2020届临川一中高三模拟考试 理数试卷Word版含答案

江西省临川一中2020届高三年级教学质量检测（二）数 学（理科）注意事项：1．考试范围：集合与简单逻辑用语，函数与初等函数，导数及其应用，三角函数，解三角形， 平面向量，数列，不等式，立体几何，解析几何（直线、直线与圆的位置关系为主，可少量 涉及圆锥曲线）。

2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试 卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的）1．已知集合{}0)5)(2(≤-+=x x x M ， {}x y y N 2==，则=N M I A ．]2,0(B ．]5,0(C ．]5,2[D ．),2[+∞2．已知向量)2,1(-=m ),4(,λ=n ，其中.R ∈λ若n m ⊥，则=mn A ．5B ．2C ．52D ．23．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，点)5,2(-P 是角α终边上的一点，则=α2cos A ．2920B ．2921C ．2921-D ．2920-4．现有如下命题：命题),0(:+∞∈∀x p “”0ln ,<-x x 的否定为”“0ln ],0,(000≥--∞∈∃x x x ；命题”“02sin :>x q 的充要条件为”“)(2)12(Z k k x k ∈+<<ππ， 则下列命题中的真命题是 A ．pB ．q p ∧C ．)(q p ⌝∨D ．q p ∧)(⌝5．已知椭圆13964:22=+y x C 的左、右焦点分别为21,F F ⋅，点P 在椭圆C 上，若6|1=PF ，则 21F PF ∠的余弦值为A ．103B ．107 C ．52 D ．536．如图，在正六边形ABCDEF 中，=EC A ．32- B ．23- C ．52-D ．25-7．已知函数⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+=32,6,sin 4cos 3)(2ππx x x x f ，则)(x f 的值域为 A ．)417,4[B ．)417,4(C ．]313,4[D ．]313,4( 8．已知长方体1111D C B A ABCD -中，2221===AA BC AB F E ,分别是线段111,CC D A 的中点，若E '是E 在平面11B BDD 上的射影，点F '在线段1BB 上，且,//BC FF 则=''F EA ．15215B ．10215C ．15430D ．104309．函数xx x x f ⎪⎭⎫⎝⎛⋅+--=32)2(4)(的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．310．已知函数221)(-⎪⎭⎫⎝⎛=x x f ，()28log 3f a =()2ln 3,f b =，21=c ，则c b a ,,的大小关系为 A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>11．若关于x 的不等式01ln 2≥--x m x 在]3,2[上有解，则实数m 的取值范围为 A ．⎥⎦⎤⎝⎛∞-2ln 3,B ．⎥⎦⎤⎝⎛∞-3ln 8,C ．(]1,2-∞-eD ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3ln 8,2ln 312．四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面四边形ABCD 是菱形，ο120=∠ADC ，连接BD AC ,交于点⊥O A O 1,平面ABCD ，41==BD O A ，点C '与点C 关于平面D BC 1对称，则三棱锥ABD C -'的体积为A ．33B ．32C ．36D ．34二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上） 13．记等比数列}{n a 的前n 项和为n s ,若41105=s s，则=72a a14．若椭圆C 过点)2,2(，)3,2(，则椭圆C 的离心率为15．已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥++≥,4062,4y y x x y ，则44-+=x y z 的最大值为16．已知首项为3的正项数列}{n a 满足),1)(1(3))((11-+=-+++n n n n n n a a a a a a 记数列{})1(log 22-n a 的前n 项和为n S ，则使得440>n s 成立的n 的最小值为三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分） 已知函数.1432)(23+--=x x x x f (1)求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处切线的方程； (2)求函数)(x f 的极大值． 18．（本小题满分12分）已知ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为,13,,,=a c b a且⋅-+=-++ba AC a b c C A C A sin sin sin cos cos sin(1)求ABC ∆外接圆的半径；(2)若3=c ，求ABC ∆的面积． 19．（本小题满分12分）直角梯形ABCD 如图(1)所示，其中CD AB //，AD AB ⊥，过点B 作CD BM ⊥，垂足为M ， 得到面积为4的正方形ABMD ，现沿BM 进行翻折，得到如图(2)所示的四棱锥.ABMD C -(1)求证：平面⊥CBM 平面;CDM(2)若ο90=∠CMD ，平面CBM 与平面CAD 所成锐二面角的余弦值为13133，求CM 的长．20．（本小题满分12分）已知圆C 过点)1,4()1,0(,)3,2(,，过点)0,2(-P 的直线与圆C 交于N M ,两点． (1)若圆9)4()2(:22=-++'y x C ，判断圆C 与圆C '的位置关系，并说明理由； (2)若135=，求MN 的值． 21．（本小题满分12分）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，且,42=a .)1(2n a S n n +=&等比数列{}n b 满足：32b a =， ⋅++=3213b b b a(1)求数列{}n b 的通项公式以及前n 项和n T . (2)求数列{}n a 的通项公式． 22．（本小题满分12分）已知函数e x x f x2)(=,其中Λ718.2=e 为自然对数的底数． (1)求函数)(x f 在[]1,5--上的最值； (2)若函数x a x x f x g ln 1)()(-+=,求证：当()e a 2,0∈时，函数)(x g 无零点．数学（理科）参考答案1．B 2．B3．C4．D5．A 6．B8．D9．C10．A11．B12．D13．31 14．2215．72-16．2117．解：(1)依题意310)1(,-=f （1分） 而,4)1(,422)(2-=--='f x x x f （3分）故所求切线方程为)1(4310--=⎪⎭⎫⎝⎛--x y ，即.02312=-+y x （4分） (2)依题意)2)(1(2)2(2)(2-+=--='x x x x x f （5分）令0)(='x f ，解得1-=x 或.2=x （6分）故当)1,(--∞∈x 时，0)(>'x f ；当)2,1(-∈x 时0)(,<'x f ； 当),2(+∞∈x 时，0)(>'x f （8分）故函数)(x f 的极大值为310)1(=-f （10分） 18．解：(1)依题意b a a b c A C C A --+=++sin sin )sin(,，1sin sin sin --=+b a cA CB （1分）由正弦定理得1--=+ba ca cb （2分）整理得bc a c b -=-+222，所以212cos 222-=-+=bc a c b A （4分） 因为π<<A 0，所以32π=A （5分） 故所求外接圆半径339313sin 2===A a r （6分） (2)因为13=a ，3=c ，32π=A 所以由余弦定理,cos 2222A bc c b a -+=得32cos329132π⨯⨯⨯-+=b b （8分） 即0432=-+b b ，解得1=b 或4-=b （舍去），（10分） 所以433233121sin 21=⨯⨯⨯==A bc S （12分）19．解：(1)在图(1)中，因为,CM BM ⊥,DM BM ⊥所以翻折后，在图(2)中有CM BM ⊥，,DM BM ⊥（2分） 又M DM CM =I ，所以⊥BM 平面CDM （3分）因为⊂BM 平面CBM ，故平面⊥CBM 平面.CDM （4分）(2)因为DM CM ⊥，BM CM ⊥，M BM DM =I ，所以⊥CM 平面ABMD又MD BM ⊥，以M 为原点，分别以MD ，MB ，MC 所在直线为x 轴，y 轴，z 油，建立 如图所示的空间直角坐标系，（5分）设)0(>=a a CM ，)0,0,2(D ，),0,0(a C ，)0,2,2(A ，则),0,2(a CD -=，),2,2(a -= 设平面CAD 的法向量为),,(z y x n =由⎩⎨⎧=-+=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0220200az y x az x CA n n取a x =0,=y ，2=z ，即)2,0,(a n =（9分） 取平面CBM 的法向量为)0,0,2(=MD （10分）13133=，即131334222=+a a ，解得3=a ，即.3=CM （12分） 20．解：(1)设圆,0:22=++++F Ey Dx y x C则⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++=+++03213,01,0417F E D F E F E D ，解得4-=D ，2-=E ，1=F （3分）故圆,0124:22=+--+y x y x C 即4)1()2(22=-+-y x 而2353422+==+='C C ，故圆C 与圆C '外切．（5分）(2)当直线MN 与x 轴重合时，令0=y ，得32-=M x ，32+=N x ，可得PN PM 3434+-=，不符合题意。

2020年江西省抚州市临川一中高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|(x−2)(x+1)>0}则C R A=()A. {x|−1<x<2}B. {x|−1≤x≤2}C. {x|x<−1}∪{x|x>2}D. {x|x≤−1}∪{x|x≥2}2.已知复数z=1+i，则|z2−1|=()A. 5B. 2√5C. √5D. 23.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图的曲线部分是四分之一圆弧，该几何体的表面上的两点M，N在正视图上的对应点分别为A(中点)，B，则一质点自点M沿着该几何体的侧面绕行一周到达点N的最短路径长为()A. √(π+4)2+1B. √π2+1C. √4π2+1D. √374.函数f(x)=13ax3+12ax2−2ax+2a+1的图像经过四个象限的一个充分但不必要条件是()A. −43<a<−13B. −1<a<−12C. −65<a<−316D. −2<a<05.已知△ABC的三个顶点是A(−a,0)，B(a,0)和C(a2,√32a)，则△ABC的形状是()A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 斜三角形6.下列函数图象不是轴对称图形的是()A. y=1xB. y=cosx，x∈[0,2π]C. y=√xD. y=lg|x|7.如图是一个2×2列联表，则表中m，n的值分别为()y 1 y 2 合计 x 1 a 35 45 x 2 7 b n 合计m73SA. 10，38B. 17，45C. 10，45D. 17，388. 一个圆经过以下两个点B(−3,0)，C(0,−2)，且圆心在y 轴上，则圆的标准方程为( )A.B. x 2+(y ±54)2=(134)2 C. x 2+(y −54)2=134D. x 2+(y −54)2=(134)29. 已知F 1(−8,3)，F 2(2,3)，动点P 满足|PF 1|−|PF 2|=10，则P 点的轨迹是( )A. 双曲线B. 双曲线的一支C. 直线D. 一条射线10. 向如图中所示正方形内随机地投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为( )A. 3518 B. 2536 C. 25144 D. 257211. 如图，直三棱柱ABC −A 1B 1C 1，AC ⊥BC ，且CA =CC 1=√2CB ，则直线BC 1与直线AB 1所成角的余弦值为( )A. √55B. √53C. 2√55D. √151512. 已知函数f(x)=k(x −lnx)−e x x，若f(x)只有一个极值点，则实数k 的取值范围是( )A. (−e,+∞)B. (−∞,e)C. (−∞,e]D. (−∞,1e ]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.f(x)=(2−x)e2x的单调递增区间是__________．)5的展开式中x4的系数为________．14.(x2+2x15.如图，江岸边有一观察台CD高出江面30米，江中有两条船A和B，由观察台顶部C测得两船的俯角分别是45o和30o，若两船与观察台底部连线成30o角，则两船的距离是__________．16.已知函数f(x)=axlnx−e x(其中e为自然对数的底数)存在唯一的极值点，则实数a的取值范围是________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设f(x)=6cos2x−√3sin2x．(1)求f(x)的最大值及最小正周期；α的值．(2)若锐角α满足f(α)=3−2√3，求tan4518.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC，F为A1B1的中点．求证：(1)B1C//平面FAC1；(2)平面FAC1⊥平面ABB1A1．19.已知函数(1)当a=−1时，求f(x)的单调区间；(2)当x∈[1,e]时，求f(x)的最小值．20. 已知函数，f(x)=log 2x −x +1，(x ∈[2,+∞))，数列{a n }满足a 1=2,a n+1a n=2,(n ∈N ∗)．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式a n ； (Ⅱ)求f(a 1)+f(a 2)+⋯+f(a n ).21. 设M 点为圆C ：x 2+y 2=4上的动点，点M 在x 轴上的投影为N.动点P 满足2PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，动点P 的轨迹为E ． (Ⅰ)求E 的方程；(Ⅱ)设E 的左顶点为D ，若直线l ：y =kx +m 与曲线E 交于两点A ，B(A,B 不是左右顶点)，且满足|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ −DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，求证：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =1−√32ty =−√3+12t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=√22． (1)求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；(2)设点P(1,−√3)，直线l与曲线C相交于两点A，B，求1|PA|+1|PB|的值．23.设函数f(x)=|x−a|．(1)当a=−1时，解不等式f(x)≥7−|x−1|；(2)若f(x)≤2的解集为[−1,3]，m+2n=2mn−3a(m>0,n>0)，求证：m+2n≥6．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查一元二次不等式的解法和补集及其运算.化简集合A，结合数轴即可求出结果．解：由(x−2)(x+1)>0得x>2或x<−1，∴A={x|x<−1或x>2}，∴C R A={x|−1≤x≤2}．故选B．2.答案：C解析：本题主要考查了复数的四则运算，复数的模，属于基础题.先求出z2−1，再根据复数模的求法即可求得结果．解：由复数z=1+i，得z2−1=(1+i)2−1=2i−1，所以|z2−1|=√22+(−1)2=√5．故选：C．3.答案：A解析：本题考查几何体的三视图和多面体和旋转体上的最短距离(折叠与展开图)，属中档题，关键是根据三视图确定几何体的形状与尺寸，并将空间最短路径问题转化为侧面展开图的直线距离问题解：如图是由三视图得到的几何体，是有一个棱长为2的正方体去掉以一条棱为轴的底面半径r=2的圆柱的四分之一得到，×2π×r=π，圆柱部分的底面弧长为14其展开图如图所示，是长为4+π，宽为2的矩形，质点自点M沿着该几何体的侧面绕行一周到达点N的最短路径长为展开图中M、N的直线距离为，故选A．4.答案：B解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数的导数，研究函数的极值是解决本题的关键．据选择项只要判断当a<0时的函数的导数，研究函数的极值，结合函数的图象特点进行求解即可解：根据选择项只要判断当a<0时，即可，函数的导数f′(x)=ax2+ax−2a=a(x−1)(x+2)．若a<0，当x<−2或x>1，f′(x)<0，当−2<x<1，f′(x)>0，即当x=−2时，函数取得极小值，当x=1时函数取得极大值，要使函数f(x)=13ax3+12ax2−2ax+2a+1的图象经过四个象限，则有f(−2)<0，且f(1)>0，∴−65<a<−316，即函数的图象经过四个象限的充要条件为−65<a<−316，则对应的充分但不必要条件为(−65,−316)的真子集，则−1<a<−12满足条件，故选：B．5.答案：C解析：本题主要考查了两点间的距离公式以及勾股定理判断，熟练掌握相关知识点和方法是解决此类问题的关键．解：由坐标可知|AB|=2a，|AC|=a2)(√3a2)=√3a，|BC|=a2)(√3a2)=a，所以|AB|2=|AC|2+|BC|2，则△ABC是直角三角形，故选C．6.答案：C解析：解：对于A，y=1x为轴对称图形，其对称轴y=x，或y=−x，对于B：y=cosx在x∈[0,2π]为轴对称图形，其对称轴x=π，对于C：y=√x不是轴对称图形，对于D：y=lg|x|为轴对称图形，其对称轴x=0，故选：C．根据常见函数的图象即可判断本题考查了函数的图象和性质，属于基础题7.答案：B解析：本题考查2×2列联表，考查推理能力和计算能力，属于基础题． 由联表中数据即可求解．解：根据2×2列联表可知a +35=45，解得a =10，则m =a +7=17，又由35+b =73，解得b =38，则n =7+b =45，故选B ．8.答案：D解析：本题考查圆的标准方程的求法，训练了利用待定系数法求解圆的方程，是基础题．设圆心坐标为(0,b)，半径为r ，可得圆的方程为x 2+(y −b)2=r 2，把已知点的坐标代入，求解b 与r 值，则圆的方程可求．解：设圆心坐标为(0,b)，半径为r ， 则圆的方程为x 2+(y −b)2=r 2， 则{9+b 2=r 2(b +2)2=r 2, 解得b =54，r 2=16916，∴圆的标准方程为x 2+(y −54)2=(134)2． 故选D ．9.答案：D解析：F 1，F 2是两定点，|F 1F 2|=10，所以满足条件|PF 1|−|PF 2|=10的点P 的轨迹应为一条射线.故选D ．10.答案：C解析：根据几何概率的求法：镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、含面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解：观察这个图可知：阴影部分是一个小三角形，在直线AB 的方程为6x −3y −4=0中， 令x =1得A(1,23)， 令y =−1得B(16,−1)． ∴三角形ABC 的面积为S =12AC ×BC =12×(1+23)(1−16)=2536∵图中正方形的面积为4，∴飞镖落在阴影部分(三角形ABC 的内部)的概率是：25364=25144．故选：C ．11.答案：D解析：本题考查利用空间向量解决异面直线所成角的问题，向量夹角余弦的坐标公式，要清楚两异面直线的方向向量的夹角和这两异面直线所成角的关系．设CA =1，由条件及建立的空间直角坐标系，可求出点A ，B ，B 1，C 1几点的坐标，从而得到向量BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由向量夹角余弦的坐标公式即可求出cos <BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >，从而便得出直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值．解：设CA =1，建立空间直角坐标系，如图，根据条件可求以下几点坐标：A(1,0，0)，B 1(0,1，√22)，B(0,0，√22)，C 1(0,1，0)；∴BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−√22),AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,1,√22)；∴cos <BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1−12√1+24×√1+1+24=√1515．∴直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为√1515．故选D ．12.答案：C解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，是中档题． 求出函数的导数，令f ′(x)=0，解得x =1，或k =e x x，令ℎ(x)=e x x，根据函数的单调性结合ℎ(x)=e x x的图象，求出k 的范围即可． 解：函数f(x)=k(x −lnx)−e x x(k ∈R )，∴f ′(x)=(x−1)(kx−e x )x 2，x ∈(0,+∞)；令f′(x)=0，解得x =1，或k =e x x，设，则ℎ′(x)=e x x−e xx 2=e x (x−1)x 2，由ℎ′(x)>0，得x >1； 由ℎ′(x)<0得0<x <1．当x =1时，ℎ(x)取得极小值ℎ(1)=e ． 作出函数ℎ(x)=e x x的图象如图所示：结合函数ℎ(x)的图象，则k <e 时，函数f(x)只有一个极值点x =1；k=e时，函数f(x)也只有一个极值点x=1，满足条件；k>e时不满足条件，舍去．综上所述，实数k的取值范围是(−∞,e]．故选C．13.答案：(−∞,32)解析：f′(x)=−e2x+2(2−x)e2x=e2x(3−2x)，因为e2x>0恒成立，所以令f′(x)=e2x(3−2x)>0得x<32.即f(x)的单调递增区间为(−∞,32)．本题考察导数的基本计算和函数单调性的求解，属于基础题．14.答案：40解析：本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数．求出二项展开式的通项，计算可得结果．解：根据题意得，T r+1=C5r(x2)5−r(2x)r=C5r2r x10−3r，令10−3r=4，得r=2，∴(x2+2x)5的展开式中x4的系数为C5222=40．故答案为40．15.答案：30米解析：本题给出实际应用问题，求观察台旁边两条小船间的距离．着重考查了余弦定理、空间线面的位置关系等知识，属于中档题．利用直线与平面所以及俯角的定义，化为两个特殊直角三角形的计算，再在底面△DAB中用余弦定理即可求出两船距离．解：如图，设C处观测小船A的俯角为45°，设C处观测小船B的俯角为30°，连接DA、DB，Rt△CDA中，∠CAD=45°，可得DA=CD=30米，Rt△CDB中，∠CBD=30°，可得DB=√3CD=30√3米，在△DAB中，DA=30米，DB=30√3米，∠ADB=30°，由余弦定理可得：AB2=DA2+DB2−2DA·DBcos30°=900．∴AB=30米(负值舍去)．故答案为30米．16.答案：解析：本题考查了利用导数求函数的极值问题，求出函数的导数，由已知条件结合零点存在定理进行判断即可．解：f′(x)=a lnx+a−e x=a(lnx+1)−e x，令f′(x)=0，即a(lnx+1)−e x=0，解得x=0，∴f(x)在x=0处存在极值为，f(0)=−e0=−1<0，又∵函数存在唯一的极值点，∴只需要f′(x)=a(lnx+1)−e x<0即可，∵e x在R上恒大于0，则只需a<0即可，∴a的取值范围为，故答案为．−√3sin2x17.答案：解：(1)f(x)=61+cos2x2=3cos2x −√3sin2x +3 =2√3(√32cos2x −12sin2x)+3=2√3cos(2x +π6)+3故f(x)的最大值为2√3+3；最小正周期T =2π2=π(2)由f(α)=3−2√3得2√3cos(2α+π6)+3=3−2√3， 故cos(2α+π6)=−1又由0<α<π2得π6<2α+π6<π+π6，故2α+π6=π，解得α=512π． 从而tan 45α=tan π3=√3．解析：本题考查三角函数的图象与性质即三角函数的恒等变换，解决问题的关键是：(1)利用三角函数的二倍角公式及公式asinx +bcosx =√a 2+b 2sin(x +θ)化简为只含一个角一个函数名的三角函数，利用有界性及周期公式求出最大值最小正周期． (2)列出关于α的三角方程，求出α，求出正切值．18.答案：解：(1)证明：如图所示取AB 的中点E ，连接CE ，EB 1，∵F 为A 1B 1的中点，∴C 1F//CE ，AF//B 1E ，且C 1F ∩AF =F ，CE ∩B 1E =E ， ∴面B 1CE//平面FAC 1，∵B 1C ⊂B 1CE ， ∴B 1C//平面FAC 1(2)证明：直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，A 1A ⊥面A 1C 1B 1，∵C 1F ⊂面A 1C 1B 1，∴A 1A ⊥C 1F ， ∵AC =BC ，F 为A 1B 1的中点，∴A 1B 1⊥C 1F ，且AA 1∩A 1B 1，∴C 1F ⊥面AA 1C 1B 1B ，C1F⊂面A1C1B1，∴平面FAC1⊥平面ABB1A1．解析：(1)如图所示取AB的中点E，连接CE，EB1，可得面B1CE//平面FAC1，即B1C//平面FAC1 (2)只需证明C1F⊥面AA1C1B1B，即可得平面FAC1⊥平面ABB1A1．本题考查了线面平行、面面垂直的判定，关键是空间位置关系的判定与性质的应用，属于中档题．19.答案：解：(1)当a=−1时，，∴f′(x)=x−1x =x2−1x(x>0)，由f′(x)>0，解得x>1；由f′(x)<0，解得0<x<1，故f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞)．(2)f′(x)=x−(a+1)+ax =x2−(a+1)x+ax=(x−1)(x−a)x(x>0)，当a≤1时，f(x)在[1,e]上为增函数，∴f(x)min=f(1)=92−a；当1<a<e时，f(x)在(1,a)上为减函数，在(a,e)上为增函数，；当a≥e时，f(x)在[1,e]上为减函数，∴f(x)min=f(e)=e22−(a+1)e+5+a，综上所述，当a≤1时，f(x)min=92−a；当1<a<e时，；当a≥e时，f(x)min=e22−(a+1)e+5+a解析：本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，属于中档题．(1)求出导函数，由f′(x)>0解得单调递增区间，由f′(x)<0解得单调递减区间；(2)求出导函数，由f′(x)=0的两根的的大小，分类讨论，求得函数在[1,e]上的单调性，得到最小值．20.答案：解：(I)∵a n+1a n =2，a1=2，∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列∴a n=2×2n−1=2n；(II)由(I)可得f(a n)=log22n−2n+1=(n+1)−2n，∴f(a1)+f(a2)+⋯+f(a n)=[2+3+⋯+(n+1)]−(2+22+⋯+2n]=n(n+3)2−2n+1+2．解析：(I)根据a n+1a n=2，a 1=2，利用等比数列的定义可得数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，从而可求数列{a n }的通项公式a n ；(II)由(I)可得f(a n )=log 22n −2n +1=(n +1)−2n ，利用等差数列与等比数列的求和公式，可得结论．本题考查等比数列的定义，考查等差数列与等比数列的求和公式，属于中档题．21.答案：解：(Ⅰ)设P(x,y)，M(x 0,y 0)，则N (x 0,0)，∴PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−x,−y )，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−y 0)， ∵2PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴x 0=x ，y 0=2√3y3， 代入圆的方程得，x 2+43y 2=4， 即x 24+y 23=1，故动点P 的轨迹E 的方程为：x 24+y 23=1；证明：(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知，D (−2,0)， ∵|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ −DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴DA ⊥DB ，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由{y =kx +m x 24+y 23=1，消去y 得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0， ∴x 1+x 2=−8km3+4k 2，x 1x 2=4m 2−123+4k 2，…①∴y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+mk (x 1+x 2)+m 2，…② 由DA ⊥DB 得：y 1x 1+2×y 2x 2+2=−1， 即−y 1y 2=x 1x 2+2(x 1+x 2)+4，…③由②③得：(k 2+1)x 1x 2+(2+mk )(x 1+x 2)+m 2+4=0，…④ 把①代入④并整理得：7m 2−16km +4k 2=0，得： (7m −2k )(m −2k )=0，即m =27k 或m =2k ，故直线l 的方程为y =k (x +27)，或y =k (x +2)， 当直线l 的方程为y =k (x +27)时，l 过定点(−27,0)；满足Δ>0当直线l 的方程为y =k (x +2)时，l 过定点(−2,0)，这与A ，B 不是左右顶点矛盾． 故直线l 的方程为y =k (x +27)，过定点(−27,0)．解析：本题考查了轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，难度较大．(Ⅰ)设P(x,y)，M(x 0,y 0)，由已知条件建立二者之间的关系，利用坐标转移法可得轨迹方程； (2)由向量条件结合矩形对角线相等可得DA ，DB 垂直，斜率之积为−1，再联立直线与椭圆方程，得根与系数关系，逐步求解得证．22.答案：解：(1)因为，所以，将，ρ2=x 2+y 2，代入上式，可得x 2+2y 2=8，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+2y 2=8； 因为直线l 的参数方程为{x =1−√32ty =−√3+12t, 消去参数t 得x +√3y +2=0，所以直线l 的普通方程为x +√3y +2=0； (2)易知点P(1,−√3)在直线l 上，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程， 可得5t 2−12√3t −4=0，设A,B 两点所对应的参数分别为t 1,t 2， 则t 1+t 2=12√35，t 1t 2=−45， 于是1|PA|+1|PB|=|PA|+|PB||PA||PB|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=4√2.解析：本题考查的知识点是椭圆的极坐标方程，直线的参数方程，直线参数方程中参数的几何意义，难度中档．(1)利用三种方程的转化方法，求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，可得5t 2−12√3t −4=0，利用参数的几何意义，求1|PA |+1|PB |的值．23.答案：解：(1)a =−1时，f(x)=|x +1|，f(x)≥7−|x −1|，即|x +1|+|x −1|≥7，故{x ≥1x +1+x −1≥7或{−1<x <1x +1+1−x ≥7或{x ≤−1−x −1+1−x ≥7, 解得：x ≥72或x ≤−72，故不等式的解集是(−∞,−72]∪[72,+∞)；(2)令f (x )≤2，即|x −a|≤2，解得−2+a ≤x ≤2+a ， 由f (x )≤2的解集是[−1,3]，易得a =1，m +2n =2mn −3， ∵m >0,n >0，由均值不等式可得m +2n ≥2√2mn ， 当且仅当m =2n =3时“=”成立， 故(m+2n 2)2≥(m +2n)+3，∴m +2n ≥6．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．(1)通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可； (2)求出a 的值，根据基本不等式的性质证明即可．。

2020届临川一中暨临川一中实验学校高三理科数学月考试卷（满分：150分考试时间：120分钟）审题人：临川一中高三数学备课组一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的）1. 已知i 为虚数单位,若复数1z ,2z 在复平面内对应的点分别为(2,1),(1,2)-,则复数12z z i⋅=（ ） A ．34i -- B ．34i -+C ．43i --D ．3-2．已知集合{|20}A x x =-≥,{|ln(1)}B x y x =∈=+Z ,则A B =I （ ）A ．[1,2]-B ．(1,2]-C ．{0,1,2}D ．{1,0,1,2}-3．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若41012222a a a ++=,则14S =（ ）A ．56B ．66C ．77D ．784．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-,且在区间[]1,2上是减函数,令2log 3a =,12211,log 162b c -⎛⎫== ⎪⎝⎭,则()()(),,f a f b f c 的大小关系为（ ）A.()()()f a f b f c << B.()()()f a f c f b << C.()()()f b f a f c <<D.()()()f c f a f b <<5．若点()x y P 2sin ,cos -=在直线αα上,则sin 22πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值等于（ ） A ．53-B ．53C ．54-D ．546. 在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前一时期相比较的增长率.2020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据2019年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确的是( )A ．2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比有涨有跌B ．2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格最高C ．2019年我国居民每月消费价格逐月递增D ．2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降7．已知1111114357941π≈-+-+-+L ,如图是求π的近似值的一个程序框图,则图中空白框中应填入（ ）A ．()n+1121i n -=+ B ．(1)21n i n -=+ C ．()n+112i i -=+ D ．(1)2n i i -=+8．已知实数,x y 满足约束条件2202201,1x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥-≥-⎩,则2x y +的取值范围是（ ） A ．(3,6]-B ．[3,6]-C ．3(,6]2-D ．3[,6]2-9．函数1()ln ||1xf x x+=-的图象大致为（ ）10．2019年10月1日,中华人民共和国成立70周年,举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行,拼成一个6位数,则产生的不同的6位数的个数为（ ） A ．72B ．84C ．96D ．12011．已知1F ,2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点,过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点.若2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列,且1||PQ PF =,则椭圆C 的离心率为（ ）A ．23B ．34CD12．已知是函数的极大值点,则的取值范围是（ ）A ．(]1,-∞-B ．(,1]-∞C ．[0,)+∞D ．[1,)+∞二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13．设向量a v 与b v 的夹角为θ,定义a v 与b v 的“向量积”：a b ⨯v v是一个向量,它的模sin a b a b θ⨯=⋅⋅v v v v .若()1,a b =-=r r ,,则a b ⨯=v v____________.14. 若2a xdx =⎰,则()51-+ay x 的展开式中22x y 的系数为___________.15．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中,P 为线段11A D 的中点,若三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上,则球O 的表面积为 .16．已知1(3,0)A -,2(3,0)A 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点,双曲线C 的渐近线上存在一点P 满足122||||PA PA =,则b 的最大值为________．0x =()()tan f x x ax x =-a三、解答题（本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）如图,在平面四边形ABCD 中,2BC =,23CD =,且AB BD DA ==.（1）若6CDB π∠=,求tan ABC ∠的值；（2）求四边形ABCD 面积的最大值.18.（本小题满分12分）如图,在四棱锥P ABCD -中,PAB ∆是正三角形,BC AB ⊥,BC CD=23=,AB AD 2==. （1）若3PB BE =,求证：AE ∥平面PCD ； （2）若4PC =,求二面角A PCB --的正弦值．19．（本小题满分12分）2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动,治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此,某药企加大了研发投入,市场上治疗一类慢性病的特效药品A 的研发费用x （百万元）和销量y （万盒）的统计数据如下：研发费用x （百万元）2 3 6 10 13 15 18 21销量y （万盒）1 12 2.5 3.5 3.5 4.5 6（1）根据数据用最小二乘法求出y 与x 的线性回归方程ˆˆy bxa =+（系数用分数表示，不能用小数）；（2）该药企准备生产药品A 的三类不同的剂型1A ,2A ,3A ,并对其进行两次检测,当第一次检测合格后,才能进行第二次检测．第一次检测时,三类剂型1A ,2A ,3A 合格的概率分别为12,34,35,第二次检测时,三类剂型1A ,2A ,3A 合格的概率分别为45,23,23．两次检测过程相互独立,设经过两次检测后1A ,2A ,3A 三类剂型合格的种类数为X ,求X 的分布列与数学期望．附：（1）1221ˆˆˆbni ii nii x y nx ya y bx xnx==-==--∑∑，（2）882113471308i i i i i x y x ====∑∑，．20．（本小题满分12分）给定椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>,称圆心在原点O ,半径为22a b +的圆是椭圆C 的“准圆”.若椭圆C 的一个焦点为(30)F ，,其短轴上的一个端点到F 的距离为6.（1）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（2）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点,过点P 作椭圆的切线12,l l 交“准圆”于点,M N .①当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时,求直线12,l l 的方程并证明12l l ⊥； ②求证：线段MN 的长为定值.21.（本小题满分12分）已知函数.（1）若在63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上存在单调递增区间,求实数的取值范围；（2）设,若,恒有成立,求的最小值.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做,则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为8242x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t为参数）．以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为θρsin 2=． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若射线(0)4θρπ=>与l 和C 分别交于点,A B ,求||AB ．()sin axf x e x =()f x a 1a ≥0,2x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦()f x bx ≤2b e a -23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知()|||2|f x x x =+-.（1）求不等式|4|()x f x x >的解集；（2）若()f x 的最小值为M ,且22(,,)a b c M a b c ++=∈R ,求证：22249a b c ++≥.2020届临川一中暨临川一中实验学校高三理科数学月考答案一、单选题1-5．ACCCA 6-10．DBBDB 11-12．DB 二、填空题13．2 14．120- 15． π41 16．4 三、解答题17．【答案】（1）3-（2）38法一：解：（1）在BCD ∆中，由正弦定理得sin sin CD BCCBD BDC=∠∠，∴sin6sin 22CBD π∠==∵0CBD π<∠<，∴3CBD π∠=或23CBD π∠=………………3分 当23CBD π∠=时，此时A B C 、、三点共线，矛盾 ∴3CBD π∠= ………………4分 ∴()2tan tan tan tan 333ABC ABD CBD πππ⎛⎫∠=∠+∠=+==⎪⎝⎭………………6分法二：由余弦定理222cos 242BD CD BC BDC BD BD BD CD +-∠====⋅或 (3)分若2BD =时，此时23CBD π∠=，即A B C 、、三点共线，矛盾………………4分 ∴4BD =，此时3CBD π∠=∴()tan tan tan 33ABC ABD CBD ππ⎛⎫∠=∠+∠=+=⎪⎝⎭6分（2）设BCD θ∠=，在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD θ=+-⋅()222232223cos 1683cos θθ=+-⨯⨯=-……8分 ∴21113sin sin sin 222ABC BCD BAD D S S BC CD BA BD BC CD BD S θθθ∆∆=+=⋅+⋅=⋅+四边形 23sin 436cos 43sin 433πθθθ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭.……………………11分当56πθ=时，四边形ABCD 面积的最大值83. ……………………12分 备注：（1）若第1问用正弦定理没写出23CBD π∠=，扣1分 （2）若第1问用余弦定理没写出2BD =，并且排除2BD =，扣1分 18.【答案】（1）见详细答案（2）25（1）如图，作EF PC ∥，交BC 于F ，连接AF . 因为3PB BE =，所以E 是PB 的三等分点，可得23BF =. 因为2AB AD ==，23BC CD ==，AC AC =，所以ABC ADC △≌△， 因为BC ⊥AB ，所以90ABC ∠=︒，…………………1分因为3tan 23AB ACB BC ∠===，所以30ACB ACD ∠=∠=︒，所以60BCD ∠=︒，（2分） 因为tan 323AB AFB BF ∠===，所以60AFB ∠=︒，所以AF CD ∥，……3分 因为AF ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AF ∥平面PCD .……4分又EF PC ∥，EF ⊄平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD .……………5分 因为AF EF F =I ，AF 、EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ∥平面PCD ，所以AE ∥平面PCD .…6分（2）因为PAB △是等边三角形，2AB =，所以2PB =.又因为4PC =，BC =，所以222PC PB BC =+，所以BC PB ⊥. 又BC ⊥AB ，,AB PB ⊂平面PAB ，AB PB B =I ，所以BC ⊥平面PAB .因为BC ⊂平面ABCD ，所以平面PAB ⊥平面ABCD .在平面PAB 内作Bz ⊥平面ABCD .………7分以B 点为坐标原点，分别以,,BC BA Bz 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，则C ，(0,2,0)A，P ，所以BC =u u u r，BP =u u u r，2,0)AC =-u u u r，(0,AP =-u u u r.………8分设111(,,)x y z =m 为平面BPC 的法向量，则00BC BP ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=u u u ru u u r m m，即1110y ⎧==⎪⎨⎪⎩， 令11z =-，可得1)=-m .………………9分设222(,,)x y z =n 为平面APC 的法向量，则00AC AP ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=u u u ru u u r n n，即2222200y y -=-+=⎧⎪⎨⎪⎩， 令21z =，可得=n .………………10分所以,cos ==m n ………………11分则n s ,i =m n ，所以二面角A PC B --的正弦值为.……………………12分 备注：若第2问用几何法做对也给满分. 19．【答案】（1）83107340340y x =+（2）分布列见详解，数学期望为1310. 解：解：（1）由题意可知2361021131518118x +++++++==，112 2.56 3.5 3.5 4.538y +++++++==，………………2分 由公式12221ˆ34781138313088b 11340ni ii n i i x y nx y x nx==-⨯⨯==-⨯-=-∑∑………………3分 83107ˆˆ311340340ay bx =-=-⨯=………………4分 ∴83107340340y x =+……………5分 （2）药品A 的三类剂型123A A A 、、经过两次检测后合格分别为事件123B B B 、、,则()()()123142321322,,255432535p B P B P B =⨯==⨯==⨯=……………7分 由题意，0,1,2,3X 可取()()()()()()()()2123212312312321231231231232190115250212212111112525525021221821125255225235p X p B B B p X p B B B B B B B B B p X p B B B B B B B B B p X p B B B ⎛⎫⎛⎫===--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=-⋅+-⋅⋅-⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=⋅-+-⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫=== ⎝212225⋅=⎪⎭………10分X ∴的分布列为9218213123.5050255010X ∴⨯+⨯+⨯+⨯=的期望为：EX=0…………12分20.【答案】(1) 椭圆方程为22163x y +=，准圆方程为229x y +=； ①12l l ，方程为33y x y x =+=-+， ②见详解 【解析】（1）c a b ==∴=Q 2分∴椭圆方程为22163x y +=， ………………3分 准圆方程为229x y +=．………………4分（2）（ⅰ）因为准圆229x y +=与y 轴正半轴的交点为(03)P ，， 设过点(03)P ，且与椭圆相切的直线为3y kx =+， 所以由223{163y kx x y =++=，，得22(12)12120k x kx +++=.……………5分 因为直线3y kx =+与椭圆相切，所以22144412(12)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±，……………6分 所以12l l ，方程为33y x y x =+=-+，．……………7分 121l l k k ⋅=-Q ，12l l ∴⊥．……………8分（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l 斜率不存在， 则1l：x =当1l ：6x =时，与准圆交于点(63)(63)-，，，，此时2l 为y =y =，显然直线12l l ，垂直；同理可证当1l：x =12l l ，垂直……………9分 ②当12l l ，斜率存在时，设点00(,)P x y ，其中22009x y +=. 设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+， 所以由0022(){163y t x x y x y =-++=，，得2220000(12)4()2()60t x t y tx x y tx ++-+--=.……………10分由0∆=化简整理得()22200006230x t x y t y -++-=因为22009x y +=，所以有2220000(6)2(6)0x t x y t x -++-=. 设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切， 所以12t t ，满足上述方程2220000(6)2(6)0x t x y t x -++-=， 所以201220616x t t x -⋅==--，即12l l ，垂直．……………11分 综合①②知：因为12l l ，经过点00()P x y ，，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ，垂直. 所以线段MN 为准圆229x y +=的直径，6MN ＝，所以线段MN 的长为定值6．……………12分21．【答案】（1）()∞（2）22e π-解：（1）由()sin ax f x e x =，得()()'sin cos ax f x e a x x =+，……………1分由()f x 在63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上存在单调递增区间，可得()'0f x >在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，……………2分即sin cos 0a x x +>在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，则min 1tan a x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，∴a > ∴a的取值范围为()∞.……………4分 （2）设()()sin ax bx e x g x f x b x =-=-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()()'sin cos ax g x e a x x b =+-.设()()sin cos ax h x e a x x b =+-，则()()2'1sin 2cos 0ax h x e a x a x ⎡⎤=-+≥⎣⎦， ……………5分∴()h x 单调递增，即()'g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 ∴()2'1,a g x b ae b π⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.……………6分当1b ≤时，()'0g x ≥，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()()00g x g ≥=，不符合题意； 当2a b ae π≥时，()'0g x ≤，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()()00g x g ≤=，符合题意； 当21a b ae π<<时，由于()'g x 为一个单调递增的函数，而()'010g b =-<，2'02a g ae b ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， 由零点存在性定理，必存在一个零点0x ，使得()0'0g x =，从而()g x 在[]00,x x ∈上单调递减，在0,2x π⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增， ……………9分 因此只需02g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴22a e b ππ≤，∴22a b e ππ≥，从而222a a e b ae πππ≤<， 综上，b 的取值范围为22,a e ππ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，……………10分 因此2222a b e a e e a ππ-≥-. 设()222a G a e e a ππ=-，则()22'ae a e G π=-， 令()'0G a =，则41a π=>，∴()G a 在41,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在4,π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，……………11分 从而()242e G a G ππ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭，∴2b e a -的最小值为22e π-.……………12分 备注：第1问写)⎡+∞⎣扣1分22.（1）:40(0)l x y x +-=≠,22:20C x y y +-=（2【解析】（1）由82x t =+可得0x ≠， 由8242x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去参数t ，可得直线l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠．………………2分由2sin ρθ=可得22sin ρρθ=，将sin y ρθ=，222x y ρ=+代入上式，可得2220x y y +-=，所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=．…………………………5分（2）由（1）得，l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠， 将其化为极坐标方程可得cos sin 40()2ρθρθθπ+-=≠，…………………………7分当()04θρπ=>时，A ρ=，B ρ，所以|||||A B AB ρρ=-==10分备注：第1问没写0x ≠扣1分23.（1）(,0)(3,)-∞+∞U （2）见详解【解析】（1）当0x <时，|4|()x f x x>等价于|||2|4x x +->-，该不等式恒成立； 当02x <≤时，|4|()x f x x>等价于24>，该不等式不成立； 当2x >时，|4|()x f x x >等价于2224x x >⎧⎨->⎩，解得3x >，…………………………3分 所以不等式|4|()x f x x>的解集为(,0)(3,)-∞+∞U .…………………………5分 （2）因为()|||2||(2)|2f x x x x x =+-≥--=，当02x ≤≤时取等号，所以2M =,222a b c ++=，……7分由柯西不等式可得22222222224(22)(122)()9()a b c a b c a b c =++≤++++=++, 当且仅当244,,999a b c ===时等号成立，所以22249a b c ++≥.…………………………10分备注：第1问结果没用集合或区间表示扣1分。

2020年江西省抚州市临川一中高考数学模拟试卷(理科)(5月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i为虚数单位，复数z1对应的点是z1(1,1)，z2对应的点是z2(1,−1)，则z1z2=()A. 0B. iC. 1D. 1+i2.已知集合A={−1,0，1，2，3}，B={x|x=n2,n∈A}，则A∩B=()A. {0,1}B. {2,3}C. {4,1}D. {0,9}3.已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若a4+a9=10，则S12=()A. 30B. 45C. 60D. 1204.定义域为R的偶函数y=f(x)满足f(x+1)=f(x−4)，且x∈[−52,0]时，f(x)=−x2，则f(2016)+f(92)的值等于()A. −54B. −34C. 34D. 545.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(3,a)，B(4,b)，且角α终边不在直线y=x上，若，则|a−b|=()A. 1B. 15C. 13D. 126.2016年3月9日至15日，谷歌人工智能系统“阿尔法”迎战围棋冠军李世石，最终结果“阿尔法”以总比分4比1战胜李世石．许多人认为这场比赛是人类的胜利，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查，在参加调查的2548名男性中有1560名持反对意见，2452名女性中有1200名持反对意见，在运用这些数据说明“性别”对判断“人机大战是人类的胜利”是否有关系时，应采用的统计方法是()A. 茎叶图B. 分层抽样C. 独立性检验D. 回归直线方程7.如图给出的计算1+12+13+⋯+12014的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是()A. i≤2014B. i>2014C. i≤2013D. i>20138.已知实数x，y满足约束条件{x−y−1≥0,x−2y−2≥0,y<0,，则x−3y的取值范围是()A. (2,+∞)B. [2,+∞)C. (1,+∞)D. [1,+∞)9.函数f(x)=lg(|x|+x2)(|x|−1)x的图象大致为()A. B.C. D.10.2020年3月31日，某地援鄂医护人员A，B，C，D，E，F，6人(其中A是队长)圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且BC相邻，而BD不相邻的排法种数为()A. 36种B. 48种C. 56种D. 72种11.已知F1，F2为椭圆C：x24+y2=1的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=3|PF2|，则cos∠F1PF2等于()A. 34B. −13C. −35D. 4512.函数f(x)=3x−x3在区间(a2−12,a)上有最小值，则实数a的取值范围是()A. (−1,√11)B. (−1,2]C. (−1,4)D. (−1,4]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量|a⃗|=1，|b⃗ |=2，a⃗⋅b⃗ =1，则向量a⃗与b⃗ 的夹角为______ ．14.已知n=∫1x dxe6 1，那么(x−3x)n展开式中含x2项的系数为________．15.已知三棱锥P−ABC的4个顶点都在球O的球面上，若|AC|=4，∠ABC=30°，PA⊥平面ABC，PA=6，则球O的表面积为______ ．16.双曲线x2−y23=1的右焦点F，点P是渐近线上的点，且|OP|=2，|PF|=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 如图，在四边形ABCD 中，cos∠DAB =−14，AD AB =23，BD =4，AB ⊥BC ．(1)求sin∠ABD 的值;(2)若∠BCD =π4，求CD 的长．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD =60°，Q 为AD 的中点，点M 在线段PC 上，MC =2PM ．(Ⅰ)求证：PA//平面MQB ；(Ⅱ)若平面PAD ⊥平面ABCD ，PA =PD =AD =2，求二面角M −BQ −C 的大小．19. 为加快经济转型升级，加大技术研发力度，某市建立高新科技研发园区，并力邀某高校入驻设园区．为了解教职工意愿，该高校在其所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至研发园区”的问卷调盘，8个学院的调查人数及统计数据如下： 调查人数(x)1020 30 40 50 60 70 80 愿意整体搬迁人数(y)817 25 31 39 47 55 66(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y 关于变量x 的线性回归方程 y =b x+a ( b 保留小数点后两位有效数字)：若该校共有教职员工2500人，请预测该校 愿意将学校整体搬迁至研发园区的人数：(2)若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至研发园区，现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴研发区进行实地考察，记X 为考察团中愿意将学校整体搬迁至研发园区的院长人数，求X 的分布列及数学期望 参考公式及数据：， a =y−b ⋅x ，∑x i y i 8i=1=16310，∑x i 28i=1=2040020. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为14，左顶点为A ，右焦点为F ，且AF =5． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知圆M 的圆心M(−78,0)，半径为r.点P 为椭圆上的一点，若圆M 与直线PA,PF 都相切，求此时圆M 的半径r ．21. 已知函数f(x)=e 2x −2e x −4x ．(1)求f(x)的单调区间；(2)当x >0时，af(x)<e x −(4a +1)x 恒成立，求a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为{x =2t y =12+√3t(t 为参数)，曲线C 1：为参数)．(1)求直线l 及曲线C 1的极坐标方程；(ρ∈R)与直线l和曲线C1分别交于异于原点的A，B两点，求|AB|的值．(2)若曲线C2:θ=π323.已知函数f(x)=x2+2|x−1|．(1)求不等式f(x)>|2x|的解集；x(2)若f(x)的最小值为N，且a+b+c=N，(a,b，c∈R).求证：√a2+b2+√b2+c2+√c2+a2≥√2．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵复数z1对应的点是z1(1,1)，z2对应的点是z2(1,−1)，∴z1=1+i，z2=1−i，则z1z2=1+i1−i=(1+i)2(1−i)(1+i)=2i2=i．故选：B．利用复数的几何意义可得z1=1+i，z2=1−i，再利用复数的乘除运算化简即可得出．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.答案：A解析：本题考查了交集的定义与运算问题，属于基础题．根据题意化简集合B，再计算A∩B．解：集合A={−1,0，1，2，3}，B={x|x=n2,n∈A}={0,1，4，9}，则A∩B={0,1}．故选：A．3.答案：C解析：本题考查了等差数列的性质与求和公式，属于基础题．利用等差数列的性质与求和公式即可得出．解：由等差数列的性质可得：S12=(a1+a12)×122=6×(a4+a9)=60．故选C．4.答案：A解析：本题考查了函数的奇偶性与周期性的应用问题，也考查了求函数值的应用问题，是中档题． 根据题意，得出f(x)是周期为5的函数，再根据f(x)=−x 2，即可求出f(2016)+f(92)的值． 解：∵偶函数y =f(x)(x ∈R)，满足f(x +1)=f(x −4)， ∴f(x +4+1)=f(x +4−4)，∴f(x +5)=f(x)∴f(x)的周期是5， ∵x ∈[−52,0]时，f(x)=−x 2，设x ∈[0,52]时，则−x ∈[−52,0]，∴f(−x)=−(−x)2=−x 2=f(x)，∴f(x)=−x 2，∴f(2016)+f(92)=f(403×5+1)+f(10−12) =f(1)+f(−12)=−1−14=−54． 故选：A ． 5.答案：C解析：本题考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，属于基础题．由题意利用任意角的三角函数的定义求出tanα=b −a ，且b −a ≠1，再利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式求出tanα的值，可得|a −b|的值．解：由题意可得tanα=b−a 4−3=b −a ，且b −a ≠1， 若=1−tan 2α1+tan 2α+tanα1+tan 2α=12，解得tanα=−13或tanα=1(舍去)，即|a −b|=13，故选：C ． 6.答案：C解析：解：在参加调查的2548名男性中有1560名持反对意见，2452名女性中有1200名持反对意见，可得：K2=5000×(1560×1252−1200×988)22548×2452×2760×2240=83.88>10.828，故有理由“性别”对判断“人机大战是人类的胜利”是否有关系时，故利用独立性检验的方法最有说服力，故选：C．这是一个独立性检验应用题，处理本题时要注意根据在参加调查的2548名男性中有1560名持反对意见，2452名女性中有1200名持反对意见，计算出K2的值，并代入临界值表中进行比较，不难得到答案．本题考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，属于基础题．7.答案：A解析：解：由程序框图知：算法的功能是求S=1+12+13+14+⋯，根据输出S=1+12+13+⋯+12014，∴i=2015时，程序运行终止，∴条件应为：i≤2014或i<2015．故选：A．根据输出S=1+12+13+⋯+12014，得i=2015时，程序运行终止，可得条件应为：i≤2014或i<2015．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答此类问题的关键．8.答案：A解析：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数z的几何意义是解决本题的关键，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，求出z的取值范围即可．解：作出不等式组{x−y−1≥0x−2y−2≥0y<0对应的平面区域如图：令z =x −3y ，则化为直线y =x 3−z 3，当直线y =x 3−z 3过点A(2,0)时，截距最大，则z 值最小，z min =2−3×0=2，因为平面区域不包含点A ，所以x −3y 的取值范围是(2,+∞)，故选A ． 9.答案：A解析：先判断函数的奇偶性，然后令x =2进行计算，判断函数值的符号是否一致即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性，和特殊值的关系是解决本题的关键． 解：f(−x)=lg(|−x|+(−x)2)(|−x|−1)(−x)=−lg(|x|+x 2)(|x|−1)x =−f(x)，则f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除C ，D ，f(2)=lg(2+4)2=lg62>0，排除B ，故选：A ．10.答案：D解析：本题考查计数原理和排列问题，属于基础题．依题意，领导和队长站两端有A22种排法，其余5人分两种情况讨论，进行求解即可．解：领导和队长站两端有A22种排法，其余5人分两种情况讨论，BC相邻且与D相邻，A22A33种排法，BC相邻且与D不相邻A22·A22·A32种排去，所以共有A22(A22A33+A22·A22·A32)=72种，故选D．11.答案：B解析：解：由椭圆C： x24+y2=1，得a2=4，b2=1，则a=2,c=√a2−b2=√3，设|PF1|=3|PF2|=3m，则根据椭圆的定义，可得3m+m=4，∴m=1，∴|PF1|=3，|PF2|=1，∵|F1F2|=2c=2√3．∴cos∠F1PF2=32+12−(2√3)22×3×1=−13．故选：B．根据椭圆的定义，结合|PF1|=3|PF2|，求出|PF1|=3，|PF2|=1，利用余弦定理，即可求cos∠F1PF2的值．本题考查椭圆的性质，考查椭圆的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题．12.答案：B解析：∵f′(x)=3−3x2=3(1−x)(1+x)，当x∈(−∞,−1)或x∈(1,+∞)时，f′(x)<0；当x∈(−1,1)时，f′(x)>0，所以函数f(x)=3x−x3在区间x=−1时，有极小值f(−1)=−2，又由3x−x3=−2，解得x=−1或x=2，a2−12<−1，−1<a≤2，a2−12<a，所以函数f(x)=3x−x3在区间(a2−12,a)上有最小值，则实数a的取值范围是(−1,2]故选B.13.答案：π3解析：解：设夹角为θ，∵ a⃗⃗⃗ ⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |cosθ，∴1=2cosθ∴cosθ=12，即θ=π3．故答案为：π3．根据向量的数量积计算即可．本题主要考查了向量的数量积，属于基础题．14.答案：135解析：本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．先求定积分得出n的值，再在二项式展开式的通项公式中，再令x的系数等于2，求得r的值，即可求得展开式中含x2项的系数．解：因为n=∫1x dxe61=lnx|1e6=lne6−ln1=6，所以(x−3x )n=(x−3x)6，其展开式的通项为T r+1=C6r x6−r(−3x )r=(−3)r C6r x6−2r，令6−2r=2，得r=2，所以含x2项的系数为(−3)2C62=135．故答案为135．15.答案：100π解析：解：△ABC中，∠ABC=30°，AC=4，M为三角形ABC外接圆圆心，底面三角形ABC 的外接圆的半径为：AM =42×12=4，AP 是球的弦，PA =6，∴OM =12PA =3，∴球的半径OA =√42+32=5． 该球的表面积为：4πOA 2=100π． 故答案为：100π．通过底面三角形ABC 求出底面圆的半径AM ，判断球心到底面圆的距离OM ，求出半径，即可求解取得表面积．本题考查球的表面积的求法，球的内接体，考查空间想象能力以及计算能力．16.答案：2或2√3解析：解：双曲线的渐近线方程为y =±√3x∵|OP|=2，∴P(1,√3)或P(1,−√3)或P(−1,√3)或P(−1,−√3)共四个点， ∵F(2,0)，∴|PF||=2或|PF|=2√3． 故答案为：2或2√3．求出双曲线的渐近线方程，利用|OP|=2，可得P 的坐标，即可求出|PF|． 本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定P 的坐标是关键．17.答案：解：(Ⅰ)因为AD AB =23，所以设AD =2k ，AB =3k ，其中k >0，在△ABD 中，由余弦定理，BD 2=AB 2+AD 2−2AB ⋅AD ⋅cos∠DAB ， 所以16=4k 2+9k 2−2×2k ×3k ×(−14)，解得k =1，则AD =2， 而sin∠DAB =√1−(−14)2=√154，在△ABD 中，由正弦定理，sin∠ABD =ADBDsin∠DAB =24×√154=√158． (Ⅱ)由(Ⅰ)可知，sin∠ABD =√158，而AB ⊥BC ，则sin∠CBD =sin(π2−∠ABD)=cos∠ABD =(√158)=78，在△BCD 中，∠BCD =π4，由正弦定理，CD =sin∠CBDsin∠BCD BD =78√22×4=7√22．解析：本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，诱导公式在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，考查了运算求解能力，属于中档题．(Ⅰ)设AD =2k ，AB =3k ，其中k >0，在△ABD 中，由余弦定理解得k =1，则AD =2，可求cos∠DAB ，利用同角三角函数基本关系式可求sin∠DAB ，利用正弦定理可求sin∠ABD 的值．(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，sin∠ABD =√158，利用诱导公式可求sin∠CBD ，由∠BCD =π4，根据正弦定理可求CD 的值．18.答案：(Ⅰ)证明：连接AC 交BQ 于点N ，连接MN ，∵AQ//BC ，∴ANNC =AQBC =0.5， ∵2PM =MC ，∴PM MC =0.5， ∴PM MC=AN AC，∴在△PAC 中，MN//PA ，∵MN ⊂平面MQB ，PA 不包含于平面MQB ， ∴PA//平面MQB;(Ⅱ)解：∵PQ ⊥AD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，交线为AD ， ∴PQ ⊥平面ABCD ．以Q 为坐标原点，分别一QA ，QB ，QP 所在的直线为x ，y ，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系Q −xyz ．∵PA =PD =2，∴A(1,0，0)，B(0,√3,0)，P(0,0,√3)． 设平面MQB 的方向量为n⃗ =(x,y,z)， 由PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−√3)QB =(0,√3,0)， 且n ⃗ ⊥PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ⊥QB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得：{x −√3z =0√3y =0， 令z =1，得x =√3，y =0∴n ⃗ =(√3,0,1)为平面MQB 的一个方向量． 取平面ABCD 的方向量为m⃗⃗⃗ =(0,0,1)则，故二面角M −BQ −C 大小为60°．解析：(Ⅰ)连接AC 交BQ 于点N ，连接MN ，由已知条件推导出MN//PA ，由此能证明PA//平面MQB ． (Ⅱ)以Q 为坐标原点，分别一QA ，QB ，QP 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M −BQ −C 大小．本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19.答案：解：(Ⅰ)由已知有x −=18(10+20+30+40+50+60+70+80)=45，y −=18(8+17+25+31+39+47+55+66)=36，b ̂=∑x i n i=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−nx−2≈0.80，a =36−0.80×45=0，变量y 关于变量x 的线性回归方程为y ̂=0.80x ， ∴当x =2500时，y =2500×0.8=2000； (Ⅱ)由题意得X 的可能取值有1，2，3，4， P(X =1)=C 51C 33C 84=114， P(X =2)=C 52C 32C 84=37，P(X =3)=C 53C 31C 84=37， P(X =4)=C 54C 84=114，∴X 的分布列为： X 1 2 3 4 P1143737114E(X)=1×114+2×37+3×37+4×114=52．解析：本题考查线性回归方程的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查回归直线方程、离散型随机事件的分布列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(Ⅰ)求出x −，y −，从而b ̂≈0.80，由此能求出变量y 关于变量x 的线性回归方程，进而能预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数；(Ⅱ)由题意得X 的可能取值有1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和E(X)．20.答案：解：(1)∵椭圆离心率为14，左顶点为A ，右焦点为F ，且AF =5. ∴{ca=14a +c =5，解得：{a =4c =1 ，∴b 2=15 ， ∴椭圆C 的方程为：x 216+y 215=1 . (2)由题意得：A(−4,0),F(1,0)，设点P 的坐标为(x 0,y 0)，则x 0216+y 0215=1．①当x 0=1时，直线PF:x =1，与圆M 相切，则R =1−(−78)=158，不妨取P(1,154)，直线PA:y =1541−(−4)(x +4)，即3x −4y +12=0． ∴点M 到直线PF 的距离为|3×(−78)+12|√32+42=158=r ，∴直线PF 与圆M 相切∴当r =158时，圆M 与直线PA,PF 都相切. ②当x 0=−4时，点P 与点A 重合，不符合题意；③当x 0≠1且x 0≠−4时，直线PA:y =y 0x 0+4(x +4),PF:y =yx 0−1(x −1)化简得：PA:y 0x −(x 0+4)y +4y 0=0,PF:y 0x −(x 0−1)y −y 0=0， ∵圆M 与直线PA,PF 都相切 ∴|−78y +4y |0202=|−78y −y |0202=r .∵y 0≠0，又y 02=15(1−x 0216)代入化简得：x 02−122x 0+121=0，解得：x 0=1或x 0=121，∵−4<x 0<4且x 0≠1， ∴无解 ． 综上：r =158.解析：本题主要考查椭圆的标准方程与性质，以及直线与椭圆的位置关系，题目有难度． (1)由已知，{ca=14a +c =5，解得：{a =4c =1 ，∴b 2=15 ，可得椭圆的标准方程； (2)设点P 的坐标为(x 0,y 0)，讨论x 0的取值，求得直线PA,PF 的方程， 若圆M 与直线PA,PF 都相切，求得圆心M 与直线直线PA,PF 的距离，求得r ．21.答案：解：(1)f(x)=e 2x −2e x −4x ，则f ′(x)=2e 2x −2e x −4=2(e x +1)(e x −2)．当x ∈(−∞,ln2)时，f ′(x)<0，当x ∈(ln2,+∞)时，f ′(x)>0， ∴f(x)的单调减区间为(−∞,ln2)，单调增区间为(ln2,+∞)； (2)令g(x)=af(x)−e x +(4a +1)x=ae 2x −2ae x −4ax −e x +4ax +x=ae 2x −(2a +1)e x +x ．由题意可得，当x ∈(0,+∞)时，g(x)<0恒成立． g ′(x)=(2ae x −1)(e x −1)，①当0<a <12，x ∈(−ln2a,+∞)时，g ′(x)>0恒成立，∴g(x)在(−ln2a,+∞)上为增函数，且g(x)∈(g(−ln2a),+∞)，不合题意； ②当a ≥12，x ∈(0,+∞)时，g ′(x)>0恒成立，∴g(x)在x ∈(0,+∞)上为增函数，且g(x)∈(g(0),+∞)，不合题意； ③当a ≤0时，∵x ∈(0,+∞)，∴g ′(x)<0恒成立，故g(x)在(0,+∞)上为减函数，于是g(x)<0对于任意x ∈(0,+∞)恒成立的充要条件是g(0)≤0． 即a −(2a +1)≤0，解得a ≥−1． 故−1≤a ≤0．综上，a 的取值范围是[−1,0]．解析：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，属难题．(1)求出原函数的导函数，解得导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，根据导函数在不同区间段内的符号可得原函数的单调性；(2)构造函数g(x)=af(x)−e x +(4a +1)x ，求导可得g ′(x)=(2ae x −1)(e x −1)，然后分0<a <12，a ≥12，a ≤0三类求解即可．22.答案：解：(1)由{x =2ty =12+√3t ，得直线l 的一般方程为√3x −2y +24=0，直线l 的极坐标方程为，曲线C 1的标准方程为x 2+(y −2)2=4，即ρ2−4ρsinθ=0，可得曲线C 1的极坐标方程：ρ=4sinθ；(2)将θ=π3分别代入和得ρA =16√3，ρB =2√3，所以|AB|=|ρA −ρB |=|16√3−2√3|=14√3．解析：本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，是基础题． (1)分别化直线与圆的参数方程为普通方程，进一步化为极坐标方程；(2)把曲线θ=π3分别代入直线l 和曲线C 1的极坐标方程，求出A ，B 的极径，由|AB|=|ρA −ρB |可得结果．23.答案：解：(1)当x <0时，f(x)>|2x|x等价于x 2+2|x −1|>−2，该不等式显然成立；当0<x ≤1时，f(x)>|2x|x等价于{0<x ≤1x 2−2x >0，此时不等组的解集为⌀，当x >1时，f(x)>|2x|x等价于{x >1x 2+2x −4>0，∴x >√5−1，综上，不等式f(x)>|2x|x的解集为(−∞,0)∪(√5−1,+∞)．(2)当x ≥1时，f(x)=x 2+2x −2=(x +1)2−3； 当x =1时，f(x)取得最小值为1；当x <1时，f(x)=x 2−2x +2=(x −1)2+1>1， ∴f(x)最小值为1，∴a +b +c =N =1， ∵a 2+b 2≥a 22+b 22+ab =(a+b)22，∴√a 2+b 2≥√2|a+b|2≥√2(a+b)2， 同理2+c 2≥√2(b+c)2,√c 2+a 2≥√2(c+a)2， ∴√a 2+b 2+√b 2+c 2+√c 2+a 2≥√2(a +b +c)=√2．解析：(1)根据f(x)>|2x|x，分x <0，0<x ≤1和x >1三种情况解不等式即可；(2)先求出f(x)的最小值为1，从而得到a +b +c =N =1，然后根据a 2+b 2≥a 22+b 22+ab =(a+b)22，进一步证明√a 2+b 2+√b 2+c 2+√c 2+a 2≥√2成立．本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。

2020届临川一中暨临川一中实验学校高三理科数学月考答案一、单选题1-5．ACCCA 6-10．DBBDB 11-12．DB 二、填空题13．2 14．120- 15． π41 16．4 三、解答题17．【答案】（1）3-（2）38法一：解：（1）在BCD ∆中，由正弦定理得sin sin CD BC CBD BDC=∠∠，∴sin6sin 22CBD π∠== ∴0CBD π<∠<，∴3CBD π∠=或23CBD π∠= ………………3分当23CBD π∠=时，此时A B C 、、三点共线，矛盾 ∴3CBD π∠= ………………4分∴()2tan tan tan tan 333ABC ABD CBD πππ⎛⎫∠=∠+∠=+==⎪⎝⎭………………6分法二：由余弦定理222cos 242BD CD BC BDC BD BD BD CD +-∠====⋅或………………3分若2BD =时，此时23CBD π∠=，即A B C 、、三点共线，矛盾………………4分 ∴4BD =，此时3CBD π∠=∴()tan tan tan 33ABC ABD CBD ππ⎛⎫∠=∠+∠=+=⎪⎝⎭6分 （2）设BCD θ∠=，在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD θ=+-⋅(2222216θθ=+-⨯⨯=-……8分∴2111sin sin sin 222ABC BCD BAD D S S BC CD BA BD BC CD S θθθ∆∆=+=⋅+⋅=⋅四边形6cos 3πθθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭……………………11分当56πθ=时，四边形ABCD面积的最大值 ……………………12分 备注：（1）若第1问用正弦定理没写出23CBD π∠=，扣1分（2）若第1问用余弦定理没写出2BD =，并且排除2BD =，扣1分18.【答案】（1）见详细答案（2）25（1）如图，作EF PC ∥，交BC 于F ，连接AF .因为3PB BE =，所以E 是PB 的三等分点，可得23BF =. 因为2AB AD ==，23BC CD ==，AC AC =，所以ABC ADC △≌△， 因为BC ⊥AB ，所以90ABC ∠=︒，…………………1分 因为3tan 23AB ACB BC ∠===，所以30ACB ACD ∠=∠=︒，所以60BCD ∠=︒，（2分） 因为tan 323AB AFB BF ∠===，所以60AFB ∠=︒，所以AF CD ∥，……3分 因为AF ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AF ∥平面PCD .……4分又EF PC ∥，EF ⊄平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD .……………5分因为AF EF F =，AF 、EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ∥平面PCD ，所以AE ∥平面PCD .…6分 （2）因为PAB △是等边三角形，2AB =，所以2PB =.又因为4PC =，23BC =，所以222PC PB BC =+，所以BC PB ⊥.又BC ⊥AB ，,AB PB ⊂平面PAB ，AB PB B =，所以BC ⊥平面PAB .因为BC ⊂平面ABCD ，所以平面PAB ⊥平面ABCD .在平面PAB 内作Bz ⊥平面ABCD .………7分 以B 点为坐标原点，分别以,,BC BA Bz 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -， 则(23,0,0)C ，(0,2,0)A ，(0,1,3)P ，所以(23,0,0)BC =，(0,1,3)BP =，(23,2,0)AC =-，(0,1,3)AP =-.………8分设111(,,)x y z =m 为平面BPC 的法向量，则00BC BP ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=m m ，即11123030x y z ⎧=+=⎪⎨⎪⎩， 令11z =-，可得(0,3,1)=-m .………………9分设222(,,)x y z =n 为平面APC 的法向量，则00AC AP ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n ，即2222232030x y y z -=-+=⎧⎪⎨⎪⎩，令21z =，可得(1,3,1)=n .………………10分 所以5,25cos ==⨯m n ………………11分 则25251()n s ,5i =-=m n ，所以二面角A PC B --的正弦值为25.……………………12分 备注：若第2问用几何法做对也给满分.19．【答案】（1）83107340340y x =+（2）分布列见详解，数学期望为1310. 解：解：（1）由题意可知2361021131518118x +++++++==，112 2.56 3.5 3.5 4.538y +++++++==，………………2分由公式12221ˆ34781138313088b11340ni ii ni i x y nx yx nx==-⨯⨯==-⨯-=-∑∑………………3分83107ˆˆ311340340ay bx =-=-⨯=………………4分 ∴83107340340y x =+……………5分 （2）药品A 的三类剂型123A A A 、、经过两次检测后合格分别为事件123B B B 、、,则()()()123142321322,,255432535p B P B P B =⨯==⨯==⨯=……………7分由题意，0,1,2,3X 可取()()()()()()()()2123212312312321231231231232190115250212212111112525525021221821125255225235p X p B B B p X p B B B B B B B B B p X p B B B B B B B B B p X p B B B ⎛⎫⎛⎫===--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=-⋅+-⋅⋅-⋅=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=⋅-+-⋅⋅⋅=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫=== ⎝212225⋅=⎪⎭………10分X ∴的分布列为9218213123.5050255010X ∴⨯+⨯+⨯+⨯=的期望为：EX=0…………12分20.【答案】(1) 椭圆方程为22163x y +=，准圆方程为229x y +=；①12l l ，方程为33y x y x =+=-+， ②见详解 【解析】（1）3c a b ==∴=，2分∴椭圆方程为22163x y +=， ………………3分 准圆方程为229x y +=．………………4分（2）（ⅰ）因为准圆229x y +=与y 轴正半轴的交点为(03)P ，， 设过点(03)P ，且与椭圆相切的直线为3y kx =+， 所以由223{163y kx x y =++=，，得22(12)12120k x kx +++=.……………5分 因为直线3y kx =+与椭圆相切，所以22144412(12)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±，……………6分所以12l l ，方程为33y x y x =+=-+，．……………7分 121l l k k ⋅=-，12l l ∴⊥．……………8分（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l斜率不存在， 则1l ：x =当1l ：6x =时，与准圆交于点(63)(63)-，，，， 此时2l 为y =y =，显然直线12l l ，垂直； 同理可证当1l ：x =12l l ，垂直……………9分 ②当12l l ，斜率存在时，设点00(,)P x y ，其中22009x y +=. 设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+， 所以由0022(){163y t x x y x y =-++=，，得2220000(12)4()2()60t x t y tx x y tx ++-+--=.……………10分由0∆=化简整理得()22200006230x t x y t y -++-=因为22009x y +=，所以有2220000(6)2(6)0x t x y t x -++-=.设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切， 所以12t t ，满足上述方程2220000(6)2(6)0x t x y t x -++-=， 所以20122616x t t x -⋅==--，即12l l ，垂直．……………11分 综合①②知：因为12l l ，经过点00()P x y ，，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ，垂直. 所以线段MN 为准圆229x y +=的直径，6MN ＝，所以线段MN 的长为定值6．……………12分 21．【答案】（1）()∞（2）22e π-解：（1）由()sin axf x e x =，得()()'sin cos axf x e a x x =+，……………1分由()f x 在63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上存在单调递增区间，可得()'0f x >在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，……………2分即sin cos 0a x x +>在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，则min 1tan a x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，∴a >∴a的取值范围为()∞.……………4分 （2）设()()sin axbx e x g x f x b x =-=-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()()'sin cos axg x e a x x b =+-.设()()sin cos axh x ea x xb =+-，则()()2'1sin 2cos 0ax h x e a x a x ⎡⎤=-+≥⎣⎦， ……………5分∴()h x 单调递增，即()'g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 ∴()2'1,a g x b ae b π⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.……………6分当1b ≤时，()'0g x ≥，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()()00g x g ≥=，不符合题意；当2a b ae π≥时，()'0g x ≤，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()()00g x g ≤=，符合题意；当21a b ae π<<时，由于()'g x 为一个单调递增的函数，而()'010g b =-<，2'02a g ae b ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，由零点存在性定理，必存在一个零点0x ，使得()0'0g x =， 从而()g x 在[]00,x x ∈上单调递减，在0,2x π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， ……………9分因此只需02g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴22a e b ππ≤，∴22a b e ππ≥，从而222a a eb ae πππ≤<，综上，b 的取值范围为22,a e ππ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，……………10分因此2222ab e a ee a ππ-≥-. 设()222aG a ee a ππ=-，则()22'ae a e G π=-，令()'0G a =，则41a π=>，∴()G a 在41,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在4,π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，……………11分 从而()242e G a G ππ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭，∴2b e a -的最小值为22e π-.……………12分备注：第1问写)⎡+∞⎣扣1分22.（1）:40(0)l x y x +-=≠,22:20C x y y +-=（2【解析】（1）由82x t=+可得0x ≠， 由8242x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去参数t ，可得直线l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠．………………2分由2sin ρθ=可得22sin ρρθ=，将sin y ρθ=，222x y ρ=+代入上式，可得2220x y y +-=， 所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=．…………………………5分（2）由（1）得，l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠，将其化为极坐标方程可得cos sin 40()2ρθρθθπ+-=≠，…………………………7分当()04θρπ=>时，A ρ=B ρ=|||||A B AB ρρ=-==．………………10分 备注：第1问没写0x ≠扣1分23.（1）(,0)(3,)-∞+∞ （2）见详解 【解析】（1）当0x <时，|4|()x f x x>等价于|||2|4x x +->-，该不等式恒成立； 当02x <≤时，|4|()x f x x>等价于24>，该不等式不成立； 当2x >时，|4|()x f x x >等价于2224x x >⎧⎨->⎩，解得3x >，…………………………3分 所以不等式|4|()x f x x>的解集为(,0)(3,)-∞+∞.…………………………5分 （2）因为()|||2||(2)|2f x x x x x =+-≥--=，当02x ≤≤时取等号，所以2M =,222a b c ++=，……7分由柯西不等式可得22222222224(22)(122)()9()a b c a b c a b c =++≤++++=++,当且仅当244,,999a b c ===时等号成立，所以22249a b c ++≥.…………………………10分备注：第1问结果没用集合或区间表示扣1分。

2019—2020届临川一中上学期第一次联合考试高三数学试题（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若21iz i-=+，则z z ⋅=（ ） A. -2 B. 2C.52D. 52-【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数的性质可知2||z z z ⋅=，直接利用复数模的性质即可求解. 【详解】因为21iz i-=+， 所以|2|510|||1|22i z i -===+ 2105||42z z z ⋅===，故选C. 【点睛】本题主要考查了复数模的性质，共轭复数的性质，属于中档题.2.设集合{}2A x x a =>，{}32B x x a =<-，若A B =∅I，则a 的取值范围为（ ）A. ()1,2B. ()(),12,-∞⋃+∞C. []1,2D. (][),12,-∞+∞U【答案】D 【解析】 【分析】集合的交集运算即求两个集合的公共元素，A B =∅I 说明集合,A B 没有公共元素，借助于数轴列式计算．【详解】因为A B φ⋂=，所以232a a ≥-，解得1a ≤或2a ≥. 【点睛】本题考查集合的交集运算，考查运算求解能力与推理论证能力.3.设,a b ∈R ，则“()20a b a ->”是“a b >”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分、必要条件的定义即可判断。

【详解】()20a b a ->，因为0a ≠，可推出a b >；a b >时，若0a =，则无法推出()20a b a ->，所以“()20a b a ->”是“a b >”的充分不必要条件，故选A 。

【点睛】本题主要考查分、必要条件的定义的应用。

4.若函数()ln f x ax x =-的图象上存在与直线240x y +-=垂直的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()2,-+∞ B. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C. 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D. ()2,+∞【答案】D 【解析】 【分析】函数()ln f x ax x =-的图象上存在与直线240x y +-=垂直的切线,即()2f x '=有解，转化为12,0a x x=+>有解即可求出. 【详解】因为函数()ln f x ax x =-的图象上存在与直线240x y +-=垂直的切线， 所以函数()ln f x ax x =-的图象上存在斜率为2的切线， 故()12k f x a x'==-=有解， 所以12,0a x x =+>有解， 因为12,0y x x=+>的值域为(2,)+∞所以(2,)a ∈+∞.【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，方程有根的问题，转化思想，属于中档题.5.若0x >，0y <，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 222xyx -> B.()1222log 1x y x ->+ C. 221x y x ->+ D. 221x y x ->-【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的性质结合特殊值可得正确答案. 【详解】A 选项，取2,1x y ==-，不等式不成立； B 选项，0,0x y ><Q22,220x y x y ∴>->0,x >Q∴()12log 10x +<∴()1222log 1x yx ->+故B 正确；C 选项，取1,1x y ==-，不等式不成立，D 选项，当0x →， 21x →，11x -→，当0y <且0y →，21y →，所以220x y -→，而11x -→，所以不等式不成立.【点睛】本题主要考查了指数、对数函数性质，以及与不等式的交汇，属于中档题.6.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形（另一种是顶角为108︒的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC ∆中，51BC AC -=.根据这些信息，可得sin 234︒=（ ）A.154- B. 358+-C. 514-D.45+ 【答案】C 【解析】 【分析】要求sin 234︒的值，需将角234︒用已知角表示出来，从而考虑用三角恒等变换公式解题．已知角有36︒，正五边形内角108︒，72ACB ∠=︒，已知三角函数值有1512cos72BCAC -︒==，所以234=272+90=144+90︒⨯︒︒︒︒，从而sin 234=cos144︒︒．【详解】由题可知72ACB ∠=︒，且1512cos724BCAC ︒==，251cos1442cos 721+︒=︒-=， 则()51sin 234sin 14490cos144+︒=︒+︒=︒=. 【点睛】本题考查三角恒等变换，考查解读信息与应用信息的能力.7.若函数()()222,1log 1,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，在(],a -∞上的最大值为4，则a 的取值范围为（ ）A. (]1,17B. (]1,9C. []1,17D. []1,9【答案】C 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性，结合已知条件求解即可.【详解】因为函数()()222,1log 1,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，(,1]x ∈-∞时，函数为增函数，(1,)x ∈+∞时，函数为增函数，且(1)4,(17)4f f == 所以[1,17]a ∈.【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，函数的单调性以及函数的最值求法，属于中档题.8.将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法种数是( ) A. 40 B. 60 C. 80 D. 100【答案】A 【解析】解：三个小球放入盒子是不对号入座的方法有2 种，由排列组合的知识可得，不同的放法总数是：36240C = 种.本题选择A 选项.9.执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m 的取值范围是（ ）A. (3042]，B. (30,42)C. (42,56]D. (42,56)【答案】A 【解析】依次运行程序框图中的程序可得：第一次，0212,2S k =+⨯==，满足条件，继续运行； 第二次，2226,3S k =+⨯==，满足条件，继续运行； 第三次，62312,4S k =+⨯==，满足条件，继续运行； 第四次，122420,5S k =+⨯==，满足条件，继续运行； 第五次，202530,6S k =+⨯==，满足条件，继续运行；第六次，302642,7S k =+⨯==，不满足条件，停止运行，输出7． 故判断框内m 的取值范围为3042m <≤．选A ．10.已知1F ，2F 为椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个焦点，B 为椭圆短轴的一个端点，2121214BF BF F F ⋅≥uuu r uuu r uuu u r ，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A. 1(0,]2B. 2(0,2C. 3(0,]3D. 1(,1)2【答案】C【解析】 【分析】用,,a b c 表示出21212,BF BF F F ⋅uuu r uuu r uuu u r ，解出不等式得出e 的范围. 【详解】由椭圆定义可知：12BF BF a ==，12OF OF c ==，则1sin cOBF e a∠==， 所以22121cos 12sin 12F BF OBF e ∠=-∠=-，因为2121214BF BF F F ⋅≥uuu r uuu r uuu u r ，即222(12)e a c -≥，22(12)e e -≥，即213e ≤.303e ∴<≤. 【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，平面向量的数量积运算，属于中档题.11.设曲线cos y x =与x 轴、y 轴、直线6x π=围成的封闭图形的面积为b ，若()22ln 2g x x bx kx =--在[]1,+∞上的单调递减，则实数k 的取值范围是（ ）A. [)0,+∞B. ()0,∞+C. [)1,+∞ D. ()1,+∞【答案】A 【解析】 【分析】由定积分可以求出b , ()22ln 2g x x bx kx =--在[]1,+∞上单调递减可转化为()0g x '≤在[]1,+∞上恒成立即可求解.【详解】由题意，6601cos sin 2|b xdx x ππ===⎰， 所以()22ln g x x x kx =--，因为()22ln g x x x kx =--在[]1,+∞上的单调递减，所以222()0x kx g x x--+'=≤在[]1,+∞上恒成立，即2()220h x x kx =--+≤在[]1,+∞上恒成立，只需14(1)0k h ⎧-≤⎪⎨⎪≤⎩，解得0k ≥.【点睛】本题主要考查了利用定积分求面积，函数的单调性与导数的关系，不等式的恒成立问题，属于中档题.12.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122a a +=，123n n a S +=+，用[]x 表示不超过x 的最大整数，设[]n n b a =，数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，则使22000n T >成立的最小正整数n 是（） A. 5 B. 6C. 7D. 8【答案】B 【解析】 【分析】利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 通项公式以及前n 项和n S ，利用二项式展开式化简[]n n b a =，求得2212211n n n n b b a a --+=+-，利用分组求和法求得数列{}n b 的前2n 项和2n T ，由此求得使22000n T >成立的最小正整数n 的值. 【详解】令1n =，得2123a a =+，又122a a +=，解得123a =，243a =，又123n n a S +=+，123n n a S -=+，所以12(2)n n a a n +=…，又212a a =，可求得23nn a =，()2213n n S =-.所以01111333(1)(1)2(31)333n n n n n n n n n n n C C C b ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅-⋅++⋅⋅-+--===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L ， 即011211(1)C 3C 3C (1)3n n n n n n nnnb ----⎡⎤-=⋅-⋅++-+⎢⎥⎣⎦L ，所以2(1)(1)33n n n n b ⎡⎤---=+⎢⎥⎣⎦，即22,321,3n n n n b n ⎧-⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数，所以2212211n n n n b b a a --+=+-，因此()2222213nn n T S n n =-=--，当5n =时，1067T =；当6n =时，1227242000T =>.使22000n T >成立的最小正整数n 是6.故选B.【点睛】本题考查等比数列通项公式及前n 项和公式，考查分组求和法，考查推理论证能力和创新意识，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.912x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为______.【答案】212- 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式即可求出. 【详解】因为993rr 22+19911=()()22r rr r r r T C x x C x----=-， 令9302r-=，解得3r =， 所以展开式中常数项为3349121=()22T C -=-. 【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项公式，属于中档题.14.设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且712a a =-，则1197S Sa =+______.【答案】32【解析】 【分析】由712a a =-可得12a d =-，利用前n 项和公式及通项公式即可求解. 【详解】因为712a a =-， 所以120a d =-≠，111111011332S a d d ⨯=+=，91989182S a d d ⨯=+=，7164a a d d =+=， 所以11973331842S d S a d d ==++.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式与前n 项和公式，属于中档题.15.如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD 长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且1AB BC ==，则异面直线PB 与CD 所成角的正切值是______.2 【解析】 【分析】根据三视图画出空间图形的直观图，取AD 中点E ，连接BE ，PE ，CE ，将CD 平移到BE ，根据异面直线所成角的定义可知PBE ∠为异面直线PB 与CD 所成角，在直角三角形PBE ∆中，求出其正切值即可.【详解】作出直观图如图：取AD 中点E ，连接BE ，PE ，CE ， 因为CD //BE ，根据异面直线所成角的定义可知PBE ∠为异面直线PB 与CD 所成角， 由条件知，1,2,PE BE PE BE ==⊥，2tan 22PBE ∴∠==. 【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，空间图形的三视图，考查了空间想象能力、运算能力，属于中档题.16.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 是双曲线左支上的一点，若直线1AF 与直线by x a=平行且12AF F ∆的周长为9a ，则双曲线的离心率为______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及三角形的周长可求出2111272||,||22a c a cAF AF --==，利用直线1AF 与直线by x a =平行知12cos a AF F c∠=，结合余弦定理即可求解. 【详解】由双曲线定义知21||||2AF AF a -=，又21||||92AF AF a c +=-解得2111272||,||22a c a cAF AF --==， 因为直线1AF 与直线by x a=平行， 所以12tan b AF F a ∠=，故12cos a AF F c∠=， 由余弦定理得：12cos a AF F c∠=222121||4||2||2AF c AF AF c +-=⋅即2211844144e e e e e-++=-，化简得2280e e +-=， 解得2e =或4e =-（舍去）.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，余弦定理，双曲线的离心率，属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，已知()cos 4cos a B c b A =-. （1）求cos A 的值；（2）若4b =，点M 在线段BC 上，2AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r，AM =uuu r ABC ∆的面积.【答案】（1）1cos 4A =；（2）【解析】 【分析】（1）由正弦定理将条件统一为三角函数，化简即可求解（2）2AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r，两边平方可转化为关于c 的方程，求解代入三角形面积公式即可. 【详解】（1）∵()cos 4cos a B c b A =-，由正弦定理得：()sin cos 4sin sin cos A B C B A =-，即sin cos cos sin 4sin cos A B A B C A +=，即sin 4cos sin C A C =， 在ABC ∆中，sin 0C ≠，所以1cos 4A =.（2）2AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r ，两边平方得：22224AB AC AB AC AM ++⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，由4b =，10AM =uuu r ，1cos 4A =，15sin A =得22124104c b c b ++⨯⨯⨯=⨯，可得216240c c ++=， 解得：4c =或6c =-（舍）， 所以ABC ∆的面积1sin 2152S bc A ==. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角恒等变换，向量数量积的性质，三角形面积公式，属于中档题.18.如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，6AB =，23BC =，26AC =，,D E 分别为线段,AB BC 上的点，且2AD DB =，2CE EB =，PD AC ⊥.（1）求证：PD ⊥平面ABC ；（2）若PA 与平面ABC 所成的角为4π，求平面PAC 与平面PDE 所成的锐二面角.【答案】(1)证明见解析；(2)30°. 【解析】 试题分析：（1）由条件可得ABC ∆为直角三角形，且3cos ABC ∠=故由余弦定理可得22CD =所以222CD AD AC +=，从而CD AB ⊥，又由条件可得CD PD ⊥，故PD ⊥平面ABC ．（2）由,,PD CD AB 两两互相垂直可建立空间直角坐标系，结合条件可求得平面PAC 的法向量和平面DEP 的法向量，根据两法向量夹角的余弦值可得锐二面角的大小． 试题解析：（1）证明：连DE ，由题意知4,2AD BD ==． 222,AC BC AB +=Q90.ACB ∴∠=o∴cos 63BC ABC AB ∠=== 在BCD ∆中，由余弦定理得2222?· cos CD BC BD BC BD DBC ∴=+-∠412228.3=+-⨯⨯=CD ∴=222CD AD AC ∴+=,∴90CDA ∠=o , ∴CD AB ⊥,又因为PAB ABC ⊥平面平面， ∴,CD PAB ⊥平面 又PD ⊂PAB 平面，,CD PD ∴⊥又PD AC ⊥，=AC CD C ⋂， ∴PD ⊥平面ABC ．（2）由（1）知,,PD CD AB 两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，由PA 与平面ABC 所成的角为4π，知4PD =， 则()()()()0,4,0,22,0,0,0,2,0,0,0,4A C B P -∴()()()22,2,0,22,4,0,0,4,4CB AC PA =-==--u u u v u u u v u u u v因为2,2,AD DB CE EB ==//,DE AC ∴由（1）知,AC BC ⊥ PD ⊥平面ABC ， ∴ CB ⊥平面DEP∴()22,2,0CB =-u u u v为平面DEP 的一个法向量.设平面PAC 的法向量为(),,n x y z v=，则,,n AC n PA ⎧⊥⎨⊥⎩u u u u v v u u u v v ∴2240440x y y z ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩，令1z =，则2,1x y ==-，∴)2,1,1n =-v为平面PAC 的一个法向量.∴3cos ,2412||n CB n CB n CB ⋅===-⋅u u u v v u u u v vu u v u u u u v 故平面PAC 与平面PDE 3所以平面PAC 与平面PDE 的锐二面角为30o ． 点睛：（1）在建立空间直角坐标系后求平面的法向量时，首先要判断一下条件中是否有垂直于面的直线．若有，则可将直线的方向向量直接作为平面的法向量，以减少运算量．（2）求二面角的余弦值时，在求得两平面法向量夹角的余弦值后，要根据图形判断出二面角是锐角还是钝角，然后再求出二面角的余弦值．19.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率2，一个长轴顶点在直线2y x =+上，若直线l 与椭圆交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为1k ，直线OQ 的斜率为2k . （1）求该椭圆的方程. （2）若1214k k ⋅=-，试问OPQ ∆的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）OPQ ∆的面积为定值1. 【解析】 【分析】（1）根据离心率及长轴即可写出椭圆标准方程（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，求PQ ，点O 到直线y kx m =+的距离21md k =+，写出三角形面积，化简即可求证.【详解】由c e a ==，又由于0a b >>，一个长轴顶点在直线2y x =+上，可得：2a =，c =，1b =.（1）故此椭圆的方程为2214x y +=.（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+， 联立椭圆的方程得：()222418440k x kmx m +++-=， 由()()222264441440k m k m ∆=-+->，可得2241m k <+， 则122841km x x k +=-+，21224441m x x k -⋅=+，12PQ x x=-=，又点O到直线y kx m=+的距离d=，122OPQS d PQ m∆=⋅⋅=，由于2121212121214y y x x mk kx x x x++⋅===-，可得：22421k m=-，故2212OPQS mm∆=⋅=，当直线PQ的斜率不存在时，可算得：1OPQS∆=，故OPQ∆的面积为定值1.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积公式，考查了学生的运算能力及推理能力，属于难题.20.抚州不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着许多旅游景点.每年来抚州参观旅游的人数不胜数.其中，名人园与梦岛被称为抚州的两张名片，为合理配置旅游资源，现对已游览名人园景点的游客进行随机问卷调查.若不去梦岛记1分，若继续去梦岛记2分.每位游客去梦岛的概率均为23，且游客之间的选择意愿相互独立.（1）从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；（2）若从游客中随机抽取m人，记总分恰为m分的概率为m A，求数列{}m A的前6项和；（3）在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的累计得分恰为n分的概率为n B，探讨n B与1n B-之间的关系，并求数列{}n B的通项公式.【答案】（1）详见解析；（2）364729；（3）1213n nB B-=-+；322553nnB⎛⎫=+⋅-⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）根据n 次独立重复试验模型可求解（2）总分恰为m 的概率13mm A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,求前6项和即可（3）已调查过的累计得分恰为n 分的概率为n B ，得不到n 分的情况只有先得1n -分，再得2分，概率为123n B -，可得递推关系1213n n B B -=-+，构造等比数列求解即可. 【详解】（1）X 可能取值为3，4，5，6()3113327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()21321643327P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()223211253327P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3286327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， 故其分布列为()5E X =.（2）总分恰为m 的概率13mm A ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 故6611(1)36433172913S -==-.（3）已调查过的累计得分恰为n 分的概率为n B ，得不到n 分的情况只有先得1n -分，再得2分，概率为123n B -，而113B =， 故1213n n B B --=，即1213n n B B -=-+，可得1323535n n B B -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，134515B -=-， 所以13425153n n B -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭可得322553nn B ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了n 次独立重复试验，分布列、期望，等比数列求和，由递推关系式求通项公式，属于难题.21.已知函数()()()22112ln 1ln 242f x x x ax x x =----. （1）讨论()f x 的单调性.（2）试问是否存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析；(2) 存在；a 的取值范围为(]2,e . 【解析】 【分析】（1）()()()ln ln ln 1f x x x a x a x x a x =-+-=--'，()0,x ∈+∞，所以()0f x '=得12,x a x e ==，所以通过对a 与0,e 的大小关系进行分类讨论得()f x 的单调性；(2)假设存在满足题意的a 的值，由题意需()min 13sin 44a f x π>+，所以由(1)的单调性求()min f x 即可；又因为()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立，所以可以考虑从区间[)1,+∞内任取一个x 值代入，解出a 的取值范围，从而将(],a e ∈-∞的范围缩小减少讨论.【详解】解：（1）()()()ln ln ln 1f x x x a x a x x a x =-+-=--'，()0,x ∈+∞. 当a e =时，()()()ln 10f x x e x '=--≥，()f x 在()0,∞+上单调递增当0a ≤时，0x a ->，()f x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增 当0a e <<时，()f x 在(),a e 上单调递减，在()0,a ，(),e +∞上单调递增； 当a e >时，()f x 在(),e a 上单调递减，在()0,e ，(),a +∞上单调递增.（2）假设存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立. 则()31123sin 444a f a π=->+，即8sin1504a a π-->， 设()8sin 154xg x x π=--，则存在(],x e ∈-∞，使得()0g x >， 因为()8cos044xg x ππ='->，所以()g x 在(],x e ∈-∞上单调递增， 因为()20g =，所以()0g x >时2x >即2a >. 又因为()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立时，需()min 13sin 44a f x π>+， 所以由（1）得：当a e =时，()f x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()min 331=2=244f x f a e =--， 且3123sin 444e e π->+成立，从而a e =满足题意. 当2e a <<时，()f x 在(),a e 上单调递减，在[)1,a ，(),e +∞上单调递增，所以()()2113sin ,4413sin ,444a f e a f e ea ππ⎧>+⎪⎪⎨⎪=->+⎪⎩所以22,4sin 1204a a ea e π>⎧⎪⎨--->⎪⎩（*） 设()()24sin 1242xh x ex e x e π=---<<，()4cos044xh x e ππ=-'>，则()h x 在()2,e 上单调递增，因为()228130h e e =-->，所以()h x 的零点小于2，从而不等式组（*）的解集为()2,+∞， 所以2x e <<即2e a <<.综上，存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立，且a 的取值范围为(]2,e .【点睛】求可导函数()f x 的单调区间的一般步骤是：（1）求定义域；（2）求()f x '；（3）讨论()f x '的零点是否存在；若()f x '的零点有多个，需讨论它们的大小关系及是否在定义域内；（4）判断()f x '在每个区间内的正负号，得()f x 的单调区间.当()f x a >在区间D 上恒成立时，需()min f x a >.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（[0,2),απα∈为参数），在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换'2,'x x y y=⎧⎨=⎩得到曲线1C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（ρ为极径，θ为极角）．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和曲线1C 的极坐标方程；（Ⅱ）若射线():0OA θβρ=>与曲线1C 交于点A ，射线():02OB πθβρ=+>与曲线1C 交于点B ，求2211OAOB +的值． 【答案】（Ⅰ）224x y +=，2222416cos sin ρθρθ+=；（Ⅱ）516. 【解析】【分析】 （Ⅰ）消去参数，求得曲线C 的直角方程为224x y +=，再根据图象的变换公式，即可求解曲线1C 的方程，进而得到其极坐标方程；（Ⅱ）将()0θβρ=>代入2222416cos sin ρθρθ+=，根据极坐标中极经的几何意义，即可求解。

【解析】对集合和集合进行化简，然后根据集合的交集运算，得到答案.A B 【详解】由题得或，2{|40}{|0A x x x x x =->=<4}x >，2{|40}{|22}x x x x -≤=-≤≤，{|20}B x x =-≤< 故选：C ．【点睛】本题考查解不含参的二次不等式，集合的交集运算，属于简单题.．已知角α终边上一点M 的坐标为，则（）(1,3)sin 2α=B ．C ．D ．12-1232-32【答案】D的值，结合的范围得到答案.)2cos αα-α【详解】，1sin(2)2απ-=-，即，1sin 22α=-12sin cos 2αα=-，2(sin cos )1αα-=-132sin cos 122αα=+=，所以，,02π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭sin cos αα<所以得到.sin cos αα-=62-故选：D ．【点睛】上的图象大致是（ ）．．．．时，，排除B ，1x =1(1)sin103f =-<故选：A.【点睛】本题考查函数图像的识别，属于简单题.．已知x ，y 满足约束条件，则的最小值是（ ）1400y x y x y ≤⎧⎪++≥⎨⎪-≤⎩2z x y =+8B ．6C ．3D ．3---【答案】B【解析】根据约束条件画出可行域，然后将目标函数化为斜截式，得到过点时，直线的截距最小，B 从而得到答案.【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，【点睛】本题考查线性规划求最值，属于简单题6．已知函数在R 上为增函数，则的取值范围是（ ）22ln ,1()1,1x x f x x ax a x ≥⎧=⎨-+-+<⎩a B ．C ．D ．(,1]-∞[1,)+∞(,2]-∞[2,)+∞【答案】D 【解析】由为增函数，得到其在每段上都为增函数，得到时，二次函数对称轴大于等于()f x 1x <时，二次函数对应的值应小于等于对数函数的值，才能保证单调递增，从而得到答案1x =()f x 【详解】若函数在R 上为增函数，()f x 则在两段上都应为单调递增函数，时，，1<()221f x x ax a =-+-+对称轴为，所以，2a x =12a ≥【解析】根据，得到的值，由，得，按照向量tan 2θ=cos θ()()()()数量积的运算律，得到关于和的方程，同除，设，解得的值，得到答案.ar bar b x a= x 【详解】，，得，tan 2θ=0θπ≤≤3cos 3θ=，得，)()2b a b-⊥+ ()()20a b a b -⋅+= ，2220a b b -⋅-= ，3cos 3b a b a bθ=⋅⋅=⋅ ，223203a a b b -⋅-=B ．C ．D ．1234【答案】C【解析】根据题意得到平移后的解析式，再将函数化为sin()63y x ωωππ=++cos()3y x πω=+，从而得到，得到的表达式，根据的范围，得到答案.5sin()6x ωπ+52636k ωπππ+=+πωω【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后，sin()3y x ωπ=+6π得到函数的图象，sin()63y x ωωππ=++，5cos()sin()36x x ωωππ=+=+52,636k ωπππ+=+πω，故，12()()f x f x <<12()()<g x g x 在上也是增函数，()g x (0+)∞，，所以为偶函数.()()()g x xf x xf x -=--=()g x ，，2log 4.1(2,3)∈0.22(1,2)∈，0.2212log 4.1<<<π，0.20.2(2)(2)g g =-=，b a c <<:C ．【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断，根据函数的性质比较大小，属于中档题.{}a S a a a S S，211(1)3141a q a q q -==⋅--，311(1)9181a q a q q -=⋅--.41(1)1a q q -=-115161a q ⋅-，，成等比数列，2mS 3S 4S ，2324S mS S =⋅，211193158141161a a a m q q q ⎫⋅=⋅⋅⋅⋅⎪---⎭2111315a a a m ⎫⎪⎪=⋅⋅⋅⋅，212x y ++=，111(21)()21x y x y ++++1121(3)(322)212y x x y +=++≥++当且仅当，时取等号，12=1y x x y ++21x y +=时取得最小值.22,223y =-=-322+故选：B.【点睛】本题考查基本不等式求和的最小值，的妙用求最值，属于中档题.1．已知函数，若存在实数a ，使得函数恰好有4个零点，321,()3,x x x m f x x m x m ⎧-+≤⎪=⎨⎪->⎩()()g x f x a =-上单调递增，(0,2)画出函数的大致图象如图所示，()f x 由图可知当时，存在直线与函数图象的交点为4个；2m >y a =()f x 当时，直线与函数图象的交点至多为3个；02m <≤y a =()f x 当时，直线与函数图象的交点至多为2个；0m ≤y a =()f x 的取值范围为.m (2,)+∞故选：B.【解析】根据题意可知时，函数有周期性，判断的范围，然后利用周期性，得4x >()f x 25log 6+到，代入时的解析式，得到答案.()()225log 61log 6f f +=+4x ≤【详解】由题意时，函数，4x >()()1f x f x =-所以在时，周期为，()f x ()4,+∞1因为，所以，，22log 63<<()25log 67,10+∈()21log 63,4+∈所以()()225log 61log 6f f +=+.21log 622612+==⨯=故答案为：.12【点睛】本题考查函数的周期性，求分段函数的值，属于简单题.14．已知等差数列，其前项和为，若，则的最大值为________．{}n a n n S 253924,a a S S +==n S 【答案】72【解析】根据，得到，结合，得到数列的前6项为正，从而得39S S =670a a +=25240a a +=>{}n a 到时，的最大值，得到答案.6n =n S 【详解】由，得39S S =4567890,a a a a a a +++++=根据等差数列下标公式可得670,a a +=又，25240a a +=>所以数列的前项为正，{}n a 6所以当时，6n =有最大值，且.n S 616253()3()72S a a a a =+=+=故答案为：.72【点睛】，23AD BD BA BC BA =-=- 2133BE BC BA=+221333AD BE BC BA BC BA ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 221439BC BA BC BA --⋅149432cos6039⨯-⨯-⨯⨯⨯︒.444333--=故答案为：.43时，单调递增，22,33ππππ-≤≤+∈k x k k Z()f x 时，单调递减，5+2,33x k k πππ<<π+∈Z ()f x 在处取得极大值即最大值，()x 23x k k π=π+∈Z，.max 131333()sinsin(2)3232224f x ππ=+⨯=+⨯=故答案为：.334【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性和最大值，属于简单题.三、解答题2πππ.sin 2cos 21x x --π2sin(2)16x =--的最小正周期为.π()2sin(2)16f x x =--π），，，1()3f α=-π12sin(2)163α--=-π1sin(2)63α-=，所以，(0,)2πα∈π52(,)666αππ-∈-，所以.π11sin(2)632α-=<π2(0,)66απ-∈，2ππ22cos(2)1sin (2)663αα-=--=ππsin 2=sin[(2)]66αα-+ππππsin(2)cos cos(2)sin6666αα-+-3221322+也满足上式，所以.2=2()n a n n *=∈N ，122212121n n n b b ba n+++==+++ ，1122122(2,)212121n n b b bn n n *--+++=-≥∈+++N 两式作差得，，所以，221nn b =+122(2,)n n b n n +*=+≥∈N 时，又满足上式，所以.1=11,2,63b b ==16b =122()n n b n +*=+∈N ）因为2,4n n n n a bc n n =-=⋅，231222322nn T n =⨯+⨯+⨯++⋅ ，2311222(1)22n n n n +=⨯+⨯++-⨯+⋅ 两式相减，得，23122222n n n T n +-=++++-⋅（1）若，求2DC BD =（2）求面积的最小值ABC △32c =【解析】（1）根据已知条件，结合，利用三角形面积公式，表示出面积，从而得到12ABD ADC S BD S DC ==△△，在、中，利用余弦定理表示出和，然后代入已2AB =ABD △ACD cos BAD ∠cos CAD ∠知条件，解得的值；（2）设，所以，在中，由余弦定理可知c BD x =bDC xc =,ABD ACD △△，得到关于的方程，消去得到关于的方程，得到2223()332323bxb xc c b +--==,,x b c x ,b c ，分类讨论，分别研究面积，从而得到其最小值.)()0c bc b c --=ABC △【详解】）因为，，2DC BD =BAD CAD ∠=∠，12ABD ADC S BD S DC ==△△1sin 12AB AD BADAB ⋅⋅∠化简，得.()()0b c bc b c ---=时，为等边三角形，此时; c =ABC △2,3ABC b c S ===△时，由基本不等式可得，得到，即b c =+2bc b c bc =+≥2bc ≥4bc ≥时取等号，此时.2c ==13sin 60324ABC S bc bc =︒=≥△综上可得，面积的最小值为.ABC △3【点睛】本题考查三角形面积公式，余弦定理解三角形，利用基本不等式求和的最小值，涉及分类讨论的思想，属于中档题.．已知函数且，满足，且，其中.()(0,xf x a b a =+>1)a ≠(1)3f =(1)4()+3f n f n +=n *∈N ）求函数的解析式；()f x或(舍去)，41a b =⎧⎨=-⎩36a b =-⎧⎨=⎩.()=41xf x -）由（1）得()41().n f n n *=-∈N ，即，所以，141n -≥1144341n n --⨯-⨯≥14134n n --≥⨯，，1()4134n n n -=-≥⨯111()34n f n -≤⨯1111(1)(2)(3)()f f f f n ++++21111(1)444n -⨯++++ 111()1()144n n --⨯=⨯）当时，，，0a =x x ，，(1)1=(1)2f '=故曲线在处的切线方程为：，即.()f x 1x =12(1)y x -=-210x y --=），，ln ()(1)x af x x x x +=+>22221ln ln 1()1x a x x a f 'x x x x ---+=+-=，则，2()ln 1x x x a =--+2121()2x F'x x x x -=-=时，，所以函数在上单调递增，(1,)∈+∞()0F'x >()F x (1,)+∞，故(1)2a =-时，，，在上单调递增，无极值；2a ≤()0F x >()0f 'x >()f x (1,)+∞时，，，2a >(1)0F <2()ln 1F a a a a =--+，则，2()ln 1x x x x =--+2121()21x x G'x x x x --=--=【答案】（1）见解析；（2）证明见解析【解析】（1）对求导，得到，然后判断的根的情况，得到的正负，然()f x ()f x '()0f x '=()f x '后得到的单调性；（2）由（1）可得，且，由()f x 1m >2211(0,1)1t m m m m =--=∈+-得，所以只需证，令221)0,t mt t -+==212t m t +=32ln 20,(0,1)t t t t t --+>∈，，利用导数研究出的单调性和最值，结合，得到32ln 2x x x x =--+0x >()h x (1)0h =时，，从而得以证明.(0,1)()0h x >【详解】）由题意，知，对于方程，，221()(0)x mx f 'x x x -+=>221=0x mx -+24(1)m ∆=-时，，，在上单调递增.01m <≤24(1)0m ∆=-≤()0f 'x ≥()f x (0,)+∞时，令，则，，1m >()0f 'x =21x m m =--21x m m =+-，3ln 20,(0,1)t t t t --+>∈，，3)2ln 2x x x x x =--+0x >，2()2ln 31x x x =-+，，2)2ln 31x x x =-+0x >，2226()6x x x x x -=-=时，，单调递增；33x <<'()0x ϕ>)'(h x 时，，单调递减，33>'()0x ϕ<)'(h x ，max 33)()2ln 033h'==<'()0h x <()h x (0,)+∞(1)0h =。

江西省临川一中高三考前模拟考试数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.全集{}2018,lo |)1(g U R A x y x ===-，{|B y y ==，则()U A B =（ ） A. []1,2 B. [)1,2C. (]1,2D. ()1,2【答案】D【解析】(){}{}{}2018log 1101A x y x x x x x ==-=->=>，{{}2B y y y y ====≥，则{}2UB x x =<，则(){}12U A B x x ⋂=<<，故选：D ． 2.若复数()21a ia R i-∈+为纯虚数，则3ai -=（ ） A.B. 13C. 10D.【答案】A【解析】由复数的运算法则有：2(2)(1)221(1)(1)22a i a i i a ai i i i ++-+-==+++-, 复数()21a ia R i -∈+为纯虚数，则2020a a +=⎧⎨-≠⎩， 即2,|3|a ai =--== 本题选择A 选项.3.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. 45B. 54C. 57D. 63【答案】B【解析】由三视图得，该几何体是棱长为3的正方体截去一个棱长为1的正方体，如图所示，所以该几何体的表面积与棱长为3的正方体的表面积相等，即所求表面积为26354S =⨯=． 故选：B ．4.如图为某省高考数学（理）卷近三年难易程度的对比图（图中数据为分值）．根据对比图，给出下面三个结论：①近三年容易题分值逐年增加；②近三年中档题分值所占比例最高的年份是2017年；③2018年的容易题与中档题的分值之和占总分的90%以上．其中正确结论的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】根据对比图得：2016年，2017年，2018年容易题分值分别为40，55，96，逐年增加，①正确； 近三年中档题分值所占比例最高的年份是2016年，②错误；2018年的容易题与中档题的分值之和为96+42=138，1380.9290%150=>，③正确 故选：C ．5.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2474S S =，则公比q 的值为（ ） A. 1 B. 1或12C.D. 【答案】C【解析】因为2474S S =，所以()()()124234344a a S S a a +=-=+，故234q =，因{}n a 为正项等比数列，故0q >，所以q =C . 6.已知()4cos cos 3f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列说法中错误的是（ ） A. 函数()f x 的最小正周期为π B. 函数()f x 在,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 C. 函数()f x 的图象可以由函数cos 213y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到 D. 7,112π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 【答案】C【解析】()4cos cos 3f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭22cos 22cos 213x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 所以22T ππ==，故A 正确； 当,612x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，20,32x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，因23t x π=+在,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为增函数，2cos 1y t =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故()f x 在,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，故B 正确；函数()f x 的图象可以由函数1cos 232y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍 得到，而函数cos 213y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到得是2cos 223y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，故C 错误； 令2,32x k k Z πππ+=+∈，当1k =时，712x π=，故7,112π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图像的一个对称中心，故D 正确； 综上，选C.7.已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与抛物线()221y ax a x =+++相切，则a 的值为（ ） A. 0 B. 0或8C. 8D. 1【答案】C 【解析】11y x'=+，当1x =时，切线的斜率2k =， 切线方程为()21121y x x =-+=-，因为它与抛物线相切，()22121ax a x x +++=-有唯一解即220ax ax ++= 故280a a a ≠⎧⎨-=⎩ ，解得8a =，故选C. 8.设椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为12e =，右焦点为(),0F c ，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点()12,P x x （ ）A. 必在圆222x y +=内B. 必在圆222x y +=上C. 必在圆222x y +=外D. 以上三种情形都有可能【答案】A【解析】∵椭圆离心率e =c a =12，∴c =12a ，b2a ， ∴ax 2+bx -c =ax 2+2ax -12a =0，∵a ≠0， ∴x 2x -12=0，又该方程两个实根分别为x 1和x 2， ∴x 1+x 2=x 1x 2=-12，∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=34+1＜2． ∴点P 在圆x 2+y 2=2的内部． 故选A ．9.十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员（含A 、B 两市代表团）安排至a ，b ，c 三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A 、B 两市代表团必须安排在a 宾馆入住，则不同的安排种数为（ ） A. 6 B. 12C. 16D. 18【答案】B【解析】如果仅有A 、B 入住a 宾馆，则余下三个代表团必有2个入住同一个宾馆，此时共有22326C A =安排种数，如果有A 、B 及其余一个代表团入住a 宾馆，则余下两个代表团分别入住,b c ，此时共有12326C A =安排种数，综上，共有不同的安排种数为12，故选B. 10.设函数()tan 2x f x =，若()3log 2a f =，151log 2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.22c f =，则（ ） A. a b c << B. b c a <<C. c a b <<D. b a c <<【答案】D【解析】()1551log log 22b f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为35log 2log 20>>且0.2033221log 3log 2>==>，故0.2530log 2log 212π<<<<<，又()tan2xf x =在()0,π上为增函数， 所以()()()0.253log 2log 22f f f <<即b a c <<，故选D .11.如图，1F 和2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且2F AB ∆是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D. 1【答案】D【解析】设F 1F 2=2c ， ∵△F 2AB 是等边三角形， ∴∠A F 1F 2==30°， ∴AF 1=c ，AF 2，∴a-c )÷2，e =2c ÷-c， 故选D.12.在四面体P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，边长为3，3PA =，4PB =，5PC =，则四面体P ABC -的体积为（ ） A. 3B.C.D.【答案】C【解析】如图，延长CA 至D ，使得3AD =，连接,DB PD ， 因为3AD AB ==，故ADB ∆为等腰三角形， 又180120DAB CAB ∠=︒-∠=︒，故()1180120302ADB ∠=︒-︒=︒， 所以90ADB DCB ∠+∠=︒即90DBC ∠=︒，故CB DB ⊥，因为4,5,3PB PC BC ===，所以222PC PB BC =+，所以CB PB ⊥， 因DBPB B =，DB ⊂平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，所以CB ⊥平面PBD ，所以13PBD P CBD C PBD V V CB S ∆--==⨯⨯三棱锥三棱锥， 因A 为DC 的中点，所以1113262PBD PBD P ABC P CBD V V S S ∆∆--==⨯⨯=三棱锥三棱锥，因为3DA AC AP ===，故PDC ∆为直角三角形，所以PD ==又DB ==4PB =，故222DB PD PB =+即PBD ∆为直角三角形，所以142PBD S ∆=⨯=P ABC V -=三棱锥C .二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量()3,4a =，()1,b k =-，且a b ⊥，则4a b +与a 的夹角为________． 【答案】4π 【解析】因为a b ⊥，故0a b ⋅=，所以340k -+=，故34k =， 故()41,7a b +=-，设4a b +与a 的夹角为θ，则cos 2θ===，因[]0,θπ∈，故4πθ=，填4π.14.已知实数x ，y 满足不等式组00y y x x y m ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩，且目标函数32z x y=-最大值为180，则实数m 的值为________． 【答案】60【解析】不等式组对应的可行域如图所示， 因为不等式组有解，所以0m ≥，当动直线320x y z --=平移到(),0A m 时，z 有最大值，故320180m ⨯-⨯=， 所以60m =，填60.15.如图，点D 在ABC ∆的边AC 上，且3CD AD =，BD ，cos2ABC ∠=，则3AB BC +的最大值为________．【解析】因为cos2ABC ∠=，所以221cos 2cos 121244ABC ABC ⎛∠∠=-=-= ⎝⎭的因为3CD AD =，所以3CD DA =即()3BD BC BA BD -=-，整理得到3144BD BA BC =+，两边平方后有22291316168BD BA BC BA BC =++⋅，所以22913216168BA BC BA BC =++⋅即2291312||||161684BA BC BA BC =++⋅⨯， 整理得到2233292BA BC BA BC =++⋅， 设,c BA a BC ==，所以()22239329322c a ac c a ac =++=+-，因为2933332222ac a c a c ⨯⨯+⎛⎫=≤⨯ ⎪⎝⎭，所以()()()()2222935323333288c a ac c a c a c a =+-≥+-+=+，3c a +≤=，当且仅当5a =，15c =时等号成立，. 16.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，12,A A 是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2)i P i =，使得120i i PA PA ⋅=，则双曲线离心率的取值范围是____________.【答案】⎭【解析】设c 为半焦距，则(),0F c ，又()0,B b ， 所以:0BF bxcy bc +-=，以12A A 为直径的圆的方程为O ：222x y a +=，因为120i i PA PA ⋅=，1,2i =， 所以O 与线段BF 有两个交点（不含端点），所以ab a<>⎩即422422302c a c a c a ⎧-+<⎨>⎩，故4223102e e e ⎧-+<⎨>⎩，e <<故填⎭. 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()2212n n n S a a n *+=+∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）已知对于N n *∈，不等式1231111nM S S S S ++++<恒成立，求实数M 的最小值； 解：（1）1n =时，2111212a a a +=+，又0n a >，所以11a =， 当2n ≥时，()2212n n n S a a n *+=+∈N ()2111212n n n S a n a --*-+=+∈N ，作差整理得：()()1112n n n n n n a a a a a a ---+=+-， 因为0n a >，故10n n a a ->+，所以112n n a a --=， 故数列{}n a 为等差数列，所以12n n a +=． （2）由（1）知()34n n n S +=，所以()14411333nS n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 从而1231111nS S S S ++++ 411111111111=134253621123n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦411111411111221323123361239n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=++---=---< ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭．所以229M ≥，故M 的最小值为229．18.如图所示，在棱台1111ABCD A BC D -中，1AA ⊥平面ABCD ，1112224CD AB BC AA A B ====，90ABC BCD ︒∠=∠=（1）求证：11A D BC ⊥； （2）求二面角11C A D D --的大小（1）证明：连结1AD ，设4CD =，因为11//C D CD ，//CD AB ，所以11//C D AB ， 又因11AB C D =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，因此11//BC AD ，在直角梯形11ADD A中，11tan 2A AD ∠=，1tan DA A ∠=， 因此11190A AD AA D ︒∠+∠=，所以11A D AD ⊥，因此11A D BC ⊥（2）解：因为1AA ⊥平面ABCD ，所以建立如图空间直角坐标系，设111=A B ，则()0,0,0A ，()10,0,2A ，()2,2,0D -，()2,2,0C ，()10,0,2AA=，()2,2,0AD =-，()0,4,0DC =，()12,2,2AC =-， 设向量()111,,x y z =m 为平面1AA D法向量，则有100m AA m AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即11120,220,z x y =⎧⎨-=⎩，令11x =，取平面1AA D 的一个法向量()1,1,0m =.设向量()222x y z =,,n 为平面1CA D 的法向量，则有100n AC n DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即22222220,40,x y z y +-=⎧⎨=⎩ 令21x =，取平面1CA D 的一个法向量()1,0,1n =， 1cos ,2m n m n m n⋅==⋅, 设二面角1C A D A --的平面角为θ，则1cos 2θ=因此二面角11C A D D --的大小为120︒.19.2019年4月，甲乙两校的学生参加了某考试机构举行的大联考，现对这两校参加考试的学生的数学成绩进行统计分析，数据统计显示，考生的数学成绩X 服从正态分布(110,144)N ，从甲乙两校100分及以上的试卷中用系统抽样的方法各抽取了20份试卷，并将这40份试卷的得分制作成如图所示的茎叶图：（1）试通过茎叶图比较这40份试卷的两校学生数学成绩的中位数；（2）若把数学成绩不低于135分的记作数学成绩优秀，根据茎叶图中的数据，判断是否有90%的把握认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关？（3）从所有参加此次联考的学生中（人数很多）任意抽取3人，记数学成绩在134分以上的人数为ξ，求ξ的数学期望．附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(2P X μσμ-<≤+2)0.9544σ=，(33)0.9974P X μσμσ-<+=≤．参考公式与临界值表：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．解：（1）由茎叶图可知：甲校学生数学成绩的中位数为128135131.52+=，乙校学生数学成绩的中位数为128129128.52+=，所以这40份试卷的成绩，甲校学生数学成绩的中位数比乙校学生数学成绩的中位数高． （2）由题意，作出22⨯列联表如下：计算得2K的观测值40(1013107)0.9207 2.70620201723k ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有9000的把握认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关．（3）因为~(110,144)X N ，所以110μ=，12σ=， 所以(86134)0.9544P X <≤=，所以10.9544(134)0.02282P X ->==， 由题意可知~(3,0.0228)B ξ，所以30.02280.0684E ξ=⨯=．20.已知抛物线24y x =，过点()8,4P -的动直线l 交抛物线于A ，B 两点 （1）当P 恰为AB 的中点时，求直线l 的方程；（2）抛物线上是否存在一个定点Q ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点Q ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）设A ，B 两点坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，当P 恰为AB 的中点时， 显然12x x ≠，故1212124AB y y k x x y y -==-+，又128y y +=-，故12AB k =-则直线l 的方程为12y x =-（2）假设存在定点Q ，设200,4y Q y ⎛⎫⎪⎝⎭，当直线l 斜率存在时，设()():840l y k x k =--≠，()11,A x y ，()22,B x y ，联立()24,84y x y k x ⎧=⎪⎨=--⎪⎩整理得2432160ky y k ---=，>0∆，124y y k +=，121632y y k=--， 由以弦AB 为直径的圆恒过点Q 知0QA QB ⋅=，即()()2200121020044y y x x y y y y ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭即()()2222001210204444y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()()102010201016y y y y y y y y ++⎡⎤+--=⎢⎥⎣⎦故()()102016y y y y ++=-，即()2120120160y y y y y y ++++=整理得()()20016440y k y -+-=即当04y =时，恒有0QA QB ⋅=，故存在定点()4,4Q 满足题意；当直线l 斜率不存在时，:8l x =，不妨令(8,A，(8,B -，()4,4Q ，也满足0QA QB ⋅=综上所述，存在定点()4,4Q ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点Q 21.已知函数()e x f x ax b =--.（其中e 为自然对数的底数） （1）若()0f x ≥恒成立，求ab 的最大值；（2）设()ln 1g x x =+，若()()()F x g x f x =-存在唯一的零点，且对满足条件的,a b 不等式e 1)-+≥（ma b 恒成立，求实数m 的取值集合. 解：（1）()xg x e a '=-，当0a <时，()0g x '>，()g x 在R 上单调递增，取1min 0,b m a -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，当0x m <时，()000010xg x e ax b ax b =--<-+-<矛盾；当0a =时，()xg x e b b =->-，只要0b -≥，即0b ≤，此时0ab =； 当0a >时，令()0g x '>，ln x a >，所以()g x 在()ln ,a +∞单调递增，在(),ln a -∞单调递减，()()ln ln g x g a a a a b ≥=--，所以ln 0a a a b --≥，即ln b a a a ≤-， 此时22ln ab a a a ≤-，令()22ln h a a a a =-，()()2122ln 12ln h a a a a aa a a'=--=-， 令()0h a '=，a =当(a ∈，()0h a '>，()h a在(上为增函数；当)a ∈+∞，()0h a '<，()h a在)+∞上为减函数．所以()1122h a he e e ≤=-=，所以2e ab ≤，故ab 的最大值为2e．（2）()1xFx e a x'=-+在()0,∞+单调递减且()F x '在()0,∞+的值域为R ， 设()F x 的唯一的零点为0x ，则()00F x =，()00F x '=，即00000ln 1010x x x e ax b e a x ⎧+-++=⎪⎨-+=⎪⎩ 所以01xa e x =-，()001ln xo b x e x =--， 由()1m a e b -+≥恒成立，则()00000111ln x x m e e x e x x ⎛⎫--+≥-- ⎪⎝⎭，得()()00001ln 10xmx m ex m e x +-+-+-+≥在()0,∞+上恒成立． 令()()()1ln 1xmk x x m e x m e x=+-+-+-+，()0,x ∈+∞， ()()()2211x x m k x x m e x m e x x x '⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭．若0m ≥，()0k x '>，()k x 在()0,∞+上为增函数，注意到()10k =，知当()0,1x ∈时，()0k x <，矛盾；当(),x m ∈-+∞时，()0k x '>，()k x 为增函数，若01m <<-，则当()1,x m ∈-时，()0k x '<，，()k x 为减函数， 所以()1,x m ∈-时，总有()()10k x k <=，矛盾；若01m <-<，则当(),1x m ∈-时，()0k x '>，，()k x 为增函数， 所以(),1x m ∈-时，总有()()10k x k <=，矛盾；所以1m -=即1m =-，此时当()1,x ∈+∞时，()0k x '>，()k x 为增函数，， 当()0,1x ∈时，()0k x '<，()k x 为减函数，而(1)0k =， 所以()F x 有唯一的零点. 综上，m 的取值集合为{}1- ． 选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为22312sin ρθ=+（1）求曲线E 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，求线段AB 的长解：（1）E 的方程可化为2222sin 3ρρθ+=，将222x y ρ=+，sin y ρθ=，代入其中得2233x y +=，所以曲线E 的直角坐标方程为2213x y +=.（2）直线l 过定点()1,0P ，将直线l 的参数方程代入曲线E的直角坐标方程得2340t +-=，12t t +=1243t t =-，所以12AB t t =-3==. 选修4-5：不等式选讲23.已知函数()211f x x x =--+． （1）解不等式()4f x ≤；（2）记函数()31y f x x =++的最小值m ，正实数a ，b 满足3ma b +=，求证：341log 2a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭．解：（1）()4f x ≤等价于12114x x x ≤-⎧⎨-+++≤⎩ 或1122114x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+--≤⎩或122114x x x ⎧≥⎪⎨⎪---≤⎩， 故21x -≤≤-或112x -<<或162x ≤≤， 综上()4f x ≤解集为[]2,6-.（2）()()31212221223f x x x x x x ++=-++≥--+= 当且仅当()()21220x x -+≤取等号，∴3m =，1a b +=， ∴()41414559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当21,33a b ==时等号成立，∴3341log log 92a b ⎛⎫+≥= ⎪⎝⎭．。

2020届江西省临川高三上学期第一次联考试题高三数学试题(理)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若21iz i-=+则z z ⋅= A.－2 B.2 C.52 D.－522.设集合2{},{32}A x x a B x x a =>=<-，若A B I 为空集，则实数a 的取值范围为 A.(1，2) B.(－∞，1)∪(2，＋∞) C.[1，2] D.(－∞，1]∪[2，＋∞) 3.设a ，b ∈R ，则“(a －b)a 2>0”是“a>b ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.若函数f(x)＝ax －lnx 的图象上存在与直线x ＋2y －4＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是 A. (－2，＋∞) B. (12，＋∞) C. (－12，＋∞) D. (2，＋∞) 5.若x>0，y<0，则下列不等式一定成立的是A.2x －2y >x 2B.()12221x y log x ->+ C. 2x －2y >1＋x D. 2x －2y >1－x17.世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割。

如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿。

”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为360的等腰三角形(另一种是顶角为1080的等腰三角形)。

例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC 中，512BC AC -=。

根据这些信息，可得cos2160＝A.45+B.15+-C.35+ 125-7.若函数222,1()log (1),1x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，在(－∞，a]上的最大值为4，则a 的取值范围为A. (1，17]B. (1，9]C.[1，17]D. [1，9]8.将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是 A.40 B.60 C.80 D.1009.执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m 的取值范围是A.(30，42]B.(30，42)C.(42，56]D.(42，56)10.已知F 1，F 2为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点， B 为椭圆短轴的一个端点，2121214BF BF F F ⋅≥u u u r u u u u r u u u u r ，则椭圆的离心率的取值范围为 A.[0，12] B.[0，22] C. [03 D. [12，1]11.设曲线y ＝cosx 与x 轴、y 轴、直线6x π=围成的封闭图形的面积为b ，若g(x)＝2lnx －2bx 2－kx 在[1，＋∞]上的单调递减，则实数k 的取值范围是A.[0，＋∞)B.(0.＋∞)C.[1，＋∞)D.(1，＋∞) 12.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＋a 2＝2，123n n a S +=+，用[x]表示不超过x 的最大整数，设b n ＝[a n ]，数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则使T 2n >2019成立的最小正整数n 是 A.5 B.6 C.7 D.8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

答案1----6CDACCB 7----12 ADACDA13． 14. 15. 16 5.17（解：（1）由题意得，解得，.又，，当时，的最小值是.（2）对恒成立，则，即恒成立，所以，解得，18（1）∵平面，又∵平面，平面平面.∴，同理，∵，，，∴，∴.同理.∴，同理.又∵，是平面内的两相交直线.∴平面.（2）由（1）及异面直线，互相垂直知，直线，，两两垂直.作，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，∵轴平面，∴平面的一个法向量可设为，∵，∴.得，即，又∵轴平面，∴平面的一个法向量可设为.∴，得，即，设锐二面角的大小为，那么，∴二面角的正切值为.19解：（Ⅰ）记“小球落入4号容器”为事件，若要小球落入4号容器，则在通过的四层中有三层需要向右，一层向左，∴理论上，小球落入4号容器的概率.（Ⅱ）落入4号容器的小球个数的可能取值为0，1，2，3，∴，，，，∴的分布列为：∴.20（1）设：，∴∴，∴∴（2）直线：∴即，∴，即直线：∴∴,∴三点共线∵∴∴.21的极值点，又当时，，从而的极值点成立．（II）因为上为增函数，所以上恒成立． 6分若，则，上为增函数不成产‘若所以上恒成立．令，其对称轴为因为从而上为增函数．所以只要即可，即所以又因为10分（III）若时，方程可得即上有解即求函数的值域．法一：令由，从而上为增函数；当，从而上为减函数．可以无穷小．15分法二：当，所以上递增；当所以上递减；又所以上递减；当，所以上递增；当上递减；又当，当则所以22（1）由曲线：得直角坐标方程为，即的直角坐标方程为：.由直线：展开的，即．（2）由（1）得直线的倾斜角为.所以的参数方程为（为参数），代入曲线得：.设交点所对应的参数分别为，则.23.（1）当时，取得最小值，即.（2）证明：依题意，，则.所以，当且仅当，即，时，等号成立. 所以.。

2020届临川一中暨临川一中实验学校高三理科数学月考答案一、单选题1-5．ACCCA 6-10．DBBDB 11-12．DB 二、填空题13．2 14．120- 15． π41 16．4 三、解答题17．【答案】（1）3-（2）38法一：解：（1）在BCD ∆中，由正弦定理得sin sin CD BC CBD BDC=∠∠，∴sin6sin 22CBD π∠== ∴0CBD π<∠<，∴3CBD π∠=或23CBD π∠= ………………3分当23CBD π∠=时，此时A B C 、、三点共线，矛盾 ∴3CBD π∠= ………………4分∴()2tan tan tan tan 333ABC ABD CBD πππ⎛⎫∠=∠+∠=+==⎪⎝⎭………………6分法二：由余弦定理222cos 242BD CD BC BDC BD BD BD CD +-∠====⋅或………………3分若2BD =时，此时23CBD π∠=，即A B C 、、三点共线，矛盾………………4分 ∴4BD =，此时3CBD π∠=∴()tan tan tan 33ABC ABD CBD ππ⎛⎫∠=∠+∠=+=⎪⎝⎭6分 （2）设BCD θ∠=，在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD θ=+-⋅(2222216θθ=+-⨯⨯=-……8分∴2111sin sin sin 222ABC BCD BAD D S S BC CD BA BD BC CD S θθθ∆∆=+=⋅+⋅=⋅四边形6cos 3πθθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭……………………11分当56πθ=时，四边形ABCD面积的最大值 ……………………12分 备注：（1）若第1问用正弦定理没写出23CBD π∠=，扣1分（2）若第1问用余弦定理没写出2BD =，并且排除2BD =，扣1分18.【答案】（1）见详细答案（2）25（1）如图，作EF PC ∥，交BC 于F ，连接AF .因为3PB BE =，所以E 是PB 的三等分点，可得23BF =. 因为2AB AD ==，23BC CD ==，AC AC =，所以ABC ADC △≌△， 因为BC ⊥AB ，所以90ABC ∠=︒，…………………1分 因为3tan 23AB ACB BC ∠===，所以30ACB ACD ∠=∠=︒，所以60BCD ∠=︒，（2分） 因为tan 323AB AFB BF ∠===，所以60AFB ∠=︒，所以AF CD ∥，……3分 因为AF ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AF ∥平面PCD .……4分又EF PC ∥，EF ⊄平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD .……………5分因为AF EF F =，AF 、EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ∥平面PCD ，所以AE ∥平面PCD .…6分 （2）因为PAB △是等边三角形，2AB =，所以2PB =.又因为4PC =，23BC =，所以222PC PB BC =+，所以BC PB ⊥.又BC ⊥AB ，,AB PB ⊂平面PAB ，AB PB B =，所以BC ⊥平面PAB .因为BC ⊂平面ABCD ，所以平面PAB ⊥平面ABCD .在平面PAB 内作Bz ⊥平面ABCD .………7分 以B 点为坐标原点，分别以,,BC BA Bz 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -， 则(23,0,0)C ，(0,2,0)A ，(0,1,3)P ，所以(23,0,0)BC =，(0,1,3)BP =，(23,2,0)AC =-，(0,1,3)AP =-.………8分设111(,,)x y z =m 为平面BPC 的法向量，则00BC BP ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=m m ，即11123030x y z ⎧=+=⎪⎨⎪⎩， 令11z =-，可得(0,3,1)=-m .………………9分设222(,,)x y z =n 为平面APC 的法向量，则00AC AP ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n ，即2222232030x y y z -=-+=⎧⎪⎨⎪⎩，令21z =，可得(1,3,1)=n .………………10分 所以5,25cos ==⨯m n ………………11分 则25251()n s ,5i =-=m n ，所以二面角A PC B --的正弦值为25.……………………12分 备注：若第2问用几何法做对也给满分.19．【答案】（1）83107340340y x =+（2）分布列见详解，数学期望为1310. 解：解：（1）由题意可知2361021131518118x +++++++==，112 2.56 3.5 3.5 4.538y +++++++==，………………2分由公式12221ˆ34781138313088b11340ni ii ni i x y nx yx nx==-⨯⨯==-⨯-=-∑∑………………3分83107ˆˆ311340340ay bx =-=-⨯=………………4分 ∴83107340340y x =+……………5分 （2）药品A 的三类剂型123A A A 、、经过两次检测后合格分别为事件123B B B 、、,则()()()123142321322,,255432535p B P B P B =⨯==⨯==⨯=……………7分由题意，0,1,2,3X 可取()()()()()()()()2123212312312321231231231232190115250212212111112525525021221821125255225235p X p B B B p X p B B B B B B B B B p X p B B B B B B B B B p X p B B B ⎛⎫⎛⎫===--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=-⋅+-⋅⋅-⋅=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=⋅-+-⋅⋅⋅=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫=== ⎝212225⋅=⎪⎭………10分X ∴的分布列为9218213123.5050255010X ∴⨯+⨯+⨯+⨯=的期望为：EX=0…………12分20.【答案】(1) 椭圆方程为22163x y +=，准圆方程为229x y +=；①12l l ，方程为33y x y x =+=-+， ②见详解 【解析】（1）3c a b ==∴=，2分∴椭圆方程为22163x y +=， ………………3分 准圆方程为229x y +=．………………4分（2）（ⅰ）因为准圆229x y +=与y 轴正半轴的交点为(03)P ，， 设过点(03)P ，且与椭圆相切的直线为3y kx =+， 所以由223{163y kx x y =++=，，得22(12)12120k x kx +++=.……………5分 因为直线3y kx =+与椭圆相切，所以22144412(12)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±，……………6分所以12l l ，方程为33y x y x =+=-+，．……………7分 121l l k k ⋅=-，12l l ∴⊥．……………8分（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l斜率不存在， 则1l ：x =当1l ：6x =时，与准圆交于点(63)(63)-，，，， 此时2l 为y =y =，显然直线12l l ，垂直； 同理可证当1l ：x =12l l ，垂直……………9分 ②当12l l ，斜率存在时，设点00(,)P x y ，其中22009x y +=. 设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+， 所以由0022(){163y t x x y x y =-++=，，得2220000(12)4()2()60t x t y tx x y tx ++-+--=.……………10分由0∆=化简整理得()22200006230x t x y t y -++-=因为22009x y +=，所以有2220000(6)2(6)0x t x y t x -++-=.设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切， 所以12t t ，满足上述方程2220000(6)2(6)0x t x y t x -++-=， 所以20122616x t t x -⋅==--，即12l l ，垂直．……………11分 综合①②知：因为12l l ，经过点00()P x y ，，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ，垂直. 所以线段MN 为准圆229x y +=的直径，6MN ＝，所以线段MN 的长为定值6．……………12分 21．【答案】（1）()∞（2）22e π-解：（1）由()sin axf x e x =，得()()'sin cos axf x e a x x =+，……………1分由()f x 在63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上存在单调递增区间，可得()'0f x >在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，……………2分即sin cos 0a x x +>在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，则min 1tan a x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，∴a >∴a的取值范围为()∞.……………4分 （2）设()()sin axbx e x g x f x b x =-=-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()()'sin cos axg x e a x x b =+-.设()()sin cos axh x ea x xb =+-，则()()2'1sin 2cos 0ax h x e a x a x ⎡⎤=-+≥⎣⎦， ……………5分∴()h x 单调递增，即()'g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 ∴()2'1,a g x b ae b π⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.……………6分当1b ≤时，()'0g x ≥，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()()00g x g ≥=，不符合题意；当2a b ae π≥时，()'0g x ≤，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()()00g x g ≤=，符合题意；当21a b ae π<<时，由于()'g x 为一个单调递增的函数，而()'010g b =-<，2'02a g ae b ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，由零点存在性定理，必存在一个零点0x ，使得()0'0g x =， 从而()g x 在[]00,x x ∈上单调递减，在0,2x π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， ……………9分因此只需02g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴22a e b ππ≤，∴22a b e ππ≥，从而222a a eb ae πππ≤<，综上，b 的取值范围为22,a e ππ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，……………10分因此2222ab e a ee a ππ-≥-. 设()222aG a ee a ππ=-，则()22'ae a e G π=-，令()'0G a =，则41a π=>，∴()G a 在41,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在4,π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，……………11分 从而()242e G a G ππ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭，∴2b e a -的最小值为22e π-.……………12分备注：第1问写)⎡+∞⎣扣1分22.（1）:40(0)l x y x +-=≠,22:20C x y y +-=（2【解析】（1）由82x t=+可得0x ≠， 由8242x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去参数t ，可得直线l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠．………………2分由2sin ρθ=可得22sin ρρθ=，将sin y ρθ=，222x y ρ=+代入上式，可得2220x y y +-=， 所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=．…………………………5分（2）由（1）得，l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠，将其化为极坐标方程可得cos sin 40()2ρθρθθπ+-=≠，…………………………7分当()04θρπ=>时，A ρ=B ρ=|||||A B AB ρρ=-==．………………10分 备注：第1问没写0x ≠扣1分23.（1）(,0)(3,)-∞+∞ （2）见详解 【解析】（1）当0x <时，|4|()x f x x>等价于|||2|4x x +->-，该不等式恒成立； 当02x <≤时，|4|()x f x x>等价于24>，该不等式不成立； 当2x >时，|4|()x f x x >等价于2224x x >⎧⎨->⎩，解得3x >，…………………………3分 所以不等式|4|()x f x x>的解集为(,0)(3,)-∞+∞.…………………………5分 （2）因为()|||2||(2)|2f x x x x x =+-≥--=，当02x ≤≤时取等号，所以2M =,222a b c ++=，……7分由柯西不等式可得22222222224(22)(122)()9()a b c a b c a b c =++≤++++=++,当且仅当244,,999a b c ===时等号成立，所以22249a b c ++≥.…………………………10分备注：第1问结果没用集合或区间表示扣1分。

2020届临川一中暨临川一中实验学校高三理科数学月考试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1. 已知i 为虚数单位，若复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为(2,1)，(1,2)-，则复数12iz z ⋅=（ ） A. 34i -- B. 34i -+C. 43i --D. 3-【答案】A 【解析】 【分析】根据题意12z i =+，212z i =-，故()()12212i i z z i i+-⋅=，计算得到答案. 【详解】根据题意12z i =+，212z i =-，故()()122124334i i z z ii i i i+-⋅-===--. 故选：A.【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力. 2. 已知集合{|20}A x x =-≥，{|ln(1)}B x y x =∈=+Z ，则A B =A. [1,2]-B. (1,2]-C. {0,1,2}D.{1,0,1,2}-【答案】C 【解析】【详解】因为{|20}{|2}A x x x x =-≥=≤，{|ln(1)}{|1}B x y x x x =∈=+=∈>-Z Z ，所以{0,1,2}AB =.故选C ．3. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若41012222a a a ++=，则14S =（ ） A 56B. 66C. 77D. 78【答案】C 【解析】 【分析】化简得到11411a a +=，代入公式计算得到答案.【详解】()()()()410124104127811422222a a a a a a a a a a a ++=+++=+=+=，故11411a a +=，()1141414772a a S +==.故选：C.【点睛】本题考查了等差数列求和，确定11411a a +=是解题的关键.4. 已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[]1,2上是减函数，令2log 3a =，12211,log 162b c -⎛⎫== ⎪⎝⎭，则()()(),,f a f b f c 的大小关系为（ ） A. ()()()f a f b f c << B. ()()()f a f c f b << C. ()()()f b f a f c << D. ()()()f c f a f b <<【答案】C 【解析】 【分析】化简得到()()2f b f =，()()1f c f =，12a <<，根据函数单调性得到答案.【详解】()()()()12142216f b f f f f -⎛⎫⎛⎫ ⎪===-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()21log 112f c f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，2221log 2log 3log 42a =<=<=，函数在区间[]1,2上是减函数，故()()()f b f a f c <<. 故选：C.【点睛】本题考查了根据函数单调性比较函数值大小，意在考查学生的计算能力和对于函数性质的灵活运用.5. 若点()cos ,sin P αα在直线2y x =-上，则sin 22πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于（ ）A. 3-5B.35C. 4-5D.45【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意得到tan 2α，再利用齐次式计算得到答案.【详解】点()cos ,sin P αα在直线2y x =-上，故tan 2α，222222cos sin 1tan 3sin 2cos 22cos sin 1tan 5παααααααα--⎛⎫+====- ⎪++⎝⎭， 故选：A.【点睛】本题考查了三角函数定义，齐次式求值，意在考查学生的计算能力和转化能力. 6. 在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前一时期相比较的增长率.2020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据2019年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确的是( )A. 2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比有涨有跌B. 2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格最高C. 2019年我国居民每月消费价格逐月递增D. 2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降 【答案】D 【解析】 【分析】根据统计折线图以及同比和环比的概念，对四个选项逐个分析可得答案.【详解】根据统计折线图以及同比增长率的概念可知2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比都是上涨的，故A不正确；2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格涨幅最高，不是消费价格最高，故B不正确；2019年我国居民每月消费价格有涨有跌，故C.不正确；2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降，下降了0.4个百分点，故D正确. 故选：D【点睛】本题考查了对统计折线图的分析和理解能力，考查了同比和环比的概念，属于基础题.7. 已知1111114357941π≈-+-+-+，如图是求π的近似值的一个程序框图，则图中空白框中应填入（）A.()1121nin+-=+B.(1)21nin-=+C.()112nii+-=+D.(1)2nii-=+【答案】B【解析】【分析】根据计算公式：计算数据正负交替，分母为首项是1，公差为2的等差数列，得到答案. 【详解】根据计算公式：计算数据正负交替，分母为首项是1，公差为2的等差数列，故填写(1)21n i n -=+. 故选：B.【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力. 8. 已知实数,x y 满足约束条件2202201,1x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥-≥-⎩，则2x y +的取值范围是A. (3,6]-B. [3,6]-C. 3(,6]2-D. 3[,6]2-【答案】B 【解析】【详解】作出不等式组2202201,1x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥-≥-⎩表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设2z x y =+，则2y x z =-+，平移该直线，当直线2y x z =-+经过点A 时，z 取到最大值，由220220x y x y -+=⎧⎨--=⎩得22x y =⎧⎨=⎩，即(2,2)A ，则max 426=+=z ；当直线2y x z =-+经过点C 时，z 取到最小值，易得(1,1)C --，则min 213=--=-z ，所以2x y +的取值范围是[3,6]-.故选B ．9. 函数1()ln ||1xf x x+=-的图象大致为（ ） A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】判断出函数为奇函数,即排除B;代入特殊点后又能排除两个选项,即可得到正确答案. 【详解】由题可得函数()f x 的定义域为{|1}x x ≠±.因为1()ln ||1x f x x --==+1ln ||()1xf x x+-=-- 所以函数()f x 为奇函数,排除选项B;又(1.1)ln 211f =>,(3)ln 21f =<，所以排除选项A 、C 故选:D.【点睛】本题考查了函数的图像,考查了对数的运算.在选择正确的函数图像时,一般都不是直接画函数图像,而是运用排除法.首先判断函数的定义域、奇偶性、单调性进行排除,然后代入特殊点,进行排除.10. 2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2，0，1，9，10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为（ ） A. 72 B. 84 C. 96 D. 120【答案】B 【解析】 【分析】先选择一个非0数排在首位，剩余数全排列，共有96种，其中1和0排在一起形成10和原来的10有重复，共有12种，得到答案.【详解】先选择一个非0数排在首位，剩余数全排列，共有144496C A ⋅=种，其中1和0排在一起形成10和原来的10有重复，考虑1和0相邻时，且1在0的左边，和剩余数字共有4！=24种排法， 其中一半是重复的，故此时有12种重复. 故共有961284-=种. 故选：B.【点睛】本题考查了排列组合的综合应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.11. 已知1F，2F是椭圆C ：22221(0)x ya ba b+=>>的左、右焦点，过2F的直线交椭圆于,P Q两点.若2211||,||,||,||QF PF PF QF依次构成等差数列，且1||PQ PF=，则椭圆C的离心率为（）A.23B.34C.15D.105【答案】D【解析】【分析】设2211||,||,||,||QF PF PF QF依次构成等差数列{}n a，其公差为d，可得12344a a a a a+++=，及123a a a+=，进而可求得1234,,,a a a a的表达式，然后在12PF F△和1PFQ中，利用余弦定理得到12cos F PF∠的表达式，进而可求出离心率的值.【详解】如图所示，设2211||,||,||,||QF PF PF QF依次构成等差数列{}n a，其公差为d.根据椭圆定义得12344a a a a a+++=，又123a a a+=，则1111111()(2)(3)4()2a a d a d a d aa a d a d++++++=⎧⎨++=+⎩，解得25d a=，12342468,,,5555a a a a a a a a====.所以18||5QF a=，16||5PF a=，24||5PF a=，6||5PQ a=.在12PF F△和1PFQ中，由余弦定理得2222221246668()()(2)()()()55555cos4666225555a a c a a aF PFa a a a+-+-∠==⨯⨯⨯⨯，整理得22715a c =,则c e a ==. 故选：D.【点睛】本题考查椭圆离心率的求法，考查椭圆定义的应用，考查等差数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.12. 已知0x =是函数()(tan )f x x ax x =-的极大值点，则a 的取值范围是（ ） A. (],1-∞- B. (,1]-∞C. [0,)+∞D. [1,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】求导得到()22tan cos xf x ax x x'=--，导函数为奇函数，根据题意得到()00f ''≤，计算得到答案.【详解】()(tan )f x x ax x =-，则()22tan cos xf x ax x x'=--， 易知()f x '为奇函数，又0x =是函数()(tan )f x x ax x =-的极大值点，故()00f ''≤，()2241cos sin cos 2cos cos x x x xf x a x x+''=--，代入计算得到1a ≤. 易知()f x ''为偶函数，当1a ≤时，取0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()2241cos sin cos 22110cos cos x x x xf x a x x+''=--<--=，故函数()f x '在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()00f '=，满足条件.故选：B.【点睛】本题考查了根据极值点求参数，确定''(0)0f ≤是解题的关键. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a b ⨯是一个向量，它的模sin a b a b θ⨯=⋅⋅.若()()13,3,1a b =--=,，则a b ⨯=____________.【答案】2 【解析】【分析】 计算3cos 2a b a bθ⋅==-⋅得到1sin 2θ=，代入公式得到答案. 【详解】(1a =--,，3,1b，则23cos 42a b a bθ⋅-===-⋅， []0,θπ∈，故1sin 2θ=，故sin 2a b a b θ⨯=⋅⋅=.故答案为：2.【点睛】本题考查了向量的新定义，意在考查学生的计算能力和理解能力. 14. 若2a xdx =⎰，则()51x ay +-的展开式中22x y 的系数为___________.【答案】120- 【解析】 【分析】计算2a =，()521x y +-的展开式的通项为：()()51521rrrr T C x y -+=+⋅-，()52rx y -+的展开式的通项为：()5152mm r mm r T C xy --+-=⋅，计算得到答案. 【详解】22200122a xdx x ===⎰，故()521x y +-的展开式的通项为：()()51521rrr r T C x y -+=+⋅-.()52rx y -+的展开式的通项为：()5152mm r mm r T C xy --+-=⋅， 取2m =，1r =得到系数为：()2214521120C C ⋅⋅⋅-=-.故答案为：-120.【点睛】本题考查了定积分的计算，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 15. 在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段11A D 的中点，若三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为_______________. 【答案】41π 【解析】 【分析】AC 中点1O 为ABC 外心，故球心O 在平面ABC 的投影为1O ，Q 为AD 中点，OM PQ ⊥于M ，连接1QO ，设1OO h =，则()22224R h =+-，()22222R h =+，解得答案.【详解】如图所示：AC 中点1O 为ABC 外心，故球心O 在平面ABC 的投影为1O ，QAD 中点，OM PQ ⊥于M ，连接1QO ，OC ，则12MO QO ==，122OC =， 设1OO h =，则()22224R h =+-，()22222R h =+，解得412R =， 故2441S R ππ==. 故答案为：41π.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.16. 已知1(3,0)A -，2(3,0)A 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点，双曲线C 的渐近线上存在一点P 满足122||||PA PA =，则b 的最大值为________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意知：3a =，根据对称性不妨设渐近线为3by x =，设()3,P m bm ，代入计算得到()2227390270b mm +-+=，根据0∆≥得到答案.【详解】根据题意知：3a =，根据对称性不妨设渐近线为3by x =，设()3,P m bm ， 122||||PA PA =，则()()()()2222334334m bm m bm ++=-+，整理得到：()2227390270bmm +-+=，()22904272730b ∆=-⨯⨯+≥，解得4b ≤.故答案为：4.【点睛】本题考查了双曲线中参数的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在平面四边形ABCD 中，2BC =，23CD =，且AB BD DA ==.（1）若6CDB π∠=，求tan ABC ∠的值；（2）求四边形ABCD 面积的最大值. 【答案】（1）32）3【解析】 【分析】（1）根据正弦定理得到3CBD π∠=，()tan tan ABC ABD CBD ∠=∠+∠，计算得到答案.（2）根据余弦定理得到21683BD θ=-，计算43433ABCD S πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭四边形，计算得到答案.【详解】（1）在BCD ∆中，由正弦定理得sin sin CD BCCBD BDC=∠∠，∴23sin36sin 22CBD π∠==，∵0CBD π<∠<，∴3CBD π∠=或23CBD π∠=， 当23CBD π∠=时，此时、、A B C 三点共线，矛盾 ∴3CBD π∠=，∴()2tan tan tan tan 3333ABC ABD CBD πππ⎛⎫∠=∠+∠=+==-⎪⎝⎭.（2）设BCD θ∠=，在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD θ=+-⋅()222232223cos 1683cos θθ=+-⨯⨯=-，∴11sin sin 22AB BCD BA CD D S S BC C B S D A BD θθ∆∆=+=⋅+⋅四边形 213sin 24BC CD BD θ=⋅+23sin 436cos 43sin 433πθθθ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭.当56πθ=时，四边形ABCD 面积的最大值83. 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PAB △是等边三角形，BC ⊥AB ，23BC CD ==，2AB AD ==.（1）若3PB BE =，求证：//AE 平面PCD ； （2）若4PC =，求二面角A PC B --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（225【解析】 【分析】（1）作//EF PC ，交BC 于F ，连接AF ，分别证明//AF 平面PCD ，//EF 平面PCD ，进而可证明平面AEF //平面PCD ，可得//AE 平面PCD ；（2）计算可知222PC PB BC =+，所以BC PB ⊥，结合BC ⊥AB ，可知BC ⊥平面PAB ，从而可知平面PAB ⊥平面ABCD ，在平面PAB 内作Bz ⊥平面ABCD ，以B 点为坐标原点，分别以,,BC BA Bz 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，求出平面BPC 的法向量m ，平面APC 的法向量n ，再结合cos ,m n m n m n⋅=，可求出sin ,m n .【详解】（1）如图，作//EF PC ，交BC 于F ，连接AF . 因为3PB BE =，所以E 是PB 的三等分点，可得12333BF BC ==. 因为2AB AD ==，23BC CD ==，AC AC =，所以ABC ADC △≌△， 因为BC ⊥AB ，所以90ADC ABC ∠=∠=︒， 因为3tan 323AB ACB BC ∠===，所以30ACB ACD ∠=∠=︒，所以60BCD ∠=︒， 因为tan 323AB AFB BF ∠===，所以60AFB ∠=︒，所以//AF CD ， 因为AF ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以//AF 平面PCD .又//EF PC ，EF ⊄平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，所以//EF 平面PCD . 因为AFEF F =，AF 、EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF //平面PCD ，所以//AE 平面PCD .（2）因为PAB △是等边三角形，2AB =，所以2PB =.又因为4PC =，23BC =，所以222PC PB BC =+，所以BC PB ⊥. 又BC ⊥AB ，,AB PB ⊂平面PAB ，AB PB B ⋂=，所以BC ⊥平面PAB . 因为BC ⊂平面ABCD ，所以平面PAB ⊥平面ABCD .在平面PAB 内作Bz ⊥平面ABCD ，以B 点为坐标原点，分别以,,BC BA Bz 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，则C ，(0,2,0)A，P ，所以(23,0,0)BC =，BP =，(23,2,0)AC =-，(0,AP =-.设111(,,)z m x y =为平面BPC 的法向量，则00m BC m BP ⋅=⋅⎧⎪⎨⎪⎩=，即1110y ⎧=+=⎪⎨⎪⎩，令11z =-，可得(0,3,1)m =-.设222(,,)x n y z =为平面APC 的法向量，则00n AC n AP ⋅=⋅⎧⎪⎨⎪=⎩，即2222200y y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令21z =，可得(1,3,1)n =.所以2c s ,o m n m n m n⋅===⨯，则1sin ,m n =-=， 所以二面角A PC B --. 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查利用空间向量求二面角，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.19. 2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急.为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品A 的研发费用x （百万元）和销量y （万盒）的统计数据如下：（1）根据数据用最小二乘法求出y 与x 的线性回归方程y bx a =+（系数用分数表示，不能用小数）；（2）该药企准备生产药品A 的三类不同的剂型1A ，2A ，3A ，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测.第一次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为12，34，35，第二次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为45，23，23.两次检测过程相互独立，设经过两次检测后1A ，2A ，3A 三类剂型合格的种类数为X ，求X 的分布列与数学期望.附：（1）1221ni ii ni i x y nx yb a y bx x nx==-==--∑∑,（2）882113471308i i i i i x y x ====∑∑，.【答案】（1）83107340340y x =+（2）分布列见解析，1310【解析】 【分析】（1）直接利用回归方程公式计算得到答案.（2）X 可取0,1,2,3，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案. 【详解】（1）2361021131518118x +++++++==，112 2.56 3.5 3.5 4.538y +++++++==，由公式12221ˆ34781138313088b11340ni ii ni i x y nx yx nx==-⨯⨯==-⨯-=-∑∑， 83107ˆˆ311340340a y bx =-=-⨯=， ∴83107340340y x =+. （2）药品A 的三类剂型123A A A 、、经过两次检测后合格分别为事件123B B B 、、， 则()()()123142321322,,255432535p B P B P B =⨯==⨯==⨯=， 由题意，X 可取0,1,2,3，()()21232190115250p X p B B B ⎛⎫⎛⎫===--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()()21231231232122121111125255250p X p B B B B B B B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=-⋅+-⋅⋅-⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()212312312321221821125255225p X p B B B B B B B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=⋅-+-⋅⋅⋅=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()212321235225p X p B B B ⎛⎫===⋅=⎪⎝⎭.X ∴的分布列为：X123p950 2150 825 22592182130123.5050255010EX =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查了回归方程，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20. 给定椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>，称圆心在原点O ，半径为22a b +的圆是椭圆C 的“准圆”.若椭圆C 的一个焦点为(30)F ,，其短轴上的一个端点到F 的距离为6.（1）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（2）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12,l l 交“准圆”于点,M N . ①当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12,l l 的方程并证明12l l ⊥； ②求证：线段MN 的长为定值.【答案】（1）椭圆方程为22163x y +=，准圆方程为229x y +=；（2）①12:33:l y x l y x =+=-+,，证明见解析；②证明见解析 【解析】【分析】（1）根据题意c a b ===.（2）（ⅰ）设直线为3y kx =+，联立方程计算0∆=得到1k =±，得到答案.（ⅱ）考虑斜率存在和不存在两种情况，设点00(,)P x y ，切线为00()y t x x y =-+，联立方程得到2220000(6)2(6)0x t x y t x -++-=，20122616x t t x -⋅==--，得到直线12l l ，垂直，得到线段MN 为准圆的直径，得到答案.【详解】（1）3c a b ==∴=，∴椭圆方程为22163x y +=，准圆方程为229x y +=.（2）（ⅰ）因为准圆229x y +=与y 轴正半轴的交点为(03)P ，， 设过点(03)P ，且与椭圆相切的直线为3y kx =+， 所以由223163y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(12)12120k x kx +++=.因为直线3y kx =+与椭圆相切，所以22144412(12)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±，所以12l l ，方程为33y x y x =+=-+，，121l l k k ⋅=-，12l l ∴⊥.（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l斜率不存在， 则1l ：x=1l ：x =1l与准圆交于点， 此时2l为y =y =，显然直线12l l，垂直； 同理可证当1l ：x =12l l ，垂直 ②当12l l ，斜率存在时，设点00(,)P x y ，其中22009x y +=. 设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+， 所以由0022()163y t x x y x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2220000(12)4()2()60t x t y tx x y tx ++-+--=.由0∆=化简整理得()22200006230x t x y t y -++-=，因为22009x y +=，所以有2220000(6)2(6)0x t x y t x -++-=.设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切， 所以12t t ，满足上述方程2220000(6)2(6)0x t x y t x -++-=， 所以20122616x t t x -⋅==--，即12l l ，垂直. 综合①②知：因为12l l ，经过点00()P x y ，，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ，垂直. 所以线段MN 为准圆229x y +=的直径，6MN ＝，所以线段MN 的长为定值6.【点睛】本题考查了椭圆方程，证明直线垂直，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21. 已知函数()sin axf x e x =. （1）若()f x 在,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围； （2）设1a ≥，若0,2x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，恒有()f x bx ≤成立，求2b e a -的最小值. 【答案】（1）()∞（2）22e π-【解析】 【分析】（1）求导得到()()sin cos axf x ea x x '=+，根据题意得到sin cos 0a x x +>在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，则min1tan a x ⎛⎫>-⎪⎝⎭，计算得到答案. （2）设()()g x f x bx =-，()()()sin cos axh x g x e a x x b ==+-'，计算得到()h x 单调递增，故()21,a g x b ae b π⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦'，讨论1b ≤，2a b ae π≥，21a b ae π<<三种情况，得到b 的取值范围为22,a e ππ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，设()222a G a e e a ππ=-，根据函数的单调性得到答案.【详解】（1）由()sin axf x e x =，得()()sin cos axf x ea x x '=+，由()f x 在63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上存在单调递增区间，可得()0f x '>在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，即sin cos 0a x x +>在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，则min 1tan a x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，∴a >∴a的取值范围为()∞.（2）设()()sin axg x f x bx e x bx =-=-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()sin cos axg x e a x x b =+'-.设()()sin cos axh x ea x xb =+-，则()()21sin 2cos 0ax h x e a x a x ⎡-'⎤=+≥⎣⎦， ∴()h x 单调递增，即()g x '在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 ∴()21,a g x b ae b π⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦'.当1b ≤时，()0g x '≥，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()()00g x g ≥=，不符合题意； 当2a b ae π≥时，()0g x '≤，()g x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()()00g x g ≤=，符合题意； 当21a b ae π<<时，由于()g x '为一个单调递增的函数，而()010g b ='-<，202a g ae b ππ⎛⎫='-> ⎪⎝⎭，由零点存在性定理，必存在一个零点0x ，使得()00g x '=， 从而()g x 在[]00,x x ∈上单调递减，在0,2x π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，因此只需02g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴22a e b ππ≤，∴22a b e ππ≥，从而222a a eb ae πππ≤<，综上，b 的取值范围为22,a e ππ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，因此2222ab e a ee a ππ-≥-.设()222aG a ee a ππ=-，则()22aG a e e π-'=，令()0G a '=，则41a π=>，∴()G a 在41,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在4,π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 从而()242e G a G ππ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭，∴2b e a-的最小值为22e π-.【点睛】本题考查了根据单调区间求参数，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为8,242x tt y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若射线4πθ=（0ρ>）与直线l 和曲线C 分别交于A ，B 两点，求AB 的值.【答案】（1）40x y +-=（0x ≠），2220x y y +-=；（2. 【解析】 【分析】（1）将直线l 的参数方程消参，即可得直线l 的普通方程，要注意0x ≠；将曲线C 的极坐标方程两边同乘ρ，再将sin y ρθ=，222x y ρ+=代入，即可得曲线C 的直角坐标方程；（2）先将直线l 的直角坐标方程化为极坐标方程，再将4πθ=（0ρ>）代入直线l 和曲线C的极坐标方程中，可得点A ，B 对应的极径，利用||A B AB ρρ=-计算，即可求解.【详解】（1）由82x t=+得0x ≠， 将8,242x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）消去参数t ，得直线l 的普通方程为40x y +-=（0x ≠）.由2sin ρθ=得22sin ρρθ=，将sin y ρθ=，222x y ρ=+代入上式， 得2220x y y +-=，所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=.（2）由（1）可知直线l 的普通方程为40x y +-=（0x ≠），化为极坐标方程得cos sin 40ρθρθ+-=（2πθ≠）， 当4πθ=（0ρ>）时，设A ，B 两点的极坐标分别为,4A πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,4B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则A ρ=2sin 4B πρ==，所以|||A B AB ρρ=-==【点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化及参数的几何意义，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养，属于常考题.23. 已知()|||2|f x x x =+-.（1）求不等式|4|()x f x x>的解集； （2）若()f x 的最小值为M ，且22(,,)a b c M a b c ++=∈R ，求证：22249a b c ++≥. 【答案】（1）(,0)(3,)-∞⋃+∞；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分0x <、02x <≤和2x >三种情况，分别解不等式，进而可得出答案；（2）先求出()f x 的最小值，可求出的M 的值，再结合柯西不等式，可证明结论.【详解】（1）当0x <时，|4|()x f x x>等价于|||2|4x x +->-，该不等式恒成立； 当02x <≤时，()|||2|2f x x x =+-=，则|4|()x f x x >等价于24>，该不等式不成立； 当2x >时，()|||2|22f x x x x =+-=-，则|4|()x f x x >等价于2224x x >⎧⎨->⎩，解得3x >，所以不等式|4|()x f x x>的解集为：(,0)(3,)-∞⋃+∞. （2）因为()|||2||(2)|2f x x x x x =+-≥--=，当02x ≤≤时取等号，所以2M =，222a b c ++=，由柯西不等式可得22222222224(22)(122)()9()a b c a b c a b c =++≤++++=++， 当且仅当244,,999a b c ===时等号成立，所以22249a b c ++≥. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，考查分类讨论的数学思想的应用，考查学生的推理论证能力，属于基础题.。

2019－2020届临川一中上学期第一次联合考试数学答案（理）二、填空题13．－221 14．2315．16．2三、解答题17．解（1）∵a cos B ＝(4c －b )cos A ，由正弦定理得：sin A cos B ＝(4sin C －sin B )cos A ，…………2分即sin A cos B ＋cos A sin B ＝4sin C cos A ，即sin C ＝4 cos A sin C ，…………4分在中，，所以cos A ＝41…………………………5分（2）→AB ＋→AC ＝2→AM，两边平方得：……6分由b ＝4，|→AM |＝，cos A ＝41得c 2＋b 2＋2×c ×b ×41＝4×10， (8)分可得c 2＋16＋2c ＝40……………………10分解得：c ＝4或c ＝－6（舍） ………………11分所以△ABC 的面积s ＝21bc sin A ＝2 ………………12分18．解：(1)证明：∵AC ＝2，BC ＝2，AB ＝6，∴AC 2＋BC 2＝AB 2， ∴∠ACB ＝90°，∴cos ∠ABC ＝63＝33.又易知BD ＝2， ∴CD 2＝22＋(2)2－2×2×2cos ∠ABC ＝8， ∴CD ＝2，又AD ＝4， ∴CD 2＋AD 2＝AC 2， ∴CD ⊥AB .∵平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ∩平面ABC ＝AB ，CD ⊂平面ABC ， ∴CD ⊥平面PAB ，又PD ⊂平面PAB ，∴CD ⊥PD ，∵PD ⊥AC ，AC ∩CD ＝C ，∴PD ⊥平面ABC .……………………5分 (2)由(1)知PD ，CD ，AB 两两互相垂直， ∴可建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，∵直线PA 与平面ABC 所成的角为45°，即∠PAD ＝45°， ∴PD ＝AD ＝4，则A (0，－4,0)，C (2，0,0)，B (0,2,0)，P (0,0,4)，∴―→CB ＝(－2，2,0)，―→AC ＝(2，4,0)，―→PA＝(0，－4，－4)． ∵AD ＝2DB ，CE ＝2EB ， ∴DE ∥AC ，由(1)知AC ⊥BC ， ∴DE ⊥BC ，又PD ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴PD ⊥BC ， ∵PD ∩DE ＝D ， ∴CB ⊥平面PDE ，∴―→CB＝(－2，2,0)为平面PDE 的一个法向量． 设平面PAC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则―→AC ―→PA ＝0，PA 即－4y －4z ＝0，2x ＋4y ＝0，令z ＝1，得x ＝，y ＝－1， ∴n ＝(，－1,1)为平面PAC 的一个法向量． ∴cos<n ，―→CB >＝12－4－2＝－23，∴平面PAC 与平面PDE 所成的锐二面角的余弦值为23，故平面PAC 与平面PDE 所成的锐二面角为30°.……………………12分19．解：由e ＝a c ＝23，又由于a ＞b ＞0，一个长轴顶点在直线y ＝x ＋2上，可得：a ＝2，c ＝，b ＝1（1）故此椭圆的方程为4x2＋y 2＝1………………5分（2）设P (x 1，y 1)，Q (x 1，y 1)，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m 联立椭圆的方程得： (4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0由△＝64k 2m 2－4(4k 2＋1)( 4m 2－4)＞0，可得m 2＜4k 2＋1则x 1＋x 2＝－4k2＋18km ，x 1·x 2＝4k2＋14m2－4|PQ |＝·|x 1－x 2|＝·＝4·4k2＋14k2－m2＋1又点O 到直线y ＝kx ＋m 的距离d ＝k2＋1|m|S △OPQ ＝21·d ·|PQ |＝2|m |·4k2＋14k2－m2＋1由于k 1·k 2＝x1x2y1y2＝x1x2x1＋x2＋m2＝－ 41，可得：4k 2＝2m 2－1 故S △OPQ ＝2|m |·2m22m2－1－m2＋1＝1当直线PQ 的斜率不存在时，可算得：S △OPQ ＝1故△OPQ 的面积为定值1……………………12分20．（1）X 可能取值为3，4，5，6P (X ＝3)＝(31)3 ＝271P (X ＝4)＝C 31 (32)(31)2＝276…………1分 P (X ＝5)＝C 32 (32)2(31) ＝2712 P (X ＝6)＝ (32)3 ＝278…………2分E (X )＝5………………4分（2）①总分恰为m 的概率A m ＝(31)m ……………………6分 故S 6＝31＝729364……………………8分②已调查过的累计得分恰为n 分的概率为B n ，得不到n 分的情况只有先得n －1分，再得2分，概率为32B n －1，而B 1＝31…………9分 故1－B n ＝32B n －1，即B n ＝－32B n －1＋1…………10分 可得B n －53＝－32( B n －1－53)，B 1－53＝－154…………11分可得B n ＝53＋52·(－32)n ……………………12分21．解：（1）f / (x )＝x ln x －a ln x ＋a －x ＝(x －a )(ln x －1)，x ∈(0，＋∞)………………1分 ①当a ＝e 时，f / (x ) ＝(x －e )(ln x －1)≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增…………2分②当a ≤0时，x －a ＞0，f (x )在(0，e ) 上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增…………3分 ③当0＜a ＜e 时， f (x )在(a ，e ) 上单调递减，在(0，a )，(e ，＋∞)上单调递增…………4分 ④当a ＞e 时， f (x )在(e ，a ) 上单调递减，在(0，e )，(e ，＋∞)上单调递增…………6分（2）假设存在a ∈(－∞，e ]，使得f (x )＞3＋41sin 4aπ对任意x ∈[1，＋∞)恒成立 则f (1)＝2a －43＞3＋41sin 4aπ，即8a －sin 4aπ－15＞0…………7分 设g (x )＝8x －sin 4πx －15，g / (x )＝8－4πcos 4πx＞0，则g (x )单调递增由于g (2)＝0，所以a ＞2①当a ＝e 时，f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (1)，所以a ＞2， 从而a ＝e 满足题意…………8分②当2＜a ＜e 时， f (x )在(a ，e ) 上单调递减，在(0，a )，(e ，＋∞)上单调递增所以414aπ414aπ4aπ，可4aπ－e2－12＞0aπ（1）…………9分设h (x )＝4ex －sin 4πx －e 2－12，h /(x )＝4e －4πcos 4πx＞0，则h (x )是单调递增函数…………10分由于h (2)＝8e －e 2－13＞0可得h (x )的零点小于2，从而不等式组（1）的解集为(2，＋∞) 所以2＜a ＜e …………11分综上，存在a ∈(－∞，e ]，使得f (x ) ＞3＋41sin 4aπ对x ∈[1，＋∞]恒成立，且a 的取值范围是(2，e ] …………12分 22．(1)C ：x 2＋y 2＝1，曲线C 1：y/＝sinαx/＝2cosα，得x /2＋4y /2＝4…………2分即ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝4………………5分（2）ρ2cos2θ＋4ρ2sin2θ＝4θ＝β，有ρ21＝4cos2θ＋sin 2θ…………7分 ∴|OA|21＝4cos2θ＋sin 2θ，…………8分同理|OB|21＝2＋sin 2(θ＋2π)＝4sin2θ＋cos 2θ…………9分故|OA|21＋|OB|21＝45………………10分23．（1）f (x )＝|x －2|＋|x －1|≥5可解得x ∈(－∞，－1]∪[4，＋∞)…………5他（2）由|x －a a2＋1|＋|x －1|≤4－|x ＋1|在[1，2]上恒成立，由于a ＞0，可得a a2＋1≥2…………6分等价于a a2＋1－x ＋x －1≤4－x －1在[1，2]上恒成立…………7分即a a2＋1≤4－x 在[1，2]上恒成立，…………8分 即a a2＋1≤2，可得a ＝1，…………9分故a 的取值集合为{1}…………10分。

江西省临川一中2020届高三下学期联合检测数 学（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为 120分钟。

2．本试卷分试题卷和答题卷，第Ⅰ卷（选择题）的答案应填在答题卷卷首相应的空格内， 做在第Ⅰ卷的无效。

3．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡相应的位置。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。

1．已知集合{}1->∈=x Z x A ,集合{}2log 2<=x x B ，则=B A I A ．{}41<<-x xB ．{}40<<x xC ．{}3,2,1,0D ．{}3,2,1 2．设复数)(1R b bi z ∈+=，且i z 432+-=，则z 的虚部为 A ．i 2B ．i 2-C ．2D ．2-3．在等比数列}{n a 中，11=a ，2715386=++a a a a ，则6a 的值为 A ．271B ．811 C ．2431D ．7291 4．右图的框图中，若输入1615=x ，则输出的i 值为A ．3B ．4C ．5D ．65．已知8.0log 3=a ，8.03=b ，1.23.0=c ，则A ．c ab a <<B ．c b ac <<C ．C a ab <<D ．b ac c <<6．已知某函数的图像如图所示，则其解析式可以是 A ．)sin(xx e e y -+= B ．)sin(xxe e y --= C ．)cos(xxe e y --= D ．)cos(xxe e y -+=7． 《算数书》竹简于上世纪八十年代出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也，又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式h L y 2361≈，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周 率π近似值为.3那么近似公式h L v 21123≈相当于将圆锥体积公式中的π近似值为 A ．722B ．825C ．928D ．27828．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，)1(+x f 是偶函数，且当(]1,0∈x 时，23)(-=xx f ， 则=+)2020()2019(f fA ．1-B ．0C ．1D ．29．甲乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制，在一局比赛中，先得l1分的运动员为胜方， 但打到10平以后，先多得2分者为胜方．在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个 球，若在某局比赛中，甲发球赢球的概率为21，甲接发球赢球的概率为,52则在比分为10:10后 甲先发球的情况下，甲以13:11赢下此局的概率为 A ．252B ．103C ．101 D ．253 10．己知()、0,1x A ()0,2x B 两点是函数()()),0(,01sin 2)(πϕωϕω∈>++=x x f 与x 轴的两个交 点，且满足3min21π=-x x ，现将函数)(x f 的图像向左平移6π个单位，得到的新函数图像关于 y 轴对称，则ϕ的可能取值为 A ．6πB ．3πC ．32πD ．65π11．已知直线a x 2=与双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的一条渐近线交于点,P 双曲线C 的左，右焦点分别为21,F F ,且41cos 2-=∠F PF ，则双曲线C 的渐近线方程为A ．x y 15±=B ．x y 11153±= C ．x y 11152±= D ．1115315±=±=或x y12．已知R k ∈，设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+--≤+-=1,)1(1,22)(32x e e k x x k kx x x f x ，若关于x 的不等式0)(≥x f 在R x ∈上恒成立，则k 的取值范围为 A ．],0[2eB ．],2[2eC ．]4,0[D ．]3,0[第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卷相应位置． 13．已知向量)1,1(-=a ，向量)1,0(=b =-b a14．已知抛物线)0,(:2=/∈=m R m mx y C 过点)4,1(-P ,则抛物线C 的准线方程为 15．已知数列{}n a ,{}n b ,其中数列{}n a 满足)(10++∈=N n a a n n ,前n 项和为n S 满足21ln 22+--=n S n )10,(≤∈+n N n ；数列{}n b 满足)(12++∈=N n b b n n ，且,11=b )12,(,1.1≤∈+=++n N n b n n b n n ，则数列}{n n b a ⋅的第2020项的值为 16．如图，四棱锥ABCD P -中，底面为四边形ABCD .其中 ACD ∆为正三角形，又AB DB DC DB DB DA ⋅=⋅=⋅3 设三棱锥ABCD P -,三棱锥ACD P -的体积分别是,1V2V ,三棱锥ABD P -，三棱锥ACD P -的外接球的表面积分别是21,S S .对于以下结论：①21V V <;②21V V =;③21V V >;④21S S <;⑤;21S S =⑥21S S >其中正确命题的序号为三、解答题：共70分。