矩形、菱形与正方形知识点

特殊平行四边形第一节 矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也说是长方形。

矩形性质⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=为矩形长宽）、（面积公式轴对称图形；既是中心对称图形又是两条对角线相等；四个角为直角；有平行四边形性质；b a ab S矩形判定⎪⎩⎪⎨⎧形；对角线相等的平行四边；三个角为直角的四边形形；有一个直角的平行四边【重点内容】①具有的一切性质； ②内角都是直角； ③对角线相等； ④全等三角形的个数；⑤等腰三角形的个数； ⑥对称轴的条数； ⑦斜边中线定理； ⑧平方等式；⑨两种面积计算方法； ⑩有一个直角的→矩形；⑾有三个直角的四边形→矩形； ⑿对角线相等的→矩形.【典型例题】1、矩形具有而平行四边形不具有的性质为（ ）A ．对角线相等B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．对边相等2、（2015春•南京校级月考）下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3、如图，已知矩形ABCD 的两条对角线相交于O ，︒=∠120AOD ，AB=4cm ，求此矩形的面积。

4、如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形是矩形．5、（2015•南平）如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，BE ⊥AC ，CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ． 求证：BE=CF ．6、（2015•湘西州）如图，在▱ABCD 中，DE ⊥AB ，BF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ． （1）求证：△ADE ≌△CBF ；（2）求证：四边形BFDE 为矩形．AOD巩固训练1、平行四边形没有而矩形具有的性质是（ ） A 、对角线相等B 、对角线互相垂直C 、对角线互相平分D 、对角相等 2、矩形各内角平分线所围成的四边形是（ ）A 、矩形B 、平行四边形C 、正方形D 、菱形3、（2015•甘州区校级模拟）在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（ ） A ．测量对角线是否相互平分 B ．测量两组对边是否分别相等 C ．测量对角线是否相等 D ．测量其中三个角是否都为直角4、顺次连结四边形ABCD 各边的中点，得到四边形EFGH ，可使四边形EFGH 为矩形的是（ ） A 、CD AB =B 、BD AC =C 、BD AC ⊥D 、AD//BC5、若矩形的对角线长为4cm ，一条边长为2cm ，则此矩形的面积为（ ）A ．83cm 2B ．43cm 2C ．23cm 2D ．8cm26、矩形ABCD 的周长为56，对角线AC ，BD 交于点O ，△ABO 与△BCO 的周长差为4，•则AB 的长是（ ）A ．12B ．22C ．16D ．267、（2015•宁化县模拟）如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，请你添加一个条件 ．（只添一个即可），使平行四边形ABCD 是矩形．8、矩形的两条对角线的交角之一是︒60，矩形较短的边与一条对角线长度之和为12cm ，则对角线的长为 ，较短的边的长为 ，较长的边的长为 。

矩形、菱形、正方形的性质及判定一、知识提要1.矩形定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；性质①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等.判定①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形.2.直角三角形斜边的中线等于斜边长的一半.3.菱形定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.性质①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.判定①有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四边相等的四边形是菱形.4.菱形的面积等于对角线乘积的一半.5.正方形定义四条边都相等、四个角都是直角的四边形是正方形.性质正方形拥有平行四边形、矩形、菱形的所有性质；判定①由一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形.二、精讲精练1.矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则边与对角线组成的直角三角形的个数是________.2.（2011浙江）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOB= 60°，AC=16，则图中长度为8的线段有( ) A．2条B．4条ODC BA60°C ．5条D ．6条3. 矩形ABCD 中，AB =2BC ，E 为CD 上一点，且AE =AB ，则∠BEC = ___.4. 已知矩形ABCD ，若它的宽扩大2倍，且它的长缩小四分之一，那么新矩形的面积等于原矩形ABCD 面积的__________．5. （2011四川）下列关于矩形的说法中正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相平分的四边形是矩形C ．矩形的对角线互相垂直且平分D ．矩形的对角线相等且互相平分6. （2011江苏）在四边形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC .请再添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形.你添加的条件是_______________(写出一种即可) 7. （2011山东）如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D 、F ，BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E ，已知∠A =30°，BC =2，AF =BF ，则四边形BCDE 的面积是（ ）A ．23B ．33C ．4D ．438. 如图，将□ABCD 的边DC 延长到点E ，使CE =DC ，连接AE ，交BC 于点F ．（1）求证：△ABF ≌△ECF（2）若∠AFC =2∠D ，连接AC 、BE ．求证：四边形ABEC 是矩形．9. （2011江苏）在菱形ABCD 中，AB=5cm ，则此菱形的周长为（ ）A. 5cmB. 15cmC. 20cmD. 25cm10. （2011河北）如图，已知菱形ABCD ，其顶点A ，B 在数轴对应的数分别为-4和1，则BC =_______．EFDCBAD CBAHFGE ADBC11. 菱形的一边与两条对角线夹角的差是20°，则菱形的各角的度数为___________．12. (2011重庆)如图,菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC =8，BD =6，过点O 作OH ⊥AB ，垂足为H ，则点O 到边AB 的距离OH =_________．13. 已知菱形周长是24cm ，一个内角为60°，则菱形的面积为＿_____.14. 菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，若S 菱形ABCD =24cm 2，则AE =6cm ，则菱形ABCD的边长为_______.15. （2011山东）已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4:3，则这个菱形的面积是（ ）A ．12cm 2B ． 24cm 2C ． 48cm 2D ． 96cm 2 16. 菱形有____条对称轴，对称轴之间具有________的位置关系． 17. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )A ．两组对边分别平行B ．两组对边分别相等C ．一组邻边相等D ．对角线相互平分18. （2011四川）如图，点E 、F 、G 、H 分别是任意四边形ABCD 中AD 、BD 、BC 、CA 的中点，当四边形ABCD 的边至少满足__________条件时，四边形EFGH 是菱形.19. （2011浙江）如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，过点A 作AG ∥DB 交CB 的延长线于点G ． （1）求证：DE ∥BF ；（2）若∠G =90°，求证：四边形DEBF 是菱形．F E B C A D 20. （2011湖州）如图，已知E 、F 分别是□ABCD 的边BC 、AD 上的点，且BE =DF . （1）求证：四边形AECF 是平行四边形；（2）若BC =10， BAC =90，且四边形AECF 是菱形，求BE 的长.21. （2011湖南）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（ ） A.平行四边形 B.正方形 C.等腰梯形 D.矩形22. 有一组邻边_______并且有一个角是________的平行四边形，叫做正方形． 23. （2010湖北）已知正方形ABCD ，以CD 为边作等边△CDE ，则∠AED 的度数是 .24. 已知正方形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，OE ⊥BC 于E ，若OE =2，则正方形的面积为____．25. 如图，已知，正方形ABCD 的对角线交于O ，过O 点作OE ⊥OF ，分别交AB 、BC 于E 、F ，若AE =4，CF =3，则EF 等于（ ）A ．7B ．5C ．4D ．326. （2011贵州）如图，点E 是正方形ABCD 内一点，△CDE 是等边三角形，连接EB 、EA ，延长BE 交边AD 于点F . （1）求证: △ADE ≌△BCE ； （2）求∠AFB 的度数.FED CBA FE ODCBA三、测试提高【板块一】菱形的性质1. 若菱形两邻角的比为1:2，周长为24 cm ，则较短对角线的长为_____． 【板块二】菱形的判定2. （2011湖南）如图，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A 和B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于C 、D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是（ ） A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形 3. （2011湖北）顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD 一定是（ ） A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形【板块三】菱形余矩形的性质4. （2011江苏）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）A ．对角线互相垂直B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．对角互补 【板块四】特殊四边形的判定5. 下列命题中，正确命题是( )A ．两条对角线相等的四边形是平行四边形；B ．两条对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；C ．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形；D ．两条对角线平分且相等的四边形是正方形；四、课后作业1. 矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠AOB =60°，若BD =10 cm ，则AD =_____．2. 矩形周长为72cm ，一边中点与对边两个端点连线的夹角为直角，此矩形的长边为_______.3. 矩形的边长为10和15，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分的长度分别为_________.4. 过矩形ABCD 的顶点D ，作对角线AC 的平行线交BA 的延长线于E ，则△DEB 是( ).A ． 不等边三角形B ． 等腰三角形C ． 等边三角形D ． 等腰直角三角形BACD5. 矩形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD ，BC 分别交于E ，F ，则四边形AFCE 是___________．6. 菱形一个内角为120°，平分这个内角的一条对角线长12 cm ，则菱形的周长为_____．7. 若菱形两条对角线长分别为6 cm 和8 cm ，则它的周长是________，面积是_______．8. 菱形的一个角是60°，边长是8 cm ，那么菱形的两条对角线的长分别是_________．9. 已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为_____. 10. 在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ， AF ⊥CD ，且BE =EC ， CF =FD ，则∠AEF 等于_______.11. 如图，小华剪了两条宽为2的纸条，交叉叠放在一起，且它们交角为45°，则它们重叠部分的面积为（ ）. A.22 B.1 C.332 D.2 12. （2011广东）如图，两条笔直的公路1l 、2l 相交于点O ，村庄C 的村民在公路的旁边建三个加工厂A 、B 、D ，已知AB =BC =CD =DA =5公里，村庄C 到公路1l 的距离为4公里，则村庄C 到公路2l 的距离是（ ）. A ．3公里 B ．4公里C ．5公里D ．6公里13. 正方形的对角线__________且_________，每条对角线平分_____． 14. 如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且AE =AF ． 求证：△ACE ≌△ACF ．FE BCDA15. （2011山东）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD ，分别交AD 、BC 于点E 和点F ，求证：四边形BEDF 是菱形．OFEDCBA。

1. 矩形、菱形和正方形的定义及特点- 矩形是指具有四个直角的四边形，对角线相等，且相对边长相等。

- 菱形是指具有四个边长相等的四边形，对角线垂直且平分。

- 正方形是一种特殊的矩形和菱形，具有四个直角和四个边长相等的特点。

2. 矩形、菱形和正方形的性质和公式- 矩形的周长和面积分别用公式2*(长+宽)和长*宽表示。

- 菱形的周长和面积分别用公式4*边长和(对角线1*对角线2)/2表示。

- 正方形的周长和面积分别用公式4*边长和边长^2表示。

3. 矩形、菱形和正方形在几何图形中的应用- 矩形常见于建筑物的平面设计、画框、电视屏幕等。

- 菱形在菱形格子、菱形图案、梁的截面等中常见应用。

- 正方形常见于棋盘、地砖、窗户等设计中。

4. 矩形、菱形和正方形与其他几何图形的联系和区别- 矩形是特殊的平行四边形，与平行四边形和正方形有联系。

- 菱形是特殊的平行四边形，与平行四边形和正方形有联系。

- 正方形是特殊的矩形和菱形，具有独特的特点和应用。

5. 实际生活中的矩形、菱形和正方形的应用案例- 通过实际案例，解释矩形、菱形和正方形在生活中的运用和意义，如建筑结构、家居设计、工程绘图等。

- 分析实际案例中矩形、菱形和正方形的优缺点，引导读者对几何图形的深入思考和应用。

个人观点和总结通过对矩形、菱形和正方形的深入研究和比较，我深刻地认识到这些几何图形在我们日常生活中的重要性和应用广泛性。

它们不仅是数学中的重要概念，也是实际工程和设计中不可或缺的元素。

在未来的学习和工作中，我将更加注重对这些几何图形的认识和运用，以提高自己的学术和职业能力。

PS: 本文仅代表个人观点，如有不同意见，请指正。

矩形、菱形和正方形是我们生活中常见的几何图形，它们在建筑、设计、工程、艺术等领域都有着广泛的应用。

下面将对它们在不同领域的具体应用进行更详细地介绍。

我们来看矩形在建筑和设计中的应用。

矩形具有四个直角和对角线相等的特点，这使得它成为建筑物中常见的平面结构。

中考专题复习第二十一讲矩形菱形正方形【基础知识回顾】一、矩形：1、定义：有一个角是角的平行四边形叫做矩形2、矩形的性质：⑴矩形的四个角都⑵矩形的对角线3、矩形的判定：⑴用定义判定⑵有三个角是直角的是矩形⑶对角线相等的是矩形【名师提醒：1、矩形是对称图形，对称中心是，矩形又是对称图形，对称轴有条2、矩形被它的对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形3、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时，利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题】二、菱形：1、定义：有一组邻边的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质：⑴菱形的四条边都⑵菱形的对角线且每条对角线3、菱形的判定：⑴用定义判定⑵对角线互相垂直的是菱形⑶四条边都相等的是菱形【名师提醒：1、菱形既是对称图形，也是对称图形，它有条对称轴，分别是2、菱形被对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形3、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线积的来计算4、菱形常见题目是内角为1200或600时，利用等边三角形或直角三角形的相关知识解决的题目】三、正方形：1、定义：有一组邻边相等的是正方形，或有一个角是直角的是正方形2、性质：⑴正方形四个角都都是角，⑵正方形四边条都⑶正方形两对角线、且每条对角线平分一组内角3、判定：⑴先证是矩形，再证⑵先证是菱形，再证【名师提醒：1、菱形、正方形具有平行四边形的所有性质，正方形具有以上特殊四边形的所有性质。

这四者之间的关系可表示为：2、正方形也既是对称图形，又是对称图形，有条对称轴3、几种特殊四边形的性质和判定都是从、、三个方面来看的，要注意它们的区别和联系】【重点考点例析】考点一：与矩形有关的折叠问题例1 （2016•泸州）如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知折痕AE=105cm，且tan∠EFC=34，那么该矩形的周长为（）A．72cm B．36cm C．20cmD．16cm对应训练1．（2016•湖州）如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：AC=3：5，则ADAB的值为（）A．12B．33C．23D．22考点二：和菱形有关的对角线、周长、面积的计算问题例2 （2016•泉州）如图，菱形ABCD的周长为85，对角线AC和BD相交于点O，AC：BD=1：2，则AO：BO= ，菱形ABCD的面积S= ．对应训练2．（2016•凉山州）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（）A．14B．15C．1 D．17考点三：和正方形有关的证明题例3 （2016•湘潭）在数学活动课中，小辉将边长为2和3的两个正方形放置在直线l 上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF．（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．思路分析：（1）根据正方形的性质可得AO=CO ，OD=OF ，∠AOC=∠DOF=90°，然后求出∠AOD=∠COF ，再利用“边角边”证明△AOD 和△COF 全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）与（1）同理求出CF=AD ，连接DF 交OE 于G ，根据正方形的对角线互相垂直平分可得DF ⊥OE ，DG=OG=12OE ，再求出AG ，然后利用勾股定理列式计算即可求出AD ． 解：（1）AD=CF ．理由如下：在正方形ABCO 和正方形ODEF 中，AO=CO ，OD=OF ，∠AOC=∠DOF=90°， ∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD ，即∠AOD=∠COF ，在△AOD 和△COF 中，AO CO AOD COF OD OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOD ≌△COF （SAS ）， ∴AD=CF ；（2）与（1）同理求出CF=AD ，如图，连接DF 交OE 于G ，则DF ⊥OE ，DG=OG=12OE ，∵正方形ODEF 的边长为2，∴OE=2×2=2，∴DG=OG=12OE=12×2=1， ∴AG=AO+OG=3+1=4，在Rt △ADG 中，AD=22224117AG DG +=+=，∴CF=AD=17．点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，（1）熟练掌握正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分是解题的关键，（2）作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．对应训练3．（2016•三明）如图①，在正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一点，点E 在BC 的延长线上，且PE=PB ．（1）求证：△BCP≌△DCP；（2）求证：∠DPE=∠ABC；（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°，则∠DPE= 度．3．（1）证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，∵在△BCP和△DCP中，BC DCBCP DCPPC PC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCP≌△DCP（SAS）；（2）证明：由（1）知，△BCP≌△DCP，∴∠CBP=∠CDP，∵PE=PB，∴∠CBP=∠E，∴∠DPE=∠DCE，∵∠1=∠2（对顶角相等），∴180°-∠1-∠CDP=180°-∠2-∠E，即∠DPE=∠DCE，∵AB∥CD，∴∠DCE=∠ABC，∴∠DPE=∠ABC；（3）解：与（2）同理可得：∠DPE=∠ABC，∵∠ABC=58°，∴∠DPE=58°．故答案为：58．考点四：四边形综合性题目例4 （2016•资阳）在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．（1）如图1，当点M与点C重合，求证：DF=MN；（2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以2cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）；①判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由．②连结FM、FN，△MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a，t之间的关系；若不能，请说明理由．思路分析：（1）证明△ADF≌△DNC，即可得到DF=MN；易证△MND ∽△DFA，∴ND DMAF AD=，即ND a tat aa t-=-，得ND=t．∴ND=CM=t，AN=DM=a-t．若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形：（I）若FN=MN，则由AN=DM知△FAN≌△NDM，∴AF=DM，即ata t-=t，得t=0，不合题意．∴此种情形不存在；（II）若FN=FM，由MN⊥DF知，HN=HM，∴DN=DM=MC，∴t=12a，此时点F与点B重合；（III）若FM=MN，显然此时点F在BC边上，如下图所示：易得△MFC≌△NMD，∴FC=DM=a-t；又由△NDM∽△DCF，∴DN DCDM FC=，即t aa t FC=-，∴FC=()a a tt-．∴()a a tt-=a-t，∴t=a，此时点F与点C重合．综上所述，当t=a或t=12a时，△MNF能够成为等腰三角形．点评：本题是运动型几何综合题，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命题证明等知识点．解题要点是：（1）明确动点的运动过程；（2）明确运动过程中，各组成线段、三角形之间的关系；（3）运用分类讨论的数学思想，避免漏解．对应训练4．（2016•营口）如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD．（1）①猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；②将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2、图3的情形．图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．（2）将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF改为矩形CDEF，如图4，且AC=4，BC=3，CD=43，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连接BD、AF，求BD2+AF2的值．4．解：（1）①BF=AD ，BF ⊥AD ；②BF=AD ，BF ⊥AD 仍然成立，证明：∵△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC ，∵四边形CDEF 是正方形，∴CD=CF ，∠FCD=90°，∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF ，即∠BCF=∠ACD ，在△BCF 和△ACD 中BC ACBCF ACD CF CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCF ≌△ACD （SAS ），∴BF=AD ，∠CBF=∠CAD ，又∵∠BHC=∠AHO ，∠CBH+∠BHC=90°，∴∠CAD+∠AHO=90°，∴∠AOH=90°，∴BF ⊥AD ；（2）证明：连接DF ，∵四边形CDEF 是矩形，∴∠FCD=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠FCD∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF ，即∠BCF=∠ACD ，∵AC=4，BC=3，CD=43，CF=1，∴34BC CF AC CD ==，∴△BCF ∽△ACD ，∴∠CBF=∠CAD ，又∵∠BHC=∠AHO ，∠CBH+∠BHC=90°∴∠CAD+∠AHO=90°，∴∠AOH=90°，∴BF⊥AD，∴∠BOD=∠AOB=90°，∴BD2=OB2+OD2，AF2=OA2+OF2，AB2=OA2+OB2，DF2=OF2+OD2，∴BD2+AF2=OB2+OD2+OA2+OF2=AB2+DF2，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB2=AC2+BC2=32+42=25，∵在Rt△FCD中，∠FCD=90°，CD=43，CF=1，∴DF2=CD2+CF2=(43)2+12=259，∴BD2+AF2=AB2+DF2=25+259=2509．【聚焦山东中考】1．（2016•威海）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF2．（2016•枣庄）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（）A．3-1B．3-5C．5+1D．5-13．（2016•临沂）如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是．4．（2016•烟台）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EFGB也是正方形，以B为圆心，BA长为半径画AC，连结AF，CF，则图中阴影部分面积为．5．（2016•济南）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+3．其中正确的序号是（把你认为正确的都填上）．6．（2016•济宁）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．（1）求证：AF=BE；（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．6．（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠ABE=∠DAF，∵在△ABE和△DAF中，ABE DAFAB ADBAE D∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABE≌△DAF（ASA），∴AF=BE；（2）解：MP与NQ相等．理由如下：如图，过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，则与（1）的情况完全相同．7．（2016•青岛）已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD、BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．（1）求证：△ABM ≌△DCM ；（2）判断四边形MENF 是什么特殊四边形，并证明你的结论；（3）当AD ：AB= 时，四边形MENF 是正方形（只写结论，不需证明）8．（2016•淄博）矩形纸片ABCD 中，AB=5，AD=4．（1）如图1，四边形MNEF 是在矩形纸片ABCD 中裁剪出的一个正方形．你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？说明理由；（2）请用矩形纸片ABCD 剪拼成一个面积最大的正方形．要求：在图2的矩形ABCD 中画出裁剪线，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图（使正方形的顶点都在网格的格点上）．8．解：（1）正方形的最大面积是16．设AM =x （0≤x ≤4），则MD =4-x ．∵四边形MNEF 是正方形，∴MN =MF ，∠AMN +∠FMD =90°．∵∠AMN +∠ANM =90°，∴∠ANM =∠FMD ．∵在△ANM 和△DMF 中A D ANM FMD MN FM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ANM ≌△DMF （AAS ）．∴DM =AN ．∴S 正方形MNEF =MN 2=AM 2+AN 2，=x2+（4-x）2，=2（x-2）2+8∵函数S正方形MNEF=2（x-2）2+8的开口向上，对称轴是x=2，在对称轴的左侧S随x的增大而减小，在对称轴的右侧S随x的增大而增大，∵0≤x≤4，∴当x=0或x=4时，正方形MNEF的面积最大．最大值是16．（2）先将矩形纸片ABCD分割成4个全等的直角三角形和两个矩形如图1，然后拼成如图2的正方形．9．（2016•济南）（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．9．解：（1）完成图形，如图所示：证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，∵在△CAD和△EAB中，【备考真题过关】一、选择题1．（2016•铜仁地区）下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形2．（2016•宜宾）矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等3．（2013•随州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°．已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是（）A．25B．20C．15D．104．（2016•重庆）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）A．6cm B．4cm C．2cm D．1cm 5．（2016•南充）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12B．24C．123D．1636．（2016•巴中）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD 的周长是（）A．24B．16C．43D．237（2016•茂名）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=60°，AD=2，则AC 的长是（）A．2B．4C．2 3D．438．（2016•成都）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合，若AB=2，则C′D的长为（）A．1B．2C．3D．4 9．（2016•包头）如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．3S1=2S210．（2016•扬州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC 于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°11．（2016•绵阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（）A．2825cm B．2120cm C．2815cm D．2521cm12．（2016•雅安）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正确结论有（）个．A．2B．3C．4D．5二、填空题13．（2016•宿迁）如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α为------度时，两条对角线长度相等．14．（2016•淮安）若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是．15．（2013•无锡）如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB=8，E是CD的中点，则OE的长等于．16．（2016•黔西南州）如图所示，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B=60°，则菱形的面积为．17．（2016•攀枝花）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA=35，BE=4，则tan ∠DBE的值是．18．（2016•南充）如图，正方形ABCD的边长为2，过点A作AE⊥AC，AE=1，连接BE，则tanE= ．19．（2016•苏州）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若1CGGB k=，则ADAB=用含k的代数式表示）．20．（2016•哈尔滨）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AB于E，若BC=4，△AOE的面积为5，则sin∠BOE的值为．21．（2016•北京）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为．22．（2016•南京）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF= cm．23．（2016•舟山）如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB、BC上，AE=BF=1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次碰到点E时，小球P所经过的路程为．24．（2016•桂林）如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P是CD 上一动点，分别以AP 、PB 为边向上、向下作正方形APEF 和PHKB ，设正方形对角线的交点分别为O 1、O 2，当点P 从点C 运动到点D 时，线段O 1O 2中点G 的运动路径的长是 ．25．（2016•荆州）如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把△ACD 沿CA 方向平移得到△A 1C 1D 1，连结AD 1、BC 1．若∠ACB=30°，AB=1，CC 1=x ，△ACD 与△A 1C 1D 1重叠部分的面积为s ，则下列结论：①△A 1AD 1≌△CC 1B ；②当x=1时，四边形ABC 1D 1是菱形；③当x=2时，△BDD 1为等边三角形；④s=38（x -2）2 （0＜x ＜2）； 其中正确的是 （填序号）．三、解答题26．（2016•南通）如图，AB=AC ，AD=AE ，DE=BC ，且∠BAD=∠CAE ．求证：四边形BCDE 是矩形．26．证明：∵∠BAD=∠CAE ，∴∠BAD -∠BAC=∠CAE -∠BAC ，∴∠BAE=∠CAD ，∵在△BAE 和△CAD 中AE AD BAE CAD AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAE ≌△CAD （SAS ）， ∴∠BEA=∠CDA ，BE=CD ，∵DE=BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形，∵AE=AD ，∴∠AED=∠ADE ，∵∠BEA=∠CDA ，∴∠BED=∠CDE ，∵四边形BCDE 是平行四边形，∴BE ∥CD ，∴∠CDE+∠BED=180°，∴∠BED=∠CDE=90°，∴四边形BCDE 是矩形．27．（2016•广州）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD相交于O ，AB=5，AO=4，求BD 的长．27．解：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O ，∴AC ⊥BD ，DO=BO ，∵AB=5，AO=4，∴BO=2254-=3，∴BD=2BO=2×3=6．28．（2013•厦门）如图所示，在正方形ABCD 中，点G 是边BC 上任意一点，DE ⊥AG ，垂足为E ，延长DE 交AB 于点F ．在线段AG 上取点H ，使得AG=DE+HG ，连接BH ．求证：∠ABH=∠CDE ．28．证明：如图，在正方形ABCD 中，AB=AD ，∠ABG=∠DAF=90°，∵DE ⊥AG ，∴∠2+∠EAD=90°，又∵∠1+∠EAD=90°，∴∠1=∠2，在△ABG 和△DAF 中， 1 290AB AD ABG DAF =⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△ABG ≌△DAF （ASA ），∴AF=BG ，AG=DF ，∠AFD=∠BGA ，∵AG=DE+HG ，AG=DE+EF ，∴EF=HG ，在△AEF 和△BHG 中，AF BG AFD BGA EF HG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△BHG （SAS ），∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∵∠2+∠CDE=∠ADC=90°，∠3+∠ABH=∠ABC=90°，∴∠ABH=∠CDE ．29．（2013•黔东南州）如图，在正方形ABCD 中，点M 是对角线BD 上的一点，过点M 作ME ∥CD 交BC 于点E ，作MF ∥BC 交CD 于点F ．求证：AM=EF ．29．证明：过M 点作MQ ⊥AD ，垂足为Q ，作MP 垂足AB ，垂足为P ，∵四边形ABCD 是正方形，∴四边形MFDQ 和四边形PBEM 是正方形，四边形APMQ 是矩形，∴AP=QM=DF=MF ，PM=PB=ME ，∵在△APM 和△FME 中，AP MF APM FME PM ME =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△APM ≌△FME （SAS ）， ∴AM=EF ．30．（2016•铁岭）如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，点O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E ，使OE=OD ，连接AE ，BE ．（1）求证：四边形AEBD 是矩形；（2）当△ABC 满足什么条件时，矩形AEBD 是正方形，并说明理由．30．（1）证明：∵点O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E ，使OE=OD ，∴四边形AEBD 是平行四边形，∵AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB=90°，∴平行四边形AEBD 是矩形；（2）当∠BAC=90°时，理由：∵∠BAC=90°，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，∴AD=BD=CD ，∵由（1）得四边形AEBD 是矩形，∴矩形AEBD 是正方形．31．（2016•南宁）如图，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E 、F 分别是边BC 、AD 的中点．（1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）若∠B=60°，AB=4，求线段AE 的长．31．解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC=AD=CD ，∠B=∠D ，∵点E 、F 分别是边BC 、AD 的中点，∴BE=DF ，在△ABE 和△CDF 中，∵AB CD B D BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△CDF （SAS ）；（2）∵∠B=60°，∴△ABC 是等边三角形，∵点E 是边BC 的中点，∴AE ⊥BC ，在Rt △AEB 中，∠B=60°，AB=4，sin60°=4AE AE AB =， 解得AE=23．32．（2016•贵阳）已知：如图，在菱形ABCD 中，F 是BC 上任意一点，连接AF 交对角线BD 于点E ，连接EC ．（1）求证：AE=EC ；（2）当∠ABC=60°，∠CEF=60°时，点F 在线段BC 上的什么位置？说明理由．32．（1）证明：如图，连接AC ，∵BD 也是菱形ABCD 的对角线，∴BD 垂直平分AC ，∴AE=EC ；（2）解：点F 是线段BC 的中点．理由如下：在菱形ABCD 中，AB=BC ，又∵∠ABC=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴∠BAC=60°，∵AE=EC ，∠CEF=60°，∴∠EAC=12∠BAC=30°， ∴AF 是△ABC 的角平分线，∵AF 交BC 于F ，∴AF 是△ABC 的BC 边上的中线，∴点F 是线段BC 的中点．33．（2016•曲靖）如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上，连接DE ，过点C 作CF ⊥DE 于F ，过点A 作AG ∥CF 交DE 于点G ．（1）求证：△DCF ≌△ADG ．（2）若点E 是AB 的中点，设∠DCF=α，求sinα的值．33．（1）证明：在正方形ABCD 中，AD=DC ，∠ADC=90°，∵CF ⊥DE ，∴∠CFD=∠CFG=90°，35．（2016•绥化）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD 三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；②若正方形ADEF的边长为22，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．35．证明：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF=BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF，CF．（1）如图 ，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形；（2）如图 ，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由；（3）在（2）的条件下，四边形PCFE的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时BP长；若没有，请说明理由．36．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠PBA=90°∵在△PBA和△FBC中，AB BCPBA ABCBP BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PBA≌△FBC（SAS），∴PA=FC，∠PAB=∠FCB．∵PA=PE，∴PE=FC．∵∠PAB+∠APB=90°，∴∠FCB+∠APB=90°．∵∠EPA=90°，∴∠APB+∠EPA+∠FPC=180°，即∠EPC+∠PCF=180°，∴EP∥FC，∴四边形EPCF是平行四边形；（2）结论：四边形EPCF是平行四边形，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠CBF=90°∵在△PBA和△FBC中，AB BCPBA ABCBP BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PBA≌△FBC（SAS），∴PA=FC，∠PAB=∠FCB．∵PA=PE，。

平行四边形、矩形、菱形、正方形知识方法总结一. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质：二. 判断（识别）方法小结：(1) 识别平行四边形的方法：（从边、角、对角线3方面）①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ④两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。

(2) 识别矩形的方法：（从定义、特殊元素（角、对角线）3方面） ①有一个角是直角的平行四边形是矩形；（ t R ⊕∠一个 ） ②对角线相等的平行四边形是矩形； （ ⊕对角线 =） ③有三个角是直角的四边形是矩形； （3t R ∠个 ）④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

（ ⊕对角线互相平分对角线 =）(3) 识别菱形的方法：（从定义、特殊元素（边、对角线）3方面） ①有一组邻边相等的平行四边形是菱形； （ =⊕ 一组邻边 ） ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （ ⊕⊥对角线 ） ③四边都相等的四边形是菱形； （4= 边）④对角线互相垂直平分的四边形是菱形。

（ ⊕⊥对角线互相平分对角线 ） (4) 识别正方形的方法：（从边、角、对角线3方面） 抓本质：矩形+菱形 ①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；（ = Rt ∠⊕⊕ 一组邻边一个 ）②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； （⊕⊕⊥=对角线 对角线）③有一组邻边相等的矩形是正方形； （ =⊕ 矩形一组邻边 ）④对角线互相垂直的矩形是正方形； （ ⊕⊥矩形对角线 ） ⑤有一个角是直角的菱形是正方形； （ Rt ∠⊕菱形一个 ） ⑥对角线相等的菱形是正方形； （⊕=菱形 对角线）⑦对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。

（ ⊕⊕⊥=对角线互相平分对角线 对角线） 小结：把以上识别方法的编号分别填入下图中的每一条带方向的线上：（如平行四边形的第一种识别方法的编号为 (1) ①，其他方法类似）三、其他性质：1、平行四边形、矩形、菱形、正方形（平行四边形系列图形）：都具有的（1）与面积有关的：任意一条对角线分得的两部分面积___________；两条对角线分得的四部分面积________。

多边形（基础）知识讲解知识点一、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：知识点诠释：(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n 边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n 边形对角线的条数为()23-n n ；(3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n-2)个三角形．凸多边形凹多边形知识点二、多边形内角和n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．知识点诠释：(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于()nn︒⋅-1802；知识点三、多边形的外角和多边形的外角和为360°．知识点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于n ︒360；(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．平行四边形（基础）知识点一、平行四边形的定义平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.知识点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.知识点二、平行四边形的性质1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.知识点诠释：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.知识点三、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.知识点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.知识点四、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 知识点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的21，每个小三角形的面积为原三角形面积的41. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 知识点五、平行线间的距离 1.两条平行线间的距离：（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值. （2）平行线间的距离处处相等任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度. 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 2.平行四边形的面积：平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等.知识点一、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.知识点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.知识点二、矩形的性质1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.知识点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.知识点三、矩形的判定1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.知识点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.知识点四、直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.知识点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.知识点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.知识点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.知识点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 知识点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.知识点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.知识点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.正方形（基础）知识点一、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.知识点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.知识点二、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.知识点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.知识点三、正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.知识点四、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：知识点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.知识点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.梯形（基础）知识点一、梯形的概念一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形. 在梯形中，平行的两边叫做梯形的底，较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高，一腰和底的夹角叫做底角.要点诠释：（1）定义需要满足三个条件：①四边形；②一组对边平行；③另一组对边不平行.（2）有一组对边平行的四边形有可能是平行四边形或梯形，关键在于另一组对边的位置或者数量关系的不同.梯形只有一组对边平行，而平行四边形两组对边都平行；平行四边形中平行的边必相等，梯形中平行的一组对边必不相等.（3）在识别梯形的两底时，不能仅由两底所处的位置决定，而是由两底的长度来决定梯形的上、下底.知识点二、等腰梯形的定义及性质1.定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形.2.性质：（1）等腰梯形同一个底上的两个内角相等.（2）等腰梯形的两条对角线相等.要点诠释：（1）等腰梯形是特殊的梯形，它具有梯形的所有性质.（2）由等腰梯形的定义可知：等腰相等，两底平行.（3）等腰梯形同一底上的两个角相等，这是等腰梯形的重要性质，不仅是“下底角”相等，两个“上底角”也是相等的.知识点三、等腰梯形的判定1.用定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形.2.判定定理：（1）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形.（2）对角线相等的梯形是等腰梯形.知识点四、辅助线梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究，一些常用的辅助线做法是：方法作法图形目的平移平移一腰过一顶点作一腰的平行线分解成一个平行四边形和一个三角形过一腰中点作另一腰的平行线构造出一个平行四边形和一对全等的三角形平移对角线过一顶点作一条对角线的平行线构造出平行四边形和一个面积与梯形相等的三角形作高过一底边的端点作另一底边的垂线构造出一个矩形和两个直角三角形；特别对于等腰梯形，两个直角三角形全等延长延长两腰延长梯形的两腰使其交于一点构成两个形状相同的三角形延长顶点和一腰中点的连线连接一顶点和一腰的中点并延长与底边相交构造一对全等的三角形，将梯形作等积变换知识点五、三角形、梯形的中位线联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.。

平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结一般平行四边形特殊平行四边形矩形菱形（正方形图形·定义两组对边分别平行的四边形是平行四边形~有一个角是直角的平行四边形是矩形有一组邻边相等的平行四边形是菱形有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形性质①边：对边平行且相等②角：对角相等，邻角互补~③对角线：对角线互相平分除具有平行四边形的性质外，还有①角：四个角都是直角②对角线：对角线相等,且互相平分除具有平行四边形的性质外，还有①边：四条边相等②对角线：对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角*具有矩形、菱形的所有性质（正方形=矩形+菱形）①边：四条边相等②角：四个角是直角③对角线：对角线相等，互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；判定边：!①两组对边分别平行的四边形是平行四边形②两组对边分别相等的四边形是平行四边形③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形角：④两组对角分别相等的四边形是平行四边形对角线：⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形;角：①有一个角是直角的平行四边形是矩形②有三个角是直角的四边形是矩形对角线:③对角线相等的平行四边形是矩形边：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形#②四边都相等的四边形是菱形对角线：③对角线互相垂直的平行四边形是菱形①对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形②有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是菱形③有一组邻边相等的矩形是菱形④对角线互相垂直的矩形是菱形…⑤有一个角是直角的菱形是菱形⑥对角线相等的菱形是菱形面积S=ah(a为一边长，h为这条边上的高)S=ab(a为一边长，b为另一边长)①~②③S=ah(a为一边长，h为这条边上的高)；②①(a为边长)；②(b为对角线长)。

解题技巧专题：菱形、矩形、正方形中折叠、旋转问题之七大考点【考点导航】目录【典型例题】1【考点一菱形中的折叠求角度、线段长等问题】【考点二矩形中的折叠求角度、线段长等问题】【考点三正方形中的折叠求角度、线段长等问题】【考点四特殊平行四边形折叠后求周长、面积问题】【考点五菱形中旋转求角度、线段长等问题】【考点六矩形中旋转求角度、线段长等问题】【考点七正方形中旋转求角度、线段长等问题】【典型例题】【考点一菱形中的折叠求角度、线段长等问题】1(2022秋·九年级课时练习)如图，在菱形ABCD中，∠A=120°，AB=2，点E是边AB上一点，以DE 为对称轴将△DAE折叠得到△DGE，再折叠BE使BE落在直线EG上，点B的对应点为点H，折痕为EF且交BC于点F．(1)∠DEF=；(2)若点E是AB的中点，则DF的长为．【答案】 90° 2.8【分析】(1)由折叠得∠DEG+∠HEF=∠AED+∠BEF，再根据平角的定义可得结论；(2)首先证明B、G、D在同一条直线上，再运用勾股定理列方程求解即可．【详解】解由折叠得，∠AED=∠DEG，∠BEF=∠HEF∴∠DEG+∠HEF=∠AED+∠BEF∵∠AED+∠DEG+∠HEF+∠BEF=180°×180°=90°∴∠DEG+∠HEF=12即∠DEF=90°故答案为：90°；(2)∵四边形ABCD是菱形∴AD⎳BC，DC⎳AB，AB=BC=CD=DA=2∴∠B+∠A=180°∵∠A=120°∴∠B=180°-∠A=180°-120°=60°∵点E为AB的中点，且AB=2∴AE=BF=12AB=12×2=1.∵点A与点G重合，∴∠DGE=∠A=120°∵点B与点H重合∴∠EHF=∠B=60°又AE=EG，BE=EH，AE=BE∴EG=EH∴点G与点H重合∵∠DGE+∠FHE=∠DGE+∠FGE=100°+80°=180°∴B，G，D三点在同一条直线上过点D作DO⊥BC，交BC的延长线于点O，如图，∵DC⎳AB∴∠DCO=∠B=60°，DC=AB=2∴∠CDO=30°∴CO=12DC=12×2=1.在Rt△DCO中，OD=DC2-OC2=22-12=3由折叠得，BF=FH，AD=DH=2设BF=x，则FC=2-x∴DF=DF+GF=2+x，FO=FC+CO=2-x+1=3-x在Rt△DFO中，DF2=FO2+DO2∴(2+x)2=(3-x)2+(3)2解得，x=0.8∴DF=2+0.8=2.8故答案为2.8【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．【变式训练】1(2023春·全国·八年级专题练习)图，把菱形ABCD沿AE折叠，点B落在BC边上的F处，若∠BAE=15°，则∠FDC的大小为．【答案】22.5°【分析】根据翻折变换的性质可得AB=AF，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠B=∠AFE=75°，可得∠C，根据AF=AD，求出∠AFD，由三角形外角等于不相邻的两个内角的和即可得答案．【详解】解：∵菱形ABCD沿AE折叠，B落在BC边上的点F处，∴AD=AB=AF，∠AEB=90°=∠AEF，∠FAE=∠BAE=15°，∴∠B=∠AFE=75°，在菱形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∴∠DAF=∠AFE=75°，∠C=180°-∠B=105°，∵AF=AD，∴∠ADF=∠AFD=180°-75°2=52.5°，∴∠DFB=∠AFE+∠AFD=127.5°，∴∠FDC=∠DFB-∠B=22.5°，故答案为：22.5°．【点睛】本题考查了菱形中的翻折问题，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握翻折的性质及菱形的性质．2(2023春·八年级课时练习)如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，E，F分别是边AB，BC上的点，将△EBF沿EF折叠，使点B的对应点B'落在边AD上，若AE=AB'，则CF的长为．【答案】4-23##-23+4【分析】根据菱形性质和∠B=60°，可得BC=AB=4，AD⎳BC，∠BAD=120°，过点A作AG⊥EB'于点G，AP⊥BC于点P，过点B'Q⊥BC于点Q，得矩形APQB'，然后利用含30度角的直角三角形可得1 24-AE=32AE，得AE=23-2，再利用勾股定理即可解决问题．【详解】解：在菱形ABCD中，∠B=60°，BC=AB=4，AD⎳BC，∴∠BAD=120°，如图，过点A作AG⊥EB'于点G，AP⊥BC于点P，过点B'Q⊥BC于点Q，得矩形APQB'，如图所示：∴PQ=AB'，B'Q=AP，∵AE =AB '，AG ⊥EB '，∴EG =B 'G =12EB '，∠AEG =30°，由翻折可知：BE =B 'E ，BF =B 'F ，∴BE =B 'E =AB -AE =4-AE ，∴EG =B 'G =124-AE ，∵EG =AE ⋅cos30°，∴124-AE =32AE ，解得AE =23-2，∴PQ =AB '=AE =23-2，在Rt △ABP 中，∠B =60°，AB =4，∴BP =12AB =2，∴AP =23，∴B 'Q =AP =23，∴CF =BC -BF =4-BF ，QF =BF -BP -PQ =BF -2-23-2 =BF -23，在Rt △B 'QF 中，根据勾股定理，得：B 'Q 2+QF 2=B 'F 2，∴(23)2+(BF -23)2=BF 2，解得BF =23，∴CF =4-BF =4-23，故答案为：4-23．【点睛】本题考查勾股定理求线段长，涉及到翻折变换的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．3(2023春·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习)如图，菱形纸片ABCD ，AB =8，∠B =60°，将该菱形纸片折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点B 处，折痕与边BC 、BA 分别交于点M 、N ．则CM 的长为．【答案】2.4【分析】过点B 作B E ⊥BC 与BC 的延长线交于点E ，根据含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出CE 和B ′E ，设BM =x ，则B ′M =x ，用x 表示出ME ，然后在Rt △B ME 中，利用勾股定理得出方程进行解答．【详解】解：过点B 作B E ⊥BC 与BC 的延长线交于点E ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =AD =8，AB ∥CD ，∵B 是CD 的中点，∴B′C=4，∵∠B=60°，∴∠B′CE=∠B=60°，∠CB′E=30°，∴CE=2，∴B′E=42-22=23，设BM=x，则ME=BC+CE-BM=8+2-x=10-x，由折叠的性质知：B′M=BM=x，在Rt△B ME中，B′M2=B′E2+ME2，∴x2=232+10-x2，解得：x=5.6，8-x=2.4，即CM的长为2.4，故答案为：2.4．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的运算等知识，关键是作辅助线构造直角三角形．【考点二矩形中的折叠求角度、线段长等问题】1(2023·湖南长沙·校联考一模)如图，在矩形ABCD中，E在AD边上，将△ABE沿BE折叠，点A恰好落在矩形ABCD的对称中心O处，若AB=3，则BC的长为．【答案】33【分析】连接OD，由O是矩形ABCD中心，得到B，O，D共线，由翻折变换得到OB=AB，由矩形的性质得到BD=2OB=2AB=6，由勾股定理求出AD的长即可．【详解】解：连接OD，∵O是矩形ABCD中心，∴B，O，D共线，∵△ABE沿BE翻折到△OBE，∴OB=BA，∵四边形ABCD是矩形，O是它的中心，∴BD=2OB=2AB=2×3=6,BC=AD，∵∠BAD=90°，∴AD=BD2-AB2=62-32=33，∴BC=AD=33．故答案为：33【点睛】本题考查矩形的性质，中心对称，翻折变换，关键是掌握矩形的性质．【变式训练】1(2023秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期末)如图，长方形ABCD中，E为BC的中点，将△ABE沿直线AE折叠时点B落在点F处，连接FC，若∠DAF=16°，则∠DCF=度．【答案】37【分析】由折叠的性质得：FE=BE，∠FAE=∠BAE，∠AEB=∠AEF，求出∠BAE=∠FAE=37°，可得到∠AEF=∠AEB=53°，求出∠CEF=74°，求出FE=CE，由等腰三角形的性质求出∠ECF=53°，即可得出∠DCF的度数．【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，∴∠BAD=∠B=∠BCD=90°，由折叠的性质得：FE=BE，∠FAE=∠BAE，∠AEB=∠AEF，∵∠DAF=16°，∴∠BAE=∠FAE=12×90°-16°=37°，∴∠AEF=∠AEB=90°-37°=53°，∴∠CEF=180°-2×53°=74°，∵E为BC的中点，∴BE=CE，∴FE=CE，∴∠ECF=12×180°-74°=53°，∴∠DCF=90°-∠ECF=37°；故答案为：37．【点睛】本题主要考查了折叠变换的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；求出∠ECF的度数是解题的关键．2(2023春·八年级课时练习)长方形纸片ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一动点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点F处，连接CF，当△CEF为直角三角形时，BE的长为．【答案】32或3【分析】当△CEF为直角三角形时，有两种情况：①当点F落在矩形内部时，如答图1所示．连接AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AFE=∠B=90°，而当△CEF为直角三角形时，只能得到∠EFC=90°，所以点A、F、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点F处，则EB= EF，AB=AF=3，可计算出CF=2，设BE=x，则EF=x，CE=4-x，然后在Rt△CEF中运用勾股定理可计算出x ．②当点F 落在AD 边上时，如答图2所示．此时ABEF 为正方形．【详解】解：当△CEF 为直角三角形时，有两种情况：当点F 落在矩形内部时，如答图1所示．连接AC ，在Rt △ABC 中，AB =3，BC =4，∴AC =AB 2+BC 2=32+42=5，∵∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点F 处，∴∠AFE =∠B =90°，当△CEF 为直角三角形时，只能得到∠EFC =90°，∴点A 、F 、C 共线，即∠B 沿AE 折叠，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，∴EB =EF ，AB =AF =3，∴CF =5-3=2，设BE =x ，则EF =x ，CE =4-x ，在Rt △CEF 中，∵EF 2+CF 2=CE 2，∴x 2+22=4-x 2解得：x =32；②当点F 落在AD 边上时，如答图2所示．此时ABEF 为正方形，∴BE =AB =3．故答案为：32或3；【点睛】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．3(2023·安徽合肥·统考一模)如图，点E 是矩形ABCD 的边CD 上的点，连接AE ，将矩形ABCD 沿AE 折叠，点D 的对应点P 恰好在边BC 上．(1)写出图中与∠CEP 相等的角；(2)若AD =5，AB =4，则折痕AE 的长为．【答案】 ∠DAP 和∠APB 552【分析】(1)根据矩形的性质得到∠D =90°，AD ∥BC ，由折叠知∠D =∠APE =90°，由此得到∠DAP +∠PED =180°，即可证明∠DAP =∠CEP ，再由平行线的性质得到∠DAP =∠APB ，则∠APB =∠CEP ；(2)由矩形的性质得到AB =CD =4，BC =AD =5，∠C =∠D =90°，由折叠知AP =AD =5，DE =PE ，利用勾股定理求出BP =3，则CP =2，在Rt △CPE 中，根据勾股定理得DE 2=4-DE 2+22，解得DE =52，则AE =AD 2+DE 2=552．【详解】解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D =90°，AD ∥BC ，由折叠知∠D =∠APE =90°，∴∠DAP +∠PED =180°，∵∠CEP +∠PED =180°，∴∠DAP =∠CEP ，∵AD ∥BC ，∴∠DAP =∠APB ，∴∠APB =∠CEP ；故答案为：∠DAP 和∠APB ；(2)∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD =4，BC =AD =5，∠C =∠D =90°，由折叠知AP =AD =5，DE =PE ，∴BP =AP 2-AB 2=52-42=3，∴CP =BC -BP =2，在Rt △CPE 中，根据勾股定理DE 2=CE 2+CP 2，∴DE 2=4-DE 2+22解得DE =52，∴AE =AD 2+DE 2=52+52 2=552，故答案为：552．【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理与折叠问题，灵活应用所学知识是解题的关键．4(2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习)如图，在矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，使点C 落在AD 边上的点F 处，过点F 作FG ∥CD ，交BE 于点G ，连接CG ．(1)判断四边形CEFG 的形状，并说明理由．(2)若AB =6，AD =10，求四边形CEFG 的面积．【答案】(1)见解析(2)203．【分析】(1)由翻折得∠BEC =∠BEF ，FE =CE ，根据FG ∥CE ，可得∠FGE =∠BEC ，从而∠FGE =∠BEF ，FG =FE ，故FG =EC ，四边形CEFG 是平行四边形，即可得证；(2)在Rt △ABF 中，利用勾股定理求得AF 的长，可得DF =1，设EF =x ，则CE =x ，DE =3-x ，在Rt △DEF 中，用勾股定理列方程可解得CE ，在Rt △BCE 中，即可求出答案．【详解】(1)证明：(1)∵△BCE 沿BE 折叠，点C 落在AD 边上的点F 处，∴△BCE ≌△BFE ，∴∠BEC =∠BEF ，FE =CE ，∵FG∥CE，∴∠FGE=∠BEC，∴∠FGE=∠BEF，∴FG=FE，∴FG=EC，∴四边形CEFG是平行四边形，又∵CE=FE，∴四边形CEFG是菱形；(2)解：∵矩形ABCD中，AD=10，∴BC=10，∵△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，∴BF=BC=10，在Rt△ABF中，AB=6，AF=BF2-AB2=8，∴DF=AD-AF=2，设EF=x，则CE=x，DE=6-x，在Rt△DEF中，DF2+DE2=EF2，∴22+(6-x)2=x2，解得x=103，∴CE=103，∴四边形CEFG的面积是：CE•DF=103×2=203．【点睛】本题考查翻折变化、菱形的性质和判定、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．5(2023春·全国·八年级专题练习)如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，现进行如下折叠：(1)沿着过点B的直线折叠，使点A 落在BC边上，此时折痕BE的长为；(2)沿着过点B的直线折叠，使点A 落在矩形内部，且恰好使点E、A 、C三点在同一直线上，此时折痕BE的长为．【答案】3210【分析】(1)根据折叠的性质，可得出三角形ABE是边长为3的等腰直角三角形，根据勾股定理可求出BE 的长；(2)根据三角形的面积公式可得出EC=BC=5，再根据勾股定理求出DE，AE，最后再根据勾股定理求出BE即可．【详解】解：(1)由折叠可得，AB=A′B，AE=A′E，∠ABE=∠A′BE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90°=∠BA′E，∴∠ABE=∠A′BE=45°，∴∠ABE=∠AEB=45°，∴AB=AE，在Rt△ABE中，由勾股定理得，BE=AB2+AE2=32+32=32，故答案为：32；(2)由折叠可得，AB=A′B=3，∠A=∠BA′E=90°，∵点E、A′、C三点在同一直线上，∴S△EBC=12BC•AB=12EC•A′B，∴EC=BC=5，在Rt△DCE中，由勾股定理可得，DE=EC2-DC2=52-32=4，∴AE=AD-DE=5-4=1，在Rt△ABE中，BE=AB2+AE2=32+12=10，故答案为：10．【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识点．有一定的综合性．6(2023春·全国·七年级专题练习)如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．(1)折叠后，DC的对应线段是，CF的对应线段是；(2)若∠1=50°，求∠2、∠3的度数；(3)若AB=8，DE=10，求CF的长度．【答案】(1)BC′，C′F；(2)50°，80°；(3)6【分析】(1)根据折叠的性质即可得出；(2)由折叠的性质可得，∠2=∠BEF，由AD∥BC得∠1=∠2，所以∠2=∠BEF=50°，从而得∠3=80°；(3)根据勾股定理先求得AE的长度，也可求出AD，BC的长度，然后根据∠1=∠BEF=50°，可得BF= BE=10，继而可求得CF=BC-BF．【详解】(1)由折叠的性质可得：折叠后，DC的对应线段是BC′，CF的对应线段是C′F；故答案为：BC′，C′F．(2)由折叠的性质可得：∠2=∠BEF，∵AD∥BC，∴∠1=∠2=50°．∴∠2=∠BEF=50°，∴∠3=180°-50°-50°=80°；(3)∵AB=8，DE=10，∴AE=BE2-AB2=6，∴AD=BC=6+10=16，∵∠1=∠BEF=50°，∴BF=BE=10，∴CF=BC-BF=16-10=6．【点睛】本题考查了矩形折叠的性质，平行线的性质定理，勾股定理解直角三角形，等腰三角形判定相关知识．7(2023春·广东河源·八年级统考开学考试)如图，将一张长方形纸片OABC放在直角坐标系中，使得OA与x轴重合，OC与y轴重合，点D为AB边上的一点(不与点A、点B重合)，且点A(6，0)，点C (0，8)．(1)如图1，折叠△ABC，使得点B的对应点B1落在对角线AC上，折痕为CD，求此刻点D的坐标．(2)如图2，折叠△ABC，使得点A与点C重合，折痕交AB与点D，交AC于点E，求直线CD的解析式．【答案】(1)D(6，5)；x+8．(2)直线CD的解析式为y=-724【分析】(1)根据勾股定理求得AC=10，设AD=n，则BD=8-n，根据折叠的性质得出B1D=BD=8-n，CE=CB=6，AB1=10-6=4，在Rt△AB1D中，利用勾股定理得出关于n的方程，解方程求得n的值，即可求得D的坐标；(2)设AD=m，则BD=8-m，根据折叠的性质CD=AD=m，在Rt△CBD中，利用勾股定理得出关于m的方程，解方程求得m的值，即可求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得作出直线CD的解析式．【详解】(1)解：∵点A(6，0)，点C(0，8)，∴OA=BC=6，OC=AB=8，∴AC=OA2+OC2=10，设AD=n，则BD=8-n，由折叠的性质可知B1D=BD=8-n，CE=CB=6，∴AB1=10-6=4，由折叠的性质可知CD=AD=n，在Rt△AB1D中，AB21+B1D2=AD2，∴42+(8-n)2=n2，解得n=5，∴AD=5，(2)解：设AD =m ，则BD =8-m ，根据折叠的性质可知CD =AD =m ，在Rt △CBD 中，CB 2+BD 2=CD 2，∴62+(8-m )2=m 2，解得m =254，∴AD =254，∴D 6，254，设直线CD 的解析式为y =kx +8，代入D 6，254 得，254=6k +8，解得k =-724，∴直线CD 的解析式为y =-724x +8．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用等，求得D 的坐标是解题的关键．【考点三正方形中的折叠求角度、线段长等问题】1(2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习)如图，将正方形纸片按如图折叠，AM 为折痕，点B 落在对角线AC 上的点E 处，则∠EMC 的度数为()A.22.5°B.30°C.45°D.67.5°【答案】C【分析】根据正方形的性质可得∠B =90°，∠ACB =12∠BCD =45°，再由折叠可得∠AEM =∠B =90°，然后利用三角形的外角进行计算即可解答．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B =90°，∠ACB =12∠BCD =45°，由折叠得：∠AEM =∠B =90°，∴∠EMC =∠AEM -∠ACB =90°-45°=45°，故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，三角形外角的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．【变式训练】1(2023·全国·八年级专题练习)如图，将正方形ABCD沿BE对折，使点A落在对角线BD上的A 处，连接A C，则∠BA C=°．【答案】67.5【分析】根据正方形的性质求出∠CBD，再根据折叠的性质得A B=BC，进而根据等腰三角形的性质得出答案．【详解】∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，BD平分∠ABC，∠ABC=45°，∴∠CBD=12根据折叠可知，AB=A B，∴A B=BC，=67.5°．∴∠BA C=∠BCA =180°-45°2故答案为：67.5．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质等，判定等腰三角形是解题的关键．2(2022秋·四川成都·八年级成都七中校考期中)已知：如图，在边长为12的正方形ABCD中，点E在边BC上，BE=2CE，将△DCE沿DE折叠至△DFE，延长EF交AB于点G，连接DG(1)求∠GDE的度数：(2)求AG的长度【答案】(1)∠EDG=45°(2)6【分析】(1)根据△DCE沿DE折叠至△DFE，可得∠DFE=∠DFG=90°,DC=DF，证明Rt△DAG≌Rt△DFG HL可得∠ADG=∠FDG，根据对折可得∠CDE=∠FDE，即可得出∠GDE的度数；(2)令AG=x，则BG=12-x，GF=x，在Rt△BEG中，勾股定理即可求解．【详解】(1)∵将△DCE沿DE折叠至△DFE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAG=∠DFG=90°，在Rt△DAG与Rt△DFG中，DF=DA DG=DG，∴Rt△DAG≌Rt△DFG HL，∴∠ADG=∠FDG，由对折得∠CDE=∠FDE，∴∠EDG=∠EDF+∠GDF=12∠ADC=45°；(2)令AG=x，则BG=12-x，GF=x，∵BE=2CE，∴BE=8，EF=CE=4，在Rt△BEG中，82+12-x2=4+x2，解得：x=6．∴AG=6．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，折叠的性质，掌握以上知识是解题的关键．3(2023春·江苏·八年级专题练习)如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．(1)求证：∠EDG=45°．(2)如图2，E为BC的中点，连接BF．①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．【答案】(1)证明见解析；(2)①证明见解析，②线段AG的长为2【分析】(1)由正方形的性质可得DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，由折叠的性质得出∠DFE =∠C，DC=DF，∠1=∠2，再求出∠DFG=∠A，DA=DF，然后由“HL”证明RtΔDGA≅RtΔDGF，由全等三角形对应角相等得出∠3=∠4，得出∠2+∠3=45°即可；(2)①由折叠的性质和线段中点的定义可得CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，再由三角形的外角性质得出∠5=∠DEC，然后利用同位角相等，两直线平行证明即可；②设AG=x，表示出GF、BG，根据点E是BC的中点求出BE、EF，从而得到GE的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可；【详解】(1)证明：如图1：∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，∵ΔDEC沿DE折叠得到ΔDEF，∴∠DFG =∠A =90°，DA =DF ，在Rt △DGA 和Rt △DGF 中，DG =DG DA =DF ，∴Rt △DGA ≌Rt △DGF (HL )，∴∠3=∠4，∴∠EDG =∠3+∠2=12∠ADF +12∠FDC ，=12(∠ADF +∠FDC )，=12×90°，=45°；(2)证明：如图2所示：∵ΔDEC 沿DE 折叠得到ΔDEF ，E 为BC 的中点，∴CE =EF =BE ，∠DEF =∠DEC ，∴∠5=∠6，∵∠FEC =∠5+∠6，∴∠DEF +∠DEC =∠5+∠6，∴2∠5=2∠DEC ，即∠5=∠DEC ，∴BF ∥DE ；②解：设AG =x ，则GF =x ，BG =6-x ，∵正方形边长为6，E 为BC 的中点，∴CE =EF =BE =12×6=3，∴GE =EF +GF =3+x ，在Rt △GBE 中，根据勾股定理得：(6-x )2+32=(3+x )2，解得：x =2，即线段AG 的长为2．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、翻折变换的性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．【考点四特殊平行四边形折叠后求周长、面积问题】1(2023·全国·九年级假期作业)如图1，菱形纸片ABCD 的边长为6cm ，∠ABC =60°，将菱形ABCD 沿EF ，GH 折叠，使得点B ，D 两点重合于对角线BD 上的点P (如图2)．若AE =2BE ，则六边形AEFCHG 的面积为cm 2．【答案】133【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，∠BAD=120°，AB=BC=6cm，∠ABD=30°，，由折叠的性质可得EF⊥BP，∠BEF=∠PEF，BE=EP=2，可证四边形AEPG是平行四边形，可得AG= EP=2cm，DG=4cm，由面积和差关系可求解．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴AC⊥BD，∠BAD=∠BCD=120°，AB=BC=6cm，∠ABD=30°，∴OA=12AB=3cm，∠BAC=∠BCA=∠DAC=∠DCA=60°,∴OB=62-32=33cm∴BD=63cm．∵AE=2BE，∴AE=23×6=4cm，BE=13×6=2cm，∵将菱形ABCD沿EF，GH折叠，∴EF⊥BP，∠BEF=∠PEF，BE=EP=2cm，∴EF∥AC，∴∠BEF=∠BAC=60°，∴∠BEF=∠60°=∠PEF，∴∠BEP=∠BAD=120°，∴EP∥AD，同理可得：GP∥AB，∴四边形AEPG是平行四边形，∴AG=EP=2cm，∴DG=4cm，∴六边形AEFCHG面积=S菱形ABCD-S△BEF-S△GDH=12×6×63-34×22-34×42=133cm2，故答案为：133．【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，求出DG的长是本题的关键．【变式训练】1(2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期末)如图，已知正方形ABCD面积为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为()A.2B.2C.4D.42【答案】D【分析】首先由正方形ABCD 面积为2，即可求得其边长为2，然后由折叠的性质，可得A M =AM ，D N =DN ，A D =AD ，则可得图中阴影部分的周长为：A M +BM +BC +CN +D N +A D =AB +BC +CD +AD ，继而求得答案．【详解】解：设折叠后A ,D 的点分别为A ,D ，EF 与AB ,CD 分别交于点M ,N ，如图所示，∵正方形ABCD 面积为2，∴AB =BC =CD =AD =2，由折叠的性质：A M =AM ，D N =DN ，A D =AD ，∴图中阴影部分的周长为：A M +BM +BC +CN +D N +A D=AM +BM +BC +CN +DN +AD=AB +BC +CD +AD=42．故选:D ．【点睛】此题考查了折叠的性质与正方形的性质，掌握折叠的性质与正方形的性质是解题的关键．2(2022春·广东汕头·八年级校考阶段练习)如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上点F 处，已知CE =3,AB =8，则阴影部分的面积为．【答案】30【分析】根据折叠的性质求出EF =DE =CD -CE =5，AD =AF =BC ，再根据勾股定理列出方程求解即可．【详解】解：由折叠的性质知，EF =DE =CD -CE =5，AD =AF =BC ，由勾股定理得，CF =4，AF 2=AB 2+BF 2，即AD 2=82+(AD -4)2，解得，AD =10，∴BF =6，CF =4，图中阴影部分面积=S △ABF +S △CEF =12×6×8+12×3×4=30cm 2．故答案为：30【点睛】本题考查了折叠的性质，解决本题的关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②勾股定理，三角形的面积公式求解．【考点五菱形中旋转求角度、线段长等问题】1(2023春·天津西青·九年级校考阶段练习)如图，将菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转得到菱形AB C D ，使点D 落在对角线AC 上，连接DD ，B D ，则下列结论一定正确的是()A.DD =1B D B.∠DAB =90°2C.△AB D 是等边三角形D.△ABC≌△AD C【答案】D【分析】由菱形的性质可得AD=AB=BC=CD，∠ABC=∠ADC，由旋转的性质可得AD= AD ，CD=C D ，∠AD C =∠ADC，由“SAS”可证△ABC≌△AD C ，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=BC=CD，∠ABC=∠ADC，∵将菱形ABCD绕点A顺时针旋转得到菱形AB C D ，∴AD=AD ，CD=C D ，∠AD C =∠ADC，∴AB=AD ，BC=C D ，∠ABC=∠AD C ，∴△ABC≌△AD C SAS，故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．【变式训练】1(2023·山东东营·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边长为26，点B在x 轴的正半轴上，且∠AOC=60°，将菱形OABC绕原点O逆时针方向旋转60°，得到四边形OA B C (点A 与点C重合)，则点B 的坐标是()A.36,32D.62,36C.32,62B.32,36【答案】B【分析】延长B C 交x轴于点D，根据旋转的性质以及已知条件得出∠B DO=90°，进而求得OD,DB 的长，即可求解．【详解】解：如图所示，延长B C 交x轴于点D，∵四边形ABCD是菱形，点B在x轴的正半轴上，OB平分∠AOC，∠AOC=60°，∴∠COB=∠AOB=30°，∠CBA=60°∵将菱形OABC绕原点O逆时针方向旋转60°，∴∠C OC=60°，则∠OB C=12∠C B C=30°，AB=CB∴∠B OD=60°∴∠B DO=90°，在Rt△CDO中，OC=B C=26∴CD=12OC=6，OD=3CD=3×6=32∴DB =36，∴B 32,36，故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，坐标与图形，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．2(2023春·八年级单元测试)如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠BAD=60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG,点E在AC上．EF与CD交于点P,则PE的长是．【答案】3-1【分析】连接BD交AC于O，由菱形的性质得出CD=AB=2，∠BCD=∠BAD=60°，∠ACD=∠BAC=12∠BAD=30°，由直角三角形的性质求出OB=12AB=1，由直角三角形的性质得出AC=23，由旋转的性质得出AE=AB=2，∠EAG=∠BAD=60°，求出CE=AC-AE=23-2，证出∠CPE=90°，由直角三角形的性质得出PE的长【详解】解：连接BD交AC于O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴CD=AB=2，∠BCD=∠BAD=60°，∠ACD=∠BAC=12∠BAD=30°，OA=OC，AC⊥BD，∴OB=12AB=1∴OA=3OB=3,∴AC=23由旋转的性质得：AE=AB=2，∠EAG=∠BAD=60°，∴CE=AC-AE=23-2,∵四边形AEFG是菱形，∴EF∥AG，∴∠CEP=∠EAG=60°，∴∠CEP+∠ACD=90°，∴∠CPE=90°，∴PE=12CE=3-1故答案为：3-1【点睛】本题考查了菱形的性质、旋转的性质、含30°角的直角三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和菱形的性质是解题的关键．3(2023·江苏·八年级假期作业)如图1，菱形AEFG的两边AE、AG分别在菱形ABCD的边AB和AD上，且∠BAD=60°，连接CF；(1)求证：3DG=CF；(2)如图2，将菱形AEFG绕点A进行顺时针旋转，在旋转过程中(1)中的结论是否发生变化？请说明理由．【答案】(1)见解析；(2)CF=3DG，(1)中的结论不变．理由见解析．【分析】(1)延长EF交CD于M点，证明三角形CMF是等腰三角形，且∠EMC=120°，过点M作MN⊥CF，垂足为N，根据30°角所对直角边等于斜边的一半，和勾股定理，得FN=NC=32DG即CF=2FN=3DG；(2)过D做∠NDC=∠ADG,使DN=DG，连接NC，证明△DGN为等腰三角形，四边形GFNC为平行四边形即可．【详解】(1)如图1，延长EF交CD于M点，∵四边形AEFG和四边形ABCD是菱形∴DC⎳GF⎳AB,DM⎳GF∴四边形GFMD是平行四边形则∠D=∠EMC=120°，∴∠MFC=∠MCF=30°，过点M作MN⊥CF，垂足为N，∴MN=12MF,根据勾股定理，得FN=32 DG，∵MC=MF，∴FN=NC，∴CF=2FN=3DG；(2)如图2，过D做∠NDC=∠ADG,使DN=DG，连接NC，∴△AGD≌△DNC(SAS)∴AG=NC∠DNC=∠AGD∴△DGN为等腰三角形，则∠DGN=∠DNG，∵∠NGF=360°-∠AGD-∠AGF-∠DGN=240°-∠DGA-∠DGN ∠GNC=∠DNC-∠DNG=∠DNC-∠DNG∴∠NGF +∠GNC =240°-∠DGN -∠DNG ,∵∠DGN +∠DNG =180°-∠GDN =60°∴∠NGF +∠GNC =180°∴NC ⎳GF ，∴四边形GFNC 为平行四边形∴CF =GN ，则GN =3DG ，∴CF =3DG ，结论(1)不变．【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，三角形的全等，等腰三角形的性质，灵活构造辅助线是解题的关键．【考点六矩形中旋转求角度、线段长等问题】1(2023·江苏无锡·校考一模)如图，在矩形ABCD 中，AB =5，AD =4，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转得到矩形AB ′C ′D ′，AB ′交CD 于点E ，且DE =B ′E ，则AE 的长为．【答案】4110【分析】根据旋转不变性得到AB ′=AB =5，设AE =CE =x ，在Rt ΔADE 中结合勾股定理即可得出结论．【详解】解：∵将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转得到矩形AB ′C ′D ′，∴AB ′=AB =5，∵DE =B ′E ，∴AE =CE ，设AE =CE =x ，∴DE =5-x ，∵∠D =90°，∴AD 2+DE 2=AE 2，即42+5-x 2=x 2，解得：x =4110，即AE 的长为4110(也可以写作4.1)，故答案为：4110．【点睛】本题考查了利用旋转的性质结合勾股定理求线段长．解题过程中涉及到矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握几何图形旋转不变性及勾股定理求线段长是解决问题的关键．【变式训练】1(2023·江苏南京·校联考三模)如图，将矩形ABCD 绕点C 旋转，使点B 落在对角线AC 上的B 处，延长AD 交A D 于点E ．若AB =3，BC =4，则DE 的长为．【答案】1【分析】如图所示，连接A A ，A C ，CE ，由矩形的性质和勾股定理得到AC =5，CD =AB =3，AD =BC =4，由旋转的性质得到A B =AB =3，四边形A B C D 是矩形，证明S △AAC =S △ACE ，则可得AE =AC ⋅A B CD=5，则DE =AE -AD =1．【详解】解：如图所示，连接A A ，A C ，CE ，∵在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，∴AC =AB 2+BC 2=5，CD =AB =3，AD =BC =4，由旋转的性质可得A B =AB =3，四边形A B C D 是矩形，∴A D ∥B C ，A B ⊥AC ，∴S △AAC =S △ACE ，∴12AC ⋅A B =12AE ⋅CD ，∴AE =AC ⋅A B CD=3×53=5，∴DE =AE -AD =1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，旋转的性质，证明S △AAC =S △ACE ，利用等面积法求出AE 的长是解题的关键．2(2023春·江苏淮安·八年级统考期中)如图，将矩形ABCD 绕点B 旋转得到矩形BEFG ，点E 在AD 上，延长DA 交GF 于点H .(1)求证：△ABE ≅△FEH ；(2)连接BH ，若∠EBC =30°，求∠ABH 的度数．【答案】(1)见解析；(2)15°．【分析】(1)根据矩形的性质得出AB =DC ，∠BAE =∠D =90°，根据旋转的性质得出FE =DC ，∠EFH =∠D =90°，再证明△ABE ≅△FEH AAS 即可；(2)根据矩形的性质得出∠HEB =∠EBC =30°，由全等三角形的性质得出∠EHB =∠EBH =12180°-30° =75°，再计算即可得出答案．【详解】(1)解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =DC ，∠BAE =∠D =90°，由旋转性质，得：FE =DC ，∠EFH =∠D =90°，∴AB =FE ，∠BAE =∠EFH ，∵在矩形BEFG 中，GF ∥BE ，∴∠AEB =∠FHE ，在△ABE 和△FEH 中，∠AEB =∠FHE∠BAE =∠EFH AB =FE，∴△ABE ≅△FEH AAS ，(2)解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠HEB =∠EBC =30°，∵△ABE ≅△FEH ，∴BE =EH ，∴∠EHB =∠EBH =12180°-30° =75°，∵∠BAH =90°，∴∠ABH =90°-∠EHB =15°，即∠ABH 的度数为15°．【点睛】本题考查矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，正确得出全等是解题的关键．3(2023春·福建三明·八年级统考期中)在长方形ABCD 中，AB =5，BC =3，将长方形ABCD 绕点A 顺时针旋转α0°<α<90° ，得到长方形AEFG ．(1)如图1，当点E 落在CD 边上时，延长ED 交FG 于点M ，求证：EM=AE ；(2)如图2，当GC =GB 时，求α的值；(3)如图3，当点E 落在线段CF 上时，AE 与CD 交于点N ，求△ADN 的面积．【答案】(1)证明见解析；(2)60°：(3)125.【分析】(1)只需要证明△EFM ≌△ADE 即可得到答案；(2)连接DG ，证明△CDG ≌△BAG ，得到△ADG 为等边三角形，从而可以得到答案；(3)连接AC ，证明△ABC ≌△AEC ，得到∠EAC =∠BAC =∠ACD ，从而得到CN =AN ，再根据勾股定理计算即可得到答案．【详解】解：(1)由旋转的性质得：BC =EF ，∠B =∠FEA∵四边形ABCD 是矩形∴∠B =∠D =∠FEA =90°，BC =AD =EF∵∠FEM +∠AED =90°，∠DAE +∠AED =90°∴∠FEM =∠DAE∴△EFM ≌△ADE (HL )∴EM =AE(2)如图所示，连接DG∵四边形ABCD 是矩形∴∠ABC =∠BCD =90°，AB =CD∵GC =GB∴∠GCB =∠GBC∴∠DCG =∠ABG∴△CDG ≌△BAG∴DG =AG由翻折的性质可得：AD =AG∴AD =AG =DG∴△ADG 为等边三角形∴∠DAG =60°∴∠DAE =30°∴∠BAE =60°∴α=60°(3)如图所示，连接AC由矩形的性质和翻折的性质可得：AB =AE ，∠AEF =∠B =90°∵∠AEF =∠B =90°∴∠AEC =∠B =90°又∵AB =AE∴△ABC ≌△AEC (HL )∴∠EAC =∠BAC∵AB ∥CD∴∠BAC =∠ACD∴∠EAC =∠ACD∴NC =AN设DN =x ，则NC =AN =CD -DN =5-x 在直角三角形AND 中，AN 2=DN 2+AD 2∴x 2+32=5-x 2解得x =85∴S △ADN =12AD ∙DN =125【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．【考点七正方形中旋转求角度、线段长等问题】1(2022秋·广东珠海·九年级统考期末)如图，将正方形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°得到正方形A BC D ，BC与C D 相交于点E，连接BD，B D 相交于点F．(1)填空：∠D EC=度；(2)求证：四边形BED F是菱形．【答案】(1)45(2)见解析【分析】(1)根据正方形的性质求出相关角度，再根据角度之间的关系求出∠D EC即可．(2)先证出四边形BED F是平行四边形，再连接AE，构造全等三角形证邻边相等即可．【详解】(1)解：∵四边形ABCD和四边形A B C D 是正方形∴∠AD C =∠ABC=90°∵∠D AB=45°∴∠BED =180°-45°=135°∴∠D EC=45°(2)解：连接AE．∵四边形ABCD和四边形A B C D 是正方形∴∠AD C =∠ABC=90°∵∠D AB=45°∴∠BED =180°-45°=135°∴∠D EC=45°(方法不唯一，直接写由(1)得也可以)在正方形A B C D 中，∠B D C =45°∴∠D EC=∠B D C∴D F∥BC，即D F∥BE．同理∠DBC=∠D EC=45°，∴D E∥BF．∴四边形BED F是平行四边形在Rt△AD E和Rt△ABE中AD =AB AE=AE。

初中数学矩形、菱形、正方形的5大考点一、矩形、菱形、正方形的性质1.矩形的性质①具有平行四边形的一切性质；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等；④矩形是轴对称图形，它有两条对称轴；⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

2.菱形的性质①具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是它的对称轴；⑤菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半。

3.正方形的性质正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质①边：四边相等，对边平行；②角：四个角都是直角；③对角线：互相平分；相等；且垂直；每一条对角线平分一组对角，即正方形的对角线与边的夹角为45度；④正方形是轴对称图形，有四条对称轴。

例1 矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）A．360 B．90C．270 D．180例2 如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC与BD相交于点O，BE：ED＝1：3，AB＝6cm，求AC的长。

例3 如图， O是矩形ABCD 对角线的交点， AE平分∠BAD，∠AOD=120° ，求∠AEO 的度数。

例4 菱形的周长为40cm，两邻角的比为1:2，则较短对角线的长________ 。

例5 如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．二、矩形、菱形、正方形的判定1.矩形的判定①有一个内角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形；④还有对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

2.菱形的判定方法①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四条边都相等四边形是菱形；④对角线垂直平分的四边形是菱形。

平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
平行四边形性质：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分
平行四边形判定：1、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
2、两组对边分别平行的四边形是平行四边形
3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形
4、对角线互相平分的四边形是平行四边形
矩形定义：有一个角是90°的平行四边形叫做矩形
矩形性质:1、四个角都是90°2、对角线相等
矩形判定：1、有一个角是90°的平行四边形是矩形
2、三个角都是90°的角是矩形
3、对角线相等的平行四边形是矩形
菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
菱形性质：1、四边相等2、对角线互相垂直
菱形判定:1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形
2、四条边都相等的四边形是菱形
3、对脚线互相垂直的平行四边形是菱形
正方形定义:有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
正方形性质：具有平行四边形、菱形、矩形的所有性质
正方形判定：1、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
2、有一组邻边相等的矩形是正方形
3、有一个角是直角的菱形是正方形。

几何公式定理：矩形，菱形、正方形
几何公式定理：矩形
1、矩形性质定理1矩形的四个角都是直角
2、矩形性质定理2矩形的对角线相等
3、矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形
4、矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形
几何公式定理：菱形
5、菱形性质定理1菱形的四条边都相等
6、菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
7、菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(ab)2
8、菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形
9、菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形
几何公式定理：正方形
1、正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等
2、正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
3、定理1关于中心对称的两个图形是全等的
4、定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
5、逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。

平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结一．正确理解定义（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．（2”表示平行四边形，例如：平行四边形记作ABCD，读作“平行四边形ABCD”．2．熟练掌握性质平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的．（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；（4）面积：①S=底高ah；②平行四边形的对角线将四边形=⨯分成4个面积相等的三角形．3．平行四边形的判别方法①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形二、．几种特殊四边形的有关概念（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一个角是直角，两者缺一不可．（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一组邻边相等，两者缺一不可．（3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．（4）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：①一组对边平行；②一组对边不平行，同时要注意和平行四边形定义的区别，还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题．（5）等腰梯形：是一种特殊的梯形，它是两腰相等的梯形，特殊梯形还有直角梯形．2．几种特殊四边形的有关性质（1）矩形：①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）．（2）菱形：①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2条）．（3）正方形：①边：四条边都相等；②角：四角相等；③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450；④对称性：轴对称图形（4条）．3．几种特殊四边形的判定方法（1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③四个角都相等（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等．（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形．①有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形②有一组邻边相等的矩形；③对角线互相垂直的矩形．④有一个角是直角的菱形⑤对角线相等的菱形；（4）等腰梯形的判定：满足下列条件之一的梯形是等腰梯形①同一底两个底角相等的梯形；②对角线相等的梯形．4．几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析（1）识别矩形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角．②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等．③ 说明四边形ABCD 的三个角是直角． （2）识别菱形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的任一组邻边相等．② 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直． ③ 说明四边形ABCD 的四条相等． （3）识别正方形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的一个角为直角且有一组邻边相等．② 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等． ③ 先说明四边形ABCD 为矩形，再说明矩形的一组邻边相等． ④ 先说明四边形ABCD 为菱形，再说明菱形ABCD 的一个角为直角． （4）识别等腰梯形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明两腰相等．② 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明同一底上的两个内角相等． ③ 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明对角线相等． 5．几种特殊四边形的面积问题① 设矩形ABCD 的两邻边长分别为a,b ，则S 矩形=ab ．② 设菱形ABCD 的一边长为a ，高为h ，则S 菱形=ah ；若菱形的两对角线的长分别为a,b ，则S 菱形=12ab ．③ 设正方形ABCD 的一边长为a ，则S 正方形=2a ；若正方形的对角线的长为a ，则S 正方形=212a ．④ 设梯形ABCD 的上底为a ，下底为b ，高为h ，则S 梯形=1()2a b h ． 平行四边形 矩形 菱形 正方形图形性质1．对边 且 ；2．对角 ； 邻角 ；3．对角线 ；1．对边 且； 2．对角 且四个角都是； 3．对角线 ；1． 对边 且四条边都 ；2．对角 ；3．对角线 且每条对角线；1．对边 且四条边都 ；2．对角 且四个角都是 ；3．对角线 且每条对角线 ；面积。

矩形、菱形和正方‎形的性质定‎理和判定定‎理及其证明‎一、知识概述1、矩形的性质‎定理定理1：矩形的四个‎角都是直角‎．说明：(1)矩形具有平‎行四边形的‎一切性质．(2)矩形的这一‎特性可用来‎证明两条线‎段互相垂直‎．定理2：矩形的对角‎线相等．说明：矩形的这一‎特性可用来‎证明两条线‎段相等．推论：直角三角形‎斜边上的中‎线等于斜边‎的一半．说明：与中位线定‎理及在直角‎三角形中，30°角所对的直‎角边等于斜‎边的一半一‎样，这一推论可‎用来证明线‎段之间的倍‎数关系．2、矩形的判定‎定理定理1：对角线相等‎的平行四边‎形是矩形．定理2：有三个角是‎直角的四边‎形是矩形．3、菱形的性质‎定理定理：菱形的四条‎边都相等．说明：(1)菱形具有平‎行四边形的‎一切性质，并且具有它‎特殊的性质‎．(2)利用该特性‎可以证明线‎段相等．定理2：菱形的对角‎线互相垂直‎．并且每条对‎角线平分一‎组对角．说明：根据菱形的‎特性可知，其对角线将‎它分成四个‎全等的直角‎三角形，再由直角三‎角形的相关‎性质，证明线段或‎角的关系，这样就将四‎边形问题转‎化为三角形‎问题来处理‎．4、菱形的判定‎定理定理1：对角线互相‎垂直的平行‎四边形是菱‎形．定理2：四条边都相‎等的四边形‎是菱形．说明：菱形的两个‎判定定理起‎点不同，一个是平行‎四边形，一个是四边‎形，判定时的条‎件不同，一个是对角‎线互相垂直‎，一个是四条‎边都相等．5、正方形的性‎质普通性质：正方形有四‎边形、平行四边形‎、矩形、菱形的一切‎性质．特有性质：(1)边：四条边都相‎等，邻边垂直，对边平行；(2)角：四个角都是‎直角；(3)对角线：①相等，②互相垂直平‎分，③每条对角线‎平分一组对‎角．说明：正方形这些‎性质根据定‎义可直接得‎出．特殊性质——正方形的一‎条对角线把‎正方形分成‎两个全等的‎等腰直角三‎角形，对角线与边‎的夹角是4‎5°，正方形的两‎条对角线把‎正方形分成‎四个全等的‎等腰直角三‎角形．6、正方形的判‎定(1)判定一个四‎边形为正方‎形的主要依‎据是定义，途径有两种‎：①先证它是矩‎形，再证有一组‎邻边相等；②先证它是菱‎形，再证有一个‎角为直角．(2)判定正方形‎的一般顺序‎；①先证明是平‎行四边形；②再证有一组‎邻边相等(有一个角是‎直角)；③最后证明有‎一个角是直‎角(有一组邻边‎相等)．说明：证明一个四‎边形是正方‎形的方法很‎多，但一定注意‎不要缺少条‎件．二、重难点知识‎归纳1、特殊的平行‎四边形知识‎结构三、典型例题讲‎解例1、如图所示，M，N分别是平‎行四边形A‎B CD的对‎边AD，BC的中点‎，且AD=2AB，求证四边形‎P MQN 为‎矩形．错解：连接MN．∵四边形AB‎C D是平行‎四边形，∴AD BC．又∵M，N分别为A‎D，BC的中点‎，∴AM BN．∴四边形AM‎N B是平行‎四边形．又∵AB=AD，∴AB=AM，∴口AMNB‎是菱形．∴AN⊥BM，∴∠MPN=90°．同理∠MQN=90°，∴四边形PM‎Q N为矩形‎．分析：错在由∠MPN=∠MQN=90°，就证得四边‎形PMQN‎是矩形这一‎步，还需证一个‎角是直角或‎证四边形P‎M QN是平‎行四边形，证四边形P‎M QN是平‎行四边形这‎种方法比较‎好．正解：连接MN，∵四边形AB‎C D是平行‎四边形，∴AD BC．又∵DM=AD，BN=BC(线段中点定‎义)，∴四边形BN‎D M为平行‎四边形．∴BM DN，同理ANM ‎C．∴四边形PM‎Q N是平行‎四边形．∵AM BN，∴四边形AB‎N M是平行‎四边形．又∵AD=2AB，AD=2AM，∴AB=AM，∴四边形AB‎N M是菱形‎．∴AN⊥BM，即∠MPN=90°，∴四边形PM‎Q N是矩形‎．例2、如图所示，4个动点P‎，Q，E，F分别从正‎方形ABC‎D四个顶点‎同时出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样‎的速度向B‎，C，D，A各点移动‎．(1)试判断四边‎形PQEF‎的形状，并证明；(2)PE是否总‎过某一定点‎?并说明理由‎；(3)四边形PQ‎E F的顶点‎位于何处时‎，其面积有最‎大值和最小‎值?最大值和最‎小值各是多‎少?分析：(1)猜想四边形‎P QEF为‎正方形，先证它为菱‎形，再证有一直‎角即可；(2)此问是动态‎问题，紧紧抓住运‎动过程中的‎不变量，即APCE ‎，四边形AP‎C E为平行‎四边形，易知PE与‎A C平分于‎点O；(3)此问中显然‎当点P，Q，E，F分别运动‎至与正方形‎A BCD各‎顶点重合时‎面积最大，分析最小值‎时的情形可‎根据S正=PE2，而PE最小‎时是PE⊥AB，此时PE=BC．解：(1)四边形PQ‎E F为正方‎形，证明如下：在正方形A‎B CD中，∵AB=BC=CD=DA，AP=BQ=CE=DF，∴BP=QC=ED=FA．又∵∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°，∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF．∴FP=PQ=QE=EF，∠APF=∠PQB，∴∠FPQ=90°．∴四边形PQ‎E F为正方‎形．(2)连接AC交‎P E于点O‎．∵AP EC，∴四边形AP‎C E为平行‎四边形．又∵O为对角线‎A C的中点‎，∴对角线PE‎总过AC的‎中点．(3)当P运动至‎与B重合时‎，四边形PQ‎E F面积最‎大，等于原正方‎形面积，当PE⊥AB时，四边形PQ‎E F的面积‎最小，等于原正方‎形面积的一‎半．小结：探索动态问‎题，解答的关键‎是抓住它不‎动的一瞬间‎和运动中的‎不变量，即动中求静‎，这类题目是‎中考的热点‎考题．例3、如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3，D是BC边‎上一点，直线DE⊥BC于D，交AB于E‎，CF//AB，交直线DE‎于F，设CD=x．(1)当x取何值‎时，四边形EA‎C F是菱形‎?请说明理由‎；(2)当x取何值‎时，四边形EA‎C D的面积‎等于2？分析：本题考查菱‎形的判定、解直角三角‎形等知识的‎综合运用，有一定的探‎究性．解：(1)∵∠ACB=90°∴AC⊥BC．又∵DE⊥BC，∴EF//AC．∵AE//CF，∴四边形EA‎C F是平行‎四边形．当CF=AC时，四边形AC‎F E是菱形‎．此时CF=AC=2，BD=3－x，tan B=，∴ED=BD·tan B=(3－x)．∴DF=EF－ED=2－(3－x)=x．在Rt△CDF中，CD2＋DF2=CF2，∴x2＋(x)2=22，∴(负值不合题‎意，舍去)．即当时，四边形AC‎F E是菱形‎．(2)由已知条件‎可知四边形‎E ACD是‎直角梯形，例4、如图所示，在等腰梯形‎A BCD中‎，AD//BC，M、N分别是A‎D，BC的中点‎，E，F分别是B‎M，CM的中点‎．(1)求证四边形‎M ENF是‎菱形；(2)若四边形M‎E NF是正‎方形，请探索等腰‎梯形ABC‎D的高和底‎边BC的数‎量关系，并证明你的‎结论．分析：由题中条件‎根据三角形‎中位线的性‎质可证明四‎边形MEN‎F的四边相‎等．当四边形M‎E NF是正‎方形时，则有NE⊥MB，NF⊥MC，所以需连接‎M N(梯形的高)进行探究．证明：(1)∵四边形AB‎C D是等腰‎梯形，∴AB=CD，∠A=∠D．∵M为AD中‎点，∴AM=DM，∴△ABM≌△DCM，∴BM=CM．∵E，F，N分别为M‎B，MC，BC的中点‎，∴EN=MC，FN=MB，ME=MB，MF=MC，∴EN=FN=MF=ME，∴四边形EN‎F M是菱形‎．解：(2)结论：等腰梯形A‎B CD的高‎等于底边B‎C的一半．理由如下：连接MN，∵BM=CM．BN=CN，∴MN⊥BC．∵AD//BC，∴MN⊥AD，即MN为梯‎形ABCD‎的高，又∵四边形ME‎N F是正方‎形，∴△BMC为等‎腰直角三角‎形，∵N为BC中‎点，∴MN=BC．小结：梯形的高是‎指端点在两‎底上并且与‎两底垂直的‎线段．例5、如图所示，在梯形AB‎C D中，AD//BC，AB=CD，M，N分别是A‎D，BC的中点‎，AC平分∠DCB，AB⊥AC，P为MN上‎的一个动点‎．若AD=3，则PD＋PC的最小‎值为___‎_____‎_．分析：本题综合考‎查等腰梯形‎的性质、轴对称图形‎和解直角三‎角形等知识‎．由M，N为AD，BC中点可‎知，直线MN为‎等腰梯形的‎对称轴，故点A与点‎D，点B与点C‎关于直线M‎N对称．所以连接B‎D，交MN 于点‎P′，则PC＋PD的最小‎值为线段B‎D的长(由三角形三‎边的关系说‎明)．因为AC平‎分∠DCB，且AD//BC，所以AD=DC=AB=3，易知∠ACB=∠DCB=30°．又∠BAC=90°，所以BC=2AB=6，因此．答案：例6、用反证法证‎明：一个梯形中‎不能有三个‎角是钝角．分析：要用反证法‎证明文字叙‎述的命题，需写出已知‎、求证，根据命题要‎求画出图形‎，再经过推理‎论证，得出与所学‎过的知识相‎矛盾的结论‎．从而否定原‎来的假设．如图所示，已知梯形A‎B CD，AD//BC．求证：∠A，∠B，∠C，∠D中不能有‎三个角是钝‎角．证明：假设∠A，∠B，∠C，∠D中有三个‎角是钝角，不妨设∠A>90°，∠B>90°，∠C>90°．∴∠A＋∠B>180°，∠B＋∠C>180°，∠A＋∠C>180°．又∵AD∥BC，∴∠A＋∠B=180°．∴“∠A＋∠B>180°”与“∠A＋∠B=180°”矛盾．∴∠A＋∠B>180°不成立，即假设∠A>90°，∠B>90°不成立．∴梯形中不能‎有三个角是‎钝角．。