线性系统理论-5

第6章线性系统的稳定性§6-1 向量和矩阵的范数向量的范数1,n x x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其范数||x ||定义为具有如下性质的实数：(1) 若x ≠0则||x ||>0; 当x =0, 则||x ||=0 (正定性)(2) ||αx ||=|α| ||x || ,α为任意标量. (齐次性)(3) 对于两个向量x , y 有||x +y ||≤||x ||+||y || . (三角不等式) 几种常见的向量范数：范数—的）（2,||||21122x x x n i i ∑=∆==——n 维空间上的点到原点的距离。

矩阵的范数范数—p p x x p n i p i ,)1,)(||(||11p ∞<<==∑=∆||max 1i n i x x ≤≤∆∞==(x 的∞范数也可定义：)}){(lim ||||lim ||||11p pn i p i p p x x x ∑=∞→∞→∆∞===矩阵A =[a ij ]n ⨯m ，其范数||A ||为满足如下条件的实数:(1) 当A ≠0时，||A ||>0；当A =0时，||A ||=0 ；(正定性)(2)||αA ||=|α| ||A || α为任意向量；(齐次性)(3)||A +B ||≤||A ||+||B || ；(三角不等式)(4) ||AB ||≤||A ||||B || ；(相容性)几种常见的矩阵范数：,)(211122∑∑==∆==n i m j ija A 2-范数)1,)||((111∞<<==∑∑==∆p a A Pn i m j P ij p 11||||max(||)mij i n j A a ∆∞≤≤===∑,||||max ||ij i j A a ∆∞==或：,||111∑∑==∆==n i m j ij a A 1-范数§6-2 平衡态和稳定性平衡态（平衡点）x e)1()()(t Ax t x= x e ——一个状态变量，一旦系统到达此状态，则以后在无外力及扰动的情况下，总处于此状态。

t 0时刻由x (t 0)出发的状态x (t )可表达为：x (t )=Ф(t ; t 0, x (t 0) , u (t ))☞对于线性定常连续系统：x e 为平衡状态☞对于线性定常离散系统：)0(.0==⇔e e x Ax x (k +1)=Gx (k ) (2)ee e Gx x x =⇔为平衡态稳定性概念由线性定常连续系统（1）、离散系统（2）可见：x e =0 总是一个平衡状态。

原点)(线性定常系统：x e = 0是唯一的渐近稳定的平衡状态。

(1) Lyapunov 意义下的稳定性(SisL ——Stability in the sense of lyapunov 或i.s.L 稳定)x e ——平衡状态，x 0——初始状态（t 0时刻）当且仅当对于任意给定的任一实数ε> 0，都存在一个实数δ>0，使得当：||x 0-x e || ≤ δ时，从任一初始状态x 0出发的零输入响应Ф(t ; t 0, x 0, 0)都满足||Ф(t ; t 0, x 0, 0) -x e ||≤ε,∀t ≥ t 0则称x e 为Lyapunov 意义下稳定的（SisL ）。

ε——球域s(ε)，半径为ε；δ——球域s(δ)，半径为δ。

s(δ)内的状态的自由运动总在s(ε)内。

若δ与t0无关，则称此平衡态xe是i.s.L一致稳定的，如下图。

一般有，δ= δ(ε, t)，即与ε和t有关；exxδε)(εs)(δs∙∙状态空间，以xe为原点，对给定正实数ε，以xe为球心、ε为半径构造一个超球体，球域记为s(ε) 。

几何解释：定常系统：稳定⇔一致稳定稳定一致稳定(2) 渐近稳定（AS —asymptotic stability ）称平衡态x e 是渐近稳定（AS ）的，如果满足：①x e 是i .s.L 稳定的；②00lim ||(;,,0)||0e t t t x x Φ→∞-=③对于δ(ε, t 0)和任意给定的实数μ>0，对应地存在实数T (μ, δ, t 0)>0使得满足①的任一初态x 0出发的零输入响应都满足：||Ф(t ; t 0 , x 0 , 0)-x e ||<μ, ∀t ≥ t 0+ T (μ, δ, t 0) ,而且0lim =∞→μT 是一致渐近稳定的。

无关，则称此状态与及如果e x t T 0δ时变系统：)(μs T如果从任一初态x 0的受扰运动均为渐近稳定的，00lim (,,,0)0j t t t x Φ→∞=<5><6><4><3><2><1>线性系统：渐近稳定⇔大范围渐近稳定。

记：<1> = Sisl . <2> = 一致Sisl.<3> = AS . <4> = 一致AS .<5> = 大范围AS . <6> = 大范围一致AS .几种稳定定义的包含关系：线性系统：<3> ⇔<5>则称平衡状态是大范围渐近稳定的。

大范围渐近稳定也称为全局渐近稳定。

（小范围渐近稳定也称为局部渐近稳定。

）x e 为大范围渐近稳定：<4> ⇔<6>Ax x= 前面讨论的是连续时间系统零平衡态的稳定性，称为内部稳定性，在研究内部稳定性时，不考虑系统输入和输出的作用。

()()()()()()t t t t t t =+⎧⎨=+⎩x Ax Bu y Cx Du 对于一般形式下的线性系统除了平衡点的稳定性之外，系统的稳定性还包含另一种情况，即希望系统在输入为有界的情况下，产生的输出也是有界的，输入的微小变化，导致的输出变化也很小。

这一性质称为输入-输出稳定性，或外部稳定性。

下面给出它的具体定义。

(3) 有界输入有界输出稳定：( BIBO稳定——Bounded Input , Bounded Output Stability )零初始条件下，若输入u(t)有界，则输出y(t)也有界, 称为BIBO稳定。

§6-3 渐近稳定(AS)及其判据线性定常连续系统的渐近稳定性线性定常连续时间系统：()()()()()()x t Ax t Bu t y t Cx t Du t =+⎧⎨=+⎩定理[特征值判据] 线性定常连续系统为渐近稳定的充要条件是：系统矩阵A 的全部特征值都具有负实部，即ni R i e ,,2,1,0)( =<λ⎪⎩⎪⎨⎧=>∞===<=∞→ 0Re 0Re 0Re 0 ,,2,1 0Re 0lim 是二重以上特征根或是单根或常数或等幅振荡i i i i i t n i x λλλλλ 若A 的特征值为),,1(n i i =λ则有。

为对角形或约当规范形证：A AQ Q A ˆ,ˆ1-=1ˆ-=Q Qe e t A At )0,0)((,)0()(≥==t t u x e t xAt1ˆ-⋅⋅≤Q eQ e t AAt .)0()(x et x At ⋅≤n i R e i e t A t ,,2,1,0)(0lim ˆ =<⇔→∞→λni R t x i e t ,,2,1,0)(0)(lim =<⇔→∴∞→λ♣几个判据1．[必要条件判据] 若线性定常系统为AS ，则特征多项式11)det()(a s a s a s A sI s d n n n n ++++=-=-- 的系数αi (i=0, 1, ∙∙∙, n-1)必全为正：1）系统为AS →αi >0(i =0, 1, ∙∙∙ , n -1)；2）有缺项或有负的→系统不是AS 。

[线性定常系统为AS的充要条件判据]：2．Routh---hurwitz判据（阵列表形式）。

线性定常离散系统的渐近稳定性)()1(k x G k x ⋅=+系统若对于任意x (0), 有，0)(lim →∞→k x k 定理1线性定常离散时间系统为渐近稳定的充要条件为：系统矩阵G 的所有特征值的幅值均小于1，即.,,2,1,1n i i =<λ（即G 的特征值λi 均位于Z 平面的单位圆内）。

为对角形约当规范形。

证： GQ G Q G k k ˆ,ˆ1-=)0(ˆ)0()(1x Q G Q x G k x k k-==)0()(x G k x k ⋅≤1ˆ-⋅⋅≤Q GQ G k k 而又n i iff G i k k ,,2,11)(.0ˆlim =<→∞→，当且仅当因λ.,,2,1,10)(lim n i k x i k =<⇔→∞→λ故则称该线性定常离散系统为渐近稳定的因此，对于离散时间系统，可以根据离散时间系统的特征多项式的系数来判别特征根是否全位于单位圆内，从而判定系统的稳定性，即代数判据定义若关于z的n次多项式f(z)的根的模均小于1, 则称f(z)为Schur稳定多项式，或直接称之为Schur多项式。

此外若矩阵A所对应的特征多项式为Schur多项式，则称A为Schur矩阵。

1) 将Z 域的单位圆内变换到S 域的左半平面。

可取双线性变换：, S S Z a 11)-+=SS Z b) -+=11或2) 将离散时间系统特征多项式d (z )变换成连续时间系统特征多项式d (s )，利用连续系统的判据，判定对应的d (s )的稳定性。

而d (s )与d (z )的稳定性的情况是一致的。

♣双线性变换1111-+=→-+=Z Z S S S Z ωσj S +=222222)1(2)1()1(1111ωσωωσωσωσωσ+--++-+-=-+++=-+=j j j S S Z 222220,1(1)0,1(1)0,1 Z Z Z Z σσωσσωσ⎧<<++⎪===⎨-+⎪>>⎩判据域变换法:-1③1②④①[Z ]11-+=S S Z 11-+=Z Z S ③[S ]④①②-1⑤1⑥①S =0-j ∞, Z =1 ; ②S =0-j1, Z =j1 ; ③S =0+j0, Z =-1 ;④S =0+j1 , Z =-j1 ;⑤S =0+j ∞, Z =1 ;⑥S =-∞+j0, Z =1 .判据Jury 判据:1110()det()n n n n D z zI G a z a z a z a --=-=++++设线性定常离散时间系统状态方程的特征多项式。

将其各系数排成朱利阵列表中第一行为对应的闭环特征多项式的各个系数。

第二行及后面的偶次行的元素，分别为其前一行元素反顺序排列而得到。

阵列中各元素如下计算：0detn k k nka ab a a -=011detn k k n kb bc b b ---=022detn k k n kc cd c c ---=0303detp p q p p =02131detp p q p p =01232detp p q p p =……… …nk ，，10=为Schur 多项式，即其对应的线性定常离散时间系统为渐近稳定的充要条件是下述不等式同时成立：1110()det()nn n n D z zI G a z a za z a --=-=++++定理2 Jury 判据:实系数多项式⎩⎨⎧->为奇数，〈为偶数，〉n n D D 00)1(,0)1(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>><--220100q q c c b b a a n n n§6-4 有界输入有界输出(BIBO)稳定定义考虑线性定常系统(A,B,C ), 初始条件：x (t 0)=0, 若对应于任意有界输入u (t ) ,即t t M t u u ),[,)(0∞∈∞<≤任意所产生的输出y (t)也有界，即∞<≤y M t y )(则称该系统为有界输入有界输出(BIBO)稳定。