激光物理汇总
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可得
在方程两边同乘以{sin(knz)}并对区间(0，L)积分，最后利用正交关系式，并将m改为n，同时定义：(Pn(t)为Pn(z，t)的空间傅立叶分量)
可得：
(1-1)
假设方程解为
(1-2)
式中，En(t)和φn(t)为时间t的慢变函数。
由于宏观电极化强度P是由电场E诱导产生的，在响应上会有滞后，不会是瞬时的。考虑到这一滞后效应，Pn(t)应写成如下的形式
4.激光半经典理论框架下使用了哪些近似？并分别加以论述
答：主要使用了下述近似，1）两能级近似；2）原子间没有相互作用；3）电偶极近似；4）旋波近似；5）缓变振幅近似；6）绝热近似。各个近似论述如下：
1）两能级近似。实际原子，分子等拥有许多的能级，在激光器理论中，只有与激光直接相关的上下能级才与光发生只要作用。泵浦作于与衰减作用，只要是提供初始条件，用光与两能级原子作用作为基本模型，即简捷又能反映问题的本质。
(1-3)
式中第一项分量与An(t)同位相，第二项与An(t)差π/2相位，Cn(t)仍与Sn(t)也是时间的慢变化函数。因此有
(1-4)
将唯象参量σ。用谐振腔第n个模的品质因数Qn来代替，令
(1-5)
将式(1-2)、(1-3)、(1-4)代入式(1-1)中，忽略等小量．并比较方程两端正弦项和余弦项的系数，可得
2）原子间没有相互作用。由于激活原子的密度比较低，忽略原子之间的直接作用，如偶极偶极相互作用，是较合理的近似。原子之间的碰撞作用归于原子的弛豫或衰减。当各个原子同时与同意光场耦合，原子间通过光场发生间接相互作用，一定条件下可发生原子的集体效应，但这并非原子间的直接作用。
3）电偶极近似。光与原子作用的电偶极近似，其实质是原子的大小远小于光波的波长，在原子的大小范围内，光场可近似为常数。考虑到原子坐标原子的光场 与矢量势 ，在计算光场与原子作用时，可提到积分号外，例如 。在研究光的吸收、自发辐射和受激辐射等问题时，电偶极近似是很好的近似，但处理多光子过程时可能出现问题，需用失势直接计算相互作用。
一级近似解为：
（1.8）
三级近似解为：
（1.9）
2. 设原子系统哈密顿量为： （其中 ），能级图如图所示。电磁场 ，原子偶极矩 为实数，Rabi频率为 。推导旋波近似条件下ห้องสมุดไป่ตู้Bloch方程，并阐述各方程物理意义。
解：系统的哈密顿量为
密度矩阵方程服从刘维方程
两能级密度矩阵方程为
其中 。唯相加入衰减之后，密度矩阵方程为
1.不考虑原子在态上的衰减时，二能级系统态的运动方程为
式中 ； ； ， ； 。假设光场与二能级原子共振（共20分）
（1）推导旋波近似条件下的 和 所满足的方程
（2）假设初始条件为 和 ，试利用迭代法求解旋波近似条件下 和 的一级近似解 和 以及三级近似解 和
解：（1）将 和 的表达式代入两能级运动方程，约化得到
令 ，上式可写为
旋波近似，忽略快速震荡项，则可简化为：（ ）
令下列一组矢量 ，同时 ， ，可得到
其中 对于介质极化强度的实部和虚部，分别表示单原子的色散，吸收。 表示反转粒子数大小。
3.推导Lamb方程，并阐述各方程所表示的物理意义。
解：先考虑腔长为L无源腔方程：
的解。用分离变效法可得其解。由于谐振腔的存在，只有沿z轴且同时满足驻波条件的光波才能在腔内形成稳定模式。λn是第n个纵模模式为
（1.1）
式中 。由共振条件 ，上式可简化为
（1.2）
旋波近似即忽略上式中的快变量， 和 ，即得到旋波近似条件下的 和 所满足的方程
其中 （1.3）
（2）假定级数解形式如下
（1.4）
由题可得， 。将微扰形式解代入式（1.3），可得
（1.5） （1.6） （1.7）
由方程（1.5）—（1.7）可得
； ；
4）旋波近似。在处理与二能级原子作用是，只考虑近共振项 ，而忽略远离共振的项 ，这里 分别表示光频率与原子的共振频率。旋波相当于只考虑光场与原子的矢量在相平面同向旋转的情况。
5）缓变振幅近似。假定光场与极化强度等可以分解为快变与慢变部分，其慢变量在一个光学周期内的变化可以忽略不计。通常用于约化Maxwell方程。
， ，
腔内电场应是所有模式场的叠加：
{sin (knz)}是区间(0，L)(即激光腔)内的正交函数集，它满足
对于腔长一定的激光器来说，本征函数集{sin(knz)}可作为已知量对待，因而求解电场E(z，t)主要是求解场随时间变化部分An(t)。An(t)满足一定的运动方程。将式(1-1)代入单向含极化介质的Maxwell方程
光脉冲面积定义
对于脉冲持续时间小于能级寿命和退相干时间时，光脉冲面积所遵守的运动方程
其中 ， 为圆频率多普勒线型函数。该式即为面积定理。
分析如下：1)对于原子初始处于下能级，并在弱信号条件下，，光脉冲在介质中传播光强满足规律为 ，这就是正常吸收的比尔定理， 即为介质的吸收系数。2)强脉冲而言，对于共振吸收介质，脉冲面积为 的整数倍时，脉冲在介质传输中为稳定脉冲；对于吸收介质，脉冲面积为 的奇数倍时，脉冲在介质中传输为稳定脉冲。3)数值计算表明，对于共振吸收介质，强脉冲将分裂为m个分离的稳定的面积为 的脉冲。
在上面两方程中，忽略较小项，同时，ω’n≈ωn，所以有
于是上面两方程变为
(1.6)
(1-7)
式(1-6)和式(1-7)就是激光振荡半经典理论中描述激光场的基本方程，称为激光电磁场方程，也称兰姆方程。其中第一个方程表示极化强度的同相位分量(即Cn(t))在使场的频率(有源腔频率)偏离非激活腔场的频率(无源腔振荡频率)中所起的作用，从而描述了频率牵引和排斥。第二个方程描写阻尼和激活介质对模的振幅的影响：如果极化强度的正交分量为零(即Sn(t)＝0)，则就像非激活介质损耗腔那样，振幅按指数规律衰减。所以含有极化强度的正交分量Sn(t)代表激活介质所起的增益，它克服腔的损耗，使振荡得以发生。
6）绝热近似。假定光场的弛豫时间较长，而原子的变量，如偶极矩，的弛豫时间短。这样，光场的慢变部分变化时，原子可以很快地及时地跟随光场的变化；反之，在原子的弛豫时间内，光场的慢变振幅可看成与时间无关的常数。
5.什么是光脉冲面积定理？并加以简要分析。同时阐述光脉冲面积定理与光脉冲能量有何区别？
答：光脉冲面积定理，它可描述入射光场强相对于时间的积分（光脉冲面积）在空间的演化情况。借助该定理，可以方便的讨论脉冲在吸收和放大介质中出现的某些现象，而无需知道布洛赫方程的详细解。
在方程两边同乘以{sin(knz)}并对区间(0，L)积分，最后利用正交关系式，并将m改为n，同时定义：(Pn(t)为Pn(z，t)的空间傅立叶分量)
可得：
(1-1)
假设方程解为
(1-2)
式中，En(t)和φn(t)为时间t的慢变函数。
由于宏观电极化强度P是由电场E诱导产生的，在响应上会有滞后，不会是瞬时的。考虑到这一滞后效应，Pn(t)应写成如下的形式
4.激光半经典理论框架下使用了哪些近似？并分别加以论述
答：主要使用了下述近似，1）两能级近似；2）原子间没有相互作用；3）电偶极近似；4）旋波近似；5）缓变振幅近似；6）绝热近似。各个近似论述如下：
1）两能级近似。实际原子，分子等拥有许多的能级，在激光器理论中，只有与激光直接相关的上下能级才与光发生只要作用。泵浦作于与衰减作用，只要是提供初始条件，用光与两能级原子作用作为基本模型，即简捷又能反映问题的本质。
(1-3)
式中第一项分量与An(t)同位相，第二项与An(t)差π/2相位，Cn(t)仍与Sn(t)也是时间的慢变化函数。因此有
(1-4)
将唯象参量σ。用谐振腔第n个模的品质因数Qn来代替，令
(1-5)
将式(1-2)、(1-3)、(1-4)代入式(1-1)中，忽略等小量．并比较方程两端正弦项和余弦项的系数，可得
2）原子间没有相互作用。由于激活原子的密度比较低，忽略原子之间的直接作用，如偶极偶极相互作用，是较合理的近似。原子之间的碰撞作用归于原子的弛豫或衰减。当各个原子同时与同意光场耦合，原子间通过光场发生间接相互作用，一定条件下可发生原子的集体效应，但这并非原子间的直接作用。
3）电偶极近似。光与原子作用的电偶极近似，其实质是原子的大小远小于光波的波长，在原子的大小范围内，光场可近似为常数。考虑到原子坐标原子的光场 与矢量势 ，在计算光场与原子作用时，可提到积分号外，例如 。在研究光的吸收、自发辐射和受激辐射等问题时，电偶极近似是很好的近似，但处理多光子过程时可能出现问题，需用失势直接计算相互作用。
一级近似解为：
（1.8）
三级近似解为：
（1.9）
2. 设原子系统哈密顿量为： （其中 ），能级图如图所示。电磁场 ，原子偶极矩 为实数，Rabi频率为 。推导旋波近似条件下ห้องสมุดไป่ตู้Bloch方程，并阐述各方程物理意义。
解：系统的哈密顿量为
密度矩阵方程服从刘维方程
两能级密度矩阵方程为
其中 。唯相加入衰减之后，密度矩阵方程为
1.不考虑原子在态上的衰减时，二能级系统态的运动方程为
式中 ； ； ， ； 。假设光场与二能级原子共振（共20分）
（1）推导旋波近似条件下的 和 所满足的方程
（2）假设初始条件为 和 ，试利用迭代法求解旋波近似条件下 和 的一级近似解 和 以及三级近似解 和
解：（1）将 和 的表达式代入两能级运动方程，约化得到
令 ，上式可写为
旋波近似，忽略快速震荡项，则可简化为：（ ）
令下列一组矢量 ，同时 ， ，可得到
其中 对于介质极化强度的实部和虚部，分别表示单原子的色散，吸收。 表示反转粒子数大小。
3.推导Lamb方程，并阐述各方程所表示的物理意义。
解：先考虑腔长为L无源腔方程：
的解。用分离变效法可得其解。由于谐振腔的存在，只有沿z轴且同时满足驻波条件的光波才能在腔内形成稳定模式。λn是第n个纵模模式为
（1.1）
式中 。由共振条件 ，上式可简化为
（1.2）
旋波近似即忽略上式中的快变量， 和 ，即得到旋波近似条件下的 和 所满足的方程
其中 （1.3）
（2）假定级数解形式如下
（1.4）
由题可得， 。将微扰形式解代入式（1.3），可得
（1.5） （1.6） （1.7）
由方程（1.5）—（1.7）可得
； ；
4）旋波近似。在处理与二能级原子作用是，只考虑近共振项 ，而忽略远离共振的项 ，这里 分别表示光频率与原子的共振频率。旋波相当于只考虑光场与原子的矢量在相平面同向旋转的情况。
5）缓变振幅近似。假定光场与极化强度等可以分解为快变与慢变部分，其慢变量在一个光学周期内的变化可以忽略不计。通常用于约化Maxwell方程。
， ，
腔内电场应是所有模式场的叠加：
{sin (knz)}是区间(0，L)(即激光腔)内的正交函数集，它满足
对于腔长一定的激光器来说，本征函数集{sin(knz)}可作为已知量对待，因而求解电场E(z，t)主要是求解场随时间变化部分An(t)。An(t)满足一定的运动方程。将式(1-1)代入单向含极化介质的Maxwell方程
光脉冲面积定义
对于脉冲持续时间小于能级寿命和退相干时间时，光脉冲面积所遵守的运动方程
其中 ， 为圆频率多普勒线型函数。该式即为面积定理。
分析如下：1)对于原子初始处于下能级，并在弱信号条件下，，光脉冲在介质中传播光强满足规律为 ，这就是正常吸收的比尔定理， 即为介质的吸收系数。2)强脉冲而言，对于共振吸收介质，脉冲面积为 的整数倍时，脉冲在介质传输中为稳定脉冲；对于吸收介质，脉冲面积为 的奇数倍时，脉冲在介质中传输为稳定脉冲。3)数值计算表明，对于共振吸收介质，强脉冲将分裂为m个分离的稳定的面积为 的脉冲。
在上面两方程中，忽略较小项，同时，ω’n≈ωn，所以有
于是上面两方程变为
(1.6)
(1-7)
式(1-6)和式(1-7)就是激光振荡半经典理论中描述激光场的基本方程，称为激光电磁场方程，也称兰姆方程。其中第一个方程表示极化强度的同相位分量(即Cn(t))在使场的频率(有源腔频率)偏离非激活腔场的频率(无源腔振荡频率)中所起的作用，从而描述了频率牵引和排斥。第二个方程描写阻尼和激活介质对模的振幅的影响：如果极化强度的正交分量为零(即Sn(t)＝0)，则就像非激活介质损耗腔那样，振幅按指数规律衰减。所以含有极化强度的正交分量Sn(t)代表激活介质所起的增益，它克服腔的损耗，使振荡得以发生。
6）绝热近似。假定光场的弛豫时间较长，而原子的变量，如偶极矩，的弛豫时间短。这样，光场的慢变部分变化时，原子可以很快地及时地跟随光场的变化；反之，在原子的弛豫时间内，光场的慢变振幅可看成与时间无关的常数。
5.什么是光脉冲面积定理？并加以简要分析。同时阐述光脉冲面积定理与光脉冲能量有何区别？
答：光脉冲面积定理，它可描述入射光场强相对于时间的积分（光脉冲面积）在空间的演化情况。借助该定理，可以方便的讨论脉冲在吸收和放大介质中出现的某些现象，而无需知道布洛赫方程的详细解。
