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习题精选一、选择题1．过抛物线焦点的直线与抛物线相交于，两点，若，在抛物线准线上的射影分别是，，则为（）．A．45°B．60°C．90°D．120°2．过已知点且与抛物线只有一个公共点的直线有（）．A．1条B．2条C．3条D．4条3．已知，是抛物线上两点，为坐标原点，若，且的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线的方程是（）．A．B．C．D．4．若抛物线（）的弦PQ中点为（），则弦的斜率为（）A．B．C．D．5．已知是抛物线的焦点弦，其坐标，满足，则直线的斜率是（）A．B．C．D．6．已知抛物线（）的焦点弦的两端点坐标分别为，，则的值一定等于（）A．4 B．－4 C．D．7．已知⊙的圆心在抛物线上，且⊙与轴及的准线相切，则⊙的方程是（）A．B．C．D．8．当时，关于的方程的实根的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个9．将直线左移1个单位，再下移2个单位后，它与抛物线仅有一个公共点，则实数的值等于（）A．－1 B．1 C．7 D．910．以抛物线（）的焦半径为直径的圆与轴位置关系为（）A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定11．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么长是（）A．10 B．8 C．6 D．412．过抛物线（）的焦点且垂直于轴的弦为，为抛物线顶点，则大小（）A．小于B．等于C．大于D．不能确定13．抛物线关于直线对称的曲线的顶点坐标是（）A．（0，0）B．（－2，－2）C．（2，2）D．（2，0）14．已知抛物线（）上有一点，它到焦点的距离为5，则的面积（为原点）为（）A．1 B．C．2 D．15．记定点与抛物线上的点之间的距离为，到此抛物线准线的距离为，则当取最小值时点的坐标为（）A．（0，0）B．C．（2，2）D．16．方程表示（）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆17．在上有一点，它到的距离与它到焦点的距离之和最小，则的坐标为（）A．（－2，8）B．（2，8）C．（－2，－8）D．（－2，8）18．设为过焦点的弦，则以为直径的圆与准线交点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．0或1或219．设，为抛物线上两点，则是过焦点的（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．不充分不必要20．抛物线垂点为（1，1），准线为，则顶点为（）A．B．C．D．21．与关于对称的抛物线是（）A．B．C．D．二、填空题1.顶点在原点，焦点在轴上且通径（过焦点和对称轴垂直的弦）长为6的抛物线方程是_________．2.抛物线顶点在原点，焦点在轴上，其通径的两端点与顶点连成的三角形面积为4，则此抛物线方程为_________．3．过点（0，－4）且与直线相切的圆的圆心的轨迹方程是_________．4．抛物线被点所平分的弦的直线方程为_________．5．已知抛物线的弦过定点（－2，0），则弦中点的轨迹方程是________．6．顶点在原点、焦点在轴上、截直线所得弦长为的抛物线方程为____________．7．已知直线与抛物线交于、两点，那么线段的中点坐标是__ _．8．一条直线经过抛物线（）的焦点与抛物线交于、两点，过、点分别向准线引垂线、，垂足为、，如果，，为的中点，则 =__________．9．是抛物线的一条焦点弦，若抛物线，，则的中点到直线的距离为_________．10．抛物线上到直线的距离最近的点的坐标是____________．11．抛物线上到直线距离最短的点的坐标为__________．12．已知圆与抛物线（）的准线相切，则=________．13．过（）的焦点的弦为，为坐标原点，则 =________．14．抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的纵坐标为__________．15．已知抛物线（），它的顶点在直线上，则的值为__________．16．过抛物线的焦点作一条倾斜角为的弦，若弦长不超过8，则的范围是________．17．已知抛物线与椭圆有四个交点，这四个交点共圆，则该圆的方程为__________．18．抛物线的焦点为，准线交轴于，过抛物线上一点作于，则梯形的面积为_______________．19．探照灯的反射镜的纵断面是抛物线的一部分，安装灯源的位置在抛物线的焦点处，如果到灯口平面的距离恰好等于灯口的半径，已知灯口的半径为30cm，那么灯深为_________．三、解答题1．知抛物线截直线所得的弦长，试在轴上求一点，使的面积为392．若的焦点弦长为5，求焦点弦所在直线方程3．已知是以原点为直角顶点的抛物线（）的内接直角三角形，求面积的最小值．4．若，为抛物线的焦点，为抛物线上任意一点，求的最小值及取得最小值时的的坐标．5．一抛物线拱桥跨度为52米，拱顶离水面6.5米，一竹排上一宽4米，高6米的大木箱，问能否安全通过．6．抛物线以轴为准线，且过点，（）求证不论点的位置如何变化，抛物线顶点的轨迹是椭圆，且离心率为定值．7．已知抛物线（）的焦点为，以为圆心，为半径，在轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不同的两点、，为线段的中点．①求的值；②是否存在这样的，使、、成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．8．求抛物线和圆上最近两点之间的距离．9．正方形中，一条边在直线上，另外两顶点、在抛物线上，求正方形的面积．10．已知抛物线的一条过焦点的弦被焦点分为，两个部分，求证．11．一抛物线型拱桥的跨度为，顶点距水面．江中一竹排装有宽、高的货箱，问能否安全通过．12．已知抛物线上两点，（在第二象限），为原点，且，求当点距轴最近时，的面积．13．是抛物线上的动点，连接原点与，以为边作正方形，求动点的轨迹方程．参考答案：一、1．C；2．C；3．D；4．B；5．C；6．B；7．B；8．D；9．C10．C；11．B；12．C；13．C；14．C；15．C；16．C；17．B；18．B；19．C；20．A；21．D二、1．；2．；3．；4．5．；6．（在已知抛物线内的部分）7．或；8．（4，2）；9．10．；11．；12．2；13．－414．2；15．0，，，；16．17．；18．3．14；19．36.2cm三、1．先求得，再求得或2．3．设，，则由得，，，于是当，即，时，4．抛物线的准线方程为，过作垂直准线于点，由抛物线定义得，，要使最小，、、三点必共线，即垂直于准线，与抛物线交点为点，从而的最小值为，此时点坐标为（2，2）．5．建立坐标系，设抛物线方程为，则点（26，－6.5）在抛物线上，抛物线方程为，当时，，则有，所以木箱能安全通过．6．设抛物线的焦点为，由抛物线定义得，设顶点为，则，所以，即为椭圆，离心率为定值．7．①设、、在抛物线的准线上射影分别为、、，则由抛物线定义得，又圆的方程为，将代入得②假设存在这样的，使得，由定义知点必在抛物线上，这与点是弦的中点矛盾，所以这样的不存在8．设、分别是抛物线和圆上的点，圆心，半径为1，若最小，则也最小，因此、、共线，问题转化为在抛物线上求一点，使它到点的距离最小.为此设，则，的最小值是9．设所在直线方程为，消去得又直线与间距离为或从而边长为或，面积，10．焦点为，设焦点弦端点，，当垂直于轴，则，结论显然成立；当与轴不垂直时，设所在直线方程为，代入抛物线方程整理得，这时，于是，命题也成立．11．取抛物线型拱桥的顶点为原点、对称轴为轴建立直角坐标系，则桥墩的两端坐标分别为（－26，－6.5），（26，－6.5），设抛物线型拱桥的方程为，则，所以，抛物线方程为．当时，，而，故可安全通过．12．设，则，因为，所以，直线的方程为，将代入，得点的横坐标为（当且仅当时取等号），此时，，，，所以．13．设，，过，分别作为轴的垂线，垂足分别为，，而证得≌，则有，，即、，而，因此，即为所求轨迹方程．。
描述：例题：高中数学选修1-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用一、学习任务1. 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式函数的单调区间．2. 了解函数的极大（小）值、最大（小）与导数的关系；会求函数的极大（小）值，以及在指定区间上函数的最大（小）值．二、知识清单导数与函数的图象 利用导数研究函数的单调性 利用导数求函数的极值利用导数求函数的最值三、知识讲解1.导数与函数的图象（1）导数 表示函数 在点 处的切线斜率．当切线斜率为正值时，切线的倾斜角小于 ，函数曲线呈上升状态；当切线的斜率为负值时，切线的倾斜角大于 且小于 ，函数曲线呈下降状态．（2）如果在区间 内恒有 ，那么函数 在区间 内是常函数．()f ′x 0y =f (x )(,f ()x 0x 090∘90∘180∘(a ,b )(x )=0f′y =f (x )(a ,b ) 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有可能是下列选项中的（ ）解：C导函数的图象在 轴的上方，表示导函数大于零，原函数的图象呈上升趋势；导函数的图象在 轴的下方，表示导函数小于零，原函数的图象呈下降趋势．由 时导函数图象在 轴的上方，表示在此区间上，原函数图象呈上升趋势，可排除 B、D 选项；由 时导函数图象在 轴的下方，表示在此区间上，原函数的图象呈下降趋势，可排除 A 选项．(x )f ′f (x )y =(x )f ′f (x )x x x ∈(−∞,0)x x ∈(0,1)xy=f(x)已知函数 的图象如图所示，则导函数f(x)(a,b)则函数 在开区间答案：解析：3. 已知函数 ， 的导函数的图象如下图，那么 ， 的图象可能是．A．B ．C ．D ．D 和 都是单调递增的，但 增长的越来越慢， 增长的越来越快，并且在 处， 的切线的斜率应该相等．y =f (x )y =g (x )y =f (x )y =g (x )()f (x )g (x )f (x )g (x )x 0f (x ),g (x)高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
高二选修一数学教材练习题答案【注意】以下是高二选修一数学教材中练习题的答案，请同学们在完成练习题后，对照答案进行自我评估和订正。
答案中的计算过程可以参考，但请注意，为了保证你的学习效果，建议在自己尝试过后再对照答案。
1.选择题：1. A2. B3. C4. D5. A6. B7. C8. D9. A10. B2.填空题：1. 602. 17.53. 544. 0.65. 0.756. 367. 368. 359. 3010. 493.解答题：1. (1) 列方程：2x - 5 = 11解方程得：x = 8(2) 验证：2*8 - 5 = 16 - 5 = 112. (1) 首项 a = 3，公差 d = 2所求和为：S = (n/2)(2a + (n-1)d)，代入已知条件，得： 108 = (n/2)(2*3 + (n-1)*2)化简方程得：9n - n^2 = 216化简为二次方程：n^2 - 9n + 216 = 0解二次方程得：n = 6 或 36，由题意，n>0，因此 n = 6(2) 所求最后一项为：a + (n-1)d = 3 + (6-1)*2 = 133. (1) 列方程：4x - 7 = 9解方程得：x = 4(2) 验证：4*4 - 7 = 16 - 7 = 94. (1) 列方程：5x + 8 = 23解方程得：x = 3(2) 验证：5*3 + 8 = 15 + 8 = 235. (1) 列比例：1/3 = x/9解比例得：x = 3(2) 验证：1/3 = 3/96. (1) 首项 a = 2，公比 q = 3所求和为：S = a * (1-q^n)/(1-q)，代入已知条件，得：S = 2 * (1-3^n)/(1-3)S = -(1/2) * (1-3^n)(2) 当 0 < q <1 时，q^n 会无限逼近于0，因此当 0 < q <1 时，S 会无限逼近于 -(1/2)4.证明题：1. 已知：直角三角形 ABC，其中∠C = 90°，AD ⊥ BC，E 为 BC上一点，且 AB = AC。
第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1．1空间向量及其线性运算P5练习1.举出一些表示三个不同在一个平面内的向量的实例．【答案】在三棱锥P ABC -中，PA →，PB →，PC →不同在一个平面内；长方体ABCD A B C D ''''-中，从一个顶点A 引出的三个向量AB →，AD →，AA →'不同在一个平面内.2.如图，E ，F 分别是长方体ABCD A B C D ''''-的棱AB ，CD 的中点、化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：（1）AA CB '- ；（2）AA AB BC '++ ；（3）AB AD B D ''-+ ；（4）AB CF + ．【答案】（1）AA CB AA BC AA A D AD ''''''-=+=+=；（2）AA AB B C AA A B B C AC '''''''++=++''= ；（3）0AB AD B D AB AD BD DB BD -+=-+=+''= ；（4）AB CF AB BE AE +=+= .3.在图中，用AB ，AD ，AA ' 表示A C ' ，BD ' 及DB '．【答案】()A C A A AC AA AB AD AB AD AA =+=-''++=-''+，()()BD BD DD BA BC DD AB AD AA AA AD AB =+=++=-++=+-''''' ，()()DB DB BB DA DC BB AD AB AA AA AB AD =+=++=-++''''=-'+ .4.如图，已知四面体ABCD ，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量；（1）AB BC CD ++；（2）()12AB BD BC ++ ；（3）()12AF AB AC -+ ．【答案】（1）AB BC CD AC CD AD ++=+=；5.如图，已知正方体ABCD A B C D ''''-，E ，F 分别是上底面A C ''和侧面CD '的中心，求下列各式中x ，y 的值：（1）AC x AB BC CC →→→→⎛⎫''=++ ⎪⎝⎭（2）AE AA x AB y AD →→→→'=++（3）AF AD x AB y AA →→→→'=++【答案】（1）+AC AB AD AA AB BC CC →→→→→→→'''=+=++，所以1x =；（2）1111111()()2222222AE AA AC AA AC AA AA AB AD AA AB AD→→→→→→→→→→→→'''''''=+=+=+++=++，所以12x y ==；（3）111111()222222AF AD AC AD AB AA AD AD AB →→→→→→→→→→'''=+=+++=++,所以12x y ==.1.1.2空间向量的数量积运算P8练习6.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，若1AB =，则1AB 与1BC 所成角的大小为（）A.60︒B.90︒C.105︒D.75︒【答案】在正三棱柱111ABC A B C -中，向量1,,BA BC BB 不共面，11AB BB BA =-，11BC BC BB =+，于是得11112111()()AB BC BB BA BC BB BB BC BB BA BC BA BB ⋅=-⋅+=⋅+-⋅-⋅因此，11AB BC ⊥ ，所以1AB 与1BC 所成角的大小为90︒.故选：B2.如图，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，设AB a = ，AD b = ，AA c '=，求：（1）()a b c ⋅+ ；（2）()a a b c ⋅++ ；（3）()()a b b c ⋅++ ．【答案】（1）在正方体中，AB AA ⊥'，AB AD⊥故()0a b c a b a c →→→→→→→⋅+=⋅+⋅=（2）由（1）知，()()1a a b c a a a b c →→→→→→→→→⋅++=⋅+⋅+=（3）由（1）及AD AA '⊥知，2()()()1a b b c a b c b b c →→→→→→→→→→++=⋅+++⋅=3.如图，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，4AB =，3AD =，5AA '=，90BAD ∠=︒，BAA '∠=60DAA '∠=︒．求：（1）AA AB '⋅；（2）AB '的长；（3）AC '的长．()()222222252101661AB AA A B AA ABAA AA AB AB '''''''∴=+=+=+⋅+=+⨯+= ，（3） AC AC CC AB AD AA '''=+=++，4.如图，线段AB ，BD 在平面α内，BD AB ⊥，AC α⊥，且AB a =，BD b =，AC c =．求C ，D 两点间的距离．【答案】连接AD ，BD AB ⊥ ，22222AD AB BD a b ∴=+=+，AC α⊥，AD α⊂，AC AD ∴⊥，222222CD AD AC a b c ∴=+=++，222CD a b c ∴=++，即C ，D 两点间的距离为222a b c ++.习题1.1P9复习巩固1.如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，E 、F 分别为棱AA '、AB 的中点．（1）写出与向量BC相等的向量；（2）写出与向量BC相反的向量；（3）写出与向量EF平行的向量．【答案】（1）,,AD A D B C '''' ；（2）,,,DA CB C B D A '''' ；（3）,,,,D C CD A B BA FE''''2.如图，已知平行六面体ABCD A B C D ''''-，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：（1）AB BC + ；（2）AB AD AA '++ ；（3）12AB AD CC '++ ；（4）()13AB AD AA '++．【答案】（1）AC →；（2）AC →'；（3）AE →；（4）AF →；3.证明：如果向量a ，b 共线，那么向量2a b + 与a共线．【答案】如果向量a ，b共线，则存在唯一实数λ，使得b a λ= ，则()222a b a a a λλ+=+=+，所以向量2a b + 与a共线.4.如图，已知四面体ABCD 的所有棱长都等于a ，E ，F ，G 分别是棱AB ，AD ，DC 的中点．求：（1）AB AC ⋅uu u r uuu r ；（2）AD DB ⋅ ；（3）GF AC ⋅ ；（4）EF BC ⋅uu u r uu u r ；（5）FG BA ⋅ ；（6）GE GF ⋅ ．【答案】四面体ABCD 的所有棱长都等于a ，∴任意两条棱所在直线的夹角为3π， E ，F ，G 分别是棱AB ，AD ，DC 的中点，//,//,||||2aEF BD FG AC EF FG ∴==，（1）2cos 32a AB AC a a π⋅=⨯⨯= ；（4）//EF BD ，则直线BD 与直线BC 所成角就是直线EF 与直线BC 所成角，（5）//FG AC ，则直线AC 与直线AB 所成角就是直线FG 与直线BA 所成角，（6）取BD 中点M ，连接AM ，CM ，则,AM BD CM BD ⊥⊥，AM CM M ⋂= ，BD ∴⊥平面ACM ，又AC ⊂平面ACM ，BD AC ∴⊥，//EF BD ，EF AC ∴⊥，又//AC FG ，EF FG ∴⊥，0EF FG ⋅=，P10综合运用5.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为M .设11111,,,===A B a A D b A A c ，则下列向量中与1B M 相等的向量是（）A.1122a b c --+B.1122a b c -++C.1122a b c -+ D.1122a b c ++ 【答案】()1111112222=+=+=++=-++B M B B BM c BD c BA BC a b c uuuu r uuu r uuu r r uu u r r uu r uu u r r r r 故选：B.6.已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量法证明：E ，F ，G ，H 四点共面.【答案】如图，E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，12EH FG BD == ，于是得：EG EF FG EF EH =+=+，即,,EG EF EH 共面，它们有公共点E ，所以E ，F ，G ，H 四点共面.7.如图，正方体ABCD A B C D ''''-（1）求A B '和B C '的夹角；（2）求证A A B C ''⊥．【答案】（1）联结CD '，B D ''，则A B CD '' ，A B '和B C '的夹角即CD '和B C '的夹角B CD ''∠，又B C ''⊥平面ABB A ''，A B '⊂平面ABB A ''，则B C A B '''⊥，又B C AB B ''''⋂=故A B '⊥平面AB C ''，又AC '⊂平面AB C ''，所以A A B C ''⊥8.用向量方法证明：在平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也与这条直线垂直（三垂线）【答案】如图所示，在平面α内，OB →是OA →在面内的投影向量，则BA CD →→⊥，由题知，CD OB →→⊥，则()0CD OA CD OB BA CD OB CD BA →→→→→→→→→⋅=⋅+=⋅+⋅=，故CD OA →→⊥，所以CD OA ⊥，即证得结论.P10拓广探索9.如图，空间四边形OABC 中，,OA BC OB AC ⊥⊥.求证：OC AB ⊥.【答案】试题分析：利用三个不共面的向量OA OB OC ，，作为基底，利用空间向量的数量积为0，证明向量垂直，即线线垂直.试题解析：∵OA BC ⊥，∴OA OB ⊥ .∵0OA OB ⋅= ，∴()0⋅-= OA OC OB .∴0⋅-=⋅ OA OC OA OB （1）同理:由OB AC ⊥得0⋅-=⋅ OC OB OA OB （2）由（1）－（2）得0⋅-=⋅ OA OC OC OB ∴()0⋅=- OA OB OC ，∴0OC BA ⋅= ，∴OC BA ⊥u u u r u u u r ，∴OC AB ⊥.10.如图，在四面体OABC 中，OA OB =，CA CB =，E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，BC ，CA 的中点．求证：四边形EFGH 是矩形．【答案】取AB 的中点D ，联结OD ，CD ，由OA OB =，CA CB =知，⊥OD AB ，CD AB ⊥，又OD CD D ⋂=，故AB ⊥平面ODC ，又OC ⊂平面ODC ，因此AB OC ⊥又E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，BC ，CA 的中点．则EF AD = ，GH AD =，故EF GH =，四边形EFGH 是平行四边形同理EH GF =，且EH OC ，又AB OC ⊥所以EH EF ⊥，四边形EFGH 是矩形第一章空间向量与立体几何1.2空间向量基本定理P12练习1.已知向量{},,a b c 是空间的一个基底，从a ，b ，c 中选哪一个向量，一定可以与向量p a b =+ ，q a b =- 构成空间的另一个基底？【答案】因为p a b =+ ，q a b =- ，所以a 与,p q 不可以构成空间的一个基底，b 与,p q 不可以构成空间的一个基底，而c 与,p q 不共面，所以c 与,p q 可以构成空间的一个基底.故答案为：c .2.已知O ，A ，B ，C 为空间的四个点，且向量OA ，OB ，OC 不构成空间的一个基底，那么点O ，A ，B ，C 是否共面？【答案】因为向量OA ，OB ，OC 不构成空间的一个基底，所以向量OA ，OB ，OC 共面，由向量OA ，OB ，OC 有公共点O ，所以O ，A ，B ，C 四点共面.3.如图，已知平行六面体OABC O A B C ''''-，点G 是侧面BB C C ''的中心，且OA a = ， O C b = ，OO c '= ．（1）{},,a b c 是否构成空间的一个基底？（2）如果{},,a b c 构成空间的一个基底，那么用它表示下列向量：OB ' ，BA ' ，CA ' ，OG ．【答案】（1） OA ， O C ，OO ' 不在同一平面内，且不为零向量，∴{},,a b c 能构成空间的一个基底；（2）OB OB BB OC OA OO a b c =+=++'+'=+' ，BA BA AA CO OO c b =+=+''-'= ，CA CO OA AA CO OA OO a c b =++=++='-'+' ，()111222OG OC CG OC CB OC OA OC OA OO ''=+=+++'=+= 11112222OC OA OO b a c '=++=++ .P14练习1.已知四面体OABC ，OB OC =，AOB AOC θ∠=∠=．求证：OA BC ⊥．【答案】因为BC OC OB =-,所以()cos cos OA BC OA OC OB OA OC OA OB OA OC OA OB θθ=-=-=- ,因为OB OC =，AOB AOC θ∠=∠=，所以OA BC ⊥ ，即OA BC ⊥.2.如图，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，2AB =，2AD =，3AA '=，BAD BAA DAA ''∠=∠=∠60=︒．求BC '与CA '所成角的余弦值．【答案】取基底{,,}AB AD AA ' ，BC BC BB AD AA '''=+=+ ,CA CA AA CB CD AA AD AB AA ''''=+=++=--+ ,所以()()BC CA AD AA AD AB AA ''''⋅=+⋅--+ 22()()AD AD AB AD AA AD AA AB AA AA ''''=--⋅+⋅-⋅-⋅+ 4239=---+0=.所以BC '与CA '所成角的余弦值为0.3.如图，已知正方体ABCD A B C D ''''-，CD '和DC '相交于点O ，连接AO ，求证AO CD '⊥．【答案】在正方体ABCD A B C D ''''-，可建立如图所示空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则()()()()0,0,0,1,2,1,2,2,0,0,2,2A O C D ',所以()()1,2,1,2,0,2AO CD '==- ，()1220120AO CD '⋅=⨯-+⨯+⨯= ，所以AO CD '⊥ 即AO CD '⊥.习题1.2P15复习巩固1.如果向量a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底，那么a ，b间应有什么关系？【答案】因为向量a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底，所以a ，b 一定共线.2.若{},,a b c 构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A.b c +r r ，b ，b c -r rB.a ，a b + ，a b -C.a b + ，a b - ，cD.a b + ，a b c ++ ，c对于C ，若a b + ，a b - ，c 共面，则存在实数,λμ，使得：，()()()()c a b a b a b λμλμλμ=++-=++- ，故,,a b c 共面，这与{},,a b c 构成空间的一个基底矛盾，故选：ABD 3.在空间四边形OABC 中，已知点M 、N 分别是OA 、BC 的中点，且OA a = ，OB b = ，OC c= ，试用向量a 、b 、c 表示向量MN ．【答案】解：如下图所示：222 所以，.4.如图，在三棱柱ABC A B C '''-中，已知AA a '= ，AB b = ，AC c = ，点M ，N 分别是BC '，B C ''的中点，试用基底{},,a b c 表示向量AM ，AN .【答案】解：连接A N '所以()1122AM AB BC AB BC CC ''=+=++ 1122AB BC CC '=++ ()1122AB AC AB AA '=+-+ 111222AB AC AA '=++uu u r uuu r uuu r ()11112222a b c a b c =++=++ ()()11112222AN AA A N AA A B A C AA AB AC a b c ''''''''=+=++=++=++ P15综合运用5.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，M 是AC 与BD 的交点．若112D A =，112D C =，13D D =，求1B M 的长．【答案】以D 1为原点，11111,,D A D C D D 为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系，则()()()()()110,0,0,2,2,0,0,0,3,2,2,3,1,1,3,D B D B M6.如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，且1160C CB C CD BCD ∠=∠=∠= ，1CD CC =，求证：1CA ⊥平面1C BD ．【答案】设CB a = ，CD b = ，1CC c =，所以，()()2210CA BD a b c b a b a c b c a ⋅=++⋅-=-+⋅-⋅= ，所以，1CA BD ⊥，同理可证11CA BC ⊥，因为1BD BC B = ，因此，1CA ⊥平面1C BD .P15拓广探索7.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1DD ，BD 的中点，点G 在CD 上，且14CG CD =．（1）求证：1EF B C ⊥；（2）求EF 与CG 所成角的余弦值．【答案】（1）建立以D 点为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则1(0,0,)2E ，1(F 则111(,,222EF =-uu u r 所以112EF B C ⋅=⨯所以1EF B C ⊥.8.已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证：这个四面体相对的棱两两垂直.【答案】已知：四面体SABC 中，E 、F 、G 、H 、M 、N 分别是对应各棱的中点，且EF GH MN ==.求证：SA BC ⊥，SB AC ⊥，SC AB ⊥.证明：设SA a = ，SB b = ，SC c = ，所以()()22b c a a b c +-=+- ，由此可得()()()2204b c a a b c b c a =+--+-=⋅- ，所以()0b c a ⋅-= ，即0SB AC ⋅= .所以SB AC ⊥ ，即SB AC ⊥，同理可证SA BC ⊥，SC AB ⊥.故若四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，则这个四面体相对的棱两两垂直.第一章空间向量与立体几何1.3空间向量及其运算的坐标表示1.3.1空间直角坐标系练习1.在空间直角坐标系中标出下列各点：(0,2,4)A ，(1,0,5)B ，(0,2,0)C ，(1,3,4)D ．【答案】建立如下图如示的空间直角坐标系，根据每一个点的特点标注如下图.2.在空间直角坐标系Oxyz 中，（1）哪个坐标平面与x 轴垂直？哪个坐标平面与y 轴垂直？哪个坐标平面与z 轴垂直？（2）写出点()2,3,4P 在三个坐标平面内的射影的坐标．（3）写出点()1,3,5P 关于原点成中心对称的点的坐标．【答案】（1）平面yoz 与x 轴垂直,平面xoz 与y 轴垂直,平面xoy 与z 轴垂直；（2）点()2,3,4P 在平面yoz 的射影的坐标()0,3,4P '．点()2,3,4P 在平面xoy 的射影的坐标()2,3,0P '．点()2,3,4P 在平面xoz 的射影的坐标()2,0,4P '．（3）点()1,3,5P 关于原点成中心对称的点的坐标是()1,3,5P '---．3.在长方体OABC D A B C ''''-中．3OA =，4OC =，3OD '=，A C ''与B D ''相交于点P ，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ．（1）写出点C ，B '，P 的坐标；（2）写出向量BB ' ，A C '' 的坐标．【答案】（1）因为3OA =，4OC =，3OD '=，（2）因为()0,0,3D '=，()3,0,0A ()0,0,3BB OD ''== ，()3,4,0A C AC ''==- 4.已知点B 是点()3,4,5A 在坐标平面Oxy 内的射影，求OB ．【答案】因为点()3,4,5A 在坐标平面Oxy 内的射影是()3,4,0B ，1.3.2空间向量运算的坐标表示P21练习1.已知()3,2,5=-r a ，()1,5,1b =- ，求：（1）a b + ；（2）6a ；（3）3a b - ；（4）a b ⋅ ，【答案】（1）()2,7,4-，（2）()18,12,30-，（3）()10,1,16-，（4）2.2.已知()2,1,3a →=-，()4,2,b x →=-，且a b →→⊥，求x 的值．【答案】因为a b →→⊥，所以0a b →→= ，所以2(x ⨯⨯-4)+(-1)2+3=0，3.在z 轴上求一点M ，使点M 到点()1,0,2A 与点()1,3,1B -的距离相等．【答案】解：设点(0,0,)M m ，因为M 到点()1,0,2A 与点()1,3,1B -的距离相等，所以点M 的坐标为(0,0,3)-4.如图，正方体OABC D A B C ''''-的棱长为a 、点N ，M 分别在AC ，BC '上，2AN CN =，2BM MC '=，求MN 的长．【答案】因为正方体OABC D A B C ''''-的棱长为a 、点N ，M 分别在AC ，BC '上，2AN CN =，2BM MC '=，5.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是AB 的中点，求1DB 与CM 所成角的余弦值．【答案】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()2,1,0M ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，()12,2,2B ，()12,2,2DB = ，()2,1,0CM =- ，习题1.3P22复习巩固1.在空间直角坐标系Oxyz 中，三个非零向量a ，b ，c分别平行于x 轴、y 轴、z 轴，它们的坐标各有什么特点？【答案】向量a ，b ，c 分别平行于x 轴，y 轴，z 轴，所以向量a 的横坐标不为0，纵坐标为0，竖坐标为0；向量b 的横坐标为0，纵坐标不为0，竖坐标为0；向量c的横坐标为0，纵坐标为0，竖坐标不为0；2.(),,M x y z 是空间直角坐标系Oxyz 中的一点，写出满足下列条件的点的坐标；（1）与点M 关于x 轴对称的点；（2）与点M 关于y 轴对称的点；（3）与点M 关于z 轴对称的点；（4）与点M 关于原点对称的点．【答案】（1）(),,x y z --，（2）(),,x y z --，（3）(),,x y z --，（4）(),,x y z ---.3.如图，正方体OABC D A B C ''''-的棱长为a ，E ，F ，G ，H ，I ，J 分别是棱C D ''，D A ''，A A '，AB ，BC ，CC '的中点，写出正六边形EFGHIJ 各顶点的坐标．4.先在空间直角坐标系中标出A ，B 两点，再求它们之间的距离：（1）()2,3,5A ，()3,1,4B ；（2）()6,0,1A ，()3,5,7B ．由空间两点间距离公式可得：由空间两点间距离公式可得：5.已知(2,3,1)a =- ，(2,0,3)b = ，(0,0,2)c = ．求：（1）()a b c ⋅+ ；（2）68a b c +- ．【答案】解：（1）因为(2,0,3)b = ，(0,0,2)c = ，所以(2,0,5)b c += ，因为(2,3,1)a =- ，所以()22(3)0159a b c ⋅+=⨯+-⨯+⨯= ，（2）因为(2,3,1)a =- ，(2,0,3)b = ，(0,0,2)c = ，所以68(2,3,1)6(2,0,3)8(0,0,2)a b c +-=-+- (2,3,1)(12,0,18)(0,0,16)=-+-(14,3,3)=-P22综合运用6.求证：以A （4，1，9），B （10，–1，6），C （2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形．【答案】A （4，1，9），B （10，–1，6），C （2，4，3），∴△ABC 为等腰直角三角形．7.已知()3,5,7A -，()2,4,3B -，求AB ，BA ，线段AB 的中点坐标及线段AB 的长．【答案】因为()3,5,7A -，()2,4,3B -，所以()5,1,10AB =-- ，()5,1,10BA =-8.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为棱1A A 和1B B 的中点，求CM 和1D N 所成角的余弦值．【答案】以D 为原点，1,,DA DC DD 为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系，不妨设正方体边长为2，则()()()()()10,0,0,0,0,2,2,2,1,0,2,0,2,0,1,D D N C M 所以()()12,2,1,2,2,1CM D N =-=- ,设CM 和1D N 所成角为θ，则9.{},,a b c 是空间的一个单位正交基底，向量23p a b c =++ ，{},,a b a b c +- 是空间的另一个基底，用基底{},,a b a b c +- 表示向量p ．【答案】设2)()3(a b y a b zc p a b c x ++-+=++= ，即有23()()a a b c x x b z y y c +++=-++ ，因为{},,a b c 是空间的一个单位正交基底，第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系P29练习1．空间中点、直线和平面的向量表示1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内打“√”，错误的打“×”（1）零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量；（）（2）若v 是直线l 的方向向量，则()v λλ∈R 也是直线l 的方向向量；（）（3）在空间直角坐标系中，()0,0,1j =是坐标平面Oxy 的一个法向量．（）【答案】（1）零向量的方向不确定，所以不能作为直线的方向向量和平面的法向量，正确；（2）当0λ=时，0v λ=，所以()v λλ∈R不一定是直线l 的方向向量，不正确；（3）在空间直角坐标系中，()0,0,1j = ，j ⊥平面Oxy ，所以()0,0,1j = 是坐标平面Oxy 的一个法向量，正确．2.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a = ，AD b = ，1AA c =，O 是1BD 与1B D的交点．以{},,a b c为空间的一个基底，求直线OA 的一个方向向量．【答案】解：因为AB a = ，AD b =，1AA c = ，如图112OA OB BA D B BA =+=+ ()11112D A A A AB BA =+++因为11D A AD b =-=- ，11A A AA c =-=- ，所以()11112222OA b c a a a b c=--+-=--- 所以直线OA 的一个方向向量为111222a b c---3.在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，3BC =，12CC =．以D 为原点，以1111,,342DA DC DD ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系Oxyz ，求平面1ACD 的一个法向量．【答案】由题可得()()()10,4,0,3,0,0,0,0,2C A D ，则()()13,4,0,3,0,2AC AD =-=-，设平面1ACD 的一个法向量为(,,)m x y z =，则1340320m AC x y m AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令4x =，得3,6y z ==，则平面1ACD 的一个法向量为()4,3,6.2．空间中直线、平面的平行P31练习1.用向量方法证明“直线与平面平行的判定定理”：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．【答案】已知：直线,a b ，平面α，,a b αα⊄⊂，//a b ．求证：//a α．证明：设直线,a b 的方向向量分别为,u v ，平面α的一个法向量为n ，因为//a b ，所以u v λ= ，由于n v ⊥ ，所以0n v ⋅= ，即有0n u n v λ⋅=⋅= ，亦即n u ⊥．因为a α⊄，所以//a α．2.如图，在四面体ABCD 中，E 是BC 的中点．直线AD 上是否存在点F ，使得//AE CF？【答案】假设直线AD 上存在点F 使//AE CF ，设()01AF AD λλ=≤≤，3.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是面1AB ，面11A C 的中心．求证：//EF 平面1ACD ．【答案】如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则()()()()()12,0,0,0,2,0,0,0,2,2,1,1,1,1,2A C D E F ，则()()()12,2,0,2,0,2,1,0,1AC AD EF =-=-=-，设平面1ACD 的一个法向量为(),,n x y z =，则100n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即220220x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则可得()1,1,1n = ，0EF n ⋅= ，EF n ∴⊥ ，EF ⊄平面1ACD ，∴//EF 平面1ACD .3．空间中直线、平面的垂直P33练习1.已知(3,,)(,)u a b a b a b =+-∈R 是直线l 的方向向量，()1,2,3n =是平面α的法向量．（1）若//l α，求a ，b 的关系式；（2）若l α⊥，求a ，b 的值．【答案】（1）由//l α得u n ⊥ ，所以0u n ⋅=，即31()2()30a b a b ⨯++⨯+-⨯=，整理得530a b -+=；2.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，以D 为原点，{}1,,DA DC DD为单位正交基底建立空间直角坐标系．求证：11A C BC ⊥．【答案】由题意，111AC DC DA DC DA DD =-=--,111BC DC DB DD DA =-=-,所以221111110A C BC DC DD DD DA DD DA DC DA DA DD ⋅=⋅-⋅--⋅++⋅=所以11A C BC ⊥.3.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，11BC CC ==，E 是CD 的中点，F 是BC 的中点．求证：平面1EAD ⊥平面1EFD．【答案】解：如图建立空间直角坐标系，则()0,1,0E ，()1,0,0A ，()10,0,1D ，为(),,n x y z = ，则1·0·0n AE n ED ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即00x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1y z ==，所以()1,1,1n = ；1y z ==-，所以()2,1,1m =--；因为()()2111110n m =⨯+⨯-+⨯-= ，所以n m ⊥ 所以平面1EAD ⊥平面1EFD ．1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题P35练习1.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点A 到平面1B C 的距离等于__________；直线DC 到平面1AB 的距离等于_________；平面1DA 到平面1CB 的距离等于__________．【答案】解：在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，AB ⊥面1B C ，所以AB 即为点A 到平面1B C 的距离，故点A 到平面1B C 的距离为1，因为//DC AB ，AB Ì面1B A ，DC ⊄面1B A ，所以//DC 面1B A ，所以AD 即为直线DC 到平面1AB 的距离，故直线DC 到平面1AB 的距离为1，又平面1//DA 平面1CB ，所以平面1DA 到平面1CB 的距离为1故答案为：1，1，12.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1DD 的中点，F 为线段1BB 的中点．（1）求点1A 到直线1B E 的距离；（2）求直线1FC 到直线AE 的距离；（3）求点1A 到平面1AB E 的距离；（4）求直线1FC 到平面1AB E 的距离．【答案】建立如图所示的空间直角坐标系，（3）设平面1AB E 的一个法向量为(),,n x y z =，令2z =，则2,1y x =-=，即(1,2,2)n =-.设点1A 到平面1AB E 的距离为d ，所以直线1FC 到平面1AB E 的距离等于1C 到平面1AB E 的距离.()111,0,0C B = ，由（3）得平面1AB E 的一个法向量为(1,2,2)n =-，3.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，求平面1A DB 与平面11D CB 的距离．【答案】如图所示建立空间直角坐标系，1(1,0,1),(1,1,0),(0,0,0),(0,1,0)A B D C ，1(1,0,1),(1,1,0),(0,1,0)DA DB DC ===设平面1A DB 的法向量为(,,)n x y z =，则100n DA x z n DB x y ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，不妨令1x =，则1,1y z =-=-，所以(1,1,1)n =--，P38练习1.在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，∠BCA =90°，D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（）A.3010B.12C.3015 D.1510【答案】如图建立空间直角坐标系，设BC =CA =CC 1=1，则A (1，0，1)，∴1BD =11,,22⎛- ⎝∴|cos<11BD AF ，故选：A.2.PA ，PB ，PC 是从点P 出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60︒，那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是（）．A.12B.22 C.3D.3【答案】解：在PC 上任取一点D 并作DO ⊥平面APB ，则∠DPO 就是直线PC 与平面PAB 所成的角．过点O 作OE ⊥PA ，OF ⊥PB ，因为DO ⊥平面APB ，则DE ⊥PA ，DF ⊥PB ．△DEP ≌△DFP ，∴EP ＝FP ，∴△OEP ≌△OFP ，因为∠APC ＝∠BPC ＝60°，所以点O 在∠APB 的平分线上，即∠OPE ＝30°．在直角△PED 中，∠DPE ＝60°，PE ＝1，则PD ＝2．故选：C3.如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，求平面1AA B 与平面11A BC 夹角的余弦值．【答案】因为正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，取BC 的中点O ，则AO BC ⊥所以AO ⊥平面11BB C C .取11B C 的中点H ，所以AO ,BO ,OH 两两垂直，以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.4.如图，ABC 和DBC △所在平面垂直，且AB BC BD ==，120CBA DBC =∠=∠︒．求：（1）直线AD与直线BC所成角的大小；（2）直线AD与平面BCD所成角的大小；（3）平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值．【答案】解：设1AB=，作AO⊥BC于点O，连DO，以点O为原点，OD，OC，OA的方向分别为x轴、y轴、z轴方向，建立坐标系，得下列坐标：∴，直线AD与平面BCD所成角的大小45︒P41练习1.如图，二面角l αβ--的棱上有两个点A ，B ，线段BD 与AC 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l ．若4AB =，6AC =，8BD =，17CD =，求平面α与平面β的夹角．【答案】设平面α与平面β的夹角为θ，由CD CA AB BD =++可得()22222222CD CA AB BDCA AB BD CA AB AB BD CA BD=++=+++⋅+⋅+⋅ 3616642cos ,CA BD CA BD=+++11696cos θ=-所以1cos 2θ=，即平面α与平面β的夹角为3π.2.如图，在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，2AD BC ==，M ，N 分别是AD ，BC 的中点．求异面直线AN ，CM 所成角的余弦值．【答案】连结ND ，取ND 的中点E ，连结ME ，则//ME AN ，EMC ∴∠是异面直线AN ，CM 所成的角，3.如图，在三棱锥O ABC -中，OA ，OB ，OC 两两垂直，3OA OC ==，2OB =．求直线OB 与平面ABC 所成角的正弦值．【答案】构建以O 为原点，,,OB OC OA为x 、y 、z 轴的正方向的空间直角坐标系，如下图示，∴(0,0,3)A ，(2,0,0)B ，(0,3,0)C ，则(2,0,3)AB =- ，(0,3,3)AC =- ，(2,0,0)OB =，习题1.4P41复习巩固1.如图，在三棱锥A BCD -中，E 是CD 的中点，点F 在AE 上，且2EF FA =．设BC a = ，BD b = ，BA c = ，求直线AE ，BF的方向向量．【答案】在△BAD 中，BD b = ，BA c =，则AD BD BA b c =-=- ，在△BAC 中，BC a = ，BA c =，则AC BC BA a c =-=- ，∵在△DAC 中，E 是CD 的中点，2.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AB AC ==，12AA =．以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系．（1）求平面11BCC B 的一个法向量；（2）求平面1A BC 的一个法向量．【答案】易知()1,0,0B ，()0,1,0C ，()11,0,2B ，()10,0,2A .(1)()1,1,0BC =-uu u r ，()10,0,2BB =uuu r，设面11BCC B 的法向量为()111,,n x y z = ，则100n BC n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即111020x y z -+=⎧⎨=⎩，取1111,0x y z ===，则()1,1,0n = ，所以平面11BCC B 的一个法向量为()1,1,0n =；(2)()1,1,0BC =-uu u r，()11,0,2BA =- ，设面1A BC 的法向量为()222,,m x y z = ，则100m BC m BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2222020x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取2222,1x y z ===，则()2,2,1m = ，所以平面1A BC 的一个法向量为()2,2,1m =3.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 是AB 的中点，F 是11C D 的中点．求证：1//A E CF ．【答案】取11A B 的中点为G ,则根据平行六面体的特征可得11//B G C F ，11B G C F =，所以四边形11B GFC 为平行四边形，则11//B C GF ,11B C GF =,又因为11//B C BC ,11B C BC =,所以//GF BC ,GF BC =,所以四边形GFCB 为平行四边形，所以//BG CF ,又因为11//,A G EB A G EB =,所以四边形1A EBG 为平行四边形.所以1//A E BG ，进而1//A E CF .4.如图，在四面体ABCD 中，AD ⊥平面BCD ，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且3AQ QC =．求证：//PQ 平面BCD ．【答案】证明：如图所示，取BD 中点O ，且P 是BM 中点，∴PO //MD 且PO 12=MD ，取CD 的四等分点H ，使DH ＝3CH ，且AQ ＝3QC ，∴PO //QH 且PO ＝QH ，∴四边形OPQH 为平行四边形，∴PQ //OH ，PQ 在平面BCD 外，且OH ⊂平面BCD ，∴PQ //平面BCD ．5.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 在BD 上，且13BE BD =；点F 在1CB 上，且113CF CB =．求证：（1）EF BD ⊥；（2）1EF CB ⊥．【答案】解：（1）如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为3，则()0,0,0D ，()1,3,1F ，所以()1,1,1EF =- ，()3,3,0DB = ，所以1313100DB EF =-⨯+⨯+⨯=，所以EF BD⊥（2）由（1）可知()13,0,3CB = ，所以11313100CB EF =-⨯+⨯+⨯=，所以1EF CB ⊥6.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为平面11A ABB 的中心，E 为BC 的中点，求点O 到直线1A E的距离．【答案】建立如图所示的空间直角坐标系，则1111(1,0,1),(,1,0),(1,,)222A E O ，因为1111122(,1,1),(,,)2333||A E A E u A E =--==--，111(0,,)22OA =- 所以123OA u ⋅=- .所以点O 到直线1A E 的距离为2211142()296OA OA u -⋅=-=.7.如图，四面体OABC 的所有棱长都是1，D ，E 分别是边OA ，BC 的中点，连接DE．（1）计算DE 的长；（2）求点O 到平面ABC 的距离．【答案】（1）因为四面体OABC 的所有棱长都是1，所以该四面体为正四面体，（2）因为四面体OABC 为正四面体，所以点O 在平面ABC 的射影O '为ABC 的中心，。
►基础梳理1．充分条件和必要条件． 一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .这时，我们就说，由p 可推出q ，记作p ⇒q ，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．2．充要条件． 一般地，假如既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q ，此时我们说，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．明显，假如p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件．概括地说，假如p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．♨思考：如何从集合与集合之间的关系上理解充分条件、必要条件和充要条件？答案：对于集合A ＝{x |p(x)}，B ＝{x |q (x )}，分别是使命题p 和q 为真命题的对象所组成的集合.,►自测自评1．已知集合A ，B ，则“A ⊆B ”是“A ∩B ＝A ”的(C )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0相互垂直”的(C ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的充分不必要条件．解析：由a ＝2能得到(a －1)(a －2)＝0，但由(a －1)·(a －2)＝0得到a ＝1或a ＝2，而不是a ＝2，所以a ＝2是(a －1)(a －2)＝0的充分不必要条件．1．在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的(B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当A ＝170°时，sin 170°＝sin 10°<12，所以“过不去”；但是在△ABC 中，sin A >12⇒30°<A <150°⇒A >30°，即“回得来”．2．(2022·湛江一模)“x >2”是“(x －1)2>1”的(B ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 3．“b 2＝ac ”是“ a ，b ，c 成等比数列”的________条件．解析：由于当a ＝b ＝c ＝0时，“b 2＝ac ”成立，但是a ，b ，c 不成等比数列； 但是“a ，b ，c 成等比数列”必定有“b 2＝ac ”． 答案：必要不充分4．求不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立的充要条件． 解析：当a ＝0时，2x ＋1>0不恒成立． 当a ≠0时，ax 2＋2x ＋1>0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a <0⇔a >1. ∴不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立的充要条件是a >1.5．已知p ：x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0，q ：2x 2－3x －2≥0，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解析：令M ＝{x |2x －3x －2≥0} ＝{x |(2x ＋1)(x －2)≥0}⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－12或x ≥2 N ＝{x |x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0}＝{x |(x －a )[x －(a －2)]≥0}⇒{x |x ≤a －2或x ≥a }，已知q ⇒p 且p ⇒/ q ，得M N .所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－12，a <2或⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－12，a ≤2⇔32≤a <2或32<a ≤2⇔32≤a ≤2.即所求a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤32，2.。
选修1—1一、选择题：（每小题5分,共50分）1.已知P ：2＋2＝5，Q:3>2,则下列判断错误的是（ ）A.“P 或Q ”为真，“非Q ”为假；B.“P 且Q ”为假，“非P ”为真 ；C.“P 且Q ”为假，“非P ”为假 ；D.“P 且Q ”为假，“P 或Q ”为真2.在下列命题中，真命题是（ ）A. “x=2时,x 2－3x+2=0”的否命题；B.“若b=3,则b 2=9”的逆命题;C.若ac>bc,则a>b;D.“相似三角形的对应角相等”的逆否命题3.已知P:|2x －3|<1, Q:x(x －3)<0, 则P 是Q 的（ ）A.充分不必要条件；B.必要不充分条件 ；C.充要条件 ；D.既不充分也不必要条件4.平面内有一长度为2的线段AB 和一动点P,若满足|PA|+|PB|=8,则|PA|的取值范围是( )A.[1,4];B.[2,6];C.[3,5 ];D. [3,6].5. 函数f(x)=x 3－ax 2－bx+a 2,在x=1时有极值10，则a 、b 的值为（ ）A.a=3,b=－3或a=―4,b=11 ；B.a=－4,b=1或a=－4,b=11 ；C.a=－1,b=5 ；D.以上都不对6.曲线f(x)=x 3+x －2在P 0点处的切线平行于直线y=4x －1，则P 0点坐标为（ ）A.(1,0);B.(2,8);C.(1,0)和(－1,－4);D.(2,8)和(－1,－4)7.函数f(x)=x 3－ax+1在区间（1,+∞）内是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A.a<3 ；B.a>3 ；C.a ≤3；D.a ≥38.若方程15222=-+-ky k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是（ ） A.2<k<5 ； B.k>5 ； C.k<2或k>5； D.以上答案均不对9.函数y=xcosx －sinx 在下面哪个区间内是增函数（ ）A.()23,2ππ； B.)2,(ππ； C.)25,23(ππ； D.)3,2(ππ 10.已知双曲线13622=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上,且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( )A.563；B.665 ；C.56 ；D.65 二、填空题：(每小题5分,共25)11.双曲线的渐近线方程为y=x 43±，则双曲线的离心率为________ 12.函数f(x)=(ln2)log 2x －5x log 5e(其中e 为自然对数的底数)的导函数为_______13.与双曲线14522-=-y x 有相同焦点，且离心率为0.6的椭圆方程为________14.正弦函数y=sinx 在x=6π处的切线方程为____________ 15.过抛物线y 2=4x 的焦点，作倾斜角为4π的直线交抛物线于P 、Q 两点，O 为坐标原点，则∆POQ 的面积为_________三、解答题： (每题15分,共75分)16.命题甲：“方程x 2+mx+1=0有两个相异负根”,命题乙：“方程4x 2+4(m －2)x+1=0无实根”，这两个命题有且只有一个成立，试求实数m 的取值范围。
－＋－－＝ C.－＝ D.－5(5，A.－＝ B.－＝－－＝．椭圆＋m 2＝与双曲线m 2－＝A.－＝ B.－＝C.－＝－＝ D.－ D.m －b．已知方程＝．以椭圆椭圆＝A.＝＝－＋a 2＝与双曲线a －＋．过双曲线＝．如果椭圆椭圆＝．设双曲线与椭圆＝3＝1. 5、C ab <0⇒曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线，曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线⇒ab <0. 6、C ∵c 9－y 22m ，由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a .∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ，∴|PF 1|·|·||PF 2|＝m －a . 11、x 273－y 275＝1 12、833∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ïìx ＝7x 23－y 24＝1得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为833. 13、1 由题意得a >0，且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1. 14、 x 24－y 212＝1(x ≤－2) 设动圆圆心为P (x ，y )，由题意得|PB |－|P A |＝4<|AB |＝8， 由双曲线定义知，点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，且2a ＝4，a ＝2的双曲线的左支．其方程为：x 24－y 212＝1(x ≤－2)． 15、椭圆x 227＋y 236＝1的焦点为(0，±3)，由题意，设双曲线方程为：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，人教版高二数学选修1-1双曲线及其双曲线及其标准方程标准方程练习题答案及详解 1、D 2、A 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1. 3、A 设动圆设动圆半径半径为r ，圆心为O ，x 2＋y 2＝1的圆心为O 1，圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为O 2，由题意得|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2， ∴|OO 2|－|OO 1|＝r ＋2－r －1＝1<|O 1O 2|＝4， 由双曲线的定义知，动圆圆心O 的轨迹是双曲线的一支．4、B 由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2， ∴b 2＝3，双，双曲线方程曲线方程为y 2－x 2＝5，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|·||PF 2|＝4c 2，∴4a 2＝4c 2－4＝16，∴a 2＝4，b 2＝1. 7、A 验证法：当m ＝±1时，m 2＝1，对，对椭圆椭圆来说，a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3. 对双曲线来说，a 2＝1，b 2＝2，c 2＝3，故当m ＝±1时，它们有相同的焦点． 直接法：显然双曲线焦点在x 轴上，故4－m 2＝m 2＋2.∴m 2＝1，即m ＝±1. 8、D 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，为焦点，实轴实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x 27＝1(x >0) 9、D |A F AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8，∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26. 10、A 设点P 为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝＝7，该弦所在，该弦所在直线直线方程为x ＝7， 由îïí＋2－b 2＝∴16a 2－15b －＝3，(3－3(3－－3)·((3－y 2＝－y M 2＝－3－)(3－－y 2M 2＝±233，＝233. ＝12|F ＝3，∴x 2M ＋y 2M ＝3①－y M 2＝±233，＝233. 椭圆＝双曲线a 2＝为：。
人教A版高中数学选修1-1全册章节测试题目录1.1命题及其关系（同步练习）1.2 充分条件与必要条件同步测试.1.3_1.4试题（新人教选修1-1）.1.3简单的逻辑联结词（同步练习）1.4全称量词与存在量词同步测试（新人教选修1-1）.2.1《椭圆的几何性质》测试题2.1椭圆同步测试2.2双曲线几何性质测试2.2双曲线及其标准方程练习2.3抛物线及其标准方程习题精选2.3抛物线及其标准方程同步试题3.1变化率与导数（同步练习）3.2.1导数习题3.2.2 导数的运算法则习题3.3.3 函数的最大值与最小值练习题3.3《导数在研究函数中的应用》习题3.4生活中的优化问题举例（同步练习）1.1 命题及其关系测试练习第1题. 已知下列三个方程24430x ax a +-+=，()2210x a x a +-+=，2220x ax a +-=至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围.答案：312a a a⎧⎫--⎨⎬⎩⎭或，剠．第2题. 若a b c ∈R ，，，写出命题“200ac ax bx c <++=若则，”有两个相异实根的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.答案：逆命题：()200ax bx c a b c ac ++=∈<R 有实根，则若，，，假；否命题：200ac ax bx c ++=若则，…（a b c ∈R ，，）没有实数根，假；逆否命题：()200ax bx c a b c ac ++=∈R 若没有两实根，则，，…，真．第3题. 在命题22a b a b >>若则“，”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为.答案：3．第4题. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个钝角”时反设是.答案：假设三角形的内角中没有钝角．第5题. 命题“若0xy =，则0x =或0y =”的逆否命题是. 答案：若0x ≠且0y ≠，则0xy ≠．第6题. 命题“若a b ，>则55a b -->”的逆否命题是( ) (A)若a b ，<则55a b --<(B)若55a b --，>则a b >(C) 若a b ，…则55a b --… (D)若55a b --，…则a b …答案：Ｄ第7题. 命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的( )(A)逆命题 (B)否命题 (C)逆否命题 (D)无关命题答案：Ａ第8题. 命题“若60A ∠=，则ABC △是等边三角形”的否命题是( ) (A)假命题(B)与原命题同真同假(C)与原命题的逆否命题同真同假 (D)与原命题的逆命题同真同假答案：Ｄ第9题. ）(A) (B)是有理数(C) (D)答案：Ｄ第10题. 命题“对顶角相等”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题是( ) (A)上述四个命题 (B)原命题与逆命题 (C)原命题与逆否命题 (D)原命题与否命题答案：Ｃ第11题. 原命题为“圆内接四边形是等腰梯形”，则下列说法正确的是( ) (A)原命题是真命题 (B)逆命题是假命题 (C) 否命题是真命题 (D)逆否命题是真命题答案：Ｃ第12题. 命题“若a A b B ∈∈则，”的否定形式是( ) (A)a A b B ∉∉若则， (B)a A b B ∈∉若则， (C)a A b B ∈∈若则， (D)b A a B ∉∉若则，答案：Ｂ第13题. 与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是( ) (A)能被3整除的整数，一定能被6整除 (B)不能被3整除的整数，一定不能被6整除 (C)不能被6整除的整数，一定不能被3整除 (D)不能被6整除的整数，不一定能被3整除答案：Ｂ第14题. 下列说法中，不正确的是( ) (A)“若p q 则”与“若q p 则”是互逆的命题 (B)“若非p q 则非“与“若q p 则”是互否的命题 (C)“若非p q 则非”与“若p q 则”是互否的命题 (D)“若非p q 则非”与“若q p 则”是互为逆否的命题答案：Ｂ第15题. 以下说法错误的是( )(A) 如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必为真命题 (B)如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定为真命题(C)原命题、否命题、逆命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数 (D)一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题答案：Ｂ第16题. 下列四个命题:⑴“若220x y +=，则实数x y ，均为0”的逆命题；⑵“相似三角形的面积相等“的否命题 ; ⑶“A B A A B =⊆ 则，”逆否命题;⑷“末位数不是0的数可被3整除”的逆否命题，其中真命题为( ) (A) ⑴⑵ (B)⑵⑶ (C)⑴⑶ (D)⑶⑷答案：Ｃ第17题. 命题“a b ，都是偶数，则a b +是偶数”的逆否命题是．答案：a b +不是偶数则a b ，不都是偶数．第18题. 已知命题:33p …；:34q >，则下列选项中正确的是（） A ．p 或q 为真，p 且q 为真，非p 为假； B ．p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为真； C ．p 或q 为假，p 且q 为假，非p 为假； D ．p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为假答案：Ｄ第19题. 下列句子或式子是命题的有（）个．①语文和数学；②2340x x --=；③320x ->；④垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？⑤一个数不是合数就是质数；⑥把门关上． Ａ．1个 Ｂ．3个 Ｃ．5个 Ｄ．2个答案：Ａ第20题. 命题①12是4和3的公倍数；命题②相似三角形的对应边不一定相等；命题③三角形中位线平行且等于底边长的一半；命题④等腰三角形的底角相等．上述4个命题中，是简单命题的只有（ ）． Ａ．①，②，④ Ｂ．①，④ Ｃ．②，④ Ｄ．④答案：Ａ第21题. 若命题p 是的逆命题是q ，命题q 的否命题是r ，则q 是r 的（ ） Ａ．逆命题 Ｂ．逆否命题 Ｃ．否命题 Ｄ．以上判断都不对答案：Ｂ第22题. 如果命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，那么q 为 命题．答案：真第23题. 下列命题：①“若1xy =，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②4边相等的四边形是正方形的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“22ac bc >则a b >”的逆命题，其中真命题是 ．答案：①，②，③第24题. 命题“若0ad =，则0a =或0b =”的逆否命题是 ，是 命题．答案：若0a ≠且0b ≠，则0ab ≠，真第25题. 已知命题:p N Z Ü，:{0}q ∈N ，由命题p ，q 构成的复合命题“p 或q ”是 ，是 命题；“p 且q ”是 ，是 命题；“非p ”是 ，是 命题．答案：p 或q ：N Z Ü或{0}∈N ，为真；p 且q :N Z Ü且{0}∈N ，为假；非:p N Z Ú或=N Z ，为假．第26题. 指出下列复合命题构成的形式及构成它的简单命题，并判断复合命题的真假． （1）23≤；（2）()A A B Ú；（3）1是质数或合数；（4）菱形对角线互相垂直平分．答案：（1）这个命题是“p 或q ”形式，p ：23<，q ：23=．p 真q 假，p ∴或q 为真命题．（2）这个命题是“非p ”形式，:()p A A B ⊆ ，p 为真，∴非p 是假命题．（3）这个命题形式是p 或q 的形式，其中:1p 是命 数，:1q 是质数．因为p 假q 假，所以“p 或q ”为假命题．（4）这个命题是“p 且q ”形式，:p 菱形对角线互相垂直；:q 菱形对角线互相平分． 因为p 真q 真，所以“p 且q ”为真命题．第27题. 如果p ，q 是2个简单命题，试列出下列9个命题的直值表：（1）非p ；（2）非q ；（3）p 或q ；（4）p 且q ；（5）“p 或q ”的否定；（6）“p 且q ”的否定；（7）“非p 或非答案：第28题. 设命题为“若0m >，则关于x 的方程20x x m +-=有实数根”，试写出它的否命题、逆命题和逆否命题，并分别判断它们的真假．答案：否命题为“若0m >，则关于x 的方程20x x m +-=没有实数根”； 逆命题为“若关于x 的方程20x x m +-=有实数根，则0m >”； 逆否命题“若关于x 的方程20x x m +-=没有实数根，则0m ≤”． 由方程的判别式14m =+ 得0> ，即14m >-，方程有实根． 0m ∴>使140m +>，方程20x x m +-=有实数根，∴原命题为真，从而逆否命题为真．但方程20x x m +-=有实根，必须14m >-，不能推出0m >，故逆命题为假．1.2 充分条件与必要条件 同步测试第1题. 设原命题“若p 则q ”真而逆命题假，则p 是q 的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分又不必要条件答案：Ａ第2题. 设x ∈R ，则2x >的一个必要不充分条件是（ ） Ａ．1x > Ｂ．1x < Ｃ．3x > Ｄ．3x <答案：Ａ第3题. 如果A 是B 的必要不充分条件，B 是C 的充分必要条件，D 是C 的充分不必要条件，那么A 是D 的（ ） Ａ．必要不充分条件 Ｂ．充分不必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ａ第4题. 设集合{}2M x x =>，{}3P x x =<，那么“x M ∈或x P ∈”是“x M P ∈ ”的（ ）Ａ．充分条件但非必要条件 Ｂ．必要条件但非充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．非充分条件，也非必要条件答案：Ｂ第5题.0x ≥是2x x ≤的___________条件． 答案：必要不充分第6题. 从“⇒”“¿”与“⇔”中选出适当的符号填空（U 为全集，A B ，为U 的子集）：（1）A B =___________A B ⊆． （2）A B ⊆___________U UB A 痧⊆．答案：⇒ ⇔第7题. 若A ⌝是B 的充分不必要条件，则A 是B ⌝的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ｂ第8题. 设:05p x <<，:25q x -<，那么p 是q 的（ ） Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ａ第9题. 条件甲：()200ax bx c a ++=≠的两根，10x >，20x >，条件乙：0b a ->且0ca>，则甲是乙的（ ）Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ｃ第10题. 从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空：（1）“()200ax bx c a ++=≠有实根”是“0ac <”的_____________；（2）“AB C A B C '''△≌△”是“ABC A B C '''△∽△”的_____________．答案：（1）必要条件 （2）充分条件第11题. 已知A 是B 的充分条件，B 是C 的充要条件，A ⌝是E 的充分条件，D 是C 是必要条件，则D 是E ⌝的_____________条件．答案：必要第12题. 用多种方法判断“2t ≠”是“24t ≠”的什么条件．答案：必要不充分条件第13题. 设全集为U ，在下列条件中，哪些是B A ⊆的充要条件？ （1）A B A = ； （2）U A B =∅ ð； （3）U UA B 痧⊆．答案：三者都是第14题. 是否存在实数p ，使“40x p +<”是“220x x -->”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围．是否存在实数p ，使“40x p +<”是“220x x -->”的必要条件．如果存在，求出p 的取值范围．答案：4p ≥时，“40x p +<”是“220x x -->”的充分条件；不存在实数p ，使“40x p +<”是“220x x -->”的必要条件．第15题. 已知1:123x p --≤，()22:2100q x x m m -+->≤，若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．答案：解：由22210x x m -+-≤得()110m x m m -+>≤≤．所以“q ⌝”：{}110A x x m x m m =∈>+<->R或，．由1123x --≤得210x -≤≤，所以 “p ⌝”：{}102B x x x =∈><-R或．由p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件知01203110.m B A m m m >⎧⎪⇔--⇒<⎨⎪+⎩，，⊆≥≤≤故m 的取值范围为03m <≤．第16题. 命题“22530x x --<”的一个必要不充分条件是（ ） Ａ．132x -<< Ｂ．142x -<< Ｃ．132x -<<Ｄ．12x -<<答案：Ｂ第17题. 设A B ，是非空集合，则A B A = 是A B =的_________条件． 答案：必要不充分第18题. 已知:523p x ->，21:045q x x >+-，试判断p ⌝是q ⌝的什么条件？ 答案：充分不必要条件第19题. 设1a ，1b ，1c ，2a ，2b ，2c 均为非零实数，不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>的解集分别为M 和N ，那么“111222a b c a b c ==”是“M N =”的（ ） Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件Ｃ．充要条件 Ｄ．既非充分也非必要条件答案：Ｄ第20题. 已知条件M ：“A B C A B C '''△∽△”；条件N ：“AB A B ''∥，AC A C ''∥，BC B C ''∥”，则M 是N 的（ ） Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ｂ第21题. 从“充分而不必要条件”，“必要而不充分条件”或“充要条件”中选出适当的一种填空：（1）x A B ∈ 是x A ∈的 ； （2）x A B ∈ 是x B ∈的 ；（3）()U x A ∈ð是x U ∈的； （4）()U x A A ∈ 饀是x A ∈的； （5）“A =∅”是“A B B = ”的 ； （6）“A B Ü”是“A B A = ”的；（7）“x A ∈”是“x A B ∈ ”的 ； （8）“四边形的对角线互相垂直平分”是“四边形为矩形”的；（9）“四边形内接于圆”是“四边形对角互补”的；（10）设1O ，2O 的半径为1r ，2r ，则“1212OO r r =+”是“两圆外切”的． 答案：（1）充分不必要条件 （2）必要不充分条件 （3）充分不必要条件 （4）必要不充分条件 （5）充分不必要条件 （6）充分不必要条件（7）必要而不充分条件 （8）既不充分也不必要条件 （9）充要条件 （10）充要条件．第22题. 设{}2A x x a =∈-R ≤≤，{}23B y y x x A ==+∈，，{}2C z z x x A ==∈，，求使C B ⊆的充要条件．答案：132a ≤≤．第23题. 求关于x 的一元二次不等式210ax ax -+>，对一切x ∈R 都成立的充要条件是什么？答案：04a <≤．第24题. 求方程2210ax x ++=至少有一个负根的充要条件．答案：01a <≤．第25题. 求三个实数a b c ，，不全为零的充要条件．答案：a b c ，，中至少有一个不是零．第26题. 设集合{}260A x x x =+-=，{}10B x mx =+=，写出B A Ü的一个充分不必要条件．答案：0m =，13m =，12m =-中之一即可．第27题. 三个数a b c ，，不全为零的充要条件是（ ） Ａ．a b c ，，都不是零 Ｂ．a b c ，，中至多一个是零 Ｃ．a b c ，，中只有一个为零 Ｄ．a b c ，，中至少一个不是零答案：Ｄ第28题. 设p ：“x y z ，，中至少有一个等于1”⇔“(1)(1)(1)0x y z ---=”；q ：22(3)0y z -+-=”⇔“(1)(2)(3)0x y z ---=”，那么p ，q 的真假是（） Ａ．p 真q 真Ｂ．p 真q 假Ｃ．p 假q 真Ｄ．p 假q 假答案：Ｂ第29题. 已知a 为非零实数，x 为某一实数，有命题p ：{}x a a ∈-，，q ：x a =，则p 是q 的（ ） Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ｂ第30题. “13x >且23x >”是“126x x +>且129x x >”的充要条件吗？若是，请说明理由；若不是，请给出“13x >且23x >”的充要条件．答案：不是充要条件；1212(3)(3)06x x x x -->⎧⎨+>⎩．《1.3简单的逻辑联结词》测试题A卷一．选择题：1．如果命题“p或q”是真命题，“非p”是假命题，那么（）A 命题p一定是假命题 B命题q一定是假命题C命题q一定是真命题 D命题q是真命题或者是假命题2．在下列结论中，正确的结论为（）①“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件②“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件③“p或q”为真是“ p”为假的必要不充分条件④“ p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件A①② B①③ C②④ D③④3．对下列命题的否定说法错误的是（）A p：能被3整除的整数是奇数； p：存在一个能被3整除的整数不是奇数B p：每一个四边形的四个顶点共圆； p：存在一个四边形的四个顶点不共圆C p：有的三角形为正三角形； p：所有的三角形都不是正三角形D p： x∈R，x2+2x+2≤0； p：当x2+2x+2>0时，x∈R4．已知p: 由他们构成的新命题“p且q”，“p或q”, “ ”中，真命题有（）A 1个B 2个C 3个D 4个5．命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是（）A存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根B不存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根C对任意的实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根D至多有一个实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根6．若p、q是两个简单命题，且“p或q”的否定是真命题，则必有（）A. p真，q真B. p假，q假C. p真，q假D. p假，q真二．填空题：7．命题“ x∈R，x2+1<0”的否定是__________________。
►基础梳理1．椭圆的定义及标准方程．(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)椭圆的标准方程(请同学们自己填写表中空白的内容)：焦点在x 轴上 焦点在y 轴上标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)焦点 (±c ，0) (0，±c )a ，b ，c 的关系：c 2＝a 2－b 22.只有当||PF 1＋||PF 2＝2a >||F 1F 2时，点P 的轨迹才是椭圆； 当||PF 1＋||PF 2＝2a ＝||F 1F 2时，点P 的轨迹是线段F 1F 2； 当||PF 1＋||PF 2＝2a <||F 1F 2时，点P 的轨迹不存在． 3．正确理解椭圆的两种标准形式． (1)要熟记a ，b ，c 三个量的关系．椭圆方程中，a 表示椭圆上的点M 到两焦点间距离和的一半，正数a ，b ，c 恰构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，所以a ＞b ，a ＞c ，且a 2＝b 2＋c 2，其中c 是焦距的一半，叫做半焦距．(2)通过标准方程可以推断焦点的位置，其方法是：看x 2，y 2的分母大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．4．用待定系数法求椭圆标准方程的步骤．(1)作推断：依据条件推断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上． (2)设方程：①依据上述推断设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或x 2b 2＋y 2a2＝1．②在不能确定焦点位置的状况下也可设mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )． (3)找关系，依据已知条件，建立关于a ，b ，c 或m ，n 的方程组． (4)解方程组，代入所设方程即为所求．,►自测自评1．到两定点F 1(－4，0)和F 2(4，0)的距离之和为8的点M 的轨迹是线段F 1F 2．2．椭圆的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)，椭圆上一点到两焦点的距离之和为10，则椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1． 3．已知a ＝4，c ＝3，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为x 27＋y 216＝1．4．椭圆x 225＋y 29＝1的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)．1．已知两定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，点P 是平面上一动点，且|PF 1|＋|PF 2|＝6，则点P 的轨迹是(C ) A ．圆 B ．直线 C ．椭圆 D ．线段2．若椭圆的两焦点为(－2，0)，(2，0)，且过点⎝⎛⎭⎫52，－32，则该椭圆的方程是(D ) A.y 28＋x 24＝1 B.y 210＋x26＝1 C.y 24＋x 28＝1 D.y 26＋x 210＝1 解析：由题意知，所求椭圆的焦点在x 轴上，可以排解A 、B ；再把点⎝⎛⎭⎫52，－32代入方程，可知应选D. 3．过椭圆4x 2＋2y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点F 2构成△ABF 2，那么△ABF 2的周长是______．答案：2 24．写出适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)a ＝4，b ＝3焦点在x 轴上； (2)a ＝5，c ＝2焦点在y 轴上；(3)求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过点⎝⎛⎭⎫63，3和点⎝⎛⎭⎫223，1.答案：(1)x 216＋y 29＝1；(2)y 225＋x 221＝1；(3)x 2＋y 29＝1.5．设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1，(a ＞b ＞0)的左右两焦点，若椭圆C上的点A ⎝⎛⎭⎫1，32到F 1、F 2两点的距离之和为4，求椭圆C 的方程及焦点坐标．解析：椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1，F 2两点的距离之和是4，得2a ＝4，即a ＝2.又A ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C 上， ∴122＋⎝⎛⎭⎫322b 2＝1，解得b 2＝3. ∴c 2＝a 2－b 2＝1.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标为F (±1，0)．。
