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2007高考数学山东卷(理)

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2007年高考数学山东卷（理科）详细解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。

1 若cos sin z i θθ=+（i 为虚数单位），则21z =-的θ值可能是 （A ）6π（B ）4π（C ）3π（D ）2π【答案】:D 【分析】：把2π代入验证即得。

2 已知集合{}1,1M =-，1124,2x N xx Z +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭，则M N ⋂=（A ）{}1,1- （B ） {}1- （C ）{}0 （D ） {}1,0- 【答案】:B 【分析】：求{}1124,1,02x N xx Z +⎧⎫=<<∈=-⎨⎬⎩⎭。

3下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（A ）(1),(2) （B ） (1),(3) （C ）(1),(4) （D ） (2),(4)【答案】:D 【分析】：从选项看只要判断正方体的三视图都相同就可以选出正确答案。

4 设11,1,,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α值为 （A ）1,3 （B ） 1,1- （C ）1,3- （D ） 1,1,3-【答案】:A 【分析】：观察四种幂函数的图象并结合该函数的性质确定选项。

5 函数sin (2)c o s(2)63y x x ππ=+++的最小正周期和最大值分别为（A ）,1π （B ） π（C ）2,1π （D ） 2,π【答案】:A 【分析】：化成sin ()y A x ωϕ=+的形式进行判断即co s 2y x =。

6 给出下列三个等式：()()(f x yf xf y =+，()()()f x y f x f y +=，()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-。

下列函数中不满足其中任何一个等式的是（A ）()3xf x = （B ） ()sin f x x = （C ）2()log f x x = （D ） ()ta n f x x = 【答案】:B 【分析】：依据指、对数函数的性质可以发现A ，C 满足其中的一个等式，而D 满足()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-，B 不满足其中任何一个等式.7 命题“对任意的x R ∈，3210x x -+≤”的否定是（A ）不存在x R ∈，3210x x -+≤ （B ）存在x R ∈，3210x x -+≤ （C ）存在x R ∈，3210x x -+> （D ）对任意的x R ∈，3210x x -+>【答案】:C 【分析】：注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定。

8 某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于19秒。

右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图。

设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为 （A ）0.9,35 （B ） 0.9,45 （C ）0.1,35 （D ） 0.1,45【答案】: A .【分析】：从频率分布直方图上可以看出0.9x =，35y =. 9 下列各小题中，p 是q 的充要条件的是（1）:2p m <-或6m >；2:3q y x m x m =+++有两个不同的零点。

（2）():1;()f x p f x -= :()q y f x =是偶函数。

（3）:c o s c o s ;p αβ= :t a n t a n q αβ=。

（4）:;p A B A ⋂= :U U q C B C A ⊆。

（A ）(1),(2) （B ） (2),(3) （C ）(3),(4) （D ） (1),(4)【答案】: D.【分析】：（2）由()1()f x f x -=可得()()f x f x -=，但()y f x =的定义域不一定关于原点对称；（3）αβ=是tan tan αβ=的既不充分也不必要条件。

10 阅读右边的程序框图，若输入的n 是100，则输出的变量S 和T 的值依次是 （A ）2500,2500 （B ） 2550,2550 （C ）2500,2550 （D ） 2550,2500【答案】:D.【试题分析】：依据框图可得1009896...22550S =++++=，999795...12500T =++++=。

11 在直角A B C ∆中，C D 是斜边A B 上的高，则下列等式不成立的是（A ）2A CA C AB =⋅（B ） 2B CB A BC =⋅（C ）2A BA C C D =⋅（D ） 22()()A C AB B A BC C DA B⋅⨯⋅= 【答案】:C.【分析】： 2()00A CA C AB AC A C A B A C B C =⋅⇔⋅-=⇔⋅=，A 是正确的，同理B 也正确，对于D 答案可变形为2222C D A BA CB C⋅=⋅，通过等积变换判断为正确.12 位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率为（A ）51()2（B ） 2551()2C （C ）3351()2C （D ） 235551()2C C【答案】:B.【分析】：质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次，因此质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率为223511()(1)22P C =-。

二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案须填在题中横线上。

13．13 设O 是坐标原点，F 是抛物线22(0)y p x p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，F A与x 轴正向的夹角为60︒，则O A 为________.【答案】:2p 【分析】：过A 作A D x ⊥轴于D ，令F Dm =，则2F A m =，2p m m +=，m p =。

.2O A p ∴==14．设D 是不等式组21023041x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎪⎨≤≤⎪⎪≥⎩表示的平面区域,则D 中的点(,)P x y 到直线10x y +=距离的最大值是_______.【答案】:【分析】：画图确定可行域，从而确定(1,1)到直线直线10x y +=距离的最大为15．与直线20x y +-=和曲线221212540x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程是_________.【答案】:. 22(2)(2)2x y -+-=【分析】：曲线化为22(6)(6)18x y -+-=，其圆心到直线20x y +-=的距离为d ==所求的最小圆的圆心在直线y x =上，其(2,2).标准方程为22(2)(2)2x y -+-=。

16．函数lo g (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ,若点A 在直线10m x n y ++=上,其中0m n >,则12m n+的最小值为_______.【答案】: 8。

【分析】：函数lo g (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点(2,1)A --，(2)(1)10m n -⋅+-⋅+=，21m n +=，,0m n >，12124()(2)448.n m m n mnmnmn+=+⋅+=++≥+=三．解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(17)（本小题满分12分）设数列{}n a 满足21*12333...3,.3n n n a a a a n N -+++=∈(I)求数列{}n a 的通项; (II)设,n nn b a =求数列{}n b 的前n 项和n S .解：: (I)2112333 (3),3n n n a a a a -+++=221231133 (3)(2),3n n n a a a a n ---+++=≥1113(2).333n n n n a n --=-=≥ 1(2).3n na n =≥验证1n =时也满足上式，*1().3n na n N =∈(II) 3nn b n =⋅，23132333...3nn S n =⋅+⋅+⋅+⋅231233333n n n S n +-=+++-⋅11332313n n n S n ++--=-⋅-，111333244n n n n S ++=⋅-⋅+⋅18（本小题满分12分）设b c 和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量ξ表示方程20x b x c ++=实根的个数(重根按一个计). (I)求方程20x b x c ++= 有实根的概率; (II) 求ξ的分布列和数学期望;(III)求在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程20x b x c ++= 有实根的概率. 解：:（I ）基本事件总数为6636⨯=，若使方程有实根，则240b c ∆=-≥，即b ≥当1c =时，2,3,4,5,6b =； 当2c =时，3,4,5,6b =； 当3c =时，4,5,6b =； 当4c =时，4,5,6b =； 当5c =时，5,6b =； 当6c =时，5,6b =,目标事件个数为54332219,+++++= 因此方程20x b x c ++= 有实根的概率为19.3623413 132333 (3)n n S n +=⋅+⋅+⋅+⋅(II)由题意知，0,1,2ξ=，则17(0)36P ξ==，21(1),3618P ξ===17(2)36P ξ==，故ξ的分布列为ξ12P17361181736ξ的数学期望17117012 1.361836E ξ=⨯+⨯+⨯=(III)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M ，“方程20a x b x c ++= 有实根” 为事件N ，则11()36P M =，7()36P M N =，()7()()11P M N P N M P M ==.19（本小题满分12分）如图,在直四棱柱1111A B C D A B C D -中,已知122D C D D A D A B ===,A D D C ⊥,A B D C .(I)设E 是D C 的中点,求证: 11D E A B D 平面; (II)求二面角11A B D C --的余弦值.C1A1BA解：:(I)连结B E ，则四边形D A B E 为正方形，11B E A D A D ∴==，且11B E A D A D ， 11A D E B ∴四边形为平行四边形，11D E A B ∴ .1111D E A B D A B A B D ⊄⊂ 平面，平面， 11.D E A B D ∴ 平面(II) 以D 为原点，1,,D A D C D D 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，不妨设1D A =，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,2),(1,0,2).D A B C A1(1,0,2),(1,1,0).D A D B ∴==设(,,)n x y z =为平面1A B D 的一个法向量，由1,n D A n D B ⊥⊥ 得200x y x y +=⎧⎨+=⎩，取1z =，则(2,2,1)n =-- .设111(,,)m x y z =为平面1C B D 的一个法向量， 由,m D C m D B ⊥⊥ 得11112200y z x y +=⎧⎨+=⎩，取11z =,则(1,1,1)m =-.c o s ,3m nm n m n⋅<>===-由于该二面角11A B D C --为锐角，所以所求的二面角11A B D C --3(20)（本小题满分12分）如图,甲船以每小时3,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于1A 处时,乙船位于甲船的北偏西105︒的方向1B 处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达2A 处时,乙船航行到甲船的北偏西120︒方向的2B 处,此时两船相距1,问乙船每小时航行多少海里? 解：如图，连结12A B，221A B =12203160A A =⨯=，122A A B ∆是等边三角形，1121056045B A B ∠=︒-︒=︒，在121A B B ∆中，由余弦定理得1A2A乙2221211121112222c o s4520(122012002B B A B A B A B A B=+-⋅︒=+-⨯⨯=，121B B=因此乙船的速度的大小为160320⨯=答：乙船每小时航行3海里.(21)（本小题满分12分）已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1.(I)求椭圆C的标准方程;(II)若直线:l y kx m=+与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.解：(I)由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x ya ba b+=>>3,1a c a c+=-=，22,1,3a c b===221.43x y∴+=(II)设1122(,),(,)A x yB x y，由22143y k x mx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84(3)0k x m k x m+++-=，22226416(34)(3)0m k k m∆=-+->，22340k m+->.212122284(3),.3434m k mx x x xk k-+=-⋅=++22221212121223(4)()()().34m ky y k x m k x m k x x m k x x mk-⋅=+⋅+=+++=+以AB为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D1A DB Dk k⋅=-，1212122y yx x∴⋅=---，1212122()40y y x x x x+-++=，2222223(4)4(3)1640343434mk mm k kkk--+++=+++，2271640mm k k++=，解得1222,7k m k m =-=-，且满足22340k m +->.当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0).7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).7(22)（本小题满分14分）设函数2()ln (1)f x x b x =++,其中0b ≠. (I)当12b >时,判断函数()f x 在定义域上的单调性;(II)求函数()f x 的极值点;(III)证明对任意的正整数n ,不等式23111ln (1)nnn+>-都成立.解：(I) 函数2()ln (1)f x x b x =++的定义域为()1,-+∞.222'()211b x x bf x x x x ++=+=++，令2()22g x x x b =++，则()g x 在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增，在11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上递减， m in 11()()22g x g b =-=-+. 当12b >时，m in 1()02g x b =-+>，2()220g x x x b =++>在()1,-+∞上恒成立.'()0,f x ∴>即当12b >时,函数()f x 在定义域()1,-+∞上单调递增。

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2007年高考全国卷1(理科数学)

2007年高考全国卷1(理科数学)

2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=A ．15B ．15-C ．513D ．513-2.设a 是实数，且1i1i 2a +++是实数，则a = A ．12 B ．1 C ．32 D ．23.已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，则a 与bA ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向4.已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)-，(4,0)，则双曲线方程为A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．221106x y -= D ．221610x y -= 5.设,a b R ∈，集合{}1,,{0,,}ba b a b a+=，则b a -=A ．1B ．1-C ．2D ．2- 6.下面给出的四个点中，到直线10x y -+=的距离为2，且位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩表示的平面区域内的点是A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,1)--D ．(1,1)- 7.如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面 直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为A ．15B ．25C DA 1B 1C 1D 1C ．35D ．458.设1a >，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12，则a =A B ．2 C ． D ．49.()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件10.21()n x x -的展开式中，常数项为15，则n =A ．3B ．4C ．5D ．611.抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF ∆的面积是A ．4B ．．．812.函数22()cos 2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是 A ．2(,)33ππ B ．()62ππ， C ．(0)3π， D ．()66ππ-，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种．（用数字作答） 14.函数()y f x =的图像与函数3log (0)y x x =>的图像关于直线y x =对称，则()f x = ．15.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为 ．16.一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． 18.（本小题满分12分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润． （Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ；（Ⅱ）求η的分布列及期望E η． 19.（本小题满分12分）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =∠，2AB =，BC =SA SB ==（Ⅰ）证明SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小．20.（本小题满分12分） 设函数()e e x x f x -=-．（Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围． 21.（本小题满分12分）DBCA S已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值． 22.（本小题满分12分）已知数列{}n a 中12a =，11)(2)n n a a +=+，1,2,3,n =．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 中12b =，13423n n n b b b ++=+，1,2,3,n =，43n n b a -<≤，1,2,3,n =．2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题： （1）D （2）B （3）A （4）A （5）C （6）C（7）D（8）D（9）B（10）D（11）C（12）A二、填空题：（13）36 （14）3()x x ∈R（15）13（16）三、解答题： （17）解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336A πππ<+<，所以1sin 23A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭．3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以，cos sin A C +的取值范围为32⎫⎪⎪⎝⎭，． （18）解：（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”． 知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=，()1()10.2160.784P A P A =-=-=．（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=．η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯240=（元）． （19）解法一：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥， 由三垂线定理，得SA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设AD BC∥，故SA AD ⊥，由AD BC ==SA =AO =1SO =，SD =． SAB △的面积211122S AB SA ⎛=-= ⎝连结DB ，得DAB △的面积21sin13522S AB AD == 设D 到平面SAB 的距离为h ，由于D SAB S ABD V V --=，得121133h S SO S=， 解得h =设SD 与平面SAB 所成角为α，则sin 11h SD α===． 所以，直线SD 与平面SBC 所成的我为arcsin 11． 解法二：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =．又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，AO OB ⊥．如图，以O 为坐标原点，OA 为x0)A ，，(0B ，(0C ，，(001)S ，，(2，(0CB =，0SA CB =，所以SA BC ⊥．（Ⅱ）取AB 中点E ，0E ⎫⎪⎪⎝⎭，连结SE ，取SE 中点G ，连结OG ，1442G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，． 1442OG ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，122SE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，(AB =． 0SE OG =，0AB OG =，OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ，AB 垂直．所以OG ⊥平面SAB ，OG 与DS 的夹角记为α，SD 与平面SAB 所成的角记为β，则α与β互余．D ，(DS =．22cos OG DS OG DSα==sin β=，所以，直线SD 与平面SAB 所成的角为arcsin 11． （20）解：（Ⅰ）()f x 的导数()e e x x f x -'=+． 由于e e 2x -x +=≥，故()2f x '≥． （当且仅当0x =时，等号成立）． （Ⅱ）令()()g x f x ax =-，则()()e e x x g x f x a a -''=-=+-，（ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e 20x xg x a a -'=+->-≥故()g x 在(0)+，∞上为增函数，所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为1x =，此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾． 综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，． （21）证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故2201x y +=， 所以，222200021132222y x y x ++=<≤． （Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． 设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+2212221(1)()4BD x x kx x x x ⎡=-=++-=⎣；因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k-，所以，2211132k AC k⎫+⎪⎝⎭==⨯+． 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥． 当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =．综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625．（22）解： （Ⅰ）由题设：11)(2)n n aa +=+1)(1)(2n a =+1)(n a =11)(n n a a+=．所以，数列{n a 是首项为21的等比数列，1)n n a =，即n a的通项公式为1)1nn a ⎤=+⎦，123n =，，，…． （Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当1n =2<，112b a ==，所以11b a <≤，结论成立．（ⅱ）假设当n k =43k k b a -<≤，也即430k k b a -<． 当1n k =+时，13423k k k b b b ++-=+(3(423k k b b -+-=+(3023k k b b -=>+，又1323k b <=-+， 所以1(322)23k k k b b b +-=+2(3(k b <-4431)(k a -≤41k a +=也就是说，当1n k =+时，结论成立．43n n b a -<≤，123n =，，，…．。

2007年高考数学全国卷2理科22题的研究

2007年高考数学全国卷2理科22题的研究

三次函数的图像与性质-----由2007年高考数学全国卷Ⅱ(理科)22题引发的研究与思考甘肃省合水县第一中学 薛树英形如32() (0)f x ax bx cx d a =+++≠的函数,叫做三次函数.由于三次函数的导函数是二次函数,而二次函数是高中数学中的重要内容,所以三次函数的问题,已经成为高考命题的一个新的热点和亮点,尤其是文科数学更是如此.我们可以采用类比的方法,结合几何画板软件,较为深入地研究三次函数的图像与性质,以及三次方程的解的个数的问题.1. 三次函数的图像与性质1.1当a>0时,'2()32f x ax bx c =++，224-124(-3)b ac b ac ∆==. 若0∆>，方程'()0f x =有两个不相等的实数根,记作1212x ,x ,x <x 且, 则函数()f x 在1(,x )-∞上单调递增,在12(x ,x )单调递减,在2(x ,)+∞上单调递增. 函数()f x 的极大值为1()f x ,极小值为2()f x ,且12()()f x f x >.结论1:12()()0f x f x ⋅>时,函数()f x 的图像与x 轴有且仅有一个公共点; 12()()0f x f x ⋅=时,函数()f x 的图像与x 轴有且仅有两个公共点; 12()()0f x f x ⋅<,即1()0f x >,2()0f x <时,函数()f x 的图像与x 轴有三个公共点.若0∆≤，则'()0f x ≥在R 上恒成立, 函数()f x 在R 上单调递增,无极值, 图像与x 轴有且仅有一个公共点.1.2当a<0时,'2()32f x ax bx c =++，224-124(-3)b ac b ac ∆==. 若0∆>，方程'()0f x =有两个不相等的实数根,记作1212x ,x ,x <x 且, 则函数()f x 在1(,x )-∞上单调递减,在12(x ,x )单调递增,在2(x ,)+∞上单调递减.函数()f x 的极大值为2()f x ,极小值为1()f x ,且21()()f x f x >.结论2:12()()0f x f x ⋅>时,函数()f x 的图像与x 轴有且仅有一个公共点; 12()()0f x f x ⋅=时,函数()f x 的图像与x 轴有且仅有两个公共点; 12()()0f x f x ⋅<,即2()0f x >,1()0f x <时,函数()f x 的图像与x 轴有三个公共点.若0∆≤，则'()0f x ≤在R 上恒成立, 函数()f x 在R 上单调递减,无极值, 图像与x 轴有且仅有一个公共点.2. 2007年高考数学全国卷Ⅱ(理科)22题的解答根据上述有关结论, 解答2007年高考数学全国卷Ⅱ(理科)22题是非常的简捷方便.原题如下:已知函数3()f x x x =-.(Ⅰ) 求曲线()y f x =在点(,())M t f t 处的切线方程;(Ⅱ) 设0a >,如果过点(,)a b 可作曲线()y f x =的三条切线,证明:()a b f a -<<.解: (Ⅰ) '2 ()31f x x =- '2 (t)3t 1f ∴=-∴ 过点(,())M t f t 处的切线方程 为:32y-(t -t)=(3t -1)(x-t)即 23y=(3t -1)x-2t(Ⅱ)若切线23y=(3t -1)x-2t 过点(,)a b ,则23b=(3t -1)a-2t .令32()2-3g t t at a b =++, 则'2()6-66(-)g t t at t t a ==. (0)a > 由'()0g t >得,0t < ,或t a >;由'()0g t <得0t a <<.∴ 函数()g t 在(,0)-∞上单调递增,在(0,)a 单调递减,在(,)a +∞上单调递增.极大值为(0)g a b =+,极小值为3()-()g a a a b b f a =-++=.过点(,)a b 切线有三条,则三次方程322-30t at a b ++=有三个不同的实数根,即函数()g t 与横轴有三个公共点.∴ (0)0()-()0g a b g a b f a =+>⎧⎨=<⎩∴ ()a b f a -<< 3.由此引发的思考尽管研究三次方程的解是很困难的,但我们利用几何画板软件可以深入地研究三次函数的单调性、极值以及图像与x 轴交点的个数.由于三次函数的导函数是二次函数,因此,考查三次函数能把导数的有关知识和二次函数的问题巧妙地结合起来,具有一定的综合性和很好的区分度,所以三次函数的问题已经成为高考命题的重点、热点和难点,全面认识三次函数的图像与性质,对于备战高考意义重大.。

2007年高考全国1卷数学理科试卷含答案

2007年高考全国1卷数学理科试卷含答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k k n k n n P k C p p k n -=-=，，，…，一、选择题（1）α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=（ ） A ．15 B ．15- C ．513 D ．513-（2）设a 是实数，且1i1i 2a +++是实数，则a =（ ） A ．12 B ．1 C ．32D ．2（3）已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b （ ） A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)-，，(40)，，则双曲线方程为（ ） A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．221106x y -= D ．221610x y -=（5）设a b ∈R ，，集合{}10b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，，，，，则b a -=（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-（6）下面给出的四个点中，到直线10x y -+=的距离为2，且位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（ ） A ．(11)，B ．(11)-，C ．(11)--，D ．(11)-，（7）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45（8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ） AB ．2C．D ．4（9）()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ） A ．充要条件 B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件（10）21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为15，则n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6（11）抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是（ ） A ．4B．C．D ．8（12）函数22()cos 2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是（ ） A ．233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，第Ⅱ卷注意事项：AB1B1A1D 1C CD1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．3．本卷共10题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．（13）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种．（用数字作答） （14）函数()y f x =的图像与函数3log (0)y x x =>的图像关于直线y x =对称，则()f x = ．（15）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为 ． （16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分） 设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． （18）（本小题满分12分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ； （Ⅱ）求η的分布列及期望E η．（19）（本小题满分12分）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =∠，2AB =，BC =SA SB =（Ⅰ）证明SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小．（20）（本小题满分12分） 设函数()e e xxf x -=-．（Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围． （21）（本小题满分12分）已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．（22）（本小题满分12分）已知数列{}n a 中12a =，11)(2)n n a a +=+，123n =，，，…． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 中12b =，13423n n n b b b ++=+，123n =，，，…，43n n b a -<≤，123n =，，，…．2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题： （1）D （2）B （3）A （4）A （5）C （6）C （7）D （8）D （9）B（10）D （11）C （12）A二、填空题：（13）36（14）3()xx ∈R（15）13（16）三、解答题： （17）解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336A πππ<+<，所以1sin 232A π⎛⎫+<⎪⎝⎭．由此有232A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以，cos sin A C +的取值范围为32⎫⎪⎪⎝⎭，． （18）解：（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=，()1()10.2160.784P A P A =-=-=．（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=．η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯240=（元）．（19）解法一：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥，由三垂线定理，得SA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设ADBC ∥， 故SA AD ⊥，由AD BC ==SA =AO =1SO =，SD =．SAB △的面积211122S AB SA ⎛=-= ⎝连结DB ，得DAB △的面积21sin13522S AB AD == 设D 到平面SAB 的距离为h ，由于D SAB S ABD V V --=，得121133h S SO S =， 解得h =A设SD 与平面SAB 所成角为α，则sin h SD α===所以，直线SD 与平面SBC所成的我为arcsin11． 解法二：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =．又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，AO OB ⊥． 如图，以O 为坐标原点，OA 为x0)A ，，(0B ，(0C -，，(001)S ，，，(2，(0CB =，0SA CB =，所以SA BC ⊥．（Ⅱ）取AB 中点E ，022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，连结SE ，取SE 中点G ，连结OG ，1442G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，． 12OG ⎫=⎪⎪⎝⎭，，1SE ⎫=⎪⎪⎝⎭，(AB =． 0SE OG =，0AB OG =，OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ，AB 垂直．所以OG ⊥平面SAB ，OG 与DS 的夹角记为α，SD 与平面SAB 所成的角记为β，则α与β互余．D ，(DS =．22cos 11OG DS OG DSα==sin β=，所以，直线SD 与平面SAB 所成的角为arcsin 11． （20）解：（Ⅰ）()f x 的导数()e e xxf x -'=+．由于e e e 2x -x x x -+=≥，故()2f x '≥． （当且仅当0x =时，等号成立）． （Ⅱ）令()()g x f x ax =-，则()()e e x x g x f x a a -''=-=+-，（ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e 20xxg x a a -'=+->-≥，故()g x 在(0)+，∞上为增函数，所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为1ln x =，此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾． 综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，． （21）证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200021132222y x y x ++=<≤． （Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． 设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+22212221221)(1)()432k BD x x k x x x x k +⎡=-=++-=⎣+；因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k-，所以，2211132k AC k⎫+⎪⎝⎭==⨯+ 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥． 当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =．综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625． （22）解：（Ⅰ）由题设：11)(2)n n a a +=+1)(1)(2n a =+1)(n a =11)(n n a a+=．所以，数列{n a 是首项为21的等比数列，1)n n a ，即n a的通项公式为1)1nn a ⎤=+⎦，123n =，，，…． （Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当1n =2<，112b a ==，所以11b a <≤，结论成立．（ⅱ）假设当n k =43k k b a -<≤， 也即430k k b a -<． 当1n k =+时，13423k k k b b b ++-=+(3(423k k b b -+-=+(3023k k b b -=>+，又1323k b <=-+所以1(323k k k b b b +-=+2(3(k b <-4431)(k a -≤41k a +=也就是说，当1n k =+时，结论成立．43n n b a -<≤，123n =，，，…．。

2007年高考数学(理科)试卷及答案

2007年高考数学(理科)试卷及答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）数学（理科）试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

第II 卷第22题为选考题，其他题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。

参考公式：样本数据1x ，2x ， ，n x 的标准差锥体体积公式s =13V S h =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积、h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式V=Sh24πS R =，34π3V R =其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知命题:p x ∀∈R ，sin x ≤1，则（ ）A ．:p x ⌝∃∈R ，sin x ≥1B ．:p x ⌝∀∈R ，sin x ≥1C ．:p x ⌝∃∈R ，sin x >1D ．:p x ⌝∀∈R ，sin x >12．已知平面向量a =（1，1），b （1，－1），则向量1322-=a b （ ） A ．（－2，－1） B ．（－2，1） C ．（－1，0） D ．（－1，2） 3．函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是（ ）4．已知{a n }是等差数列，a 10=10，其前10项和S 10=70，则其公差d =（ ）A ．23- B ．13-C ．13 D ．235．如果执行右面的程序框图，那么输出的S=（ ）A ．2450B ．2500C ．2550D ．26526．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），P 3（x 3，y 3）在抛物线上，且2x 2=x 1+x 3， 则有（ ）A ．123FP FP FP +=B ．222123FP FP FP +=C ．2132FP FP FP =+D ．2213FP FP FP =· 7．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则2()a b cd+的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．48．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）A ．34000cm 3 B ．38000cm 3C ．2000cm 3D ．4000cm 39．若cos 2πsin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin αα+的值为（ ） A． B ．12- C ．12 D10．曲线12ex y =在点（4，e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A ．29e 2B ．4e 2C ．2e 2D ．e 220次，三人的测试成绩如下表s 1，s 2，s 3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）A ．s 3>s 1>s 2B ．s 2>s 1>s 3C ．s 1>s 2>s 3D ．s 2>s 3>s 112．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等。