八年级数学直角三角形

八年级数学《直角三角形》知识点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余可表示如下：∠ C=90 ° ∠A+∠ B=90°2、在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∠ A =30°可表示如下：BC=1AB2∠ C =90°3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半∠ A CB=90°可表示如下：CD= 1AB=BD=AD2D为 AB 的中点4、勾股定理直角三角形两直角边 a ， b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 a2b2c25、射影定理 ( 了解 )在直角三角形中， 斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项， 每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边 的比例中项∠ ACB=90°CD2AD BDAC 2AD ABCD ⊥ ABBC2BDAB6、常用关系式由三角形面积公式可得：AB CD=AC BC二、直角三角形的判定1 、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理222如果三角形的三边长 a ，b ， c ，有关系 a b c ，那么这个三角形是直角三角形。

1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

2、解直角三角形的理论依据在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，∠ A ，∠ B ，∠ C 所对的边分别为 a ， b ，c（ 1）三边之间的关系：a 2 b2c 2（勾股定理）（ 2）锐角之间的关系：∠ A+∠ B=90° （ 3）边角之间的关系：练习：一、选择题1. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为 6 cm ，则它的斜边长为（）A 、 4 cmB 、 8 cmC 、 10 cmD 、 12 cm2. 已知一个 Rt △的两边长分别为 3 和 4，则第三边长的平方是（ ）A 、 25B 、 14C 、 7D 、 7 或 253. 等腰三角形的腰长为 10, 底长为 12, 则其底边上的高为 ()A 、 13B 、 8C 、 25 D、 644. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是 ( )A 、 钝角三角形B 、 锐角三角形C 、 直角三角形D 、等腰三角形 . 5、等腰三角形腰长为 13，底边长为 10，则它底边上的高为 （ ） A.12 B.7 C.5 D.66. 已知 a ，b ， c 为△ ABC 三边，且满足 ( a 2－ b 2)( a 2+b 2－ c 2) ＝0，则它的形状为（ ）A. 直角三角形B.等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形7. 如图， MP ⊥ NP ，MQ 为△ MNP 的角平分线， MT ＝ MP ，连接 TQ ，则下列结论中不正 确的是（ ）A 、 TQ ＝ PQB 、∠ MQT ＝∠ MQPC 、∠ QTN ＝ 90°D 、∠ NQT ＝∠ MQT8. 在△ ABC 中 , ∠ A: ∠ B: ∠C=1:2:3,CD ⊥ AB 于 D,AB=a , 则 DB 等于 ()A.aB.aC.aD. 以上结果都不对PQMNT23 4二、解答题1、已知：如图， AC 平分∠ BAD ， CE ⊥ AB 于 E ， CF ⊥ AD 于 F ，且 BC ＝DC. 求证： BE=DFFDC1 2AE B2. 已知，如图，四边形 ABCD 中， AB=3cm ， AD=4cm ， BC=13cm ， CD=12cm ，且∠ A=90°，求四边形 ABCD 的面积。

专题六 直角三角形一、直角三角形性质：1、 直角三角形的两个锐角互余2、 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半3、 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

4、 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°5、 勾股定理：直角三角形两直角边a,b 的平方和，等于斜边c 的平方。

a 2+b 2=c 2二、直角三角形判定：1、有两个角互余的三角形是直角三角形2、如果三角形的三条边长a,b,c 满足关系：a 2+b 2=c 2,那么这个三角形是直角三角形。

3、直角三角形全等的判定：SAS,ASA,AAS,SSS,HL三、角平分线的性质：1、角的平分线上的点到角的两边的距离相等2、角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上四、练习1如图，AB ∥CD ，∠CAB 和∠ACD 的平分线相较于H 点，E 为AC 的中点，EH=2.那么△AHC 是直角三角形吗？为什么？若是，求出AC 的长。

2、如图，在R t △ABC 中，∠ACB=90°，CD 垂直于AB,垂足为点D ，DB=21BC,求∠A 的度数。

3、已知，在△ABC 中，∠B =21∠A =31∠C ,AB=8cm. (1)求AB 边上的中线长，（2）求AC, BC 的长，（3）AB 边上的高AB C DEH4、如图，在RtABC 中，∠C=90°，ED 是线段AB 的垂直平分线，已知∠1=31∠ABC ，求∠A 的度数。

6、 如图，在边长为4的正方形ABCD 中，F 为CD 的中点，E 是BC 上一点，且EC=41BC. 求证：△AEF 是直角三角形。

7、 如图，D 为BC 的中点，DE ⊥AB 于点E,DF ⊥AC 于点F,且DE=DF.试问：AB 与AC 有什么关系？8、 如图，已知BD 平分∠ABC,BA=BC,点P 在BD 上，作P M ⊥AD,P N ⊥CD,垂足分别为点M,N.求证：P M=PN .9、 如图，求作一点P,使PM=PN,并且使点P 到∠AOB 的两边OA,OB 的距离相等。

八年级上册数学直角三角形的判定一、直角三角形的判定方法（人教版八年级上册）1. 定义法。

- 定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。

- 例如：在△ABC中，如果∠C = 90°，那么△ABC就是直角三角形。

这是最直接判定直角三角形的方法，只要确定三角形中有一个角为90°即可。

2. 勾股定理的逆定理。

- 勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即a^2+b^2=c^2（其中a、b为直角边，c为斜边）。

- 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。

- 例如：已知三角形的三边长分别为3、4、5，因为3^2+4^2=9 +16=25=5^2，所以这个三角形是直角三角形，其中边长为5的边所对的角为直角。

- 应用步骤：- 确定三角形的三条边的长度a、b、c（c为最长边）。

- 然后，计算a^2+b^2和c^2的值。

- 比较a^2+b^2与c^2是否相等，如果相等则该三角形为直角三角形。

3. 直角三角形的判定定理（两个锐角互余）- 定理：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形。

- 证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C = 180°（三角形内角和定理），如果∠A+∠B = 90°，那么∠C=180°-(∠A + ∠B)=90°，所以△ABC是直角三角形。

- 例如：在△ABC中，∠A = 30°，∠B = 60°，因为∠A+∠B=30° + 60° = 90°，所以△ABC是直角三角形。

直角三角形一、直角三角形的性质重点：直角三角形的性质定理及其推论：①直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半;②推论：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半;（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°.难点：1.性质定理的证明方法.2.性质定理及其推论在解题中的应用.二、直角三角形全等的判断重点：掌握直角三角形全等的判定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）难点：创建全等条件与三角形中各定理联系解综合问题。

三、角平分线的性质定理1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的数学表示：如图4，∵ OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，且CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，∴ CF＝DF.定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.2.关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ ABC、∠ACB的平分线，那么：① AP、BQ、CR相交于一点I；②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI.定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.3.关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线；（2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.图4四、勾股定理的证明及应用１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：cbaHG F EDCBAbacbac cabcab a bcc baE D CBA221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°D C BA ADB C10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

第03讲直角三角形(7类热点题型讲练)1．复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三角形的性质和判定；2．学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题．3．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL ”．4．会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．知识点1直角三角形的性质定理及推论定理1直角三角形的两个锐角互余；定理2在直角三角形中，如果一个角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半.推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半；推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30︒.知识点2勾股定理及逆定理图形名称定理符号表示边的定理在直角三角形中，斜边大于直角边.在Rt ABC ∆中，,c a c b >>勾股定理直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方.在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒ ，222c a b ∴=+勾股定理如果三角形的一条边的平方等于其他两条边在Rt ABC ∆中，222c a b =+ ，逆定理的平方和，那么这个三角形是直角三角形.90C ∴∠=︒知识点3直角三角形全等的判定HL 法图形定理符号如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：H .L ）在'''Rt ABC Rt A B C ∆∆与中，'',''AC A C AB A B == ，'''(.)Rt ABC Rt A B C H L ∴∆∆≌题型01直角三角形的两个锐角互余【答案】16【分析】本题考查直角三角形性质、等腰三角的性质及三角形内角和定理，根据直角三角形的性质得到32B ∠=︒，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出【答案】135【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟记性质并准确识图是解答本题的关键．根据直角三角形两锐角互余，求出题型02判断三边能否构成直角三角形【例题】（2023上·山东烟台·七年级统考期中）在ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对应边分别是a 、b 、c ，则题型03在网格中判断直角三角形(1)试说明ABC是直角三角形；(2)求点C到AB的距离．【详解】（1）解：由图可知：222125BC=+=，AC∴222BC AC AB+=∴ABC是直角三角形（2）由（1）可知：∴12ABCS AC BC=⋅=∴点C到AB的距离是故答案为2【变式训练】【答案】2【分析】由勾股定理可得后根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：由勾股定理得：的形状，并说明理由；(1)判断ABC的面积．(2)求ABC【详解】（1）解：AB=+理由：2213题型04利用勾股定理的逆定理求解(1)求BC 的长；(2)求图中阴影部分的面积．【详解】（1）解：∵22=+=BC BD CD ∴1．在四边形ABCD 中，90431213B AB BC CD AD ∠=︒====，，，，，求四边形ABCD 的面积．【详解】解：连接AC ，∵∠B =90°，∴ABC 为直角三角形，【详解】解：由题意得：AC 90EDC ∠=︒，在Rt EDC 中，由勾股定理得：2226810+= ，题型05勾股定理逆定理的实际应用【例题】如图，在笔直的公路AB 旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB 上的D 处开凿隧道修通一条公路到C 处，已知点C 与公路上的停靠站A 的距离为15km ，与公路上另一停靠站B 的距离为20km ，停靠站A B 、之间的距离为25km ，且CD AB ⊥．(1)求修建的公路CD 的长；(2)一辆货车从D 点到B 点处走过的路程是多少？【详解】（1）解：AC = 222152025+=，1．在一条东西走向的河流一侧有一村庄C ，河边原有两个取水点A ，B ，其中AB AC =，由于某种原因，由C 到A 的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D （A ，D ，B 在同一条直线上），并新修一条路CD ，测得 6.5CB =千米，6CD =千米， 2.5BD =千米．(1)求CDB ∠的度数；(2)求取水点A 到取水点D 的距离．【详解】（1）∵ 6.5CB =千米，6CD =千米， 2.5BD =千米，∴2226 2.5 6.5=+，∴222CD BD CB +=，∴CDB △为直角三角形，∴CD AB ⊥，∴90CDB ∠=︒；（2）设AD x =千米，则()2.5AB x =+千米，∴()2.5AC AB x ==+千米，∵CD AB ⊥，(1)技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点间的距离，便快速确定了量的是哪两点之间的距离以及确定的依据；(2)现计划在空地内种草，若每平方米草地造价30元，这块地全部种草的费用是多少元？【详解】（1）测量的是点A ，C 之间的距离；依据是：如果是三角形的三边长a ，b ，c 满足22+=a b （2）如图，连接AC ，∵由（1）得90B Ð=°，在Rt ABC 中，222222435AC AB BC =+=+=，在ACD 中，2213CD =，2212AD =，∵22251213+=，∴222AC AD CD +=，题型06全等的性质和HL 综合【例题】（2023上·全国·八年级专题练习）如图，在ABC 中，AB AC =，D 为AB 边的中点，DE AC ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ，DE DF =．求证：ABC 是等边三角形．【答案】见解析【分析】本题考查了等边三角形的判定，利用三角形全等，证明A B ∠=∠，继而证明三角形的三边相等即可．【详解】证明：∵D 为AB 边的中点，∴AD BD =．∵DE AC ⊥，DF BC ⊥，∴90AED BFD ∠=∠=︒．在Rt ADE △和Rt BDF △中，∵AD BD DE DF =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL ADE BDF ≌，∴A B ∠=∠，∴CA CB =，∵AB AC =，∴AB AC BC==∴ABC 是等边三角形．【变式训练】1．（2023上·福建莆田·八年级校联考期中）如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，EA AD ⊥，FD AD ⊥，AB DC =，BF CE =．求证：ACE DBF ∠=∠．【答案】见详解【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先由AB DC =，得AC DB =，再结合BF CE =，EA AD ⊥，FD AD ⊥，则通过“HL ”证明ACE DBF ≌，即可作答．【详解】证明：∵AB DC =，∴AB BC DC BC +=+，即AC DB =，∵EA AD ⊥，FD AD ⊥，∴90A D ∠=∠=︒，在Rt ACE 和Rt DBF △中，CE BF AC DB =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL ACE DBF ≌△△，∴ACE DBF ∠=∠．2．（2023上·湖南衡阳·八年级衡阳市外国语学校校考期中）如图，,,AB AD CB AB CD AD =⊥⊥，垂足分别为,B D ．(1)求证：ABC ADC ≅△△；(2)若4,3AB CD ==，求四边形ABCD 的面积．【答案】(1)见解析(2)12【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．（1）根据HL “如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等”，即可证明；（2）利用全等三角形的对应边相等，面积相等，即可求解．【详解】（1）证明：在Rt ABC △和Rt ADC 中，AC AC AB AD =⎧⎨=⎩，∴()Rt HL ABC ADC ≌ ；（2）解：由（1）知：ABC ADC ≅△△，【例题】（2023上·吉林白城·八年级校联考期末）如图，已知,,AB BD ED CD C ⊥⊥是BD 上的一点，且,12AB CD =∠=∠．(1)ABC 和CDE 全等吗？请说明理由；(2)判断ACE △的形状，并说明理由．【答案】(1)ABC CDE △≌△．理由见解析(2)ACE △是等腰直角三角形．理由见解析【分析】本题考查的是直角三角形的全等判定与性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的定义，熟练的证明直角三角形全等是解本题的关键；（1）先证明AC CE =，再证明()Rt Rt HL ABC CDE △△≌即可；（2）由全等三角形的性质可得ACB DEC ∠=∠，再证明90ACE ∠=︒，从而可得结论．【详解】（1）解：ABC CDE △≌△．理由如下：12∠=∠ ，∴AC CE =，∵,AB BD ED CD ⊥⊥，∴90B D ∠=∠=︒，在Rt ABC 和Rt CDE 中，AB CD AC EC ==,．()Rt Rt HL ABC CDE ∴△≌△．（2） Rt Rt ABC CDE ≌△△，∴ACB DEC ∠=∠，∵90D Ð=°，∴90DEC DCE ∠+∠=︒，∴90ACB DCE ∠+∠=︒，∴90ACE ∠=︒，又AC EC = ，∴ACE △是等腰直角三角形．【变式训练】1．（2023上·甘肃庆阳·八年级统考期中）如图，已知90,C F AC DF ∠=∠=︒=，点,,,A E B D 在一条直线上，,AE DB BC =与EF 交于点O ．(1)求证：Rt Rt ABC DEF △≌△．(2)若53A ∠=︒，求BOF ∠的度数．【答案】(1)详见解析(2)74BOF ∠=︒【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质．（1）根据HL 证明两个三角形全等；（2）根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可求解．【详解】（1）解：证明：AE DB = ，AE EB DB EB ∴+=+，即AB DE =，在Rt ABC △和Rt DEF △中，AC DF AB DE=⎧⎨=⎩，Rt Rt (HL)ABC DEF ∴△≌△．（2）解：90,53C A ︒∠=︒∠= ，180905337ABC ︒∴∠=︒-︒-︒=，由（1）知Rt Rt ABC DEF △≌△，37DEF ABC ︒∴∠=∠=，373774BOF ABC DEF ︒∴∠=∠+∠=︒+︒=．2．（2023上·甘肃兰州·八年级兰州市第五十六中学校考阶段练习）如图，在ABC 中，90AB CB ABC =∠=︒，，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE CF =．(1)若30CAE ∠=︒，求ACF ∠度数；(2)求证：AB CE BF =+；(3)试判断EF 与AC 的位置关系．【答案】(1)60︒(2)见详解(3) EF AC⊥【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，解题的关键是明确题意，找出所要证明结论需要的条件．（1）根据在ABC 中，90AB CB ABC =∠=︒，，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE CF =，可以得到Rt ABE △和Rt CBF △全等，根据全等三角形的性质，进行求解即可；（2）根据Rt Rt ABE CBF △≌△，可以得到AB BC BE BF ==，，然后即可转化为AB CE BF 、、的关系，从而可以证明所要证明的结论；（3）根据Rt Rt ABE CBF △≌△，EB FB =，45FEB CEH ∠=∠=︒，结合45BCA ∠=︒，即可作答．【详解】（1）解：∵90AB CB ABC =∠=︒，，，∴90ABE CBF ∠=∠=︒，45BCA BAC ∠=∠=︒在Rt ABE △和Rt CBF △中，AB CB AE CF=⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL ABE CBF ≌；∵30CAE CAB CAE EAB ∠=︒∠=∠+∠，，∴15EAB ∠=︒，∴EAB FCB ∠=∠，∴15FCB ∠=︒，∴154560ACF FCB BCA ∠=∠+∠=︒+︒=︒，即60ACF ∠=︒．（2）证明：∵Rt Rt ABE CBF △≌△，∴AB BC BE BF ==，，∵BC BE CE =+，∴AB CE BF =+．（3）解：EF AC ⊥，过程如下：延长FE 交AC 于一点H ，如图∵Rt Rt ABE CBF △≌△，∴45EB FB FEB CEH =∠=∠=︒，，由（1）知45BCA ∠=︒，∴90CHE ∠=︒，∴EF AC ⊥.一、单选题1．（2023上·河南周口·八年级统考期中）在Rt ABC △中，90C ∠=︒，56B ∠=︒，则A ∠的度数是（）A ．24︒B ．34︒C ．54︒D ．64︒【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，根据直角三角形两锐角互余即可求解．【详解】解：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，56B ∠=︒，∴905634A ∠=︒-︒=︒，故选：B ．2．（2023上·河南郑州·八年级校考期中）ABC 中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别记为a ，b ，c ，有下列说法错误的是（）A ．如果::7:24:25a b c =，则90C ∠=︒B ．如果::3:4:5A BC ∠∠∠=，则ABC 为直角三角形C ．如果a ，b ，c 长分别为6，8，10，则a ，b ，c 是一组勾股数D ．如果A B C ∠-∠=∠，则ABC 为直角三角形【答案】B【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理．根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定A ．24︒B 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，直角三角形两锐角互余，平行线性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．然后求出ABD DBC ∠=∠【详解】∵BD 是等腰ABC ∴BD AC ⊥，ABD ∠=∠∴=90BDC ∠︒，∵65C =︒∠，∴9025DBC C ∠=︒-∠=︒，∴25ABD DBC ∠=∠=︒，∵ED AB ∥，∴25A BDE BD ∠=︒∠=．故选：B ．4．（2023上·重庆垫江·八年级重庆市垫江中学校校考阶段练习）如图，在ABC 和CDE 中，90,,ACB CED AB CD CE AC ∠=∠=︒==，则下列结论中不一定成立的是（）A ．ABC CDE△△≌B ．CAB DCE ∠=∠C ．AB CD ⊥D ．E为BC 中点【答案】D 【分析】根据斜边直角边定理，可得ABC CDE △△≌，运用全等三角形的性质，可推CAB DCE ∠=∠，AB CD ⊥．【详解】解：A .∵90,,ACB CED AB CD CE AC∠=∠=︒==∴ABC CDE △△≌(HL)，故结论成立，本选项不合题意；B .∵ABC CDE△△≌∴CAB DCE ∠=∠，故结论成立，本选项不合题意；C .如图，∵ABC CDE△△≌∴B D ∠=∠.∵180,180,DGF D GFD FEB B EFB GFD EFB ∠+∠+∠=︒∠+∠+∠=︒∠=∠∴90DGF FEB ∠=∠=︒∴AB CD ⊥．故结论成立，本选项不合题意；D .根据题目条件无法推证E 为BC 中点，本结论错误，本选项符合题意；A ．90BAC ∠=C ．ABC 的面积为【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握【答案】AC AD =【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等【答案】20︒/20【分析】本题考查直三角形两锐角互余及翻转折叠有全等，先求出【详解】解：∵∴35B ∠=︒，由翻折的性质可得：【答案】2【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，含质，以及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．根据已知易得三角形的性质可得角形的两个锐角互余可得【答案】52或423-或2【分析】本题考查了等腰梯形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．分三种情况讨论：①当AE边形AEGD是矩形，进而证明Rt AEB然后证明CEF△是等腰直角三角形，性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，求得CE BC BE=-，即可求出CF得长；等腰梯形ABCD中，45B∠=︒，45B C BAE∴∠=∠=∠=︒，AB CD=，90AEB∴∠=︒，AE BC∴⊥，AD BC∥，90AEG DGE DAE∴∠=∠=∠=︒，∴四边形AEGD是矩形，EG AD∴=，AE DG=，AEB EAB ∴∠=∠，等腰梯形ABCD 中，45B ∠=︒，45B C ∴∠=∠=︒，()(111801804522AEB B ∴∠=︒-∠=︒-等腰梯形ABCD 中，45B ∠=︒，45B C ∴∠=∠=︒，45AEB B ∴∠=∠=︒，18090BAE B AEB ∴∠=︒-∠-∠=︒，3AB AE == ，∴在Rt BAE 中，22BE AB AE =+=45MEN ∠=︒ ，180180CEF AEB MEN ∴∠=︒-∠-∠=︒-11．（2023上·四川宜宾·八年级统考期中）如图，90A D ∠=∠=︒，点B ，E ，F 在同一直线上，AB CD =，BE CF =，求证ABF DCE ≌△△．【答案】证明见解析．【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证出BF CE =，由HL 证明Rt Rt ABF DCE ≌△△即可．【详解】证明：∵BE CF =，∴BE EF CF EF +=+，即BF CE =，∵90A D ∠=∠=︒，在Rt ABF 和Rt DCE V 中，AB CD BF CE=⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL ABF DCE ≌△△．12．（2023上·辽宁铁岭·八年级统考期中）在一条东西走向河的一侧有一村庄C ，河边原有两个取水点A ，B ，其中AB AC =，由C 到A 的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H （A 、H 、B 在一条直线上），测得3CB =千米， 2.4CH =千米， 1.8HB =千米，(1)问CH 是否为从村庄C 到河边的最近路？（即问：CH 与AB 是否垂直？）请通过计算加以说明；(2)求原来的路线AC 的长．【答案】(1)是，理由见解析(2)2.5千米【分析】本题考查勾股定理及其逆定理．（1）根据勾股定理逆定理，求出90CHB ∠=︒，即可；（2）设AC x =，在AHC 中，利用勾股定理进行求解即可．掌握勾股定理及其逆定理，是解题的关键．【详解】（1）解：是，理由如下：∵3CB =千米， 2.4CH =千米， 1.8HB =千米，∴2229CH BH CB +==，(1)AB=__________，BC=的形状为__________(2)ABC中AC边上的高__________(3)求ABC【答案】(1)22，42，2(2)直角(3)4105【分析】（1）本题主要考查网格中的勾股定理，直接计算即可求解．（2）主要考查勾股定理逆定理判定三角形的形状，可判定三角形的形状．（3）考查利用等面积法求斜边上的高，直接计算就可以求解．【详解】（1）由题可知，AB22BC=+=；444214．（2023上·山东泰安·七年级东平县实验中学校考阶段练习）BD=．6(1)求BC的长；∠的度数．(2)求ACD【答案】(1)42；(2)45︒．(1)如图1，若CD AB ⊥，则ACD BCD 、是“开心三角形(2)若ACD 是“开心三角形”，直接写出ACD ∠的度数【答案】(1)ACD BCD 、是“开心三角形”，理由见解析(2)30︒或40︒或80︒(1)当90BAP ∠=︒时，则BP =______；(2)当ABP 为以AP 为腰的等腰三角形时，求t 的值；(3)过点D 作DE AP ⊥于点E ．在点P 的运动过程中，当t 为何值时，能使【答案】(1)20由题意，得：2BP t =，∴216CP t =-，在Rt ACB △中，222AB BC AC =+，在Rt PAB 中，222PB AP BA =+，在Rt PAC △中，222AP AC CP =+，∴22222BP BC AC AC CP =+++，即：()()2222221688216t t =+++-，解得：10t =，∴20BP =；故答案为：20．（2）①当AP AB =时，如图∵,AP AB AC BC=⊥∴232BP BC ==，∴32216t =÷=；②若PA PB =，则2,162BP AP t CP t ===-，在直角三角形ACP 中，222PA CP AC +=，∴()()22221628t t =-+解得：5t =；综上所述：t 的值16或5；（3）∵3835,DE CD AD AC CD DE AP ===-=-=⊥，，∴4AE =，①若P 在C 点的左侧，则2BP t =，∴162CP t =-．又DE DC =，PD PD =，且90DEP DCP ∠=∠=︒，∴PED PCD ≌，∴162PE PC t ==-，∴202AP PE AE t =+=-，则()()2222021628t t -=-+，解得：5t =；②若P 在C 点的右侧，则2BP t =，∴216CP t =-，同法可得：216PE PC t ==-，∴212AP PE AE t =+=-，∴()()2222022168t t -=-+，解得11t =，综上所述：5t =或11．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解．。

第7讲直角三角形（）一、知识要点1、直角三角形的性质（1）两锐角互余.（2）斜边上的中线等于斜边的一半.（3）30°的角所对的直角边等于斜边的一半.（4）ab=ch（a，b，c分别是直角三角形的三边，h为斜边上的高）（5）如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，则∠ACD=∠B，∠DCB=∠A 2、直角三角形的判定（1）两锐角互余的三角形.（2）如果三角形一边上的中线等于这边的一半.（3）如图，AD是△ABC的高，且∠DAC=∠B.（4）证明一个三角形与另一个直角三角形全等.二、例题精选例1.如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，AF平分∠BAC，分别交CD，BC于点E，F.求证：∠CEF=∠CFE例2.如图，已知AD是△ABC的高，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE于点G，求证：（1）点G是CE的中点；（2）∠B=2∠BCE.例3、如图，AB，CD交于点E，AD=AE，CB=CE，点F，G，H分别是DE，BE，AC的中点.求证：FH=GH.CACAE F例1AEGB D C例2DA H CBFGE例3例4.如图，在Rt △ABC 中，AC=BC ，∠C=90°， D 是AB 边的中点，∠EDF=90°，∠EDF 绕点D 旋转，它的两边分别与直线AC ，BC 交于E ，F. （1）当点E ，F 分别在AC ，BC 上时（如图1），求证：ABC CEF DEF S S S ∆∆∆=+21；（2）当点E ，F 分别在AC ，CB 延长线上时（如图2）， 则（1）结论是否还成立？请说明理由.例5.如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分 ∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 交于点F ，H 是边BC 的中 点，连接DH ，与BE 交于点G.（1）求证：CE=21BF ；（2）CE 与BG 的大小关系如何？试说明理由.例6.已知P 是Rt △ABC 斜边AB 上一动点（不与点A ，B分别过A ，B 向直线CP 作垂线，垂足分别为E ，F ，点Q 是斜边AB 的中点.（1）如图1，当点P 与点Q 重合时，试写出QE ，QF 的数量 关系和BF ，AE 的位置关系：； （2）如图2，当点P 在线段AB 上但不与点Q 重合时，试判断QE ，QF 的数量关系，并给予证明； （3）如图3，当点P 在线段BA （或AB ）延长线上时，此时（中的结论是否仍成立？请画出图形给予证明.ADEC F B例4图1ADEC B F 例4图2A GDF E B H C 例5 B例7.如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=6cm ，点P 从点A 出发， 沿AB 方向以2cm/s 的速度向终点B 运动，同时点Q 从点B 出发，沿BC 方向以1cm/s 的速度向终点C 运动.问△PQC 成为以QC 为底边 的等腰三角形时候，则运动时间t 的值为多少？例8.已知，如图点D 是线段AB 上一点（不与点A ，B 重合），CD ⊥AB 于D ，且CD=AB ，AE ⊥AB ，BF ⊥AB ，且AE=BD ，BF=AD.（1）如图1，当点D 是线段AB 的中点时，试判断∠ACE 与 ∠BCF 的数量关系，并给予证明；（2）如图2，当点D 不是线段AB 的中点时，（1）中的结论 是否发生变化？写出你的猜想并证明.C AD BE 图2 C A D B E 图1F 例7学生练习一．选择题（共12小题）1．如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 2．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB=4，则下列各图中的直角三角形与Rt △ABC 全等的是（ ） 3．如图，△ABC 中，∠C=45°，点D 在AB 上，点E 在BC 上．若AD=DB=DE ，AE=1，则AC 的长为（ ）A.5 B. 2 C. 3 D. 24．如图，BD 平分∠ABC ，CD ⊥BD ，D 为垂足，∠C=55°，则∠ABC 的度数是（ ） A. 35° B. 55° C.60° D. 70°5．已知如图，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，CD ⊥DE ，CD=ED ，AD=2，BC=3，则△ADE 的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 无法确定6．如图，∠ACB=90°，AC=BC ，AE ⊥CE 于E ，BD ⊥CE 于D ，AE=5cm ，BD=2cm ，则DE 的长是（ ） A. 8 B. 5 C. 3 D. 27．如图所示，P ，Q 分别是BC ，AC 上的点，作PR ⊥AB 于R 点，作PS ⊥AC 于S 点，若AQ=PQ ，PR=PS ，下面三个结论：①AS=AR ；②QP ∥AR ；③△BRP ≌△CSP ，正确的是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①② D. ①②③8．在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=8，点F 是AB 的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且始终保持AD=CE ，则四边形CDFE 的面积是（ ） A. 32 B. 16 C. 28 D. 无法确定9．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD=CE ．连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；A. B. C. D. 第3题 第4题第5题 第6题第7题 第8题 第9题 第10题②DE 长度的最小值为4；③四边形CDFE 的面积保持不变；④△CDE 面积的最大值为8．其中正确的结论是（ ）A. ①②③B. ①③C. ①③④D. ②③④10．如图，在等腰直角△ACB 中，∠ACB=90°，O 是斜边AB 的中点，点D 、E 分别在直角边AC 、BC 上，且∠DOE=90°，DE 交OC 于点P ．则下列结论：（1）图形中全等的三角形只有两对； （2）△ABC 的面积等于四边形CDOE 的面积的2倍；（3）CD+CE=OA ；（4）AD 2+BE 2=2OP •OC ．其中正确的结论有（ ） A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个11．如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB 中，作内接正方形A 1B 1C 1D 1；在等腰直角三角形OA 1B 1中，作内接正方形A 2B 2C 2D 2；在等腰直角三角形OA 2B 2中，作内接正方形A 3B 3C 3D 3；…；依次作下去，则第n 个正方形A n B n C n D n 的边长是（ ） A.131-n B. n 31 C. 131+n D. 231+n 12．如图，已知∠AOB=45°，A 1、A 2、A 3、…在射线OA 上，B 1、B 2、B 3、…在射线OB 上，且A 1B 1⊥OA ，A 2B 1⊥OA ，…A n B n ⊥OA ； A 2B 2⊥OB ，…，A n+1B n ⊥OB （n=1，2，3，4，5，6…）．若OA 1=1，则A n B n 的长是（ ） A.n 2 B.()n2 C. n2D. 12-n二．填空题（共8小题） 13．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于点F ，若BF=AC ，则∠ABC= 度．14．如图，在四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=∠CDA=90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为9，则BE= ． 15．判断题：（1）一个锐角和这个角的对边分别相等的两个直角三角形全等； （2）一个锐角和这个角相邻的直角边分别相等的两个直角三角形全等；（3）两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；（4）两直角边分别相等的两个直角三角形全等；（5）一条直角边和斜边分别相等的两个直角三角形全等 ．16．如图，三角形ABC 中AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，请你填加一个适当的条件 ，使△AEC ≌△CDA ．17．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，分别过点B ，C 作过点A 的直线的垂线BD ，CE ，若BD=4cm ，CE=3cm ，则DE= cm ．18．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=10，BC=5，线段PQ=AB ，P ，Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AO 上运动，当AP= 时，△ABC 和△PQA 全等．第13题 第12题第14题 第16题 第17题 第18题 第20题第19题 第11题 D 2 C 2 D 1 C 119．在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，PR=PS，AQ=PQ，则下面三个结论：①AS=AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP．其中正确的是．20．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，下面四个结论：①∠ABE=∠BAD；②△CEB≌△ADC；③AB=CE；④AD﹣BE=DE．正确的是（将你认为正确的答案序号都写上）．三．解答题（共5小题）21．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E，F，那么，CE=DF吗？22．如图，已知等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为等腰Rt△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）连接BE，设DC=a，求BE的长．23．已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点．（1）如图，E、F分别是AB，AC上的动点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；（2）在（1）的条件下，四边形AEDF的面积是否变化，证明你的结论；（3）若E、F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．24．（1）两个全等的等腰直角三角形ABC和三角形EDA如图1放置，点B，A，D在同一条直线上．那么点C，A，E在同一条直线上；①在图1中，作∠ABC的平分线BF，过点D作DF⊥BF，垂足为F；②猜想：线段BF，CE的关系，结论是：．（2）将（1）中的“等腰直角三角形”换成“直角三角形”，其它条件不变，如图2，连接CE，请问你猜想的BF与CE的关系是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．25．同学拿了两块45°三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=4．（1）如图1，两三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为，周长为．（2）将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为_________，周长为．（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图1和图2的图形，如图3，请你猜想此时重叠部分的面积为．（4）在如图3的情况下，AC交MN于D，MK交BC于E，若AD=1，求出重叠部分图形的周长．直角三角形训练参考答案例1.法一∵∠3=∠1+∠5 ∠4=∠2+∠B∠1=∠2 ∠B=∠5 ∴∠3=∠4 法二：∠1+∠4＝90° ，∠2+∠AED ＝90°∠1=∠2，∴∠3=∠4＝∠AED例2.（1）DE 是Rt △ADB 斜边上中线，∴DE=BE=CD ∵DG ⊥CE ∴G 为CE 中点.（2）由（1）∠B=∠EDB=∠DEC+∠DCE=2∠DCE例3.由等腰三角形得，AF ，CG 为高， 又H 为中点，∴HF=HG=21AC例4.（1）ABC DCBCEF DEF S S S S ∆∆∆∆==+21（2）D BFE CD E D BFE D BF D EF S S S S S +=+=∆∆∆ =CEF ABC CEF DCB S S S S ∆∆∆∆+=+21例5.（1）△ADC ≌△BDF∴BF=AC=2CE（2）连接CG ，∵DH ⊥BC ∴BG=CG 》CE例6.（1）平行，相等（2）∵BH ∥AE BQ=AQ ∴△AEQ ≌△BHQ ∴EQ=HQ∴FQ=EQ （3）∵BH ∥AE BQ=AQ ∴△AEQ ≌△BHQ ∴EQ=HQ ∴FQ=EQ例7.解例8.（1）∴△ACE ≌△BCF ∴∠ACE=∠BCF（2）∵△ABE ≌△BCD ∴BE=BC ∠ABE=∠BCD ∴∠EBC=∠ABE+∠DBC=∠BCD +∠DBC=90°∴△BEC 为等腰直角三角形.同理，△AFC 为等腰直角三角形. ∴∠ACE=45°-∠ECF=∠BCFCA E F例1 1 23 4 5D A H CBF G E 例3ADEC F B例4图1AD E C B F例4图2AEGB D C例2AG DFE B H C 例5A D BE 例8图2学生练习：一．选择题：CADD ACCB CCBD9、①连接CF．∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB，∵AD=CE，∴△ADF≌△CEF，∴EF=DF，∠CFE=∠AFD，∵∠AFD+∠CFD=90°∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，∴△EDF是等腰直角三角形，故本选项正确；②∵△DEF是等腰直角三角形，∴当DE最小时，DF也最小，即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF=BC=4，∴DE=DF=4，故本选项错误；③∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF=S△ADF，∴S四边形CDFE=S△DCF+S△CEF=S△DCF+S△ADF=S△ACF=S△ABC故本选项正确；④当△CED面积最大时，由③知，此时△DEF的面积最小，此时，S△CED=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8，故本选项正确；综上所述正确的有①③④．10、（1）错误．理由如下：图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC．∵OC⊥AB，OD⊥OE，∴∠AOD=∠COE．在△AOD与△COE中，∴△AOD≌△COE（ASA）．同理可证：△COD≌△BOE．10、结论（2）正确．理由如下：∵△AOD≌△COE，∴S△AOD=S△COE，∴S四边形CDOE=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=S△ABC，即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍．结论（3）正确，理由如下：∵△AOD≌△COE，∴CE=AD，∴CD+CE=CD+AD=AC=OA．结论（4）正确，理由如下：∵△AOD≌△COE，∴AD=CE；∵△COD≌△BOE，∴BE=CD．在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+CE2=DE2，∴AD2+BE2=DE2．∵△AOD≌△COE，∴OD=OE，又∵OD⊥OE，∴△DOE为等腰直角三角形，∴DE2=2OE2，∠DEO=45°．∵∠DEO=∠OCE=45°，∠COE=∠COE，∴△OEP∽△OCE，∴，即OP•OC=OE2．∴DE2=2OE2=2OP•OC，∴AD2+BE2=2OP•OC．综上所述，正确的结论有3个，11、过O作OM⊥AB，交AB于点M，交A1B1于点N，如图所示：∵A1B1∥AB，∴ON⊥A1B1，∵△OAB为斜边为1的等腰直角三角形，∴OM=AB=，又∵△OA1B1为等腰直角三角形，∴ON=A1B1=MN，∴ON：OM=1：3，∴第1个正方形的边长A1C1=MN=OM=×=，同理第2个正方形的边长A2C2=ON=×=，则第n个正方形A n B n D n C n的边长．12、由题意，可知图中的三角形均为等腰直角三角形，OA1=1，A1B1=A1A2=1，B1A2=B1B2=，A2B2=A2A3=2，B2A3=B2B3=2，A3B3=A3A4=4，…，从中发现规律为A n B n=2A n﹣1B n﹣1，其中A1B1=1，所以A n B n=2n﹣1．二、13、45°14、 3 15、正确；正确；错误；正确；正确.16、CE=AD或∠DAC=∠ECA或∠BAC=∠ACB（正确即可）17、7 18、5或1019、连接AP在Rt△ASP和Rt△ARP中PR=PS，PA=PA所以Rt△ASP≌Rt△ARP所以①AS=AR正确因为AQ=PQ所以∠QAP=∠QPA又因为Rt△ASP≌Rt△ARP所以∠PAR=∠PAQ于是∠RAP=∠QPA所以②PQ∥AR正确③△BRP≌△CSP，根据现有条件无法确定其全等．故填①②20、①②④∵∠BEF=∠ADF=90°，∠BFE=∠AFD∴①∠ABE=∠BAD 正确∵∠1+∠2=90°∠2+∠CAD=90°∴∠1=∠CAD又∠E=∠ACB=90°，AC=BC∴②△CEB≌△ADC 正确∴CE=AD，BE=CD∴④AD﹣BE=DE．正确而③不能证明，三、21、略22、（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴∠BAC=∠ABC=45°，∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠BAD=∠ABD=45°﹣15°=30°，∴BD=AD，∴D在AB的垂直平分线上，∵AC=BC，∴C也在AB的垂直平分线上，即直线CD是AB的垂直平分线，∴∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CDE=∠CAD+∠ACD=15°+45°=60°，∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°；∴∠CDE=∠BDE，即DE平分∠BDC；（2）∵∠CAE=∠CEA=15°，∴AC=CE，∠ACE=150°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=60°，∵AC=CE，AC=BC，∴CE=BC，∴△BCE是等边三角形，∴BE=BC=AC．如图，在△ACD中，过点D作DM⊥AC于点M，作∠ADN=∠CAD=15°，交AC于N．在Rt△CDM中，∵∠CMD=90°，∠C=45°，DC=a，∴DM=MC=a．在Rt△DMN中，∵∠NMD=90°，∠DNM=∠ADN+∠CAD=30°，DM=a，∴DN=2DM=a，NM=DM=a．∵∠ADN=∠CAD=15°，∴AN=DN=a，∴AC=AN+NM+MC=a+a+a=a，∴BE=AC=a．23、（1）证明：连接AD∵AB=AC，∠A=90°，D为BC中点∴AD==BD=CD且AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD=45°在△BDE和△ADF中，∴△BDE≌△ADF（SAS）∴DE=DF，∠BDE=∠ADF∵∠BDE+∠ADE=90°∴∠ADF+∠ADE=90°即：∠EDF=90°∴△EDF为等腰直角三角形．（2）解：四边形AEDF面积不变．理由：∵由（1）可知，△AFD≌△BED∴S△BDE=S△ADF，而S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△AED+S△BDE=S△ABD∴S四边形AEDF不会发生变化．（3）解：仍为等腰直角三角形．理由：∵△AFD≌△BED∴DF=DE，∠ADF=∠BDE∵∠ADF+∠FDB=90°∴∠BDE+∠FDB=90°即：∠EDF=90°∴△EDF为等腰直角三角形24、BF⊥CE，BF=CE（1）①画图②结论是：BF⊥CE，BF=CE．（2）如图，①证明BF=CE∵BF为∠ABC的平分线，∠ABC=90°∴∠CBF=∠ABF=45°∵DF⊥BF∴∠F=90°∵点B，A，D在同一条直线上，△BFD为直角三角形∴cos∠FBD=∴BF=又∵Rt△ABC≌Rt△EDA∴BC=AD，BA=DE设BC=AD=a，BA=DE=b∴BD=a+b∴BF=过E作EH∥BD交CB的延长线于H∵∠CBA=90°，∠ADE=90°∴∠CBA=∠ADE∴CH∥DE∴四边形BHED为矩形∴BH=DE=b，HE=BD=a+b∴CH=a+b∴△HCE等腰直角三角形由勾股定理，得CE=∴BF=CE②证明BF⊥CE∵Rt△CHE是等腰直角三角形∴∠HCE=∠HEC=45°∵∠FBC=45°∴∠BGE=∠HCE+∠FBC=90°∴BF⊥CE∴BF⊥CE，BF=CE仍然成立25、（1）∵AC=BC=4，∠ACB=90°，∴AB===4，∵M是AB的中点，∴AM=2，∵∠ACM=45°，∴AM=MC，∴重叠部分的面积是=4，∴周长为：AM+MC+AC=2+2+4=；（2）∵叠部分是正方形，∴边长为×4=2，面积为2×2=4，周长为2×4=8．（3）过点M分别作AC、BC的垂线MH、MG，垂足为H、G，∵M是△ABC斜边AB的中点，AC=BC=a，∴MH=BC，MG=AC，∴MH=MG，又∵∠NMK=∠HMG=90°，∴∠NMH+∠HMK=90°，∠GME+∠HMK=90°，∴∠HMD=∠GME，在△MHD和△MGE中，∵，∴△MHD≌△MGE（ASA），∴阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积，∵正方形CGMH的面积是MG•MH=2×2=4；∴阴影部分的面积是4；（4）过点M作MG⊥BC于点G，MH⊥AC于点H，∴四边形MGCH是矩形，∴MH=CG，∵∠A=45°，∴∠AMH=45°，∴AH=MH，∴AH=CG，在Rt△DHM和Rt△EGM中，，∴Rt△DHM≌Rt△EGM．∴GE=DH，∴AH﹣DH=CG﹣GE，∴CE=AD，∵AD=1，∴DH=1，CE=1，CD=4﹣1=3，∴DM=∴四边形DMEC的周长为：CE+CD+DM+ME=1+3++=4．故答案为：4，，4，8，4。

八年级数学上册直角三角形知识点总结
直角三角形是初中数学中的重要内容，下面是八年级数学上册直角三角形的知识点总结：
1. 三角函数
- 正弦函数：sin(A) = 对边/斜边
- 余弦函数：cos(A) = 邻边/斜边
- 正切函数：tan(A) = 对边/邻边
2. 特殊直角三角形
- 等腰直角三角形：两条直角边相等
- 30度-60度-90度特殊直角三角形：长边：短边：斜边 = 1：√3：2
- 45度-45度-90度特殊直角三角形：两条直角边相等，斜边等于直角边的√2倍
3. 定义和性质
- 直角三角形的定义：一个角为直角（90度）
- 直角三角形的性质：直角三角形的两条直角边平方和等于斜边平方（勾股定理）
4. 三角形的解题方法
- 已知两边求第三边：利用勾股定理求第三边的长度
- 已知一个角和一边求其他边：利用三角函数计算其他边的长度
- 解决实际问题：将实际问题转化为数学问题，利用三角函数解题
这些是八年级数学上册直角三角形的主要知识点总结，请认真研究，掌握这些内容，将有助于你在数学研究中的进一步理解和应用。