1[1].6微积分基本定理yll

(1)∫ kf (x)dx = k ∫ f (x)dx (k为常数)
a a b b
(2)∫ [f1(x) ± f2 (x)]dx = ∫ f1(x)dx ± ∫ f2 (x)dx
a a a
b
b
b
(3)∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx (a<c<b)
a a 学习目标：
' ' −1
+1
'
'
'
'
'
: 例2 计算下列定积分
∫
π
0
sinxdx, ∫ sinxdx, ∫ sinxdx .
π 0
2π
2π
π 解 因为(− cos x) = sinx, ∫ sinxdx = (− cos x) |0 ' π 0
= (− cos π) − (− cos0) = 2;
∫
2π
= (− cos2π) − (− cos π) = −2;
3 3
0 2
−1
1 = ____ 4 15 = ____ 4
n+1 b a
x 公式 2： x dx = ∫ n+1
n
例２．计算定积分
∫
解:
3
1
1 3x − dx x
2 2
Q x
( )
3 '
1 1 = 3x , = − 2 x x
2
3 3 2 1 1
'
∴原式 = ∫ 3 x dx − ∫
3 1
1 b 公式 ： dx = ln x a = ln b − ln a 1∫ a x 3 2 3 2 2 (2)∫1 2xdx= x 1 = 3 − 1 = 8
b
练习1: 练习
(1 )∫ 1 dx
1 0
1 = ____
1 ____ 2
(2 )∫ (3 )∫ (4 )∫
b a
1
0 1
xdx = x dx x dx
3 3 1 3
1 1 dx = ∫ 3 x dx + ∫ − x x
3 3 2 2 1 1
2
dx
1 1 1 76 =x + = (3 − 1 ) + − = x 3 1 3
3 3 1
达标练习： 达标练习：
(1)∫ (− 3t
1 0
2
1 + 2)dt = ___
x
(2)∫
2
3 1 + ln 2 2 x + dx = ___
1 2

(3)∫ (3 x
−1 2
2
9 + 2 x − 1)dx = ___
2
(4)∫ (e
1
x
___ + 1)dx = e − e + 1
初等函数
练习:计算 练习 计算
∫
2
0
2 x , 0 ≤ x < 1 f ( x )dx,其中 f ( x ) = 5, 1 ≤ x ≤ 2
或记作
∫
b b f (x)dx = F(x) a a
= F(b) − F(a).
说明： 说明：
求定积分的值， 求定积分的值，只要求出被积函数 f(x)的一个 然后计算原函数在区间 计算原函数在区间[ 原函数F(x)，然后计算原函数在区间[a,b]上的 即可. 增量F(b)–F(a)即可. 该公式把计算定积分归结为求原函数的问题。 该公式把计算定积分归结为求原函数的问题。
b a n →0 i =1
n
（ b - a) f (ξ i ) n
被 积 函 数 积分下限
被 积 式
积 分 变 量
[a, b] 积分区间
2. 定积分的几何意义
y
f ( x ) > 0,
y
f ( x ) < 0,
a b x
o
a
b
o
b
x
∫a f ( x )dx = A
曲边梯形的面积
∫a f ( x )dx = − A
∫π
2π
sin xdx
∫
2π
0
sin xdx
我们发现： 我们发现：
（１）定积分的值可取正值也可取负值，还可以是0； 定积分的值可取正值也可取负值，还可以是0 当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值； （2）当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值； 当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值； （3）当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值； 当曲边梯形位于x轴上方的面积等于位于x （4）当曲边梯形位于x轴上方的面积等于位于x轴下方 的面积时，定积分的值为0 的面积时，定积分的值为0．
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小结: 小结 微积分基本公式
∫a f ( x)dx = F(b) − F(a)
牛顿－ 牛顿－莱布尼茨公式沟通了导 数与定积分之间的关系． 数与定积分之间的关系．
b
基本初等函数的导数公式
公 式 1.若 f ( x ) = c , 则 f '( x ) = 0; 公 式 2.若 f ( x ) = x n , 则 f '( x ) = nx n −1 ; 公 式 3.若 f ( x ) = sin x , 则 f '( x ) = cos x ; 公 式 4.若 f ( x ) = cos x , 则 f '( x ) = − sin x ; 公 式 5.若 f ( x ) = a x , 则 f '( x ) = a x ln a ( a > 0); 公 式 6.若 f ( x ) = e x , 则 f '( x ) = e x ; 1 公 式 7.若 f ( x ) = log a x , 则 f '( x ) = ( a > 0, 且 a ≠ 1); x ln a 1 公 式 8.若 f ( x ) = ln x , 则 f '( x ) = ; x
微积分基本定理： 微积分基本定理：
则
设函数f(x)在区间 在区间[a,b]上连续，并且 F ′( x ) = f ( x ) ， 上连续， 设函数 在区间 上连续
∫
b
a
f (x)dx = F(b) − F(a)
这个结论叫微积分基本定理（ 这个结论叫微积分基本定理（fundamental theorem of 微积分基本定理 calculus)，又叫牛顿－莱布尼茨公式（Newton-Leibniz ，又叫牛顿 莱布尼茨公式（ 牛顿－ Formula).
1
2
解
∫
2
0
f ( x )dx = ∫ 2xdx + ∫ 5dx = x
0
1
21 0
+ 5x 1 = 6
2
Y=5
1
2
定积分公式 b b cx | 1) (cx ) = c → ∫ cdx = a a b 1 b n n n xn | 2) x = nx → ∫ x dx = a a n+1 b b 3) (sin x ) = cos x → ∫ cos xdx = sin x | a a b b 4) (cos x ) = − sin x → ∫ sin xdx = - cos x | a a b 1 1 b 5) (ln x ) = → ∫ dx = ln| x || a a x x b b x x x ex | 6) (e ) = e → ∫ e dx = a a b ax b x x x | 7) (a ) = a ln a → ∫ a dx = a a ln a
小结： 、定积分是怎样定义？ 小结：1、定积分是怎样定义？
设函数f 设函数f（x）在[a，b]上连续，在[a，b]中任意插入n-1个分点： [a，b]上连续， [a，b]中任意插入n 个分点： 上连续 中任意插入
a = x0 < x1 < x2 < L< xn−1 < xn = b 把区间[a,b]等分成n个小区间， n个小区间，
在每个小区间 [ xi −1 , xi ]上任取 ξ i ∈ [ x i −1 , x i ] ∆S i ≈ f (ξ i )∆x
作和式： f (ξ i )∆x = ∑ f (ξ i ) b − a . ∑
n
n
i =1
i= i =1
n
且有， ∑ lim
n →∞ i =1
n
b−a f (ξ i ) = A(常数） n
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四、 定积分的基本公式
— —牛顿 莱布尼兹公式 牛顿—
定理9.11 定理9.11
f [ , [ 若函数 在 a, b]上连续 且F( x)是f ( x)在 a, b]上的 ， 一个原函数 则
∫
b
a
f ( x)dx = F(b) − F(a).
分析: 分析 前提条件 f在[a , b]连续 ⇒
(1)
∫
b
a
f ( x )dx 存在,
( 2) f ( x )存在原函数 .
∫
x
a
f ( t )dt就是它的一个原函数 .
基本初等函数的导数公式
公 式 1.若 f ( x ) = c , 则 f '( x ) = 0; 公 式 2.若 f ( x ) = x n , 则 f '( x ) = nx n −1 ; 公 式 3.若 f ( x ) = sin x , 则 f '( x ) = cos x ; 公 式 4.若 f ( x ) = cos x , 则 f '( x ) = − sin x ; 公 式 5.若 f ( x ) = a x , 则 f '( x ) = a x ln a ( a > 0); 公 式 6.若 f ( x ) = e x , 则 f '( x ) = e x ; 1 公 式 7.若 f ( x ) = log a x , 则 f '( x ) = ( a > 0, 且 a ≠ 1); x ln a 1 公 式 8.若 f ( x ) = ln x , 则 f '( x ) = ; x