广西陆川县中学高一下学期数学同步作业：第4章 平面向量数量积及其运算(2)(大纲版))

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黄图盛中学高一数学必修四第二章单元测试卷班级 姓名 座号一.选择题1．以下说法错误的是（ )A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等C ．平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量2．下列四式不能化简为的是（ )A ．＋（B ．（C ．＋D ．；＋－3．已知=（3，4），=(5，12），与 则夹角的余弦为（ ）A ．6563B ．65C ．513D ．134． 已知,均为单位向量，它们的夹角为+=（ ）A ．7B ．10C ．13D ．45．已知ABCDEF 是正六边形，且−→−AB ＝→a ，−→−AE ＝→b ，则−→−BC ＝（ ）A 。

)(21→→-b a B 。

)(21→→-a b C. →a ＋→b 21 D. )(21→→+b a 6．设→a ,→b 为不共线向量，−→−AB ＝→a +2→b ，−→−BC ＝－4→a －→b ，−→−CD ＝－5→a －3→b ,则下列关系式中正确的是 （ ）A −→−AD ＝−→−BCB 。

−→−AD ＝2−→−BC C 。

−→−AD ＝－−→−BC D.−→−AD ＝－2−→−BC7．设→1e 与→2e 是不共线的非零向量，且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k →2e 共线,则k 的值是( ）A. 1 B 。

典题精讲例1若向量a 、b 、c 满足a +b +c =0，且|a |=3,|b |=1,|c |=4.则a ·b +b ·c +a ·c =_____________思路解析：本题可以利用数量积公式两边平方求解；也可由已知条件，先得出三个向量之间的两两夹角，再用数量积公式.方法一：∵a +b +c =0，∴(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2a ·b +2b ·c +2a ·c =0，∴2(a ·b +b ·c +a ·c )=-(a 2+b 2+c 2)=-(|a |2+|b |2+|c |2)=-(32+12+42)=-26，∴a ·b +b ·c +a ·c =-13.方法二：根据已知条件可知|c |=|a |+|b |，c =-a -b ，所以a 与b 同向，c 与a +b 反向.所以有a ·b +b ·c +a ·c =3cos0°+4cos180°+12cos180°=3-4-12=-13.答案：-13绿色通道：方法一是将“（a +b ）2=a 2+2a ·b ＋b 2”推广到(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2a ·b +2b ·c +2a ·c 予以解答.变式训练 已知|a |=5,|b |=12，当且仅当m 为何值时，向量a +m b 与a -m b 互相垂直?思路分析：（a +m b ）⊥（a -m b ）⇔(a +m b )·(a -m b )=0.根据这一点可以很容易寻找到解题突破口.解：若向量a +m b 与a -m b 互相垂直，则有(a +m b )·(a -m b )=0.∴a 2-m 2b 2=0.∵|a |=5,|b |=12，∴a 2=25,b 2=144.∴25-144m 2=0.∴m=±125. ∴当且仅当m=±125时，向量a +m b 与a -m b 互相垂直. 例2(福建高考卷，理11)已知||=1,||=3,·=0,点C 在∠AOB 内，且∠AOC=30°.设=m +n (m 、n ∈R )，则nm 等于（ ） A.31 B.3 C.33 D.3 思路分析：本题可以利用向量的加法、实数与向量的积的坐标运算、向量数量积来解.深刻理解向量的运算，做到灵活运用，使解题简便.方法一：以直线OA 、OB 分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系，则A(1,0),B(0,3). 设=λ(cos 30°,sin30°)=（23λ,21λ),另外OC =m OA +n OB =m(1,0)+n(0,3), 得(23λ, 21λ)=(m, 3n) ⇔.332123=⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==n m n m λλ 方法二：2OC =(m +n )2=m 22OA +n 22OB =m 2+3n 2，∴|OC |=223n m +.由已知得∠BOC=60°，在等式=m +n (m 、n ∈R )两端同乘以， 得·=m 2OA ， ∴m=||·||cos30°=23223n m +⇒m 2=9n 2.由题设知m ＞0,n ＞0,所以nm =3. 答案：B黑色陷阱：对向量的坐标运算或向量数量积的运算不熟练，易导致难寻问题的切入口；有关向量的运算失误也易导致解答失误.变式训练（2006福建高考卷，文9）已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |=3,|a +b |=13,则|b |等于（ ）A.5B.4C.3D.1思路解析：向量a 与b 的夹角为120°，|a |=3,|a +b |=13,a ·b =|a |·|b |·cos120°=-23|b |， |a +b |2=|a |2+2a ·b +|b |2，∴13=9-3|b |+|b |2，则|b |=-1(舍去)或|b |=4.答案：B例3（福建高考卷，理12）对于直角坐标平面内的任意两点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，定义它们之间的一种“距离”：||AB||=|x 2-x 1|+|y 2-y 1|.给出下列三个命题：（1）若点C 在线段AB 上，则||AC||+||CB||=||AB||;(2)在△ABC 中，若∠C=90°,则||AC||2+||CB||2=||AB||2;(3)在△ABC 中，||AC||+||CB||＞||AB||.其中说法正确的个数为（ ）A.0B.1C.2D.3思路解析：在坐标平面上取几个具体的符合条件的点并写出其坐标，进行观察、比较、分析、综合，不难确定命题的真假.不妨取直角坐标系中x 非负半轴上的三点A(0,0),C(c,0),B(b,0),0＜c ＜b,由题设，可得||AC||+||CB||=c+(b-c)=b=||AB||;另外在△ABC 中，若∠C=90°,取C(0,0),B(1,0), A(0,2) ,则||AC||=2,||BC||=1,||AB||=3,但||AC||2+||CB||2≠||AB||2，且||AC||+||CB||=||AB||.所以(2)与(3)都不正确.答案：B黑色陷阱：对题设理解不够准确，易导致运算（操作）上的失误.对平面上两点之间的距离的全新定义，易引起考生理解上的困难，这时更需要独立思考与一定的创新意识.变式训练（2006陕西高考卷，理9）已知非零向量与满足||||AC AB +=0•21,则△ABC 为（ ） A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形思路解析：非零向量与满足+BC =0，即角A 的平分线垂直于BC ， ∴ AB=AC.又||||AC AB 21， ∴∠A=3π，所以△ABC 为等边三角形. 答案：D问题探究问题1任给8个非零实数a 1,a 2，…，a 8,试探究下列六个数a 1a 3+a 2a 4,a 1a 5+a 2a 6,a 1a 7+a 2a 8,a 3a 5+a 4a 6, a 3a 7+a 4a 8,a 5a 7+a 6a 8中，至少有一个是非负的.导思：观察六个数有共同的形式且与向量的数量积有关，思考时可借助向量作解题尝试，本题通过构造四个向量，然后利用向量之间的位置关系，运用向量的数量积坐标运算解决问题. 探究：在直角坐标系xOy 中，构造向量、、、，它们的坐标分别为(a 1,a 2)、(a 3,a 4)、(a 5,a 6)、(a 7,a 8).显然，平面上四个向量两两所成的角中至少有一个不超过90°，不妨设和的夹角不大于90°，则cos 〈,〉242322214231a a a a a a a a +++=≥0,∴a 1a 3+a 2a 4≥0，命题为真.问题2是否存在4个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直?导思：本题是一个探索性问题，解决本题关键在于构造一个正三角形及其内切圆，得到四个向量，这也是本题的难点.然后利用向量之间的关系，运用数量积的运算律论证+与PC +PO 垂直.探究：如图2-4-3所示，在正△ABC 中，O 为其内心，P 为圆周上一点，满足、、、两两不共线，有(+)·(+)=(+++)·(++) =(2PO +OA +OB ·(2PO +OC )=(2PO -OC )·(2PO +OC )=42PO -2OC =0. ∴(+)与(PC +PO )垂直.图2-4-3同理可证其他情况.从而、、、满足题意.故存在4个这样的平面向量.。

数学必修 4 平面向量综合练习题一、选择题【共 12 道小题】1、以下说法中正确的选项是 ()A. 两个单位向量的数量积为1B. 假设 a·b=a·c且 a≠0, 那么 b=cC.D. 假设 b⊥c, 那么(a+c) ·b=a·b参考答案与解析 : 解析： A 中两向量的夹角不确定 ;B 中假设 a⊥b,a ⊥c,b与 c 反方向那么不成立 ;C 中应为;D 中 b⊥c b·c=0, 所以 (a+c) ·b=a·b+c·b=a·b.答案： D主要考察知识点 : 向量、向量的运算2、设 e 是单位向量 ,=2e,=-2e,||=2, 那么四边形 ABCD是()A. 梯形B. 菱形C. 矩形D. 正方形参考答案与解析 : 解析：, 所以 ||=||,且 AB∥CD,所以四边形ABCD是平行四边形 .又因为 ||=||=2,所以四边形 ABCD是菱形 .答案： B主要考察知识点 : 向量、向量的运算3、 |a|=|b|=1，a 与 b 的夹角为90°, 且 c=2a+3b ，d=ka-4b, 假设 c⊥d, 那么实数 k 的值为 ()参考答案与解析 : 解析：∵ c⊥d, ∴c·d=(2a+3b) ·(ka-4b)=0, 即 2k- 12=0, ∴k=6.答案： A主要考察知识点 : 向量、向量的运算4、设 0≤θ＜ 2π, 两个向量=(cos θ， sin θ),=(2+sin θ， 2- cosθ) ，那么向量长度的最大值是 ()A. B. C.D.参考答案与解析 : 解析：=(2+sin θ - cosθ,2 - cosθ - sin θ),所以 ||=≤=.答案： C主要考察知识点 : 向量与向量运算的坐标表示5、设向量 a=(1,-3) ， b=(-2,4)， c=(-1,-2)，假设表示向量4a、 4b-2c 、 2(a-c)、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，那么向量 d 为 ()A.(2,6)B.(-2,6)C.(2,-6)D.(-2,-6)参考答案与解析: 解析：依题意,4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,答案： D主要考察知识点: 向量与向量运算的坐标表示6、向量a=(3 ， 4) ， b=(-3 ，1) ， a 与 b 的夹角为所以θ, 那么d=-6a+4b-4c=(-2 tan θ等于 (， -6).)A.参考答案与解析: 解析：由得a·b=3×(- 3)+4 ×1= -5 ， |a|=5 ， |b|=，所以 cosθ=.由于θ∈［ 0，π］ ,所以 sin θ=.所以 tan θ==-3.答案： D主要考察知识点: 向量与向量运算的坐标表示7、向量 a 与b 不共线,=a+kb,=la+b(k、l ∈R),且与共线 , 那么k、l 应满足() A.k+l=0 B.k-l=0 C.kl+1=0D.kl-1=0参考答案与解析:解析：因为与共线,所以设=λ( λ∈ R) ,即la+b= λ(a+kb)= λa+λkb, 所以(l- λ)a+(1 - λk)b=0.因为 a 与 b 不共线 , 所以 l- λ=0 且 1- λk=0, 消去λ得 1-lk=0,即kl-1=0.答案： D主要考察知识点: 向量、向量的运算8、平面内三点A(-1,0),B(5,6),P(3,4),且AP=λPB,那么λ 的值为()C. D.参考答案与解析: 解析：因为=λ, 所以 (4 ，4)= λ(2 ，2).所以λ=.答案： C主要考察知识点: 向量与向量运算的坐标表示9、设平面向量a1，a2，a3 的和 a1+a2+a3=0，如果平面向量时针旋转30°后与bi 同向，其中i=1 ， 2， 3，那么 ()b1，b2，b3满足 |bi|=2|ai|，且ai顺A.-b1+b2+b3=0 B.b1-b2+b3=0C.b1+b2-b3=0D.b1+b2+b3=0参考答案与解析: 解析：根据题意, 由向量的物理意义, 共点的向量模伸长为原来的 2 倍, 三个向量都顺时针旋转30°后合力为原来的 2 倍 , 原来的合力为零, 所以由 a1+a2+a3=0, 可得 b1+b2+b3=0.答案： D主要考察知识点: 向量、向量的运算10、设过点P(x ， y) 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A、 B两点，点Q与点 P 关于y 轴对称，O为坐标原点，假设, 且·=1, 那么P 点的轨迹方程是()A.3x2+y2=1(x ＞ 0,y ＞0)y2=1(x ＞ 0,y ＞ 0)C. x2-3y2=1(x ＞ 0,y ＞0)参考答案与解析 : 解析：设P(x,y),那么Q(-x,y).D.设x2+3y2=1(x ＞0,yA(xA),xA,B(0,yByB0,＞ 0)=(x,y-yB)=(xAx,-y).∵=2PA,∴x=2(xA,x),y -yB=2y,xA=x,yB=3y(x ＞0,y ＞ 0).又∵·=1,(- x,y) ·(-xA,yB)=1,∴(- x,y) ·(x,3y)=1,即x2+3y2=1(x ＞ 0,y ＞0).答案： D主要考察知识点: 向量、向量的运算11、△ ABC 中，点 D 在 BC边上，且，假设, 那么 r+s 的值是 ()A. C.D .-3参考答案与解析: 解析：△ ABC 中，== ()=-，故r+s=0.答案： B主要考察知识点: 向量、向量的运算12、定义 a※b=|a||b|sinθ，θ 是向量 a 和b 的夹角， |a|、|b|分别为a、b 的模，点A(-3,2)、B(2,3),O是坐标原点，那么※等于 ()参考答案与解析 : 解析：由题意可知=(-3,2),=(2,3),计算得·=- 3×2+2×3=0，另一方面·=||||cos θ，∴c osθ=0,又θ∈ (0,π) ，从而sin θ=1，∴※=||||sinθ=13.答案： D主要考察知识点: 向量与向量运算的坐标表示二、填空题【共 4 道小题】1、 a+b+c=0, 且 |a|=3,|b|=5,|c|=7,那么向量a 与参考答案与解析: 解析：由得a+b=-c, 两边平方得b 的夹角是 ____________.a2+2a·b+b2=c2,所以2a·b=72 -32-52=15.设a 与b 的夹角为θ,那么cosθ===,所以θ=60°.答案： 60°主要考察知识点: 向量、向量的运算2、假设=2e1+e2,=e1-3e2,=5e1+λe2, 且 B、 C、 D 三点共线 , 那么实数λ=___________.参考答案与解析: 解析：由可得=(e1-3e2)-(2e1+e2)=-e1-4e2,=(5e1+λe2) -(e1-3e2)=4e1+(λ+3)e2.由于 B、 C、 D 三点共线 , 所以存在实数m使得,即-e1-4e2=m ［4e1+(λ+3)e2］ . 所以 -1=4m 且 - 4=m(λ+3), 消去 m得λ=13.答案： 13主要考察知识点: 向量、向量的运算3、 e1、 e2 是夹角为60°的两个单位向量, 那么 a=2e1+e2 和 b=2e2-3e1 的夹角是 __________.参考答案与解析: 解析：运用夹角公式cosθ=，代入数据即可得到结果.答案： 120°。

广西陆川县中学2013年高一数学暑假作业（6）——第三章平面向量第 2 页2019年高一数学暑假作业（6）——第三章 平面向量姓名____________班级___________学号____________分数______________一、选择题1 ．已知两点(1,0),3),A B O 为坐标原点,点C 在第二象限,且120=∠AOC ,设2,(),OC OA OB λλλ=-+∈R 则等于 （ ） A ．1- B ．2 C ．1 D ．2- 2 ．),(,,2121R ，∈+=+=λλλλ若是不共线的向量,则A ．B ．C 三点共线的条件为 A ．121-==λλ B ．121==λλ C ．0121=+⋅λλ D ．0121=-λλ （ ） 3 ．(8)在平面直角坐标系中,(0,0),(6,8)O P ,将向量OP 按逆时针旋转34π后,得向量OQ则点Q 的坐标是 （ ）4．设,x y ∈R,向量()()()4,2,,1,1,-===y x ,且//,⊥,则_______=b a（ ）A 5B 10C ．25D ．105 ．已知(,3),(2,1),(1,),(),//()a x b c y a b c b a c =-=-=⊥-+若,则b c 与的夹角为 （ ）A ．0B ．4πC ．2πD ．34π6 ．已知O 是ABC ∆所在平面内一点,D 为BC 边中点,且20OA OB OC ++=,那么 （ ） A ．AO OD = B ．2AO OD = C ．3AO OD = D ．2AO OD =7 ．已知△ABD 是等边三角形,且 CDE ··第 3 页第 4 页14．如图，()()()3,2,,,1,6--===→→→CD y x BC AB ，若→→AD BC //， ① 求y x ,之间的关系；② 若→→⊥BD AC ，求四边形ABCD 的面积S 。

BC D第 5 页2019年高一数学暑假作业（6）——第三章 平面向量参考答案一、选择题1.C 2. 【答案】D 【解析】只要要,AC AB 共线即可,根据向量共线的条件即存在实数λ使得AC AB λ=,即21()a b a b λλλ+=+,由于,a b 不共线,根据平面向量基本定理得11λλ=且2λλ=,消掉λ得121λλ=.3. 【解析】选A 【方法一】设34(10cos ,10sin )cos ,sin 55OP θθθθ=⇒== 则33(10cos(),10sin())(72,2)44OQ ππθθ=++=--【方法二】将向量(6,8)OP =按逆时针旋转32π后得(8,6)OM =-则()(72,2)2OQ OP OM =-+=--4.【解析】选B 2402,//(3,1)10242x x a c b c a b y y -==⎧⎧⊥⇔⇔⇒+=-=⎨⎨=-=-⎩⎩5. C6. A7. B二、填空题 8.2，1 9. a =_____21(3,3),()3(1)3022a c m a cb m m m a +=+=++=⇔=-⇒=10. 5;11.答案：]332,0(三、解答题 12.答：1(1)150;(2)2或21--13.解:(1)∵a 与b 互相垂直,则0cos 2sin =-=⋅θθb a ,即θθcos 2sin =,代入1cos sin22=+θθ得55cos ,552sin ±=±=θθ,又第 6 页(0,)2πθ∈,∴55cos ,552sin ==θθ. (2)∵20πϕ<<,20πθ<<,∴22πϕθπ<-<-,则10103)(sin 1)cos(2=--=-ϕθϕθ,∴cos ϕ22)sin(sin )cos(cos )](cos[=-+-=--=ϕθθϕθθϕθθ.14.略解：① 02=+y x ② S=16。

高中数学必修4《平面向量》章节复习试题(总6页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除高一数学平面向量章节复习试题（必修4）（共160分，考试时间120分钟 ） 得分：一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案写在横线处）1．若有以下命题：① 两个相等向量的模相等； ② 若a 和b 都是单位向量，则b a =； ③ 相等的两个向量一定是共线向量； ④ b a //，b c //，则c a //；⑤ 零向量是唯一没有方向的向量； ⑥ 两个非零向量的和可以是零。

其中正确的命题序号是 。

2. 在水流速度为4h km /的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8h km /的速度航行，则船自身航行速度大小为____________h km /。

3. 任给两个向量a 和b ，则下列式子恒成立的有________________。

① ||||||b a b a +≥+ ② ||||||b a b a -≥- ③||||||b a b a +≤- ④ ||||||b a b a -≤-4. 若a AB 3=，a CD 5-=且||||BC AD =，则四边形ABCD 的形状为________。

5．梯形ABCD 的顶点坐标为)2,1(-A ，)4,3(B ，)1,2(D 且DC AB //，CD AB 2=，则点C 的坐标为___________。

6. ABC ∆的三个顶点坐标分别为),(11y x A ，)(22y x B ，)(33y x C ，若G 是ABC∆的重心，则G 点的坐标为__________，=++GC GB GA __________________。

7. 若向量)1,1(=a ，)1,1(-=b ，)2,1(-=c ，则=___________(用和表示)。

8. 与向量)4,3(=平行的单位向量的坐标为 ________________。

第二章第四节平面向量的数量积第二课时教学过程情境1问题回忆物理中“功”的计算，它的大小与哪些量有关？结合向量的学习你有什么想法？若一个物体在力F的作用下产生的位移为s，那么力F所做的功W等于多少？图3设计意图以物理问题为背景，初步认识向量的数量积，为引入向量的数量积的概念作铺垫．师生互动生：W＝|F||s|cosθ(其中θ是F和s的夹角)．师：功是一个矢量还是标量？它的大小由哪些量来确定？显然功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定．从中我们得到一个启发：能否将功看成是两个“向量相乘”的一种运算的结果呢？从而得出平面向量的“数量积”的概念．情境21．定义向量数量积．弄清定义中涉及哪些量？它们有怎样的关系？运算结果是向量还是数量？2．如何确定两个非零向量的数量积的符号，什么情况下值为零？设计意图使学生从感性到理性去认知数量积的定义．通过对概念的认识、分析和探究，使学生加深理解，并掌握相关的性质及几何意义．同时加深对投影的认识．师生互动1．仿照物理问题建构“数学模型”，引入“向量数量积”的概念：已知两个非零向量a与b，把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作：a·b，即a·b＝|a||b|cosθ(其中θ是a与b的夹角)．|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．图42．规定：零向量与任何向量的数量积为0.3．(1)数量积运算结果的符号取决于a与b的夹角θ(θ∈[0，π])的大小；(2)两个向量的数量积是一个数量，它与两个向量的长度及其夹角有关；(3)符号a·b不能写成ab或a×b的形式；(4)找向量的夹角时，应将两向量的起点平移到同一个点上．4．探究其性质：(1)a⊥b⇔a·b＝0(a与b都是非零向量)；设置情境：若a·b＝0，则向量a与b至少有一个是零向量．类比a，b∈R时，若ab＝0⇔a＝0或b＝0.而且此性质在解决有关线段垂直问题时具有很好的作用．(2)当向量a与b共线同向时，a·b＝|a||b|；当向量a与b共线反向时，a·b＝－|a||b|.特别地a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a·a＝a2(与二次根式性质：a2＝|a|进行类比)．这是求向量长度的又一重要方法．情境3由学生自主学习来完成书本例题1.设计意图通过计算巩固对数量积定义的理解，进一步引导学生对|a·b|和|a||b|的大小关系进行一般的研究比较．师生互动从例1容易得出性质|a·b|≤|a||b|和数量积的几何意义．情境4给学生2～3分钟时间，阅读教材，并对前面所学的内容及研究方法作一个归纳小结．设计意图培养学生的阅读能力和及时进行归纳小结的学习习惯．把课堂还给学生，体现师生间的合作探究，不管是老师还是课件，都是为学生服务的，都在同步配合学生的学习和探索．师生互动学生通过自主阅读、总结并发表自己的看法，老师可以有针对性的进行学习方法点拨，并指出对学习过程进行及时反思的重要性．情境5运算律和运算是紧密相联的，类比实数运算中的运算律，探究平面向量数量积的运算律．设计意图通过类比、探究使学生得出数量积的运算律，进一步培养学生的逻辑思维和研究问题的能力．师生互动1．回顾实数运算中有关乘法的运算律．类比数量积的运算律，体会不同运算的运算律不尽相同，需要研究．已知向量a、b、c和实数λ，则(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.2．对向量数量积的运算律进一步研究．(1)a(b·c)＝(a·b)c成立吗？显然，等式左边与向量a共线，右边与向量c共线，而向量a 与c不一定共线，因此结论不一定成立；(2)由a·b＝b·c能否推出a＝c？(反例：当a＝0，b⊥c时，有a·b＝b·c＝0.但不能得到c ＝0)．结合实数a，b，c(b≠0)，有ab＝bc⇒a＝c进行类比，辨析．3．老师可以通过学生的讨论进行纠错，理解不同的运算具有不同的运算律，体会到数学的法则与法则之间的区别与联系．同时注意利用学生的错误这一重要资源，让学生更容易找到易错点和易混点，从而更清晰、准确地掌握知识．情境6例2、例3、例4的教学．设计意图1．要求学生体会实际解题中运算律的作用，比较向量运算与多项式乘法运算的异曲同工．2．学会利用数量积来解决有关垂直问题，体会运算律带来的优越性．3．上面几个例题，层层递进，都是把较难的问题转化为已经解决的较易的标准问题，体现了知识和方法上的转化．师生互动1．老师可以将例题内容与多项式乘法运算进行类比．2．让学生自己体会用数量积将“几何问题”化归为方程问题来求解的简练，进一步体现向量的工具作用．情境7课后反思：让学生回顾总结本节课的学习内容及探究、解决问题的方法．设计意图让学生整理相关的学习内容，使得“知识系统性、技能熟练性”得到更加充分的体现，体会所学知识的引入基础及探究、解决问题时用到的数学思想和数学方法，培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力．教学反思本节课教学效果不错，主要是把学习的主动权交还给学生，注意学生的主动探索、思考及师生互动，还以物理知识为背景，建立了数学的平面向量数量积的概念和运算．使得学习内容直观、生动，抓住重点．使学生懂得对已有的知识进行迁移、采用类比的方法让学生主动学习合作交流，体验数学的发现和创造过程，培养学生数学表达和交流的能力．在课堂中会体现自我，学会自己寻找解题的突破口，在探究中学会思考，在合作中学会推进，在观察中学会比较，进而推进整个教学程序的展开．但自我感觉“讲”的还是偏多了一点，对于学生解题中出现的错误这一资源展开、分析得不够，以后应该更加注意引导．。

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高中数学高考总复习平面向量的数量积及向量的应用习题及详解一、选择题1．（文)(2010·东北师大附中）已知｜a|＝6，｜b｜＝3，a·b＝－12,则向量a在向量b 方向上的投影是（）A．－4 B．4C．－2 D．2[答案] A［解析] a在b方向上的投影为错误!＝错误!＝－4。

（理）(2010·浙江绍兴调研)设a·b＝4，若a在b方向上的投影为2，且b在a方向上的投影为1,则a与b的夹角等于( )A.错误!B.错误!C。

错误!D。

错误!或错误!［答案］B[解析］由条件知,错误!＝2,错误!＝1，a·b＝4,∴|a|＝4,｜b｜＝2，∴cos〈a，b>＝错误!＝错误!＝错误!,∴〈a,b>＝错误!。

2．(文)（2010·云南省统考)设e1,e2是相互垂直的单位向量，并且向量a＝3e1＋2e2,b＝x e＋3e2，如果a⊥b,那么实数x等于( ）1A．－错误! B.错误!C．－2 D．2[答案］C[解析] 由条件知｜e1|＝|e2｜＝1,e1·e2＝0，∴a·b＝3x＋6＝0，∴x＝－2。

(理）（2010·四川广元市质检)已知向量a＝（2，1），b＝(－1，2），且m＝t a＋b，n＝a －k b(t、k∈R），则m⊥n的充要条件是( )A．t＋k＝1 B．t－k＝1C．t·k＝1 D．t－k＝0[答案] D［解析］m＝t a＋b＝(2t－1，t＋2)，n＝a－k b＝（2＋k，1－2k），∵m⊥n，∴m·n＝（2t－1）（2＋k）＋(t＋2)(1－2k）＝5t－5k＝0，∴t－k＝0.3．（文)（2010·湖南理)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则错误!·错误!等于( ) A．－16 B．－8C．8 D．16［答案] D[解析］因为∠C＝90°，所以错误!·错误!＝0，所以错误!·错误!＝(错误!＋错误!)·错误!＝｜错误!|2＋错误!·错误!＝AC2＝16。

(word完整版)高一数学数学必修4平面向量复习题(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(word完整版)高一数学数学必修4平面向量复习题(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1. 设a 、b 、c 是单位向量,且a ·b ＝0,则()()a c b c -•-的最小值为 ( D )A 。

2-B 。

22- C.1- D.12-解析,,a b c 是单位向量()()2()a c b c a b a b c c ∴-•-=-++|||12cos ,121|a b c a b c +=-<=-+>≥-。

2。

已知向量()2,1,10,||52a a b a b =⋅=+=,则||b = （ C ）A 。

5B 。

10 C.5 D. 25 解析 222250||||2||520||a b a a b b b =+=++=++||5b ∴=,故选C 。

3。

平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b = 则2a b +=( B )A 。

3B 。

23C 。

4D 。

2解析 由已知|a ｜＝2，|a ＋2b ｜2＝a 2＋4a·b＋4b 2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12∴2a b +=234. 在ABC ∆中，M 是BC 的中点，AM=1，点P 在AM 上且满足学2PA PM =,则()PA PB PC ⋅+等于( A )A 。

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课时目标 1.掌握数量积的坐标表示， 会进行平面向量数量积的坐标运算.2.能运用数量积的坐标表示求两个向量的夹角，会用数量积的坐标表示判断两个平面向量的垂直关系，会用数量的坐标表示求向量的模．1．平面向量数量积的坐标表示 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝____________. 即两个向量的数量积等于________________． 2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a ⊥b ⇔________________. 3．平面向量的模(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝________________.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝________________________. 4．向量的夹角公式 设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝________＝__________.一、选择题1．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．4 2．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．123．已知a ，b 为平面向量，a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B ．－865 C.1665 D ．－16654．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫79，73 B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79 D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 5．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝( ) A. 5 B.10 C ．5 D ．256．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( )A ．－17 B.17 C ．－16 D.16题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题7．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝________. 8．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝45，则b ＝________. 9．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为______． 10．已知a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，则λ的取值范围为________．三、解答题11．已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10. (1)求a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求a (b·c )及(a·b )c .12．已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， (1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两对角线所成的锐角的余弦值．能力提升13．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，a )，其中a 为实数，O 为原点，当此两向量夹角在⎝⎛⎭⎫0，π12变动时，a 的范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫33，3C.⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3) D ．(1，3)14．若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________.1．向量的坐标表示简化了向量数量积的运算．为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角答案知识梳理1．x 1x 2＋y 1y 2 相应坐标乘积的和 2．x 1x 2＋y 1y 2＝03．(1)x 21＋y 21 (2)(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 4.a·b|a||b | x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22作业设计1．C [由(2a －b )·b ＝0，则2a ·b －|b |2＝0， ∴2(n 2－1)－(1＋n 2)＝0，n 2＝3. ∴|a |＝1＋n 2＝2.故选C.] 2．B [a ＝(2,0)，|b |＝1， ∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos 60°＝1. ∴|a ＋2b |＝a 2＋4×a ·b ＋4b 2＝2 3.]3．C [∵a ＝(4,3)，∴2a ＝(8,6)．又2a ＋b ＝(3,18)，∴b ＝(－5,12)，∴a ·b ＝－20＋36＝16. 又|a |＝5，|b |＝13，∴cos 〈a ，b 〉＝165×13＝1665.]4．D [设c ＝(x ，y )，由(c ＋a )∥b 有－3(x ＋1)－2(y ＋2)＝0，① 由c ⊥(a ＋b )有3x －y ＝0，②联立①②有x ＝－79，y ＝－73，则c ＝(－79，－73)，故选D.]5．C [∵|a ＋b |＝52， ∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝5＋2×10＋b 2＝(52)2， ∴|b |＝5.]6．A [由a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，知λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)． 又(λa ＋b )·(a －2b )＝0，∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－17.]7．1解析 a －2b ＝(1，3)， (a －2b )·b ＝1×1＋3×0＝1. 8．(－4,8)解析 由题意可设b ＝λa ＝(λ，－2λ)，λ<0， 则|b |2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4， ∴b ＝－4a ＝(－4,8)． 9.655解析 设a 、b 的夹角为θ，则cos θ＝2×(－4)＋3×722＋32(－4)2＋72＝55，故a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝13×55＝655.或直接根据a·b|b |计算a 在b 方向上的投影．10.⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞) 解析 由题意cos α＝a·b|a||b |＝－2λ－15·λ2＋1，∵90°<α<180°，∴－1<cos α<0，∴－1<－2λ－15·λ2＋1<0，∴⎩⎨⎧－2λ－1<0，－2λ－1>－5λ2＋5，即⎩⎪⎨⎪⎧ λ>－12，(2λ＋1)2<5λ2＋5， 即⎩⎪⎨⎪⎧λ>－12，λ≠2，∴λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞)． 11．解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b ＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)． (2)∵b·c ＝1×2－2×1＝0， a·b ＝1×2＋2×4＝10， ∴a (b·c )＝0a ＝0， (a·b )c ＝10×(2，－1)＝(20，－10)．12．(1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)，又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)解 AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形， ∴AB →＝DC →.设C 点坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5. ∴C 点坐标为(0,5)．由于AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，所以AC →·BD →＝8＋8＝16， |AC →|＝2 5，|BD →|＝2 5. 设AC →与BD →夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45>0，∴解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.13．C[已知OA →＝(1,1)，即A (1,1)如图所示，当点B 位于B 1和B 2时，a 与b 夹角为π12，即∠AOB 1＝∠AOB 2＝π12，此时，∠B 1Ox ＝π4－π12＝π6，∠B 2Ox ＝π4＋π12＝π3，故B 1⎝⎛⎭⎫1，33，B 2(1，3)，又a 与b 夹角不为零，故a ≠1，由图易知a 的范围是⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3)．]14．－2解析 建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件即可知A (0,3)，B (－3，0)，M (0,2)， ∴MA →＝(0,1)，MB →＝(－3，－2)．∴MA →·MB →＝－2.附赠材料答题六注意 ：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。

向量一、选择题1．以下关于零向量的叙述中错误的是（ ）A ．零向量是长度为零的向量B ．零向量与任一向量平行C ．00=D ．零向量的方向是任意的 2．以下命题中，正确的是（ ）A ．若||||a b =，则a b =±B ．若||||a b >，则||||a c b c +>+C ．若a b =，则//a bD ．若a b ≠，则a 与b 不是共线向量 3．设O 是正△ABC 的中心，则向量AO 、OB 、OC 是： （ ） A ．有相同起点的向量 B ．平行向量 C ．模相等的向量 D ．相等的向量 4．下列命题中正确的是（ ）A ．若向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量B ．有相同起点的两个非零向量不平行C ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线D ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点。

5．有下列物理量○1质量；○2速度；○3位移；○4力；○5加速度；○6路程；○7刻度；○8功，其中不能称为向量的有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6．若命题:p a b =，命题:||||q a b =，则p 是q 的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 二、填空题7．四边形ABCD 满足AD BC =且AC BD =，则四边形ABCD 是 。

8．在正六边形ABCDEF 中，O 为中心。

（1）与AO 相等的向量有： ；（2）与CD 共线的向量有： （3）与BE 的模相等的向量有：9．已知,a b 是两个非零向量，且a 与b 不共线，若非零向量c 与a 共线，则c 与b 必定 。

（填共线、不共线或相等）10．已知,a b 为不共线的非零向量，且存在向量c ，使//,//c a c b ，则c = 。

三、解答题11．如图是35⨯的矩阵（每个小方格都是单位正方形），试问：起点和终点都在方格的顶点处且与向量AB 相等的向量共有几个？与向量AB向量方向相同且模为12．设在平面内给定了一个四边形ABCD ，点K 、L 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：KL NM =。