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第四章 图形的相似1．第1课时 线段的比学习目标：1、了解线段的比概念。
2、会求两条线段的比，应用线段的比解决实际问题。
学习重点：理解线段的比的概念及其求解。
学习难点：求线段的比，要注意线段的长度单位一致。
学习过程：一、认识线段的比：线段的比:如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD 的长度分别是m ，n ,那么就说这两条线段的比AB:CD =m:n ,或写成n m CD AB =其中,AB,CD 分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把n m 表示成比值k,那么k CDAB =,或AB=k·CD .两条线段的比实际上就是两个数的比。
想一想：两条线段长度的比与采用的长度单位有没有关系？例如：数学课本长为21cm ，宽为15cm ，则长与宽的比为______________;如果把单位改为mm ，则数学课本长与宽的比为________________;如果把单位改为m ，则数学课本长与宽的比为________________.结论：两条线段长度的比与采用的长度单位_________.【基础练习一】1、 线段a=5cm,b=50cm,则a:b=_____.2、 线段a=3cm,b=12mm,则a:b=_____.3、 已知点P 在线段AB 上，且AP:PB=2:5,则AB:PB=_____,AP:AB=___二、比例线段：（1）什么是比例线段？ 四条线段中，如果其中两条线段的比________另外两条线段的比，则这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
（2）若a 、b 、c 、d 是比例线段，则________【基础练习二】1、下列四组线段中，成比例线段的是（ ）A 3cm,4cm,5cm,6cmB 4cm,8cm,3cm,5cmC 5cm,15cm,2cm,6cmD 8cm,4cm,1cm,3cm2、四条线段a 、b 、c 、d 成比例，其中b=3cm,c=2cm,d=6cm,则线段a 的长度是多少？如果改成四条线段b 、c 、d 、a 成比例，其中b=3cm,c=2cm,d=6cm,则此时线段a 的长度是多少？三、比例的基本性质：（1）如果dc b a =,那么ad =bc （2）如果ad=bc （a,b,c,d 都不等于0），那么d c b a = 【基础练习三】（1）、如果b a 452=， 则ab=____________.（2）、如果3a=7b, 则=ba ____________. （3）、如果2c=15b, 则=cb ____________.（4）、如果a 2=bc, 则=c a ___________. 例题1： 如图，一块矩形绸布的长AB=am,AD=1m ，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的长与宽的比与原绸布的长与宽的比相同，即 ,那么a 的值应当是多少？随堂测试：1、在比例尺是1：6000000的地图上，量得南京到北京的距离是15厘米，南京到北京的实际距离是 千米。
成比例线段同步练习 （典型题汇总）1.知道线段的比的概念，会计算两条线段的比；（重点）2.理解成比例线段的概念；（重点）3.掌握成比例线段的判定方法.（难点）一、情景导入请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？这些例子都是形状相同、大小不同的图形.它们之所以大小不同，是因为它们图上对应的线段的长度不同.二、合作探究探究点一：线段的比 【类型一】 求线段的比已知线段AB ＝2.5m ，线段CD ＝400cm ，求线段AB 与CD 的比.解析：要求AB 和CD 的比，只需要根据线段的比的定义计算即可，但注意要将AB 和CD 的单位统一.解：∵AB ＝2.5m ＝250cm ，∴AB CD ＝250400＝58. 方法总结：求线段的比时，首先要检查单位是否一致，不一致的应先统一单位，再求比.【类型二】 比例尺在比例尺为1：50 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3cm ，则甲、乙两地的实际距离是 m.解析：根据“比例尺＝图上距离实际距离”可求解.设甲、乙两地的实际距离为x cm ，则有1：50 000＝3：x ，解得x ＝150 000. 150 000cm ＝1500m.故答案为1500.方法总结：理解比例尺的意义，注意实际尺寸的单位要进行恰当的转化. 探究点二：成比例线段【类型一】 判断线段成比例下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）A.3cm ，4cm ，5cm ，6cmB.4cm ，8cm ，3cm ，5cmC.5cm ，15cm ，2cm ，6cmD.8cm ，4cm ，1cm ，3cm 解析：将每组数据按从小到大的顺序排列，前两条线段的比和后两条线段的比相等的四条线段成比例.四个选项中，只有C 项排列后有25＝615.故选C.方法总结：判断四条线段是否成比例的方法：（1）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等做出判断；（2）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断.【类型二】 由线段成比例求线段的长已知：四条线段a 、b 、c 、d ，其中a ＝3cm ，b ＝8cm ，c ＝6cm. （1）若a 、b 、c 、d 是成比例线段，求线段d 的长度； （2）若b 、a 、c 、d 是成比例线段，求线段d 的长度.解析：紧扣成比例线段的概念，利用比例式构造方程并求解. 解：（1）由a 、b 、c 、d 是成比例线段，得a b ＝c d ，即38＝6d，解得d ＝16. 故线段d 的长度为16cm ；（2）由b 、a 、c 、d 是成比例线段，得 b a ＝c d ，即83＝6d ，解得d ＝94. 故线段d 的长度为94cm.方法总结：利用比例线段关系求线段长度的方法：根据线段的关系写出比例式，并把它作为相等关系构造关于要求线段的方程，解方程即可求出线段的长.已知三条线段长分别为1cm ，2cm ，2cm ，请你再给出一条线段，使得它的长与前面三条线段的长能够组成一个比例式.解析：因为本题中没有明确告知是求1，2，2的第四比例项，因此所添加的线段长可能是前三个数的第四比例项，也可能不是前三个数的第四比例项，因此应进行分类讨论.解：若x ：1＝2：2，则x ＝22；若1：x ＝2：2，则x ＝2；若1：2＝x ：2，则x ＝2；若1：2＝2：x ，则x ＝2 2.所以所添加的线段的长有三种可能，可以是22cm ，2cm ，或22cm. 方法总结：若使四个数成比例，则应满足其中两个数的比等于另外两个数的比，也可转化为其中两个数的乘积恰好等于另外两个数的乘积.三、板书设计成比例线段⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段AB ，CD 的长度分别是m ，n ，那么 这两条线段的比就是它们长度的比， 即AB ：CD ＝m ：n，或写成AB CD ＝mn成比例线段：四条线段a ，b ，c ，d ，如果a 与b 的比 等于c 与d 的比，即a b ＝cd ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段， 简称比例线段从丰富的实例入手，引导学生进行观察、发现和概括.在自主探究和合作交流过程中，适时引入新知识，并通过引导学生建立新的数学模型，开拓思维，提升学生认知能力.成比例线段同步练习 （典型题汇总）1.理解并掌握比例的基本性质和等比性质；（重点）2.能运用比例的性质进行相关计算，能通过比例变形解决一些实际问题.（难点）一、情景导入配制糖水时，通过确定糖和水的比例来确保配制糖水的浓度.若有含糖a 千克的糖水b 千克，含糖c 千克的糖水d 千克，含糖e 千克的糖水f 千克……它们的浓度相等，把这些糖水混合到一起后，浓度不变.可表示为a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b.这样表示的数学根据是什么？ 二、合作探究探究点一：比例的基本性质已知a ＋3b 2b ＝72，求a b 的值.解：解法1：由比例的基本性质，得2（a ＋3b ）＝7×2b .∴a ＝4b ，∴ab＝4.解法2：由a ＋3b 2b ＝72，得a ＋3bb ＝7，∴a b ＋3b b ＝a b ＋3＝7，∴ab＝4. 方法总结：利用比例的基本性质，把比例式转化成等积式，再用含有其中一个字母的代数式表示另一个字母，然后利用代入法或化成方程求解，这是解决比例问题常见的方法.探究点二：等比性质（1）已知a ：b ：c ＝3：4：5，求2a －3b ＋ca ＋b 的值；（2）已知a b ＝c d ＝ef ＝2，且b ＋d ＋f ≠0，求a －2c ＋3e b －2d ＋3f的值.解析：（1）利用“引入参数法”，把a ，b ，c 用含同一个字母的代数式表示出来，再代入分式求值；（2）应用比例的等比性质，表示出a 与b 、c 与d 、e 与f 三组量之间的倍数关系，再代入原代数式求值.解：（1）设a ：b ：c ＝3：4：5＝k ，则a ＝3k ，b ＝4k ，c ＝5k ，∴2a －3b ＋c a ＋b ＝6k －12k ＋5k3k ＋4k ＝－k 7k ＝－17； （2）∵a b ＝c d ＝e f ＝2，∴a b ＝－2c －2d ＝3e 3f ＝2，∴a －2c ＋3eb －2d ＋3f＝2. 方法总结：解多个比例式连在一起求值型试题的方法：方法一是引入参数，使其他的量都统一用含有一个字母的式子表示，再求分式的值；方法二是运用等比性质，即如果ab ＝c d ＝…＝mn （b ＋d ＋…＋n ≠0），则a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋m ＝a b，转化后求分式的值. 若a ，b ，c 都是不等于零的数，且a ＋b c ＝b ＋ca ＝c ＋ab＝k ，求k 的值. 解：当a ＋b ＋c ≠0时，由a ＋b c ＝b ＋c a ＝c ＋ab ＝k ，得a ＋b ＋b ＋c ＋c ＋aa ＋b ＋c ＝k ，则k ＝2（a ＋b ＋c ）a ＋b ＋c＝2；当a ＋b ＋c ＝0时，则有a ＋b ＝－c . 此时k ＝a ＋b c ＝－cc＝－1.综上所述，k 的值是2或－1.易错提醒：运用等比性质的条件是分母之和不等于0，往往忽视这一隐含条件而出错.本题题目中并没有交代a ＋b ＋c ≠0，所以应分两种情况讨论，容易出现的错误是忽略讨论a ＋b ＋c ＝0这种情况.三、板书设计比例的性质⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧基本性质：⎩⎪⎨⎪⎧如果ab ＝cd ，那么ad ＝bc 如果ad ＝bc （a ，b ，c ，d 都不等于0），那么a b ＝c d 等比性质：如果a b ＝c d ＝…＝mn （b ＋d ＋…＋n ≠0），那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝ab经历比例的性质的探索过程，体会类比的思想，提高学生探究、归纳的能力.通过问题情境的创设和解决过程进一步体会数学与生活的紧密联系，体会数学的思维方式，增强学习数学的兴趣.。
