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进位制学习目标1.了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换。
2.学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除k去余法，并理解其中的数学规律。
学习重难点重点：各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换难点：除k去余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图的设计学法与学习用具学法：在学习各种进位制特点的同时探讨进位制表示数与十进制表示数的区别与联系，熟悉各种进位制表示数的方法，从而理解十进制转换为各种进位制的除k去余法。
学习用具：电脑，计算器，图形计算器学习设想（一）创设情景，揭示课题我们常见的数字都是十进制的,但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的.比如时间和角度的单位用六十进位制,电子计算机用的是二进制.那么什么是进位制?不同的进位制之间又又什么联系呢?（二）研探新知进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。
可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。
现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。
对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。
比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。
表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数.电子计算机一般都使用二进制,下面我们来进行二进制与十进制之间的转化例1 把二进制数110011(2)化为十进制数.解:110011=1*25+1*24+0*23+1*24+0*22+1*21+1*20=32+16+2+1=51例2 把89化为二进制数.解:根据二进制数满二进一的原则,可以用2连续去除89或所得商,然后去余数. 具体的计算方法如下:89=2*44+144=2*22+022=2*11+011=2*5+15=2*2+1所以:89=2*(2*(2*(2*(2*2+1)+1)+0)+0)+1=1*26+0*25+1*24+1*23+0*22+0*21+1*20=1011001(2)这种算法叫做除2取余法,还可以用下面的除法算式表示:把上式中的各步所得的余数从下到上排列即可得到89=1011001(2) 89 44 22 11 5 21222222 2 0 余数 1 0 0 1 1 01。
河南省确山县第二高级中学高中数学 1．3 算法案例第一课时辗转相除法与更相减损术说课稿新人教A版必修3各位老师：大家好！一花一世界，一叶一菩提，今天我们就来说一说程序这棵菩提树上的一枚叶子——算法。
说课的题目：《算法案例1辗转相除法与更相减损术》。
一、教材分析（一）地位与作用对于算法这枚叶子的研究，在我国可谓是历史悠久, 并且还取得了举世公认的伟大成就。
随着现代信息技术的发展，算法日渐融入我们社会生活的方方面面，现代算法的作用之一就是使计算机能代替人完成枯燥的，重复的，繁琐的工作。
所以算法进入了中学数学课程，既反映了时代的要求，也是中国古代数学思想在新层次上的复兴，更是中国数学课程的一个新特色。
从教材内容上看，算法是数学的一个基本内容。
本章前两节介绍了算法的初步知识：基本思想，基本结构，基本语句。
教材在第三节安排了三个案例，让学生经历设计算法解决问题的全过程，体验算法在解决问题中的重要作用，体会算法的基本思想。
提高逻辑思维能力，发展有条理的思考与数学表达能力。
（二）教学目标1.课标分析《课程标准》提出的要求是通过阅读中国古代数学中的算法案例，贡献。
这就是说阅读案例不是简单的看书，而是经历设计算法，解决问题的全过程。
案例教学的关键是理解案例当中的算法核心思想，此外理解算法中新出现的数学知识，是理解案例的必要前提。
但教学的重点在于对算法的学习，不强调对这些知识的记忆及灵活应用。
通过以上的分析，本节课教学目标确定如下：教学目标①初步了解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，不强调对这些知识的记忆与灵活应用，但能根据这些原理进行算法分析，能够画出程序框图表示算法。
②模仿、探索、经历设计算法，解决问题的全过程，体会算法的基本思想。
③感受算法在解决实际问题中的重要作用，培养学生利用算法解决问题的意识。
④在计算机上验证算法，领会数学算法与计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。
二、教学建议（一）强调一题多解，用不同的算理解决同一个问题，或用不同的逻辑结构实现同一个算理，这样可以让学生通过对比加深对算理算则的认识，为学生设计算法，体会算法思想提供机会。
第一课时辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法1．理解辗转相除法与更相减损术的含义，了解其执行过程，并会求最大公约数．2．掌握秦九韶算法的计算过程，了解它提高计算效率的实质，并会求多项式的值．3．进一步体会算法的基本思想．1．辗转相除法与更相减损术(1)辗转相除法．①算法步骤：第一步，给定两个正整数m，n.第二步，计算m除以n所得的余数r.第三步，m＝n，n＝r.第四步，若r＝__，则m，n的最大公约数等于m；否则返回第__步．②程序框图如图所示．③程序：INPUT m，nDOr＝m MOD nm＝nn＝rLOOP UNTIL____PRINT__END(2)更相减损术．算法分析：第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是____．若是，用__约简；若不是，执行第二步．第二步，以较大的数__去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以__数减__数．继续这个操作，直到所得的差与减数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．【做一做1】用更相减损术求294和84的最大公约数时，第一步是__________．2．秦九韶算法(1)概念：求多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0的值时，常用秦九韶算法，这种算法的运算次数较少，是多项式求值比较先进的算法，其实质是转化为求n个____多项式的值，共进行__次乘法运算和__次加法运算．其过程是：改写多项式为：f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0＝(a n x n－1＋a n－1x n－2＋…＋a1)x＋a0＝((a n x n－2＋a n－1x n－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝…＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0.设v1＝__________，v2＝v1x＋a n－2，v3＝v2x＋a n－3，…，v n＝____________.(2)算法步骤：第一步，输入多项式的次数n、最高次项的系数a n和x的值．第二步，将v的值初始化为a n，将i的值初始化为n－1.第三步，输入i次项的系数a i.第四步，v＝v x＋a i，i＝____.第五步，判断i是否大于或等于__．若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值__．(3)程序框图如图所示．(4)程序：INPUT“n＝”；nINPUT“an＝”；aINPUT“x＝”；xv＝ai＝n－1WHILE______PRINT“i＝”；iINPUT“ai＝”；av＝________i＝i－1WENDPRINT__END【做一做2】设计程序框图，用秦九韶算法求多项式的值，所选用的结构是() A．顺序结构B．条件结构C．循环结构D．以上都有答案：1．(1)①0二③r＝0m(2)偶数2减大小【做一做1】用2约简由于294和84都是偶数，先用2约简．2．(1)一次 nn a n x ＋a n －1 v n －1x ＋a 0 (2)i －1 0 v (4)i ＞＝0 v x ＋a v【做一做2】 D1．更相减损术与辗转相除法的区别与联系剖析：如表所示． 辗转相除法更相减损术 区别①以除法为主．②两个整数差值较大时运算次数较少．③相除余数为零时得结果.①以减法为主． ②两个整数的差值较大时，运算次数较多． ③相减，差与减数相等得结果． ④相减前要做是否都是偶数的判断.联系 ①都是求最大公约数的方法．②二者的实质都是递归的过程．③二者都要用循环结构来实现.2．秦九韶算法是比较先进的算法剖析：计算机的最重要特点就是运算速度快.2003年2月26日，以色列科学家宣布研制出一台依靠DNA 运行、速度达每秒运算330万亿次的生物计算机．这种计算机的运算速度比现在普通计算机的运算速度要快10万倍，但是即便如此，计算机也不是万能的．同一个问题有多种算法，如果某个算法比其他算法的步骤少，运算的次数少，那么这个算法就是比较先进的算法．算法好坏的一个重要标志就是运算的次数越少越好．求多项式f (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0的值时，通常是先计算a n x n ，进行n 次乘法运算；再计算a n －1x n －1，进行n －1次乘法运算；这样继续下去共进行n ＋n －1＋…＋2＋1＝n (n ＋1)2(其计算方法以后学习)次乘法运算，还需要进行n 次加法运算，总共进行n (n ＋1)2＋n 次运算．但是用秦九韶算法时，改写多项式为f (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0＝(a n x n －1＋a n －1x n －2＋…＋a 1)x ＋a 0＝((a n x n －2＋a n －1x n －3＋…＋a 2)x ＋a 1)x ＋a 0…＝(…((a n x ＋a n －1)x ＋…＋a 2)x ＋a 1)x ＋a 0.先计算v 1＝a n x ＋a n －1，需1次乘法运算，1次加法运算；v 2＝v 1x ＋a n －2，需1次乘法运算，1次加法运算；…v n ＝v n －1x ＋a 0，需1次乘法运算，1次加法运算．所以需进行n 次乘法运算，n 次加法运算，共进行2n 次运算．由于⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)2＋n －2n ＝n (n －1)2≥0，则n (n ＋1)2＋n ≥2n . 因此说秦九韶算法与其他算法相比运算次数少，秦九韶算法是比较先进的算法．题型一 求最大公约数【例题1】 (1)用辗转相除法求840与1 785的最大公约数；(2)用更相减损术求612与468的最大公约数．分析：本题是关于辗转相除法和更相减损术的直接应用．辗转相除法的操作是较大的数除以较小的数；更相减损术的操作是以大数减小数．反思：(1)利用辗转相除法求最大公约数时经常会取错最后一个余数．因为辗转相除法有有限个除法式子，而最后一个余数在倒数第二个式子的最后．(2)利用更相减损术求解最大公约数时，最大公约数是直到差等于减数时的那个差，或是该差与约简的数的乘积．题型二 求多项式的值【例题2】 用秦九韶算法求多项式f (x )＝7x 7＋6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x 当x ＝3时的值．分析：解决本题首先需要将原多项式化成f (x )＝((((((7x ＋6)x ＋5)x ＋4)x ＋3)x ＋2)x ＋1)x 的形式，其次再弄清v 0，v 1，v 2，…，v 7分别是多少，再针对这些式子进行计算．反思：本题中比较容易出现的问题主要集中在计算上，多步计算必须保证每一步的正确性，否则最后不但将题目算错，而且浪费了宝贵的时间．题型三 易错辨析【例题3】 已知f (x )＝3x 4＋2x 2＋4x ＋2，利用秦九韶算法求f (－2)的值．错解：f (x )＝((3x 2＋2)x ＋4)x ＋2，v 1＝3×(－2)2＋2＝14；v 2＝14×(－2)＋4＝－24；v3＝－24×(－2)＋2＝50.故f(－2)＝50.错因分析：所求f(－2)的值是正确的，但是错解中没有抓住秦九韶算法原理的关键，正确改写多项式，并使每一次计算只含有x的一次项．答案：【例题1】解：(1)用辗转相除法求840和1 785的最大公约数．1 785＝840×2＋105，840＝105×8.所以840和1 785的最大公约数是105.(2)首先612和468都是偶数，所以用2约简，得到306和234，但它们还都是偶数，需要再用2约简，得到153和117，最后用更相减损术计算得153－117＝36，117－36＝81，81－36＝45，45－36＝9，36－9＝27，27－9＝18，18－9＝9.所以612和468的最大公约数是9×2×2＝36.【例题2】解：f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，所以有v0＝7；v1＝7×3＋6＝27；v2＝27×3＋5＝86；v3＝86×3＋4＝262；v4＝262×3＋3＝789；v5＝789×3＋2＝2 369；v6＝2 369×3＋1＝7 108；v7＝7 108×3＝21 324.故当x＝3时，多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为21 324.【例题3】正解：f(x)＝3x4＋0·x3＋2x2＋4x＋2＝(((3x＋0)x＋2)x＋4)x＋2，v1＝3×(－2)＋0＝－6；v2＝－6×(－2)＋2＝14；v3＝14×(－2)＋4＝－24；v4＝－24×(－2)＋2＝50.故f(－2)＝50.1．用更相减损术可求得78与36的最大公约数是()A．24 B．18 C．12 D．62．用秦九韶算法计算f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1当x＝0.4时的值，需要进行乘法运算和加法运算的次数分别为()A．6,6 B．5,6 C．6,5 D．6,123．利用辗转相除法求3 869与6 497的最大公约数时，第二步是________．4．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1在x＝－2时的值为________．5．用辗转相除法求242与154的最大公约数．答案：1．D先用2约简得39,18；然后辗转相减得39－18＝21，21－18＝3，18－3＝15,15－3＝12,12－3＝9,9－3＝6，6－3＝3.所以所求的最大公约数为3×2＝6.2．A改写多项式f(x)＝(((((3x＋4)x＋5)x＋6)x＋7)x＋8)x＋1，则需进行6次乘法和6次加法运算．3．3 869＝2 628×1＋1 241第一步：6 497＝3 869×1＋2 628，第二步：3 869＝2 628×1＋1 241.4．－1改写多项式为f(x)＝((((x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1，当x＝－2时，v0＝1；v1＝1×(－2)＋5＝3；v2＝3×(－2)＋10＝4；v3＝4×(－2)＋10＝2；v4＝2×(－2)＋5＝1；v5＝1×(－2)＋1＝－1；故f(－2)＝－1.5．解：242＝154×1＋88，154＝88×1＋66，88＝66×1＋22，66＝22×3.所以242与154的最大公约数是22.。
