一元二次方程专项复习题

一元二次方程精编复习题1．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．2270x x -=B ．5521x x +=-C ．20ax bx c ++=D ．2221x x+= 2．已知2是方程240x x c -+=的一个根，则c 的值为______．3．已知关于x 的方程240x x n ++=可以配方成2()3x m +=，则2()m n -=_____________ 4．若关于x 的一元二次方程2(1)10k x x -++=有实数根，则实数k 的取值范围是______． 5．方程2(3)3x x x +=+的解是______．6．方程（y ﹣2）（y ﹣3）＝12解为___．7．已知一个直角三角形的两边长分别是方程214480x x -+=的两根，则此三角形的斜边长为___________． 8．已知12,x x 是一元二次方程x 2－4x －7＝0的两个实数根，则1211+x x 的值是________． 9．设方程2x 2+3x +1＝0的根为x 1、x 2，则x 12+x 22＝_____________．10．若方程x 2+5x ﹣6＝0的两根为x 1，x 2，则|x 1﹣x 2|＝___．11．设a ，b 是方程220210x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值是_____．12．已知a ，b 分别为一元二次方程x 2＋2x ﹣2011＝0的两个实数根，则a 2﹣3a ﹣5b ＝___． 13．有一人感染了传染性很强的病毒，经过两轮传染后共有625人患病，每轮传染中平均一人传染___人． 14．某商品两次连续涨价由原来的每件100元上涨为每件144元．若两次涨价百分比相同，则每次涨_____％． 15．某种家电价连续两次降价，由原来售价5000元降到3200元，则平均每次降价的百分率为 ____． 16．组织篮球比赛，赛制为单循环形式，共进行了15场比赛，则这次参加比赛的球队个数为____． 17．一个凸多边形总共有20条对角线，它的边数n =____________．18．如图，在宽为4m 、长为6m 的长方形花坛上铺设两条同样宽的石子路，余下部分种植花卉．若种植花卉的面积215m ，则铺设的石子路的宽应为_________m ．19．如图，某小区规划在一个长16m ，宽9m 的矩形场地ABCD 上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草，若草坪部分总面积为112m 2，则小路的宽为 _____． 20．如图，是一个长为30m ，宽为20m 的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为468m 2，那么小道进出口的宽度应为 ___m ．21．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，动点P 从点A 出发沿AB 边以1cm /s 的速度向点B 匀速移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边以2cm /s 的速度向点C 匀速移动，当P ，Q 两点中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ 的面积为5cm 2时，点P ，Q 运动的时间为__秒． 22．解方程：2269(52)x x x -+=-23．解方程（1）x 2﹣5x ﹣6＝0 （2）4x 2﹣8x +1＝0（用配方法解）．24．解一元二次方程：（1）22530x x +-= （2）()2236x x +=+25．请阅读下面解方程()()22212130x x +-+-=的过程． 解：设21x y +=，则原方程可变形为2230y y --=．解得13y =，21y =-．当3y =时，213x +=，∴x =当1y =-时，211x +=-，22x =-，此方程无实数解，∴原方程的解为：1x ，2x =我们将上述解方程的方法叫作换元法． 请用换元法解方程：211280x x x x --⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．26．已知方程关于x 的一元二次方程23540x x k +-=的一个根是－2，求k 和方程另一个根α的值．27．已知关于x 的一元二次方程221(21)202x k x k -++-=． （1）求证：无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根1x ，2x 满足212()9x x -=，求k 的值．28．如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m 的住房墙，另外三边用25m 长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m 宽的门，花圃面积为80m 2，求与墙垂直的一边的长度．29．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如果调整价格每件的售价每涨1元，那么每星期少卖10件．已知商品的进价为每件40元．设每件涨价x元，每星期的销量为y件．（1）写出y与x的函数解析式及自变量x的取值范围；（2）如何定价才能使每星期的利润最大？每星期的最大利润是多少？30．某快餐店新推出一种外卖，每份的成本为20元，推出后每份售价为50元，每月可售出200份，经过试卖发现，该外卖每份售价每降价1元，每月可多卖出10份，由于制作能力有限，每月最多制作该外卖350份．设该外卖每份售价x元（x≤50），每月的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式；（2）该外卖每份售价多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少？（3）该外卖每份售价在什么范围时，每月的销售利润不低于4000元．一元二次方程精典复习题（解析）1．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．2270x x -=B ．5521x x +=-C ．20ax bx c ++=D ．2221x x+= 【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行判断．【详解】解：A 、2270x x -=为一元二次方程，所以A 选项符合题意；B 、5521x x +=-为一元一次方程，所以B 选项不符合题意；C 、对于20ax bx c ++=，只有当0a ≠时，它为一元二次方程，所以C 选项不符合题意；D 、2221x x+=为分式方程，所以D 选项不符合题意． 故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式，解题的关键是掌握任何一个关于x 的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式20(a 0)++=≠ax bx c ．这种形式叫一元二次方程的一般形式．也考查了一元二次方程的定义．2．已知2是方程240x x c -+=的一个根，则c 的值为______．【答案】1【分析】将2240x x c -+=即可得出答案．【详解】解：∵2是方程240x x c -+=的一个根，∴2(24(20c -+=，解得：1c =，故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟知方程的根是指能使方程两边相等的x 的值是解本题的关键．3．已知关于x 的方程240x x n ++=可以配方成2()3x m +=，则2()m n -=_____________【答案】1【分析】将配方后的方程转化成一般方程即可求出m 、n 的值，由此可求得答案．【详解】解：由（x +m ）2＝3，得：x 2+2mx +m 2﹣3＝0，∴2m ＝4，m 2﹣3＝n ，∴m ＝2，∴n ＝1，∴（m ﹣n ）2＝1，故答案为：1．【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．4．若关于x 的一元二次方程2(1)10k x x -++=有实数根，则实数k 的取值范围是______． 【答案】54k ≤且1k ≠ 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式0∆≥，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2(1)10k x x -++=有实数根， ∴()1014110k k -≠⎧⎨∆=--⨯≥⎩解得：54k ≤且1k ≠． 故答案为：54k ≤且1k ≠． 【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式0∆≥，找出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．5．方程2(3)3x x x +=+的解是______．【答案】13x =-，212x =【分析】先移项，使方程右边为0，再提公因式(3)x +，然后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”进行求解．【详解】解：原方程可化为：2(3)(3)0x x x +-+=，因式分解得：(3)(21)0+-=x x ，所以30x +=或210x -=，解得：13x =-，212x =， 故答案为：13x =-，212x =． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．6．方程（y ﹣2）（y ﹣3）＝12解为___．【答案】16y =，21y =-【分析】将方程转化为一般形式，再根据因式分解法求解即可．【详解】解：()22()31y y --=化简得：2560y y --=(6)(1)0y y -+=解得16y =，21y =-故答案为16y =，21y =-【点睛】此题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握因式分解法求解一元二次方程是解题的关键．7．已知一个直角三角形的两条直角边长恰好分别是方程214480x x -+=的两根，则此三角形的斜边长为___________．【答案】10【分析】先解方程214480x x -+=，得出两根，再利用勾股定理来求解即可．【详解】解：∵214480x x -+=，∴（x −6）（x −8）＝0，∴x ＝6或8；∴两直角边为6和8，∴＝10，故答案是：10．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，用到的知识点是因式分解法和勾股定理，关键是根据方程的特点选择合适的解法．8．已知12,x x 是一元二次方程x 2－4x －7＝0的两个实数根，则1211+x x 的值是________． 【答案】47- 【分析】 根据一元二次方程根与系数的关系可得12b x x a +=-，12c x x a =，再将1211+x x 变形可得1212x x x x +，最后代入即可求解.【详解】解：因为12,x x 是一元二次方程x 2－4x －7＝0的两个实数根， 所以124b x x a +=-=，127c x x a==-， 因为1211+x x =1212x x x x +， 所以1211+x x =1212x x x x +=4477=--， 故答案为：47-. 【点睛】本题主要一元二次方程根与系数关系，解决本题的关键是要灵活运用一元二次方程根与系数关系. 9．设方程2x 2+3x +1＝0的根为x 1、x 2，则x 12+x 22＝_____________． 【答案】54【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，原式利用完全平方公式变形后代入计算即可求出值．【详解】解：∵方程2x 2+3x +1＝0的根为x 1、x 2，∴1232x x +=-，1212x x =， 则22221212123195()2()212244x x x x x x +=+-=--⨯=-=． 故答案为：54． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．10．若方程x 2+5x ﹣6＝0的两根为x 1，x 2，则|x 1﹣x 2|＝___．【答案】7【分析】根据根与系数的关系、完全平方公式即可完成．【详解】∵方程x 2+5x ﹣6＝0的两根为x 1，x 2，∴x 1+x 2＝﹣5，x 1x 2＝﹣6，∴|x 1﹣x 2|2＝（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2＝（﹣5）2﹣4×（﹣6）＝49，∴|x 1﹣x 2|＝7，故答案为：7．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形应用，关键是完全平方公式的变形应用．11．设a ，b 是方程220210x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值是_____．【答案】2020【分析】根据一元二次方程的解的定义可以求得a 2+a ＝2021，利用根与系数的关系可以求得a +b ＝﹣1．将其代入所求代数式，可求解．【详解】解：∵a 、b 是方程x 2+x ﹣2021＝0的两根，∴a 2+a ﹣2021＝0，a +b ＝﹣1，∴a 2+a ＝2021，∴a 2+2a +b ＝a 2+a +a +b ＝2021﹣1＝2020，故答案为：2020．【点睛】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，解题时，采用了“整体代入”的数学思想．12．已知a ，b 分别为一元二次方程x 2＋2x ﹣2011＝0的两个实数根，则a 2﹣3a ﹣5b ＝___．【答案】2021【分析】根据一元二次方程的解的定义得到2220110a a +-=，即222011a a +=，则235a a b --化简为225()a a a b +-+，再根据根与系数的关系得到2a b +=-，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：a 为一元二次方程2220110x x +-=的根，2220110a a ∴+-=，222011a a ∴+=， a ，b 分别为一元二次方程2220110x x +-=的两个实数根，2a b ∴+=-，223525()20115(2)2021a a b a a a b ∴--=+-+=-⨯-=．故答案为2021．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若1x ，2x 是一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两根时，12b x x a +=-，12c x x a=．也考查了一元二次方程的解． 13．有一人感染了传染性很强的病毒，经过两轮传染后共有625人患病，每轮传染中平均一人传染______人．【答案】24【分析】根据题意列一元二次方程，解方程即可【详解】设每轮传染中平均一人传染x 人，则第一轮有(1)x +人感染，第二轮有2(1)x +人感染，根据题意可得： 2(1)=625x +解得：1224,26x x ==-（不符题意，舍去）故答案为24【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，根据题意列出方程是解题的关键．14．某商品经过两次连续涨价，由原来的每件100元上涨为每件144元．若两次涨价的百分比相同，则每次涨_______％．【答案】20【分析】此题可设平均每次涨价的百分率为x，那么第一次涨价后的单价是原来的（1+x），那么第二次涨价后的单价是原来的（1+x）2，根据题意列方程解答即可．【详解】解：设平均每次涨价的百分率为x，根据题意列方程得100（1+x）2＝144，解得x1＝0.2，x2＝-2.2（不符合题意，舍去），即该商品平均每次涨价的百分率为20%．故答案是：20．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．15．某种家电价格受市场购买力影响，连续两次降价，由原来售价5000元降到3200元，则平均每次降价的百分率为____．【答案】20%．【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据题意列出一元二次方程，故可求解．【详解】设平均每次降价的百分率为x，依题意得：5000（1﹣x）2＝3200，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）．故答案为：20%．【点睛】此题主要考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列方程．16．组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了15场比赛，则这次参加比赛的球队个数为____．【答案】6【分析】设这次参加比赛的球队个数为x个，根据“赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了15场比赛”，列出关于x的一元二次方程，解之即可．【详解】解：设这次参加比赛的球队个数为x个，根据题意得：12x (x −1)＝15，解得：x 1＝6（舍去），x 2＝-5（舍去），即这次参加比赛的球队个数为6个，故答案是：6．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．17．一个凸多边形总共有20条对角线，它的边数n =____________．【答案】8【分析】根据凸多边形的对角线的条数与边数的关系，可列出方程，解出即可．【详解】解：根据题意可得：()3202n n -= ，解得：18n = ，25n =- （不合题意，舍去）∴它的边数8n =．故答案为：8 ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到凸多边形的对角线的条数与边数的关系是解题的关键．18．如图，在宽为4m 、长为6m 的长方形花坛上铺设两条同样宽的石子路，余下部分种植花卉．若种植花卉的面积215m ，则铺设的石子路的宽应为_________m ．【答案】1【分析】首先设铺设的石子路的宽应为x 米，由题意得等量关系：（长方形的宽−石子路的宽）×（长方形的长−石子路的宽）＝15，根据等量关系列出方程，再解即可．【详解】解：设铺设的石子路的宽应为x 米，由题意得：（4−x ）（6−x ）＝15，解得：x 1＝1，x 2＝9（不合题意，舍去）故答案为：1．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．19．如图，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若草坪部分总面积为112m2，则小路的宽为_____．【答案】1m【分析】设小路的宽为x m，则种草的部分可合成长为（16-2x）m，宽为（9-x）m的矩形，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【详解】解：设小路的宽为xm，则种草的部分可合成长为（16﹣2x）m，宽为（9﹣x）m的矩形，依题意得：（16﹣2x）（9﹣x）＝112，整理得：x2﹣17x+16＝0，解得：x1＝1，x2＝16．当x＝1时，16﹣2x＝14＞0，符合题意；当x＝16时，16﹣2x＝﹣16＜0，不合题意，舍去．故答案为：1m．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．20．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为468m2，那么小道进出口的宽度应为___m．【答案】2【分析】设小道进出口的宽度应为xm ，则剩余部分可合成长为（30﹣2x ）m ，宽为（20﹣x ）m 的矩形，根据矩形的面积计算公式，结合种植花草的面积为468m 2，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【详解】解：设小道进出口的宽度应为xm ，则剩余部分可合成长为（30﹣2x ）m ，宽为（20﹣x ）m 的矩形， 依题意得：（30﹣2x ）（20﹣x ）＝468，整理得：x 2﹣35x +300＝0，解得：x 1＝2，x 2＝35．当x ＝2时，30﹣2x ＝26，符合题意；当x ＝35时，30﹣2x ＝﹣40＜0，不合题意，舍去．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键在于找到等量关系列出方程.21．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，动点P 从点A 出发沿AB 边以1cm /s 的速度向点B 匀速移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边以2cm /s 的速度向点C 匀速移动，当P ，Q 两点中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ 的面积为5cm 2时，点P ，Q 运动的时间为__秒．【答案】1【分析】设点P ，Q 运动的时间为t 秒，则AP tcm = ，2BQ tcm = ，(6)BP t cm =- ， 根据△PBQ 的面积为5cm 2， 可列出关于t 的方程，解出t 即可．【详解】解：设点P ，Q 运动的时间为t 秒，则AP tcm = ，2BQ tcm = ，(6)BP t cm =- ， ∴11(6)222PBQ S BP BQ t t =⋅=-⋅ ， ∵△PBQ 的面积为5cm 2， ∴1(6)252t t -⋅=，解得：11t = 或25t = ， ∵当P ，Q 两点中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，∴25t =不符合题意，舍去．故答案为：1【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．22．分别用公式法和因式分解法解方程2269(52)x x x -+=-．【答案】12x =，283x = 【分析】利用公式法和因式分解法分别求解一元二次方程即可．【详解】解：公式法：原方程可化为2314160x x -+=，∵a ＝3，b ＝－14，c ＝16，∴24b ac -＝2(14)4316--⨯⨯＝4＞0，∴x ＝713±， ∴原方程的根为12x =，283x =； 因式分解法：原方程可化为[(x 3)(52x)][(x 3)(52x)]-+----＝0，∴（2－x ）（3x －8）＝0，∴2－x ＝0或3x －8＝0，∴原方程的根为12x =，283x =． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握公式法和因式分解法解一元二次方程方程．23．解方程（1）x 2﹣5x ﹣6＝0；（2）4x 2﹣8x +1＝0（用配方法解）．【答案】（1）x 1＝6，x 2＝﹣1；（2）x 1＝x 2＝1【分析】（1）利用因式分解法可得方程的解；（2）利用配方法解方程可得答案．【详解】解：（1）x 2﹣5x ﹣6＝0，因式分解，得（x ﹣6）（x +1）＝0，于是，得x ﹣6＝0或x +1＝0，解得x 1＝6，x 2＝﹣1；（2）4x 2﹣8x +1＝0， 整理得：2124x x -=-， 配方得：212114x x -+=-+，即23(1)4x -=，开方得：1x -=解得：x 1＝x 2＝1 【点睛】 本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法．24．解一元二次方程：（1）22530x x +-=（2）()2236x x +=+【答案】（1）112x =，23x =-；（2）12x =-，21x = 【分析】（1）根据一元二次方程的求根公式即可求解；（2）利用因式分解法求解一元二次方程即可．【详解】（1）22530x x +-=．解：2a =，5b =，3c =-， ()224541349b ac -=-⨯⨯-=，x =112x =，23x =-． （2）解：2(2)36x x +=+()()22320x x +-+=()()2230x x ++-=20x +=或10x -=12x =-，21x =．【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知公式法及因式分解法的运用．25．请阅读下面解方程()()22212130x x +-+-=的过程． 解：设21x y +=，则原方程可变形为2230y y --=．解得13y =，21y =-．当3y =时，213x +=，∴x =当1y =-时，211x +=-，22x =-，此方程无实数解，∴原方程的解为：1x ，2x =我们将上述解方程的方法叫作换元法． 请用换元法解方程：211280x x x x --⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【答案】13x =或13x =- 【分析】 设1x y x -=，则原方程变形为：2280y y --=，从而得到，12y =-，24y =，则得到12x x-=-和 14x x -=，解出即可．【详解】 解：设1x y x-=， 则原方程变形为：2280y y --=，解得，12y =-，24y =，当2y =-时，12x x-=-，解得，13x =， 经检验13x =是分式方程的解． 当4y =时，14x x -=，解得13x =-， 经检验13x =-是分式方程的解， ∴原分式方程的解为113x =，213x =-． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解分式方程，根据题意，理解换元法是解题的关键．26．已知方程关于x 的一元二次方程23540x x k +-=的一个根是－2，求k 和方程另一个根α的值．【答案】k 的值为12，方程另一个根α的值为13．【分析】方法1，根据方程的根的意义，先求得k 的值，再解一元二次方程求得另一个根，方法2 ，根据根与系数的关系，列出方程组，解方程即可求得,k α的值．【详解】方法1，根据方程的根的意义可知，()()2325240k ⨯-+⨯--=，则12k =． ∴原方程为23520x x +-=，解得12x =-，213x =． ∴k 的值为12，方程另一个根α的值为13． 方法2 ，根据根与系数的关系得()()523423k αα⎧+-=-⎪⎪⎨-⎪⋅-=⎪⎩，解得1312k α⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． ∴k 的值为12，方程另一个根α的值为13． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，方程的根的意义，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解法，根与系数的关系是解题的关键．27．已知关于x 的一元二次方程221(21)202x k x k -++-=． （1）求证：无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根1x ，2x 满足212()9x x -=，求k 的值．【答案】（1）见解析；（2）0k =或2k =-【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出22(1)7k ∆=++，结合偶次方的非负性可得出0∆>，进而可证出：无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）根据根与系数的关系可得出12(21)x x k +=+，212122x x k =-，结合212()9x x -=，即可得出关于k 的方程，解之即可得出结论．【详解】（1）证明：22221[(21)]41(2)2492(1)72k k k k k ∆=-+-⨯⨯-=++=++． 2(1)0k +，22(1)70k ∴++>，即0∆>，∴无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根．（2）解：1x ，2x 是方程221(21)202x k x k -++-=的两个实数根，1221x x k ∴+=+，212122x x k =-． 212()9x x -=，222121212122()49x x x x x x x x ∴+-=+-=，即221(21)4(2)92k k +--=， 2240k k ∴+=，解得：10k =，22k =-，k ∴的值为0或2-．【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当△0>时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用根与系数的关系结合212()9x x -=，找出关于k 的方程．28．如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m 的住房墙，另外三边用25m 长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m 宽的门，花圃面积为80m 2，求与墙垂直的一边的长度．【答案】8m【分析】根据题意，得四边形ABCD 为矩形；根据花园面积及篱笆的总长度，AB x =，通过列一元二次方程并求解，结合题意分析，即可得到答案．【详解】如下图：根据题意，得四边形ABCD 为矩形，1EF =m∴AB CD =，AD BC =∴25m 26m AB BC CD EF ++=+=，12m AD BC =≤∴226AB BC +=m∵花圃面积为80m 2∴80AB BC ⨯=m 2设AB x =m ，则()262m BC x =-∴()26280x x -=∴213400x x -+=∴()()580x x --=∴5x =或8x =当5x =时，26216BC x =-=m∵12AD BC =≤∴5x =不符合题意当8x =时，26210BC x =-=m∴8x =符合题意∴与墙垂直的一边的长度为8m ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用；解题的关键是根据题意列出一元二次方程，从而完成求解．29．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如果调整价格每件的售价每涨1元，那么每星期少卖10件．已知商品的进价为每件40元．设每件涨价x 元，每星期的销量为y 件．（1）写出y 与x 的函数解析式及自变量x 的取值范围；（2）如何定价才能使每星期的利润最大？每星期的最大利润是多少？【答案】（1） y =300﹣10x （0≤x ≤30）；（2）定价65元时，每星期的利润最大，最大利润是6250元．【分析】（1）根据涨价时，每涨价1元，每星期要少卖出10件，可列出销售量的代数式，进一步即可求出x 的取值范围；（2）根据涨价的函数表达式，利用二次函数的性质解答即可．【详解】解：（1）∵每涨价1元，每星期要少卖出10件，∴每件涨价x 元，每星期实际可卖出（300﹣10x ）件，∴y 与x 的函数解析式为：y =300﹣10x ；由y ≥0，即300﹣10x ≥0，解得x ≤30，∴x 的取值范围是0≤x ≤30；（2）设每星期的利润为w 元，则由题意得：w ＝（60﹣40+x ）（300﹣10x ）＝﹣10x2+100x+6000＝﹣10（x﹣5）2+6250，∵﹣10＜0，∴当x＝5时，w与取得最大值，最大值为6250，∴定价65元时，每星期的利润最大，最大利润是6250元．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是正确理解题意列出函数关系，本题属于中等题型．30．某快餐店新推出一种外卖，每份的成本为20元，推出后每份售价为50元，每月可售出200份，经过试卖发现，该外卖每份售价每降价1元，每月可多卖出10份，由于制作能力有限，每月最多制作该外卖350份．设该外卖每份售价x元（x≤50），每月的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式；（2）该外卖每份售价多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少？（3）该外卖每份售价在什么范围时，每月的销售利润不低于4000元．【答案】（1）w＝−10x2+900x-14000（35≤x≤50）（2）当外卖每份售价45元，每月的销售利润最大利润6250元；（3）35≤x≤50【分析】（1）根据“总利润＝单份利润×月销售数量”列出函数解析式，（2）将函数配方成顶点式，利用二次函数的性质可得；（3）先求得W＝4000元时x的值，再结合二次函数的性质确定W≥4000时x的范围即可得．【详解】（1）设该外卖每份售价x元，则每份的利润为（x-20）元，每月的销售量为200＋（50-x）×10，根据题意得w＝（x-20）[200＋（50-x）×10]＝−10x2+900x-14000，∵每月最多制作该外卖350份∴200＋（50-x）×10≤350解得x≥35∵x≤50，∴自变量x的取值为35≤x≤50，∴w与x之间的函数关系式为w＝−10x2+900x-14000（35≤x≤50）（2）∵w＝−10x2+900x-14000=-10（x-45）2+6250∴当x=45时，每月的销售利润最大w=6250；（3）当W＝4000时，得：−10x2+900x-14000＝4000，解得：x1＝30，x2＝60，∵35≤x≤45时，w随x的增大而增大；45≤x≤50时，w随x的增大而减小∴要使每月的销售利润不低于4000元，x的取值为35≤x≤50．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出函数解析式及二次函数的图象和性质．。

一元二次方程测试题考试范围：一元二次方程；考试时间：100分钟；命题人：刘笑天题号一二三总分得分第一卷〔选择题〕评卷人得分一．选择题〔共12小题〕1．方程x〔x﹣2〕=3x的解为〔〕A．x=5 B．x1=0，x2=5 C．x1=2，x2=0 D．x1=0，x2=﹣52．以下方程是一元二次方程的是〔〕A．ax2+bx+c=0 B．3x2﹣2x=3〔x2﹣2〕C．x3﹣2x﹣4=0 D．〔x﹣1〕2+1=0 3．关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，那么a的值为〔〕A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．34．某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2021 年约为12万人次，假设2021年约为17万人次，设游客人数年平均增长率为x，那么以下方程中正确的选项是〔〕A．12〔1+x〕=17 B．17〔1﹣x〕=12C．12〔1+x〕2=17 D．12+12〔1+x〕+12〔1+x〕2=175．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开场挪动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q挪动到点C后停顿，点P也随之停顿运动．以下时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是〔〕A．2秒钟B．3秒钟C．4秒钟D．5秒钟6．某幼儿园要准备修建一个面积为210平方米的矩形活动场地，它的长比宽多12米，设场地的长为x米，可列方程为〔〕A．x〔x+12〕=210 B．x〔x﹣12〕=210C．2x+2〔x+12〕=210 D．2x+2〔x﹣12〕=2107．一元二次方程x2+bx﹣2=0中，假设b＜0，那么这个方程根的情况是〔〕A．有两个正根B．有一正根一负根且正根的绝对值大C．有两个负根D．有一正根一负根且负根的绝对值大8．x1，x2是方程x2+x+k=0的两个实根，假设恰x12+x1x2+x22=2k2成立，k的值为〔〕A．﹣1 B．或﹣1 C．D．﹣或19．一元二次方程ax2+bx+c=0中，假设a＞0，b＜0，c＜0，那么这个方程根的情况是〔〕A．有两个正根B．有两个负根C．有一正根一负根且正根绝对值大D．有一正根一负根且负根绝对值大10．有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a﹣c≠0，以以下四个结论中，错误的选项是〔〕A．假如方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根B．假如方程M有两根符号一样，那么方程N的两根符号也一样C．假如5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．假如方程M和方程N有一个一样的根，那么这个根必是x=111．m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，那么〔m+2〕〔n+2〕的最小值是〔〕A．7 B．11 C．12 D．1612．设关于x的方程ax2+〔a+2〕x+9a=0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是〔〕A． B．C．D．第二卷〔非选择题〕评卷人得分二．填空题〔共8小题〕13．假设x1，x2是关于x的方程x2﹣2x﹣5=0的两根，那么代数式x12﹣3x1﹣x2﹣6的值是．14．x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1•x2=1，那么b a的值是．15．2x|m|﹣2+3=9是关于x的一元二次方程，那么m=．16．x2+6x=﹣1可以配成〔x+p〕2=q的形式，那么q=．17．关于x的一元二次方程〔m﹣1〕x2﹣3x+1=0有两个不相等的实数根，且关于x的不等式组的解集是x＜﹣1，那么所有符合条件的整数m的个数是．18．关于x的方程〔m﹣2〕x2+2x+1=0有实数根，那么偶数m的最大值为．19．如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，方案在其中修建两块一样的矩形绿地，它们面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，那么人行道的宽度为米．20．如图是一次函数y=kx+b的图象的大致位置，试判断关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0的根的判别式△0〔填：“＞〞或“=〞或“＜〞〕．评卷人得分三．解答题〔共8小题〕21．解以下方程．〔1〕x2﹣14x=8〔配方法〕〔2〕x2﹣7x﹣18=0〔公式法〕〔3〕〔2x+3〕2=4〔2x+3〕〔因式分解法〕〔4〕2〔x﹣3〕2=x2﹣9．22．关于x的一元二次方程〔m﹣1〕x2﹣x﹣2=0〔1〕假设x=﹣1是方程的一个根，求m的值及另一个根．〔2〕当m为何值时方程有两个不同的实数根．23．关于x的一元二次方程〔a﹣6〕x2﹣8x+9=0有实根．〔1〕求a的最大整数值；〔2〕当a取最大整数值时，①求出该方程的根；②求2x2﹣的值．24．关于x的方程x2﹣〔2k﹣3〕x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．〔1〕求k的取值范围；〔2〕假设x1x2+|x1|+|x2|=7，求k的值．25．某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克本钱80元，据销售人员调查发现，每月的销售量y〔千克〕与销售单价x〔元/千克〕之间存在如下图的变化规律．〔1〕求每月销售量y与销售单价x之间的函数关系式．〔2〕假设某月该茶叶点销售这种绿茶获得利润1350元，试求该月茶叶的销售单价x为多少元．26．如图，为美化环境，某小区方案在一块长方形空地上修建一个面积为1500平方米的长方形草坪，并将草坪四周余下的空地修建成同样宽的通道，长方形空地的长为60米，宽为40米．〔1〕求通道的宽度；〔2〕晨光园艺公司承揽了该小区草坪的种植工程，方案种植“四季青〞和“黑麦草〞两种绿草，该公司种植“四季青〞的单价是30元/平方米，超过50平方米后，每多出5平方米，所有“四季青〞的种植单价可降低1元，但单价不低于20元/平方米，小区种植“四季青〞的面积超过了50平方米，支付晨光园艺公司种植“四季青〞的费用为2000元，求种植“四季青〞的面积．27．某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息：信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是3元；信息2：甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元；信息3：按零售单价购置甲商品3件和乙商品2件，共付了12元．请根据以上信息，解答以下问题：〔1〕求甲、乙两种商品的零售单价；〔2〕该商店平均每天卖出甲乙两种商品各500件，经调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售100件，商店决定把甲种商品的零售单价下降m〔m＞0〕元．在不考虑其他因素的条件下，当m为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1000元？28．关于x的一元二次方程x2﹣〔m+6〕x+3m+9=0的两个实数根分别为x1，x2．〔1〕求证：该一元二次方程总有两个实数根；〔2〕假设n=4〔x1+x2〕﹣x1x2，判断动点P〔m，n〕所形成的函数图象是否经过点A〔1，16〕，并说明理由．2021年02月28日刘笑天的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题〔共12小题〕1．方程x〔x﹣2〕=3x的解为〔〕A．x=5 B．x1=0，x2=5 C．x1=2，x2=0 D．x1=0，x2=﹣5【解答】解：x〔x﹣2〕=3x，x〔x﹣2〕﹣3x=0，x〔x﹣2﹣3〕=0，x=0，x﹣2﹣3=0，x1=0，x2=5，应选B．2．以下方程是一元二次方程的是〔〕A．ax2+bx+c=0 B．3x2﹣2x=3〔x2﹣2〕C．x3﹣2x﹣4=0 D．〔x﹣1〕2+1=0【解答】解：A、当a=0时，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；B、由原方程得到2x﹣6=0，未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故本选项错误；C、未知数最高次数是3，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；D、符合一元二次方程的定义，故本选项正确；应选D．3．关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，那么a的值为〔〕A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．3【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，∴02+a2﹣1=0，解得，a=±1，应选C．4．某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2021 年约为12万人次，假设2021年约为17万人次，设游客人数年平均增长率为x，那么以下方程中正确的选项是〔〕A．12〔1+x〕=17 B．17〔1﹣x〕=12C．12〔1+x〕2=17 D．12+12〔1+x〕+12〔1+x〕2=17【解答】解：设游客人数的年平均增长率为x，那么2021的游客人数为：12×〔1+x〕，2021的游客人数为：12×〔1+x〕2．那么可得方程：12〔1+x〕2=17．应选：C．5．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开场挪动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q 挪动到点C后停顿，点P也随之停顿运动．以下时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是〔〕A．2秒钟B．3秒钟C．4秒钟D．5秒钟【解答】解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，那么BP为〔8﹣t〕cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，×〔8﹣t〕×2t=15，解得t1=3，t2=5〔当t=5时，BQ=10，不合题意，舍去〕．答：动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．6．某幼儿园要准备修建一个面积为210平方米的矩形活动场地，它的长比宽多12米，设场地的长为x米，可列方程为〔〕A．x〔x+12〕=210 B．x〔x﹣12〕=210 C．2x+2〔x+12〕=210 D．2x+2〔x ﹣12〕=210【解答】解：设场地的长为x米，那么宽为〔x﹣12〕米，根据题意得：x〔x﹣12〕=210，应选：B．7．一元二次方程x2+bx﹣2=0中，假设b＜0，那么这个方程根的情况是〔〕A．有两个正根B．有一正根一负根且正根的绝对值大C．有两个负根D．有一正根一负根且负根的绝对值大【解答】解：x2+bx﹣2=0，△=b2﹣4×1×〔﹣2〕=b2+8，即方程有两个不相等的实数根，设方程x2+bx﹣2=0的两个根为c、d，那么c+d=﹣b，cd=﹣2，由cd=﹣2得出方程的两个根一正一负，由c+d=﹣b和b＜0得出方程的两个根中，正数的绝对值大于负数的绝对值，应选B．8．x1，x2是方程x2+x+k=0的两个实根，假设恰x12+x1x2+x22=2k2成立，k的值为〔〕A．﹣1 B．或﹣1 C．D．﹣或1【解答】解：根据根与系数的关系，得x1+x2=﹣1，x1x2=k．又x12+x1x2+x22=2k2，那么〔x1+x2〕2﹣x1x2=2k2，即1﹣k=2k2，解得k=﹣1或．当k=时，△=1﹣2＜0，方程没有实数根，应舍去．∴取k=﹣1．故此题选A．9．一元二次方程ax2+bx+c=0中，假设a＞0，b＜0，c＜0，那么这个方程根的情况是〔〕A．有两个正根B．有两个负根C．有一正根一负根且正根绝对值大D．有一正根一负根且负根绝对值大【解答】解：∵a＞0，b＜0，c＜0，∴△=b2﹣4ac＞0，＜0，﹣＞0，∴一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，且两根异号，正根的绝对值较大．应选：C．10．有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a﹣c≠0，以以下四个结论中，错误的选项是〔〕A．假如方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根B．假如方程M有两根符号一样，那么方程N的两根符号也一样C．假如5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．假如方程M和方程N有一个一样的根，那么这个根必是x=1【解答】解：A、在方程ax2+bx+c=0中△=b2﹣4ac，在方程cx2+bx+a=0中△=b2﹣4ac，∴假如方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根，正确；B、∵“和符号一样，和符号也一样，∴假如方程M有两根符号一样，那么方程N的两根符号也一样，正确；C、∵5是方程M的一个根，∴25a+5b+c=0，∴a+b+c=0，∴是方程N的一个根，正确；D、M﹣N得：〔a﹣c〕x2+c﹣a=0，即〔a﹣c〕x2=a﹣c，∵a﹣c≠1，∴x2=1，解得：x=±1，错误．应选D．11．m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，那么〔m+2〕〔n+2〕的最小值是〔〕A．7 B．11 C．12 D．16【解答】解：∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，∴m+n=2t，mn=t2﹣2t+4，∴〔m+2〕〔n+2〕=mn+2〔m+n〕+4=t2+2t+8=〔t+1〕2+7．∵方程有两个实数根，∴△=〔﹣2t〕2﹣4〔t2﹣2t+4〕=8t﹣16≥0，∴t≥2，∴〔t+1〕2+7≥〔2+1〕2+7=16．应选D．12．设关于x的方程ax2+〔a+2〕x+9a=0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是〔〕A． B．C．D．【解答】解：方法1、∵方程有两个不相等的实数根，那么a≠0且△＞0，由〔a+2〕2﹣4a×9a=﹣35a2+4a+4＞0，解得﹣＜a＜，∵x1+x2=﹣，x1x2=9，又∵x1＜1＜x2，∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，那么〔x1﹣1〕〔x2﹣1〕＜0，∴x1x2﹣〔x1+x2〕+1＜0，即9++1＜0，解得＜a＜0，最后a的取值范围为：＜a＜0．应选D．方法2、由题意知，a≠0，令y=ax2+〔a+2〕x+9a，由于方程的两根一个大于1，一个小于1，∴抛物线与x轴的交点分别在1两侧，当a＞0时，x=1时，y＜0，∴a+〔a+2〕+9a＜0，∴a＜﹣〔不符合题意，舍去〕，当a＜0时，x=1时，y＞0，∴a+〔a+2〕+9a＞0，∴a＞﹣，∴﹣＜a＜0，应选D．二．填空题〔共8小题〕13．假设x1，x2是关于x的方程x2﹣2x﹣5=0的两根，那么代数式x12﹣3x1﹣x2﹣6的值是﹣3．【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2﹣2x﹣5=0的两根，∴x12﹣2x1=5，x1+x2=2，∴x12﹣3x1﹣x2﹣6=〔x12﹣2x1〕﹣〔x1+x2〕﹣6=5﹣2﹣6=﹣3．故答案为：﹣3．14．x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1•x2=1，那么b a的值是．【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，∴x1+x2=﹣a=﹣2，x1•x2=﹣2b=1，解得a=2，b=﹣，∴b a=〔﹣〕2=．故答案为：．15．2x|m|﹣2+3=9是关于x的一元二次方程，那么m=±4．【解答】解：由题意可得|m|﹣2=2，解得，m=±4．故答案为：±4．16．x2+6x=﹣1可以配成〔x+p〕2=q的形式，那么q=8．【解答】解：x2+6x+9=8，〔x+3〕2=8．所以q=8．故答案为8．17．关于x的一元二次方程〔m﹣1〕x2﹣3x+1=0有两个不相等的实数根，且关于x的不等式组的解集是x＜﹣1，那么所有符合条件的整数m的个数是4．【解答】解：∵关于x的一元二次方程〔m﹣1〕x2﹣3x+1=0有两个不相等的实数根，∴m﹣1≠0且△=〔﹣3〕2﹣4〔m﹣1〕＞0，解得m＜且m≠1，，∵解不等式组得，而此不等式组的解集是x＜﹣1，∴m≥﹣1，∴﹣1≤m＜且m≠1，∴符合条件的整数m为﹣1、0、2、3．故答案为4．18．关于x的方程〔m﹣2〕x2+2x+1=0有实数根，那么偶数m的最大值为2．【解答】解：由得：△=b2﹣4ac=22﹣4〔m﹣2〕≥0，即12﹣4m≥0，解得：m≤3，∴偶数m的最大值为2．故答案为：2．19．如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，方案在其中修建两块一样的矩形绿地，它们面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，那么人行道的宽度为1米．【解答】解：设人行道的宽度为x米〔0＜x＜3〕，根据题意得：〔18﹣3x〕〔6﹣2x〕=60，整理得，〔x﹣1〕〔x﹣8〕=0．解得：x1=1，x2=8〔不合题意，舍去〕．即：人行通道的宽度是1米．故答案是：1．20．如图是一次函数y=kx+b的图象的大致位置，试判断关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0的根的判别式△＞0〔填：“＞〞或“=〞或“＜〞〕．【解答】解：∵次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，∴k＞0，b＜0，∴△=〔﹣2〕2﹣4〔kb+1〕=﹣4kb＞0．故答案为＞．三．解答题〔共8小题〕21．解以下方程．〔1〕x2﹣14x=8〔配方法〕〔2〕x2﹣7x﹣18=0〔公式法〕〔3〕〔2x+3〕2=4〔2x+3〕〔因式分解法〕〔4〕2〔x﹣3〕2=x2﹣9．【解答】解：〔1〕x2﹣14x+49=57，〔x﹣7〕2=57，x﹣7=±，所以x1=7+，x2=7﹣；〔2〕△=〔﹣7〕2﹣4×1×〔﹣18〕=121，x=，所以x1=9，x2=﹣2；〔3〕〔2x+3〕2﹣4〔2x+3〕=0，〔2x+3〕〔2x+3﹣4〕=0，2x+3=0或2x+3﹣4=0，所以x1=﹣，x2=；〔4〕2〔x﹣3〕2﹣〔x+3〕〔x﹣3〕=0，〔x﹣3〕〔2x﹣6﹣x﹣3〕=0，x﹣3=0或2x﹣6﹣x﹣3=0，所以x1=3，x2=9．22．关于x的一元二次方程〔m﹣1〕x2﹣x﹣2=0〔1〕假设x=﹣1是方程的一个根，求m的值及另一个根．〔2〕当m为何值时方程有两个不同的实数根．【解答】解：〔1〕将x=﹣1代入原方程得m﹣1+1﹣2=0，解得：m=2．当m=2时，原方程为x2﹣x﹣2=0，即〔x+1〕〔x﹣2〕=0，∴x1=﹣1，x2=2，∴方程的另一个根为2．〔2〕∵方程〔m﹣1〕x2﹣x﹣2=0有两个不同的实数根，∴，解得：m＞且m≠1，∴当m＞且m≠1时，方程有两个不同的实数根．23．关于x的一元二次方程〔a﹣6〕x2﹣8x+9=0有实根．〔1〕求a的最大整数值；〔2〕当a取最大整数值时，①求出该方程的根；②求2x2﹣的值．【解答】解：〔1〕根据题意△=64﹣4×〔a﹣6〕×9≥0且a﹣6≠0，解得a≤且a≠6，所以a的最大整数值为7；〔2〕①当a=7时，原方程变形为x2﹣8x+9=0，△=64﹣4×9=28，∴x=，∴x1=4+，x2=4﹣；②∵x2﹣8x+9=0，∴x2﹣8x=﹣9，所以原式=2x2﹣=2x2﹣16x+=2〔x2﹣8x〕+=2×〔﹣9〕+=﹣．24．关于x的方程x2﹣〔2k﹣3〕x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．〔1〕求k的取值范围；〔2〕假设x1x2+|x1|+|x2|=7，求k的值．【解答】解：〔1〕∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=[﹣〔2k﹣3〕]2﹣4〔k2+1〕=4k2﹣12k+9﹣4k2﹣4=﹣12k+5＞0，解得：k＜；〔2〕∵k＜，∴x1+x2=2k﹣3＜0，又∵x1•x2=k2+1＞0，∴x1＜0，x2＜0，∴|x1|+|x2|=﹣x1﹣x2=﹣〔x1+x2〕=﹣2k+3，∵x1x2+|x1|+|x2|=7，∴k2+1﹣2k+3=7，即k2﹣2k﹣3=0，∴k1=﹣1，k2=2，又∵k＜，∴k=﹣1．25．某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克本钱80元，据销售人员调查发现，每月的销售量y〔千克〕与销售单价x〔元/千克〕之间存在如下图的变化规律．〔1〕求每月销售量y与销售单价x之间的函数关系式．〔2〕假设某月该茶叶点销售这种绿茶获得利润1350元，试求该月茶叶的销售单价x为多少元．【解答】解：〔1〕设一次函数解析式为y=kx+b，把〔90，100〕，〔100，80〕代入y=kx+b得，，解得，，y与销售单价x之间的函数关系式为y=﹣2x+280．〔2〕根据题意得：w=〔x﹣80〕〔﹣2x+280〕=﹣2x2+440x﹣22400=1350；解得〔x﹣110〕2=225，解得x1=95，x2=125．答：销售单价为95元或125元．26．如图，为美化环境，某小区方案在一块长方形空地上修建一个面积为1500平方米的长方形草坪，并将草坪四周余下的空地修建成同样宽的通道，长方形空地的长为60米，宽为40米．〔1〕求通道的宽度；〔2〕晨光园艺公司承揽了该小区草坪的种植工程，方案种植“四季青〞和“黑麦草〞两种绿草，该公司种植“四季青〞的单价是30元/平方米，超过50平方米后，每多出5平方米，所有“四季青〞的种植单价可降低1元，但单价不低于20元/平方米，小区种植“四季青〞的面积超过了50平方米，支付晨光园艺公司种植“四季青〞的费用为2000元，求种植“四季青〞的面积．【解答】解：〔1〕设通道的宽度为x米．由题意〔60﹣2x〕〔40﹣2x〕=1500，解得x=5或45〔舍弃〕，答：通道的宽度为5米．〔2〕设种植“四季青〞的面积为y平方米．由题意：y〔30﹣〕=2000，解得y=100，答：种植“四季青〞的面积为100平方米．27．某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息：信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是3元；信息2：甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元；信息3：按零售单价购置甲商品3件和乙商品2件，共付了12元．请根据以上信息，解答以下问题：〔1〕求甲、乙两种商品的零售单价；〔2〕该商店平均每天卖出甲乙两种商品各500件，经调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售100件，商店决定把甲种商品的零售单价下降m〔m＞0〕元．在不考虑其他因素的条件下，当m为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1000元？【解答】22．〔1〕假设甲种商品的进货单价为x元、乙种商品的进货单价为y元，根据题意可得：，解得：．答：甲、乙零售单价分别为2元和3元．〔2〕根据题意得出：〔1﹣m〕〔500+×100〕+500=1000即2m2﹣m=0，解得m=0.5或m=0〔舍去〕，答：当m定为0.5元才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共1000元．28．关于x的一元二次方程x2﹣〔m+6〕x+3m+9=0的两个实数根分别为x1，x2．〔1〕求证：该一元二次方程总有两个实数根；〔2〕假设n=4〔x1+x2〕﹣x1x2，判断动点P〔m，n〕所形成的函数图象是否经过点A〔1，16〕，并说明理由．【解答】解〔1〕∵△=〔m+6〕2﹣4〔3m+9〕=m2≥0∴该一元二次方程总有两个实数根〔2〕动点P〔m，n〕所形成的函数图象经过点A〔1，16〕，∵n=4〔x1+x2〕﹣x1x2=4〔m+6〕﹣〔3m+9〕=m+15∴P〔m，n〕为P〔m，m+15〕．∴A〔1，16〕在动点P〔m，n〕所形成的函数图象上．。

一元二次方程练习题一、填空1. 一元二次方程 化为一般形式为: , 二次项系数为: , 一次项系数为: , 常数项为: 。

2. 关于x 的方程 ,当 时为一元一次方程；当时为一元二次方程。

3. 已知直角三角形三边长为连续整数, 则它的三边长是 。

4. ； 。

5. 直角三角形的两直角边是3︰4, 而斜边的长是15㎝, 那么这个三角形的面积是 。

6. 若方程 的两个根是 和3, 则 的值分别为 。

7. 若代数式 与 的值互为相反数, 则 的值是 。

8. 方程 与 的解相同, 则 = 。

9. 当 时, 关于 的方程 可用公式法求解。

二、10. 若实数 满足 , 则 = 。

三、11．若 , 则 = 。

四、12．已知 的值是10, 则代数式 的值是 。

五、选择1. 下列方程中, 无论取何值, 总是关于x 的一元二次方程的是（ ）（A ）02=++c bx ax （B ）x x ax -=+221（C ）0)1()1(222=--+x a x a （D ）0312=-+=a x x 2. 若 与 互为倒数, 则实数 为（ ）（A ）±21（B ）±1 （C ）±22 （D ）±2 3. 若 是关于 的一元二次方程 的根, 且 ≠0, 则 的值为（ ）（A ）1- （B ）1 （C ）21- （D ）21 4. 关于 的一元二次方程 的两根中只有一个等于0, 则下列条件正确的是（ ）（A ）0,0==n m （B ）0,0≠=n m （C ）0,0=≠n m （D ）0,0≠≠n m5. 关于 的一元二次方程 有实数根, 则（ ）（A ）k ＜0 （B ）k ＞0 （C ）k ≥0 （D ）k ≤06. 已知 、 是实数, 若 , 则下列说法正确的是（ ）（A ）x 一定是0 （B ）y 一定是0 （C ）0=x 或0=y （D ）0=x 且0=y7. 若方程 中, 满足 和 , 则方程的根是（ ）（A ）1, 0 （B ）-1, 0 （C ）1, -1 （D ）无法确定六、解方程1. 选用合适的方法解下列方程（1）)4(5)4(2+=+x x （2）x x 4)1(2=+（3）22)21()3(x x -=+ （4）31022=-x x四、解答题已知等腰三角形底边长为8, 腰长是方程 的一个根, 求这个三角形的腰。

一元二次方程 双基演练一、选择题1．下面关于x的方程中①a x2+bx+c=0；②3（x-9）2-（x+1）2=1；③x+3=1x；④（a2+a+1）x2-a=0．一元二次方程的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．要使方程（a-3）x2+（b+1）x+c=0是关于x的一元二次方程，则（）A．a≠0 B．a≠3C．a≠1且b≠-1 D．a≠3且b≠-1且c≠03．若（x+y）（1-x-y）+6=0，则x+y的值是（）A．2 B．3 C．-2或3 D．2或-34．若关于x的一元二次方程3x2+k=0有实数根，则（）A．k>0 B．k<0 C．k≥0 D．k≤05．下面对于二次三项式-x2+4x-5的值的判断正确的是（）A．恒大于0 B．恒小于0 C．不小于0 D．可能为06．下面是某同学在九年级期中测试中解答的几道填空题：（1）若x2=a2，则x= a ；（2）方程2x（x-1）=x-1的根是 x=0 ；（3）若直角三角形的两边长为3和4，则第三边的长为 5 ．•其中答案完全正确的题目个数为（）A．0 B．1 C．2 D．37．某种商品因换季准备打折出售，如果按原定价的七五折出售，将赔25元，•而按原定价的九折出售，将赚20元，则这种商品的原价是（）A．500元 B．400元 C．300元 D．200元8．利华机械厂四月份生产零件50万个，若五、六月份平均每月的增长率是20%，•则第二季度共生产零件（）A．100万个 B．160万个 C．180万个 D．182万个二、填空题9．若a x2+bx+c=0是关于x的一元二次方程，则不等式3a+6>0的解集是________．10．已知关于x的方程x2+3x+k2=0的一个根是-1，则k=_______．11．若x2-4x+8=________．12．若（m+1）(2)1m m x +-+2mx-1=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是________． 13．若a+b+c=0，且a ≠0，则一元二次方程ax 2+bx+c=0必有一个定根，它是_______． 14．若矩形的长是6cm ，宽为3cm ，一个正方形的面积等于该矩形的面积，则正方形的边长是_______．15．若两个连续偶数的积是224，则这两个数的和是__________． 三、计算题（每题9分，共18分） 16．按要求解方程：（1）4x 2-3x-1=0（用配方法）； （2）5x 2（精确到0．1）17．用适当的方法解方程：（1）（2x-1）2-7=3（x+1）； （2）（2x+1）（x-4）=5；（3）（x 2-3）2-3（3-x 2）+2=0．能力提升18．若方程x2-2x+=0的两根是a和b（a>b），方程x-4=0的正根是c，试判断以a、b、c为边的三角形是否存在．若存在，求出它的面积；若不存在，说明理由．19．已知关于x的方程（a+c）x2+2bx-（c-a）=0的两根之和为-1，两根之差为1，•其中a，b，c是△ABC的三边长．（1）求方程的根；（2）试判断△ABC的形状．20．某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？21．李先生乘出租车去某公司办事，下午时，打出的电子收费单为“里程11•公里，应收29.10元”．出租车司机说：“请付29.10元．”该城市的出租车收费标准按下表计算，请求出起步价N （N<12）是多少元．聚焦中考22.方程(2)0x x +=的根是（ ）A 2x =B 0x =C 120,2x x ==-D 120,2x x ==23.某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81％，则平均每次降价（ ） A ．10％B ．19％C ．9.5％D ．20％24.关于x 的一元二次方程()220x mx m -+-=的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定25．已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程(a + b )x 2 + 2cx + (a + b )＝0的根的情况是（ ） A ．没有实数根B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根26．关于x 的一元二次方程022=+-m mx x 的一个根为1，则方程的另一根为 . 27.小华在解一元二次方程x 2-4x=0时．只得出一个根是x=4,则被他漏掉的一个根是x=_____．28．在长为10cm ，宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长。

一元二次方程复习课前练习1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．x2﹣x（x+3）＝0 B．ax2+bx+c＝0C．x2﹣2x﹣3＝0D．x2﹣2y﹣1＝02．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≤1B．m＜1C．m≥1D．m＞13．一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0配方后可变形为（）A．（x﹣3）2＝8B．（x﹣3）2＝10C．（x+3）2＝8D．（x+3）2＝104．方程x2+x＝0的解是（）A．x1＝x2＝0B．x1＝x2＝1C．x1＝0，x2＝1D．x1＝0，x2＝﹣15．已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝﹣3，则实数k的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣26．我校图书馆三月份借出图书70本，计划四、五月份共借出图书220本，设四、五月份借出的图书每月平均增长率为x，则根据题意列出的方程是（）A．70（1+x）2＝220B．70（1+x）+70（1+x）2＝220C．70（1﹣x）2＝220D．70+70（1+x）+70（1+x）2＝2207．下列一元二次方程没有实数根的是（）A．x2+x+3＝0B．x2+2x+1＝0C．x2﹣2＝0D．x2﹣2x﹣3＝08．下列方程中，满足两个实数根的和等于3的方程是（）A．2x2+6x﹣5＝0B．2x2﹣3x﹣5＝0C．2x2﹣6x+5＝0D．2x2﹣6x﹣5＝09．设m是一元二次方程x2﹣x﹣2019＝0的一个根，则m2﹣m+1的值为．10．如果关于x的方程2x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根，那么实数k的值是．11．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是．12．若关于x的方程kx2+4x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是．13．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．14．关于x的方程mx2﹣4mx+m+3＝0有两个相等的实数根，那么m＝．15．（1）x2+4x﹣5＝0 （2）（10+x）（500﹣20x）＝6000 （3）（72﹣55﹣y）（100+10y）＝1800知识点一一元二次方程根与系数的关系笔记：例一．已知关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0．（1）若该方程的一个根为1，求k的值；（2）求证：不论k取何实数，该方程总有两个实数根．练习1．已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．2．关于x的一元二次方程x2+2x+2m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m＝0的两个根，且x12+x22＝8，求m的值．知识点二：一元二次方程的应用之面积问题例二．如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地．（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750m2？（2）能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么？练习1．兴隆镇某养鸡专业户准备建造如图所示的矩形养鸡场，要求长与宽的比为2：1，在养鸡场内，沿前侧内墙保留3m宽的走道，其他三侧内墙各保留1m宽的走道，当矩形养鸡场长和宽各为多少时，鸡笼区域面积是288m2？2．如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为2：1，如果要使彩条所占的面积是图案面积的，则竖彩条宽度为多少？3．如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门．（1）设花圃的宽AB为x米，请你用含x的代数式表示BC的长米；（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的宽．知识点四：一元二次方程的应用利润问题例4．某超市以3元/本的价格购进某种笔记本若干，然后以每本5元的价格出售，每天可售出20本．通过调查发现，这种笔记本的售价每降低0.1元，每天可多售出4本，为保证每天至少售出50本，该超市决定降价销售．（1）若将这种笔记本每本的售价降低x元，则每天的销售量是本；（用含x的代数式表示）（2）要想销售这种笔记本每天赢利60元，该超市需将每本的售价降低多少元？练习1．某商场将进价每件30元的衬衫以每件40元销售，平均每月可售出600件．为了增加盈利，商场采取涨价措施．若在一定范围内，衬衫的单价每涨1元，商场平均每月会少售出10件．为了实现平均每月10000元的销售利润，这种衬衫每件的价格应定为多少元？2．某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．假设每台冰箱降价x元，（1）则每天能售出台．（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱降价多少元？3．为了让学生亲身感受常州城市的变化，正衡中学天宁分校组织九年级某班学生进行“太湖一日研学”活动．某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？知识点5因运动产生的一元二次方程的应用问题例5．如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？练习．等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．一元二次方程复习参考答案与试题解析1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（C）A．x2﹣x（x+3）＝0 B．ax2+bx+c＝0 C．x2﹣2x﹣3＝0D．x2﹣2y﹣1＝02．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（A）A．m≤1B．m＜1C．m≥1D．m＞13．一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0配方后可变形为（B）A．（x﹣3）2＝8B．（x﹣3）2＝10C．（x+3）2＝8D．（x+3）2＝104．方程x2+x＝0的解是（D）A．x1＝x2＝0B．x1＝x2＝1C．x1＝0，x2＝1D．x1＝0，x2＝﹣15．已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝﹣3，则实数k的值为（B）A．1B．﹣1C．2D．﹣26．我校图书馆三月份借出图书70本，计划四、五月份共借出图书220本，设四、五月份借出的图书每月平均增长率为x，则根据题意列出的方程是（B）A．70（1+x）2＝220B．70（1+x）+70（1+x）2＝220C．70（1﹣x）2＝220D．70+70（1+x）+70（1+x）2＝2207．下列一元二次方程没有实数根的是（A）A．x2+x+3＝0B．x2+2x+1＝0C．x2﹣2＝0D．x2﹣2x﹣3＝08．下列方程中，满足两个实数根的和等于3的方程是（D）A．2x2+6x﹣5＝0B．2x2﹣3x﹣5＝0C．2x2﹣6x+5＝0D．2x2﹣6x﹣5＝09．设m是一元二次方程x2﹣x﹣2019＝0的一个根，则m2﹣m+1的值为2020．10．如果关于x的方程2x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根，那么实数k的值是．11．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是m＜1且m≠0．12．若关于x的方程kx2+4x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是k≥﹣4．13．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是m且m ≠2．14．关于x的方程mx2﹣4mx+m+3＝0有两个相等的实数根，那么m＝1．15．（1）x2+4x﹣5＝0 （2）（10+x）（500﹣20x）＝6000 （3）（72﹣55﹣y）（100+10y）＝1800∴x1＝﹣5，x2＝1；x＝5或x＝10，y1＝2，y2＝5．知识点一一元二次方程根与系数的关系笔记：例一．已知关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0．（1）若该方程的一个根为1，求k的值；（2）求证：不论k取何实数，该方程总有两个实数根．【解答】（1）解：把x＝1代入方程x2﹣（k+3）x+3k＝0得1﹣k﹣3+3k＝0，解得k＝1；（2）证明：△＝（k+3）2﹣4•3k＝（k﹣3）2≥0，所以不论k取何实数，该方程总有两个实数根．练习1．已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．解：（1）△ABC是等腰三角形，理由：当x＝﹣1时，（a+b）﹣2c+（b﹣a）＝0，∴b＝c，∴△ABC是等腰三角形，（2）△ABC是直角三角形，理由：∵方程有两个相等的实数根，∴△＝（2c）2﹣4（a+b）（b﹣a）＝0，∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形；（3）∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，∴原方程可化为：2ax2+2ax＝0，即：x2+x＝0，∴x（x+1）＝0，∴x1＝0，x2＝﹣1，即：这个一元二次方程的根为x1＝0，x2＝﹣1．2．关于x的一元二次方程x2+2x+2m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m＝0的两个根，且x12+x22＝8，求m的值．解：（1）因为一元二次方程x2+2x+2m＝0有两个不相等的实数根，所以△＝4﹣8m＞0，解得：m＜．故m的取值范围为m＜．（2）根据根与系数的关系得：x1+x2＝﹣2，x1•x2＝2m，∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4﹣4m＝8，所以m＝﹣1验证当m＝﹣1时△＞0．．故m的值为m＝﹣1．知识点二：一元二次方程的应用之面积问题例二．如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m），用80m长的篱笆围一个矩形场地．（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750m2？（2）能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么？解：（1）设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为（80﹣x）米依题意，得x•（80﹣x）＝750即，x2﹣80x+1500＝0，得x1＝30，x2＝50∵墙的长度不超过45m，∴x2＝50不合题意，应舍去当x＝30时，（80﹣x）＝×（80﹣30）＝25，所以，当所围矩形的长为30m、宽为25m时，能使矩形的面积为750m2（2）不能．因为由x•（80﹣x）＝810得x2﹣80x+1620＝0又∵b2﹣4ac＝（﹣80）2﹣4×1×1620＝﹣80＜0，∴上述方程没有实数根因此，不能使所围矩形场地的面积为810m2练习1．兴隆镇某养鸡专业户准备建造如图所示的矩形养鸡场，要求长与宽的比为2：1，在养鸡场内，沿前侧内墙保留3m宽的走道，其他三侧内墙各保留1m宽的走道，当矩形养鸡场长和宽各为多少时，鸡笼区域面积是288m2？解：设鸡场的宽为xm，则长为2xm．（2x﹣4）（x﹣2）＝288，（x﹣14）（x+10）＝0，解得x＝14，或x＝﹣10（不合题意，舍去）．∴2x＝28．答：鸡场的长为28m，宽为14m2．如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为2：1，如果要使彩条所占的面积是图案面积的，则竖彩条宽度为多少？解：设竖彩条的宽为xcm，则横彩条的宽为2xcm，则（30﹣2x）（ 20﹣4x）＝30×20×（1﹣），整理得：x2﹣20x+19＝0，解得：x1＝1，x2＝19（不合题意，舍去）．答：竖彩条的宽度为1cm．3．如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门．（1）设花圃的宽AB为x米，请你用含x的代数式表示BC的长（24﹣3x）米；（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的宽．】解：（1）BC＝22+2﹣3x＝24﹣3x．（2）x（24﹣3x）＝45，化简得：x2﹣8x+15＝0，解得：x1＝5，x2＝3．当x＝5时，24﹣3x＝9＜14，符合要求；当x＝3时，24﹣3x＝15＞14，不符合要求，舍去．答：花圃的宽为5米．知识点四：一元二次方程的应用利润问题例4．某超市以3元/本的价格购进某种笔记本若干，然后以每本5元的价格出售，每天可售出20本．通过调查发现，这种笔记本的售价每降低0.1元，每天可多售出4本，为保证每天至少售出50本，该超市决定降价销售．（1）若将这种笔记本每本的售价降低x元，则每天的销售量是（20+40x）本；（用含x的代数式表示）（2）要想销售这种笔记本每天赢利60元，该超市需将每本的售价降低多少元？【解答】解：（1）将这种笔记本每本的售价降低x元，则每天的销售量是20+×4＝20+40x（本）；（2）设这种笔记本每本降价x元，根据题意得：（5﹣3﹣x）（20+40x）＝60，2x2﹣3x+1＝0，解得：x＝0.5或x＝1，当x＝0.5时，销售量是20+40×0.5＝40＜50；当x＝1时，销售量是20+40＝60＞50．∵每天至少售出50本，∴x＝1．答：超市应将每本的销售价降低1元．练习1．某商场将进价每件30元的衬衫以每件40元销售，平均每月可售出600件．为了增加盈利，商场采取涨价措施．若在一定范围内，衬衫的单价每涨1元，商场平均每月会少售出10件．为了实现平均每月10000元的销售利润，这种衬衫每件的价格应定为多少元？【解答】解：设这种衬衫每件的价格应定为x元．根据题意，得（x﹣30）[600﹣（x﹣40）×10]＝10000．解得x1＝50，x2＝80．答：这种衬衫每件的价格应定为 50 元或 80 元．2．某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．假设每台冰箱降价x元，（1）则每天能售出（8+4×）台．（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱降价多少元？【解答】解：（1）根据题意，得（8+4×）；（2）设出每台冰箱应降价x元，由题意得：（2400﹣2000﹣x）（8+×4）＝4800，﹣x2+24x+3200＝4800．整理，得x2﹣300x+20000＝0．解这个方程，得x1＝100，x2＝200．要使百姓得到实惠，取x＝200元．∴每台冰箱应降价200元．3．为了让学生亲身感受常州城市的变化，正衡中学天宁分校组织九年级某班学生进行“太湖一日研学”活动．某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？【解答】解：∵100×30＝3000＜3150，∴该班参加研学游活动的学生数超过30人．设共有x名同学参加了研学游活动，由题意得：x[100﹣2（x﹣30）]＝3150，解得x1＝35，x2＝45，当x＝35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）＝90＞80，符合题意；当x＝45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）＝70＜80，不符合题意，应舍去．答：共有35名同学参加了研学游活动．知识点5因运动产生的一元二次方程的应用问题例5．如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？【解答】解：（1）设经过x秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分由题意知：AP＝x，BQ＝2x，则BP＝6﹣x，∴（6﹣x）•2x＝××6×8，∴x2﹣6x+12＝0，∵b2﹣4ac＜0，此方程无解，∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分；（2）设t秒后，△PBQ的面积为1①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时此时0＜t≤4（6﹣t）（8﹣2t）＝1，整理得：t2﹣10t+23＝0，解得：t1＝5+（不合题意，应舍去），t2＝5﹣，②当点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上时此时4＜t≤6，由题意知：（6﹣t）（2t﹣8）＝1，整理得：t2﹣10t+25＝0，解得：t1＝t2＝5，③当点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上时此时t＞6，（t﹣6）（2t﹣8）＝1，整理得：t2﹣10t+23＝0，解得：t1＝5+，t2＝5﹣，（不合题意，应舍去），综上所述，经过5﹣秒、5秒或5+秒后，△PBQ的面积为1．练习．等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．【解答】解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ＝t，PB＝10﹣t∴当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ＝t，PB＝t﹣10∴（4分）（2）∵S△ABC＝（5分）∴当t＜10秒时，S△PCQ＝整理得t2﹣10t+100＝0无解（6分）当t＞10秒时，S△PCQ＝整理得t2﹣10t﹣100＝0解得t＝5±5（舍去负值）（7分）∴当点P运动秒时，S△PCQ＝S△ABC（8分）（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M易证△APE≌△QCM，∴AE＝PE＝CM＝QM＝t，∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．又∵EM＝AC＝10∴DE＝5∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．同理，当点P在点B右侧时，DE＝5综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．。

一元二次方程经典40题一、选择题1.下列方程中是一元二次方程的是（）A. 2x+1=0B. y²+x=1C. x²+1=0D. x²+1/x=12.一元二次方程 x²-2x-3=0 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A. 1，-2，-3B. 1，2，-3C. 1，-2，3D. 1，2，33.方程 x²-3x=0 的解是（）A. x=0B. x=3C. x₁=0，x₂=3D. x₁=0，x₂=-34.关于 x 的一元二次方程 x²+kx-3=0 有一个根为 1，则 k 的值为（）A. -2B. -1C. 1D. 25.若方程 x²+2x+m=0 有实数根，则 m 的取值范围是（）A. m＜1B. m≤1C. m＞1D. m≥1二、填空题6. 一元二次方程 2x²-3x+1=0 的一次项系数是____。

7. 方程 x²-4=0 的解是____。

8. 若关于 x 的方程 x²+mx+m²-1=0 的一个根为 1，则 m 的值为____。

9. 已知 x₁，x₂是方程 x²-3x-2=0 的两个根，则 x₁+x₂=，x₁x₂=。

10. 一个三角形的两边长分别为 3 和 6，第三边长是方程 x²-10x+21=0 的根，则三角形的周长为____。

三、解答题11. 解下列方程：（1）x²-4x+3=0；（2）2x²-5x+2=0。

12. 已知关于 x 的一元二次方程 x²-(m+3)x+m+2=0。

（1）求证：无论 m 取何实数，方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根为 1，求 m 的值及另一个根。

13. 已知关于 x 的方程 x²-(k+1)x+1/4k²+1=0。

（1）若方程有两个实数根，求 k 的取值范围；（2）设方程的两根为 x₁，x₂，若 x₁²+x₂²=6，求 k 的值。

一元二次方程100道计算题练习1、)4(5)4(2+=+x x 2、x x 4)1(2=+ 3、22)21()3(x x -=+4、31022=-x x 5、（x+5）2=16 6、2（2x －1）－x （1－2x ）=07、x 2 =64 8、5x 2 - 52=0 9、8（3 -x ）2 –72=010、3x(x+2)=5(x+2) 11、（1－3y ）2+2（3y －1）=0 12、x 2+ 2x + 3=013、x 2+ 6x －5=0 14、x 2－4x+ 3=0 15、x 2－2x －1 =016、2x 2+3x+1=0 17、3x 2+2x －1 =0 18、5x 2－3x+2 =019、7x 2－4x －3 =0 20、 -x 2-x+12 =0 21、x 2－6x+9 =022、22(32)(23)x x -=- 23、x 2-2x-4=0 24、x 2-3=4x25、3x 2＋8 x －3＝0（配方法） 26、(3x ＋2)(x ＋3)＝x ＋14 27、(x+1)(x+8)=-1228、2(x －3) 2＝x 2－9 29、－3x 2＋22x －24＝0 30、（2x-1）2+3（2x-1）+2=031、2x 2－9x ＋8＝0 32、3（x-5）2=x(5-x) 33、(x ＋2) 2＝8x34、(x －2) 2＝(2x ＋3)2 35、2720x x += 36、24410t t -+=37、()()24330x x x -+-= 38、2631350x x -+= 39、()2231210x --=40、2223650x x -+=补充练习：一、利用因式分解法解下列方程(x －2) 2＝(2x-3)2 042=-x x 3(1)33x x x +=+x 2 ()()0165852=+---x x二、利用开平方法解下列方程51)12(212=-y 4（x-3）2=25 24)23(2=+x三、利用配方法解下列方程25220x x -+= 012632=--x x01072=+-x x四、利用公式法解下列方程－3x 2＋22x －24＝0 2x （x －3）=x －3． 3x 2+5(2x+1)=0五、选用适当的方法解下列方程(x ＋1) 2－3 (x ＋1)＋2＝0 22(21)9(3)x x +=- 2230x x --=21302x x ++= 4)2)(1(13)1(+-=-+x x x x--xx x（x＋1）－5x＝0. 3x(x－3) ＝2(x－1) (x＋1).23(=)2)(11应用题：1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，市场每天可多售2件，若商场平均每天盈利1250元，每件衬衫应降价多少元？2、两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多4 cm，大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少32平方厘米，求大小两个正方形的边长.3、如图，有一块梯形铁板ABCD，AB∥CD，∠A=90°，AB=6 m，CD=4 m，AD=2 m，现在梯形中裁出一内接矩形铁板AEFG，使E在AB上，F在BC上，G在AD上，若矩形铁板的面积为5 m2，则矩形的一边EF长为多少？4、如右图，某小在长32米，区规划宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的3条小路，使其中两条与AD平行，一条与AB平行，其余部分种草，若使草坪的面积为566米2，问小路应为多宽？5、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，商店想在月销售成本不超过1万元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？6.某工厂1998年初投资100万元生产某种新产品，1998年底将获得的利润与年初的投资的和作为1999年初的投资，到1999年底，两年共获利润56万元，已知1999年的年获利率比1998年的年获利率多10个百分点，求1998年和1999年的年获利率各是多少？ 思考：1、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。

一元二次方程100道计算题练习(附答案)(1)x^2+17x+72=0答案：x1=-8x2=-9(2)x^2+6x-27=0答案：x1=3x2=-9(3)x^2-2x-80=0答案：x1=-8x2=10(4)x^2+10x-200=0答案：x1=-20x2=10(5)x^2-20x+96=0答案：x1=12x2=8(6)x^2+23x+76=0答案：x1=-19x2=-4(7)x^2-25x+154=0答案：x1=14x2=11(8)x^2-12x-108=0答案：x1=-6x2=18(9)x^2+4x-252=0答案：x1=14x2=-18(10)x^2-11x-102=0答案：x1=17x2=-6(11)x^2+15x-54=0答案：x1=-18x2=3(12)x^2+11x+18=0答案：x1=-2x2=-9(13)x^2-9x+20=0答案：x1=4x2=5(14)x^2+19x+90=0答案：x1=-10x2=-9(15)x^2-25x+156=0答案：x1=13x2=12(16)x^2-22x+57=0答案：x1=3x2=19(17)x^2-5x-176=0答案：x1=16x2=-11(18)x^2-26x+133=0答案：x1=7x2=19(19)x^2+10x-11=0答案：x1=-11x2=1(20)x^2-3x-304=0答案：x1=-16x2=19(21)x^2+13x-140=0答案：x1=7x2=-20(23)x^2+5x-176=0答案：x1=-16x2=11(24)x^2+28x+171=0答案：x1=-9x2=-19(25)x^2+14x+45=0答案：x1=-9x2=-5(26)x^2-9x-136=0答案：x1=-8x2=17(27)x^2-15x-76=0答案：x1=19x2=-4(28)x^2+23x+126=0答案：x1=-9x2=-14(29)x^2+9x-70=0答案：x1=-14x2=5(30)x^2-1x-56=0答案：x1=8x2=-7(31)x^2+7x-60=0答案：x1=5x2=-12(32)x^2+10x-39=0答案：x1=-13x2=3(33)x^2+19x+34=0答案：x1=-17x2=-2(34)x^2-6x-160=0答案：x1=16x2=-10(35)x^2-6x-55=0答案：x1=11x2=-5(36)x^2-7x-144=0答案：x1=-9x2=16(37)x^2+20x+51=0答案：x1=-3x2=-17(38)x^2-9x+14=0答案：x1=2x2=7(39)x^2-29x+208=0答案：x1=16x2=13(40)x^2+19x-20=0答案：x1=-20x2=1(41)x^2-13x-48=0答案：x1=16x2=-3(42)x^2+10x+24=0答案：x1=-6x2=-4(43)x^2+28x+180=0答案：x1=-10x2=-18(45)x^2+23x+90=0答案：x1=-18x2=-5(46)x^2+7x+6=0答案：x1=-6x2=-1(47)x^2+16x+28=0答案：x1=-14x2=-2(48)x^2+5x-50=0答案：x1=-10x2=5(49)x^2+13x-14=0答案：x1=1x2=-14(50)x^2-23x+102=0答案：x1=17x2=6(51)x^2+5x-176=0答案：x1=-16x2=11(52)x^2-8x-20=0答案：x1=-2x2=10(53)x^2-16x+39=0答案：x1=3x2=13(54)x^2+32x+240=0答案：x1=-20x2=-12(55)x^2+34x+288=0答案：x1=-18x2=-16(56)x^2+22x+105=0答案：x1=-7x2=-15(57)x^2+19x-20=0答案：x1=-20x2=1(58)x^2-7x+6=0答案：x1=6x2=1(59)x^2+4x-221=0答案：x1=13x2=-17(60)x^2+6x-91=0答案：x1=-13x2=7(61)x^2+8x+12=0答案：x1=-2x2=-6(62)x^2+7x-120=0答案：x1=-15x2=8(63)x^2-18x+17=0答案：x1=17x2=1(64)x^2+7x-170=0答案：x1=-17x2=10(65)x^2+6x+8=0答案：x1=-4x2=-2(67)x^2+24x+119=0答案：x1=-7x2=-17(68)x^2+11x-42=0答案：x1=3x2=-14(69)x^20x-289=0答案：x1=17x2=-17(70)x^2+13x+30=0答案：x1=-3x2=-10(71)x^2-24x+140=0答案：x1=14x2=10(72)x^2+4x-60=0答案：x1=-10x2=6(73)x^2+27x+170=0答案：x1=-10x2=-17(74)x^2+27x+152=0答案：x1=-19x2=-8(75)x^2-2x-99=0答案：x1=11x2=-9(76)x^2+12x+11=0答案：x1=-11x2=-1(77)x^2+17x+70=0答案：x1=-10x2=-7(78)x^2+20x+19=0答案：x1=-19x2=-1(79)x^2-2x-168=0答案：x1=-12x2=14(80)x^2-13x+30=0答案：x1=3x2=10(81)x^2-10x-119=0答案：x1=17x2=-7(82)x^2+16x-17=0答案：x1=1x2=-17(83)x^2-1x-20=0答案：x1=5x2=-4(84)x^2-2x-288=0答案：x1=18x2=-16(85)x^2-20x+64=0答案：x1=16x2=4(86)x^2+22x+105=0答案：x1=-7x2=-15(87)x^2+13x+12=0答案：x1=-1x2=-12(89)x^2+26x+133=0答案：x1=-19x2=-7(90)x^2-17x+16=0答案：x1=1x2=16(91)x^2+3x-4=0答案：x1=1x2=-4(92)x^2-14x+48=0答案：x1=6x2=8(93)x^2-12x-133=0答案：x1=19x2=-7(94)x^2+5x+4=0答案：x1=-1x2=-4(95)x^2+6x-91=0答案：x1=7x2=-13(96)x^2+3x-4=0答案：x1=-4x2=1(97)x^2-13x+12=0答案：x1=12x2=1(98)x^2+7x-44=0答案：x1=-11x2=4(99)x^2-6x-7=0答案：x1=-1x2=7 (100)x^2-9x-90=0答案：x1=15x2=-6。

一元二次方程计算题专题训练试题精选附答案一. 解答题（共30小题）1. （2015•诏安县校级模拟）解方程：（x+1）2﹣9=0.2. （2015•诏安县校级模拟）解方程: 4x2﹣20=0.3. （2015•东西湖区校级模拟）解方程: （2x+3）2﹣25=04. （2015•铜陵县模拟）解方程: 4（x+3）2=25（x﹣2）2.5. （2015•岳池县模拟）解方程（2x﹣3）2=x2.6. （2015春•北京校级期中）解方程: （x﹣1）2=25.7. （2013秋•云梦县校级期末）解下列方程:（1）用直接开平方法解方程：2x2﹣24=0 （2）用配方法解方程：x2+4x+1=0.8. （2014秋•锡山区期中）解方程:（1）（x﹣2）2=25；（2）2x2﹣3x﹣4=0；（3）x2﹣2x=2x+1；（4）2x2+14x﹣16=0.9. （2014秋•丹阳市校级期中）选择合适的方法解一元二次方程:①9（x﹣2）2﹣121=0；②x2﹣4x﹣5=0.10. （2014秋•万州区校级期中）按要求解答:（1）解方程：（x+3）2﹣2=0；（2）因式分解：4a2﹣（b2﹣2b+1）.11. （2014秋•海口期中）解下列方程:（1）x2﹣16=0；（2）x2+3x﹣4=0.12. （2014秋•海陵区期中）解下列一元二次方程:（1）x2﹣3=0 （2）x2﹣3x=0.13. （2014秋•滨湖区期中）解下列方程（1）2x2﹣=0；（2）2x2﹣4x+1=0（配方法）（3）2（x﹣3）2=x（x﹣3）；（4）3y2+5（2y+1）=0 （公式法）.14. （2014秋•昆明校级期中）解方程: 9（x+1）2=4（x﹣2）2.15. （2014秋•深圳校级期中）解方程: （2x﹣3）2=25.16. （2014秋•北塘区期中）（1）2（x﹣1）2=32 （2）2（x﹣3）2=x（x﹣3）（3）2x2﹣4x+1=0 （4）x2﹣5x+6=0.17. （2014秋•福安市期中）解方程:（1）（x+1）2=2；（2）x2﹣2x﹣3=0 （用适当的方法）18. （2014秋•华容县月考）用适当的方法解下列方程:（1）（2﹣3x）2=1；（2）2x2=3（2x+1）.19. （2014秋•宝应县校级月考）解方程:（1）（2x﹣1）2﹣9=0 （2）x2﹣x﹣1=0.20. （2014秋•南华县校级月考）解方程:（1）（x+8）（x+1）=0 （2）2（x﹣3）2=8（3）x（x+7）=0 （4）x2﹣5x+6=0（5）3（x﹣2）2=x（x﹣2）（6）（y+2）2=（3y﹣1）2.21. （2014秋•广州校级月考）解方程:（1）x2﹣9=0；（2）x2+4x﹣1=0.22. （2013秋•大理市校级期中）解下列方程:（1）用开平方法解方程: （x﹣1）2=4 （2）用配方法解方程: x2﹣4x+1=0 （3）用公式法解方程: 3x2+5（2x+1）=0 （4）用因式分解法解方程: 3（x﹣5）2=2（5﹣x）23. （2012秋•浏阳市校级期中）用适当的方法解方程:（1）9（2x﹣5）2﹣4=0；（2）2x2﹣x﹣15=0.24. （2013秋•玉门市校级期中）（2x﹣3）2﹣121=0.25. （2015•蓬溪县校级模拟）（2x+3）2=x2﹣6x+9.26. （2015•泗洪县校级模拟）（1）x2+4x+2=0 （2）x2﹣6x+9=（5﹣2x）2.27. （2015春•慈溪市校级期中）解方程:（1）x2﹣4x﹣6=0 （2）4（x+1）2=9（x﹣2）2.28. （2015春•北京校级期中）解一元二次方程:（1）（2x﹣5）2=49 （2）x2+4x﹣8=0.29. （2015春•北京校级期中）解一元二次方程（1）y2=4；（2）4x2﹣8=0；（3）x2﹣4x﹣1=0.30. （2015•黄陂区校级模拟）解方程: x2﹣3x﹣7=0.一元二次方程计算题专题训练试题精选附答案参考答案与试题解析一. 解答题（共30小题）1. （2015•诏安县校级模拟）解方程：（x+1）2﹣9=0.考点：解一元二次方程-直接开平方法. 菁优网版权所有分析：先移项, 写成（x+a）2=b的形式, 然后利用数的开方解答．解答：解: 移项得, （x+1）2=9,开方得, x+1=±3,解得x1=2, x2=﹣4．解得x1=2，x2=﹣4.解得x1=2，x2=﹣4．点评：（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有: x2=a（a≥0）；ax2=b（a, b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a, c同号且a≠0）.法则: 要把方程化为“左平方, 右常数, 先把系数化为1, 再开平方取正负, 分开求得方程解”.（2）运用整体思想, 会把被开方数看成整体．（3）用直接开方法求一元二次方程的解, 要仔细观察方程的特点．（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点.（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．2. （2015•诏安县校级模拟）解方程: 4x2﹣20=0.考点：解一元二次方程-直接开平方法. 菁优网版权所有分析：先变形得到x2=5, 然后利用直接开平方法求解．解答：解: 由原方程, 得x2=5,所以x1= , x2=﹣．所以x1= ，x2=﹣.所以x1=，x2=﹣．点评：本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程.3. （2015•东西湖区校级模拟）解方程: （2x+3）2﹣25=0考点：解一元二次方程-直接开平方法. 菁优网版权所有专题：计算题.分析：先移项, 写成（x+a）2=b的形式, 然后利用数的开方解答．解答：解: 移项得, （2x+3）2=25,开方得, 2x+3=±5,解得x1=1, x2=﹣4．解得x1=1，x2=﹣4.解得x1=1，x2=﹣4．点评：（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有: x2=a（a≥0）；ax2=b（a, b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a, c同号且a≠0）.法则: 要把方程化为“左平方, 右常数, 先把系数化为1, 再开平方取正负, 分开求得方程解”.（2）运用整体思想, 会把被开方数看成整体．（3）用直接开方法求一元二次方程的解, 要仔细观察方程的特点．（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点.（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．4. （2015•铜陵县模拟）解方程: 4（x+3）2=25（x﹣2）2.考点：解一元二次方程-直接开平方法. 菁优网版权所有分析：两边开方, 即可得出两个一元一次方程, 求出方程的解即可．解答：解: 4（x+3）2=25（x﹣2）2,开方得：2（x+3）=±5（x﹣2）,解得：, ．解得：，.解得: ，．解得：，．点评：本题考查了解一元二次方程的应用, 解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程, 难度适中．5. （2015•岳池县模拟）解方程（2x﹣3）2=x2.考点：解一元二次方程-直接开平方法. 菁优网版权所有专题：计算题.分析：利用直接开平方法解方程.解答：解: 2x﹣3=±x,所以x1=3, x2=1．所以x1=3，x2=1.所以x1=3，x2=1．点评：本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程.6. （2015春•北京校级期中）解方程: （x﹣1）2=25.考点：解一元二次方程-直接开平方法. 菁优网版权所有专题：计算题.分析：两边开方, 即可得出两个一元一次方程, 求出方程的解即可．解答：解: 开方得: x﹣1=±5,解得：x1=6, x2=﹣4．解得：x1=6，x2=﹣4.解得: x1=6，x2=﹣4．解得：x1=6，x2=﹣4．点评：本题考查了解一元二次方程的应用, 题目是一道比较典型的题目, 难度不大．7. （2013秋•云梦县校级期末）解下列方程:（1）用直接开平方法解方程: 2x2﹣24=0（2）用配方法解方程：x2+4x+1=0.考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法. 菁优网版权所有分析：（1）先将常数项移到等式的右边, 然后化未知数的系数为1, 通过直接开平方求得该方程的解即可；（2）先将常数项1移到等式的右边, 然后在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方, 即利用配方法解方程．（2）先将常数项1移到等式的右边，然后在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，即利用配方法解方程.（2）先将常数项1移到等式的右边，然后在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，即利用配方法解方程．解答：解: （1）由原方程, 得2x2=24,∴x2=12,直接开平方, 得x=±2 ,∴x1=2 , x2=﹣2 ；（2）由原方程, 得x2+4x=﹣1,等式的两边同时加上一次项系数一半的平方, 得x2+4x+4=3, 即（x+2）2=3；∴x+2=±,∴x1=﹣2+ , x2=﹣2﹣．∴x1=﹣2+ ，x2=﹣2﹣.∴x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．点评：本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法、直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a, b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a, c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方, 右常数, 先把系数化为1, 再开平方取正负, 分开求得方程解”．8. （2014秋•锡山区期中）解方程:（1）（x﹣2）2=25；（2）2x2﹣3x﹣4=0；（3）x2﹣2x=2x+1；（4）2x2+14x﹣16=0.考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法. 菁优网版权所有分析：（1）利用直接开平方法, 两边直接开平方即可；（2）利用公式法, 首先计算出△, 再利用求根公式进行计算；（3）首先化为一元二次方程的一般形式, 计算出△, 再利用求根公式进行计算；（4）首先根据等式的性质把二次项系数化为1, 再利用因式分解法解一元二次方程即可．（4）首先根据等式的性质把二次项系数化为1，再利用因式分解法解一元二次方程即可.（4）首先根据等式的性质把二次项系数化为1，再利用因式分解法解一元二次方程即可．解答：解: （1）两边直接开平方得: x﹣2=±5,x﹣2=5, x﹣2=﹣5,解得：x1=7, x2=﹣3；（2）a=2, b=﹣3, c=﹣4,△=b2﹣4ac=9+4×2×4=41,x= = ,故x1= , x2= ；（3）x2﹣2x=2x+1,x2﹣4x﹣1=0,a=1, b=﹣4, c=﹣1,△=b2﹣4ac=16+4×1×1=20,x= = =2 ,故x1=2 , x2=2﹣；（4）2x2+14x﹣16=0,x2+7x﹣8=0,（x+8）（x﹣1）=0,x+8=0, x﹣1=0,解得：x1=﹣8, x2=1．解得：x1=﹣8，x2=1.解得: x1=﹣8，x2=1．解得：x1=﹣8，x2=1．点评：此题主要考查了一元二次方程的解法, 关键是熟练掌握一元二次方程的解法, 并能熟练运用．9. （2014秋•丹阳市校级期中）选择合适的方法解一元二次方程:①9（x﹣2）2﹣121=0；②x2﹣4x﹣5=0.考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-因式分解法. 菁优网版权所有分析：①先移项, 再两边开方即可；②先把方程左边因式分解, 得出x+1=0, x﹣5=0, 再分别计算即可．②先把方程左边因式分解，得出x+1=0，x﹣5=0，再分别计算即可.②先把方程左边因式分解，得出x+1=0，x﹣5=0，再分别计算即可．解答：解: ①9（x﹣2）2﹣121=0,9（x﹣2）2=121,（x﹣2）2= ,x﹣2=±,x1= , x2=﹣；②x2﹣4x﹣5=0,（x+1）（x﹣5）=0,x+1=0, x﹣5=0,x1=﹣1, x2=5．x1=﹣1，x2=5.x1=﹣1，x2=5．点评：此题考查了解一元二次方程, 用到的知识点是用直接开方法和因式分解法, 关键是根据方程的特点选择合适的解法．10. （2014秋•万州区校级期中）按要求解答:（1）解方程: （x+3）2﹣2=0；（2）因式分解：4a2﹣（b2﹣2b+1）.考点：解一元二次方程-直接开平方法；因式分解-运用公式法. 菁优网版权所有分析：（1）首先把方程右边化为（x+a）2=b, 在两边直接开平方即可；（2）首先把4a2﹣（b2﹣2b+1）化为4a2﹣（b﹣1）2, 再利用平方差公式进行分解即可．（2）首先把4a2﹣（b2﹣2b+1）化为4a2﹣（b﹣1）2，再利用平方差公式进行分解即可.（2）首先把4a2﹣（b2﹣2b+1）化为4a2﹣（b﹣1）2，再利用平方差公式进行分解即可．解答：解: （1）（x+3）2=2,（x+3）2=4,x+3=±2,x+3=2, x+3=﹣2,解得：x1=﹣1, x2=﹣5；（2）4a2﹣（b2﹣2b+1）=4a2﹣（b﹣1）2=（2a+b﹣1（2a﹣b+1）.（2）4a2﹣（b2﹣2b+1）=4a2﹣（b﹣1）2=（2a+b﹣1（2a﹣b+1）．点评：此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程, 以及因式分解, 解这类问题要移项, 把所含未知数的项移到等号的左边, 把常数项移项等号的右边, 化成x2=a（a≥0）的形式, 利用数的开方直接求解．11. （2014秋•海口期中）解下列方程:（1）x2﹣16=0；（2）x2+3x﹣4=0.考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-因式分解法. 菁优网版权所有分析：（1）首先把﹣16移到方程右边, 再两边直接开平方即可；（2）首先把等号左边分解因式可得（x+4）（x﹣1）=0, 进而得到x+4=0, x﹣1=0, 再解一元一次方程即可．（2）首先把等号左边分解因式可得（x+4）（x﹣1）=0，进而得到x+4=0，x﹣1=0，再解一元一次方程即可.（2）首先把等号左边分解因式可得（x+4）（x﹣1）=0，进而得到x+4=0，x﹣1=0，再解一元一次方程即可．解答：解: （1）x2=16,两边直接开平方得: x=±4,故x1=4, x2=﹣4；（2）（x+4）（x﹣1）=0,则x+4=0, x﹣1=0,解得：x1=﹣4, x2=1．解得：x1=﹣4，x2=1.解得: x1=﹣4，x2=1．解得：x1=﹣4，x2=1．点评：此题主要考查了一元二次方程的解法, 关键是掌握直接开平方法和因式分解法解一元二次方程．12. （2014秋•海陵区期中）解下列一元二次方程:（1）x2﹣3=0（2）x2﹣3x=0.考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-因式分解法. 菁优网版权所有专题：计算题.分析：（1）先移项得到x2=3, 然后利用直接开平方法解方程；（2）利用因式分解法解方程.（2）利用因式分解法解方程．解答：解: （1）x2=3,x=±,所以x1= , x2=﹣；（2）x（x﹣3）=0,x=0或x﹣3=0,所以x1=0, x2=3．所以x1=0，x2=3.所以x1=0，x2=3．点评：本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式, 那么可得x=±；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式, 那么nx+m=±．也考查了因式分解法解一元二次方程．13. （2014秋•滨湖区期中）解下列方程（1）2x2﹣=0；（2）2x2﹣4x+1=0（配方法）（3）2（x﹣3）2=x（x﹣3）；（4）3y2+5（2y+1）=0 （公式法）.考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法. 菁优网版权所有专题：计算题.分析：（1）方程变形后, 利用直接开平方法求出解即可；（2）方程利用配方法求出解即可；（3）方程利用因式分解法求出解即可；（4）方程利用公式法求出解即可.（4）方程利用公式法求出解即可．解答：解: （1）方程变形得: x2= ,开方得: x=±；（2）方程变形得: x2﹣2x=﹣,配方得: x2﹣2x+1= , 即（x﹣1）2= ,开方得: x﹣1=±,解得: x1=1+ , x2=1﹣；（3）方程变形得: 2（x﹣3）2﹣x（x﹣3）=0,分解因式得: （x﹣3）（2x﹣6﹣x）=0,解得: x1=3, x2=6；（4）方程整理得: 3y2+10y+5=0,这里a=3, b=10, c=5,∵△=100﹣60=40,∴y= = .∴y==．点评：此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法, 熟练掌握平方根定义是解本题的关键．14. （2014秋•昆明校级期中）解方程: 9（x+1）2=4（x﹣2）2.考点：解一元二次方程-直接开平方法. 菁优网版权所有分析：两边开方, 即可得出两个一元一次方程, 求出方程的解即可．解答：解: 两边开方得: 3（x+1）=±2（x﹣2）,即3（x+1）=2（x﹣2）, 3（x+1）=﹣2（x﹣2）,解得：x1=﹣7, x2= ．解得：x1=﹣7，x2= .解得: x1=﹣7，x2= ．解得：x1=﹣7，x2=．点评：本题考查了解一元二次方程和解一元一次方程的应用, 解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．15. （2014秋•深圳校级期中）解方程: （2x﹣3）2=25.考点：解一元二次方程-直接开平方法. 菁优网版权所有分析：首先两边直接开平方可得2x﹣3=±5, 再解一元一次方程即可．解答：解: 两边直接开平方得: 2x﹣3=±5,则2x﹣3=5, 2x﹣3=﹣5,故x=4, x=﹣1．故x=4，x=﹣1.故x=4，x=﹣1．点评：此题主要考查了直接开平方法解一元一次方程, 解这类问题要移项, 把所含未知数的项移到等号的左边, 把常数项移项等号的右边, 化成x2=a（a≥0）的形式, 利用数的开方直接求解．16. （2014秋•北塘区期中）（1）2（x﹣1）2=32（2）2（x﹣3）2=x（x﹣3）（3）2x2﹣4x+1=0（4）x2﹣5x+6=0.考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-因式分解法. 菁优网版权所有专题：计算题.分析：（1）方程变形后, 利用直接开平方法求出解即可；（2）方程变形后, 利用因式分解法求出解即可；（3）方程利用公式法求出解即可；（4）方程利用因式分解法求出解即可.（4）方程利用因式分解法求出解即可．解答：解: （1）方程变形得: （x﹣1）2=16,开方得: x﹣1=4或x﹣1=﹣4,解得: x1=5, x2=﹣3；（2）方程变形得: 2（x﹣3）2﹣x（x﹣3）=0,分解因式得: （x﹣3）（2x﹣6﹣x）=0,解得: x1=3, x2=6；（3）整理a=2, b=﹣4, c=1,∵△=16﹣8=8,∴x1= , x2= ；（4）分解因式得：（x﹣2）（x﹣3）=0,解得：x1=2, x2=3．解得：x1=2，x2=3.解得: x1=2，x2=3．解得：x1=2，x2=3．点评：此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法, 熟练掌握平方根定义是解本题的关键．17. （2014秋•福安市期中）解方程:（1）（x+1）2=2；（2）x2﹣2x﹣3=0 （用适当的方法）考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-因式分解法. 菁优网版权所有分析：（1）两边直接开平方得x+1= , 再解一元一次方程即可；（2）首先把﹣3移到等号右边, 在把方程左边配方可得（x﹣1）2=4, 然后再两边直接开平方即可．（2）首先把﹣3移到等号右边，在把方程左边配方可得（x﹣1）2=4，然后再两边直接开平方即可.（2）首先把﹣3移到等号右边，在把方程左边配方可得（x﹣1）2=4，然后再两边直接开平方即可．解答：解: （1）x+1= ,x+1= , x+1=﹣,故x1=﹣1+x2=﹣1﹣；（2）x2﹣2x=3,x2﹣2x+1=3+1,（x﹣1）2=4,x+1=±2,则x+1=2, x+1=﹣2,故x1=3, x2=﹣1．故x1=3，x2=﹣1.故x1=3，x2=﹣1．点评：此题主要考查了直接开平方法和配方法解一元二次方程, 关键是掌握直接开平方法要把方程化为“左平方, 右常数, 先把系数化为1, 再开平方取正负, 分开求得方程解”．18. （2014秋•华容县月考）用适当的方法解下列方程:（1）（2﹣3x）2=1；（2）2x2=3（2x+1）.考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-因式分解法. 菁优网版权所有专题：计算题.分析：（1）利用直接开平方法解方程；（2）先把方程化为一般式, 然后根据公式法解方程．（2）先把方程化为一般式，然后根据公式法解方程.（2）先把方程化为一般式，然后根据公式法解方程．解答：解: （1）2﹣3x=±1,所以x1= , x2=1；（2）2x2﹣6x﹣3=0,△=（﹣6）2﹣4×2×（﹣3）=60,x= = ,所以x1= , x2= ．所以x1= ，x2= .所以x1=，x2=．点评：本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式, 那么可得x=±；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式, 那么nx+m=±．也考查了公式法解一元二次方程．19. （2014秋•宝应县校级月考）解方程:（1）（2x﹣1）2﹣9=0（2）x2﹣x﹣1=0.考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-公式法. 菁优网版权所有专题：计算题.分析：（1）方程利用直接开平方法求出解即可；（2）方程利用公式法求出解即可.（2）方程利用公式法求出解即可．解答：解: （1）方程变形得: （2x﹣1）2=9,开方得: 2x﹣1=3或2x﹣1=﹣3,解得: x1=2, x2=﹣1；（2）这里a=1, b=﹣1, c=﹣1,∵△=1+4=5,∴x= .∴x=．点评：此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法与公式法, 熟练掌握各种解法是解本题的关键．20. （2014秋•南华县校级月考）解方程:（1）（x+8）（x+1）=0（2）2（x﹣3）2=8（3）x（x+7）=0（4）x2﹣5x+6=0（5）3（x﹣2）2=x（x﹣2）（6）（y+2）2=（3y﹣1）2.考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-因式分解法. 菁优网版权所有分析：（1）、（3）、（4）、（5）利用因式分解法求解即可；（2）先将方程变形为（x﹣3）2=4, 再利用直接开平方法求解即可；（6）利用直接开平方法求解即可.（6）利用直接开平方法求解即可．解答：解: （1）（x+8）（x+1）=0,x+8=0或x+1=0,解得x1=﹣8, x2=﹣1；（2）2（x﹣3）2=8,（x﹣3）2=4,x﹣3=±2,解得x1=5, x2=﹣1；（3）x（x+7）=0,x=0或x+7=0,解得x1=0, x2=﹣7；（4）x2﹣5x+6=0,（x﹣2）（x﹣3）=0,x﹣2=0或x﹣3=0,解得x1=2, x2=3；（5）3（x﹣2）2=x（x﹣2）,3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0,（x﹣2）（3x﹣6﹣x）=0,x﹣2=0或2x﹣6=0,解得x1=2, x2=3；（6）（y+2）2=（3y﹣1）2,y+2=±（3y﹣1）,解得y1=1.5, y2=﹣0.25,解得y1=1.5，y2=﹣0.25，点评：本题考查了利用因式分解法与直接开平方法解一元二次方程, 是基础知识, 需熟练掌握．21. （2014秋•广州校级月考）解方程:（1）x2﹣9=0；（2）x2+4x﹣1=0.考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法. 菁优网版权所有分析：（1）先移项, 然后利用直接开平方法解方程；（2）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式, 再利用直接开平方法求解．（2）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解.（2）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解．解答：解: （1）由原方程, 得x2=9,开方，得x1=3, x2=﹣3；（2）由原方程, 得x2+4x=1,配方，得x2+4x+22=1+22, 即（x+2）2=5,开方，得x+2=±,解得x1=﹣2 , x2=﹣2﹣．解得x1=﹣2 ，x2=﹣2﹣.解得x1=﹣2，x2=﹣2﹣．点评：本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法、直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a, b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a, c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方, 右常数, 先把系数化为1, 再开平方取正负, 分开求得方程解”．22. （2013秋•大理市校级期中）解下列方程:（1）用开平方法解方程: （x﹣1）2=4（2）用配方法解方程: x2﹣4x+1=0（3）用公式法解方程: 3x2+5（2x+1）=0（4）用因式分解法解方程: 3（x﹣5）2=2（5﹣x）考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法. 菁优网版权所有分析：（1）用直接开平方法解方程: （x﹣1）2=4, 即解x﹣1=2或x﹣1=﹣2, 两个方程；（2）用配方法解方程: x2﹣4x+1=0, 合理运用公式去变形, 可得x2﹣4x+4=3, 即（x ﹣2）2=3；（3）用公式法解方程：3x2+5（2x+1）=0, 先去括号, 整理可得；3x2+10x+5=0, 运用一元二次方程的公式法, 两根为, 计算即可；（4）用因式分解法解方程：3（x﹣5）2=2（5﹣x）, 移项、提公因式x﹣5, 再解方程．（4）用因式分解法解方程：3（x﹣5）2=2（5﹣x），移项、提公因式x﹣5，再解方程.（4）用因式分解法解方程: 3（x﹣5）2=2（5﹣x），移项、提公因式x﹣5，再解方程．（4）用因式分解法解方程：3（x﹣5）2=2（5﹣x），移项、提公因式x﹣5，再解方程．解答：解: （1）∵（x﹣1）2=4,∴x﹣1=±2, ∴x1=3, x2=﹣1．（2）∵x2﹣4x+1=0,∴x2﹣4x+4=3,∴（x﹣2）2=3, ∴,∴．（3）∵3x2+5（2x+1）=0,∴3x2+10x+5=0,∴a=3, b=10, c=5, b2﹣4ac=102﹣4×3×5=40,∴，∴．（4）∵3（x﹣5）2=2（5﹣x）,∴移项, 得: 3（x﹣5）2+2（x﹣5）=0,∴（x﹣5）（3x﹣13）=0,∴x﹣5=0或3x﹣13=0,∴．点评：本题综合考查对解方程的方法的灵活掌握情况, 解答时, 要先观察方程的特点, 再确定解方程的方法．23. （2012秋•浏阳市校级期中）用适当的方法解方程:（1）9（2x﹣5）2﹣4=0；（2）2x2﹣x﹣15=0.考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-因式分解法. 菁优网版权所有分析：先观察方程然后再确定各方程的解法；（1）可用直接开平方法, （2）可用因式分解法解方程．解答：（1）解: 化简得: ,直接开平方得: ,解得：x1= , x2= ；（2）解: 因分式解得: （x﹣3）（2x+5）=0,x﹣3=0或2x+5=0,解得：.解得: ．解得：．点评：本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法, 配方法, 公式法, 因式分解法, 要根据方程的特点灵活选用合适的方法．24. （2013秋•玉门市校级期中）（2x﹣3）2﹣121=0.考点：解一元二次方程-直接开平方法. 菁优网版权所有专题：计算题.分析：先移项得到（2x﹣3）2=121, 然后方程两边开方得到两个一元一次方程2x﹣3=11或2x﹣3=﹣11, 再解一元一次方程即可．解答：解: ∵（2x﹣3）2=121,∴2x﹣3=11或2x﹣3=﹣11,∴x1=7, x2=﹣4．∴x1=7，x2=﹣4.∴x1=7，x2=﹣4．点评：本题考查了直接开平方法解一元二次方程：先把一元二次方程变形为x2=m（m≥0）的形式, 然后两边开方得到x1= , x2=﹣．25. （2015•蓬溪县校级模拟）（2x+3）2=x2﹣6x+9.考点：解一元二次方程-配方法. 菁优网版权所有分析：先把原方程的右边转化为完全平方形式, 然后直接开平方．解答：解: 由原方程, 得（2x+3）2=（x﹣3）2,直接开平方, 得2x+3=±（x﹣3）,则3x=0, 或x+6=0,解得, x1=0, x2=﹣6．解得，x1=0，x2=﹣6.解得，x1=0，x2=﹣6．点评：本题考查了配方法解一元二次方程. 用配方法解一元二次方程的步骤: （1）形如x2+px+q=0型：第一步移项, 把常数项移到右边；第二步配方, 左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步, 直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型, 方程两边同时除以二次项系数, 即化成x2+px+q=0, 然后配方．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方.（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．26. （2015•泗洪县校级模拟）（1）x2+4x+2=0（2）x2﹣6x+9=（5﹣2x）2.考点：解一元二次方程-配方法. 菁优网版权所有分析：（1）本题二次项系数为1, 一次项系数为4, 适合于用配方法.（2）把方程左边化成一个完全平方式, 那么将出现两个完全平方式相等, 则这两个式子相等或互为相反数, 据此即可转化为两个一元一次方程即可求解．（2）把方程左边化成一个完全平方式，那么将出现两个完全平方式相等，则这两个式子相等或互为相反数，据此即可转化为两个一元一次方程即可求解.（2）把方程左边化成一个完全平方式，那么将出现两个完全平方式相等，则这两个式子相等或互为相反数，据此即可转化为两个一元一次方程即可求解．解答：解: （1）x2+4x+22=﹣2+22,即（x+2）2=2 ,x1=﹣2+ , x2=﹣2﹣；（2）（x﹣3）2=（5﹣2x）2,即（x﹣3+5﹣2x）（x﹣3﹣5+2x）=0,x1=2, x2= ．x1=2，x2= .x1=2，x2=．点评：（1）本题考查了配方法解一元二次方程, 选择用配方法解一元二次方程时, 最好使方程的二次项的系数为1, 一次项的系数是2的倍数.（2）本题考查了因式分解法解一元二次方程, 解一元二次方程的基本思想是降次, 把一元二次方程转化为一元一次方程, 从而求解．（2）本题考查了因式分解法解一元二次方程，解一元二次方程的基本思想是降次，把一元二次方程转化为一元一次方程，从而求解.（2）本题考查了因式分解法解一元二次方程，解一元二次方程的基本思想是降次，把一元二次方程转化为一元一次方程，从而求解．27. （2015春•慈溪市校级期中）解方程:（1）x2﹣4x﹣6=0（2）4（x+1）2=9（x﹣2）2.考点：解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-因式分解法. 菁优网版权所有分析：（1）移项, 配方, 开方, 即可得出两个一元一次方程, 求出方程的解即可.（2）先移项, 方程左边分解后, 利用两数相乘积为0, 两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．（2）先移项，方程左边分解后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解.（2）先移项，方程左边分解后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．解答：解: （1）由原方程, 得x2﹣4x=6,配方, 得x2﹣4x+4=6+4, 即（x﹣2）2=10,直接开平方, 得x﹣2=±,解得x1=2+ , x2=2﹣．（2）由原方程得到: [2（x+1）+3（x﹣2）][2（x+1）﹣3（x﹣2）]=0,整理, 得（5x﹣4）（﹣x+8）=0,解得x1= , x2=8．解得x1= ，x2=8.解得x1=，x2=8．点评：本题考查了解一元二次方程: 配方法和因式分解法. 用配方法解一元二次方程的步骤:（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项, 把常数项移到右边；第二步配方, 左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步, 直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型, 方程两边同时除以二次项系数, 即化成x2+px+q=0, 然后配方．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方.（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．28. （2015春•北京校级期中）解一元二次方程:（1）（2x﹣5）2=49（2）x2+4x﹣8=0.考点：解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-直接开平方法. 菁优网版权所有分析：（1）两边开方, 即可得出两个一元一次方程, 求方程的解即可；（2）移项, 配方, 开方, 即可得出两个一元一次方程, 求出方程的解即可．（2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.（2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．解答：解: （1）（2x﹣5）2=49,2x﹣5=±3,x1=4, x2=1；（2）x2+4x﹣8=0,x2+4x=8,x2+4x+4=8+4,（x+2）2=12,x+2= ,x1=﹣2+2 , x2=﹣2﹣2 ．x1=﹣2+2 ，x2=﹣2﹣2 .x1=﹣2+2，x2=﹣2﹣2．点评：本题考查了解一元二次方程的应用, 能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键, 注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法, 配方法, 公式法, 因式分解法．29. （2015春•北京校级期中）解一元二次方程（1）y2=4；（2）4x2﹣8=0；（3）x2﹣4x﹣1=0.考点：解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-直接开平方法. 菁优网版权所有分析：（1）直接开平方即可求得x的值；（2）先移项, 化系数为1, 然后直接开平方来求x的值；（3）首先进行移项, 得到x2﹣4x=1, 方程左右两边同时加上4, 则方程左边就是完全平方式, 右边是常数的形式, 再利用直接开平方法即可求解．（3）首先进行移项，得到x2﹣4x=1，方程左右两边同时加上4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解.（3）首先进行移项，得到x2﹣4x=1，方程左右两边同时加上4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解．解答：解: （1）由原方程, 得y=±2,解得y1=2, y2=﹣2；（2）由原方程, 得4x2=8,x2=2,解得x1= , x2=﹣；（3）解: ∵x2﹣4x﹣1=0∴x2﹣4x=1∴x2﹣4x+4=1+4∴（x﹣2）2=5∴x=2±,∴x1=2+ , x2=2﹣．∴x1=2+ ，x2=2﹣.∴x1=2+，x2=2﹣．点评：本题考查了解一元二次方程的方法: 配方法、直接开平方法.总结: 配方法的一般步骤:（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方.选择用配方法解一元二次方程时, 最好使方程的二次项的系数为1, 一次项的系数是2的倍数．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数.选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．30. （2015•黄陂区校级模拟）解方程: x2﹣3x﹣7=0.考点：解一元二次方程-公式法. 菁优网版权所有分析：利用求根公式x= 来解方程.解答：解: 在方程x2﹣3x﹣7=0中, a=1, b=﹣3, b=﹣7. 则x= = = ,解得x1= , x2= ．解得x1= ，x2= .解得x1=，x2=．点评：本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法. 熟记公式是解题的关键.。