2001数学(江西、山西、天津卷)理科类

2001年甘肃高考理科数学真题及答案本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

第I 卷1至2页。

第II 卷3至9页。

共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷(选择题60分)注意事项：1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：三角函数的积化和差公式()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos ()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos ()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21sin sin 正棱台、圆台的侧面积公式()l c c S +'=21台侧其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长台体的体积公式()h S S S S V +'+'=31台体其中S '、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一、选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

()(1)若0cos sin >θθ，则θ在______。

(A)第一、二象限(B)第一、三象限(C)第一、四象限(D)第二、四象限()(2)过点()()1,11,1--B A 、且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是______。

(A)()()41322=++-y x (B)()()41322=-++y x (C)()()41122=-+-y x (D)()()41122=+++y x ()(3)设{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是______。

2000年全国高考数学试题(新课程/理工农医类)江西、天津卷一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分。

在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合A 和B 都是坐标平面上的点集(){}R y R x y x ∈∈,|,，映射B A f →:把集合A 中的元素()y x ,映射成集合B 中的元素()y x y x -+ ,，则在映射f 下，象()1,2的原象是 （ ）（A ）()1 ,3 （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛21 ,23 （C ）⎪⎭⎫⎝⎛-21 ,23 （D ）()3 ,1（2）在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时针方向旋转3π，所得向量对应的复数是 （ ）（A ）23 （B ）i 32- （C ）i 33- （D ）3i 3+ （3）一个长方体共一项点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体 对角线的长是 （ ）（A ）23 （B ）32 （C ）6 （D ）6 （4）设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 （ ）①()()0=⋅-⋅b a c c b a ； ②b a b a -<-③()()b a c a c b ⋅-⋅不与c 垂直 ④()()22492323b a b a b a ==-⋅+中，是真命题的有（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）②④ （5）函数x x y cos -=的部分图象是 （ ）（6）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过 800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额。

此项税某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（ ）（A ） 800~900元 （B ）900~1200元 （C ）1200~1500元 （D ）1500~2800元 （7）若1>>b a ，P=b a lg lg ⋅，Q=()b a lg lg 21+，R=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2lg b a ，则（A ）R <P <Q （B ）P <Q <R（C ）Q <P <R （D ）P <R <Q （8）右图中阴影部分的面积是（A ）32 （B ）329- （C ）332 （D ）335 （9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 （ ）（A ）ππ221+ （B ）ππ441+ （C ）ππ21+ （D ）ππ241+（10）过原点的直线与圆03422=+++x y x 相切，若切点在第三象限，则该直 线的方程是 （ ）（A ）x y 3= （B ）x y 3-= （C ）x 33 （D ）x 33- （11）过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点，若线 段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则qp 11+等于 （ ） （A ）a 2 （B ）a 21 （C ）a 4 （D ）a4 （12）如图，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为（A ）321arccos （B ）21arccos （C ）21arccos（D ）421arccos二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

2001年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)-同湖南卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项：1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3． 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：三角函数的积化和差公式()()[]βαβαβ-++=sin sin 21cos sin a ()()[]βαβαβ--+=sin sin 21sin cos a()()[]βαβαβ-++=cos cos 21cos cos a()()[]βαβαβ--+-=cos cos 21sin sin a正棱台、圆台的侧面积公式 S 台侧l c c )(21+'=其中c ′、c 分别表示上、下底面周长， l 表示斜高或母线长 台体的体积公式 V 台体h S S S S )(31+'+'=一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．若sini θcos θ＞0，则θ在 ( )A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限2．过点A (1，－1)、B (－1，1)且圆心在直线x ＋y －2 = 0上的圆的方程是( )A ．(x －3) 2＋(y ＋1) 2= 4 B ．(x ＋3) 2＋(y －1) 2= 4 C ．(x －1) 2＋(y －1) 2 = 4D ．(x ＋1) 2＋(y ＋1) 2 = 43．设｛a n ｝是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 ( ) A ．1B ．2C ．4D ．64．若定义在区间(－1，0)的函数2()log (1)a f x x =+满足()0f x >，则a 的取值范围是 ( ) A ．(210，)B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛210，C ．(21，＋∞) D ．(0，＋∞)5．极坐标方程)4sin(2πθρ+=的图形是( )6．函数y = cos x ＋1(－π≤x ≤0)的反函数是 ( )A ．y =－arc cos (x －1)(0≤x ≤2)B ．y = π－arc cos (x －1)(0≤x ≤2)C ．y = arc cos (x －1)(0≤x ≤2)D ．y = π＋arc cos (x －1)(0≤x ≤2)7． 若椭圆经过原点，且焦点为F 1 (1，0)， F 2 (3，0)，则其离心率为 ( ) A ．43 B ．32 C ．21 D ．41 8． 若0＜α＜β＜4π，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b ，则 ( ) A ．a ＜bB ．a ＞bC ．ab ＜1D ．ab ＞29． 在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若12BB AB =，则AB 1 与C 1B 所成的角的大小为( ) A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°10．设f (x )、g (x )都是单调函数，有如下四个命题：① 若f (x )单调递增，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递增； ② 若f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递增； ③ 若f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递减；④ 若f (x )单调递减，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递减． 其中，正确的命题是 ( ) A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④11． 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则 ( ) A ．P 3＞P 2＞P 1B ．P 3＞P 2 = P 1C ．P 3 = P 2＞P 1D ．P 3 = P 2 = P 112． 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为 ( ) A ．26 B ．24C ．20D ．19第Ⅱ卷(非选择题共90分)注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 13．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是 14．双曲线116922=-y x 的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上．若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为15．设｛a n ｝是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．若｛S n ｝是等差数列，则q =16．圆周上有2n 个等分点(n ＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17． (本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中，∠ABC = 90°，SA ⊥面ABCD ，SA = AB = BC = 1，21=AD ． (Ⅰ)求四棱锥S —ABCD 的体积；(Ⅱ)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值． 18． (本小题满分12分)已知复数z 1 = i (1－i ) 3．(Ⅰ)求arg z 1及1z ；(Ⅱ)当复数z 满足1z =1，求1z z -的最大值． 19． (本小题满分12分)设抛物线y 2=2px (p ＞0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明直线AC 经过原点O ． 20． (本小题满分12分)已知i ，m ，n 是正整数，且1＜i ≤m ＜n ．(Ⅰ)证明i n i i m i P m P n <；(Ⅱ)证明(1＋m ) n ＞ (1＋n ) m ． 21． (本小题满分12分)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41． (Ⅰ)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元．写出a n ，b n 的表达式；(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？22． (本小题满分14分)设f (x ) 是定义在R 上的偶函数，其图像关于直线x = 1对称．对任意x 1，x 2∈[0，21]都有f (x 1＋x 2) = f (x 1) · f (x 2)．且f (1) = a ＞0． (Ⅰ)求f (21) 及f (41)； (Ⅱ)证明f (x ) 是周期函数； (Ⅲ)记a n = f (2n ＋n21)，求()n n a ln lim ∞→．2001年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准说明：一． 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二． 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三． 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四． 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）B （2）C （3）B （4）A （5）C （6）A （7）C （8）A （9）B （10）C （11）D （12）D二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．（13）2π （14）516（15）1 （16）2n (n －1)三．解答题：（17）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力．满分12分．解：（Ⅰ）直角梯形ABCD 的面积是 M底面()43125.0121=⨯+=⋅+=AB AD BC ， ……2分 ∴ 四棱锥S —ABCD 的体积是⨯⨯=SA V 31M 底面43131⨯⨯=41=． ……4分 （Ⅱ）延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE 则SE 是所求二面角的棱． ……6分 ∵ AD ∥BC ，BC = 2AD ，∴ EA = AB = SA ，∴ SE ⊥SB ，∵ SA ⊥面ABCD ，得SEB ⊥面EBC ，EB 是交线， 又BC ⊥EB ，∴ BC ⊥面SEB ， 故SB 是CS 在面SEB 上的射影， ∴ CS ⊥SE ，所以∠BSC 是所求二面角的平面角． ……10分 ∵ 22AB SA SB +=2=，BC =1，BC ⊥SB ，∴ tan ∠BSC =22=SB BC ．即所求二面角的正切值为22． ……12分 （18）本小题考查复数基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力．满分12分．解：（Ⅰ）z 1 = i (1－i ) 3 = 2－2i ， 将z 1化为三角形式，得⎪⎭⎫ ⎝⎛+=47sin 47cos 221ππi z ，∴ 47arg 1π=z ，221=z ． ……6分 （Ⅱ）设z = cos α＋i sin α，则z －z 1 = ( cos α－2)＋(sin α＋2) i ， ()()22212sin 2cos ++-=-ααz zsin 249+=(4πα-)， ……9分当sin(4πα-) = 1时，21z z -取得最大值249+．从而得到1z z -的最大值为122+． ……12分 （19）本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．满分12分．证明一：因为抛物线y 2 =2px (p ＞0)的焦点为F (2p，0)，所以经过点F 的直线的方程可设为2pmy x +=； ……4分 代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2= 0，若记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程的两个根，所以y 1y 2 = －p 2． ……8分因为BC ∥x 轴，且点c 在准线x = －2p 上，所以点c 的坐标为（－2p，y 2），故直线CO 的斜率为111222x y y p p y k ==-=． 即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O ． ……12分证明二：如图，记x 轴与抛物线准线l 的交点为E ，过A 作AD ⊥l ，D 是垂足．则 AD ∥FE ∥BC ． ……2分连结AC ，与EF 相交于点N ，则ABBF ACCN ADEN ==，，ABAF BCNF =……6分 根据抛物线的几何性质，AD AF =，BC BF =， ……8分∴ NF ABBC AF ABBF AD EN =⋅=⋅=，即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过原点O ． ……12分 （20）本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力．满分12分．（Ⅰ）证明： 对于1＜i ≤m 有im p = m ·…·(m －i ＋1)，⋅-⋅=m m m m mp iim 1…m i m 1+-⋅， 同理 ⋅-⋅=n n n n np i in 1…n i n 1+-⋅， ……4分由于 m ＜n ，对整数k = 1，2…，i －1，有mkm n k n ->-， 所以 i im i i n mp n p >，即im i i n i p n p m >． ……6分（Ⅱ）证明由二项式定理有()inni i nC m m ∑==+01， ()i mmi i mCn n ∑==+01， ……8分由 (Ⅰ)知i n i p m ＞im i p n (1＜i ≤m ＜n ＝，而 !i p C i m im=，!i p C in in =， ……10分所以， imi i n i C n C m >(1＜i ≤m ＜n ＝． 因此，∑∑==>mi imi mi iniC n Cm 22． 又 10000==m n C n C m ，mn nC mC m n ==11，()n i m C m in i ≤<>0．∴∑∑==>mi imi ni iniC n Cm 0． 即 (1＋m )n ＞(1＋n )m ． ……12分 （21）本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分．解：（Ⅰ）第1年投入为800万元，第2年投入为800×（1－51）万元，……，第n 年投入为800×（1－51）n －1万元． 所以，n 年内的总投入为a n = 800＋800×（1－51）＋…＋800×（1－51）n －1∑=--⨯=nk k 11)511(800= 4000×[1－(54)n]； ……3分 第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×（1＋41）万元，……，第n年旅游业收入为400×（1＋41）n －1万元．所以，n 年内的旅游业总收入为b n = 400＋400×（1＋41）＋…＋400×（1＋41）n －1∑=-⨯=nk k 11)45(400= 1600×[ (54)n－1]． ……6分 （Ⅱ）设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此b n －a n ＞0，即 1600×[（45）n －1]－4000×[1－（54）n ]＞0． 化简得 5×（54）n ＋2×（54）n －7＞0， ……9分设=x （54）n ，代入上式得5x 2－7x ＋2＞0，解此不等式，得52<x ，x ＞1(舍去)． 即 （54）n ＜52，由此得 n ≥5．答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入． ……12分 （22）本小题主要考查函数的概念、图像，函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力．满分14分．（Ⅰ）解：因为对x 1，x 2∈[0，21]，都有f (x 1＋x 2) = f (x 1) · f (x 2)，所以=)(x f f (2x ) · f (2x )≥0，x ∈[0，1]． ∵ =)1(f f (2121+) = f (21) · f (21) = [f (21)]2，f (21)=f (4141+) = f (41) · f (41) = [f (41)]2． ……3分0)1(>=a f ，∴ f (21)21a =，f (41)41a =． ……6分（Ⅱ）证明：依题设y = f (x )关于直线x = 1对称， 故 f (x ) = f (1＋1－x )，11 / 11 即f (x ) = f (2－x )，x ∈R ． ……8分 又由f (x )是偶函数知f (－x ) = f (x ) ，x ∈R ，∴ f (－x ) = f (2－x ) ，x ∈R ，将上式中－x 以x 代换，得f (x ) = f (x ＋2)，x ∈R ．这表明f (x )是R 上的周期函数，且2是它的一个周期． ……10分 （Ⅲ）解：由（Ⅰ）知f (x )≥0，x ∈[0，1]．∵ f (21)= f (n ·n 21) = f (n 21＋（n －1）·n 21)= f (n 21) · f (（n －1）·n 21)= f (n 21) · f (n 21) · … ·f (n 21)= [ f (n 21)]n ，f (21) = 21a ，∴ f (n 21) = n a 21．∵ f (x )的一个周期是2，∴ f (2n ＋n 21) = f (n 21)，因此a n = n a 21，……12分 ∴ ()∞→∞→=n n n a lim ln lim (a n ln 21) = 0．……14分。

2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设12(sin cos )xy e C x C x =+(12,C C 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.(2)设222z y x r++=,则div (grad r ))2,2,1(-=_____________.(3)交换二次积分的积分次序:⎰⎰--0112),(y dx y x f dy ＝_____________.(4)设矩阵A 满足240A A E +-=,其中E 为单位矩阵,则1()A E --=_____________. (5)设随机变量X 的方差是2,则根据切比雪夫不等式有估计≤≥-}2)({X E X P_____________.二、选择题(本题共5小题,3分,满分15分.)(1)设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示,则)(x f y'=的图形为(2)设),(y x f 在点(0,0)附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f ,则 (A ) (0,0)|3z d dx dy =+.(B ) 曲面),(y x f z =在(0,0,(0,0))f 处的法向量为{3,1,1}.(C ) 曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{1,0,3}.(D ) 曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{3,0,1}.(3)设0)0(=f ,则)(x f 在x =0处可导的充要条件为(A ) 201lim (1cosh)h f h →-存在.(B )01lim(1)h h f e h →-存在. (C ) 201lim (sinh)h f h h→-存在.(D ) 01lim [(2)()]h f h f h h→-存在.(4)设1111400011110000,,1111000011110000A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则A 与B (A ) 合同且相似. (B ) 合同但不相似. (C ) 不合同但相似.(D ) 不合同且不相似.(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X 和Y 的相关系数等于(A )-1.(B ) 0.(C )12. (D ) 1.三、(本题满分6分)求dx ee xx⎰2arctan .四、(本题满分6分)设函数),(y x f z =在点(1,1)处可微,且(1,1)1f =,(1,1)|2fx∂=∂,(1,1)|3f y ∂=∂,()(,x f x ϕ=(,))f x x .求13)(=x x dxd ϕ.设)(x f =210,arctan ,0,1,x x x x x +⎧≠⎨=⎩将)(x f 展开成x 的幂级数,并求级数∑∞=--1241)1(n nn 的和.六、(本题满分7分) 计算dz y x dy x z dx z y I L)3()2()(222222-+-+-=⎰,其中L 是平面2=++z y x 与柱面1=+y x 的交线,从Z 轴正向看去,L 为逆时针方向.七、(本题满分7分)设)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且0)(≠''x f ,试证:(1)对于(1,1)-内的任一0x ≠,存在惟一的)1,0()(∈x θ,使)(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立; (2)01lim ()2x x θ→=.八、(本题满分8分)设有一高度为()h t (t 为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程)()(2)(22t h y x t h z +-=(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0.9),问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时?九、(本题满分6分)设s ααα,,,21 为线性方程组0Ax =的一个基础解系,11122t t βαα=+,21223,t t βαα=+,121s s t t βαα=+,其中21,t t 为实常数.试问21,t t 满足什么条件时,s βββ,,,21 也为0Ax =的一个基础解系.十、(本题满分8分) 已知3阶矩阵A 与三维向量x ,使得向量组2,,x Ax A x 线性无关,且满足x A Ax x A 2323-=.(1)记P =（x A Ax x 2,,）,求3阶矩阵B ,使1-=PBP A ;(2)计算行列式E A +.设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(0λ>)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p (01p <<),且中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车的人数,求:(1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率; (2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布.十二、(本题满分7分) 设总体X 服从正态分布2(,)N μσ(0σ>),从该总体中抽取简单随机样本12,X X ,,2n X (2n ≥),其样本均值为∑==ni i X n X 2121,求统计量∑=+-+=ni i n i X X X Y 12)2(的数学期望()E Y .2001年考研数学一试题答案与解析一、填空题(1)【分析】 由通解的形式可知特征方程的两个根是12,1r r i =±,从而得知特征方程为22121212()()()220r r r r r r r r r r r r --=-++=-+=.由此,所求微分方程为'''220y y y -+=.(2)【分析】 先求grad r .grad r=,,,,r r r x y z x y z r r r ∂∂∂⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬∂∂∂⎩⎭⎩⎭. 再求 div grad r=()()()x y z x r y r z r∂∂∂++∂∂∂=222222333311132()()()x y z x y z ++-+-+-=-=.于是div grad r|(1,2,2)-=(1,2,2)22|3r -=.(3)【分析】 这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为10y -≤≤时12y -≤.由此看出二次积分0211(,)ydy f x y dx --⎰⎰是二重积分的一个累次积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为0211(,)(,)yDdy f x y dx f x y dxdy --=⎰⎰⎰⎰.由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D :10,12y y x -≤≤-≤≤.见图.现可交换积分次序原式=02202111111(,)(,)(,)xyxdy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy -----=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(4)【分析】 矩阵A 的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用定义法.因为2()(2)240A E A E E A A E -+-=+-=,故()(2)2A E A E E -+=,即 2()2A EA E E +-⋅=. 按定义知11()(2)2A E A E --=+.(5)【分析】 根据切比雪夫不等式2(){()}D x P X E X εε-≥≤,于是2()1{()2}22D x P XE X -≥≤=.二、选择题(1)【分析】 当0x <时,()f x 单调增'()0f x ⇒≥,(A ),(C )不对;当0x >时,()f x :增——减——增'()f x ⇒:正——负——正,(B )不对,(D )对. 应选(D ).关于(A ),涉及可微与可偏导的关系.由(,)f x y 在(0,0)存在两个偏导数⇒(,)f x y 在(0,0)处可微.因此(A )不一定成立.关于(B )只能假设(,)f x y 在(0,0)存在偏导数(0,0)(0,0),f f x y∂∂∂∂,不保证曲面(,)z f x y =在 (0,0,(0,0))f 存在切平面.若存在时,法向量n=(0,0)(0,0)1f f x y ⎫∂∂⎧±-=±⎨⎬∂∂⎩⎭，，{3,1,-1}与{3,1,1}不共线,因而(B )不成立.关于(C ),该曲线的参数方程为,0,(,0),x t y z f t =⎧⎪=⎨⎪=⎩它在点(0,0,(0,0))f 处的切向量为'0{',0,(,0)}|{1,0,(0,0)}{1,0,3}t x dt f t f dt===. 因此,(C )成立.(3)【分析】 当(0)0f =时,'0()(0)limx f x f x →=∃00()()lim lim x x f x f x x x→+→-⇔=∃.关于(A ):220001(1cos )1cos 1()lim (1cos )lim 1cos lim1cos 2h h t f h h f t f h t h h h h t→→→+---=⋅=--, 由此可知 201lim (1cos )h f h h→-∃ ⇔ '(0)f + ∃.若()f x 在0x =可导⇒(A )成立,反之若(A )成立⇒'(0)f + ∃⇒'(0)f ∃.如()||f x x =满足(A ),但'(0)f 不∃. 关于(D ):若()f x 在0x =可导,⇒''001(2)()lim [(2)()]lim[2]2(0)(0)2h h f h f h f h f h f f h h h→→-=-=-. ⇒(D )成立.反之(D )成立0lim((2)())0h f h f h →⇒-=⇒()f x 在0x =连续,⇒()f x 在0x =可导.如21,0()0,0x x f x x +≠⎧=⎨=⎩ 满足(D ),但()f x 在0x =处不连续,因而'(0)f 也不∃.再看(C ):2220001sin (sin )sin ()lim(sin )lim lim sin h h h h h f h h h h f t f h h h h h h h t→→→----=⋅=⋅-(当它们都∃时).注意,易求得20sin lim0h h h h →-=.因而,若'(0)f ∃⇒(C )成立.反之若(C )成立⇒0()lim t f t t→(即 '(0)f ∃).因为只要()f t t有界,任有(C )成立,如()||f x x =满足(C ),但'(0)f 不∃.因此,只能选(B ).(4)【分析】 由 43||40E A λλλ-=-=,知矩阵A 的特征值是4,0,0,0.又因A 是实对称矩阵,A 必能相似对角化,所以A 与对角矩阵B 相似.作为实对称矩阵,当AB 时,知A 与B 有相同的特征值,从而二次型T x Ax 与T x Bx 有相同的正负惯性指数,因此A 与B 合同.所以本题应当选(A ).注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与1003B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 它们的特征值不同,故A 与B 不相似,但它们的正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以A 与B 合同.(5)【分析】 解本题的关键是明确X 和Y 的关系:X Y n +=,即Y n X =-,在此基础上利用性质:相关系数XY ρ的绝对值等于1的充要条件是随机变量X 与Y 之间存在线性关系,即YaX b =+(其中,a b 是常数),且当0a >时,1XY ρ=;当0a <时,1XY ρ=-,由此便知1XY ρ=-,应选(A ).事实上,(,)(,)Cov X Y Cov X n X DX =-=-,()DY D n X DX =-=,由此由相关系数的定义式有1XY ρ===-.三、【解】原式=222211arctan ()[arctan ]22(1)x x x x xxx de e d e e e e e ---=--+⎰⎰=2221(arctan )21x x x xx xde de e e e e ---++⎰⎰=21(arctan arctan )2xx x x e e e e C ---+++.四、【解】 先求(1)(1,(1,1))(1,1)1f f f ϕ===.求 32''1()|3(1)(1)3(1)x d x dxϕϕϕϕ===,归结为求'(1)ϕ.由复合函数求导法 '''12()(,(,))(,(,))(,)dx f x f x x f x f x x f x x dxϕ=+,'''''1212(1)(1,1)(1,1)[(1,1)(1,1)]f f f f ϕ=++.注意'1(1,1)(1,1)2f f x∂==∂,'2(1,1)(1,1)3f f y ∂==∂. 因此'(1)23(23)17ϕ=++=,31()|31751x d x dxϕ==⨯=.五、【分析与求解】 关键是将arctan x 展成幂级数,然后约去因子x ,再乘上21x +并化简即可.直接将arctan x 展开办不到,但'(arctan )x 易展开,即'221(arctan )(1),||11n n n x x x x ∞===-<+∑, ①积分得 '2210000(1)arctan (arctan )(1)21n xx nnn n n x t dt t dt x n ∞∞+==-==-=+∑∑⎰⎰,[1,1]x ∈-. ② 因为右端积分在1x =±时均收敛,又arctan x 在1x =±连续,所以展开式在收敛区间端点1x =±成立.现将②式两边同乘以21x x+得2222220001(1)(1)(1)arctan (1)212121n n n n n n n n n x x x x x x x n n n +∞∞∞===+---=+=++++∑∑∑=12200(1)(1)2121n n n nn n x x n n -∞∞==--++-∑∑=21111(1)()2121n n n x n n ∞=+--+-∑22(1)21n nx ∞-=+∑ ,[1,1]x ∈-,0x ≠上式右端当0x =时取值为1,于是221(1)2()1,[1,1]14n nn f x x x n∞=-=+∈--∑. 上式中令1x =21(1)111[(1)1](21)1422442n n f n ππ∞=-⇒=-=⨯-=--∑.六、【解】用斯托克斯公式来计算.记S 为平面2x y z ++=上L 所为围部分.由L 的定向,按右手法则S 取上侧,S 的单位法向量(cos ,cos ,cos )n αβγ==. 于是由斯托克斯公式得222222cos cos cos 23SI dS x y z y z z x x y αβγ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰=[(24(26(22Sy z z x x y dS ------⎰⎰=(423)(2)(6)S Sx y z dS x y z x y dS ++++=+-利用. 于是==按第一类曲面积分化为二重积分得(62(6)D DI x y x y dxdy =+-=-+-⎰⎰, 其中D 围S 在xy 平面上的投影区域||||1x y +≤(图）.由D 关于,x y 轴的对称性及被积函数的奇偶性得()0Dx y dxdy -=⎰⎰⇒21224DI dxdy =-=-=-⎰⎰.'()(0)()f x f xf x θ=+(θ与x 有关);又由''()f x 连续而''()0f x ≠,''()f x 在(1,1)-不变号,'()f x 在(1,1)-严格单调,θ唯一. (2)对'()f x θ使用''(0)f 的定义.由题(1)中的式子先解出'()f x θ,则有'()(0)()f x f f x xθ-=.再改写成'''()(0)(0)()(0)f x f xf f x f x θ---=.'''2()(0)()(0)(0)f x f f x f xf x xθθθ---⋅=, 解出θ,令0x →取极限得'''''2''0001(0)()(0)(0)()(0)12lim lim /lim (0)2x x x f f x f xf f x f x x f θθθ→→→---===.八、【解】 (1)设t 时刻雪堆的体积为()V t ,侧面积为()S t .t 时刻雪堆形状如图所示先求()S t 与()V t .侧面方程是222222()()()((,):)()2xy x y h t z h t x y D x y h t +=-∈+≤. ⇒44,()()z x z yx h t y h t ∂∂=-=-∂∂. ⇒()xyxyD D S t dxdy ==⎰⎰.作极坐标变换:cos ,sin x r y r θθ==,则:02,0()xy D r t θπ≤≤≤≤.⇒2(003()22221()()2113[()16]().()4812t t S t d h t h t r h t h t πθππ==⋅+=⎰用先二后一的积分顺序求三重积分()()()h t D x V t dzdxdy =⎰⎰⎰,其中222()():()()()x y D z h t z t h t +≤-,即2221[()()]2x y h t h t z +≤-. ⇒()233301()[()()][()()]()2224h t V t h t h t z dz h t h t h t πππ=-=-=⎰. (2)按题意列出微分方程与初始条件.体积减少的速度是dV dt -,它与侧面积成正比(比例系数0.9),即 0.9dVS dt=- 将()V t 与()S t 的表达式代入得 22133()0.9()412dh h t h t dt ππ=-,即1310dh dt =-.①(0)130h =.②(3)解①得13()10h t t C =-+. 由②得130C =,即13()13010h t t =-+. 令()0h t =,得100t =.因此,高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时.九、【解】由于(1,2)i i s β=是12,,s ααα线性组合,又12,,s ααα是0Ax =的解,所以根据齐次线性方程组解的性质知(1,2)i i s β=均为0Ax =的解.从12,,s ααα是0Ax =的基础解系,知()s n r A =-.下面来分析12,,s βββ线性无关的条件.设11220s s k k k βββ++=,即11212112222133211()()()()0s s s s t k t k t k t k t k t k t k t k αααα-++++++++=.由于 12,,s ααα线性无关,因此有112211222132110,0,0,0.s s s t k t k t k t k t k t k t k t k -+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩(*)因为系数行列式12211211221000000000(1)000s s st t t t t t t t t t +=+-, 所以当112(1)0ss st t ++-≠时,方程组(*)只有零解120s k k k ====.从而12,,s βββ线性无关.十、【解】 (1)由于AP PB = ,即22322(,,)(,,)(,,32)A x Ax A x Ax A x A x Ax A x Ax A x ==-2000(,,)103012x Ax A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,所以000103012B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.(2)由(1)知AB ,那么A E B E ++,从而100||||1134011A EB E +=+==--.十一、【解】 (1){|}(1),0,0,1,2,mmn mn P Y m X n C p p m n n -===-≤≤=.(2){,}P X n Y m ==={}{|}P X n P Y m X n ====(1),0,0,1,2,.!nm mn m n e C p p m n n n λλ--⋅-≤≤=十二、【解】 易见随机变量11()n X X ++,22()n X X ++,2,()n n X X +相互独立都服从正态分布2(2,2)N μσ.因此可以将它们看作是取自总体2(2,2)N μσ的一个容量为n 的简单随机样本.其样本均值为21111()2n ni n i i i i X X X X n n +==+==∑∑, 样本方差为2111(2)11n i n ii X X X Y n n +=+-=--∑. 因样本方差是总体方差的无偏估计,故21()21E Y n σ=-,即2()2(1)E Y n σ=-.。

参考答案：（2010）：本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。

满分14分。

（Ⅰ）证明：由题设，可得*4,2121a ak k N k k -=∈+-。

所以131()()...()2121212123aa aaaaa a k k k k k -=-+-++-++---=44(1)...41k k +-++⨯ =2k(k+1) 由1a =0，得222(1),22,2(1).2122122a k k aak k ak k kk k =+=-==++++从而于是1121222221,,221212aa a ak k k k k k a k a k a a k k k k++++++===++所以。

所以*2,,,22122k d k k N a aakk k =∈++时，对任意成等比数列。

（Ⅱ）证法一：（i ）证明：由2,,2121k a a ak k -+成等差数列，及,,22122aa a k k k ++成等比数列，得212112,222121221kaak k aaaqk k k a a q k k k -+=+=+=+-+-当1q ≠1时，可知k q ≠1，k ∈*N 从而111111,1(2)1111111211k q q q q k k k k q k ==+-=≥---------即所以11q k ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭是等差数列，公差为1。

（Ⅱ）证明：10a =，22a =，可得34a =，从而142,2q ==111q -=1.由（Ⅰ）有*1111,,1k k k k q k N q kk +=+-==∈-得所以2*222211221,,2122a aak k k k k k N a a k a k k k k+++++===∈+（）从而因此，2222*2222(1)222214...........22..2(1),2212(1)(2)122242kaaa k k kk k a a k a a k k k N k k a a a k k kk k --+=====+∈+----以下分两种情况进行讨论：（1） 当n 为偶数时，设n=2m(*m N ∈)若m=1,则2222nk kkn a =-=∑.若m ≥2，则2222122111221(2)(21)42nmm mk k k k kkk kk k k a a a k-====++=+=∑∑∑∑+221111114414411112222(1)2(1)2(1)21113122(1)(1)222.m m m k k k k k k k m m k k k k k k k k m m n mn ---===⎡⎤+++⎡⎤⎛⎫=++=++- ⎪⎢⎥⎢⎥++++⎝⎭⎣⎦⎣⎦=+-+-=--∑∑∑所以22223132,22,4,6,8 (2)2nnk k kkkkn n n a na ==-=+<-<=∑∑从而(2)当n 为奇数时，设n=2m+1（*m N ∈）222222221(21)31(21)4222(1)nmk k kkm kkm m m a a a mm m ==+++=+=--++∑∑11314222(1)21m n m n =+-=--++所以22312,21nk kkn a n =-=++∑从而22322,3,5,72nk kkn n a =<-<=∑···综合（1）（2）可知，对任意2n ≥,n N *∈,有223222nk kkn a =<-≤∑证法二：（i ）证明：由题设，可得212222(1),k k k k k k k k d a a q a a a q +=-=-=-212221222(1),k k k k k k k k k k d a a q a q a a q q +++=-=-=-所以1k k kd q d +=232211122222221111k k k k k k k k k k kk kka a d d d q q a a q a q a q ++++++++-===+=+=+由11q ≠可知1,*k q k N ≠∈。

数 学 (江西、山西、天津卷)文科类第Ⅰ卷 (选择题共60分)参考公式： 正棱锥、圆锥的侧面积公式 如果事件A 、B 互斥，那么 P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 如果事件A 在一次试验中发生的 概率是P ，那么n 次独立重复试 验中恰好发生k 次的概率 k n k k n n P P C k P --=)1()(一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设A=B A x x x B x x x 则},0|{},0|{22=+==-等于（A ）0（B ）{0}（C ）φ（D ）{－1，0，1}（2）若S n 是数列{a n }的前n 项和，且,2n S n =则}{n a 是（A ）等比数列，但不是等差数列 （B ）等差数列，但不是等比数列 （C ）等差数列，而且也是等比数列（D ）既非等比数列又非等差数列（3）过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x +y-2=0上的圆的方程是（A ）4)1()3(22=++-y x （B ）4)1()3(22=-++y x （C ）4)1()1(22=-+-y x（D ）4)1()1(22=+++y x（4）若定义在区间（-1，0）内的函数a x f x x f a 则满足,0)()1(log )(2>+=的取值范围是（A ）)21,0(（B ）]21,0(（C ）),21(+∞（D ）),0(+∞（5）若向量a =（3，2），b =（0，－1），c =（－1，2），则向量2b －a 的坐标是（A ）（3，-4）（B ）（-3，4）（C ）（3，4）（D ）（-3，-4）（6）设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且|PA|=|PB|．若直线PA 的方程为 01=+-y x ，则直线PB 的方程是（A ）05=-+y x（B ）012=--y xcl S 21=锥侧其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长. 棱锥、圆锥的体积公式 sh V 31=锥体其中s 表示底面积，h 表示高.（C ）042=--x y （D ）072=-+y x（7）若则,cos sin ,cos sin ,40b a =+=+<<<ββααπβα（A ）b a <（B ）b a >（C ）1<ab（D ）2>ab（8）若椭圆经过原点，且焦点为F 1（1，0），F 2（3，0）则其离心率为（A ）43（B ）32 （C ）21 （D ）41 （9）某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分. 一球队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有（A ）3种（B ）4种（C ）5种（D ）6种（10）设坐标原点为O ，抛物线x y 22=与过焦点的直线交于A 、B 两点，则=⋅OB OA（A ）43 （B ）－43 （C ）3 （D ）－3（11）一间平房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜;②双向倾斜;③四向倾斜. 记三 种盖法屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3若屋顶斜面与水平面所成的角都是α,则（A ）P 3＞P 2＞P 1（B ）P 3＞P 2＝P 1（C ）P 3＝P 2＞P 1（D ）P 3＝P 2＝P 1（12） 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的 数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量. 现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同 的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（A ）26（B ）24（C ）20（D ）19第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上． （13）定义在R 上的函数x x x f cos 3sin )(+=的最大值是 ．（14）一个工厂在若干个车间，今采用分层抽样方法从全厂某天的2048件产品中抽取一个 容量为128的样本进行质量检查，若一车间这一天生产256件产品，则从该车间抽 取的产品件数为 ．（15）在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线． ②若两条直线没有共点，则这两条直线是异面直线． 以上两个命题中，逆命题为真命题的是 ． （把符合要求的命题序号都填上）（16）设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q = .三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知等差数列前三项为a ，4，3a ，前n 项的和为S n ，S k =2550． （Ⅰ）求a 及k 的值；（Ⅱ）求).111(lim 21nn S S S +++∞→（18）（本小题满分12分）设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm 2，画面的宽与高的比为)1(<λλ，画面的上、下各有8cm 空白，左、右各有5cm 空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张的面积最小？（19）（本小题满分12分）如图，用A、B、C三类不同的无件连接成两个系统N1、N2．当元件A、B、C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作．已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90．分别求系统N1、N2正常工作的概率P1、P2．N1 N2注意：考生在（20甲）、（20乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（20甲）计分． （20甲）（本小题满分12分）如图，以正四棱锥V —ABCD 底面中心O 为坐标原点建立空 间直角坐标系O —xyz ，其中Ox//BC ，Oy//AB ．E 为VC 中点，正四棱锥底面边长 为2a ，高为h ．（Ⅰ）求;,cos ><DE BE（Ⅱ）记面BCV 为α，面DCV 为β，若∠BED 是二面角α—VC —β的平面角，求cos ∠BED 的值．（20乙）(本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中，SBC⊥︒=∠SA ABC ,90面ABCD ， SA=AB=BC=1，AD=.21（Ⅰ）求四棱锥S —ABCD 的体积；（Ⅱ）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值.（21）（本小题满分12分）已知函数bx ax x x f 23)(23+-=在点x=1处有极小值-1．试确定a 、b 的值．并求出 f （x ）的单调区间．（22）（本小题满分14分）设,20πθ<<曲线1sin cos 1cos sin 2222=-=+θθθθy x y x 和有4个不同的交点．（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围．参 考 答 案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算（1）B （2）B （3）C （4）A （5）D （6）A （7）A （8）C （9）A （10）B （11）D （12）D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算 （13）2 （14）16 （15）② （16）1 三、解答题（17）本小题主要考查数列求和以及极限的基本概念和运算，考查综合分析的能力．解：（I ）设该等差数列为{a n }， 则.2550,3,4,321====k S a a a a a由已知有,423⨯=+a a 解得首项,21==a a 公差.22412=-=-=a a d代入公式d k k a k S k ⋅-+⋅=2)1(1得.255022)1(2=⋅-+⋅k k k 即,025502=-+k k 解得k=50，k=－51（舍去） 50,2==∴k a （II ）由),1(2)1(1+=⋅-+⋅=n n S d n n a n S n n 得 )1(132121111121+++⨯+⨯=+++∴n n S S S n,111)111()3121()2111(+-=+-++-+-=n n n.1)111(lim )111(lim 21=+-=+++∴∞→∞→n S S S n n n（18）本小题考查建立函数关系式，求函数最小值的方法和运用数学知识解决问题的能力． 解：设画面高为xcm ，宽为λxcm ，则.48402=x λ设纸张面积为S ，有,160)1016()10)(16(2+++=++=x x x x S λλλ 将λ1022=x 代入上式得).58(10445000λλ++=S当,58λλ=即)185(85<=λ时，S 取得最小值．此时，高：,884840cm x ==λ宽：.558885cm x =⨯=λ答：画面高为88cm ，宽为55cm 时，能使所用纸张面积最小．（19）本小题考查相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力．解：分别记元件A 、B 、C 正常工作为事件A 、B 、C ，由已知条件 P （A ）=0.80, P(B)=0.90, P(C)=0.90.（I ）因为事件A 、B 、C 是相互独立的，所以，系统N 1正常工作的概率 P 1=P （A ·B ·C ）=P （A ）·P （B ）·P （C ）=0.80×0.90×0.90=0.648. 故系统N 1正常工作的概率为0.648. （II ）系统N 2正常工作的概率)],()(1[)()](1[)(2C P B P A P C B P A P P ⋅-⋅=⋅-⋅=,10.090.01)(1)(,10.090.01)(1)(=-=-==-=-=C P C P B P B P.792.099.080.0]10.010.01[80.02=⨯=⨯-⨯=∴P故系统N 2正常工作的概率为0.792.（20甲）本小题主要考查空间直角坐标的概念、空间点和向量的坐标表示以及两个向量夹角的计算方法；考查运用向量研究空间图形的数学思想方法．解：（I ）由题意知B （a ，a ，0），C （―a ，a ，0），D （―a ，―a ，0），E ),2,2,2(h a a -由此得),2,23,2(),2,2,23(h a a h a a =--=,42322)232()223(22h a h h a a a a +-=⋅+⋅-+⋅-=⋅∴.1021)2()2()23(||||22222h a h a a +=+-+-==由向量的数量积公式有.10610211021423,cos 2222222222ha h a h a h a h a DE BE ++-=+⋅++-=< （II ）若∠BED 是二面角α—VC —β的平面角，则CV ⊥，即有CVBE ⋅=0．又由C （－a ，a ，0），V （0，0，h ），有),,(h a a -=且),2,2,23(h a a BE --=,02223222=++-=⋅∴h a a CV BE 即,2a h =这时有.31)2(10)2(6106,cos 22222222-=++-=++->=<a a a a h a h a DE BE.31cos -=∠∴BED 即 （20乙）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，满分12分． 解：(Ⅰ)直角梯形ABCD 的面积是 M 底面=,43125.01)(21=⨯+=⋅+AB AD BC∴四棱锥S —ABCD 的体积是 V=底面M SA ⨯⨯3143131⨯⨯= =41.（Ⅱ）延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱． ∵AD ∥BC, BC=2AD, ∴EA=AB=SA, ∴SE ⊥SB ，∴ SA ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线，又BC ⊥EB ，∴BC ⊥面SEB ，故SE 是CS 在面SEB 上的射影，∴ CS ⊥SE ，所以∠BSC 是所求二面角的平面角.∵,,1,222SB BC BC AB SA B S ⊥==+=∴.22tan ==∠SBBC BSC即所求二面角的正切值为.22（21）本小题考查函数和函数极值概念，考查运用导数研究函数性质的方法，以及分析和解决数学问题的 能力．解：由已知，可得,1231)1(-=+-=b a f ① 又,263)(2b ax x x f +-='.0263)1(=+-='∴b a f ②ES CADB由①、②，可解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.21,31b a 故函数的解析式为.)(23x x x x f --=由此得.123)(2--='x x x f根据二次函数的性质，当31-<x 或x ＞1时，;0)(>'x f当131<<-x 时，.0)(<'x f 因此，在区间)31,(--∞和),1(+∞上，函数f （x ）为增函数；在区间)1,31(-内，函数f （x ）为减函数． （22）本小题主要考查坐标法、曲线的交点和三角函数性质等基础知识，以及逻辑推理能力和运算能力．解：（I ）两曲线的交点坐标（x ，y ）满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+,1sin cos ,1cos sin 2222θθθθy x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+=.sin cos ,cos sin 22θθθθy x 有4个不同交点等价于,02>x 且,02>y 即⎩⎨⎧>->+.0sin cos ,0cos sin θθϑθ 又因为,20πθ<<所以得θ的取值范围为（0，).4π （II ）由（I ）的推理知4个交点的坐标（x ，y ）满足方程),40(cos 222πθθ<<=+y x 即得4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为).40(cos 2πθθ<<=r 因为θc os 在)4,0(π上是减函数，所以由.224cos ,10cos ==π知r 的取值范围是).2,2(4。

2001年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）若0cos sin >θθ，则θ在（A ）第一、二象限 （B ）第一、三象限 （C ）第一、四象限 （D ）第二、四象限（2）过点)1,1(-A 、)1,1(-B 且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是（A ）4)1()3(22=++-y x （B ）4)1()3(22=-++y x（C ）4)1()1(22=-+-y x （D ）4)1()1(22=+++y x（3）设}{n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）6（4）若定义在区间)0,1(-内函数)1(log )(2+=x x f a 满足0)(>x f ，则a 的取值范围是（A ）)21,0( （B ）]21,0( （C ）),21(+∞ （D ）),0(+∞（5）极坐标方程)4sin(2πθρ+=的图形是（6）函数)0(1cos ≤≤-+=x x y π的反函数是（A ）)1arccos(--=x y (20≤≤x ) （B ） )1arccos(--=x y π(20≤≤x )（C ）)1arccos(-=x y (20≤≤x ) （D ）)1arccos(-+=x y π(20≤≤x )（7）若椭圆经过原点，且焦点为)0,1(1F ，)0,3(2F ，则其离心率为（A ）43 （B ）32 （C ）21 （D ）41 （8）若40πβα<<<，a =+ααcos sin ，b =+ββcos sin ，则（A ）b a < （B ）b a > （C ）1<ab （D ）2>ab（9）在正三棱柱111C B A ABC -中，12BB AB =，则1AB 与B C 1所成角的大小为（A ）︒60 （B ）︒90 （C ）︒105 （D ）︒75（10）设)(x f 、)(x g 都是单调函数，有如下四个命题：①若)(x f 单调递增，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递增；②若)(x f 单调递增，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递增；③若)(x f 单调递减，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递减；④若)(x f 单调递减，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递减；其中，正确的命题是（A ）①② （B ）①④ （C ）②③ （D ）②④（11）一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜，记三种盖法屋顶面积分别为1P 、2P 、3P若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则（A ）123P P P >> （B ）123P P P => （C ）123P P P >= （D ）123P P P ==（12）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线肤表示它们有网线相联.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最大信息量为（A ）26 （B ）24（C ）20 （D ）19二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.把答案填空在题中横线上.（13）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是 . （14）双曲线116922=-y x 的两个焦点为1F 、2F ，点P 在双曲线上.若21PF PF ⊥，则迠P 到x 轴的距离为 .（15）设}{n a 是公比为q 的等比数列，n S 是它的前n 项和.若}{n S 是等差数列，则q ＝（16）圆周上有n 2个等分点（1>n ），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥ABCD S -中，︒=∠90ABC ，⊥SA 面ABCD ，1===BC AB SA ，21=AD . （1）求四棱锥ABCD S -的体积；（2）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值.（18）（本小题满分12分）已知复数31)1(i i z -=.（1）求1arg z 及||1z ；（2）当复数z 满足1||=z ，求||1z z -的最大值.（19）（本小题12分）设抛物线px y 22=（0>p ）的焦点F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点。

2001年全国高考文科数学(江西、山西、天津)卷参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(正棱锥、圆锥的侧面积公式cl S 21=锥侧 其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长.棱锥、圆锥的体积公式sh V 31=锥体其中s 表示底面积，h 表示高. 第Ⅰ卷 (选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设A=B A x x x B x x x 则},0|{},0|{22=+==-等于 ( )（A ）0（B ）{0}（C ）φ （D ）{－1，0，1}（2）若S n 是数列{a n }的前n 项和，且,2n S n =则}{n a 是 ( )（A ）等比数列，但不是等差数列 （B ）等差数列，但不是等比数列 （C ）等差数列，而且也是等比数列（D ）既非等比数列又非等差数列（3）过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是 ( )（A ）4)1()3(22=++-y x （B ）4)1()3(22=-++y x （C ）4)1()1(22=-+-y x（D ）4)1()1(22=+++y x（4）若定义在区间（-1，0）内的函数a x f x x f a 则满足,0)()1(log )(2>+=的取值范围是( )（A ）)21,0( （B ）]21,0(（C ）),21(+∞ （D ）),0(+∞（5）若向量a=（3，2），b=（0，－1），c=（－1，2），则向量2b －a 的坐标是 ( )（A ）（3，-4）（B ）（-3，4）（C ）（3，4） （D ）（-3，-4）（6）设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且|PA|=|PB|．若直线PA 的方程为 01=+-y x ，则直线PB 的方程是 ( ) （A ）05=-+y x （B ）012=--y x （C ）042=--x y （D ）072=-+y x（7）若则,cos sin ,cos sin ,40b a =+=+<<<ββααπβα ( )（A ）b a <（B ）b a >（C ）1<ab （D ）2>ab（8）若椭圆经过原点，且焦点为F 1（1，0），F 2（3，0）则其离心率为 ( )（A ）43（B ）32 （C ）21 （D ）41 （9）某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分. 一球队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有 ( )（A ）3种（B ）4种（C ）5种 （D ）6种（10）设坐标原点为O ，抛物线x y 22=与过焦点的直线交于A 、B 两点，则=⋅( ) （A ）43（B ）－43 （C ）3 （D ）－3（11）一间平房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜;②双向倾斜;③四向倾斜, 记三 种盖法屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3若屋顶斜面与水平面所成的角都是α,则 （ ）（A ）P 3＞P 2＞P 1 （B ）P 3＞P 2＝P 1（C ）P 3＝P 2＞P 1（D ）P 3＝P 2＝P 1（12） 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量. 现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为 （ ）（A ）26（B ）24（C ）20（D ）19第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上． （13）定义在R 上的函数x x x f cos 3sin )(+=的最大值是 ．（14）一个工厂在若干个车间，今采用分层抽样方法从全厂某天的2048件产品中抽取一个容量为128的样本进行质量检查，若一车间这一天生产256件产品，则从该车间抽取的产品件数为 ．（15）在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线． ②若两条直线没有共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是 ．（把符合要求的命题序号都填上） （16）设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q= .三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知等差数列前三项为a ，4，3a ，前n 项的和为S n ，S k =2550． （Ⅰ）求a 及k 的值；（Ⅱ）求).111(lim 21nn S S S +++∞→（18）（本小题满分12分）设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm 2，画面的宽与高的比为)1(<λλ，画面的上、下各有8cm 空白，左、右各有5cm 空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张的面积最小？（19）（本小题满分12分）如图，用A 、B 、C 三类不同的无件连接成两个系统N 1、N 2．当元件A 、B 、C 都正常工作时，系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作．已知元件A 、B 、C 正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90．分别求系统N 1、N 2正常工作的概率P 1、P 2．注意：考生在（20甲）、（20乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（20甲）计分． （20甲）（本小题满分12分）如图，以正四棱锥V —ABCD 底面中心O 为坐标原点建立空 间直角坐标系O —xyz ，其中Ox//BC ，Oy//AB ．E 为VC 中点，正四棱锥底面边长 为2a ，高为h ．（Ⅰ）求;,cos ><（Ⅱ）记面BCV 为α，面DCV 为β，若∠BED 是 二面角α—VC —β的平面角，求cos ∠BED 的值．（20乙）(本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中， ⊥︒=∠SA ABC ,90面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=.21（Ⅰ）求四棱锥S —ABCD 的体积；（Ⅱ）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值.（21）（本小题满分12分）已知函数bx ax x x f 23)(23+-=在点x=1处有极小值-1．试确定a 、b 的值．并求出 f （x ）的单调区间．（22）（本小题满分14分）设,20πθ<<曲线1sin cos 1cos sin 2222=-=+θθθθy x y x 和有4个不同的交点．（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围．参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算（1）B （2）B （3）C （4）A （5）D （6）A （7）A （8）C （9）A （10）B （11）D （12）D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算 （13）2 （14）16 （15）② （16）1 三、解答题（17）本小题主要考查数列求和以及极限的基本概念和运算，考查综合分析的能力．解：（I ）设该等差数列为{a n }， 则.2550,3,4,321====k S a a a a a由已知有,423⨯=+a a 解得首项,21==a a 公差.22412=-=-=a a d 代入公式d k k a k S k ⋅-+⋅=2)1(1得.255022)1(2=⋅-+⋅k k k 即,025502=-+k k 解得k=50，k=－51（舍去） 50,2==∴k a （II ）由),1(2)1(1+=⋅-+⋅=n n S d n n a n S n n 得 )1(132121111121+++⨯+⨯=+++∴n n S S S n,111)111()3121()2111(+-=+-++-+-=n n n.1)111(lim )111(lim 21=+-=+++∴∞→∞→n S S S n n n（18）本小题考查建立函数关系式，求函数最小值的方法和运用数学知识解决问题的能力．解：设画面高为xcm ，宽为λxcm ，则.48402=x λ 设纸张面积为S ，有160)1016()10)(16(2+++=++=x x x x S λλλ 将λ1022=x 代入上式得).58(10445000λλ++=S当,58λλ=即)185(85<=λ时，S 取得最小值．此时，高：,884840cm x ==λ宽：.558885cm x =⨯=λ答：画面高为88cm ，宽为55cm 时，能使所用纸张面积最小． （19）本小题考查相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力．解：分别记元件A 、B 、C 正常工作为事件A 、B 、C ，由已知条件 P （A ）=0.80, P(B)=0.90, P(C)=0.90.（I ）因为事件A 、B 、C 是相互独立的，所以，系统N 1正常工作的概率 P 1=P （A ·B ·C ）=P （A ）·P （B ）·P （C ）=0.80×0.90×0.90=0.648.故系统N 1正常工作的概率为0.648. （II ）系统N 2正常工作的概率)],()(1[)()](1[)(2C P B P A P C B P A P P ⋅-⋅=⋅-⋅=,10.090.01)(1)(,10.090.01)(1)(=-=-==-=-=C P P B P P 792.099.080.0]10.010.01[80.02=⨯=⨯-⨯=P故系统N 2正常工作的概率为0.792.（20甲）本小题主要考查空间直角坐标的概念、空间点和向量的坐标表示以及两个向量夹角的计算方法；考查运用向量研究空间图形的数学思想方法．解：（I ）由题意知B （a ，a ，0），C （―a ，a ，0），D （―a ，―a ，0），E ),2,2,2(h a a -由此得),2,23,2(),2,2,23(h a a h a a =--=,42322)232()223(22h a h h a a a a DE BE +-=⋅+⋅-+⋅-=⋅∴.1021)2()2()23(||||22222h a h a a +=+-+-==由向量的数量积公式有.10610211021423||||,cos 2222222222ha h a h a h a h a DE BE DE BE ++-=+⋅++-=⋅< （II ）若∠BED 是二面角α—VC —β的平面角，则CV BE ⊥，即有CV BE ⋅=0． 又由C （－a ，a ，0），V （0，0，h ），有),,(h a a -=且),2,2,23(h a a --=,02223222=++-=⋅∴h a a 即,2a h =这时有.31)2(10)2(6106,cos 22222222-=++-=++->=<a a a a h a h a DE BE.31cos -=∠∴BED 即 （20乙）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，满分12分． 解：(Ⅰ)直角梯形ABCD 的面积是 M 底面=,43125.01)(21=⨯+=⋅+AB AD BC∴四棱锥S —ABCD 的体积是 V=底面M SA ⨯⨯3143131⨯⨯= =41.（Ⅱ）延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱．∵AD ∥BC, BC=2AD, ∴EA=AB=SA, ∴SE ⊥SB ，∴ SA ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线，又BC ⊥EB ，∴BC ⊥面SEB ，故SE 是CS 在ES CADB面SEB 上的射影，∴ CS ⊥SE ，所以∠BSC 是所求二面角的平面角.∵,,1,222SB BC BC AB SA B S ⊥==+=∴.22tan ==∠SBBC BSC即所求二面角的正切值为.22（21）本小题考查函数和函数极值概念，考查运用导数研究函数性质的方法，以及分析和解决数学问题的 能力．解：由已知，可得,1231)1(-=+-=b a f ① 又,263)(2b ax x x f +-='.0263)1(=+-='∴b a f ②由①、②，可解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.21,31b a 故函数的解析式为.)(23x x x x f --=由此得.123)(2--='x x x f根据二次函数的性质，当31-<x 或x ＞1时，;0)(>'x f当131<<-x 时，.0)(<'x f 因此，在区间)31,(--∞和),1(+∞上，函数f （x ）为增函数；在区间)1,31(-内，函数f （x ）为减函数．（22）本小题主要考查坐标法、曲线的交点和三角函数性质等基础知识，以及逻辑推理能力和运算能力． 解：（I ）两曲线的交点坐标（x ，y ）满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+,1sin cos ,1cos sin 2222θθθθy x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+=.sin cos ,cos sin 22θθθθy x 有4个不同交点等价于,02>x 且,02>y 即⎩⎨⎧>->+.0sin cos ,0cos sin θθϑθ 又因为,20πθ<<所以得θ的取值范围为（0，).4π（II ）由（I ）的推理知4个交点的坐标（x ，y ）满足方程),40(cos 222πθθ<<=+y x即得4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为).40(cos 2πθθ<<=r因为θcos 在)4,0(π上是减函数，所以由.224cos ,10cos ==π知r 的取值范围是).2,2(4。

2000年全国高考数学试题(新课程/理工农医类)江西、天津卷一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分。

在每小题给出的分。

在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合A 和B 都是坐标平面上的点集(){}R y R x y x ÎÎ,|,，映射B A f ®:把集合A 中的元素()y x ,映射成集合B 中的元素()y x y x -+ ,，则在映射f 下，象()1,2的原象是的原象是 （ ）（A ）()1 ,3 （B ）÷øöçèæ21 ,23 （C ）÷øöçèæ-21 ,23 （D ）()3,1 （2）在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时针方向旋转3p ，所得向量对应的复数是应的复数是 （ ）（A ）23 （B ）i 32- （C ）i 33- （D ）3i 3+ （3）一个长方体共一项点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体，这个长方体 对角线的长是对角线的长是 （ ）（A ）23 （B ）32 （C ）6 （D ）6 （4）设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 （ ）①()()0=×-×b a c c b a ； ②b a b a -<-③()()b a c a c b ×-×不与c 垂直垂直 ④()()22492323b a b a b a ==-×+ 中，是真命题的有中，是真命题的有（A ）①②）①② （B ）②③）②③ （C ）③④）③④ （D ）②④）②④ （5）函数x x y cos -=的部分图象是的部分图象是 （ ）（6）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过 800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额。

普通高等学校招生全国统一考试数 学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

第I 卷1至2页。

第II 卷3至9页。

共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 60分）注意事项：1． 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写 在答题卡上。

2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：三角函数的积化和差公式()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21sin sin正棱台、圆台的侧面积公式()l c c S +'=21台侧 其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长台体的体积公式()h S S S S V +'+'=31台体 其中S '、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一、 选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。

在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1） 若0cos sin >θθ，则θ在（A ）第一、二象限 （B ）第一、三象限 （C ）第一、四象限 （D ）第二、四象限 （2）过点()()1,11,1--B A 、且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是 （A ）()()41322=++-y x （B ）()()41322=-++y x（C ）()()41122=-+-y x （D ）()()41122=+++y x（3）设{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）6（4）若定义在区间()01，-内的函数()()1log 2+=x x f a 满足0)(>x f ，则a 的取值范围是 （A ）（0，21） （B ）（0，21] （C ）（21，+∞） （D ）（0，+∞） (5)极坐标方程)4sin(2πθρ+=的图形是（A ） （B ） （C ） （D ）（6）函数)0(1cos ≤≤-+=x x y π的反函数是（A ）)20)(1arccos(≤≤--=x x y （B ）)20)(1arccos(≤≤--=x x y π （C ）)20)(1arccos(≤≤-=x x y （D ）)20)(1arccos(≤≤-+=x x y π （7）若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ，则其离心率为 （A ）43 （B ）32 （C ）21 （D ）41 （8）若40πβα<<<，a =+ααcos sin ，b =+ββcos sin ，则（A ）b a < （B ）b a > （C ）1<ab （D ）2>ab（9）在正三棱柱111C B A ABC -中，若12BB AB =，则1AB 与B C 1所成的角的大小为（A ）60° （B ）90° （C ）105° （D ）75° （10）设)()(x g x f 、都是单调函数，有如下四个命题： ○1若)(x f 单调递增，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递增； ○2若)(x f 单调递增，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递增； ○3若)(x f 单调递减，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递减； ○4若)(x f 单调递减，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递减； 其中，正确的命题是（A ）○1○3 （B ）○1○4 （C ） ○2○3 （D ）○2○4（11）一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：○1单向倾斜；○2双向倾斜；○3四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为321P P P 、、.①② ③若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则（A ）123P P P >>（B ）123P P P =>（C ）123P P P >=（D ）123P P P ==（12）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联。

2001年普通高等学校招生全国统一考试（理工类）（天津卷）数学（理工农医类）第Ⅰ卷参考公式：如果事件A、B互斥,那么正棱锥、圆锥的侧面积公式P（A·B）=P（A）·P（B）其中c表示底面周长,L表示斜高或母线长P n(k)=C k n P k(1-P)n-k其中S表示底面积,h表示高一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.（1）函数)32sin(3π+=xy的周期，振幅依次是（A）4π、3 （B）4π、-3 （C）π、3 （D）π、-3（2）若S n是数列{a n}的前n项和,且S n=n2,则{a n}是（A）等比数列,但不是等差数列（B）等差数列,但不是等比数列（C）等差数列,而且也是等比数列（D）既非等比数列又非等差数列（3）过点A（1,-1）、B（-1,1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是（A）(x-3)2+(y+1)2=4 （B）(x+3)2+(y-1)2=4（C）(x-1)2+(y-1)2=4 （D）(x+1)2+(y+1)2=4（4）若定义在区间（-1,0）内的函数f(x)=log2a(x+1)满足f(x)>0,则a的取值范围是（A）)21,0(（B）]21,0(（C）),21(∞+（D）),0(∞+（5）若定义在区间（-1，0）内的函数f(x)=log2a(x+1)满足f(x)>0，则a的取值范围是（A ）b a 2321+- （B ）b a 2321- （C ）b a 2123- （D ）ba 2123+- （6）设A 、B 是x 轴上的两点,点P 的横坐标为2且|PA|=|PB|.若直线PA 的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是（A ）x+y-5=0 （B ）2x-y-1=0 （C ）2y-x-4=0 （D ）2x+y-7=0（7）若ba =+=+<<<ββααπβαcos sin ,cos sin ,40，则（A ）a<b （B ）a>b （C ）ab<1 （D ）ab>2 （8）函数y=1+3x-x 2有（A ）极小值-1，极大值1 （B ）极小值-2，极小值3 （C ）极小值-2，极大值2 （D ）极小值-1，极大值3（9）某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场,得3分；平一场,得1分；负一场,得0 分. 一球队打完15场,积33分.若不考虑顺序,该队胜、负、平的可能情况共有（A ）3种 （B ）4种 （C ）5种 （D ）6种 （10）设坐标原点为O ，抛物线y 2=2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则=⋅OB OA（Ａ）43（Ｂ）43-（Ｃ）3 （Ｄ）－3（11）一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3. 若屋顶斜面与水平面所成的角都是а, 则（A ）P 3>P 2>P 1 （B ）P 3>P 2=P 1 （C ）P 3=P 2>P 1 （D ）P 3=P 2=P 1（12）如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相联.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A 向结点B 传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最大信息量为（A ）26 （B ）24 （C ）20 （D ）19第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.（14）一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是_______________. (用数字作答)（15）在空间中,①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线.②若两条直线没有公共点,则这两条线是异面直线.以上两个命题中,逆命题为真命题的是__________（把符合要求的命题序号都填上）.（16）设{a n}是公比为q的等比数列,S n是它的前n项和.若{S n}是等差数列,则q=_______.三、解答题：本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）（18）(本小题满分12分)如图,用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2.当元件A、B、C都正常工作时,系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时,系统N2正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90.分别求系统N1、N2正常工作的概率P1、P2.（19）(本小题满分12分)（Ⅰ）求a的值:（Ⅱ）证明f(X)在(0,+∞)上是增函数注意：考生在（20甲）、（20乙）两题中选一题作答,如果两题都答,只以（20甲）计分.如图,以正四棱锥V-ABCD 底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz,其中Ox//BC,Oy//AB.E 为VC 中点,正四棱锥底面边长为2a,高为h.（Ⅱ）记面BCV 为а,面DCV 为β,若∠BED 是二面角а-VC-β的平面角,求cos ∠BED 的值（20乙）（本小题满分12分）如图,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD 中,∠ABC=900,SA ⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,AD ＝21．（Ⅰ）求四棱锥S-ABCD 的体积；（Ⅱ）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值.（21）某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴（即双曲线的虚轴）旋转所成的曲面，其中A 、A 是又曲线的顶点，C 、C 是冷却塔上口直径的两个端点，B 、B 是下底直径的两个端点，已知AA ˊ=14m,CC ˊ=18=22m ，塔高20m 。

2001年高考数学试卷 (江西、山西、天津卷)理科类第Ⅰ卷 (选择题共60分)参考公式： 正棱锥、圆锥的侧面积公式 如果事件A 、B 互斥，那么 P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 如果事件A 在一次试验中发生的 概率是P ，那么n 次独立重复试 验中恰好发生k 次的概率 k n k k n n P P C k P --=)1()(一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）函数)32sin(3π+=xy 的周期、振幅依次是（A ）4π、3（B ）4π、－3（C ）π、3（D ）π、－3（2）若S n 是数列{a n }的前n 项和，且,2n S n =则}{n a 是（A ）等比数列，但不是等差数列 （B ）等差数列，但不是等比数列 （C ）等差数列，而且也是等比数列（D ）既非等比数列又非等差数列（3）过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x +y-2=0上的圆的方程是（A ）4)1()3(22=++-y x （B ）4)1()3(22=-++y x （C ）4)1()1(22=-+-y x（D ）4)1()1(22=+++y x（4）若定义在区间（-1，0）内的函数a x f x x f a 则满足,0)()1(log )(2>+=的取值范围是（A ）)21,0(（B ）]21,0(（C ）),21(+∞（D ）),0(+∞（5）若向量a =（1，1），b =（1，－1），c =（－1，2），则c=（A ）21-a +23b （B ）21a －23b （C ）23a 21-b （D ）－23a 21+b（6）若A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且|PA|=|PB|．若直线PA 的方程为 01=+-y x ，则直线PB 的方程是cl S 21=锥侧其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长. 棱锥、圆锥的体积公式 sh V 31=锥体其中s 表示底面积，h 表示高.（C ）042=--x y （D ）072=-+y x（7）若则,cos sin ,cos sin ,40b a =+=+<<<ββααπβα（A ）b a <（B ）b a >（C ）1<ab（D ）2>ab（8）函数331x x y -+=有（A ）极小值－1，极大值1 （B ）极小值－2，极大值3 （C ）极小值－2，极大值2（D ）极小值－1，极大值3（9）某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分， 一球队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有（A ）3种（B ）4种（C ）5种（D ）6种（10）设坐标原点为O ，抛物线x y 22=与过焦点的直线交于A 、B 两点，则=⋅（A ）43 （B ）－43 （C ）3 （D ）－3（11）一间平房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜;②双向倾斜;③四向倾斜。

绝密★启用前2001年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史财经类)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页。

共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项:1．答第Ⅰ卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式：三角函数的积化和差公式 正棱台、圆台的侧面积公式一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）tg300°+ctg405°的值为（A ）1+3（B ）1－3（C ）―1―3（D ）－1+3（2）过点A （1，―1）、B （―1，1）且圆心在直线x +y ―2=0上的圆的方程是（A ）4)1()3(22=++-y x（B ）4)1()3(22=-++y x（C ）4)1()1(22=-+-y x （D ）4)1()1(22=+++y x（3） 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是 （A ）3π （B ）33π （C ）6π （D ）9π （4） 若定义在区间（―1，0）内的函数a x f x x f 则满足,0)()1(log )(2>+=的取值范围是（A ）)21,0(（B ）)21,0(（C ）),21(+∞（D ）),0(+∞（5） 已知复数是则zi z 1arg ,62+=6π （B ）611π （C ）3π（D ）35π（6）函数)0(121>+-=-x y 的反函数是)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ )]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅l c c S )(21+'=台侧 其中c ′、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜 高或母线长. 台体的体积公式h s s s s V )(31+'+'=台体 其中s ′、s 分别表示上、下底面的面积，h 表示高.（A ）)2,1(,11log 2∈-=x x y（B ）)2,1(,11log 2∈--=x x y（C ）(]2,1,11log 2∈-=x x y（D ）(]2,1,11log 2∈--=x x y（7）若椭圆经过原点，且焦点为F 1（1，0），F 2（3，0），则其离心率为（A ）43（B ）32（C ）21（D ）41（8）若则,cos sin ,cos sin ,40b a =+=+<<<ββααπβα（A ）b a < （B ）b a > （C ）1<ab（D ）2>ab （9）在正三棱柱所成的角的大小为与则若中B C AB BB AB C B A ABC 111111,2,=-（A ）60°（B ）90°（C ）105°（D ）75°（10） 设)(),(x g x f 都是单调函数，有如下四个命题：①若;)()(,)(,)(单调递增则单调递增单调递增x g x f x g x f - ②若;)()(,)(,)(单调递增则单调递减单调递增x g x f x g x f - ③若;)()(,)(,)(单调递减则单调递增单调递增x g x f x g x f - ④若;)()(,)(,)(单调递减则单调递减单调递减x g x f x g x f - 其中,正确的命题是 （A ）①③（B ）①④（C ）②③（D ）②④（11）一间平房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜;②双向倾斜;③四向倾斜三种盖 法屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3若屋顶斜面与水平面所成的角都是α,则（A ）P 3＞P 2＞P 1 （B ）P 3＞P 2＝P 1 （C ）P 3＝P 2＞P 1 （D ）P 3＝P 2＝P 1 （12） 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的 数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A 向结点B 传递信 息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（A ）26（B ） （C ）20（D ）19第Ⅱ卷(非选择题共90分)注意事项:1．第Ⅱ卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。