概率试卷模版

一、选择题1．小明制作了5张卡片，上面分别写了一个条件：①AB BC =；②AB BC ⊥；③AD BC =；④AC BD ⊥，⑤AC BD =．从中随机抽取一张卡片，能判定ABCD 是菱形的概率为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．452．小明在一次用频率估计概率的实验中,统计了某一结果出现的频率,并绘制了如图所示的统计图,则符合这一结果的实验可能是（ ）A ．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率B ．任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率C ．从一个装有4个黑球和2个白球的不透明袋子中任意摸出一球(小球除颜色外，完全相同)，摸到白球的概率D ．从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率3．在一个不透明的袋子中，装有红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它完全相同．若小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在0.15．和0.45，则该袋子中的白色球可能有( )A ．6个B ．16个C ．18个D ．24个4．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．若3枚鸟卵全部成功孵化，则3只雏鸟中恰有2只雄鸟的概率是（ ） A ．23B ．58C ．38D ．165．如图，随机闭合开关1S ，2S ，3S 中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为（ ）A ．23B ．12C ．13D ．166．如图所示，小明、小刚利用两个转盘进行游戏，规则为小明将两个转盘各转一次，如配成紫色（红与蓝），小明胜，否则小刚胜，此规则（ ）A ．公平B ．对小明有利C ．对小刚有利D ．公平性不可预测7．袋中装有3个绿球和4个红球，它们除颜色外，其余均相同。

从袋中摸出4个球，下列属于必然事件的是（ ） A ．摸出的4个球其中一个是绿球 B ．摸出的4个球其中一个是红球 C ．摸出的4个球有一个绿球和一个红球D ．摸出的4个球中没有红球8．同时抛掷完全相同的,A B 两个均匀的小立方体（每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6），两个立方体朝上的数字分别为,x y ，并以此确定(,)P x y ，那么点P 落在函数29y x =-+上的概率为（ ） A ．118B ．112C ．19D ．169．某校学生小明每天上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为13，遇到黄灯的概率为19，那么他遇到绿灯的概率为（ ） A ．13B ．23C ．49D ．5910．太原是我国生活垃圾分类的46个试点城市之一，垃圾分类的强制实施也即将提上日程根据规定，我市将垃圾分为了四类可回收垃圾、餐厨垃圾有害垃圾和其他垃圾现有投放这四类垃圾的垃圾桶各1个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率是（ ）A ．16B ．18C ．112D ．11611．甲袋中装有3个白球和2个红球，乙袋中装有30个白球和20个红球，这些球除颜色外都相同．把两只袋子中的球搅匀，并分别从中任意摸出一个球，从甲袋中摸出红球记为事件A ，从乙袋中摸出红球记为事件B ，则 A ．P (A )＞P (B )B ．P (A )＜P (B )C ．P (A )＝P (B )D ．无法确定12．下列说法正确的是（ ）A ．为了了解某中学1200名学生的视力情况，从中随机抽取了50名学生进行调查，在此次调查中，样本容量为50名学生的视力B ．若一个游戏的中奖率是2%，则做50次这样的游戏一定会中奖C ．了解无锡市每天的流动人口数，采用抽样调查方式D ．“掷一枚硬币，正面朝上”是必然事件二、填空题13．一只袋中装有三只完全相同的小球，三只小球上分别标有1，2-，3，第一次从袋中摸出一只小球，把这只小球的标号数字记作一次函数y kx b =+中的k ，然后放回袋中搅匀后，再摸出一只小球，把这只小球的标号数字记作一次函数y kx b =+中的b ．则一次函数y kx b =+的图象经过一、二、三象限的概率为______．14．三名运动员参加定点投篮比赛，原定出场顺序是：甲第一个出场，乙第二个出场，丙第三个出场，由于某种原因，要求这三名运动员用抽签方式重新确定出场顺序，则抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的概率为________．15．同时掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子点数之和小于5的概率是____________16．有四张不透明卡片，分别写有实数14，﹣115，除正面的数不同外其余都相同，将它们背面朝上洗匀后，从中任取一张卡片，取到的数是无理数的可能性大小是__．17．在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共60除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到白色球的频率稳定在30％左右，则口袋中白色球可能有______个．18．口袋内装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是310，摸到白球的概率是12，那么摸到黑球的概率是____． 19．已知抛物线的解析式为21y ax bx =++，现从﹣1，﹣2，﹣3，4四个数中任选两个不同的数分别作为a 、b 的值，则抛物线21y ax bx =++与x 轴有两个交点的概率是_____． 20．从1.2.3.4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a,c ，则关于x 的一元二次方程ax 2+4x +c ＝0有实数解的概率为____三、解答题21．小明和小王在玩数学游戏，袋子中装有四张分别标上数字2，3，4，5的卡片（卡片除数字外其余都相同），先抽取一张卡片记录下所标数字，不放回再抽取一张． （1）请你用画树状图或列表的方法列出所有可能结果． （2）求两次抽到卡片上的数字之和是7的概率．（3）双方约定规则：若两次抽到的数字之和为奇数，小明胜；若两数之和为偶数，则小王胜．该游戏规则对双方是否公平，请说明理由．22．某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以 下分别用 A 、B 、C 、D 表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，对某小区居民进行了抽样调 查，并将调查情况绘制成图1、图2两幅统计图（尚不完整）．请根据统计图解答下列问题：（1）将两幅不完整的统计图补充完整；（2）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数；（3）若有外形完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小韦吃了两个，用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．23．为了解某中学学生课余生活情况，对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计．现从该校随机抽取n名学生作为样本，采用问卷调查的方法收集数据（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项）．并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．由图中提供的信息，解答下列问题：（1）求n的值；（2）若该校学生共有1200人，试估计该校喜爱看电视的学生人数；（3）若调查到喜爱体育活动的4名学生中有3名男生和1名女生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，求恰好抽到2名男生的概率．24．如图，用红、蓝两种颜色随机地对A，B，C三个区域分别进行涂色，每个区域必须涂色并且只能涂一种颜色，请用列举法（画树状图或列表）求A，C两个区域所涂颜色不相同的概率．25．某校计划组建航模、摄影、乐器、舞蹈四个课外活动小组，要求每名同学必须参加，并且只能选择其中一个小组．为了解学生对四个课外活动小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把此次调查结果整理并绘制成如下两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次被调查的学生有__________人；（2）请补全条形统计图，并求出扇形统计图中“航模”所对应的圆心角的度数；（3）通过了解，喜爱“航模”的学生中有2名男生和2名女生曾在市航模比赛中获奖，现从这4个人中随机选取2人参加省青少年航模比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．26．在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t （单位：小时）．把调查结果分为四档，A 档：8t <；B 档：89t ≤<；C 档：910t ≤<；D 档：10t ≥．根据调查情况，给出了部分数据信息：①A 档和D 档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5； ②图1和图2是两幅不完整的统计图． 根据以上信息解答问题：（1）求本次调查的学生人数，并将图2补充完整； （2）已知全校共1200名学生，请你估计全校B 档的人数；（3）学校要从D 档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据菱形的判定方法求解即可．【详解】解：：①AB BC=；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判定ABCD是菱形；②AB BC⊥；根据有一个内角是直角的平行四边形是矩形，可判定ABCD是矩形；③AD BC=；是ABCD本身具有的性质，无法判定ABCD是菱形；④AC BD⊥，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判定ABCD是菱形；⑤AC BD=．根据对角线相等的平行四边形是矩形，可判定ABCD是矩形∴共有5种等可能结果，其中符合题意的有2种∴能判定ABCD是菱形的概率为25故选：B．【点睛】本题考查概率的计算及菱形的判定，掌握菱形的判定方法正确分析推理是解题关键．2．C解析：C【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．【详解】A、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为12，故此选项错误；B、任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率不确定，但不一定是0.33，故此选项错误；C、从一个装有4个黑球和2个白球的不透明袋子中任意摸出一球(小球除颜色外，完全相同)，摸到白球的概率221==0.334+263≈，故此选项正确；D、从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率14；故此选项错误；故选：C．【点睛】考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够分别求得每个选项的概率，然后求解，难度不大．3．B解析：B【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率=频数计算白球的个数，即可求出答案．【详解】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在0.15和0.45，∴摸到白球的频率为1-0.15-0.45=0.4，故口袋中白色球的个数可能是40×0.4=16个．故选：B．【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．4．C解析：C【分析】根据题意列举出所有情况，看三只雏鸟中恰有2只雄鸟的情况数占总情况数的多少即可．【详解】根据题意画图如下：共8种情况，三只雏鸟中恰有两只雄鸟有3种情况，所以概率为38．故选C．【点睛】此题考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到三只雏鸟中恰有两只雄鸟的情况数是解决本题的关键．5．C解析：C【分析】画出树状图，找出所有等可能的结果，计算即可.【详解】根据题意画出树状图如下：共有6种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发光的有2种情况，∴()21 = 63P两盏灯泡同时发光，故选C.【点睛】本题考查了列表法与树状图法，正确的画出树状图是解决此题的关键. 6．C解析：C【分析】根据题意画树形图即可判断．【详解】解：如图：根据树形图可知：所有等可能的情况有8种，其中配成紫色（红与蓝）的有3种，所以3588 P P（小明胜）（小刚胜）＝，＝所以此规则对小刚有利．故选：C．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.注意概率=所求情况数与总情况数之比.7．B解析：B【分析】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定事件．【详解】A．若摸出的4个球全部是红球，则其中一个一定不是绿球，故本选项属于随机事件；B．摸出的4个球其中一个是红球，故本选项属于必然事件；C．若摸出的4个球全部是红球，则不可能摸出一个绿球，故本选项属于随机事件；D．摸出的4个球中不可能没有红球，至少一个红球，故本选项属于不可能事件；故选B．【点睛】本题主要考查了随机事件，事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件．8．B解析：B【分析】画树状图展示所有36种等可能的结果数，其中点（2，5）、（3，3）、（4，1）在直线y=-2x+9上，然后根据概率公式求解即可．【详解】解：画树状图为：共有36种等可能的结果数，其中点（2，5）、（3，3）、（4，1）在直线y=-2x+9上，所以点P在直线y=-2x+9上的概率为31 3612.故选：B.【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．9．D解析：D【分析】根据在路口遇到红灯、黄灯、绿灯的概率之和是1，再根据在路口遇到红灯的概率为13，遇到黄灯的概率为19，即可求出他遇到绿灯的概率．【详解】∵经过一个十字路口，共有红、黄、绿三色交通信号灯，∴在路口遇到红灯、黄灯、绿灯的概率之和是1，∵在路口遇到红灯的概率为13，遇到黄灯的概率为19， ∴遇到绿灯的概率为1﹣13﹣19＝59； 故选：D ． 【点睛】此题考查了概率的意义，用到的知识点是概率公式，如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率A mP n=（）． 10．C解析：C 【分析】根据题意，由列表法得到投放的所有结果，然后正确的只有1种，即可求出概率. 【详解】解：由列表法，得：∴共有12种等可能的结果数，其中将两包垃圾随机投放到其中的两个垃圾箱中，能实现对应投放的结果为1种， ∴投放正确的概率为：112P =； 故选择：C. 【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，解题的关键是正确求出所有等可能的结果数.11．C解析：C 【分析】 根据P （A ）=mn分别计算事件发生的概率，进行比较 ． 【详解】 解：P （A ）=22=3+25，P （B ）=20230205=+ ∴P (A )＝P (B ) 故选：C. 【点睛】掌握事件发生的概率的求法P （A ）=mn是本题的解题关键. 12．C解析：C 【分析】根据样本容量为所抽查对象的数量，抽样调查，随机事件，即可解答． 【详解】解：A ．为了了解某中学1200名学生的视力情况，从中随机抽取了50名学生进行调查，在此次调查中，样本容量为50,不是50名学生的视力，故此项错误；B ．若一个游戏的中奖率是2%，2%是概率而不是做50次这样的游戏一定会中奖，故此项错误；C ．了解无锡市每天的流动人口数，采用抽查方式，正确；D ．“掷一枚硬币，正面朝上”是必然事件是随机事件，故此项错误； 故选：C ． 【点睛】本题考查了样本容量，抽样调查，随机事件，解决本题的关键是明确相关概念．二、填空题13．【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数再出k ＞0b ＞0的结果数然后根据一次函数的性质和概率公式求解【详解】画树状图为：共有9种等可能的结果数其中的结果数为4所以一次函数的图象经过一二三象限的概率解析：49【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，再出k ＞0，b ＞0的结果数，然后根据一次函数的性质和概率公式求解． 【详解】 画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中0k >，0b >的结果数为4， 所以一次函数y kx b =+的图象经过一、二、三象限的概率为49． 故答案为：49． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了一次函数的性质．14．【分析】首先根据题意画出树状图然后由树状图求得所有等可能的结果与抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的情况再利用概率公式即可求得答案【详解】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果抽签后每个运动员的出解析：1 3【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化有2种情况，∴抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的概率=13，故答案为：13．【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15．【分析】画树状图展示所有36种等可能的结果数再找出两枚骰子点数之和小于5的结果数然后根据概率公式求解【详解】解：画树状图为：共有36种等可能的结果数其中两枚骰子点数的和是小于5的结果数为6∴两枚骰子解析：1 6【分析】画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出“两枚骰子点数之和小于5”的结果数，然后根据概率公式求解.【详解】解：画树状图为：共有36种等可能的结果数，其中两枚骰子点数的和是小于5的结果数为6，∴两枚骰子点数之和小于5的概率是16，故答案为16．【点睛】此题考查列表法与树状图法求概率，解题关键在于画出树状图.16．【解析】四个数中无理数只有则取到的数是无理数的可能性大小是解析：1 4【解析】-1-5，则取到的数是无理数的可能性大小是1 417．18【分析】由频数=数据总数×频率计算即可【详解】∵摸到白色球的频率稳定在30左右∴口袋中白色球的频率为30故白色球的个数为60×30=18个故答案为：18【点睛】本题考查了利用频率估计概率难度适中解析：18【分析】由频数=数据总数×频率计算即可．【详解】∵摸到白色球的频率稳定在30%左右，∴口袋中白色球的频率为30%，故白色球的个数为60×30%=18个．故答案为：18．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，难度适中．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．18．【分析】根据摸出三种球的概率的和是1列式计算即可得解【详解】∵摸到红球的概率是摸到白球的概率是∴摸出黑球的概率是：故答案为：【点睛】本题考查了概率的意义理解总概率之和是1是解题的关键解析：15【分析】根据摸出三种球的概率的和是1列式计算即可得解． 【详解】∵摸到红球的概率是310，摸到白球的概率是12， ∴摸出黑球的概率是：3111--=1025故答案为：15． 【点睛】本题考查了概率的意义，理解总概率之和是1是解题的关键．19．【分析】根据题意可知有两个不相等的实数根结合概率公式进行分析计算即可【详解】解：由抛物线与轴有两个交点可知有两个不相等的实数根根据图可知共有12种不同的情况而满足有两个不相等的实数根的情况有9种所以解析：34【分析】根据题意可知21=0ax bx ++有两个不相等的实数根，结合概率公式进行分析计算即可. 【详解】解：由抛物线21y ax bx =++与x 轴有两个交点可知21=0ax bx ++有两个不相等的实数根，2=40b a ->，根据图可知共有12种不同的情况，而满足21=0ax bx ++有两个不相等的实数根的情况有9种，所以抛物线21y ax bx =++与x 轴有两个交点的概率是93124=. 故答案为：34. 【点睛】本题考查二次函数相关以及概率公式，熟练运用方程思维以及结合概率公式进行分析是解题的关键.20．【分析】首先画出树状图即可求得所有等可能的结果与使ac≤4的情况然后利用概率公式求解即可求得答案【详解】画树状图得：由树形图可知：一共有12种等可能的结果其中使ac≤4的有6种结果∴关于x 的一元二次 解析：12【分析】首先画出树状图即可求得所有等可能的结果与使ac≤4的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【详解】画树状图得：由树形图可知：一共有12种等可能的结果，其中使ac≤4的有6种结果，∴关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0有实数解的概率为12故答案为：1 2 .【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．三、解答题21．（1）答案见解析；（2）13；（3）不公平，理由见解析．【分析】（1）根据题意列出表格，注意是不放回，因此同一数字只能用一次；（2）一共有12种情况，数字和为7的共有4种情况，据此即可求解；（3）分别求出两种情况的概率，然后比较即可．【详解】（1）列表如下：（2）根据题意得：()741 123P==和是（3）不公平．理由如下： ∵()81232P ==小明胜，()34112P ==小王胜， ∵()()P P >小明胜小王胜 ∴双方不公平． 【点睛】本题考查了画树状图或列表法求概率，游戏的公平性判断，属于概率部分的重点题型，关键是列出表格或画出树状图． 22．（1）见解析；（2）3200人；（3）14【分析】（1）条形图补C ，扇形图补A 、C ，由A 知180人，只要知总数，用D 来求总数，总人数=D 类人数÷D 类占的百分比即可，（2）用部分估计总体，用D 类在样本中百分比×8000即可，（3）外形完全相同的 A 、B 、C 、D 粽各一个，小韦吃了一个，有四种可能选取，剩下三个时再吃一个，有三种可能，把各种情况用树状图表示，共12种情况，第二个吃到的恰好是C 粽，只有第一次吃A 、B 、D 三种情况，用概率公式计算即可． 【详解】解：（1）总人数=240÷40%=600（人），A 类百分比：180÷600×100%=30%，C 类百分比1-40%-10%-30%=20%，C 类人数=600×20%=120（人）， 补全统计图如下：（2）爱吃D 粽的人数有：800040%3200⨯=（人）， （3）根据题意，画树状图为：由图可知，一共有12种等可能的结果，其中第二个吃到的恰好是C粽的有3种结果，P∴（第二个吃到C粽）31 124 ==．【点睛】本题考查补全图形，爱吃人数，概率等知识，掌握公式：各类中人数=总人数×各部分占的比例，用样本估计总体，概率公式是关键．23．（1）50；（2）240；（3）1 2 .【分析】用喜爱社会实践的人数除以它所占的百分比得到n的值；先计算出样本中喜爱看电视的人数，然后用1200乘以样本中喜爱看电视人数所占的百分比，即可估计该校喜爱看电视的学生人数；画树状图展示12种等可能的结果数，再找出恰好抽到2名男生的结果数，然后根据概率公式求解.【详解】解：（1）510%50n=÷=；（2）样本中喜爱看电视的人数为501520510---=（人)，10120024050⨯=，所以估计该校喜爱看电视的学生人数为240人；（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到2名男生的结果数为6，所以恰好抽到2名男生的概率61 122 ==．【点睛】本题考查了列表法与树状图法；利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率，也考查了统计图.24．1 2【解析】试题分析：先根据题意画出树状图或列表，由图表求得所有等可能的结果与A，C两个区域所涂颜色不相同的的情况，利用概率公式求出概率.试题解：画树状图如答图：∵共有8种不同的涂色方法，其中A，C两个区域所涂颜色不相同的的情况有4种，∴P(A，C两个区域所涂颜色不相同)=4182=.考点：1．画树状图或列表法；2．概率．25．（1）60；（2）图详见解析，144°；（3）2 3【分析】（1）由摄影小组的人数及其对应的百分比可得总人数；（2）用（1）得到的总人数减去其它各小组的人数即可得到航模小组的人数，从而补全条形统计图，再用航模小组的人数除以总人数乘以360°即可得到“航模”所对应的圆心角的度数；（3）根据题意列表得出所有等可能的结果数和“恰好是1名男生和1名女生”的结果数，再根据概率公式即可得到答案．【详解】解：（1）9÷15%=60（人）（2）609151224---=（人）补全条形统计图如图学生选择课外活动小组的条形统计图。

TP-QS-2014xxxx XXXX培训XXXX培训考核试卷职工号：_________________姓名：_________________所属部门：_________________中核核电运行管理有限公司TP-QS-2014xxxx XXXX培训一、单选1. “眼睛盯着设备，用手接触设备（如不能接触，就用手指着设备）”这段描述指的是STAR明星自检中的哪一步骤？（）A stopB thinkC actD review答：C2. 生产经营单位对（）应当登记建档，定期检测、评估、监控，并制定应急预案，告知从业人员和相关人员应当采取的紧急措施。

A 事故频发场所B 每个操作岗位C 重大危险源答：C3. 突发事件应对工作实行（）的原则。

A 预防为主、防消结合B 预防为主、防治结合C 预防为主、预防与应急相结合答：C4. James Reason用“瑞士奶酪”模型主要是为了说明（）A 屏障和事件发生过程的关系B 组织与事件发生过程的关系C 个人与事件发生过程的关系D 制度与事件发生过程的关系答：A5. 人的固有局限性是导致人因失误的重要原因，如下选项中不属于人的固有局限性导致人因失误的是（）A 精力被分散B 状态波动C 自私自利，推卸责任D 一心二用答：C6. 按人因理论，人因失误指人员无意识的失误，下面不属于人因失误的是（）A 错误理解程序B 使用错误的程序C 注意力分散导致失误D 急于交班走捷径答：D7. 人因管理的意义就在于规范人员行为，减少人因失误，下列不属于防人因失误管理措施的是（）A 安全文化建设B 技能培训C 环境改善D 制定奖惩规定答：D8. 下面不属于针对规则性人因失效的预防措施的是（）A 基本原理培训B 质疑的态度C 减少时间压力D 工作规范化TP-QS-2014xxxx XXXX培训答：C9. 1942年，在美国的霍桑工厂进行了长达8年的“霍桑实验”，该试验的最初目的是找出（）对工作绩效的影响。

1.解不等式组3(1)511242x xxx-<+⎧⎪⎨-≥-⎪⎩，并指出它的所有非负整数解．2．我市自从去年九月实施高中新课程改革以来，高中学生在课堂上的“自主学习、合作交流”能力有了很大提高．张老师为了了解所教班级学生的“自主学习、合作交流”的具体情况，对该班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查，并将调查结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差，且将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，张老师一共调查了名学生，其中C类女生有名；（2）请将上面的条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．3．已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D 作DE⊥MN于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．2013-2014学年度第二学期瀛海学校九年级周质量检测数学试卷4.钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土（如图1），A 、B 、C 分别是钓鱼岛、南小岛、黄尾屿上的点（如图2），点C 在点A 的北偏东47°方向，点B 在点A 的南偏东79°方向，且A 、B 两点的距离约为5.5km ；同时，点B 在点C 的南偏西36°方向．若一艘中国渔船以30km/h 的速度从点A 驶向点C 捕鱼，需要多长时间到达（结果保留小数点后两位）？（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan47°≈1.07，tan36°≈0.73，tan11°≈0.19）5．水果店第一次用500元购进某种水果，由于销售状况良好，该店又用1650元购时该品种水果，所购数量是第一次购进数量的3倍，但进货价每千克多了0.5元． （1）第一次所购水果的进货价是每千克多少元？（2）水果店以每千克8元销售这些水果，在销售中，第一次购进的水果有5%的损耗，第二次购进的水果有2%的损耗．该水果店售完这些水果可获利多少元？。

一、试卷结构新高考数学试卷一般包括选择题、填空题、解答题三个部分，总分150分。

以下是试卷的大致模板：1. 选择题（共20题，每题3分，共60分）（1）选择题部分主要考察基础知识和基本技能，包括实数、代数式、函数、几何、概率统计等内容。

（2）选择题题型包括：单项选择题、多项选择题。

2. 填空题（共10题，每题5分，共50分）（1）填空题主要考察对基础知识的掌握程度，包括实数、代数式、函数、几何、概率统计等内容。

（2）填空题题型包括：填空题、计算题。

3. 解答题（共5题，每题20分，共100分）（1）解答题部分主要考察综合运用数学知识解决实际问题的能力。

（2）解答题题型包括：解答题、应用题、证明题。

二、试卷内容1. 选择题内容（1）实数：数的性质、实数运算、实数的大小比较等。

（2）代数式：代数式的化简、因式分解、二次根式等。

（3）函数：函数的定义、性质、图像、应用等。

（4）几何：平面几何、立体几何、解析几何等。

（5）概率统计：随机事件、概率、统计分布、统计推断等。

2. 填空题内容（1）实数：实数的运算、大小比较等。

（2）代数式：代数式的化简、因式分解、二次根式等。

（3）函数：函数的定义、性质、图像、应用等。

（4）几何：平面几何、立体几何、解析几何等。

（5）概率统计：随机事件、概率、统计分布、统计推断等。

3. 解答题内容（1）解答题：考察综合运用数学知识解决实际问题的能力。

（2）应用题：结合实际情境，考察学生的应用能力。

（3）证明题：考察学生的逻辑推理能力和证明能力。

三、试卷特点1. 注重基础知识的考察，体现数学学科的特点。

2. 考察学生的数学思维能力、运算能力和解决实际问题的能力。

3. 试题设计新颖，富有挑战性，有利于选拔优秀人才。

4. 试卷难度适中，既符合学生的认知水平，又具有一定的区分度。

四、注意事项1. 试卷在命题过程中，注意保持题目的科学性、严谨性、客观性和公正性。

2. 试题内容应与教材紧密结合，体现数学学科的核心素养。

全概率公式题目一、基础概念类题目。

题目1。

设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，…，Bn为S的一个划分，且P(Bi)>0（i = 1,2,…,n），则全概率公式为（）。

A. P(A)=∑_i = 1^nP(AB_i)P(B_i)B. P(A)=∑_i = 1^nP(B_iA)P(A)C. P(A)=∑_i = 1^nP(B_iA)P(B_i)D. P(A)=∑_i = 1^nP(AB_i)P(A)解析。

根据全概率公式的定义，设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，…，Bn为S的一个划分，且P(Bi)>0（i = 1,2,…,n），则P(A)=∑_i =1^nP(AB_i)P(B_i)。

所以答案是A。

题目2。

若事件B_1和B_2构成样本空间Ω的一个划分，P(B_1)=0.3，P(B_2)=0.7，已知P(AB_1) = 0.4，P(AB_2)=0.6，求P(A)。

解析。

根据全概率公式P(A)=P(AB_1)P(B_1)+P(AB_2)P(B_2)将P(B_1) = 0.3，P(B_2)=0.7，P(AB_1) = 0.4，P(AB_2)=0.6代入公式得：P(A)=0.4×0.3 + 0.6×0.7=0.12+0.42 = 0.54二、实际应用类题目。

题目3。

有三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球。

现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，求这个球是白球的概率。

解析。

设B_i表示取到第i个箱子（i = 1,2,3），A表示取出的球是白球。

P(B_1)=P(B_2)=P(B_3)=(1)/(3)P(AB_1)=(1)/(5)，P(AB_2)=(3)/(6)=(1)/(2)，P(AB_3)=(5)/(8)根据全概率公式P(A)=∑_i = 1^3P(AB_i)P(B_i)P(A)=(1)/(3)×(1)/(5)+(1)/(3)×(1)/(2)+(1)/(3)×(5)/(8)=(1)/(15)+(1)/(6)+(5)/(24)=(8 + 20+ 25)/(120)=(53)/(120)题目4。

2024年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷新课标Ⅱ卷养成良好的答题习惯，是决定成败的决定性因素之一。

做题前，要认真阅读题目要求、题干和选项，并对答案内容作出合理预测;答题时，切忌跟着感觉走，最好按照题目序号来做，不会的或存在疑问的，要做好标记，要善于发现，找到题目的题眼所在，规范答题，书写工整;答题完毕时，要认真检查，查漏补缺，纠正错误。

1.已知1i z =--，则||z =( ).A.0B.1 D.22.已知命题：:R p x ∀∈，|1|1x +>，命题:0q x ∃>，3x x =，则( ).A.p 和q 都是真命题B.p ⌝和q 都是真命题C.p 和q ⌝都是真命题D.p ⌝和q ⌝都是真命题3.已知向量a ，b 满足||1a =，|2|2a b +=，且(2)b a b -⊥，则||b =( ).A.12B.2C.2D.14.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）并部分整理如下表所示.根据表中数据，下列结论正确的是( )A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB.100块稻田中的亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过40%C.100块稻田亩产量的极差介于200kg 到300kg 之间D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg 到1000kg 之间5.已知曲线22:16(0)C x y y +=>，从C 上任意一点P 向x 轴作垂线PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为( ). A.221(0)164x y y +=> B.221(0)168x y y +=> C.221(0)164y x y +=> D.221(0)168y x y +=> 6.设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈-时，曲线()y f x =和()y g x =恰有一个交点，则a =( )A.-1B.12C.1D.27.已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为( ). A.12 B.1 C.2 D.38.设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为( ). A.18 B.14 C.12 D.19.对于函数()sin 2f x x =和π()sin 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，下列正确的有( ). A.()f x 与()g x 有相同零点B.()f x 与()g x 有相同最大值C.()f x 与()g x 有相同的最小正周期D.()f x 与()g x 的图像有相同的对称轴10.拋物线2:4C y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，对P 作22:(4)1A x y +-=的一条切线，Q 有切点，对P 作C 的垂线，垂足为B .则( ).A.l 与A 相切B.当P ，A ，B 三点共线时，||PQ =C.当||2PB =时，PA AB ⊥D.满足||||PA PB =的点A 有且仅有2个 11.设函数32()231f x x ax =-+，则( ).A.当1a >时，()f x 有一个零点B.当0a <时0x =是()f x 的极大值点C.存在a ，b 使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D.存在a 使得点(1,(1))f 为曲线()y f x =的对称中心12.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若347a a +=，2535a a +=，则10S =__________.13.已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan tan 4αβ+=，tan tan 1αβ=，则sin()αβ+=__________.14.在如图的44⨯方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有__________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是__________.15.记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A +=.（1）求A ；（2）若2a =sin 2C c B =，求ABC △周长.16.已知函数3()e x f x ax a =--.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若()f x 有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围.17.如图，平面四边形ABCD 中，8AB =，3CD =，AD =90APC ∠=︒，30BAD ∠=︒，点E ，F 满足25AE AD =，12AF AB =，将AEF △沿EF 对折至PEF △，使得PC =（1）证明：EF PD ⊥：（2）求面PCD 与PBF 所成的二面角的正弦值.18.某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分，若至少被投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p ，乙每次投中的概率为q ，各次投中与否相互独立.（1）若0.4p =，0.5q =，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5的概率；（2）假设0p q <<，（i ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，则该由谁参加第一阶段的比赛？ （ii ）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数与期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？19.已知双曲线22:(0)C x y m m -=>，点1(5,4)P 在C 上，k 为常数，01k <<，按照如下公式依次构造点(2,3,)n P n =，过点1n P -作斜率为k 的直线与C 的左支点交于点1n Q -，令n P 为1n Q -关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y .（1）若12k =，求2x ，2y ； （2）证明：数列{}n n x y -是公比为11k k +-的等比数列； （3）设n S 为12n n n P P P ++△的面积，证明：对任意的正整数n ，1n n S S +=.1. 2024年普通高等学校招生全国统一考试数学答案 新课标Ⅱ卷答案：C解析：||z =.2. 答案：B解析：1x =-时，|1|1x +<，p ∴错误，P ∴⌝和q 是真命题.3. 答案：A解析：(2)0b a b -⋅=，220b a b ∴-⋅=又||1a =，|2|4a b +=， 得1||2b =. 4. 答案：C解析：中位数错误，标差介于200kg ~300kg 之间，∴选C.5. 答案：A解析：设(,)P x y ，将坐标代入原方程联立，得M 方程221(0)164x y y +=>. 6. 答案：D解析：联立()()f x g x =，2(1)1cos 2a x x ax ∴+-=+，2a =代入方程，恰好得到一个极点，2a ∴=.7. 答案：B 解析：πtan 4α=，tan 1α∴=. 8. 答案：C解析：()()ln()f x x a x b =++，()()()f x x a h x =+⋅，(1)0g b -=， 10b a -+=，1a b ∴=-，222221(1)2212a b b b b b +=-+=-+=. 9. 答案：BC解析：A.令()0f x =，()0g x =，零点不同；B.()f x ，()g x 最大值相同；C.π()sin 22f x x Tf ===，π()2g x =，∴C 正确； D.()f x ，()g x 对称轴显然不同，∴D 错误.10. 答案：ABD解析：依次代入抛物线方程，联立求解，所以C 错，ABD 对.11. 答案：D解析：依次带入质检即可12AF F △后为直角三角形12212c F F =≥=，6C =，22||8a AF AF =-=，4a =，32c e a ==. 12. 答案：95解析：命题意图是考察正确应用等差数列的通项公式和求和公式以及会解相关方程 3412512573475a a a d a a a d +=+=⎧⎨+=+=⎩得143a d =-⎧⎨=⎩， 10110931040135952S a ⨯⨯∴=+=-+= 13.答案：3 解析：考察三角恒等式变形tan tan tan()1tan tan αβαβαβ⋅+===--⋅ 222sin ()cos ()19cos ()1a αββαβ+++=⇒+=1cos()3αβ∴+=-1sin()33αβ⎛⎫+=--= ⎪⎝⎭14. 答案：24；58解析：（1）41432124=⨯⨯⨯=（2）分别列出，13，14，15，16最大，1314151658+++=.15. 答案：（1）π6A =（2）2ABC C =+△解析：（1）sin 2A A +=2R ===2sin()2A φ+=π2A φ+=tan φ=π6A =. （2）24πsin 6aR ==sin 2sin cos C c B B =⋅2cos B =，π4B ∴= 54sin π12c =⋅22ABC C a b c ∴=++=+=+△16. 答案：（1）(e 3)2y x =-+（2）2e 8a > 解析：（1）(1)e 1f =-当1a =，1x =时(1)e 3f '=-(e 1)(e 3)(1)y x --=--(e 3)3e e 1y x ∴=-+-+-(e 3)2x =-+；（2）2()e 3x f x ax '=-，()0f x '=2e 30x ax -=2e 3x ax =()e 6x f x ax ''=-，2e 3x ax =，()3(2)f x ax x ''=-2x =时，2e 12a = 232(2)e 2e 8f a a =-⋅=- 代入，得2222e 2e (2)e 8e e 1233k f =-⋅=-= (2)0f <2e 80a ∴-<28e a >2e 8a > 2e ,8a ⎡⎫∴∈+∞⎪⎢⎣⎭. 17. 答案：（1）EF PD ⊥（2）正弦值为0解析：（1）证明：设A 的坐标为(0,0)，则B 为(8,0)，依次求出E ，(4,0)F ，(1,EF =，152D ⎛ ⎝⎭P 关于EF 的中点M 对称，3407,,2222M ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设(,)P x y ，7(2x t =+⋅，12y t =+⋅1593,,2222C ⎛⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭PC ∴=将x ，y 表达式代PC ==15,22PD x y ⎛⎫∴=-- ⎪ ⎪⎝⎭ 0EF PD ⋅=EF PD ∴⊥建立坐标系求出各点坐标，再利用向量相乘之积为0证明垂直（2）(8,0)PC =求出面PCD 与面PBF 的法向量1a ，2a 又1212sin 0||a a a a θ⋅==⋅ ∴正弦值为0.18. 答案：（1）0.686（2）（i ）乙（ii ）甲19. 答案：（1）23x =，20y =（2）证明见解析（3）证明见解析解析：（1）设(),n n n P x y2221n n x x a m∴-= ()n n y y k x x -=-()12n n y y x x -=--.22211221n n x x y x a m⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-= 1122n y x xn yn -=-++ 2n n x x y =- 代入222()1x yn y a m+-=得23x =，20y =. （2）()2221n n kx y kx x a m +--= 22222222221n n n n n n k x kxx kx y k x y k x x a m++-+∴-= 111n n x k x k++=- 利用等性证明。

分布列解答题1．某地机动车驾照考试规定：每位考试者在一年内最多有3次参加考试的机会，一旦某次考试通过,便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第三次为止,如果小王决定参加驾照考试，设它一年中三次参加考试通过的概率依次为0.6， 0.7, 0.8。

（1）求小王在一年内领到驾照的概率；(2）求在一年内小王参加驾照考试次数ξ的分布列和ξ的数学期望.2．某市在对高三学生的4月理科数学调研测试的数据统计显示,全市10000名学生的成绩服从正态分布()~110,144X N ，现从甲校100分以上（含100分）的200份试卷中用系统抽样的方法抽取了20份试卷来分析，统计如下：（注：表中试卷编号12452028n n n n n <<<<<<）（1)列出表中试卷得分为126分的试卷编号（写出具体数据); (2）该市又从乙校中也用系统抽样的方法抽取了20份试卷，将甲乙两校这40份试卷的得分制作了茎叶图(如图6），试通过茎叶图比较两校学生成绩的平均分及分散程度（均不要求计算出具体值，给出结论即可)；（3)在第（2）问的前提下,从甲乙两校这40名学生中，从成绩在140分以上（含140分）的学生中任意抽取3人，该3人在全市前15名的人数记为ξ,求ξ的分布列和期望。

(附:若随机变量X服从正态分布()2,N μσ，则()68.3%P X μσμσ-<<+=，(22)95.4%P X μσμσ-<<+=， (33)99.7%P X μσμσ-<<+=）3．某幼儿园为训练孩子的数字运算能力，在一个盒子里装有标号为1，2,3，4,5的卡片各2张,让孩子从盒子里任取3张卡片，按卡片上最大数字的9倍计分，每张卡片被取出的可能性都相等，用X 表示取出的3张卡片上的最大数字（1)求取出的3张卡片上的数字互不相同的概率； （2)求随机变量x 的分布列；（3)若孩子取出的卡片的计分超过30分，就得到奖励，求孩子得到奖励的概率4．2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元）,均可抽奖一次，抽奖方案有两种,顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个,黑球7个）的抽奖盒中,一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球,享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折;若没摸出红球,则不打折。

甲乙轮流掷硬币，正面得分.得1分胜，则先掷胜率多大？得2分胜，先掷胜率。

有10个箱子，编号为1，2，…，10,各配一把钥匙，10把各不相同，每个箱子放进一把钥匙锁好，先撬开1,2号箱子，取出钥匙去开别的箱子，把所有箱子的锁都打开概率证明：k m C 12-是奇数(k ≥1).三个人传球，从甲开始发球，每次接球后将球传给另外两人中的任意一个,经5次传球后,球仍回到甲手中的传法有_________种.已知A=｛0，1，2,3，4，5,6，7｝，映射f:A →A 满足：(1）若i ≠j,则f （i)≠f(j ）;（2）若i+j=7，则f （i ）+f （j ）=7，这样的映射的个数为_________。

甲、乙两人轮流向同一目标射击，第一次甲射击，以后轮流射击，甲每次击中的概率为p （0<p<1），乙每次击中的概率为q （0〈q 〈1），求甲、乙首先击中的概率各是多少?2)1(+n n 个不同的数随机排成角形阵,设M k 是从上往下第k 行中的最大数，求M 1〈M 2<…〈M n 的概率.一项“过关游戏”规定：在第n 关要抛掷一颗骰子n 次，如果这n 次抛掷所得到的点数之和大于2n ，则算过关。

问：（1）某人在这项游戏中最多能过几关？（2）他连过前三关的概率是多少?有A ，B 两个口袋，A 袋中有6张卡片，其中1张写有0，2张写有1，3张写有2；B 袋中有7张卡片,其中4张写有0，1张写有1，2张写有2。

从A 袋中取出1张卡片，B 袋中取2张卡片，共3张卡片.求:（1）取出3张卡片都写0的概率；（2）取出的3张卡片数字之积是4的概率；（3）取出的3张卡片数字之积的数学期望。

袋中有a 个黑球与b 个白球，随机地每次从中取出一球(不放回)，第k （1≤k ≤a+b ）次取到黑球的概率为_________.若n ∈N ， n ≥2，求证：.3112<⎪⎭⎫ ⎝⎛+<nn某列火车有n 节旅客车厢,进站后站台上有m （m ≥n)名旅客候车,每位旅客随意选择车厢上车,则每节车厢都有旅客上车的概率是_________。

一、选择题1．下列事件中，是随机事件的是（）A．明天河南有新冠肺炎输入病例B．十三个人中，有人出生在同一个月C．地球绕着太阳转D．掷一次骰子，向上一面的点数是72．从2020年10月12日起，金牛实验中学校开展施行“垃圾分类”主题教育，如图是生活中的四个不同的垃圾分类（A、B、C、D）投放桶．小明投放了两袋垃圾．不同类的概率是（）．A．13B．23C．14D．343．由两个可以自由转动的转盘、每个转盘被分成如图所示的几个扇形、游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一转盘转出了蓝色，游戏者就配成了紫色，下列说法正确的是（）A．两个转盘转出蓝色的概率一样大B．如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性变小了C．游戏者配成紫色的概率为1 6D．先转动A转盘再转动B转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率不同4．下列说法中正确的是（）A．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件B．“x2＜0（x是实数）”是随机事件C．掷一枚质地均匀的硬币10次，可能有5次正面向上D．为了了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况，宜采用普查方式调查5．下列说法：①“明天的降水概率为80%”是指明天有80%的时间在下雨；②连续抛一枚硬币50次，出现正面朝上的次数一定是25次（）A．只有①正确B．只有②正确C．①②都正确D．①②都错误6．下列事件中，属于必然事件的是（）A．三角形的外心到三边的距离相等B．某射击运动员射击一次，命中靶心C．任意画一个三角形，其内角和是 180°D．抛一枚硬币，落地后正面朝上7．一只小狗在如图的方砖上走来走去，最终停在阴影方砖上的概率是（）A．13B．415C．15D．2158．下列事件中，属于必然事件的是（）A．深圳明天会下大暴雨B．打开电视机，正好在播足球比赛C．在13个人中，一定有两个人在同月出生D．小明这次数学期末考试得分是80分9．小王掷一枚质地均匀的硬币，连续抛3次，硬币均正面朝上落地，如果他再抛第4次，那么硬币正面朝上的概率为（）A．1 B．12C．14D．1510．如图，随机闭合开关1S，2S，3S中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为（）A．23B．12C．13D．1611．现有两个可以自由转动的转盘，每个转盘分成三个相同的扇形，涂色情况如图所示，指针的位置固定，同时转动两个转盘，则转盘停止后指针指向同种颜色区域的概率是（）A ．19B ．16C ．23D ．1312．某校学生小明每天上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为13，遇到黄灯的概率为19，那么他遇到绿灯的概率为（ ） A ．13B ．23C ．49D ．59二、填空题13．在一个不透明的袋子中放有m 个球，其中有6个红球，这些球除颜色外完全相同．若每次把球充分搅匀后，任意摸出一球记下颜色后再放回袋子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.3左右，则m 的值约为________．14．2020 年“中华魂”读书活动的主题为“科技托起强国梦”，现准备从万州二中校园电视台2名男主播和3名女主播中任选两人担任演讲比赛主持人，则选中一男一女的概率为__________．15．综合实践小组的同学做了某种黄豆在相同条件下的发芽试验，结果如表，那么这种黄豆发芽的概率约为__________．（结果精确到0.01） 每批粒数n 800 100012001400 1600 1800 2000发芽的频数m 76294811421331151817101902发芽的频率mn0.953 0.948 0.952 0.951 0.949 0.950 0.95116．从21012--，，，，这五个数中任取一个数，作为关于x 的一元二次方程220x x k ++=中k 的值，则所得方程中有两个不相等的实数根的概率为______．17．桌上放有完全相同的三张卡片，卡片上分别标有数字2，1，4，随机摸出一张卡片（不放回），其数字为p ，随机摸出另一张卡片，其数字记为q ，则满足关于x 的方程x 2+px+q ＝0有实数根的概率是_____．18．已知抛物线的解析式为21y ax bx =++，现从﹣1，﹣2，﹣3，4四个数中任选两个不同的数分别作为a 、b 的值，则抛物线21y ax bx =++与x 轴有两个交点的概率是_____．19．已知一个口袋中装有7张只有颜色不同的卡片，其中3张白色卡片，4张黑色卡片，若往口袋中再放入x 张白色卡片和y 张黑色卡片，从口袋中随机取出一张白色卡片的概率是14，则y 与x 之间的函数关系式为_____． 20．一个不透明的袋中有四张形状大小质地完全相同的卡片，它们上面分别标有数字﹣1、2、3、4，随机抽取一张卡片不放回，再随机抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上数字之和为奇数的概率是_____三、解答题21．2020年庚子鼠年来临之际，一场来势汹汹的疫情，给我国带来了新的考验，疫情防控的人民战争在全国打响，举国上下团结奋斗、共克时艰，中国精神成为抗击病魔的利剑，是疫情防控战役中致胜的法宝，某医院为了鼓励工作人员抗击疫情，做如下活动：在一个不透明的盒子中装有4张分别标有A 、B 、C 、D 的卡片，A 、B 、C 、D 四张卡片的背面分别写有“防护、抗击、团结、奋斗”，它们的形状、大小完全相同，现随机从盒子中摸出两张卡片．（1）请用树状图或列表法表示摸出的两张卡片可能出现的所有结果； （2）求摸出的两张卡片中的词语能组成“团结奋斗”的概率．22．汉代数学家赵爽在注解《周髓算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图①，在Rt ABC ∆中，90C =∠，两条直角边长分别为,a b ，斜边长为c ．现将与Rt ABC ∆全等的四个直角三角形拼成一个正方形EFMN ，如图②这个图形就是“赵爽弦图”()1利用“赵爽弦图”验证勾股定理．()2若Rt ABC ∆的两直角边之比均为2：5．现随机向图②图形内掷一枚小针，则针尖落在四个直角三角形区域的概率是多少？()3若正方形EFMN 的边长为6,Rt ABC ∆的周长为14，求Rt ABC ∆的面积．23．两个不透明的箱子里各装有两个完全相同的球，分别标有数字1，2和3，4.每次分别从两个箱子里各摸出一个球，计算两个球上的数字之积.（1）利用树状图或列表法表示这两个球上的数字之积可能出现的结果；（2）求积的结果为3的倍数的概率是多少？24．某校为了解九年级学生的体育达标情况，随机抽取50名九年级学生进行体育达标项目测试，测试成绩如下表，请根据表中的信息，解答下列问题：测试成绩（分）2325262830人数（人）4181585（1）该校九年级有450名学生，估计体育测试成绩为25分的学生人数；（2）该校体育老师要对本次抽测成绩为23分的甲、乙、丙、丁4名学生进行分组强化训练，要求两人一组，求甲和乙恰好分在同一组的概率．（用列表或树状图方法解答）25．在一个不透明的布袋里装有4个标有1、2、3、4的小球，它们的形状、大小完全相同，李强从布袋中随机取出一个小球，记下数字为x，王芳在剩下的3个小球中随机取出x,y一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标()()1画树状图列表，写出点M所有可能的坐标；()2求点()M x,y在函数y x1=+的图象上的概率．26．甲、乙两同学玩转盘游戏时，把质地相同的两个盘A、B分别平均分成2份和3份，并在每一份内标有数字如图．游戏规则：甲、乙两同学分别同时转动两个转盘各1次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为偶数时甲胜；数字之积为奇数时乙胜．若指针恰好在分割线上，则需要重新转动转盘．（1）用树状图或列表的方法，求甲获胜的概率；（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请判断并说明理由【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】解：A、是随机事件，故A符合题意．B、是必然事件，故B不符合题意．C、是必然事件，故C不符合题意．D、是不可能事件，故D不符合题意．故选A．【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2．D解析：D【分析】先利用树状图法列举出所有可能，再利用概率公式求出答案．【详解】四个不同的垃圾桶分别记为A，B，C，D表示，根据题意画图如下：由树状图知，小明投放的垃圾共有16种等可能结果，其中小明投放的两袋垃圾不同类的有12种结果，所以小明投放的两袋垃圾不同类的概率为123 164．故选：D．【点睛】此题主要考查了树状图法求概率，正确利用列举出所有可能是解题关键．3．C解析：C【分析】根据古典概率模型的定义和列树状图求概率分别对每个选项逐一判断可得．【详解】解：A、A盘转出蓝色的概率为12、B盘转出蓝色的概率为13，此选项错误；B、如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性不变，此选项错误；C、画树状图如下：由于共有6种等可能结果，而出现红色和蓝色的只有1种，所以游戏者配成紫色的概率为16，D、由于A、B两个转盘是相互独立的，先转动A转盘再转动B转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率相同，此选项错误；故选：C．【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．4．C解析：C【解析】试题分析：选项A中的事件是随机事件，故选项A错误；．选项B中的事件是不可能事件，故选项B错误；．选项C中的事件是随机事件，故选项C正确；．选项D中的事件应采取抽样调查，普查不合理，故选D错误；．故选C．考点：概率的意义；全面调查与抽样调查；随机事件；探究型．5．D解析：D【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．【详解】①“明天的降水概率为80%”是指是指明天下雨的可能性是80%，不是有80%的时间在下雨，故①错误；②“连续抛一枚硬币50次，出现正面朝上的次数一定是25次”，这是一个随机事件，抛一枚硬币，出现正面朝上或者反面朝上都有可能，但事先无法预料，故②错误；①和②都是错误的．故选D．【点睛】本题考查概率的相关概念．不确定事件是可能发生也可能不发生的事件．正确理解随机事件、不确定事件的概念是解决本题的关键．6．C解析：C【解析】分析：必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．详解：A、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三边的距离相等，是不可能事件，故本选项不符合题意；B、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；C、三角形的内角和是180°，是必然事件，故本选项符合题意；D、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意；故选C．点睛：解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．7．C解析：C【分析】先求出阴影方砖在整个方砖中所占面积的比值，再根据其比值即可得出结论．【详解】∵图中共有15个方砖，其中阴影方砖3个，∴阴影方砖在整个方砖中所占面积的比值=315=15，∴最终停在阴影方砖上的概率为15，故选C．【点睛】本题考查的是几何概率，熟知概率公式是解答此题的关键．8．C解析：C【分析】根据事件的分类判断，必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可解决．【详解】A、深圳明天会下大暴雨，是随机事件，故本选项错误；B、打开电视机，正好在播足球比赛，是随机事件，故本选项错误；C、在13个人中，一定有两个人在同月出生，是必然事件，故本选项正确；D、小明这次数学期末考试得分是80分，是随机事件，故本选项错误．故选：C．【点睛】本题考查的是随机事件，事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．9．B解析：B【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果，可得答案．【详解】因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是12，故选：B．【点睛】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件发生的概率在0和1之间．10．C解析：C【分析】画出树状图，找出所有等可能的结果，计算即可.【详解】根据题意画出树状图如下：共有6种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发光的有2种情况，∴()21 = 63P两盏灯泡同时发光，故选C.【点睛】本题考查了列表法与树状图法，正确的画出树状图是解决此题的关键.11．A解析：A【分析】列举出所有情况，看转盘停止后指针指向同种颜色区域的情况数占总情况数的多少即可．【详解】解：如图共9种情况，转盘停止后指针指向同种颜色区域的情况数是1， 所以概率为19． 故选A ． 【点睛】考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的易错点．12．D解析：D 【分析】根据在路口遇到红灯、黄灯、绿灯的概率之和是1，再根据在路口遇到红灯的概率为13，遇到黄灯的概率为19，即可求出他遇到绿灯的概率． 【详解】∵经过一个十字路口，共有红、黄、绿三色交通信号灯， ∴在路口遇到红灯、黄灯、绿灯的概率之和是1， ∵在路口遇到红灯的概率为13，遇到黄灯的概率为19， ∴遇到绿灯的概率为1﹣13﹣19＝59； 故选：D ． 【点睛】此题考查了概率的意义，用到的知识点是概率公式，如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率A m P n（）． 二、填空题13．20【分析】根据频率估计概率简单事件的概率公式即可得【详解】由题意得：任意摸出一球是红球的概率约为则解得故答案为：20【点睛】本题考查了频率估计概率简单事件的概率公式熟练掌握频率估计概率是解题关键解析：20 【分析】根据频率估计概率、简单事件的概率公式即可得． 【详解】由题意得：任意摸出一球是红球的概率约为0.3，则60.3 m≈，解得20m≈，故答案为：20．【点睛】本题考查了频率估计概率、简单事件的概率公式，熟练掌握频率估计概率是解题关键．14．【分析】先列表求出所有情况数然后再确定一男一女的情况数最后运用概率公式计算即可【详解】解：列表如下：男1 男2 女1 女2 女3 男1 （男1男2）（男1女1）（男1女2）（男1女3）解析：3 5【分析】先列表求出所有情况数，然后再确定一男一女的情况数，最后运用概率公式计算即可．【详解】解：列表如下：所以由概率公式可得选中一男一女的概率为123= 205．故答案为35．【点睛】本题主要考查了运用列表法求概率，正确的列表是解答本题的关键．15．【分析】观察表格得到这种黄豆发芽的频率稳定在095附近即可估计出这种黄豆发芽的概率【详解】当n足够大时发芽的频率逐渐稳定于095故用频率估计概率黄豆发芽的概率估计值是095故答案为：095【点睛】本解析：0.95【分析】观察表格得到这种黄豆发芽的频率稳定在0.95附近，即可估计出这种黄豆发芽的概率．【详解】当n 足够大时，发芽的频率逐渐稳定于0.95，故用频率估计概率，黄豆发芽的概率估计值是0.95． 故答案为：0.95． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．16．【分析】利用根的判别式求出方程有两个不相等的实数根时k 的取值范围再求出概率【详解】解：要使方程有两个不相等的实数根则即解得∴满足条件∴概率是故答案是：【点睛】本题考查概率求解和一元二次方程根的判别式解析：35【分析】利用根的判别式求出方程有两个不相等的实数根时k 的取值范围，再求出概率． 【详解】解：要使方程有两个不相等的实数根，则0∆>，即440k ->，解得1k <， ∴2-、1-、0满足条件， ∴概率是35． 故答案是：35． 【点睛】本题考查概率求解和一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握求解概率的方法，和利用一元二次方程根的判别式判断方程解的情况的方法．17．【分析】画树状图列出所有等可能结果从中依据根的判别式找到使方程x2+px+q=0有实数根的结果数利用概率公式计算可得【详解】画树状图如下：由树状图知共有6种等可能结果其中使关于x 的方程x2+px+q 解析：12【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中依据根的判别式找到使方程x 2+px+q=0有实数根的结果数，利用概率公式计算可得． 【详解】 画树状图如下：由树状图知共有6种等可能结果，其中使关于x 的方程x 2+px+q=0有实数根的结果有3种结果，∴关于x 的方程x 2+px+q=0有实数根的概率为3=612， 故答案为12. 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18．【分析】根据题意可知有两个不相等的实数根结合概率公式进行分析计算即可【详解】解：由抛物线与轴有两个交点可知有两个不相等的实数根根据图可知共有12种不同的情况而满足有两个不相等的实数根的情况有9种所以解析：34【分析】根据题意可知21=0ax bx ++有两个不相等的实数根，结合概率公式进行分析计算即可. 【详解】解：由抛物线21y ax bx =++与x 轴有两个交点可知21=0ax bx ++有两个不相等的实数根，2=40b a ->，根据图可知共有12种不同的情况，而满足21=0ax bx ++有两个不相等的实数根的情况有9种，所以抛物线21y ax bx =++与x 轴有两个交点的概率是93124=. 故答案为：34. 【点睛】本题考查二次函数相关以及概率公式，熟练运用方程思维以及结合概率公式进行分析是解题的关键.19．y=3x+5【分析】根据取出白色卡片的概率公式得到相应的方程求解即可【详解】解：∵取出一个白色卡片的概率P ＝∴12+4x=7+x+y ∴y 与x 的函数关系式为：y=3x+5故答案为：y=3x+5【点睛】解析：y=3x+5【分析】根据取出白色卡片的概率公式得到相应的方程求解即可．【详解】解：∵取出一个白色卡片的概率P＝31 74xx y+=++，∴12+4x=7+x+y，∴y与x的函数关系式为：y=3x+5，故答案为：y=3x+5．【点睛】本题考查了概率的计算，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．20．【分析】画树状图求出所有等可能的结果数再找出两次抽取的卡片上数字之和为奇数的结果数然后根据概率公式求解【详解】根据题意画树状图如下：∵共有12种等可能的结果数其中两次抽取的卡片上数字之和为奇数的情况解析：2 3【分析】画树状图求出所有等可能的结果数，再找出两次抽取的卡片上数字之和为奇数的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】根据题意画树状图如下：∵共有12种等可能的结果数，其中两次抽取的卡片上数字之和为奇数的情况数为8，∴两次抽取的卡片上数字之和为奇数的概率是：82123=，故答案为：23．【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．三、解答题21．（1）树状图如图所示，见解析；（2）摸出的两张卡片中的词语能组成“团结奋斗”的概率是16．【分析】（1）根据题意可以画出相应的树状图；（2）根据（1）中的树状图可以求得摸出的两张卡片中的词语能组成“团结奋斗”的概率． 【详解】解：（1）树状图如下图所示，（2）由树状图得：共有12个等可能的结果，摸出的两张卡片中的词语能组成“团结奋斗”的结果有2个，∴摸出的两张卡片中的词语能组成“团结奋斗”的概率是：21126=． 【点睛】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．22．()1证明见解析．()20229()37【分析】（1）根据正方形面积的两种求法进行计算求证；（2）设5,2a x b x ==，分别计算四个直角三角形、正方形的面积进行求解； （3）根据三角形周长和勾股定理计算ab 的值，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】 解：()1,EF c =2c MNEF S ∴=四边形，①又正方形MNEF 的面积可以看成4个三角形与一个小正方形之和，()2142MNEF S ab a b ∴=⋅+-四边形2222ab a ab b =+-+ 22a b =+，②∴由①、②可得：222c a b =+，即在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；()2由()1可得：22MNEF S a b =+四边形，且Rt ABC ∆的两直角边之比均为2:5,设5,2a x b x ==，则()()2225229MNEF S x x x =+=四边形， 四个直角三角的面积21452202Sx x x =⋅⋅⋅=， 2220202929MNEFS x P S x ∴===四边形 即针尖落在四个直角三角形区域的概率为2029； ()3正方形EFMN 的边长为6，6,AB ∴=又,AC b BC a ==， 三角形ABC 的周长为14,22286a b a b +=⎧∴⎨+=⎩解得：14,ab =172Rt ABC S ab ∆∴==，即Rt ABC ∆的面积为7． 【点睛】本题考查勾股定理、完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变形是关键． 23．（1）见解析；（2）12【分析】（1）画树状图即可得出两个球上的数字之积可能出现的结果； （2）找出是3的倍数的结果，利用概率公式计算即可． 【详解】解：(1)画树状图如下：由树状图可知，这两个球上的数字之积共有4种等可能的结果，即3，4，6，8； (2)∵这个积为3的倍数的结果有2种， ∴P(这个积为3的倍数)＝2142=． 【点睛】本题考查了树状图法或列表法求概率、概率公式，熟练掌握树状图法求概率的步骤是解答的关键．24．（1）162; （2）16【分析】（1）由总人数乘以25分的学生所占的比例即可；（2）画树状图可知：共有12个等可能的结果，甲和乙恰好分在同一组的结果有2个，由概率公式即可得出结果． 【详解】 解：（1）1845016250⨯=（人）， 答：该校九年级有450名学生，估计体育测试成绩为25分的学生人数为162人； （2）画树状图如图：共有12个等可能的结果，甲和乙恰好分在同一组的结果有2个，∴甲和乙恰好分在同一组的概率为21126=． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法，统计表等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 25．()1见解析；()124． 【分析】(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果； (2)找出点(x ，y)在函数y=x+1的图象上的情况，利用概率公式即可求得答案． 【详解】()1画树状图得：共有12种等可能的结果()1,2、()1,3、()1,4、()2,1、()2,3、()2,4、()3,1、()3,2、()3,4、()4,1、()4,2、()4,3；()2在所有12种等可能结果中，在函数y x 1=+的图象上的有()1,2、()2,3、()3,4这3种结果，∴点()M x,y 在函数y x 1=+的图象上的概率为31124=． 【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，一次函数图象上点的坐标特征.注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比． 26．（1） 23；（2）这个游戏规则对甲、乙双方不公平． 【分析】（1）画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出指针所在区域的数字之积为偶数的结果数，然后根据概率公式计算； （2）利用甲胜的概率＝23，乙胜的概率＝13，从而可判断这个游戏规则对甲、乙双方不公平． 【详解】解：（1）画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中指针所在区域的数字之积为偶数的结果数为4， 所以甲胜的概率＝46＝23； （2）这个游戏规则对甲、乙双方不公平． 理由如下： ∵甲胜的概率＝23， ∴乙胜的概率＝13， ∵23≠13， ∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平． 【点睛】本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．。