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用不等式的性质解不等式教案一、教学目标：1. 让学生理解不等式的性质，掌握不等式的基本性质。
2. 培养学生运用不等式的性质解不等式的能力。
3. 提高学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学内容：1. 不等式的性质：（1）不等式的两边加减同一个数或式子，不等号的方向不变。
（2）不等式的两边乘除同一个正数，不等号的方向不变。
（3）不等式的两边乘除同一个负数，不等号的方向改变。
2. 运用不等式的性质解不等式。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：不等式的性质，运用不等式的性质解不等式。
2. 教学难点：不等式的性质在解不等式过程中的运用。
四、教学方法：1. 讲授法：讲解不等式的性质，分析解不等式的步骤。
2. 案例分析法：分析具体的不等式案例，引导学生运用不等式的性质解决问题。
3. 练习法：设计练习题，让学生巩固所学知识。
五、教学过程：1. 导入新课：引导学生回顾已学的不等式知识，为新课的学习做好铺垫。
2. 讲解不等式的性质：通过示例，讲解不等式的性质，让学生理解和掌握。
3. 运用不等式的性质解不等式：分析具体的不等式案例，引导学生运用不等式的性质解决问题。
4. 课堂练习：设计练习题，让学生运用不等式的性质解不等式，巩固所学知识。
5. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，引导学生反思自己在解不等式过程中的不足，提出改进措施。
6. 课后作业：布置课后作业，让学生进一步巩固不等式的性质和解不等式的方法。
六、教学评价：1. 评价目标：检查学生对不等式性质的理解和运用能力。
2. 评价方法：课堂练习：观察学生在练习中的表现，判断其对不等式性质的掌握程度。
课后作业：评估学生的作业完成情况，检验其运用不等式性质解不等式的能力。
小组讨论：通过小组合作解决问题，观察学生的参与度和合作精神。
3. 评价内容：学生是否能准确描述不等式的性质。
学生是否能运用不等式的性质正确解不等式。
学生是否能解释不等式性质在实际问题中的应用。
七、教学反馈：1. 收集学生作业和练习，分析其解题过程中的正确性与错误原因。
2013年高考数学一轮复习精品教学案7.3 不等式的解法【考纲解读】1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系． 3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图． 【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.不等式是历年来高考重点内容之一, 在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，难度中低高都有，在解答题中，经常与数列、三角函数、解析几何等知识相结合，在考查不等式知识的同时，又考查转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查不等式的基本知识或与其他知识相结合，命题形式会更加灵活.【要点梳理】1.一次型不等式通常等价转换为ax>b 的形式 （1）当a>0时，该不等式的解集为|b x x a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭; （2）当a<0时，该不等式的解集为|b x x a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭（3）当a=0时，若b<0，则该不等式的解集为R ；若b ≥0时，则该不等式的解集为空集.2.对于一元二次不等式ax 2+bx+c>0(a>0)或ax 2+bx+c<0(a>0)，.（1）若△>0， x 1,x 2是方程ax 2+bx+c=0的两根，且x 1<x 2则不等式ax 2+bx+c>0(a>0)的解集为{}12|x x x x x <>或；不等式ax 2+bx+c<0(a>0)的解集为{}12|x x x x <<.（2）若△=0，则ax 2+bx+c>0(a>0)的解集为|2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭；ax 2+bx+c<0(a>0)的解集为∅.（3）若△<0，则ax 2+bx+c<0(a>0)的解集为∅；ax 2+bx+c>0(a>0)的解集为R.3.分式不等式的解法先将不等式整理为()0()f x g x >或()0()f xg x ≥的形式,再转化为整式不等式求解,即()0()f x g x >⇔()()0f x g x >;()0()f x g x <⇔()()0f x g x <;()0()f x g x ≥⇔()()0()0f x g x g x ≥⎧⎨≠⎩;()0()f xg x ≤⇔()()0()0f x g x g x ≤⎧⎨≠⎩. 4.绝对值不等式的解法(1)当a>0时,|x|>a ⇔x 2>a 2⇔x a >或x a <-;|x|<a ⇔x 2<a 2⇔a x a -<<(2)|f(x)|>g(x)⇒f(x)>g(x)或f(x)<－g(x); |f(x)|<g(x)⇒- g(x)<f(x)<g(x). (3)去掉绝对值符号是解绝对值不等式的常用方法.(4)根据绝对值的几何意义,通过数形结合解绝对值不等式. 【例题精析】考点一 一元二次不等式解法例1. （2012年高考江苏卷13）已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ．【名师点睛】本小题主要考查二次函数、一元二次不等式和一元二次方程的关系，根与系数的关系.二次函数的图象与二次不等式的解集的对应关系要理清.属于中档题，难度不大.【变式训练】1. (2012年高考天津卷文科5)设x ∈R ，则“x>12”是“2x 2+x-1>0”的( )（A ） 充分而不必要条件 （B ） 必要而不充分条件 （C ） 充分必要条件 （D ） 既不充分也不必要条件 【答案】A考点二 分式不等式与绝对值不等式的解法例2.(2012年高考江西卷文科11) 不等式的解集是___________。
不等式的解法举例教案一、教学目标1. 让学生掌握不等式的基本性质，能够熟练地解一元一次不等式。
2. 培养学生运用不等式的解法解决实际问题的能力。
3. 提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的逻辑思维能力。
二、教学内容1. 不等式的基本性质2. 一元一次不等式的解法3. 不等式应用题的解答三、教学重点与难点1. 教学重点：不等式的基本性质，一元一次不等式的解法。
2. 教学难点：不等式应用题的解答。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解不等式的基本性质和一元一次不等式的解法。
2. 运用案例分析法讲解不等式应用题的解答。
3. 运用讨论法引导学生探讨不等式解法的规律。
五、教学过程1. 导入：通过复习相关知识点，引入不等式的概念和基本性质。
2. 讲解：讲解一元一次不等式的解法，并列举典型例题进行分析。
3. 练习：让学生独立解一些一元一次不等式，并及时给予指导和反馈。
4. 应用：运用不等式的解法解决实际问题，如分配问题、排序问题等。
5. 总结：总结不等式的解法步骤和注意事项，强调解题方法的重要性。
6. 作业布置：布置一些不等式的练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂练习：通过课堂练习，观察学生对不等式解法的掌握程度。
2. 作业批改：对学生的作业进行批改，了解学生对不等式解法的熟练程度。
3. 学生提问：鼓励学生提问，及时解答学生的疑问，帮助学生巩固知识。
七、教学拓展1. 对比等式和解不等式的异同，让学生理解不等式的解法实质。
2. 引导学生探讨不等式的解法规律，提高学生的逻辑思维能力。
3. 引入更复杂的不等式类型，如绝对值不等式、分式不等式等，让学生尝试解决。
八、教学反思1. 反思教学过程，检查教学方法是否适合学生的学习需求。
2. 反思教学内容，确保教学内容完整、系统，便于学生掌握。
3. 反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，提高教学质量。
九、教学评价1. 学生自评：让学生对自己的学习情况进行评价，总结收获和不足。
有关不等式的解法教案设计教案标题：不等式的解法教案设计教案目标：1. 学生能够理解不等式的概念和性质。
2. 学生能够运用不等式的解法方法解决实际问题。
3. 学生能够在解决不等式问题时运用适当的推理和推导方法。
教案步骤：引入（10分钟）：1. 引导学生回顾等式的概念和解法方法，并提问是否了解不等式的概念。
2. 通过举例让学生感知不等式的特点，例如：2 < 3，4 > 1。
3. 引导学生思考不等式与等式的区别，并总结不等式的定义。
讲解不等式的性质（15分钟）：1. 讲解不等式的基本性质，包括加减性、乘除性和倒置性。
2. 通过具体的例子让学生理解和运用不等式的性质，例如：若a > b，则a + c >b + c。
3. 引导学生思考不等式性质的运用条件和限制。
解决不等式的方法（20分钟）：1. 介绍常见的不等式解法方法，包括图像法、试值法和代数法。
2. 通过示例演示不同解法方法的应用，让学生理解各自的优缺点。
3. 引导学生思考何时选择何种解法方法，并培养灵活运用的能力。
练习与应用（25分钟）：1. 分发练习题，包括基础题和应用题，要求学生用不同的解法方法解答。
2. 引导学生在解答过程中思考解法的合理性和有效性。
3. 针对应用题，鼓励学生将数学概念与实际问题相结合，培养解决实际问题的能力。
总结与反思（10分钟）：1. 总结不等式的解法方法和性质，强调解题思路和策略的重要性。
2. 引导学生回顾本节课所学内容，思考不足之处并提出问题。
3. 鼓励学生积极参与讨论，互相学习和提供建议。
教学辅助工具：1. PowerPoint演示文稿。
2. 不等式练习题。
3. 黑板/白板和粉笔/马克笔。
教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与度和问题解决能力。
2. 教师收集学生的练习作业，评估他们对不等式解法的理解和应用能力。
3. 学生之间互相交流和讨论，提供反馈和建议。
备注：教案的具体内容和时间分配可以根据教学实际情况进行调整。
【考纲解读】1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系． 3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.不等式是历年来高考重点内容之一, 在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，难度中低高都有，在解答题中，经常与数列、三角函数、解析几何等知识相结合，在考查不等式知识的同时，又考查转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查不等式的基本知识或与其他知识相结合，命题形式会更加灵活. 【要点梳理】1.一次型不等式通常等价转换为ax>b 的形式 （1）当a>0时，该不等式的解集为|b x x a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭; （2）当a<0时，该不等式的解集为|b x x a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭（3）当a=0时，若b<0，则该不等式的解集为R ；若b ≥0时，则该不等式的解集为空集. 2.对于一元二次不等式ax 2+bx+c>0(a>0)或ax 2+bx+c<0(a>0)，.（1）若△>0， x 1,x 2是方程ax 2+bx+c=0的两根，且x 1<x 2则不等式ax 2+bx+c>0(a>0)的解集为{}12|x x x x x <>或；不等式ax 2+bx+c<0(a>0)的解集为{}12|x x x x <<.（2）若△=0，则ax 2+bx+c>0(a>0)的解集为|2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭；ax 2+bx+c<0(a>0)的解集为∅. （3）若△<0，则ax 2+bx+c<0(a>0)的解集为∅；ax 2+bx+c>0(a>0)的解集为R. 3.分式不等式的解法 先将不等式整理为()0()f x g x >或()0()f xg x ≥的形式,再转化为整式不等式求解,即()0()f x g x >⇔()()0f x g x >;()0()f x g x <⇔()()0f x g x <;()0()f x g x ≥⇔()()0()0f x g x g x ≥⎧⎨≠⎩;()0()f x g x ≤⇔()()0()0f xg x g x ≤⎧⎨≠⎩.4.绝对值不等式的解法(1)当a>0时,|x|>a ⇔x 2>a 2⇔x a >或x a <-;|x|<a ⇔x 2<a 2⇔a x a -<<(2)|f(x)|>g(x)⇒f(x)>g(x)或f(x)<－g(x); |f(x)|<g(x)⇒- g(x)<f(x)<g(x). (3)去掉绝对值符号是解绝对值不等式的常用方法.(4)根据绝对值的几何意义,通过数形结合解绝对值不等式. 【例题精析】考点一 一元二次不等式解法例1. （2012年高考江苏卷13）已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ．【名师点睛】本小题主要考查二次函数、一元二次不等式和一元二次方程的关系，根与系数的关系.二次函数的图象与二次不等式的解集的对应关系要理清.属于中档题，难度不大. 【变式训练】1. (2012年高考天津卷文科5)设x ∈R ，则“x>12”是“2x 2+x-1>0”的( )（A ） 充分而不必要条件 （B ） 必要而不充分条件 （C ） 充分必要条件 （D ） 既不充分也不必要条件【答案】A考点二 分式不等式与绝对值不等式的解法 例2.(2012年高考江西卷文科11) 不等式的解集是___________。
第2讲 一元二次不等式及其解法A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·南通二模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2＋3x ，x <0，则不等式f (x )<f (4)的解集为( )．A ．{x |x ≥4}B ．{x |x <4}C ．{x |－3<x <0}D ．{x |x <－3}解析 f (4)＝42＝2，不等式即为f (x )<2. 当x ≥0时，由x2<2，得0≤x <4；当x <0时，由－x 2＋3x <2，得x <1或x >2，因此x <0. 综上，x <4.故f (x )<f (4)的解集为{x |x <4}． 答案 B2．不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ( )． A ．[－4,4]B ．(－4,4)C ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)D ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)解析 不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16＞0，∴a ＜－4或a ＞4，故选D. 答案 D3．设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则a ∶b ∶c ＝ ( )． A ．1∶2∶3 B ．2∶1∶3 C ．3∶1∶2D ．3∶2∶1解析 ∵－c <ax ＋b <c ，又a >0，∴－b ＋c a <x <c －ba . ∵不等式的解集为{x |－2<x <1}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＋c a ＝－2，c －b a ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a 2，c ＝32a ，∴a ∶b ∶c ＝a ∶a 2∶3a2＝2∶1∶3. 答案 B4．(2013·莆田二模)不等式(x 2－2)log 2x >0的解集是( )．A ．(0,1)∪(2，＋∞)B ．(－2，1)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－2，2)解析 原不等式等价于⎩⎨⎧ x 2－2>0，log 2x >0或⎩⎨⎧x 2－2<0，log 2x <0.∴x >2或0<x <1，即不等式的解集为(0,1)∪(2，＋∞)． 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·烟台模拟)已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为________．解析 由ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12知a <0，且－13，12为方程ax 2＋2x ＋c＝0的两个根，由根与系数的关系得－13＋12＝－2a ，－13×12＝ca ，解得a ＝－12，c ＝2，∴－cx 2＋2x －a >0，即2x 2－2x －12<0，其解集为(－2,3)． 答案 (－2,3)6．在实数集上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析 由题意知(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )＝－x 2＋x ＋a 2－a .故－x 2＋x ＋a 2－a <1对任意x ∈R 都成立．即－x 2＋x <－a 2＋a ＋1对任意x ∈R 都成立．而－x 2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14≤14，只需－a 2＋a ＋1>14即可，即4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32三、解答题(共25分)7．(12分)已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }， (1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解 (1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1. 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a .解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.(2)由(1)知不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0为x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.①当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }；②当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}；③当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅.综上所述：当c >2时，不等式的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，不等式的解集为{x |c <x <2}； 当c ＝2时，不等式的解集为∅.8．(13分)(2013·淮南质检)已知抛物线y ＝(m －1)x 2＋(m －2)x －1(x ∈R )． (1)当m 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点？(2)若关于x 的方程(m －1)x 2＋(m －2)x －1＝0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m 的取值范围． 解 (1)根据题意，m ≠1且Δ>0，即Δ＝(m －2)2－4(m －1)(－1)>0，得m 2>0， 所以m ≠1且m ≠0.(2)在m ≠0且m ≠1的条件下，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m －21－m ，x 1·x 2＝11－m ，因为1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝m －2，所以1x 21＋1x 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 22－2x 1x 2 ＝(m －2)2＋2(m －1)≤2. 得m 2－2m ≤0，所以0≤m ≤2.所以m 的取值范围是{m |0<m <1或1<m ≤2}．B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·长沙模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( )．A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)解析 ∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0， ∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点， 又f (x )在(－2，－1)上有一个零点，则f (－2)f (－1)<0， ∴(6a ＋5)(2a ＋3)<0，∴－32<a <－56，又a ∈Z ， ∴a ＝－1，不等式f (x )>1即为－x 2－x >0， 解得－1<x <0. 答案 C2．(2012·南通期末)若不等式x 2－2ax ＋a >0对x ∈R 恒成立，则关于t 的不等式a 2t ＋1<at 2＋2t －3<1的解集为( )．A ．(1,2)B ．(－2,1)C ．(－2,2)D ．(－3,2)解析 若不等式x 2－2ax ＋a >0对x ∈R 恒成立，则Δ＝4a 2－4a <0，所以0<a <1.又a 2t ＋1<at 2＋2t －3<1，则2t ＋1>t 2＋2t －3>0，即⎩⎨⎧2t ＋1>t 2＋2t －3，t 2＋2t －3>0，所以1<t <2. 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·大同一模)已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋b 2－b ＋1(b ∈R )，若当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是________． 解析 依题意，f (x )的对称轴为x ＝1，且开口向下， ∴当x ∈[－1,1]时，f (x )是增函数．若f (x )>0恒成立，则f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1>0，即b 2－b －2>0，∴(b －2)(b ＋1)>0，∴b >2或b <－1. 答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)4．(2012·浙江)设a ∈R ，若x >0时均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，则a ＝________. 解析 显然a ＝1不能使原不等式对x >0恒成立，故a ≠1且当x 1＝1a －1，a ≠1时原不等式成立．对于x 2－ax －1＝0，设其两根为x 2，x 3，且x 2<x 3，易知x 2<0，x 3>0.当x >0时，原不等式恒成立，故x 1＝1a －1满足方程x 2－ax －1＝0，代入解得a ＝32或a ＝0(舍去)． 答案 32三、解答题(共25分)5．(12分)设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，a ＞0. (1)求f (x )的单调区间；(2)求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立． 注 e 为自然对数的底数．解 (1)因为f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x ＞0， 所以f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－(x －a )(2x ＋a )x.由于a ＞0，所以f (x )的增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)．(2)由题意得，f (1)＝a －1≥e －1，即a ≥e. 由(1)知f (x )在[1，e]内单调递增，要使e －1≤f (x )≤e 2，对x ∈[1，e]恒成立， 只要⎩⎨⎧f (1)＝a －1≥e －1，f (e )＝a 2－e 2＋a e ≤e 2，解得a ＝e. 6．(13分)(2013·金华模拟)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a ，比较f (x )与m 的大小． 解 (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， ∵a >0，且0<x <m <n <1a ，∴x －m <0,1－an ＋ax >0. ∴f (x )－m <0，即f (x )<m .。
不等式的解集教案一、教学目标1.了解不等式的基本概念。
2.学会解一元一次不等式。
3.掌握解不等式的方法。
二、教学重点1.不等式的基本概念。
2.解一元一次不等式。
三、教学难点1.解不等式的方法。
四、教学方法1.教师讲解法。
2.示例分析法。
五、教学过程Step1：导入新课教师通过提问“什么是不等式？”引出本节课的主题，并激发学生的学习兴趣。
Step2：概念讲解1.教师讲解不等式的定义：“不等式是表示两个数大小关系的符号表达式，它以使不等式成立的所有实数作为解。
”2.教师解释不等式的符号表示：“不等于”用“≠”表示；“小于”用“<”表示；“大于”用“>”表示；“小于等于”用“≤”表示；“大于等于”用“≥”表示。
Step3：解一元一次不等式1.教师通过示例分析法，解释如何解一元一次不等式。
2.教师讲解解一元一次不等式的方法：- 消去分数、化简不等式；- 保持不等式不变，对不等式两边同时加或减一个相同的数；- 保持不等式不变，对不等式两边同时乘或除一个相同的正数；- 对不等式两边同时乘或除一个相同的负数，需改变不等号方向。
3.教师通过示例演算法，详细讲解如何解一元一次不等式。
Step4：课堂练习1.教师布置不等式的解集练习题，要求学生用解不等式的方法解题。
2.学生独立完成课堂练习。
3.教师巡视并指导学生完成题目。
Step5：总结归纳教师与学生一起总结不等式的解集方法，并对方法进行复习。
六、教学总结通过本节课的学习，学生掌握了不等式的基本概念和解不等式的方法，提高了解决实际问题的能力。
在下节课中，将进一步深入学习不等式的性质和解法。
§7.2线性规划考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度2013 2014 2015 2016 2017线性规划求目标函数最优解 A9题5分填空题★★☆分析解读考查线性规划的试题难度一般中等偏下,复习时试题难度不要拔高.五年高考考点线性规划1.(2017课标全国Ⅰ文改编,7,5分)设x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为.答案 32.(2017课标全国Ⅲ文改编,5,5分)设x,y满足约束条件则z=x-y的取值X围是.答案[-3,2]3.(2016某某改编,4,5分)若变量x,y满足则x2+y2的最大值是.答案104.(2016课标全国Ⅱ,14,5分)若x,y满足约束条件则z=x-2y的最小值为.答案-55.(2016某某理改编,2,5分)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x+5y的最小值为.答案 66.(2016课标全国Ⅰ,16,5分)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.答案216 0007.(2016某某理改编,3,5分)在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影.由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=.答案38.(2016改编,7,5分)已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x-y的最大值为.答案79.(2016课标全国Ⅲ,13,5分)设x,y满足约束条件则z=2x+3y-5的最小值为.答案-1010.(2015某某改编,6,5分)已知x,y满足约束条件若z=ax+y的最大值为4,则a=.答案 211.(2015课标Ⅰ,15,5分)若x,y满足约束条件则的最大值为.答案 312.(2015改编,2,5分)若x,y满足则z=x+2y的最大值为.答案 213.(2015某某改编,2,5分)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+6y的最大值为.答案1814.(2015某某改编,4,5分)若变量x,y满足约束条件则z=3x-y的最小值为.答案-715.(2015某某,14,4分)若实数x,y满足x2+y2≤1,则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是.答案 316.(2014某某改编,3,5分)若变量x,y满足约束条件,且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m-n=.答案 617.(2014某某改编,5,5分)x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解,则实数a的值为.答案2或-118.(2014某某,13,5分)当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值X围是.答案19.(2014某某,14,5分)若变量x,y满足约束条件且z=2x+y的最小值为-6,则k=.答案-220.(2014课标Ⅰ改编,9,5分)不等式组的解集记为D.有下面四个命题:p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2,p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2,p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3,p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-1.其中的真命题是.答案p1,p221.(2013某某,9,5分)抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界).若点P(x,y)是区域D内的任意一点,则x+2y的取值X围是.答案教师用书专用(22—27)22.(2013某某理,13,5分)若点(x,y)位于曲线y=|x-1|与y=2所围成的封闭区域,则2x-y的最小值为.答案-423.(2013某某理,13,5分)给定区域D:令点集T={(x0,y0)∈D|x0,y0∈Z,(x0,y0)是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点},则T中的点共确定条不同的直线.答案 624.(2013某某理改编,9,5分)在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满足||=||=·=2,则点集{P|=λ+μ,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区域的面积是.答案425.(2013某某理,13,4分)设z=kx+y,其中实数x,y满足若z的最大值为12,则实数k=.答案 226.(2013课标全国Ⅱ理改编,9,5分)已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a=.答案27.(2016某某,16,13分)某化肥厂生产甲、乙两种混某某料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:原料A B C肥料甲 4 8 3乙 5 5 10现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.解析(1)由已知,x,y满足的数学关系式为该二元一次不等式组所表示的平面区域如图1所示:图1(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.考虑z=2x+3y,将它变形为y=-x+,这是斜率为-,随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距,当取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.图2解方程组得点M的坐标为(20,24).所以z max=2×20+3×24=112.答:生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点线性规划1.(2018某某姜堰中学高三期中)已知x,y满足不等式组则(x+1)2+y2的最大值为.答案2.(2018某某某某高三期中检测)若变量x,y满足且x+2y≥a恒成立,则a的最大值为.答案-43.(2018某某如东高级中学高三学情检测)函数y=log2x的图象上存在点(x,y),满足约束条件则实数m的最大值为.答案 14.(2017某某某某师X大学附中期中,7)若实数x,y满足条件则z=3x-4y的最大值是.答案-15.(2017某某某某、某某一模,6)已知实数x,y满足则的最小值是.答案6.(2017某某某某期末,7)设不等式组表示的平面区域为M,若直线y=kx-2上存在M内的点,则实数k的取值X围是.答案[2,5]7.(2016某某清江中学周练,8)若不等式组表示的平面区域的面积为12,则实数a的值为.答案8B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:15分时间:10分钟)填空题(每小题5分,共15分)1.(2017某某某某暑期调研,13)已知点P是△ABC内一点(不包括边界),且=m+n,m,n∈R,则(m-2)2+(n-2)2的取值X围是.答案2.(2017某某某某中学模拟,13)已知实数x,y满足若不等式a(x2+y2)≥(x+y)2恒成立,则实数a 的最小值是.答案3.(2017某某中学高三月考,9)已知点P(x,y)满足则点Q(x+y,y)构成的图形的面积为.答案 2C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 二元一次不等式(组)表示的平面区域的判断方法及平面区域应用1.若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分,则k的值是.答案方法2 简单规划问题的求解方法及实际应用2.变量x,y满足(1)设z=,求z的最小值;(2)设z=x2+y2,求z的取值X围.解析由约束条件作出(x,y)的可行域如图所示.由解得A.由解得C(1,1).由解得B(5,2).(1)∵z==,∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率.观察图形可知z min=k OB=.(2)z=x2+y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离d的平方,结合图形可知,d min=|OC|=,d max=|OB|=. ∴2≤z≤29.。
第2讲 不等式的解法考纲展示 命题探究考点 不等式的解法1 不等式ax >b若a >0，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x >b a ；若a <0，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <b a ；若a ＝0，当b ≥0时，解集为∅，当b <0时，解集为R .2 一元二次不等式“三个二次”分三种情况讨论，对应的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0与ax 2＋bx ＋c <0的解集，可归纳为：3 高次不等式的解法如果一元n 次不等式a 0x n ＋a 1x n －1＋…＋a n >0(a 0≠0，n ∈N *，n ≥3)可以转化为a 0(x －x 1)(x －x 2)…(x －x n )>0(其中x 1<x 2<…<x n )的形式，那么求解时，一般先在数轴上标区间(－∞，x 1)、(x 1，x 2)、…、(x n ，＋∞)，a 0>0时，由于f (x )＝a 0(x －x 1)(x －x 2)…(x －x n )的值的符号在上述区间自右至左依次为＋、－、＋、－、…，所以正值区间为f (x )>0的解集．4 分式不等式的解法(1)f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0)； (2)f (x )g (x )≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≥0(≤0)，g (x )≠0. 5 绝对值不等式的解法 (1)|f (x )|>|g (x )|⇔[f (x )]2>[g (x )]2； (2)|f (x )|>g (x )⇔f (x )>g (x )或f (x )<－g (x )； (3)|f (x )|<g (x )⇔－g (x )<f (x )<g (x )；(4)含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用零点分区间的方法脱去绝对值符号求解，也可以用图象法去求解．注意点 求解不等式时需注意的问题(1)求解分式不等式，关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解．解题时要注意含有等号的分式不等式在变形为整式不等式后，及时去掉分母等于0的情形．(2)在解决不等式ax 2＋bx ＋c >0(或≥0)对于一切x ∈R 恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a 进行讨论，并研究当a ＝0时是否满足题意.1．思维辨析(1)若ax ＋b >0，则x >－ba .( )(2)不等式－x 2－5x ＋6<0的解集为{x |x <－6或x >1}．( ) (3)3x ＋2x ＋2≤0的解集是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，－23.( )(4)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( )(5)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( )(6)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× (6)×2．x 2－ax ＋b >0的解集为{x |x <2或x >3}，则a ＋b 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．11 D ．12答案 C解析 由题意可知x 2－ax ＋b ＝0的两根为2,3，故a ＝2＋3＝5，b ＝2×3＝6，故a ＋b ＝11.3．函数y ＝x－x 2－3x ＋4的定义域为( ) A ．(－∞，－4)∪(1，＋∞) B ．(－4,1) C ．(－4,0)∪(0,1) D ．(－1,4) 答案 B解析 依题意得－x 2－3x ＋4>0，即x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1，故函数的定义域为(－4,1)．[考法综述] 不等式的解法是高考的一个基本考点，一般涉及一元二次不等式、高次不等式、分式不等式、指数与对数不等式等，主要依据不等式的性质进行求解．一般难度不大，容易得分．命题法 一元二次不等式的解法典例 解关于x 的不等式kx 2－2x ＋k <0(k ∈R )． [解] (1)当k ＝0时，不等式的解为x >0.(2)当k >0时，若Δ＝4－4k 2>0，即0<k <1时，不等式的解为1－1－k 2k <x <1＋1－k 2k； 若Δ≤0，即k ≥1时，不等式无解．(3)当k <0时，若Δ＝4－4k 2>0，即－1<k <0时， x <1＋1－k 2k 或x >1－1－k 2k； 若Δ<0，即k <－1时，不等式的解集为R ； 若Δ＝0，即k ＝－1时，不等式的解为x ≠－1. 综上所述，k ≥1时，不等式的解集为∅； 0<k <1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1－1－k 2k <x <1＋1－k 2k ； k ＝0时，不等式的解集为{x |x >0}； 当－1<k <0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1＋1－k 2k 或x >1－1－k 2k ； k ＝－1时，不等式的解集为{x |x ≠－1}； k <－1时，不等式的解集为R . 【解题法】 一元二次不等式的解法(1)解一元二次不等式的一般步骤①对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，ax 2＋bx ＋c <0(a >0)．②计算相应的判别式．③当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．④根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．(2)解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类．1．设集合M ＝{x |x 2＋3x ＋2<0}，集合N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤4，则M ∪N ＝( )A ．{x |x ≥－2}B ．{x |x >－1}C ．{x |x <－1}D ．{x |x ≤－2}答案 A解析 因为M ＝{x |x 2＋3x ＋2<0}＝{x |－2<x <－1}，N ＝[－2，＋∞)，所以M ∪N ＝[－2，＋∞)，故选A.2.当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3] B. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98 C ．[－6，－2] D ．[－4，－3] 答案 C解析 ∵当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，即当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3≥x 2－4x －3(*)恒成立．(1)当x ＝0时，a ∈R .(2)当0<x ≤1时，由(*)得a ≥x 2－4x －3x 3＝1x －4x 2－3x 3恒成立． 设f (x )＝1x －4x 2－3x 3，则f ′(x )＝－1x 2＋8x 3＋9x 4＝－x 2＋8x ＋9x 4＝－(x －9)(x ＋1)x 4.当0<x ≤1时，x －9<0，x ＋1>0，∴f ′(x )>0， ∴f (x )在(0,1]上单调递增．当0<x ≤1时，可知a ≥f (x )max ＝f (1)＝－6. (3)当－2≤x <0时，由(*)得a ≤1x －4x 2－3x 3. 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝9(舍)．∴当－2≤x <－1时，f ′(x )<0，当－1<x <0时，f ′(x )>0， ∴f (x )在[－2，－1)上递减，在(－1,0)上递增． ∴x ∈[－2,0)时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－4＋3＝－2. ∴可知a ≤f (x )min ＝－2.综上所述，当x ∈[－2,1]时，实数a 的取值范围为－6≤a ≤－2.故选C.3．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <12或x >3，则f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是( ) A ．{x |x <－ln 2或x >ln 3} B ．{x |ln 2<x <ln 3} C ．{x |x <ln 3} D ．{x |－ln 2<x <ln 3} 答案 D解析 解法一：依题意可得f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －3)(a <0)，则f (e x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)(a <0)，由f (e x)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)>0可得12<e x <3，解得－ln 2<x <ln 3，选D.解法二：由题知，f (x )>0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12<x <3，令12<e x<3，得－ln 2<x <ln 3，故选D.4．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0解析 要满足f (x )＝x 2＋mx －1<0对于任意x ∈[m ，m ＋1]恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )<0，f (m ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0.对应学生用书《学霸团错题警示录》P029不等式x 2＋7>ax －a对一切3≤x ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．[错解][错因分析] 条件并没有进行等价转化，f (x )>0可能在除3、4的其他范围(3,4)不成立．[正解] 由题意知a <x 2＋7x －1对3≤x ≤4恒成立．令g (x )＝x 2＋7x －1，x ∈[3,4]，则a <g (x )min且g (x )＝x 2＋7x －1＝x －1＋8x －1＋2≥42＋2.当且仅当x －1＝8x －1即x ＝22＋1时取等号．∴a <42＋2，即a 的取值范围是(－∞，42＋2)． [答案] (－∞，42＋2) [心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：45分钟基础组1.[2016·衡水二中预测]不等式x －2x 2－1<0的解集为( )A ．{x |1<x <2}B ．{x |x <2且x ≠1}C ．{x |－1<x <2且x ≠1}D ．{x |x <－1或1<x <2}答案 D解析 x －2x 2－1<0⇔(x －1)(x ＋1)(x －2)<0⇔x <－1或1<x <2，故选D.2．[2016·枣强中学月考]已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集是B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3答案 A解析 由题意，A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}，则不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |－1<x <2}．由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3，故选A.3. [2016·衡水二中猜题]若不等式(a －a 2)(x 2＋1)＋x ≤0对一切x ∈(0,2]恒成立，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1－32 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32 答案 C解析 ∵x ∈(0,2]，∴a 2－a ≥x x 2＋1＝1x ＋1x .要使a 2－a ≥1x ＋1x在x∈(0,2]时恒成立，则a 2－a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1x max ，由基本不等式得x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时，等号成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1x max ＝12.故a 2－a ≥12，解得a ≤1－32或a ≥1＋32，故选C.4．[2016·衡水二中一轮检测]不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－12，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[)1，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) 答案 A解析 不等式x －12x ＋1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(2x ＋1)≤0，2x ＋1≠0⇔－12<x ≤1， ∴不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1.故选A.5．[2016·冀州中学热身]不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5] 答案 A解析 x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.6．[2016·枣强中学周测]若函数f (x )＝x 2＋ax －3a －9对任意x ∈R 恒有f (x )≥0，则f (1)等于( )A ．6B ．5C ．4D ．3 答案 C解析 由题意可得，Δ＝a 2－4(－3a －9)≤0， 即(a ＋6)2≤0，又(a ＋6)2≥0，∴a ＋6＝0， ∴a ＝－6， ∴f (x )＝x 2－6x ＋9， ∴f (1)＝1－6＋9＝4.故选C.7．[2016·冀州中学预测]不等式x －2x ＋1≤0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(－1,2]B ．[－1,2]C ．(－∞，－1)∪[2，＋∞)D ．(－1,2]答案 D解析x －2x ＋1≤0⇔(x ＋1)(x －2)≤0，且x ≠－1，即x ∈(－1,2]，故选D.8. [2016·冀州中学周测]已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，x 2－6x ＋2，x >0，则关于x 的不等式f (3－x 2)<f (2x )的解集为( )扫一扫·听名师解题A ．(－3，－3)B ．(－3,1)C ．(－∞，2－3)∪(2＋3，＋∞)D ．(－3,1)∪(2＋3，＋∞)答案 D解析 画出函数f (x )的图象如图所示，可知函数f (x )在(－∞，3)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．∵3－x 2≤3，故分以下几种情形：(1)若3－x 2≤0且2x ≤0，即x ≤－3，则2－(3－x 2)<2－2x ，∴－3<x <1.∴－3<x ≤－3；(2)若－3<x ≤0，则0<3－x 2≤3,2x ≤0，观察图象知f (3－x 2)<f (2x )恒成立；(3)若0<x ≤3，则2x <3－x 2或3－(3－x 2)<2x －3(3－x 2离对称轴x ＝3比2x 离对称轴近)，解得0<x <1；(4)若x >3，则3－x 2<0,2x >0，要求2－(3－x 2)<(2x )2－6×2x ＋2，解得x >2＋ 3.综上，得关于x 的不等式f (3－x 2)<f (2x )的解集为(－3,1)∪(2＋3，＋∞)．9．[2016·武邑中学模拟]若不等式x 2－(2＋m )x ＋m －1>0对任意m ∈[－1,1]恒成立，则x 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析 把不等式化为(1－x )m ＋x 2－2x －1>0.设f (m )＝(1－x )m ＋x 2－2x －1，则问题转化为关于m 的一次函数．f (m )在区间[－1,1]上大于0恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)>0，f (1)>0即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2>0，x 2－3x >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >2，x <0或x >3， 解得x <－1或x >3，故x 的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．10．[2016·枣强中学一轮检测]若关于x 的不等式ax －b >0的解集为(－∞，1)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)>0的解集为________．答案 (－1,2)解析 由题意可得a ＝b <0，故(ax ＋b )(x －2)>0等价于(x ＋1)(x －2)<0，解得－1<x <2，故所求不等式的解集为(－1,2)．11．[2016·衡水中学周测]二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值为8，试解不等式f (x )>－1.解 由于f (2)＝f (－1)＝－1，根据二次函数的对称性，则对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12，又知最大值为8.可设f (x )＝a (x －12)2＋8，将f (2)＝－1代入得，a ＝－4.∴f (x )＝－4(x －12)2＋8.由f (x )>－1，－4x 2＋4x ＋7>－1，即x 2－x －2<0，∴解集为{x |－1<x <2}．12．[2016·冀州中学月考]已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }．(1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解 (1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＝3a ，1×b ＝2a .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. (2)原不等式化为：x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.①当c >2时，不等式的解集为{x |2<x <c }；②当c <2时，不等式的解集为{x |c <x <2}；③当c ＝2时，不等式的解集为∅.能力组13. [2016·武邑中学周测]在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则( )A ．－1<a <1B ．0<a <2C ．－12<a <32D ．－32<a <12 答案 C解析 根据题意有(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )，∵不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则(x －a )(1－x －a )<1对任意实数x 成立，即使x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 成立，所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0，解得－12<a <32，故选C.14．[2016·衡水中学月考]已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－2或x >－12，则ax 2－bx ＋c >0的解集为________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 解析 由题意知，－2，－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，且a <0，故⎩⎨⎧ 4a －2b ＋c ＝0，14a －12b ＋c ＝0，解得a ＝c ，b ＝52c ，所以不等式ax 2－bx ＋c >0即为2x 2－5x ＋2<0，故解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<x <2. 15．[2016·枣强中学猜题]某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x 件与货价p 元/件之间的关系为p ＝160－2x ，生产x 件所需成本为C ＝500＋30x 元，则该厂日产量为________时，日获利不少于1300元．答案 20件至45件解析 由题意，得(160－2x )x －(500＋30x )≥1300，化简得x 2－65x ＋900≤0，解之得20≤x ≤45.因此，该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1300元．故填20件至45件．16．[2016·衡水中学期中]已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)．(1)若不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，求k 的值；(2)若不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，x ≠1k ，求k 的值； (3)若不等式的解集为R ，求k 的取值范围；(4)若不等式的解集为∅，求k 的取值范围．解 (1)由不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}可知k <0，且－3与－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，∴(－3)＋(－2)＝2k ，解得k ＝－25.(2)由不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ∈R ，x ≠1k 可知⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－24k 2＝0，解得k ＝－66.(3)依题意知⎩⎪⎨⎪⎧ k <0，Δ＝4－24k 2<0，解得k <－66. (4)依题意知⎩⎪⎨⎪⎧ k >0，Δ＝4－24k 2≤0，解得k ≥66.。
