2010学年第一学期徐汇区高二数学学科统考(能力A卷)

2010年上海市徐汇区高考数学二模试卷（理科）一、填空题：（本题满分56分，每小题4分）1. 设集合A={x|−12<x<2}，B={x|x2≤1}，则A∪B=________．2. 已知△ABC中，cotA=−34，则cosA=________．3. 若数列{a n}满足：a1=1，a n+1=2a n(n∈N∗)，则前6项的和S6=________．（用数字作答）4. (x+2)6的展开式中x3的系数是________（用具体数字作答）．5. 若球O1、O2表面积之比S1S2=9，则它们的半径之比R1R2=________．6. 函数f(x)=√2x−4(x≥4)的反函数为________．7. 行列式|42k−354−11−2|中第2行第1列元素的代数余子式的值为−10，则k=________．8. 椭圆x29+y22=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=________，∠F1PF2的大小为________．9. △ABC中，已知AB=2，AC=2√2，则∠ACB的最大值为________．10. 有5只苹果，它们的质量分别为125a121b127（单位：克）：若该样本的中位数和平均值均为124，则该样本的标准差s=________（用数字作答）11. 在极坐标系中，若过点A(3, 0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ=4cosθ于A、B两点，则|AB|=________．12. 某学生参加一次世博志愿者测试，已知在备选的10道试题中，预计每道题该学生答对的概率为23．规定每位考生都从备选题中随机抽出3道题进行测试，则该学生仅答对2道题的概率是________．（用数值表示）13. 已知a≤1时，集合[a, 2−a]有且只有3个整数，则a的取值范围是________．14. 设[x]表示不超过x的最大整数，如[1.5]=1，[−1.5]=−2．若函数f(x)=a x1+a x(a>0, a≠1)，则g(x)=[f(x)−12]+[f(−x)−12]的值域为________．二、选择题：（本题满分16分，每小题4分）15. 复数3−i1−i等于（）A 1+2iB 1−2iC 2+iD 2−i16. 下列函数中，与函数y=√x有相同定义域的是（）A f(x)=log 2xB f(x)=1xC f(x)=|x|D f(x)=2x17. 设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →+BA →=2BP →，则( )A PA →+PB →=0→B PC →+PA →=0→C PB →+PC →=0→D PA →+PB →+PC →=0→18. 已知AC ，BD 为圆O:x 2+y 2=4的两条互相垂直的弦，AC ，BD 交于点M(1, √2)，且|AC|=|BD|，则四边形ABCD 的面积的最大值等于（ ） A 4 B 5 C 6 D 7三、解答题：（本大题共5题，满分78分） 19. 在△ABC 中，a 、b 、c 是∠A 、∠B 、∠C 的对边，已知∠B =45∘，∠C =60∘，a =2(√3+1)，求△ABC 的面积S △ABC ．20.如图，已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长均为1，M 为棱A 1B 1上的点，N 为棱BB 1的中点，异面直线AM 与CN 所成角的大小为arccos 25，求|A 1M||MB 1|的值．21. 已知函数f(x)=x−a ax(a >0)（1）判断并证明y =f(x)在x ∈(0, +∞)上的单调性；（2）若存在x 0，使f(x 0)=x 0，则称x 0为函数f(x)的不动点，现已知该函数有且仅有一个不动点，求a 的值，并求出不动点x 0；（3）若f(x)<2x 在x ∈(0, +∞)上恒成立，求a 的取值范围．22. 设P(a, b)(a ⋅b ≠0)、R(a, 2)为坐标平面xoy 上的点，直线OR （O 为坐标原点）与抛物线y 2=4ab x 交于点Q （异于O ）．（1）若对任意ab ≠0，点Q 在抛物线y =mx 2+1(m ≠0)上，试问当m 为何值时，点P 在某一圆上，并求出该圆方程M ；（2）若点P(a, b)(ab ≠0)在椭圆x 2+4y 2=1上，试问：点Q 能否在某一双曲线上，若能，求出该双曲线方程，若不能，说明理由；（3）对（1）中点P 所在圆方程M ，设A 、B 是圆M 上两点，且满足|OA|⋅|OB|=1，试问：是否存在一个定圆S ，使直线AB 恒与圆S 相切．23. 设数列{a n }(n =1, 2,…)是等差数列，且公差为d ，若数列{a n }中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．（1）若a 1=4，d =2，判断该数列是否为“封闭数列”，并说明理由？（2）设S n 是数列{a n }的前n 项和，若公差d =1，a 1>0，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使lim n →∞(1S 1+1S 2+⋯+1S n )=119；若存在，求{a n }的通项公式，若不存在，说明理由； （3）试问：数列{a n }为“封闭数列”的充要条件是什么？给出你的结论并加以证明．2010年上海市徐汇区高考数学二模试卷（理科）答案1. {x|−1≤x <2}2. −35 3. 63 4. 160 5. 36. f −1(x)=12x 2+2(x ≥2) 7. −14 8. 2,120∘ 9. π4 10. 2 11. 2√3 12. 4913. −1<a ≤0 14. {0, −1} 15. C 16. A 17. B 18. B19. 解：∵ A =180∘−(B +C)=75∘， ∴ sinA =sin750=sin(450+300)=√6+√24由正弦定理a sinA =b sinB⇒√3+1)√6+√24=√22⇒b =4，∴ S △ABC =12absinC =12⋅2(√3+1)⋅4⋅√32=6+2√3．20.解：如图建立空间直角坐标系，则A(1, 0, 0)，C(0, 1, 0)，M(1, a, 1)，N(1,1,12)AM →=(0, a, 1)，CN →=(1, 0, 12)（其中a >0） 设向量AM →、CN →的夹角为θ，则cosθ=|AM →|⋅|CN →|˙=12⋅=25，⇒1+a 2=54，∴ a =12或cosθ=|AM →|⋅|CN →|˙=12⋅=−25，无解；所以当a =12时，|A 1M||MB 1|=1 21. 解：（1）f(x)=1a −1x对任意的x 1，x 2∈(0, +∞)且x 1>x 2f(x 1)−f(x 2)=(1a −1x 1)−(1a −1x 2)=x 1−x 2x 1x 2∵ x 1>x 2>0∴ x 1−x 2>0，x 1x 2>0∴ f(x 1)−f(x 2)>0，函数y =f(x)在x ∈(0, +∞)上单调递增． （2）解：令x =x−a ax⇒ax 2−x +a =0，令△=1−4a 2=0⇒a =12（负值舍去）将a =12代入ax 2−x +a =0得12x 2−x +12=0⇒x 2−2x +1=0∴ x 0=1（3）∵ f(x)<2x ∴ 1a<2x +1x∵ x >0∴ 2x +1x ≥2√2（等号成立当x =√22） ∴ 1a <(2x +1x )min =2√2⇒a >√24∴ a 的取值范围是(√24，+∞)22. 解：（1）∵ {y =2a xy 2=4ab x⇒Q(a b ,2b )， 代入y =mx 2+1∴ 2b=m(ab)2+1⇒ma 2+b 2−2b =0当m =1时，点P(a, b)在圆M:x 2+(y −1)2=1上（2）∵ P(a, b)在椭圆x 2+4y 2=1上，即a 2+(2b)2=1 ∴ 可设a =cosθ,b =12sinθ 又∵ Q(ab ，2b )，∴ {x Q =a b y Q =2b⇒y Q2−mx Q2=(2b)2−m(a b)2=(4sinθ)2−m(2cosθsinθ)2=16sin 2θ−4mcos 2θsin 2θ=16（令m =4）∴ 点Q 在双曲线y 2−4x 2=16上（3）∵ 圆M 的方程为x 2+(y −1)2=1设AB:x =ky +λ，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，由|OA|⋅|OB|=1√x 12+y 12⋅√x 22+y 22=√1−(y 1−1)2+y 12⋅√1−(y 2−1)2+y 22=√2y 1⋅√2y 2=1⇒y 1y 2=14又∵ {x 2+(y −1)2=1x =ky +λ⇒(k 2+1)y 2+2(kλ−1)y +λ2=0，∴ y 1y 2=λ2k 2+1=14⇒√k 2+1=12又原点O 到直线AB 距离d =√1+k 2∴ d =12，即原点O 到直线AB 的距离恒为12∴ 直线AB 恒与圆S ：x 2+y 2=14相切．23. 解：（1）数列{a n }是“封闭数列”，因为：a n =4+(n −1)⋅2=2n +2， 对任意的m ，n ∈N ∗，有a m +a n =(2m +2)+(2n +2)=2(m +n +1)+2， ∵ m +n +1∈N ∗于是，令p =m +n +1，则有a p =2p +2∈{a n }（2）解：由{a n }是“封闭数列”，得：对任意m ，n ∈N ∗，必存在p ∈N ∗使a 1+(n −1)+a 1+(m −1)=a 1+(p −1)成立， 于是有a 1=p −m −n +1为整数， 又∵ a 1>0∴ a 1是正整数． 若a 1=1则S n =n(n+1)2，所以lim n →∞(1S 1+1S 2++1S n)=2>119，若a 1=2，则S n =n(n+3)2，所以lim n →∞(1S 1+1S 2++1S n )=119，若a 1≥3，则S n =n(2a 1+n−1)2>n(n+3)2，于是1S n <2n(n+3)，所以lim n →∞(1S 1+1S 2++1S n)<119，综上所述，a 1=2，∴ a n =n +1(n ∈N ∗)，显然，该数列是“封闭数列”．（3）结论：数列{a n }为“封闭数列”的充要条件是存在整数m ≥−1，使a 1=md ． 证明：（必要性）任取等差数列的两项a s ，a t (s ≠t)，若存在a k 使a s +a t =a k ，则2a 1+(s +t −2)d =a 1+(k −1)d ⇒a 1=(k −s −t +1)d 故存在m =k −s −t +1∈Z ，使a 1=md ， 下面证明m ≥−1．当d =0时，显然成立．对d ≠0，若m <−1，则取p =−m ≥2，对不同的两项a 1，a p ， 存在a q 使a 1+a p =a q ，即2md +(−m −1)d =md +(q −1)d ⇒qd =0， 这与q >0，d ≠0矛盾，故存在整数m≥−1，使a1=md．（充分性）若存在整数m≥−1使a1=md，则任取等差数列的两项a s，a t(s≠t)，于是a s+a t=a1+(s−1)d+md+(t−1)d=a1+(s+m+t−2)d=a s+m+t−1由于s+t≥3，m≥−1∴ s+t+m−1为正整数，∴ a s+m+t−1∈{a n}证毕．。

上海徐汇中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在△ABC中，，，则△ABC一定是（）A、锐角三角形B、钝角三角形C、等腰三角形D、等边三角形参考答案：D2. 点A，F分别是椭圆C： +=1的左顶点和右焦点，点P在椭圆C上，且PF⊥AF，则△AFP的面积为（）A．6 B．9 C．12 D．18参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，由椭圆方程求出a，c的值，再求出|PF|，代入三角形面积公式得答案．【解答】解：如图，由椭圆C： +=1，得a2=16，b2=12，∴，|PF|=，|AF|=a+c=6，∴△AFP的面积为．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．3. 已知F为抛物线y2=ax（a＞0）的焦点，M点的坐标为（4，0），过点F作斜率为k1的直线与抛物线交于A，B两点，延长AM，BM交抛物线于C，D两点，设直线CD的斜率为k2，且k1=k2，则a=（）A．8 B．8C．16 D．16参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），利用k1=k2，可得y1+y2=（y3+y4）设AC所在直线方程为x=ty+4，代入抛物线方程，求出y1y3=﹣4a，同理y2y4=﹣4a，进而可得y1y2=﹣2a，设AB所在直线方程为x=ty+，代入抛物线方程，即可得出结论．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），则k1==，k2=，∵k1=k2，∴y1+y2=（y3+y4）．设AC所在直线方程为x=ty+4，代入抛物线方程，可得y2﹣aty﹣4a=0，∴y1y3=﹣4a，同理y2y4=﹣4a，∴y1+y2=（+），∴y1y2=﹣2a，设AB所在直线方程为x=ty+，代入抛物线方程，可得y2﹣aty﹣=0，∴y1y2=﹣，∴﹣2a=﹣，∴a=8．故选：B4. 抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是10，则P点的坐标是（）A．（9，6）B．（6，9）C．（±6，9）D．（9，±6）参考答案：D【考点】抛物线的定义．【分析】先求出抛物线的准线，再由P到焦点的距离等于其到准线的距离，从而可确定P的横坐标，代入抛物线方程可确定纵坐标，从而可确定答案．【解答】解：∵抛物线y2=4x的准线为：x=﹣1抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是10，∴P到x=﹣1的距离等于10设P（x，y）∴x=9代入到抛物线中得到y=±6故选D．5. 某学校为了制定节能减排的目标，调查了日用电量x（单位：千瓦时）与当天平均气温y（单位：℃），从中随机选取了4天的日用电量回归方程为，则a的值为（）A．42 B．40 C．38 D．36参考答案：A6. 已知数列的通项公式为，则当取最小值时，项数n为( )A．1 B．17 C．18 D．19参考答案：C略7. 已知命题：，，则（）(A) (B)(C) (D)参考答案：C8. 现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是( )A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样参考答案：A9. 若直线3x+y+a=0过圆x2+y 2+2x ﹣4y=0的圆心，则a的值为（）A．﹣1 B． 1 C． 3 D．﹣3参考答案：B考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：待定系数法．分析：把圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心为（﹣1，2）代入直线3x+y+a=0，解方程求得a的值．解答：解：圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心为（﹣1，2），代入直线3x+y+a=0得：﹣3+2+a=0，∴a=1，故选 B．点评：本题考查根据圆的方程求圆心的坐标的方法，用待定系数法求参数的取值范围．10. 等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝( )．A．26 B．29 C．212D．215参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 不等式恒成立，则的最小值为；参考答案：略12. 某市2016年中的每个月平均气温（摄氏度）数据用如图的茎叶图表示，则这组数据的中位是．参考答案：2013. 已知直线平面，，直线，，直线，，则直线、的关系是_________________．参考答案：14. 把数列的各项按顺序排列成如下的三角形状，记表示第行的第个数，若=，则（）A.122B.123C.124D.125参考答案：B15. 如图，长方体中，，，，于相交于点．分别写出，，的坐标．参考答案：，，各点的坐标分别是，，16. 若椭圆的离心率为，则m的值等于▲ 。

徐汇区高二第一学期数学期中考试试卷一、二、填空题（本大题共12题，每题3分，共36分） 1、已知a =（x ,3），b =（3,1），且a ∥b ，则x =_______.【答案】9.2、行列式2-1-1-453-24k中，第2行第1列得元素的代数余子式的值为10，则实数k =_______.【答案】6.3、增广矩阵为3 m -1n 10æèçöø÷的二元一次方程组的实数解是x =1y =2ìíïîï，则m +n =__________. 【答案】4-.4、已知矩阵A =1234æèçöø÷，B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛65，则AB =____________. 【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3917.5、已知直线上两点A （2,3），B =（-1,5），则直线AB 的点方向式方程是____________. 【答案】23-y 3-2-=x .6、直线l 的一个方向向量d =（1,2），则l 与直线02-=+y x 的夹角为______________（结果用反三角函数值表示）. 【答案】10103arccos .7、若实数x ,y 满足x -y +1£0x +y -3³0y £4ìíïîï，则目标函数y x z +=2的最大值为_____________. 【答案】10.8、与直线0532=++y x 平行，且距离等于13的直线方程是___________.【答案】08-3201832=+=++y x y x 或.9、若直线l ：3-kx y =与直线06-32=+y x 的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________.【答案】)(2π,6π. 10、在△ABC 中，AB =6，AC =4，D 为BC 中点，则C B D A •=____________.【答案】10-.11、在平面直角坐标系y xO 中，在所有以点（1,0）为圆心且与直线01-2--=m y my （R m ∈）相切的圆中，半径最大的圆的标准方程是_____________.【答案】2)1-(22=+y x .12、在如图所示的平面中，点C 为半圆的直径AB 延长线上的一点，AB =BC =2，过动点P 作半圆的切线PQ ，若PC =2PQ ，则△PAC 的面积的最大值为______________.【答案】54.二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）13、关于向量，下列结论错误的是（ ） 【A 】0a ∙=0； 【B 】a mn a n m ∙=∙)()(),(R n m ∈；【C【D 】),()(R n m a n a m a n m ∈•+•=•+ .【答案】A .14、如果命题“曲线C 上的点的坐标都是方程()0,=y x f 的解”是正确的，则下列命题正确的是（ ）【A 】曲线C 是方程()0,=y x f 的曲线;【B 】方程()0,=y x f 的每一组解对应的点都在曲线C 上；【C 】不满足方程()0,=y x f 的点()x,y 不在曲线C 上;【D 】方程()0,=y x f 是曲线C 的方程.【答案】C .15、设P 是圆：4)1y 3-(22=++（）x 上的动点，Q 是直线3-=x 上的动点，则PQ 的最小值为（ ） 【A 】6；【B 】4；【C 】3；【D 】2.【答案】B .16、已知直线1l ：01-=+y ax ，2l ：R a ay x ∈=++,01，和两点A （0,1），B （-1,0），给出如下结论： ①不论a 为何值时，1l 与2l 都互相垂直；②当a 变化时，1l 与2l 分别经过定点A （0,1）和B （-1,0）； ③不论a 为何值时，1l 与2l 都关于直线0=+y x 对称；④如果1l 与2l 交于点M ，则MB MA •的最大值是1；其中，所有正确的结论的个数是（ ）【A 】1；【B 】2；【C 】3；【D 】4.【答案】C .三、解答题（本大题共5题，共8+8+10+10+12=48分）17、讨论关于x ，y 的一元二次方程组⎩⎨⎧+=-+=+12)1(322m y m x y mx 的解得情况. 【答案】讨论：（1） 2-≠m 且3≠m 方程组有唯一解；（2） 3=m 方程组无解；（3） 2-=m 方程组有无穷多解.18、已知圆O ：522=+y x .（1）当直线l ：02=++a y ax 与圆O 相交于A 、B 两点，且AB =22时，求直线l 的方程;（2）求与圆O 外切点（-1,2），且半径为52的圆方程.【答案】解（1）032-x 3-0323=+=++y y x 或;（2）20)6-()3(22=++y x .19、已知1,2==b a ，b 与a 的夹角为45°.（1）求b 在a 方向上的投影；（2）求b a 2+的值;（3）若向量)b 3-a )-2(λλ与（b a 的夹角是锐角，求实数λ的取值范围.【答案】解（1）1；（2）10；（3）)6,6()6,1(⋃.20、如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上，设此点为'A .（1）若折痕的斜率为-1，求折痕所在的直线的方程；（2）若折痕所在直线的斜率为k，（k为常数），试用k表示点'A的坐标，并求折痕所在的直线的方程；（3）当0≤+k时，求折痕长的最大值.-≤32【答案】21、定义：圆心到直线的距离与圆的半径之比为直线关于圆的距离比λ.（1）设圆,1:220=+y x C 求过P （2,0）的直线关于圆0C 的距离比3=λ的直线方程；（2）若圆C 与y 轴相切于点A （0,3）且直线y =x 关于圆C 的距离比2=λ，求此圆的C 的方程；（3）是否存在点P ，使过P 的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆43-(3-(:1)1(:222221=+=++））与y x C y x C 的距离比始终相等？若存在，求出相应的点P 点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】。

上海交大附中09-10学年高二上学期期终试卷高二数学本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟。

请考生用钢笔或圆珠笔将答案写在答题卷上一、填空题(3分×12=36分 )1、已知12lim()13n an n n→∞-+=，则____________a = 2、一个等差数列的前4项是1,,,2x a x ，则x 等于________ 3、行列式1023的值为__________ 4、关于x 、y 的二元线性方程组25,32x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛110301，则x y += 5、若111111111123456a b c a A b B c C =++，则1B 化简后的最后结果等于_________6、在四边形ABCD 中，0AB BC ⋅=u u u r u u u r ，AB DC =u u u r u u u r，则四边形ABCD 的形状是_______7、5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有________种（用数字作答）。

8、设数列{}n a 的首项11a =且前n 项和为n S .已知向量(1,)n a a =r ，11(,)2n b a +=r 满足a b ⊥r r，则lim n n S →∞=________9、右上图给出的是计算201614121++++Λ的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是 ．10、如图，在ABC ∆中，点D 在BC 上，且2CD BD =；点E 在AC 上，且3AE EC =。

AD 与BE 的交点为F 。

若设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，AF AD λ=u u u r u u u r，于是可得出：34BE a b =-+u u u r r r ，BF AF AB =-u u u r u u u r u u u r()AD AB AB BD AB λλ=-=+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rL ，于是由开始01s i ←←12s s i←+1i i ←+s 输出结束是否（第9题）//BE BF u u u r u u u r，可求出λ=_________11、在共有2009项的等差数列{}n a中，有等式1320092420081005()()a a a a a a a ++鬃?-++鬃?=成立,类比上述性质，相应的，在共有2011项的等比数列{}n b 中，有等式 成立。

上海市徐汇中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷一、填空题1．若直线a 和b 没有公共点，则a 与b 的位置关系是．2．如图，若PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PA AB =，则二面角P BC A --的大小为.3．在数列{}n a 中，11a =，对任意*n ∈N ，有11n n n a a a +=+，则5a =．4．正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，若直线1B C 与底面ABCD 所成的角的大小为arctan 2，则正四棱柱的外接球表面积为．5．已知长方体1111ABCD A B C D -，如图建系，若1DB 的坐标为()4,3,2，则1AC uuu r 的坐标为．6．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画它的直观图，此直观图恰好是边长为1的正方形（如图所示），则原平面图形的周长为．7．湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰上留下一个直径为24cm ，深为8cm 的空穴，则这球的半径为cm .8．棱长为1的正四面体，过三条侧棱中点做截面，则截面与底面之间所成棱台的高为．9．已知正三棱柱111ABC A B C -中，14AB AA ==，点D 、E 分别为棱1AA 、11A B 的中点．则三棱锥1E BDC -的体积为．10．已知正三角形ABC 的边长2的平面有个；11．已知两母线长度相等的圆锥侧面展开图拼起来恰是一个整圆，且两圆锥的侧面积之比为1：2，则两圆锥的体积比为．12．关于正方体1111ABCD A B C D -有如下四个说法，则下列说法正确的有．（1）若点P 在直线1BC 上运动，则三棱锥1A D PC -的体积不变（2）若点P 是平面1111D C B A 上到点D 和1C 距离相等的点，则P 点的轨迹是直线11A D ．（3）若点P 在线段1BC （含端点）上运动，则直线AP 与DC 所成角的范围为π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（4）若点P 在线段1BC （含端点）上运动，则直线AP 与1D C 可以垂直二、单选题13．关于直线l ，m 及平面α，β，下列命题中正确的是（）A ．若l α∥，m αβ= ，则l mB ．若l α∥，m α ，则l mC ．若l α⊥，m α ，则l m ⊥D ．若l α∥，m l ⊥，则m α⊥14．下列四个正方体图形中，,,,,A B M N P 分别为正方体的顶点或其所在棱的中点，能得出AB //平面MNP 的图形是（）A ．B ．C ．D ．15．早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球的体积时，就创造性的提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异”.如图，已知两个体积分别为1V ，2V 的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为1S ，2S ，则“12V V =”是“12S S =”的（）条件.A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要16．已知菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，AC 与BD 相交于点E ，将ABD △沿BD 折起，使顶点A 至点M ，在折起的过程中，对于下面两个命题：①存在一个位置，使CDM V 为等边三角形；②DM 与BC 不可能垂直，成立的是（）A ．①为假命题，②为真命题；B ．①为真命题，②为假命题；C ．①②均为真命题；D ．①②均为假命题三、解答题17．正方体1111ABCD A B C D -，E ，F 分别是棱1B B ，AD 的中点．(1)直线BF ∥平面1AD E ；(2)求异面直线BF 与1D E 所成角的大小；18．已知等差数列{}n a 的公差不为零，113a =，且3a ，6a ，7a 成等比数列．(1)求{}n a 的通项公式：(2)求其前n 项和n S 取最大值时n 的值．19．如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，圆O 的直径4AB =，圆柱1OO 的表面积为20π，120A O P ∠=︒．(1)求四面体1P A AB -全面积；(2)求二面角1O A P A --的大小；20．（1）对于精美的礼物，通常会搭配礼盒保护，现工厂有一种树脂工艺球待礼盒包装，为节省材料费用，定制礼盒尺寸大小卡住树脂工艺球避免其来回滚动即可．现在有两种定制方式，一种是正方体礼盒，另一种是圆柱体礼盒，均不计损耗的话后者的单位面积费用是前者的1.2倍，工厂应选择哪一种礼盒更经济实惠？（2）包装好的礼物，通常还会用彩带捆扎，有时还会扎出一个花结，这些包装彩带也不便宜，因此在捆扎时不仅要考虑美观、结实，也要考虑尽量地节省包装彩带．以长方体的礼盒为例，较为典型的两种捆扎方式分别为“十字”和“对角”，如下图所示．“十字”捆扎“对角”捆扎假设1：将礼物视作一个长方体，其长为4，宽为2、高为1；假设2：不考虑花结处的彩带，将每一段彩带视为线段，且完全位于礼物的表面上；假设3：“十字”捆扎中，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）都与其相交的棱垂直；假设4：“对角”捆扎中，以某种方式展开长方体后，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）在其表面展开图上均落在同一条直线上．①求“十字”捆扎中彩带的总长度；②根据假设4绘制示意图，求“对角”捆扎中彩带的总长度，并比较两种捆扎方式，给出用彩带捆扎礼物的建议．21．已知点P 是边长为2的菱形ABCD 所在平面外一点，且点P 在底面ABCD 上的射影是AC 与B 的交点O ．已知60BAD ∠=︒，PDB △是等边三角形．(1)求证：AC PD ⊥；(2)求点D 到平面PBC 的距离；(3)若点E 是线段B 上的动点．问：点E 在何处时，直线PE 与平面PBC 所成的角最大？求出这个最大角，并说明点E 此时所在的位置．。

2009学年第二学期徐汇区高三年级数学学科学 习 能 力 诊 断 卷 理科试卷参考答案及评分标准（2010.4）一． 填空题：1．{12}x x -≤< 2．35- 3．63 4. 1605．3 6．121()2(2)2f x x x -=+≥ 7． 14- 8．120︒9．4π 10． 12．4913．10a -<≤ 14． {}1,0-二．选择题： 15．D 16．A 17．C 18．B 三．解答题:19．解：()018075A B C =-+=，--------------------------------------------------------------2分()sin sin 75sin 45304A ==+=----------------------------------------------------6分由正弦定理214sin sin 42a b b AB=⇒=⇒=，-----------------------------------10分∴)11sin 2146222A B C S a b C ∆==⋅⋅⋅=+。

----------------------------14分20． 解： 如图建立空间直角坐标系,则A (1，0，0)，C (0，1，0)，()1,,1M a ，11,1,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭AM=(0，a ，1)，CN =(1，0，12) （其中0a >）-----4分设向量AM 、CN的夹角为θ，则12cos 5A M C NA M C Nθ⋅===⋅ ，251142a a ⇒+=∴=-------------------------------------------------10分y或12cos 5A M C NA M C Nθ⋅===-⋅ ，无解；-----------------------------------12分所以当12a =时，111A M M B =， -------------------------------------------------------------------------14分 21．解：（1）xax f 11)(-=对任意的1212,(0,)x x x x ∈+∞>且------------------------------------------- 1分21212121)11()11()()(x x x x x a x a x f x f -=---=--------------------------------- 3分∵021>>x x ∴0,02121>>-x x x x∴0)()(21>-x f x f ，函数)(x f y =在),0(+∞∈x 上单调递增。

2010学年第一学期徐汇区初三年级数学学科学习能力诊断卷参考答案一、选择题1．C; 2．C; 3．C; 4．B; 5．B; 6．C.二、填空题7．25； 8．63； 9．(1,2)； 10．223y x x =--+； 11．6； 12．62<<-x ； 13．54； 14．21； 15．100； 16. 8； 17. 16； 18.32。

三、解答题19．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC //AB, AD //BC, -----------------------------------1∵ DC //AB, ∴GBDG GE CG =---------------------------------------------------------------------3 ∵AD //BC, ∴ DGBG FG CG =---------------------------------------------------------------------3 ∴CG GE FG CG =,即2CG GF GE =⋅--------------------------------------------------------------3 20. (1) 解一: =→FA →EA 32=)(32→→-BE BA =→→→→-=-b a b a 3132)21(32-----------2，1，1，1 解二: =→FA →→-BF BA =→→-BD BA 31→→→→→-=+-=b a b a a 3132)(31------1，2，1，1 (2) )41()21(→→→→+-+-b a b a =→→+-b a 4323-------------------------------------------- -----2 作图3分，正确作出→a 23、→b 43、以及最终结论各1分。

考试时间：120分钟满分：100分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2ax + b，若f(1) = 0，f(2) = 1，则f(x)的图像与x 轴的交点个数为：A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个2. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则角A的度数为：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°3. 已知复数z满足|z-1| = |z+1|，则复数z的实部为：A. 0B. 1C. -1D. 无法确定4. 函数y = log2(x-1)的图像在以下哪个象限？A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3 = 9，S5 = 25，则公差d为：A. 2B. 3C. 4D. 56. 下列命题中，正确的是：A. 平行四边形的对角线互相平分B. 等腰三角形的底角相等C. 相似三角形的面积比等于边长比的平方D. 任意三角形的内角和为180°7. 若不等式x^2 - 4x + 3 < 0的解集为A，不等式x^2 - 4x - 3 > 0的解集为B，则集合A∪B为：A. (-∞, -1)∪(3, +∞)B. (-∞, -1)∪(1, 3)C. (-∞, 1)∪(3, +∞)D. (-∞, 1)∪(1, 3)8. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(-1) = 0，f(2) = 4，且f(x)的图像开口向上，则a、b、c的符号分别为：A. a > 0, b > 0, c > 0B. a > 0, b < 0, c > 0C. a < 0, b < 0, c > 0D. a < 0, b > 0, c > 09. 在等差数列{an}中，若a1 = 2，公差d = 3，则第10项an为：A. 29B. 32C. 35D. 3810. 已知等比数列{bn}的公比为q，若b1 = 2，b3 = 16，则q为：A. 2B. 4C. 8D. 16二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11. 若复数z满足|z-1| = |z+1|，则z在复平面上的几何意义是__________。

1 徐汇区统考高二期末数学试卷 2018.01（考试时间100分钟，满分100分） 一、填空题（本大题共有12题，满分40分，第1-8题每题3分，第9-12题每题4分）1、直线310x -+=的倾斜角的大小为__________；2、 若矩阵A 使得155132121A ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则A=______；3、 抛物线22y x =的准线方程为__________；4、 双曲线221916x y -=的左焦点到渐近线的距离为_____；5、 行列式6-312514-2k 中元素-3的代数余子式的值为5，则k=___________； 6、 过点（0,1）且以直线230x y +-=的一个法向量为一个方向向量的直线方程为_________；7、 设点（x,y ）是曲线2cos (为参数，且02)sin x y θθθπθ⎧=-+≤<⎨=⎩上的任意一点，则y x的最大值为__________； 8、 若点（3，a ）在两条平行直线2610x y -+=和340x y --=之间（不在两条直线上），则实数a 的取值范围是_______；9、 在ABC ∆中，已知4,1,ABC AB AC S ∆===，则AB AC ⋅的值为_______；10.设不等式组041x y x y x ⎧-<⎪+<⎨⎪>⎩表示的平面区域为M ，若直线(2)y k x =+上存在区域M 内的点，则实数k 的取值范围是___________；11.已知A （1,1）、B （-1,1），点P 在圆221x y +=上运动，若=⋅+⋅∈∈(,)OP m OA n OB m R n R 则2 的最小值为___________.12.以下是矩阵的一种运算：a b x ax by c d y cx dy ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，该运算的几何意义为平面上的点（x,y ）在矩阵a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭的作用下变换成点()ax by cx dy ++. 若曲线22421x xy y ++=在矩阵11a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭的作用下变换成曲线2221x y -=，则a b +的值为_________.二、选择题（本大题共有4题，满分16分，每题4分）每题有且只有一个正确选项；13.设a R ∈，则"4"a =是“直线1:230l ax y +-=与直线2:20l x y a +-=平行”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件14、已知,a b 均为单位向量，且2a b a b +=-，则与a b 的夹角的余弦值为（ ）A 、13-B 、13C 、23- D 、23 15、已知椭圆的焦点12、F F ，P 是椭圆上的一个动点，如果延长1F P 到Q ，使得2PQ PF =，那么动点Q 的轨迹是（ ）A 、圆B 、椭圆C 、双曲线的一支D 、抛物线16、已知曲线1:2C y x -=与曲线222:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（ ）A 、()-，-10,1⎤⎡∞⋃⎦⎣B 、(-1,1⎤⎦C 、-[1,1)D 、()-⋃∞[1,0]1，+三、解答题（本大题共有5题，满分44分）17.（本题满分6分）⋅m n3 若关于x,y 的方程组2321x y ax y ⎧-=⎨+=⎩有唯一解，求实数a 的取值集合，并求出此方程组的解.18、（本题满分8分）已知(cos ,sin ),(2sin ,2cos )OP OQ θθθθ==+-，其中)0,2θπ⎡∈⎣，求PQ 的最大值，并指出PQ 取得最大值时OP 与OQ 夹角的大小.19、（本题满分8分）已知抛物线2：4y x τ=的焦点为F ，AB 是τ上过F 的弦，且AB 的斜率为1. 若线段AB 的垂直平分线与ｘ轴相交于点0(,0)Q x ，求0x 的值及ABQ ∆的面积.20、（本题满分10分：第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分） 如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过点2，其左焦点为(F . 过点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，交y 轴的正半轴于点M.（1）求椭圆E 的方程；（2）设12,MA AF MB BF λλ==，求证：12λλ+为定值.21、如图，已知双曲线221:142x y C -=，双曲线2C 以1C 的左、右焦点12、F F 为顶点，且与1C 有相同的渐近线。