4.2.1直线与圆的位置关系优质课大赛教学设计
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《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修2第四章
教学设计
姓名：孙全海
单位：太和中学
《4.2.1 直线与圆的位置关系》教学设计
【三维目标】
1、知识与技能
（1）理解直线与圆的三种位置关系；能根据直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系； （2）能用直线和圆的方程解决一些简单的问题； 2、过程与方法
（1）经历知识的建构过程，培养学生独立思考，自主探究，动手实践，合作交流的学习方式； （2）强化学生用解析法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力； 3、情感态度与价值观
（1）让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想； （2）加深对解析法解决几何问题的认识，激发学习热情，培养学生的创新意识和探索精神；
【重点难点】
1、重点：直线与圆的位置关系及其判断方法；
2、难点：体会和理解解析法解决几何问题的数学思想；
【教学基本流程】
【教学设计】 一、创设情境
问题1：“海上生明月，天涯共此时”是唐代诗人张九龄的诗句，抒写了对远方亲人的一片深情。
全诗情景交融，细腻入微，情真意永，感人至深。
如果我们把明月看成一个圆，海平面看成 一条直线，直线与圆的位置关系有几种？
【解析】直线与圆的位置关系有三种：
问题2：点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离是什么？ 【解析】d =
；
二、探究新知
探究1：一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛的中心为圆心，
半径为30km 的圆形区域．已知轮船位于小岛中心正东70km 处， 港口位于小岛中心正北40km 处．如果轮船沿直线返港，那么它 是否有触礁的危险？
（1）如果不建立直角坐标系，你能解决这个问题吗？
（2）如果以小岛的中心为原点O ，东西方向为x 轴，建立直角坐标系，其中取10km 为单位长度，你
能写出其中的直线方程与圆的方程吗？
（3）如何用直线方程与圆的方程判断它们的位置关系，请谈谈你的想法？ 【解析】
（1）利用平面几何知识可知，在Rt AOB ∆中，70,40OA OB ==，则AB =O 到AB
的距离为d ，则34.730
OA OB d AB ⋅=
=≈>，所以轮船沿直线返港，没有触礁的危险； （2）直线方程：
174
x y
+=，即47280x y +-=；圆的方程：229x y +=； （3）根据学生已有经验，判断直线与圆的位置关系，一种方法，利用点到直线的距离公式求出圆心
到直线的距离，然后比较这个距离与半径的大小作出位置关系的判断；另一种方法，就是看由它们组成的方程组有无实数解；学生分组，展示成果，归纳总结； （该问题具有探究性、启发性和开放性，鼓励学生大胆表达自己的看法．） 【归纳】直线与圆的位置关系的判断方法：
设直线:0l Ax By C ++=，圆2
2
2
:()()C x a y b r -+-=， （1）几何法：求圆心到直线的距离：
d =
，
（2）代数法：联立方程2
2
2
0()()Ax By C x a y b r
++=⎧⎨
-+-=⎩，消元，考查其判别式∆，
相交0d r ⇔<⇔∆>；相切0d r ⇔=⇔∆=；相离0d r ⇔>⇔∆<；
三、典例剖析
1、如图，已知直线:360l x y +-=和圆心为C 的圆2
2
240x y y +--=， 判断直线l 与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标. 分析：方法一：判断直线l 与圆的位置关系，就是看由它们的方程组
成的方程组有无实数解；方法二，可以依据圆心到直线的距离 与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系；
解法一：联立方程22
360(1)240(2)
x y x y y +-=⎧⎨+--=⎩消去y 得：2
320x x -+=， 因为10∆=>，所以直线l 与圆相交，有两个公共点.
解法二：圆22240x y y +--=可化为22(1)5x y +-=，圆心(0,1)C ，半径r =
(0,1)C 到直线l 的距离
d =
=<l 与圆相交，有两个公共点.
由2
320x x -+=，解得12x =，21x =，
把12x =代入方程（1），得10y =；把21x =代入方程（1），得23y =； 所以，直线l 与圆有两个交点，它们的坐标分别是：(2,0),(1,3)A B .
2、已知过点(3,3)M --的直线l 被圆22
4210x y y ++-=所截得的弦长为l 的方程； 解：圆的标准方程为22(2)25x y ++=，圆心(0,2)C -，半径5r =.
所以弦心距d ==，
由已知，设直线l 的方程为3(3)y k x +=+，即330kx y k -+-=， 根据点到直线的距离公式，
d =
=|31|k -=，
两边平方，并整理得2
2320k k --=，解得1
-
2
k =，或2k =， 所以，所求直线方程为：290x y ++=，或230x y -+=.
四、变式训练
1、（1）已知直线43350x y +-=与圆心在原点的圆相切，求圆的方程；
（2）已知圆的方程222x y +=，直线y x b =+，当b 为何值时，直线与圆相交，相切，相离？ （3）已知圆的方程2
2
2
(1)(3)(0)x y r r -+-=>，直线3460x y --=，当r 为何值时，直线与
圆相交？
解：（1）由已知：
7d =
=，即圆的半径7r =；所以所求圆的方程为:2249x y +=；
（2）解法1：圆心(0,0)O 到直线y x b =+的距离：
d =
， 当d r <，即22b -<<时，直线与圆相交； 当d r =，即2b =±时，直线与圆相切；
当d r >，即2b <-，或2b >时，直线与圆相离；
解法2：联立方程组22
2
y x b x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 得：222220x bx b ++-=，2
164b ∆=-， 当0∆>，即22b -<<时，直线与圆相交； 当0∆=，即2b =±时，直线与圆相切；
当0∆<，即2b <-，或2b >时，直线与圆相离；
（3）由已知：圆心到直线的距离
3d r =
=<，
2、已知过点(3,3)M --的直线l 被圆224210x y y ++-=所截得的弦长为8，求直线l 的方程； 解：圆的标准方程为22(2)25x y ++=，圆心(0,2)C -，半径5r =.
所以弦心距3d ==，
由已知，设直线l 的方程为3(3)y k x +=+，即330kx y k -+-=， 根据点到直线的距离公式，
d =
3=，即|31|3k -=4
3k =-，直线方程为：43210x y ++=，
经检验，30x +=适合题意，
所以，所求直线方程为：43210x y ++=，或30x +=；
五、知识归纳
1、知识：（1）直线与圆的位置关系的判断；（2）弦长问题；
2、思想方法：（1）坐标法的思想；（2）数形结合思想。
六、作业布置
1、作业：课本132页习题4.2 A 2，3，5；B4；
七、教学反思
1、本节课主要内容是如何运用坐标法判断直线与圆的位置关系，通过实例，让学生观察分析，合作探究，类比归纳，形成知识体系，帮助同学们养成良好的学习态度，培养勤奋刻苦的精神；
2、学习过程中，要使学生理解判断方法，并会灵活应用。
要鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与，既要有教师的讲授和指导，也要有学生的自主探究与合作交流，把课堂还给学生，引导学生主动探究与思考，让学生真正参与到课堂中来.。
