小学奥数：轴对称类全等

师：老师这里有两个三角形，我们从直观上来看这两个三角形，觉得是怎么样的？ 生：回答师：那两个三角形相等，都要具备哪些条件呢？ 生：回答师：我们刚刚已经猜测了好几种条件，那么我们一起来看一看有哪些比较合适。

一、认识三角形1、定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

“三角形”可以用符号“Δ”表示。

2、三角形内角和定理： 三角形的三个内角和等于180度。

3、三角形外角的定义： 三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

三角形的外角性质：（1）三角形的外角和为360°。

（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

（3）三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角。

4、三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边。

5、 等腰三角形：有两边相等的三角形叫做等腰三角形、等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。

等腰直角三角形：两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形。

6、三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。

三角形的三条中线交于一点。

这个点是三角形的重心。

全等三角形及图形轴对称7、三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线。

三角形的三条角平分线交于一点。

8、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形的高线，简称三角形的高。

三角形三条高所在直线交于一点。

9、锐角三角形的三条高都在三角形的内部，并且交于同一点。

直角三角形有一条高在三角形内部，其余两条高是它的两条直角边，三条高交于直角顶点。

钝角三角形的三条高不相交，有一条高在三角形内部，其余两条高在三角形外部，三条高所在直线交于一点。

10、三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=1/2×底×高。

与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB =，这种对称的图形应用得也较为普遍，AB OPPOB A A BOP【例1】 已知点M 是四边形ABCD 的BC 边的中点，且120AMD ∠=︒,证明：12AB BC CD AD ++≥.AB CDM【巩固】设M 是凸四边形ABCD 的边BC 的中点，135AMD ∠=︒，求证：AB CD AD +≥. M DCB A【例2】 如图所示，已知在ABC ∆中，6AB =，3AC =，120BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线交BC 于D ，求AD之长．例题精讲轴对称类全等问题CBAD【巩固】如图所示，在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，M 是BC 的中点，M E AD ⊥且交AC 的延长线于E ，12CE CD =，求证2ACB B ∠=∠．EMDCBA【例3】 如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是BC 边上的高，点P 在ABD ∆内部，求证：APB APC ∠>∠.P DCBA【巩固】在ABC ∆中，AB AC =，60120A ︒<∠<︒，P 为ABC ∆内部一点，PC AC =，120PCA A ∠=︒-∠，求CBP ∠的度数.PCBA【例4】 如图所示，在ABC ∆中，A ∠的平分线交BC 于点D ，已知2BD DC AD ⋅=，且45ADB ∠=︒，求ABC∆的各个内角．AB CD【巩固】如图所示，P 为ABC ∆边BC 上的一点，且2PC PB =，已知45ABC ∠=︒，60APC ∠=︒，试求ACB ∠的度数.。

轴对称——角平分线、线段垂直平分线引言：学习轴对称，不仅是简单的为了会做轴对称图形、找出哪些是轴对称图形、利用轴对称构造最短距离等问题，而是要体会轴对称与全等密不可分的关系，初中证明题少不了全等和相似，因此，利用轴对称图形的特点，来补出某条线，是构造轴对称的重要辅助线，更是构造全等的好方法.一、基础知识1.线段垂直平分线：经过线段中点，并垂直于这条线段的直线是这条线段的垂直平分线（中垂线）三角形三条垂直平分线交于一点，到三角形三个顶点距离相等2.轴对称性质：（1）全等轴对称⇒；（可见利用构造轴对称，是构造全等的一个重要方法）（2）点连线段的垂直平分线对称轴是任何一对对应轴对称⇒3.线段垂直平分线、角平分线所构造出来的都是对称全等，提示了我们遇到角分线和中垂线如何做辅助线来构造出对称全等.（1）线段垂直平分线性质定理：判定定理：联系：对称点连线段被对称轴垂直平分——垂直平分性质——边等——全等——角等（2）角平分线性质定理：判定定理：三角形三条角平分线交于一点，到三角形三边距离相等几何模型辅助线口诀模型1角分线+平行线等腰三角形必呈现模型2角分线，垂两边对称全等必呈现模型3角分线，截一边对称全等必呈现模型4角分线+垂线对称全等必呈现延长一边全等现pNOMCMONC PpNOMCNOMCP1.在△ABC 中，点O 是BC 、AC 的中垂线交点，OB=5，AB=8，求△AOB 周长2.如图，BC 的垂直平分线交AB 于点D ，若∠A=40°，且∠2=2∠1，则∠B= ，∠ACB=3.如图，D 是AB 边上的中点，将△ABC 沿过D 的直线折叠，使点A 落在BC 上F 处，若∠B=50°，则∠BDF=______4.如图Rt △ABC 中，∠C=90°沿过点B 的一条直线将△ABC 折叠，使点C 恰好落在AB 边中点处，则∠A=5.如图，Rt △ABC 的斜边AB 中点E ，ED ⊥AB 交BC 于D ，且∠CAD ：∠BAD=1:7，则∠BAC 的度数是6.已知：如图，90BAC ∠=︒，AB AC =,BD 平分ABC ∠，CE BD ⊥，垂足为E.求证：2BD CE =.7.如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，△ABD 的周长为13，AC=9，求△ABC 的周长.8.如图，OP 是∠AOB 的平分线，OM 是∠AOP 的平分线，PN ⊥OA 交OA 于N ，交OM 于M ，MN 与MP 的大小关系 9.若∠MON=45°，其内部有一点P ，P 关于OM 的对称点是A ，关于ON 的对称点是B ，且OP=2,则AOB S ∆= 10.如图，△ABC 中，∠BAC=126°，DE 、FG 分别是AB 、AC 的垂直平分线，则∠EAG=11.如图△ABC 中AB=AC ，D 是AB 中点，且DE ⊥AB ，已知△BCE 的周长为8，AC-BC=2，求AB= ,BC=12.如图，△ABC 中，D 为BC 中点，DE ⊥DF ，求证：BE+CF>EF13.如图，AD 为△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD.求证：（1）∠EAD=∠EDA ；（2）DF ∥AC ；（3）∠EAC=∠B14.在⊿ABC 中，点O 是AC 边上一动点，过点O 作直线MN ∥BC ，与∠ACB 的角平分线交于点E ，与∠ACB 的外角 平分线交于点F ，求证：OE=OF15.如图，∠ACB=∠ADB=90°，AC=AD ，P 为AB 上任一点.求证：CP=DP16.如图，MN 是BC 边上的垂直平分线，射线AD 交MN 于点M ，交BC 于点D ，连接BM 若∠BAM=∠CAM ，求证：∠BAM+∠BMN=90°17.如图，△ABD 和△CBD 关于直线BD 对称(点A 的对称点是点C)，点E 在BC 的延长线上，且点D 恰好在线段CE的垂直平分线上，连接AE 交BD 于点F,交CD 于点G ．求证：∠EAD=∠ABDGF A BDMN F EDCBA18.（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B=60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交 于点F 。

全等三角形知识点归纳一、定义：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形，重合的顶点叫做对应点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．二、性质：（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等；（3）全等三角形的对应边上的高相等；（4）全等三角形的对应角的平分线相等；（5）全等三角形的对应边的中线相等；（6）全等三角形的周长相等；（7）全等三角形的面积相等．三、判定公理及推论：1、三组边分别相等的两个三角形全等（简称“SSS”或“边边边”)；2、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简称“SAS”或“边角边”)；3、两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（简称“ASA”或“角边角”)；4、两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简称“AAS”或“角角边”)；5、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简称“HL”或“斜边，直角边”)；注：A是英文角的缩写（angle），S是英文边的缩写（side）．四、角平分线的定义：（1）角的平分线定义：如果以角的顶点为端点的射线把这个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的角平分线．（2）三角形的角平分线的定义：三角形的一个内角的平分线与它的对边相交，连接这个角的顶点和交点之间的线段叫三角形的角平分线．五、角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．六、角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．七、尺规作一个角的角平分线：（1）要点：三段弧；（2）依据：SSS．轴对称知识点归纳一、轴对称图形的定义：如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．二、轴对称的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．三、轴对称的性质：1、成轴对称的两个图形一定全等；2、如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．四、轴对称与轴对称图形的区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．五、线段的垂直平分线：（1）定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．（2）性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；（3）判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．六、轴对称作图：（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．七、用坐标表示轴对称：（1）点P（a，b）关于x轴对称的点的坐标是（a，－b）；（2）点P（a，b）关于y轴对称的点的坐标是（－a，b）；（3）点P（a，b）关于原点对称的点的坐标是（－a，－b）．八、关于坐标轴夹角平分线对称：（1）点P（a，b）关于一、三象限夹角平分线对称的点的坐标是（b，a）；（2）点P（a，b）关于二、四象限夹角平分线对称的点的坐标是（－b，－a）．九、关于平行于坐标轴的直线对称：（3）点P（a，b）关于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－a，b）；（4）点P（a，b）关于直线y＝n对称的点的坐标是（a，2n－b）．十、等腰三角形：有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．十一、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．十二、等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称为“等角对等边”．十二、等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．十三、等边三角形的性质：（1）边：三条边都相等；（2）角：三个角都相等，并且都等于60；（3）对称性：它是轴对称图形，有三条对称轴．十四、等边三角形的判定方法：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。

数学轴对称的性质知识点总结和重难点精析一、知识梳理1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

2.轴对称的性质(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形;(2)如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线;(3)两个关于某直线对称的图形在对应线段或延长线上相交时，交点在对称轴上;(4)对应线段平行(或或在同一直线上)且相等。

3.轴对称的应用：(1)解决与轴对称相关的问题，关键是找到对称轴，然后根据轴对称的性质，找到对称点或对称线段。

(2)确定两个点关于某直线对称的问题，可以以其中一点为对称点，连接对称轴，再找到另一个点的对应点即可。

二、重难点精析1.轴对称的性质是难点，需要灵活运用。

在学习的过程中，可以通过做大量的例题来加深对轴对称性质的理解。

2.解决与轴对称相关的问题时，找到对称轴是关键。

可以通过画图的方式，来找到对称轴，然后根据对称轴的性质解决问题。

3.对于两个点关于某直线对称的问题，可以通过以其中一点为对称点，连接对称轴，再找到另一个点的对应点来解决。

三、例题解析例1：已知A、B两点关于直线m对称，A、B两点间的距离为5cm，AB与直线m的交点为C，AC的长度为2.5cm。

求：(1)B点在A 点的什么位置?(2)B点到直线m的距离为多少?解：(1)因为A、B两点关于直线m对称，所以B点在A点的对称位置，且AB与直线m的交点为C，AC的长度为2.5cm。

因为A、B 两点间的距离为5cm，所以BC的长度也为2.5cm，因此B点在A点的正上方或正下方2.5cm处。

(2)因为B、A两点关于直线m对称，所以BC的长度等于AC的长度，即2.5cm。

因此B点到直线m的距离为2.5cm。

例2：在三角形ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm。

求三角形ABC 的面积。

解：过A点作AD垂直于BC于D点，因为AB=AC=10cm，所以BD=CD=4cm。

第七讲 全等与轴对称（一）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.这时我们就说这个图形关于这条直线（或轴）对称. 如下图，ABC ∆是轴对称图形.两个图形轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.如下图，ABC ∆与'''A B C ∆关于直线l 对称，l 叫做对称轴.A 和'A ,B 和'B ，C 和'C 是对称点.轴对称图形和两个图形轴对称的区别和联系：轴对称图形 两个图形轴对称区别图形的个数 1个图形 2个图形 对称轴的条数 一条或多条只有1条联系二者都的关于对称轴对称的 对称轴的性质：对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段.即：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.如图，直线l 经过线段AB 的中点O ，并且垂直于线段AB ，则直线l 就是线段AB 的垂直平分线.线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 如图，点P 是线段AB 垂直平分线上的点，则PA PB =.线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 成轴对称的两个图形的对称轴的画法：如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴. 成轴对称的两个图形的主要性质： ①成轴对称的两个图形全等②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点连线的垂直平分线 轴对称变换的方法应用：轴对称变换是通过作图形关于一直线的对称图形的手段，把图形中的某一图形对称地移动到一个新的位置上，使图形中的分散条件和结论有机地联系起来．常用的辅助线有角平分线条件时的各种辅助线，本质上都是对称变换的思想．轴对称变换应用时有下面两种情况：⑴图形中有轴对称图形条件时，可考虑用此变换； ⑵图形中有垂线条件时，可考虑用此变换．一 轴对称与轴对称图形的认识【例 1】 下列“QQ 表情”中属于轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【巩固】（10年广东省）下列图形中是轴对称图形的是 （ ）【巩固】（10苏州）下列图形中，轴对称图形．．．．．的是【例 2】 （10湖南株洲）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【巩固】（2010泸州）下列各种图形不是轴对称图形的是（）【巩固】（2010吉林）下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由．答：图形__________；理由是__________．【巩固】⑴（10湖南株洲）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．⑵（10山东烟台）下列交通标志中，不是轴对称图形的是（）⑶（10年广东省）下列图形中是轴对称图形的是（）【例3】如图，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称.【例4】(10黑龙江哈尔滨)下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）【巩固】（2010北京）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等腰三角形 B．等腰梯形C．正方形 D．平行四边形【巩固】（2010天津）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）【例5】（2010四川）我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，下列我国四大银行的商标图案中是轴对称图形而不是中心对称图形的是（）【例6】（2010北京市海淀区）羊年话“羊”字象征着美好和吉祥，•下列图案都与“羊”字有关，其中是轴对称图形的个数是（）A．1； B．2； B．3； D．4【巩固】⑴(10山东省青岛市）下列图形中，轴对称图形的个数是（）A．1B．2C．3D．4⑵如图所示的图案是我国几家银行标志，其中轴对称图形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【例7】（上海）正六边形是轴对称图形，它有条对称轴．【巩固】（2010河北省）下列图案中，有且只有三条对称轴的是（）【巩固】判断下列图形（图）是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼【巩固】⑴（10苏州）下列图形中，轴对称图形．．．．．的是⑵下列图形中对称轴最多的是（）A．圆B．正方形C．等腰三角形D．线段【例8】作出下图所示的图形的对称轴：【巩固】作出下图所示的成轴对称图形的对称轴：【例 9】 求作线段AB 的垂直平分线BA【例10】 已知：如图，ABC ∠及两点M 、N 。

全等三⾓形、轴对称复习专题全等三⾓形、轴对称复习专题（⼀）知识要点1.全等三⾓形的概念：能够完全重合的两个三⾓形叫做全等三⾓形。

理解：①全等三⾓形形状与⼤⼩完全相等，与位置⽆关；②⼀个三⾓形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形；③三⾓形全等不因位置发⽣变化⽽改变。

2.全等三⾓形有哪些性质（1）全等三⾓形的对应边相等、对应⾓相等。

（理解：①长边对长边，短边对短边；最⼤⾓对最⼤⾓，最⼩⾓对最⼩⾓；②对应⾓的对边为对应边，对应边对的⾓为对应⾓）。

（2）全等三⾓形的周长相等、⾯积相等。

（3）全等三⾓形的对应边上的对应中线、⾓平分线、⾼线分别相等。

3.⾓的平分线：从⼀个⾓的顶点得出⼀条射线把这个⾓分成两个相等的⾓，称这条射线为这个⾓的平分线。

性质：⾓的平分线上的点到⾓的两边的距离相等。

判定：⾓的内部到⾓的两边的距离相等的点在⾓的平分线上。

4.全等三⾓形找法（运动法寻找）翻折法：找到中⼼线经此翻折后能互相重合的两个三⾓形，易发现其对应元素旋转法：两个三⾓形绕某⼀定点旋转⼀定⾓度能够重合时，易于找到对应元素平移法：将两个三⾓形沿某⼀直线推移能重合时也可找到对应元素5.全等三⾓形的判定（证明⽅法）边边边：三边对应相等的两个三⾓形全等（可简写成“SSS”)边⾓边：两边和它们的夹⾓对应相等两个三⾓形全等（可简写成“SAS”）⾓边⾓:两⾓和它们的夹边对应相等的两个三⾓形全等（可简写成“ASA”)⾓⾓边:两⾓和其中⼀⾓的对边对应相等的两个三⾓形全等（可简写成“AAS”)斜边.直⾓边：斜边和⼀条直⾓边对应相等的两个直⾓三⾓形全等（可简写成“HL”)⼩贴⼠：学习全等三⾓形应注意以下⼏个问题：（1）要正确区分“对应边”与“对边”，“对应⾓”与“对⾓”的不同含义；（2）表⽰两个三⾓形全等时，表⽰对应顶点的字母要写在对应的位置上；（3）“有三个⾓对应相等”或“有两边及其中⼀边的对⾓对应相等”的两个三⾓形不⼀定全等；（4）时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共⾓” 、“公共边”、“对顶⾓”（5）截长补短法证三⾓形全等。

专题一：全等三角形一、全等三角形1、定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形；③三角形全等不因位置发生变化而改变。

2、全等三角形性质（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。

①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。

从一个角的顶点得出一条射线把这个角分成两个相等的角，称这条射线为这个角的平分线。

性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

三、学习全等三角形应注意以下几个问题：1、要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；2、表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”题型：边角边证明三角形全等1.如图(1)，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，则__________≌__________．2.如图（2），已知AB=BE，BC=BD，∠1=∠2，那么图中≌，AC= ，∠ABC= .题型：角角边证明三角形全等1．如图（3），若∠1=∠2，∠C=∠D，则△ADB≌__________，理由__________．2．如图（4），AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，交BD于P，则PD_____PE （填“<”或“>”或“=”）．题型：角边角证明三角形全等1．如图（4），∠C=∠E，∠1=∠2，AC=AE，则△ABD按边分是__________三角形．2．已知EF是AB上的两点，AE=BF，AC∥BD，且AC=DB，求证：CF=DE．题型：边边边证明三角形全等1．如图，△ABC中，AB=AC，现利用证三角形全等证明∠B=∠C，若证三角形全等所用的公理是SSS公理，则图中所添加的辅助线AD应是____________________________．题型：HL 定理证明三角形全等已知：点 A 、C 、B 、D 在同一条直线，AC=BD ，∠M=∠N=90°，AM=CN ，求证： MB ∥ND题型：角平分线的应用1、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，BC=10cm ，BD=6cm ，则点D 到AB 的距离为________.2、如上图，BD=CD ，BF ⊥AC ，CE ⊥AB ，求证：点D 在∠BAC 的平分线上.3、如图，在∠AOB 的两边OA ，OB 上分别取OM=ON ，OD=OE ，DN 和EM 相交于点C ． 求证：点C 在∠AOB 的平分线上．ABDCEOM N题型：根据三角形全等求边长，面积，角的大小1、已知△ABC ≌△DEF ，△DEF 的周长为32 cm ，DE=9 cm ，EF=12 cm. 则AB=____________，BC=____________，AC=____________．2、一个三角形的三边为2、5、x ，另一个三角形的三边为y 、2、6，若这两个三角形全等，则x+y=__________．3、在△ABC 中，AB=AC ，∠A=︒80，将△ABC 绕点B 旋转，使点A 落在BC 上，点C 落在点C ’，那么C BC '∠的大小是________________.4、 如图所示，若△ABE ≌△ACF ，且AB ＝5，AE ＝2，则EC 的长为（ ）A.2B.3C.5D.2.5课后练习1、如图示，在△ABC 中，AM 是中线，AD 是高线．（1）若AB 比AC 长5 cm ，则△ABM 的周长比△ACM 的周长多__________ cm ． （2）若△AMC 的面积为10 cm 2，则△ABC 的面积为__________cm 2． （3）若AD 又是△AMC 的角平分线，∠AMB =130°，求∠ACB 的度数．2、已知如图，B 是CE 的中点，AD =BC ，AB =D C ．DE 交AB 于F 点求证：（1）AD ∥BC （2）AF =BF ．3、如下图，在△ABC 中，AB =AC ，DE 是过点A 的直线，BD ⊥DE 于D ，CE ⊥DE 于E ． 若BC在DE 的同侧（如图①）CE BD DE +=且AD =CE ，求证：BA ⊥A C ．FECBA第5题4、已知：AO 平分∠EAD 和∠EOD.求证：① △AOE ≌△AOD ；②EB=DC5、如图所示，在下列条件中，不能作为判断△ABD ≌△BAC 的条件是； ( ) A. ∠D ＝∠C ，∠BAD ＝∠ABC B ．∠BAD ＝∠ABC ，∠ABD ＝∠BAC C ．BD ＝AC ，∠BAD ＝∠ABCD ．AD ＝BC ，BD ＝AC6、（2007年成都）已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G 。

与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB =，这种对称的图形应用得也较为普遍，AB OPPOB A ABOP【例1】 已知点M 是四边形ABCD 的BC 边的中点，且120AMD ∠=︒,证明：12AB BC CD AD ++≥.AB CDM【巩固】设M 是凸四边形ABCD 的边BC 的中点，135AMD ∠=︒，求证：2AB CD AD +≥. M DCB A【例2】 如图所示，已知在ABC ∆中，6AB =，3AC =，120BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线交BC 于D ，求AD例题精讲之长．CBAD【巩固】如图所示，在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，M 是BC 的中点，M E AD ⊥且交AC 的延长线于E ，12CE CD =，求证2ACB B ∠=∠．EMDCBA【例3】 如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是BC 边上的高，点P 在ABD ∆内部，求证：APB APC ∠>∠.P DCBA【巩固】在ABC ∆中，AB AC =，60120A ︒<∠<︒，P 为ABC ∆内部一点，PC AC =，120PCA A ∠=︒-∠，求CBP ∠的度数.PCBA【例4】 如图所示，在ABC ∆中，A ∠的平分线交BC 于点D ，已知2BD DC AD ⋅=，且45ADB ∠=︒，求ABC∆的各个内角．AB CD【巩固】如图所示，P 为ABC ∆边BC 上的一点，且2PC PB =，已知45ABC ∠=︒，60APC ∠=︒，试求ACB ∠的度数.CP B A【例5】 如图所示，在四边形ABCD 中，30AB =，48AD =，14BC =，40CD =，90ABD BDC ∠+∠=︒，求四边形ABCD 的面积.48401430AB CD【例6】 如图所示，在ABC ∆中，2ACB ABC ∠=∠，P 为三角形内一点，AP AC =，PB PC =，求证：3BAC BAP ∠=∠.PCBA【例7】 如图所示，在四边形ABCD 中，BC CD =，60BCA ACD ∠-∠=︒，求证：AD CD AB +≥.DCB A【例8】 在等腰ABC ∆中，AB AC =，顶角20A ∠=︒，在边AB 上取点D ，使AD BC =，求BDC ∠.DCB A【巩固】如图所示，在ABC ∆中，AC BC =，20C ∠=︒，又M 在AC 上，N 在BC 上，且满足50BAN ∠=︒，60ABM ∠=︒，求NMB ∠.NMCBA【例9】 如图所示，在四边形ABCD 中，12DAC ∠=︒，36CAB ∠=︒，48ABD ∠=︒，24DBC ∠=︒，求ACD∠的度数.DCBA【例10】 在正ABC ∆内取一点D ，使DA DB =，在ABC ∆外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠.DECBA【例11】 在ABC ∆内取一点M ，使得M BA ∠=30︒，10MAB ∠=︒.设80ACB ∠=︒，AC BC =，求AMC ∠.MCBA【例12】 如图所示，在ABC ∆中，44BAC BCA ∠=∠=︒，M 为ABC ∆内一点，使得30MCA ∠=︒，16MAC ∠=︒，求BMC ∠的度数.MCAB1.如图所示，在四边形ABCD中，AB CD∥，AC BD⊥，求证：(1) AD BC AB CD+≥+；(2) AD BC AB CD⋅≥⋅.D CBA2.在凸四边形ABCD中，105ADB ABC∠=∠=︒,75CBD∠=︒.如果15AB CD==厘米，求四边形ABCD的面积.A B CD3.在四边形ABCD中，已知AB AC=，60ABD∠=︒，76ADB∠=︒，28BDC∠=︒，求DBC∠的度数.CDBA课后作业。

基本图形分析法：轴对称型全等三角形的经典例题详细分析今天的这道全等三角形经典例题，对于学过了全等三角形的同学来说都非常容易。

关于本章的轴对称型，本题也例举了此方法来进行分析证明。

例3 如图5-3，已知：△ABC中，AB=AC，D、E是BC上的两点，AD=AE。

求证：BD=CE。

图5-3分析：在本题要证的结论BD=CE中，我们可以发现这两条相等线段是位于等腰三角形的轴对称部分，所以可应用轴对称型全等三角形进行证明。

现在图形中在轴对称的位置上出现的全等三角形有两对，即（1）△ABD和△ACE，（2）△ABE和△ACD。

所以应用哪一对全等三角形进行证明就出现了两种可能。

（1）由于要证明相等的线段BD、CE可以看作是△ABD和△ACE的一组对应边，所以可首先考虑证明△ABD和△ACE全等，由条件AB=AC、AD=AE，且由于这是出现在等腰三角形中的轴对称型全等三角形，所以可应用等腰三角形的性质进行证明，那么由AB=AC，可得∠B=∠C，但这时出现的是两边和其中一边的对角对应相等，仍然不能证明这两个三角形全等。

所以还要另外证明一个性质，由条件AD=AE，应用等腰三角形的性质可得∠ADE=∠AED，而由B、D、E 和D、E、C成一直线，就可证明∠ADB=∠AEC，这样就可证明△ABD≌△ACE。

（2）如果应用△ABE和△ACD这一对全等三角形进行证明，那么可由AB=AC，AD=AE，应用等腰三角形的性质可得∠B=∠C，∠AEB=∠ADC，从而就可证明△ABE≌△ACD，BE=CD，然后在这两条相等线段中，将它们的公共部分DE减去，即可证得BD=CE。

由于本题要证明相等的线段BD和CE是位于一个等腰三角形的轴对称部分，所以可添加轴对称型的全等三角形进行证明。

由于图形中现在没有对称轴，于是可先将对称轴添上，也就是过A作AF⊥BC，垂足是F（如图5-4），那么由AD=AE，AF=AF和∠AFD=∠AFE=90°，就可证明△ADF≌△AEF，DF=EF。

小学四年级奥数测试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列哪个数字是偶数？A. 3B. 4C. 5D. 62. 一个正方形的四条边长相等，那么它的周长是边长的多少倍？A. 1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍3. 下列哪个图形是轴对称图形？A. 长方形B. 三角形C. 梯形D. 圆形4. 下列哪个数是质数？A. 12B. 17C. 20D. 215. 一个数加上它自己的结果是它的几倍？A. 1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍二、判断题（每题1分，共5分）1. 1+1=3 （）2. 一个三角形的内角和是180度。

（）3. 任何偶数都能被2整除。

（）4. 1是质数。

（）5. 任何数乘以1都等于它本身。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 一个数比另一个数少3，这个数是5，另一个数是______。

2. 一个正方形的边长是4厘米，它的面积是______平方厘米。

3. 2+3+4+5+6+7+8+9+10的和是______。

4. 下列数中，最大的质数是______。

5. 下列数中，最小的偶数是______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 请写出1到10的所有质数。

2. 请解释什么是因数和倍数。

3. 请说明什么是等差数列。

4. 请解释什么是平面图形的周长和面积。

5. 请说明什么是奇数和偶数。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 小明有10个苹果，他吃掉了3个，还剩下多少个苹果？2. 一个长方形的长是8厘米，宽是4厘米，它的面积是多少平方厘米？3. 一个数加上5等于10，这个数是多少？4. 下列数中，哪个数既是偶数又是质数？A. 2B. 3C. 4D. 55. 请列出1到20的所有偶数。

六、分析题（每题5分，共10分）1. 请分析下列数列的规律，并写出下一个数。

2, 4, 8, 16, 32, __2. 请分析下列图形的规律，并画出下一个图形。

正方形, 长方形, 三角形, 圆形, __七、实践操作题（每题5分，共10分）1. 请用剪刀和纸剪出一个正方形，并计算它的周长和面积。

一.知识结构图
二.常见作图和画图
1. 作一个角等于已知角
2. 作已知角的角平分线→点到角两边的垂直距离相等
3. 作已知线段垂直平分线→点到线段两端点的距离相等
4.画已知点的对称点→最短路线（距离、周长等）
三.证线段垂直平分线的方法
1.根据定义分别证垂直和平分
2.等腰三角形三线合一
3.根据线段垂直平分线上的点的判定，证有两个点在线段的垂直平分线上
四.证角相等常用到的方法五.证线段相等常用到的方法
1.公共角 1.公共边
2.相等的角加上或减去相等的角 2. 相等的线段加上或减去相等的线段
3.对顶角相等 3.线段的中点分得的线段相等
4.角平分线分得的两个角相等 4..角平分线上的点得到线段相等
5.直角都相等 5. 线段垂直平分线上的点得到线段相等
6.平行得同位角、内错角相等 6. .等腰三角形两腰相等(等角对等边)
7.等角的余角相等、.等角的补角相等7. 等边三角形.三边相等
8.等腰三角形的两底角相等(等边对等角) 8. 全等三角形对应边相等
9. 等边三角形.三个角相等
10. .全等三角形对应角相等
11.两个三角形有两个角对应相等，得到第三个角对应相等。

轴对称与全等一、轴对称的基本概念1、轴对称图形与对称轴：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线是它的对称轴；或者说这个图形关于这条直线（成轴）对称.例1、一些常见的轴对称图形与它们的对称轴线段有条对称轴，正六边形有条对称轴，圆有条对称轴.例2、根据已有图形局部及其对称轴，补全其余部分画法：从轴对称图形上任意一点向对称轴作一条垂线，再延长与垂线相同的长度，即可得到与该点处于对称位置的点.2、两个图形的轴对称关系：把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，则称这两个图形关于这条直线对称；折叠后重合的点是对应点，称为对称点.例3、已知一个图形，画出与它关于某直线对称的另一个图形将具有轴对称关系的两个图形看作一个整体，则它是一个轴对称图形；反过来，若将一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，则这两个图形关于这条轴对称.例4、在直角坐标系中，A点的坐标是(2,3)，则A点关于x轴的对称点的坐标是，A点关于y轴的对称点的坐标是，A点关于一、三象限对角线的对称点的坐标是，A点关于二、四象限对角线的对称点的坐标是.二、轴对称的基本性质1、对称轴与对应点连线的关系：；如图：已知△ABD与△ACD关于直线AD对称，则AD与BC的关系是：2、线段和它的垂直平分线（1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离；（2）另一方面，的点，在这条线段的垂直平分线上.（3）由此，我们可以得到用直尺和圆规作给定线段的垂直平分线的方法：例5、三角形各边的垂直平分线如图，△ABC 中，边AB ,BC 的垂直平分线交于点P .（1）求证：P A ＝PB ＝PC .（2）点P 是否也在边AC 的垂直平分线上呢？由此你还能得出什么结论？三、利用轴对称解决问题例6、下图是由三个小正方形组成的一个图形，请你添加一个小正方形，使所得图形是轴对称图形. 你能想到多少种添加方式？例7、如图，有一张矩形纸片ABCD，上面画有一个角的两边m, n，但是这个角的顶点P在纸的外部，试在纸片上作出∠P的平分线.例8、设D为等腰三角形ABC底边BC的中点，E为△ABD内任一点，求证：∠AEB＞∠AEC.例9、如图，平行线a,b是一条灌溉渠道的两岸，A,B是位于渠道两旁的两个村庄，今要在渠上架一座与岸垂直的桥梁，且使得两个村庄到桥头的距离相等. 问：此桥应架在何处？*例10、如图，在△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC，垂足为D，P为AD上任意一点.求证：PB―PC＞AB―AC.。

轴对称型全等形研究（一）基本知识1.已知：如图，12,.C D AC AD ∠=∠∠=∠=求证：.【轴对称型】【图形完全】2. 如图：△ABC 中，AD C ,90︒=∠是BAC ∠的平分线，AB DE ⊥于E , 点F 在AC 上，BD =DF ，求证：CF =EB .【轴对称型】【图形完全】3.如图，已知在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2，求证：AB ＝AC ＋CD 。

【造轴对称型】【给出辅助线提示】例2图21EDC BA BEAFC DCA B D图 3FA BCD E FA B C DE图 2P N MO 图 14.如图，四边形ABCD 中，BD 平分∠ABC ，∠A 与∠C 互补.求证：AD ＝DC【造轴对称型】 5.已知：如图，在ABC ∆中，21,2∠=∠∠=∠B C .求证：CD AC AB +=【造轴对称型】6. 已知：如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AC DC ⊥，AD=BD .求证： AC AB 2=【造轴对称型】7.如图△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝108°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ， 求证：BC ＝AB ＋CD 。

【造轴对称型】8. 如图1，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图2，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B = 60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的角平分线，AD 、CE 相交于点F ．请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；（2）如图3，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【造轴对称型】9.如图1,在△ABC 中, AD 是∠BAC 的平分线,从△ABC 两顶点B 、C 分别向∠BAC 的平分线作垂线BE 和CF ,垂足分别是E 、F ,又BC 的中点为P .A B CD求证: ∠PEF =∠PFE .设计思路:融入角平分线和垂直共同构造轴对称图形.解决问题图形10. 已知,如图,△ABC 中，∠ABC=3∠C , AE 平分∠BAC, BE ⊥AE 于E .求证：AC-AB=2BE .证明: 延长BE 交AC 于点F . ∵AE 平分∠BAC∴∠1=∠2.又∵∠AEB =∠AEF = 90°,AE=AE . ∴△ABE ≌△AFE .∴AB=AF , ∠3=∠4 , BE=FE .∵∠ABC=3∠C,又∠ABC=∠3+∠5=∠4+∠5=∠C+∠5+∠C=2∠C+∠5. ∴3∠C=2∠C +∠5. ∴∠C =∠5. ∴BF=FC .∴AC- AB =AF +FC -AB =FC =BF =2BE . ∴AC -AB = 2BE.图1。

09预测考点：1. 全等三角形2. 勾股定理3. 轴对称、中心对称、平移旋转4. 等边三角形的性质5. 多边形及其内角和6. 正方形、矩形、平行四边形、菱形、梯形需掌握的基本知识点1. 三角形的三边关系定理、大边对大角、小边对小角；2. 求线段和、线段差的最小值、最大值问题；3. 勾股定理；4. 特殊直角三角形（其中一个锐角是30︒、45︒）的性质；5. 等腰三角形的性质；6. 等边三角形的性质；7. 全等三角形的判定与性质；8. 角平分线的性质就以及利用角平分线构造全等三角形； 9. 倍长中线的技巧；10. 特殊三角形（等边、等腰直角）中的旋转问题．一、三角形的三边关系【例1】 ⑴（2007年“希望杯“试题）若三角形三边的长均能使代数式2918x x -+的值为零，则此三角第3讲希望杯专题——三角形｜初二 第三讲 希望杯初赛特训班｜2形的周长是（ ）．（A ）9或18． （B ）12或15 ．（C ）9或15或18． （D ）9或12或15或18．⑵（第14届“希望杯”初试）如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离8AC =，B 到MN 的距离5BD =，4CD =，P 在直线MN 上运动，则PA PB -的最大值等于 ．【例2】 ⑴（第20届希望杯培训题）设ABC ∆的三条边的长分别为a ，b ，c ，且代数式||a b c -+与2()a b c +-的值相等，则ABC ∆的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形⑵（第19届希望杯）已知ABC ∆的三边长分别为a b c ，，，且a a b cb c b c a++=+-，则ABC ∆一定是（ ）A ．等边三角形B ．腰长为a 的等腰三角形C ．底边长为a 的等腰三角形D ．等腰直角三角形【例3】 100条线段的长度分别为1，2，3，…，99，100，从中取出一些线段，要使取出的线段中的任意三条都能构成一个三角形，问最多能取出多少条线段？二、三角形的内角和【例4】 （第20届希望杯培训题）若三角形的三个内角A ∠、B ∠、C ∠满足2A B ∠<∠和2C B ∠>∠，那么这个三角形是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．锐角三角形【例5】 （第19届希望杯）如图，I 是ABC ∆的内心，且CA AI BC +=．若80BAC ∠=︒，则ABC ∠的大小为_______，AIB ∠的大小为________．ICBA三、全等三角形及图形的变换PCDB A MN【例6】 （第20届希望杯培训题）如图7，将ABC ∆沿DE 折叠，使点A 与BC 边的中点F 重合，有下面四个结论：①EF AB ∥且12EF AB =②AF 平分DFE ∠③12ADFE S AF DE =⋅四边形 ④2BDF FEC BAC ∠+∠=∠其中，一定成立的结论有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【例7】 （第20届希望杯培训题）如图6，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点O 是正方形BCDE 对角线的交点，则BAO ∠和CAO ∠的大小关系是（ ） A ．BAO CAO ∠>∠ B ．BAO CAO ∠=∠C ．BAO CAO ∠<∠D ．无法确定的【例8】 (第16届“希望杯”2试)如图，正ABC ∆的边长为a ，D 是BC 的中点，P 是AC 边上的动点，连结PB 和PD 得到PBD ∆．求：⑴ 当点P 运动到AC 的中点时，PBD ∆的周长； ⑵ PBD ∆的周长的最小值．PC D BAPCDBA【例9】 （第20届希望杯培训题）In ABC ∆，12cm BC =， the area of the triangle is 227cm ． Then theminimum of the perimeter of the triangle is ( ) A ．35cm B ．27cm C ．(1245)cm + D ．25cm（英汉词典：minimum 最小值；perimeter 周长）四、等腰三角形及直角三角形【例10】 （第20届希望杯培训题）如图9，ABC ∆是等腰三角形，且AB AC =，图 6O B C D EA 图 9ABCDE 图 7F A BDCOE｜初二 第三讲 希望杯初赛特训班｜2BCD ∆是等腰直角三角形，90BDC ∠=︒，AE BD ⊥交BD 的延长线于E ，则AE _______DE （填“＞”、“＜”或“＝”）．【例11】 （第14届“希望杯”初试）如图，ABC ∆中，5AC BC ==，80ACB ∠=︒，O 为ABC ∆中一点，10OAB ∠=︒，30OBA ∠=︒，则线段AO 的长是 ．OCBA【例12】 ⑴ （2007年培训题）直角三角形三边长均为整数，其中一条直角边长为35，则它的周长的最大值是 ，最小值是 ．⑵ (2007年“希望杯”试题)直角三角形有一条边长为11，另外两边的长是自然数，那么它的周长等于（ ）．（A ）132． （B ）121． （C ）120． （D ）111．【例13】 （第14届“希望杯”初试）如图，在四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=︒，点E 、F 分别是对角线AC 、BD 的中点，则( )（A ）EF BD ⊥ （B ）AEF ABD ∠=∠ （C ）1()2EF AB CD =+ （D ）1()2EF AB CD =-【例14】 （第16届“希望杯”初试）如图，点D 是ABC ∆的边BC 上一点，如果2AB AD ==，4AC =， 且:2:3BD DC =，则ABC ∆是（ ）（A ）锐角三角形 （B ）直角三角形（C ）钝角三角形 （D ）锐角三角形或直角三角形【例15】 （第20届希望杯培训题）如图24，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，M 、N 是BC 边的三等分点，已知4AM =，3AN =，则BC =____________．C D B A F E C D B ANM CBA习题1. 如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，13EC AC =，13CD BC =，8BE =，6AD EC CD =+=，则ECDS ∆=_____习题2. a ，b ，c 是三角形的三边，它们满足223ac b c b abc +-=，若三角形的一个内角是120︒，那么::a b c = ．习题3. 如图，ABC ∆的边AB 长为2，AB 边上的中线CD 长为1，AC 、BC 两边之和为31+，则ABC ∆的面积为 ．习题4. （第20届希望杯培训题）一枚空对地导弹沿直线向地平面上的一个目标匀速飞去，运行方向与水平方向的夹角为30︒．地平面上离目标3km 远处有一拦截导弹，当空对地导弹飞行至拦截导弹的正上空时，拦截导弹开始出发，并成功拦截了空对地导弹．若两枚导弹的速度相等，拦截导弹也是沿直线飞行，那么两枚导弹撞击处离地面的高度等于___________km ．习题5. （第20届希望杯培训题）如图11，在ABC ∆中，10AB =，AD 是BAC∠的角平分线，作CM AD ⊥于M ，且N 是BC 的中点，连接MN ，MN 的长是2，则AC 的长是__________．习题6. 如图，等腰Rt ABC ∆的直角边长为32，从直角顶点A 作斜边BC 的垂线交BC 于D ，再从1D 作12D D AC ⊥交AC 于2D ，再从2D 作23D D BC ⊥交BC 于3D ，…，则123456789______AD D D D D D D D D ++++=，12345678910____D D D D D D D D D D ++++=习题7. （第19届希望杯）如图，ABC ∆的面积为24，点D 是边BC 中点，点E是边AB 上的一个三等分点，CE 交AD 于点F ，则AEF ∆的面积为_________．E CDBACDB A 图 1121MN AB C D D 5D 4D 3D 2D 1C BA｜初二 第三讲 希望杯初赛特训班｜2FEDCBA习题8. （第20届希望杯培训题）在直角坐标系中，以点(11)A ，、(41)B ，、(15)C ，为顶点的三角形ABC的AC 、BC 边上各有一点P 、Q ，线段PQ 将ABC 的面积分为相等的两部分，则线段PQ 的长度最大可达到_________．图 371234OP 0P Q M C BAyx54321。