二阶线性中立型时滞微分方程非振动解的存在性

二阶Emden-Fowler型变时滞中立型微分方程的振荡性张晓建【摘要】The oscillatory behavior of a class of second-order Emden-Fowler-type nonlinear neutral variable delay functional differential equations is studied in this ing a couple generalized Riccati transformation and some necessary analytic techniques,we establish two new oscillation criteria for the equations,which improve and generalize some corresponding known results.%利用广义双黎卡提变换技术及一些分析技巧,研究了一类二阶Emden-Fowler型非线性中立型变时滞泛函微分方程的振荡性,获得了该类方程振荡的2个新的判别准则,推广并改进了现有文献中的一些结果.【期刊名称】《浙江大学学报（理学版）》【年(卷),期】2018(045)003【总页数】6页(P308-313)【关键词】振荡性;变时滞;Emden-Fowler型微分方程;Riccati变换【作者】张晓建【作者单位】邵阳学院理学与信息科学系,湖南邵阳422004【正文语种】中文【中图分类】O175.70 引言研究如下形式的二阶非线性广义Emden-Fowler型变时滞微分方程的振荡性：[a(t)φ1(z′(t))]′+q(t)f(φ2(x(δ(t))))=0，t≥t0(1)其中，z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t)),φ1(u)=|u|λ-1u,φ2(u)=|u|β-1u(λ>0,β>0为实常数)；a,p,q∈C([t0,+∞),R)；f∈C(R,R)且当u≠0时，uf(u)>0.并总假设以下条件成立：(H1) a∈C1([t0,+∞),(0,+∞))，且q(t)>0，p(t)≥0.(H2) 滞量函数τ,δ：[t0,+∞)→(0,+∞)，并且满足：及τ∘δ=δ∘τ，τ′(t)≥τ0(这里τ0>0为常数).(H3) 当u≠0时f(u)/u≥L(这里常数L>0).方程(1)的解及其振荡性定义可参见文献[1-2]. 由于时滞泛函微分方程在自然科学和工程技术中应用广泛，近年来，变时滞的中立型泛函方程的定性理论(特别是解的振荡和非振荡性、渐近性等)研究引起了国内外学者的极大兴趣[1-15]. 如黄记洲等[3]、曾云辉等[4]分别在条件a-1/λ(t)dt=+∞(2)和a-1/λ(t)dt<+∞(3)下研究了二阶Emden-Fowler型微分方程{a(t)|[x(t)+p(t)x(τ(t))]′|λ-1[x(t)+p(t)x(τ(t))]′}′+q(t)|x(δ(t))|β-1x(δ(t))=0(4)的振荡性，得到了方程(4)的若干新的振荡准则. 值得注意的是，文献[3-4]有限制条件：a′(t)≥0，0≤p(t)<1，(5)在λ<β时，文献[3]未得到方程(4)的振荡准则，并且在条件(3)下，文献[3-4]得到的结论是：方程(4)的每一个解x(t)或者振荡或者显然不能确定方程(4)是否振荡. 此结论在应用时也很不方便，因为无法知道方程(4)的解x(t)在什么条件下是振荡的、在什么条件下满足本文可看作文献[1]或[5]的延续. 文献[1]在条件(2)下研究了方程(1)的振荡性，得到了方程(1)振荡的一些新准则，这些振荡准则改进了现有文献中的一些结果(如去掉了限制条件(5)，在λ≤β和λ>β时均有方程(1)的振荡准则，在特殊情形即λ=β时提高了精确度等). 文献[5]又在一定程度上改进了文献[1]中定理1的结论，得到以下结果：定理[5] 设条件(H1)～(H3)及式(2)成立，0≤p(t)≤p0<+∞(其中常数p0≥0)，若有函数φ∈C1([t0,+∞),(0,+∞))，使得当λ≤β时，(6)当λ>β时，其中，常数T≥t0充分大，η>0，函数Q(t)及Ψ(t,t1)的定义如下：Q(t)=min{q(t),q(τ(t))}，Ψ(t,t1)=t1≥t0，则方程(1)是振荡的.值得注意的是，由于受条件0≤p(t)<1的限制，文献[3-4]的结果不能用于下列方程(其中常数ρ0>0):因为不满足条件(2)，所以文献[1,5]中的定理对上述方程也不适用.本文的目的是利用广义的双Riccati(黎卡提)变换及不等式分析技巧，在条件(3)下建立方程(1)振荡的一些新的准则，以改进和丰富现有文献中的一系列结果.1 方程的振荡准则引理1[1] 设A>0，B>0，α>0均为常数，则当x>0时，(8)定理1 设条件(H1)～(H3)及式(3)成立，并且0≤p(t)≤p0<+∞(p0为常数)，如有函数φ∈C1([t0,+∞),(0,+∞))使得当λ≤β时式(6)成立，当λ>β时式(7)成立，并且+∞，(9)其中，常数函数Q(t)=min{q(t),q(τ(t))}，k>0为常数，ζ(t)=a-1/λ(s)ds，则方程(1)是振荡的.证明反证法: 设方程(1)有一个最终正解x(t)(当方程(1)有一个最终负解x(t)时类似可证)，则存在t1≥t0，使得当t≥t1时，x(t)>0，x(τ(t))>0，x(δ(t))>0. 由文献[1]或[5]中定理1的证明知，函数a(t)φ1(z′(t))严格单调减小且最终定号，从而z′(t)最终为正或为负，因此只需考虑下列2种情形：(i) z′(t)>0(t≥t1)；(ii) z′(t)<0(t≥t1).情形(i) z′(t)>0(t≥t1). 由文献[5]中定理1的证明知，方程(1)是振荡的.情形(ii) z′(t)<0(t≥t1).首先，定义函数v(t)为(10)则v(t)<0(t≥t1). 由于a(t)φ1(z′(t))=a(t)×[-z′(t)]λ-1z′(t)是单调递减，则有a(τ(t))[-z′(τ(t))]λ-1z′(τ(t))≥a(t)[-z′(t)]λ-1z′(t)，即a(τ(t))[-z′(τ(t))]λ≤a(t)[-z′(t)]λ，亦即注意到z′(t)<0，于是由式(10)可得(11)其次，定义函数w(t)为w(t)==则w(t)<0(t≥t1)，用与上面类似的方法可得(12)由文献[1]或文献[5]中定理1的证明知，下式仍然成立：-L0Q(t)zβ(δ(t))≤0.于是，利用z(δ(t))≥z(t)，并综合式(11)和(12)，可得-L0Q(t)zβ-λ(t)-(13)若λ>β，则由z(t)>0，z′(t)<0(t≥t1)知，z(t)≤z(t1)，即zβ-λ(t)≥zβ-λ(t1)=k.若λ=β，则zβ-λ(t)=1.若λ<β，则由a(t)(-z′(t))λ-1z′(t)单调减小，当s≥t1时，有a(s)(-z′(s))λ-1z′(s)≤a(t1)(-z′(t1))λ-1z′(t1)=-M，其中M=-a(t1)(-z′(t1))λ-1z′(t1)>0为常数，于是a(s)(-z′(s))λ≥M，即z′(s)≤-M1/λa-1/λ(s).进一步有z(u)-z(t)≤-M1/λa-1/λ(s)ds，即z(t)≥z(u)+M1/λa-1/λ(s)ds≥M1/λa-1/λ(s)ds，在上式中令u→+∞，得z(t)≥M1/λa-1/λ(s)ds=M1/λζ(t)，即zβ-λ(t)≥kζβ-λ(t)，其中k=M(β-λ)/λ>0是常数.综合上述3种情形及函数π(t)的定义，由式(13)，有(14)上式两边同时乘以ζλ(t)，再从t1到t(t≥t1)积分，并利用ζ′(t)=-a-1/λ(t)及式(8)可得L0Q(s)π(s)ζλ(s)ds≤-+λζλ-1(s)ζ′(s)w(s)ds-(15)此外，再次利用a(t)(-z′(t))λ-1z′(t)的单调递减性，对s≥t≥t1，有a(s)(-z′(s))λ-1z′(s)≤a(t)(-z′(t))λ-1z′(t)，即两边对s从t到u(u≥t)积分，得z(u)-z(t)≤a1/λ(t)z′(t)a-1/λ(s)ds，从而z(t)+a1/λ(t)z′(t)a-1/λ(s)ds≥0，令u→+∞，则有z(t)+a1/λ(t)z′(t)a-1/λ(s)ds≥0，t≥t1.因此，于是由函数w(t)的定义知，-1≤w(t)ζλ(t)≤0，t≥t1.(16)同理可得-1≤v(t)ζλ(t)≤0，t≥t1.(17)结合式(16)、(17)，由式(15)得这与条件(9)矛盾. 定理证毕.定理2 设条件(H1)～(H3)及式(3)成立，并且0≤p(t)≤p0<+∞(p0为常数)，如有函数φ∈C1([t0,+∞),(0,+∞))使得当λ≤β时式(6)成立，当λ>β时式(7)成立，并且(18)其中函数Q(t)，π(t)及ζ(t)的定义同定理1，则方程(1)是振荡的.证明前面部分的证明完全同定理1，可得式(14)、(16)和(17). 现将式(14)两边同时乘以ζλ+1(t)，再从t1到t(t≥t1)积分，注意到ζ′(t)=-a-1/λ(t)，则有L0Q(s)π(s)ζλ+1(s)ds≤-ζλ+1(s)w′(s)ds-ζλ+1(t)(-w(t))+ζλ+1(t1)w(t1)+(19)利用式(16)，可得|ζλ+1(t)(-w(t))|≤|ζλ(t)w(t)|ζ(t)≤ζ(t)<+∞，类似地，利用式(17)，可得|ζλ+1(t)(-v(t))|<+∞，于是，由式(19)得L0Q(s)π(s)ζλ+1(s)ds<+∞，这与条件(18)矛盾. 定理证毕.例1 考虑方程(E)其中ρ0>0为常数. 相当于方程(1)中a(t)=t2，q(t)=ρ0，p(t)=1+sin t，f(u)=u，τ(t)=δ(t)=t/2，λ=β=1，t0=1.显然有a-1/λ(t)dt=t-2dt<+∞.现取φ(t)=t，t1=1，则取T=3，则1/2≤Ψ(t,t1)≤1. 注意到L0=1，τ0=1/2，p0=2，于是，当ρ0>1.5时，且因此，由定理1知,当ρ0>1.5时方程(E)是振荡的.注1 实际上，上述计算还可进一步精确. 如取T=3.5，则0.6≤Ψ(t,t1)≤1，当ρ0>1.25时,于是，由定理1知,当ρ0>1.25时,方程(E)是振荡的.注2 由于不满足条件(2)，因此文献[1,5,9-10]中的结论对方程(E)不适用，又因不满足条件0≤p(t)<1，则文献[3-4]中的结果也不能用于方程(E)，其他文献如[2,6-8]中的定理也不能用于方程(E).参考文献(References)：[1] 杨甲山. 二阶Emden-Fowler型非线性变时滞微分方程的振荡准则[J]. 浙江大学学报(理学版), 2017,44(2)： 144-149.YANG J S. Oscillation of certain second-order Emden-Fowler-type variable delay neutral differential equations[J]. Journal of ZhejiangUniversity(Science Edition), 2017,44(2)： 144-149.[2] AGARWAL R P, BOHNER M, LI W T. Nonoscillation and Oscillation：Theory for Functional Differential Equations[M]. New York： MarcelDekker,2004.[3] 黄记洲, 符策红. 广义Emden-Fowler方程的振动性[J]. 应用数学学报, 2015,38(6)： 1126-1135.HUANG J Z, FU C H. Oscillation criteria of generalized Emden-Fowler equations[J]. Acta Mathematicae Applicatae Sinica, 2015,38(6)： 1126-1135.[4] 曾云辉, 罗李平, 俞元洪. 中立型Emden-Fowler时滞微分方程的振动性[J]. 数学物理学报, 2015,35(4)： 803-814.ZENG Y H, LUO L P, YU Y H. Oscillation for Emden-Fowler delay differential equations of neutral type[J]. Acta Mathematica Scientia, 2015, 35(4)： 803-814.[5] 杨甲山, 方彬. 二阶广义Emden-Fowler型微分方程的振荡性[J]. 华中师范大学学报(自然科学版), 2016,50(6)： 799-804.YANG J S, FANG B. Oscillation of certain second-order generalized Emden-Fowler-type differential equations[J]. 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Journal of East ChinaNormal University(Natural Science), 2015,2015(3)： 9-15.[14] 杨甲山,方彬.时间模上一类二阶非线性中立型泛函动态方程的振荡性[J].内蒙古师范大学学报(自然科学汉文版), 2016,45(5)： 603-609.YANG J S, FANG B. Oscillation for certain second-order nonlinear neutral functional dynamic equations on time scales[J]. Journal of Inner Mongolia Normal University(Natural Science Edition), 2016,45(5)： 603-609. [15] 杨甲山, 张晓建. 具阻尼项的二阶拟线性泛函差分方程的振荡性判别准则[J]. 浙江大学学报(理学版) ,2015,42(3)： 276-281.YANG J S, ZHANG X J. Oscillation criteria for a class of second order quasi-linear functional difference equation with damping[J]. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2015,42(3)： 276-281.。

两类二阶中立型微分方程的振动性的开题报告一、选题背景微分方程在数学中具有非常重要的地位，是许多科学领域中必不可少的数学工具。

其中，中立型微分方程是指同时具有时滞项和常微分方程项的微分方程。

中立型微分方程的研究在掌握传统微分方程的基础上，增加了新的考虑因素，具有较高的研究价值和应用价值。

在实际问题中，中立型微分方程的研究可以应用于物理、生物、经济等领域，例如物理中的震动问题，经济中的消费行为问题等。

本文主要研究两类二阶中立型微分方程的振动性问题，以期探究不同类型微分方程在振动问题中的性质和应用。

二、研究内容1.二阶中立型微分方程的基础知识介绍中立型微分方程的定义、特点和基本性质，以及常见的解法方法，并且阐述相关的研究背景和文献资料。

2.第一类二阶中立型微分方程的振动性探究第一类二阶中立型微分方程的特点和振动性质，其中，第一类指具有单一时滞项，直接对其平衡解进行振动性的分析，并给出具体例子。

3.第二类二阶中立型微分方程的振动性第二类二阶中立型微分方程指具有多个时滞项的微分方程，我们通过仔细分析多个时滞项所产生的影响，探究其振动性的变化和特点，并给出具体的例子。

4.实例分析和讨论选取具体的物理或经济问题，通过建立相应的中立型微分方程模型，分别对第一类和第二类中立型微分方程进行振动性分析，探究其在不同领域的应用价值。

三、预期成果通过本文的研究，可以深入了解并掌握二阶中立型微分方程的振动性问题，从而有助于在不同领域的实际问题中进行应用。

同时，通过实例分析和讨论，可以更加具体地讨论不同中立型微分方程模型的振动性和应用，在实践中具有一定的参考意义。

二阶中立型微分方程的振动和非振动结果
曹贤通;俞元洪
【期刊名称】《中原工学院学报》
【年(卷),期】2003(014)004
【摘要】本文给出二阶中立型时滞微分方程(1)新的振动定理.
【总页数】4页(P4-7)
【作者】曹贤通;俞元洪
【作者单位】中原工学院,河南,郑州,450007;中国科学院,数学与系统科学研究院,北京,100080
【正文语种】中文
【中图分类】O175.1
【相关文献】
1.一阶中立型微分方程的振动性及其非振动解的渐近性 [J], 严秀坤;丁爱霞
2.一类二阶非线性中立型微分方程非振动解的渐近性质 [J], 罗志敏;王小华
3.变系数二阶中立型微分方程非振动解的分类 [J], 何万生
4.一类二阶中立型微分方程的振动和非振动准则 [J], 杨甲山;方彬
5.变系数二阶中立型微分方程非振动解的存在性 [J], 袁娟;罗治国
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几类时滞微分方程解的振动性和正解存在性的开题报告时滞微分方程（Delay Differential Equations，DDE）是一种具有时滞项的微分方程，其解的振动性和正解存在性是研究时滞微分方程的重要问题之一。

本文将介绍几类时滞微分方程解的振动性和正解存在性的研究情况。

1. 时滞线性微分方程时滞线性微分方程是一种常见的时滞微分方程形式。

对于具有时滞项的线性微分方程，可以通过矩阵指数函数的方法得到其正解存在性，并进一步确定其解的振动性。

研究表明，当时滞项小于一定值时，时滞线性微分方程的解为渐近稳定的；当时滞项在一定范围内时，时滞线性微分方程的解会出现振荡；当时滞项超过一定值时，时滞线性微分方程的解将变得不稳定。

2. Michaelis-Menten型时滞微分方程Michaelis-Menten型时滞微分方程是一种具有广泛应用的时滞微分方程形式。

研究表明，在一定参数范围内，Michaelis-Menten型时滞微分方程的解存在且唯一，并且解的振动性是有限的。

此外，当时滞项的大小超过一定值时，该方程解将趋于无穷大。

3. Hopfield型神经网络模型Hopfield型神经网络模型是模拟神经网络的常用模型之一，也是一种具有时滞项的微分方程。

研究表明，在一定条件下，Hopfield型神经网络模型的解存在唯一，并且解的振动性也是有限的。

此外，当时滞项的大小超过一定值时，该方程解将趋于发散。

4. Logistic型时滞微分方程Logistic型时滞微分方程是一种描述种群生长和传染病传播的时滞微分方程形式。

研究表明，在一定参数范围内，Logistic型时滞微分方程的解存在唯一，并且解的振动性也是有限的。

此外，当时滞项的大小超过一定值时，该方程解将趋于无穷大或消失。

综上所述，时滞微分方程的解的振动性和正解存在性受时滞项大小和模型参数等因素影响。

研究时滞微分方程解的振动性和正解存在性对于深入理解时滞微分方程模型的特性，有助于应用时滞微分方程模型解决实际问题。

2021,41A (2):382-387数学物理学报http: // a ct a 二阶非线性中立型时标动态方程趋向于零的非振动解的存在性1邱仰聪2王其如*(1顺德职业技术学院人文学院 广东佛山528333; 2中山大学数学学院 广州510275)摘要：考虑一类二阶非线性中立型时标动态方程，利用Krasnoselskii 不动点定理给出方程存在趋向于零的非振动解的一些充分条件.另外，提供两个例子说明这些结论的应用.关键词：非振动解；趋向于零；中立型动态方程；二阶；时标.MR(2010)主题分类：34N05; 34C10; 39A13 中图分类号：0175 文献标识码：A文章编号：1003-3998(2021)02-382-061引言考虑以下在时标T 上的二阶非线性中立型动态方程(r (t)z △⑴广 + / (t ,x (h (t))) = 0 (1.1)趋向于零的非振动解的存在性，其中sup T = x , z(t) = x(t) + p(t)x(g (t)),且t e [t o , x )t ,这 里 t o e T .在最近二三十年来，时标理论统合了微分和差分理论(详见文献[1-6]),有关非线性时标 动态方程振动性和非振动性的研究也取得了很大的进展.一些专家学者针对非线性中立型 时标动态方程非振动解的存在性进行了研究，给出了保证这些方程存在符合某种性质的非 振动解的充分条件甚至是充要条件，请参考文献[8-9, 11, 13].定义1.1称方程(1.1)的解x 最终为正(最终为负)，若存在T e [t o , x )T 使得对 t e [T, x )T ，有x(t) > 0 (x(t) < 0).若x 最终为正或最终为负，则称x 是非振动的.Zhu 和Wang 在文献[13]中考虑了一阶非线性中立型时标动态方程(x(t) + p(t)x(g (t)))A + / (t, x(h(t))) = 0.(1.2)收稿日期：2020-02-21;修订日期：2020-07-30E-mail: **************** 基金项目：国家自然科学基金(11671406, 12071491)和广东省教育厅“创新强校工程”青年创新人才类项目(自然科学)(2017GKQNCX111, 2018-KJZX039)Supported by the NSFC (11671406, 12071491) and the Natural Science Program for Young Cre ­ative Talents of Innovation Enhancing College Project of Department of Education of Guang ­dong Province (2017GKQNCX111, 2018-KJZX039)*通讯作者No.2邱仰聪等：二阶非线性中立型时标动态方程趋向于零的非振动解的存在性383作者引入了Banach空间BC[Tq,={x&C([T q,Q t,R)sup<X(1.3)其范数为||x||=sup|x(t)|,这里C(［T q,x)t,R)是指一切从［T q,x)t映射到R的连续函t e［T o,TO)T数的集合.作者指出方程(1.2)的所有最终正解均趋向于某个正数或零，并且分别给出使得这两种解存在的充分条件.后来，一些学者先后探讨了在不同条件下方程(1.1)非振动解的存在性.Gao和Wang 在文献［9］研究了在条件j j語<X下的情况.作者运用了(1.3)式和Krasnoselskii不动点定理，推断出方程(1.1)的最终正解同样是趋向于某个正数或零，并且也给出了类似使得解存在的充分条件.Deng和Wang在文献［8］针对語=X的情况继续进行相关研究，对方程(1.1)最终正解的渐近行为划分为4种，其中包括了趋向于零的情况.Qiu在文献［11］考虑了三阶非线性中立型时标动态方程(r i(t)(『2(t)(x(t)+p(t)x(g(t)))Af)+/(t,x(h(t)))=0,(1.4)其中嗇=监7^)=X,把方程(1.4)的所有最终正解划分为5种渐近行为，其中也同样包括了趋向于零的情况.文献［8-9,11,13］对相关方程各类最终正解的存在性都给出了充分条件或充要条件，但另一方面，有关保证趋向于零的最终正解存在的充分条件却并不让人满意，请参考文献［8］的定理2.8和注2.9,［9］的定理3,［11］的定理3.5和3.6,以及［13］的定理9和10.这些充分条件的形式比较特殊，普适性不强.这也是由于趋向于零的最终正解的渐近行为和种类相对比较复杂，不易总结而造成的.注意到Mojsej和Tartal'ova在文献［10］中为解决相关问题提供了一些新思路.针对三阶非线性微分方程+q(t)f(x(t))=0,t>a,(1.5)他们提出若函数f在某指定的闭区间上满足Lipschitz条件，将可以得到方程(1.5)存在趋向于零的最终正解的一些充分条件.受此启发，Qiu在文献［12］中引入了合适的Banach空间，并且利用Krasnoselskii不动点定理，对方程(1.4)趋向于零的最终正解的存在性进行了有意义的探索.不过，注意到文献［12］中函数g的取值范围g(t)>t与文献［8-9,11,13］的g(t)<t并不相同，因此文献［12］的结论并不能应用于g(t)>t最终不成立的情况.为提高以上方法的适用度，不妨尝试放松函数g的条件，统合g(t)>t,g(t)<t和g(t)围绕t振荡三种情况，其中t G［T,x)t，这里的T G［t o,x)t充分大，并且在以下条件下考虑方程(1.1)趋向于零的最终正解的存在性问题.(C1)r G C rd(［t Q,x)t,(0,x))且jj語<x;(C2)p G C rd(［t Q,x)t,［0,x))且lim p(t)=p q,这里p o G［0,1);t—(C3)g,h G C rd(［t o,x)t,T)且lim g(t)=lim h(t)=x;t—t—(C4)f G C(［t o,x)t x R,R)且对x=0,有xf(t,x)>0;(C5)n=t nin册G(0,U,这里H(t)=厂語-注1.1由(C1)和(C5)，不难看出函数H在区间［t o,x)t上严格单调递减•若g(t)>t 最终不成立，比如g(t)=t—1和g(t)=t+sint等情况，这时要求n=1.384数学物理学报Vol.41A弓|理1.1 (Krasnoselskii 不动点定理，见文献［7］)定义算子U,V : Q t X ，这里X 为一 个Banach 空间，Q 是X 的一个有界凸闭子集•若U 是一个压缩映射，V 是全连续的，且 对所有x,y & Q,满足Ux + Vy & Q,那么U + V 在Q 上存在一个不动点.不失一般性，只考虑方程(1.1)趋向于零的最终正解.以下引理说明了函数z 和x 之间 的关系，其证明过程与文献［12］的引理2.5类似，这里不再赘述.引理1.2假设x 是方程(1.1)的一个最终正解，且存在常数a > 0使得lim z (t ) = a , t —则有lim x(t) = _-—.t TX 1 + p o2主要结果在这一节，针对函数f 两种不同的假设前提，分别给出方程(1.1)存在趋向于零的最终 正解的一些充分条件.定理2.1假设函数/(t,x )对x 非减，且满足/(t, 2H (h(t)))At < x,(2.1)那么方程(1.1)存在一个趋向于零的最终正解x,且满足z 最终为正，z A 最终为负.证由0 < p o < 1,取p i 满足P o < p i <1 + 4p o -5-< 1,(2.2)则存在T o e ［t o , x )t 使得5p i — 1 -4-< p(t) < p i < 1,p (t )H (g(t))H (t)(5p i - 1)n 4t e [T o , x )T ,(2.3)以及/(t, 2H(h(t)))At <1 一 p i n -4-选择T i e (T o , x )t 满足当t e [T i , x )t 时，有g(t) > T o 和h(t) > T o .定义形如(1.3)式的 Banach 空间 BC[T o , x )T ，集合 Q = {x e BC[T o , x )T : H(t) < x(t) < 2H(t)},以及以下算子 U, V : Q t BC[T o , x )T((Ux)(T i ),t e [T o ,T i )t ,(Ux )(t ) = { 3[^p i nH(t) - p(t)x(g(t)), t e [T i , x )t ,(Vx )(t )(Vx)(T i ),32 H (t ) +/ (u,x(h(u)))r(s)AuAs,t e [T o , T i )t ,t e [T i , x )T .由于有关U 和V 满足引理1.1的证明过程冗长，且与文献［8］的定理2.5, ［9］的定理2, ［11］ 的定理3.1和［13］的定理8类似，这里不再赘述.然后，可知存在x e Q 使得(U + V )x = x, 于是对t e ［T i , x )T ,有x (t ) = H (t ) -p (t )x (g (t ))+厂厶仏;((JM a u A s .(2.4)No.2邱仰聪等：二阶非线性中立型时标动态方程趋向于零的非振动解的存在性385因为对t G[T1,x)t,有/(u,x(h(u)))r(s)AuAs/OO fgf(t,x(h(t)))At<H(t)//(t,2H(h(t)))At,\JTi且由(2.1)式，可知'Olim H(t)t—>Of(t,2H(h(t)))At0,于是由引理1.2可推断出lim x(t)=lim z(t)=0.(2.5)t—>O t—>O更进一步地，对t G[T1,g)T,有z(t)=3(1+P i n)H(t)+广「f(u，X(h(U)))A u A s>02Jt JT1r(s)以及z A(t)=-(3(1；p i n)+L f(u,x(h(u)))A u)<0-证毕.i 定理 2.2假设存在函数q G C rd([t o,x)T,(0,Q)和f o G C([0,2H(t o)],R),以及常数L>0使得xf(t,x)<xq(t)f o(x),有|f(t,X!)-f(t,x2)|<L-q(t)\x i-x2\,x i,x2G[0,2H(t o)],以及q(t)At<x,那么方程(1.1)存在一个趋向于零的最终正解x,且z最终为正，z A最终为负.证取p i满足(2.2)式，类似地，存在T o G[t o,x)t满足(2.3)式和q(t)At<min1—m]4K,这里K=max{|f o(x)|:x G[0,2H(t o)]}>0•选择G(T o,x)T满足当t G[T i,x)T时，有g(t)>T o和h(t)>T°.定义与定理2.1相同的Banach空间BC[T o,x)T,集合Q和算子U,V•有关U和V符合Krasnoselskii不动点定理的证明过程与文献[12]的定理3.1类似，这里也不再赘述.如同定理2.1的证明，存在x G Q使得(U+V)x=x,于是有(2.4)式.由于对t G[T i,x)T,有//，(®尤£(厲)))AuAs<H(t)/q(u)f o(x(h(u)))Au<KH(t)/q(u)Au,Jt JT i r(s)JT i—JT i以及lim KH(t)/q(u)Au=0,t^°J t由引理1.2可知(2.5)式成立.类似地，不难推出z最终为正且z A最终为负•证毕.386数学物理学报Vol.41A 3例在这一节，给出以下两个例子说明相关结论的应用.OO例 3.1 令 T = U [3n , 2 - 3n ],对 t G [3, x )t ,考虑方程n =Q (t 2(x(t) + p(t)x(3t))A )A + 斗詁=0,(3.1)其中函数 p 满足条件(C2).这里，有 r(t) = t 2, g(t) = 3t, h(t) = 3, f (t, x) = 和 t 。

二阶中立型微分方程的振动准则的开题报告一、研究背景振动是物理学中的基本概念之一，如弹簧振子、摆、电磁振荡等。

在考虑振动时，我们通常需要对微分方程进行求解。

而二阶中立型微分方程是一类涉及到时滞的微分方程，通常用于描述具有记忆和非局域特性的系统动力学。

因此，研究二阶中立型微分方程的振动准则具有重要的理论和实践意义。

二、研究内容本文将研究二阶中立型微分方程的振动准则，包括振动的存在性、稳定性和周期性等问题。

具体来说，研究内容将包括以下方面：（1）引入二阶中立型微分方程及其基本性质；（2）讨论该方程的振动情形以及振动的存在性；（3）研究振动的稳定性，包括稳定、渐近稳定和不稳定三种情况；（4）探讨二阶中立型微分方程的周期性和周期解的存在性；（5）给出具体的例子并进行计算验证。

三、研究方法本文主要采用数学分析和控制理论方法研究二阶中立型微分方程的振动准则。

具体来说，将运用李雅普诺夫函数、Lyapunov-Krasovskii函数、Razumikhin技巧等工具，分析该方程的振动情形和稳定性。

此外，还将引入数值仿真方法验证所得结果，确保研究的准确性和可靠性。

四、研究意义研究二阶中立型微分方程的振动准则，不仅可以深入理解含时滞因素的动态系统特性，而且有助于挖掘其在实际应用中的潜在价值。

比如，在电力系统中，时滞常常导致电网的不稳定和失控，而通过对二阶中立型微分方程的振动准则的研究，可以指导电网的稳定控制和优化调度。

此外，在生物学、化学、机械工程等领域，二阶中立型微分方程也有广泛的应用。

因此，研究该方程的振动准则，不仅是深化基础数学和控制理论的重要途径，而且具有重要的应用价值。

五、研究计划本文计划于两个月内完成。

具体的研究计划如下：第一周：查阅相关文献，了解二阶中立型微分方程的相关知识和研究现状；第二周：推导二阶中立型微分方程的振动准则的基本数学模型；第三周：分析振动的存在性和稳定性；第四周：探讨周期性和周期解的存在性，并进行数值仿真；第五周：给出具体的例子，并进行计算验证；第六周：撰写论文，并进行修改和润色；第七周：提交论文并进行答辩。

中立型时滞微分方程非振动解的存在性及其近似表示的开题报告背景介绍：时滞微分方程作为动力系统、控制理论以及生物数学等领域的重要应用模型，已经引起了广泛的关注。

尤其是自然界和工业现象中常见时滞现象（例如延迟反馈、化学反应、物理学中的惯性等），时滞微分方程的应用更是不可避免。

时滞微分方程的研究包括非振动解的存在性以及定性分析等多方面，但是大多数情况下都是针对具体的问题和模型进行的。

因此，对于一般性的中立型时滞微分方程的非振动解的研究还有待深入探讨。

研究目的：本文旨在研究一般的中立型时滞微分方程的非振动解的存在性以及其近似表示方法，探索该类时滞微分方程的特殊性质和解析方法，为时滞微分方程的深入研究和应用提供理论支撑。

研究内容：1. 中立型时滞微分方程的定义和基本概念；2. 非振动解的概念、存在性定理和例子；3. 一般中立型时滞微分方程的非振动解的存在性证明；4. 非振动解的近似表示方法和误差分析。

研究方法：1. 基于变分方法和函数分析等数学工具，寻找一般中立型时滞微分方程非振动解的存在性证明方法，并给出具体的证明过程；2. 根据实际情况，考虑非振动解的近似表示方法和误差分析，采用数值模拟和计算实验等方法进行验证。

研究意义：一般中立型时滞微分方程的解析研究，可以揭示时滞微分方程的特殊性质和解析方法，为动力系统、控制理论、生物数学等领域的应用提供理论支撑。

非振动解的存在性和近似表示方法研究，对于理解动力系统的稳定性、控制稳定性以及生物系统的行为分析等具有重要意义。

同时，本文的研究成果对于深入研究其他类型的时滞微分方程也具有一定的启发意义。