数学模型吕跃进数学建模A试卷及参考答案

数学建模期末考试2018A试的题⽬与答案华南农业⼤学期末考试试卷（A 卷）2012—2０１3学年第⼆学期考试科⽬：数学建模考试类型:(闭卷）考试考试时间: 12０分钟学号姓名年级专业⼀、(满分１2分）⼀⼈摆渡希望⽤⼀条船将⼀只狼、⼀只⽺、⼀篮⽩菜从河岸⼀边带到河岸对⾯、由于船得限制、⼀次只能带⼀样东西过河、绝不能在⽆⼈瞧守得情况下将狼与⽺放在⼀起；⽺与⽩菜放在⼀起、怎样才能将它们安全得带到河对岸去? 建⽴多步决策模型，将⼈、狼、⽺、⽩菜分别记为i = 1、２、3、４、当i 在此岸时记ｘｉ＝１、否则为0；此岸得状态下⽤s =（x 1、ｘ2、x 3、x 4)表⽰。

该问题中决策为乘船⽅案、记为d= （ｕ1， u ２， u 3, u ４)、当i 在船上时记u i = 1、否则记u i ＝ 0。

(１）写出该问题得所有允许状态集合；（3分）（２) 写出该问题得所有允许决策集合；（３分)(３) 写出该问题得状态转移率。

（3分)(4）利⽤图解法给出渡河⽅案、 (3分）解：（１） S={（1,1,1，1）， (1，1，1，0）， (1，1，0，1）, (1，0，１，1）,（1,0，1，０）｝及她们得5个反状（3分）(２） D ＝ {(１，1，０，０），（1,0，1，０), （1，0，０,１），（１,0,０,0）｝（6分)（3） s k+1 = s k + （—1） k d ｋ (９分)(4）⽅法:⼈先带⽺、然后回来、带狼过河、然后把⽺带回来、放下⽺、带⽩菜过去、然后再回来把⽺带过去.或: ⼈先带⽺过河、然后⾃⼰回来、带⽩菜过去、放下⽩菜、带着⽺回来、然后放下⽺、把狼带过去、最后再回转来、带⽺过去。

（１２分)1、⼆、(满分12分) 在举重⽐赛中、运动员在⾼度与体重⽅⾯差别很⼤、请就下⾯两种假设、建⽴⼀个举重能⼒与体重之间关系得模型:（1）假设肌⾁得强度与其横截⾯得⾯积成⽐例。

6分（2）假定体重中有⼀部分就是与成年⼈得尺⼨⽆关、请给出⼀个改进模型。

《数学建模建立函数模型解决实际问题》试卷(答案在后面)一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、某公司每小时生产零件的数量与时间的关系可以用下面哪个函数模型来表示？每天工作8小时，且生产数量随着工龄增加而增加。

A、f(t) = 100 + 2tB、f(t) = 100 + 2t^2C、f(t) = 100 + 2t^3D、f(t) = 100 + 2e^t2、一个城市为了改善交通状况，计划拓宽一条现有道路。

现有道路的宽度为10米，经过调查发现，道路的宽度每增加1米，道路的日均车流量会减少100辆。

设道路宽度从10米增加到x米，日均车流量减少的辆数为(100(x−10))。

根据上述情况，下列哪个函数模型描述了道路宽度与日均车流量之间的关系？A.(y=1000x)B.(y=1000(10−x))C.(y=1000(x+10))D.(y=1000(10−x))3、已知某工厂生产某种产品，每增加一个工人的工作效率，每天能多生产50个产品。

现有10名工人，每天能生产1000个产品。

设工人人数为x，每天生产的产品数量为y，根据题意可建立函数模型为（）A. y = 50x + 1000B. y = 50x + 100C. y = 50x + 50D. y = 50x - 10004、某次数学建模活动中，参与者需要根据给定的数据建立一个线性函数模型来描述某种商品的销售量与价格之间的关系。

已知当价格为10元时，销售量为200件；当价格为15元时，销售量为150件。

若设销售量为y，价格为x，则建立的线性函数模型为（）。

x)A、(y=200−53x)B、(y=−200+53C、(y=−200+5x)D、(y=−200+10x)5、在研究某种商品的需求关系时，研究人员得到一组数据如下：商品价格（元）为10, 15, 20, 25, 30，商品销售量（件）为500, 450, 400, 350, 300。

为了建立商品价格与销售量之间的关系，最适合采用的数学模型是：A. 二次函数模型B. 线性函数模型C. 几何模型D. 对数函数模型6、在解决实际问题时，以下哪个函数模型最适合描述某城市人口随时间的变化？A、一次函数模型C、对数函数模型D、幂函数模型7、若一家工厂每天生产x件产品，每件产品的成本为c元，售价为p元，每天的固定成本为f元，则该工厂的日利润y与x的关系式为：A)y = x(p - c) - fB)y = x(c - p) - fC)y = x(c - p) + fD)y = x(p - c) + f8、已知某工厂生产一批产品，根据实验数据得出每增加一个工时，产品的合格率增加2%，生产x个工时后，产品的合格率为y%，那么函数模型可以表示为：A、y = 2x + 1B、y = 2x² + 1C、y = x + 2D、y = 2x² + 2(x + 1)二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）1、以下哪些函数模型可以用来描述现实生活中的实际问题？A. 线性函数模型B. 二次函数模型C. 指数函数模型D. 对数函数模型2、一个直角三角形的两直角边长分别为a和b，斜边长为c。

2023年9月数学建模比赛a题近年来，数学建模比赛已成为了国内外各高校学生积极参与的一项重要学术赛事。

2023年9月数学建模比赛a题将成为本次比赛中备受关注的一个部分。

在本文中，我将结合自身的观点和理解，为你深度剖析这个主题，以期帮助你更好地理解和准备这一部分的比赛。

1. 问题背景和意义2023年9月数学建模比赛a题是一道全新设计的数学建模题目，旨在考察参赛者对于数学建模方法的掌握程度，以及对于实际问题的分析和解决能力。

这一题目不仅考察了数学知识的广度和深度，更重要的是要求参赛者能够在有限的时间内，对给定的实际问题进行深入的分析，并提出创新性的解决方案。

解答这道题目对于参赛者来说具有极其重要的意义。

2. 题目内容和要求2023年9月数学建模比赛a题将会给出一个实际的问题场景，并要求参赛者利用所学的数学知识，结合实际情况，对问题进行建模和求解。

这种题型不仅考察了数学建模的理论基础，更加强了数学在实际问题中的应用能力。

参赛者需要综合运用概率统计、微积分、线性代数等多个数学学科的知识，对问题进行全面分析，并给出合理的解决方案。

3. 解题思路和方法解答2023年9月数学建模比赛a题需要参赛者在面对问题时，能够拥有清晰的思路和创新的方法。

参赛者需要对题目中的实际问题有一个清晰的认识和理解，明确问题的需求和限制条件。

需要在数学建模的过程中，能够充分发挥数学知识的作用，构建合适的数学模型，并进行建模求解。

需要对模型的有效性和稳健性进行验证，推演出结论并进行合理的解释。

4. 个人观点和总结对于2023年9月数学建模比赛a题，我认为参赛者在备赛过程中需要注重对数学知识的广度和深度的掌握，并能够将理论知识有效地应用到实际问题中去。

需要培养创新思维和解决问题的能力，灵活运用数学方法，并勇于挑战未知领域。

通过不断的练习和思考，相信参赛者们一定能够在2023年9月数学建模比赛a题中有所斩获。

2023年9月数学建模比赛a题将会成为参赛者们在数学建模领域中的一次重要挑战。

承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：河北金融学院参赛队员(打印并签名) ：1. 闫亮2. 李伟英3. 闫亚楠指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：指导教师组（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。

以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。

如填写错误，论文可能被取消评奖资格。

）日期： 2013 年 9 月 15 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：车道被占用对城市道路通行能力的影响关键词：道路通行能力；相关分析；多元线性回归模型；spss；excel摘要：车道被占用的情况种类复杂，会导致车道或道路横断面通行能力在单位时间降低，正确估算车道被占用对城市道路通行的影响具有十分重要的现实意义。

中国大学生数学建模竞赛：全国大学生数学建模竞赛创办于1992年，每年一届，已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛。

2018年，来自全国34个省/市/区(包括香港、澳门和台湾)及美国和新加坡的1449所院校/校区、42128个队（本科38573队、专科3555队）、超过12万名大学生报名参加本项竞赛。

赛事设置：竞赛宗旨创新意识团队精神重在参与公平竞争。

指导原则指导原则：扩大受益面，保证公平性，推动教学改革，提高竞赛质量，扩大国际交流，促进科学研究。

规模与数据全国大学生数学建模竞赛是全国高校规模最大的课外科技活动之一。

该竞赛每年9月（一般在上旬某个周末的星期五至下周星期一共3天，72小时）举行，竞赛面向全国大专院校的学生，不分专业（但竞赛分本科、专科两组，本科组竞赛所有大学生均可参加，专科组竞赛只有专科生（包括高职、高专生）可以参加）。

同学可以向该校教务部门咨询，如有必要也可直接与全国竞赛组委会或各省（市、自治区）赛区组委会联系。

全国大学生数学建模竞赛创办于1992年，每年一届，成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛。

2014年，来自全国33个省/市/自治区(包括香港和澳门特区)及新加坡、美国的1338所院校、25347个队（其中本科组22233队、专科组3114队）、7万多名大学生报名参加本项竞赛。

比赛时间2017年比赛时间是9月14号20:00到9月17号24:00，总共76小时，采取通讯方式比赛，比赛地点在各个高校。

比赛时间全国统一的，不可以与老师交流，可以在互联网查阅资料。

同学们在比赛期间应该注意安排时间，以免出现时间不够用的情况。

组委名单注：第五届专家组任期两年（2010-2011）。

2011年底任期届满后，组委会对专家组进行了调整，并决定此后不再对外公布专家组成员名单。

第五届组委会成员名单（2010-2013）及下属专家组成员名单第四届组委会成员名单及下属专家组成员名单第一、二、三届组委第一、二、三届组委会成员名单及下属专家组成员名单引各赛区组委会各赛区联系方式列表引[注1] 各赛区联系人请注意：若本赛区联系e-mail地址发生变化，请通知全国组委会进行修改。

模型一：软着陆轨道运动学与力学模型问题分析由于月球没有大气,探测器着陆时无法利用大气制动,只能利用制动发动机来减制了探测器所能携带有效载荷的质量。

探测器在月面着陆可以分为硬着陆和软着陆。

硬着陆对月速度不受限制,探测器撞上月球后设备将损坏,只能在接近月球的过程中传回月面信息;软着陆对月速度比较小,探测器着陆后可继续在月面进行考察,因此相比于硬着陆,软着陆更具有实用意义模型的建立与求解：1、建立坐标系：建立坐标系如图所示, 月心惯性坐标系m O XYZ :原点位于月球中心, m O Z 轴指向动力下降起始点, m O X 轴位于环月 轨道平面内且指向前进方向, m O Y 轴按右手定则确定, 着陆器在m O XYZ 系下的位置用极坐标(,,)r a 来表示, r 为月心到着陆器的距离矢量( r 表示大小) , A 和B 分别表示经度和纬度。

轨道坐标系Oxyz 原点位于着陆器的质心, Oz 轴为月心指向着陆器质心的方向, Ox 轴位于当地水平面内指向着陆器运动方向, Oy 轴按照右手定则确定。

制动推力F 的方向与着陆器本体轴重合, 推力方位角W 和推力仰角H 描述了制动推力F 与轨道坐标系之间的位置关系, 推力方位角W 绕正Oz 轴逆时针旋转为正, 推力仰角H 绕正Oy 轴顺时针旋转为正。

2、确定卫星在椭圆轨迹方程式：嫦娥三号在轨道上高速飞行时，设嫦娥三号卫星的质量为m ，卫星在轨道上任意点速度为v ，设月球的质量为M ;卫星与月亮之距为r ；卫星—月球系统的总能量为E ；由能量守恒定律可得：212GMm mv E r -=得：v =对于月球—卫星系统，当行星在椭圆轨迹上运动时,在卫星轨迹上有存在一点p ，月球中心和p 点的矢径为p r 该点的卫星速度为p v ，p r 与p v 之间的夹角为p β。

如果月球中心与卫星运动方向之间的垂直距离为b 。

sin p p b r β=；这个b 是卫星轨道为椭圆的短半轴；根据角动量守恒定律：sin sin p p p mvr mv r ββ=因为 sin p p b r β= 所以 sin p vr v b β= 即：sin p v b vr β=结合上述式子可以推出：sin β= （1） 式（1）为卫星椭圆轨道表达式;3、确定近月点的速度：开普勒第二定律：根据开普勒第二定律知：行星和太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积；设近月点A 与远月点B 距离月球的距离为,A B L a c L a c =-=+，在近月点与远月点两点分别取极短的相等的时间，故有A B S S ∆=∆ 代入得：B B a c v v a c-=+ 卫星运动的总机械能等于其动能和引力势能之和，故当卫星分别经过A 、B 时的机械能为：222211()2211()22A A A A B B B B GMm GMm E mv mv L a cGMm GMm E mv mv L a c =+=--=+=--由于卫星在椭圆轨道上只受万有引力作用，所以遵循机械能守恒：A B E E =最后由椭圆方程可以求出：A B b v a c v =-=由于B v 大小为在100km 轨道上的速度，可以根据万有引力求出，即,A B v v 可以求出，其中1.73/A v km s =;它的方向为轨迹的切线方向；4、制动过程的力学与运动学分析：忽略其他星球对卫星的引力影响，则可以把嫦娥卫星的制动过程看成是一个类平抛运动；其中v 为平抛的初速度；设',F F 为万有引力和卫星的推力，S 为主减速区的竖直高度 由物理关系可以得出下列等式：'2'1()2()B BA mv F F s F F t mv l v t →→→→=++== （图）解得：728.4l km =再根据数学几何关系可以求出近月点与处在主减速区的着陆点的直线距离为746.46L km =设近着陆点与月点的坐标分别为'''(,,),(,,)x y z x y z 则可以列出下列等式L = （2）5、坐标系的转换设纬度α，经度β，海拔为h （米）月球上任意一点(,,)h αβ表示三维体系中的点(,,)x y z ，则：东经：(1737.01/1000)(cos )(sin )x h αβ≈+西经：(1737.01/1000)(cos )(sin(180))x h αβ≈++(1737.01/1000)(cos )(sin())y h αβ≈+北纬：(1737.01/1000)sin z h α≈+ 南纬：(1737.01/1000)sin(90)z h α≈++ 海拔计算时单位是米，,,x y z 单位是千米则着陆点(,,)x y z 为（(1138.08,1173.58,579.23)）近月点'''(,,)x y z 为(1752.013cos()sin(180),1752.013cos sin ,1752.013sin )αβαβα+ 综上所述，联立上述的式（1）和式（2），并且将所有已知的条件带入公式中，得到近月点的位置坐标为：'''1387.28470.281752.01x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以容易求出远日点的位置坐标为： ''''''1452.49492.391834.37x y z ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩；。

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）A题城市表层土壤重金属污染分析随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。

对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。

按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。

现对某城市城区土壤地质环境进行调查。

为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。

应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。

另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。

附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。

现要求你们通过数学建模来完成以下任务：(1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。

(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。

(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。

(4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？题 目 A 题 城市表层土壤重金属污染分析摘 要：本文研究的是某城区警车配置及巡逻方案的制定问题，建立了求解警车巡逻方案的模型，并在满足D1的条件下给出了巡逻效果最好的方案。

在设计整个区域配置最少巡逻车辆时，本文设计了算法1：先将道路离散化成近似均匀分布的节点，相邻两个节点之间的距离约等于一分钟巡逻路程。

储油罐的变位识别与罐容表标定摘要加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，需要采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

但是许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化，从而导致罐容表发生改变。

需要定期对罐容表进行重新标定。

在求解过程中，我们对于罐体无变位、罐体产生纵向变位、罐体在水平和纵向都产生变位三种情况，利用解析几何的方式计算出体积与变位参数之间的关系，同时应用契比雪夫多项式对体积值进行近似多项式展开用以对标高和出油量的关系进行拟合表示，得到较为满意的效果。

第一问、(1)针对无变位情况，我们计算得到椭圆油罐容积表达式为：abl v b h v b h v b h V ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+---+=arcsin )(122'π椭，利用契比雪夫多项式方法在提高拟合精度的前提下用5阶多项式拟合处标高和容量之间的函数关系；(2)对于纵向变位的情况，当椭圆型罐体发生变位纵向变位角度O =1.4α时,我们利用体积等效思想，讲上述罐内不规则油量容积的计算转为(1)中规则油容进行计算，利用附件(1)中数据利用最小二乘拟合方法算出油位高度的真实值，继而利用拟合多项式：408.5976-H 395.774852.5322H-13.2498H 1.1361H- 0.0320H 2345++=椭变V进行间隔为1cm 的此罐容表进行标定，得出的表标定值如下：第二问、(1)利用第一问中等体积的思想，我们同样可以对纵向倾斜角度α和横向倾斜角度β时进行数学模型的建立。

(2)在模型的建立过程中得到一个关于浮游子高度H 和偏转角α、β以及等效高度h 之间的一个表达式，从而利用最小二乘拟合确定变位参数α、β。

(3)利用已给数据求得表达式：ααηtan 2tan 10++-=+h R z ，继而再次利用拟合拟合多项式得出间隔为10cm 值：利用附表（2）中的数据进而进行模型正确性与可靠性的检验。

标准答案——A 卷一、解：标准化及加入人工变量后形式如下532132m ax Mx x x x s -++=⎪⎩⎪⎨⎧≥=++=+-++0,,,,,152210.65432162154321x x x x x x x x x x x x x x t s 用单纯形表求解如下014>=σ且0)0,1(4≤-=P 所以原线性规划问题解无界。

二、解：3位工人，4项任务，人数少于任务数，虚拟一个人，其费用ij C =0，得效率矩阵如下：0013161491514410413152=ij Cij C 经行列变换，0]0[0047501110]0[621113]0[1=ij C未找到位不同行不同列的4个零元素，对效率矩阵进行调整，调整量得Q=2，调整后如下0]0[22255]0[98]0[6]0[91302=ij C已经找到满足条件的位于不同行不同列的4个零元素，得分配矩阵如下：010*********10002=ij C甲→A;乙→B;丙→C;丁→D 。

由此可知，C 由虚拟人完成，重新分配C ，此时转化为人数，对任务数进行二次分配。

构建效率矩阵如下：001600140013=ij C经过指派后，C 由甲完成。

由 此可知，最终经过二次指派后，甲完成C 、D 工作，乙完成B ，丙完成A 。

总费用S=13+4+4+9=30三、解：以621,,,V V V ΛΛ6个村庄为顶点，村庄与村庄之间的线路为边，构成含6个顶点的最小树图。

6个顶点须6-1=5条边。

采用避圈法求解，总里程S=4+5+5+6+6=26但路网可以不同。

比如:V 1→V 2，V 1→V 6，V 5→V 6，V 1→V 3，V 3→V 4.或V 1→V 2，V 1→V 6，V 5→V 6，V 3→V 5，V 3→V 4. 或V 1→V 2，V 1→V 6，V 5→V 6，V 6→V 3，V 3→V 4.四、解：先计算72,1,V V V ΛΛ任意两点间的最短路权。

2021数学建模期末试卷A及答案2021《数学建模》期末试卷A考试形式：开卷考试时间：120分钟姓名：学号：成绩： ___ 1．（10分）叙述数学建模的基本步骤，并简要说明每一步的基本要求。

2．（10分）试建立不允许缺货的生产销售存贮模型。

设生产速率为常数k，销售速率为常数r，r?k。

在每个生产周期T内，开始一段时间（0边生产边销售，后一段时间（T0?t?T?t?T0））只销售不生产，存贮量q(t)的变化如图所示。

设每次生产开工费为c1，每件产品单位时间的存贮费为c2，以总费用最小为准则确定最优周期T，并讨论r??k和r?k的情况。

3．（10分）设x(t)表示时刻t的人口，试解释阻滞增长（Logistic）模型x?dx?r(1?)x?xm?dt?x(0)?x0?中涉及的所有变量、参数，并用尽可能简洁的语言表述清楚该模型的建模思想。

4．（25分）已知8个城市v0，v1，…,v7之间有一个公路网（如图所示），每条公路为图中的边，边上的权数表示通过该公路所需的时间．（1）设你处在城市v0，那么从v0到其他各城市，应选择什么路径使所需的时间最短？（2）求出该图的一棵最小生成树。

5．（15分）求解如下非线性规划:Max z?x1?2x1?x2s.t. 0?x2?x1?2226．（20分）某种合金的主要成分使金属甲与金属乙.经试验与分析, 发现这两种金属成分所占的百分比之和x与合金的膨胀系数y之间有一定的相关关系.先测试了12次, 得数据如下表：表2 xi 37.0 37.5 38.0 38.5 39.0 39.5 40.0 yi xi yi 3.40 3.00 40.5 41.01.70 1.80 3.00 41.5 1.902.27 42.0 2.35 2.10 42.5 2.54 1.83 43.0 2.90 1.53试建立合金的膨胀系数y与两种金属成分所占的百分比之和x的模型。

7．（10分）有12个苹果，其中有一个与其它的11个不同，或者比它们轻，或者比它们重，试用没有砝码的天平称量三次，找出这个苹果，并说明它的轻重情况。