习题 1.1
1.写出下列随机试验的样本空间:
(1)掷两颗骰子, 观察两颗骰子出现的点数.
(2)从正整数中任取一个数, 观察取出数的个位数.
(3)连续抛一枚硬币, 直到出现正面时为止.
(4)对某工厂出厂的产品进行检查, 如连续检查出两个次品, 则停止检查,或检
查四个产品就停止检查, 记录检查的结果.
(5)在单位圆内任意取一点, 记录它的坐标.
解: (1) {(i, j)|i 1,2,L ,6, j 1,2,L ,6} ;
(2){i|i 0,1,L ,9} ;
(3){(正),(反,正),(反,反,正),(反,反,反,正)，…};
(4){( 次, 次), (次, 正, 正, 正), (次, 正, 正, 次), (次, 正, 次, 次), ( 次, 正, 次, 正), ( 正, 次, 次), ( 正, 次, 正, 正), ( 正, 次, 正, 次)}; (5){( x,y)|xR,y R,x2y21} .
2.在掷两颗骰子的试验中写出下列事件的集合表示:
(1)A =”出现的点数之和为偶数” .
(2)B =”出现的点数之和为奇数, 但没有骰子出现 1 点”.
(3)C =”至少掷出一个2点”.
(4)D =”两颗骰子出现的点数相同” .
解: (1) A {(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),
{(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6, 2),(6,4),(6,6)} ;
(2)B {(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,3),(6,5)}
;
(3)C {(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,
2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)} ;
(4)D {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)} .
3.设A,B,C是三个事件，试用代B,C来表示下列事件：
(1)事件“ A,B,C 中至少有一个事件发生”
(2) 事件“ A, B,C 中至少有两个事件不发生” (3) 事件“ A, B,C 中至多有一个事件不发生” (4) 事件“ A, B,C 中至少有一个事件不发生”
(5) 事件“代B 至少有一个发生,而C 不发生” 解:⑴ AUBUC; (2) AB U AC UB C 或 ABC U ABC U ABC UABC
(3) ABC U ABC U ABC U ABC 或 AB U AC U BC ; (4) AU BUC ;
⑸ AUB I C 或 ABC U ABC U ABC
B 表示被选学生是三年级学生，事件
C 表示被选学生是运动员.
(1) 叙述ABC 的意义.
(2) 在什么条件下ABC A 成立？
⑶什么时候A C 成立？
解：(1)被选学生是三年级男运动员；
⑵ 因为ABC A 等价于A BC,即数学系的女生全部都是三年级运动员
(3)
数学系的男生全部都是运动员，且运动员全部都是男生.
4. 指出下列命题哪些成立，哪些不成立？
(1) AU B AB UB .
AU B AU AB . AB U AB . AU B C ABC . (8)
AU B .
B 等价于AU B
B 或AB
解:⑴ 正确;(2)正确;(3)正确;⑷
AB I
AB A .
正确佝 错误;(6)正确;(7)正确;(8)正
5. 在数学系的学生中任选一名学生 ,令事件A 表示被选学生是女生，事件
6.试用维恩图说明,当事件A, B互不相容,能否得出A, B也互不相容？解：不能•
7.设样本空间x 0 x 10 ,事件A x2x7,B x1x5,
试求：AU B, AB, B 代AU B.
解：AUB x 1 x 7 ; AB x2x5;BA x1 x 2 ;
AU B AB [0,2) U(5,10].
习题1.2
⑹ 设 A B , P A 0.2,P B 0.3, 求(1) P(AUB); ⑵
P(BA);(3) P(A B).
解：P(AU B) P(B) 0.3;
P(BA) P(B) P(A) 0.1;
P(A B) P( ) 0.
2
⑺设P AB P(AB),且P A ,求P(B).
3
解：注意到P(AB) P(AUB) 1 P(AUB) 1 P(A) P(B) P(AB).
从而由P AB P(AB)得P(A) P(B) 1.
1
于是P(B) 1 P(A)-.
3
1 1 (8)设A,B,C 为三个随机事件，且P(A) P(B) P(C) -, P(AB) P(BC)-,
2 3
P(AC) 0,求P(AU BUC).
解：由P(AC) 0知P(ABC) 0.于是由广义加法公式有
P(AUBUC) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(AC) P(BC) P(ABC)
3 2 5
2 3 6.
(9)设代B为两个随机事件，且P A 0.7, P(B) 0.9，问：
(4)在什么条件下,P AB取到最大值,最大值是多少？
(5)在什么条件下，P AB取到最小值，最小值是多少？
解:⑴ 由于P AB P(A)且P AB P(B).由此可见在A B条件下，P AB取到最大值P A 0.7.
⑹ 注意到P(AB) P(A) P(B) P(AUB).因此当P(AUB) 1 时，P AB 取
到最小值0.7 0.9 1 0.6.
思考：有人说(2),在AB 时,P AB取到最小值0.你能指出错误在什
么地方吗？
(10)设A,B为两个随机事件,证明：
(1)P(AB) 1 P(A) P(B) P(A B).
(2) 1 P(A) P(B) P(AB) P(AU B) P(A) P(B).
证明:(1)由广义加法公式可得
P(AB) 1 P(AUB) 1 P(A) P(B) P(A B).
⑵ 由(1)立得 1 P(A) P(B) P(AB).
其余不等式是显然的.
(11)设A,B,C 为三个随机事件,证明：P(AB) P(AC) P(BC) P(A).
证明：由广义加法公式可得
P(A) P(AI (B UC)) P((AB)U(AC)) P(AB) P(AC) P(ABC)
P(AB) P(AC) P(BC).
(12)设A,A2,L ,A n为n个事件，利用数学归纳法证明：
n
(1)(次可加性)PAUA2UL U代P(A k).
k 1
n
(2)P A1A2L A n P(A k) (n 1).
k 1
证明：(1) 当n 2时，由广义加法公式有
