公式法因式分解1

公式法因式分解公式法因式分解是一种有效的数学方法，它可以帮助我们快速找出复杂的表达式的因式分解结果。

它的基本原理是，通过运用因式的定义和性质，将一个复杂的表达式分解成若干个简单的因式，从而得到它的因式分解式。

因式分解是一个十分复杂的概念，它涉及到多个关键概念，如因式、因数、展开式、积式、系数、系数和系数等。

因式分解的过程可以概括为：①将一个表达式分为因式；②将这些因式各自因数分解；③用展开式、积式等简单形式重新构造出因式分解式。

公式法因式分解的基本思想是，将一个复杂的多项式以特定的形式分解成若干个因式，从而使其因式分解式更加清晰明了。

例如，将多项式2x2+7x+6分解成因式，可以先将其分解成展开式2x2+7x+3x+3，再进行因式分解：2x2+3x+3=(2x+3)(x+1)，再重新构造出它的因式分解式：2x2+7x+6=(2x+3)(x+2)，这样就得到了它的因式分解式了。

公式法因式分解的步骤如下：①根据多项式的式子把它分解成若干个简单的因式；②把每个因式因数分解；③用展开式、积式等形式重新构造出因式分解式。

本文将从实例出发，重点介绍公式法因式分解的实践方法。

首先，根据多项式的式子把它分解成若干个简单的因式。

需要特别注意的是，分解时一定要满足因式分解的特殊性质，即每个因式至少有一个非零系数。

例如：将多项式2x2+7x+6分解成展开式2x2+7x+3x+3，再进行因式分解：2x2+3x+3=(2x+3)(x+1)，即可满足因式分解的特殊性质。

其次，要把每个因式的因数分解出来，以便重新构造出因式分解式。

这一部分最重要的是，要能够分解出每一组因式的因数，具体的方法是，把因式的项的系数分别乘起来，得到它的常数项，再根据它的单项式把它分解出对应的因数，就可以得到完整的因式分解式了。

最后，要把因式按照正确的形式重新构造出因式分解式。

首先，要根据因式分解的特殊性质重新排列因式，使每个因式的非零系数在因式分解式的头部；其次，要把多项式的最高次数项保留，其他项按降幂排序；最后，要对除系数外的各项因数进行乘积运算，把它们组合成因式分解式。

公式法解一元二次方程一、【基础知识精讲】知识点一 一元二次方程求根公式：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x=2b a-就得到方程的根． （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．知识点二 用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）把方程化成一般形式2ax +bx+c=0，并写出a ，b ，c 的值。

（2）求出2b -4ac 的值。

（3）代入求根公式 :aac b b x 242-±-=( a ≠0，2b -4ac ≥0) （4）写出方程的解： x1=?, x2=?知识点三 一元二次方程根的情况判别一般地，式子b 2-4ac 叫做方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式，通常用希腊字Δ表示它，即Δ= b 2-4ac由求根公式可知，一元二次方程最多有 实数根。

（1）当b 2-4ac ＞0时，一元二次方程有 的实数根；（2）当b 2-4ac=0时，一元二次方程有 的实数根；（3）当b 2-4ac ＜0，一元二次方程 实数根。

二、【典型例题】知识点一 求根公式应用例1用公式法解下列方程．（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x 2解下列方程(1) 3x 2+5x -2 = 0 (2) 2x 2+5x -12 = 0（3）03422=-+-x x （4）（2X-1）(X-2)=12+x知识点二 一元二次方程根的判别若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到的值的符号呢？当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b 2－4ac当一元二次方程有两个相等的实数根时， b 2－4ac当一元二次方程没有实数根时，b 2－4ac例2不解方程，判断下列方程根的情况：1、2260x x +-=；2、242x x +=；3、x x 3142-=+例3 当k 为何值时，关于x 的方程k x 2－（2k ＋1）x ＋k ＋3 = 0有两个不相等的实数根？例4已知一元二次方程2-40x x k +=有两个不相等的实数根。

一、提公因式法这种方法是最简单的，如果看到多项式中有公因子，不管三七二十一，先提取一个公因子再说，因为这样整个问题就被简化了，有点类似我们刚提到的利用因子定理进行因式分解。

例题：因式分解下列多项式：(1)x3y−xy3=xy(x2−y2)=xy(x+y)(x−y) ;(2) 3x3−18x2+27x=3x(x2−6x+9)=3x(x−3)2 ;(3) 3a3+6a2b−3a2c−6abc=3a(a2+2ab−ac−2bc)=3a[a(a−c)+2b(a−c)]=3a(a+2b)(a−c).二、公式法因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，是整式乘积的逆运算，所以如果我们熟悉整式乘积的公式，那么解决因式分解也会很快。

常用的公式如下：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3a2−b2=(a−b)(a+b)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caa3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)还有两个常考的n次方展开的公式：an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+⋯+abn−2+bn−1)(n∈Z+)an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b2−⋯−abn−2+bn−1)(n is odd)例题：因式分解：(a2+b2−1)2−4a2b2=(a2+b2−1+2ab)(a2+b2−1−2ab)=[(a+b)2−1][(a−b)2−1]=(a+b+1)(a+b−1)(a−b+1)(a−b−1)三、十字相乘法（双十字相乘法）简单的十字相乘其实就是公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的运用，这个大家都很熟悉，还有一句口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。

因式分解的七种常见方法因式分解是代数学中非常重要的一个基本概念，可以帮我们优化计算过程，得到简化的式子。

在因式分解的过程中，需要运用不同的方法来将一个给定的式子分解为若干个简单的乘积，本文将会介绍七种常见的因式分解方法。

1. 公式法公式法是一种较为常见的因式分解方法，它可以应用于一些特定的式子。

公式法常用的公式有两个：（1）$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$该公式被称为"a二次减b二次"公式。

它告诉我们，一个平方数减另一个平方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差。

例如：$16-9=7\times5=(4+3)\times(4-3)$（2）$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$该公式被称为"a立方加b立方"公式。

它告诉我们一个立方数加另一个立方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差减去它们的积。

例如：$8^3+1^3=513=(8+1)\times(8^2-8+1)$2. 提公因式法提公因式法是一种常用的因式分解方法。

它的主要思想是将式子中的公因式先提出来，再对剩下的部分进行因式分解。

例如：$ax^2+bx=a(x^2+\frac{b}{a}x)$在上述式子中，$a$是公因式，$(x^2+\frac{b}{a}x)$是剩余部分的因式分解。

这样我们就把原始式子分解成了两个因子的乘积。

3. 十字相乘法十字相乘法主要用于二次三项式的因式分解。

该方法基于以下思想：将二次三项式分解为两个一次三项式的乘积，其中每个一次三项式的首项系数积等于原始式子的二次项系数，常数项积等于原始式子的常数项。

例如：$ax^2+bx+c$，首先将它分解为两个一次三项式$(px+q)(rx+s)$，然后进行十字相乘运算$(px+q)(rx+s)=px\times rx+px\times s+qrx+qs$，其中最后两项括号里的$c$是常数项。

公式法因式分解公式因式分解是数学中的一个重要内容，而公式法因式分解更是解决这类问题的有力工具。

咱们先来说说平方差公式，就是 a² - b² = (a + b)(a - b)。

这就好比你有两个正方形，一个边长是 a，另一个边长是 b，它们的面积差就可以用这个公式来快速计算。

比如说，有个长方形的场地，长是 101 米，宽是 99 米，要计算它的面积。

咱们就可以把它转化为 (100 + 1)×(100 - 1)，这样就能很轻松地算出面积是 9999 平方米。

再看看完全平方公式，(a ± b)² = a² ± 2ab + b²。

这就好像是搭积木，a²是底层的大板子，2ab 是两边的长条，b²是顶头的小方块，它们一起就搭成了一个完整的平方。

比如说，要计算 (x + 3)²，那就可以直接得出 x² + 6x + 9 。

我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小同学特别可爱。

他皱着眉头问我：“老师，这公式到底有啥用啊，感觉好复杂。

”我就笑着跟他说：“孩子，你想想啊，要是你要给一个大花园围栅栏，知道了花园的边长关系，用这个公式就能很快算出需要多长的栅栏材料啦。

”这孩子听了，眼睛一下子亮了起来，好像突然明白了什么。

在解题的时候，公式法因式分解能让复杂的式子变得简单明了。

比如分解 x⁴ - 16 ，我们就可以先把它变成 (x²)² - 4²，然后利用平方差公式，得到 (x² + 4)(x² - 4) ，接着再对 x² - 4 用平方差公式，最终结果就是 (x² + 4)(x + 2)(x - 2) 。

还有完全平方公式的应用，像 4x² + 12x + 9 ，我们能一眼看出这是(2x + 3)²。

这就像是我们找到了一把神奇的钥匙，能轻松打开数学难题的大门。

14.3.2 因式分解公式法（第一课时）一、内容和内容解析1.内容因式分解平方差公式2.内容解析本节课是在学习了提公因式法后,公式法因式分解的第一课时，它是整式乘法中平方差公式的逆向应用，在教材中处于重要的地位。

平方差公式因式分解要充分理解公式的含义,掌握公式的形式与特点. 公式左边的多项式形式上是二项式,且两项符号相反;公式左边的每一项都可以化成某一个数或式的平方形式。

基于以上分析，确定本节课的教学重点：运用平方差公式分解因式。

二、目标和目标解析1、目标（1）进一步理解因式分解的概念，体会因式分解在简化计算上的应用。

（2）会用平方差公式进行因式分解，并从中体验“整体”的思路，树立“换元”的意识。

2、目标解析达成目标（1）的标志是：学生能说出因式分解中平方差公式的特点。

知道这里的平方差公式与整式乘法中的平方差公式是互逆变形的关系。

达成目标（2）的标志是：学生在数学活动过程中，体会平方差公式的结构、特征及公式中字母的广泛含义，理解平方差公式的意义，掌握运用平方差公式解决问题的方法.并在练习中，对发生的错误做具体分析，加深对公式的理解。

三、教学问题诊断分析虽然有了第一节提公因式法做基础，但学生有时还会出现因式分解后又反转回去做乘法的错误，解决此问题的关键是让学生正确认识因式分解的概念，理解它与整式乘法的互逆变形关系。

学生在运用平方差公式分解因式的过程中经常遇到的困难是找不准哪个数或式相当于公式中的a ， b 。

因此，教学中引导学生分析公式的结构特征，并运用变式训练揭示公式的本质特征，以加深学生对公式的理解．本节课的教学难点是：灵活运用平方差公式分解因式，并理解因式分解的要求。

四、教学过程设计1.复习引入问题1 你能叙述多项式因式分解的定义吗？提公因式法的定义是什么？因式分解:（1）3mx-6nx 2;（2）4a 2b+10ab-2ab 3;（3）252 y 师生活动：学生独立思考并解答,找同学的答案投影展示。

因式分解公式法因式分解是数学中一项重要的基础概念和运算技巧之一，广泛运用于各个领域的数学问题解决中。

因式分解公式法（一）是指根据不同的因式形式来进行分解，通过寻找公式来简化和改写一元多项式的表示形式。

本文将详细介绍因式分解公式法（一）的原理和应用方法。

一、原理根据因式分解公式法（一），我们将一元多项式表示为两个因子的乘积形式，其中一个因子通常是一个特殊的多项式形式或者常数。

通过这种形式，我们可以更容易地对多项式进行化简、提取公因子、寻找根以及解决相关的问题。

二、应用方法1.完全平方公式完全平方公式是因式分解公式法（一）中一种常见的应用方法。

当多项式具有形如x^2 + 2ax + a^2或者x^2 - 2ax + a^2的形式时，我们可以将其分解为(x + a)^2或者(x - a)^2例如，对于多项式x^2+6x+9，我们可以将其根据完全平方公式分解为(x+3)^2、同样地，对于多项式x^2-8x+16，我们可以分解为(x-4)^22.平方差公式平方差公式是因式分解公式法（一）中另一种常见的应用方法。

当多项式具有形如x^2-a^2的形式时，我们可以将其分解为(x+a)(x-a)。

例如，对于多项式x^2-16，我们可以根据平方差公式得到(x+4)(x-4)。

3.a^3±b^3的因式分解当多项式具有形如a^3±b^3的形式时，我们可以利用立方和差公式进行因式分解。

立方和差公式的表达式如下：a^3 ± b^3 = (a ± b)(a^2 ∓ ab + b^2)例如，对于多项式x^3+8，我们可以利用立方和差公式分解为(x+2)(x^2-2x+4)。

同样地，对于多项式x^3-27，我们可以分解为(x-3)(x^2+3x+9)。

4.完全立方公式完全立方公式是因式分解公式法（一）中又一种常见的应用方法。

当多项式具有形如a^3 ± 3a^2b + 3ab^2 ± b^3的形式时，我们可以将其分解为(a ± b)^3例如，对于多项式x^3+3x^2+3x+1，我们可以根据完全立方公式分解为(x+1)^35.其他应用除了上述常见的应用方法，因式分解公式法（一）还可以应用于其他情况。

一元二次方程的解法（三）一公式法，因式分解法一知识讲解（提高）【学习目标】1 .理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程;2 .正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3 .通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想.【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1. 一元二次方程的求根公式一元二次方程“工'+bx+c=0\ah 0I,当A=62-Aac 之0时， 2. 一元二次方程根的判别式•元二次方程根的判别式：心=V — .3. 用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x 的一元二次方程./+必:+c=0|卜=①的步骤:①把一元二次方程化为一般形式；②确定a 、b>c 的值（要注意符号）；③求出/一4姓的值;④若川-4公之0,则利用公式工=.土 .求出原方程的解;2a若川-4"<0,则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的 选用.（2） 一元二次方程o^+^+cuOmwO ）,用配方法将其变形为：（.+与2J-产2cl4a①当△=〃—4ac>0时，右端是正数.因此，方程有两个不相等的实根：x l2=—— --------------------------b± Jb 2 - 4ac x --------- - 2a①当A =b 2 -4ac > 0时， 原方程有两个不等的实数根内， -b± - 4ac②当A =b 2 -4ac = 0时，原方程有两个相等的实数根勺=与=- ③当A = b" — Aac <。

时， 原方程没有实数根.’2a②当A=〃一4QC=O时，右端是零.因此，方程有两个相等的实根：x I?=-A1122a③当△=〃—4ac<0时，右端是负数.因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤(1)将方程右边化为0：(2)将方程左边分解为两个一次式的积；(3)令这两个一次式分别为0,得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法(平方差公式、完全平方公式)，十字相乘法等.要点诠释：(1)能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0,另一边可以分解成两个一次因式的积；(2)用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0,那么这两个因式中至少有一个等于0;(3)用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1.解关于x的方程(〃2+九)工2+(4加一2九)戈+〃-5m=0.【答案与解析】(1)当m+n=0且m#0,n#0时，原方程可化为(4机+2机)x-m—57n=0.,:mWO,解得x=l.(2)当m+n#O时，•/a=m+n,b=4m-2n,c=n-5m./.b~-4ac=(4m-2/i)2- +n)(n-5m)=36m2>0,. 2n-4m±J36m22n-4帆土16m\••X=- 92(根+〃) 2。

因式分解讲义一、概念因式分解：把一个多项式化成几个整式乘积的形式,叫做把这个多项式因式分解。

二、因式分解方法1、提公因式法ma+mb+mc=m(a+b+c)公因式：一个多项式每项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。

公因式确定方法：（1）系数是整数时取各项最大公约数。

（2）相同字母（或多项式因式）取最低次幂。

（3）系数最大公约数与相同字母取最低次幂的积就是这个多项式各项的公因式。

2、公式法（1）平方差公式：即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

（2）完全平方公式：即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和 (或差)的平方。

口诀：首平方，尾平方，积的二倍放中央。

同号加、异号减，符号添在异号前。

公式法小结：（1）公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。

（2）选择公式的方法：主要看项数，若多项式是二项式可考虑平方差公式；若多项式是三项式，可考虑完全平方公式。

（3）完全平方公式要注意正负号。

【典型例题】1、下列从左到右是因式分解的是（ ）A. x(a-b)=ax-bxB. x 2-1+y 2=(x-1)(x+1)+y 2C. x 2-1=(x+1)(x-1)D. ax+bx+c=x(a+b)+c2、若2249a kab b ++可以因式分解为2(23)a b -，则k 的值为______3、已知a 为正整数，试判断2a a +是奇数还是偶数？4、已知关于x 的二次三项式2x mx n ++有一个因式(5)x +，且m+n=17，试求m ，n 的值5、将多项式3222012a b a bc -分解因式，应提取的公因式是（ ）A 、abB 、24a bC 、4abD 、24a bc6、已知(1931)(1317)(1317)(1123)x x x x -----可因式分解为()(8)ax b x c ++，其中a ，b ，c 均为整数，则a+b+c 等于（ ） A 、-12 B 、-32 C 、38 D 、727、分解因式（1）6()4()a a b b a b +-+ （2）3()6()a x y b y x --- （3）12n n n x x x ---+（4）20112010(3)(3)-+- （5）ad bd d -+； （6）4325286x y z x y -（10）（a －3）2－（2a －6） （11）－20a －15ax; （12）（m ＋n ）（p －q ）－（m ＋n ）（q ＋p ）8、先分解因式，再计算求值（1）22(21)(32)(21)(32)(12)(32)x x x x x x x -+--+--+ 其中x=1.5（2）22(2)(1)(1)(2)a a a a a -++--- 其中a=189、已知多项式42201220112012x x x +++有一个因式为21x ax ++，另一个因式为22012x bx ++，求a+b 的值10、若210ab +=，用因式分解法求253()ab a b ab b ---的值11、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）A 、22x 4y +B 、22x 2y 1-+C 、224x y -+D 、224x y --12、分解下列因式（1）2312x - （2）2(2)(4)4x x x +++- （3）22()()x y x y +--（4）32x xy - （5）2()1a b -- （6）22229()30()25()a b a b a b ---++（7）2522-b a ； （8）229161b a +-； （9）22)()(4b a b a +--（10）22009201120101⨯- （11）22222100999897...21-+-++-13、若n 为正整数，则22(21)(21)n n +--一定能被8整除14、)10011)(9911()411)(311)(211(22222--⋅⋅⋅---15、在多项式①22x 2xy y +- ②22x 2xy y -+- ③22x xy+y + ④24x 1+4x +，（5）2161a +中，能用完全平方公式分解因式的有（ ）16、A 、①② B 、②③ C 、①④ D 、②④16、222)2(4)________(y x y x -=++ 222)(88)_______(8y x y x +=++。

一元二次方程的解法--公式法因式分解法—知识讲解一、公式法x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)其中，±表示两个解，一个是加号的解，另一个是减号的解。

步骤如下：1.将方程的三个系数a、b和c代入公式中。

2. 计算公式中√(b^2-4ac)的值。

如果b^2-4ac>0，方程有两个不相等的实数根。

如果b^2-4ac=0，方程有两个相等的实数根。

如果b^2-4ac<0，方程没有实数根。

3.根据计算结果，计算方程的解。

例如，解方程x^2+5x+6=0：对应的a=1，b=5，c=6；将a、b和c代入公式中，得到：x=(-5±√(5^2-4*1*6))/(2*1)=(-5±√(25-24))/2=(-5±√1)/2计算得到，x=(-5+1)/2=-2和x=(-5-1)/2=-3所以，该方程的解为x=-2和x=-3二、因式分解法对于一元二次方程，如果可以将其因式分解为两个一次因式的乘积，那么就可以通过使两个因式等于零来解方程。

步骤如下：1.将方程移项，使方程等于零。

将项按照次数排列。

2.尝试将方程因式分解为两个一次因式的乘积，使得它们相加等于一次项的系数，并且相乘等于常数项。

3.解两个一次因式等于零的方程。

4.求得方程的根。

例如，解方程x^2+5x+6=0：首先，观察方程的系数：a=1，b=5，c=6将方程移项，得到x^2+5x+6=0。

根据观察，可以将方程分解为(x+2)(x+3)=0。

解方程(x+2)=0和(x+3)=0，得到x=-2和x=-3所以，该方程的解为x=-2和x=-3总结：通过上述的介绍，我们可以知道，一元二次方程的解法有很多种，其中最常用的方法是公式法和因式分解法。

根据方程的具体情况，我们可以选择合适的解法来解方程。

这些解法都是基础知识，对于掌握代数学的基础很重要。