初中数学思想之转化思想指导及经典题型例题讲解

初中数学巧妙“转化”的解题思想与教学应用实践“转化”是指把一个难以解决的问题，转化成一个易于解决的问题。

在数学中，很多难题都可以通过巧妙的转化来解决。

初中数学中，有很多题目都可以通过转化解决，如下面几个例子。

1. 利用分式化简例如：计算：$\sqrt{3+\sqrt{8}}+\sqrt{3-\sqrt{8}}$$$x^{2} = (3+\sqrt{8}) + 2\sqrt{(3+\sqrt{8}) (3-\sqrt{8})} + (3-\sqrt{8}) = 6+2\sqrt{3}$$例如：计算：$\frac{(a+b)^{3}-(a-b)^{3}}{4ab}$$$\frac{(a+b)^{3}-(a-b)^{3}}{4ab} = \frac{6ab(a+b)}{4ab} =\frac{3}{2}(a+b)$$3. 利用代数恒等式解法：将右边的括号拆开得到代入右边的式子中，得到等式成立。

通过以上例子，我们可以看出，利用转化的思想可以较快地求解一些数学难题。

对于初中数学教学的应用实践，我们可以采取以下措施。

1. 总结转化的方法在教学过程中，我们应该学生总结一些常见的数学转化方法，例如：分式化简、因式分解、代数恒等式等。

这样可以帮助学生更加深入地理解数学知识，提高解题的效率。

2. 组织转化的练习在数学教学中，我们可以组织一些转化的练习，让学生在解题的过程中熟悉转化的方法，提高解题的能力。

例如，在练习中可以设置一些简单的转化题目，慢慢地逐步增加难度，从而让学生更加熟练地掌握转化的技巧。

3. 引导学生思考在数学教学中，我们应该引导学生养成自主思考的习惯。

当遇到一道难题时，学生可以先尝试通过转化的方法来解决，这样可以大大提高解题的效率。

同时，也可以帮助学生更加深入地理解数学知识，为日后的学习打下良好的基础。

转化思想转化思想就是解决数学问题得一种最基本得数学思想，在研究数学问题时，我们通常就是将未知问题转化为已知得问题，将复杂得问题转化为简单得问题，将抽象得问题转化为具体得问题，将实际问题转化为数学问题，我们也常常在不同得数学问题之间互相转化，可以说在解决数学问题时转化思想几乎就是无处不在得。

例题分析 例1 解方程组x x x y x x y ()()++=++=⎧⎨⎩13514445242分析：从表面上瞧此题属于二元三次方程组得求解问题，超过我们所掌握得知识范围，但仔细分析可将方程组变形为()()()()x x x y x x x y 22351443524++=+++=⎧⎨⎪⎩⎪，再利用换元法，问题就迎刃而解了。

解：设x x u x y v 235+=+=，原方程组可化为u v u v ⋅=+=⎧⎨⎩14424解之，得u v ==⎧⎨⎩1212即x x x y 2123512+=+=⎧⎨⎩解之，得x y 11448=-=⎧⎨⎩.x y 22306==⎧⎨⎩. 例2若m 、n 、p 同时满足下面二式：23572351111mnpm n p ++=++=-+，，求23511m n p +-++得取值范围。

分析：直接利用已知条件中得两个等式得到23511m n p +-++得取值范围不好下手，如果换个角度考虑2351111m n p -+++=可变形为2235511mn p ++⋅=，令2m a =，3n b =，5p c =，则已知条件可转化为方程组a b c ab c ++=++=⎧⎨⎪⎩⎪72511，进而找到a 、b 与c 得关系，可以确定所求式子得取值范围。

解：设235mn p a b c ===，，，则a b c ab c ++=++=⎧⎨⎪⎩⎪7125112()()由(1)、(2)可得a c =-+88 (3)bc =-159 (4)此时，23525365111m n p a b c c +-++=++=- (5) Θa >0，由(3)得c >1Θb >0，由(4)得c <53∴<<153c ∴由(5)得3152351111<++<+-m n p例3 如图，∆ABC 中，BC ＝4，AC ACB =∠=︒2360，，P 为BC 上一点，过点P 作PD//AB ，交AC 于D 。

转化思想在初中数学解题中的应用作为一个初中数学学习者，在解题的过程中，有一个重要的能力就是转化思想。

在解题过程中，能够使用转化思想，能够将复杂的问题转化为简单的问题，能够将问题的条件转化成解题的工具，具有很大的优势。

下面我们就讨论一下在初中数学解题中如何应用转化思想。

一、利用等式化简在代数运算中，我们时常要将一个式子化简为更简洁的形式以用于计算，而这种化简往往涉及到等式的运用。

在初中数学中，解题时如果能够利用等式化简，将会事半功倍。

比如，下面这个问题：“如果$2x+y=15$，$x-2y=1$，求$x^2+y^2$的值。

”我们可以利用等式将$x^2+y^2$的值转化成$(2x+y)^2+5(x-2y)^2$，而$(2x+y)^2+5(x-2y)^2=5x^2+29y^2-8xy=289$。

二、数形结合数学中数形结合问题比较常见，利用图形中的角度、长度、面积等概念，可以将数学问题变得简单一些。

例如，下面的问题：“如图，在$\triangle ABC$中，$AD$是边$BC$的中线，$E$、$F$分别在边$AB$和$AC$上，使得$\angle CEF=\angle BCD$，$\angle BCE=\angle BCF$，若$\frac{AE}{EB}=\frac{1}{2}$，$\frac{AF}{FC}=\frac{2}{3}$，求$\frac{BD}{DC}$。

”我们可以利用数形结合的思想，设$\triangle AED$与$\triangle BEC$的面积分别为$S_1$和$S_2$，则$\triangle ADF$和$\triangle CEF$的面积分别为$\frac{2}{3}S_1$和$\frac{1}{3}S_2$，且$\triangle ABD=\triangle AED+\triangle ADF$，$\triangle BDC=\triangle BEC+\triangle CEF$，于是$\frac{BD}{DC}=\frac{\frac{1}{3}S_2}{\frac{2}{3}(S_1+S_2)} =\frac{1}{2}$。

专题47 中考数学转化思想1. 转化思想的含义所谓转化思想是指一种研究对象在一定条件下转化为另一种研究对象的思维方式。

转化思想是数学思想方法的核心，其它数学思想方法都是转化的手段或策略。

初中数学中诸如化繁为简、化难为易、化未知为已知等均是转化思想的具体体现．2.转化思想的表现形式：（1）把新问题转化为原来研究过的问题。

如有理数减法转化为加法，除法转化为乘法等；（2）复杂问题向简单问题转化，新问题用已有的方法不能或难以解决时，建立新的研究方式。

如引进负数，建立数轴等；（3）多元向一元转化。

如解三元方程组需要通过一定手段转化为解一元方程求解；（4）高次向低次转化。

如解一元三次方程，可以转化为一元二次方程解决；（5）变利用逆运算的性质解方程为利用等式的性质解方程，等等。

【例题1】（2020潍坊模拟）计算++++…+的结果是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】把每个分数写成两个分数之差的一半，然后再进行简便运算．原式＝＝＝．【点拨】本题是个规律计算题，主要考查了有理数的混合运算，关键是把分数乘法转化成分数减法来计算．【对点练习】分式方程=1的解是（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x=3 D．x=﹣3【答案】A【解析】观察可得最简公分母是x（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．=1，去分母，方程两边同时乘以x（x﹣2）得：（x+1）（x﹣2）+x=x（x﹣2），x2﹣x﹣2+x=x2﹣2x，x=1，经检验，x=1是原分式方程的解。

【点拨】考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．【例题2】（2020绵阳模拟）如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是（结果保留π）．【答案】．【解析】阴影部分可看成是圆心角为135°，半径为1是扇形．根据图示知，∠1+∠2=180°﹣90°﹣45°=45°，∠∠ABC+∠ADC=180°，∠图中阴影部分的圆心角的和是90°+90°﹣∠1﹣∠2=135°，∠阴影部分的面积应为：S==．【点拨】本题考查学生的观察能力及计算能力．求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．【对点练习】如图，∠ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则∠BDC的周长是（）A.8B.9C.10D.11【答案】C【解析】∠ED是AB的垂直平分线，∠AD=BD，∠∠BDC的周长=DB+BC+CD，∠∠BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长的计算，掌握转化思想的应用是解题的关键．【例题3】（2020河北模拟）如图，为测量某建筑物BC上旗杆AB的高度，小明在距离建筑物BC底部11.4米的点F处，测得视线与水平线夹角∠AED=60°，∠BED=45°．小明的观测点与地面的距离EF为1.6米．（1）求建筑物BC的高度；（2）求旗杆AB的高度（结果精确到0.1米）．参考数据：≈1.41，≈1.73．【答案】见解析。

转化思想 解题经典转化是中考命题中重点考查的一种数学思想方法，是创造性思维的一种重要形式.所谓转化，就是在研究和解决数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，从而使复杂问题简单化，化难为易，使未知的问题已知化，最终达到解决问题的目的.转化在初中数学中应用十分广泛.例1 （2005盐城中考）已知，如图1所示，现有a ×a 、b ×b 的正方形纸片和a ×b 的矩形纸片若干块，试选用这些纸片（每种纸片至少用一次），在下面的虚线方框中拼成一个矩形（每两种纸片之间既不重叠，也无缝隙，拼出的图形中必须保留拼图的痕迹），使拼出的矩形面积为22252b ab a ++，并标出此矩形的长与宽.分析：把22252b ab a ++化为)2)(2(b a b a ++，并把两因式分别作为矩形的长和宽即可拼出.答案不唯一，只要符合题意即可.如图2.例2 某片绿地的形状如图3所示，其中AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠A =︒60，AB =200米，CD =100米，求AD 、BC 的长（精确到1米，732.13≈）.分析：先把四边形ABCD 转化成直角三角形，再利用特殊角的三角函数值及解直角三角形的知识求出AD 、BC 的长.解：延长AD 、BC 交于点E在R t △ABE 中，∠A =︒60，∠B =︒90，AB =200，∴AE =︒60cos AB =21200=400， BE =︒⋅60sin AE =400×23=2003. 在R t △CDE 中，∠E =︒30，∠CDE =︒90，CD =100， ∴CE =2CD =2×100=200， DE =CE ︒⋅30cos =200×23=1003， ∴AD =DE AE -=400-1003≈227（米），BC =CE BE -=2003-200≈146（米）. 例3 （2005重庆中考）已知四边形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，过P 作MN ∥AD ，EF ∥CD ，分别交AB 、CD 、AD 、BC 、于M 、N 、E 、F ，设a =PE PM ⋅，b =PF PN ⋅，解a ab 图2 A BC ED 图3图1答下列问题：⑴当四边形ABCD 是矩形时，如图4所示，请判断a 与b 的大小关系，并说明理由； ⑵当四边形ABCD 是平行四边形，且∠A 为锐角时，如图5所示，⑴中的结论是否成立？并说明理由；⑶在⑵的条件下，设k PD BP =，是否存在这样的实数k ，使得ABDPEAM S S ∆四边形=94，若存在，请求出满足条件的所有k 的值；若不存在，请说明理由.分析：⑴当四边形ABCD 是矩形时，a =PE PM ⋅=S 矩形PEAM ， b =PF PN ⋅=S 矩形PFCN ，把a 与b 的大小关系转化为面积之间的关系；⑵当四边形ABCD 是平行四边形时，S 四边形PEAM =PE PM ⋅MPE ∠⋅sin ，S 四边形PNCF =PF PN ⋅NPF ∠⋅sin ，而MPE ∠sin =NPF ∠sin ，类比⑴可得出相同的结论；⑶把图形面积之比转化为边长之比，用已知条件k 来表示即可. 解：⑴∵四边形ABCD 是矩形，MN ∥AD ，EF ∥CD ， ∴四边形PEAM 、PNCF 也是矩形，∴a =PE PM ⋅= S 矩形PEAM ，b =PF PN ⋅= S 矩形PFCN ， 且△PMB ≌△BFP , △PDE ≌△DPN , △DAB ≌△BCD ,而S 矩形PEAM =S △DAB - S △PMB - S △PDE ，S 矩形PNCF =S △BCD - S △BFP - S △DPN ， ∴S 矩形PEAM = S 矩形PNCF ， 即a =b ；⑵成立.∵四边形ABCD 是平行四边形，MN ∥AD ，EF ∥CD ，∴四边形PEAM 、PNCF 也是平行四边形， 仿⑴可得S 四边形PEAM = S 四边形PNCF ， 而S 四边形PEAM =PE PM ⋅MPE ∠⋅sin ，S 四边形PNCF =PF PN ⋅NPF ∠⋅sin ， 又∵MPE ∠=NPF ∠， ∴PE PM ⋅=PF PN ⋅，即a =b ；⑶连接AP （如图6），设△PBM 、△PBM 、△PBM 、△PBM 的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，则k PD BP AM BM S S ===21，k PDBPDE AE S S ===43， ∴21kS S =，43kS S =，S 2= S 3， ∴421S k S =，S 2= S 3=k S 4， ∴ABDPEAMS S ∆四边形==++++432132S S S S S S 424)12(2S k k kS ++=1222++k k k， ∴1222++k k k =94，整理，得 02522=+-k k ， ∴21=k ，212=k ， 图4 DN C 图5C图6∴存在实数2=k 或21=k ，使得ABDPEAM S S ∆四边形=94.。

转化思想转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想，在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题，我们也常常在不同的数学问题之间互相转化，可以说在解决数学问题时转化思想几乎是无处不在的。

例题分析 例1 解方程组x x x y x x y ()()++=++=⎧⎨⎩13514445242分析：从表面上看此题属于二元三次方程组的求解问题，超过我们所掌握的知识范围，但仔细分析可将方程组变形为()()()()x x x y x x x y 22351443524++=+++=⎧⎨⎪⎩⎪，再利用换元法，问题就迎刃而解了。

解：设x x u x y v 235+=+=，原方程组可化为u v u v ⋅=+=⎧⎨⎩14424解之，得u v ==⎧⎨⎩1212即x x x y 2123512+=+=⎧⎨⎩解之，得x y 11448=-=⎧⎨⎩.x y 22306==⎧⎨⎩. 例2若m 、n 、p 同时满足下面二式：23572351111mnpm n p ++=++=-+，，求23511m n p +-++的取值范围。

分析：直接利用已知条件中的两个等式得到23511m n p +-++的取值范围不好下手，如果换个角度考虑2351111m np -+++=可变形为2235511mn p ++⋅=，令2m a =，3n b =，5p c =，则已知条件可转化为方程组a b c ab c ++=++=⎧⎨⎪⎩⎪72511，进而找到a 、b 与c 的关系，可以确定所求式子的取值范围。

解：设235mn p a b c ===，，，则a b c ab c ++=++=⎧⎨⎪⎩⎪7125112()()由(1)、(2)可得a c =-+88 (3)bc =-159 (4)此时，23525365111m n p a b c c +-++=++=- (5) a >0，由(3)得c >1b >0，由(4)得c <53∴<<153c ∴由(5)得3152351111<++<+-m n p例3 如图，∆ABC 中，BC ＝4，AC ACB =∠=︒2360，，P 为BC 上一点，过点P 作PD//AB ，交AC 于D 。

中考数学二轮复习专题研究一数学思想方法类型四转化思想中考数学二轮复习-专题研究一--数学思想方法类型四转化思想高考数学复习专题中考数学复习_专题题型研究问题类型1数学思维方法类型4转化思维针对演练1.当我们解一元二次方程3x2-6x=0时，我们可以使用因式分解法将方程转化为3x （X-2）=0，从而得到两个一元二次方程：3x=0或X-2=0，然后得到原始方程的解为X1=0和X2=2。

这个解中体现的数学思想是（）a.转化思想b.函数思想c.数形结合思想d.公理化思想11a＋b2。

给定A-B=-，A-B=，的值为（）62a－b2二1123a、－b.c.－d.－23323.(2021温州)我们知道方程x2＋2x－3＝0的解是x1＝1，x2＝－3.现给出另一个方程(2x＋3)2＋2(2x＋3)－3＝0.它的解是()a、 x1＝1，x2＝3b。

x1＝1，x2＝3c。

x1＝1，x2＝3d。

x1＝1，x2＝34.如图，点e在正方形abcd的对角线ac上，且ec＝2ae，直角三角形feg的两直角边ef、eg分别交bc、dc于点m、n.若正方形abcd的边长为a，则重叠部分四边形emcn 的面积为()二千二百一十二a.ab.a345242c。

广告99中考数学复习_专题高考数学复习专题第4题图5.如图所示，将六个相同的小矩形放入大矩形ABCD中，图中阴影部分的面积（单位：cm2）为（）第5题图a、 16b。

44c。

96d。

一百四十6.设m2＋m－1＝0，则代数式m3＋2m2＋2021的值为()a.2021b.2021c.2021d.20217.如图所示，△ ABC被翻译成△ a'B'C'。

如果四边形ACDA'的面积为6cm2，则阴影部分的面积为__________________。

第7题图8.如图所示，有三个步骤。

每个台阶的长度、宽度和高度分别为55英寸、10英寸和6英寸。

A和B是台阶的两端。

中考数学复习转化思想训练转化思想是解决数学问题的根本思想，解数学题的过程其实就是逐渐转化的过程．常见的转化方法有：未知向已知转化，数与形的相互转化，多元向一元转化，高次向低次转化，分散向集中转化，不规则向规则转化，生活问题向数学问题转化等等．转化思想要求我们居高临下地抓住问题的实质，在遇到较复杂的问题时，能够辩证地分析问题，通过一定的策略和手段，使复杂的问题简单化，陌生的问题熟悉化，抽象的问题具体化。

具体地说，比如把隐含的数量关系转化为明显的数量关系；把从这一个角度提供的信息转化为从另一个角度提供的信息。

转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、概念与概念之间、图形与图形之间都可以通过转化，来获得解决问题的转机．．。

一、由未知转化为已知：【例题】（2017深圳）阅读理解：引入新数i，新数i满足分配律，结合律，交换律，已知i2=﹣1，那么（1+i）•（1﹣i）= 2 ．【考点】4F：平方差公式；2C：实数的运算．【分析】根据定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：原式=1﹣i2=1﹣（﹣1）=2故答案为：2【同步训练】（2017浙江湖州）对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b=2a﹣b．例如：5⊗2=2×5﹣2=8，（﹣3）⊗4=2×（﹣3）﹣4=﹣10．（1）若3⊗x=﹣2011，求x的值；（2）若x⊗3＜5，求x的取值范围．【考点】C6：解一元一次不等式；2C：实数的运算；86：解一元一次方程．【分析】（1）根据新定义列出关于x的方程，解之可得；（2）根据新定义列出关于x的一元一次不等式，解之可得．【解答】解：（1）根据题意，得：2×3﹣x=﹣2011，解得：x=2017；（2）根据题意，得：2x﹣3＜5，解得：x＜4．二、部分到整体转化【例题】2017.江苏宿迁）若a﹣b=2，则代数式5+2a﹣2b的值是9 ．【考点】33：代数式求值．【分析】原式后两项提取2变形后，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵a﹣b=2，∴原式=5+2（a﹣b）=5+4=9，故答案为：9【同步训练】（2017湖北江汉）已知2a﹣3b=7，则8+6b﹣4a= ﹣6 ．【考点】33：代数式求值．【分析】先变形，再整体代入求出即可．【解答】解：∵2a﹣3b=7，∴8+6b﹣4a=8﹣2（2a﹣3b）=8﹣2×7=﹣6，故答案为：﹣6．三、复杂问题转化为简单问题【例题】（2017广西百色）观察以下一列数的特点：0，1，﹣4，9，﹣16，25，…，则第11个数是（）A．﹣121 B．﹣100 C．100 D．121【考点】37：规律型：数字的变化类．【分析】根据已知数据得出规律，再求出即可．【解答】解：0=﹣（1﹣1）2，1=（2﹣1）2，﹣4=﹣（3﹣1）2，9=（4﹣1）2，﹣16=﹣（5﹣1）2，∴第11个数是﹣（11﹣1）2=﹣100，故选B．【同步训练】（2017贵州）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算（a+b）20的展开式中第三项的系数为（）A．2017 B．2016 C．191 D．190【考点】4C：完全平方公式．【分析】根据图形中的规律即可求出（a+b）20的展开式中第三项的系数；【解答】解：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3=1+2；（a+b）4的第三项系数为6=1+2+3；（a+b）5的第三项系数为10=1+2+3+4；不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），∴（a+b）20第三项系数为1+2+3+…+20=190，故选 D．四、高次转化为低次【例题】把一元二次方程（x+1）（1﹣x）=2x化成二次项系数大于零的一般式为x2+2x﹣1=0 ，其中二次项系数是 1 ，一次项系数是 2 ，常数项是﹣1 ．一元二次方程x2=2x的解为：x1=0，x2=2 ．【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的一般形式．【专题】计算题．【分析】先利用平方差公式把方程（x+1）（1﹣x）=2x左边展开，再移项得到 x2+2x﹣1=0，然后写出二次项系数、一次项系数、常数项；利用因式分解法解方程x2=2x．【解答】解：一元二次方程（x+1）（1﹣x）=2x化成二次项系数大于零的一般式为 x2+2x﹣1=0，其中二次项系数是1，一次项系数是2，常数项是﹣1．x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，x=0或x﹣2=0，所以x1=0，x2=2．故答案为 x2+2x﹣1=0，1，2，﹣1，x1=0，x2=2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．【同步训练】解下列方程：（1）x2﹣9=0（2）（x﹣1）（x+2）=6．【考点】解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-直接开平方法．【分析】（1）根据直接开平方法求解即可；（2）先去括号，再用公式法求解即可．【解答】解：（1）x2=9，x=±3，∴x1=3，x2=﹣3；（2）x2+x﹣8=0，a=1，b=1，c=﹣8，△=b2﹣4ac=1+32=33＞0，∴方程有两个不相等的实数根，∴x==，∴x1=，x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有直接开平方法、配方法、公式法以及因式分解法．五、实际问题转化为数学问题【例题】（2017山东聊城）在推进城乡义务教育均衡发展工作中，我市某区政府通过公开招标的方式为辖区内全部乡镇中学采购了某型号的学生用电脑和教师用笔记本电脑，其中，A乡镇中学更新学生用电脑110台和教师用笔记本电脑32台，共花费30.5万元；B乡镇中学更新学生电脑55台和教师用笔记本电脑24台，共花费17.65万元．（1）求该型号的学生用电脑和教师用笔记本电脑单价分别是多少万元？（2）经统计，全部乡镇中学需要购进的教师用笔记本电脑台数比购进的学生用电脑台数的少90台，在两种电脑的总费用不超过预算438万元的情况下，至多能购进的学生用电脑和教师用笔记本电脑各多少台？【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用．【分析】（1）设该型号的学生用电脑的单价为x万元，教师用笔记本电脑的单价为y万元，根据题意列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可得到结果；（2）设能购进的学生用电脑m台，则能购进的教师用笔记本电脑为（m﹣90）台，根据“两种电脑的总费用不超过预算438万元”列出不等式，求出不等式的解集．【解答】解：（1）设该型号的学生用电脑的单价为x万元，教师用笔记本电脑的单价为y万元，依题意得：，解得，经检验，方程组的解符合题意．答：该型号的学生用电脑的单价为0.19万元，教师用笔记本电脑的单价为0.3万元；（2）设能购进的学生用电脑m台，则能购进的教师用笔记本电脑为（m﹣90）台，依题意得：0.19m+0.3×（m﹣90）≤438，解得m≤1860．所以m﹣90=×1860﹣90=282（台）．答：能购进的学生用电脑1860台，则能购进的教师用笔记本电脑为282台．【同步训练】（2017四川南充）学校准备租用一批汽车，现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量45人，乙种客车每辆载客量30人，已知1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元．（1）求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元？（2）学校计划租用甲、乙两种客车共8辆，送330名师生集体外出活动，最节省的租车费用是多少？【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用．【分析】（1）可设1辆甲种客车的租金是x元，1辆乙种客车的租金是y元，根据等量关系：①1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，②3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元，列出方程组求解即可；（2）由于求最节省的租车费用，可知租用甲种客车6辆，租用乙客车2辆，进而求解即可．【解答】解：（1）设1辆甲种客车的租金是x元，1辆乙种客车的租金是y元，依题意有，解得．故1辆甲种客车的租金是400元，1辆乙种客车的租金是280元；（2）租用甲种客车6辆，租用乙客车2辆是最节省的租车费用，400×6+280×2=2400+560=2960（元）．答：最节省的租车费用是2960元．六、一般转化为特殊【例题】（2017齐齐哈尔）如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC=10，BC=12，沿底边BC上的高AD剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是10cm，2cm，4cm ．【考点】PC：图形的剪拼．【分析】利用等腰三角形的性质，进而重新组合得出平行四边形，进而利用勾股定理求出对角线的长．【解答】解：如图：，过点A作AD⊥BC于点D，∵△ABC边AB=AC=10cm，BC=12cm，∴BD=DC=6cm，∴AD=8cm，如图①所示：可得四边形ACBD是矩形，则其对角线长为：10cm，如图②所示：AD=8cm，连接BC，过点C作CE⊥BD于点E，则EC=8cm，BE=2BD=12cm，则BC=4cm，如图③所示：BD=6cm，由题意可得：AE=6cm，EC=2BE=16cm，故AC==2cm，故答案为：10cm，2cm，4cm．【同步训练】（2017浙江湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，点P是Rt△ABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（）A．1 B．C．D．2【考点】K5：三角形的重心；KW：等腰直角三角形．【分析】连接CP并延长，交AB于D，根据重心的性质得到CD是△ABC的中线，PD=CD，根据直角三角形的性质求出CD，计算即可．【解答】解：连接CP并延长，交AB于D，∵P是Rt△ABC的重心，∴CD是△ABC的中线，PD=CD，∵∠C=90°，∴CD=AB=3，∵AC=BC，CD是△ABC的中线，∴CD⊥AB，∴PD=1，即点P到AB所在直线的距离等于1，故选：A．七、数与形的转化【例题】(2017湖北咸宁)小慧根据学习函数的经验，对函数y=|x﹣1|的图象与性质进行了探究．下面是小慧的探究过程，请补充完整：（1）函数y=|x﹣1|的自变量x的取值范围是任意实数；（2）列表，找出y与x的几组对应值．x …﹣1 0 1 2 3 …y … b 1 0 1 2 …其中，b= 2 ；（3）在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；（4）写出该函数的一条性质：函数的最小值为0（答案不唯一）．【考点】F5：一次函数的性质；F3：一次函数的图象．【分析】（1）根据一次函数的性质即可得出结论；（2）把x=﹣1代入函数解析式，求出y的值即可；（3）在坐标系内描出各点，再顺次连接即可；（4）根据函数图象即可得出结论．【解答】解：（1）∵x无论为何值，函数均有意义，∴x为任意实数．故答案为：任意实数；（2）∵当x=﹣1时，y=|﹣1﹣1|=2，∴b=2．故答案为：2；（3）如图所示；（4）由函数图象可知，函数的最小值为0．故答案为：函数的最小值为0（答案不唯一）．【同步训练】（2017•新疆）某周日上午8：00小宇从家出发，乘车1小时到达某活动中心参加实践活动．11：00时他在活动中心接到爸爸的电话，因急事要求他在12：00前回到家，他即刻按照来活动中心时的路线，以5千米/小时的平均速度快步返回．同时，爸爸从家沿同一路线开车接他，在距家20千米处接上了小宇，立即保持原来的车速原路返回．设小宇离家x（小时）后，到达离家y（千米）的地方，图中折线OABCD表示y与x之间的函数关系．（1）活动中心与小宇家相距22 千米，小宇在活动中心活动时间为 2 小时，他从活动中心返家时，步行用了0.4 小时；（2）求线段BC所表示的y（千米）与x（小时）之间的函数关系式（不必写出x所表示的范围）；（3）根据上述情况（不考虑其他因素），请判断小宇是否能在12：00前回到家，并说明理由．【考点】FH：一次函数的应用．【分析】（1）根据点A、B坐标结合时间=路程÷速度，即可得出结论；（2）根据离家距离=22﹣速度×时间，即可得出y与x之间的函数关系式；（3）由小宇步行的时间等于爸爸开车接到小宇的时间结合往返时间相同，即可求出小宇从活动中心返家所用时间，将其与1比较后即可得出结论．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（1，22），点B的坐标为（3，22），∴活动中心与小宇家相距22千米，小宇在活动中心活动时间为3﹣1=2小时．（22﹣20）÷5=0.4（小时）．故答案为：22；2；0.4．（2）根据题意得：y=22﹣5（x﹣3）=﹣5x+37．（3）小宇从活动中心返家所用时间为：0.4+0.4=0.8（小时），∵0.8＜1，∴所用小宇12：00前能到家．【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列式计算；（2）根据离家距离=22﹣速度×时间，找出y与x之间的函数关系式；（3）由爸爸开车的速度不变，求出小宇从活动中心返家所用时间．【达标检测】1.已知x2+x﹣1=0，则3x2+3x﹣9= ﹣6 ．【考点】代数式求值．【专题】计算题．【分析】已知等式变形求出x2+x的值，原式变形后把x2+x的值代入计算即可求出值．【解答】解：由x2+x﹣1=0，得到x2+x=1，则原式=3（x2+x）﹣9=3﹣9=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2.若矩形ABCD的两邻边长分别为一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个实数根，则矩形ABCD的对角线长为 5 ．【考点】矩形的性质；解一元二次方程-因式分解法；勾股定理．【专题】压轴题．【分析】首先解方程求得方程的两个根，即可求得矩形的两边长，然后利用勾股定理即可求得对角线长．【解答】解：方程x2﹣7x+12=0，即（x﹣3）（x﹣4）=0，则x﹣3=0，x﹣4=0，解得：x1=3，x2=4．则矩形ABCD的对角线长是： =5．故答案是：5．【点评】本题考查了一元二次方程的解法以及矩形的性质，正确解方程求得矩形的边长是关键．解一元二次方程的基本思想是降次．3.解方程：x2﹣1=2（x+1）．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】首先把x2﹣1化为（x+1）（x﹣1），然后提取公因式（x+1），进而求出方程的解．【解答】解：∵x2﹣1=2（x+1），∴（x+1）（x﹣1）=2（x+1），∴（x+1）（x﹣3）=0，∴x1=﹣1，x2=3．【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是提取公因式（x+1），此题难度不大．4.（2017山东泰安）某水果商从批发市场用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克16元．（1）大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？销售完后，该水果商共赚了多少元钱？（2）该水果商第二次仍用8000元钱从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200千克，进价不变，但在运输过程中小樱桃损耗了20%．若小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，大樱桃的售价最少应为多少？【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用．【分析】（1）根据用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，以及大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，分别得出等式求出答案；（2）根据要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，得出不等式求出答案．【解答】解：（1）设小樱桃的进价为每千克x元，大樱桃的进价为每千克y元，根据题意可得：，解得：，小樱桃的进价为每千克10元，大樱桃的进价为每千克30元，200×[（40﹣30）+（16﹣10）]=3200（元），∴销售完后，该水果商共赚了3200元；（2）设大樱桃的售价为a元/千克，（1﹣20%）×200×16+200a﹣8000≥3200×90%，解得：a≥41.6，答：大樱桃的售价最少应为41.6元/千克．5.（2017•益阳）在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（m，n），求直线MN的表达式（用含m、n的代数式表示）；（3）在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y=﹣的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式．【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；FA：待定系数法求一次函数解析式；H8：待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）．①当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，②当ab≠0时，由可得，于是得到结论；（2）把M（m，n），N（n，m）代入y=cx+d，即可得到结论；（3）设点A（p，q），则，由直线AB经过点P（，），得到p+q=1，得到q=﹣1或q=2，将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得，于是得到结论．【解答】解：（1）不一定，设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）．①当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，②当ab≠0时，由可得，即（a，b）和（b，a）都在反比例函数（k≠0）的图象上；（2）由M（m，n）得N（n，m），设直线MN的表达式为y=cx+d（c≠0）．则有解得，∴直线MN的表达式为y=﹣x+m+n；（3）设点A（p，q），则，∵直线AB经过点P（，），由（2）得，∴p+q=1，∴，解并检验得：p=2或p=﹣1，∴q=﹣1或q=2，∴这一对“互换点”是（2，﹣1）和（﹣1，2），将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得，∴解得，∴此抛物线的表达式为y=x2﹣2x﹣1．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．6.（2017甘肃天水）天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两行环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元，（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？（2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于650万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？【考点】CE：一元一次不等式组的应用；9A：二元一次方程组的应用．【分析】（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，根据“A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元”列出方程组解决问题；（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由“购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元”和“10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于650万人次”列出不等式组探讨得出答案即可．【解答】解：（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，由题意得，解得，答：购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元．（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由题意得，解得：≤a≤，因为a是整数，所以a=6，7，8；则（10﹣a）=4，3，2；三种方案：①购买A型公交车6辆，则B型公交车4辆：100×6+150×4=1200万元；②购买A型公交车7辆，则B型公交车3辆：100×7+150×3=1150万元；③购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆：100×8+150×2=1100万元；购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆费用最少，最少总费用为1100万元．7.（2017四川南充）如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（）A．（1，1）B．（，1）C．（，） D．（1，）【考点】KK：等边三角形的性质；D5：坐标与图形性质；KQ：勾股定理．【分析】先过B作BC⊥AO于C，则根据等边三角形的性质，即可得到OC以及BC的长，进而得出点B的坐标．【解答】解：如图所示，过B作BC⊥AO于C，则∵△AOB是等边三角形，∴OC=AO=1，∴Rt△BOC中，BC==，∴B（1，），故选：D．8.（2017山东烟台）数学兴趣小组研究某型号冷柜温度的变化情况，发现该冷柜的工作过程是：当温度达到设定温度﹣20℃时，制冷停止，此后冷柜中的温度开始逐渐上升，当上升到﹣4℃时，制冷开始，温度开始逐渐下降，当冷柜自动制冷至﹣20℃时，制冷再次停止，…，按照以上方式循环进行．同学们记录了44min内15个时间点冷柜中的温度y（℃）随时间x（min）的变化情况，制成下表：时间x/min… 4 8 10 16 20 21 22 23 24 28 30 36 40 42 44 …温度y/℃…﹣20﹣10﹣8﹣5﹣4﹣8﹣12﹣16﹣20﹣10﹣8﹣5﹣4a ﹣20…（1）通过分析发现，冷柜中的温度y是时间x的函数．①当4≤x＜20时，写出一个符合表中数据的函数解析式y=﹣；②当20≤x＜24时，写出一个符合表中数据的函数解析式y=﹣4x+76 ；（2）a的值为﹣12 ；（3）如图，在直角坐标系中，已描出了上表中部分数据对应的点，请描出剩余数据对应的点，并画出当4≤x≤44时温度y随时间x变化的函数图象．【考点】FH：一次函数的应用．【分析】（1）①由x•y=﹣80，即可得出当4≤x＜20时，y关于x的函数解析式；②根据点（20，﹣4）、（21，﹣8），利用待定系数法求出y关于x的函数解析式，再代入其它点的坐标验证即可；（2）根据表格数据，找出冷柜的工作周期为20分钟，由此即可得出a值；（3）描点、连线，画出函数图象即可．【解答】解：（1）①∵4×（﹣20）=﹣80，8×（﹣10）=﹣80，10×（﹣8）=﹣80，16×（﹣5）=﹣80，20×（﹣4）=﹣80，∴当4≤x＜20时，y=﹣．故答案为：y=﹣．②当20≤x＜24时，设y关于x的函数解析式为y=kx+b，将（20，﹣4）、（21，﹣8）代入y=kx+b中，，解得：，∴此时y=﹣4x+76．当x=22时，y=﹣4x+76=﹣12，当x=23时，y=﹣4x+76=﹣16，当x=24时，y=﹣4x+76=﹣20．∴当20≤x＜24时，y=﹣4x+76．故答案为：y=﹣4x+76．（2）观察表格，可知该冷柜的工作周期为20分钟，∴当x=42时，与x=22时，y值相同，∴a=﹣12．故答案为：﹣12．（3）描点、连线，画出函数图象，如图所示．。

堂教学中的应用提供新的思路.教师在课堂教学活动中的教学手段从几何画板至互联网＋ꎬ再到希沃白板ꎬ手机投屏技术ꎬ加之现在所应用的５Ｇ技术ꎬ均将教师从单一的板书模式中加以解放.手机具有的实时拍照投屏技术ꎬ还可将学生在数学学习活动中的所存在的典型错误㊁精彩解答传送至大屏幕上ꎬ使得数学教学活动更为可视化且高效化ꎬ还可增进师生间交流.此外ꎬ教师借助互联网技术平台的应用还可将学生在家学习的情况在课堂上及时反馈ꎬ对学生在家学习情况加以了解ꎬ还可统计学生预习情况ꎬ以便教师对课堂教学计划的制定进行针对性调整.而智慧教室系统的应用ꎬ可让教师清晰了解每次课堂提问后ꎬ学生的回答情况ꎬ借助数据的即时反馈ꎬ帮助教师了解学生的学习情况ꎬ对学生所存在的认知错误进行及时矫正ꎬ提高学生学习效率.如教师引导学生学习 黄金分割 相关教学内容时ꎬ教师可借助网络视频ꎬ帮助学生对黄金分割点㊁黄金三角形加以了解ꎬ还可将达芬奇的画作«蒙娜丽莎»中所存在的黄金矩形向学生展示ꎬ教师还可将自然界中植物叶子分布情况㊁蜂巢结构等向学生展示ꎬ引导学生从上述具体事物中找寻黄金分割模型ꎬ借此加强学生数学抽象与模型能力的培养ꎬ教师借助此种教学方式的应用还可将课堂中所讲述的内容延伸至课外ꎬ也可将数学学科知识延伸至自然领域㊁艺术领域ꎬ实现跨学科关联的构建ꎬ推动学生跨学科素养的形成.综上所述ꎬ翻转课堂为一种现代化的教学手段ꎬ同时也是突破传统教学模式的重要体现ꎬ教师在教学过程中借助翻转课堂同数学课堂教学内容的结合ꎬ再引入深度学习理念ꎬ可实现数学课堂教学内容㊁教学途径的拓展ꎬ推动学生自主学习能力的提升ꎬ还可有助于学生数学核心素养的形成.㊀㊀参考文献:[１]丰雷.迈向深度学习落实核心素养 初中数学 翻转课堂 的实践与思考[Ｊ].数学之友ꎬ２０１９(０３):２４－２６.[２]李洁.深度学习视角下初中数学翻转课堂教学策略探究 以 解一元二次方程 为例[Ｊ].数学教学通讯ꎬ２０１９(２９):５１－５２＋６７.[责任编辑:李㊀璟]巧用转化思想㊀解答数学难题谢晓玲(福建省龙岩市北大附属实验学校㊀３６４０００)摘㊀要:初中数学知识与小学相比较为复杂ꎬ理论性㊁抽象性也更强ꎬ难题出现的频率有所提高ꎬ对学生的知识应用能力和解题水平要求更高ꎬ如果没有一定的数学思想做支撑ꎬ学生很难理解和处理这些难题ꎬ长此以往极易影响到解题水平的提升ꎬ以及数学学习自信.笔者对如何巧用转化思想解答初中数学难题进行分析和研究ꎬ同时提供一系列个人建议.关键词:初中数学ꎻ转化思想ꎻ数学难题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)３５－０００５－０２收稿日期:２０２０－０９－１５作者简介:谢晓玲(１９９１.１－)ꎬ女ꎬ福建省龙岩人ꎬ本科ꎬ中学二级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀转化思想属于数学思想方法中的一种ꎬ指的是将一个数学问题由难化易㊁由繁化简ꎬ不仅是一种重要的解题思想ꎬ还是一种最基本的思维策略ꎬ更是一种有效的数学思维方式.在初中数学解题教学中ꎬ教师需高度重视转化思想的渗透ꎬ指导学生通过灵活自如的转化把陌生㊁复杂的难题变得熟悉㊁简单ꎬ并化抽象为直观㊁未知为已知ꎬ提高他们的解题能力.㊀㊀一㊁陌生转化成熟悉ꎬ降低数学题目难度系数初中数学的学习过程是由一开始的陌生㊁浅层了解慢慢过渡至熟悉和深层了解ꎬ本身就是一个循序渐进的过程ꎬ为帮助学生更好的解答数学难题ꎬ可以应用转化思想ꎬ将陌生题目转化成熟悉题目ꎬ有效降低难度系数ꎬ使其轻松解题.例１㊀在解二元一次方程组２ｙ＝ｘ＋４①ꎬ３ｘ＋ｙ＝５②时ꎬ由于学生是初次学习和接触二元一次方程组ꎬ当第一眼看到这样的题目时ꎬ会感觉到难度较大ꎬ如果直接采用消元法ꎬ他们可能无法顺利求解.这时教师可以引领学生了解有关方程其它方面的知识ꎬ他们可能想到一元一次方程ꎬ将会考虑怎么把二元一次方程转化成一元一次方程ꎬ由陌生化的难题转化成熟悉化的常规题目.如ꎬ教师可提示学生把原方程进行变形ꎬ得到有关ｘ或者ｙ的只带有一个未知数的方程ꎬ对于①来说ꎬ可以转化成ｘ＝２ｙ－４或ｙ＝ｘ＋４２ꎬ而针对②而言ꎬ能够转化成ｘ＝５－ｙ３或ｙ＝５－３ｘꎬ然后让他们把某个式子代入到另外一个方程当中ꎬ从而实现陌生５向熟悉的转化ꎬ数学题目的难度自然下降ꎬ难点不攻自破.如此ꎬ在解答数学难题过程中ꎬ学生通过新知识向旧知识的转化解题思路变得更为清晰ꎬ让学生对难题不再惧怕ꎬ使其慢慢建立解题自信心ꎬ最终轻松解题.㊀㊀二㊁复杂转化为简单ꎬ顺利找到解题的突破口简化数学难题作为转化思想中最为常见和比较有效的一种解题方式.初中数学教师应当教会学生当遇到比较复杂的难题时ꎬ先仔细研读与思考题干中给出的信息ꎬ再找到隐性条件ꎬ将复杂题目转化成简单题目ꎬ使其求出正确答案ꎬ让他们逐渐形成观察题目㊁挖掘细节的意识ꎬ学会从题目细节之处着手.例２㊀已知一次函数ｙ＝－ｘ＋２ꎬ反比例函数ｙ＝－８/ｘꎬ图像如下图所示ꎬ它们相交于Ａ㊁Ｂ两点ꎬ那么Ａ㊁Ｂ图１两点的坐标分别是什么?解析㊀在本道题目中ꎬ涉及到一次函数和反比例函数两类函数ꎬ学生一定要找到这两个函数之间的关系ꎬ然后才可以顺利找到解题的突破口ꎬ他们要先分析题目中给出的已知条件ꎬ使其利用 图像相交于才Ａ㊁Ｂ两点 这一共同点ꎬ分析是否能把这两个函数转化成具体的方程组ꎬ再利用方程组解决问题ꎬ由此求出Ａ㊁Ｂ两点的坐标.此时ꎬ教师可组织学生以小组合作的方式解答难题ꎬ彼此分享与交流解法ꎬ深入研究这两个函数之间的关系ꎬ有的同学将会提出利用方程组ꎬ但是部分同学可能对方程组的解法不够熟练ꎬ他们在合作中快速解答方程组ꎬ即为:ｙ＝－ｘ＋２①ꎬｙ＝－８/ｘ②ꎬ解得ｘ＝－２ꎬｙ＝４ꎬ或ｘ＝４ꎬｙ＝－２ꎬ最终判断得出Ａ点的坐标是(－２ꎬ４)ꎬＢ点的坐标是(４ꎬ－２).㊀㊀三㊁抽象转化成具体ꎬ促使学生理清解题思路当遇到一些难题时ꎬ教师要指导学生巧妙运用转化思想ꎬ将抽象化的数学题目变得具体化ꎬ有利于他们产生丰富的联想ꎬ从而把数学难题一一拆解ꎬ使其快速理清题意㊁条件间的关系及解题思路ꎬ最终正确解答难题.例３㊀已知如图２所示ꎬ在әＡＢＣ中ꎬＡＤ＝ＤＢꎬＤＦ和ＡＣ相交于点Ｅꎬ同ＢＣ的延长线相交于点Ｆꎬ求证:ＡＥ图２ＣＦ＝ＥＣ ＢＦ.解析㊀在解答这一几何问题时ꎬ求证的是两条线段之积等于另外两条线段的积ꎬ显得较为抽象ꎬ教师可以指引学生巧妙采用转化思想ꎬ通过作辅助线的方式ꎬ把图形转化的更为具体ꎬ成为他们常见的几何图形ꎬ使其找到正确的解题思路.第一步ꎬ教师要求学生观察㊁找出图形中是否存在几组相似三角形ꎬ能否通过相似三角形的性质来处理问题ꎻ第二步ꎬ提示他们画出辅助线ꎬ把图像转化的更加具体ꎬ以便快速找到相似图形.如:学生可以在ＤＥ上取一点Ｇꎬ让ＣＧʊＡＢꎬ由此把图形转化成相似三角形ꎬ使其结合三角形的相似性来证明ＡＥ ＣＦ＝ＥＣ ＢＦ.这样当遇到一些不仅抽象的数学难题时ꎬ学生不要盲目的解答ꎬ而是需学会另辟新径ꎬ采用转化思想结合相关辅助线ꎬ对原始图形进行转化ꎬ提升题目的具体性与直观化ꎬ使他们理清解题思路.㊀㊀四㊁数形间相互转化ꎬ辅助学生快速解答难题在初中数学解题教学环节ꎬ教师可指导学生根据具体题目巧妙采用转化思想ꎬ掌握出题目中的数或形的关系ꎬ通过 以数解形 或 以形助数 的方法实现两者的相互转化ꎬ使其把抽象的数学语言㊁数量关系同直观的几何图形㊁位置关系有机结合起来ꎬ辅助他们快速解答难题.例４㊀某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况ꎬ对读者进行一次问卷的调查ꎬ要求读者选出自己最喜欢的一个版面ꎬ把调查所得的数据整理后绘制成如图３所示的条形统计图:(１)写出从条形统计图中获得的一条信息ꎻ(２)请根据条形统计图中的数据绘制一个扇形统计图ꎬ第二版要与第三版相邻ꎬ并说明这两幅统计图各自的特点ꎻ(３)你根据上述数据ꎬ对该报社提出一条合理的建议.图３解析㊀这是一道典型的数形结合类题目ꎬ题目中描述的信息可通过另外一种统计图的样式来表示ꎬ而图形也蕴含着大量 数 的信息.(１)学生通过读图能够获取到多个信息ꎬ如:参加调查的读者总数为５０００人ꎬ喜欢阅读第三版的人数最多等ꎻ(２)扇形统计图如图３所示ꎬ可清楚表示出喜欢各版面读者人数占所调查总人数的百分比ꎬ条形统计图能清楚表示出喜欢各版面的读者人数ꎻ(３)建议改进第二版的内容ꎬ像提高文章质量ꎬ主题更加贴近现实生活.在初中数学解题教学实践中ꎬ对部分难题ꎬ教师应给予格外关注ꎬ当学生在处理这些难题时ꎬ要提示他们不能再采用常规的解题方法ꎬ而是需学会合理运用转化思想ꎬ有效降低数学题目的难度ꎬ使其从解题困境中走出来ꎬ解答数学难题ꎬ思维变得愈加灵活.㊀㊀参考文献:[１]竺利群.初中数学解题中的转化思想应用与体现分析[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０２０(０３):１１３.[２]郑丽仙.关于初中数学解题中转化思想应用的实践探索[Ｊ].考试周刊ꎬ２０１９(１５):１１５.[３]蒋欢欢.转化思想在初中数学解题中的应用探索[Ｊ].数学大世界(中旬)ꎬ２０１８(１１):７１.[责任编辑:李㊀璟]６。

中考数学专题复习：数学的转化思想转化思想要求我们居高临下地抓住问题的实质，转化思想要求我们居高临下地抓住问题的实质，在遇到较复杂的问题时，在遇到较复杂的问题时，能够辩证地分析问题，通过一定的策略和手段，使复杂的问题简单化，陌生的问题熟悉化，抽象的问题具体化。

具体地说，比如把隐含的数量关系转化为明显的数量关系；比如把隐含的数量关系转化为明显的数量关系；把从这一个角度提供的信息转把从这一个角度提供的信息转化为从另一个角度提供的信息。

化为从另一个角度提供的信息。

转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、概念与概念概念与概念之间、图形与图形之间都可以通过转化，来获得解决问题的转机．．。

一、基础练习：1、（2012•南昌）已知（2012•南昌）已知(m (m (m﹣﹣n)2=8=8，，(m+n)2=2=2，则，则m 2+n 2=（ ） A 10B 6C 5D 3 2、如图，已知△、如图，已知△ABC ABC 外有一点P ，满足PA=PB=PC PA=PB=PC，则（，则（，则（ ））A 、2231Ð=Ð B B、、21Ð=Ð C C、、221Ð=Ð D D、、2,1ÐÐ大小无法确定大小无法确定3、（2012•黔西南州）已知﹣（2012•黔西南州）已知﹣2x 2x m m ﹣﹣11y 33和x n n y m+n m+n 是同类项，则（是同类项，则（n n ﹣m ）20122012= ． 4、（2012•铁岭）如图（2012•铁岭）如图,,正方形纸片上做随机扎针实验，则针头扎在阴影区域内概率为5、（2012江苏遵义）如图，半径为1cm 1cm，圆心角为，圆心角为90°的扇形OAB 中，分别以OA OA、、OB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为作半圆，则图中阴影部分的面积为6、（2012•黄石）如图，（2012•黄石）如图，A A （，y 1），B （2，y 2）为反比例函数y=图象上的两点，动点P （x ，0）在x 轴正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之和达到最小时，点P 的坐标是的坐标是 7、（2012•兰州）如图，四边形ABCD 中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC BC、、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为的度数为 。

九年级数学实际问题中转化思想的运用【本讲主要内容】实际问题中转化思想的运用包括解方程中转化思想的运用，以及解几何问题中转化思想的运用。

【知识掌握】【知识点精析】1. 解双二次方程中转化思想的运用；2. 解分式方程中转化思想的运用；3. 解无理方程中转化思想的运用；4. 解几何问题中转化思想的运用。

【解题方法指导】例1. 解方程()()x x x x 2222142150+-+-=分析：此题是四次方程，我们通过换元可将它转化为一元二次方程去解，可设x x y 22+=。

解：设x x y 22+=，则得y y 214150--=()()y y -+=1510∴y y 12151==-，∴x x x x 2221521+=+=-，即x x x x 222150210+-=++=，由x x 22150+-=解得x x 1253=-=，由x x 2210++=解得x x 341==-∴原方程的解为x x x x 1234531=-===-，，评析：解高次方程时，利用换元法转化为一元二次方程，从而使“不可解”转化为可解。

例2. 解方程6122x xx x +=++分析：此题是分式方程，若采用去分母的方法，将得到四次方程，增加了解题的难度。

观察方程，发现左右都有x x 2+，于是可通过换元，使分式方程转化为整式方程。

解：设x x y 2+=，则原方程化为61yy =+ 去分母，得y y 26+=即y y 260+-= ()()y y +-=320∴y y 1232=-=，代回所设，得x x x x 2232+=-+=，即x x x x 223020++=+-=，由x x 22301120++==-<，∆，无解由x x x x 2122021+-==-=，解得，∴原方程的解为x x 1221=-=，评析：此题通过换元，使分式方程转化为整式方程，从而简化解题过程。

例3. 已知a =5，b 是a 的小数部分，求a b-1的值。

第2讲转化思想概述：在解数学题时，所给条件往往不能直接应用，•此时需要将所给条件进行转化，这种数学思想叫转化思想，在解题中经常用到．典型例题精析例1．（2002，上海）如图，直线y=12x+2分别交x，y轴于点A、C、P•是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂足，S△ABP=9．（1）求P点坐标；（2）设点R与点P在同一反比例函数的图象上，且点R在直线PB右侧．作RT⊥x轴，•T为垂足，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标．分析：（1）求P点坐标，进而转化为求PB、OB的长度，P（m，n）•再转为方程或方程组解，因此是求未知数m，n值．∵S△ABP=9，∴涉及AO长，应先求AO长，由于A是直线y=12x+2与x轴的交点，∴令y=0，得0=12x+2，∴x=-4，∴AO=4．∴(4)2m n=9…①又∵点P（m，n）在直线y=12x+2上，∴n=12m+2…②联解①、②得m=2，n=3，∴P（2，3）．（2）令x=0，代入y=12x+2中有y=2，∴OC=2，∴△AOC∽△BRT，设BT=a，RT=b．分类讨论：①当24ba =…①又由P点求出可确定反比例函数y=6 x又∵R（m+a，b）在反比例函数y=6x上∴b=6m a+……②联解①、②可求a，b值，进而求到R点坐标．②当24ab=时，方法类同于上．例2．（2002，南京）已知：抛物线y1=a（x-t-1）2+t2（a，t是常数，a≠0，t≠0）•的顶点是A，抛物线y2=x2-2x+1的顶点是B．（1）判断点A是否在抛物线y2=x2-2x+1上，为什么？（2）如果抛物线y1=a（x-t-1）2+t2经过点B，①求a的值；②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？•若能，求出t的值；若不能，请说明理由．分析：（1）∵y1的顶点为（t+1，t2），代入y2检验x2-2x+1=（t+1）2-2（t+1）+1=t2+2t+1-2t-2+1=t2，∴点A在y2=x2-2x+1的抛物线上．（2）①由y2=x2-2x+1=（x-1）2+0，∴y2顶点B（1，0），因为y1过B点，∴0=a（1-t-1）2+t 2⇒at2+t2=0．∵t≠0，∴t2≠0，∴a=-1．①当a=-1时，y=-（x-t-1）2+t2，它与x轴的两个交点纵坐标为零，即y1=0，有0=-（x-t-1）2+t2⇒x-t-1=±t∴x1=t+t+1=2t+1， x2=-t+t+1=1．情况一：两交点为E（2t+1，0），F（1，0）．而A（t+1，t2）由对称性有AF=AE（如图）∴只能是∠FAE=90°，AF2=AD2+DF2．而FD=OD-OF=t+1-1=t，A D=t2，∴AF2=t2+t2=AE2，FE=OE-OF=2t+1-1=2t．令EF2=AF2+AE2，则有（2t）2=2（t2+t2），4t2=2t4+2t2，∵t≠0，∴t2-1=0，∴t=±1．情况二：E（1，0），F（2t+1，0）用分析法若△FAE为直角三角形，由抛物线对称性有AF=AE即△AFE为等腰直角三角形．且D为FE中点，∵A（t+1，t2），∴AD=t2，OD=t+1，∴AD=DE，∴t2=OE-OD=1-（t+1），t2=-t，∴t1=0（不合题意，舍去），t2=-1．故这条抛物线与x轴两交点和它们的顶点A能够成直角三角形，这时t=±1．中考样题看台1．（2003，海南）已知抛物线y=ax2+bx+c开口向下，并且经过A（0，1）和M（2，-3）两点．（1）若抛物线的对称轴为x=-1，求此抛物线的解析式；（2）如果抛物线的对称轴在y轴的左侧，试求a的取值范围；（3）如果抛物线与x轴交于B、C两点，且∠BAC=90°，求此时a的值．2．（2003，南宁）如图，已知E是△ABC的内心，∠A的平分线交BC于点F，•且与△ABC 的外接圆相交于点D．（1）求证：∠DBE=∠DEB；（2）若AD=8cm，DF：FA=1：3，求DE的长．3．（2003，山东）如图是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，过点A 1的直线分别与BC 1、BE 交于M 、N ，且被直线MN 分成面积相等的上、下两部分． （1）求1MB +1NB的值； （2）求MB 、NB 的长；（3）将图沿虚线折成一个无盖的正方形纸盒后，求点MN 间的距离．D 2C 2B 1A 1D 1C 1BC AE D NM F4．（2004，云南）如图，MN 表示某引水工程的一段设计路线，从M 到N•的走向为南偏东30°，在M 的南偏东60°方向上有一点A ，以A 为圆心，500•米为半径的圆形区域为居民区，取MN 上另一点B ，测得BA 的方向为南偏东75°，已知MB=400米，通过计算，如果不改变方向，输水线路是否会穿过居民区？东北ABNM5．（2004，丽水市）如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米，点P•从点O 开始沿OA 边向点A 以1厘米/秒的速度移动；点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1厘米/秒的速度移动，如果P 、Q 同时出发，用t （秒）表示移动的时间（0≤t ≤6），那么 （1）设△POQ 的面积为y ，求y 关于t 的函数解析式；（2）当△POQ 的面积最大时，将△POQ 沿直线PQ 翻折后得到△PCQ ，试判断点C•是否落在直线AB 上，并说明理由；（3）当t 为何值时，△POQ 与△AOB 相似．B Ay xQ PO考前热身训练1．已知抛物线y=（x-2）2-m 2（常数m>0）的顶点为P ． （1）写出抛物线的开口方向和P 点的坐标；（2）若此抛物线与x 轴的两个交点从左到右分别为A 、B ，并且∠APB=90°，试求△ABP 的周长．2．已知m ，n 是关于x 方程x 2+（x+2t=0的两个根，且m 2过点Q （m ，n ）的直线L 1与直线L 2交于点A （0，t ），直线L 1，L 2分别与x 轴的负半轴交于点B 、C ，如图，△ABC 为等腰三角形． （1）求m ，n ，t 的值； （2）求直线L 1，L 2的解析式；（3）若P 为L 2上一点，且△ABO ∽△ABP ，求P 点坐标．l 2Al 1BCy xQO3．如图，正方形ABCD 中，AB=1，BC 为⊙O 的直径，设AD 边上有一动点P （不运动至A 、D ），BP 交⊙O 于点F ，CF 的延长线交AB 于点E ，连结PE ．（1）设BP=x ，CF=y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当CF=2EF 时，求BP 的长；（3）是否存在点P ，使△AEP ∽△BEC （其对应关系只能是A ↔B ，E ↔E ，P ↔C ）？如果存在，•试求出AP 的长；如果不存在，请说明理由．BCE答案:中考样题看台1．（1）抛物线解析式是y=-12x2-x+1（2）由题意得：1423ca b c=⎧⎨++=-⎩消去c，得b=-2a-2，•又∵抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，∴2aba<⎧⎪⎨-<⎪⎩∴b<0，∴b=-2a-2<0，解得a>-1，∴a的取值范围是-1<a<0（3）由抛物线开口向下，且经过点A（0，1）知：它与x轴的两个交点B、C分别在原点的两旁，此时B、C两点的横坐标异号OA=c=1，又∠BAC=90°，∴点A必在以BC为直径的圆上；又∵OA⊥BC于O，∴OA2=OB·OC，又∵b=-2a-2，c=1，∴抛物线方程变为：y=ax2-2（a+1）x+1，设此抛物线与x轴的两个交点分别为B（x1，0），C（x2，0），则x1、x2是方程ax2-2（a+1）x+1=0的两根，∴x1·x2=1a，∴OB·OC=│x1│·│x2│=│x1x2│=-x1x2，（∵x1·x2<0），•∴OB·OC=-1a，又∵OA2=OB·OD，OA=1，∴1=-1a，解得a=-1，经检验知：当a=-1时，所确定的抛物线符合题意，故a的值为-1．2．（1）证明，由已知∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠BED=∠3+∠1，∠5=∠2，∴∠4+∠5=∠3+∠1，即∠EBD=∠BED．（2）△BFD∽△ABD，∴BD2=AD·FD．∵DF：FA=1：3，AD=8，∴DF：AD=1：4，∴184DF =，DF=2cm ，∴BD 2=16，∴DE=BD=4cm ． 3．（1）∵111NB MB A B MB =，即11NB MBMB =-， 得MB+NB=MB ·NB ，两边同除以MB ·NB 得1MB +1NB=1． （2）12MB ·NB=52，即MB ·NB=5， 又由（1）可知MB+NB=MB ·NB=5，∴MB 、NB•分别是方程x 2-5x+5=0的两个实数根，x 1=52+，x 2=52-， ∵MB<NB ，∴（3）B 1MN=1．4．解：过A 作AC ⊥MN 于C ，设AC 长为x 米，由题意可知，∠AMC=30°，∠ABC=45°， •∴MC=AC ·cot30°=3x ，BC=AC=x ，∵MC-BC=MB=400．解得x=200（3+1）（米）．• ∴x>500，∴不改变方向，输水线路不会穿过居民区．5．解：（1）∵OA=12，OB=6，由题意，得BQ=1×t=t ，OP=1×t=t ． ∴OQ=6-t ，∴y=12וOP ×OQ=12×t （6-t ）=-12t 2+3t （0≤t ≤6） （2）∵y=-12t 2+3t ，∴当y 有最大值时，t=3， ∴OQ=3，OP=3，即△POQ 是等腰三角形．•把△POQ 沿PQ 翻折后，可得四边形OPCQ 是正方形， ∴点C 的坐标是（3，3），∵A （12，0），B （0，6）， ∴直线AB 的解析式为y=-12x+6， 当x=3时，y=92≠3，∴点C不落在直线AB上．（3）△POQ∽△AOB时，①若OQ OPOB OA=，即6612t t-=，12-2t=t，∴t=4．②若OQ OPOA OB=，即6126t t-=，6-t=2t，∴t=2，•∴当t=4或t=2时，△POQ与△AOB相似．考前热身训练1．（1）开口向上，P（2，-m2）．（2）设对称轴与x轴交于点C，令（x-2）2-m2=0，得x1=-m+2，x2=m+2，∴A（-m+2，0），B（•m+2，0），∴AC=│2-（-m+2）│=m，（∵m>0）由抛物线对称性得PA2=AC2+PC2=m2+（-m2）2．∵∠APB=90°，∴易证AC=PC，即│m│=│-m2│，∴m1=0，m2=±1．∵m>0，∴m=1，∴△ABC的周长为．2．（1）m=-2，，（2）L1：y2L2：y=3（3）过B作BP1⊥AC于P1，则P1（32，2），过B作BP2⊥AB于P2，则P2（-2，2）．3．（1）y=1x（）．（2）（3）若△AEP∽△BEC，则AE APBE BC=，易知Rt△BAP≌Rt△CBE，BE=AP．BCAyxPO设AP=t （0<t<1），则AE=AB-EB=1-t ，∴11t t t -=，∴，又∵0<t<1，∴t=12，即P 点存在，且AP=12．。

转化思想转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想，在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题，我们也常常在不同的数学问题之间互相转化，可以说在解决数学问题时转化思想几乎是无处不在的。

例题分析例1 解方程组分析：从表面上看此题属于二元三次方程组的求解问题，超过我们所掌握的知识范围，但仔细分析可将方程组变形为，再利用换元法，问题就迎刃而解了。

解：设原方程组可化为解之，得即解之，得例2若m、n、p同时满足下面二式：，求的取值范围。

分析：直接利用已知条件中的两个等式得到的取值范围不好下手，如果换个角度考虑可变形为，令，，，则已知条件可转化为方程组，进而找到a、b与c的关系，可以确定所求式子的取值范围。

解：设，则由(1)、(2)可得(3)(4)此时， (5)由(3)得，由(4)得由(5)得例3 如图，中，BC＝4，，P为BC上一点，过点P作PD//AB，交AC于D。

连结AP，问点P在BC上何处时，面积最大？A分析：本题从已知条件上看是一个几何问题，而求最大值又是一个代数问题，因此把几何问题转化为代数中的函数问题是解题的关键，为了完成这种转化，需要把位置关系转化为数量关系，得出函数解析式。

解：设BP＝x，的面积为y作于H则化简得配方得即P为BC中点时，的面积最大这时的面积最大值为例4已知二次函数过点O(0，0)，A()，B()和C()四点。

(1)确定这个函数的解析式及m的值；(2)判断的形状；(3)若有一动圆⊙M，点M在x轴上，与AC相切于T点，⊙M和OA、OC分别交于点R、S，求证弧长为定值。

分析：(1)由于二次函数过三个定点，因此可以利用待定系数法确定函数的解析式，进而求出m的值。

(2)分别计算出OA、OC、AC的长即可判定的形状。

(3)这一问综合性较强，需要根据条件列出点的坐标，再利用方程和距离公式求解。