幂函数知识归纳及习题(含答案)

幂函数练习题及答案、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，填在题后的括号内（每小题 5 分，共50 分）.B．幂函数的图象都经过（0 ，0）和（1，1 ）点C ．若幂函数y x 是奇函数，则y x 是定义域上的增函数D．幂函数的图象不可能出现在第四象限1 6．函数y x3和y x3图象满足请把正确答案的代号1．下列函数中既是偶函数又是（ ,0）上是增函数的是4x32．函数3B．y x 221y x 2在区间[ ,2] 上的最大值是2C．D．1A．4 B．1C．D．3．下列所给出的函数中，是幂函数的是A．y x3 3B．y x C．2x3D．5．下列命题中正确的是A．当0 时函数y x的图象是一条直线yy14 4A．关于原点对称B．关于x 轴对称7． 函数 y x|x|,x R ，满足A ．是奇函数又是减函数B ．是偶函数又是增函数C ．是奇函数又是增函数D ．是偶函数又是减函数28．函数 y x 2 2x 24 的单调递减区间是 ( )A ． ( , 6]B ．[ 6, )C ．( , 1]D ．[ 1, )9． 如图 1— 9所示，幂函数 y x 在第一象限的图象，比较x 1 x 2 f (x 1)f (x 2 )f(x 12x2)，f(x 1)2f(x 2)大小关系是( )奇偶性为 . 三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 （共 76 分） .15 ．（ 12 分）比较下列各组中两个值大小6 6 5 5C ．关于 y 轴对称D ．关于直线 y x 对称0, 1, 2, 3 , 4 ,1的大小(A．1 34 21 B ． 012 3 41C．2 4 0 31 1D．3 24 11410 ． 对于幂函数 f (x) x ， 若 0 x 1 x 2 ，则A ． f(x 1x 2 2f (x 1) f (x 2)2 B ． f(x 1x2)f (x 1) f(x 2)2C ．x 1f( 1x 22f (x 1) f (x 2 )2D ． 无法确定、填空题：请把答案填在题中横线上(每小题6 分，共 24 分)k n( 1)k14 ．幂函数 yxm(m,n,kN*, m,n 互质 ) 图象在一、二象限，不过原点，则 k,m,n 的34（1 ）0.611与0.7 11；（2）（ 0.88）1与（ 0.89）3 .16．（12分）已知幂函数2f（x） x m 2m 3（m Z）的图象与x轴，y轴都无交点，且关于y 轴对称，试确f （x）的解析式.117 ．（12 分）求证：函数y x3在R上为奇函数且为增函数18 ．（12 分）下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系3 1 21）y x2；（2）y x3；（3）y x3；14）y x 2；（5）y x 3；（6）y x 219．（14分）由于对某种商品开始收税，使其定价比原定价上涨后，商品卖出个数减少bx 成，税率是新定价的a成，这里a,b 均为正常数，且a<10 ，设售货款扣除税款后，剩余y 元，要使y 最大，求x的值.20 ．（14 分）利用幂函数图象，画出下列函数的图象（写清步骤）x2 2x 22x2 2x 152）y （x 2）3 1．xx成（即上涨率为10），涨价A）（B）（C）（D ）（E）（F）参考答案、CCBADDCADA二、11 ．(0, )；12．f (x)4x3 (x 0)；13．5；14．m, k为奇数，n是偶数；三、15 ．解：( 1 ) 函数y6x11在(0, )上是增函数且0 0.6 0.76 0.61160.711(2 )5函数y x3在(0, ) 上增函数且0.88 0.895 0.88350.89350.88350.893 ,即5( 0.88)350.89) 3 .16 ．解：2 m 由m22m2mZ303是偶数得m 1,1,3.m 1和3时解析式为 f (x) 0 x ,m 1时解析式为f (x) x17 ．解：显然 f ( x) x)3 f (x) ，奇函数；令x1 x2 ，则 f (x1) f (x2 ) 3x13x2 (x1 2x2 )(x12x1x2 x2 ) ，其中，显然x1x2 0，2x1 x1x2 x2 1= (x1 2x2)3x2422，由于且不能同时为0 ，否则x1x2 0 ，故(x11(x1 x2 )1221 2 3 2x2 ) x222420，3x22420，0.从而f(x1) f (x2) 0. 所以该函数为增函数18 ．解：六个幂函数的定义域，奇偶性，单调性如下：3(1) y x2x3定义域[0，) ，既不是奇函数也不是偶函数，在[0，) 是增函数；12）y x 3 3 x 定义域为 R ，是奇函数，在 [0, ）是增函数；23）y x 3 3 x 2 定义域为 R ，是偶函数，在 [0, ）是增函数； 21 4）y x 2 12 定义域 R UR 是偶函数，在 （0, ）是减函数；x 315）y x 3 13定义域 R UR 是奇函数，在 （0, ）是减函数；x16）y x 2 1定义域为 R 既不是奇函数也不是偶 函数，在 （0, ） x 上减函数 .通过上面分析，可以得出（ 1） （A ），（ 2） （F ），（ 3） （5 ） （D ），（ 6 ） （B ） .x19．解：设原定价 A 元，卖出 B 个，则现在定价为 A （1+ 1x 0），20 ．解：E ），（ 4） （ C ），现在卖出个数为 B （1 － bx ），现在售货金额为 A （1+ x ） B（110 10bx )=AB(1+10x1x 0)(1bx－10)，x应交税款为 AB(1+ )(110bx a－10 ) ·10 ，x剩余款为 y = AB(1+)(1 105(1 b) 时y 最大b所以 x－b 1x 0)(1 1a 0)= AB (1要使 y 最大， x 的值为a )( 10 100 5(1 b) xb 1b x 101)，向上平移 x 2 2x 2x 2 2x 11 x2 2x(x1 1)21把函数 ,y12的图象向左平移x 21 个单位，再1 个单位可以得到函数2x 2 x2x 2的图象 .2x 1 5（x 2） 31的图象可以由5x 3 图象向右平移 2 个单位，再向下平移。

第12讲 幂函数模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．了解幂函数的概念；2．结合幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，12y x 的图象，掌握它们的性质；3．能利用幂函数的单调性比较幂的大小.知识点 1 幂函数的概念1、幂函数的定义：一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．2、幂函数的特征：（1）x α的系数是1；（2）x α的底数x 是自变量；（3）x α的指数α为常数．只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y ＝(2x )α，y ＝2x 5，y ＝x α＋6等的函数都不是幂函数．知识点 2 幂函数的图象与性质1、五个具体幂函数的图象当11,2,312α=-，时，可得到五个幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，12y x =，在同一直角坐标系中，通过秒点发得到五个幂函数的图象，如下图所示．2、五个具体幂函数的性质观察上图，可以得到五个幂函数的性质如下：函数y x=2y x=3y x =12y x=1y x -=定义域R RR [0,)+∞(,0)(0,)-∞+∞ 值域R[0,)+∞R[0,)+∞(,0)(0,)-∞+∞ 奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增函数在(0,)+∞上递增，在(,0]-∞上递减增函数增函数在(,0)-∞和(0,)+∞上递减过定点点(1,1)3、一般幂函数的性质（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；（2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；（3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限接近y 轴，当x 从原点趋向于＋∞时，图象在x 轴上方无限接近x 轴；（4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y 轴．知识点 3 作幂函数图象的步骤第一步：画出第一象限的部分。

幂函数考试题及答案
1. 幂函数的定义是什么？
答案：幂函数是指形如y=x^a的函数，其中a为实数。

2. 幂函数y=x^2的图像有什么特征？
答案：幂函数y=x^2的图像是一个开口向上的抛物线，对称轴为y轴。

3. 幂函数y=x^3的图像有什么特征？
答案：幂函数y=x^3的图像是一个通过原点的曲线，且在第一象限和
第三象限内单调递增。

4. 幂函数y=x^(-1)的图像有什么特征？
答案：幂函数y=x^(-1)的图像是双曲线的一支，位于第一象限和第三
象限，且在每个象限内单调递减。

5. 幂函数y=x^(1/2)的图像有什么特征？
答案：幂函数y=x^(1/2)的图像是抛物线的一部分，仅存在于第一象限，且在第一象限内单调递增。

6. 幂函数y=x^(-2)的图像有什么特征？
答案：幂函数y=x^(-2)的图像是双曲线的一支，位于第一象限和第二
象限，且在每个象限内单调递减。

7. 幂函数y=x^a在a>0时的图像有什么特征？
答案：幂函数y=x^a在a>0时，图像在第一象限内单调递增，且随着x 的增大，y值也增大。

8. 幂函数y=x^a在a<0时的图像有什么特征？
答案：幂函数y=x^a在a<0时，图像在第一象限内单调递减，且随着x 的增大，y值减小。

9. 幂函数y=x^a在a=0时的图像是什么？
答案：幂函数y=x^a在a=0时，图像是一条平行于x轴的直线，y=1。

10. 幂函数y=x^a在a=1时的图像是什么？
答案：幂函数y=x^a在a=1时，图像是一条经过原点的直线，y=x。

必修⼀幂函数（含答案）2.7幂函数⼀、幂函数定义的应⽤〖例1〗已知函数f(x)=(m 2-m-1)x -5m-3,m 为何值时，f(x)： (1)是幂函数；(2)是幂函数，且是(0，+∞)上的增函数； (3)是正⽐例函数； (4)是反⽐例函数.〖例2〗已知y=(m 2+2m-2)·211m x -+(2n-3)是幂函数，求m 、n 的值.⼆、幂函数的图象与性质〖例1〗已知点在幂函数()f x 的图象上，点124?-，，在幂函数()g x 的图象上．定义()()()()()()()≤??=?>??f x f xg x h x g x f x g x ，，，．试求函数h(x)的最⼤值以及单调区间.〖例2〗已知函数2245()44x x f x x x ++=++（1）求()f x 的单调区间；（2）⽐较()f π-与(2f -的⼤⼩（⼆）幂函数的性质与应⽤【例1】(1)试⽐较0.40.2,0.20.2,20.2,21.6的⼤⼩.(2)已知幂函数y=x 3m-9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，+∞)上函数值随x 的增⼤⽽减⼩，求满⾜() ()--+<-m m 33a 132a 的a 的取值范围.三、幂函数中的三类讨论题〖例1〗已知函数223()()m m f x xm -++=∈Z 为偶函数，且(3)(5)f f <，求m 的值，并确定()f x 的解析式．例2已知函数2()f x x =，设函数()[()](21)()1g x qf f x q f x =-+-+，问是否存在实数(0)q q <，使得()g x 在区间(]4--，∞是减函数，且在区间(40)-，上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．例3讨论函数2221()kk y k k x--=+在0x >时随着x 的增⼤其函数值的变化情况．【⾼考零距离】（2010陕西⽂数）7.下列四类函数中，个有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满⾜f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）”的是[]（）幂函数（）对数函数（）指数函数（）余弦函数【考点提升训练】⼀、选择题(每⼩题6分，共36分)1.(2012·西安模拟)已知幂函数y=f(x)通过点，则幂函数的解析式为( ) ()y=212x()y=12x ()y= 32x()y=521x 22.函数y=1x-x 2的图象关于( ) ()y 轴对称 ()直线y=-x 对称 ()坐标原点对称()直线y=x 对称3.已知(0.71.3)m＜(1.30.7)m，则实数m 的取值范围是( ) ()(0，+∞)()(1，+∞) ()(0，1) ()(-∞,0)4.已知幂函数f(x)=x m的部分对应值如表，则不等式f(|x|)≤2的解集为( )(){x|0){x|0≤x ≤4} (){x|x ){x|－4≤x ≤4}5.设函数f(x)=x1()7,x 02,x 0?-?≥＜若f(a)＜1，则实数a 的取值范围是( )()(-∞,-3) ()(1，+∞) ()(-3，1) ()(-∞,-3)∪(1,+∞) 6.(2012·漳州模拟)设函数f(x)=x 3,若0≤θ≤2π时，f(mcos θ)+f(1-m)＞0恒成⽴，则实数m 的取值范围为( )()(-∞,1) ()(-∞, 12) ()(-∞,0) ()(0,1)⼆、填空题(每⼩题6分，共18分)7.(2012·武汉模拟)设x∈(0,1)，幂函数y=x a的图象在直线y=x的上⽅，则实数a的取值范围是__________.8.已知幂函数f(x)=12x-，若f(a+1)＜f(10-2a)，则a的取值范围是_______.9.当0三、解答题(每⼩题15分，共30分)10.(2012·宁德模拟)已知函数f(x)=x m-2x且f(4)=72.(1)求m的值；(2)判定f(x)的奇偶性；(3)判断f(x)在(0，+∞)上的单调性，并给予证明.11.（易错题）已知点(2，4)在幂函数f(x)的图象上，点(12，4)在幂函数g(x)的图象上.(1)求f(x)，g(x)的解析式；(2)问当x取何值时有：①f(x)＞g(x);②f(x)=g(x);③f(x)＜g(x).【探究创新】(16分)已知幂函数y=f(x)=2p3p22x-++(p∈Z)在(0,+∞)上是增函数，且是偶函数.(1)求p的值并写出相应的函数f(x)；(2)对于(1)中求得的函数f(x)，设函数g(x)=-qf(f(x))+(2q-1)f(x)+1.试问：是否存在实数q(q＜0)，使得g(x)在区间(-∞,-4]上是减函数，且在(-4，0)上是增函数；若存在，请求出来，若不存在，说明理由.答案解析1.【解析】选.设y=x α,则由已知得，α,即322=2α,∴α=32,∴f(x)= 32x .2.【解析】选.因为函数的定义域为{x|x ≠0}，令y=f(x)=1x-x 2, 则f(-x)=1x -(-x)2=1x-x 2=f(x), ∴f(x)为偶函数，故选.3.【解析】选.因为0＜0.71.3＜0.70=1, 1.30.7＞1.30=1,∴0＜0.71.3＜1.30.7.⼜(0.71.3)m ＜(1.30.7)m,∴函数y=x m在(0,+∞)上为增函数，故m ＞0.4.【解题指南】由表中数值，可先求出m 的值，然后由函数的奇偶性及单调性，得出不等式，求解即可.【解析】选.由(12)m m=12，∴f(x)= 12x ，∴f(|x|)=12x ,⼜∵f(|x|)≤2，∴12x ≤2，即|x|≤4,∴－4≤x ≤4．5.【解题指南】分a ＜0,a ≥0两种情况分类求解. 【解析】选.当a ＜0时，(12)a-7＜1, 即2-a＜23,∴a ＞-3,∴-3＜a ＜0.当a ≥01,∴0≤a ＜1,综上可得:-3＜a ＜1.6.【解题指南】求解本题先由幂函数性质知f(x)=x 3为奇函数，且在R 上为单调增函数，将已知不等式转化为关于m 与cos θ的不等式恒成⽴求解.【解析】选.因为f(x)=x 3为奇函数且在R 上为单调增函数，∴f(mcos θ)+f(1-m)＞0? f(mcos θ)＞f(m-1)? mcos θ＞m-1?mcos θ-m+1＞0恒成⽴，令g(cos θ)=mcos θ-m+1, ⼜0≤θ≤2π,∴0≤cos θ≤1, 则有：()()g 00g 10＞，＞即m 10m m 10-+??-+?＞，＞解得：m ＜1. 7.【解析】由幂函数的图象知a ∈(-∞,1).答案：(-∞,1) 8.【解析】由于f(x)= 12x-在(0，+∞)上为减函数且定义域为(0，+∞)，则由f(a+1)＜f(10-2a)得a 10102a 0,a 1102a +??-??+-?＞＞＞解得：3＜a ＜5. 答案：(3,5)9.【解题指南】在同⼀坐标系内画出三个函数的图象，数形结合求解. 【解析】画出三个函数的图象易判断f(x)答案:f(x)72,所以4m -24=72.所以m=1. (2)因为f(x)的定义域为{x|x ≠0}，关于原点对称, ⼜f(-x)=-x-2x - =-(x-2x)=-f(x)，所以f(x)是奇函数. (3)⽅法⼀：设x 1＞x 2＞0，则f(x 1)-f(x 2)= x 1-12x -(x 2-22x )=(x 1-x 2)(1+122x x ),[来源:/doc/7210e201581b6bd97e19ea07.html ]因为x 1＞x 2＞0,所以x 1-x 2＞0,1+122x x ＞0. 所以f(x 1)＞f(x 2).所以f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数. ⽅法⼆：∵f(x)=x-2x,∴f ′(x)=1+22x ＞0在(0,+∞)上恒成⽴，∴f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数.11.【解析】(1)设f(x)=x α, ∵点(2，4)在f(x)的图象上，∴4=2α，∴α=2，即f(x)=x 2. 设g(x)=x β,∵点(12，4)在g(x)的图象上，∴4=(12)β，∴β=-2，即g(x)=x -2. (2)∵f(x)-g(x)=x 2-x -2=x 2-21x=()()222x 1x 1x-+(*)∴当-1＜x ＜1且x ≠0时，(*)式⼩于零，即f(x)＜g(x)；当x=±1时，(*)式等于零，即f(x)=g(x)；当x ＞1或x ＜-1时，(*)式⼤于零，即f(x)＞g(x). 因此，①当x ＞1或x ＜-1时，f(x)＞g(x)；②当x=±1时，f(x)=g(x)；③当-1＜x ＜1且x ≠0时，f(x)＜g(x).【误区警⽰】本题(2)在求解中易忽视函数的定义域{x|x ≠0}⽽失误.失误原因：将分式转化为关于x 的不等式时，忽视了等价性⽽致误.【探究创新】【解析】(1)∵幂函数y=x α在(0,+∞)上是增函数时,α＞0,∴-12p 2+p+32＞0,即p 2-2p-3＜0,解得-1＜p ＜3，⼜p ∈Z,∴p=0,1,2. 当p=0时，y=32x 不是偶函数；当p=1时,f(x)=x 2是偶函数；当p=2时,f(x)=32x 不是偶函数，∴p=1，此时f(x)=x 2.(2)由(1)得g(x)=-qx 4+(2q-1)x 2+1,设x 1＜x 2,则g(x 1)-g(x 2)=q(4421x x -)+(2q-1)·(2212x x -)=(2221x x -)[q(2212x x +)-(2q-1)].若x 1＜x 2≤-4,则2221x x -＜0且2212x x +＞32,要使g(x)在(-∞,-4]上是减函数，必须且只需q(2212x x +)-(2q-1)＜0恒成⽴. 即2q-1＞q(2212x x +)恒成⽴. 由2212x x +＞32且q ＜0，得q(2212x x +)＜32q ，只需2q-1≥32q 成⽴，则2q-1＞q(2212x x +)恒成⽴.∴当q ≤-130时,g(x)在(-∞,-4]上是减函数,同理可证, 当q ≥-130时,g(x)在(-4,0)上是增函数, ∴当q=-130时,g(x)在(-∞,-4]上是减函数，在(-4,0)上是增函数.[来源:学科⽹ZXXK]。

初中数学幂的运算专题讲解及典型题练习【知识点梳理】1．有理数的乘方定义求个相同因数的积的运算，叫做乘方．乘方运算的结果叫幂．n 一般地，，叫做底数，叫做指数，叫做幂。

n n a a a a a ⋅⋅⋅= 个a n n a 读作“的次幂”或读作“的次方”．n a a n a n 【注意】(1)乘方是一种运算，是一种特殊的乘法运算（因数相同的乘法运算），幂是乘方运算的结果．(2)一个数可以看作是这个数本身的一次方，例如5就是，就是，指数是1通常省略15a 1a 不写．2．有理数幂的符号法则(1)正数的任何次幂都是正数．(2)负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．(3)特别地，．()11,00n n n ==为正整数【注意】“负幂”与“负数的幂”区别：“负幂”例如表示的相反数，其结果为负数．“负51()2-51()2数的幂”例如，结果要看指数，即负数的奇次幂为负数，负数的偶次幂为正数．1()2n -3．有理数的混合运算一个算式里含有有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算中的两种或两种以上的运算，称为有理数的混合运算．【注意】加法、减法、乘法、除法有各自的运算法则，也有各自的运算技巧，减法可以统一成加法，除法可以统一成乘法，加法与乘法还有各自的运算律，乘方是乘法的特例，也有自己的符号法则，同时也要考虑整体的符号关系以及简便算法．4．有理数的混合运算顺序(1)先乘方，再乘除，最后加减．(2)同级运算，从左到右依次进行．(3) 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．【注意】(1)在加、减、乘、除、乘方这几种运算基本掌握的前提下，学习混含运算，首先应注意的就是运算顺序的问题．(2)通常把六种基本的代数运算分成三级：第一级运算是加和减，第二级运算是乘和除，第三级运算是乘方和开方（以后学习）．运算顺序的规定是先算高级运算，再算低级运算，同级运算在一起，按从左到右的顺序计算．对于含有多重括号的运算，一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的．(3)括号前带负号，去括号后要将括号内的各项都要变号，即．()(),a b a b a b a b -+=----=-+5．科学记数法把一个数写成（其中，是正整数）的形式，这种记数法称为科学记数10n a ⨯110a <≤n 法．【注意】(1)科学记数法是一种特定的记数方法，应明白其中包含的基本原理及其结构，即要掌握形式的结构特征： ，为正整数，且值等于原数的整数位数减1．10n a ⨯110a <≤n n (2)在把用科学记数法表示的数还原为原数时，根据其基本原理和结构，把的小数点向右a 移动位，中数字不够时，用补足．n a 0【典型例题讲解】【例1】计算：．2007200812()2⨯-【分析】直接进行各自的乘方运算非常困难，但根据乘方的意义可得．共200722222=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯2007个2相乘，2008200811()()22-=2007112008200722111111111222222222=⨯⨯⋅⋅⋅⨯=⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=⨯个个（）利用乘法交换律和结合律，把2007个2与结合在一起相乘，利用互为倒数即可求出数12值．【解析】2007200812()2⨯-20072008122=⨯（）．20072007200711111222222=⨯⨯⨯⨯=（）（）=（2）【方法总结】此题主要应用互为倒数、乘法运算律及乘方的意义进行计算，事实上我们不难发现，当与互为倒数时，其值为1．计算时要注意符号的问题．多加理解与练()m m m a b ab = a b 习，最好能达到一看题目就可以得出结果的程度．【借题发挥】计算：、．2010201115()5⨯-200920102 2.55⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭【解析】．20102010201111115()55555⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-=⨯-⨯-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．200920092009201020102252552.5 2.5552522⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯=-⨯=-⨯⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦【例2】计算：．22135(13)(2)0.2⎡⎤---+-⨯÷-⎢⎥⎣⎦【分析】根据有理数的混合运算法则进行计算，分清计算的先后顺序，还要注意去括号的时候要注意符号．【解析】22135(13)(2)0.2⎡⎤---+-⨯÷-⎢⎥⎣⎦[]135(13)435(1253)40.04⎡⎤=---+-⨯÷=---+-⨯÷⎢⎥⎣⎦[][]35(175)435(74)4=---+-÷=---+-÷．[]35(18.5)3(23.5)20.5=---+-=---=【借题发挥】计算：()()[]2243225.02115.01--⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-+-【解析】原式＝()[]()()2411110.52910.571167554162⎛⎫⎛⎫-+-÷⨯-=-+-÷⨯-=-+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【例3】已知，，求的值．12x =-13y =-432231x y x --【分析】把，的值分别代入要求的式子，按有理数混合运算顺序进行计算．x y 【解析】把，代入，得12x =-13y =-432231x y x -- 原式43211112()3()23()231627111()124⨯--⨯-⨯-⨯-==---11114141789()3893627544-==+⨯=+=【方法总结】此类题一方面代入要准确，即负数或分数代入时一般加上小括号，另一方面代入后计算必须准确，最后结果是分数时一定是最简分数．【借题发挥】求当时，代数式的值．2,1x y =-=-2222222x y x xy y x y x y--+++-【解析】将带入，得2,1x y =-=-2222222x y x xy y x y x y --+++-原式＝．()()()()()()()()()()2222221222113114221531521⨯-----⨯-⨯-+--+=+=⨯-+-----【例4】(1)补充完整下表：1323334353637383392781(2)从表中你发现3的方幂的个位数有何规律？(3)3251的个位数是什么数字？为什么？【分析】幂的个位上的数字3、9、7、l 交错重复出现，即每隔四个数，个位数字就重复一次，所以用251除以4所得的余数来确定．【解析】(1)132333435363738339278124372921876561(2)个位上的数字为3、9、7、1交错重复出现．(3)的个位数是7，因为除以4的余数是3．是重复出现时的第三个数．2513251【方法总结】此类题一般都是通过写出一些简单的幂，通过这些幂的结果总结出末位出现数字的种类及循环规律，进一步把指数按循环数进行分解，通过剩余指数求得最后答案．【借题发挥】的个位数是 ，的个位数是 ，253263的个位数是 ，的个位数是 ．273283【解析】3,9,7,1．【例5】怎样比较，，的大小呢？553444335【解析】本题如果通过硬算，数字太大，不可能，因此要观察此三个数的特点，经观察，我们发现55、44、33存在着最大公因数11，不妨利用这一点以及乘方的定义来入手解题．具体过程如下：5511115533333(33333)243=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= 个344111144444444(4444)256=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯= 个．33111133555555(555)125=⋅⋅⋅=⨯⨯= 个因为,所以256243125>>111111256243125>>即．445533435>>【借题发挥】1．试比较的大小．443322234、、【解析】因为：，则，即()()()111111444113331122211221633274416======，，11111627<．442233243<=2．你能比较和的大小吗？2004200320032004 为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较和1n n +(1)n n +的大小（是自然数）．然后，我们从分析…这些简单情形人手，从中发现规n 1,2,3,n n n ===律，经过归纳，猜想出结论．(1)通过计算．比较下列各组中两个数的大小（填“>”，“<”或“”）．- ①___；②____；③ ；④____；⑤ ；…21123223433454456556 (2)从第(1)题的结果经过归纳，可以猜想出和的大小关系是 ．1n n +(1)n n + (3)根据上面归纳猜想后得到的一般结论，试比较下面两个数的大小：．2004200320032004【解析】经计算与分析可推出结论：当时，＜；当时，＞．3n <1n n +(1)n n +3n ≥1n n +(1)n n +(1)①＜；②＜；③＞；④＞；⑤＞ (2) 当时，＜；当时，＞3n <1n n +(1)n n +3n ≥1n n +(1)n n +(3)＞．(2)【借题发挥】比较下面各对数的大小：___； ； ．211243342010200920092010【解析】＜；＞；＞．【例6】比较与的大小．109.99810⨯111.00110⨯【分析】二者是用科学记数法表示的数，一方面可以把它们化成原数，通过比较原数大小来比较这两个数的大小；另一方面也可以把它化为相同指数，通过比较前面数（即）的大小来比a 较二者大小．【解析】解法一：，109.9981099980000000⨯=.111.00110100100000000⨯= 又,100100000000>99980000000．∴10119.99810 1.00110⨯<⨯ 解法二：,1110101.001l01. 0011010 10.0110⨯=⨯⨯=⨯ 又，10.019.998> ．∴10119.99810 1.00110⨯<⨯【方法总结】解法一是常规方法，但书写起来很麻烦，易出现错误；方法二较巧妙地转化了，容易比较大小．11101.0011010.0110⨯=⨯【借题发挥】试比较：和．20099.9810⨯20101.0510⨯【解析】．2010200920091.051010.5109.9810⨯=⨯>⨯【例7】 定义“”“”两种运算，对于任意的两个数、，都有，○+○－a b a ○+b 1a b =+-a ○－b 1ab =-．求[()()]的值．4○－3○+5○+6○－2【分解】按规定的“”与“”进行各自的运算，运算时先算士括号里的，再算中括号里的．○+○－【解析】由，，得a ○+b 1a b =+-a ○－b 1ab =-[()()]4○－3○+5○+6○－2[()()]4=○－351+-○+621⨯-()()4=○－7○+114=○－7111+-．4=○－174=⨯171-67=【方法总结】此类题按规定的运算关系进行计算，首先要读懂表达式的含义，会套用公式，计算时注意符号关系及准确性外，还要注意运算的先后顺序．【借题发挥】“△”表示一种新的运算符号，其意义是对于任意，都存在△，如果△△a b a b 2a b =-x (1,则 ．3)2=x =【解析】由△，得△△,即，则，所a b 2a b =-x (13)2=()()21312x x ⨯-=-=△△()212x --=以．12x =【例8】若尺布可做件上衣，则尺布能做多少件这样的上衣？619【解析】第题按计算件，但实际情况是只能做件，所以只能舍，不能入；961.5÷=105．【借题发挥】若每条船能载个人，则个人需要几条船？310【解析】按计算，但实际情况是条船不够，需要4条船，所以在这里应该入，取1103=33÷3134．【方法总结】在实际问题中，经常对药对一些数位上的数进行取舍，有的要求进行四舍五入，有的则按生活及生产实际进行取舍，千万不能遇及以上的数就入，遇以下的数就舍．555【随堂练习】1．计算： ．2008(1)-=【答案】1．2．计算： ．20102010201020104(0.25)(1)1-+-+= 【答案】原式＝．201020102010201014()(1)111114-+-+=-++= 3．若，则 ．21(2)0a b ++-=20102009()a b a ++=【答案】由题意知 得，代入原式可求结果为：0．1020a b +=⎧⎨-=⎩12a b =-⎧⎨=⎩4．如果那么的值为 ．214,,2x y ==222x y -【答案】．222112243122x y -=⨯-=5．现有一根长为1米的木条，第一次截去一半，第二次截去剩下的一半，照此截下去，那么六次后剩下的木条为 米．【答案】第一次截后剩下米，第二次后剩下米，第三次后剩下米，由此推下1221142⎛⎫= ⎪⎝⎭312⎛⎫ ⎪⎝⎭去，第次后剩下米．所以六次后剩下的木条为（米）．n 12n ⎛⎫ ⎪⎝⎭611264⎛⎫= ⎪⎝⎭6．计算：（1）； （2）； （3）321()(1)33-÷-232(3)-⨯-32221(0.2)(1).3(0.3)-⨯÷-【答案】（1）；（2）108；（3）．290.002-7．（1）. （2）.451132131511÷⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯()1452515213⨯-÷+-（3）. （4）.()3432322⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-÷-()()()3428102-⨯---÷+-（5）.()[]2345.0813231325.01-----⨯÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---（6）.()54436183242113÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6）225-347-1111620-11147224-8．利用乘方的有关知识确定的末两位数字．20076【答案】9．已知“三角”表示运算“”，“正方形”表示的运算是“” ，试计a b c -+d f g e -+-算的值．【答案】原式＝．()()()199649551996281474116-+⨯-+-=-⨯=-9．计算：．111111111248163264128256512++++++++【答案】原式＝11111111111122448816128256256512⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+⋅⋅⋅+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．151********-=10．光年是天文学中使用的距离单位，指的是光在真空中经历一年所走的距离，若真空中光的速度为千米／秒，用科学记数法表示l 光年是多少？（1年按天计算）300000365【答案】已知：千米／秒，（秒）．300000v =365243600t =⨯⨯ 由（千米）．300000365243600s vt ==⨯⨯⨯9460800000000=129.460810=⨯所以，l 光年是千米．129.460810⨯11．阅读下列解题过程：计算：()632113115⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷-解：()632113115⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷-（第一步）()662515⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-=（第二步）()()2515-÷-=（第三步）53-=回答：（1）上面的解题过程中有两个错误，第一处是第 步，错误的原因是 ；第二处是第 步，错误原因是 ．（2）正确的结果是 ．【答案】（1）二，乘除为同一等级的计算，没有按照从前往后的顺序求解；（2）三，负数乘以负数得到正数，题中为负数． （2）．3215【课堂总结】【课后作业】一、填空题1． ．=---3232． ．()22533235-⨯-⨯+=3． ．()()()()()=-⨯---⨯---⨯++n n n 212211111014． ．()()=-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⨯-5214387165． ．()()()=-⨯-+⨯-03.716.016.4003.76． ．()()=-⨯+-÷-2333227．若、互为倒数，、互为相反数，，则 ．a b c d 2=m ()=-+⋅+23m ab ba d c 8．一个数用科学记数法表示为，则它是 位整数．10n a ⨯二、选择题9．下列公式计算正确的是（ ）A ．B ．()527527⨯--=⨯--31354453=÷=⨯÷C ． D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛÷÷=÷÷5454354543()932=--10．计算的值是（ ）()()2007200822-+-A ．1 B ． C ． D ．2-20072-2007211．下列各组数中，相等的一组是( )．A ．与B ．与23-2(3)-2(3)--3(2)-- C ．与 D ．与3(3)-33-223-⨯332-⨯12．用合理的方法计算：(1) ； (2) ；515635236767---1544 3.87 4.253495-+-+(3) ； (4) ； 1511342461832⎛⎫⎛⎫--+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()110.5678111-----+⎡⎤⎣⎦13．计算：（1）； （2）；63221⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷2131521（3）； （4）.⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--838712787431⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯1811351121961365514．用科学计数法表示下列计算结果：（1）一昼夜小时是多少秒？24 （2）50251002⨯15．(1)阅读短文《拆项计算》：拆项计算下面带分数的计算申，常把整数部分和分数部分拆开，以简化计算过程，举例如下：5231591736342⎛⎫⎛⎫-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()5231591736342523159173634252315917363425213063241235644⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=----++--⎛⎫=--+-+--+- ⎪⎝⎭⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭=-+=-(2)仿照第(1)小题的计算方法计算：5211200620054000116332⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】1．－11 2．21 3．1 4．2 5．－281.2 6．－7 7．－1 8．1n +9．D 10．D 11．C12．(1) 515655163523325319867676677⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-+-+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦(2) 1541451454 3.87 4.253437437495459459-+-+=-+-+=(3) 151153424146183218⎛⎫⎛⎫--+--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (4) ()110.56781110.4321-----+=-⎡⎤⎣⎦13．(1) 121266612323⎛⎫⎛⎫-⨯=⨯+-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2) ()2117216853255⎛⎫÷-=⨯-=- ⎪⎝⎭(3) 377733114812888⎛⎫⎛⎫⎛⎫--÷-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(4).51111351936361853911366623518633519⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯-÷-=⨯-⨯-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭14．(1) 一昼夜小时是（秒）244246060864008.6410⨯⨯==⨯(2) ＝50251002⨯50505010025410010⨯==15．原式＝()5211352200620054000110.6332263⎛⎫⎛⎫--+++--++=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

3.3 幂函数练习一、单选题1、已知幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R)的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2，则k ＋α＝( A ) A ．12 B ．1 C ．32D ．22、下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( A ) A ．y ＝x－2B ．y ＝x－1C ．y ＝x 2D ．y ＝31x3、幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( C )4、幂函数()()2222m f x m m x -=--在()0,∞+上单调递减，则实数m 的值为（ A ） A ．1-B ．3C ．1-或3D ．3-5、若f (x )＝12x ，则不等式f (x )>f (8x －16)的解集是( A )A ．⎣⎡⎭⎫2，167B ．(0，2]C ．⎝⎛⎭⎫－∞，167 D ．[2，＋∞) 6、若幂函数f (x )＝()12255a a a x---在(0，＋∞)上单调递增，则a 等于( D )A ．1B ．6C ．2D ．－17、幂函数a b c d y x y x y x y x ====，，，在第一象限的图像如图所示，则a b c d ，，，的大小关系是 （ D ）A ．a b c d >>>B ．d b c a >>>C ．d c b a >>>D ．b c d a >>>8、已知幂函数y ＝p qx (p ，q ∈Z 且p ，q 互质)的图象关于y 轴对称，如图所示，则( D )A ．p ，q 均为奇数，且pq >0B ．q 为偶数，p 为奇数，且pq <0C ．q 为奇数，p 为偶数，且pq >0D ．q 为奇数，p 为偶数，且pq <0二、多选题9．下列关于幂函数y x α=的性质说法正确的有（ CD ） A ．当1α=-时，函数在其定义域上递减 B ．当0α=时，函数图象是一条直线 C ．当2α=时，函数是偶函数D ．当3α=时，函数的图象与x 轴交点的横坐标为0 10．已知函数()a f x x 的图象经过点1,33⎛⎫⎪⎝⎭则（ CD ）A ．()f x 的图象经过点(3,9)B ．()f x 的图象关于y 轴对称C ．()f x 在(0,)+∞上单调递减D ．()f x 在(0,)+∞内的值域为(0,)+∞11、已知幂函数f (x )＝()2231mm m m x +---，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，都满足2121)()(x x x f x f -->0，若a ，b ∈R 且f (a )＋f (b )<0，则下列结论可能成立的有( BC )A ．a ＋b >0且ab <0B ．a ＋b <0且ab <0C ．a ＋b <0且ab >0D ．以上都可能12．若函数()f x x α=的定义域为R 且为奇函数，则α可能的值为（ BD ）A ．1-B ．1C ．2D ．3三、填空题13．若幂函数()21my m m x =--为偶函数，则m = ___2_____ .14、已知幂函数f (x )＝mx n ＋k 的图象过点⎝⎛⎭⎫116，14，则m －2n ＋3k ＝_____0__. 15、若()()21221112-+>+m m m ，则实数m 的取值范围是______⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2__________.16、给出下面四个条件：①f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )；②f (m ＋n )＝f (m )·f (n )；③f (mn )＝f (m )·f (n )；④f (mn )＝f (m )＋f (n )．如果m ，n 是幂函数y ＝f (x )定义域内的任意两个值，那么幂函数y ＝f (x )一定满足的条件的序号为__③______． 四、解答题17．已知幂函数()f x x α=的图象经过点3,19⎛⎫ ⎪⎝⎭，求函数的解析式，并作出该函数图象的草图，判断该函数的奇偶性和单调性．解：因为幂函数()f x x α=的图象经过点3,19⎛⎫ ⎪⎝⎭，故可得139α=，解得2α=-，故()2f x x -=，其定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称；其函数图象如下所示：数形结合可知，因为()f x 的图象关于y 轴对称，故其为偶函数； 且()f x 在()0,+∞单调递减，在(),0-∞单调递增.18、已知幂函数f (x )＝(m 2－5m ＋7)x －m －1(m ∈R)为偶函数．(1)求f ⎝⎛⎭⎫12的值；(2)若f (2a ＋1)＝f (a )，求实数a 的值． 解：(1)由m 2－5m ＋7＝1，得m ＝2或3. 当m ＝2时，f (x )＝x－3是奇函数，∴不满足题意，∴m ＝2舍去；当m ＝3时，f (x )＝x －4，满足题意， ∴f (x )＝x －4，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12－4＝16.(2)由f (x )＝x－4为偶函数和f (2a ＋1)＝f (a )可得|2a ＋1|＝|a |，即2a ＋1＝a 或2a ＋1＝－a ，∴a ＝－1或a ＝－13.19、已知幂函数f (x )＝21()mm x-+(m ∈N *)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若函数f (x )的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解：(1)因为m 2＋m ＝m (m ＋1)(m ∈N *)，而m 与m ＋1中必有一个为偶数，所以m 2＋m 为偶数， 所以函数f (x )＝21()m m x-+(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．(2)因为函数f (x )的图象经过点(2，2)， 所以2＝2(m 2＋m )－12()12m m +-，即122＝2()12mm +-，所以m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2. 又因为m ∈N *，所以m ＝1，f (x )＝12x ， 又因为f (2－a )>f (a －1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，解得1≤a ＜32，故函数f (x )的图象经过点(2，2)时，m ＝1.满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为[1，32)．20、19．已知函数()()()2151Z m f x m m x m +=-+∈为幂函数，且为奇函数.(1)求m 的值，并确定()f x 的解析式； (2)令()()21g x f x x =++yg x 在1,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域.解：(1)因为函数()()()2151Z m f x m m x m +=-+∈为幂函数，所以2511m m -+=，解得0m =或5m =， 当0m =时，函数()f x x =是奇函数，符合题意，当5m =时，函数()6f x x =是偶函数，不符合题意，综上所述，m 的值为0，函数()f x 的解析式为()f x x =. (2)由（1）知，()f x x =，所以()()2121g x f x x x x =+=++ 令21t x =+212t x -=，11,0123,032x x t -≤≤∴≤+≤∴≤≤ 所以2211()222t t g t t t -=+=+-，3t ⎡∈⎣， 根据二次函数的性质知，()g t 的对称轴为11122t =-=-⨯，开口向上，所以()g t 在3⎡⎣上单调递增；所以2min011()(0)0222g t g ==+-=-，(2max 31()(3)33122g t g === 所以函数()g x 在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为1312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。

幂函数练习题及答案解析1.下列幂函数中为偶函数的是 y = x^2.解析：定义域为实数集，f(-x) = (-x)^2 = x^2，因此是偶函数。

2.若 a < 1，则 5a < 0.5a < 5-a。

解析：因为 a < 1，所以 y = x 是单调递减函数且 0.5 < 5 < 5-a，因此 5a < 0.5a < 5-a。

3.α 可能的取值为 1 和 3，使得函数y = x^α 的定义域为实数集且为奇函数。

解析：只有函数 y = x 和 y = x^3 的定义域是实数集且为奇函数，因此α 可能的取值为 1 和 3.4.当 n = -1 或 n = 2 时，满足 (-2)^n。

(-3)^n。

解析：因为 (-2)^n。

0 且 (-3)^n < 0，所以 y = x^n 在 (-∞。

+∞) 上为减函数。

因此 n = -1 或 n = 2.1.函数 y = (x+4)^2 的递减区间是 (-∞。

-4)。

解析：函数的开口向上，关于 x = -4 对称，因此在 (-∞。

-4) 上递减。

2.幂函数的图像过点(2.4)，则其单调递增区间是(-∞。

0)。

解析：因为 y = x^2 的图像是开口向上的抛物线，过点(2.4)，因此其单调递增区间为 (-∞。

0)。

3.正确的说法有 2 个。

解析：①错误；②中 y = x^-1 的图像不过点 (1.1)；③正确；④正确，因此有 2 个正确的说法。

4.使f(x) = x^α 为奇函数且在(0.+∞) 上单调递减的α 的值的个数是 1.解析：因为f(x) = x^α 为奇函数，所以α 为奇数，因此α可能的取值为 -3.-1.1.3.因为在(0.+∞) 上单调递减，所以只有α = -1 满足条件。

因此个数为 1.1.α=-1,1,3.由于f(x)在(，+∞)上为减函数，所以α=-1.2.使(3-2x-x^2)/4有意义的x的取值范围是(-3<x<1)。

〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义 一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q pα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x=是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x=是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x=是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．2.3幂函数的图象及性质1．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )A ．y ＝x 13 B ．y ＝x －12 C ．y ＝x 53D ．y ＝x 232．如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图象．已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－123．以下关于函数y ＝x α当α＝0时的图象的说法正确的是( )A ．一条直线B ．一条射线C ．除点(0,1)以外的一条直线D ．以上皆错 4．函数f(x)＝(1－x)0＋(1－x)12的定义域为________． 5．已知幂函数f(x)的图象经过点(2，22)，则f(4)的值为( ) A ．16 B.116 C.12D ．26．下列幂函数中，定义域为{x|x ＞0}的是( ) A ．y ＝x 23 B ．y ＝x 32 C ．y ＝x －13D ．y ＝x －347．已知幂函数的图象y ＝x m2－2m －3(m ∈Z ，x≠0)与x ，y 轴都无交点，且关于y 轴对称，则m 为( )A ．－1或1B ．－1,1或3C ．1或3D ．3 8．下列结论中，正确的是( )①幂函数的图象不可能在第四象限②α＝0时，幂函数y ＝x α的图象过点(1,1)和(0,0) ③幂函数y ＝x α，当α≥0时是增函数④幂函数y ＝x α，当α<0时，在第一象限内，随x 的增大而减小 A ．①② B ．③④ C ．②③ D ．①④9．在函数y ＝2x 3，y ＝x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝x 0中，幂函数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．幂函数f(x)的图象过点(3，3)，则f(x)的解析式是________ ．11．函数f(x)＝(m 2－m －5)x m －1是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，试确定m 的值．12．已知函数f(x)＝(m 2＋2m)·x m2＋m －1，m 为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数？13．已知幂函数y ＝x m2－2m －3(m ∈Z)的图象与x 、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，求m 的值，并画出它的图象．答案1. 解析：选D.y ＝x 23＝3x 2，其定义域为R ，值域为[0，＋∞)，故定义域与值域不同． 2.解析：选B.当x ＝2时，22＞212＞2－12＞2－2，即C 1：y ＝x 2，C 2：y ＝x 12，C 3：y ＝x －12，C 4：y ＝x －2.3.解析：选C.∵y ＝x 0，可知x≠0，∴y ＝x 0的图象是直线y ＝1挖去(0,1)点．4.解析：⎩⎪⎨⎪⎧1－x≠01－x≥0，∴x<1.答案：(－∞，1)5 解析：选C.设f(x)＝x n ，则有2n ＝22，解得n ＝－12，即f(x)＝x －12，所以f(4)＝4－12＝12.6 解析：选D.A.y ＝x 23＝3x 2，x ∈R ；B.y ＝x 32＝x 3，x≥0；C.y ＝x －13＝13x，x≠0；D.y ＝x－34＝14x 3，x ＞0.7 解析：选B.因为图象与x 轴、y 轴均无交点，所以m 2－2m －3≤0，即－1≤m≤3.又图象关于y 轴对称，且m ∈Z ，所以m 2－2m －3是偶数，∴m ＝－1,1,3.故选B.8 解析：选D.y ＝x α，当α＝0时，x≠0；③中“增函数”相对某个区间，如y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，①④正确．9 解析：选B.y ＝x 2与y ＝x 0是幂函数．10 解析：设f(x)＝x α，则有3α＝3＝312⇒α＝12.答案：f(x)＝x 1211 解：根据幂函数的定义得：m 2－m －5＝1，解得m ＝3或m ＝－2，当m ＝3时，f(x)＝x 2在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝－2时，f(x)＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故m ＝3.12 解：(1)若f(x)为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1m 2＋2m≠0⇒m ＝1. (2)若f(x)为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1m 2＋2m≠0⇒m ＝－1. (3)若f(x)为二次函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m≠0⇒m ＝－1±132.(4)若f(x)为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1±213 解：由已知，得m 2－2m －3≤0，∴－1≤m≤3. 又∵m ∈Z ，∴m ＝－1,0,1,2,3.当m ＝0或m ＝2时，y ＝x －3为奇函数，其图象不关于y 轴对称，不适合题意． ∴m ＝±1或m ＝3.当m ＝－1或m ＝3时，有y ＝x 0，其图象如图(1)．当m ＝1时，y ＝x －4，其图象如图(2)．.。

考点11：幂函数【题组一 幂函数定义辨析】1．已知函数()()22231m m f x m m x +-=--是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数m = 。

【答案】-1 【解析】函数()()22231m m f x m m x +-=--是幂函数，211m m ∴--=，解得：2m =或1m =-，2m =时，()f x x =，其图象与两坐标轴有交点不合题意，1m =-时，()41f x x =，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，故1m =-。

2．函数2()(1)n f x n n x =--是幂函数，且在()0,x ∈+∞上是减函数，则实数n =_______【答案】﹣1【解析】函数f （x ）＝（n 2﹣n ﹣1）x n 是幂函数，∴n 2﹣n ﹣1＝1，解得n ＝﹣1或n ＝2；当n ＝﹣1时，f （x ）＝x ﹣1，在x ∈（0，+∞）上是减函数，满足题意； 当n ＝2时，f （x ）＝x 2，在x ∈（0，+∞）上是增函数，不满足题意．综上，n ＝﹣1．故答案为：﹣1．3．2222()(1)mm f x m m x --=--是幂函数，且在(0,)x ∈+∞上是减函数，则实数m =______. 【答案】2【解析】2222()(1)mm f x m m x --=--是幂函数，则211m m --=，解得2m =或1m =-. 当2m =时，()2f x x -=，在(0,)x ∈+∞上是减函数，满足；当1m =-时，()f x x =，在(0,)x ∈+∞上是增函数，排除.综上所述：2m =.故答案为：2.4．若幂函数a y x =的图像过点(28)，，则a =__________． 【答案】3 【解析】幂函数a y x =的图像过点()28，，3282,3a a ∴===，故答案为3. 5．幂函数()()22m f x m m x =+在[)0,+∞上为单调递增的，则m =______.【答案】12【解析】由幂函数()()22m f x m m x =+在[)0,+∞上为单调递增的， 所以2210m m m ⎧+=⎨>⎩，解得12m =.故答案为:12. 6．幂函数()()223mm f x x m --=∈Z 的图像与坐标轴没有公共点，且关于y 轴对称，则m 的值为______. 【答案】1,1,3-【解析】由于幂函数()()223m m f x x m --=∈Z 的图像与坐标轴没有公共点，所以{}2230131,0,1,2,3m m m m --≤⇒-≤≤⇒∈-，又因为函数为偶函数，故分别代入检验可知：1,1,3m =-满足；故填： 1,1,3-7．幂函数()222533m m y m m x+-=-+在()0,∞+单调递减，则实数m 的值为_________.【答案】1 【解析】由题意可得22331250m m m m ⎧-+=⎨+-<⎩，解得1m =，故答案为：1 【题组二 幂函数性质】1．幂函数25y x -=的定义域为_________(用区间表示).【答案】()(),00,-∞⋃+∞ 【解析】幂函数25y x -=，20x ∴>，解得0x ≠，∴函数y 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞．故答案为：()(),00,-∞⋃+∞．2．已知幂函数()y f x =的图象过点(,则这个函数的定义域为__________．【答案】[)0,+∞【解析】由题意可知，设()()f x x R αα=∈函数()f x 图象过点((2)2f α∴==即12α=∴()f x =要使得函数()f x =0x ≥，即函数()f x 的定义域为[)0,+∞.故答案为：[)0,+∞ 3．使(3－2x －x 234)－有意义的x 的取值范围是________.【答案】(－3，1)【解析】()332432x x-⎛⎫--=，要使表达式有意义，必有2032x x -->，解得31x -<<，故答案为()3,1-.4．若1144(1)(32)a a --+<-,则a 的取值范围是 ______ 【答案】23,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】幂函数y x α=，当0α<时是减函数，函数 14y x-=的定义域为()0,∞+， 所以有1320a a +>->，解得2332a <<，故答案为 23,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ . 5．若()()1133132a a --+<-，则实数a 的取值范围是______. 【答案】23(,)(,1)32-∞- 【解析】由题得11331111()(),132132a a a a<∴<+-+-，所以110132a a -<+-， 所以321320,0(1)(32)(1)(23)a a a a a a a ----<∴<+-+-，所以(1)(23)(32)0a a a +--<， 所以2332a <<或1a <-,所以a 的取值范围为23(,)(,1)32-∞-.故答案为：23(,)(,1)32-∞- 6．若 1.30.3(0.3)(1.3)>m m ，则实数m 的取值范围是________.【答案】0m <【解析】由题： 1.3000.300.30.31 1.3 1.3<<==<，考虑幂函数()m f x x =，()()1.30.30.3 1.3f f >，根据幂函数的性质，()0,mm f x x >=在()0,x ∈+∞单调递增， ()00,m f x x ==在()0,x ∈+∞为常数函数，()0,m m f x x <=在()0,x ∈+∞单调递减，此题只需()mf x x =在()0,x ∈+∞单调递减，所以0m <.故答案为：0m < 7．若()()11132a a --+<-，试求a 的取值范围 .【答案】()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 【解析】∵()()11132a a --+<-，∴10,320,132a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩或10,320,132a a a a +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩或320,10,a a ->⎧⎨+<⎩解得2332a <<或1a <-.故a 的取值范围是()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 8．不等式()()2233131x x ->+的解为 。

幂函数的概念、解析式、定义域、值域练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 1. 幂函数f(x)的图象过点(3, √3)，则f(x)的解析式为（）A.f(x)=3xB.f(x)=x3C.f(x)=x 12 D.f(x)=(12)x2. 已知幂函数f(x)＝x a的图象过点(2, 4)，则这个函数的解析式为（）A.f(x)＝x2B.f(x)＝x 12 C.f(x)＝2x D.f(x)＝x√23. 函数f(x)=(x−1)α（α为常数）的图象均过点（）A.(1, 0)B.(0, 1)C.(1, 1)D.(2, 1)4. 已知函数f(x)=(a2−a−1)x1a−2是幂函数，则a=( )A.1B.−1C.−1或2D.1或−25. 函数y=(m2−m+1)x m2−2m−3是幂函数，且f(−x)=f(x)，则实数m的值为（）A.0或1B.1C.0D.1±√726. 下列函数为幂函数的是（）A.y=x2−1B.y=2x +1 C.y=1xD.y=−x3−x7. 已知幂函数f(x)=(m2−3m+3)x m2−m−2的图象不经过原点，则m=()A.1B.2C.1或2D.38. 若幂函数y=f(x)的图象过点(4, 2)，则f(12)=()A.√2B.2√2C.√22D.29. 幂函数y=f(x)的图象过点(2,√2)，则下列说法正确的是（）A.y=f(x)的定义域为RB.y=f(x)是减函数C.f(4)=2√2D.f(0)=010. 给出下列命题：①y=1是幂函数；②函数y=|x+2|−2x在R上有3个零点；③√x−1(x−2)≥0的解集为[2, +∞)；④当n≤0时，幂函数y=x n的图象与两坐标轴不相交；其中正确的命题是（）A.①②④B.①②③④C.②④D.①②③11. 已知点P(2, √22)在幂函数f(x)的图象上，则f(9)=________．12. 幂函数f(x)=xα的图像经过点(12++,2)，则f(16)=________．13. 已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,√2)，则它的解析式为________．14. 已知幂函数f(x)=x a的图象经过点(4, 2)，则f(100)=________．15. 已知幂函数过(12，√22)，则f(16)=________．16. 若幂函数f(x)的图象经过点(2, √2)，则该函数的表达式f(x)=________．17. 幂函数y=1x2−m−m2在第二象限内为减函数，则m的最大负整数值为________．18. 函数f(x)=(m2−m−1)x m是幂函数，且对区间(0, +∞)上任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)成立，则实数m的值是________ ．19. 已知幂函数y=f(x)的图象过点(12，√22)，则log2f(2)的值是________．20. 已知幂函数y=f(x)的图象过点(12，√22)，则log2f(2)的值为________．21. 己知幂函数y=x m2−2m−3(m∈N∗)为偶函数，且在(0, +∞)是减函数，求m的取值集合．22. 已知f(x)=(m2+2m)x m2+m−1，当m取什么值时，（1）f(x)是幂函数；（2）f(x)是正比例函数（3）f(x)是反比例函数．23. 证明：函数f(x)=x 23在[0, +∞)上是增函数．24. 已知幂函数f(x)的图象经过点(3, 19)(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在(0, +∞)上的单调性，并用定义证明．25. 已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,√2)（1）求函数的解析式．（2）求函数的定义域与值域．（3）判断函数单调性，并证明你的结论．26. 已知幂函数y=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x、y轴都无公共交点，且图象关于原点中心对称，求m的值，并且画出它的图象．27. 已知幂函数g(x)=(m2−2)x m(m∈R)在(0, +∞)为减函数，已知f(x)是对数函数且f(−m+1)+f(−m−1)=12．(1)求g(x)，f(x)的解析式；(2)若实数a满足f(2a−1)<f(5−a)，求实数a的取值范围．28. 已知幂函数f(x)=xα的图象经过点A(12,√2)．(1)求实数α的值；(2)求证：f(x)在区间(0, +∞)内是减函数．29. 已知幂函数y=x（m−6）(m∈Z)与y=x（2−m）(m∈Z)的图象与x轴、y轴都无公共点，且y=x（m−2）(m∈Z)的图象关于y轴对称，求m的值．30. 设P表示幂函数y=x c2−5c+6在(0, +∞)上是增函数的c的集合；Q表示不等式|x−1|+|x−2c|>1对任意x∈R恒成立的c的集合．（1）求P∩Q；（2）试写出一个解集为P∩Q的不等式．31. 已知幂函数y=f(x)的图象过点(4, 2)．（1）求f(x)的解析式；（2）画出f(x)的图象，判断它的奇偶性、单调性，并指出它的值城．32. 已知幂函数f(x)=(m2−4m+4)x m−2在(0, +∞)上单调递减．（1）求f(x)的解析式；（2）若正数a，b满足2a+3b＝m，求3a +2b的最小值．33. 已知幂函数f(x)＝x m的图象过(2, √2)．(Ⅰ)求m的值与函数f(x)的定义域；(Ⅱ)已知g(x)=12x−1+12+lg1−x1+x+m，求g(m)+g(−m)的值．34. 已知幂函数f(x)的图象经过点(2,14)．(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)判断函数f(x)在区间(0, +∞)上的单调性，并用单调性的定义证明．35. 已知点(12, 16)在幂函数y=f(x)的图象上．（1）求f(x)的解析式；（2）写出f(x)的单调区间；（3）求不等式f(2x−1)<f(x)的解集．36. 已知幂函数y=f(x)的图象过点．（1）求函数f(x)的解析式（2）记g(x)=f(x)+x，判断g(x)在(1, +∞)上的单调性，并证明之．+2n−3是幂函数，求m、n的值．37. 已知y=(m2+2m−2)1x m2−138. 已知幂函数f(x)=x（2−k）（1+k）(k∈Z)，且f(x)在(0, +∞)上单调递增．（1）求实数k的值，并写出相应的函数f(x)的解析式；（2）试判断是否存在正数q，使函数g(x)=1−qf(x)+(2q−1)x在区间[−1, 2]上的]．若存在，求出q的值；若不存在，请说明理由．值域为[−4, 17839. 已知幂函数f(x)=(m−1)2x m2−4m+2在(0, +∞)上单调递增，函数g(x)=2x−k (Ⅰ)求m的值；(Ⅱ)当x∈[1, 2]时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，设命题p:x∈A，命题q:x∈B，若命题p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．40. 已知函数f(x)=(m2−m−1)x m2+m−3是幂函数，且x∈(0, +∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．参考答案与试题解析幂函数的概念、解析式、定义域、值域练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】C【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】设出幂函数f(x)的解析式，由图象过点(3, √3)，求出解析式来．【解答】解：设幂函数f(x)=x a，其图象过点(3, √3)，∴3a=√3；，解得a=12∴f(x)=x12．故选：C．2.【答案】A【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】把点的坐标代入函数f(x)的解析式，求出a的值即可．【解答】由幂函数f(x)＝x a的图象过点(2, 4)，则2a＝4，解得a＝2，所以函数的解析式为f(x)＝x2．3.【答案】D【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】由函数f(x)=(x−1)α的图象恒过定点，说明此点的函数值与参数α无关，利用1α=1这个结论．【解答】解：∵函数f(x)=(x−1)α的图象恒过定点，∴此点的函数值与参数α无关，∵1α=1，∴x=2时，(x−1)α=1，∴f(2)=1，∴函数f(x)=(x−1)α的图象恒过定点(2, 1)．故选D．4.【答案】B【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】本题主要考查幂函数的基本概念，通过基本定义要求即可【解答】解：因为f(x)=(a2−a−1)x1a−2为幂函数，所以{a2−a−1=1，a−2≠0，⇒a=−1.故选B.5.【答案】B【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】利用已知条件直接推出m的范围，利用函数的奇偶性确定m的值．【解答】解：因为函数y=(m2−m+1)x m2−2m−3是幂函数，所以m2−m+1=1，解得m=1或m=0．因为f(−x)=f(x)，所以函数是偶函数，当m=0时，幂函数为y=x−3．函数表示奇函数，当m=1时y=x−4．函数是偶函数．故选B．6.【答案】C【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】利用幂函数的定义即可判断出．【解答】解：根据幂函数的定义可知：y=x−2=1x2是幂函数．故选C．7.【答案】C【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】利用幂函数的概念可得m 2−3m +3=1，可解得m ，结合函数图象不经过原点，即可得答案． 【解答】解：∵ f(x)=(m 2−3m +3)x m 2−m−2为幂函数，且函数图象不经过原点， ∴ m 2−3m +3=1， ∴ m =1或m =2．当m =1时，f(x)=x −2，其图象不经过原点，符合题意； 当m =2时，f(x)=x 0，其图象不经过原点，也符合题意； 故选C ． 8. 【答案】 C【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】设幂函数f(x)=x α，根据y =f(x)的图象过点(4, 2)，可得 4α=2，解得 α的值，可得函数解析式 从而求出f(12)的值． 【解答】解：∵ 幂函数y =f(x)的图象过点(4, 2)，设 f(x)=x α，∴ 4α=2，解得 α=12． ∴ f(x)=x 12． ∴ f(12)=(12)12=√12=√22， 故选C ． 9.【答案】 D【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】设出幂函数的解析式，根据幂函数y =f(x)的图象过点(2, √2)，得到方程求出指数的值，即可得到函数的解析式，然后判断选项即可． 【解答】解：设幂函数的解析式为y =x a ， ∵ 幂函数y =f(x)的图象过点(2, √2)， ∴ √2=2a ， 解得a =12，∴ f(x)=√x ．函数定义域不是R ，A 不正确； 函数是增函数，所以B 不正确； f(4)=2，所以C 不正确． F(0)=0，所以D 正确． 故选：D ． 10.【答案】C【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】根据幂函数的定义对①进行判断；根据函数零点的求法，我们将问题转化为两个基本函数图象交点个数判断后，可以得到②的真假；根据不等式的√x−1(x−2)≥0的解集对③进行判断；根据幂函数的性质判断出幂函数的指数小于或等于0对④进行判断即可．【解答】解：：①y=1与幂函数y=x0的定义域不同，故y=1不是幂函数；②在同一平面坐标系中画出y=2x与函数y=|x+2|的图象，易得两函数的图象共有3个交点，故③函数y=|x+2|−2x在R上有3个零点正确；③√x−1(x−2)≥0的解集为[2, +∞)∪{1}，故不正确；④根据幂函数的性质判断出幂函数的指数小于或等于0时，幂函数y=x n的图象与两坐标轴不相交，正确．故选C．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】13【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】先设出函数的解析式，利用待定系数法求出函数的表达式，代入求值即可．【解答】解：设幂函数的解析式为：f(x)=xα，)在幂函数f(x)的图象上，点P(2, √22=2−12，则2α=√22∴α=−1，2∴f(9)=9−12=1，3故答案为：1．312.【答案】 4【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】 将点(122)代入求得a ，再求函数值即可．【解答】 将(12√2)代入f (x )=x a得α=12 ，则f (x )=x 12 ，则f (16)=1612=4故答案为：413. 【答案】f(x)=√x 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】利用幂函数的定义即可求出． 【解答】解：设幂函数f(x)=x α，∵ 幂函数y =f(x)的图象过点(2,√2)，∴ √2=2α，∴ α=12． ∴ f(x)=x 12=√x ． 故答案为f(x)=√x ． 14.【答案】 10【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】根据条件，求出a 的值，进行求解即可． 【解答】解：∵ 幂函数f(x)=x a 的图象经过点(4, 2)， ∴ f(4)=4a =2，则a =12，即f(x)=x 12=√x ， 则f(100)=√100=10， 故答案为：10 15.【答案】 4【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】设幂函数为f(x)=x a ，由幂函数过(12，√22)，得到f(x)=x 12，由此能求出f(16)．【解答】解：设幂函数为f(x)=x a ， ∴ 幂函数过(12，√22)， ∴ (12)a =√22，解得a =12，∴ f(x)=x 12， ∴ f(16)=1612=4． 故答案为：4．16. 【答案】√x【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】用待定系数法，设出幂函数f(x)的解析式，由图象经过点(2, √2)，求出α的值即可． 【解答】解：设幂函数f(x)=x α(α∈R)， ∵ 它的图象经过点(2, √2)， ∴ 2α=√2， 解得：α=12； ∴ f(x)=x 12=√x ． 故答案为：√x ． 17.【答案】 −3【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】 幂函数y =1x 2−m−m2在第二象限内为减函数，可得2−m −m 2<0，解出即可．【解答】解：∵ 幂函数y =1x 2−m−m2在第二象限内为减函数，∴ 2−m −m 2<0， 解得m >1或m <−2，∴ m 的最大负整数值为−3． 此时y =x 4． 故答案为：−3． 18.【答案】 2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】求出函数f (x )的单调性，再根据f (x )是幂函数求出m 的值即可． 【解答】 解：：对区间(0,+∞)上任意两个不相等的实数x 1 x 2不等式x 1f (x 1)+x 2f (x 2)>x 1f (x 2)+x 2f (x 1)恒成立， ：不等式等价为(x 1−x 2)[f (x 1)−f (x 2)]>0恒成立， 即函数f (x )是定义域上的增函数，由函数f (x )=(m 2−m −1)x m 是幂函数，得：m 2−m −1=1，解得：m =2可km =−1 又函数f (x )是定义域上的增函数， 故m =2，故答案为：2． 19. 【答案】12【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】可设幂函数y =f(x)=x α，由题意可求得α的值，从而可得f(2)，可得答案． 【解答】解：设幂函数y =f(x)=x α， ∵ 其图象过点(12，√22)， ∴ f(12)=(12)α=√22， ∴ α=12．∴ f(2)=212=√2， ∴ log 2f(2)=log 2212=12.故答案为：12．20. 【答案】12【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】可设幂函数y =f(x)=x α，由题意可求得α的值，从而可得f(2)，可得答案． 【解答】解：设幂函数y =f(x)=x α，∵ 其图象过点(12，√22)， ∴ f(12)=(12)α=√22， ∴ α=12．∴ f(2)=212=√2， ∴ log 2f(2)=log 2212=12.故答案为：12．三、 解答题 （本题共计 20 小题 ，每题 10 分 ，共计200分 ） 21. 【答案】解：∵ 幂函数f(x)=x m 2−2m−3(m ∈Z)为偶函数， 且在区间(0, +∞)上是减函数， ∴ m 2−2m −3<0， 解得−1<m <3， ∵ m ∈N ∗，∴ m =0，1或2， 又∵ 函数为偶函数， ∴ m 2−2m −3为偶数， ∴ m 2−2m 为奇数， ∴ m =1． 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】由幂函数f(x)为(0, +∞)上递减，推知m 2−2m −3<0，解得−1<m <3因为m 为整数故m =0，1或2，又通过函数为偶函数，推知m 2−2m −3为偶数，进而推知m 2−2m 为奇数，进而推知m 的值． 【解答】解：∵ 幂函数f(x)=x m 2−2m−3(m ∈Z)为偶函数， 且在区间(0, +∞)上是减函数， ∴ m 2−2m −3<0， 解得−1<m <3， ∵ m ∈N ∗，∴ m =0，1或2， 又∵ 函数为偶函数， ∴ m 2−2m −3为偶数， ∴ m 2−2m 为奇数， ∴ m =1． 22.【答案】 解：（1）若f(x)是幂函数，则m 2+2m =1 解得：−1±√2所以当m =−1±√2时，f(x)是幂函数（2） 若f(x)是正比例函，则{m 2+m −1=1m 2+3m ≠0解得m =1 所以当m =1时，f(x)是正比例函（3） 若f(x)是反比例函数，则{m 2+m −1=−1m 2+3m ≠0，解得m =−1 所以当m =−1时，f(x)是反比例函数．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】（1）直接利用f(x)是幂函数得到方程求出m 值即可； （2）f(x)是正比例函数，列出不等式组求解即可． （3）利用f(x)是反比例函数，列出不等式组求解即可． 【解答】 解：（1）若f(x)是幂函数，则m 2+2m =1 解得：−1±√2所以当m =−1±√2时，f(x)是幂函数（2） 若f(x)是正比例函，则{m 2+m −1=1m 2+3m ≠0解得m =1 所以当m =1时，f(x)是正比例函（3） 若f(x)是反比例函数，则{m 2+m −1=−1m 2+3m ≠0，解得m =−1 所以当m =−1时，f(x)是反比例函数． 23. 【答案】证明：∵ 函数f(x)=x 23，x ∈[0, +∞)， ∴ f′(x)=23x−13=3√x3>0，∴ 函数f(x)在[0, +∞)上是增函数． 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】可以利用函数的导数大于0，则函数是增函数，进行证明． 【解答】证明：∵ 函数f(x)=x 23，x ∈[0, +∞)， ∴ f′(x)=23x −13=3√x3>0，∴ 函数f(x)在[0, +∞)上是增函数． 24. 【答案】解：(1)设幂函数f(x)=x α，其图象过点(3, 19)， ∴ 3α=19.解得α=−2，∴f(x)=x−2.(2)函数f(x)=x−2=1x2，在(0, +∞)上是单调减函数. 证明如下：任取x1，x2∈(0, +∞)，且x1<x2，∴f(x1)−f(x2)=1x12−1x22=(x2−x1)(x1+x2)x12x22>0，∴f(x1)>f(x2)，∴函数f(x)在(0, +∞)上的是单调减函数．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】(1)设幂函数f(x)=xα，利用图象过点(3, 19)求出α的值，即得解析式；(2)函数f(x)在(0, +∞)上是单调减函数，利用单调性定义即可证明．【解答】解：(1)设幂函数f(x)=xα，其图象过点(3, 19)，∴3α=19.解得α=−2，∴f(x)=x−2.(2)函数f(x)=x−2=1x2，在(0, +∞)上是单调减函数.证明如下：任取x1，x2∈(0, +∞)，且x1<x2，∴f(x1)−f(x2)=1x12−1x22=(x2−x1)(x1+x2)x12x22>0，∴f(x1)>f(x2)，∴函数f(x)在(0, +∞)上的是单调减函数．25.【答案】解：（1）由题意可设f(x)=xα，又函数图象过定点(2, √2)，∴2α=√2，∴α=12，∴f(x)=√x，（2）由函数f(x)=√x可知定义域为[0, +∞)，值域为[0, +∞)，（3）f(x)为增函数，理由如下设x1，x2∈[0, +∞)，且x1<x2，则f(x1)−f(x2)=√x1−√x2=12√x+√x<0，∴f(x)为增函数．【考点】幂函数的性质幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】（1）先设出幂函数的解析式，由于过定点，从而可解得函数的解析式，（2）由解析式直接求出定义域和值域，（3）利用函数的单调性的定义证明即可．【解答】，解：（1）由题意可设f(x)=xα，又函数图象过定点(2, √2)，∴2α=√2，∴α=12∴f(x)=√x，（2）由函数f(x)=√x可知定义域为[0, +∞)，值域为[0, +∞)，（3）f(x)为增函数，理由如下<0，设x1，x2∈[0, +∞)，且x1<x2，则f(x1)−f(x2)=√x1−√x2=12√x+√x∴f(x)为增函数．26.【答案】解：幂函数y=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x、y轴都无公共交点，且图象关于原点中心对称，∴m2−2m−3<0，且m2−2m−3为奇数，即−1<m<3且m2−2m−3为奇数，∴m=0或2，∴y=x−3，其图象为：【考点】函数的图象变换幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】由题意知，m2−2m−3<0，且m2−2m−3为奇数，解此不等式组可得m的值．【解答】解：幂函数y=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x、y轴都无公共交点，且图象关于原点中心对称，∴m2−2m−3<0，且m2−2m−3为奇数，即−1<m<3且m2−2m−3为奇数，∴m=0或2，∴y=x−3，其图象为：27.【答案】解：(1)∵ 幂函数g(x)=(m 2−2)x m (m ∈R )在(0, +∞)上为减函数，∴ {m 2−2=1m <0， 解得m =−√3， ∴ g(x)=x −√3；又∵ f(x)是对数函数，且f(−m +1)+f(−m −1)=12， ∴ 设f(x)=log a x(a >0且a ≠1)， ∴ log a (−m +1)+log a (−m −1)=12， 即log a (m 2−1)=log a 2=12，解得a =4，∴ f(x)=log 4x .(2)∵ 实数a 满足f(2a −1)<f(5−a)， 且f(x)=log 4x 在(0, +∞)上单调递增，∴ {2a −1>0，5−a >0，2a −1<5−a ，解得{a >12，a <5，a <2，即12<a <2，∴ 实数a 的取值范围是(12, 2)． 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 函数单调性的性质函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）根据题意，求出m 的值，得出g(x)的解析式，再求出f(x)的解析式； （2）根据题意，利用f(x)的单调性，列出不等式组，求出实数a 的取值范围． 【解答】解：(1)∵ 幂函数g(x)=(m 2−2)x m (m ∈R )在(0, +∞)上为减函数，∴ {m 2−2=1m <0，解得m =−√3， ∴ g(x)=x −√3；又∵ f(x)是对数函数，且f(−m +1)+f(−m −1)=12， ∴ 设f(x)=log a x(a >0且a ≠1)， ∴ log a (−m +1)+log a (−m −1)=12，即log a (m 2−1)=log a 2=12， 解得a =4，∴ f(x)=log 4x .(2)∵ 实数a 满足f(2a −1)<f(5−a)， 且f(x)=log 4x 在(0, +∞)上单调递增，∴ {2a −1>0，5−a >0，2a −1<5−a ，解得{a >12，a <5，a <2，即12<a <2，∴ 实数a 的取值范围是(12, 2)．28.【答案】解：(1)设幂函数的解析式为y =x a ， 又∵ 幂函数的图象经过点A(12, √2)．∴ √2=12a， 解得a =−12. (2)由(1)得y =x −12，任取x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2， 则x 2−x 1>0，∴ f(x 1)−f(x 2)=x 1−12−x 2−12=√x 1√x 2 =√x −√x √x x =21√x x (√x +√x )>0，即f(x 1)>f(x 2)，∴ f(x)=x −12在区间(0,+∞)上是减函数. 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 函数单调性的判断与证明【解析】（1）由于已知函数为幂函数，我们可以使用待定系数法进行求解，设出幂函数的解析式，再由幂函数的图象经过点A(12, √2)，构造关于a 的方程，解方程即可得到实数α的值；（2）根据（1）中所求的函数的解析式，我们求出函数的导函数的解析式，分析x ∈(0, +∞)时，导函数值的符号，即可得到结论． 【解答】解：(1)设幂函数的解析式为y =x a ， 又∵ 幂函数的图象经过点A(12, √2)． ∴ √2=12a， 解得a =−12.(2)由(1)得y =x −12，任取x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2， 则x 2−x 1>0， ∴ f(x 1)−f(x 2)=x 1−12−x 2−12=√x 1√x 2 =√x 2√x 1√x 1x 2=21√x x (√x +√x )>0，即f(x 1)>f(x 2)，∴ f(x)=x −12在区间(0,+∞)上是减函数. 29.【答案】解：∵幂函数y=x（m−6）(m∈Z)与y=x（2−m）(m∈Z)的图象与x、y轴没有公共点，∴m−6<0，且2−m<0，解得2<m<6，∴m的可能取值为3，4，5，又∵y=x（m−2）的图象关于y轴对称，∴y=x（m−2）为偶函数，即m−2为偶数，∴m=4．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】由已知条件推导出m−6<0，且2−m<0，m−2为偶数，由此能求出m的值．【解答】解：∵幂函数y=x（m−6）(m∈Z)与y=x（2−m）(m∈Z)的图象与x、y轴没有公共点，∴m−6<0，且2−m<0，解得2<m<6，∴m的可能取值为3，4，5，又∵y=x（m−2）的图象关于y轴对称，∴y=x（m−2）为偶函数，即m−2为偶数，∴m=4．30.【答案】解：（1）∵幂函数y=x c2−5c+6在(0, +∞)上是增函数，∴c2−5c+6>0，即P=(−∞, 2)∪(3, +∞)，又不等式|x−1|+|x−2c|>1对任意x∈R恒成立，∴c<0或c>1，即Q=(−∞, 0)∪(1, +∞)，∴P∩Q=(−∞, 0)∪(1, 2)∪(3, +∞)．（2）解集为P∩Q的不等式为：x(x−1)(x−2)(x−3)>0．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】（1）由已知得P=(−∞, 2)∪(3, +∞)，Q=(−∞, 0)∪(1, +∞)，由此能求出P∩Q．（2）解集为P∩Q的不等式为：x(x−1)(x−2)(x−3)>0．（答案不唯一）【解答】解：（1）∵幂函数y=x c2−5c+6在(0, +∞)上是增函数，∴c2−5c+6>0，即P=(−∞, 2)∪(3, +∞)，又不等式|x−1|+|x−2c|>1对任意x∈R恒成立，∴c<0或c>1，即Q=(−∞, 0)∪(1, +∞)，∴P∩Q=(−∞, 0)∪(1, 2)∪(3, +∞)．（2）解集为P∩Q的不等式为：x(x−1)(x−2)(x−3)>0．31.【答案】解：（1）设幂函数y=f(x)=x a，其图象过点(4, 2)，∴4a=2，，解得a=12∴f(x)=x12=√x(x≥0)；（2）画出f(x)的图象，如图所示：f(x)=√x(x≥0)的定义域不关于原点对称，它既不是奇函数也不是偶函数；函数图象从左向右上升，是增函数；图象落在y轴以及上方，值域是[0, +∞)．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】（1）利用待定系数法求出函数f(x)的解析式；（2）画出f(x)的图象，结合图象得出f(x)的奇偶性与单调性和值域．【解答】解：（1）设幂函数y=f(x)=x a，其图象过点(4, 2)，∴4a=2，，解得a=12∴f(x)=x12=√x(x≥0)；（2）画出f(x)的图象，如图所示：f(x)=√x(x≥0)的定义域不关于原点对称，它既不是奇函数也不是偶函数；函数图象从左向右上升，是增函数；图象落在y轴以及上方，值域是[0, +∞)．32.【答案】解：(1)因为f (x )=(m 2−4m +4)x m−2是幂函数， 所以m 2−4m +4=1，解得m =1或m =3． 又f (x )在(0,+∞)上单调递减， 所以m =1，故f (x )=1x ．(2)由(1)可知2a +3b =1， 则3a +2b =(2a +3b )(3a +2b )=12+4a b+9b a≥24，当且仅当a =14，b =16时取等号．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】（1）利用幂函数的定义和单调性列出方程，能求出f(x)．（2）由2a +3b ＝1，a ，b 都是正数，利用基本不等式的性质能求出的最小值．【解答】解：(1)因为f (x )=(m 2−4m +4)x m−2是幂函数， 所以m 2−4m +4=1，解得m =1或m =3． 又f (x )在(0,+∞)上单调递减， 所以m =1，故f (x )=1x ．(2)由(1)可知2a +3b =1， 则3a +2b =(2a +3b )(3a +2b )=12+4a b+9b a≥24，当且仅当a =14，b =16时取等号． 33. 【答案】（1）幂函数f(x)＝x m 的图象过(2,√2)， 即2m =√2，解得m =12；∴ f(x)=√x ，函数的定义域为[0, +∞)； （2）设ℎ(x)=12x −1+12+lg 1−x 1+x，则g(x)＝ℎ(x)+m ；∴ ℎ(x)+ℎ(−x)=12x −1+12+lg 1−x1+x +12−x −1+12+lg 1+x1−x ＝(12x −1+12−x −1+1)+(lg 1−x1+x +lg 1+x1−x ) ＝(12x −1+2x1−2x )+lg 1 ＝0；∴ℎ(x)为奇函数，则ℎ(m)+ℎ(−m)＝0，∴g(m)+g(−m)＝ℎ(m)+m+ℎ(−m)+m＝2m＝（1）【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】(Ⅰ)根据幂函数f(x)的图象过点A求得m的值，再写出f(x)的解析式与定义域；(Ⅱ)设ℎ(x)=12x−1+12+lg1−x1+x，用定义判断ℎ(x)为奇函数，再求g(m)+g(−m)的值．【解答】（1）幂函数f(x)＝x m的图象过(2,√2)，即2m=√2，解得m=12；∴f(x)=√x，函数的定义域为[0, +∞)；（2）设ℎ(x)=12x−1+12+lg1−x1+x，则g(x)＝ℎ(x)+m；∴ℎ(x)+ℎ(−x)=12x−1+12+lg1−x1+x+12−x−1+12+lg1+x1−x＝(12x−1+12−x−1+1)+(lg1−x1+x+lg1+x1−x)＝(12x−1+2x1−2x)+lg1＝0；∴ℎ(x)为奇函数，则ℎ(m)+ℎ(−m)＝0，∴g(m)+g(−m)＝ℎ(m)+m+ℎ(−m)+m＝2m＝（1）34.【答案】解：(Ⅰ)∵f(x)是幂函数，则设f(x)=xα（α是常数），∵f(x)的图象过点(2,14)，∴f(2)=2α=14=2−2，∴α=−23，故f(x)=x−2，即f(x)=1x(x≠0)；(Ⅱ)f(x)在区间(0, +∞)上是减函数．证明如下：设x1，x2∈(0, +∞)，且x1<x2，∴f(x1)−f(x2)=1x12−1x22=x22−x12x12⋅x22=(x2+x1)⋅⋅(x2−x1)x12⋅x22，∵0<x1<x2∈(0, +∞)，∴x2−x1>0，x1+x2>0,x12⋅x22>0，∴f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在区间(0, +∞)上是减函数．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】（Ⅰ）利用幂函数的定义，设f (x )=x a （α是常数），根据f (x )的图象过点(2,14) ，列出关于α的方程，求解即可得到答案；（Ⅱ）设x 1,x 2∈(0,+∞) ，且x 1<x 2 ，作差f (x 1)−f (x 2)化简到能直接判断符号为止，利用函数单调性的定义，即可证得答案． 【解答】 此题暂无解答 35. 【答案】解：（1）设幂函数y =f(x)=x α，根据点(12, 16)在幂函数y =f(x)的图象上， 可得(12)α=16=(12)−4，解得α=−4，∴ 函数的解析式为f(x)=x −4．（2）∵ f(x)=1x 4，它在(0, +∞)上是减函数，在(−∞, 0)上是增函数， 故函数的减区间为(0, +∞)，增区间为(−∞, 0)．（3）由不等式f(2x −1)<f(x)，可得|2x −1|>|x|，平方可得3x 2−4x +1>0， 求得x >43或x <13，故不等式的解集为(43, +∞)∪(−∞, 13)．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】（1）设幂函数y =f(x)=x α，根据点(12, 16)在幂函数y =f(x)的图象上，求得α的值，可得函数的解析式为f(x)．（2）由函数的解析式f(x)=1x 4，求得函数的减区间．（3）由不等式f(2x −1)<f(x)，可得|2x −1|>|x|，平方可得3x 2−4x +1>0，由此求得它的解集． 【解答】解：（1）设幂函数y =f(x)=x α，根据点(12, 16)在幂函数y =f(x)的图象上， 可得(12)α=16=(12)−4，解得α=−4，∴ 函数的解析式为f(x)=x −4．（2）∵ f(x)=1x 4，它在(0, +∞)上是减函数，在(−∞, 0)上是增函数， 故函数的减区间为(0, +∞)，增区间为(−∞, 0)．（3）由不等式f(2x −1)<f(x)，可得|2x −1|>|x|，平方可得3x 2−4x +1>0， 求得x >43或x <13，故不等式的解集为(43, +∞)∪(−∞, 13)．36.【答案】解：由题意令y=f(x)=x a，由于图象过点(,)，得=a，a=−1∴y=f(x)=x−1解：g(x)=f(x)+x=x+函数在区间(1, +∞)上是增函数，证明：任取x1、x2使得x1>x2>1，都有由x1>x2>1得，x1−x2>0，x1x2>0，x1x2−1>0，于是g(x1)−g(x2)>0，即g(x1)>g(x2)，所以，函数在区间(1, +∞)上是增函数．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】（1）先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式即可；（2）函数在区间(1,+∞)上为增函数，理由为：在区间(1,+∞)上任取x1>x2>1，求出f(x1)−f(x2)，通分后，根据设出的x1>x2>1，判定其差大于0，即f(x1)>f(x2)，从而得到函数为增函数．【解答】此题暂无解答37.【答案】解：∵f(x)是幂函数∴m2+2m−2=1，且m2−1≠0，且2n−3=0．解得m=−3，n=32．所以m=−3，n=32．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】利用幂函数的定义：系数为1用常数为0，列出方程求出m、n值即可．【解答】解：∵f(x)是幂函数∴m2+2m−2=1，且m2−1≠0，且2n−3=0．解得m=−3，n=32．所以m=−3，n=32．38.【答案】解：因为幂函数f(x)=x（2−k）（1−k）在(0, +∞)上单调递增，所以(2−k)(1+k)>0，故−1<k <2．又因为k ∈Z ，故k =0，或k =1，所以f(x)=x 2 解：由(1)知g(x)=−qx 2+(2q −1)x +1， 假设存在这样的正数q 符合题意，则函数g(x)的图象是开口向下的抛物线， 其对称轴为x =2q−12q=1−12q<1，因而，函数g(x)在[−1, 2]上的最小值只能在x =−1或x =2处取得又g(2)=−4q +4q −2+1=−1≠−4，从而必有g(−1)=2−3q =−4 解得q =2，此时，g(x)=−2x 2+3x +1，其对称轴x =34∈[−1, 2] ∴ g(x)在[−1, 2]上的最大值为g(34)=−2×(34)2+3×34+1=178符合题意【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】（1）由f(2)<（3）知幂函数在(0,+∞)上为增函数，故(2−k )(1+k )>0，解出k 即可．（2）写出lg (x )的解析式:9(x )=−qx 2+(2−1)x +1，为二次函数，只需考虑二次函数的对称轴和单调性即可． 【解答】 此题暂无解答 39.【答案】(Ⅰ)依题意得：(m −1)2=1，⇒m =0或m =2， 当m =2时，f(x)=x −2在(0, +∞)上单调递减， 与题设矛盾，舍去， ∴ m =0．(Ⅱ)由(Ⅰ)得：f(x)=x 2，当x ∈[1, 2)时，f(x)∈[1, 4)，即A =[1, 4)，当x ∈[1, 2)时，g(x)∈[2−k, 4−k)，即B =[2−k, 4−k)， 若命题p 是q 成立的必要条件，则B ⊆A ， 则{2−k ≥14−k ≤4 ，即{k ≤1k ≥0， 解得：0≤k ≤1． 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】(Ⅰ)根据幂函数的定义和性质求出m 检验即可，(Ⅱ)结合集合的关系进行求解． 【解答】(Ⅰ)依题意得：(m −1)2=1，⇒m =0或m =2， 当m =2时，f(x)=x −2在(0, +∞)上单调递减， 与题设矛盾，舍去， ∴ m =0．(Ⅱ)由(Ⅰ)得：f(x)=x 2，当x ∈[1, 2)时，f(x)∈[1, 4)，即A =[1, 4)，当x ∈[1, 2)时，g(x)∈[2−k, 4−k)，即B =[2−k, 4−k)， 若命题p 是q 成立的必要条件，则B ⊆A ， 则{2−k ≥14−k ≤4 ，即{k ≤1k ≥0 ， 解得：0≤k ≤1． 40.【答案】解：∵ f(x)是幂函数 ∴ m 2−m −1=1，… ∴ m =−1或m =2，…∴ f(x)=x −3或f(x)=x 3，…∵ f(x)=x −3在(0, +∞)上为减函数，不合题意，舍，… f(x)=x 3在(0, +∞)上为增函数．… ∴ f(x)=x 3．… 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】由已知得m 2−m −1=1，从而f(x)=x −3或f(x)=x 3，由f(x)=x −3在(0, +∞)上为减函数，f(x)=x 3在(0, +∞)上为增函数，能求出f(x)=x 3． 【解答】解：∵ f(x)是幂函数 ∴ m 2−m −1=1，… ∴ m =−1或m =2，…∴ f(x)=x −3或f(x)=x 3，…∵ f(x)=x −3在(0, +∞)上为减函数，不合题意，舍，… f(x)=x 3在(0, +∞)上为增函数．… ∴ f(x)=x 3．…。

高一数学幂函数习题及答案高一数学幂函数习题及答案在高一数学课程中，幂函数是一个非常重要的概念。

幂函数是指形如f(x) =ax^b的函数，其中a和b是常数，x是自变量。

在本文中，我们将探讨一些关于幂函数的习题，并提供相应的答案。

1. 习题一：已知函数f(x) = 2x^3，求f(2)的值。

解答：将x替换为2，得到f(2) = 2(2)^3 = 2(8) = 16。

因此，f(2)的值为16。

2. 习题二：已知函数g(x) = 4x^2，求g(0)的值。

解答：将x替换为0，得到g(0) = 4(0)^2 = 4(0) = 0。

因此，g(0)的值为0。

3. 习题三：已知函数h(x) = 5x^-2，求h(1)的值。

解答：将x替换为1，得到h(1) = 5(1)^-2 = 5(1/1^2) = 5(1/1) = 5。

因此，h(1)的值为5。

4. 习题四：已知函数k(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 + x - 1，求k(-1)的值。

解答：将x替换为-1，得到k(-1) = (-1)^4 + 2(-1)^3 - 3(-1)^2 + (-1) - 1 = 1 - 2 - 3 - 1 - 1 = -5。

因此，k(-1)的值为-5。

5. 习题五：已知函数m(x) = (1/2)x^2 - 3x + 2，求m(3)的值。

解答：将x替换为3，得到m(3) = (1/2)(3)^2 - 3(3) + 2 = (1/2)(9) - 9 + 2 = 4.5 - 9 + 2 = -2.5。

因此，m(3)的值为-2.5。

通过以上习题，我们可以看到幂函数的计算方法。

对于给定的函数，我们只需将自变量替换为相应的值，然后按照幂函数的定义进行计算即可。

在实际应用中，幂函数常常用于描述各种变化规律，如物体的增长、衰减等。

除了计算习题，我们还可以通过绘制幂函数的图像来更好地理解其特点。

下面是几个常见的幂函数图像：1. 当b>0时，函数f(x) = ax^b的图像呈现出从左下方向右上方递增的趋势。

幂函数练习题及答案幂函数是数学中常见的一类函数，其形式为 f(x) = a^x，其中 a 为常数且a ≠ 0。

幂函数在数学中有广泛的应用，涉及到各个领域的问题。

本文将通过一些幂函数的练习题及其答案，来帮助读者更好地理解和掌握幂函数的性质和运算。

1. 练习题一：简单的幂函数求值计算以下幂函数在给定点上的函数值：(a) f(x) = 2^x，当 x = 3；(b) g(x) = (-3)^x，当 x = -2；(c) h(x) = 0.5^x，当 x = 4。

答案：(a) f(3) = 2^3 = 8；(b) g(-2) = (-3)^(-2) = 1/((-3)^2) = 1/9；(c) h(4) = 0.5^4 = 1/2^4 = 1/16。

这些计算可以通过将给定的 x 值代入幂函数的定义中进行求解。

注意负指数的处理方式。

2. 练习题二：幂函数的图像与性质研究以下幂函数的图像，并回答相应问题：(a) f(x) = 2^x；(b) g(x) = (-2)^x；(c) h(x) = 3^x。

答案：(a) f(x) = 2^x 的图像是一条递增曲线，穿过点 (0, 1)。

当 x 取负值时，函数值逐渐趋近于 0，当 x 取正值时，函数值逐渐增大。

(b) g(x) = (-2)^x 的图像是一条交替变化的曲线。

当 x 为偶数时，函数值为正，当 x 为奇数时，函数值为负。

(c) h(x) = 3^x 的图像是一条递增曲线，穿过点 (0, 1)。

函数值随 x 的增大而迅速增大。

通过观察这些幂函数的图像，我们可以发现幂函数的一些共同性质，如递增或递减性、穿过点 (0, 1)、趋近于 0 等。

3. 练习题三：幂函数的运算计算以下幂函数的运算结果：(a) f(x) = 2^x * 2^3；(b) g(x) = (2^x)^3；(c) h(x) = 2^(x+3)。

答案：(a) f(x) = 2^x * 2^3 = 2^(x+3)；(b) g(x) = (2^x)^3 = 2^(3x)；(c) h(x) = 2^(x+3) = 2^x * 2^3。

幂函数练习题及答案一、选择题1. 幂函数\( f(x) = x^a \)中，当\( a \)为负数时，函数的图像在哪个象限？A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：D2. 幂函数\( y = x^{-1} \)的图像是：A. 一条直线B. 一条曲线C. 两条曲线D. 无法确定答案：C3. 下列哪个幂函数在\( x = 0 \)处有定义？A. \( y = x^{-1} \)B. \( y = x^{-2} \)C. \( y = x^{1/2} \)D. \( y = x^2 \)答案：D二、填空题4. 幂函数\( y = x^n \)的图像，当\( n \)为奇数时，关于____对称。

答案：y轴5. 幂函数\( y = x^3 \)的图像在\( x = 0 \)处的切线斜率为____。

答案：0三、解答题6. 已知幂函数\( f(x) = x^a \)，当\( x = 2 \)时，\( f(x) = 4 \)，求\( a \)的值。

解：根据题意，\( f(2) = 2^a = 4 \)，由于\( 2^2 = 4 \)，所以\( a = 2 \)。

7. 幂函数\( y = x^n \)的图像在第一象限内，且在\( x = 1 \)处的导数为2，求\( n \)的值。

解：由于幂函数的导数为\( y' = n \cdot x^{n-1} \)，将\( x = 1 \)代入得\( y' = n \)。

由题意知\( n = 2 \)。

四、计算题8. 求幂函数\( y = x^3 - 3x^2 + 2 \)在\( x = 2 \)处的值。

解：将\( x = 2 \)代入幂函数得\( y = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2= 8 - 12 + 2 = -2 \)。

9. 已知幂函数\( y = x^a \)在\( x = 1 \)处的值为1，求\( a \)的值。

练习：1.在第一象限内，函数y ＝x 2(x ≥0)与y ＝x 12的图象关于________对称．解析：∵y ＝x 2，x ≥0与y ＝x 12互为反函数，∴两函数图象关于y ＝x 对称．答案：直线y ＝x2.函数f (x )＝(m 2－m －5)x m －1是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是单调增函数，则m 的值为________．解析：根据幂函数的定义得：m 2－m －5＝1，解得m ＝3或m ＝－2，当m ＝3时，f (x )＝x 2在(0，＋∞)上是单调增函数； 当m ＝－2时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是单调减函数，不符合要求．故m ＝3.答案：33.函数f (x )＝(1－x )0＋(1－x )12的定义域为________． 解析：由题意，1－x ≠0且1－x ≥0，所以x ＜1. 答案：(－∞，1)4.如图，曲线C 1与C 2分别是函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则m ，n 与0的大小关系是________．解析：由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m ＜0，n ＜0.取x ＝2，则有2m ＞2n ，故n ＜m ＜0.答案：n ＜m ＜05.函数f (x )＝x 1m 2＋m ＋1(m ∈N ＋)为________函数． (填“奇”，“偶”，“奇且偶”，“非奇非偶”)解析：∵m ∈N ＋，∴m 2＋m ＋1＝m (m ＋1)＋1为奇数， ∴f (x )为奇函数．答案：奇6.下面4个图象都是幂函数的图象，函数y ＝x －23的图象是________．解析：∵y ＝x －23为偶函数，且x ≠0，在(0，＋∞)上为减函数，故符合条件的为②.答案：②7.写出下列四个函数：①y ＝x 13；②y ＝x －13；③y ＝x －1；④y ＝x 23.其中定义域与值域相同的是________．(写出所有满足条件的函数的序号)解析：函数y ＝x 13的定义域与值域都为R ；函数y ＝x －13与y ＝x －1的定义域与值域都为(－∞，0)∪(0，＋∞)；函数y ＝x 23的定义域为R ，值域为[0，＋∞)．答案：①②③8.已知函数f (x )＝x －m ＋3(m ∈N *)是偶函数，且f (3)<f (5)，求m 的值，并确定f (x )的函数解析式．解：(1)由f (3)<f (5)，得3－m ＋3<5－m ＋3，所以(35)－m ＋3<1＝(35)0. 因为y ＝(35)x 是减函数， 所以－m ＋3>0.解得，m <3.又因为m ∈N *，所以m ＝1或2；当m ＝2时，f (x )＝x －m ＋3＝x 为奇函数，所以m ＝2舍去．当m ＝1时，f (x )＝x －m ＋3＝x 2为偶函数，所以m ＝1，此时f (x )＝x 2.9.已知函数f (x )＝x 2＋1x 2. (1)判断f (x )的奇偶性；(2)求f (x )的单调区间与最小值．解：(1)因为x ≠0，且f (－x )＝(－x )2＋1（－x ）2＝x 2＋1x 2＝f (x )， 所以f (x )是偶函数．(2)设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋1x 21－x 22－1x 22＝(x 21－x 22)＋1x 21－1x 22＝(x 21－x 22)(1－1x 21x22)． 因为0<x 1<x 2，所以x 21－x 22<0.又当0<x 1<x 2<1时，1－1x 21x 22<0，。

必修一 幂函数 练习题附答案一、选择题1．下列函数不是幂函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x －1 C ．y ＝x D ．y ＝x 2[答案] A[解析] y ＝2x 是指数函数，不是幂函数． 2．下列函数定义域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x －2B ．y ＝x12 C ．y ＝x －13D ．y ＝x－12[答案] D3．若幂函数y ＝x n ，对于给定的有理数n ，其定义域与值域相同，则此幂函数( )A ．一定是奇函数B ．一定是偶函数C ．一定不是奇函数D ．一定不是偶函数[答案] D[解析] 由y ＝x12知其定义域与值域相同，但是非奇非偶函数，故能排除A 、B ；又y ＝x 3的定义域与值域相同，是奇函数，故排除C.4．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m 2－m －2的图象不过原点，那么( )A ．－1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝1[答案] B[解析] 幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m 2－m －2中，系数m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2,1.又∵y ＝(m 2－3m ＋3)xm 2－m －2的图象不过原点，故m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，故m ＝2或1.5.函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c 的图象如图所示，则实数a 、b 、c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b[答案] A6．函数y ＝x α与y ＝αx (α∈{－1，12，2,3})的图象只可能是下面中的哪一个( )[答案] C[解析] 直线对应函数y ＝x ，曲线对应函数为y ＝x －1,1≠－1.故A错；直线对应函数为y ＝2x ，曲线对应函数为y ＝x12 ，2≠12.故B 错；直线对应函数为y ＝2x ，曲线对应函数为y ＝x 2,2＝2.故C 对；直线对应函数为y ＝－x ，曲线对应函数为y ＝x 3，－1≠3.故D 错．7．(2010·安徽文，7)设a ＝(35)25 ，b ＝(25) 35 ，c ＝(25)25，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >c >a[答案] A[解析] 对b 和c ，∵指数函数y ＝(25)x 单调递减．故(25)35 <(25)25 ，即b <c .对a 和c ，∵幂函数．y ＝x25在(0，＋∞)上单调递增，∴(35)25 >(25)25，即a >c ，∴a >c >b ，故选A.8．(2012～2013山东省临沂市临球县实验中学高一教学阶段性测试题)幂函数的图象过点(2,4)，则它的单调增区间为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，0)C ．(0，＋∞) ) D.(－∞，＋∞)[答案] C[解析] 设f (x )＝x α，代入(2,4)得x ＝2，f (x )＝x 2， ∴f (x )＝x 2在(0，＋∞)为增函数，故选C. 二、填空题9．(2012～2013湖南益阳模拟)已知幂函数y ＝f (x )过点(3，127)，则f (14)＝________.[答案] 8[解析] 设幂函数为y ＝x α，将点(3，127)代入，得127＝3α，则α＝－32，所以f (14)＝(14)－ 32＝8.10．若函数y ＝(m 2－m －1)x m 2－2m －1是幂函数 ，且是偶函数，则m ＝________.[答案] －1[解析] 由题意，知m 2－m －1＝1， 解得m ＝2，或m ＝－1.当m ＝2时，m 2－2m －1＝－1，函数为y ＝x －1，不是偶函数；当m ＝－1时，m 2－2m －1＝2，函数为y ＝x 2，是偶函数，满足题意．11．设f (x )＝(m －1)xm 2－2，如果f (x )是正比例函数，那么m ＝________；如果f (x )是反比例函数，那么m ＝________；如果f (x )是幂函数，那么m ＝________.[答案] ±3 －1 2[解析] 若f (x )是正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2＝1，m －1≠0，即m ＝±3；若f (x )是反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2＝－1，m －1≠0，即m ＝－1；若f (x )是幂函数，则m －1＝1，即m ＝2.12．(2012～2013海南中学高一测试)下列函数中，在(0,1)上单调递减，且为偶函数的是________．①y ＝x12 ；②y ＝x 4；③y ＝x －2；④y ＝－x13 .[答案] ③[解析] ①中函数y ＝x12不具有奇偶性；②中函数y ＝x 4是偶函数，但在[0，＋∞)上为增函数；③中函数y ＝x －2是偶函数，且在(0，＋∞)上为减函数；④中函数y ＝－x13是奇函数．故填③.三、解答题13．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时． (1)f (x )是正比例函数； (2)f (x )是反比例函数； (3)f (x )是二次函数；(4)f (x )是幂函数．[解析] (1)若f (x )是正比例函数，则－5m －3＝1，解得m ＝－45，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－45.(2)若f (x )是反比例函数，则－5m －3＝－1，解得m ＝－25，即m 2－m －1≠0，故m ＝－25.(3)若f (x )是二次函数，则－5m －3＝2，即m ＝－1，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－1.(4)∵f (x )是幂函数，故m 2－m －1＝1，即时m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1.14．已知函数y ＝xn 2－2n －3(n ∈Z )的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y 轴对称，求n 的值，并画出函数的图象．[解析] 因为图象与y 轴无公共点，所以n 2－2n －3≤0，又图象关于y 轴对称，则n 2－2n －3为偶数，由n 2－2n －3≤0得，－1≤n ≤3，又n ∈Z .∴n ＝0，±1,2,3当n ＝0或n ＝2时，y ＝x －3为奇函数，其图象不关于y 轴对称，不适合题意．当n ＝－1或n ＝3时，有y ＝x 0，其图象如图A.当n＝1时，y＝x－4，其图象如图B. ∴n的取值集合为{－1,1,3}．15．已知f(x)＝x －n2＋2n＋3(n＝2k，k∈Z)的图象在[0，＋∞)上单调递增，解不等式f(x2－x)>f(x＋3)．[解析]依题意，得－n2＋2n＋3>0，解得－1<n<3.又∵n＝2k，k∈Z，∴n＝0或2.当n＝0或2时，f(x)＝x3，∴f(x)在R上单调递增，∴f(x2－x)>f(x＋3)可转化为x2－x>x＋3.解得x<－1或x>3，∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．16．(2012～2013温州联考)已知幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．(1)求函数f(x)的解析式；(2)设函数g(x)＝f(x)＋2x＋c，若g(x)>2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．[解析](1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，作出函数y＝m2－2m－3的图象(图略)观察图象知－1<m<3.又m∈Z，∴m＝0,1,2，而m＝0,2时，f(x)＝x3不是偶函数，m＝1时，f(x)＝x4是偶函数．∴f(x)＝x4.(2)由(1)知f(x)＝x4，则g(x)＝x2＋2x＋c＝(x＋1)2＋(c－1)．∵g(x)>2对任意的x∈R恒成立，∴g(x)min>2，且x∈R，则c－1>2，解得c>3.故实数c的取值范围是(3，＋∞)．。

[基础巩固]1．函数f (x )＝x 3的图象( )A ．关于直线y ＝x 对称B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于y 轴对称解析 ∵f (x )＝x 3是奇函数，∴f (x )的图象关于原点对称．答案 C2．若幂函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，14，则f ⎝⎛⎭⎫12等于( ) A ．4B ．2C ．12D ．14解析 设f (x )＝x α，则14＝2α，∴α＝－2. ∴f (x )＝x －2.∴f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12－2＝22＝4.答案 A3．(多选)已知幂函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫27，13，则幂函数f (x )具有的性质是( ) A ．在其定义域上为增函数B ．在(0，＋∞)上单调递减C ．奇函数D ．定义域为R解析 设幂函数f (x )＝x α(α为常数)，因为幂函数图象过点⎝⎛⎭⎫27，13，所以由f (x )的性质知，定义域为{x ∈R ，x ≠0}，f (x )是奇函数，在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递减．答案 BC4．下列幂函数中是奇函数且在(0，＋∞)上单调递增的是________(填序号)．①y ＝x 2；②y ＝x ；③y ＝x 12；④y ＝x 3；⑤y ＝x －1. 解析 由奇偶性的定义知y ＝x 2为偶函数，y ＝x 12 ＝x 既不是奇函数也不是偶函数．由幂函数的单调性知y ＝x－1在(0，＋∞)上单调递减，易知②④满足题意． 答案 ②④5．幂函数y ＝x－1在[－4，－2]上的最小值为________． 解析 ∵y ＝x －1在(－∞，0)上单调递减，∴y ＝x －1在[－4，－2]上递减，∴y ＝x －1在[－4，－2]上的最小值是－12. 答案 －126．比较下列各题中两个幂的值的大小：解析 (1)∵y ＝x 12为[0，＋∞)上的增函数，又1.1>0.9，∴1.112 >0.912 .[能力提升]7．如图所示，曲线C 1与C 2分别是函数y ＝x m 和y ＝x n 在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )A ．n <m <0B ．m <n <0C ．n >m >0D ．m >n >0解析 由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m <0，n <0.由曲线C 1，C 2的图象可知n <m .答案 A8．函数为幂函数，则该函数为________(填序号)．①奇函数；②偶函数；③增函数；④减函数．解析 由为幂函数，得m －1＝1，即m ＝2，则该函数为y ＝x 2，故该函数为偶函数，在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．答案 ②9．若(3－2m )12 >(m ＋1)12 ，则实数m 的取值范围为____________ .解析 考查幂函数y ＝x 12 ，因为y ＝x 12 在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2m ≥0，m ＋1≥0，3－2m >m ＋1，解得－1≤m ＜23. 故m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－1，23. 答案 ⎣⎡⎭⎫－1，23 10．已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数是减函数，求满足的a 的取值范围． 解析 ∵函数y ＝x 3m －9在(0，＋∞)上单调递减，∴3m －9<0，解得m <3.又m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数图象关于y 轴对称，∴3m －9为偶数．故m ＝1.∴a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a或a ＋1<0<3－2a .解得23<a <32或a <－1. 故a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫23，32∪(－∞，－1)．[探索创新]11．已知幂函数在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k .(1)求m 的值；(2)当x ∈[1,2]时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，若A ∪B ＝A ，求实数k 的取值范围．解析 (1)依题意，得(m －1)2＝1，解得m ＝0或m ＝2.当m ＝2时，f (x )＝x －2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m ＝0.(2)由(1)可知f (x )＝x 2，当x ∈[1,2]时，f (x )，g (x )单调递增，∴A ＝[1,4]，B ＝[2－k,4－k ]．∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－k ≥1，4－k ≤4，∴0≤k ≤1. ∴实数k 的取值范围是[0,1]．。