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【资料】计量经济学-第四章--非线性模型汇编

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计量经济学第四章完整课件

计量经济学第四章完整课件

130.8
X：人均消费
X1：人均食 品消费
GP：居民消 费价格指数
FP：居民食品 消费价格指数
XC：人均消 费（90年价）
Q：人均食品 消费（90年价）
P0：居民消费 价格缩减指数 （1990=100）
P：居民食品 消费价格缩减 指数 （1990=100
中
1800
国
1600
城
Q
镇
1400
居
1200
1986 799.0 418.9
107.0
107.2
826.6
437.8
96.7
95.7
1987 884.4 472.9
108.8
112.0
899.4
490.3
98.3
96.5
1988 1104.0 567.0
120.7
125.2
1085.5
613.8
101.7
92.4
1989 1211.0 660.0
第四章 非线性回归模型的形式
一、模型的类型与变换 二、非线性回归实例
在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂 的，直接表现为线性关系的情况并不多见。
如著名的恩格尔曲线(Engle curves)表现为幂 函数曲线形式、宏观经济学中的菲利普斯曲线 （Pillips cuves）表现为双曲线形式等。
但是，大部分非线性关系又可以通过一些简 单的数学处理，使之化为数学上的线性关系，从 而可以运用线性回归的方法进行计量经济学方面 的处理。
116.3
114.4
1262.5
702.2
95.9
94.0
1990 1278.9 693.8
101.3

【计量经济学教程 精品讲义】04第四章+非线性模型

【计量经济学教程 精品讲义】04第四章+非线性模型

20
Yˆ1
0.048 e0.0581t Kˆ10.2131Lˆ01.7869 ， Yˆ2
0.088
e
0.0072t
Kˆ
0.5015 2
Lˆ02.4984
Yˆ3
0.16e0.0098t Kˆ 30.5101Lˆ03.4899 ， Yˆ4
0.15e
0.0161t
Kˆ
0.3316 4
Lˆ04.6684
.
为使取对数后回归方程的形式更为简捷，我们不妨适当变换式（4.1.5））
和式（4.1.7）中随机扰动项的形式，将式（4.1.5））和式（4.1.7）改写为
y b a xi eui i
（4.1.5‘）
y
e x x u 0
1 1i
2 2i i
i
（4.1.6）
y x a eb ui
i
i
（4.1.7‘）
表 4.2.2
直接换元法计算表
商品流通费 商 品 零 售 额
年份
用率% yi
x x （万元）xi
1
i i
xi
y i
xi2
1991
7.0
10.2
0.0980
0.6860
0.00960
1992
6.2
1993
5.8
11.7
0.0855
0.5301
0.00731
13.0
0.0769
0.4460
0.00591
0.00160
28.5
0.0351
0.1474
0.00123
2000
4.0
合计
51.0
32.0
0.0313

（整理）计量经济学第四章非线性回归模型的线性化

（整理）计量经济学第四章非线性回归模型的线性化

（整理）计量经济学第四章⾮线性回归模型的线性化第四章⾮线性回归模型的线性化以上介绍了线性回归模型。

但有时候变量之间的关系是⾮线性的。

例如 y t = α 0 + α11βt x + u t y t = α 0 t x e 1α+ u t上述⾮线性回归模型是⽆法⽤最⼩⼆乘法估计参数的。

可采⽤⾮线性⽅法进⾏估计。

估计过程⾮常复杂和困难，在20世纪40年代之前⼏乎不可能实现。

计算机的出现⼤⼤⽅便了⾮线性回归模型的估计。

专⽤软件使这种计算变得⾮常容易。

但本章不是介绍这类模型的估计。

另外还有⼀类⾮线性回归模型。

其形式是⾮线性的，但可以通过适当的变换，转化为线性模型，然后利⽤线性回归模型的估计与检验⽅法进⾏处理。

称此类模型为可线性化的⾮线性模型。

下⾯介绍⼏种典型的可以线性化的⾮线性模型。

4.1 可线性化的模型⑴指数函数模型y t = t t ubx ae + (4.1)b >0 和b <0两种情形的图形分别见图4.1和4.2。

显然x t 和y t 的关系是⾮线性的。

对上式等号两侧同取⾃然对数，得Lny t = Lna + b x t + u t (4.2)令Lny t = y t *, Lna = a *, 则y t * = a * + bx t + u t (4.3) 变量y t * 和x t 已变换成为线性关系。

其中u t 表⽰随机误差项。

010203040501234XY 1图4.1 y t =tt u bx ae+, (b > 0) 图4.2 y t =t+, (b < 0)⑵对数函数模型y t = a + b Ln x t+ u t(4.4)b>0和b<0两种情形的图形分别见图4.3和4.4。

x t和y t的关系是⾮线性的。

令x t* = Lnx t, 则y t = a + b x t* + u t(4.5)变量y t和x t* 已变换成为线性关系。

图4.3 y t = a + b Lnx t + u t , (b > 0) 图4.4 y t = a + b Lnx t + u t , (b < 0)⑶幂函数模型y t= a x t b t u e(4.6) b取不同值的图形分别见图4.5和4.6。

计量经济学-第4章(多元回归分析)-文档资料

计量经济学-第4章(多元回归分析)-文档资料
《计量经济学》，高教出版社2019年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
11
假定7：回归模型的解释变量之间不能存 在完全的多重共线性。

“完全的多重共线性”：是指一个解释变量是 其他解释变量的线性组合 。说明该解释变量所 提供的信息与其他解释变量是完全重复的。
当存在完全共线性时，模型的参数不可识别。即任 何方法都无法得到参数估计值，包括OLS。 存在不完全共线性时，可以得到参数估计值。OLS 估计量是BLUE。但与没有多重共线性时相比，估 计量的方差较大，估计精度下降。
k 0 , 1 , ,K
《计量经济学》，高教出版社2019年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
10
得到计算回归系数估计量的正规方程组：
ˆ 0 ˆ 0 X
N i 1 i
N i 1 1 i i

ˆ 0 X
N i 1 Ki i

含义：OLS估计所的残差与解释变量不相关。即残 差中不存在任何可解释的成份。 注意：只有回归方程中包含常数项，由OLS估计所 得残差总和才一定为0。
《计量经济学》，高教出版社2019年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
2
§4.1 多元线性回归模型的两个例子
一、例题1：CD生产函数
1

Q AK t t L t e
2 t
这是一个非线性函数，但取对数可以转变为一个 对参数线性的模型
ln Q ln K ln L t 0 1 t 2 t t
这部分是可以由解释变量来解释。


（2）
Y E ( Y , , X ) i i iX 1 i Ki
这部分是解释变量无法解释的随机噪声。并且 被分解的这两部分是正交的，即这两部分没有信息 的重叠。

第四章 非线性模型(计量经济学,南开大学)

第四章 非线性模型(计量经济学,南开大学)
因此可得到原模型的估计方程：
ˆ ˆ X 1 ˆ ˆ ln X ˆ ˆ Yi e 2 i 或 Y i 1 2 i
三、多项式模型： 模型的函数为：
k Yi 0 1 X 1i 2 X 22i k X ki ui , i 1,2,, k
Yi 1 2
令变量
1 ui Xi
1 X i* ，则回归函数可变为： Xi
Yi 1 2 X * ui i
根据解释变量的观测值，计算出X*i 的之后进行OLS估计，得到：
ˆ ˆ X* Yi 1 2 i
因此可得到原模型的估计方程：
ˆ ˆ 1 Yi 1 2 Xi
二、对数线性模型： 通过对原模型的对数变换，函数形式可变为：
ln Yi 1 2 ln X 2i 2 ln X 3i ui
令变量 ，则回归函数可变为： Yi* ln Yi , X * ln X ki ki
* Yi* 1 2 X * X ui 2 2i 3i
ln Yi 1 2 X i ui 或 Yi 1 2 ln X i ui
Yi* 1 2 X i ui 或 Yi 1 2 X i* ui
根据解释变量的观测值，进行OLS估计，得到：
ˆ ˆ X 或 Y ˆ ˆ X* ˆ* ˆ Y 1 2 i 1 2 i i i
根据解释变量的观测值，进行OLS估计，得到：
ˆ ˆ X* ˆ X ˆ* ˆ* Y 1 2 2 i 2i 3i
因此可得到原模型的估计方程：
ˆ ˆ ln X ˆ ln X ˆ ln Y i 1 2 2i 2 3i
例如，估计C-D 函数：

高级计量经济学 第四章 非线性模型[精]

高级计量经济学 第四章 非线性模型[精]
已经有专门的软件(DEA)。
随机性前沿函数(Stochastic frontier)
基于统计技术，需要对技术效率的分布形式做出假定 ，利用最大似然法估计。
该法也已经得到广泛应用，也有多种专门的软件。
Frontier Limdep/Nlogit Stata
21
随机前沿函数
线性化迭代求解法(Iterative linearization method)，即从 一组参数的初始值开始将非线性函数线性化，然后求 解线性方程组并得到新的估计值；重复上述步骤直到 估计结果达到收敛标准或达到最大迭代次数时为止。
10
NLS方法
用线性化迭代求解法做回归包括以下步骤：
在未给定初始值的情况下，利用OLS方法估计系数（或 用其他算法得到的估计值）作为初始值，反之利用给 定的初始值。
26
EVIEWS下用最大似然法估计参数非 线性方程
最大似然法适合更为一般化的情况
在EVIEWS下选择Object/New Object/LogL 在随后出现的窗口中根据研究需要定义似然函数
需要调用EVIEWS的多个函数功能 给出参数的初始值
调用Estimate并确定有关选项 得到估计结果 可以在File下选择New/Program建立程序文件，更便于
5
两种主要的估计技术
非线性最小二乘法（NLS）
以残差平方和最小为标准获得参数估计 通常基于误差项满足正态分布的假定 一般计量经济软件有标准的指令和算法
最大似然法（ML）
以似然值最大为标准获得参数估计 误差项可以为任意统计分布形式 不同情况需要用到不同的指令和算法
计算技术效率采用以下公式（以生产函数为例）：

计量经济学第四章非线性回归模型的线性化

第四章 非线性回归模型的线性化以上介绍了线性回归模型。

但有时候变量之间的关系是非线性的。

例如 y t = α 0 + α11βt x + u t y t = α 0 t x e 1α+ u t上述非线性回归模型是无法用最小二乘法估计参数的。

可采用非线性方法进行估计。

估计过程非常复杂和困难，在20世纪40年代之前几乎不可能实现。

计算机的出现大大方便了非线性回归模型的估计。

专用软件使这种计算变得非常容易。

但本章不是介绍这类模型的估计。

另外还有一类非线性回归模型。

其形式是非线性的，但可以通过适当的变换，转化为线性模型，然后利用线性回归模型的估计与检验方法进行处理。

称此类模型为可线性化的非线性模型。

下面介绍几种典型的可以线性化的非线性模型。

4.1 可线性化的模型⑴ 指数函数模型y t = t t ubx ae + (4.1)b >0 和b <0两种情形的图形分别见图4.1和4.2。

显然x t 和y t 的关系是非线性的。

对上式等号两侧同取自然对数，得Lny t = Lna + b x t + u t (4.2)令Lny t = y t *, Lna = a *, 则y t * = a * + bx t + u t (4.3) 变量y t * 和x t 已变换成为线性关系。

其中u t 表示随机误差项。

010203040501234XY 1图4.1 y t =tt u bx ae+, (b > 0) 图4.2 y t =tt u bx ae+, (b < 0)⑵ 对数函数模型y t = a + b Ln x t + u t (4.4)b >0和b <0两种情形的图形分别见图4.3和4.4。

x t 和y t 的关系是非线性的。

令x t * = Lnx t , 则y t = a + b x t * + u t (4.5)变量y t 和x t * 已变换成为线性关系。

图4.3 y t = a + b Lnx t + u t , (b > 0) 图4.4 y t = a + b Lnx t + u t , (b < 0)⑶ 幂函数模型y t = a x t b t u e (4.6)b 取不同值的图形分别见图4.5和4.6。

第4章非线性计量经济模型

◇核心是能否用线性计量经济模型参数估计方 法来估计非线性问题
◇可线性化、不可线性化
1、解释变量非线性问题
直接代换法（换元） 模型中 参数是线性的，而其中一个或者多个变量是
非线性时， 通过简单的变量置换就可以化为参数和变量
都是线性的模型。
双曲函数模型
Y
b0
b1
1 X
需求函数
X* 1 X
Y b0 b1X *
i 1
f
(
xi
,
))
df (xi
d
,
)
0
求解可得到参数的估计值，而对于多元非线性模型，有：
(
f
(X
, B))(Y
f
(X
,
B))
0
B
高斯—牛顿迭代法 Gauss-Newton
根据经验先给出参数估计值的初值，利用泰勒级数 在初值处展开，取一阶近似值。
仍以一元模型为例，模型以及残差平方和为：
Y f X,
n
S ( yi f (xi , ))2
i 1
若利用泰勒级数，将 f(xi,β)在初值处展开，
取一阶近似值，则：
f (xi , ) f (xi , 0 )
df
(xi, ) d
|
0
(
0)
令
:
Zi
( )
df
( xi,
d
)
则:
Zi
(0 )
df
( xi,
d
)
|பைடு நூலகம்
0
n
S [ yi f (xi , 0 ) Zi (0 )( 0 )]2
转化为线性形式，这种方法称为间接代换法。
泰勒级数公式

计量经济学4非线性模型


Yi Z i1 Z iP
ˆ0 ˆ1
ˆP
计量经济学
1、多项式函数
Y 0 1X 2 X 2 3 X 3 P X P u
令：Zi X i，（i 1，2， ，P）
则：Y 0 1Z1 2 Z 2 3Z3 P Z P u
2、双曲函数
1 a b
K dY
;
Y
Y
dL
dM
劳力贡献率: L ；土地贡献率： M
dY
dY
Y
Y
计量经济学
例：给定生产函数Y AK L，其中，Y、K、L分别
为产量、资本、劳力，若 1 ， 3 ，在某期间
4
4
Y、K、L的增长率分别为5%，4%，2%，求技术进步、
资本、劳力在产品增长中的贡献份额。
解：技术进步率 5% 1 4% 3 2% 2.5%
mY ,
1,
mY ,
1,
规模报酬递减 规模报酬不变 规模报酬递增
计量经济学
二、非线性回归模型的处理 （一）变换法 适用于Y与解释变量非线性，但与参数线性的情形。
Y 0 1 f（1 X1，X 2， ，X l） 2 f（2 X1，X 2， ，X l） P f（P X1，X 2， ，X l） u
4
4
技术进步贡献率 2.5% 50%; 5%
资金贡献率 0.25 4% 20% 5%
劳力贡献率 0.75 2% 30% 5%
计量经济学
α、β、γ的求法： ①利用截面数据进行回归； ②利用时间序列数据进行回归； ③利用混合数据进行回归； ④利用类似地区的α、β、γ。
（三）Taylor展开法（略）
计量经济学
第四章 非线性模型
一、问题的提出 多元线性回归模型为：

04 非线性模型


多项式模型补充 Kuznets Curve and EKC
(b2>0) 另一种多项式方程的表达形式是
(b2 <0)
yt = b0 + b1 xt + b2 xt2 + ut
令xt 1 = xt，x t 2 = xt 2，上式线性化为， yt = b0 + b1 xt1 + b2 xt2 + ut
实际中是否出现？如经济学中的边际成本(Marginal Costs)曲线、平均成本 曲线(average cost)与左图相似。 12
8个省市自治区19852005年城镇居民人均食品支出（food）与人均收入（income）的关系
非线性模型的转换：指数函数模型
典型的两个图示如下(最好熟记，日后使用方便)
1.2
60
1.0
50
0.8
40 30 20 10 0 -10 50 100 150 200 250 300 350 400
0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 50 100 150 200 250 300 350 400
•以上5个不同方法的比 较 •方法1,2,3都偏差很大 •方法4和方法5最合适 •方法4与方法5是相似的 •方法5更为有效
20
双曲线模型
yt = a + b/xt + ut
1/yt = a + b/xt + ut
1/yt = a + b/xt + ut （或 yt = 1/ (a + b/xt + ut)）
根据解释变量的观测值，进行OLS估计，得到：
ˆ ˆ X 或 Y ˆ ˆ X* ˆ* ˆ Y 1 2 i 1 2 i i i
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1782.8
1163.7
和国民生产总值的关系
1992
1990.5
1286.7
1993
2249.7
1389
计
1994
2508.2
1500.2
量
1995
2723
1633.1
经
1996 1997
3052.6 3166
1795.5 1954
济
1998
3405.7
2185.2
学
1999
3772.2
2363.6
X
Yi b0
15
例4.4 菲利普斯曲线
已知某地区通货膨胀率和失业率的数据
年份
通货膨胀率 Y(%)
失业率 X(%)
计
1986
0.6
2.8
量
1987
0.1
2.8
经
1988
0.7
2.5
济
1989
2.3
2.3
学
1990
3.1
2.1
1991
3.3
2.1
1992
1.6
2.2
1993
1.3
2.5
1994
0.7
计
量 或 Y ˆ i 1.1 47 0 .63 7 X 4 0 .08 1 X 2 3 0 .0 00 X 3 00
经 济
t
(13.2837) (-13.1501) (15.8968)
学
R2 0.9984
6
4.1.2 双曲线模型
一般形式：
Yi
b0
b1 Xi
i
计
量 经
转换：
济
令Zi
1 Xi
学
则模型转换为一元线性回归模型
2000
4014.9
2562.6
2001
4240.3
2807.7
2002
4526.7
2901
19
• 利用表中数据，使用线性对数模型，得到下面回归结果
Y ˆi 16.2 3 1 2 25 .9 78 l8n X 4 i5
计 量
t
(27.4856)
经
R2 0.9831
济
学
bˆ1 258.7485
表明货币供给增加一个百分点，国民生产总值平均增加 2584.785亿元
2.9
1995
-0.1
3.2
16
• 使用双曲线函数，利用已知数据进行回归，有下面结果
计
量 经 济
Yˆi
6.319019.1338 Xi
学
t
(6.8799)
R2 0.8554
17
4.1.3 对数模型
1.线性对数模型
Yi b0b1lnXii
计 量
转换：
令Xi lnXi
经 济
则
Yi b0b1Xii
学
注意斜率系数 b1dd lnX YddXX YX Y /X
计 量 经 济
Yˆi
0.4350.4971 Xi
学
t
(-3.475)
R2 0.415
14
3.b00,b10
Xi ,X1i 0,Yi b0
因变量逐渐减小，向下接近其渐近线 Yi b0
计 曲线与横坐标有交点 X b1 交点左侧曲线斜率系数大
量
b0 于交点右侧曲线的斜率系
经
Y
数
济
学
X b1
b0
计
转换过程： 令 ZiXi(i1,2, k)
量
经 济
则原多项式模型转换为
Y i b 0 b 1 Z 1 b 2 Z 2 b k Z k i
学
我们就可以用多元线性回归的方法来分析转换后的线性模型。
3
例4.1 产品总成本模型
已知某行业中10家企业的总产量X和总成本的有关资料：
总成本Y (万元)
经
济
Y
学
Yi b0
X
9
例4.2 销售额与流通费用率的关系
• 已知某地区百货公司销售额X与流通费用率Y之间的数据
销售额X
计
(万元)
量
1.5
经
4.5
济
7.5
学
10.2
15.5
16.5
19.5
22.5
25.5
流通费用率Y (%) 7 4.8 3.6 3.1 2.7 2.5 2.4 2.3 2.2
10
• 观察商品流通费用率和销售额的散点图，明显发现 它们呈现非线性变化趋势，可以采用双曲线模型， 利用表中数据进行回归，有下面结果：
计 量
Yˆi
2.23617.6040 Xi
经 济
t
(10.1313)
学
R2 0.9362
11
2.b00,b10
Xi ,X1i 0,Yi b0
计 因变量逐渐增大，向上接近其渐近线 Yi b0
量
经
济
学
Y
Yi b0
X b1
X
12
b0
已知某病毒感染率和时间变化相 关的数据如下
.7
Y
计
.6
量
.5
经
Yi b0b1Zi i
7
双曲线模型的特点：
随着自变量增大，因变量逐渐接近其渐近线 Yi b0
计 量
即
Xi ,X1i 0,Yi b0
经
济
学 随着 b0,b1符号的变化，型 双有 曲下 线面 模三: 种形
8
1.b00,b10
Xi ,X1i 0,Yi b0
计 量
因变量逐渐减小，向下接近其渐近线 Yi b0
.4
济
.3
学
.2
.1
0.0
0
10
20
T
t
y
1
0.12
2
0.07
3
0.16
4
0.11
5
0.21
6
0.21
7
0.25
8
0.3
9
0.39
10
0.33
11
0.3
12
0.34
13
0.49
14
0.35
15
0.56
16
0.62
17
0.54
18
0.58
19
0.57
13
• 观察病毒感染率和时间变化的散点图，明显发现它们 呈现非线性变化趋势，可以采用双曲线模型，利用表 中数据进行回归，有下面结果：
计
19.3
22.6
量
24
经
24.4
济
25.7
学
26
27.4
29.7
35
42
总产量X (万吨) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
绘制总成本和总产量的散 点图，可以看出它们呈现 曲线变化趋势
4
根据经济学中的边际成本的U曲线理论，用产量X的三 次多项式来近似表示总成本函数
计
Y i b 0 b 1 X b 2 X 2 b 3 X 3i
计量经济学-第四章--非线性模 型
4.1 直接代换法
适用范围：被解释变量和解释变量非线性，被 解释变量与参数线性的非线性模型。
计 量 经 下面介绍在研究现实经济问题中常见的这类非线性模型： 济 多项式模型、双曲线模型和对数模型。 学
2
4.1.1 多项式模型
多项式模型的一般形式： Y i b 0 b 1 X b 2 X 2 b k X ki
斜率系数表明了自变量X的相对变化引起因变量的绝对变化
18
• 在研究宏观经济问题时，
经济学家对货币供给与国
年份
国民生产总值Y
货币供给X
民生产总值的关系非常感
1988
1989
兴趣，他们经常使用线性
1990
1359.3 1472.8 1598.4
861 908.5 1023.2
对数模型来研究货币供给
1991
量 经
令 Zi Xi(i1,2,3)
济 学
则原模型转换为 Y i 0 b 1 Z 1 b 2 Z 2 b 3 Z 3i
利用已知的数据，对上面的三元线性回归模型进行估计， 可得到下面的结果
5
Y ˆ i 1.1 47 0 .63 7 Z 1 4 0 .081 Z 2 3 0 .000 Z 3009
20
• 2.对数线性模型