2013年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标一)及答案

2013年高考文科数学真题及答案全国卷1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }，则A ∩B ＝( )．A ．{1,4}B ．{2,3}C ．{9,16}D ．{1,2} 【答案】A【考点】本题主要考查集合的基本知识。

【解析】∵B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }＝{1,4,9,16}， ∴A ∩B ＝{1,4}．2．(2013课标全国Ⅰ，文2)212i1i +(-)＝( )．A.B ．11+i 2- C ． D ．【答案】B【考点】本题主要考查复数的基本运算。

【解析】212i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-＝11+i 2-.3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )．A ．12B ．13C ．14D ．16【答案】B【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。

【解析】由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为13. 4．(2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )．A ．B ．C ．12y x =±D ．【答案】C【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。

【解析】∵5e =5c a =2254c a =.∵c 2＝a 2＋b 2，∴2214b a =.∴12b a =.∵双曲线的渐近线方程为by x a=±，∴渐近线方程为12y x =±.故选C.5．(2013课标全国Ⅰ，文5)已知命题p ：?x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：?x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )．A ．p ∧qB ．⌝p ∧qC ．p ∧⌝qD ．⌝p ∧⌝q 【答案】B【考点】本题主要考查常用逻辑用语等基本知识。

2013年全国高考试题独家解析(新课标卷Ⅰ)文科数学试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

（1）已知集合{1,2,3,4}A =，2{|,}B x x n n A ==∈,则A B =（ ）（A ）{}14， （B ）{}23，（C ）{}916，（D ）{}12，（2）212(1)ii +=-（ ） （A ）112i --（B ）112i -+（C ）112i +（D ）112i -（3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ） （A ）12 （B ）13 （C ）14（D ）16（4）已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的离心率为2，则C 的渐近线方程为（ ）（A ）14y x =±（B ）13y x =± （C ）12y x =±（D ）y x =± （5）已知命题:p x R ∀∈，23x x <；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是：（ ）（A ）p q ∧ （B ）p q ⌝∧ （C ）p q ∧⌝ （D ）p q ⌝∧⌝ （6）设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） （A ）21n n S a =- （B ）32n n S a =-（C ）43n n S a =-（D ）32n nS a =-（7）执行右面的程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出的S 属于（A ）[3,4]- （B ）[5,2]- （C ）[4,3]- （D ）[2,5]-（8）O 为坐标原点，F为抛物线2:C y =的焦点，P 为C上一点，若||PF =，则POF ∆的面积为（ ） （A ）2（B） （C） （D ）4（9）函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（ ）A B C D（10）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（ ）（A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（ ）（A ）168π+ （B ）88π+ （C ）1616π+ （D ）816π+（12）已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）（A ）(,0]-∞ （B ）(,1]-∞ (C) [2,1]- (D) [2,0]-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类( 全国卷I新课标)第Ⅰ卷5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目一、选择题：本大题共12小题，每小题要求的．1．已知集合A＝{1,2,3,4}2 ，n∈A} ，则A∩B＝( ，B＝{ x| x＝n) ．A．{1,4}．{1,2}．{2,3}B．{9,16}C D1 1 2ii＝( ) ．2．21 1 1 11 i 1+ i 1+ i 1 iA．2中任取2 2 22 的概率是．．．B C D3．从1,2,3,41A．22 个不同的数，则取出的个数之差的绝对值为) ．2(131 14 6B C D．．．2 2 52，则 C 的渐近线方程为() ．x y4．( ，文4) 已知双曲线C：=12 2( a＞0，b＞0) 的离心率为a b1 14 1 2x x x3．y＝．y＝B CA．y＝5．( ，文5) 已知命题D．y＝±xp：? x∈R,2x＜3 x；命题q：?x∈R，x3 ＝1－x2，则下列命题中为真命题的是q() ．A．p∧q B．p ∧q C．p∧q D ．p∧2的等比数列3 S n，则) ．6．(，文6)设首项为1，公比为a n}的前n 项和为({A．Sn ＝2an－1 B ．Sn＝3an －2 C ．Sn＝4－3an ．Sn ＝3－2anD7．( ，文7) 执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[ －1,3] ，则输出的s 属于( ) ．A．[ －3,4] C．[ －4,3]．[ －5,2]．[ －2,5] BD2＝4则△2xPOF＝4 2为上一点，若| PF|，8．( ，文为坐标原点， F 为抛物线C：y P(C 8) O的焦点，的面积为) ．．2 2 2 3A．29．( ，文．4－π，π]的图像大致为B C Dx 在[．9) 函数 f ( x) ＝(1 －cos x)sin ) ．(10．(，知锐角文△10) 已ABC 2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝() ．的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c, 23cosA．10 ．9 C ．8 D ．5B11 ．( ，文11) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为) ．(A．16 ＋8πB．8＋8 πC．16 ＋16πD．8＋16 π****2 , x x 0,2若| f ( x)| ≥ax ，则 a 的取12 ．(，文12) 已知函数 f ( x) ＝xln( x 1), x 0.值范围是() ．A．( －≦，C．[ －2,1]．( －≦，1]0] BD．[ －2,0]1第 Ⅱ卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分．13 ． ( ，文 已知两个单位向量a ， b的夹角为 1 60°， c ＝ ta ＋ (1 － t ) b . 若 b ·c ＝ 0 ，则t ＝ 13). 则z ＝ 2x － y 的最大值为．x 3, 14 ． ( ，文 14) 设 x ， y 满足约束条件 1 x y 0,AH ∶ HB ＝ 1 ∶2， AB ⊥平面 α， H α截球 15 ． ( ，文 15) 已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点， 为垂足， O 所得截面的面积为 π， 则 球 的表面积为 ． O 设当x ＝ θ时，函数θ＝ .16 ． ( ，文 16) f ( x ) ＝sin x － 2cos x 取得最大值，则cos三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤．{ a n } 的前 n S n 满足 S 3＝ 0 ， S 5 ＝－ 17 ． ( ，文 17)( 本小题满分 12 分 ) 已知等差数列 项和 5. 求 { a n } 的通项公式； (1) 1 a1 求数列(2) 的前 n 项和．a2n 2n 118 ． ( ，文 18)( 本小题满分 12 分 ) 为了比较两种治疗失眠症的药 ( 分别称为 A 药， B 药 ) 的疗效，随机地选取 20 位患者服用A 药， 20 位患者服用 下：B 药，这 40 位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间 ( 单位： h) ．试验的观测结果如服用 0.6 服用 3.2A 药的 1.2B 药的 1.720 2.7 20 1.9位患者日平均增加的睡眠时间： 1.5 2.8 1.8 2.2 2.33.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 位患者日平均增加的睡眠时间： 0.80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ 根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？(1) (2) ABC － A 1 B 1C 1 中， CA ＝ CB ， AB ＝ AA 1 ，∠ BAA 1＝19 ． ( ，文 19)( 本小题满分 60° . (1) 证明： AB ⊥ A 1C ；1C ＝12 分 ) 如图，三棱柱6 ABC － A，求三棱柱(2) 若 AB ＝ CB ＝ 2， A 1B 1C 1 的体积．****20 ．( ，文20)( 本小题满分12 分) 已知函数 f ( x) ＝e－x2 －4x，曲线y＝f ( x) 在点(0 ，f (0)) 处的切线方程为y＝4x ＋4. x( ax＋b)(1) 求a，b 的值；(2) 讨论 f ( x) 的单调性，并求 f ( x) 的极大值．2＋y 2＝1，圆N：(x－1) 2 ＋y2＝9，动圆切，与圆M 外切并且与圆内P N21 ．( ，文21)( 本小题满分12 分) 已知圆M：( x＋1)圆心的轨迹为曲线P C.求C 的方程；(1)(2) l 是与圆P，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于A，B 两点，当圆P 的半径最长时，求| AB|.4请考生在第(22) 、 (23) 、 (24) 三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第 做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框 涂 黑． 一 个题 目计分 ，22 ． ( ，文 如图，直线22)( 本小题满分 10 分 ) 选修4— 1 ：几何证明选 讲 为圆的切线，切点为 B ，点 C 在圆上， A ∠BC 的角平分线 交圆于点 E ， DB 垂直 交圆于点 AB BE BE D .x y 4 5 5cos t, 5sin tC ( t 23 ( 23)( 分 选修— 10 ) 4 4． ，文本为参数 ) ，小题满分 ：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为1x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲 C 2 的极坐标方程为 ρ＝ 2sin θ.以坐标原点为极点， 线 C(1)把 的参数方程化为极坐标方程；1(2) C 与 C 交点的极坐标 求 (0,0 2 ) θ＜ ρ≥ ≤ π ． 1 2510 分 ) 选修4— 5 ：不等式选讲已知函数 f ( x ) ＝ |2 x － 1| f ( x ) ＜ g ( x ) 的解集；x ＋ a | ， g ( x ) ＝ x ＋ 3. 24 ． ( ，文 24)( 本小题满分 2 时，求不等式 ＋ |2 (1) 当 a ＝－ 时， f ( x ) ≤ g ( x ) ，求 a 的取值范围．a 2 12(2) 设a ＞－ x ∈1，且当 ,2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文 史类 ( 全国卷 I 新课标)第 Ⅰ卷5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 一、选择题：本1大题共2 小题，每小题 1． 答案： A解析： ≧ B ＝ { x | x ＝ n 要求的．2， n ∈A } ＝ {1,4,9,16}2． ， ? A ∩B ＝ {1,4} ． 答案： B 1 2i1 2i 1 2i i2 i 1 2解析：＝ 1+i .21 i2i223．答案： B解析：由题意知总事件数为 6，且分别为 ， (1,3) ， (1,4) ，(2,3) ， (2,4) ， (3,4) ，满足条件的事件数是 2，所以所求(1,2) 1 3的概率为 .4． 答案： C 25 ca 5 25 4c解析： ≧，即.e， ?22a 21 4 b a1 2 b2＝ a 2＋ b 2＝ a 2＋ b2，?≧c. ?.2ab a ≧双曲线的渐近线方程为 ，y x 1?渐近线方程为 yx . 故选 C.25．答案： B解析：由 0 ＝ 30 知， 2 p 为假命题．令h ( x ) ＝ x 3－ 1＋ x 2， ≧h (0) ＝－ 1＜ 0， h (1) ? x ＝ 1 ＞0， 3－ 1＋ x 2 ＝ 0 在(0,1) 内有解． ? ? x ∈R ， x 3＝ 1－ x 2 ，即命题 q 为真命题．由此可知只有p ∧q 为真命题．故选B. 6 ．答案： D＝ 3－ 2a n ，故选 D.2 nn1a aq aa q13解析：11nSn21 1 1qq37．答案： A解析：当－ 1≤ t s ＝ 3t ，则s ∈[ ＜ 1 时， － 3,3) ． 当 1≤ t ≤ 3 时， s ＝ 4t － t2.≧该函数的对称轴为 t ＝ 2，?该函数在[1,2] 上单调递增， 在 [2,3] 上单调递减． s max ＝ 4， s min ＝? 3. ? s ∈[3,4] ．－ 3,4] ．故选 综上知 s ∈[ A.****8． 答案： Cx2 4 2 x P ＝ 32 解析：利用 | PF | ，可得＝ .P12 2 6 23 .SP ＝. ?P| y＝ ? y △POF＝ OF | ·| | 故选 C.9 ． 7答案： Cπ 2解析：由 f ( x ) ＝ (1 － cos x )sin x 知其为奇函数．可排除 B ．当 x ∈时， f ( x ) ＞ 0，排除 A.0,2x ＋ cos x (1 － cos x ) ＝－ 2cos 2x ＋ cos x ＋ 1.当 x ∈(0 ，π) 时， f ′( x ) ＝ sin 2 令 f ′( x ) ＝ 0，得x.π32 故极值点为 x，可排除 πD ，故选 C.10 ． 答案： D31 252A＋ cos 2 A解析：由 23cos ＝ 0，得 cos 2A ＝2A ＋ cos 2 .A ＝ 0，得 cos 2A ＝π 21 5，? cos A ＝.≧A ∈0,213 36 b 49 ，? b ＝ 5 或≧cos A ＝ b( 舍 ) ．2 6b5故选 11 ． 答案： AD. 解析：该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．1V ＝π×2半圆柱2×4＝ 8π，V2＝ 4×2×2＝ 16.长方体所以所求体积为 12 ． 答案： D解析：可画出16 ＋ 8π. 故选 A. | f ( x )| 的图象如图所示．当 a ＞ 0 时， y ＝ ax 与 y ＝ | f ( x )| 恒有公共点，所以排除 B ， C ；当 a ≤ 若 x ≤ 时，若 x ＞ 0，则 | f ( x )| ≥ ax 恒成立． y ＝ ax 与 y ＝ | － x2＋ 2x | 相切为界限，0 0，则以 y ax,2x得 x2－ ( a ＋ 2) x由＝ 0.y 2x,2－ ( a ＋ 2) x ＝ 0.2＝ 0，? a ＝－ 2.≧Δ＝ ( a ＋ 2)a ∈[ － 2,0] ．故选 ? D.第 Ⅱ卷第 13 题～第 本卷包括必考题和选考题两部 分 ．生根据要求做答． 21 题为必考题， 每个试题考生都必须做答．第 22 题～第 24 题为选考题， 考二、填空题：本大题共 4 小题，每小题5 分．13 ．答案： 21 21 2a ·b ＝ 1 1解析： ≧ b ·c ＝ 0， | a | ＝ | b | ＝ 1，〈 a ， b 〉＝ 60 °， ? .? b ·c ＝ [ ta ＋ (1 － t ) b ] ·b ＝ 0 ， 即 ta ·b ＋ (1 － t ) b2＝ 0.2＝ 0.1t ＋ 1 －t ＝ 0. ?2? t ＝ 2.14 ．答案： 3解析：画出可行域如图所示．****时，画出直线2x－y＝0，并平移，当直线经过点A(3,3) z 取最大值，且最大z＝2×3－3＝3.值为89 2π15 ．答案： 解析：如图，设球 O 的半径为R ， 2R 3， 则A H ＝ROH ＝.3 又≧π·EH2＝ π，? EH ＝ 1.2R 398 2+1，? 2＝R ≧在 2 ＝Rt △OEH 中， R . 2＝2＝9 π? 球＝ 4πRS2＝.2 2 516 ．答案：5解析： ≧ f ( x ) ＝ sin x － 2cos 5 5 5x ＝ x － φ) ，sin( 2 5 φ＝φ＝其中 sin ， cos .5π( k ∈Z) 2πx － φ＝ 2k π＋当 时， f ( x ) 取最大值．π＋ φ( k ∈Z) ．2即 θ－ φ＝ 2k π＋( k ∈Z) ， θ＝2k π＋ 2π 22 5 φ＝? cos θ＝＝－ sin cos.5三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或 17 ．演 算步骤． n(n 1) 解： (1) 设 { a n } 的公差为d ，则S n ＝nad .123a5a3d 10d0, 5,由已知可得11解得 a 1 ＝ 1， d ＝－ 1.故 { a n } 的通项公式为a n ＝ 2－ n .1 a 2n 1 2n 1a1 12 1 2n3 12n ＝ ，(2) 由 (1)知 a3 2n 1 2n11从而数列的前 n 项和为a2 n 12 n 11 21 1 n1 1 1 1131 1 2n 32n 1＝.1 2n18 ．A 药观测数据的平均数为x ，B 药观测数据的平均数为y 解： (1) 设 . 由观测结果可 得****1 20 (0.6 ＋1.2 ＋1.2 ＋1.5 ＋1.5 ＋1.8 ＋2.2 ＋2.3 ＋2.3 ＋2.4 ＋2.5 ＋2.6 ＋2.7 ＋2.7 ＋2.8 ＋2.9 ＋3.0 ＋3.1 ＋3.2 ＋x ＝90.7)＝ 2.3 ，1 20( 0.5 ＋ 0.5 ＋ 0.6 ＋ 0.8 ＋ 0.9 ＋ 1.1 ＋ 1.2 ＋ 1.2 ＋ 1.3 ＋ 1.4 ＋ 1.6 ＋ 1.7 ＋ 1.8 ＋ 1.9 ＋ 2.1 ＋ 2.4 ＋ 2.5 ＋ 2.6 ＋ 2.7 ＋y ＝3.3)＝ 1.6.x ＞ y 由以上计算结果可得A 药的疗效更好．，因此可看出(2) 由观测结果可绘制如下茎 叶图：的叶集中在茎 0,177 从以上茎叶图可以看出， A 药疗效的试验结果有的叶集中在茎 上，而 药疗效的试验结果有 2,3 B 1010上，由此可看出 19 ．A 药的疗效更好．(1) 证明：取 AB 的中点 O ，连结 OC ， OA 1 ， A 1B . 因为 由于 CA ＝ CB ， 所以 OC ⊥AB . AB ＝ AA 1，∠BAA1 ＝ 60°， 故△AA 1B 为等边三角形，所以 OA 1⊥AB . 因为 OC ∩OA 1＝ O ，所以 AB ⊥平面OA 1 C . 又 A 1 C ? 平面 OA 1C ，故 AB ⊥A 1 C .(2) 解：由题设知 △ ABC 与△AA 1 B 都是边长为 所以 OC ＝ OA2 的等边三角形，3 1＝.2＋22＝ OCOA6 1C ＝，则A ，又 A 1C1故 OA 1⊥OC .因为 OC ∩AB ＝ O ，所以 OA 1 ⊥平面 ABC ， OA 1 为三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 的高．3 ，故三棱柱△ABC＝ABC － A1 B 1C 1 的体积V ＝ S △ABC ×OA 1＝ 3.又△ABC 的面积S 20 ．解： (1) f ′( x ) ＝ ex( ax ＋ a ＋ b ) － 2x － 4.由已知得 f (0) ＝ 4， f ′(0) ＝ 4. 故 b ＝ 4， a ＋ b ＝ 8. 从而 a ＝ 4 ，b ＝ 4.(2) 由 (1) 知， f ( x ) ＝ 4ex( x ＋ 1) － x 2－ 4x ，e 1x( x ＋ 2) － 2x － 4＝ 4( x ＋ 2) ·. f ′( x ) ＝ 4ex2 － 当 故 当 令 f ′( x ) ＝ 0 得， x ＝－ ln 2 或 x ＝－ 2. 从而当 x ∈( －≦，2) ∪( － ln 2 x ∈( － 2，－ ，＋ ≦) 时， f ′( x ) ＞ 0； 时， f ′( x ) ＜ 0.2) ， ( － ln 2 ，＋ ≦) 上单调递增，在 ln 2) f ( x ) 在 ( －≦，－ ( － 2 ，－ 上单调递减．ln 2) － 2) ． x ＝－ 时，函数f ( x ) 取得极大值，极大值为2 f ( －2) ＝ 4(1 － e****21 ．解：由已知得圆M 的圆心为M(－1,0) ，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N(1,0) ，半径r 2 ＝3. 设圆P 的圆心为P( x，y) ，半径为R.(1) 因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以| PM | ＋| PN | ＝( R＋r 1 ) ＋( r2－R)＝r 1＋r 2＝4.3由椭圆的定义可知，曲线是以M，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为C 的椭圆( 左顶点除外) ，其方程为2 2x 4 y3(x≠－．=1 2)10(2) 对于曲线 C 上任意一点 P ( x ， y ) ，由于 2，| PM | － | PN | ＝ 2 R － 2 ≤ 所以 R ≤ 2 ，当且仅当圆 P 的圆心为 (2,0) 时， R ＝ 2. 所以当圆 P 的半径最长时，其方程为( x － 2)2＋ y 2 ＝ 4. 23 若 的倾斜角为 l 90 °，则 l 与 y 轴重合，可得 | AB | ＝ .|QP | | QM R r1若 的倾斜角不为90°，由 l r1≠R 知 不平行于 x 轴，设l 与 轴的交点为Q ，则l x ，可求得 Q ( － 4,0) ，所以|可设l ： y ＝k ( x ＋4) ． |3k | 2 4由 与圆 相切得＝ 1，解得 k ＝l M .21 k222 42 4 6 72 x 4y 32＋ 8x － 8＝ 0 ，解得 x时，将 ，当 k ＝=1yx 21,2＝4，并整理得 7x182所以 | AB | ＝.1 k| x7 2－ x 1| ＝2 418 7当 k ＝时，由图形的对称性可 知 | AB | ＝.1823 AB | 或 | AB | ＝综上， | ＝ .7请考生在第(22) 、 (23) 、 (24) 三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第 做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框 涂 黑． 22 ．一 个题 目计分， (1) 证明：连结DE ，交BC于点 G .由弦切角定理得， ∠ ABE ＝∠BCE . 而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝ ∠BCE ， BE ＝ CE . 又因为 DB ⊥BE ，所以 DE 为直径， ∠ DCE ＝ 90°， 由勾股定理可得(2) 解：由 (1) DB ＝ DC .知， ∠CDE ＝ ∠BDE ， DB ＝DC ， 故 DG 是 BC 的中垂线，3所以 BG ＝.2设D E 的中点为 O ，连结BO ，则 ∠BOG ＝ 60 °. 从而 ∠ABE ＝ ∠BCE ＝ ∠CBE ＝ 30 °， 所以 CF ⊥BF ，3 2故 Rt △BCF 外接圆的半径等于 .23 ． 2＋ ( y － 5) 2＝ 25，x y 4 5 5cost , 5sin t解： (1) 将消去参数 t ，化为普通方程( x － 4)即 C1 ： x 2＋ y 2－8x － 10 y ＋ 16＝ 0. x ycos sin, 得 ρ2 － 8ρcos θ－ 10 ρsin θ＋ 16＝将代入 0.x 2 ＋ y 2 － 8 x － 10 y ＋ 16 ＝ 0 2＋ y 2 － 8x － 10 y ＋ 16 ＝ 0 得 ρ2 － 8ρcos θ－ 10 ρsin θ＋ 16＝ 0.所以 C1的极坐标方程为 2－ 8ρcos θ－ 10 ρsin θ＋ 16 ＝ 0. ρ****(2) C 2 的普通方程为x2＋ y 2 － 2y ＝ 0.22xy8x 10y 16 0,由22xy1, 12 yx y0, 2.x y 解得或11π 4π 2，所以 C1 与 C .2,2, 24 ．2交点的极坐标分别为 解： (1) 当 a ＝－ 2 时，不等式f ( x ) ＜g ( x ) 化为|2 x － 1| ＋ |2 x － 2| － x － 3＜ 0.设函数y ＝ |2 x － 1| ＋ |2 x － 2| － x － 3，15x, x ,2 1 则y ＝x 2, x 1,2 6,x3x1.x ∈(0,2) y ＜ 0.其图像如图所示．从图像可知，当且 仅当 时， 所以原不等式的解集是 { x |0 ＜ x ＜ 2} ． 时， f ( x ) ＝ 1＋a .a 2 12(2) 当 x ∈, 不等式 f ( x ) ≤ g ( x ) 化为1＋ a ≤ x ＋ 3. a 2 4 3 12都成立．所以 x ≥ a － 2 对x ∈, a 2故. ≥ a － 2，即 a ≤4 3从而 a 的取值范围是 .1,12。

绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题共12小题。

每小题5分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x|x=n2，n∈A｝,则A∩B= ( ) （A）｛0｝（B）｛-1，,0｝（C）{0，1} （D）｛-1，,0，1}（2） = ( )（A）-1 - i （B）-1 + i （C）1 + i （D）1 - i（3）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）（A）（B）（C）（D）（4）已知双曲线C： = 1（a>0,b>0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）（A）y=±x （B）y=±x （C）y=±x （D）y=±x（5）已知命题p：，则下列命题中为真命题的是：（）（A） p∧q （B）￢p∧q （C）p∧￢q （D）￢p∧￢q（6）设首项为1，公比为的等比数列｛an ｝的前n项和为Sn，则（）（A）Sn =2an-1 （B）Sn=3an-2 （C）Sn=4-3an（D）Sn=3-2an（7）执行右面的程序框图，如果输入的t∈[-1，3]，则输出的s属于（A）[-3,4]（B）[-5,2]（C）[-4,3]（D）[-2,5]（8）O为坐标原点，F为抛物线C：y²=4x的焦点，P为C上一点，若丨PF丨=4，则△POF的面积为（A）2 （B）2（C）2（D）4（9）函数f（x）=（1-cosx）sinx在[-π，π]的图像大致为（10）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos²A+cos2A=0，a=7，c=6，则b= （A）10 （B）9 （C）8 （D）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（A）18+8π（B）8+8π（C）16+16π（D）8+16π（12）已知函数f（x）= 若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（A）（-∞] （B）（-∞] (C)[-2,1] (D)[-2,0]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷I ）数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A ＝{1，2，3,4}，B ＝｛x ｜x ＝n 2，n ∈A }，则A ∩B ＝（ ）．A ．{1，4}B ．｛2，3｝C ．{9,16}D ．｛1,2｝ 【答案】A【考点】本题主要考查集合的基本知识。

【解析】∵B ＝｛x ｜x ＝n 2，n ∈A ｝＝｛1,4,9，16}， ∴A ∩B ＝{1,4｝．2．(2013课标全国Ⅰ,文2）212i1i +(-)＝( ）．A. −1−12i B ．11+i 2- C ．1+12i D ．1−12i 【答案】B【考点】本题主要考查复数的基本运算。

【解析】212i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-＝11+i 2-.3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2，3，4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )．A ．12B ．13C ．14D ．16【答案】B【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力.【解析】由题意知总事件数为6，且分别为(1,2）,(1，3），(1,4）,(2，3),（2,4)，(3，4）,满足条件的事件数是2，所以所求的概率为13。

4．（2013课标全国Ⅰ,文4）已知双曲线C ：2222=1x y a b-（a ＞0，b ＞0，则C 的渐近线方程为（ ）．A ． y =±14x B ．y =±13x C ．12y x =± D ．y =±x【答案】C【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程.【解析】∵2e =2c a =，即2254c a =.∵c 2＝a 2＋b 2，∴2214b a =.∴12b a =.∵双曲线的渐近线方程为by x a=±，∴渐近线方程为12y x =±.故选C 。

2013年高考数学（文科）（课标I ）真题及答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题共12小题。

每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x |x =n 2，n ∈A｝，则A∩B=（ ） （A ）｛1，4｝ （B ）｛2，3｝ （C ）{9，16} （D ）｛1，2} （2） 1＋2i (1－i)2＝ （ ）（A ）－1－12i （B ）－1＋12i （C ）1＋12i （D ）1－12i（3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）（A ）12 （B ）13（C ）14 （D ）16（4）已知双曲线C:x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）的离心率为52，则C 的渐近线方程为（ ）（A ）y =±14x （B ）y =±13x （C ）y =±12x （D ）y =±x（5）已知命题p ：∀x ∈R,2x ＞＜3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3=1－x 2，则下列命题中为真命题的是（ ）（A ） p∧q （B ）￢p∧q （C ）p∧￢q （D ）￢p∧￢q （6）设首项为1，公比为23的等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，则（ ）（A ）S n =2a n －1 （B ）S n =3a n －2 （C ）S n =4－（7）执行右面的程序框图，如果输入的 t ∈[－1，3]，则输出的s 属于（ ） （A ）[－3,4] （B ）[－5,2] （C ）[－4,3] （D ）[－2,5]（8）O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y ²=42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF|=42，则△POF 的面积为（ ）（A ）2 （B ）2 2 （C ）2 3 （D ）4（9）函数f （x ）=（1－cos x ）sin x 在[－π，π]的图像大致为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）（10）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，23cos²A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（ ）（A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）5 （11（A ）16+8π （B ）8+8π （C ）16+16π （D ）8+16π（12）已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x x ≤0ln(x ＋1) x ＞0，若| f （x ）|≥ax ，则a 的取值范围是（ ）（A ）（－∞，0] （B ）（－∞，1] （C ）[－2，1] （D ）[－2，0]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（新课标Ⅰ文科）参考答案1.分析 先求出集合B ，再进行交集运算.解析：因为{}{}21,2,3,4,,A B x x n n A ===∈，所以{}1,4,9,16B =，所以{}1,4.AB =故选A.2.分析 先进行复数的乘方运算，再进行除法运算. 解析：()()2212i i 12i12i 12i 11i.12i i 2i 221i ++++====-+-+--故选B.3.分析 利用列举法求出事件的个数，再利用古典概型求概率.解析：从1,2,3,4中任取2个不同的数，有()1,2，()1,3，()1,4，()2,1，()2,3，()2,4，()3,1，()3,2，()3,4，()4,1，()4,2，()4,3，共12种情形，而满足条件“2个数之差的绝对值为2”的只有()1,3，()2,4，()3,1，()4,2，共4种情形，所以取出的2个数之差的绝对值为2的概率为41.123=故选B. 4.解析：同理科卷4题.答案C.5.分析 先判断命题,p q 的真假，再结合含有一个逻辑联结词命题真假的判断真值表求解.解析：当0x =时，有23x x =，不满足23x x <，所以:p x ∀∈R ，23x x <是假命题.如图，函数3y x = 与21y x =-有交点，即方程321x x =-有解，所以:q x ∃∈R ，321x x =-是真命题.所以p q ∧为假命题，排除A.因为p ⌝为真命题，所以p q ⌝∧是真命题.选B.6.分析 可以直接利用等比数列的求和公式求解，也可以先求出通项和前n 项和，再建立关系. 解析：方法一：在等比数列{}n a 中，1213322113n n n na a a qS a q -⋅-===---.方法二：在等比数列{}n a 中，121,,3a q ==所以11221.33n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12113222313132.233313n n n n n S a -⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥⎪⎡⎤⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦==-=-=-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-故选D.7.解析：同理科卷5题.答案A.8.分析 先利用抛物线的焦半径公式求出点的坐标，再结合三角形面积公式求解.=0-1解析：设()00,P x y ，则04P F x =+所以0x=，所以20024y ===，所以0y =因为)F，所以01122POF S OF y =⋅==△故选C. 9.分析 先利用函数的奇偶性排除B ，再利用特殊的函数值的符号排除A ，而最后答案的选择则利用了特定区间上的极值点. 解析：在[],-ππ上，因为()()()()()1cos sin 1cos sin f x x x x x -=---=--=⎡⎤⎣⎦()()1cos sin x x f x --=-，所以()f x 是奇函数，所以()f x 的图象关于原点对称，排除B.取2x π=，则1cos 10f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪22⎝⎭⎝⎭>，排除A.因为()()1cos sin f x x x =-，所以()()sin sin 1cos cos f x x x x x '=⋅+-2221cos cos cos 2cos cos 1.x x x x x =-+-=-++令()0f x '=，则cos 1x =或1cos 2x =. 结合[],x ∈-ππ，求得()f x 在(]0,π上的极大值点为23π，靠近π，故选C. 10.分析 先求出角A 的余弦值，再利用余弦定理求解.解析：由223cos cos 20A A +=得2223cos 2cos 10A A +-=，解得1cos 5A =±.因为A 是锐角， 所以1c o s 5A =.又2222cos a b c bc A =+-，所以214936265b b =+-⨯⨯⨯，所以5b =或135b =-.又因为0b >，所以5b >.故选D.11.解析：同理科卷8题.答案A. 12.解析：同理科卷11题.答案D. 13.解析：同理科卷13题.答案2.14.分析 作出可行域，进一步探索最大值.解析：作出可行域如图阴影部分.作直线20x y -=，并向右平移，当平移至直线过点B 时，2z x y =-取最大值.而由3,0,x x y =⎧⎨-=⎩得()3,3B .所以max 2333z =⨯-=.15.分析 利用球的截面建立直角三角形求解.解析：如图所示，设球O 的半径为R ，则由12AH HB =::得12233HA R R =⋅=，所以3R OH =.BA 25 2 1 03 1 4 56 729 8 7 7 6 5 4 3 3 2 1 2 2 3 4 6 7 8 918 5 5 2 2 5 5 6 8 906因为截面面积为()2HM π=π⋅，所以1HM =.在Rt HMO △中，222OM OH HM =+，所以222211199R R HM R =+=+，所以4R =所以229442S R ⎛⎫=π=π⋅=π ⎪ ⎪4⎝⎭球.16.解析：同理科卷15题.答案 17.分析 （1）结合等差数列的求和公式列出关于首项和公差的方程组求解；（2）裂项求和，但要注意裂项后的系数. 解析：（1）设{}n a 的公差为d ，则()11.2n n n S na d -=+由已知可得11330,510 5.a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得11,1.a d =⎧⎨=-⎩故{}n a 的通项公式为2n a n =-. （2）由（1）知()()2121113212n n a a n n -+=--=11122321n n ⎛⎫- ⎪--⎝⎭，从而数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为111111121113232112nn n n⎛⎫-+-++-= ⎪----⎝⎭. 18.分析 （1）直接求解平均数，并比较大小；（2）观察茎叶图，看看数据的离散情况及中位数的位置. 解析：（1）设A 药观测数所的平均数为x ，B 药观测数据的平均数为y .由观测结果可得(10.6 1.2 1.2 1.5 1.5 1.8 2.2 2.3 2.320x =++++++++)2.4 2.5 2.6 2.7 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.5 2.3+++++++++++=，(10.50.50.60.80.9 1.1 1.2 1.2 1.3 1.4 1.6 1.720y =+++++++++++)1.8 1.9 2.1 2.4 2.5 2.6 2.7 3.2 1.6++++++++=.由以上计算结果可得x y >，因此可看出A 药的疗效更好.（2）由观测结果可绘制茎叶图如图所示：ABCA 1C 1B 1O 从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎“2.”，“3.”上，而B 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎“0.”，“1.”上，由此可看出A 药的疗效更好. 19.分析 （1）先证明直线与平面垂直，再利用线面垂直的性质求解；（2）先证明三棱柱的高，再利用体积公式求解体积. 解析：（1）取AB 的中点O ，连接OC ，11,OA A B .因为CA CB =，所以OC AB ⊥.由于1AB AA =，160BAA ∠=︒，故1AA B △为等边三角形，所以1OA AB ⊥.因为1OC OA O =，所以1A B O A C ⊥平面.又11AC OAC ⊂平面，故1AB AC ⊥.（2）由题设知ABC △与1AA B △都是边长为2的等边三角形，所以1OC OA ==又1AC =则22211AC OC OA =+，故1.OAOC ⊥因为OC AB O =，所以1OA ABC ⊥平面，1OA 为三棱柱111-ABC A B C 的高.又ABC △的面积ABC S △，故三棱柱111-A B C A B C 的体积13ABC V S OA =⋅=△.20.分析 （1）利用函数值和导函数值列出方程（组）求解字母的值；（2）先求出函数的导数、极值点，进一步确定单调区间，再根据极值点左右两边的符号判断函数的极值. 解析：（1）()()e24xf x ax a b x '=++--.由已知得()04f =，()04f '=.故4b =，8a b +=.从而4, 4.a b == （2）由（1）知，()2()4e14xf x x x x =+--，()()()14e 22442e 2x xf x x x x ⎛⎫'=+--=+-⎪⎝⎭. 令()0f x '=，得ln 2x =-或2x =-.从而当()(),2ln 2,x ∈-∞--+∞时，()0f x '>；当()2,ln2x ∈--时，()0f x '<.故()f x 在()(),2,ln 2,-∞--+∞上单调递增，在()2,ln2--上单调递减.当2x =-时，函数()f x 取得极大值，极大值为()()2241e f --=-.21.解析：同理科卷20题. 22.解析：同理科卷22题.23.解析：同理科卷23题.24.解析：同理科卷24题.。

数学试卷 第1页（共33页）数学试卷 第2页（共33页）数学试卷 第3页（共33页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)文科数学使用地区：河南、山西、河北注意事项：1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至6页.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,2,3,4}A =,2{|,}B x x n n A ==∈,则A B = ( )A .{1,4}B .{2,3}C .{9,16}D .{1,2} 2.212i (1i)+=-( )A .11i 2--B .11i 2-+C .11i 2+D .11i 2-3.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是 ( )A .12B .13C .14D .164.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为52,则C 的渐近线方程为 ( )A .14y x =±B .13y x =±C .12y x =±D .y x =± 5.已知命题p ：x ∀∈R ,23x x<；命题q ：x ∃∈R ,321x x =-,则下列命题中为真命题的是( )A .p q ∧B .p q ⌝∧C .p q ∧⌝D .p q ⌝∧⌝ 6.设首项为1,公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则( )A .21n n S a =-B .32n n S a =-C .43n n S a =-D .32n n S a =-7.执行如图的程序框图,如果输入的[1,3]t ∈-,则输 出的s 属于( )A .[3,4]-B .[5,2]-C .[4,3]-D .[2,5]-8.O 为坐标原点,F 为抛物线C :242y x =的焦点,P 为C 上一点,若||42PF =,则POF △的面积为( )A .2B .22C .23D .49.函数()(1cos )sin f x x x =-在[π,π]-上的图象大致为( )10.已知锐角ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,223cos cos20A A +=,7a =,6c =,则b =( )A .10B .9C .8D .5 11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .168π+B .88π+C .1616π+D .816π+12.已知函数22,0()ln(1),0.x x x f x x x ⎧-+=⎨+⎩≤，＞若|()|f x ax ≥,则a 的取值范围是( )A .(,0]-∞B .(,1]-∞C .[2,1]-D .[2,0]-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.已知两个单位向量a ,b 的夹角为60,(1)t t =+-c a b ,若0=b c ,则t =________.14.设x ,y 满足约束条件13,10,x x y ⎧⎨--⎩≤≤≤≤,则2z x y =-的最大值为________.15.已知H 是球O 的直径AB 上一点,:1:2AH HB =,AB ⊥平面α,H 为垂足,α截球O 所得截面的面积为π,则球O 的表面积为________.16.设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=________. 三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =,55S =-. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列21211{}n n a a -+的前n 项和.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共33页）数学试卷 第5页（共33页） 数学试卷 第6页（共33页）18.（本小题满分12分）为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药,B 药)的疗效,随机地选取20位患者服用A 药,20位患者服用B 药,这40位患者服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h ).试验的观测结果如下： 服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5（Ⅰ）分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好？ （Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好？A 药B 药0. 1. 2.3.19.（本小题满分12分）如图,三棱柱111ABC A B C -中,CA CB =,1AB AA =,160BAA ∠=. （Ⅰ）证明：1AB AC ⊥； （Ⅱ）若2AB CB ==,16A C =,求三棱柱111ABC A B C -的体积.20.（本小题满分12分）已知函数2()e ()4x f x ax b x x =+--,曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为44y x =+.（Ⅰ）求a ,b 的值；（Ⅱ）讨论()f x 的单调性,并求()f x 的极大值.21.（本小题满分12分）已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N内切,圆心P 的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A ,B 两点,当圆P 的半径最长时,求||AB .请考生在第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲如图,直线AB 为圆的切线,切点为B ,点C 在圆上,ABC ∠的角平分线BE 交圆于点E ,DB 垂直BE 交圆于点D .（Ⅰ）证明：DB DC =；（Ⅱ）设圆的半径为1,3BC =,延长CE 交AB 于点F ,求BCF △外接圆的半径.23.（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为45cos ,55sin ,x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （Ⅰ）把1C 的参数方程化为极坐标方程； （Ⅱ）求1C 与2C 交点的极坐标(0,02π)ρθ≥≤＜.24.（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲已知函数()|21||2|f x x x a =-++,()3g x x =+. （Ⅰ）当2a =-时,求不等式()()f x g x ＜的解集；（Ⅱ）设1a -＞,且当1[,)22a x ∈-时,()()f x g x ≤,求a 的取值范围.2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)文科数学答案解析第Ⅰ卷3/ 114当0a ＞时，y ax ＝与()y f x ＝恒有公共点，所以排除()5 / 11由2,2,y ax y x x =⎧⎨=-⎩得22()0x a x －＋＝． ∵22()0a ∆＝＋＝，∴2a ＝－． ∴,0[]2a ∈－；故选D ．第Ⅱ卷0=b c ，a 1112⨯⨯＝a b 1(0[)]t t ＝＋－＝b c a b b ，即1()t ＋－a b b 1120t t ＋－＝；∴2t ＝． 【答案】3【解析】画出可行域如图所示。

2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=n2，n∈A}，则A∩B=（ ）A．{1，4}B．{2，3}C．{9，16}D．{1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】由集合A中的元素分别平方求出x的值，确定出集合B，找出两集合的公共元素，即可求出交集．【解答】解：根据题意得：x=1，4，9，16，即B={1，4，9，16}，∵A={1，2，3，4}，∴A∩B={1，4}．故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）=（ ）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】利用分式的分母平方，复数分母实数化，运算求得结果．【解答】解：====﹣1+i．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，复数的乘方运算，考查计算能力．3．（5分）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）A．B．C．D．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】5I：概率与统计．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2个，共有C42种结果，满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2的有两种，得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2个，共有C42=6种结果，满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2，有2种结果，分别是（1，3），（2，4），∴要求的概率是=．故选：B．【点评】本题考查等可能事件的概率，是一个基础题，本题解题的关键是事件数是一个组合数，若都按照排列数来理解也可以做出正确的结果．4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（ ）A．y=B．y=C．y=±x D．y=【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．5．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（ ）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q【考点】2E：复合命题及其真假．【专题】21：阅读型；5L：简易逻辑．【分析】举反例说明命题p为假命题，则￢p为真命题．引入辅助函数f（x）=x3+x2﹣1，由函数零点的存在性定理得到该函数有零点，从而得到命题q为真命题，由复合命题的真假得到答案．【解答】解：因为x=﹣1时，2﹣1＞3﹣1，所以命题p：∀x∈R，2x＜3x为假命题，则￢p为真命题．令f（x）=x3+x2﹣1，因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0．所以函数f（x）=x3+x2﹣1在（0，1）上存在零点，即命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2为真命题．则￢p∧q为真命题．故选：B．【点评】本题考查了复合命题的真假，考查了指数函数的性质及函数零点的判断方法，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题．6．（5分）设首项为1，公比为的等比数列{a n}的前n项和为S n，则（ ）A．S n=2a n﹣1B．S n=3a n﹣2C．S n=4﹣3a n D．S n=3﹣2a n【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由题意可得数列的通项公式，进而可得其求和公式，化简可得要求的关系式．【解答】解：由题意可得a n=1×=，∴S n==3﹣=3﹣2=3﹣2a n，故选：D．【点评】本题考查等比数列的求和公式和通项公式，涉及指数的运算，属中档题．7．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（ ）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5]【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；EF：程序框图．【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图．【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式．【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得：函数分为两段，即t＜1与t≥1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t2故分段函数的解析式为：s=，如果输入的t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象，则输出的s属于[﹣3，4]．故选：A．【点评】要求条件结构对应的函数解析式，要分如下几个步骤：①分析流程图的结构，分析条件结构是如何嵌套的，以确定函数所分的段数；②根据判断框中的条件，设置分类标准；③根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作，分析函数各段的解析式；④对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式．8．（5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（ ）A．2B．2C．2D．4【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线方程，算出焦点F坐标为（）．设P（m，n），由抛物线的定义结合|PF|=4，算出m=3，从而得到n=，得到△POF的边OF上的高等于2，最后根据三角形面积公式即可算出△POF的面积．【解答】解：∵抛物线C的方程为y2=4x∴2p=4，可得=，得焦点F（）设P（m，n）根据抛物线的定义，得|PF|=m+=4，即m+=4，解得m=3∵点P在抛物线C上，得n2=4×3=24∴n==∵|OF|=∴△POF的面积为S=|OF|×|n|==2故选：C．【点评】本题给出抛物线C：y2=4x上与焦点F的距离为4的点P，求△POF 的面积．着重考查了三角形的面积公式、抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．9．（5分）函数f（x）=（1﹣cosx）sinx在[﹣π，π]的图象大致为（ ）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由函数的奇偶性可排除B，再由x∈（0，π）时，f（x）＞0，可排除A，求导数可得f′（0）=0，可排除D，进而可得答案．【解答】解：由题意可知：f（﹣x）=（1﹣cosx）sin（﹣x）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故可排除B，又因为当x∈（0，π）时，1﹣cosx＞0，sinx＞0，故f（x）＞0，可排除A，又f′（x）=（1﹣cosx）′sinx+（1﹣cosx）（sinx）′=sin2x+cosx﹣cos2x=cosx﹣cos2x，故可得f′（0）=0，可排除D，故选：C．【点评】本题考查三角函数的图象，涉及函数的奇偶性和某点的导数值，属基础题．10．（5分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（ ）A．10B．9C．8D．5【考点】HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】利用二倍角的余弦函数公式化简已知的等式，求出cosA的值，再由a 与c的值，利用余弦定理即可求出b的值．【解答】解：∵23cos2A+cos2A=23cos2A+2cos2A﹣1=0，即cos2A=，A为锐角，∴cosA=，又a=7，c=6，根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即49=b2+36﹣b，解得：b=5或b=﹣（舍去），则b=5．故选：D．【点评】此题考查了余弦定理，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．11．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】16：压轴题；27：图表型．【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积．【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4．∴长方体的体积=4×2×2=16，半个圆柱的体积=×22×π×4=8π所以这个几何体的体积是16+8π；故选：A．【点评】本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系，柱体体积计算公式，空间想象能力12．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（ ）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】16：压轴题；59：不等式的解法及应用．【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．【解答】解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x，求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D．【点评】本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题．　二．填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=　2　．【考点】9H：平面向量的基本定理；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】由于•=0，对式子=t+（1﹣t）两边与作数量积可得=0，经过化简即可得出．【解答】解：∵，，∴=0，∴tcos60°+1﹣t=0，∴1=0，解得t=2．故答案为2．【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为　3　．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，由得A（3，3），z=2x﹣y可转换成y=2x﹣z，z最大时，y值最小，即：当直线z=2x﹣y过点A（3，3）时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．15．（5分）已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H 为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为 ．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】16：压轴题；5F：空间位置关系与距离．【分析】本题考查的知识点是球的表面积公式，设球的半径为R，根据题意知由与球心距离为R的平面截球所得的截面圆的面积是π，我们易求出截面圆的半径为1，根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出该球的半径，进而求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，∵AH：HB=1：2，∴平面α与球心的距离为R，∵α截球O所得截面的面积为π，∴d=R时，r=1，故由R2=r2+d2得R2=12+（R）2，∴R2=∴球的表面积S=4πR2=．故答案为：．【点评】若球的截面圆半径为r，球心距为d，球半径为R，则球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，即R2=r2+d216．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=　﹣　．【考点】GP：两角和与差的三角函数；H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】16：压轴题；56：三角函数的求值．【分析】f（x）解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=θ时，函数f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=，与sin2θ+cos2θ=1联立即可求出cosθ的值．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，又sin2θ+cos2θ=1，联立得（2cosθ+）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3=0，S5=﹣5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．【考点】84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）设出等差数列{a n}的首项和公差，直接由S3=0，S5=﹣5列方程组求出，然后代入等差数列的通项公式整理；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的通项公式，代入数列{}的通项中进行列项整理，则利用裂项相消可求数列{}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的首项为a1，公差为d，则．由已知可得，即，解得a1=1，d=﹣1，故{a n}的通项公式为a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）•（﹣1）=2﹣n；（Ⅱ）由（Ⅰ）知．从而数列{}的前n项和S n==．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题．18．（12分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.93.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5（Ⅰ）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？【考点】BA：茎叶图；BB：众数、中位数、平均数．【专题】5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）利用平均数的计算公式即可得出，据此即可判断出结论；（Ⅱ）利用已知数据和茎叶图的结构即可完成．【解答】解：（Ⅰ）设A药观测数据的平均数据的平均数为，设B药观测数据的平均数据的平均数为，则=×（0.6+1.2+2.7+1.5+2.8+1.8+2.2+2.3+3.2+3.5+2.5+2.6+1.2+2.7+1.5+2.9+3.0+3.1+2.3+2.4）=2.3．×（3.2+1.7+1.9+0.8+0.9+2.4+1.2+2.6+1.3+1.4+1.6+0.5+1.8+0.6+2.1+1.1+2.5+1.2+2.7+0.5）=1.6．由以上计算结果可知：．由此可看出A药的效果更好．（Ⅱ）根据两组数据得到下面茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在2，3上．而B药疗效的试验结果由的叶集中在0，1上．由此可看出A药的疗效更好．【点评】熟练掌握平均数的计算公式和茎叶图的结果及其功能是解题的关键．　19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）由题目给出的边的关系，可想到去AB中点O，连结OC，OA1，可通过证明AB⊥平面OA1C得要证的结论；（Ⅱ）在三角形OCA1中，由勾股定理得到OA1⊥OC，再根据OA1⊥AB，得到OA1为三棱柱ABC﹣A1B1C1的高，利用已知给出的边的长度，直接利用棱柱体积公式求体积．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B．因为CA=CB，所以OC⊥AB．由于AB=AA1，，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB．因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C．又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）解：由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以．又，则，故OA 1⊥OC．因为OC∩AB=O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．又△ABC的面积，故三棱柱ABC﹣A 1B1C1的体积．【点评】题主要考查了直线与平面垂直的性质，考查了棱柱的体积，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．20．（12分）已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导函数，利用导数的几何意义及曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4，建立方程，即可求得a，b的值；（Ⅱ）利用导数的正负，可得f（x）的单调性，从而可求f（x）的极大值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，∴f′（x）=e x（ax+a+b）﹣2x﹣4，∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4∴f（0）=4，f′（0）=4∴b=4，a+b=8∴a=4，b=4；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=4e x（x+1）﹣x2﹣4x，f′（x）=4e x（x+2）﹣2x﹣4=4（x+2）（e x﹣），令f′（x）=0，得x=﹣ln2或x=﹣2∴x∈（﹣∞，﹣2）或（﹣ln2，+∞）时，f′（x）＞0；x∈（﹣2，﹣ln2）时，f′（x）＜0∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞），单调减区间是（﹣2，﹣ln2）当x=﹣2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（﹣2）=4（1﹣e﹣2）．【点评】本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性与极值，考查学生的计算能力，确定函数的解析式是关键．21．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M 外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．【考点】J3：轨迹方程；J9：直线与圆的位置关系．【专题】5B：直线与圆．【分析】（I）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．分①l的倾斜角为90°，此时l与y轴重合，可得|AB|．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，根据，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．【解答】解：（I）由圆M：（x+1）2+y2=1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x﹣1）2+y2=9，圆心N（1，0），半径3．设动圆的半径为R，∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．∴曲线C的方程为（x≠﹣2）．（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|=．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），由l于M相切可得：，解得．当时，联立，得到7x2+8x﹣8=0．∴，．∴|AB|===由于对称性可知：当时，也有|AB|=．综上可知：|AB|=或．【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切问题、椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。

绝密★启封并使用完毕前2013年各地高考数学试题文科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

（1)已知集合{1,2,3,4}A =，2{|,}B x x n n A ==∈,则A B =（ )（A)｛0｝（B)｛－1，,0｝ （C){0，1} （D)｛－1，,0，1}（2)212(1)ii +=-（ )（A)112i --（B)112i -+（C)112i +（D)112i -（3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ) （A)12 （B)13 （C)14 （D)16（4)已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>，则C 的渐近线方程为（ )（A)14y x =±（B)13y x =±（C)12y x =±（D)y x =±（5)已知命题:p x R ∀∈，23x x <；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是：（ ) （A)p q ∧（B)p q ⌝∧（C)p q ∧⌝ （D)p q ⌝∧⌝（6)设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ) （A)21n n S a =- （B)32n n S a =- （C)43n n S a =-（D)32n n S a =-（7)执行右面的程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出的S 属于（A)[3,4]- （B)[5,2]- （C)[4,3]- （D)[2,5]-（8)O 为坐标原点，F 为抛物线2:C y =的焦点，P 为C 上一点，若||PF =，则POF ∆的面积为（ )（A)2（B)（C) （D)4（9)函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（ )（10)已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（ ) （A)10 （B)9（C)8（D)5（11)某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（ )（A)168π+ （B)88π+ （C)1616π+ （D)816π+（12)已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ )（A)(,0]-∞ （B)(,1]-∞ (C) [2,1]- (D) [2,0]-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=n2，n∈A}，则A∩B=（）A．{1，4}B．{2，3}C．{9，16}D．{1，2}2．（5分）=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i3．（5分）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=5．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q 6．（5分）设首项为1，公比为的等比数列{a n}的前n项和为S n，则（）A．S n=2a n﹣1B．S n=3a n﹣2C．S n=4﹣3a n D．S n=3﹣2a n 7．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5] 8．（5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（）A．2B．2C．2D．49．（5分）函数f（x）=（1﹣cosx）sinx在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（）A．10B．9C．8D．511．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π12．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]二．填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．15．（5分）已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为．16．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3=0，S5=﹣5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．18．（12分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.93.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5（Ⅰ）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．20．（12分）已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．21．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。