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5.8三元一次方程组（解析）知识精讲定义含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共由3个方程组成的方程组，叫做三元一次方程组．解法 解三元一次方程组的基本思想是消元．步骤1．利用代入法或加减法消去一个未知数，得出一个二元一次方程组； 2．解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；3．将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，从而求得三元一次方程组的解．二．易错点为把三元一次方程组转化为二元一次方程组，原方程组中的每个方程至少要用一次．三点剖析一．考点：三元一次方程组的解法． 二．重难点：三元一次方程组的解法．三．易错点：为把三元一次方程组转化为二元一次方程组，原方程组中的每个方程至少要用一次．三元一次方程组的解法例题1、 下列四组数值中，为方程组⎪⎩⎪⎨⎧===++2z -y -x 31z -y -x 20z y 2x 的解是（ ）A.⎪⎩⎪⎨⎧===2-z 1y 0xB. ⎪⎩⎪⎨⎧===1z 0y 1xC.⎪⎩⎪⎨⎧===0z 1-y 0x D.⎪⎩⎪⎨⎧===3z 2-y 1x 【答案】 D【解析】 ⎪⎩⎪⎨⎧===++③②①2z -y -x 31z -y -x 20z y 2x ，①+②得：3x+y=1④， ①+③得：4x+y=2⑤， ⑤﹣④得：x=1，将x=1代入④得：y=﹣2，将x=1，y=﹣2代入①得：z=3，则方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧===3z 2-y 1x ．例题2、 （1）解一元一次方程：2123134x x ---=； （2）解三元一次方程组：042325560x y z x y z x y z -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩．【答案】 （1）72x = （2）325x y z =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩【解析】 （1）方程两边都乘以12得：4（2x －1）－3（2x －3）＝12， 8x －4－6x ＋9＝12， 8x －6x ＝4－9＋12， 2x ＝7，72x =；（2）042325560x y z x y z x y z -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩①②③②－①得：3x ＋3y ＝3，即x ＋y ＝1④， ③－①得：24x ＋6y ＝60，即4x ＋y ＝10⑤， ⑤－④得：3x ＝9，解得x ＝3， 把x ＝3代入④，得y ＝－2，把x ＝3，y ＝－2代入①，得z ＝－5，所以原方程组的解是325x y z =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩．例题3、 已知4520430x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩（xyz≠0），则x ︰y ︰z 的值________．【答案】 1︰2︰3【解析】 45243x y z x y z -=-⎧⎨+=⎩①②，②×4－①得：21y ＝14z ，即23y z =，将23y z =代入②得：13x z =，则12::::1:2:333x y z z z z ==．例题4、 解方程组：25242310x y z x y z x y z +-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩【答案】33y z =-⎨⎪=-⎩．【解析】25242310x y z x y z x y z +-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩①②③．①+②，得39x z -=④，②+③，得4214x z -=⑤、⑤组成方程组394214x z x z -=⎧⎨-=⎩，解得23x z =⎧⎨=-⎩，因此原方程组的解为233x y z =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩例题5、 已知4360270x y z x y z --=⎧⎨+-=⎩，则22222226__________53x y z x y z +-=++ 【答案】 12【解析】 把z 看成参数，解关于x 、y 的方程组43627x y z x y z -=⎧⎨+=⎩，得32x z y z =⎧⎨=⎩，代入2222222653x y z x y z+-++求值即可．随练1、 三元一次方程组54034112x y z x y z x y z ++=⎧⎪+-=⎨⎪++=-⎩，消去未知数z 后，得到的二元一次方程组是（ ）A.432753x y x y +=⎧⎨+=⎩B.432231711x y x y +=⎧⎨+=⎩C.342753x y x y +=⎧⎨+=⎩D.342231711x y x y +=⎧⎨+=⎩【答案】 A【解析】 54034112x y z x y z x y z ++=⎧⎪+-=⎨⎪++=-⎩①②③①－③，得 4x ＋3y ＝2④ ②＋③×4，得 7x ＋5y ＝3⑤由④⑤可知，选项A 正确，随练2、 已知：578a b c ==，且329a b c -+=，则243a b c +-=__________． 【答案】 14【解析】 设578a b c k ===，则：5a x =，7b x =，8c x =，329a b c -+=可以转化为：151489x x x -+=，解得1x =．那么2431414a b c x +-==． 随练3、 解三元一次方程组：1151x y z y z x z x y +-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩【答案】 83y z =⎨⎪=⎩【解析】 1151x y z y z x z x y +-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩①②③ ①+②+③，得17x y z ++=④-④①，得3z = -④②，得6x = -④③，得8y =因此原方程组的解为683x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩随练4、 已知方程组23403450x y z x y z +-=⎧⎨++=⎩，求x y zx y z ++-+的值．【答案】 213【解析】 把z 看成参数，解方程组23403450x y z x y z +-=⎧⎨++=⎩，得3122x zy z=-⎧⎨=⎩．将其代入原式，得825213x y z z x y z z ++-==-+-．随练5、 已知：x 、y 、z 满足()223210x y z x y --+--，求510x y z -+的值．【答案】 65【解析】 该题考查的是非负性．根据非负性可知，20321042210x y z x y x y z --=⎧⎪--=⎨⎪---=⎩，解得，2511015x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩则：211651051051055x y z -+=⨯-⨯+=随练6、 解方程组：（1）244523x y x y -=-⎧⎨-=-⎩（2）3102612x y z x y z x y z -+=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩．【答案】 （1）125x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（2）345x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【解析】 （1）244523x y x y -=-⎧⎨-=-⎩，①×2﹣②得﹣2y+5y=﹣8+23， 解得y=5，把y=5代入①得2x ﹣5=﹣4，解得x=12，所以方程组的解为125x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩；（2）3102612x y z x y z x y z -+=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩，①+②得4x+y=16④，①﹣③得2x ﹣2y=﹣2，即x ﹣y=﹣1⑤， ④+⑤得5x=15，解得x=3，把x=3代入⑤得3﹣y=﹣1，解得y=4，把x=3，y=4代入③得3+4+z=12，解得z=5，所以方程组的解为345x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．课后习题1、 在等式2y ax bx c =++中，当0x =时，y =-1；当x =-1时，2y =-，当2x =，4y =求2x =-当时y 的值 【答案】 2y =-【解析】 由题可得方程组 2442c a b c a b c -1=⎧⎪-=-+⎨⎪=++⎩1232a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-1⎪⎪⎩解得 213+22y x x =-1得出2x =-将2y =-带入得 本题主要考查解方程2、方程组123x yy zz x+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩的解是__．【答案】12 xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩【解析】1(1)2(2)3(3)x yy zz x+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩．由（2）、（3）分别得到：y=2﹣z，x=3﹣z，将其代入（1），得2﹣z+3﹣z=1，解得z=2，所以y=2﹣2=0，x=3﹣2=1．所以原方程组的解集为：12xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩．3、三元一次方程组4232319a b ca b ca b c-+=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩消去一个未知数后，所得二元一次方程组是（）A.124a ba b+=⎧⎨+=⎩B.3324a ba b+=⎧⎨+=⎩C.13219a ba c+=⎧⎨-=⎩D.52191a ba b-=⎧⎨+=⎩【答案】D【解析】423 2319 a b ca b ca b c-+=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩①②③②﹣①，得a+b=1④①×3+③，得5a﹣2b=19⑤由④⑤可知，选项D正确4、解下列三元一次方程组：0 423 936 x y zx y zx y z++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩【答案】33 xyz=⎧⎪=⎨⎪=-⎩【解析】423936x y zx y zx y z++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩①②③，②-①，得33x y+=④；③-①，得826x y+=⑤．④、⑤组成方程组33826x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得3xy=⎧⎨=⎩将03x y =⎧⎨=⎩代入方程①，得3z =-，因此原方程组的解为033x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩5、 若345x y z ==且24x y z ++=，求x 、y 、z 的值． 【答案】 6x =、8y =、10z =【解析】 设345x y z k===，则3x k =，4y k =，5z k =，分别代入24x y z ++=，得34524k k k ++=，解得2k =，将2k =代入3x k =，4y k =，5z k =，得6x =、8y =、10z =。
5.8 三元一次方程组
、会利用三元一次方程组解决实际问题，进一步提高分析问题、解决问题的能力。
、二元一次方程：含有
个未知数的两个所组成的一组
、教材精读
念
式方程；②都含有个未知数；③未知数的项的次数都是
的项的次数都是
方程组中共有
、三元一次方程组的解
概念：三元一次方程组中各个方程的叫做这个三元一次方程组的解。
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解方程组：
②
，
个方程组得
⑵解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值
⑶把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单
⑷解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值
实践练习：解方程组
本节课主要学习了三元一次方程组的概念和解方程组。
业。
