分类列方程解应用题

列方程解应用题类型一（简单的一步方程）1、学校开展绿色校园活动，六年级各班之间比赛收集易拉罐。

六一班收集了60个，六二班比六一班多收集15个，六二班收集了几个？2、学校开展绿色校园活动，六年级各班之间比赛收集易拉罐。

六二班收集了60个，六二班比六一班多收集15个，六一班收集了几个？3、学校开展绿色校园活动，六年级各班之间比赛收集易拉罐。

六二班收集了60个，六二班收集的是六一班的2倍，六一班收集了几个？4、学校开展绿色校园活动，六年级各班之间比赛收集易拉罐。

其中六二班收集了60个，六二班共有4个小组，平均每个小组收集多少个？（用除法）类型二（几倍多多少/少多少）：1、食堂运来150千克大米，比运来的面粉的3倍少30千克。

食堂运来面粉多少千克？2、吉阳村有粮食作物84公顷，比经济作物的4倍多2公顷，经济作物有多少公顷？3、农场一共收获了1200棵大白菜，每22棵装一筐，装完后还剩12棵，共装了几框？类型三（买东西和卖东西）：1、小明有面值2角和5角的共9元，其中2角的有10张，5角的有多少张？2、我买了两套丛书，单价分别是：<<科学家>>2.5元/本，<<发明家>>3元/本，两套丛共花了28元。

其中《科学家》这本书买了4本，《发明家》买了多少本？3、王奶奶拿了孙子们帮她收集的易拉罐和饮料瓶去废品收购站卖，共得到7元，易拉罐和饮料瓶每个都是0.15元，已知易拉罐有20个，那么饮料瓶有几个？类型四（和倍问题/ 差倍问题）：1、粮店运来大米和面粉480包，大米的包数是面粉的3倍，运来大米和面粉各多少包？2、小强妈妈的年龄是小强的4倍，小强比妈妈小27岁，他们两人的年龄各是多少？3、甲车每小时比乙车多行驶10千米，甲车的速度是乙车的1.2倍，求乙车的速度是多少？类型五（相遇问题、追及问题、鸡兔同笼）1、甲乙两辆车同时从A、B两地相向而行，甲车每小时走5km，乙车每小时走6km，已知A、B两地相距110千米，问甲车和乙车几小时后相遇?2、小明和小东比赛骑自行车，他们约好同时从学校出发，看谁先到达终点的邮局，谁就赢。

（一）和差倍分问题1、已知甲数是乙数的3倍多12，甲乙两数的和是60，求乙数。

2、某厂今年的产值是去年产值的3倍少25万，今年和去年产值总和是75万，求今年该厂的产值。

3、两筐鸭梨共重154千克，其中第一筐比第二筐的2倍少14千克，求两筐鸭梨各有多少千克？4、初一（1）班举办了一次集邮展览。

展出的邮票比平均每人3张多24张，比平均每人4张少26张。

这个班级有多少学生？一共展出了多少邮票？5、初一(4)班课外乒乓球小组买了两副乒乓球板，如果每人付9元，那么多了5元，如果每人付8元，那么还缺2元，请你根据以上情境提出问题，并列方程求解．6、某校住校生分配宿舍，如果每间住5人，则有2人无处住；如果每间住6人，则可以多住8人。

问该校有多少住校生？有多少间宿舍？7、学校准备拿出2000元资金给22名“希望杯”竞赛获奖学生买奖品，一等奖每人200元奖品，二等奖每人50元奖品，求得到一等奖和二等奖的学生分别是多少人？8、有某种三色冰淇淋50克，咖啡色、红色和白色配料的比是2：3：5，•这种三色冰淇淋中咖啡色、红色和白色配料分别是多少克？（二）调配问题1、甲、乙两个工程队分别有80人和60人，为了支援乙队，需要从甲队调出一部分人进乙队，使乙队的人数比甲队人数的2倍多5人，问从甲队调出的人数应是多少？2、甲乙两运输队，甲队32人，乙队28人，若从乙队调走一些人到甲队，那么甲队人数恰好是乙队人数的2倍，问：从乙队调走了多少人到甲队？3、甲处劳动的有29人，在乙处劳动的有17人，现在赶工期，总公司另调20人去支援，使在甲处的人数为在乙处人数的2倍，应分别调往甲处、乙处各多少人？4、甲、乙两书架各有若干本书，如果从乙架拿100本放到甲架上，那么甲架上的书比乙架上所剩的书多5倍，如果从甲架上拿100本书放到乙架上，两架所有书相等。

问原来每架上各有多少书？（三）配套问题1、现有白铁皮28张，每张白铁皮可做甲件5个或乙件6个，若3个甲件及2个乙件配套，问如何下料正好使机件配套2、某车间22名工人参加生产一种螺母和螺丝。

分式方程应用题分类讲解与训练一、【行程中的应用性问题】例1 甲、乙两个车站相距96千米,快车和慢车同时从甲站开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车比慢车早40分钟到达乙站，快车和慢车的速度各是多少？分析：等量关系:慢车用时=快车用时+ （小时)例2 甲、乙两地相距828km ，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1。

5倍．直达快车比普通快车晚出发2h ，比普通快车早4h 到达乙地，求两车的平均速度．分析：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程= 速度×时间，应根据题意，找出追击问题总的等量关系，即普通快车走完路程所用的时间与直达快车由甲地到乙地所用时间相等．解:设普通快车车的平均速度为x km ／h ，则直达快车的平均速度为1.5x km ／h ，依题意,得xx 6828-=x 5.1828，解得46x =， 经检验，46x =是方程的根，且符合题意． ∴46x =，1.569x =，即普通快车车的平均速度为46km ／h,直达快车的平均速度为69km ／h ．评析：列分式方程与列整式方程一样，注意找出应用题中数量间的相等关系,设好未知数，列出方程．不同之处是：所列方程是分式方程，最后进行检验，既要检验其是否为所列方程的解,要要检验是否符合题意,即满足实际意义．4060例3 A 、B 两地相距87千米,甲骑自行车从A 地出发向B 地驶去，经过30分钟后，乙骑自行车由B 地出发，用每小时比甲快4千米的速度向A 地驶来，两人在距离B 地45千米C 处相遇，求甲乙的速度.分析：等量关系：甲用时间=乙用时间+ (小时）例4 一队学生去校外参观．他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师,派一名学生骑车从学校出发,按原路追赶队伍．若骑车的速度是队伍行进速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？解： 设步行速度为x 千米／时，骑车速度为2x 千米／时，依题意，得：方程两边都乘以2x ，去分母,得 30—15＝x ， 所以，x ＝15． 检验：当x ＝15时，2x ＝2×15≠0，所以x ＝15是原分式方程的根，并且符合题意．∵，∴骑车追上队伍所用的时间为30分钟．所行距离 速度 时间甲（87-45）千米x 千米/小时乙45千米（x+4)千米/小时30608745x-454x +例5 农机厂职工到距工厂15千米的生产队检修农机，一部分人骑自行车先走，40分钟后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度．解: 设自行车的速度为x千米/小时，那么汽车的速度为3x千米/小时，依题意,得:解得x＝15．经检验x＝15是这个方程的解．当x＝15时，3x＝45．即自行车的速度是15千米/小时，汽车的速度为45千米/小时．例6 甲乙两人同时从一个地点相背而行，1小时后分别到达各自的终点A与B；若从原地出发,但是互换彼此的目的地，则甲将在乙到达A之后35分钟到达B，求甲与乙的速度之比。

五年级上册数学一、和倍问题1．某商场暑假期间卖出的冰箱和空调共572台，卖出的空调数量是冰箱的1.2倍，卖出冰箱和空调各多少台？（用方程解答）2．一幅画框用了2.4米的木条，这幅画的长是宽的2倍。

这幅画的长、宽分别是多少？（列方程解决）3．某学校实践基地有桃树和荔枝树共1400棵，桃树的棵数是荔枝树的2.5倍，基地里有桃树、荔枝树各多少棵？（列方程解答）这个公司去年第四季度销售小汽车和面包车各多少辆？（列方程解）二、差倍问题5．火箭的速度是超音速飞机的9倍，火箭每秒比超音速飞机飞行快4千米，火箭和超音速飞机每秒分别飞行多少千米？（列方程解答）6．某学校的四年级学生比五年级少80人，五年级人数是四年级的1.4倍。

四、五年级各有学生多少人？7．三个植树队共植树1800棵，甲队植树的棵数是乙队的2倍，乙队植树的棵数比丙队少200棵，三队各植树多少棵？8．学校新进了一批童话书和科技书，童话书的本数是科技书的4倍，科技书比童话书少630本。

学校新进童话书和科技书各多少本？（用方程解）三、一个数的几倍多/少多少9．图书室有文艺书180本，比科技书的2倍多20本，科技书有多少本？（用方程解答）10．书架下层有图书130本，比上层的1.4倍少3本，书架上层有多少本图书？（列方程解答）11．学校图书馆有文艺书480本，比科技书的3倍还多60本。

科技书有多少本？12．学校图书馆有150本科技书，科技书的本数比漫画书的3倍少36本，漫画书有几本？（用方程解答）13．圆明园曾是我国清朝著名的皇家园林之一，1860年被英法联军洗劫、焚毁。

它占地面积520万平方米，比故宫的面积的5倍少10万平方米。

故宫的面积是多少万平方米？（列方程解）四、和差问题果比每千克橘子贵1.5元，每千克苹果和橘子各多少元？15．花园里桂花、月季花、杜鹃花共235棵。

桂花比月季花多20棵，桂花比杜鹃花少15棵。

三种花各有多少棵？16．张大伯家的果园有桃树120棵，比梨树少15棵。

列方程解应用题第一讲和、差、倍、分，盈亏等实际问题的解法1．和、差、倍、分问题例1 小明做了一个实验，把黄豆育成豆芽后，重量可以增加7.5倍，如果小明想要得到3400千克黄豆芽，需要多少千克黄豆？2．盈亏问题例2 用化肥若干千克给一块麦田追肥，每公顷6kg还差17 kg；每公顷5kg就余下3kg．问这块麦田有多少公顷？共有化肥多少千克？3．劳力调配问题例3 在甲处劳动的有52人，在乙处劳动的有23人，现从甲、乙两地共调12人到丙处劳动，使在甲处劳动的人数是在乙处劳动人数的2倍，求应该从甲、乙两处各调走多少人？4．产品配套问题例4星光服装厂接受生产一些某种型号的学生服装的订单，已知每3m长的某种布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用750 m长的这种布料生产学生服。

应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套？共能生产多少套5．比赛积分问题例5 在一次有12队参加的足球循环赛(每两个队之间赛且只赛一场），规定胜一场计3分，平一场计1分，负一场计0分，某队在这次循环赛中胜场比负场多2场，结果共积18分，问该对战平机场？6．容积（体积）问题例6 一个容器装47 L水，另一个容器装58 L水。

如果将第二个容器的水倒满第一个容器，那么第二个容器剩下的水相当于这个容器容量的一半;如果将第一个容器的水倒满第二个容器，那么第一个容器的水相当于这个容器容积的，求这两个容器的容量各是多少？基础达标演练l．一桶油连桶重8 kg，油用去一半后连桶重4.5 kg，则桶中原有油多少?2．在甲处工作的有272人，在乙处工作的有196人，如果乙处工作人数是甲处工作人数的1/3，应从乙处调多少人到甲处?3．某课外兴趣小组的女生占全组人数的1/3，再加人6名女生后，女生人数就占原来的一半，问此课外兴趣小组原有多少人?4．甲、乙两仓共有大米50 t，从甲仓取出1/10，从乙仓取出2/5，则两仓所剩大米相等。

则甲仓原有大米多少t?5．甲、乙两人各有钱若干元，若甲给乙5元，则甲、乙两人的钱数相等；若乙给甲40元．则甲的钱数是乙剩下的4倍，甲原有的钱数多少?6．41人参加运土劳动，有30根扁担，要安排多少人抬、多少人挑，可使扁担和人数相配不多不少?7．某旅行团外出旅行，如果每辆汽车坐45人，那么有10人没有座位；如果每辆汽车坐60人，那么空出一辆车，求有多少辆汽车？8．某工地调来72人挖土和运土，已知3人挖的土1人恰好能全部运走，怎样调配劳动力才能使挖出来的土能够及时运走且不窝工．9．用绳量井深，三折而量，绳长比井深多2 m，四折而量，绳长比井深少1 m，求绳子长？井深？10．有两根绳子，第一根长110m，第二根绳长80m，两根绳子剪去相同的长度后，第一根绳子的长度是第二根绳子的3倍，求每根绳子剪掉多少米？11．一辆翻斗车向工地运送一堆石子，第一天运了这对石子的1/3还多2吨，第二天运了剩下的1/2少1吨，这时还剩下38吨石子没运完，这对石子原有多少吨？12．某企业原来管理人员与营销人数之比为3：2，总人数为180人，为了扩大市场，从管理人员中抽调多少人参加营销工作，就能使营销人员人数是管理人员人数的2倍？13．把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则余20本；如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生?14．甲、乙、丙三队合修一条公路，计划出280人，如果甲队人数是乙队人数的一半，丙队人数是乙队的2倍，问三队各有多少人?15．某车间有60名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时能生产螺栓15个或螺帽10个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽配套?(每个螺栓配两个螺帽)16．爷爷与孙子下棋，爷爷赢1盘记1分，孙子赢1盘记3分，下了8盘后两人得分相等，他们各赢了多少盘?17．某校七年级选出男生的和12名女生参加数学竞赛，余下的男生人数恰好是所余下的女生人数的2倍．已知该年级共有学生156人，问男生、女生各有多少人?18．甲工厂有某种原料120t，乙工厂有同样原料96t，甲厂每天用原料15t，乙厂每天用原料90 t，问多少天后，两厂剩下的原料相等?19．有桔子、梨、苹果三种水果若干，梨的个数是桔子个数的4/5，苹果个数是桔子个数的2/3，梨的个数比苹果多2个，问筐内三种水果共有多少个?20．某沿海发达镇2006年的人均收人是16000元，比2004年的人均收入翻两番还多2000元，该镇2004年人均收人多少元？21．李大爷到商店购鞋，仅知道自己的老尺码是43码，而不知道自己应穿多大的新鞋号，他记得老尺码加上一个数后折半计算即为新鞋号，由于他儿子鞋号的新老尺码都是整数且容易记住，因而他知道儿子穿鞋的老尺码是40号，新鞋号是25号，现在请你帮助李大爷计算一下他的新鞋号是多少?22．某种中药含有甲、乙、丙、丁四种草药成分，这四种成分的质量比为0.7：1：2：4.7，现要配制这种中药2100 g，四种草药分别要多少克?23．阅读下列材料，并交流体会．诗仙李白本性嗜酒，豪放、旷达，向有斗酒诗百篇的美誉，为唐代‘饮中八仙’之一，民间流传李白买酒歌谣，是一道有趣的数学问题：李白街上走，提壶去买酒；遇店加一倍，见花喝一斗；三遇店和花，喝完壶中酒，试问壶中原有多少酒？24．小明和小颍同学在课多外学习中，用20张白卡纸做包装盒，，每张白卡纸可以做盒身2个或者做盒底盖3个。

小学五年级上册数学列方程解应用题练习题(分类)1.学校开展了绿色校园活动，六年级各班之间进行易拉罐收集比赛。

六一班收集了60个易拉罐，六二班比六一班多收集了15个易拉罐。

那么，六二班一共收集了多少个易拉罐？2.学校开展了绿色校园活动，六年级各班之间进行易拉罐收集比赛。

六二班收集了60个易拉罐，六二班比六一班多收集了15个易拉罐。

那么，六一班收集了多少个易拉罐？3.学校开展了绿色校园活动，六年级各班之间进行易拉罐收集比赛。

六二班收集了60个易拉罐，六二班收集的数量是六一班收集量的两倍。

那么，六一班收集了多少个易拉罐？4.学校开展了绿色校园活动，六年级各班之间进行易拉罐收集比赛。

其中，六二班收集了60个易拉罐，六二班共有4个小组。

那么，平均每个小组收集了多少个易拉罐？（使用除法）类型二（几倍多多少/少多少）：1.食堂运来了150千克的大米，比运来的面粉少了面粉数量的三倍再减去30千克。

那么，食堂运来了多少千克的面粉？2.吉阳村有84公顷的粮食作物，比经济作物的种植面积多了2公顷，而且是经济作物种植面积的4倍。

那么，吉阳村的经济作物种植面积是多少公顷？3.农场一共收获了1200棵大白菜，每22棵大白菜可以装一筐，装完后还剩下12棵大白菜。

那么，农场一共装了多少筐大白菜？类型三（买东西和卖东西）：1.XXX手中有9元钱，其中有10张面值为2角的硬币。

如果还有5角的硬币，那么XXX手中有多少张5角的硬币？2.我买了两套丛书，单价分别为《科学家》每本2.5元和《发明家》每本3元。

两套丛书共花费28元，其中《科学家》这本书买了4本。

那么，我买了多少本《发明家》这本书？3.XXX奶奶拿着她的孙子们帮她收集的易拉罐和饮料瓶去废品收购站卖，共得到7元。

已知易拉罐和饮料瓶每个都是0.15元，易拉罐有20个，那么饮料瓶有多少个？类型四（和倍问题/差倍问题）：1.粮店运来了480包大米和面粉，其中大米的包数是面粉的3倍。

《一元一次方程》应用题分类练习（一）一．行程问题：1．列方程解应用题：已知A，B两地相距60千米，甲骑自行车，乙骑摩托车都沿一条笔直的公路由A地匀速行驶到B地，乙每小时比甲多行30千米，甲比乙早出发3小时，乙出发1小时后刚好追上甲．（1）求甲的速度；（2）问乙出发之后，到达B地之前，何时甲乙两人相距6千米；（3）若丙骑自行车与甲同时出发，沿着这条笔直的公路由B地匀速行驶到A地，经过小时与乙相遇，求此时甲、丙两人之间距离．2．甲、乙两人在笔直的道路上练习赛跑，甲每秒跑7m，乙每秒跑6.5m，若甲让乙先跑了一段距离后，则甲在60s后追上了乙，试求甲让乙先跑的距离．3．列方程解应用题：如图，现有两条乡村公路AB、BC，AB长为1200米，BC长为1600，一个人骑摩托车从A处以20m/s的速度匀速沿公路AB、BC向C处行驶；另一人骑自行车从B处以5m/s的速度从B向C行驶，并且两人同时出发．（1）求经过多少秒摩托车追上自行车？（2）求两人均在行驶途中时，经过多少秒两人在行进路线上相距150米？4．某船顺水航行了4h，逆水航行了3h．在静水中的速度是mkm/h，水流的速度是akm/h，则轮船共航行了多少千米？5．小明、小杰两人在400米的环形赛道上练习跑步，小明每分钟跑300米，小杰每分钟跑220米．（1）若小明、小杰两人同时同地反向出发，那么出发几分钟后，小明，小杰第一次相遇？（2）若小明、小杰两人同时同向出发，起跑时，小杰在小明前面100米处．①出发几分钟后，小明、小杰第一次相遇？②出发几分钟后，小明、小杰的路程第一次相距20米？二．配套问题：6．某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人．（1）调入多少名工人；（2）在（1）的条件下，每名工人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母，1个螺柱需要2个螺母，为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应该安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？7．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制作盒身15个或盒底42个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有144张白铁皮，用多少张制作盒身，多少张制作盒底，可以正好制成整套罐头盒？三．数字问题：8．一个两位数，十位数字是个位数字的两倍，将这个两位数的十位数字与个位数字对调后得到的两位数比原来的两位数小27，求这个两位数．9．小明参加启秀期末考试时的考场座位号是由四个数字组成的，这四个数字组成的四位数有如下特征：（1）它的千位数字为2；（2）把千位上的数字2向右移动，使其成为个位数字，那么所得的新数比原数的2倍少1478，求小明的考场座位号．四．数轴问题：10．如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为﹣12和4．（1）直接写出A、B两点之间的距离；（2）现有动点P、Q，若点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点Q到达原点O 后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求：当OP+OQ＝5时的运动时间t的值．11．如图1，数轴上点A分别表示的数为﹣3，点B表示的数为3，若在数轴上存在点P，使得AP+BP＝m，则称点P为点A和B的“m级精致点”，例如，原点O表示的数为0，则AO+BO＝3+3＝6，则称点O为点A和点B的“6级精致点”，根据上述规定，解答下列问题：（1）若点C在数轴上表示的数为﹣5，点C为点A和点B的“m级精致点”，则m＝；（2）若点D是数轴上点A和点B的“8级精致点”，求点D表示的数；（3）如图2，数轴上点E和点F分别表示的数是﹣2和4，若点G是点E和点F的“m级精致点”，且满足GE＝3GF，求m的值．五．积分问题：12．某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录了5个参赛者的得分情况．参赛者答对题数答错题数得分A20 0 100B19 1 94C18 2 88D14 6 64E10 10 40（1）参赛者答对一道题得多少分，答错一道题扣多少分？（2）参赛者F得76分，他答对了几道题？13．下面表格是某次篮球联赛部分球队不完整的积分表：队名比赛场数胜场负场积分前进14 10 4 24光明14 9 5 23远大14 m n22卫星14 4 10 a钢铁14 0 14 14 请根据表格提供的信息：（1）求出a的值；（2）请直接写出m＝，n＝．六．方案问题：14．某小区建完之后，需要做内墙粉刷装饰，现有甲、乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天能粉刷160个房间，乙工程队每天能粉刷240个房间．且单独粉刷这些墙面甲工程队比乙工程队要多用20天，在粉刷的过程中，该开发商要付甲工程队每天费用1600元，付乙工程队每天费用2600元．（1）求这个小区共有多少间房间？（2）为了尽快完成这项工程，若先由甲、乙两个工程队按原粉刷速度合作一段时间后，甲工程队停工了，而乙工程队每天的粉刷速度提高25%，乙工程队单独完成剩余部分，且乙工程队的全部工作时间是甲工程队的工作时间的2倍还多4天，求乙工程队共粉刷多少天？（3）经开发商研究制定如下方案：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由乙工程队单独完成；方案三：按（2）问方式完成：请你通过计算帮开发商选择一种既省时又省钱的粉刷方案．15．重百超市对出售A、B两种商品开展春节促销活动，活动方案有如下两种：（同一种商品不可同时参与两种活动）商品A B标价（单位：元）120 150 方案一每件商品出售价格按标价降价30% 按标价降价a% 方案二若所购商品达到或超过101件（不同商品可累计）时，每件商品按标价降价20%后出售（1）某单位购买A商品50件，B商品40件，共花费9600元，试求a的值；（2）在（1）的条件下，若某单位购买A商品x件（x为正整数），购买B商品的件数比A商品件数的2倍还多一件，请问该单位该如何选择才能获得最大优惠？请说明理由．参考答案1．解：（1）设甲速度为x千米/小时，则乙速度为（x+30）千米/小时由题意可列方程：4x＝x+30解得：x＝10所以，甲速度为10千米/时；（2）由（1）可知，甲速度为10千米/小时，乙速度为10+30＝40千米/小时，设乙出发后t小时甲乙相距6千米，则甲出发（t+3）小时，相遇前：甲比乙多行驶6千米，可列方程10（t+3）﹣40t＝6，解得：t＝0.8，相遇后：乙比甲多行驶6千米，可列方程40t﹣10（t+3）＝6，解得t＝1.2，综上所述，乙出发0.8小时或1.2小时，甲乙相距6千米；（3）设丙的速度为a千米/小时，丙与甲同时出发，所以丙行驶小时，乙行驶了﹣3＝（小时）．根据题意可列方程a+×40＝60，解得：a＝10，所以丙的速度为10千米/小时，经过小时，丙行驶×10＝36（千米），甲行驶×10＝36（千米），所以两人相距36+36﹣60＝12（千米）．2．解：设甲让乙先跑的距离为xm，依题意，得：7×60＝6.5×60+x，解得：x＝30．答：甲让乙先跑的距离为30m．3．解：（1）设经过x秒摩托车追上自行车，20x＝5x+1200，解得x＝80．答：经过80秒摩托车追上自行车．（2）设经过y秒两人相距150米，第一种情况：摩托车还差150米追上自行车时，20y﹣1200＝5y﹣150解得y＝70．第二种情况：摩托车超过自行车150米时，20y＝150+5y+1200解得y＝90．答：经过70秒或90秒两人在行进路线上相距150米．4．解：4（m+a）+3（m﹣a）＝（7m+a）千米．故轮船共航行了（7m+a）千米．5．解：（1）设出发x分钟后，小明、小杰第一次相遇，依题意，得：300x+220x＝400，解得：x＝．答：出发分钟后，小明、小杰第一次相遇．（2）①设出发y分钟后，小明、小杰第一次相遇，依题意，得：300y﹣220y＝100，解得：y＝．答：出发分钟后，小明、小杰第一次相遇．②设出发z分钟后，小明、小杰的路程第一次相距20米，依题意，得：300z﹣220z+20＝100，解得：z＝1．答：出发1分钟后，小明、小杰的路程第一次相距20米．6．解：（1）设调入x名工人，根据题意得：16+x＝3x+4，解得：x＝6，则调入6名工人；（2）16+6＝22（人），设y名工人生产螺柱，根据题意得：2×1200y＝2000（22﹣y），解得：y＝10，22﹣y＝22﹣10＝12（人），则10名工人生产螺柱，12名工人生产螺母．7．解：设用x张制作盒身，（144﹣x）张制作盒底，可以正好制成整套罐头盒．根据题意，得2×15x＝42（144﹣x）解得x＝84，∴144﹣x＝60（张）．答：用84张制作盒身，60张制作盒底，可以正好制成整套罐头盒．8．解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为2x，原两位数为（10×2x+x），十位数字与个位数字对调后的数为（10x+2x），依题意，得：（10×2x+x）﹣（10x+2x）＝27，解得：x＝3，∴2x＝6，∴10×2x+x＝63．答：这个两位数为63．9．解：设原来数字为x，2x﹣1478＝（x﹣2000）×10+2解得，x＝2315答：小明的考场号是2315．10．解：（1）A、B两点之间的距离是：4﹣（﹣12）＝16．故答案为16；（2）分两种情况：①当t≤2时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，此时Q点表示的数为4﹣2t，P点表示的数为﹣12+5t，∵OP+OQ＝5，∴12﹣5t+4﹣2t＝5，解得t＝，符合题意；②当t＞2时，点Q从原点O开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，此时Q点表示的数为3（t﹣2），P点表示的数为﹣12+5t，∵OP+OQ＝5，∴5t﹣12+3（t﹣2）＝5，∴t＝，综上所述，当OP+OQ＝5时的运动时间t的值为或．11．解：（1）∵A表示的数为﹣3，B表示的数为3，点C在数轴上表示的数为﹣5，∴AC＝﹣3﹣（﹣5）＝2，BC＝3﹣（﹣5）＝8，∴m＝AC+BC＝2+8＝10．（2）如图所示：∵点D是数轴上点A和点B的“8级精致点”，∴AD+BD＝8，∵AB＝3﹣（﹣3）＝6，∴D在点A的左侧或在点A的右侧，设点D表示的数为x，则AD+BD＝8，∴﹣3﹣x+3﹣x＝8或x﹣3+x﹣（﹣3）＝8，x＝﹣4或4，∴点D表示的数为﹣4或4；（3）分三种情况：①当点G在FE延长线上时，∵不能满足GE＝3GF，∴该情况不符合题意，舍去；②当点G在线段EF上时，可以满足GE＝3GF，如下图，m＝EG+FG＝EF＝4﹣（﹣2）＝6；③当点G在EF延长线上时，∵GE＝3GF，∴FG＝EF＝3，∴点E表示的数为7，∴n＝EG+FG＝9+3＝12，综上所述：m的值为6或12．故答案为：10．12．解：（1）由参赛选手A可得：答对1题得100÷20＝5（分），设答错一题扣x分，根据参赛选手B的得分列得：19×5﹣x＝94，解得：x＝1，则答对一道题得5分，答错一道题扣1分；（2）设参赛选手F答对y道题，根据题意得：5y﹣1×（20﹣y）＝76，解得：y＝16，则参赛选手F答对16道题．13．解：（1）由钢铁队可知，负一场积14÷14＝1（分），由前进队可知，胜一场积（24﹣4×1）÷10＝2（分），则a＝4×2+10×1＝18，即a的值是18；（2）2m+n＝22，则n＝22﹣2m，又∵m+n＝14，∴n＝14﹣m，∴22﹣2m＝14﹣m，解得，m＝8，∴n＝6，故答案为：8，6．14．解：（1）设乙工程队要刷x天，由题意得：240x＝160（x+20），解得：x＝40，240×40＝9600（间），答：这个小区共有9600间房间；（2）设甲工程队的工作时间为y天，则乙工程队的工作时间（2y+4）天，由题意得：160y+240y+240（1+25%）×（2y+4﹣y）＝9600，解得：y＝12，2y+4＝2×12+4＝28（天），答：乙工程队共粉刷28天；（3）方案一：由甲工程队单独完成，时间：40+20＝60（天），60×1600＝96000（元）；方案二：由乙工程队单独完成需要40天，费用：40×2600＝104000（元）；方案三：按（2）问方式完成，时间：28天，费用：12×（1600+2600）+（28﹣12）×2600＝92000（元），∵28＜40＜60，且92000＜96000＜104000，∴方案三最合适，答：选择方案三既省时又省钱的粉刷方案．15．解：（1）由题意有，50×120×0.7+40×150×（1﹣a%）＝9600整理得，42+60（1﹣a%）＝96则（1﹣a%）＝0.9，所以a＝10（2）根据题意得：x+2x+1＝100得：x＝33当总数不足101时，即，只能选择方案一得最大优惠；当总数达到或超过101，即x＞33时，方案一需付款：120×0.7x+150×0.9（2x+1）＝84x+270x+135＝354x+135方案二需付款：[120x+150（2x+1）]×0.8＝336x+120∵（354x+135）﹣（336x+120）＝18x+15＞0∴选方案二优惠更大综上所述：当总数不足101时，只能选择方案一最大优惠方式；当x＞33时，采用方案二更加优惠，此时需付款336x+120（元）。

一元二次方程应用题分类变式1】某超市购进了大量饮料，一种饮料平均每天可售出100瓶，每瓶盈利0.5元，为了尽快减少库存，超市决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种饮料的售价每降低0.2元，那么超市平均每天可多售出50瓶，超市要想平均每天盈利150元，每瓶饮料应降价多少元？变式2】某电商平台购进了大量手机，一种手机平均每天可售出50台，每台盈利200元，为了尽快减少库存，电商平台决定采取适当的促销措施，调查发现，如果这种手机的售价每降低100元，那么平均每天可多售出20台，电商平台要想平均每天盈利8000元，每台手机应降价多少元？2.某商场在618购物节期间推出了一款电饭煲，原售价为299元，活动期间降价20元，销售量比平时增加了50%，求活动期间该电饭煲的销售额和销售量的增长率。

变式1】某商场在双11购物节期间推出了一款智能手表，原售价为999元，活动期间降价200元，销售量比平时增加了80%，求活动期间该智能手表的销售额和销售量的增长率。

变式2】某家餐厅在圣诞节期间推出了一款特色套餐，原售价为88元，活动期间降价10元，销售量比平时增加了30%，求活动期间该特色套餐的销售额和销售量的增长率。

变式1：某超市以进货单价40元的商品售价50元，每天可卖出500件。

每涨价1元，销售量减少10件。

如果超市想要每天赚取8000元利润，那么商品的售价应该是多少？改写：某超市以40元进货的商品定价为50元，每天销售量为500件。

每涨价1元，销售量减少10件。

为了每天赚取8000元利润，该商品应该定价为多少？变式2：某种服装每天平均销售20件，每件盈利44元。

每降价1元，每天可多销售5件。

如果要每天盈利1600元，那么每件服装应该降价多少元？改写：某种服装每天平均销售20件，每件盈利44元。

每降价1元，每天可多销售5件。

为了每天盈利1600元，该服装应该降价多少元？变式3：某种新产品进价为120元，试销发现每件售价与产品的日销量存在下表中的数量关系：请根据上表所给数据表述每件售价提高的数量与日销量减少的数量之间的关系。

列方程解决问题重难题型分类练（九大考点）一．数字类1．列方程解应用题：一个两位数，个位数字是十位数字的2倍，如果把十位上的数与个位上的数对调后，那么所得的两位数比原来的两位数大36，求原来的两位数．2．一个两位数，个位数比十位数字大4，而且这个两位数比它的数字之和的3倍大2，则这个两位数是．3．有一个两位数，个位上的数比十位上的数大5，如果把这个两位数的两个数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143．求这个两位数．二．（超级经典题型）方程与数轴的融合4．如图，线段AB＝28厘米，点D和点C在线段AB上，且AC：BC＝5：2，DC：AB＝1：4．点P 从点A出发以4厘米/秒的速度沿射线AD向点C运动，点P到达点C所在位置后立即按照原路原速返回，到达点D所在位置后停止运动，点Q从点B出发以1厘米/秒的速度沿着射线BC的方向运动，点Q到达点D所在的位置后停止运动．点P和点Q同时出发，点Q运动的时间为t 秒．（1）求线段AD的长度；（2）当点C恰好为PQ的中点时，求t的值；（3）当PQ＝7厘米时，求t的值．5．已知AB＝8，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为线段AP的中点．设点P的运动时间为t秒．（1）若点P在线段AB上，则t＝秒时，PB＝2AM．（2）若点P在AB的延长线上（如图），设线段BP的中点为N．①线段MN的长度是否保持不变？请说明理由；②是否存在t的值，使M、N、B三点中的某个点是其余两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．6．如图所示，点A，B，C是数轴上的三个点，且A，B两点表示的数互为相反数，AB＝12，AC=13AB．（1）点A表示的数是；（2）若点P从点B出发沿着数轴以每秒2个单位的速度向左运动，则经过秒时，点C 恰好是BP的中点；（3）若点Q从点A出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向右运动，线段QB的中点为M．当MC ＝2QB时，则点Q运动了多少秒？请说明理由．三．行程类之一般相遇、追及7．M、N两地相距600km，甲、乙两车分别从M、N两地出发，沿一条公路匀速相向而行，甲与乙的速度分别为100km/h和20km/h，甲从M地出发，到达N地立刻调头返回M地，并在M地停留等待乙车抵达，乙从N地出发前往M地，和甲车会合．（1）求两车第二次相遇的时间；（2）求甲车出发多长时间，两车相距20km．8．甲、乙两地相距72km，一辆工程车和一辆洒水车上午6时同时从甲地出发，分别以v1km/h、v2km/h 的速度匀速驶往乙地．工程车到达乙地后停留了2h，沿原路以原速返回，中午12时到达甲地，此时洒水车也恰好到达乙地．（1）v1＝，v2＝；（2）求出发多长时间后，两车相遇？（3）求出发多长时间后，两车相距30km？四．行程类之车过隧道大桥9．一列匀速前进的火车，通过列车隧道．（1）如果通过一个长300米的隧道AB，从车头进入隧道到车尾离开隧道，共用15秒的时间（如图1），又知其间在隧道顶部的一盏固定的灯发出的一束光垂直照射火车2.5秒，求这列火车的长度；（2）如果火车以相同的速度通过了另一个隧道CD，从火车车尾全部进入隧道到火车车头刚好到达隧道出口（如图2），其间共用20秒时间，求这个隧道CD的长．10．一列动车以300km/h的速度过第一、第二个隧道，已知第二个隧道的长度比第一个隧道长度的2倍还多1.5km，若该列动车过第二个隧道比第一个隧道多用了93秒，则第二个隧道的长度是．五．行程类之顺水逆水11．某人乘船由A地顺流而下到达B地，然后又逆流而上到C地，共用了3小时．已知船在静水中速度为每小时8千米，水流速度是每小时2千米．已知A、B、C三地在一条直线上，若AC两地距离是2千米，则AB两地距离多少千米？（C在A、B之间）12．一只汽艇从A码头顺流航行到B码头用2小时，从B码头返回到A码头，用了2.5小时，如果水流速度是3千米/时，求：（1）汽艇在静水中的速度；（2）A、B两地之间的距离．六．工程类13．为庆祝建国七十周年，南岗区准备对某道路工程进行改造，若请甲工程队单独做此工程需4个月完成，若请乙工程队单独做此工程需6个月完成，若甲、乙两队合作2个月后，甲工程队到期撤离，则乙工程队再单独需几个月能完成？14．由于地铁施工，需要拆除我校图书馆，七年级同学主动承担图书馆整理图书的任务，如果由一个人单独做要用30小时完成，现先安排一部分人用1小时整理，随后又增加6人和他们一起又做了2小时，恰好完成整理工作，假设每个人的工作效率相同，那么先按排整理的人员有多少？七．方案设计类15．为了更好地落实“双减”政策，丰富学生课后托管服务内容，某校决定购买一批足球运动装备．经市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等．（1）求每套队服和每个足球的价格各是多少？（2）甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折．若该校购买100套队服和a个足球（其中a≥10且为整数），请通过计算说明，学校采用哪种优惠方案更省钱？①请用含a的式子表示：甲商城所花的费用，乙商城所花的费用；②当购买的足球数a为何值时在两家商场购买所花的费用一样？16．为举办校园文化节，甲、乙两班准备给合唱同学购买演出服装（一人一套），两班共92人（其中甲班比乙班人多，且甲班不足90人），下面是供货商给出的演出服装的价格表：购买服装的套数1套至45套46套至90套91套以上每套服装的价格60元50元40元如果两班单独给每位同学购买一套服装，那么一共应付5020元．（1）甲、乙两班联合起来给每位同学购买一套服装，比单独购买可以节省多少钱？（2）甲、乙两班各有多少名同学？（3）如果甲班有10名同学被调去参加书画比赛不能参加演出，请你为两班设计一种最省钱的购买服装方案．17．水资源透支现象令人担忧，节约用水迫在眉睫．针对居民用水浪费现象，重庆市政府和环保组织进行了调查，并制定出相应的措施．（1）据环保组织调查统计，全市至少有6×105个水龙头、2×104个抽水马桶漏水．若一万个漏水的水龙头一个月能漏掉a立方米水；一万个漏水的马桶一个月漏掉b立方米水，则全市一个月仅这两项所造成的水流失量是多少？（2）针对居民用水浪费现象，市政府将制定居民用水标准：规定每个三口之家每月的标准用水量，超过标准部分加价收费．若不超标部分的水价为每立方米3.5元；超标部分为每立方米4.2元．某家庭某月用水12立方米，交水费44.8元，请你通过列方程求出我市规定的三口之家每月的标准用水量为多少立方米．（3）在近期由市物价局举行的水价听证会上，有一代表提出一新的水价收费设想：每天8：00至22：00为用水高峰期，水价可定为每立方米4元；22：00至次日8：00为用水低谷期，水价可定为每立方米3.2元．若某三口之家按照此方案需支付的水费与（2）问所交水费相同，又知该家庭用水高峰期的用水量比低谷期少20%．请计算哪种方案下的用水量较少？少多少？18．列一元一次方程解应用题．有一批共享单车需要维修，维修后继续投放骑用，现有甲、乙两人做维修，甲每天维修16辆，乙每天维修的车辆比甲多8辆，甲单独维修完成这批共享单车比乙单独维修完多用20天，公司每天付甲80元维修费，付乙120元维修费．（1）问需要维修的这批共享单车共有多少辆？（2）在维修过程中，公司要派一名人员进行质量监督，公司负担他每天10元补助费，现有三种维修方案：①由甲单独维修；②由乙单独维修；③甲、乙合作同时维修，你认为哪种方案最省钱，为什么？八．日常生活中的方程--水电类19．列方程解应用题：为了加强公民的节水意识，某市将要采用价格调控手段达到节水目的，设计了如下的调控方案．价目表每月用水量单价不超出10吨的部分 2.5元/吨超出10吨的部分3元/吨（1）甲户居民五月份用水12吨，则水费为元．（2）乙户居民八月份缴纳水费40元，则该户居民八月份用水多少吨？（列方程解答）20．近日，无锡市发展改革委印发《关于优化调整居民阶梯气价政策有关事项的通知》，从2022年1月1日起，增加一、二档用气量，“一户多人口”政策同步调整．气量分档年用气量（立方米）价格（元/立方米）调整前调整后第一档年用气量≤300年用气量≤400 2.73第二档300＜年用气量≤600400＜年用气量≤1000 3.28第三档年用气量＞600年用气量＞1000 3.82人口超过4人的家庭，每增加1人，一、二档上限增加80立方米、200立方米（原政策一、二档上限增加60立方米、120立方米）．（1）若小明家有5口人，年用气量1000立方米．则调整前气费为元，调整后气费为元；（2）小红家有4口人，若调整后比调整前气费节省109元，则小红家年用气量为多少立方米？九．（易错题型）利润，购物类21．某超市第一次用3800元购进了甲、乙两种商品，其中甲种商品40件，乙种商品160件．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵5元．甲种商品售价为20元/件，乙种商品售价为25元/件．（1）甲、乙两种商品每件进价各多少元？（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完，可获得多少利润？（3）该超市第二次又购进同样数量的甲、乙两种商品．其中甲种商品每件的进价不变，乙种商品进价每件少3元；甲种商品按原售价提价a%销售，乙种商品按原售价降价a%销售，如果第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多160元，那么a的值是多少？22．甲、乙两家超市新年期间推出优惠活动，推出如表购物优惠方案：甲超市乙超市消费金额（元）优惠活动消费金额（元）优惠活动0～100（包含100）无优惠0～200（包含200）无优惠100～350（包含350）一律享受九折优惠大于200超过200元的部分享受八折优惠大于350一律享受八折优惠（1）小王需要购买价格为240元的商品，去哪家店更划算？（2）小李带了252元去购物、为了买到最多的商品，应选择哪家超市？最多能买到原价为多少元的商品？（3）小刘在甲超市购物、两次购物分别付了80元和288元，如果小刘把这两次购物改为一次性购物，付款多少元？23．某商店用3700元购进A、B两种玻璃保温杯共80个，这两种玻璃保温杯的进价、标价如下表所示：价格\类型A型B型进价（元/个）3565标价（元/个）50100（1）这两种玻璃保温杯各购进多少个？（2）已知A型玻璃保温杯按标价的8折出售，B型玻璃保温杯按标价的7.5折出售．在运输过程中有2个A型和1个B型玻璃保温杯不慎损坏，不能销售，请问在其它玻璃保温杯全部售出的情况下，该商店共获利多少元？24．初一（1）班和初一（2）班的学生为了筹备班级元旦活动到超市上购买橙子，超市有促销活动，如果一次性所购橙子数量超过30千克，可以有一定程度的优惠，价格如下：原价优惠价每千克价格3元 2.5元1班的学生先购买一次，发现数量不够，去超市再次购买，第二次购买数量多于第一次，两次共计购买48千克，2班的学生一次性购买橙子48千克．（1）若1班的学生第一次购买16千克，第二次购买32千克，则2班比1班少付多少元？（2）若1班两次共付费126元，则1班第一次、第二次分别购买橙子多少千克？一．数字类1．列方程解应用题：一个两位数，个位数字是十位数字的2倍，如果把十位上的数与个位上的数对调后，那么所得的两位数比原来的两位数大36，求原来的两位数．试题分析：设原来十位上的数字为x，则个位数字为2x．利用新数＝原数+36，列方程求解即可．答案详解：解：设原来十位上的数字为x，依题意得：10×2x+x＝10x+2x+36，解得x＝4，则2x＝8．答：原来的两位数是48．2．一个两位数，个位数比十位数字大4，而且这个两位数比它的数字之和的3倍大2，则这个两位数是26．试题分析：设十位数字为x，个位数字为x+4，根据数字问题的数量关系建立方程组求出其解即可．答案详解：解：设十位数为x，个位数字为x+4，根据题意得：10x+x+4＝3（x+x+4）+2，解得：x＝2，则这个两位数是26；所以答案是：26．3．有一个两位数，个位上的数比十位上的数大5，如果把这个两位数的两个数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143．求这个两位数．试题分析：设这个两位数的十位为x，个位为（x+5），根据这个两位数的两个数字的位置对换所得的新数与原数的和是143，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．答案详解：解：设这个两位数的十位为x，个位为（x+5），根据题意得：10x+（x+5）+10（x+5）+x＝143，解得：x＝4，∴x+5＝9．答：这个两位数是49．二．（超级经典题型）方程与数轴的融合4．如图，线段AB ＝28厘米，点D 和点C 在线段AB 上，且AC ：BC ＝5：2，DC ：AB ＝1：4．点P 从点A 出发以4厘米/秒的速度沿射线AD 向点C 运动，点P 到达点C 所在位置后立即按照原路原速返回，到达点D 所在位置后停止运动，点Q 从点B 出发以1厘米/秒的速度沿着射线BC 的方向运动，点Q 到达点D 所在的位置后停止运动．点P 和点Q 同时出发，点Q 运动的时间为t 秒．（1）求线段AD 的长度；（2）当点C 恰好为PQ 的中点时，求t 的值； （3）当PQ ＝7厘米时，求t 的值．试题分析：（1）根据线段间的比例可得AD 和DC 的长，再根据线段的和差可得答案； （2）分三种情况：当0≤t ≤5时，PC ＝20﹣4t ，CQ ＝8﹣t ；当5＜t ≤274时，PC ＝4t ﹣20，CQ ＝8﹣t ，当274＜t ≤15时，PC ＝DC ＝7，CQ ＝8﹣t ，再分别列出方程即可；（3）①当0≤t ≤5时，4t +t ＝28﹣7；②当5＜t ≤274时，8+4t ﹣20﹣t ＝7；③当 274＜t ≤15时，7＝15﹣t ．答案详解：解：（1）∵AB ＝28cm ，AC ：BC ＝5：2， ∴AC ＝28×57=20cm ，BC ＝28﹣20＝8cm ． ∵DC ：AB ＝1：4， ∴DC ＝28×14=7cm ，∴AD ＝AC ﹣DC ＝20﹣7＝13cm ；（2）①当0≤t ≤5时，PC ＝20﹣4t ，CQ ＝8﹣t ， ∴20﹣4t ＝8﹣t ，解得t ＝4； ②当5＜t ≤274时，PC ＝4t ﹣20，CQ ＝8﹣t ， ∴4t ﹣20＝8﹣t ， 解得t ＝5.6； ③当274＜t ≤15时，PC ＝DC ＝7，CQ ＝8﹣t ，∴7＝8﹣t ， 解得t ＝1（舍去）．综上，当点C 恰好为PQ 的中点时，t 的值是4或5.6； （3）①当0≤t ≤5时， 4t +t ＝28﹣7， 解得t ＝4.2； ②当5＜t ≤274时， 8+4t ﹣20﹣t ＝7， 解得t =193； ③当274＜t ≤15时，7＝15﹣t ， 解得t ＝8．综上，当PQ ＝7厘米时，t 的值是4.2或193或8．5．已知AB ＝8，点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB 运动，M 为线段AP 的中点．设点P 的运动时间为t 秒．（1）若点P 在线段AB 上，则t ＝ 2 秒时，PB ＝2AM ． （2）若点P 在AB 的延长线上（如图），设线段BP 的中点为N ． ①线段MN 的长度是否保持不变？请说明理由；②是否存在t 的值，使M 、N 、B 三点中的某个点是其余两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的t 的值；若不存在，请说明理由．试题分析：（1）根据PB＝2AM列方程求解即可；（2）①用含有t的代数式表示MN即可判断MN长度是否为定值；②由题知存在点B是MP中点情况列方程求出t值即可．答案详解：解：（1）由题知，PB＝AB﹣AP＝8﹣2t，AM=12AP=12×2t＝t，∵PB＝2AM，∴8﹣2t＝2t，解得t＝2，所以答案是：2；（2）①MN长度不变，理由如下：由题知，MN=12AP−12BP=12×2t−12（2t﹣8）＝4，故MN的长度保持不变；②存在，①点B是MN中点时，即BN=12MN，∴12（2t﹣8）=12×4，解得t＝6，②点M是BN的中点时，即BN＝2BM，∴12（2t﹣8）＝2（t﹣8），解得t＝12，∴t的值为6或12时，M、N、B三点中的某个点是其余两点所连线段的中点．6．如图所示，点A，B，C是数轴上的三个点，且A，B两点表示的数互为相反数，AB＝12，AC=13AB．（1）点A表示的数是﹣6；（2）若点P从点B出发沿着数轴以每秒2个单位的速度向左运动，则经过8秒时，点C恰好是BP 的中点；（3）若点Q 从点A 出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向右运动，线段QB 的中点为M ．当MC ＝2QB 时，则点Q 运动了多少秒？请说明理由．试题分析：（1）根据AB ＝12，且A ，B 两点表示的数互为相反数，直接得出即可； （2）设经过t 秒点C 是BP 的中点，根据题意列方程求解即可； （3）设点Q 运动了x 秒时MC ＝2QB ，分情况列方程求解即可． 答案详解：解：（1）∵AB ＝12，且A ，B 两点表示的数互为相反数， ∴点A 表示的数是﹣6， 所以答案是：﹣6；（2）∵AB ＝12，AC =13AB ， ∴AC ＝4，BC ＝8，设经过t 秒点C 是BP 的中点， 根据题意列方程得2t ＝8+8， 解得t ＝8， 所以答案是：8；（3）设点Q 运动了x 秒时MC ＝2QB ， ①当Q 点在B 点左侧时，即CQ =32BQ ， 根据题意列方程得t ﹣4=32（12﹣t ）， 解得t =445； ②当Q 点在B 点右侧时，即BC +12BQ ＝2BQ ， 根据题意列方程得8+12（t ﹣12）＝2（t ﹣12）， 解得t =523； 综上，当Q 运动了445秒或523秒时MC ＝2QB ．三．行程类之一般相遇、追及7．M、N两地相距600km，甲、乙两车分别从M、N两地出发，沿一条公路匀速相向而行，甲与乙的速度分别为100km/h和20km/h，甲从M地出发，到达N地立刻调头返回M地，并在M地停留等待乙车抵达，乙从N地出发前往M地，和甲车会合．（1）求两车第二次相遇的时间；（2）求甲车出发多长时间，两车相距20km．试题分析：（1）设经过x小时两车第二次相遇，根据“甲车行驶路程减去乙车行驶路程＝600”列方程求解；（2）设甲车出发t小时与乙车相距20km，分第一次相遇前、后，第二次相遇前、后及甲车到达M地停留等待乙车抵达时五种情况，列方程求解．答案详解：解：（1）设经过x小时两车第二次相遇，由题意可得：100x﹣20x＝600，解得：x＝7.5，答：两车经过7.5小时第二次相遇；（2）设甲车出发t小时与乙车相距20km，①两车第一次相遇前，100t+20t＝600﹣20，解得：t=29 6；②两车第一次相遇后且甲车还未到达N地，100t+20t＝600+20，解得：t=31 6；③甲车到达N地返回M地至两车第二次相遇前，100t﹣20t＝600﹣20，解得：t=29 4；④甲车到达N地返回M地至两车第二次相遇后，100t﹣20t＝600+20，解得：t=31 4；⑤甲车达到N地等待乙车抵达时，20t＝600﹣20，解得：t ＝29， 综上，甲车出发296时或316时或294时或314时或29时，两车相距20km ．8．甲、乙两地相距72km ，一辆工程车和一辆洒水车上午6时同时从甲地出发，分别以v 1km /h 、v 2km /h 的速度匀速驶往乙地．工程车到达乙地后停留了2h ，沿原路以原速返回，中午12时到达甲地，此时洒水车也恰好到达乙地．（1）v 1＝ 36km /h ，v 2＝ 12km /h ； （2）求出发多长时间后，两车相遇？ （3）求出发多长时间后，两车相距30km ？试题分析：（1）分别用两车行驶路程除以行驶时间即可得到两车的速度； （2）设出发x 小时后两车相遇，可得 36（x ﹣2）+12x ＝72×2，即可解得答案；（3）设出发t 小时后两车相距30km ，分三种情况：①在工程车还未到达乙地，即当0＜t ＜2时，36t ﹣12t ＝30，②在工程车在乙地停留，即当2≤t ≤4时，12t +30＝72，③在工程车返回甲地的途中，即当4＜t ≤6时，未相遇时：36（t ﹣2）+12t +30＝72×2，相遇后：36（t ﹣2）+12t ﹣30＝72×2，即可分别解得答案．答案详解：解：（1）由题意得：v 1=72×212−6−2=36（km /h ），v 2=7212−6=12（km /h ）， 所以答案是：36km /h ，12km /h ； （2）设出发x 小时后两车相遇， 根据题意得：36（x ﹣2）+12x ＝72×2， 解得x =92，答：出发92小时后两车相遇；（3）设出发t 小时后两车相距30km ，①在工程车还未到达乙地，即当0＜t ＜2时，36t ﹣12t ＝30，解得t =54； ②在工程车在乙地停留，即当2≤t ≤4时，12t +30＝72，解得t =72；③在工程车返回甲地的途中，即当4＜t ≤6时，未相遇时：36（t ﹣2）+12t +30＝72×2，解得t =318（不合题意，舍去），相遇后：36（t ﹣2）+12t ﹣30＝72×2，解得t =418；答：出发54、72、418小时，两车相距30km ．四．行程类之车过隧道大桥9．一列匀速前进的火车，通过列车隧道．（1）如果通过一个长300米的隧道AB ，从车头进入隧道到车尾离开隧道，共用15秒的时间（如图1），又知其间在隧道顶部的一盏固定的灯发出的一束光垂直照射火车2.5秒，求这列火车的长度；（2）如果火车以相同的速度通过了另一个隧道CD ，从火车车尾全部进入隧道到火车车头刚好到达隧道出口（如图2），其间共用20秒时间，求这个隧道CD 的长．试题分析：（1）等量关系为：（隧道长度+火车长度）÷15＝火车长度÷2.5； （2）等量关系为：隧道的长度CD ＝火车的长度+行驶的路程． 答案详解：解：（1）解：设这列火车的长度是x 米． 由题意得：（300+x ）÷15＝x ÷2.5， 解得：x ＝60．答：这列火车的长度是60米．（2）根据题意知，602.5×20+60＝540（米）．所以，CD 的长为540米．10．一列动车以300km /h 的速度过第一、第二个隧道，已知第二个隧道的长度比第一个隧道长度的2倍还多1.5km ，若该列动车过第二个隧道比第一个隧道多用了93秒，则第二个隧道的长度是 14km ．试题分析：根据题意可以列出相应的方程，注意单位要统一． 答案详解：解：设第一个隧道长度是xkm ，x 300×3600=2x+1.5300×3600−93，解得，x ＝6.25， ∴2x +1.5＝14， 所以答案是：14km ．五．行程类之顺水逆水11．某人乘船由A 地顺流而下到达B 地，然后又逆流而上到C 地，共用了3小时．已知船在静水中速度为每小时8千米，水流速度是每小时2千米．已知A 、B 、C 三地在一条直线上，若AC 两地距离是2千米，则AB 两地距离多少千米？（C 在A 、B 之间） 试题分析：根据路程、速度、时间之间的关系列出方程即可解答．答案详解：解：设AB 两地距离为x 千米，则CB 两地距离为（x ﹣2）千米． 根据题意，得x 8+2+x−28−2=3解得 x =252． 答：AB 两地距离为252千米．12．一只汽艇从A 码头顺流航行到B 码头用2小时，从B 码头返回到A 码头，用了2.5小时，如果水流速度是3千米/时，求： （1）汽艇在静水中的速度； （2）A 、B 两地之间的距离．试题分析：（1）可设汽艇在静水中的平均速度是x 千米/小时，根据等量关系：甲码头到乙码头的路程是一定的，列出方程求解即可； （2）根据速度、时间、路程间的关系解答．答案详解：解：（1）设汽艇在静水中的速度为xkm /h ．由题意，得 2（x +3）＝2.5（x ﹣3） ﹣0.5x ＝﹣13.5 x ＝27．答：汽艇在静水中的平均速度是27千米/小时；（2）由题意，得2（x +3）＝2（27+3）＝60（千米） 答：A 、B 两地之间的距离是60千米．六．工程类13．为庆祝建国七十周年，南岗区准备对某道路工程进行改造，若请甲工程队单独做此工程需4个月完成，若请乙工程队单独做此工程需6个月完成，若甲、乙两队合作2个月后，甲工程队到期撤离，则乙工程队再单独需几个月能完成？试题分析：由题意甲工程队单独做此工程需4个月完成，则知道甲每个月完成14，乙工程队单独做此工程需6个月完成16，当两队合作2个月时，共完成（2×14+2×16），设乙工程队再单独做此工程需x 个月能完成，则根据等量关系甲完成的+乙完成的＝整个工程，列出方程式即可． 答案详解：解：设乙工程队再单独需x 个月能完成， 由题意，得2×14+2×16+16x ＝1． 解得x ＝1．答：乙工程队再单独需1个月能完成．14．由于地铁施工，需要拆除我校图书馆，七年级同学主动承担图书馆整理图书的任务，如果由一个人单独做要用30小时完成，现先安排一部分人用1小时整理，随后又增加6人和他们一起又做了2小时，恰好完成整理工作，假设每个人的工作效率相同，那么先按排整理的人员有多少？ 试题分析：设先安排整理的人员有x 人，根据工作效率×工作时间×工作人数＝工作总量结合题意，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论． 答案详解：解：设先安排整理的人员有x 人， 根据题意得：130x +130×2（x +6）＝1， 解得：x ＝6．答：先安排整理的人员有6人．七．方案设计类15．为了更好地落实“双减”政策，丰富学生课后托管服务内容，某校决定购买一批足球运动装备．经市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等． （1）求每套队服和每个足球的价格各是多少？（2）甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折．若该校购买100套队服和a 个足球（其中a ≥10且为整数），请通过计算说明，学校采用哪种优惠方案更省钱？①请用含a的式子表示：甲商城所花的费用100a+14000，乙商城所花的费用80a+15000；②当购买的足球数a为何值时在两家商场购买所花的费用一样？试题分析：（1）设每个足球的定价是x元，则每套队服是（x+50）元，根据两套队服与三个足球的费用相等列出方程，解方程即可；（2）①根据题意列式子即可；②根据甲、乙两商场的优惠方案即可求解；答案详解：解：（1）设每个足球的定价是x元，则每套队服是（x+50）元，根据题意得2（x+50）＝3x，解得x＝100，x+50＝150．答：每套队服150元，每个足球100元；（2）①甲商场购买所花的费用为：150×100+100（a−10010）＝100a+14000（元），乙商场购买所花的费用为：150×100+0.8×100•a＝80a+15000（元）；所以答案是：100a+14000；80a+15000；②两家商场购买所花的费用一样时，100a+14000＝80a+15000，解得a＝50，答：购买的足球数a为50时在两家商场购买所花的费用一样．16．为举办校园文化节，甲、乙两班准备给合唱同学购买演出服装（一人一套），两班共92人（其中甲班比乙班人多，且甲班不足90人），下面是供货商给出的演出服装的价格表：购买服装的套数1套至45套46套至90套91套以上每套服装的价格60元50元40元如果两班单独给每位同学购买一套服装，那么一共应付5020元．（1）甲、乙两班联合起来给每位同学购买一套服装，比单独购买可以节省多少钱？（2）甲、乙两班各有多少名同学？（3）如果甲班有10名同学被调去参加书画比赛不能参加演出，请你为两班设计一种最省钱的购。

二元一次方程组分类应用题列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；（2）找：找出能够表示题意两个相等关系；（3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案．一.倍分问题1.甲乙二人，若乙给甲10元，则甲所有的钱为乙的3倍，若甲给乙10元，则甲所有的钱为乙的2倍多10元，求甲乙各拥有多少钱？2.一块矩形草坪的长比宽的2倍多10米，它的周长是132米，则宽和长分别是多少？提示：设宽为X米，长为Y米3.一批书分给组学生，每人6本则少6本，每人5本则多5本，该组共有多少名学生，这批书共有多少本？提示：设有X名学生，Y本书，4.某班学生有x人，准备分成y个组开展活动，若每个组7人，则余3人；若每个组8人，则差5人.求全班的人数和所分组数。

5.三年级有学生246人，其中男生比女生人数的2倍少3人，求男、女生各有多少人？提示：设男生有X名，女生有Y名6.甲乙两条绳共长17米，如果甲绳子减去五分之一，乙绳增加1米，两条绳子相等，求甲、乙两条绳各长多少米？7.甲乙两个商店各进洗衣机若干台，若甲店拨给乙店12台，则两店的洗衣机一样多，若乙店拨给甲店12台，则甲店的洗衣机比乙店洗衣机数的5倍还多6台，求甲、乙两店各进洗衣机多少台？8.把3米长的铁丝分成两段，做成一个正方形和一个长方形框，已知长方形的长是宽的2倍，长方形的长比正方形的边长长0。

3米，求两个图形的面积。

9.某班有学生49人，一天该班一男生因事请假，当天的男生人数恰好是女生人数的一半，男生有17 人，女生有32 人解这类问题的基本关系是抓住两个人年龄的增长数相等。

年龄问题的主要特点是：时间发生变化，年龄在增长，但是年龄差始终不变。