2016年上海高考数学(理科)真题含解析

2016年上海高考数学（理科）真题一、解答题（本大题共有14题，满分56分）1. 设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为________________ 【答案】(2,4)【解析】131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4)2. 设32iiz +=，其中i 为虚数单位，则Im z =_________________【答案】3-【解析】i(32i)23i z =-+=-，故Im 3z =-3. 1l :210x y +-=, 2l :210x y ++=, 则12,l l 的距离为__________________【解析】d ==4. 某次体检，6位同学的身高（单位:米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是___ （米） 【答案】1.765. 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=____________【答案】2log (1)x -【解析】319a +=，故2a =，()12x f x =+∴2log (1)x y =-∴12()log (1)f x x -=-6. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为2arctan 3，则该正四棱柱的高等于____________________【答案】【解析】BD =, 123DD BD =⋅=7. 方程3sin 1cos 2x x =+在区间[0,2π]上的解为________________【答案】π5π,66x =【解析】23sin 22sin x x =-，即22sin 3sin 20x x +-=∴(2sin 1)(sin 2)0x x -+=∴1sin 2x =∴π5π,66x =8. 在2nx ⎫⎪⎭的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_______________ 【答案】112【解析】2256n =， 8n =通项88433882()(2)r rr r r rC xC x x--⋅⋅-=-⋅取2r =常数项为228(2)112C -=9. 已知ABC 的三边长为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于________________【解析】3,5,7a b c ===，2221cos 22a b c C ab +-==-∴sin C =∴2sin c R C ==10. 设0,0a b >>，若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则a b +的取值范围是_____________ 【答案】(2,)+∞【解析】由已知，1ab =，且a b ≠，∴2a b +>=11. 无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和，若对任意*n ∈N ，{2,3}n S ∈，则k 的最大值为___________ 【答案】412. 在平面直角坐标系中，已知(1,0)A , (0,1)B -, P 是曲线y BP BA ⋅的取值范围是____________【答案】[0,1【解析】设(cos ,sin )P αα, [0,π]α∈，(1,1)BA = , (cos ,sin 1)BP αα=+πcos [0,1sin 1)14BP BA ααα⋅=+++∈+13. 设,,a b ∈R , [0,2π)c ∈，若对任意实数x 都有π2sin(3)sin()3x a bx c -=+，则满足条件的有序实数组(,,)a b c 的组数为______________ 【答案】4【解析】(i)若2a =若3b =，则5π3c =； 若3b =-，则4π3c =(ii)若2a =-，若3b =-，则π3c =；若3b =，则2π3c =共4组14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A A A 的中心，1(1,0)A ，任取不同的两点,i j A A ，点P 满足0i j OP OA OA ++=，则点P 落在第一象限的概率是_______________【答案】528 【解析】285528C =二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15. 设a ∈R ，则“1a >”是“21a >”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件 【答案】A16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( ) A. 65cos ρθ=+ B. 65sin ρθ=+ C. 65cos ρθ=- D. 65sin ρθ=- 【答案】D【解析】π2θ=-时，ρ达到最大17. 已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且lim n n S S →∞=，下列条件中，使得*2()n S S n <∈N 恒成立的是( )A. 10a >, 0.60.7q <<B. 10a <, 0.70.6q -<<-C. 10a >, 0.70.8q <<D. 10a <, 0.80.7q -<<- 【答案】B【解析】1(1)1n n a q S q-=-, 11a S q =-, 11q -<<2n S S <，即1(21)0n a q -> 若10a >，则12nq >，不可能成立若10a <，则12nq <，B 成立18. 设(),(),()f x g x h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题:①若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均为增函数，则(),(),()f x g x h x 中至少有一个为增函数；②若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则(),(),()f x g x h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( )A. ①和②均为真命题B. ①和②均为假命题C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题 【答案】D【解析】①不成立，可举反例2,1)1(3,x x f x x x ≤-+>⎧=⎨⎩, 03,023,21()1,x x x x x x g x ≤-+<+⎧≥=<⎪⎨⎪⎩, 0(0)2,,x h x x x x -=≤>⎧⎨⎩②()()()()f x g x f x T g x T +=+++()()()()f x h x f x T h x T +=+++ ()()()()g x h x g x T h x T +=+++前两式作差，可得()()()()g x h x g x T h x T -=+-+ 结合第三式，可得()()g x g x T =+, ()()h x h x T =+ 也有()()f x f x T =+ ∴②正确 故选D三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19. （本题满分12分）将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧 (1) 求三棱锥111C O A B -的体积(2) 求异面直线1B C 与1AA 所成角的大小【解析】(1) 连11O B ，则 111113AO A B B π∠== ∴111O A B 为正三角形∴111O A B S =∴111111113C O A B O A B V OO S -=⋅=(2) 设点1B 在下底面圆周的射影为B ，连1BB ，则11BB AA ∥ ∴1BB C ∠为直线1B C 与1AA 所成角（或补角）111BB AA == 连,,BC BO OC113AB A B π==, 23AC π= ∴ 3BCπ=∴3BOC π∠=∴BOC 为正三角形 ∴1BC BO ==∴11tan 1BCBB C BB ∠== ∴145BB C ∠=︒∴直线1B C 与1AA 所成角大小为45︒20．（本题满分14分）有一块正方形菜地EFGH , EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。

2016上海理一、填空题（共14小题；共70分） 1. 设 x ∈R ，则不等式 ∣x −3∣<1 的解集为 ． 2. 设 z =3+2i i，其中 i 为虚数单位，则 z 的虚部等于 ．3. l 1:2x +y −1=0，l 2:2x +y +1=0，则 l 1，l 2 的距离为 ．4. 某次体检，6 位同学的身高（单位：米）分别为 1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是 （米）．5. 已知点 (3,9) 在函数 f (x )=1+a x 的图象上，则 f (x ) 的反函数 f −1(x )= ．6. 如图，在正四棱柱 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，底面 ABCD 的边长为 3，BD 1 与底面所成角的大小为 arctan 23，则该正四棱柱的高等于 ．7. 方程 3sinx =1+cos2x 在区间 [0,2π] 上的解为 ．8. 在 (√x 3−2x )n的二项式中，所有项的二项式系数之和为 256，则常数项等于 ． 9. 已知 △ABC 的三边长为 3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于 ．10. 设 a >0，b >0，若关于 x ，y 的方程组 {ax +y =1x +by =1 无解，则 a +b 的取值范围是 ．11. 无穷数列 {a n } 由 k 个不同的数组成，S n 为 {a n } 的前 n 项和，若对任意 n ∈N ∗，S n ∈{2,3}，则k 的最大值为 ．12. 在平面直角坐标系中，已知 A (1,0)，B (0,−1)，P 是曲线 y =√1−x 2 上一个动点，则 BP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 ．13. 设 a,b ∈R ，c ∈[0,2π]，若对任意实数 x 都有 2sin (3x −π3)=asin (bx +c )，则满足条件的有序实数组 (a,b,c ) 的组数为 ．14. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，O 为正八边形 A 1A 2⋯A 8 的中心，A 1(1,0)，任取不同的两点A i ，A j ，点 P 满足 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则点 P 落在第一象限的概率是 ．二、选择题（共4小题；共20分）15. 设 a ∈R ，则“a >1”是“a 2>1”的 ( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为下图的是 ( )A. ρ=6+5cosθB. ρ=6+5sinθC. ρ=6−5cosθD. ρ=6−5sinθ17. 已知无穷等比数列 {a n } 的公比为 q ，前 n 项和为 S n ，且 lim n→∞S n =S ，下列条件中，使得 2S n <S (n ∈N ∗) 恒成立的是 ( ) A. a 1>0，0.6<q <0.7 B. a 1<0，−0.7<q <−0.6 C. a 1>0，0.7<q <0.8D. a 1<0，−0.8<q <−0.718. 设 f (x )，g (x )，ℎ(x ) 是定义域为 R 的三个函数，对于命题：①若 f (x )+g (x )，f (x )+ℎ(x )，g (x )+ℎ(x ) 均为增函数，则 f (x )，g (x )，ℎ(x ) 中至少有一个为增函数；②若 f (x )+g (x )，f (x )+ℎ(x )，g (x )+ℎ(x ) 均是以 T 为周期的函数，则 f (x )，g (x )，ℎ(x ) 均是以 T 为周期的函数，下列判断正确的是 ( )A. ①和②均为真命题B. ①和②均为假命题C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题三、解答题（共5小题；共65分）19. 将边长为 1 的正方形 AA 1O 1O （及其内部）绕 OO 1 旋转一周形成圆柱，如图，AC ⏜ 长为 23π，A 1B 1⏜ 长为 π3，其中 B 1 与 C 在平面 AA 1O 1O 的同侧．（1）求三棱锥 C −O 1A 1B 1 的体积． （2）求异面直线 B 1C 与 AA 1 所成角的大小．20. 有一块正方形菜地 EFGH ，EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到 F 点或河边运走．于是，菜地分为两个区域 S 1 和 S 2，其中 S 1 中的蔬菜运到河边较近，S 2 中的蔬菜运到 F 点较近，而菜地内 S 1 和 S 2 的分界线 C 上的点到河边与到 F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点 O 为 EF 的中点，点 F 的坐标为 (1,0)，如图．（1）求菜地内的分界线 C 的方程．（2）菜农从蔬菜运量估计出 S 1 面积是 S 2 面积的两倍，由此得到 S 1 面积的“经验值”为 83．设 M是 C 上纵坐标为 1 的点，请计算以 EH 为一边，另一边过点 M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于 S 1 面积的经验值．21. 双曲线 x 2−y 2b 2=1(b >0) 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，直线 l 过 F 2 且与双曲线交于 A ，B 两点．（1）若 l 的倾斜角为 π2，△F 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程． （2）设 b =√3，若 l 的斜率存在，且 (F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求 l 的斜率．22. 已知 a ∈R ，函数 f (x )=log 2(1x +a)．（1）当 a =5 时，解不等式 f (x )>0．（2）若关于 x 的方程 f (x )−log 2[(a −4)x +2a −5]=0 的解集中恰有一个元素，求 a 的取值范围．（3）设 a >0，若对任意 t ∈[12,1]，函数 f (x ) 在区间 [t,t +1] 上的最大值和最小值的差不超过 1，求 a 的取值范围．23. 若无穷数列 {a n } 满足：只要 a p =a q (p,q ∈N ∗)，必有 a p+1=a q+1，则称 {a n } 具有性质 P ．（1）若 {a n } 具有性质 P ．且 a 1=1，a 2=2，a 4=3，a 5=2，a 6+a 7+a 8=21，求 a 3．（2）若无穷数列{b n}是等差数列，无穷数列{c n}是公比为正数的等比数列，b1=c5=1，b5=c1=81，a n=b n+c n，判断{a n}是否具有性质P，并说明理由．（3）设{b n}是无穷数列，已知a n+1=b n+sina n(n∈N∗)，求证：“对任意a1，{a n}都具有性质P”的充要条件为“{b n}是常数列”．答案第一部分1. (2,4)【解析】−1<x−3<1，即2<x<4．2. −3【解析】z=−i(3+2i)=2−3i．3. 2√55【解析】d=√22+12=2√55．4. 1.76【解析】将这6位同学的身高按照从矮到高排列为：1.69，1.72，1.75，1.77，1.78，1.80，这六个数的中位数是1.75与1.77的平均数，显然为1.76．5. log2(x−1)【解析】a3+1=9，故a=2,f(x)=1+2x．所以x=log2(y−1)，所以f−1(x)=log2(x−1)．6. 2√2【解析】BD=3√2，DD1=BD⋅23=2√2．7. x=π6,5π6【解析】3sinx=2−2sin2x，即2sin2x+3sinx−2=0．所以(2sinx−1)(sinx+2)=0，所以sinx=12，所以x=π6,5π6．8. 112【解析】2n=256，n=8．通项C8r⋅x8−r3⋅(−2x )r=C8r(−2)r⋅x8−4r3．取r=2，常数项为C82(−2)2=112．9. 7√33【解析】a=3，b=5，c=7，cosC=a 2+b2−c22ab=−12，所以sinC=√32，所以R=c2sinC =7√33．10. (2,+∞)【解析】由已知，ab=1，且a≠b，所以a+b>2√ab=2．11. 4【解析】当n=1时，a1=2或a1=3；当n≥2时，若S n=2，则S n−1=2，于是a n=0，若S n=3，则S n−1=3，于是a n=0．从而存在k∈N∗，当n≥k时，a k=0．其中数列{a n}:2,1,−1,0,0,⋯⋯满足条件，所以k max=4．12. [0,1+√2]【解析】设 P (cosα,sinα)，α∈[0,π]，BA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα,sinα+1)． BP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =cosα+sinα+1=√2sin (α+π4)+1∈[0,1+√2]． 13. 4【解析】（i ）若 a =2， 若 b =3，则 c =5π3；若 b =−3，则 c =4π3．（ii ）若 a =−2，若 b =−3，则 c =π3；若 b =3，则 c =2π3．共 4 组． 14. 528【解析】5C 82=528．第二部分 15. A【解析】a >1⇒a 2>1，a 2>1⇒a >1 或 a <−1， 所以是充分非必要条件．16. D 【解析】θ=−π2 时，ρ 达到最大． 17. B 【解析】S n =a 1(1−q n )1−q ，S =a 11−q，−1<q <1．2S n <S ，即 a 1(2q n −1)>0， 若 a 1>0，则 q n >12，不可能成立． 若 a 1<0，则 q n <12，B 成立．18. D 【解析】①不成立，可举反例．f (x )={2x,x ≤1,−x +3,x >1.g (x )={2x +3,x ≤0,−x +3,0<x <1,2x,x ≥1.ℎ(x )={−x,x ≤0,2x,x >0.② f (x )+g (x )=f (x +T )+g (x +T ) f (x )+ℎ(x )=f (x +T )+ℎ(x +T ) g (x )+ℎ(x )=g (x +T )+ℎ(x +T )前两式作差，可得 g (x )−ℎ(x )=g (x +T )−ℎ(x +T )． 结合第三式，可得 g (x )=g (x +T )，ℎ(x )=ℎ(x +T )． 也有 f (x )=f (x +T )． 所以②正确． 第三部分19. （1） 连 O 1B 1，则 A 1B 1⏜=∠A 1O 1B 1=π3， 所以 △A 1O 1B 1 为正三角形，所以 S △A 1O 1B 1=√34， 所以 V C−O 1A 1B 1=13OO 1⋅S △A 1O 1B 1=√312． （2） 设点 B 1 在下底面圆周的射影为 B ，连 BB 1，则 BB 1∥AA 1， 所以 ∠BB 1C 为直线 B 1C 与 AA 1 所成角（或补角）． BB 1=AA 1，连 BC ，BO ，OC ， AB ⏜=A 1B 1⏜=π3，AC ⏜=2π3，所以 BC ⏜=π3， 所以 ∠BOC =π3， 所以 △BOC 为正三角形， 所以 BC =BO =1， 所以 tan∠BB 1C =BC BB 1=1，所以 ∠BB 1C =45∘，所以直线 B 1C 与 AA 1 所成角大小为 45∘．20. （1） 设分界线上任一点为 (x,y )，依题意 ∣x +1∣=√(x −1)2+y 2， 可得 y =2√x (0≤x ≤1)． （2） 设 M (x 0,y 0)，则 y 0=1， 所以 x 0=y 024=14．所以设所表述的矩形面积为 S 3，则 S 3=2×(14+1)=52．设五边形 EOMGH 面积为 S 4，则 S 4=S 3−S △OMP +S △MGQ =52−12×14×1+12×34×1=114，S 1−S 3=83−52=16，S 4−S 1=114−83=112<16．所以五边形 EOMGH 的面积更接近 S 1 的面积． 21. （1） 由已知 F 1(−√b 2+1,0)，F 2(√b 2+1,0)， 取 x =√b 2+1，得 y =b 2，∣F 1F 2∣=√3∣∣F 2A∣∣． 因为 ∣F 1F 2∣=2√b 2+1，∣F 2A∣∣=b 2， 所以 2√b 2+1=√3b 2，即 3b 4−4b 2−4=(3b 2+2)(b 2−2)=0， 所以 b =√2，所以渐近线方程为 y =±√2x ． （2） 若 b =√3，则双曲线为 x 2−y 23=1，所以 F 1(−2,0)，F 2(2,0),设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则 F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+2,y 1)，F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+2,y 1)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−x 1,y 2−y 1) 所以 F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+x 2+4,y 1+y 2)， (F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 22−x 12+4(x 2−x 1)+y 22−y 12(∗)． 因为 x 12−y 123=x 22−y 223=1，所以 y 22−y 12=3(x 22−x 12)．所以代入 (∗) 式，可得 4(x 22−x 12)+4(x 2−x 1)=0．直线 l 的斜率存在，故 x 1≠x 2， 所以 x 1+x 2=−1．设直线 l 为 y =k (x −2)，代入 3x 2−y 2=3， 得 (3−k 2)x 2+4k 2x −(4k 2+3)=0，所以 3−k 2≠0，且 Δ=16k 4+4(3−k 2)(4k 2+3)=36(k 2+1)>0 x 1+x 2=−4k 23−k 2=−1， 所以 k 2=35， 所以 k =±√155， 所以直线 l 的斜率为 ±√155． 22. （1） log 2(1x +5)>0⇔1x +5>1⇔4x+1x>0⇔x (4x +1)>0，所以不等式的解为 {x ∣ x >0或x <−14}．（2） 依题意，log 2(1x+a)=log 2[(a −4)x +2a −5]，所以 1x +a =(a −4)x +2a −5，① 可得 (a −4)x 2+(a −5)x −1=0， 即 (x +1)[(a −4)x −1]=0，②当 a =4 时，方程②的解为 x =−1，代入①式，成立． 当 a =3 时，方程②的解为 x =−1，代入①式，成立． 当 a ≠3 且 a ≠4 时，方程②的解为 x =−1,1a−4．若 x =−1 为方程①的解，则 1x +a =a −1>0，即 a >0． 若 x =1a−4为方程①的解，则 1x+a =2a −4>0，即 a >2．要使得方程①有且仅有一个解，则 1<a ≤2．综上，若原方程的解集有且只有一个元素，则 a 的取值范围为 1<a ≤2 或 a =3 或 a =4． （3） 在 f (x ) 在区间 [t,t +1] 上单调递减． 依题意，f (t )−f (t +1)≤1， 即 log 2(1t +a)−log 2(1t+1+a)≤1，所以 1t+a ≤2(1t+1+a)，即 a ≥1t−2t+1=1−tt (t+1)． 设 1−t =r ，则 r ∈[0,12]， 1−t t (t+1)=r(1−r )(2−r )=rr 2−3r+2． 当 r =0 时，rr 2−3r+2=0． 当 0<r ≤12 时，rr 2−3r+2=1r+2r−3．因为函数 y =x +2x在 (0,√2) 递减， 所以 r +2r ≥12+4=92， 所以1r+2r−3≤192−3=23，所以 a 的取值范围为 a ≥23． 23. （1） a 2=a 5=2， 所以 a 3=a 6， 所以 a 4=a 7=3， 所以 a 5=a 8=2，所以 a 6=21−a 7−a 8=16， 所以 a 3=16．（2） 设 {b n } 的公比为 d ，{c n } 的公差为 q ，则 q >0． b 5−b 1=4d ， 所以 d =20， 所以 b n =20n −19， 所以 c5c 1=q 4=181，所以 q =13， 所以 c n =(13)n−5，所以 a n =b n +c n =20n −19+(13)n−5．因为 a 1=82，a 5=82，而 a 2=21+27=48，a 6=101+13=3043，a 1=a 5，但 a 2≠a 6，故 {a n } 不具有性质 P ．（3） 充分性：若 {b n } 为常数列，设 b n =C ， 则 a n+1=C +sina n 若存在 p ，q 使得 a p =a q ，则 a p+1=C +sina p =C +sina q =a q+1 ， 故 {a n } 具有性质 P ．必要性：若对任意 a 1，{a n }，具有性质 P ， 则 a 2=b 1+sina 1．设函数 f (x )=x −b 1，g (x )=sinx ，由 f (x )，g (x ) 图象可得，对任意的 b 1，二者图象必有一个交点，所以一定能找到一个a1，使得a1−b1=sina1，所以a2=b1+sina1=a1，所以a n=a n+1，故b n+1=a n+2−sina n+1=a n+1−sina n=b n，所以{b n}是常数列．。

2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试上海 数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________2、设iiZ 23+=，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________ 3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）5、已知点(3,9)在函数xa x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x fx f 的反函数6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为32arctan ，则该正四棱柱的高等于____________7、方程3sin 1cos2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________8、在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________9、已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________ 10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则b a +的取值范围是____________11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为.12.在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ⋅的取值范围是.13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=⎪⎭⎫⎝⎛-sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为.14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A 的中心，()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P落在第一象限的概率是.二、选择题（5×4=20）15.设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 16.下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（ ） （A ）θρcos 56+= （B ）θρin s 56+= （C ）θρcos 56-= （D ）θρin s 56-=17.已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞→lim .下列条件中，使得()*∈<N n S S n 2恒成立的是（ ）（A ）7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-<q a （C ）8.07.0,01<<>q a （D ）7.08.0,01-<<-<q a18、设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题，②为假命题D 、①为假命题，②为真命题三、解答题（74分）19.将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧。

2016年上海市高考（理科）数学真题及答案(word版）2016年上海市高考（理科）数学真题及答案(word版）2016年上海市高考（理科）数学真题及答案和解析 ,,则3（a+bi)+a-bi＝1+i4a=1且2b=Z【考点定位】复数相等，共轭复数3、若线性方程组的增广矩阵为、解为，则．【答案】16【解析】由题意得：c1=2x+3y=2x3+3x5=21,c2=0.x+y=5,c1-c2=21-5=16【考点定位】线性方程组的增广矩阵4、若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为，则a＝_____ ．【答案】4【解析】【考点定位】正三棱柱的体积5、抛物线（）上的动点到焦点的距离的最小值为1，则p=_________ ．【答案】2【解析】因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，【考点定位】抛物线定义6、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2 ，则其母线与轴的夹角的大小为_____ ．【答案】【解析】由题意得：母线与轴的夹角为【考点定位】圆锥轴截面7、方程的解为____________ ．【答案】2【考点定位】解指对数不等式8、在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为___________（结果用数值表示）．【答案】120【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：【考点定位】排列组合9、已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为，则C2的渐近线方程为【答案】【考点定位】双曲线渐近线10、设为，的反函数，则的最大值为．【答案】【解析】由题意得：在上单调递增，值域为，所以在上单调递增，因此在上单调递增，其最大值为【考点定位】反函数性质11、在的展开式中，项的系数为（结果用数值表示）．【答案】【考点定位】二项展开式12、赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有，，，，的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量和分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则（元）．【答案】该试题及答案加解析（Word版）完整。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理科数学一．填空题：本大题共14小题，每小题4分，共计56分。

1．设R x ∈，则不等式1|3|<-x 的解集为_____________。

2．设()i z 23+=，其中i 为虚数单位，则=z Im _____________。

3．直线1l ：012=-+y x ，2l ：012=++y x ，则21,l l 的距离为_____________。

4．某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为77.1,69.1,80.1,75.1,78.1,72.1，则这组数据的中位数是_____________（米）。

5．已知点()9,3在函数()x a x f +=1的图像上，则()x f 的反函数()=-x f1_____________。

6．如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为2arctan3，则该正四棱柱的高等于_____________。

7．方程x x 2cos 1sin 3+=在区间[]π2,0上的解为_____________。

8．在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_______。

9．已知ABC ∆的三边长为7,5,3，则该三角形的外接圆半径等于_____________。

10．设0,0>>b a ，若关于y x ,的方程组⎩⎨⎧=+=+11by x y ax 无解，则b a +的取值范围是_____________。

11．无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和，若对任意+∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为_____________。

12．在平面直角坐标系中，已知()0,1A ，()1,0-B ，P 是曲线21x y -=上一个动点，则BP BA ⋅的取值范围是_____________。

2016年上海高考数学（理科）试卷一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1．计算：ii+-13= （i 为虚数单位）. 2．若集合}012|{>+=x x A ，}21|{<-=x x B ，则B A = .3．函数1sin cos 2)(-=xx x f 的值域是 .4．若)1,2(-=是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.5．在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于 .6．有一列正方体，棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为V 1,V 2,…,V n ,…，则=+++∞→)(lim 21n n V V V .7．已知函数||)(a x ex f -=（a 为常数）.若)(x f 在区间[1,+∞)上是增函数，则a 的取值范围是 .8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为 . 9．已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f .若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g . 10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6πα=.若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则=)(θf .11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）. 12．在平行四边形ABCD 中，∠A=3π, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD ||||CD CN BC BM =，则⋅的取值范围是 . 13．已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ，若中A (0,0)，B (21,5)，C (1,0).函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为 .14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC=2.若AD=2c ，且AB+BD=AC+CD=2a ，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 15．若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（ ）（A ）3,2==c b . （B ）3,2=-=c b . （C ）1,2-=-=c b .（D ）1,2-==c b . 16．在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（ ）（A ）锐角三角形. （B ）直角三角形. （C ）钝角三角形. （D ）不能确定.17．设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x . 随机变量1ξ取值1x 、2x 、3x 、4x 、5x 的概率均为0.2，随机变量2ξ取值221x x +、232x x +、243x x +、254x x +、215x x +的概率也为0.2.若记1ξD 、2ξD 分别为1ξ、2ξ的方差，则（ ）（A ）1ξD ＞2ξD . （B ）1ξD ＝2ξD . （C ）1ξD ＜2ξD . （D ）1ξD 与2ξD 的大小关系与1x 、2x 、3x 、4x 的取值有关.18．设251sin πn n n a =，n na a a S +++= 21. 在10021,,,S S S 中，正数的个数是 （ ） （A ）25. （B ）50. （C ）75.（D ）100. 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形， P A ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.已知AB=2， AD=22，P A=2.求：（1）三角形PCD 的面积；（6分）（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小.（6分）20．已知函数)1lg()(+=x x f .（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（6分）（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.（8分）ABCDABCPE21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴 正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海 里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7.（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（822．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:221=-y x C .（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成 的三角形的面积；（4分）（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证： OP ⊥OQ ；（6分）（3）设椭圆14:222=+y x C . 若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且OM ⊥ON ， 求证：O 到直线MN 的距离是定值.（6分）23．对于数集},,,,1{21n x x x X -=，其中n x x x <<<< 210，2≥n ，定义向量集},),,(|{X t X s t s a a Y ∈∈==. 若对于任意Y a ∈1，存在Y a ∈2，使得021=⋅a a ，则称X具有性质P . 例如}2,1,1{-=X 具有性质P .（1）若x ＞2，且},2,1,1{x -，求x 的值；（4分）（2）若X 具有性质P ，求证：1∈X ，且当x n ＞1时，x 1=1；（6分）（3）若X 具有性质P ，且x 1=1，x 2=q （q 为常数），求有穷数列n x x x ,,,21 的通 项公式.（8分）2016年上海高考数学（理科）试卷解答一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1．计算：ii+-13= 1-2i （i 为虚数单位）.2．若集合}012|{>+=x x A ，}21|{<-=x x B ，则B A =)3,(21- . 3．函数1sin cos 2)(-=xx x f 的值域是],[2325-- .4．若)1,2(-=n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 arctan2 （结果用反三角函数值表示）. 5．在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于 -160 .6．有一列正方体，棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为V 1,V 2,…,V n ,…，则=+++∞→)(lim 21n n V V V 78 .7．已知函数||)(a x ex f -=（a 为常数）.若)(x f 在区间[1,+∞)上是增函数，则a 的取值范围是 (-∞, 1] .8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为π33 .9．已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f .若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g -1 .10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l6πα=.若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则=)(θf )sin(16θπ- . 11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是32（结果用最简分数表示）. 12．在平行四边形ABCD 中，∠A=3π, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD ||||CD CN BC BM =，则⋅的取值范围是 [2, 5] . 13．已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ，若中A (0,0)，B (21,5)，C (1,0).函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为45. 14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC=2.若AD=2c ，且AB+BD=AC+CD=2a ，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是12232--c a c . 二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 15．若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则 （ B ） （A ）3,2==c b . （B ）3,2=-=c b . （C ）1,2-=-=c b .（D ）1,2-==c b .16．在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是 （ C ） （A ）锐角三角形. （B ）直角三角形. （C ）钝角三角形. （D ）不能确定.ABCD17．设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x . 随机变量1ξ取值1x 、2x 、3x 、4x 、5x 的概率均为0.2，随机变量2ξ取值221x x +、232x x +、243x x +、254x x +、215x x +的概率也为0.2.若记1ξD 、2ξD 分别为1ξ、2ξ的方差，则（ A ）（A ）1ξD ＞2ξD . （B ）1ξD ＝2ξD . （C ）1ξD ＜2ξD . （D ）1ξD 与2ξD 的大小关系与1x 、2x 、3x 、4x 的取值有关.18．设251sin πn n n a =，n na a a S +++= 21. 在10021,,,S S S 中，正数的个数是 （ D ） （A ）25. （B ）50. （C ）75. （D ）100.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形， P A ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.已知AB=2， AD=22，P A=2.求： （1）三角形PCD 的面积；（6分）（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小.（6分） [解]（1）因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD ，又AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面P AD ， 从而CD ⊥PD . ……3分 因为PD=32)22(222=+，CD =2，所以三角形PCD 的面积为3232221=⨯⨯. （2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系， 则B (2, 0, 0)，C (2, 22,0)，E (1, 2, 1)，)1,2,1(=AE ，)0,22,0(=BC . ……8 设AE 与的夹角为θ，则222224||||cos ===⨯⋅BC AE BC AE θ，θ=4π. 由此可知，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π ……12分 [解法二]取PB 中点F ，连接EF 、AF ，则 EF ∥BC ，从而∠AEF （或其补角）是异面直线 BC 与AE 所成的角 ……8分在AEF ∆中，由EF =2、AF =2、AE =2知AEF ∆是等腰直角三角形， 所以∠AEF =4π.因此异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π ……12分20．已知函数)1lg()(+=x x f .（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（6分）（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.（8分）[解]（1）由⎩⎨⎧>+>-01022x x ，得11<<-x .由1lg )1lg()22lg(0122<=+--<+-x x x x 得101122<<+-x x . ……3分因为01>+x ，所以1010221+<-<+x x x ，3132<<-x .由⎩⎨⎧<<-<<-313211x x 得3132<<-x . ……6分 （2）当x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==. ……10分AB CD PE yAB CDP EF由单调性可得]2lg ,0[∈y .因为y x 103-=，所以所求反函数是xy 103-=，]2lg ,0[∈x . ……14分21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴 正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海 里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救 援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为.（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8[解]（1）5.0=t 时，P 的横坐标x P =277=t ，代入抛物线方程y =中，得P 的纵坐标y P =3. 由|AP |=2949，得救援船速度的大小为949海里/时. ……4分由tan ∠OAP =30712327=+，得∠OAP =arctan 307，故救援船速度的方向为北偏东arctan 307弧度. ……6分（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t . 由222)1212()7(++=t t vt ，整理得337)(1442122++=t t v .……10分 因为2212≥+t t ，当且仅当t =1时等号成立，所以22253372144=+⨯≥v ，即25≥v .因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分 22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:221=-y x C .（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成 的三角形的面积；（4分） （2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证： OP ⊥OQ ；（6分） （3）设椭圆14:222=+y x C . 若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且OM ⊥ON ， 求证：O 到直线MN 的距离是定值.（6分） [解]（1）双曲线1:21212=-y C x ，左顶点)0,(22-A ，渐近线方程：x y 2±=.过点A 与渐近线x y 2=平行的直线方程为)(222+=x y ，即12+=x y .解方程组⎩⎨⎧+=-=122x y x y ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=2142y x . ……2分所以所求三角形的面积1为8221||||==y OA S . ……4分（2）设直线PQ 的方程是b x y +=.因直线与已知圆相切，故12||=b ，即22=b . ……6分由⎩⎨⎧=-+=1222y x b x y ，得01222=---b bx x . 设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则⎩⎨⎧--==+1222121b x x bx x . 又2，所以221212121)(2b x x b x x y y x x OQ OP +++=+=⋅022)1(2222=-=+⋅+--=b b b b b ，故OP ⊥OQ . ……10分（3）当直线ON 垂直于x 轴时， |ON |=1，|OM |=22，则O 到直线MN 的距离为33.当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为kx y =（显然22||>k ），则直线OM 的方程为x y k1-=. 由⎩⎨⎧=+=1422y x kx y ，得⎪⎩⎪⎨⎧==++22242412k k k y x ，所以22412||k k ON ++=.同理121222||-+=k k OM . ……13分 设O 到直线MN 的距离为d ，因为22222||||)|||(|ON OM d ON OM =+， 所以3133||1||1122222==+=++k k ON OM d ，即d =33.综上，O 到直线MN 的距离是定值. ……16分 23．对于数集},,,,1{21n x x x X -=，其中n x x x <<<< 210，2≥n ，定义向量集},),,(|{X t X s t s Y ∈∈==. 若对于任意Y a ∈1，存在Y a ∈2，使得021=⋅a a ，则称X 具有性质P . 例如}2,1,1{-=X 具有性质P . （1）若x ＞2，且},2,1,1{x -，求x 的值；（4分）（2）若X 具有性质P ，求证：1∈X ，且当x n ＞1时，x 1=1；（6分） （3）若X 具有性质P ，且x 1=1，x 2=q （q 为常数），求有穷数列n x x x ,,,21 的通 项公式.（8分）[解]（1）选取)2,(1x a =，Y 中与1a 垂直的元素必有形式),1(b -. ……2分 所以x =2b ，从而x =4. ……4分 （2）证明：取Y x x a ∈=),(111.设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a .由0)(1=+x t s 得0=+t s ，所以s 、t 异号.因为-1是X 中唯一的负数，所以s 、t 中之一为-1，另一为1，故1∈X . ……7分 假设1=k x ，其中n k <<1，则n x x <<<101.选取Y x x a n ∈=),(11，并设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a ，即01=+n tx sx ， 则s 、t 异号，从而s 、t 之中恰有一个为-1. 若s =-1，则2，矛盾；若t =-1，则n n x s sx x ≤<=1，矛盾.所以x 1=1. ……10分（3）[解法一]猜测1-=i i q x ，i =1, 2, …, n . ……12分记},,,1,1{2k k x x A -=，k =2, 3, …, n . 先证明：若1+k A 具有性质P ，则k A 也具有性质P.任取),(1t s a =，s 、t ∈k A .当s 、t 中出现-1时，显然有2a 满足021=⋅a a ； 当1-≠s 且1-≠t 时，s 、t ≥1.因为1+k A 具有性质P ，所以有),(112t s a =，1s 、1t ∈1+k A ，使得021=⋅a a ，从而1s 和1t 中有一个是-1，不妨设1s =-1.假设1t ∈1+k A 且1t ∉k A ，则11+=k x t .由0),1(),(1=-⋅+k x t s ，得11++≥=k k x tx s ，与s ∈k A 矛盾.所以1t ∈k A .从而k A 也具有性质P. ……15分现用数学归纳法证明：1-=i i q x ，i =1, 2, …, n .当n =2时，结论显然成立；假设n=k 时，},,,1,1{2k k x x A -=有性质P ，则1-=i i q x ，i =1, 2, …, k ；当n=k +1时，若},,,,1,1{121++-=k k k x x x A 有性质P ，则},,,1,1{2k k x x A -=也有性质P ，所以},,,,1,1{111+-+-=k k k x q q A .取),(11q x a k +=，并设),(2t s a =满足021=⋅a a ，即01=++qt s x k .由此可得s 与t中有且只有一个为-1.若1-=t ，则1，不可能；所以1-=s ，k k k q q q qt x =⋅≤=-+11，又11-+>k k q x ，所以kk q x =+1. 综上所述，1-=i i q x 1-=i i q x ，i =1, 2, …, n . ……18分[解法二]设),(111t s a =，),(222t s a =，则021=⋅a a 等价于2211st t s -=.记|}|||,,|{t s X t X s B ts >∈∈=，则数集X 具有性质P 当且仅当数集B 关于 原点对称. ……14分注意到-1是X 中的唯一负数，},,,{)0,(32n x x x B ---=-∞ 共有n -1个数， 所以),0(∞+ B 也只有n -1个数. 由于1221x x x x x x x x n n n n n n <<<<-- ，已有n -1个数，对以下三角数阵1221x x x x x x x x n n n n n n <<<<--113121x x x x x x n n n n n -----<<<……12x x 注意到12111x x x x x x n n >>>- ，所以12211x x x x x x n n n n ===--- ，从而数列的通项公式为111)(12--==k k x xk q x x ，k =1, 2, …, n . ……18分。

……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号 一 二 三 总分 得分注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 设a ∈R ，则“a >1”是“a 2>1”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是( )A. ρ=6+5cosθB. ρ=6+5sinθC. ρ=6−5cosθD. ρ=6−5sinθ3. 已知无穷等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，且lim n→∞S n =S ，下列条件中，使得2S n <S(n ∈N ∗)恒成立的是( )A. a 1>0，0.6<q <0.7B. a 1<0，−0.7<q <−0.6C. a 1>0，0.7<q <0.8D. a 1<0，−0.8<q <−0.74. 设f(x)、g(x)、ℎ(x)是定义域为R 的三个函数，对于命题：①f(x)+g(x)、f(x)+ℎ(x)、g(x)+ℎ(x)均为增函数，则f(x)、g(x)、ℎ(x)中至少有一个增函数；②若f(x)+g(x)、f(x)+ℎ(x)、g(x)+ℎ(x)均是以T 为周期的函数，则f(x)、g(x)、ℎ(x)均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( )A. ①和②均为真命题B. ①和②均为假命题C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共14小题，共56.0分）5. 设x ∈R ，则不等式|x −3|<1的解集为 ．6. 设z =3+2ii，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是______ ． 7. 已知平行直线l 1：2x +y −1=0，l 2：2x +y +1=0，则l 1，l 2的距离 ．8. 某次体检，6位同学的身高(单位：米)分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是 (米)．9. 已知点(3,9)在函数f(x)=1+a x 的图象上，则f(x)的反函数f −1(x)= ______ ．10. 在正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 的边长为3，BD 1与底面所成角的大小为arctan 23，则该正四棱柱的高等于______．11. 方程3sinx =1+cos2x 在区间[0,2π]上的解为 ．12. 在(√x 3−2x )n 的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于 ． 13. 已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于 ． 14. 设a >0，b >0，若关于x ，y 的方程组{ax +y =1x +by =1无解，则a +b 的取值范围为______ ．15. 无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为{a n }的前n 项和，若对任意n ∈N ∗，S n ∈{2,3}，则k 的最大值为 ．16. 在平面直角坐标系中，已知A(1,0)，B(0,−1)，P 是曲线y =√1−x 2上一个动点，则BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 ．17. 设a ，b ∈R ，c ∈[0,2π)，若对任意实数x 都有2sin (3x −π3)=asin(bx +c)，则满足条件的有序实数组(a ，b ，c)的组数为________．18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形A 1A 2…A 8的中心，A 1(1,0)，任取不同的两点A i ，A j ，点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则点P 落在第一象限的概率是______ ．……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………三、解答题（本大题共5小题，共74.0分。

2016年上海高考数学（理科）真题一、解答题（本大题共有14题，满分56分）1. 设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为________________ 【答案】(2,4)【解析】131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4)2. 设32iiz +=，其中i 为虚数单位，则Im z =_________________【答案】3-【解析】i(32i)23i z =-+=-，故Im 3z =-3. 1l :210x y +-=, 2l :210x y ++=, 则12,l l 的距离为__________________25【解析】22112521d +==+4. 某次体检，6位同学的身高（单位:米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是___ （米） 【答案】1.765. 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=____________ 【答案】2log (1)x -【解析】319a +=，故2a =，()12x f x =+∴2log (1)x y =-∴12()log (1)f x x -=-6. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为2arctan 3，则该正四棱柱的高等于____________________ 【答案】22【解析】32BD =, 12223DD BD =⋅=7. 方程3sin 1cos2x x =+在区间[0,2π]上的解为________________【答案】π5π,66x =【解析】23sin 22sin x x =-，即22sin 3sin 20x x +-=∴(2sin 1)(sin 2)0x x -+=∴1sin 2x =∴π5π,66x =8. 在2n x ⎫⎪⎭的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_______________ 【答案】112【解析】2256n =， 8n =通项88433882()(2)r rr r r rC x C x x--⋅⋅-=-⋅取2r =常数项为228(2)112C -=9. 已知的三边长为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于________________【解析】3,5,7a b c ===，2221cos 22a b c C ab +-==-∴sin C∴2sin c R C ==10. 设0,0a b >>，若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则a b +的取值范围是_____________【答案】(2,)+∞【解析】由已知，1ab =，且a b ≠，∴2a b +>11. 无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和，若对任意*n ∈N ，{2,3}n S ∈，则k 的最大值为___________ 【答案】412. 在平面直角坐标系中，已知(1,0)A , (0,1)B -, P 是曲线y =BP BA ⋅u u u r u u u r的取值范围是____________【答案】[0,12]+【解析】设(cos ,sin )P αα, [0,π]α∈，(1,1)BA =u u u r , (cos ,sin 1)BP αα=+u u u rπcos [0,12]sin 12)14BP BA ααα⋅=++=+∈++u u u r u u u r13. 设,,a b ∈R , [0,2π)c ∈，若对任意实数x 都有π2sin(3)sin()3x a bx c -=+，则满足条件的有序实数组(,,)a b c 的组数为______________ 【答案】4【解析】(i)若2a =若3b =，则5π3c =； 若3b =-，则4π3c =(ii)若2a =-，若3b =-，则π3c =；若3b =，则2π3c =共4组14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A A A L 的中心，1(1,0)A ，任取不同的两点,i j A A ，点P 满足0i j OP OA OA ++=u u u r u u u r u u u u r r，则点P 落在第一象限的概率是_______________【答案】528 【解析】285528C =二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15. 设a ∈R ，则“1a >”是“21a >”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件 【答案】A16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( ) A. 65cos ρθ=+ B. 65sin ρθ=+ C. 65cos ρθ=- D. 65sin ρθ=- 【答案】D【解析】π2θ=-时，ρ达到最大17. 已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且lim n n S S →∞=，下列条件中，使得*2()n S S n <∈N 恒成立的是( )A. 10a >, 0.60.7q <<B. 10a <, 0.70.6q -<<-C. 10a >, 0.70.8q <<D. 10a <, 0.80.7q -<<- 【答案】B【解析】1(1)1n n a q S q-=-, 11a S q =-, 11q -<<2n S S <，即1(21)0n a q -> 若10a >，则12nq >，不可能成立若10a <，则12nq <，B 成立18. 设(),(),()f x g x h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题:①若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均为增函数，则(),(),()f x g x h x 中至少有一个为增函数；②若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则(),(),()f x g x h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( )A. ①和②均为真命题B. ①和②均为假命题C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题 【答案】D【解析】①不成立，可举反例2,1)1(3,x x f x x x ≤-+>⎧=⎨⎩, 03,023,21()1,x x x x x x g x ≤-+<+⎧≥=<⎪⎨⎪⎩, 0(0)2,,x h x x x x -=≤>⎧⎨⎩②()()()()f x g x f x T g x T +=+++()()()()f x h x f x T h x T +=+++ ()()()()g x h x g x T h x T +=+++前两式作差，可得()()()()g x h x g x T h x T -=+-+ 结合第三式，可得()()g x g x T =+, ()()h x h x T =+ 也有()()f x f x T =+ ∴②正确 故选D三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19. （本题满分12分）将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，»AC 长为23π，¼11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧 (1) 求三棱锥111C O A B -的体积(2) 求异面直线1B C 与1AA 所成角的大小【解析】(1) 连11O B ，则¼111113AO A B B π∠== ∴111O A B V 为正三角形∴1113O A B S V ∴1111111133C O A B O A B V OO S -=⋅=V(2) 设点1B 在下底面圆周的射影为B ，连1BB ，则11BB AA ∥ ∴1BB C ∠为直线1B C 与1AA 所成角（或补角）111BB AA == 连,,BC BO OC»¼113AB A B π==, »23AC π= ∴»3BCπ= ∴3BOC π∠=∴BOC V 为正三角形 ∴1BC BO ==∴11tan 1BCBB C BB ∠== ∴145BB C ∠=︒∴直线1B C 与1AA 所成角大小为45︒20．（本题满分14分）有一块正方形菜地EFGH , EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。

2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试上海 数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________2、设iiZ 23+=，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________ 3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）5、已知点(3,9)在函数xa x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x fx f 的反函数6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为32arctan ，则该正四棱柱的高等于____________7、方程3sin 1cos2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ 学.科.网8、在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________9、已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则b a +的取值范围是____________11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为.12.在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ⋅的取值范围是.13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=⎪⎭⎫⎝⎛-sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为.14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A Λ的中心，()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P落在第一象限的概率是. 二、选择题（5×4=20）15.设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 16.下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（ ） （A ）θρcos 56+= （B ）θρin s 56+= （C ）θρcos 56-= （D ）θρin s 56-=17.已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞→lim .下列条件中，使得()*∈<N n S S n 2恒成立的是（ ）（A ）7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-<q a（C ）8.07.0,01<<>q a （D ）7.08.0,01-<<-<q a18、设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题，②为假命题D 、①为假命题，②为真命题 学科.网三、解答题（74分）19.将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，»AC 长为23π，¼11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧。

2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试上海 数学试卷（理工农医类）考生注意：1、 本试卷共4页，23道试题，满分150分，考试时间120分钟。

2、本考试分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分。

3、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名。

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________2、设ii Z 23+=，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________ 3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则12l l 与的距离是_______________4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）5、已知点(3,9)在函数x a x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x f x f 的反函数 6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为32arctan ，则该正四棱柱的高等于____________7、方程3sin 1cos 2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ 学.科.网 8、在n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________ 9、已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则b a +的取值范围是____________11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为___________.12.在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ⋅的取值范围是___________.13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为___________. 14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A 的中心，()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P 落在第一象限的概率是___________.二、选择题（5×4=20）15.设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件16.下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（ ）（A ）θρcos 56+= （B ）θρin s 56+=（C ）θρcos 56-= （D ）θρin s 56-= 17.已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞→l i m .下列条件中，使得()*∈<N n S S n 2恒成立的是（ ）（A ）7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-<q a（C ）8.07.0,01<<>q a （D ）7.08.0,01-<<-<q a18、设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ） A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题，②为假命题D 、①为假命题，②为真命题 学科.网三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19.（本题满分12分）将边长为1的正方形11AAOO （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAOO 的同侧。

D 1C 1 B 1A 1D CB A2016年上海卷理科数学试题逐题详解考试时间:2016年 6月 7日(星期二)15:00～17:00 一、填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果, 每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.1. 设x ÎR ,则不等式 1 3 < - x 的解集为_______. 【解析】( ) 2,4 ；由题意得 131 x -<-< ,解得24 x << .2. 设 32iiz + =,其中i 为虚数单位,则Im z = _______. 【解析】 3 - ； 32i23i iz + ==- ,Imz 3 =- .3. 已知平行直线 1 l :210 x y +-= , 2 l :210 x y ++= ,则 2 1 ,l l 的距离为________.【解析】255 ；利用两平行线间距离公式得 22 11 255 21d -- ==+ . 4. 某次体检,6位同学的身高(单位:米)分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77,则这组数据的中位数是______(米)【解析】1.76；将这6位同学的身高按照从矮到高排列为:1.69,1.72,1.75,1.77,1.78,1.80,这六个数的中位数是1.75与1.77的平均数,显然为1.76.5. 已知点( ) 3,9 在函数 ( ) 1 xf x a =+ 的图像上,则 ( ) f x 的反函数 ( ) 1fx - =___________.【解析】 ( ) 2 log 1 x - ；依题意 ( ) 339 1 f a =+ = ,解得 2 a = ,所以 ( ) 12 x f x =+ ,所以 ( ) 2 log 1 x y =- ,所以 ( ) ( ) 12 log 1 f x x - =- .6. 如图,在正四棱柱 1111 ABCD A B C D - 中,底面 ABCD 的边长为3, 1 BD 与底面所成角的大小为 2arctan 3,则该正四棱柱的高等于______. 【解析】22 ；依题意得 11 2 tan 3 DD DBD BD Ð== ,即 1 2 3 32DD = ,解得 1 22 DD = . 7. 方程3sin 1cos 2 x x =+ 在区间[ ] 0,2p 上的解为________. 【解析】 6 p或5 6 p ；依题意得 23sin 22sin x x =- ,解得 1 sin 2x = 或 2 - (舍去),所以在区间[ ] 0,2p 上的解 为 6 p或5 6p . 8. 在 3 2 nx x æö - ç÷ èø 的二项式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于_______.【解析】 112； 由题意得2256 n = ,所以 8 n = ,故 ( )( ) 848 333188 2 2 rrr r rr r T C x C x x - - + æö =-=- ç÷ èø,令 84 0 33 r -= , 所以 2 r = ,所以常数项 3 112 T = .9. 已知 ABC D 的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于_________.【解析】 733 ；利用余弦定理可求得最大边7所对应角的余弦值为 222 35712352+- =- ´´ ,所以此角的正弦值详解提供: 南海中学 钱耀周y xA 8A 7A 6A 5A 4 A 3A 2A 1 O 为3 2 ,由正弦定理得 7 2 32R = ,所以该三角形的外接圆半径 733 R = . 10.设 0,0 a b >> ,若关于 , x y 的方程组 1 1 ax y x by += ìí += î无解,则a b + 的取值范围是_________.【解析】( ) 2,+¥ ；将方程组中的(1)式化简得 1 y ax =- ,代入(2)式整理得( ) 11 ab x b -=- ,方程组无解应该满足10 ab -= 且10 b -¹ ,所以 1 ab = 且 1 b ¹ ,所以由基本不等式得 22 a b ab +>= . 11.无穷数列{ } n a 由k 个不同的数组成, n S 为{ } n a 的前n 项和.若对任意n *ÎN , { } 2,3 n S Î,则k 的最大 值为________.【解析】4；当 1 n = 时, 1 2 a = 或 1 3 a = ；当 2 n ³ 时,若 2 n S = ,则 1 2 n S - = ,于是 0 n a = ,若 3n S = ,则 1 3 n S - = ,于是 0 n a = .从而存在k *ÎN ,当n k ³ 时, 0 k a = ,其中数列{ }n a :2,1, 1 - ,0,0 ,…,满足 条件,所以 max 4 k = .12.在平面直角坐标系中,已知 ( ) 1,0 A , ( ) 0,1 B - ,P 是曲线 21 y x =- 上一个动点,则BP BA × uuu r uuu r 的取值范围是 ____ .【解析】 0,12 éù + ëû；依题意知 21 y x =- 表示以原点为圆心,半径为1的上半圆,设 ( ) cos ,sin P a a ,[ ] 0, a p Î , ( ) 1,1 BA = uuu r , ( ) cos ,sin 1 BA a a =+ uuu r ,所以BP BA × uuu r uuu r cos sin 12sin 1 4 p a a a æö =++=++ ç÷ èø ,又 [ ] 0, a p Î ,所以 4 p a +Î 5,44 p p éù êú ëû ,故 2 sin ,1 42 p a éùæö +Î- êú ç÷ èø ëû,所以 2sin 10,12 4 p a æö éù ++Î+ ç÷ ëû èø . 13.设 , a b ÎR , [ ) 0,2 c p Î ,若对任意实数x 都有 ( ) c bx a x + = ÷ øöç èæ- sin 3 3sin 2 p ,则满足条件的有序实数 组( ) c b a , , 的组数为.【解析】4；因为对于任意实数x 都有 ( ) c bx a x + = ÷ øöç èæ- sin 3 3sin 2 p ,故函数的最值相等,所以 2 a =± ；且 周期相同,所以 3 b =± .若 2 a = , 3 b = ,此时 ( ) sin 3sin 3 3 x x c p æö -=+ ç÷ èø ,故 5 2 33 c p p p =-+= ； 同理 可知满足题意的实数组共有4组( 2 a =± , 3 b =± ,当 , a b 确定时,c 唯一确定!).14.如图,在平面直角坐标系xOy 中,O 为正八边形 8 2 1 A A A L 的中心, () 0 , 1 1 A . 任取不同的两点 j i A A , ,点P 满足 i j OP OA OA ++=0uuu r uuur uuuu r ,则点P 落在第一象 限的概率是_______.【解析】 5 28；共有 2 8 28 C = 种基本事件,其中使点P 落在第一象限共有 2 3 2C + 5 = 种基本事件,故概率为 528.二、选择题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.15.设a ÎR ,则“ 1 > a ”是“ 1 2 > a ”的()A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件OxCB 1OO 1AA 1BA 1AO 1O B 1C【解析】A ； 21 a >Û 1 a <- 或 1 a > ,所以“ 1 > a ”是“ 12 > a ”的充分非必要条件. 16.下列极坐标方程中,对应的曲线为右图的是()A ． 65cos r q =+B ． 65sin r q =+C ． 65cos r q=- D ． 65sin r q=- 【解析】D ；依次取 0 q = , 2 p,p ,3 2p,结合图形可知只有 65sin r q =- 满足. 17.已知无穷等比数列{ } n a 的公比为q ,前n 项和为 n S ,且lim n n S S ®¥= .下列条件中,使得2 n S S < (n *ÎN ) 恒成立的是()A ． 1 0 a > ,0.60.7 q <<B ． 1 0 a < , 0.70.6 q -<<-C ． 1 0 a > ,0.70.8 q <<D ． 1 0 a < , 0.80.7q -<<- 【解析】B ；依题意,() 1 12111 na q a qq - <-- (01 q << )对一切正整数恒成立,当 1 0 a > 时, 1 2n q > 不恒成立, 舍去；当 1 0 a < 时, 1 2 nq < ,所以 21 2q < ,因此选B .18.设 ( ) f x 、 ( ) g x 、 ( ) h x 是定义域为R 的三个函数,对于命题:①若 ( ) ( ) f x g x + 、 ( ) ( ) f x h x + 、( ) ( ) g x h x + 均为增函数,则 ( ) f x 、 ( ) g x 、 ( ) h x 中至少有一个增函数；②若 ( ) ( ) f x g x + 、 ( ) f x + ( ) h x 、 ( ) ( ) g x h x + 均是以T 为周期的函数,则 ( ) f x 、 ( ) g x 、 ( ) h x 均是以T 为周期的函数,下列判断正确的是()A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①为真命题,②为假命题D ．①为假命题,②为真命题【解析】D ；因为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g g 2f x x f x h x x h x f x +++-+ éùéùéù ëûëûëû =,同理可得其它,在②的条件下,三个函数必为周期为T 的函数,所以②正确；增函数减增函数不一定为增函数,因此①不一定. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19.(本小题满分 14分)将边长为1的正方形 11 AA O O (及其内部)绕的 1 OO 旋转一周形成圆柱,如图, » AC 长为 23 p , ¼ 11 A B 长为 3p ,其中 1 B 与C 在平面 11 AA O O 的同侧.(Ⅰ) 求三棱锥 111 C O A B - 的体积；(Ⅱ) 求异面直线 1 B C 与 1 AA 所成的角的大小.【解析】(Ⅰ)由题意可知,圆柱的高 1 h = ,底面半径 1 r = ,由 ¼ 11 A B 的长为 3p,可知 1113A OB pÐ= ,1111111111 13sin 24O A B S O A O B A O B D =××Ð= , 11111113312C O A B O A B V S h -D =×= . (Ⅱ)设过点 1 B 的母线与下底面交于点B ,则 11 // BB AA ,所以 1 CB B Ð 或其补角为直线 1 B C 与 1 AA 所成的角.由 » AC 长为2 3 p ,可知 2 3AOC pÐ= ,S 2M HyFGE OxS 1又 111 3AOB A O B pÐ=Ð=,所以 3COB pÐ=,从而 COB D 为等边三角形,得 1 CB = ．因为 1 B B ^平面 AOC ,所以 1 B B CB ^ ,在 1 CB B D 中,因为 1 2B BC pÐ= , 1 CB = , 1 1 B B = ,所以 1 4CB B pÐ=,从而直线 1 B C 与 1 AA 所成的角的大小为4p. 20.(本小题满分 14分)有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河,收货的蔬菜可送到F 点或河边运走.于是,菜 地分为两个区域 1 S 和 2 S ,其中 1 S 中的蔬菜运到河边较近, 2 S 中的蔬菜运到F 点较近,而菜地内 1 S 和 2 S 的 分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点O 为EF 的中点,点F 的 坐标为( ) 1,0 ,如图.(Ⅰ) 求菜地内的分界线C 的方程(Ⅱ) 菜农从蔬菜运量估计出 1 S 面积是 2 S 面积的两倍,由此得到 1 S 面积的 “经验值”为 83.设M 是C 上纵坐标为1的点,请计算以EH 为一边、另一边过点M 的矩形的面积,及五边形EOMGH 的面积,并判断哪一个更接近于 1 S 面积的经验值.【解析】(Ⅰ)因为C 上的点到直线EH 与到点F 的距离相等,所以C 是以F 为焦点、以EH 为准线的抛物线在正方形EFGH 内的部分,其方程为 2 4 y x = (02 y << ). (Ⅱ)依题意,点M 的坐标为 1 ,1 4 æöç÷ èø,所求的矩形面积为 5 2 ,而所求的五边形面积为 11 4 . 矩形面积与“经验值”之差的绝对值为581236-= ,而五边形面积与“经验值”之差的绝对值为 11814312-= ,所以五边形面积更接近于 1 S 面积的“经验值”. 21.(本小题满分 14分)本题共有 2个小题,第 1 小题满分 6 分,第2 小题满分 8 分.双曲线 222 1 y x b-= ( 0 b > )的左、右焦点分别为 1 F 、 2 F ,直线l 过 2 F 且与双曲线交于A 、B 两点.(Ⅰ) 若l 的倾斜角为 2p, 1 F AB D 是等边三角形,求双曲线的渐近线方程；(Ⅱ) 设 3 b = ,若l 的斜率存在,且( )11 0 F A F B AB +×= uuu r uuu r uuu r,求l 的斜率.【解析】(Ⅰ)依题意l ^ x 轴,令x c = ,得 ( ) 2224 1 y bcb =-= ,故 24A y b = ,因为 1 F AB D 是等边三角形,所以23 c y A = ,即 () 24413 b b+= ,解得 22 b = ． 故双曲线的渐近线方程为 2 y x =± .(Ⅱ)由已知, ( ) 1 2,0 F - , ( ) 2 2,0 F ,设 ( ) 11 , A x y , ( ) 22 , B x y ,直线: l ( ) 2 y k x =- ,显然 0 k ¹ . 由 ( ) 22 1 32 y x y k x ì -= ï í ï =- î,得( ) 222234430 k x k x k --++= ,因为l 与双曲线交于两点,所以 2 30 k -¹ ,且 ( ) 23610 k D =+> ,设 AB 的中点为 ( ) 00 , M x y ,由( )11 0 F A F B AB +×= uuu r uuu r uuu r 即 10 F M AB ×= uuuu r uuu r ,知 1 F M AB ^ ,故 11 F M k k ×=- ,而2 120 2 2 23 x x k x k + == - , ( ) 00 2 6 2 3 k y k x k =-= - , 12 3 23F Mk k k = - , 所以23 1 23 k k k ×=- - ,得 23 5 k = ,故l 的斜率为 155± . 22.(本小题满分 16分)本题共有 3个小题,第 1 小题满分 4 分,第2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分.已知a ÎR ,函数 ( ) 2 1 log f x a x æö=+ ç÷ èø. (Ⅰ) 当 5 a = 时,解不等式 ( ) 0 f x > ；(Ⅱ) 若关于x 的方程 ( ) ( ) 2 log 4250 f x a x a --+-= éù ëû 的解集中恰好有一个元素,求a 的取值范 围；(Ⅲ) 设 0 a > ,若对任意 1 ,1 2 t éù Î êú ëû,函数 ( ) f x 在区间[ ] ,1 t t + 上的最大值与最小值的差不超过1,求a 的取值范围. 【解析】(Ⅰ)由 2 1 log 50 x æö+> ç÷ èø,得 1 51 x +> ,即 41 0 x x + > ,解得 1 4 x <- 或 0 x > ,所以原不等式的解集为 ( ) 1 ,0, 4 æö-¥-+¥ ç÷ èøU . (Ⅱ)依题意得 ( ) 1 425 a a x a x+=-+- ,整理得( ) ( ) 2 4510 a x a x -+--= ,当 4 a = 时, 1 x =- ,经检验,满足题意； 当 3 a = 时, 12 1 x x ==-,经检验,满足题意； 当 3 a ¹ 且 4 a ¹ 时, 1 1 4 x a =- , 2 1 x =- , 12 x x ¹ , 1x 是原方程的解当且仅当 1 10 a x+> ,即 2 a > ； 2 x 是原方程的解当且仅当210 a x +> ,即 1 a > ,于是满足题意的 ( ] 1,2 a Î ． 综上,a 的取值范围为( ] { } 1,23,4 U . (Ⅲ)当 12 0 x x << 时,12 11a a x x +>+ , 22 12 11 log log a a x x æöæö +>+ ç÷ç÷ èøèø,所以 ( ) f x 在( ) 0,+¥ 上递减. 函数 ( ) f x 在区间[ ] ,1 t t + 上的最大值与最小值分别为 ( ) f t , ( ) 1 f t + .( ) ( ) 22 11 1log log 1 1 f t f t a a t t æöæö -+=+-+£ ç÷ç÷ + èøèø 即 ( ) 2 110 at a t ++-³ ,对任意 1 ,1 2 t éùÎ êú ëû成立. 因为 0 a > ,所以函数 ( ) 211 y at a t =++- 在区间 1 ,1 2 éùêú ëû上单调递增, 1 2 t = 时, y 有最小值 31 42a - ,由 31 0 42 a -³ ,得 2 3 a ³ ,故a 的取值范围为 2 ,3 éö +¥ ÷ ê ëø. 23.(本小题满分 18分)本题共有 3个小题,第 1 小题满分 4 分,第2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分.若无穷数列{ } n a 满足:只要 p q a a = ( *, p q ÎN ),必有 11 p q a a ++ = ,则称{ }n a 具有性质P . (Ⅰ) 若{ } n a 具有性质P ,且 1245 1,2,3,2 a a a a ==== , 678 21 a a a ++= ,求 3 a ；(Ⅱ) 若无穷数列{ } n b 是等差数列,无穷数列{ }n c 是公比为正数的等比数列, 15 1 b c == , 51 81 b c == , n n n a b c =+ 判断{ }n a 是否具有性质P ,并说明理由； (Ⅲ) 设{ } n b 是无穷数列,已知 1 sin n n n a b a + =+ ( * n ÎN ).求证:“对任意 1 a ,{ }n a 都具有性质P ”的 充要条件为“{ }n b 是常数列”. 【解析】(Ⅰ)因为 52 a a = ,所以 63a a = , 74 3 a a == , 85 2 a a == ,于是 6783 32 a a a a ++=++ , 又因为 678 21 a a a ++= ,解得 3 16 a = ．(Ⅱ){ } n b 的公差为20,{ } n c 的公比为 1 3 ,所以 ( ) 12012019 n b n n =+-=- , 15 1 813 3 n n n c - - æö =×= ç÷ èø ．5 20193 n n n n a b c n - =+=-+ , 15 82 a a == ,但 2 48 a = ,6 3043a =, 26 a a ¹ ,所以{ } n a 不具有性质P . (Ⅲ)证充分性:当{ } n b 为常数列时, 11 sin n n a b a + =+ ,对任意给定的 1 a ,只要 p q a a = , 则由 11 sin sin p q b a b a +=+ ,必有 11 p q a a ++ = ,充分性得证.证必要性:用反证法证明.假设{ }n b 不是常数列,则存在 *k ÎN ,使得 12 k b b b b ==×××== ,而 1 k b b + ¹ ． 下面证明存在满足 1 sin n n n a b a + =+ 的{ } n a ,使得 121 k a a a + ==×××= ,但 21 k k a a ++ ¹ ．设 ( ) sin f x x x b =-- ,取 *m ÎN ,使得m b p > ,则 ( ) 0 f m m b p p =-> , ( ) 0 f m m b p p -=--< ,故存在c 使得 ( ) 0 f c = .取 1 a c = ,因为 1 sin n n a b a + =+ (1 n k ££ ),所以 21 sin a b c c a =+== , 依此类推,得 121 k a a a c + ==×××== ,但 2111 sin sin sin k k k k a b a b c b c ++++ =+=+¹+ ,即 21 k k a a ++ ¹ . 所以{ }n a 不具有性质P ,矛盾.必要性得证． 综上,“对任意 1 a ,{ } n a 都具有性质P ”的充要条件为“{ }n b 是常数列”.。