边界值法练习题

一、等价类划分法实例：1.输入条件为某个范围的取值：例：在某大学学籍管理信息系统中，假设学生年龄的输入范围为16～40，则根据黑盒测试中的等价类划分技术，它的有效和无效等价类分别为？2.输入条件为输入值的集合：例：假设PowerPoint打印输出幻灯片的页数分别为{1，2，3，6，9 }，则根据黑盒测试中的等价类划分技术，它的有效和无效等价类分别为？3．输入为BOOL变量，它的有效和无效等价类分别为？4．输入条件中由若干规则组成，其中各个规则都是独立的：例：一条输入的字符串中不能含有“#”和“&”两个特殊字符（其他字符都是合法的）的规则，它的有效和无效等价类分别为？5．输入条件由一个合法的规则组成：例：某个变量的取值必须为100，那么它的有效和无效等价类分别为？6．为输入条件的组合关系划分等价类：输入条件同时满足ｘ＞10和y<200两个判断表达式决定，那么它的有效和无效等价类分别为？二、边界值分析法实例：１．大小范围边界例：若10≤ｘ≤200，利用边界值分析法需要选择哪些测试数据？若10<x<200，利用边界值分析法需要选择哪些测试数据？2.极限边界当给出的整数是无限制范围时，它的边界便是整数的最大值和最小值。

例：16位的有符号整数，它的边界是？利用边界值分析法需要选择哪些测试数据？3.NextDate函数的边界值分析测试用例在NextDate函数中，隐含规定了变量month和变量day的取值范围为1≤month≤12和1≤day≤31，并设定变量year的取值范围为1912≤year≤2050。

利用边界值分析法选择测试数据进行测试用例设计，完成下表。

边界值设计选取测试数据的原则边界值检验的主要类型边界类型输入数字最大最小字符第一个最后一个位置首位末位大小最大最小速度最快最慢方位最高最低尺寸最长最短空间利用边界值作为测试数据对16bit的整数而言32767和32768是边界屏幕上光标在最左上最右下位置报表的第一行和最后一行数组元素的第一个和最后一个循环的第0次和倒数第2次最后一次在多数情况下边界值条件是基于应用程序的功能设计而需要考虑的因素可以从软件的需求规格或常识中得到也是最终用户可以很容易发现问题的
测试用例 T1 T2
X1 X1nom X1nom
T3
X1nom
T4
X1nom
T5
X1nom
T6
X1min
T7
X1min+
T8
X1max-
T9
X1max
X2
预期输出
X2min F1
X2min+ F2
X2nom F3 X2max- F4 X2max F5 X2nom F6 X2nom F7 X2nom F8 X2nom F9
那离点就是域范围外离上点最近的点，如果边界是开放 的，那离点就是域范围内离上点最近的点。 只要测到了这些点，就可以测出一些常见的错误。
边界值分析法 & 等价类划分法
边界值分析使用与等价类划分法相同的划分，只是边界 值分析假定错误更多地存在于划分的边界上，因此在等 价类的边界上以及两侧的情况设计测试用例。
• (2)对程序中的每个变量重复 (1)
x2 d
c
x1
a
b
对于一个n变量函数，该方法生成的测试用例数为6n+1个
3. 最坏边界条件测试用例设计法
(1) 所有变量均可取min、min+、nom、max-和max这 五个边界值中的任何一个。

一、判断（01）测试是为了验证软件已正确地实现了用户的要求。

错（02）白盒测试仅与程序的内部结构有关，完全可以不考虑程序的功能要求。

对（03）白盒测试不仅与程序的内部结构有关，还要考虑程序的功能要求。

错（04）程序员兼任测试员可以提高工作效率。

错（05）黑盒测试的测试用例是根据应用程序的功能需求设计的。

对（06）当软件代码开发结束时，软件测试过程才开始。

错（07）据有关数据统计，代码中60%以上的缺陷可以通过代码审查发现出来。

对（08）无效等价类是无效的输入数据构成的集合，因此无需考虑无效的等价类划分。

错（09）软件本地化就是将一个软件产品按特定国家或语言市场的需要翻译过来。

错（10）在压力测试中通常采用的是黑盒测试方法。

对（11）软件测试员无法对产品说明书进行白盒测试。

对（12）功能测试工具主要适合于回归测试。

对（13）测试人员说：“没有可运行的程序，我无法进行测试工作”。

错（14）自底向上集成需要测试员编写驱动程序。

对（15）测试是可以穷尽的。

错（16）自动化测试相比手工测试而言，能发现更多的错误。

错（17）软件测试自动化可以提高测试效率，可以代替手工测试。

错（18）语句覆盖法的基本思想是设计若干测试用例，运行被测程序，使程序中的每个可执行语句至少被执行一次。

对（19）Beta测试是验收测试的一种。

对（20）软件开发全过程的测试工作都可以实现自动化。

错（21）软件只要经过严格严谨的内部测试之后，可以做到没有缺陷。

错（22）结构性测试是根据软件的规格说明来设计测试用例。

错（23）软件测试工具可以代替软件测试员。

错（24）通过软件测试，可以证明程序的正确性。

错（25）在单元测试中，驱动程序模拟被测模块工作过程中所调用的下层模块。

错（26）软件缺陷可能会被修复，可能会被保留或者标识出来。

对（27）测试用例是由测试输入数据和对应的实际输出结果这两部分组成。

错（28）单元测试通常由开发人员进行。

对（29）现在人们普遍认为软件测试不应该贯穿整个软件生命周期，而应在编程完毕之后再进行，这样可以降低成本。

其它次边界值条件

输入值为空格或者空白

另当软件要求输入时(比如在文本框中)，不是没有输入正确的信息，而是 根本没有输入任何内容，只按了Enter键。 这种情况在产品说明书中常常被忽视，程序员也可能经常遗忘，但是在实 际使用中却时有发生。


正确的软件通常应该将输入内容默认为合法边界内的最小误提示信息。 因为这些值通常在软件中进行特殊处理，所以不要把它们与合法情况和 非法情况混在一起，而要建立单独的等价区间。
根据规格说明的每个输出条件，应用前面的原则(2)。
如果程序的规格说明给出的输入域或输出域是有序集合，则应选取集合 的第一个元素和最后一个元素作为测试用例。 如果程序中使用了一个内部数据结构，则应当选择这个内部数据结构边 界上的值作为测试用例。
6.
决策表法

概述

决策表(Decision Table，也成为“判定表”)一直被用来表示和分析复杂逻辑关系。 决策表很适合描述不同条件集合下采取行动的若干组合的情况。 决策表给出的条件没有特别的顺序，而且所选择的行动发生时也没有任何特定顺序。 决策表的每一列对应了一个业务规则，该规则定义了各种条件的一个特定组合，以 及这个规则相关联的执行动作。 决策表测试的常见覆盖标准是每列至少对应一个测试，该测试通常覆盖触发条件的 所有组合。

为了使用决策表设计测试用例，我们把条件解释为输入，把行动解释为 输出。

有时条件也可以为输入的等价类，行动是被测软件的主要功能处理部分。 这时规则就解释为测试用例。
由于决策表可以机械地强制为完备的，因此决策表具有测试用例的完整 集合。 对于某些模块的输入和输出比较复杂，存在着关联关系的功能测试，根 据多种输入条件的组合条件，分析和判断产生多种结果，从而确定测试 数据的方法称为因果图法设计测试用例

解决要测什么、怎么测和如何衡量的问题 案例1-1：即时贴测试用例
6/84
测试用例用途
核实需求：要使最终用户满意，首先就是要对用户的期望加以明确阐述 ，以便对这些期望进行核实并确认其有效性
监督过程：可以准确、有效的评估测试的工作量
评估结果：对产品进行评估，对测试完成情况进行评价
准确回归：快速的进行正确的回归
2、测试用例是需要更新和维护的，是一个不断修改完善的过程 3、测试用例需要正式的评审 4、测试用例覆盖系统的程度决定测试的覆盖程度
10/84
对测试人员的要求 1、基本要求
在编写一条测试用例时，要求步骤描述清晰、准确、易读，预期结果明确
如果有特殊的设置、预 如果有附件，要给出附件存放位置，名称
没有考虑控件之间的组合，所以会丢失一些情况
• 如：两个数据都是无效等价类的情况没有考虑
测试用例的设计就是一个循序渐进，逐步完善的过程，我们的课程也是循序 渐进的，在后面课程中我们会加以讲解。当然，以后熟练了，可以一步到位 设计出最优的用例。
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等价类划分的步骤
划分等价类 细划等价类划分 建立等价类表 编写测试用例

中国北京 电话：（010）62135687、62136369 地址：北京市海淀区北三环西路甲18号 中鼎大厦B座7层
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中国广州 电话：（020）85518868、85518898 地址：广州天河区岗顶侨鑫教育主楼三层
防止遗漏：使软件测试的实施重点突出、目的明确，确保需求功能不被 遗漏。
提高效率：避免盲目测试
缩短周期：版本更新和升级时，只需修正少部分测试用例，资源复用。

3.2.2 边界值分析方法举例例1：成绩报告生成程序现有一个学生标准化考试批阅试卷，产生成绩报告的程序。

其规格说明如下：程序的输入文件由一些有80个字符的记录组成,如右图所示，所有记录分为3组：1) 标题：这一组只有一个记录，其内容为输出成绩报告的名字。

2) 试卷各题标准答案记录：每个记录均在第80个字符处标以数字"2"。

该组的第一个记录的第1至第3个字符为题目编号（取值为1一999）。

第10至第59个字符给出第1至第50题的答案（每个合法字符表示一个答案）。

该组的第2，第3……个记录相应为第51至第100，第101至第150，…题的答案。

3) 每个学生的答卷描述：该组中每个记录的第80个字符均为数字"3"。

每个学生的答卷在若干个记录中给出。

如甲的首记录第1至第9字符给出学生姓名及学号，第10至第59字符列出的是甲所做的第1至第50题的答案。

若试题数超过50，则第2，第3……纪录分别给出他的第51至第100，第101至第150……题的解答。

然后是学生乙的答卷记录。

4) 学生人数不超过200，试题数不超过999。

5) 程序的输出有4个报告：a) 按学号排列的成绩单，列出每个学生的成绩、名次。

b) 按学生成绩排序的成绩单。

c) 平均分数及标准偏差的报告。

d) 试题分析报告。

按试题号排序，列出各题学生答对的百分比。

解答：分别考虑输入条件和输出条件，以及边界条件。

给出下表所示的输入条件及相应的测试用例。

输出条件及相应的测试用例表。

通过上面表中列出的43个测试用例可以发现程序中大部分常见的错误。

如果采用随机和任意方法设计测试用例，不一定会发现这些错误。

如果使用得当，采用边界分析法的测试用例是很有效的。

在边界情况复杂的情况下，要找出适当的测试用例还需针对问题的输入域、输出域边界、耐心细致的逐个考虑。

补充（错误推测法）：例2：三角形问题的边界值分析测试用例在三角形问题描述中，除了要求边长是整数外，没有给出其它的限制条件。

• 练习：有函数f(x,y,z)，其中 x∈[1900,2100]，y∈[1,12]，z∈[1,31] 的。请写出该函数采用边界值分析法设 计的测试用例。
练习答案
{ <2000,6,1>, <2000,6,0>, <2000,6,32>, <2000,6,31>, <2000,1,15>, <2000,0,15>, <2000,13,15>, <2000,12,15>, <1900,6,15>, <1899,6,15>, <2101,6,15>, <2100,6,15>, <2000,6,15> }
健壮性测试
• 健壮性测试是作为边界值分析的一个简单的扩充，它除了 对变量的5个边界值分析取值外，还需要增加一个略小于 最大值(max-)以及略大于最小值(min+)的取值，检查极限 值时系统的情况。因此，对于有n个变量的函数采用健壮 性测试需要6n+1个测试用例。 • 前面例1中的程序F的健壮性测试如下图所示：
说明
④学生人数不超过200，试题数不超过999。 ⑤程序的输出有4个报告： a)按学号排列的成绩单，列出每个学生的成绩、 名次。 b)按学生成绩排序的成绩单。 c)平均分数及标准偏差的报告。 d)试题分析报告。按试题号排序，列出各题学生 答对的百分比。 请使用边界值分析法来设计测试用例。
分析
分别考虑输入条件和输出条件，以 及边界条件。给出下表所示的输入条件 及相应的测试用例。
结论：对大小范围边界测试时，需要取比下 边界小1的值、下边界、中间值、上边界、 比上边界大1的值这5个值进行测试。

等价类和边界值方法的结合例题等价类和边界值方法的结合例题：让测试不再头疼的神奇秘籍嗨，亲爱的小伙伴们！今天我要给你们分享一个超级厉害的测试方法，那就是等价类和边界值方法的结合。

这就像是给你的测试工作来了一场魔法变身，让那些隐藏的小怪兽（bug）无处可逃！首先咱们来聊聊啥是等价类。

想象一下，你面前有一堆水果，有苹果、香蕉、橙子、梨。

如果咱们把水果按照能剥皮和不能剥皮来分类，那能剥皮的就是一类，不能剥皮的就是另一类。

这就是等价类啦，就是把输入的东西按照相似的特性分成几类。

比如说，咱们要测试一个登录功能，用户名要求是 6 - 12 位的字母和数字组合。

那等价类就可以分为：有效的用户名（6 - 12 位的字母和数字组合）、太短的用户名（小于 6 位）、太长的用户名（大于 12 位）、包含非法字符的用户名（比如有特殊符号）。

接下来就是边界值啦！这就像是走钢丝，钢丝的两端就是边界。

比如说用户名要求是 6 - 12 位，那边界值就是 6 位、12 位，还有 5 位、13 位。

好啦，现在咱们来看看怎么把这俩结合起来搞个例题。

假设咱们要测试一个购物车结算功能，商品数量输入范围是 1 - 100 件。

第一步，先划分等价类。

有效等价类就是 1 - 100 件的输入，无效等价类呢，有小于 1 件（比如 0 件），大于 100 件（比如 101 件），还有非数字的输入（比如字母啥的）。

第二步，确定边界值。

那就是 1 件、100 件、0 件、101 件。

第三步，开始测试啦！先试试有效等价类里的中间值，比如50 件，看看有没有问题。

然后再试试边界值，输入 1 件，看看能不能正常结算；输入 100 件，瞅瞅有没有异常。

接着输入 0 件，看看系统会不会报错；最后输入 101 件，瞧瞧是不是会有提示说数量不对。

我跟你们说，我之前有一次测试的时候，就忘了考虑边界值，结果上线后，有个用户一下子买了 1000 件商品，系统直接崩溃啦！老板那个脸拉得比驴脸还长，我那叫一个惨哟！再给你们举个例子，比如说测试一个输入年龄的功能，范围是 18 - 60 岁。

测试用例模拟题选择题（针对以下题目，请选择最符合题目要求的答案。

针对每一道题目，所有答案都选对，则该题得分，所选答案错误或不能选出所有答案，则该题不得分。

其中第1—10题每题1分，其余每题1.5分，共100分）1) 下列对于测试用例的描述中，正确的是（）。

（选择一项）a) 在测试过程中，测试用例是一成不变的b) 测试用例模板是不能改变的c) 编写测试用例不需要参照需求d) 参考手册测试用例需要不断更新和维护2) 划分等价类要（）。

（选择一项）a) 只考虑有效等价类b) 只考虑无效等价类c) 既考虑有效等价类，也考虑无效等价类d) 考虑输入条件之间的联系3) 下列对于等价类的描述中，正确的是（）。

（选择一项）a) 等价类数据测试的内容完全不同b) 等价类中的一个测试能捕获缺陷，那么该等价类中的其它测试也能捕获缺陷c) 如果输入条件是一个布尔量，则不能确定等价类d) 如果输入条件说明了一个必须成立的情况，则不能确定等价类4) 输入长度在20到100个字符的字符串，使用边界值法的边界值是（）。

（选择一项）a) 20b) 25c) 90d) 不能确定5) 下列不属于因果图法的步骤有（）。

（选择一项）a) 画出因果图b) 转换成判定表c) 把判定表中的每一列拿出来作为依据，设计测试用例d) 把判定表中的每一行拿出来作为依据，设计测试用例6) 下列关于随机测试的描述中正确的是（）。

（选择一项）a) 可以度量随机测试实际覆盖率b) 许多测试都是冗余的c) 重复测试是不可能的d) 确定预期结果不会花费大量时间7) 通过测试主要用于验证（）。

（选择一项）a) 一个系统不会做不需要它做的事b) 系统和需求是否一致c) 随机数据会产生哪些结果d) 直觉推测产生哪些错误8) 错误猜想主要用于验证（）。

（选择一项）a) 一个系统不会做不需要它做的事b) 系统和需求是否一致c) 随机数据会产生哪些结果d) 直觉推测可能产生哪些错误9) 下列叙述中，哪些属于等价类数据的共同特点（）。

边界条件


通常情况，软件测试所包含的边界检验有几种类型：数字、字 符、位置、重量、大小、速度、方位、尺寸、空间等 相应地，以上类型的边界值应该在：最大/最小、首位/需求规格说明 末位、 上/下、最快/最慢、最高/最低、 最短/最长、 空/满等
项 字符 边界值 起始-1个字 符/结束 +1个字符 最小值-1/最 大值+1 测试用例的设计思路 假设一个文本输入区域允许输入1个到255个字符，输入1 个和255个字符作为有效等价类；输入0个和256个字 符作为无效等价类，这几个数值都属于边界条件值。 假设某软件的数据输入域要求输入5位的数据值，可以使 用10000作为最小值、99999作为最大值；然后使用刚 好小于5位和大于5位的数值来作为边界条件。 例如在用U盘存储数据时，使用比剩余磁盘空间大一点（ 几KB）的文件作为边界条件。
等价类划分的方法
1、明确输入条件规定的取值范围或值的个数 2、确立一个有效等价类和两个无效等价类。 如：有一个文本框，要求输入值是学生成绩 A. 明确成绩的范围是0～100； B. 有效等价类 0《成绩《100 C. 无效等价类 1 成绩<0 无效等价类 2 成绩>100
等价类划分的方法


输入条件规定了输入值的集合或者规定了 “必须如何”的条件的情况下，可确立一个有 效等价类和一个无效等价类； 如 用户密码 当输入条件是一个布尔量且限制是以单选 方式输入时，可确定两个有效等价类。 如 性别以单选按钮选择或下拉框选择
2
规定值的个数
3
根据规格说明书的每个输出条件，使用 原则1、 2 输入或输出是个有 序集合 程序中使用一个内 部数据结构 集合的第一个、最后一个 元素 内部数据结构边界上的值

项⽬：NextDate（）函数-等价类、边界值法（student）项⽬：NextDate( )函数测试需求：NextDate 函数包含三个变量：month 、day 和year ，函数的输出为输⼊⽇期后⼀天的⽇期。

例如，输⼊为2006年3⽉7⽇，则函数的输出为2006年3⽉8⽇。

要求输⼊变量month 、day 和year 均为整数值，并且满⾜下列条件：①1≤month≤12②1≤day≤31③1912≤year≤2050要求：⿊盒测试、等价类划分法、边界值分析法分析：此函数的主要特点是输⼊变量之间的逻辑关系⽐较复杂。

复杂性的来源有两个：⼀个是输⼊域的复杂性，另⼀个是指闰年的规则。

例如变量year和变量month取不同的值，对应的变量day会有不同的取值范围，day值的范围可能是1～30或1～31，也可能是1～28或1～29。

⼀、等价类划分法设计测试⽤例1、简单等价类划分测试NextDate函数分析：(1)有效等价类知识点：有效等价类是指对软件规格说明⽽⾔，由有意义的、合理的输⼊数据所组成的集合。

利⽤有效等价类，能够检验程序是否实现了规格说明中预先规定的功能和性能。

简单等价类划分测试NextDate函数可以划分以下三种有效等价类：M1＝{month：1≤month≤12}D1＝{day：1≤day≤31}Y1＝{year：1912≤year≤2050}(2)⽆效等价类知识点：⽆效等价类是指对软件规格说明⽽⾔，由⽆意义的、不合理的输⼊数据所构成的集合。

利⽤⽆效等价类，可以鉴别程序异常处理的情况，检查被测对象的功能和性能的实现是否有不符合规格说明要求的地⽅。

若条件M1,D1,Y1中任何⼀个条件⽆效，那么NextDate 函数都会产⽣⼀个输出，指明相应的变量超出取值范围，例如month 的值不在1～12 范围当中。

显然还存在着⼤量的year 、month 、day 的⽆效组合，NextDate 函数将这些组合统⼀输出为：“⽆效输⼊⽇期”。

50
50
非三角形
29
练习
某程序要求输入三个整数x、y、z，分别作 为长方体的长、宽、高，x、y、z的取值范 围在2～20之间，计算长方体的体积。
30
测试用例
x
y
z
预期输出
TC1
1
10
10
x值超出范围
TC2
2
10
10
200
TC3
3
10
10
300
TC4
10
10
10
1000
TC5
19
10
10
1900
TC6
z
122
A
65
{
123
15
其他边界值检验 包括默认值/空值/空格/未输入值/零、
无效数据/不正确数据和干扰数据等。
在实际的测试用例设计中，需要将基 本的软件设计要求和程序定义的要求结合 起来，即结合基本边界值条件和子边界值 条件来设计有效的测试用例。
16
选择测试用例的原则：
(1) 如果输入条件规定了值的范围，则应取刚达 到这个范围的边界值以及刚刚超过这个范围边界 的值作为测试输入数据。 (2) 如果输入条件规定了值的个数，则用最大个 数、最小个数和比最大个数多1个、比最小个数 少1个的数作为测试数据。 (3) 根据程序规格说明的每个输出条件，使用原 则(1)。
60
60
2
等腰三角形
T03
60
60
60
等边三角形
T04
50
50
99
等腰三角形
T05
50
50
100
非三角形
T06
60
1

场景法题库一、选择题1.场景法一般包含哪两种流？A. 基本流和异常流B. 备选流和异常流C. 基本流和备选流D. 主流和支流答案：C2.在使用场景法设计测试用例时，以下哪个步骤不是必须的？A. 理解需求，确定业务流程B. 绘制流程图，确认流程路径C. 对每个测试用例进行详细的代码审查D. 根据业务流程图，抽取测试路径答案：C3.场景法最适合应用于以下哪种类型的软件测试？A. 单元测试B. 集成测试C. 业务流程测试D. 压力测试答案：C二、填空题4.场景法是通过描述流经用例的______来确定的过程，这个流经过程要从用例开始到结束遍历其中所有______和______。

答案：路径；基本流；备选流5.在使用场景法设计测试用例时，需要模拟用户的______操作和______操作。

答案：正确；错误6.场景业务流通常分为______、______和异常流程。

答案：基本流；备选流三、简答题7.请简述场景法的核心概念。

答案：场景法的核心概念包括基本流、备选流和异常流程。

基本流表示通过业务流程时输入都正确，能达到目标的流程；备选流表示通过业务流程时输入错误（或者操作错误）导致流程存在反复，但是经过纠正后仍能达到目标的流程；异常流表示通过业务流程时输入错误（或者操作错误）产生异常终止流程。

8.请描述使用场景法设计测试用例的一般步骤。

答案：使用场景法设计测试用例的一般步骤包括：（1）理解需求，确定业务流程（基本流程、备选流程、异常流程）。

（2）绘制流程图，再次确认流程路径，根据基本流和备选流，生成场景（熟练后，可直接进行此步）。

（3）根据业务流程图，抽取测试路径（每一路径需含一个未走过的路径）。

（4）细化路径，利用等价类边界值方法细化路径，抽取测试用例，根据场景，编写用例。

9.请给出一个使用场景法设计测试用例的实例。

答案：以下是一个使用场景法设计测试用例的实例：场景描述：用户进入网上购物系统网站进行购物，选好物品后进行购买，这时需要使用账号登录，登录成功后付款，交易成功后生成订单，完成此次购物活动。

摘要薛定谔方程是物理系统中量子力学的基础方程，它可以清楚地说明量子在系统中随时间变化的规律。

通过求解微观系统所对应的薛定谔方程，我们能够得到其波函数以及对应的能量，从而计算粒子的分布概率，进一步来了解其性质。

在化学和物理等诸多科学研究领域当中，薛定谔方程求解的结果都与实际很相符。

近年来，很多学者通过各种方法研究具有复杂势函数的薛定谔方程，解释了很多重要的物理现象，因此对薛定谔方程的求解具有相当重要的意义。

本文主要是用Galerkin-Chebyshev谱方法和边界值法求解二维薛定谔方程。

首先运用Galerkin-Chebyshev谱方法来对空间导数进行近似，离散二维薛定谔方程，从而将原问题转化为复数域上的线性常微分方程组。

然后用边界值法求解该方程组，所求得的数值解即为原问题的解，之后进行误差分析。

最后利用Matlab进行数值模拟，给出数值解的图像以及误差曲面图像，结果显示此方法精度高且具有很好的稳定性。

关键词：薛定谔方程；Galerkin-Chebyshev谱方法；边界值法；数值解；精度高；稳定AbstractThe Schrödinger equation is the basic equations of quantum mechanics in the physical system. It can clearly describe the regular of the quantum evolves over time. By solving the Schrödinger equation which the micro system correspond, we can get the wave function and energy, and thus calculate the probability distribution of the particles, further understand the nature of it.In chemistry, physics and other fields of scientific research, the results of solving the Schrodinger equation are basically consistent with the actual.In recent years, many researchers used a variety of methods to investigate the Schrödinger equation with complex potential function, and explained a lot of important phenomena.Thus solving the Schrödinger equation has very important significance.The main purpose of this paper is to solve the two dimensional Schrödinger equation through the Galerkin-Chebyshev spectral method and the boundary value method. First we use the spectral method to approximate the spatial derivation, discretize the two dimensional Schrödinger equation，and transform the original problem into a set of linear ordinary differential equations in the complex number field.Then by using the boundary value method to solve the equations, that the numerical solutions is the solutions of the original problem, and then analyze the error. Finally we use Matlab to conduct the numerical simulation, and give the images of the numerical solutions and errors, which show that the methods have high precision and good stability.Keywords: Schrödinger equation, Galerkin-Chebyshev spectral method, boundary value method, numerical solutions, high precision, stability目录摘要 (I)Abstract (II)第1章绪论 (4)1.1课题研究的背景和意义 (4)1.2国内外研究现状 (5)1.3本文的主要研究内容 (5)第2章预备知识 (7)2.1克罗内克积的简介 (7)2.2Chebyshev多项式介绍及其性质 (8)2.3Chebyshev正交逼近的性质 (9)2.4投影算子的性质 (10)2.5本章小结 (11)第3章Galerkin-Chebyshev谱方法和边界值法 (12)3.1用Galerkin-Chebyshev谱方法求解椭圆型方程 (12)3.2用边界值法求解常微分方程 (13)3.3本章小结 (17)第4章求解二维薛定谔方程 (18)4.1区域和边界条件的处理 (18)4.1.1 区域的处理 (18)4.1.2 边界条件的处理 (20)4.2二维薛定谔方程的求解 (23)4.3误差分析 (24)4.4本章小结 (29)第5章数值模拟 (30)结论 (35)参考文献 (36)哈尔滨工业大学学位论文原创性声明及使用授权说明 .....错误！未定义书签。

精编高考数学30题根据线性规划求最值或范围专题集训含答案例题详解若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥-0020y y x y x 则z=3x-4y 的最小值为________。

解：由题，画出可行域如图目标函数为z=3x-4y ，则直线443z x y -=纵截距越大，值越小 由图可知：在A(1,1)处取最小值，故z min =3×4-4×1=-1巩固练习1、（2023全国乙卷）若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+-≤-739213y x y x y x ，则z=2x-y 的最大值为______。

答案：82、（2023全国甲卷）若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤+-≥+3233321y x y x y x ，设z=3x+2y 的最大值为_________。

答案：153、(2022全国乙卷)若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥+0422y y x y x ，则z=2x-y 的最大值是______。

答案：84、(2022浙江)若实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤-+≥-0207202y x y x x ，则z=3x+4y 的最大值是_____。

答案：185、(2021浙江)若实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤-≥+0132001y x y x x ，则z=x-21y 的最小值是______。

答案：23-6、(2020全国Ⅰ卷)若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥--≤-+0101022y y x y x ，则z=x+7y 的最大值为________。

答案：17、(2020新课标Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥--≥+1211y x y x y x ，则z=x+2y 的最大值是______。

答案：88、(2020新课标Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-≥+1020x y x y x ，则z=3x+2y 的最大值为________。

内部边界值分析


在多数情况下，边界值条件是基于应用程序 的功能设计而需要考虑的因素，可以从软件的 规格说明或常识中得到，也是最终用户可以很 容易发现问题的。 然而，在测试用例设计过程中，某些边界值条 件是不需要呈现给用户的，或者说用户是很难 注意到的，但同时确实属于检验范畴内的边界 条件，称为内部边界值条件或子边界值条件。
day
15 15 15 15 15 15
year
预期输出
2001 month超出[1,12] 2001 2001.1.16 2001 2001.2.16 2001 2001.11.16 2001 2001.12.16 2001 month超出[1,12]
作业2

某人事管理系统包括内容如下:
边界值分析测试用例
字符的边界值检验：在计算机软件中，字符也是很重要 的表示元素，其中ASCII和Unicode是常见的编码方式。 下表中列出了一些常用字符对应的ASCII码值。
字符
空 (null) 空格 (space) 斜杠 ( / ) 0 冒号 ( : ) @
ASCII码值
0 32 47 48 58 64 A a Z z
字符
ASCII码值
65 97 90 122
单引号 ( ‘ ) 96
测试 限制性用户输入：6位正整数
正常值（有效类）: 边界值: 边界值: 边界值: 边界值: 无效类的值: 无效类的值: X1 = 123123 X2 = 12345 X3 = 1234567 X4 = 1 X5 = 0 X6 = -123123 X7 = asdasd
边界值分析的特点和局限性
对于一个n变量函数，边界值分析会产
生4n＋1个测试用例。 边界值的取值取决于变量本身的性质。 边界值分析对布尔变量没有什么意义。 边界值分析假设变量是完全独立的。

在第一章中我们阐述了薛定谔方程在当前科学研究中的应用，表明求解薛定谔方程具有很深远的意义，还介绍了现阶段求解该方程的主要方法，以及本文即将采用的方法。紧接着在第二章中，我们介绍了本论文所需要的一些预备的基础知识，为后面论文的顺利进行做好准备工作。
在第三章当中，我们采用Galerkin-Chebyshev谱方法求解椭圆型方程，以及用边界值法求解常微分方程，并给出求解特殊常微分方程组的求解格式，这两个方法求解微分方程都具有很高的精度和很好的稳定性。
1.3
本文主要是用Galerkin-Chebyshev谱方法和边界值法求解二维Schrödinger方程，运用Galerkin-Chebyshev谱方法对空间导数进行近似,离散薛定谔方程(1-1)，从而将原问题转化为复数域上的线性常微分方程组，然后再用边界值法求解该方程组，所求得的数值解即为原问题的解，之后再进行误差分析，得到误差分析结果，最后再通过Matlab进行数值模拟，给出数值解的图像以及误差曲面图像。谱方法求解偏微分方程具有高精度的性质，边界值法求解常微分方程同样具有高精度和稳定的特点，这样问题即得到解决。
第四章中，先对原问题进行区域映射处理，以及对边界条件进行齐次化处理以后，然后运用Galerkin-Chebyshev谱方法对二维薛定谔方程进行离散，将其转化成常微分方程组，然后对该微分方程组进行求解，得到数值解，接着对该方法进行误差分析，得到误差估计结果。
第五章进行数值模拟，根据前面的内容，编程得到问题的数值解，并和相应的精确解进行比较，分析其误差，画出误差曲面图像。
最后是本文的一个总结，以及研究此问题的意义和前景展望。
第2章预备知识
2.1
定义2.1[30]：设 是一个 行 列的矩阵， ， 是一个 行 列的矩阵， ，克罗内克积 可以表示成：