活”为主题．为调查某社区年轻人的周末生活状况，研究这一社区年轻人在周末的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区年轻人80人，得到下面的数据表：休闲方式逛街上网合计性别男10 50 60女10 10 20合计20 60 80（1）根据以上数据，能否有99%的把握认为“周末年轻人的休闲方式与性别有关系”？（2）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的年轻男生，设调查的3人在这一段时间以上网为休闲方式的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d参考数据：P（K2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63519．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，AC=2．（1）求证：AB1⊥CC1；（2）若，求二面角C﹣AB1﹣A1的正弦值．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴为半径的圆与直线2x﹣y+6=0相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点A，B为动直线y=k（x﹣2）（k≠0）与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在点E，使2+•为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值，若不存在，说明理由．21．设函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（1）若函数f（x）在x=e处的切线与y轴相交于点（0，2﹣e）求a的值；（e为自然对数的底数，e=2.781828…）；（2）当a≤2时，讨论函数f（x）的单调性；（3）当1＜x＜2时，证明：．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．.[选修4-1：平面几何选讲]22．如图，A，B，C，D四点共圆，BC，AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上，（1）若的值；（2）若EF2=FA•FB，证明：EF∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为．（1）写出直线l的普通方程及圆C 的直角坐标方程；（2）点P是直线l上的，求点P 的坐标，使P 到圆心C 的距离最小．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x+1|+|2x﹣1|的最小值为a．（1）求a的值；（2）已知m，n＞0，m+n=a，求的最小值．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若复数z满足zi=1+2i，则复数z的共轭复数=（）A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由zi=1+2i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，则复数z的共轭复数可求．【解答】解：由zi=1+2i，得，则复数z的共轭复数=2+i．故选：D．2．已知集合A、B是非空集合且A⊆B，则下列说法错误的是（）A．∃x0∈A，x0∈B B．∀x0∈A，x0∈B C．A∩B=A D．A∩（∁u B）≠∅【考点】特称命题．【分析】利用元素与集合之间的关系、集合的运算性质即可判断出正误．【解答】解：∵集合A、B是非空集合且A⊆B，∴∃x0∈A，x0∈B；∀x0∈A，x0∈B；A∩B=A；A∩（∁u B）=∅．因此A，B，C，正确，D错误．故选：D．3．已知数列{a n}为等差数列，a1+a8+a15=π，则cos（a4+a12）则的值为（）A．﹣B．C．D．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由等差数列的性质得到，cos（a4+a12）=cos（2a8）=cos，由此能求出结果．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，a1+a8+a15=3a8=π，∴，∴cos（a4+a12）=cos（2a8）=cos=﹣cos=﹣．故选：A．4．某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数，日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．从该车间6名工人中，任取2人，则至少有1名优秀工人的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【分析】由茎叶图可得工人加工的零件数，可得优秀工人数，列举法和概率公式可得．【解答】解：由茎叶图可知6名工人加工零件数为：17，19，20，21，25，30，平均值为：（17+19+20+21+25+30）=22，优秀的为25，30有2人，从该车间6名工人中，任取2人共有15种取法：（17，19）（17，20）（17，21）（17，25）（17，30）（19，20）（19，21）（19，25）（19，30）（20，21）（20，25）（20，30）（21，25）（21，30）（25，30）．其中至少有1名优秀工人的共有9种取法：（17，25）（17，30）（19，25）（19，30）（20，25）（20，30）（21，25）（21，30）（25，30）．由概率公式可得P==，故选：C．5．执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．【考点】循环结构．【分析】框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，在输入n的值为10后，对i的值域n的值大小加以判断，满足i≤n，执行，i=i+2，不满足则跳出循环，输出S．【解答】解：输入n的值为10，框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，判断2≤10成立，执行，i=2+2=4；判断4≤10成立，执行=，i=4+2=6；判断6≤10成立，执行，i=6+2=8；判断8≤10成立，执行，i=8+2=10；判断10≤10成立，执行，i=10+2=12；判断12≤10不成立，跳出循环，算法结束，输出S的值为．故选A．6．已知函数的图象经过点，且f（x）的相邻两个零点的距离为，为得到y=f（x）的图象，可将y=sinx图象上所有点（）A．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变B．先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变C．先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变D．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】直接求出函数的周期T，利用周期公式可求ω，通过函数经过的特殊点求出φ，得到函数的解析式，利用图象平移的规律：左加右减，加减的单位是自变量x的变化的单位；图象伸缩变换的规律：横坐标变为坐标系x乘的数的倒数；纵坐标变为三角函数前面乘的数倍，即可得解．【解答】解：（1）由题意可知，T=×2=π，ω==2，∵sin[2•（﹣）+φ]=0，∴φ=kπ+，k∈Z，∵0＜φ＜，∴φ=，可得：f（x）=sin（2x+）．∴将y=sinx的图象先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到y=f（x）的图象．故选：B．7．定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），已知函数y=2f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的单调递减区间为（）A．（1，+∞）B．（1，2）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）【考点】函数的图象．【分析】结合图象及指数函数的性质可判断f′（x）的正负，从而确定函数的单调性．【解答】解：结合图象可知，当x∈（﹣∞，2]时，2f′（x）≥1，即f′（x）≥0；当x∈（2，+∞）时，2f′（x）＜1，即f′（x）＜0；故函数y=f（x）的单调递减区间为（2，+∞），故选D．8．在△ABC外，分别以AC、BC、AB为边作正方形，得到三个正方形的面积依次为S1、S2、S3，若S1+S2=S3=8，则△ABC的面积最大值是（）A．2 B．C．4 D．【考点】基本不等式．【分析】由题意可得：a2+b2=c2=8，可得C=90°，于是S△=，再利用基本不等式的性质即ABC可得出．【解答】解：由题意可得：a2+b2=c2=8，∴C=90°，△ABC是直角三角形，∴S△=≤=2，当且仅当a=b=2时取等号．ABC故选：A．9．设关于x、y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，要使平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0﹣2y0=2，则平面区域内必存在一个点在直线x﹣2y=2的下方，由图象可得a的取值范围．【解答】解：作出不等式组对应的平面如图：直线x﹣2y=2的斜率为斜截式方程为y=x﹣1，要使平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0﹣2y0=2，直线y=x﹣1经过交点A的坐标为（，）的下方，B（，a）的上方，即﹣1＞a，解得a＜﹣．故a的取值范围是：（﹣∞，﹣）．故选：B．10．已知边长为1的等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D的余弦值为，若A、B、C、D、E在同一球面上，则此球的体积为（）A．2πB．πC．πD．π【考点】球的体积和表面积．【分析】找出二面角的平面角，设球的半径为R，则R2=（﹣R）2+（）2，求出R，即可求出球的体积．【解答】解：作CO⊥面ABDE，OH⊥AB，则CH⊥AB，∠CHO为二面角C﹣AB﹣D的平面角，CH=，OH=，CO=结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，设球的半径为R，则R2=（﹣R）2+（）2，∴R=∴V==．故选：D．11．设函数f（x）=sin2x+acosx在（0，π）上是增函数，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1] C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；三角函数中的恒等变换应用．【分析】首先利用函数的导数求函数的单调区间，进一步分离参数法，构造辅助函数，利用导数的求得函数的最小值，即可求出函数中a的取值范围．【解答】解：f（x）=sin2x+acosx在（0，π）上是增函数，∴f′（x）=cos2x﹣asinx≥0，∴1﹣2sin2x﹣asinx≥0，设t=sinx，t∈（0，1]，即﹣2t2﹣at+1≥0，t∈（0，1]，∴a≤﹣2t+，令g（t）=﹣2t+，则g′（t）=﹣2﹣＜0，∴g（t）在（0，1]递减，∴a≤g（1）=﹣1，∴a≤﹣1．故选：B．12．已知直线l：y=kx+b与抛物线x2=2py（常数p＞0）相交于不同的两点A、B，线段AB的中点为D，与直线l：y=kx+b平行的切线的切点为C．分别过A、B作抛物线的切线交于点E，则关于点C、D、E三点横坐标x c、x D，x E的表述正确的是（）A．x D＜x C＜x E B．x C=x D＞x E C．x D=x c＜x E D．x C=x D=x E【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A，B．直线方程与抛物线方程联立，化为：x2﹣2pkx﹣2pb=0，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得x D．对抛物线x2=2py两边求导可得：y′=．可得切线方程，进而得到交点E的横坐标，由题意可得：k=，即可得出结论．【解答】解：设A，B．联立，化为：x2﹣2pkx﹣2pb=0，△＞0，∴x1+x2=2pk，可得x D==pk．对抛物线x2=2py两边求导可得：y′=．可得经过点A的切线方程：y﹣=（x﹣x1），经过点B的切线方程：y﹣=（x﹣x2），联立解得x E==x D．经过点C的切线的斜率为，由题意可得：k=，∴x C=pk．综上可得：x C=x E=x D．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知二项式（x2+）n的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是10 ．【考点】二项式定理．【分析】先求得n=5，以及二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于1，求得r的值，即可求得含x的项的系数．【解答】解：由题意可得2n=32，n=5，展开式的通项公式为T r+1=•x10﹣2r•x﹣r=•x10﹣3r．令10﹣3r=1，r=3，故展开式中含x项的系数是=10，故答案为10．14．抛物线y2=﹣12x的准线与双曲线﹣=1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据抛物线的方程算出其准线方程为x=3，由双曲线的方程算出渐近线方程为y=±x，从而得到它们的交点M、N的坐标，再利用三角形的面积公式算出△OMN的面积，可得答案．【解答】解：∵抛物线方程为y2=﹣12x，∴抛物线的焦点为F（﹣3，0），准线为x=3．又∵双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x．∵直线x=3与直线y=±x相交于点M（3，），N（3，﹣），∴三条直线围成的三角形为△MON，以MN为底边、O到MN的距离为高，可得其面积为S=×|MN|×3=×[﹣（﹣）]×3=3．故答案为：．15．已知某四棱锥的三视图所示，其中俯视图和左视图都是腰长为4的等腰直角三角形，主视图为直角梯形，则几何体的体积是．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是四棱锥，判断几何体的结构特征，结合直观图求相关几何量的数据，代入棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，如图：其中SA⊥ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB=AD=4，BC=1，SA=4，∴几何体的体积V=××4×4=．故答案为：．16．正12边形A1A2…A12内接于半径为1的圆，从、、、…、这12个向量中任取两个，记它们的数量积为S，则S的最大值等于．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，求出正12变形的边长，在由题意可得，从、、、…、这12个向量中任取两个，使它们的数量积最大，则两向量夹角最小，则两向量为相邻两向量，由此可得答案．【解答】解：如图，由多边形内角和定理可知，正12边形A1A2…A12内角和为（12﹣10）×180°=1800°，则每一个内角为，∠A1OA2=30°，在△A1OA2中，又OA1=OA2=1，由余弦定理可得：，由题意可知，、、、…、的模相等，从、、、…、这12个向量中任取两个，使它们的数量积最大，则两向量夹角最小，则两向量为相邻两向量，不妨取、，则S==．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．设函数．（1）求函数f（x）最小正周期；（2）设△ABC的三个内角A、B、C的对应边分别是a、b、c，若，，，求b．【考点】三角函数的周期性及其求法；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理．【分析】（1）本题考查三角函数的性质，首先要把原式进行整理，用两角和的余弦公式展开，合并同类项，变为y=Asin（ωx+φ）的形式，再用周期的公式得到结果．（2）本题结合三角形的问题求解，注意三角形本身的隐含条件，先根据上一问的结果做出角C 的正弦值，角B的正弦值，最后应用正弦定理解出要求的边长．【解答】解：（I）=+==．∵ω=2，∴．∴f（x）的最小正周期为π．（II）由（I）得f（x）=，∴=．又，∴=，∴，∵△ABC中，，由正弦定理，得，∴．18．第五届全国绿色运动健身大赛于2015年10月24日在安徽池州开赛．据了解，本届绿运健身大赛以“绿色池州、绿色运动、绿色生活”为主题．为调查某社区年轻人的周末生活状况，研究这一社区年轻人在周末的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区年轻人80人，得到下面的数据表：休闲方式逛街上网合计性别男10 50 60女10 10 20合计20 60 80（1）根据以上数据，能否有99%的把握认为“周末年轻人的休闲方式与性别有关系”？（2）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的年轻男生，设调查的3人在这一段时间以上网为休闲方式的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d参考数据：P（K2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）根据提供的列联表，计算观测值K2，比较数表即可得出正确的结论；（2）以题意，得出随机变量X的可能取值与每个男性在周末以上网为休闲方式的概率，【方法一】计算X对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值．【方法二】根据题意得X～B（3，），写出P（X=k）与数学期望值．【解答】解：（1）根据提供的列联表得，K2===≈8.889＞6.635，所以有99%的把握认为“周末年轻居民的休闲方式与性别有关”；（2）以题意，随机变量X的取值为0、1、2、3，且每个男性在周末以上网为休闲方式的概率为P=；【方法一】根据题意得，P（X=0）=•=，P（X=1）=••=，P（X=2）••=，P（X=3）=•=；所以X的分布列为：X 0 1 2 3P所以数学期望EX=0×+1×+2×+3×=．【方法二】根据题意得，X～B（3，），所以P（X=k）=••，k=0，1，2，3；数学期望EX=np=3×=．19．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，AC=2．（1）求证：AB1⊥CC1；（2）若，求二面角C﹣AB1﹣A1的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）连接AC1，CB1，取CC1的中点O，则CC1⊥OA，CC1⊥OB1，从而CC1⊥平面OAB1．由此能证明CC1⊥AB1．（2）以O为原点，以OB1，OC1，OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣AB1﹣A1的正弦值．【解答】证明：（1）连接AC1，CB1，则△ACC1和△BCC1皆为正三角形．取CC1的中点O，连接OA，OB1，则CC1⊥OA，CC1⊥OB1，又OA∩OB1=O，所以CC1⊥平面OAB1．又AB1⊂平面OAB1，所以CC1⊥AB1．解：（2）由（1）知，，又，所以OA⊥OB1．如图所示，以O为原点，以OB1，OC1，OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，设平面CAB1的一个法向量为，因为，所以取．设平面A1AB1的一个法向量为，因为，所以取．则，∴sin＜＞==．所以二面角C﹣AB1﹣A1的正弦值是．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴为半径的圆与直线2x﹣y+6=0相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点A，B为动直线y=k（x﹣2）（k≠0）与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在点E，使2+•为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值，若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）求得圆O的方程，由直线和圆相切的条件：d=r，可得a的值，再由离心率公式，可得c的值，结合a，b，c的关系，可得b，由此能求出椭圆的方程；（2）由直线y=k（x﹣2）和椭圆方程，得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出在x轴上存在点E，使•为定值，定点为（，0）．【解答】解：（1）由离心率为，得=，即c=a，①又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2+y2=a2，且与直线相切，所以，代入①得c=2，所以b2=a2﹣c2=2．所以椭圆C的标准方程为+=1．（2）由，可得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，△=144k4﹣4（1+3k2）（12k2﹣6）＞0，即为6+6k2＞0恒成立．设A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1+x2=，x1x2=，根据题意，假设x轴上存在定点E（m，0），使得为定值，则有=（x1﹣m，y1）•（x2﹣m，y2）=（x1﹣m）•（x2﹣m）+y1y2=（x1﹣m）（x2﹣m）+k2（x1﹣2）（x2﹣2）=（k2+1）x1x2﹣（2k2+m）（x1+x2）+（4k2+m2）=（k2+1）•﹣（2k2+m）•+（4k2+m2）=，要使上式为定值，即与k无关，则应3m2﹣12m+10=3（m2﹣6），即，此时=为定值，定点E为．21．设函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（1）若函数f（x）在x=e处的切线与y轴相交于点（0，2﹣e）求a的值；（e为自然对数的底数，e=2.781828…）；（2）当a≤2时，讨论函数f（x）的单调性；（3）当1＜x＜2时，证明：．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求函数的导数，根据导数的几何意义即可求出函的切线斜率，即可求得a的值；（2）求导数，构造辅助函数g（x）=lnx++1﹣a，求导，令g′（x）=0，求得g（x）的最小值，判断f′（x）≥0，可判断函数的单调性；（3）由（2）知f（x）在（1，2）上是增函数，可知（x+1）lnx＞2（x﹣1），即＜利用函数的单调性，求得﹣＜，根据对数函数的运算即可证明不等式成．【解答】解：（1）f′（x）=lnx++1﹣a，x∈（0，+∞）由题意可知：=f′（e），整理得：e+1﹣a（e﹣1）﹣（2﹣e）=e（1++1﹣a），解得a=2；（2））f′（x）=lnx++1﹣a，记g（x）=lnx++1﹣a，g′（x）=，令g′（x）=0，x=1，∴g（x）min=g（1）=2﹣a，∵a≤2，∴2﹣a≥0，∴g（x）≥g（1）=0，f′（x）≥0，∴函数f（x）的定义域上为增函数；（3）证明：由（2）知当a=2时，f（x）在（1，2）上是增函数，∴f（x）＞f（1）=0，即（x+1）lnx＞2（x﹣1），∴＜，①∵1＜x＜2，∴0＜2﹣a＜1，，∴＜=，即﹣＜，②①+②得：﹣＜+=∴原式成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．.[选修4-1：平面几何选讲]22．如图，A，B，C，D四点共圆，BC，AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上，（1）若的值；（2）若EF2=FA•FB，证明：EF∥CD．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【分析】（1）推导出△EDC∽△EBA，由此能求出的值．（2）推导出△FAE∽△FEB，从而∠FEA=∠EBF，再由四点共圆，能证明EF∥CD．【解答】解：（1）∵A、B、C、D四点共圆，∴∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B，∴△EDC∽△EBA，∴，==，∴=．证明：（2）∵EF2=FA•FB，∴，∵∠EFA=∠BFE，∴△FAE∽△FEB，∴∠FEA=∠EBF，∵A、B、C、D四点共圆，∠EDC=∠EBF，∴∠FEA=∠EDC，∴EF∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为．（1）写出直线l的普通方程及圆C 的直角坐标方程；（2）点P是直线l上的，求点P 的坐标，使P 到圆心C 的距离最小．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由已知得t=x﹣3，从而y=，由此能求出直线l的普通方程；由，得，由此能求出圆C的直角坐标方程．（2）圆C圆心坐标C（0，），设P（3+t，），由此利用两点间距离公式能求出点P的坐标，使P到圆心C 的距离最小．【解答】解：（1）∵在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，∴t=x﹣3，∴y=，整理得直线l的普通方程为=0，∵，∴，∴，∴圆C的直角坐标方程为：．（2）圆C：的圆心坐标C（0，）．∵点P在直线l：=0上，设P（3+t，），则|PC|==，∴t=0时，|PC|最小，此时P（3，0）．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x+1|+|2x﹣1|的最小值为a．（1）求a的值；（2）已知m，n＞0，m+n=a，求的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；基本不等式．【分析】（1）由条件化简函数的解析式，再利用函数的单调性求得函数f（x）的最小值．（2）根据=（+）•，利用基本不等式求得它的最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=|x+1|+|2x﹣1|=，故函数的减区间为（﹣∞，]，增区间为（，+∞），故当x=时，函数f（x）取得最小值为a=．（2）已知m，n＞0，m+n=a=，∴=（+）•=[1+++4]=+（+）≥+•2=6，当且仅当=时，取等号，故的最小值为6．。

注意事项：马鞍ft市高中毕业班第一次教学质量检测高三理科数学试题1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题对应的位置．3.全部答案在答题卡上完毕，答在本试题上无效．4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回．第I 卷（选择题，共60 分）一、选择题：本大题共12 个题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目规定的．（1）复数2 +i在复平面内对应的点在（）1-i（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（2）下列结论错误的是（）（A）命题“若p ，则⌝q ”与命题“若q ，则⌝p ”互为逆否命题（B）命题p : ∀x ∈[0,1], e x≥ 1 ，命题q : ∃x ∈R, x2+x +1 < 0 ，则p ∧q 为真（C）“若am2<bm2，则a <b ”为真命题（D）若p ∨q 为假命题，则p 、q 均为假命题（3）(2x +x )4的展开式中x3的系数是（）（A）6 （B）12 （C）24 （D）48（4）设a, b 是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列四个命题中，对的命题的个数是（）①若a ⊥b, a ⊥α, 则b Pα；②若a α,α⊥β, 则a Pβ；③若a ⊥β,α⊥β, 则a Pα；④若a P b, a Pα, b Pβ, 则αPβ．（A）3 （B）2 （C）1 （D）0（5）△ABC 中，tan A ，tan B 是方程6x2- 5x +1 = 0 的两根，则tan C =（）（A）-1 （B）1 （C）-57（D）57（6）要计算1+1+1+L +1的成果，下面的程序框图中的横线上能够填（）2 3 20162 2(ln 2 e , 3)y 1Oπ62π 3x（A ） n < 2016 ? （B ） n ≤ 2016 ? （C ） n > 2016 ? （D ） n ≥ 2016 ?（7） 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ） （A ）17π2（B ） 9π （C ）19π2（D ） 10π（8） 点 P 是圆(x +1)2 + ( y - 2)2 = 2 上任一点，则点 P 到直线 x - y -1 = 0 距离的最大值为（）（A ） （B ） 2 2 正视图（C ） 3 （D ） 2 + 2 π俯视图第（7）题图（9） 函数 f (x ) = sin(ωx +φ) （ x ∈ R ） (ω> 0, φ <) 的部分图2象如图所示，如果 x , x ∈π 2π，且 f (x ) = f (x ) ，则1 2f (x 1 + x 2 ) = （ ▲ ）( , )6 312（A ） - 32 （C ） 1（B ） - 12 （D ） 3第（8）题图22（10） 设 P (x , y ) 是函数 f (x ) 图象上任意一点，且 y 2 ≥ x 2 ，则 f (x ) 的解析式能够是（）（A ） f (x ) = x - 1 （B ） f (x ) = e x -1 （C ） f (x ) = x + 4（D ） f (x ) = tan xxx（11）7 人站成两排队列，前排 3 人，后排 4 人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其别人保持相对位置不变，则不同的加入办法种数为（ ） （A ）120（B ）240（C ）360（D ）480⎧x 2 + 4x , x ≤ 0 （12） 已知函数 f (x ) = ⎨ ⎩x ln x , x > 0 则实数 k 的取值范畴为（ ）， g (x ) = kx -1 ，若方程 f (x ) - g (x ) = 0 在 x ∈ (-2, 2) 有三个实根，（A ） (1, ln 2 e )（B ）（C ） 2 3( , 2)2（D ） (1, ln 2e ) U 3( , 2)2开始n = 1S = 0 否 输出 S 结束是S = S +1 / nn = n +12 1113- = 2 第 II 卷（非选择题，共 90 分）本卷涉及必考题和选考题两部分。

2020年安徽省马鞍山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集U ＝{x ∈N|x ≤5}，A ＝{x ∈N|log 2x <2}，则∁U A ＝（ ） A.{0, 4, 5} B.{4, 5} C.{5} D.{x|4≤x ≤5}2. 复数z =i i−1的虚部为（ ）A.12B.−12C.12iD.−12i3. 如图是国家统计局给出的2014年至2018年我国城乡就业人员数量的统计图表，结合这张图表，以下说法错误的是（ ）A.2017年就业人员数量是最多的B.2017年至2018年就业人员数量呈递减状态C.2016年至2017年就业人员数量与前两年比较，增加速度减缓D.2018年就业人员数量比2014年就业人员数量增长超过400万人4. 数列{a n }为等差数列，且a 2+a 7+a 12＝6，则{a n }的前13项的和为（ ） A.52 B.1043C.26D.5235. 已知向量a →=(1, −2)，b →=(4, m)，且a →⊥b →，则|a →−b →|=( ) A.5 B.√5 C.7 D.256. 已知奇函数f(x)={3x +a(x ≥0)ℎ(x)(x <0)，则ℎ(−2)的值为（ ）A.109B.−109C.8D.−87. 已知点F 是抛物线C:y 2＝4x 的焦点，过点F 的直线交抛物线C 于点P ，交y 轴于点Q ，若FQ →=2FP →，则点P 的坐标为（ ） A.(±√2,12)B.(±2, 1)C.(1, ±2)D.(12,±√2)8. 西湖小学为了丰富学生的课余生活开设课后少年宫活动，其中面向二年级的学生共开设了三门课外活动课：七巧板、健美操、剪纸．203班有包括奔奔、果果在内的5位同学报名参加了少年宫活动，每位同学只能挑选一门课外活动课，已知每门课都有人选，则奔奔和果果选择了同一个课外活动课的选课方法种数为（ ） A.18 B.36C.72D.1449. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A.2π3 B.16π9C.π3D.2π910. 函数f(x)=(2x +1)22x ⋅x的图象大致为（ ）A. B.C. D.11. 已知边长为2的正△ABC 所在平面外有一点P ，PB ＝4，当三棱锥P −ABC 的体积最大时，三棱锥P −ABC 外接球的表面积为（ ） A.32π3B.16πC.64π3D.256π312. 已知函数f(x)＝2sin (ωx +φ)(ω>0)的图象经过点(π2,2)和(π, 0)，且f(x)在(0,π4)内不单调，则ω的最小值为（ ） A.1 B.3 C.5 D.7二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．曲线C:y ＝xe x 在点M(1, e)处的切线方程为________．已知实数x ，y 满足约束条件{x +2y −2≥02x +y ≤44x −y +1≥0 ，则目标函数z ＝3x +y 的最大值为________．定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差构成一个等比数列，则称该数列为“等差比”数列．已知“等差比”数列{a n }的前三项分别为a 1＝2，a 2＝3，a 3＝5，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的焦距为2c ，F 为右焦点，O 为坐标原点，P 是双曲线上一点，|PO|＝c ，△POF 的面积为12ab ，则该双曲线的离心率为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．已知△ABC 为锐角三角形，且sin A cos B ＝cos A sin B +cos C ． （1）求角B 的大小；（2）若b =√2，求(√3−1)a +√2c 的最大值．某公司新研发了一款手机应用APP ，投入市场三个月后，公司对部分用户做了调研：抽取了400位使用者，每人填写一份综合评分表（满分为10．现从400份评分表中，随机抽取40份（其中男、女使用者的评分表各20份）作为样本，经统计得到如下的茎叶图：记该样本的中位数为M ，按评分情况将使用者对该APP 的态度分为三种类型：评分不小于M 的称为“满意型”，评分不大于M −10的称为“不满意型”，其余的都称为“须改进型”． （1）求M 的值，并估计这400名使用者中“须改进型”使用者的个数；（2）为了改进服务，公司对“不满意型”使用者进行了回访，根据回访意见改进后，再从“不满意型”使用者中随机抽取3人进行第二次调查，记这3人中的女性使用者人数为X ，求X 的分布列和数学期望．如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝1，BC =√3，以AC 为折痕将△ABC 折起，使点B 到达点P 的位置，且P 在平面ACD 内的射影O 在边AD 上．（1）求证：AP ⊥CD ；（2）求二面角P −AC −D 的余弦值．已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)过点M(1,√32)，且M 到两焦点的距离之和为4． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知不经过原点O 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，线段AB 的中点在直线OM 上，求OA →⋅OB →的取值范围．已知函数f(x)＝ae 2x +(1−2a)e x −x ． （1）当a <0时，讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个不同零点x 1，x 2，证明：a >1且x 1+x 2<0．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =√3+2cos αy =1+2sin α （α为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，点P 在射线l:θ=π3上，且点P 到极点O 的距离为4．（1）求曲线C 的普通方程与点P 的直角坐标；（2）求△OCP 的面积． [选修4-5：不等式选讲]设函数f(x)＝x 2+4x +|a −3|+|a −1|． （1）若函数f(x)有零点，求实数a 的取值范围；（2）记（1）中实数a 的最大值为m ，若p ，q 均为正实数，且满足p +q ＝m ，求p 2+q 2的最小值．参考答案与试题解析2020年安徽省马鞍山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.【答案】 A【考点】 补集及其运算 【解析】先利用对数的性质求出集合A ，再利用补集的定义即可求出∁U A ． 【解答】∵ A ＝{x ∈N|log 2x <2}＝{1, 2, 3}，全集U ＝{x ∈N|x ≤5}＝{0, 1, 2, 3, 4, 5}， ∴ ∁U A ＝{0, 4, 5}， 2.【答案】 B【考点】 复数的运算 【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】 z =i i−1=i(−1−i)(−1+i)(−1−i)=12−12i ．∴ 复数z =ii−1的虚部为−12．3.【答案】 D【考点】进行简单的合情推理 【解析】根据统计图表逐一进行分析即可 【解答】根据该统计图表可得2017年就业人数最多，故A 正确； 2017年就业人员高度必2018年的高，故B 正确；2014−2015，2015−2016就业人员增加量大致200，而2016−2017增加量100不到，故C 正确； 2018年就业人员数量比2014年就业人员数量增长低于400万人，故D 错 4. 【答案】 C 【考点】等差数列的前n 项和 【解析】由等差数列的性质可求a 7，然后代入到求和公式S =13(a 1+a 13)2=13a 7可求．【解答】由等差数列的性质可知，a 2+a 7+a 12＝3a 7＝6， 故a 7＝2，则{a n }的前13项的和S =13(a 1+a 13)2=13×2a 72=13a 7＝26．5.【答案】 A【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 平面向量数量积的性质及其运算 【解析】根据题意，由数量积的性质可得若a →⊥b →，则有a →⋅b →=4−2m ＝0，解可得m 的值，即可得向量(a →−b →)的坐标，进而由向量模的计算公式计算可得答案． 【解答】根据题意，向量a →=(1, −2)，b →=(4, m)， 若a →⊥b →，则有a →⋅b →=4−2m ＝0，解可得m ＝2， 则b →=(4, 2)，则(a →−b →)＝(−3, −4)，则|a →−b →|=√(−3)2+(−4)2=5； 6.【答案】 D【考点】 求函数的值 函数的求值【解析】先根据奇函数的性质求出a ，再结合奇函数的性质即可求出结论． 【解答】因为奇函数f(x)={3x +a(x ≥0)ℎ(x)(x <0) ，∴ f(0)＝30+a ＝0⇒a ＝−1；则ℎ(−2)＝f(−2)＝−f(2)＝−(32+a)＝−8． 7. 【答案】 D【考点】 抛物线的性质 【解析】本题先设过点F 的直线l 的斜率为k ，很明显斜率k 存在，且k ≠0．则直线l:y ＝k(x −1)，可得Q 点坐标为(0, −k)．写出向量FQ →坐标式，再设点P 的坐标为(x P , y P )，则FP →=(x P −1, y P )．根据FQ →=2FP →列出方程组，找到x P ，y P 分别与k 的关系式，再将点P 坐标代入抛物线方程，即可得到结果． 【解答】由题意，可知：F(1, 0)设过点F 的直线l 的斜率为k ，很明显斜率k 存在，且k ≠0． 则直线l:y ＝k(x −1)， ∴ Q 点坐标为(0, −k)． ∴ FQ →=(−1, −k)设点P 的坐标为(x P , y P )，则FP →=(x P −1, y P )． ∵ FQ →=2FP →，∴ {2(x P −1)=−12y P =−k ，解得{x P =12y P =−k 2． ∵ 点P 在抛物线上，∴ y P 2=4x P ，即(−k2)2＝4⋅12=2解得y P =−k2=±√2． ∴ 点P 的坐标为(12, ±√2)．8.【答案】 B【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】五位同学选三门课程，可能出现的结果有两种：①2、2、1，②3、1、1，对于这两种都要先考虑特殊的情形，再分步完成． 【解答】五人选三门课每门课都有人选共有两种情况：①2、2、1，②3、1、1，对于①：先选一门课作为奔奔和果果所选，再从剩下的三人中选一位单独选一门课，∴ C 31C31C21=18， 对于②：先选一门课程作为奔奔和果果所选，剩下的3人在三门课程中任意排列，∴ C 31A33=18， ∴ 共有18+18＝36种， 9. 【答案】 B【考点】由三视图求体积【解析】几何体为圆锥的一部分，求出几何体底面扇形的圆心角即可得出几何体与圆锥的体积比． 【解答】由三视图可知几何体为圆锥的一部分，圆锥的底面半径为2，高为4，∴ 圆锥的体积V 圆锥=13×π×22×4=16π3．几何体的底面扇形圆心角为π−arccos 12=2π3．∴ 几何体体积V =2π32π⋅V 圆锥=16π9．10.【答案】 C【考点】函数的图象与图象的变换 【解析】根据题意，分析可得f(x)为奇函数，据此有排除法分析可得答案． 【解答】根据题意，函数f(x)=(2x +1)22x ⋅x=2x +2−x +2x，有f(−x)＝−(2x +2−x +2x)＝−f(x)，即函数f(x)为奇函数，排除A 、B 、D ，11. 【答案】C【考点】球的表面积和体积 【解析】由题意可得当PB ⊥面ABC 时，三棱锥的体积最大，首先由底面时正三角形求出其外接圆的半径，然后由题意可得此三棱锥的外接球的球心为过底面圆心做垂直于底面的直线与中截面的交点，可得外接球的半径，进而求出外接球的表面积． 【解答】由题意当三棱锥P −ABC 的体积最大时是PB ⊥面ABC 时，由边长为2的正△ABC ， 设三角形ABC 的外接圆半径为r ，则2r =2sin π3=√3，所以r =√3，由题意此三棱锥的外接球的球心为过底面圆心做垂直于底面的直线与中截面的交点， 设外接球的半径为R ，则由题意可得：R 2＝r 2+(PB2)2=43+22=163，所以外接球的表面积S ＝4πR 2=64π3，12.【答案】B【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】由题意可得ω＝2n−1，n∈N⋅，再讨论n可得ω，进而得到φ和函数f(x)的解析式，由此得出结论．【解答】依题意得，2sin(πω2+φ)=2,2sin(πω+φ)=0，∴πω2+φ=2k1π+π2(k1∈Z)，πω+φ＝k2π(k2∈Z)，消去φ得，πω2=(k2−2k1)π−π2，令k2−2k1＝n(n∈Z)，则ω＝2n−1(n∈Z)，因为ω>0，所以n∈N⋅，当n＝1时，ω＝1，此时φ＝2k1π(k1∈Z)，f(x)＝2sin(x+2k1π)＝2sin x，不合题意；当n＝2时，ω＝3，此时φ＝2k1π−π(k1∈Z)，f(x)＝−2sin3x，此时f(x)在(0,π4)内不单调，满足题意．所以ω的最小值为3．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．【答案】y＝2ex−e【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求出函数的导数，利用导数的几何意义即可得到结论．【解答】函数的f(x)的导数f′(x)＝(1+x)e x，则曲线在(1, e)处的切线斜率k＝f′(1)＝2e，则对应的切线方程为y−e＝2e(x−1)，即y＝2ex−e．故答案为：y＝2ex−e【答案】6【考点】简单线性规划【解析】画出约束条件表示的平面区域，平移目标函数找出最优解，计算z的最大值．【解答】画出约束条件{x+2y−2≥02x+y≤44x−y+1≥0表示的平面区域，如图阴影所示；平移目标函数z＝3x+y知，当目标函数过点C时，z取得最大值；由{2x+y=4x+2y−2=0，求得C(2, 0)；所以z的最大值为z max＝3×2+0＝6．【答案】2n+n−1【考点】等差数列与等比数列的综合【解析】由题意可得该数列从第二项起，每一项与前一项的差构成一个为首项为1、公比为2的等比数列，应用数列的恒等式和数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】“等差比”数列{a n}的前三项分别为a1＝2，a2＝3，a3＝5，可得a2−a1＝3−2＝1，a3−a2＝2，…，a n−a n−1＝2n−2，则a n＝a1+(a2−a1)+...+(a n−a n−1)＝2+1+2+...+2n−2＝2+1−2n−11−2=2n−1+1，数列{a n}的前n项和S n＝(1+2+...+2n−1)+n=1−2n1−2+n＝2n+n−1．【答案】√2【考点】双曲线的离心率【解析】求出左焦点，判断三角形的形状，利用三角形的面积转化求解即可．【解答】双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的焦距为2c，F为右焦点，左焦点为F1(−c, 0)，O为坐标原点，P是双曲线上一点，|PO|＝c，△F1PF是直角三角形，PF1−PF＝2a，PF12+PF2＝4c2，可得4c2−2PF1⋅PF＝4a2可得4c2−4ab＝4a2，又a2+b2＝c2可得a＝b，即e=ca=√2．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．【答案】∵sin A cos B＝cos A sin B+cos C，∴sin(A−B)＝cos C＝sin(π2−C)，∵锐角三角形△ABC中，A−B∈(−π2, π2)，π2−C∈(0, π2)，∴A−B=π2−C，即A+C−B=π2，①又∵A+B+C＝π，②∴由①②解得B=π4．∵△ABC为锐角三角形，B=π4，b=√2，∴由正弦定理asin A=csin C=√2√22=2，可得a＝2sin A，c＝2sin C＝2sin(3π4−A)，∴ (√3−1)a +√2c ＝2(√3−1)sin A +2√2sin (3π4−A)＝2√3sin A +2cos A ＝4sin (A +π6)≤4，当且仅当A =π3时取最大值，故(√3−1)a +√2c 的最大值为4． 【考点】 正弦定理 【解析】（1）利用两角差的正弦公式，诱导公式可得sin (A −B)＝sin (π2−C)，结合角的范围，可得A +C −B =π2，利用三角形内角和定理即可解得B 的值．（2）先根据正弦定理表示出a ，c ，根据两角和差的正弦公式，正弦函数的图象和性质即可求出最大值 【解答】∵ sin A cos B ＝cos A sin B +cos C ， ∴ sin (A −B)＝cos C ＝sin (π2−C)，∵ 锐角三角形△ABC 中，A −B ∈(−π2, π2)，π2−C ∈(0, π2)， ∴ A −B =π2−C ，即A +C −B =π2，①又∵ A +B +C ＝π，② ∴ 由①②解得B =π4．∵ △ABC 为锐角三角形，B =π4，b =√2，∴ 由正弦定理asin A=c sin C=√2√22=2，可得a ＝2sin A ，c ＝2sin C ＝2sin (3π4−A)，∴ (√3−1)a +√2c ＝2(√3−1)sin A +2√2sin (3π4−A)＝2√3sin A +2cos A ＝4sin (A +π6)≤4，当且仅当A =π3时取最大值，故(√3−1)a +√2c 的最大值为4． 【答案】 中位数等于80+822=81，所以M ＝81，40个样本数据中共有13人是“须改进型”，从而可得400名使用者中约1340×400=130人是“须改进型”使用者；不满意型使用者共7人，其中男性5人，女性2人， 故X 的所有可能的取值为0，1，2 且P(X =0)=C 53C 73=27；P(X =1)=C 52C21C 73=47； P(X =2)=C 51C22C 73=17；故X 的分布列为所以X 的数学期望E(X)=27×0+47×1+17×2=67． 【考点】离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列【解析】（1）利用茎叶图求解中位数，求出抽样比，然后求解这400名使用者中“须改进型”使用者的个数即可． （2）不满意型使用者共7人，其中男性5人，女性2人，说明X 的所有可能的取值为0，1，2，求出概率得到分布列然后求解期望即可． 【解答】 中位数等于80+822=81，所以M ＝81，40个样本数据中共有13人是“须改进型”，从而可得400名使用者中约1340×400=130人是“须改进型”使用者； 不满意型使用者共7人，其中男性5人，女性2人， 故X 的所有可能的取值为0，1，2 且P(X =0)=C 53C 73=27；P(X =1)=C 52C21C 73=47；P(X =2)=C 51C22C 73=17；故X 的分布列为所以X 的数学期望E(X)=27×0+47×1+17×2=67．【答案】由题可得OP ⊥面ACD ，∴ OP ⊥CD ， 又四边形ABCD 为矩形，∴ CD ⊥AD ， 又AO ∩AD ＝O ，∴ CD ⊥面APD ， ∵ AP ⊂平面APD ，∴ AP ⊥CD ．以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0, 0, 0)，C(1,√3,0)，设P 点坐标为(0, y, z)(z >0)，由AP ＝1，PC =√3，得{y 2+z 2=11+(√3−y)2+z 2=3，解得y=√33，z=√63，即P点坐标为(0,√33,√63)，AC→=(1, √3, 0)，AP→=(0, √33, √63)，设n1→=(x,y,z)⊥面APC，∴{n1→⊥AC→n1→⊥AP→，∴{x+√3y=0√33y+√63z=0，令y＝1，得n1→=(−√3,1,−√22)，又n2→=(0,0,1)⊥面ACD，∴cos⟨n1→,n2→⟩=−13，∴二面角P−AC−D的余弦值为13．【考点】二面角的平面角及求法直线与平面垂直【解析】（1）由题可得OP⊥面ACD，从而OP⊥CD，由四边形ABCD为矩形，得CD⊥AD，从而CD⊥面APD，由此能证明AP⊥CD．（2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，设P点坐标为(0, y, z)(z>0)，由AP＝1，PC=√3，求出P点坐标为(0,√33,√63)，求出面APC和面ACD的法向量，由此能求出二面角P−AC−D的余弦值．【解答】由题可得OP⊥面ACD，∴OP⊥CD，又四边形ABCD为矩形，∴CD⊥AD，又AO∩AD＝O，∴CD⊥面APD，∵AP⊂平面APD，∴AP⊥CD．以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0, 0, 0)，C(1,√3,0)，设P点坐标为(0, y, z)(z>0)，由AP＝1，PC=√3，得{y2+z2=11+(√3−y)2+z2=3，解得y=√33，z=√63，即P点坐标为(0,√33,√63)，AC→=(1, √3, 0)，AP→=(0, √33, √63)，设n1→=(x,y,z)⊥面APC，∴{n1→⊥AC→n1→⊥AP→，∴{x+√3y=0√33y+√63z=0，令y＝1，得n1→=(−√3,1,−√22)，又n2→=(0,0,1)⊥面ACD，∴cos⟨n1→,n2→⟩=−13，∴二面角P−AC−D的余弦值为13．【答案】由题可得{2a=41a2+34b2=1，解得{a=2b=1，所以椭圆C的方程为x24+y2=1．（方法一）易知直线l斜率存在且不等于0，所以y1+y2≠0，设A(x1, y1)，B(x2, y2)得{x124+y12=1x224+y22=1两式相减得y1−y2x1−x2=−x1+x24(y1+y2)=−√36，即k AB=−√36，设直线AB的方程为y=−√36x+m(m≠0)，联立方程{x2+4y2=4y=−√36x+m，化简得x2−√3mx+3m2−3=0，因为直线l交椭圆于A，B两点，故△＝−9m2+12>0，解得0<m2<43，又x1+x2=√3m，x1x2=3m2−3，y1y2=(−√36x1+m)(−√36x2+m)=112x1x2−√36m(x1+x2)+m2所以OA→⋅OB→=x1x2+y1y2=154m2−134∈(−134,74)．（方法二）易知直线l斜率存在且不等于0，故设直线AB的方程为y＝kx+m(m≠0)，联立方程组{x2+4y2=4y=kx+m，化简得(1+4k2)x2+8kmx+4m2−4＝0x1+x2=−8km1+4k2，x1x2=4m2−41+4k2，y1+y2=2m1+4k2，因为线段AB的中点在直线OM上，所以y1+y2x1+x2=−14k=√32，求得k=−√36，设直线AB 的方程为y =−√36x +m(m ≠0)，联立方程{x 2+4y 2=4y =−√36x +m， 化简得x 2−√3mx +3m 2−3=0，因为直线l 交椭圆于A ，B 两点，故△＝−9m 2+12>0，解得0<m 2<43， 又x 1+x 2=√3m ，x 1x 2=3m 2−3， y 1y 2=(−√36x 1+m)(−√36x 2+m)=112x 1x 2−√36m(x 1+x 2)+m 2 所以OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=154m 2−134∈(−134,74)．【考点】椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 椭圆的标准方程 【解析】（1）由题可得{2a =41a2+34b2=1 ，求出a ，b ，即可得到椭圆C 的方程． （2）（方法一）易知直线l 斜率存在且不等于0，所以y 1+y 2≠0设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)得{x 124+y 12=1x 224+y 22=1，通过平方差法求出直线的斜率，设直线AB 的方程为y =−√36x +m(m ≠0)，联立方程{x 2+4y 2=4y =−√36x +m，通过韦达定理，结合斜率的数量积转化求解即可．（方法二）易知直线l 斜率存在且不等于0，故设直线AB 的方程为y ＝kx +m(m ≠0)，联立方程组{x 2+4y 2=4y =kx +m ，利用韦达定理，结合线段AB 的中点在直线OM 上，求得k =−√36，然后解法与方法一相同．【解答】由题可得{2a =41a 2+34b 2=1 ，解得{a =2b =1 ，所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1． （方法一）易知直线l 斜率存在且不等于0，所以y 1+y 2≠0，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)得{x 124+y 12=1x 224+y 22=1两式相减得y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x24(y 1+y 2)=−√36，即k AB =−√36， 设直线AB 的方程为y =−√36x+m(m ≠0)，联立方程{x 2+4y 2=4y =−√36x +m， 化简得x 2−√3mx +3m 2−3=0，因为直线l 交椭圆于A ，B 两点，故△＝−9m 2+12>0，解得0<m 2<43， 又x 1+x 2=√3m ，x 1x 2=3m 2−3，y 1y 2=(−√36x 1+m)(−√36x 2+m)=112x 1x 2−√36m(x 1+x 2)+m 2 所以OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=154m 2−134∈(−134,74)．（方法二）易知直线l 斜率存在且不等于0，故设直线AB 的方程为y ＝kx +m(m ≠0)，联立方程组{x 2+4y 2=4y =kx +m ，化简得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−4＝0x 1+x 2=−8km 1+4k 2，x 1x 2=4m 2−41+4k 2，y 1+y 2=2m1+4k 2，因为线段AB 的中点在直线OM 上，所以y 1+y 2x 1+x 2=−14k =√32，求得k =−√36， 设直线AB 的方程为y =−√36x+m(m ≠0)，联立方程{x 2+4y 2=4y =−√36x +m， 化简得x 2−√3mx +3m 2−3=0，因为直线l 交椭圆于A ，B 两点，故△＝−9m 2+12>0，解得0<m 2<43， 又x 1+x 2=√3m ，x 1x 2=3m 2−3， y 1y 2=(−√36x 1+m)(−√36x 2+m)=112x 1x 2−√36m(x 1+x 2)+m 2 所以OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=154m 2−134∈(−134,74)．【答案】f ′(x)＝2ae 2x +(1−2a)e x −1＝(e x −1)(2ae x +1)， 因为a <0，由f ′(x)＝0得，x ＝0或x =ln (−12a )，i)ln (−12a )<0即a <−12时，f(x)在(−∞,ln (−12a ))单调递减，在(ln (−12a ),0)单调递增，在(0, +∞)单调递减； ii)ln (−12a )=0即a =−12时，f(x)在(−∞, +∞)单调递减；iii)ln (−12a )>0即−12<a <0时，f(x)在(−∞, 0)单调递减，在(0,ln (−12a ))单调递增，在(ln (−12a ),+∞)单调递减；由（1）知，a <−12时，f(x)的极小值为f(ln (−12a ))=1−14a −ln (−12a )>1>0； −12<a <0时，f(x)的极小值为f(0)＝1−a >1>0；a =−12时，f(x)在(−∞, +∞)单调递减，故a <0时，f(x)至多有一个零点，当a ≥0时，由f ′(x)＝2ae 2x +(1−2a)e x −1＝(e x −1)(2ae x +1)，f(x)在(−∞, 0)单调递减，在(0, +∞)单调递增．要使f(x)有两个零点，则f(0)<0，得a +1−2a <0，即a >1， 令F(x)＝f(x)−f(−x)，(x >0)，则F ′(x)＝f ′(x)+f ′(−x)＝[2ae 2x +(1−2a)e x −1]+[2ae −2x +(1−2a)e −x −1]＝2a(e x +e −x +1)(e x +e −x −2)+(e x +e −x )−2≥0，所以F(x)在x >0时单调递增，F(x)>F(0)＝0，f(x)>f(−x)，不妨设x 1<x 2，则x 1<0，x ₂>0，−x 2<0，f(x 1)＝f(x 2)>f(−x 2)， 由f(x)在(−∞, 0)单调递减，得x 1<−x 2，即x 1+x 2<0， 故a >1且x 1+x 2<0，原命题得证． 【考点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性【解析】（1）对f(x)求导，根据a 对函数的单调性进行讨论；（2）根据（1）的f(x)在a <0的单调性，根据题意得a ≥0，令F(x)＝f(x)−f(−x)，(x >0)，利用极值点偏移的方法证明即可． 【解答】f ′(x)＝2ae 2x +(1−2a)e x −1＝(e x −1)(2ae x +1)， 因为a <0，由f ′(x)＝0得，x ＝0或x =ln (−12a )， i)ln (−12a)<0即a <−12时，f(x)在(−∞,ln (−12a))单调递减，在(ln (−12a),0)单调递增，在(0, +∞)单调递减；ii)ln (−12a)=0即a =−12时，f(x)在(−∞, +∞)单调递减；iii)ln (−12a)>0即−12<a <0时，f(x)在(−∞, 0)单调递减，在(0,ln (−12a))单调递增，在(ln (−12a),+∞)单调递减；由（1）知，a <−12时，f(x)的极小值为f(ln (−12a ))=1−14a −ln (−12a )>1>0； −12<a <0时，f(x)的极小值为f(0)＝1−a >1>0；a =−12时，f(x)在(−∞, +∞)单调递减，故a <0时，f(x)至多有一个零点，当a ≥0时，由f ′(x)＝2ae 2x +(1−2a)e x −1＝(e x −1)(2ae x +1)，f(x)在(−∞, 0)单调递减，在(0, +∞)单调递增．要使f(x)有两个零点，则f(0)<0，得a +1−2a <0，即a >1， 令F(x)＝f(x)−f(−x)，(x >0)，则F ′(x)＝f ′(x)+f ′(−x)＝[2ae 2x +(1−2a)e x −1]+[2ae −2x +(1−2a)e −x −1]＝2a(e x +e −x +1)(e x +e −x −2)+(e x +e −x )−2≥0，所以F(x)在x >0时单调递增，F(x)>F(0)＝0，f(x)>f(−x)，不妨设x 1<x 2，则x 1<0，x ₂>0，−x 2<0，f(x 1)＝f(x 2)>f(−x 2)， 由f(x)在(−∞, 0)单调递减，得x 1<−x 2，即x 1+x 2<0， 故a >1且x 1+x 2<0，原命题得证．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】曲线C 的普通方程为(x −√3)2+(y −1)2=4， 点P 的极坐标为(4,π3)，直角坐标为(2,2√3)．（方法一）圆心C(√3,1)，OC:y =√33x ⇒x −√3y =0，点P 到OC 的距离d =|2−√3⋅2√3|2=2，且|OC|＝2，所以 S △OCP =12|OC|⋅d =2．（方法二）圆心C(√3,1)，其极坐标为(2,π6)，而P(4,π3)，结合图象利用极坐标的几何含义，可得∠COP =π3−π6=π6，|OC|＝2，|OP|＝4，所以S △OCP =12|OC|⋅|OP|sin ∠COP =12⋅2⋅4⋅sin π6=2． 【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换． （2）利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果． 【解答】曲线C 的普通方程为(x −√3)2+(y −1)2=4， 点P 的极坐标为(4,π3)，直角坐标为(2,2√3)． （方法一）圆心C(√3,1)，OC:y =√33x ⇒x −√3y =0，点P 到OC 的距离d =|2−√3⋅2√3|2=2，且|OC|＝2，所以 S △OCP =12|OC|⋅d =2．（方法二）圆心C(√3,1)，其极坐标为(2,π6)，而P(4,π3)，结合图象利用极坐标的几何含义，可得∠COP =π3−π6=π6，|OC|＝2，|OP|＝4，所以S △OCP =12|OC|⋅|OP|sin ∠COP =12⋅2⋅4⋅sin π6=2． [选修4-5：不等式选讲]【答案】依题意可知二次方程x 2+4x +|a −3|+|a −1|＝0有解，∴ △＝16−4(|a −3|+|a −1|)≥0，即|a −3|+|a −1|≤4． ①当a <1时，3−a +1−a ≤4，解得a ≥0，∴ a ∈[0, 1)；②当1≤a <3时，3−a +a −1≤4，解得2≤4恒成立，∴ a ∈[1, 3)； ③当a ≥3时，2a −4≤4，解得a ≤4，∴ a ∈[3, 4]． 综上所述，可得a ∈[0, 4]； 由（1）知p +q ＝4， 方法一：利用基本不等式∵(p+q)2＝p2+q2+2pq≤(p2+q2)+(p2+q2)＝2(p2+q2)，∴p2+q2≥8，∴p2+q2的最小值为8，当且仅当p＝q＝2时取等号；方法二：利用二次函数求最值∵p+q＝4，∴q＝4−p，∴p2+q2＝p2+(4−p)2＝2p2−8p+16＝2(p−2)2+8≥8，∴p2+q2的最小值为8，当且仅当p＝q＝2时取等号；方法三：利用柯西不等式∵(p2+q2)⋅(12+12)≥(p×1+q×1)2＝(p+q)2＝16，∴p2+q2≥8，∴p2+q2的最小值为8，当且仅当p＝q＝2时取等号．【考点】函数的最值及其几何意义【解析】（1）利用根的判别式，讨论a的取值即可；（2）利用基本不等式进行放缩即可【解答】依题意可知二次方程x2+4x+|a−3|+|a−1|＝0有解，∴△＝16−4(|a−3|+|a−1|)≥0，即|a−3|+|a−1|≤4．①当a<1时，3−a+1−a≤4，解得a≥0，∴a∈[0, 1)；②当1≤a<3时，3−a+a−1≤4，解得2≤4恒成立，∴a∈[1, 3)；③当a≥3时，2a−4≤4，解得a≤4，∴a∈[3, 4]．综上所述，可得a∈[0, 4]；由（1）知p+q＝4，方法一：利用基本不等式∵(p+q)2＝p2+q2+2pq≤(p2+q2)+(p2+q2)＝2(p2+q2)，∴p2+q2≥8，∴p2+q2的最小值为8，当且仅当p＝q＝2时取等号；方法二：利用二次函数求最值∵p+q＝4，∴q＝4−p，∴p2+q2＝p2+(4−p)2＝2p2−8p+16＝2(p−2)2+8≥8，∴p2+q2的最小值为8，当且仅当p＝q＝2时取等号；方法三：利用柯西不等式∵(p2+q2)⋅(12+12)≥(p×1+q×1)2＝(p+q)2＝16，∴p2+q2≥8，∴p2+q2的最小值为8，当且仅当p＝q＝2时取等号．第21页共22页◎第22页共22页。

安徽省马鞍山市高考数学一模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）设集合，则满足条件的集合P的个数是（）A . 1B . 3C . 4D . 82. （2分）如果复数z满足|z+1﹣i|=2，那么|z﹣2+i|的最大值是（）A . 5B . 2+C . ﹣2D . +43. （2分）在空间中，下列命题正确的是（）A . 平行于同一平面的两条直线平行B . 垂直于同一平面的两条直线平行C . 平行于同一直线的两个平面平行D . 垂直于同一平面的两个平面平行4. （2分）(2017·上饶模拟) 下列说法正确的是（）A . ∀x，y∈R，若x+y≠0，则x≠1且y≠﹣1B . a∈R，“ ”是“a＞1”的必要不充分条件C . 命题“∃x∈R，使得x2+2x+3＜0”的否定是“∀x∈R，都有x2+2x+3＞0”D . 设随机变量X～N（1，52），若P（X＜0）=P（X＞a﹣2），则实数a的值为25. （2分） (2017高二下·穆棱期末) 已知，则（）A .B .C .D .6. （2分）(2018·郑州模拟) 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分）设变量满足约束条件，则的最小值为（）A . -2B . 4C . -6D . -88. （2分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x﹣2），当x∈（1，3）时，f（x）=1+（x﹣2）2 ，则（）A . f（sin ）＞f（sin ）B . f（sin ）＜f（cos ）C . f（cos ）＞f（cos ）D . f（tan ）＜f（tan ）9. （2分）定义行列式运算=a1a4﹣a2a3 ．将函数f(x)=的图象向左平移个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是（）A . （， 0）B . （， 0）C . （， 0）D . （， 0）10. （2分）(2017·湖北模拟) 已知双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，若双曲线C的一条渐近线与直线 x﹣y﹣1=0平行，则双曲线C的离心率为（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高二下·濉溪月考) 在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高二下·淄川开学考) 以下四个命题中，其中正确的个数为（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2=0”；②“ ”是“cos2α=0”的充分不必要条件；③若命题，则¬p：∀x∈R，x2+x+1=0；④若p∧q为假，p∨q为真，则p，q有且仅有一个是真命题．A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2020·江苏模拟) 如图,在梯形中，∥ ，分别是的中点，若，则的值为________.14. （1分） (2019高二下·厦门期末) 展开式中的常数项是________(用数字作答)15. （1分） (2016高二上·高青期中) △ABC中，AB=3，AC=4，BC= ，则△ABC的面积是________．16. （1分） (2020高三上·浙江期末) 已知椭圆的内接的顶点为短轴的一个端点，右焦点，线段中点为，且，则椭圆离心率的取值范围是________.三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分）(2019·山西模拟) 已知数列的前项和，数列为等比数列，且（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，求的前项和 .18. （5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面BCC1B1⊥底面ABC，BB1⊥AC，底面ABC是边长为2的等边三角形，AA1=3，E、F分别在棱AA1 ， CC1上，且AE=C1F=2．（Ⅰ）求证：BB1⊥底面ABC；（Ⅱ）求棱锥A1﹣BEF的体积．19. （15分） (2019高三上·吉安月考) 某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天，这五家“农家乐的收费标准互不相同得到的统计数据如下表，x为收费标准(单位:元/日)，t为入住天数(单位:天)，以频率作为各自的“入住率”，收费标准x与“入住率”y的散点图如图x100150200300450t9065453020（1）若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深人调查，记为“入住率超过0.6的农家乐的个数，求的概率分布列（2） z＝lnx，由散点图判断与哪个更合适于此模型(给出判断即可不必说明理由)?并根据你的判断结果求回归方程(a，的结果精确到0.1)（3）根据第(2)问所求的回归方程，试估计收费标准为多少时，100天销售额L最大?(100天销售额L＝100×入住率×收费标准x)参考数据，，20. （10分） (2018高二上·南京月考) 过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，当点的纵坐标为1时， .（1）求抛物线的方程；（2）若直线的斜率为2，问抛物线上是否存在一点，使得，并说明理由.21. （15分）(2014·江苏理) 已知函数f（x）=ex+e﹣x ，其中e是自然对数的底数．（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论．22. （5分）(2017·襄阳模拟) 在直角坐标系xOy中，点P（0，），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．直线l的参数方程为为参数）．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点分别为A，B，求 + 的值．23. （10分）(2018·银川模拟) 已知函数，集合 .（1）求；（2）若，求证： .参考答案一、选择题： (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共70分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、答案：19-3、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：。

2020 年马鞍山市高中毕业班第一次教课质量检测理科数学试题( 答案在后边)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第 1 至第2 页，第Ⅱ卷第 3 至第4 页．全卷满分150 分，考试时间120 分钟．考生注意事项：1 ．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并仔细查对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与自己姓名、座位号能否一致．务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号（四位数字）．2 ．答第Ⅰ卷时，每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号．3 ．答第Ⅱ卷时，一定使用0．5 毫米的黑色墨水署名笔在答题．卡．上．．书写，要求字体工整、字迹清楚．作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的地点绘出，确认后再用0．5 毫米的黑色墨水署名笔描清楚．一定在题号所指示的答题地区作答，超．出．答．题．区．域．书．写．的．答．案．无．效．，在．试．题．卷．、草．稿．纸．上．答．题．无．效．．4 ．考试结束，务势必试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷（选择题，共50 分）一、选择题：本大题共10 个小题，每题 5 分，共50 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的，请在答题卡相应地点将正确结论的代号用2B 铅笔涂黑．1．设a, b 为实数，若复数1+2i 1 ia bi（此中i 为虚数单位）, 则( ▲)A． a 3,b 1 B．3 1a ,b C．2 21 3a ,b D ． a 1,b 32 22．已知12S x| y log (8 2x x ) ,T x | 02x 3，则S I T = ( ▲)A．x | x 2 B．x | x 3C．x | 3 x 4 D．x |-2 x 33．设a,b 是两条直线，, 是两个平面，则 a b 的一个充足条件是( ▲) A． a ,b / / , B． a ,b , / /C． a ,b , / / D． a ,b/ / ,34．某几何体的三视图及部分数据如下图，3则此几何体的体积是( ▲)3A．B 3．2C．2 D ．3 1正（主）视图俯视图侧（左）视图第4 题图5．若曲线 f (x) x sin x 1在x处的切线与直线ax＋2y＋1＝0 相互垂2直，则实数 a 等于( ▲)A．－2 B ．－1C．1 D ．26．已知 a 0,b 0 ，且知足 2 a 2b 4 ．那么 2 2a b 的取值范围是( ▲)A．(4,16)5 5 B．(4 ,16)5C．(1,16) D ． 16 ( ,4) 57．公比不为 1 的等比数列{a } 的前n 项和为S n ，且3a1, a2 , a3 成等差数列．若a1 1，则nS =( ▲)4A．20 B ．0C．7 D ．408．已知F1 (c,0) ，F2 (c,0) 分别是双曲线 C ：12 2x y2 2 1a b(a 0,b 0) 的两个焦点，双曲线C 和1圆C：22 2 2x y c 的一个交点为P ，且2PF F PF F ，那么双曲线C1 的离心率为1 2 2 1( ▲)A． 52B ． 3C． 2 D ． 3 1u u u r u u u ru u u r9．如图，AB 是圆O 的直径，点C、D 在圆O 上，CBA 60o ，ABD 45o ，CD xOA yBC，D则x y 的值为( ▲)A． 33 B ．13A BOC．23 D ． 3C第9 题图10．用数字0，1，2，3 构成数字能够重复的四位数，此中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为( ▲)A．54 B ．72C．90 D ．108第Ⅱ卷（非选择题，共100 分）二、填空题：本大题共 5 个小题，每题 5 分，共25 分．请在答题卡上答题．11．抛物线y2 12 x 上到焦点的距离等于9 的点的横坐标是▲．12．将函数sin(2 )y x 的图象先向左平移3 6个单位，而后将所得图象上全部点的横坐标变成本来的 2 倍（纵坐标不变），则所获得的图象对应的函数分析式为▲．13．某程序框图如下图，则程序运转后输出的S值为▲．14．设10 2 11( x 2)(2 x 3) a a ( x 2) a (x 2) L a ( x 2) ，0 1 2 11则a1 +a3 +a5 +a7 +a9 +a11 = ▲．开始15．已知函数 f ( x) 是定义在R上的奇函数，i＝1，S＝ 0x当x 0 时，( ) ( 1)f x e x ，给出以下命题：i＝i＋1x①当x 0 时，( ) (1 )f x e x ；2S＝S＋ i2S＝S－ i否是②函数 f (x) 有2 个零点；i是奇数?③ f (x) 0 的解集为( 1,0) U (1, ) ；i<5?是否④x1 , x2 R，都有|f (x ) f ( x ) | 2 ．1 2 输出S此中全部正确的命题序号是▲．第13 题图结束三、解答题：本大题共 6 个小题，满分75 分．解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤．16．( 此题满分12 分)已知函数 f ( x) 2 3 sin x cos x 3sin 2 x cos2 x 2．（Ⅰ）求 f (x)的最大值；（Ⅱ）若ABC 的内角A, B,C 的对边分别为a,b, c ，且知足 b 3a ，sin(2 A C)sin A2 2cos( A C) ，求 f (B) 的值．17．（本小题满分12 分）已知甲盒内有大小同样的 1 个红球和 3 个黑球，乙盒内有大小同样的 2 个红球和 4 个黑球。

2020年安徽省马鞍山二中高考数学模拟试卷（一）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，则集合M∩N中子集的个数是（）A. 4B. 8C. 16D. 322.已知i为虚数单位，m∈R，若复数（2-i）（m+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则复数的虚部为（）A. 1B. iC. -1D. -i3.折扇由扇骨和扇面组成，初名腰扇，滥觞于汉末，曾是王公大人的宠物．到了明清时期，在折扇面上题诗赋词作画，则成为当时的一种时尚，并一直流行至今．现有一位折扇爱好者准备在下图的扇面上作画，由于突然停电，不慎将一滴墨汁落入折扇所在区域，则墨汁恰好落入扇面的概率约为( )A. B. C. D.4.已知双曲线C：的左焦点为F，直线x=c（c为半焦距长）与C的渐近线的交点为A、B，若△FAB为等腰直角三角形，则C的离心率为（）A. 2B.C.D.5.CPI是居民消费价格指数（consumerpriceindex）的简称．居民消费价格指数是一个反映居民家庭一般所购买的消费品价格水平变动情况的宏观经济指标．如图是根据国家统计局发布的2017年6月---2018年6月我国CPI涨跌幅数据绘制的折线图（注：2018年6月与2017年6月相比较，叫同比；2018年6月与2018年5月相比较，叫环比），根据该折线图，则下列结论正确的是（）A. 2018年1月至6月各月与去年同期比较，CPI有涨有跌B. 2018年2月至6月CPI只跌不涨C. 2018年3月以来，CPI在缓慢增长D. 2018年8月与同年12月相比较，8月环比更大6.设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是（）A. m∥α，n⊥β，m⊥nB. m∥α，n⊥β，m∥nC. m∥α，n∥β，m∥nD. m⊥α，n⊥β，m∥n7.已知函数，若，则a、b、c之间的大小关系是（）A. a＜b＜cB. b＜c＜aC. c＜a＜bD. b＜a＜c8.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠BAD＝60°，点E在CD上，且点E是三等分点，靠近点D，BE与AC的交点为F，则A. B. C. －4 D. 49.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某组合体的三视图，则该几何体的表面积为（）A.B.C.D.10.已知函数的部分图象如图所示，其，把函f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移2个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为（）A. B.C. D.11.已知中心在原点的椭圆C的左焦点恰好为圆F：x2+y2+2x-3=0的圆心，有两顶点恰好是圆F与y轴的交点．若椭圆C上恰好存在两点关于直线y=x+t对称，则实数t 的取值范围为（）A. B. C. D.12.对于函数y=f（x），y=g（x），若存在x0，使f（x0）=g（-x0），则称M（x0，f（x0）），N（-x0，g（-x0））是函数f（x）与g（x）图象的一对“雷点”，已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，恒有f（x+1）=f（x），且0≤x＜1时，f（x）=x，若g（x）=（x+1）2-a（-2＜x＜0），函数f（x）与g（x）的图象怡好存在一对“雷点”，则实数a的取值范围为（）A. （0，1）B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在曲线的所有切线中，斜率最小的切线方程为___________．14.已知，则tanα=______．15.已知x、y满足约束条件，若的最大值为，则a=______．16.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若-c cos B是与的等差中项，则sin2A•tan2C的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知正项数列{a n}的前n项和为．（1）求证：数列{a n}为等差数列；（2）记，求数列{b n}的前n项和R n；（3）记，求数列{c n}的前2n项和T2n．18.如图，点C在以AB为直径的上运动，PA⊥平面ABC，且PA=AC，点D、E分别是PC、PB的中点．（1）求证：PC⊥AE；（2）若AB=2BC=2，求点D到平面PAB的距离．19.某大学就业部从该大学2018年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行了问卷调查，其中有一项是他们的月薪情况，经调查统计发现，他们的月薪收入在3000元到10000元之间，根据统计数据得到如下的频率分布直方图：若月薪落在区间的左侧，则认为该大学本科生属“就业不理想”的学生，学校将联系本人，咨询月薪过低的原因，从而为本科毕业生就业提供更好的指导意见．其中分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s≈1500元元（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．（1）现该校2018届大学本科毕业生张茗的月薪为3600元，试判断张茗是否属于“就业不理想”的字生？（2）为感谢同学们对这项调查工作的支持，该校利用分层抽样的方法从样本的前3组中抽出6人，各赠送一份礼品，并从这6人中再抽取2人，各赠送某款智能手机1部，求获赠智能手机的2人中恰有1人月薪不超过5000元的概率；（3）位于某省的一高校2018届某专业本科毕业生共200人，现他们决定于2019年元旦期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用．假定这200人与所抽取样本中的100人月薪分布情况相同，并用样本频率进行估计，现有两种收费方案：方案一：按每人一个月薪水的10%收取；方案二：月薪高于样本平均数的毎人收取800元，月薪不低于4000元但低于样本平均数的每人收取400元，月薪低于4000元的不收取任何用．问：哪一种收费方案最终总费用更少？20.在平面直角坐标系xOy中，不过原点的动直线l：y=x+m交抛物线C：x2=2py（p＞0）于A、B两点，且．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线y=x与C的异于原点的交点为P，直线与C在点P处的切线的交点为D，设，问：t是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．21.已铁函数f（x）=ln x-mx（m∈R）．（1）讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性与最值；（2）证明：当x＞0时，e x-2+e x-1＞ln（x2+x）．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）设曲线C与直线l的交点为A、B，求弦AB的中点P的直角坐标；（2）动点Q在曲线C上，在（1）的条件下，试求△OPQ面积的最大值．23.已知函数f（x）=|x-1|-|x-2|．（1）解不等式f（x）≤x2-3x+1．（2）记函数y=2f（x）的值域为M，若[a，2a-1]⊆M，试求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：根据题意，M={x∈N|-2≤x＜4}={0，1，2，3}，N={x|≥0}={x|-1≤x＜3}，则M∩N={0，1，2}，则集合M∩N中子集的个数是23=8；故选：B．根据题意，求出集合M与N，进而可得由交集的定义可得M∩N，结合集合的元素数目与集合的子集数目分析可得答案．本题考查集合的交集计算，关键是求出集合M、N，属于基础题．2.答案：A解析：解：（2-i）（m+i）=2m+1+（2-m）i，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则2-m=0得m=2，复数====-1+i，即复数的虚部是1，故选：A．根据复数的运算以及复数的几何意义，求出m的值结合复数虚部的定义进行求解即可．本题主要考查复数的计算，结合复数的几何意义是解决本题的关键．3.答案：D解析：解：由几何概型的特点，扇面面积为S1=××182-×=96π，扇形面积为S2=××182=108π，则墨汁恰好落入扇面的概率P==．故选：D．由题意知概率为面积之比．本题考查了几何概型属于简单题．4.答案：C解析：解：双曲线C：的左焦点为F（-c，0），双曲线的渐近线方程：ax±by=0，x=c，可得A（c，），B（c，-）；△FAB为等腰直角三角形，可得2c=，可得a=2b，所以双曲线的离心率为：e===．故选：C．利用已知条件求出A、B、F的坐标，利用△FAB为等腰直角三角形，求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．5.答案：A解析：解：A选项，因为同比图象有增有减，故描述正确．B选项，2018年2月至4月跌，5月至6月涨，故B选项错误．C选项，本图表的调查数据为比较数据，即为与去年同期比较，或者与上月比较的增长或减少的情况，而非CPI的真实数据，故C错．D选项，图中没有2018年8月与同年12月的数据，故无法判断．综上，A正确，故选：A．根据同比，环比的意义，结合所给调查数据逐项分析，排除错误选项．C选项易错，应注意对题目所给信息的理解和应用．本题属于基础题．6.答案：D解析：解：对于A，B，若n⊂α，则α⊥β，故A，B错误；对于C，若α∩β=l，m∥n∥l，m，n为α，β外的直线，显然有m∥α，n∥β，故C错误；对于D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又n⊥β，故α∥β，故D正确．故选：D．举反例说明即可．本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题．7.答案：A解析：解：根据题意，函数，其定义域为R，则f（-x）=|ln（+x）|=|ln|=|-ln（-x）|=|ln（+x）|=f（x），即函数f（x）为偶函数，设g（x）=ln（-x）=ln，有g（0）=ln1=0，设t=，则y=ln t，当x≥0时，t=为减函数且t＞0，而y=ln t在（0，+∞）为增函数，则g（x）=ln（-x）=ln在[0，+∞）上为减函数，又由g（0）=0，则在区间[0，+∞）上，g（x）≤0，又由f（x）=|g（x）|，则f（x）在区间[0，+∞）上为增函数，又由log32＜ln2＜1＜0.7-0.2，则有a＜b＜c，故选：A．根据题意，求出函数f（x）的定义域，结合函数的解析式可得f（x）=f（-x），即函数f（x）为偶函数，设g（x）=ln（-x），利用复合函数单调性的判断方法分析可得g（x）在[0，+∞）上为减函数，又由g（0）的值，可得在区间[0，+∞）上，g（x）≤0，由此可得f（x）在区间[0，+∞）上为增函数，据此分析可得答案．本题考查复合函数的单调性的判定，涉及分段函数的性质以及应用，属于基础题．8.答案：C解析：解：建立如图所求的坐标系：则A（0，0），B（4，0），D（1，），E（，），C（5，），所以AC的方程：y=，BE的方程为：y=（x-4），联立直线方程可得F（3，），=（-1，），=（4，0），所以=-4．故选：C．建立坐标系，求出相关的坐标，推出所求向量的坐标．然后求解向量的数量积即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的坐标运算，考查转化思想以及计算能力．9.答案：A解析：解：由三视图可知几何体为半圆柱与三棱柱的组合体，其中半圆柱的底面半径为1，高为2，三棱柱的底面为直角三角形，直角边为1和2，高为2，∴几何体的表面积为π×1×2++×2+1×2+×2=3π+4+2．故选：A．几何体为半圆柱和直三棱柱的组合体，作出直观图计算面积即可．本题考查了常见几何体的结构特征，表面积的计算，属于中档题．10.答案：A解析：解：∵f（0）=2sinφ=1，即sinφ=，∴φ=，则f（x）=2sin（ωx+），∵，∴（）2+22=（）2，即+4=13，则=9，则=3，即T=12=，得ω=，即f（x）=2sin（x+），把函f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y=2sin（x+），再把所得曲线向左平移2个单位长度，得到函数g（x）的图象，即g（x）=到y=2sin[（x+2）+]=2sin（x+π）=-2sin x，故选：A．根据条件先求出φ和ω，结合函数图象变换关系进行求解即可．本题主要考查三角函数图象的应用，根据条件求出ω 和φ的值以及利用三角函数图象平移变换关系是解决本题的关键．11.答案：B解析：解：x2+y2+2x-3=0的圆心为（-1，0），可得椭圆的c=1，圆F与y轴的交点为（0，±），可得椭圆的b=，可得a==2，即有椭圆方程为+=1，设椭圆上关于直线y=x+t对称的两点连线AB的方程为y=-x+p，设两点的坐标为A（x1，y1），B（x2，y2）由，得7x2-8px+4p2-12=0，∵△=64p2-28（4p2-12）＞0，∴-＜p＜，∵x1+x2=，设A．B的中点（x0，y0），则x0=，y0=p，中点在y=x+t上，∴p=7t，即-＜7t＜，得-＜t＜．故选：B．求得圆F的圆心，可得椭圆的c，求得圆F与y轴的交点，可得b，进而得到a，可得椭圆方程，设出椭圆上关于直线y=x+t对称的两点连线AB的方程为y=-x+p，设两点的坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），联立椭圆方程，运用判别式大于0，以及韦达定理和中点坐标公式，可得中点坐标代入已知直线，可得p，t的关系，进而得到所求范围．本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12.答案：C解析：解：函数f（x）与g（x）的图象怡好存在一对“雷点”，即函数y=f（x）的图象与函数y=h（x）=（x-1）2-a在（0，2）恰有一个交点，函数y=h（x）=（x-1）2-a的图象是将函数y=h（x）=（x-1）2-a的图象向上或向下平移|-a|个单位，当曲线y=h（x）=（x-1）2-a的图象与直线y=x-1相切时，求得a=-，由图可知：-1＜-a＜0或＜-a＜1，即实数a的取值范围为：-1，故选：C．由即时定义的理解得：函数f（x）与g（x）的图象怡好存在一对“雷点”，即函数y=f （x）的图象与函数y=h（x）=（x-1）2-a在（0，2）恰有一个交点，作出函数图象根据函数图象的平移得：函数y=h（x）=（x-1）2-a的图象是将函数y=h （x）=（x-1）2-a的图象向上或向下平移|-a|个单位，当曲线y=h（x）=（x-1）2-a的图象与直线y=x-1向切时，求得a=-，由图可知：-1＜-a＜0或＜-a＜1，即实数a的取值范围为：-1，得解本题考查了对即时定义的理解、函数图象的作法及函数图象的平移，属中档题13.答案：2x-y=0解析：【分析】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查二次函数的最值，考查运算求解能力，属于基础题．根据导数的几何意义可知在某点处的导数为切线的斜率，先求出导函数f'（x），利用配方法求出导函数的最小值即为切线最小斜率，再用点斜式写出化简．【解答】解：∵曲线，∴y′=x2-2x+3，∴x=1时，切线最小斜率为2，此时，y=×13-12+3×1-=2．∴切线方程为y-2=2（x-1），即2x-y=0．故答案为2x-y=0．14.答案：-2解析：解：∵，∴=，即=，即=，即-=，则-1-sinα=2cosα-1，得sinα=-2co sα，则tanα=-2，故答案为：-2利用同角三角函数关系式进行化简即可．本题主要考查三角函数值的化简和求值，利用同角三角函数关系式进行化简是解决本题的关键．15.答案：2解析：解：x、y满足约束条件的可行域如图：的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率．由可行域可知A（，），B（1，1），所以∈[1，3]，=a-，a＞0，所以z是关于的增函数，函数的最大值为：，可得=3a-，解得a=2．故答案为：2．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，结合函数的单调性转化求解a即可．利用线性规划求最值的步骤：（1）在平面直角坐标系内作出可行域．（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax+by型）、斜率型（型）和距离型（（x+a）2+（y+b）2型）．（3）确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．16.答案：3-2解析：【分析】本题考查了等差数列的性质、正弦定理、三角恒等变换、基本不等式等知识，多次使用换元思想，难度较大，属于难题．由-c cos B是与的等差中项，结合正弦定理，可以求出角B为，则A+C=，求sin2A•tan2C的最大值，将C用替换后，换元用基本不等式处理，可得．【解答】解：∵-c cos B是与的等差中项，∴-2c cos B=+，∴-2sin C cos B=（sin A cos B+cos A sin B）=sin（A+B）=，∴cos B=-，∵∠B为三角形内角，∴∠B=，∴∠A+∠C=，∴∠C=∠A，∴sin2A•tan2C=sin2A=sin2A=sin2A，令sin2A=x，∵0＜∠A＜，∴2A∈（0，），∴sin2A∈（0，1），即x∈（0，1）．sin2A•tan2C=，x∈（0，1）令x+1=t，则t∈（1，2），sin2A•tan2C==3-（t+）≤3-2,当且仅当t=时等号成立，故答案为3-2．17.答案：（1）证明：正项数列{a n}的前n项和为．∴，相减可得：a n+1=--a n，化为：（a n+1+a n）（a n+1-a n-1）=0，∵a n+1+a n＞0，∴a n+1-a n=1，n=2时，S2=-a1，∴1+a2=-1，a2＞0，解得a2=2，满足上式．即a n+1-a n=1，n∈N*．∴数列{a n}为等差数列，首项为1，公差为1．（2）解：由（1）可得：a n=1+n-1=n．=22n-1．∴数列{b n}的前n项和R n=2+23+……+22n-1==．（3）解：=（-1）n•n2．∴c2n-1+c2n=-（2n-1）2+（2n）2=4n-1．∴数列{c n}的前2n项和T2n==2n2+n．解析：（1）正项数列{a n}的前n项和为．，相减可得：（a n+1+a n）（a n+1-a n-1）=0，根据a n+1+a n＞0，可得a n+1-a n=1，验证n=1时是否成立，进而证明结论．（2）由（1）可得：a n=n．可得=22n-1．利用等比数列的求和公式即可得出．（3）=（-1）n•n2．可得c2n-1+c2n=-（2n-1）2+（2n）2=4n-1．利用求和公式即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：（1）证明：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，∵AB是圆的直径，∴BC⊥AC，又AC∩PA=A，∴BC⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC．∴BC⊥PC，∵DE是△PBC的中位线，∴DE∥BC，∴PC⊥DE，∵PA=AC，D是PC的中点，∴AD⊥PC，又AD∩DE=D，∴PC⊥平面ADE，又AE⊂平面ADE，∴PC⊥AE．（2）解：取AC中点F，过F作FM⊥AB于M，∵D，F分别是PC，AC的中点，∴DF∥PA，又DF⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴DF∥平面PAB，∴D到平面PAB的距离等于F到平面PAB的距离．∵PA⊥平面ABC，FM⊂平面ABC，∴FM⊥PA，又FM⊥AB，PA∩AB=A，∴FM⊥平面PAB，∴F到平面PAB的距离为线段FM的长．在Rt△ABC中，∵AB=2AC=2，∴AC=，∴C到AB的距离为=，又F为AC的中点，∴FM=．∴点D到平面PAB的距离为．解析：（1）证明DE⊥平面PBC可得PC⊥DE，再结合PC⊥AD即可得出PC⊥平面ADE，故而PC⊥AE；（2）取AC中点F，过F作FM⊥AB于M，则可证FM⊥平面PAB，从而FM即为所求．本题考查了线面垂直的判定与性质，点到直线的距离计算，属于中档题．19.答案：解：（1）=3500×1000×0.00005+4500×1000×0.00010+5500×1000×0.00015+6500×1000×0.00030+7 500×1000×0.00020+8500×1000×0.00015+9500×1000×0.00005=6650，-2s=6650-3000=3650＞3600，所以张茗不属于“就业不理想“的学生．（2）第一组有1000×0.00005×100=5人，第二组有1000×0.00010×100=10人，第三组有1000×0.00015×100=15人，所以按照分层抽样抽6人时，第一组抽1人，记为A，第二组抽2人，记为B，C，第三组抽3人，记为D，E，F，从这6人中抽2人共有15种：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）．其中恰有一人月薪不超过5000元的有9种：（A，D），（A，E），（A，F），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F）．根据古典概型概率公式可得P==．（3）方案一：月薪在3000-4000之间的收取1000×0.00005×200×3500×0.1=3500；月薪在4000-5000之间的收取1000×0.00010×200×4500×0.1=9000；月薪在5000-6000之间的收取1000×0.00015×200×5500×0.1=16500；月薪在6000-7000之间的收取1000×0.00030×200×6500×0.1=39000；月薪在7000-8000之间的收取1000×0.00020×200×7500×0.1=30000；月薪在8000-9000之间的收取1000×0.00015×200×8500×0.1=24500；月薪在9000-10000之间的收取1000×0.00005×200×9500×0.1=9500；共收取132000元．方案二：月薪高于6650的收取800×200×1000×（0.00020+0.00015+0.00005）=64000；月薪不低于4000但低于6650的收取400×200×1000×（0.00010+0.00015+0.00030）=44000；共收取108000．故方案二最终总费用更少．解析：（1）=6650，-2s=3650，经比较可知张茗不属于就业不理想的学生；（2）月薪不超过5000的有3人，超过5000的有3人，从6人中抽2人共有15种，其中符合恰有1人月薪不超过5000的有9种，由古典概型概率公式可得；（3）方案一收取132000元，方案二收取108000元，经比较可知方案二符合题意．本题考查了频率分布直方图，属中档题．20.答案：解：（1）联立消去y并整理得：x2-2px-2pm=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2p，x1x2=-2pm，∴y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2=-2pm+2pm+m2=m2，∴•=x1x2+y1y2=-2pm+m2=m2-2m，∴2pm=2m，又因为m≠0，∴p=1，抛物线C的方程为：x2=2y．（2）由可得P（2，2），由y=求导得y′=x，所以C在点P处的切线为：y-2=2（x-2），即2x-y-2=0，联立可得D（m+2，2m+2），∴|PD|2=（m+2-2）2+（2m+2-2）2=5m2，又直线l的参数方程为：（t为参数），将直线l的参数方程代入到x2=2y得t2+（2m+2）t+2m2=0，设A，B对应的参数为t1，t2，则|DA||DB|=|t1||t2|=|t1t2|=|2m2|=2m2，∴t===为定值．解析：（1）联立消去y并整理得：x2-2px-2pm=0，然后根据韦达定理以及向量数量积列式可得；（2））由可得P（2，2），由y=求导得y′=x，所以C在点P处的切线为：y-2=2（x-2），即2x-y-2=0，联立可得D（m+2，2m+2），∴|PD|2=（m+2-2）2+（2m+2-2）2=5m2，然后联立直线l的标准参数方程与C，利用参数的几何意义可得|DA||DB|=2m2，最后可得比值为定值．本题考查了直线与抛物线的综合，属难题．21.答案：解：（1）∵f（x）=ln x-mx，m∈R，∴x＞0，f′（x）=-m=，当m≤0时，f′（x）=＞0，函数f（x）在（0，+∞）上的单调递增，无最值；当m＞0时，令f′（x）=-m=＞0，得0＜x＜，∴f（x）在（0，）上单调递增；令f′（x）=＜0，得x＞，∴f（x）在（，+∞）上单调递减．最大值为f（）═-ln m-1，无最小值．∴当m≤0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞），无单调减区间，无最值；当m＞0时，f（x）的单调增区间是（0，），单调减区间是（，+∞）．最大值为f （）═-ln m-1，无最小值．证明：（2）∵ln x≤x-1，∴e x-1≥x，e x-2≥x-1，∴e x-2+e x-1≥2x-1，只要证2x-1＞ln（x2+x），即证e2x-1＞x2+x，由e x-1≥x，e x≥x+1相乘，得e2x-1≥x2+x．∴当x＞0时，e x-2+e x-1＞ln（x2+x）．解析：（1）f′（x）=-m=，由此利用导数性质能讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性与最值．（2）推导出ln x≤x-1，从而e x-1≥x，e x-2≥x-1，只要证2x-1＞ln（x2+x），即证e2x-1＞x2+x，由此能证明当x＞0时，e x-2+e x-1＞ln（x2+x）．本题考查函数的单调性、最值的求法，考查不等式的证明，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．22.答案：解：（1）由消去参数φ，得+y2=1，由cos（θ+）=1得ρcosθcos-ρsinθsin=1，得x-y-1=0，联立消去y并整理得5x2-8x=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，∴y1+y2=x1-1+x2-1=-2=-，∴P（，-）．（2）|OP|=，直线OP方程：x+4y=0,设Q（2cosα，sinα），则点Q到直线x+4y=0的距离d=,其中,∴S△OPQ=|OP|d≤××=．解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．（1）先把曲线C和直线l化成普通方程，再联立根据韦达定理和中点公式可得P的坐标；（2）根据曲线C的参数方程设出Q的坐标，求出Q到直线l的距离得最大值，再求出面积．23.答案：解：（1）函数f（x）=|x-1|-|x-2|=；x≤1时，不等式f（x）≤x2-3x+1化为-1≤x2-3x+1，解得x≤1或x≥2，取x≤1；1＜x＜2时，不等式f（x）≤x2-3x+1化为2x-3≤x2-3x+1，解得x≤1或x≥4，取x∈∅；x≥2时，不等式f（x）≤x2-3x+1化为1≤x2-3x+1，解得x≤0或x≥3，取x≥3；综上所述，不等式f（x）≤x2-3x+1的解集为{x|x≤1或x≥3}；（2）由（1）知，函数f（x）的值域为[-1，1]，则函数y=2f（x）的值域为M=[-2，2]，由[a，2a-1]⊆M，得，解得1≤a≤，所以实数a的取值范围是1≤a≤．解析：（1）利用分段函数表示f（x），利用分类讨论法求不等式f（x）≤x2-3x+1的解集；（2）由（1）知函数f（x）的值域，写出y=2f（x）的值域M，根据[a，2a-1]⊆M列不等式组求得实数a的取值范围．本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，也考查了集合的定义与应用问题，是中档题．。

数学试题一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知{|21}x A x =>，2{|20}B x x x =+-≤，则A B =U A ．{|2}x x >- B ．{|2}x x ≥- C ．{|01}x x <≤ D ．{|01}x x ≤≤ 2．已知复数132z =-，则复数2z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知函数()f x 与它的导函数()f x '的定义域均为R ，则下列命题中，正确的是 A ．若0x 是()f x 的极值点，则()00f x '= B ．若()f x 是偶函数，则()f x '一定是偶函数C ．若()22log f x x =，则()14f '=D ．若()f x 的图象在区间(),a b 连续不断，则()f x 在(),a b 上一定有最大值4．为抗战新冠病毒，社会各界积极捐赠医疗物资．爱心人士向某市捐赠了6箱相同规格的医用外科口罩，现需将这6箱口罩分配给4家医院，每家医院至少1箱，则不同的分法共有 A ．10种 B ．40种 C ．80种 D ．240种 5．已知非零向量a r ，b r 满足||3|3|a b a b a -+=r r r r r ，则a r 与b r 的夹角为A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为 A ．4 B ．5 C ．6 D ．77．关于函数21()cos 3cos 2f x x x x =-有下述四个结论： ①()f x 在区间[,]42ππ上是减函数；②()f x 的图象关于直线3x π=-对称；③()f x 的图象关于点()3,0π对称；④ ()f x 在区间[,]4ππ上的值域为3[-．其中所有正确结论的个数是 A ．1 B ．2C ．3D ．48．已知ABC △外接圆面积为π，1cos 2A =-，则ABC △周长的最大值为A ．23B ．123+C ．3D ．339．已知F 为椭圆22:12516x y C +=的左焦点，O 为坐标原点，点P 在椭圆C 上且位于x 轴上方，点(3,4)A -，若直线OA 平分线段PF ，则PAF ∠的大小为 A ．60︒ B ．90︒ C ．120︒ D ．无法确定 10．如图是某三棱柱的正视图，其上下底面为正三角形，则下列结论成立的是开始结束0,0,1S T i ===S S i =+1T T S=+1i i =+i输出 是否53T ≤？第6题图A ．该三棱柱的侧视图一定为矩形B ．该三棱柱的侧视图可能为菱形C ．该三棱柱的表面积一定为1223+D ．该三棱柱的体积一定为2311．设,,,0a b m m ∈>Z ，若a 和b 被除得的余数相同，则称a 和b 模m 同余，记为(mod )a b m ≡，已知1223320202020202012222,(mod10)a C C C C b a =+⨯+⨯+⨯++⨯≡L ， 则b 的值可能是 A ．2018 B ．2019 C ．2020 D ．202112．梯形ABCD 中，AD BC ∥，120DAB ∠=︒，AC BC ⊥，22BC AD ==，现将ABC △沿AC 折起，使得二面角B AC D --的大小为120︒，若,,,A B C D 四点在同一个球面上，则该球的表面积为A ．316πB ．340πC ．364πD ．376π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年安徽省马鞍山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U ＝{x ∈N|x ≤5}，A ＝{x ∈N|log 2x <2}，则∁U A ＝（ ） A.{0, 4, 5}B.{4, 5}C.{5}D.{x|4≤x ≤5}2.复数z =ii−1的虚部为（ ） A.12B.−12C.12iD.−12i3.如图是国家统计局给出的2014年至2018年我国城乡就业人员数量的统计图表，结合这张图表，以下说法错误的是（ ）A.2017年就业人员数量是最多的B.2017年至2018年就业人员数量呈递减状态C.2016年至2017年就业人员数量与前两年比较，增加速度减缓D.2018年就业人员数量比2014年就业人员数量增长超过400万人4.数列{a n }为等差数列，且a 2+a 7+a 12＝6，则{a n }的前13项的和为（ ） A.52B.1043C.26D.5235.已知向量a →=(1, −2)，b →=(4, m)，且a →⊥b →，则|a →−b →|=() A.5B.√5C.7D.256.已知奇函数f(x)={3x +a(x ≥0)ℎ(x)(x <0) ，则ℎ(−2)的值为（ ）A.109B.−109C.8D.−87.已知点F 是抛物线C:y 2＝4x 的焦点，过点F 的直线交抛物线C 于点P ，交y 轴于点Q ，若FQ →=2FP →，则点P 的坐标为（ ） A.(±√2,12)B.(±2, 1)C.(1, ±2)D.(12,±√2)8.西湖小学为了丰富学生的课余生活开设课后少年宫活动，其中面向二年级的学生共开设了三门课外活动课：七巧板、健美操、剪纸．203班有包括奔奔、果果在内的5位同学报名参加了少年宫活动，每位同学只能挑选一门课外活动课，已知每门课都有人选，则奔奔和果果选择了同一个课外活动课的选课方法种数为（ ） A.18B.36C.72D.1449.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A.2π3B.16π9C.π3D.2π910.函数f(x)=(2x +1)22x ⋅x的图象大致为（ ）A. B.C. D.11.已知边长为2的正△ABC 所在平面外有一点P ，PB ＝4，当三棱锥P −ABC 的体积最大时，三棱锥P −ABC 外接球的表面积为（ ）A.32π3B.16π C.64π3D.256π312.已知函数f(x)＝2sin(ωx+φ)(ω>0)的图象经过点(π2,2)和(π, 0)，且f(x)在(0,π4)内不单调，则ω的最小值为（）A.1B.3C.5D.7二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线C:y＝xe x在点M(1, e)处的切线方程为________．14.已知实数x，y满足约束条件{x+2y−2≥02x+y≤44x−y+1≥0，则目标函数z＝3x+y的最大值为________．15.定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差构成一个等比数列，则称该数列为“等差比”数列．已知“等差比”数列{a n}的前三项分别为a1＝2，a2＝3，a3＝5，则数列{a n}的前n项和S n＝________．16.已知双曲线x 2a −y2b=1(a>0, b>0)的焦距为2c，F为右焦点，O为坐标原点，P是双曲线上一点，|PO|＝c，△POF的面积为12ab，则该双曲线的离心率为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知△ABC为锐角三角形，且sinAcosB＝cosAsinB+cosC．（1）求角B的大小；（2）若b=√2，求(√3−1)a+√2c的最大值．18.某公司新研发了一款手机应用APP，投入市场三个月后，公司对部分用户做了调研：抽取了400位使用者，每人填写一份综合评分表（满分为10．现从400份评分表中，随机抽取40份（其中男、女使用者的评分表各20份）作为样本，经统计得到如下的茎叶图：记该样本的中位数为M，按评分情况将使用者对该APP的态度分为三种类型：评分不小于M的称为“满意型”，评分不大于M−10的称为“不满意型”，其余的都称为“须改进型”．（1）求M的值，并估计这400名使用者中“须改进型”使用者的个数；（2）为了改进服务，公司对“不满意型”使用者进行了回访，根据回访意见改进后，再从“不满意型”使用者中随机抽取3人进行第二次调查，记这3人中的女性使用者人数为X，求X的分布列和数学期望．19.如图，四边形ABCD为矩形，AB＝1，BC=√3，以AC为折痕将△ABC折起，使点B到达点P的位置，且P在平面ACD内的射影O在边AD上．（1）求证：AP⊥CD；（2）求二面角P−AC−D的余弦值．20.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点M(1,√32)，且M 到两焦点的距离之和为4． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知不经过原点O 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，线段AB 的中点在直线OM 上，求OA →⋅OB →的取值范围．21.已知函数f(x)＝ae 2x +(1−2a)e x −x ． （1）当a <0时，讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个不同零点x 1，x 2，证明：a >1且x 1+x 2<0．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =√3+2cosαy =1+2sinα （α为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，点P 在射线l:θ=π3上，且点P 到极点O 的距离为4． （1）求曲线C 的普通方程与点P 的直角坐标； （2）求△OCP 的面积．[选修4-5：不等式选讲]23.设函数f(x)＝x2+4x+|a−3|+|a−1|．（1）若函数f(x)有零点，求实数a的取值范围；（2）记（1）中实数a的最大值为m，若p，q均为正实数，且满足p+q＝m，求p2+q2的最小值．2020年安徽省马鞍山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U ＝{x ∈N|x ≤5}，A ＝{x ∈N|log 2x <2}，则∁U A ＝（ ） A.{0, 4, 5} B.{4, 5} C.{5} D.{x|4≤x ≤5}【解答】∵A ＝{x ∈N|log 2x <2}＝{1, 2, 3}，全集U ＝{x ∈N|x ≤5}＝{0, 1, 2, 3, 4, 5}， ∴∁U A ＝{0, 4, 5}， 2.复数z =i i−1的虚部为（ ）A.12 B.−12C.12iD.−12i【解答】z =ii−1=i(−1−i)(−1+i)(−1−i)=12−12i ． ∴复数z =ii−1的虚部为−12．3.如图是国家统计局给出的2014年至2018年我国城乡就业人员数量的统计图表，结合这张图表，以下说法错误的是（ ）A.2017年就业人员数量是最多的B.2017年至2018年就业人员数量呈递减状态C.2016年至2017年就业人员数量与前两年比较，增加速度减缓D.2018年就业人员数量比2014年就业人员数量增长超过400万人 【解答】根据该统计图表可得2017年就业人数最多，故A 正确； 2017年就业人员高度必2018年的高，故B 正确；2014−2015，2015−2016就业人员增加量大致200，而2016−2017增加量100不到，故C 正确；2018年就业人员数量比2014年就业人员数量增长低于400万人，故D 错 4.数列{a n }为等差数列，且a 2+a 7+a 12＝6，则{a n }的前13项的和为（ ） A.52 B.1043C.26D.523【解答】由等差数列的性质可知，a 2+a 7+a 12＝3a 7＝6， 故a 7＝2，则{a n }的前13项的和S =13(a 1+a 13)2=13×2a 72=13a 7＝26．5.已知向量a →=(1, −2)，b →=(4, m)，且a →⊥b →，则|a →−b →|=() A.5 B.√5 C.7 D.25【解答】根据题意，向量a →=(1, −2)，b →=(4, m)， 若a →⊥b →，则有a →⋅b →=4−2m ＝0，解可得m ＝2， 则b →=(4, 2)，则(a →−b →)＝(−3, −4)，则|a →−b →|=√(−3)2+(−4)2=5； 6.已知奇函数f(x)={3x +a(x ≥0)ℎ(x)(x <0) ，则ℎ(−2)的值为（ ）A.109B.−109C.8D.−8【解答】因为奇函数f(x)={3x +a(x ≥0)ℎ(x)(x <0) ，∴f(0)＝30+a ＝0⇒a ＝−1；则ℎ(−2)＝f(−2)＝−f(2)＝−(32+a)＝−8．7.已知点F 是抛物线C:y 2＝4x 的焦点，过点F 的直线交抛物线C 于点P ，交y 轴于点Q ，若FQ →=2FP →，则点P 的坐标为（ ） A.(±√2,12) B.(±2, 1) C.(1, ±2)D.(12,±√2)【解答】由题意，可知：F(1, 0)设过点F 的直线l 的斜率为k ，很明显斜率k 存在，且k ≠0．则直线l:y ＝k(x −1)， ∴Q 点坐标为(0, −k)． ∴FQ →=(−1, −k)设点P 的坐标为(x P , y P )，则FP →=(x P −1, y P )． ∵FQ →=2FP →， ∴{2(x P −1)=−12y P =−k ，解得{x P =12y P =−k 2． ∵点P 在抛物线上，∴y P 2=4x P ，即(−k2)2＝4⋅12=2解得y P =−k2=±√2． ∴点P 的坐标为(12, ±√2)．8.西湖小学为了丰富学生的课余生活开设课后少年宫活动，其中面向二年级的学生共开设了三门课外活动课：七巧板、健美操、剪纸．203班有包括奔奔、果果在内的5位同学报名参加了少年宫活动，每位同学只能挑选一门课外活动课，已知每门课都有人选，则奔奔和果果选择了同一个课外活动课的选课方法种数为（ ） A.18 B.36 C.72 D.144【解答】五人选三门课每门课都有人选共有两种情况：①2、2、1，②3、1、1，对于①：先选一门课作为奔奔和果果所选，再从剩下的三人中选一位单独选一门课，∴C 31C31C21=18，对于②：先选一门课程作为奔奔和果果所选，剩下的3人在三门课程中任意排列，∴C 31A33=18， ∴共有18+18＝36种，9.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ） A.2π3 B.16π9C.π3D.2π9【解答】由三视图可知几何体为圆锥的一部分，圆锥的底面半径为2，高为4，∴圆锥的体积V 圆锥=13×π×22×4=16π3．几何体的底面扇形圆心角为π−arccos 12=2π3．∴几何体体积V =2π32π⋅V 圆锥=16π9．10.函数f(x)=(2x +1)22⋅x的图象大致为（ ）A. B.C. D.【解答】根据题意，函数f(x)=(2x +1)22x ⋅x=2x +2−x +2x，有f(−x)＝−(2x +2−x +2x)＝−f(x)，即函数f(x)为奇函数，排除A 、B 、D ，11.已知边长为2的正△ABC 所在平面外有一点P ，PB ＝4，当三棱锥P −ABC 的体积最大时，三棱锥P −ABC 外接球的表面积为（ ） A.32π3B.16πC.64π3D.256π3【解答】由题意当三棱锥P −ABC 的体积最大时是PB ⊥面ABC 时，由边长为2的正△ABC ， 设三角形ABC 的外接圆半径为r ，则2r =2sin π3=√3，所以r =√3，由题意此三棱锥的外接球的球心为过底面圆心做垂直于底面的直线与中截面的交点， 设外接球的半径为R ，则由题意可得：R 2＝r 2+(PB2)2=43+22=163，所以外接球的表面积S ＝4πR 2=64π3，12.已知函数f(x)＝2sin(ωx +φ)(ω>0)的图象经过点(π2,2)和(π, 0)，且f(x)在(0,π4)内不单调，则ω的最小值为（）A.1B.3C.5D.7【解答】依题意得，2sin(πω2+φ)=2,2sin(πω+φ)=0，∴πω2+φ=2k1π+π2(k1∈Z)，πω+φ＝k2π(k2∈Z)，消去φ得，πω2=(k2−2k1)π−π2，令k2−2k1＝n(n∈Z)，则ω＝2n−1(n∈Z)，因为ω>0，所以n∈N⋅，当n＝1时，ω＝1，此时φ＝2k1π(k1∈Z)，f(x)＝2sin(x+2k1π)＝2sinx，不合题意；当n＝2时，ω＝3，此时φ＝2k1π−π(k1∈Z)，f(x)＝−2sin3x，此时f(x)在(0,π4)内不单调，满足题意．所以ω的最小值为3．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线C:y＝xe x在点M(1, e)处的切线方程为________．【解答】函数的f(x)的导数f′(x)＝(1+x)e x，则曲线在(1, e)处的切线斜率k＝f′(1)＝2e，则对应的切线方程为y−e＝2e(x−1)，即y＝2ex−e．故答案为：y＝2ex−e14.已知实数x，y满足约束条件{x+2y−2≥02x+y≤44x−y+1≥0，则目标函数z＝3x+y的最大值为________．【解答】画出约束条件{x+2y−2≥02x+y≤44x−y+1≥0表示的平面区域，如图阴影所示；平移目标函数z＝3x+y知，当目标函数过点C时，z取得最大值；由{2x+y=4x+2y−2=0，求得C(2, 0)；所以z的最大值为z max＝3×2+0＝6．15.定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差构成一个等比数列，则称该数列为“等差比”数列．已知“等差比”数列{a n}的前三项分别为a1＝2，a2＝3，a3＝5，则数列{a n}的前n项和S n＝________．【解答】“等差比”数列{a n}的前三项分别为a1＝2，a2＝3，a3＝5，可得a2−a1＝3−2＝1，a3−a2＝2，…，a n−a n−1＝2n−2，则a n＝a1+(a2−a1)+...+(a n−a n−1)＝2+1+2+...+2n−2＝2+1−2n−11−2=2n−1+1，数列{a n}的前n项和S n＝(1+2+...+2n−1)+n=1−2n1−2+n＝2n+n−1．16.已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的焦距为2c，F为右焦点，O为坐标原点，P是双曲线上一点，|PO|＝c，△POF的面积为12ab，则该双曲线的离心率为________．【解答】双曲线x 2a −y2b=1(a>0, b>0)的焦距为2c，F为右焦点，左焦点为F1(−c, 0)，O为坐标原点，P是双曲线上一点，|PO|＝c，△F1PF是直角三角形，PF1−PF＝2a，PF12+PF2＝4c2，可得4c2−2PF1⋅PF＝4a2可得4c2−4ab＝4a2，又a2+b2＝c2可得a＝b，即e=ca=√2．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知△ABC为锐角三角形，且sinAcosB＝cosAsinB+cosC．（1）求角B的大小；（2）若b=√2，求(√3−1)a+√2c的最大值．【解答】∵sinAcosB＝cosAsinB+cosC，∴sin(A−B)＝cosC＝sin(π2−C)，∵锐角三角形△ABC中，A−B∈(−π2, π2)，π2−C∈(0, π2)，∴A−B=π2−C，即A+C−B=π2，①又∵A+B+C＝π，②∴由①②解得B=π4．∵△ABC为锐角三角形，B=π4，b=√2，∴由正弦定理a sinA =c sinC =√2√22=2，可得a ＝2sinA ，c ＝2sinC ＝2sin(3π4−A)，∴(√3−1)a +√2c ＝2(√3−1)sinA +2√2sin(3π4−A)＝2√3sinA +2cosA ＝4sin(A +π6)≤4，当且仅当A =π3时取最大值，故(√3−1)a +√2c 的最大值为4．18.某公司新研发了一款手机应用APP ，投入市场三个月后，公司对部分用户做了调研：抽取了400位使用者，每人填写一份综合评分表（满分为10．现从400份评分表中，随机抽取40份（其中男、女使用者的评分表各20份）作为样本，经统计得到如下的茎叶图：记该样本的中位数为M ，按评分情况将使用者对该APP 的态度分为三种类型：评分不小于M 的称为“满意型”，评分不大于M −10的称为“不满意型”，其余的都称为“须改进型”． （1）求M 的值，并估计这400名使用者中“须改进型”使用者的个数；（2）为了改进服务，公司对“不满意型”使用者进行了回访，根据回访意见改进后，再从“不满意型”使用者中随机抽取3人进行第二次调查，记这3人中的女性使用者人数为X ，求X 的分布列和数学期望． 【解答】 中位数等于80+822=81，所以M ＝81，40个样本数据中共有13人是“须改进型”，从而可得400名使用者中约1340×400=130人是“须改进型”使用者； 不满意型使用者共7人，其中男性5人，女性2人， 故X 的所有可能的取值为0，1，2 且P(X =0)=C 53C 73=27；P(X =1)=C 52C21C 73=47； P(X =2)=C 51C22C 73=17；故X 的分布列为所以X 的数学期望E(X)=27×0+47×1+17×2=67．19.如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝1，BC =√3，以AC 为折痕将△ABC 折起，使点B 到达点P 的位置，且P 在平面ACD 内的射影O 在边AD 上．（1）求证：AP ⊥CD ；（2）求二面角P −AC −D 的余弦值． 【解答】由题可得OP ⊥面ACD ，∴OP ⊥CD ， 又四边形ABCD 为矩形，∴CD ⊥AD ， 又AO ∩AD ＝O ，∴CD ⊥面APD ， ∵AP ⊂平面APD ，∴AP ⊥CD ．以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0, 0, 0)，C(1,√3,0)，设P 点坐标为(0, y, z)(z >0)， 由AP ＝1，PC =√3，得{y 2+z 2=11+(√3−y)2+z 2=3 ，解得y =√33，z =√63，即P 点坐标为(0,√33,√63)， AC →=(1, √3, 0)，AP →=(0, √33, √63)， 设n 1→=(x,y,z)⊥面APC ，∴{n 1→⊥AC →n 1→⊥AP→，∴{x +√3y =0√33y +√63z =0，令y ＝1，得n 1→=(−√3,1,−√22)， 又n 2→=(0,0,1)⊥面ACD ，∴cos⟨n 1→,n 2→⟩=−13， ∴二面角P −AC −D 的余弦值为13．20.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点M(1,√32)，且M 到两焦点的距离之和为4． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知不经过原点O 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，线段AB 的中点在直线OM 上，求OA →⋅OB →的取值范围． 【解答】由题可得{2a =41a 2+34b 2=1 ，解得{a =2b =1 ，所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．（方法一）易知直线l 斜率存在且不等于0，所以y 1+y 2≠0，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)得{x 124+y 12=1x 224+y 22=1两式相减得y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x 24(y 1+y 2)=−√36，即k AB =−√36， 设直线AB 的方程为y =−√36x +m(m ≠0)，联立方程{x 2+4y 2=4y =−√36x+m，化简得x 2−√3mx +3m 2−3=0，因为直线l 交椭圆于A ，B 两点，故△＝−9m 2+12>0，解得0<m 2<43， 又x 1+x 2=√3m ，x 1x 2=3m 2−3，y 1y 2=(−√36x 1+m)(−√36x 2+m)=112x 1x 2−√36m(x 1+x 2)+m 2所以OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=154m 2−134∈(−134,74)．（方法二）易知直线l 斜率存在且不等于0，故设直线AB 的方程为y ＝kx +m(m ≠0)，联立方程组{x 2+4y 2=4y =kx +m，化简得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−4＝0x 1+x 2=−8km1+4k ，x 1x 2=4m 2−41+4k ，y 1+y 2=2m1+4k ，因为线段AB 的中点在直线OM 上，所以y 1+y2x 1+x 2=−14k =√32，求得k =−√36，设直线AB 的方程为y =−√36x +m(m ≠0)，联立方程{x 2+4y 2=4y =−√36x +m，化简得x 2−√3mx +3m 2−3=0，因为直线l 交椭圆于A ，B 两点，故△＝−9m 2+12>0，解得0<m 2<43， 又x 1+x 2=√3m ，x 1x 2=3m 2−3，y 1y 2=(−√3x 1+m)(−√3x 2+m)=1x 1x 2−√3m(x 1+x 2)+m 2所以OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=154m 2−134∈(−134,74)．21.已知函数f(x)＝ae 2x +(1−2a)e x −x ． （1）当a <0时，讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个不同零点x 1，x 2，证明：a >1且x 1+x 2<0． 【解答】f ′(x)＝2ae 2x +(1−2a)e x −1＝(e x −1)(2ae x +1)， 因为a <0，由f ′(x)＝0得，x ＝0或x =ln(−12a )，i)ln(−12a )<0即a <−12时，f(x)在(−∞,ln(−12a ))单调递减，在(ln(−12a ),0)单调递增，在(0, +∞)单调递减；ii)ln(−12a )=0即a =−12时，f(x)在(−∞, +∞)单调递减；iii)ln(−12a )>0即−12<a <0时，f(x)在(−∞, 0)单调递减，在(0,ln(−12a ))单调递增，在(ln(−12a ),+∞)单调递减；由（1）知，a <−12时，f(x)的极小值为f(ln(−12a ))=1−14a −ln(−12a )>1>0； −12<a <0时，f(x)的极小值为f(0)＝1−a >1>0；a =−12时，f(x)在(−∞, +∞)单调递减，故a <0时，f(x)至多有一个零点，当a ≥0时，由f ′(x)＝2ae 2x +(1−2a)e x −1＝(e x −1)(2ae x +1)，f(x)在(−∞, 0)单调递减，在(0, +∞)单调递增．要使f(x)有两个零点，则f(0)<0，得a +1−2a <0，即a >1， 令F(x)＝f(x)−f(−x)，(x >0)，则F ′(x)＝f ′(x)+f ′(−x)＝[2ae 2x +(1−2a)e x −1]+[2ae −2x +(1−2a)e −x −1]＝2a(e x +e −x +1)(e x +e −x −2)+(e x +e −x )−2≥0，所以F(x)在x >0时单调递增，F(x)>F(0)＝0，f(x)>f(−x)， 不妨设x 1<x 2，则x 1<0，x₂>0，−x 2<0，f(x 1)＝f(x 2)>f(−x 2)， 由f(x)在(−∞, 0)单调递减，得x 1<−x 2，即x 1+x 2<0， 故a >1且x 1+x 2<0，原命题得证．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =√3+2cosαy =1+2sinα （α为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，点P 在射线l:θ=π3上，且点P 到极点O 的距离为4． （1）求曲线C 的普通方程与点P 的直角坐标； （2）求△OCP 的面积． 【解答】曲线C 的普通方程为(x −√3)2+(y −1)2=4， 点P 的极坐标为(4,π3)，直角坐标为(2,2√3)． （方法一）圆心C(√3,1)，OC:y =√33x ⇒x −√3y =0，点P 到OC 的距离d =|2−√3⋅2√3|2=2，且|OC|＝2，所以S △OCP =12|OC|⋅d =2．（方法二）圆心C(√3,1)，其极坐标为(2,π6)，而P(4,π3)，结合图象利用极坐标的几何含义，可得∠COP =π3−π6=π6，|OC|＝2，|OP|＝4，所以S △OCP =12|OC|⋅|OP|sin∠COP =12⋅2⋅4⋅sin π6=2． [选修4-5：不等式选讲]23.设函数f(x)＝x 2+4x +|a −3|+|a −1|． （1）若函数f(x)有零点，求实数a 的取值范围；（2）记（1）中实数a 的最大值为m ，若p ，q 均为正实数，且满足p +q ＝m ，求p 2+q 2的最小值． 【解答】依题意可知二次方程x 2+4x +|a −3|+|a −1|＝0有解， ∴△＝16−4(|a −3|+|a −1|)≥0，即|a −3|+|a −1|≤4． ①当a <1时，3−a +1−a ≤4，解得a ≥0，∴a ∈[0, 1)；②当1≤a<3时，3−a+a−1≤4，解得2≤4恒成立，∴a∈[1, 3)；③当a≥3时，2a−4≤4，解得a≤4，∴a∈[3, 4]．综上所述，可得a∈[0, 4]；由（1）知p+q＝4，方法一：利用基本不等式∵(p+q)2＝p2+q2+2pq≤(p2+q2)+(p2+q2)＝2(p2+q2)，∴p2+q2≥8，∴p2+q2的最小值为8，当且仅当p＝q＝2时取等号；方法二：利用二次函数求最值∵p+q＝4，∴q＝4−p，∴p2+q2＝p2+(4−p)2＝2p2−8p+16＝2(p−2)2+8≥8，∴p2+q2的最小值为8，当且仅当p＝q＝2时取等号；方法三：利用柯西不等式∵(p2+q2)⋅(12+12)≥(p×1+q×1)2＝(p+q)2＝16，∴p2+q2≥8，∴p2+q2的最小值为8，当且仅当p＝q＝2时取等号．。

2020年安徽省马鞍山市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知全集U ={x|x(x −1)≤0}，A ={1}，则∁U A =( )A. [0,1]B. (0,1)C. [0,1)D. (−∞,0]∪(1，+∞) 2. 复数3−i i =( )A. 1+3iB. −1−3iC. −1+3iD. 1−3i3. 如图是2017年1−11月汽油、柴油价格走势图(单位：元/吨)，据此下列说法错误的是( )A. 从1月到11月，三种油里面柴油的价格波动最大B. 从7月份开始，汽油、柴油的价格都在上涨，而且柴油价格涨速最快C. 92#汽油与95#汽油价格成正相关D. 2月份以后，汽油、柴油的价格同时上涨或同时下跌4. 在等差数列{a n }中，已知a 3+a 10=9，则该数列的前12项和S 12等于( )A. 36B. 54C. 63D. 735. 已知向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(2,x)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|2a ⃗ +b⃗ |=( ) A. 3√2 B. 4 C. 5 D. 4√26. 已知奇函数f(x)={3x −a, x ≥0g (x ), x <0，则f(−3)的值为( ) A. 27 B. −26 C. −27 D. 267. 过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于点A.若|AF|=3，则点A 的坐标为( )A. (2,2√2)B. (2,−2√2)C. (2,±2√2)D. (1,±2)8. 某校开设10门课程供学生选修，其中A ，B ，C 三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位学生选修三门，则每位学生不同的选修方案种数是( )．A. 70B. 98C. 108D. 1209. 某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A. πB. 4π3C. 5π3D. 2π10. 已知函数f(x)=2x +11−2x ⋅cosx ，则y =f(x)的图象大致是( ) A. B.C. D.11. 已知三棱锥S −ABC 中，底面ABC 为边长等于√3的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =1，那么三棱锥S −ABC 的外接球的表面积为( )A. 2πB. 4πC. 6πD. 5π 12. 已知图象经过点(7π12,0)的函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，则φ=( )A. −π3B. π6C. π3D. −π6 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线C ：y =e x+1在点P(1,e 2)处的切线方程为______ ．14. 已知x ，y 满足约束条件{x −y +2≥0x ≤1x +y +k ≥0，则z =x +3y 的最大值是最小值的−2倍，则k =______．15. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 9=−18，S 13=−52，等比数列{b n }中，b 5=a 5，b 7=a 7，则b 15的值为_________．16.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点为F1，F2，离心率为√3.若C上一点P满足|PF1|−|PF2|=2√3，则C的方程为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在锐角三角形ABC中，√3a=2bsinA．(1)求角B的大小；(2)若b=√3，求a+c的取值范围．18.某市的教育主管部门对所管辖的学校进行年终督导评估，为了解某学校师生对学校教学管理的满意度，分别从教师和不同年级的同学中随机抽取若干师生，进行评分，绘制如下频率分布直方图(分组区间为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100])，并将分数从低到高分为四个等级：满意度评分[0,60)[60,80)[80,90)[90,100]满意度等级不满意基本满意满意非常满意已知满意度等级为基本满意的有340人．(1)求表中a的值及不满意的人数；(2)在等级为不满意的师生中，老师占1，现从该等级师生中按分层抽样抽取12人了解不满意的3原因，并从中抽取3人担任整改督导员，记X为老师整改督导员的人数，求X的分布列及数学期望．19.如图，已知长方形ABCD中，AB=2√2，AD=√2，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．(1)求证：AD⊥BM；(2)若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E−AM−D的余弦值为√5520.已知椭圆C的两焦点分别为F1(−2√2,0)，F2(2√2,0)，其长轴长为6．(1)求椭圆C的方程；(2)设点H(0,1)，若直线y=kx+3与椭圆C相交于两点M，N，且HM与HN的斜率之和为1，求实数k的值．21.设函数f(x)=x2e x−1+ax3+bx2，已知x=−2和x=1为f(x)的极值点．(1)求a和b的值；(2)讨论f(x)的单调性．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=−1+2cosφy=2sinφ(其中φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρ=√2sin (θ+π4)，设l1与C相交于A，B两点，AB的中点为M，过点M作l1的垂线l2交C于P，Q两点．(1)写出曲线C的普通方程与直线l1的直角坐标方程；(2)求|PQ||MP|⋅|MQ|的值．23.已知函数f(x)=|12x|−|12x−m|的最大值为4．(Ⅰ)求实数m的值；(Ⅱ)若m>0，0<x<m2，求2|x|+2|x−2|的最小值．【答案与解析】1.答案：C解析：解：全集U={x|x(x−1)≤0}=[0,1]，A={1}，则∁U A=[0,1)故选：C．根据补集的定义求出A补集即可此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键2.答案：B解析：解：3−ii =−i(3−i)−i2=−1−3i，故选：B．直接由复数代数形式的乘除运算化简复数3−ii，则答案可求．本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.答案：D解析：本题考查折线图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是基础题．由2017年1−11月汽油、柴油价格走势图，得4月份到5月份，92#汽油与95#汽油价格上涨，此时柴油的价格下跌可得D错误，结合走势图可知A、B、C正确，故可得结果．解：由2017年1−11月汽油、柴油价格走势图，得：在A中，从1月到11月，三种油里面柴油的价格波动最大，故A正确；在B中，从7月份开始，汽油、柴油的价格都在上涨，而且柴油价格涨速最快，故B正确；在C中，92#汽油与95#汽油价格成正相关，故C正确；在D中，4月份到5月份，92#汽油与95#汽油价格上涨，此时柴油的价格下跌，故D错误．故选D．4.答案：B解析：解：由等差数列的性质可得：a3+a10=9=a1+a12，(a1+a12)=6×9=54．则数列{a n}的前12项和=122故选：B．由等差数列的性质可得：a3+a10=9=a1+a12，再利用求和公式即可得出．本题考查了等差数列的性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.答案：C解析：解：∵向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(2,x)，a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =2+2x=0，解得x=−1，∴2a⃗+b⃗ =(4,3)，∴|2a⃗+b⃗ |=√16+9=5．故选：C．利用向量垂直的性质得x=−1，再由平面向量坐标运算法则求出2a⃗+b⃗ ，由此能求出|2a⃗+b⃗ |.本题考查向量的模的求法，考查向理垂直、向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力、是基础题．6.答案：B解析：本题主要考查函数的奇偶性，与分段函数．解：因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)=1−a=0，解得a=1，所以f(−3)=−f(3)=−(33−1)=−26，故选B．7.答案：C解析：解：抛物线y2=4x的准线方程为x=−1，F(1,0)．设A(x,y)，∵|AF|=3，∴根据抛物线的定义可得|AF|=3=x+1，∴x=2，∴y=±2√2，∴A的坐标为(2,±2√2).故选：C．确定抛物线y2=4x的准线方程，利用抛物线的定义，可求A点的横坐标，即可得出A的坐标．抛物线的定义告诉我们：抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离．8.答案：B解析：解：根据题意，分2种情况讨论：①、从A，B，C三门中选出1门，其余7门中选出2门，有C31C72=63种选法，②、从除A，B，C三门之外的7门中选出3门，有C73=35种选法；故不同的选法有63+35=98种；故选：B．根据题意，由于A，B，C三门中至多选一门，则分2种情况讨论：①、从A，B，C三门中选出1门，其余7门中选出2门，②、从除A，B，C三门之外的7门中选出3门，分别求出每一种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意“A，B，C三门中至多选一门”这一条件，据此进行分类讨论．9.答案：B解析：解：三视图复原的几何体是下部是半球，半径为：1，上部是圆锥，底面半径为1，高为：2，几何体的体积为：12×43π×13+13π×12×2=4π3．故选：B．判断三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查计算能力．10.答案：D解析：解：当x∈(−π2,0)时，f(x)>0，所以排除A，C，；当x∈(0,π2)时f(x)<0，故选D．故选：D．本题考查函数的单调性与函数的导数的关系，函数的定义域以及函数的图形的判断，考查分析问题解决问题的能力11.答案：D解析：解：根据已知中底面△ABC是边长为√3的等边三角形，SA垂直于底面ABC，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以SA为高的正三棱柱的外接球∵△ABC是边长为√3的正三角形，∴△ABC的外接圆半径r=1，球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=12故球的半径R=√r2+d2=√52故三棱锥P−ABC外接球的表面积S=4πR2=5π．故选：D．由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以SA为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r，和球心距d，代入R=√r2+d2，可得球的半径R，即可求出三棱锥S−ABC的外接球的表面积．本题考查的知识点是球内接多面体，求出球的半径R=√r2+d2是解答的关键．12.答案：D解析：本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题．由周期求出ω，再利用点(7π12,0)在函数f(x)的图象上，可求φ的值．解：∵T=2πω=π，∴ω=2，∴f(x)=sin(2x+φ)．又∵点(7π12,0)在函数f(x)的图象上，∴sin(2×7π12+φ)=0，∴φ=−7π6+kπ(k∈Z)．又∵|φ|<π2，∴φ=−π6．故选D ．13.答案：y =e 2x解析：解：函数的导数为y′=f′(x)=e x+1， 在(1,e 2)处的切线斜率k =f′(1)=e 2，即函数y =e x+1在点P(1,e 2)处的切线方程为y −e 2=e 2(x −1)， 即y =e 2x ， 故答案为：y =e 2x求出函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程．本题主要考查函数的切线方程，利用导数的几何意义求出切线斜率是解决本题的关键．14.答案：1解析：本题考查画不等式组表示的平面区域、结合图求目标函数的最值、考查数形结合的数学数学方法．属于基础题．画出x ，y 满足约束条件{x −y +2≥0x ≤1x +y +k ≥0的可行域，将目标函数变形，画出其相应的直线，当直线平移至固定点时，z 最大，求出最大值列出方程求出k 的值． 解：画出x ，y 满足约束条件{x −y +2≥0x ≤1x +y +k ≥0的平面区域，将目标函数z =x +3y 变形为y =−13x +13z ，画出其相应的直线，由{x =1x −y +2=0得A(1,3)， y =−13x +13z 平移至A(1,3)时z 最大为10， 由{x =1x +y +k =0解得B(1,−k −1)， 代入直线z =x +3y 可得最小值−3k −2， z =x +3y 的最大值是最小值的−2倍，10−3k−2=−2，解得k =1，故答案为1．15.答案：−64解析：本题考查了等差数列的前n 项和公式、性质和等比数列的通项公式，熟练记忆及灵活运用公式是正确解题的关键．由等差数列的前n 项和公式和性质可得S 9=9a 5=−18，S 13=13a 7=−52，故可求得a 5、a 7，即求出b 5、b 7，由等比数列的通项公式即可求出a 1、q ，进而求出b 15． 解：∵S 9=92(a 1+a 9)=9a 5=−18，S 13=132(a 1+a 13)=13a 7=−52，∴a 5=−2，a 7=−4， 又∵b 5=a 5，b 7=a 7， ∴b 5=−2，b 7=−4， 设等比数列的公比为q ，∴q2=b7b5=2，b15=b7⋅q8=−4×16=−64．故答案为−64．16.答案：x23−y26=1解析：解：由双曲线的定义可知a=√3，由e=ca=√3，得c=3，则b2=c2−a2=6，所以双曲线C的方程为x23−y26=1．故答案为：x23−y26=1．根据双曲线的定义和离心率公式求出c和a，则双曲线方程可得．本题主要考查双曲线的简单性质，根据双曲线的定义求出a，b是解决本题的关键．17.答案：解：(1)∵在锐角三角形ABC 中，√3a=2bsinA，∴√3sinA=2sinB·sinA，∵A∈(0,π2)，∴sinA≠0，∴sinB=√32，∵B∈(0,π2)，∴B=π3．(2)∵b=√3，∴asinA =csinC=bsinB=√3√32=2，∴a=2sinA，C=2sinC，∴a+c=2sinA+2sinB，=2sinA+2sin(2π3−A)，=2sinA+√3cosA+sinA，=3sinA+√3cosA，=2√3sin(A+π3)，∵A∈(0,π2)，∴A +π3∈(π3,5π6)，∴12<sin (A +π3)≤1， ∴√3<a +c ≤2√3．解析：本题主要考查正弦定理和利用三角恒等变换求值域． (1)直接利用正弦定理，得√3sinA =2sinB ·sinA 即可求出结果．(2)根据正弦定理得出∴a =2sinA ，C =2sinC ，再由三角恒等变换即可求出结果．18.答案：解：(1)由频率分布直方图可知：a =110−(0.002+0.004+0.016+0.018+0.024)=0.036， 设不满意人数为x ，则(0.002+0.004)：(0.016+0.018)=x ：340， 解得x =60．(2)按分层抽样，12人中老师有4人，学生有8人，则X 的可能取值为0，1，2，3，P(X =0)=C 83C 123=1455，P(X =1)=C 41C 82C 123=2855，P(X =2)=C 42C 81C 123=1255，P(X =3)=C 43C 123=155，则X 的分布列为： X 0123P145528551255155故E(X)=1×2855+2×1255+3×155=1．解析：本题考查随机变量的分布列，期望的求法，考查分析问题解决问题的能力． (1)利用频率分布直方图求出频率，然后求解不满意人数为x ．(2)按分层抽样，12人中老师有4人，学生有8人，求出X 的可能取值为0，1，2，3，求解概率得到X 的分布列然后求解期望．19.答案：证明：(1)∵长方形ABCD 中，AB =2√2，AD =√2，M 为DC 的中点，∴AM =BM =2，∴BM ⊥AM …(3分)∵平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM ∩平面ABCM =AM ，BM ⊂平面ABCM ∴BM ⊥平面ADM ∵AD ⊂平面ADM ∴AD ⊥BM …(5分)解：(2)取AM 中点O 为原点，OA 为x 轴，OD 为z 轴，建立如图所示的直角坐标系， 设DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则平面AMD 的一个法向量n ⃗ =(0,1，0)，…(7分) ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λDB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ,2λ,1−λ)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，0)， 设平面AME 的一个法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x =0m ⃗⃗⃗ ⋅ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)x +2λy +(1−λ)z =0，取y =1，得m⃗⃗⃗ =(0,1，2λλ−1)，…(10分)∵二面角E −AM −D 的余弦值为√55，∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√1+(2λλ−1)2=√55，解得λ=12，故E 为BD 的中点时，二面角E −AM −D 的余弦值为√55.…(11分)解析：(1)推导出BM ⊥AM ，BM ⊥平面ADM ，由此能证明AD ⊥BM ．(2)取AM 中点O 为原点，OA 为x 轴，OD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法推导出E 为BD 的中点时，二面角E −AM −D 的余弦值为√55．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法及应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.答案：解：(1)由题意可得c =2√2，a =3，故b 2=a 2−c 2=1，可得椭圆C 的方程为x 29+y 2=1．(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 联立{y =kx +3x 29+y 2=1，可得(1+9k 2)x +54kx +72=0，∴△=(54k)2−4×72×(1+9k 2)>0，解得k 2>89， ∴x 1+x 2=−54k1+9k 2，x 1x 2=721+9k 2，∴k HM +k HN =y 1−1x 1+y 2−1x 2=kx 1+2x 1+kx 2+2x 2=2k +2⋅x 1+x 2x 1x 2=2k +2×−54k 1+9k 2721+9k 2=2k −32k =k2=1，∴k =2，满足△>0， 故k =2．解析：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． (1)根据条件求得c ，a ，即可得到b 2，椭圆方程可求出；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，根据韦达定理和斜率公式化简整理即可求出k 的值．21.答案：解：(1)因为f′(x)=e x−1(2x +x 2)+3ax 2+2bx =xe x−1(x +2)+x(3ax +2b)，又x =−2和x =1为f(x)的极值点， 所以f′(−2)=f′(1)=0， 因此{−6a +2b =03+3a +2b =0，解得{a =−13b =−1(2)因为a =−13，b =−1， 所以f′(x)=x(x +2)(e x−1−1)，令f′(x)=0，解得x 1=−2，x 2=0，x 3=1． 因为当x ∈(−∞,−2)∪(0,1)时，f′(x)<0； 当x ∈(−2,0)∪(1,+∞)时，f′(x)>0． 所以f(x)在(−2,0)和(1,+∞)上是单调递增的； 在(−∞,−2)和(0,1)上是单调递减的．解析：本题考查了导数和函数的单调性极值最值的关系，关键是求导，属于一般题． (1)先求导，再根据x =−2和x =1为f(x)的极值点，代入继而求出a ，b 的值， (2)根据导数和函数的单调性即可求出．22.答案：解：(1)由曲线C 的参数方程{x =−1+2cosφy =2sinφ，消去参数φ，得曲线C 的普通方程为(x +1)2+y 2=4．由曲线l 1的极坐标方程ρ=√2sin (θ+π4)，得ρsin θ+ρcos θ=1，将x =ρcos θ，y =ρsin θ代入，得l 1的直角坐标方程为x +y −1=0；(2)由l1⊥l2，得直线l2的斜率k l2=−1k l1=1，所以l2的倾斜角为π4，又l2过圆心(−1,0)，所以l2的方程为y=x+1，与x+y−1=0联立，得AB的中点M(0,1)，故l2的参数方程为{x=tcosπ4y=1+tsinπ4,(t为参数)，即{x=√22ty=1+√22t,(t为参数)，代入(x+1)2+y2=4中，化简、整理得t2+2√2t−2=0，设P，Q对应的参数分别为t1，t2，则由韦达定理得t1·t2=−2，又线段PQ为圆的直径，所以|PQ|=4，所以|PQ||MP|⋅|MQ|=4|−2|=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：解：(Ⅰ)由f(x)=|12x|−|12x−m|≤|12x−(12x−m)|=|m|，当且仅当12x⋅(12x−m)≥0且|12x|≥|12x−m|时取等号，此时f(x)取最大值|m|=4，即m=±4；(Ⅱ)由(Ⅰ)及m>0可知m=4，∴0<x<2．则2|x|+2|x−2|=2(1|x|+1|x−2|)=2(1x+12−x)=(1x+12−x)(x+2−x)=2+2−xx +x2−x≥2+2√2−xx⋅x2−x=4．当且仅当2−x=x，即x=1时取等号．∴2|x|+2|x−2|的最小值为4．解析：本题考查函数的最值，考查绝对值不等式的应用，是中档题．(Ⅰ)直接利用绝对值不等式放缩，求得函数的最大值，得到m值；(Ⅱ)由题意求得x的范围，去绝对值后利用基本不等式求最值．。

2020 年 11 月份高三联考数学（理科）第Ⅰ卷（共60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 , 每题 5 分 , 共 60 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的.1. 已知会合，则（）A. B. C. D.【答案】 D【分析】求解对数不等式可得：，求解一元二次不等式可得：，则：，，.此题选择 D选项.2. 已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】 C【分析】由题意可得：，联合向量平行的充要条件有：,求解对于实数的方程可得：.此题选择 C选项.3. （）A. B. C. D.【答案】 A【分析】由题意可得：此题选择 A选项.4.已知，且，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】 B【分析】由向量垂直的充要条件有：，则：，联合向量的夹角公式有：，据此可得：向量与的夹角为.此题选择 B选项.5.已知函数，给出以下两个命题：命题若，则；命题.则以下表达错误的选项是（）A. 是假命题B.的否命题是：若，则C.D. 是真命题【答案】 D【分析】由函数的分析式可得函数的定义域为，且导函数：，则函数单一递加，据此可得命题是假命题，命题是真命题，是假命题.联合特称命题与全称命题的关系可得：的否命题是：若，则，：.此题选择 D选项.6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】 B【分析】由题意联合引诱公式可得：，据此可得：，联合同角三角函数基本关系可得：，，利用二倍角公式可得：.此题选择 B选项.点睛：三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1) 弦切互化法：主要利用公式化成正弦、余弦函数；(2) 和积变换法：如利用(sin θ±cosθ)2＝1±2sin θcosθ 的关系进行变形、转变；(3) 巧用“ 1”的变换： 1＝ sin 2θ＋cos2θ＝cos2θ(1 ＋ tan 2 θ)7. 设是定义在上的函数，它的图象对于点对称，当时，（为自然对数的底数），则的值为（）A. B. C. D.【答案】 D【分析】函数图象对于点对称，则对于随意的实数，有：.据此可得：.此题选择 D选项.8. 已知函数的零点为，设，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】 C【分析】指数函数和一次函数都是定义在上的单一递减函数，则函数是定义在上的单一递减函数，且：，联合函数零点存在定理可得：，据此可得：，则：.此题选择 C选项.点睛：实数比较大小：对于指数幂的大小的比较，我们往常都是运用指数函数的单一性，但好多时候，因幂的底数或指数不同样，不可以直接利用函数的单一性进行比较．这就一定掌握一些特别方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不一样，则第一考虑将其转变成同底数，而后再依据指数函数的单一性进行判断．对于不一样底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又正确．9. 函数 的部分图象可能是（ ）A. B. C. D.【答案】 C【分析】 明显函数是偶函数， 故 A 、D 错误，当 时， ，所以， ，又 ，所以，应选 C.10. 已知函数 （ 且 ），则“ 在 上是单一函数”是“”的（ ）A. 充足不用要条件B.必需不充足条件 C. 充要条件 D. 既不充足也不用要条件【答案】 B【分析】很明显函数 和函数 在区间 上单一递减，在区间 上单一递加 .函数 存心义，则： 恒建立，即：.联合复合函数的单一性可适当 时，函数在定义域内单一递减；当时，函数 在定义域内单一递加，即若在 上是单一函数，则 或 ，“ 在 上是单一函数”是“”的必需不充足条件 .此题选择 B 选项 .点睛： 复合函数的单一性：对于复合函数y ＝ f [ ( )] ，若 t ＝ ( ) 在区间 ( ， ) 上是单一函g xg x a b 数，且 y ＝ f ( t ) 在区间 ( g ( a ) ， g ( b )) 或许 ( g ( b ) ， g ( a )) 上是单一函数，若 t ＝ g ( x ) 与 y ＝ f ( t )的单一性同样 ( 同时为增或减 ) ，则 y ＝ f [ g ( x )] 为增函数；若 t ＝g ( x ) 与 y ＝ f ( t ) 的单一性相反，则 y＝ f [ g( x)] 为减函数．简称：同增异减．11.已知的因数有表示正整数，则的全部因数中最大的奇数，比如：的因数有，那么的值为（），则A. B. C. D.【答案】 D【分析】由的定义知，且若为奇数则则选 D12. 已知，若对随意的，不等式恒建立，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】 A【分析】令，易得与互为反函数与对于直线对称原命题等价于在上恒建立 . 记，记，同理可得，综上的最大值为，应选 A.【点睛】此题的重点步骤有：察看发现与将原命题等价转变为互为反函数；在上恒建立；利用导数工具求的最小值，进而求得；第Ⅱ卷（共90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知各项均为正数的等比数列的公比为，则__________. 【答案】【分析】很明显数列的公比为正数，由题意可得：，则：，整理可得：，联合可得：.14. 若向量与知足，且，则向量在方向上的投影为 __________. 【答案】【分析】设向量与向量的夹角为，利用向量垂直的充要条件有：,即：，据此可得：向量在方向上的投影为.15. 将函数的图象向右平移个单位后获得函数的图象，若的图象对于直线对称，则__________.【答案】【分析】函数的分析式：据此可得：，则：，联合三角函数的性质可得：，令可得：，故：，.........................16.在中，，边的中点为，则__________. 【答案】【分析】如下图，作于点，则：，则：.三、解答题（本大题共 6 小题，共70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17.已知等比数列的前项和为为等差数列，.（ 1）求数列的通项公式；（ 2）求数列的前项和.【答案】 (1) 即，.(2).【分析】试题剖析：(1) 分类议论和两种状况可得数列的通项公式为，据此计算可得；(2) 联合数列的通项公式错位相减可得数列的前项和.试题分析：（1）当时，，当时，，即，所以是以为首项，为公比的等比数列，即，又，所以.（ 2）由于，所以，①，②由①-②得，所以.18.设函数的部分图象如下图.（ 1）求函数的分析式；（ 2）当时，求的取值范围 .【答案】 (1) ； (2) .【分析】试题剖析：(1) 由题意联合三角函数的周期可得，联合，则，函数的分析式为.(2) 由函数的定义域可得，则函数的值域为.试题分析：（ 1）由图象知，即. 又，所以，所以. 又由于点，所以，即，又，所以，即.（ 2）当时，，所以，进而有.19. 在中，内角的对边分别为. 已知. （ 1）求的值；（ 2）若，求的面积 .【答案】 (1) ； (2)3.【分析】试题剖析：（ 1）利用正弦定理化简条件，一致为边，再联合余弦定理可求出（ 2）依据及余弦定理可求出c, 依据同角三角函数关系求, 利用面积公式求解 .试题分析：（ 1）由于，所以，即.所以.（ 2）由于，由（1）知，所以.由余弦定理可得，整理得，解得，由于，所以，所以的面积.20.已知函数.（ 1）若函数在区间上单一递加，求的取值范围；（ 2）设函数，若存在，使不等式建立，务实数的取值范围 .【答案】 (1)；(2).【分析】试题剖析：(1) 由函数的分析式可得在上单一递加，则的取值范围是；(2) 原问题等价于存在，使不等式建立 . 结构新函数，联合函数的性质可得实数的取值范围为.试题分析：（1）由得，在上单一递加，，的取值范围是.（ 2）存在，使不等式建立，存在，使不等式建立.令，进而，，，在上单一递加，.实数的取值范围为.21. 在中，是边的一个三平分点（凑近点），记. （ 1）求的大小；（ 2）当取最大值时，求的值 .【答案】 (1) ； (2) .【分析】试题剖析 ; （ 1）由，可得，整理得. 又，所以，即.（ 2）设，，，则，. 由正弦定理得，. 又，由，得.由于，所以.由于，所以. 所以当，即时，获得最大值，由此可得，.试题分析：（ 1）由于，所以，即，整理得.又，所以，即. （2）设，，，则，. 由正弦定理得，.又，由，得.由于，所以. 由于，所以. 所以当，即时，获得最大值，此时，所以，.【点睛】此题考察正弦定理、勾股定理，求角转变为求角的某个三角函数值，以及基本不等式求最值问题等，此中侧重考察化简、变形能力．22.已知函数的图象在处的切线过点.（ 1）若，求函数的极值点；（ 2）设是函数的两个极值点，若，证明：.（提示）【答案】 (1) 或； (2) 证明看法析 .【分析】试题剖析：由题意联合导函数与原函数切线的关系可得.(1) 由题意可得，利用导函数研究函数的极值可得的极值点为或.(2) 由导函数的性质可得是函数的极大值，是函数的极小值，据此结构函数，据此可知，则函数在上单一递减，据此可得试题分析：.，又，曲线在处的切线过点，，得.（ 1）令解得，得或，，的极值点为或.（ 2）是方程 的两个根，，，要证是函数的极大值，，只要是函数的极小值，，，令，则，设，则 ，函数 在 上单一递减，，.点睛： 应用导数研究函数的单一性比用函数单一性的定义要方便，但应注意f ′ ( x )>0 （或( x )<0 ）仅是f ( ) 在某个区间上递加（或递减）的充足条件。