基于新课标的“初等数论”课程教学实践

高师《初等数论》第一堂课教学设计[摘要]大学新学期第一堂课的教学重点不应是具体内容的讲授，而是要帮助学生明确课程学习意义、了解学科发展简史、明确学科研究对象，并通过问题帮助学生认识到自身的不足，此外教师还应该在第一堂课上明确课程学习要求及目标。

[关键词]初等数论；课程；第一堂课；教学设计高等教育明显不同于初等教育的一个特点是开设课程的多样性，一个大学生四年大约要修30-40门不同的课程，而且这些课程多是一学期修完，所以，大学生通常在每个学期伊始都会面对诸多的新开课程。

“好的开始是成功的一半”，一门大学课程第一堂课的教学既关乎教师留给学生的第一印象又对于帮助学生明确该门课程的学习意义、调动学生的学习积极性有重要的作用，所以，教师对于自己任教课程的第一堂课应该格外重视，做更加充分的准备，具体来说，大学课程第一堂课应该讲什么，如何讲？本文以地方高师院校数学教育专业《初等数论》为例，谈一下自己对这一问题的理解。

《初等数论》是大学数学系普遍开设的一门课程，初等数论一般被认为是古老而又常新的学科，它既是典型的纯粹数学，又是日益得到广泛应用的新“应用数学”，高师院校数学教育专业有其专业特殊性，所以开设此课程时除了介绍有关数论的基础理论以外，还要注重强调数论的应用性，更要结合师范的专业特色来组织教学。

一、明确课程的学习意义及必要性一门课程的学习伊始，教师应该清晰谨慎地提出本课程可以给予学生的承诺与机会。

例如，该课程将帮助学生回答什么样的问题？这些问题将有助于他们发展何种类型的智力、体力、感情或社交能力？学习该门课程对于他们后续课程学习有什么帮助？对于他们日后工作有什么样的帮助，所以，第一堂课，最重要的不是快速进入教学内容的讲授环节，而在于帮助学生明确该门课程的学习意义。

一个直接明了的问题有助于引起学生的深入思考，所以教师首先可以向学生提出问题：为什么学习《初等数论》（或课程）？要回答该问题，不仅需要教师对于该门课程的课程教学目标有清晰的理解，而且要能通过简洁、非专业的语言向未学习该门课程的同学解释清楚答案，对该问题的回答既有学科知识上的考虑，如对于后续课程的学习、对学生能力的培养等方面的影响，但更要从学生实际出发，采用实用主义的观点，告诉学生该课程对于其自身日后的成长发展尤其是毕业求职以及离开学校后的发展可能会起的作用。

初等数论教案教案标题：初等数论教学目标：1. 了解数论的基本概念和原理；2. 掌握数论中常见的数学方法和技巧；3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力；4. 培养学生对数学的兴趣和探究精神。

教学内容：1. 数的整除性质与整数的性质；2. 最大公约数与最小公倍数；3. 质数与合数；4. 素因数分解；5. 同余与模运算；6. 一次同余方程；7. 基本定理与欧拉函数。

教学步骤：第一步：导入（5分钟）引入数论的基本概念，介绍数论在数学中的重要性和应用领域，激发学生的学习兴趣。

第二步：知识讲解与讨论（20分钟）1. 数的整除性质与整数的性质：介绍整数的基本性质，包括奇偶性、约数、倍数等概念。

2. 最大公约数与最小公倍数：讲解最大公约数和最小公倍数的定义、性质和计算方法，并通过例题进行实际操作和讨论。

3. 质数与合数：介绍质数和合数的定义，让学生了解它们的特征和性质。

4. 素因数分解：讲解素因数分解的概念和方法，并通过实例演示如何进行素因数分解。

第三步：案例分析与解决问题（25分钟）1. 同余与模运算：介绍同余的概念和性质，讲解模运算的基本规则和应用。

2. 一次同余方程：讲解一次同余方程的定义和解法，并通过例题引导学生进行练习和思考。

3. 基本定理与欧拉函数：讲解基本定理和欧拉函数的定义和性质，通过实例演示如何应用基本定理和欧拉函数解决问题。

第四步：练习与巩固（15分钟）布置一些练习题，让学生独立完成，并及时给予指导和解答。

第五步：总结与拓展（10分钟）对本节课所学内容进行总结，并提出一些拓展问题或思考题，鼓励学生进一步思考和探究。

教学资源：1. 教材：根据教学内容选择合适的初等数论教材；2. 板书：用于记录重要知识点和解题思路；3. 练习题：提供给学生进行巩固和拓展练习。

评估方式：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与度和回答问题的能力；2. 练习题成绩：评估学生对所学知识的掌握程度；3. 拓展问题回答：评估学生对数论知识的理解和应用能力。

初中数学教学在新课程标准下的实践与思考民权县城关镇老城初级中学张瑞内容摘要：《九年制义务教育数学课程标准》基本出发点上是促进学生全面、持续、和谐地发展，它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律。

强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而让学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。

基于这些新理念，我们在平时教学实践中，应从学生学习数学的兴趣、学生经历数学知识的形成与应用过程、学生在实践中如何发现数学问题、如何渗透数学思想、学会分析问题、解决问题的方法、多样化的学习方式、利用现代化教学手段解决数学问题的六个方面去教导学生，帮助学生。

关键词：实践思考兴趣推动力现代化教学手段数学改革确实给教学带来了一些可喜的变化，诸如教师角色的转换、学生学习方式的变化、学生创新能力的增强等等。

但是在具体的课堂教学中也暴露出一些问题，而且有些问题还相当严重和普遍，已经严重影响了新课程的实施。

新课程标准实施至今也已有不少时日，它带来了不少的变革，不少争议和不少探索，也促使教育不断的向前发展。

在这种新标准的指导下我们教师的教学需要什么？我们学生的学习需要什么？以下结合一年来的教学实践谈谈自己的看法。

一、首先，激发学生学习数学的兴趣。

兴趣是最好的老师，是获得知识的巨大的推动力。

什么样的学生最喜欢学习数学？什么样的学生数学学得最好？当然是对数学有兴趣的学生。

课堂上他们专心听讲、积极讨论、敢于质疑、勇于表现，课后他们潜心钻研、迎难而上、乐此不疲，大有“誓攀天下高！”的雄心。

为什么这些学生如此喜欢数学？通过对学生学习心理进行分析，我们发现这些学生在学习数学的活动中获得了成功，努力的价值得到肯定，所以喜欢学习数学，喜欢参加数学活动。

教学时要利用数学本身的魅力，调动学生的学习积极性，继而增强学生学习数学的情感。

比如，我们组织学生去春游，可让他们学习自己动脑，如何买票更经济、更划算。

引言概述：初等数论是数学的一个重要分支，它研究整数的性质和关系，是一门基础性的课程。

本文旨在为《初等数论》课程的教学制定一份详细的大纲，以帮助教师合理安排教学内容，提高教学效果。

正文内容：一、素数与合数1.素数的定义与性质素数的定义：只能被1和自身整除的正整数。

2.合数的定义与性质合数的定义：不是素数的正整数。

二、因数与倍数1.因数的概念因数的定义：能整除一个数的整数。

因子的分类：负因数、正因数、真因数。

2.最大公因数与最小公倍数最大公因数的定义与性质：两个数公共因子中最大的一个。

最小公倍数的定义与性质：两个数公共倍数中最小的一个。

三、整数的整除性与除法算法1.整除的概念与性质整除的定义：一个数能够被另一个数整除。

整除的性质：整数除法原则、整数的对称性。

2.整数的除法算法除法算法的步骤与原理：用减法、用乘法、整数除法算法的应用。

四、余数与模运算1.余数的概念与性质余数的定义：做除法时除不尽的部分。

余数的性质：余数的范围、余数的基本性质。

2.模运算的概念与性质模运算的定义：对于整数a和正整数n，a与n的商所得的余数。

模运算的性质：模运算的加法、减法和乘法规则。

五、同余与模运算应用1.同余的定义与性质同余的定义：对于整数a、b和正整数n，当a与b对n取余相等时，称a与b模n同余。

同余的性质：同余的传递性、同余的运算性质。

2.模运算的应用模运算在代数方程中的应用：线性同余方程、模运算的性质在方程求解中的应用。

总结：本文从素数与合数、因数与倍数、整除性与除法算法、余数与模运算以及同余与模运算应用等五个大点进行阐述。

通过这些内容的学习，学生将能够了解整数的性质和关系，理解数论的基本原理，为后续数学学习打下坚实的基础。

教师在教学过程中，应注重拓展学生的数学思维、培养其解决问题的能力，并结合实际生活和其他数学知识进行应用。

通过系统的教学大纲指导，教师能够更好地组织教学内容，提高学生的学习效果。

基于教师教育的初等数论课程教学改革的实践与研究原新生，吕金城，李光海(安阳师范学院数学与统计学院，河南安阳455000)[摘要]初等数论是高等师范院校数学与应用数学专业一门重要的专业基础课。

针对师范院校的特点，结合自己初 等数论课程的教学实践，介绍了改革初等数论教学,加强对学生师德教育、教学实践能力和创造性思维能力培养的一些 做法和体会。

[关键词]教师教育;初等数论教学;教学改革[中图分类号]G642.0 [文献标识码] [文章编号]1671 -5330(2017)05 -0150 -03习近平总书记在北京市八一学校考察时强 调，教育决定着人类的今天，也决定着人类的未 来。

基础教育在国民教育体系中处于基础性、先 导性地位，必须把握好定位，全面贯彻落实党的教 育方针，从多方面采取措施，努力把我国基础教育 越办越好。

广大教师要做学生锤炼品格的引路 人，做学生学习知识的引路人，做学生创新思维的 引路人，做学生奉献祖国的引路人。

作为培养未 来中小学教师的高等师范院校，能否不辜负习近 平总书记的期望，担负起时代赋予我们的使命，把 高等师范院校的学生培养成教学的行家里手是摆 在我们面前的重大课题。

目前，一方面很多地方 高等师范院校正处在转型发展期，向综合型、应用 型发展的高校在不断地增多，教师教育类专业的 重要地位受到各种非教师教育类专业的冲击，使 其投入到教师教育类专业的人力、财力和物力逐 步减少，随着社会和学校的快速发展，教师教育类 专业没有得到应有的重视。

另一方面我们的毕业 生与服务社会的要求还有一定的距离，主要表现 为:在毕业生就业形势日益严峻的今天，在社会上 进行招教考试时，高等师范院校的毕业生在与普 通高校毕业生的竞争中并没有表现出明显的、本应该具有的优势。

例如，所学的知识不能与所从 事的教师职业有很好的结合，达不到学以致用的 目的。

又如，有的学生只会学不会教，学习成绩优 秀但不会运用教育教学规律去指导教学和班级管 理等等。

初等数论的教学实践与思考近年来，初等数论在计算机科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域得到了广泛的应用，同时近代数学中许多重要的思想、概念、方法与技巧都是从对整数性质的深入研究中不断丰富和发展起来的。

因此，学习这门课程对学生来说非常重要，与其它数学专业课程比较来看，初等数论似乎很简单，但根据其涉及的题目却形式多样，解题时需要一定的技巧，所以真正教好、学好它并不容易。

如何调动学生学习的积极性，在教学过程中如何启发引导学生，提高初等数论的教学效果，对学生进一步的学习和毕业以后的教学研究和实践有重要的意义。

一、挖掘教材中的隐性知识，拓宽学生知识面教材中的知识可以分成两类：一类是表述相对明显，能被学生直接解读、理解的知识；另一类是没有直接表述出来的知识，需要经过教师的点拨、讲解才能彰显出来，才能被学生理解，即我们通称的隐性知识。

在注重知识应用能力培养的今天，教师很有必要在教学实践中对教材中的隐性知识进行充分的挖掘。

《初等数论》的内容简明、语言精练，由此造成了不少的隐性知识。

如在书本31 页有这样一道习题：证明：二元一次不定方程ax+by=N,( a, b) =1, a> 1, b> 1,当N>ab-a-b 时，有非负整数解。

N=ab-a-b 时则不然。

如果教师在教学中稍加引导，则不难得到如下两个结论：①不能表示成形如ax+by{ (a, b)=1, a> 1, b> 1｝的最大正整数为N=ab-a-b ;②使ax+by=N无非负整数解的最大正整数N=ab-a-b 。

教材中这样的隐性知识很多，教师如能充分挖掘，便可拓宽学生的知识面，而且能增加学生对初等数论的学习兴趣。

二、注重知识点间的联系，横向辐射任何知识点都不是孤立存在的，都与周围其他知识点处于相互联系中。

同时，构成某个知识点的各个要点也不是散乱的一团，而是相互依存、有机联系在一起的。

老师在教学时一定要注意到知识点与知识点之间的联系，以点带动面，以面带动板块，以板块进行辐射，万不可把知识点进行人为的孤立，无论对于学生的思维连贯性与广度，都是非常不利的。

《初等数论》课程标准1.课程说明《初等数论》课程标准课程编码〔14060051〕承担单位〔师范学院〕制定〔〕制定日期〔2022年11月12日〕审核〔专业指导委员会〕审核日期〔〕批准〔二级学院（部）院长〕批准日期〔〕（1）课程性质：本门课程是小学教育专业的核心课程，是专业选修课程。

（2）课程任务：本课程主要针对小学教育专业数学方向学生开设，主要任务是培养学生在小学数学教师，教育培训机构数学辅导员等岗位所必需的理性思维能力和创新实践能力，要求学生掌握熟练应用理论知识解决实际问题、课堂教学中动手操作等方面的基本技能。

（3）课程衔接：在课程设置上，前导课程有《大学数学》，后续课程有《概率论》、《数学实践》。

2.学习目标通过对本课程的学习，提高的数学素养与数学能力。

通过引领的项目活动，使学生成为具备从事小学教育职业的高素质劳动者和小学教育专业的高级技术人才，同时培养学生敬业爱岗思想、团结协作精神。

在数论学习过程中，能熟练使用数论的基本概念、公式、定理、法则以及其它基础知识。

能熟练应用初等数论的数学方法与数学思想。

能熟练运用数论中的逻辑推理、演绎等方法。

同时要求有独立研究学习，查阅资料，重视交流等能力。

会熟练使用数论知识解决相关的初等数学问题。

3.课程设计按照“以能力为本位，以职业实践为主线，以项目课程为主体的模块化专业课程体系”的总体设计要求，以工作任务模块为中心构建的教学项目课程体系。

彻底打破学科课程的设计思路，紧紧围绕项目任务完成的需要来选择和组织课程内容，突出工作任务与知识的联系，让学生在职业实践活动的基础上掌握知识，增强课程内容与职业岗位能力要求的相关性，提高学生的就业能力。

项目一数的整除性参考学时26项目二同余参考学时14项目三数论函数参考学时8项目四不定方程参考学时64.教学设计项目一数的整除性学习目标能够熟练使用奇偶分析法，质因数分解定理。

会正确使用求最大公约数方法及裴蜀恒等式。

能用所学知识解决相关习题。

新课程理念下初中数学实验教学的实践与思考《数学课程标准》指出“让学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力”。

由此，教师的教学观念和方式都发生了很大的变化，合作学习、探究性学习等现代教学方式已广泛用于初中数学的课堂教学。

数学实验教学的出现是一种必然，也是一种需要。

教学实践表明，数学实验教学能创设良好的教学情境，使学生有兴趣地、有信心地学习数学。

一、对初中数学实验教学的认识数学实验是为了探究数学知识、检验数学结论（或假设）而进行的某种操作或思维活动。

数学实验教学是让学生通过自己动手操作，进行探究、发现、思考、分析、归纳等思维活动，最后获得概念、理解或解决问题的一种教学活动。

数学教育家G?波利亚指出：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式严谨的科学，从这方面讲数学像是一门系统的演绎科学；但另一方面，创造过程中的数学看起来却像一门实验性的归纳科学”；大数学家欧拉说：“数学这门科学需要观察，也需要实验”。

然而，长期以来，我们的教科书只重视数学的“抽象性和逻辑性”，却对“应用性”提得很少，教学中重教知识的传授，少教甚至不教知识的产生和发展过程。

因此，在数学教学中开展实验显得很有必要，数学实验教学可以使学生体验和感悟数学的两个侧面，可从某些方面让学生亲历“数学发明创造的过程”，符合人的认知规律，有助于学生对数学概念、规律及本质产生过程的了解和掌握；有助于学生对“数学源于生活，高于生活，又指导生活”的理解；有助于培养学生自觉学习和运用数学的意识；有助于学生进入主动探究的状态、变被动的接受学习为主动的建构过程，同时培养学生创新精神、运用数学的意识和能力。

二、初中数学实验教学的模式与传统的物理、化学、生物实验相同，数学实验不仅需要学生动手，更需要动脑。

即通过对情境资料的观察、比较、分析、综合、抽象和推理，得出或深层次理解数学概念、规律及本质。

根据数学实验教学的实践和探索，我们可以把数学实验教学归纳为以下三种模式：1. 操作性数学实验教学模式操作性数学实验教学是通过对一些工具、材料的动手操作，创设问题情境，引导学生自主探索数学知识、检验数学结论（或假设）的教学活动，这种实验教学模式由以下环节组成：（1）实物准备；（2）创设情境；（3）实验操作；（4）观察猜想；（5）归纳结论。

《初等数论》教学大纲课程名称：初等数论课程编号： 0641011课程类别：专业必修课适用对象：数学与应用数学专业（4年制普通本科）总学时数： 54学分： 3一、课程性质和教学目标1．课程性质：“初等数论”课程是数学与应用数学专业必修的学科专业课课程，是近世代数等后续课程的基础，也为将来从事数论，代数学，组合数学及信息安全等方面研究的同学打下必要的数论基础。

它是研究整数性质的一门学科，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。

数学与应用数学专业的学生学习一些初等数论的基础知识可以加深对数的性质的了解与认识，便于理解和学习与其相关的一些课程。

2．教学目标：通过本课程的学习使学生获得关于整数的整除性、不定方程、同余式、原根与指数的基本知识，掌握数论中的最基本的理论和常用的方法，加强他们的理解和解决数学问题的能力，为今后的学习奠定必要的基础。

通过本课程的学习，还能使学生加深对整数的性质的了解，更深入地理解初等数论与其它邻近学科的关系。

二、教学要求和教学内容第一章基础知识 12学时[教学要求]熟练掌握整除的性质及带余除法，熟练地计算最大公约数，最小公倍数，掌握素数的性质及唯一分解定理；熟练掌握一次不定方程的性质及其解法，掌握方程的解法，初步掌握一些不定方程的特殊解法；掌握连分数与有理数、无理数之间的关系，会求连分数的渐近分数，熟悉连分数的简单应用；理解抽屉原理与容斥原理，能用来解决某些简单问题。

[教学内容]● 讲授内容1．整数的整除性2．简单的不定方程3．简单连分数4．抽屉原理和容斥原理第二章同余 12课时[教学要求]熟练掌握同余的概念及其基本性质，熟悉同余的简单应用，掌握完全剩余系与缩系的性质；掌握欧拉定理、费马定理与威尔逊定理，并能熟练地运用；熟练掌握一元一次同余式、二元一次同余式和一元一次同余式组有解的充要条件及其解法、熟练掌握孙子定理；了解高次同余式解数的有关性质，掌握素数模与合数模的高次同余式的解法。

结合小学数学教学新课改浅谈初等数论教学改革摘要:对师范院校的小教专业开设《初等数论》课程的必要性,教学现状等方面进行一些探讨,并且提出如何开设好该课程的教学建议,以便更好地培养适应新时期小学教育的教师。

本文科学地描述了初等数论的学与教及其两者之间的关系。

初等数论的学与教主要指的是师范院校为学生的培养开设的课程，它能够培养学生扎实的数学基础知识及数论特有的思想方法。

一方面有利于学生进一步探索数论的未知领域做准备；另一方面有利于将要从事小学数学教学的教师更好地把握初等数论的教学。

教师要有机地将初等数论的学与教结合起来，通过教师和学生的学习，掌握数论的基础知识和思想方法，进一步养成科学的人生观、价值观。

关键词:初等数论; 小学数学；创造性思维;创造性能力; 数学思想方法一、初等数论概况数论是一门古老而基础的数学，至今仍有许多没有解决的问题，一些问题的解决对于现代数学的发展起到了重要的推动作用，也产生了一些直接与数学有关的新的重要的数学分支，而且在现代信息技术中有很重要的应用。

在日常生活中，也常常会遇到数论的一些问题。

初等数论是研究整数最基本的性质，是一门十分重要的数学基础课程，所以高等院校的本科生在可能的情况下学习数论知识是有益的，一方面通过这些内容加深对数的性质的了解，更深入地理解某些其他邻近学科；另一方面也许更重要的是可以加深他们的数学训练，这些训练在很多方面是有益的。

同时，学习一些数论的发展史也是很有好处的，尤其是中国古代和近代对数论领域的贡献。

目前大学中的数论课程教学内容比较陈旧，教学方法也比较单一，这对于提高数论教学质量十分不利，为我们培养具有灵活思维能力、具有创造力的适应《小学数学新课程标准》要求的未来小学数学教师更没有益处。

二、初等数论的基本内容和思想方法初等数论以整除和同余理论为基础，主要研究整数性质和不定方程。

初等数论貌似简单，但真正掌握并非易事。

它的内容严谨简洁，方法奇巧多变，蕴含了丰富的数学思想方法，其数学思想方法又往往隐含在数学知识和问题解决的过程中。

收稿日期：2011－05－25作者简介：晏燕雄（1977－），男，博士，主要从事有限群理论研究。

November，2011第24卷第6期重庆教育学院学报Vol.24No.6 2011年11月Journal of Chongqing Education College1引言初等数论（Elementary Number Theory）课程是高等院校初等教育专业的一门专业技术课程。

初等数论是主要用算术方法来研究整数性质的一门学科，是数学中最古老的分支之一。

初等数论研究的主要研究整除理论、同余理论、不定方程及原根与指标四大部分。

其中整除理论是初等数论的基础；同余理论是初等数论的核心内容，是初等数论所特有的思想、概念和方法；以整除和同余理论为基础，初等数论主要研究整数的性质和不定方程。

目前高等院校中的初等数论课程教学内容相对陈旧，教学方法比较单一，而且在日常生活中的应用不明显，这些问题对于提高数论的教学质量而言十分不利，同时对我们培养具有灵活思维能力、具有创造力的未来中小学数学教师也更加不利。

为此，本文针对初等数论课程的特点，从教学内容和教学方法等方面对数论课程的教学进行改进。

2我国初等数论课程的教学现状数学不仅仅是逻辑推理和数、式的简单演算，而且还是活生生的科学现实。

数学史、数学意识及数学思维方法的形成都是数学教学应当涉及的范畴，然而，在初等数论的教学中这些几乎是盲区。

数学基础知识固然重要，但是初等数论的产生、演化、发展、数学事件、数学思维方法的孕育、萌芽、形成过程及划时代的意义等也非常重要。

我们的初等数论教材中对数学史的渗透、融合重视程度还很不够。

因而，应该改变初等数论课程的现有教学模式，充分发挥数学史知识在提高教师的教学效果及进行国家提倡的素质教育方面的重要作用。

另外，如整除理论、质数与合数、最大公约数与最小公倍数、同余方程、不定方程等教学内容与中学联系较为紧密，而且这些知识点被认为是中学数学奥林匹克竞赛的常客。