2017-2018年安徽省安庆市怀宁二中高二(上)期中数学试卷和答案

2017-2018学年安徽省安庆市怀宁中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设直线ax+by+c=0的倾斜角为α，且sinα+cosα=0，则a，b满足（）A． a+b=1 B． a﹣b=1 C． a+b=0 D． a﹣b=02．从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（） A．至少有一个黒球与都是红球B．至少有一个黒球与都是黒球C．至少有一个黒球与至少有1个红球D．恰有1个黒球与恰有2个黒球3．如图是2010年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A． 84，4.84 B． 84，16 C． 85，1.6 D． 85，84．某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（）A． 90 B． 75 C． 60 D． 455．ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（）A． B． C． D．6．若方程（2m2+m﹣3）x+（m2﹣m）y﹣4m+1=0表示一条直线，则实数m满足（）A． m≠0 B． m≠﹣C． m≠1 D． m≠1，m≠﹣，m≠07．动点A在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点的轨迹方程是（） A．（x+3）2+y2=4 B．（x﹣3）2+y2=1 C．（2x﹣3）2+4y2=1 D．（x+3）2+y2=8．如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是（）A． B． C． D．9．某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A． f（x）= B． f（x）=ln（﹣x）C． f（x）= D． f（x）=10．过直线y=x上的一点P作圆（x﹣5）2+（y﹣1）2=2的两条切线l1，l2，A，B为切点，当直线l1，l2关于直线y=x对称时，则∠APB=（）A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置. 11．某校有学生2000人，其中高三学生500人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本．则样本中高三学生的人数为．12．从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．13．如果执行如图的程序框图，输出的S值14．已知直线l过点P（3，2），且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图表所示，则△ABO的面积的最小值为．15．已知直线x﹣y﹣1=0及直线x﹣y﹣5=0截圆C所得的弦长均为10，则圆C的面积是．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.16．已知平面内两点A（8，﹣6），B（2，2）．（Ⅰ）求AB的中垂线方程；（Ⅱ）求过P（2，﹣3）点且与直线AB平行的直线l的方程；（Ⅲ）一束光线从B点射向（Ⅱ）中的直线l，若反射光线过点A，求反射光线所在的直线方程．17．已知圆C经过点A（1，3），B（5，1），且圆心C在直线x﹣y+1=0上．（1）求圆C的方程；（2）设直线l经过点（0，3），且l与圆C相切，求直线l的方程．18．某城市连锁经营公司所属的5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：（2）求利润额y对销售额x的回归直线方程．（参考：b=，d=﹣b）19．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量的标准．为了确定一个较为合理的标准，必须先了解全市居民日常用水量的分布情况．现采用抽样调查的方式，获得了n位居民某年的月均用水量（单位：t），样本统计结果如图表：分组频数频率[0，1） 25 a[1，2） 0.19[2，3） 50 b[3，4） 0.23[4，5） 0.18[5，6] 5（Ⅰ）分别求出n，a，b的值；（Ⅱ）若从样本中月均用水量在[5，6]（单位：t）的5位居民中任选2人作进一步的调查研究，求月均用水量最多的居民被选中的频率（5位居民的月均用水量均不相等．）20．设M点的坐标为（x，y）．（1）设集合P={﹣4，﹣3，﹣2，0}，Q={0，1，2}，从集合P中随机取一个数作为x，从集合Q中取随机取一个数作为y，求M点落在y轴的概率；（2）设x∈[0，3]，y∈[0，4]，求点M落在不等式组：所表示的平面区域内的概率．21．对任意函数f（x），x∈D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1=f（x0）；②若x1∉D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2=f（x1），并依此规律继续下去．现定义f（x）=（1）若输出x0=，则由数列发生器产生数列{x n}．请写出数列{x n}的所有项；（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输出的初始数据x0的值；（3）是否存在 x0，在输入数据x0时，该数列发生器产生一个各项均为负数的无穷数列？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．2017-2018学年安徽省安庆市怀宁中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设直线ax+by+c=0的倾斜角为α，且sinα+cosα=0，则a，b满足（）A． a+b=1 B． a﹣b=1 C． a+b=0 D． a﹣b=0考点：直线的倾斜角．专题：计算题．分析：由sinα+cosα=0，我们易得tanα=﹣1，即函数的斜率为﹣1，进而可以得到a，b 的关系．解答：解：∵sinα+cosα=0∴tanα=﹣1，k=﹣1，﹣=﹣1，a=b，a﹣b=0故选D．点评：本题考查的知识点是同角三角函数关系及直线的倾斜角，根据已知求出直线的斜率，再根据倾斜角与斜率之间的关系是解答的关键．2．从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（） A．至少有一个黒球与都是红球B．至少有一个黒球与都是黒球C．至少有一个黒球与至少有1个红球D．恰有1个黒球与恰有2个黒球考点：互斥事件与对立事件．专题：阅读型．分析：互斥事件是两个事件不包括共同的事件，对立事件首先是互斥事件，再就是两个事件的和事件是全集，由此规律对四个选项逐一验证即可得到答案．解答：解：A中的两个事件是对立事件，故不符合要求；B中的两个事件是包含关系，不是互斥事件，故不符合要求；C中的两个事件都包含一个黑球一个红球的事件，不是互斥关系；D中的两个事件是互互斥且不对立的关系，故正确．故选D点评：本题考查互斥事件与对立事件，解题的关键是理解两个事件的定义及两事件之间的关系．属于基本概念型题．3．如图是2010年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A． 84，4.84 B． 84，16 C． 85，1.6 D． 85，8考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：根据均值与方差的计算公式，分布计算出所剩数据的平均数和方差分即可．解答：解：根据题意可得：评委为某选手打出的分数还剩84，84，86，84，87，所以所剩数据的平均数为（84+84+86+84+87）=85，所剩数据的方差为[（84﹣85）2+（84﹣85）2+86﹣85）2+（84﹣85）2+（87﹣85）2]==1.6．故答案为 C点评：解决此类问题的根据是熟练掌握均值与方差的计算公式，并且要结合正确的计算．4．某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（）A． 90 B． 75 C． 60 D． 45考点：频率分布直方图；收集数据的方法．专题：概率与统计．分析：根据小长方形的面积=组距×求出频率，再根据求出频数，建立等式关系，解之即可．解答：解：净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数设为N2，产品净重小于100克的个数设为N1=36，样本容量为N，则，故选A．点评：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．对于总体分布，总是用样本的频率分布对它进行估计，频率分布直方图：小长方形的面积=组距×，各个矩形面积之和等于1，，即，属于基础题．5．ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（）A． B． C． D．考点：几何概型．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出点到O的距离大于1的点对应的图形的面积，并将其和长方形面积一齐代入几何概型计算公式进行求解．解答：解：已知如图所示：长方形面积为2，以O为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分（半圆）面积为因此取到的点到O的距离大于1的概率P==1﹣故选B．点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．6．若方程（2m2+m﹣3）x+（m2﹣m）y﹣4m+1=0表示一条直线，则实数m满足（）A． m≠0 B． m≠﹣C． m≠1 D． m≠1，m≠﹣，m≠0考点：确定直线位置的几何要素．分析：明确Ax+By+C=0表示直线的条件是A、B不同时为0，则由2m2+m﹣3与m2﹣m同时为0，求出2m2+m﹣3与m2﹣m不同时为0时m的取值范围．解答：解：若方程（2m2+m﹣3）x+（m2﹣m）y﹣4m+1=0表示一条直线，则2m2+m﹣3与m2﹣m不同时为0，而由得m=1，所以m≠1时，2m2+m﹣3与m2﹣m不同时为0．故选C．点评：本题主要考查Ax+By+C=0表示直线的条件，同时考查解方程组及补集知识．7．动点A在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点的轨迹方程是（） A．（x+3）2+y2=4 B．（x﹣3）2+y2=1 C．（2x﹣3）2+4y2=1 D．（x+3）2+y2=考点：轨迹方程；中点坐标公式．专题：计算题．分析：根据已知，设出AB中点M的坐标（x，y），根据中点坐标公式求出点A的坐标，根据点A在圆x2+y2=1上，代入圆的方程即可求得中点M的轨迹方程．解答：解：设中点M（x，y），则动点A（2x﹣3，2y），∵A在圆x2+y2=1上，∴（2x﹣3）2+（2y）2=1，即（2x﹣3）2+4y2=1．故选C．点评：此题是个基础题．考查代入法求轨迹方程和中点坐标公式，体现了数形结合的思想以及分析解决问题的能力．8．如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是（）A． B． C． D．考点：简单线性规划．专题：转化思想．分析：表示圆上动点与原点O连线的斜率，画出满足等式（x﹣2）2+y2=3的图形，由数形结合，我们易求出的最大值．解答：解：满足等式（x﹣2）2+y2=3的图形如图所示：表示圆上动点与原点O连线的斜率，由图可得动点与B重合时，此时OB与圆相切，取最大值，连接BC，在Rt△OBC中，BC=，OC=2易得∠BOC=60°此时=故选D点评：本题考查的知识点是简单线性规划，分析出表示圆上动点与原点O连线的斜率，是解答本题的关键．9．某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A． f（x）= B． f（x）=ln（﹣x）C． f（x）= D． f（x）=考点：程序框图．专题：计算题；算法和程序框图．分析：本题的框图是一个选择结构，其算法是找出即是奇函数存在零点的函数，由此规则对四个选项进行比对，即可得出正确选项．解答：解：由框图知，其算法是输出出即是奇函数存在零点的函数，A中，函数f（x）=不能输出，因为此函数没有零点；A不正确．B中，函数f（x）=ln（﹣x）可以输出，∵f（﹣x）=lg（+x）=﹣f （x）发现，函数是奇函数且当x=0时函数值为0，故B正确；C中，函数f（x）=，不能输出，因为不存在零点；C不正确．D中，函数f（x）=，不能输出，因为它是偶函数，不是奇函数，D不正确．故选B．点评：本题考查选择结构，解答本题的关键是根据框图得出函数所满足的性质，然后比对四个选项中的函数，对四个函数的性质比较了解也是判断出正确答案的关键．10．过直线y=x上的一点P作圆（x﹣5）2+（y﹣1）2=2的两条切线l1，l2，A，B为切点，当直线l1，l2关于直线y=x对称时，则∠APB=（）A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：判断圆心与直线的关系，在直线上求出特殊点，P的方程，利用切线长、半径以及该点与圆形连线构成直角三角形，求出∠APB的值．解答：解：显然圆心（5，1）不在直线y=x上．由对称性可知，只有直线y=x上的特殊点，这个点与圆心连线垂直于直线y=x，从这点做切线才能关于直线y=x对称．所以该点与圆形连线所在的直线方程为：y﹣5=﹣（x﹣1）即 y=6﹣x与 y=x联立可求出该点坐标为（3，3），所以该点到圆心的距离为（（5﹣3）2+（1﹣3）2=2切线长、半径以及该点与圆形连线构成直角三角形，又知圆的半径为．所以夹角的一半的正弦值为=所以夹角∠APB=60°故选C．点评：本题是中档题，考查直线与圆的位置关系，直线与圆相切的关系的应用，考查计算能力，常考题型．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置. 11．某校有学生2000人，其中高三学生500人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本．则样本中高三学生的人数为50 ．考点：分层抽样方法．专题：计算题．分析：分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等．解答：解：分层抽样即是按比例抽样，易知抽样比例为2000：200=10：1，故500名高三学生应抽取的人数为=50人．故答案为：50点评：本题是分层抽样的相关知识．容易出错的是不理解分层抽样的含义或与其它混淆．抽样方法是数学中的一个小知识点，但一般不难，故也是一个重要的得分点，不容错过．12．从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题．分析：本题是一个古典概率试验发生包含的基本事件可以列举出共4种；而满足条件的事件是可以构成三角形的事件可以列举出共3种；根据古典概型概率公式得到结果．解答：解：由题意知，本题是一个古典概率∵试验发生包含的基本事件为2，3，4；2，3，5；2，4，5；3，4，5共4种；而满足条件的事件是可以构成三角形的事件为2，3，4；2，4，5；3，4，5共3种；∴以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．故答案为：点评：本题考查古典概型，考查三角形成立的条件，是一个综合题，解题的关键是正确数出组成三角形的个数，要做到不重不漏，要遵循三角形三边之间的关系．13．如果执行如图的程序框图，输出的S值111考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，写出每次循环得到的S，k的值，当k=11时不满足条件k≤10，输出S的值为111．解答：解：执行程序框图，有k=1，S=1满足条件k≤10，有S=3，k=2；满足条件k≤10，有S=7，k=3；满足条件k≤10，有S=13，k=4；满足条件k≤10，有S=21，k=5；满足条件k≤10，有S=31，k=6；满足条件k≤10，有S=43，k=7；满足条件k≤10，有S=57，k=8；满足条件k≤10，有S=73，k=9；满足条件k≤10，有S=91，k=10；满足条件k≤10，有S=111，k=11；不满足条件k≤10，输出S的值为111．故答案为：111．点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．14．已知直线l过点P（3，2），且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图表所示，则△ABO的面积的最小值为12 ．考点：直线的截距式方程．专题：直线与圆．分析：写出直线方程的截距式，代入的坐标，利用基本不等式求得使△ABO的面积取最小值时直线在两坐标轴上的截距，代入三角形的面积公式得答案．解答：解：设直线l的方程为，∵直线l过点P（3，2），∴，∴1=，则ab≥24，当且仅当，即a=6，b=4时上式等号成立．∴△ABO的面积的最小值为．故答案为：12．点评：本题考查了直线的截距式方程，考查了利用基本不等式求最值，是基础题．15．已知直线x﹣y﹣1=0及直线x﹣y﹣5=0截圆C所得的弦长均为10，则圆C的面积是27π．考点：圆的一般方程．专题：直线与圆．分析：求出两条平行直线直线x﹣y﹣1=0及直线x﹣y﹣5=0之间的距离为2d，可得弦心距d=，利用弦长公式求出半径r的值，可得圆C的面积．解答：解：两条平行直线直线x﹣y﹣1=0及直线x﹣y﹣5=0之间的距离为2d==2，∴弦心距d=∴半径r==∴圆C的面积是π•r2=27π，故答案为：27π．点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，两条平行直线间的距离公式，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.16．已知平面内两点A（8，﹣6），B（2，2）．（Ⅰ）求AB的中垂线方程；（Ⅱ）求过P（2，﹣3）点且与直线AB平行的直线l的方程；（Ⅲ）一束光线从B点射向（Ⅱ）中的直线l，若反射光线过点A，求反射光线所在的直线方程．考点：与直线关于点、直线对称的直线方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：（I）先由中点坐标公式求出中点坐标，然后根据垂直求出中垂线的斜率，进而由点斜式求出直线方程；（II）根据平行得出斜率，从而由点斜式求出直线方程；（III）求得点B关于直线l的对称点B'的坐标，然后求出斜率，再由点斜式求出直线方程即可．解答：解：（Ⅰ），，∴AB的中点坐标为（5，﹣2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分），∴AB的中垂线斜率为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴由点斜式可得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∴AB的中垂线方程为3x﹣4y﹣23=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）由点斜式﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∴直线l的方程4x+3y+1=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅲ）设B（2，2）关于直线l的对称点B'（m，n）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）解得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）由点斜式可得，整理得11x+27y+74=0∴反射光线所在的直线方程为11x+27y+74=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题主要考查求一个点关于直线的对称点的坐标，用点斜式求直线的方程，属于中档题．17．已知圆C经过点A（1，3），B（5，1），且圆心C在直线x﹣y+1=0上．（1）求圆C的方程；（2）设直线l经过点（0，3），且l与圆C相切，求直线l的方程．考点：圆的标准方程；圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：（1）根据圆心在直线x﹣y+1=0上，设出圆心坐标，设出圆的半径，得到圆的标准方程，然后把点A，B的坐标代入圆的方程，求解方程组即可得到待求系数，则方程可求；（2）分斜率存在和不存在写出切线方程，当斜率不存在时，验证知符合题意，当斜率存在时，利用圆心到直线的距离等于半径可求k的值，所以圆的切线方程可求．解答：解：（1）因为圆心C在直线x﹣y+1=0上，所以设圆C的圆心C（a，a+1），半径为r （r＞0），所以圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣a﹣1）2=r2．因为圆C经过点A（1，3），B（5，1），所以，，即，解得：．所以，圆C的方程为（x﹣5）2+（y﹣6）2=25；（2）由题意设直线l的方程为y=kx+3，或x=0当l的方程为x=0时，验证知l与圆C相切．当l的方程为y=kx+3，即kx﹣y+3=0时，圆心C到直线l的距离为d=，解得：．所以，l的方程为，即8x+15y﹣45=0．所以，直线l的方程为x=0，或8x+15y﹣45=0．点评：本题考查用待定系数法求圆的方程，一般可通过已知条件，设出所求方程，再寻求方程组进行求解．考查了过定点的圆的切线方程的求法，注意分类讨论，利用点到直线的距离等于半径比联立方程后让判别式等于0要简洁．此题是中档题．（1）画出销售额和利润额的散点图，并判断销售额和利润额是否具有相关关系；（2）求利润额y对销售额x的回归直线方程．（参考：b=，d=﹣b）考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）画出散点图如图；（2）先求出x，y的均值，再由公式计算出系数的值，即可求出线性回归方程．解答：解：（1）根据所给的五组数据，得到五个有序数对，在平面直角坐标系中画出点，得到散点图．（五个点中，有错的，不能得（2分），有两个或两个以上对的，至少得1分）两个变量符合正相关…（3分）（2）由题意，=6，=3.4，（4分）∴b==0.5…（6分）a=0.4∴y对销售额x的回归直线方程为：y=0.5x+0.4…（10分）点评：本题考查线性回归方程，解题的关键是掌握住线性回归方程中系数的求法公式及线性回归方程的形式，按公式中的计算方法求得相关的系数，得出线性回归方程．19．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量的标准．为了确定一个较为合理的标准，必须先了解全市居民日常用水量的分布情况．现采用抽样调查的方式，获得了n位居民某年的月均用水量（单位：t），样本统计结果如图表：分组频数频率[0，1） 25 a[1，2）38 0.19[2，3） 50 b[3，4）46 0.23[4，5）36 0.18[5，6] 5 0.025（Ⅰ）分别求出n，a，b的值；（Ⅱ）若从样本中月均用水量在[5，6]（单位：t）的5位居民中任选2人作进一步的调查研究，求月均用水量最多的居民被选中的频率（5位居民的月均用水量均不相等．）考点：频率分布直方图；频率分布表．专题：概率与统计．分析：（I）从直方图中得在[2，3）小组中的频率，利用频率分布直方图中小长方形的面积=组距×=频率求出b，再利用样本容量等于频数除以频率得出n，最后求出a处的数；（II）设A，B，C，D，E代表用水量从多到少的5位居民，从中任选2为，总的基本事件为AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个，包含A的有AB，AC，AD，AE共4个，根据古典概率计算公式计算即可．解答：解：（I）根据频率分布直方图中小长方形的面积=组距×=频率，从直方图中得在[2，3）小组中的频率为0.25×1=0.25，即b=0.25从而n==200，a==0.125．∴n=200，a=0.125，b=0.25．（II）设A，B，C，D，E代表用水量从多到少的5位居民，从中任选2为，总的基本事件为AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个，包含A的有AB，AC，AD，AE共4个，所以．即为月均用水量最多的居民被选中的频率．点评：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积=组距×=频率，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求频率，属于常规题型．20．设M点的坐标为（x，y）．（1）设集合P={﹣4，﹣3，﹣2，0}，Q={0，1，2}，从集合P中随机取一个数作为x，从集合Q中取随机取一个数作为y，求M点落在y轴的概率；（2）设x∈[0，3]，y∈[0，4]，求点M落在不等式组：所表示的平面区域内的概率．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：（1）总的基本事件共4×3=12种，所求事件包含3个，由古典概型公式可得；（2）点M均匀地分布在x∈[0，3]，y∈[0，4]所表示的平面区域内，而所求事件构成的平面区域是由不等式组表示的平面区域，作图求面积可得．解答：解：（1）记“M点落在y轴”为事件A．M点的组成情况共4×3=12种，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型．其中事件A包含的基本事件有（0，0），（0，1），（0，2）共3个．∴P（A）==．（2）依条件可知，点M均匀地分布在x∈[0，3]，y∈[0，4]所表示的平面区域内，属于几何概型．该平面区域的图形为矩形围成的区域，其面积为S=3×4=12．而所求事件构成的平面区域是由不等式组表示的平面区域（如图阴影），联立，可解的A（1，1），∴S阴影=×（1+）×1+×1×1=，∴所求事件的概率为．点评：本题考查古典概型和几何概型，涉及不等式组表示平面区域，作图是解决问题的关键，属中档题．21．对任意函数f（x），x∈D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1=f（x0）；②若x1∉D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2=f（x1），并依此规律继续下去．现定义f（x）=（1）若输出x0=，则由数列发生器产生数列{x n}．请写出数列{x n}的所有项；（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输出的初始数据x0的值；（3）是否存在 x0，在输入数据x0时，该数列发生器产生一个各项均为负数的无穷数列？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．考点：程序框图．专题：压轴题．分析：（1）利用f（x）=，x0=及工作原理，注意函数的定义域，直接可求得数列{x n}的只有三项；（2）要数列发生器产生一个无穷的常数列，则有f（x）=，从而求出相应的初始数据x0的值；（3）设 x0＜0，（n∈N*），验证可知同时x1，x2，x3使为负数的x0不存在，故所求的x0不存在．解答：解：（1）因为f（x）的定义域D=（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），所以数列{x n}只有三项x1=，x2=，x3=﹣1．（2）因为f（x）=，即x2﹣3x+2=0，所以x=1或x=2，即x0=1或x0=2时，，故当x0=1时，x n=1；当x0=2时，x n=2（n∈N*）．（3）设 x0＜0，（n∈N*）由x1=＜0，得；由x2=＜0，得；由x3=＜0，得．∵∴同时x1，x2，x3使为负数的x0不存在，故所求的x0不存在．点评：本题是数列与算法的简单结合，应搞清算法原理，将问题等价转化，有一定的难度．。

2017-2018学年高二（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．请将答案填涂在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效）1．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．512．（5分）以下赋值语句书写正确的是（）A．2=a B．a=a+1 C．a*b=2 D．a+1=a3．（5分）某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为（）A．12 B．13 C．14 D．154．（5分）有下面的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在处应添加的条件是（）A．i＞12 B．i＞10 C．i=14 D．i=105．（5分）在样本方差的计算公式s2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]中，数字10和20分别表示样本的（）A．样本容量，方差 B．平均数，样本容量C．标准差，平均数 D．样本容量，平均数6．（5分）如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均分为91，现场做的7个得分的茎叶图（如图）后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x表示，则x的值为（）A．0 B．4 C．5 D．78．（5分）在区间[1，6]上随机取一个实数x，使得2x∈[2，4]的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）从有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是黒球B．至少有一个红球与都是红球C．至少有一个黒球与至少有1个红球D．恰有1个黒球与恰有2个黒球10．（5分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：若根据上表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，则表中m的值为（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.511．（5分）学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数和平均成绩分别是（）A．45，67 B．50，68 C．55，69 D．60，7012．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4时的值时，V3的值为（）A．﹣845 B．220 C．﹣57 D．34二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号（下面摘取了随机数表第7行至第9行）．84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．14．（5分）将二进制数101101（2）化为十进制数，结果为；再将结果化为8进制数，结果为．15．（5分）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于．16．（5分）某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填，输出的s=．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填在答题卡上对应题号的指定区域内）17．（10分）如图，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，点P在边BC上沿B→C运动，求△ABP的面积小于4的概率．18．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．19．（12分）甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．20．（12分）某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如图该种产品日需求量的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值，并估计日需求量的众数；（Ⅱ）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天的需求量为x件（100≤x≤150），纯利润为S元．（ⅰ）将S表示为x的函数；（ⅱ）根据直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率．21．（12分）运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．22．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y 关于x 的线性回归方程=x +a ，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：b=，a=﹣b ．参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．请将答案填涂在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效）1．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．51【分析】用459除以357，得到商是1，余数是102，用357除以102，得到商是3，余数是51，用102除以51得到商是2，没有余数，得到两个数字的最大公约数是51．【解答】解：∵459÷357=1…102，357÷102=3…51，102÷51=2，∴459和357的最大公约数是51，故选D．【点评】本题考查辗转相除计算最大公约数，本题是一个基础题，是在算法案例中出现的一个案例，近几年在新课标中出现，学生掌握的比较好，若出现一定会得分．2．（5分）以下赋值语句书写正确的是（）A．2=a B．a=a+1 C．a*b=2 D．a+1=a【分析】根据赋值语句的格式，逐一进行分析，即可得到答案．【解答】解：由赋值语句的格式我们可知，赋值语句的赋值号左边必须是一个变量，而右边的运算符号与平常书写的运算符号有所不同．A中左侧是常数，不是变量，格式不对；B中满足赋值语句的格式与要求，正确；C与D中左侧是运算式，不对；故选：B．【点评】本题考查赋值语句，通过对赋值语句定义和格式的把握直接进行判断即可，属于基础题．3．（5分）某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为（）A．12 B．13 C．14 D．15【分析】根据分层抽样的定义，即可得到结论．【解答】解：∵高一240人，高二260人，高三300人，∴按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为×40=13，故选：B．【点评】本题考查了分层抽样的定义和应用问题，是基础题．4．（5分）有下面的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在处应添加的条件是（）A．i＞12 B．i＞10 C．i=14 D．i=10【分析】先根据输出的结果推出循环体执行的次数，再根据s=2+4+6+…+10=30得到程序中UNTIL后面的“条件”．【解答】解：因为输出的结果是30，即s=2+4+6+…+10，需执行5次，则程序中UNTIL后面的“条件”应为i＞10．故选B．【点评】本题主要考查了直到型循环语句，语句的识别问题是一个逆向性思维，一般认为学习是从算法步骤（自然语言）至程序框图，再到算法语言（程序）．如果将程序摆在我们的面前时，从识别逐个语句，整体把握，概括程序的功能．5．（5分）在样本方差的计算公式s2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]中，数字10和20分别表示样本的（）A．样本容量，方差 B．平均数，样本容量C．标准差，平均数 D．样本容量，平均数【分析】方差计算公式：S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，n表示样本容量，为平均数，根据此公式即可得到答案．【解答】解：由于S2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]，所以样本容量是10，平均数是20．故选：D．【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．6．（5分）如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有43种，对于A、B两个方格，由于其大小有序，则可以在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A 方格，小的放进B方格，由组合数公式计算可得其填法数目，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，由分步计数原理可得其填法数目，最后由分步计数原理，计算可得填入A方格的数字大于B方格的数字的填法种数，利用古典概型的概率计算公式求概率．【解答】解：根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有44=256种，对于A、B两个方格，可在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，有C42=6种情况，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4=16种情况，则填入A方格的数字大于B方格的数字的不同的填法共有16×6=96种，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为p=．故选D．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，考查排列、组合的运用，注意题意中数字可以重复的条件，这是易错点，此题是基础题，也是易错题．7．（5分）将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均分为91，现场做的7个得分的茎叶图（如图）后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x表示，则x的值为（）A．0 B．4 C．5 D．7【分析】根据茎叶图提供的数据，去掉1个最高分和1个最低分后，利用公式求平均数可得x的值．【解答】解：选手的7个得分中去掉1个最高分96，去掉1个最低分86，剩余5个得分为88，93，90，94，（90+x）；它们的平均分为=91，∴x=0；故选：A．【点评】本题考查了利用茎叶图求平均数的问题，是基础题．8．（5分）在区间[1，6]上随机取一个实数x，使得2x∈[2，4]的概率为（）A．B．C．D．【分析】使2x∈[2，4]的区间为[1，2]，由此能求出使得2x∈[2，4]的概率．【解答】解：∵2=2¹，4=22∴使2x∈[2，4]的区间为[1，2]，∵x∈[1，6]，且[1，6]长为5，[1，2]长为1∴使得2x∈[2，4]的概率p=．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意几何概型的合理运用．9．（5分）从有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是黒球B．至少有一个红球与都是红球C．至少有一个黒球与至少有1个红球D．恰有1个黒球与恰有2个黒球【分析】利用互斥事件和对立事件的概念求解．【解答】解：在A中，至少有一个黒球与都是黒球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在B中，至少有一个红球与都是红球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在C中，至少有一个黒球与至少有1个红球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在D中，恰有1个黒球与恰有2个黒球不能同时发生，可以同时不发生，两个事件是互斥而不对立事件．故选：D．【点评】本题考查互斥而不对立的两个事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件和对立事件的概念的合理运用．10．（5分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：若根据上表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，则表中m的值为（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.5【分析】先求样本中心点，再代入回归直线方程，即可求得m的值．【解答】解：由题意，，∵y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，∴2.5+0.25m=3.15+0.35，∴m=4．故选A．【点评】本题考查回归直线方程，解题的关键是利用回归直线方程恒过样本中心点，属于基础题．11．（5分）学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数和平均成绩分别是（）A．45，67 B．50，68 C．55，69 D．60，70【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，求出该班的学生数，再计算平均成绩．【解答】解：根据频率分布直方图，得；低于60分的频率是（0.005+0.01）×20=0.3，所以该班的学生人数为=50，；所以，该班的平均成绩为：30×0.005×20+50×0.01×20+70×0.02×20+90×0.015×20=68．故选：B．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，考查了求平均数的计算问题，是基础题目．12．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4时的值时，V3的值为（）A．﹣845 B．220 C．﹣57 D．34【分析】由于多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，可得当x=﹣4时，v0=3，v1=3×（﹣4）+5=﹣7，v2，v3即可得出．【解答】解：∵多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，当x=﹣4时，∴v0=3，v1=3×（﹣4）+5=﹣7，v2=﹣7×（﹣4）+6=34，v3=34×（﹣4）+79=﹣57．故选：C．【点评】本题考查了秦九韶算法计算多项式的值，考查了计算能力，属于基础题．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号785，667，199，507，175（下面摘取了随机数表第7行至第9行）．84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．【分析】找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数667合题意，这样依次读出结果．【解答】解：找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916它大于800要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数667合题意，这样依次读出结果．故答案为：785、667、199、507、175【点评】抽样方法，随机数表的使用，考生不要忽略．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．14．（5分）将二进制数101101（2）化为十进制数，结果为45；再将结果化为8进制数，结果为55（8）．【分析】根据二进制转化为十进制的方法，分别用每位数字乘以权重，累加后即可得到结果；根据“除8取余法”的方法转化为对应的八进制数即可得到结果．【解答】解：101101（2）=1×20+0×21+1×22+1×23+0×24+1×25=1+4+8+32=45．．又45=8×5+5，∴45=55（8）故答案为：45，55．（8）【点评】本题以进位制的转换为背景考查算法的多样性，解题的关键是熟练掌握进位制的转化规则，属于基础题．15．（5分）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于60．【分析】根据比例关系设出各组的频率，在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，求出前三组的频率，再频数和建立等量关系即可．【解答】解：设第一组至第六组数据的频率分别为2x，3x，4x，6x，4x，x，则2x+3x+4x+6x+4x+x=1，解得，所以前三组数据的频率分别是，故前三组数据的频数之和等于=27，解得n=60．故答案为60．【点评】本小题考查频率分布直方图的基础知识，熟练基本公式是解答好本题的关键，属于基础题．16．（5分）某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填i＜7（或i≤6），输出的s=51．【分析】由题意该程序框图实际上是求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故循环次数为6，由于第一次进行循环时，循环变量的初值为1，步长为1，故最后一次进入循环的终值应为6，故不难得到判断框中的条件及输出结果．【解答】解：由题意该程序框图实际上是求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故判断框应填i≤6或i＜7，输出s的值为：9+13+11+7+5+6=51．故答案为：i＜7（或i≤6），51．【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填在答题卡上对应题号的指定区域内）17．（10分）如图，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，点P在边BC上沿B→C运动，求△ABP的面积小于4的概率．【分析】利用线段的长度与面积的关系，直接利用几何概型求解即可．【解答】解：点P在BC边上沿B→C运动，落在BC上的任何一点都是等可能的．全部基本事件可用BC表示．…（2分）设事件M 为“△ABC面积小于4”，则事件M包含的基本事件可用长度为2的线段BP 表示，…（4分）由几何概型可知：即所求事件的概率为．…（10分）【点评】本题主要考查了几何概型．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解．18．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．【分析】（Ⅰ）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；（Ⅱ）先求基本事件总数，即从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出“A1被选中，而B1未被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）设“至少参加一个社团”为事件A；从45名同学中任选一名有45种选法，∴基本事件数为45；通过列表可知事件A的基本事件数为8+2+5=15；这是一个古典概型，∴P（A）=；（Ⅱ）从5名男同学中任选一个有5种选法，从3名女同学中任选一名有3种选法；∴从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人的选法有5×3=15，即基本事件总数为15；设“A1被选中，而B1未被选中”为事件B，显然事件B包含的基本事件数为2；这是一个古典概型，∴．【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，分步计数原理的应用．19．（12分）甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60}做出集合对应的面积是边长为60的正方形的面积，写出满足条件的事件A═{（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15}对应的集合和面积，根据面积之比得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，∵试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60}集合对应的面积是边长为60的正方形的面积SΩ=60×60，而满足条件的事件对应的集合是A={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15}得到S A=60×60﹣（60﹣15）×（60﹣15）∴两人能够会面的概率P==，∴两人能够会面的概率是．【点评】本题的难点是把时间分别用x，y坐标来表示，从而把时间长度这样的一维问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型的几何概型问题．20．（12分）某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如图该种产品日需求量的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值，并估计日需求量的众数；（Ⅱ）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天的需求量为x件（100≤x≤150），纯利润为S元．（ⅰ）将S表示为x的函数；（ⅱ）根据直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率．【分析】（I）根据所有小矩形的面积之和为1，求得第四组的频率，再根据小矩形的高=求a的值；（II）利用分段函数写出S关于x的函数；根据S≥3400得x的范围，利用频率分布直方图求数据在范围内的频率及可得概率．【解答】解：（Ⅰ）由直方图可知：（0.013+0.015+0.017+a+0.030）×10=1，∴a=0.025，∵，∴估计日需求量的众数为125件；（Ⅱ）（ⅰ）当100≤x＜130时，S=30x﹣20（130﹣x）=50x﹣2600，当130≤x≤150时，S=30×130=3900，∴；（ⅱ）若S≥3400由50x﹣2600≥3400得x≥120，∵100≤x≤150，∴120≤x≤150，∴由直方图可知当120≤x≤150时的频率是（0.030+0.025+0.015）×10=0.7，∴可估计当天纯利润S不少于3400元的概率是0.7．【点评】本题考查了由频率分布直方图求频率与众数，考查了分段函数的值域与定义域，在频率分布直方图中小矩形的高=，所有小矩形的面积之和为1．21．（12分）运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．【分析】（I）算法的功能是求f（x）=的值，根据输入实数x 的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7求得a 、b ；（II ）分别在不同的段上求得函数的值域，再求并集．【解答】解：（Ⅰ）由程序框图知：算法的功能是求f （x ）=的值，∵输入x=﹣1＜0，输出f （﹣1）=﹣b=2，∴b=﹣2．∵输入x=3＞0，输出f （3）=a 3﹣1=7，∴a=2． ∴． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：①当x ＜0时，f （x ）=﹣2x ＞1，∴； ②当x ≥0时，f （x ）=2x ﹣1＞1，∴x ＞1．综上满足不等式f （x ）＞1的x 的取值范围为或x ＞1}．【点评】本题借助考查选择结构程序框图，考查了分段函数求值域，解题的关键是利用程序框图求得分段函数的解析式．22．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y 关于x 的线性回归方程=x +a ，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：b=，a=﹣b ．【分析】（1）利用题目条件直接画出散点图即可．（2）利用条件求解回归直线方程的参数，即可．（3）利用回归直线方程求解推出结果即可．【解答】解：（1）散点图如图所示，…（3分）（2）由表中数据得：=52.5，=3.5，=3.5；=54，∴===0.7，，==3.5﹣0.7×3.5=1.05，∴=0.7x+1.05 …（8分）（3）将x=10代入回归直线方程，得=0.7×10+1.05=8.05（小时）预测加工10个零件需要8.05小时．…（12分）【点评】本题考查回归直线方程的求法，散点图的画法，考查计算能力．。

2017-2018学年安徽省安庆市怀宁二中高一（上）期中数学试卷一、选择题（5分×12题=60分）1．（5分）现有以下说法，其中正确的是（）①接近于0的数的全体构成一个集合；②正方体的全体构成一个集合；③未来世界的高科技产品构成一个集合；④不大于3的所有自然数构成一个集合．A．①②B．②③C．③④D．②④2．（5分）设集合M是由不小于的数组成的集合，，则下列关系中正确的是（）A．a∈M B．a∉M C．a=M D．a≠M3．（5分）下列四组函数中，表示相等函数的一组是（）A．f（x）=|x|，B．，C．，g（x）=x+1 D．，4．（5分）下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）=3﹣x B．f（x）=x2﹣3x C．f（x）=﹣D．f（x）=﹣|x| 5．（5分）如图，I是全集，A、B、C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是（）A．（∁I A∩B）∩C B．（∁I B∪A）∩C C．（A∩B）∩∁I C D．（A∩∁I B）∩C 6．（5分）已知函数f（x）是定义在（﹣6，6）上的偶函数，f（x）在[0，6）上是单调函数，且f（﹣2）＜f（1）则下列不等式成立的是（）A．f（﹣1）＜f（1）＜f（3）B．f（2）＜f（3）＜f（﹣4）C．f（﹣2）＜f （0）＜f（1）D．f（5）＜f（﹣3）＜f（﹣1）7．（5分）函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A．B．C．D．8．（5分）若lg2=a，lg3=b，则等于（）A．B．C．D．9．（5分）若函数f（x）=（a﹣3）•a x是指数函数，则f（）的值为（）A．2 B．2 C．﹣2D．﹣210．（5分）已知集合A={x|x2﹣3x+2=0，x∈R），B={x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊊C⊊B的集合C的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．411．（5分）函数的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）12．（5分）已知函数f（x）=是R上的减函数则a的取值范围是（）A．（0，3） B．（0，3]C．（0，2） D．（0，2]二、填空题（5分×4题=20分）13．（5分）函数y=+的定义域是．14．（5分）已知f（x）=，则f（log43）=．15．（5分）函数f（x）=2a x+1﹣3（a＞0，且a≠1）的图象经过的定点坐标是．16．（5分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=﹣x2﹣x，则函数f（x）的解析式为．三、解答题（10分+12分×5题=70分）17．（10分）求值．（1）（﹣3）+0.002﹣10（﹣2）﹣1+（﹣）0；（2）计算．18．（12分）已知全集U={x|﹣5≤x≤3}，A={x|﹣5≤x＜﹣1}，B={x|﹣1≤x＜1}，求∁U A，∁U B，（∁U A）∩（∁U B）．19．（12分）（1）已知f（x）是一次函数，且f（f（x））=16x﹣25，求f（x）．（2）已知，求f（x）的解析式．20．（12分）已知函数是奇函数．（1）求m的值；（2）判定f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明．21．（12分）函数f（x）的定义域为R，且对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0，f（x）＜0，f（1）=﹣2．（1）求证：f（x）是奇函数．（2）求证：f（x）在R上是减函数．（3）解不等式：f（2x﹣1）＜﹣4．22．（12分）已知定义在R上的函数是奇函数．（1）求a的值；（2）判断f（x）的单调性（不需要写出理由）；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．2017-2018学年安徽省安庆市怀宁二中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（5分×12题=60分）1．（5分）现有以下说法，其中正确的是（）①接近于0的数的全体构成一个集合；②正方体的全体构成一个集合；③未来世界的高科技产品构成一个集合；④不大于3的所有自然数构成一个集合．A．①②B．②③C．③④D．②④【解答】解：在①中，接近于0的数的全体不能构成一个集合，故①错误；在②中，正方体的全体能构成一个集合，故②正确；在③中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，故③错误；在④中，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故④正确．故选：D．2．（5分）设集合M是由不小于的数组成的集合，，则下列关系中正确的是（）A．a∈M B．a∉M C．a=M D．a≠M【解答】解：∵集合M是由不小于的数组成的集合，，∴a不是集合M中的元素，故a∉M．故选：B．3．（5分）下列四组函数中，表示相等函数的一组是（）A．f（x）=|x|，B．，C．，g（x）=x+1 D．，【解答】解：A．函数g（x）==|x|，两个函数的对应法则和定义域相同，是相等函数．B．函数f（x）==|x|，g（x）=x，两个函数的对应法则和定义域不相同，不是相等函数．C．函数f（x）=x+1的定义域为{x|x≠1}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数．D．由，解得x≥1，即函数f（x）的定义域为{x|x≥1}，由x2﹣1≥0，解得x≥1或x≤﹣1，即g（x）的定义域为{x|x≥1或x≤﹣1}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数．故选：A．4．（5分）下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）=3﹣x B．f（x）=x2﹣3x C．f（x）=﹣D．f（x）=﹣|x|【解答】解：∵f（x）=3﹣x在（0，+∞）上为减函数，∴A不正确；∵f（x）=x2﹣3x是开口向上对称轴为x=的抛物线，所以它在（0，+∞）上先减后增，∴B不正确；∵f（x）=﹣在（0，+∞）上y随x的增大而增大，所它为增函数，∴C正确；∵f（x）=﹣|x|在（0，+∞）上y随x的增大而减小，所以它为减函数，∴D不正确．故选：C．5．（5分）如图，I是全集，A、B、C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是（）A．（∁I A∩B）∩C B．（∁I B∪A）∩C C．（A∩B）∩∁I C D．（A∩∁I B）∩C 【解答】解：根据题图可知阴影部分中的元素属于A，不属于B，属于C则阴影部分所表示的集合是（A∩∁I B）∩C故选：D．6．（5分）已知函数f（x）是定义在（﹣6，6）上的偶函数，f（x）在[0，6）上是单调函数，且f（﹣2）＜f（1）则下列不等式成立的是（）A．f（﹣1）＜f（1）＜f（3）B．f（2）＜f（3）＜f（﹣4）C．f（﹣2）＜f （0）＜f（1）D．f（5）＜f（﹣3）＜f（﹣1）【解答】解：由题意可得，函数f（x）在[﹣6，0]上也是单调函数，再根据f（﹣2）＜f（1）=f（﹣1），可得函数f（x）在[﹣6，0]上是单调增函数，故函数f（x）在[0，6]上是单调减函数，故f（﹣1）=f（1）＞f（﹣3）=f（3）＞f（5），故选：D．7．（5分）函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A．8．（5分）若lg2=a，lg3=b，则等于（）A．B．C．D．【解答】解：==，∵lg2=a，lg3=b，∴=，故选：A．9．（5分）若函数f（x）=（a﹣3）•a x是指数函数，则f（）的值为（）A．2 B．2 C．﹣2D．﹣2【解答】解：∵函数f（x）=（a﹣3）•a x是指数函数，∴a﹣3=1，a＞0，a≠1，解得a=8，∴f（x）=8x，∴f（）==2，故选：B．10．（5分）已知集合A={x|x2﹣3x+2=0，x∈R），B={x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊊C⊊B的集合C的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：集合A={x|x2﹣3x+2=0，x∈R）={1，2}集合B={x|0＜x＜5，x∈N}={1，2，3，4}，由A⊊C⊊B，可知集合C一定函数：1，2这两个元素，可能有3或者4，∴集合C的个数为2个故选：B．11．（5分）函数的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）【解答】解：函数的定义域为：x＞2或x＜﹣2，y=log2x是增函数，y=x2﹣4，开口向上，对称轴是y轴，x＞2时，二次函数是增函数，由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为（2，+∞）．故选：C．12．（5分）已知函数f（x）=是R上的减函数则a的取值范围是（）A．（0，3） B．（0，3]C．（0，2） D．（0，2]【解答】解：因为f（x）为R上的减函数，所以x≤1时，f（x）递减，即a﹣3＜0①，x＞1时，f（x）递减，即a＞0②，且（a﹣3）×1+5≥③，联立①②③解得，0＜a≤2．故选：D．二、填空题（5分×4题=20分）13．（5分）函数y=+的定义域是{x|x≥﹣1，且x≠2} ．【解答】解：要使函数y=+的解析式有意义自变量x须满足：解得x≥﹣1，且x≠2故函数y=+的定义域是{x|x≥﹣1，且x≠2}故答案为：{x|x≥﹣1，且x≠2}14．（5分）已知f（x）=，则f（log43）=3．【解答】解：∵f（x）=，0＜log43＜1∴f（log43）=4=3，故答案为：315．（5分）函数f（x）=2a x+1﹣3（a＞0，且a≠1）的图象经过的定点坐标是（﹣1，﹣1）．【解答】解：由指数幂的性质可知，令x+1=0得x=﹣1，此时f（﹣1）=2﹣3=﹣1，即函数f（x）的图象经过的定点坐标是（﹣1，﹣1），故答案为：（﹣1，﹣1）．16．（5分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=﹣x2﹣x，则函数f（x）的解析式为．【解答】解：f（x）是奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），f（0）=0，当x＜0时，f（x）=﹣x2﹣x，那么：x＞0时，﹣x＜0，可得f（﹣x）=﹣x2+x，即f（x）=x2﹣x，故答案为：．三、解答题（10分+12分×5题=70分）17．（10分）求值．（1）（﹣3）+0.002﹣10（﹣2）﹣1+（﹣）0；（2）计算．【解答】（1）原式=+﹣+1=+﹣10（+2）+1=．（2）原式==1+1+（lg5）2+2lg5lg2+（lg2）2=2+（lg5+lg2）2=3．18．（12分）已知全集U={x|﹣5≤x≤3}，A={x|﹣5≤x＜﹣1}，B={x|﹣1≤x＜1}，求∁U A，∁U B，（∁U A）∩（∁U B）．【解答】解：全集U={x|﹣5≤x≤3}，A={x|﹣5≤x＜﹣1}，B={x|﹣1≤x＜1}，由补集的定义，得∁U A={x|﹣1≤x≤3}，∁U B={x|﹣5≤x≤﹣1，或1≤x≤3}；∴（∁U A）∩（∁U B）={x|1≤x≤3}．【或方法二：∵A∪B={x|﹣5≤x≤1}，∴（C U A）∩（C U B）=C U（A∪B）={x|1≤x≤3}】．19．（12分）（1）已知f（x）是一次函数，且f（f（x））=16x﹣25，求f（x）．（2）已知，求f（x）的解析式．【解答】解：（1）设f（x）=kx+b（k≠0），则f（f（x））=k（kx+b）+b=k2x+kb+b，∴k2x+kb+b=16x﹣25．∴，∴或，∴f（x）的解析式为：f（x）=4x﹣5或，（2）由题意，设，t≥1，则=t﹣1，x=（t﹣1）2，那么f（t）=（t﹣1）2+2（t﹣1）=t2﹣1，∴f（x）的解析式为：f（x）=x2﹣1．20．（12分）已知函数是奇函数．（1）求m的值；（2）判定f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明．【解答】解：（1）函数是奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），即有ln=﹣ln=ln，可得=，即为1﹣m2x2=1﹣x2，即m2=1，可得m=1或﹣1，当m=1时，显然不成立；当m=﹣1时，f（x）=ln为奇函数，则m=﹣1；（2）f（x）在（1，+∞）上单调递减．证明：设x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，﹣=，x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，可得x2﹣x1＞0，x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，则＞＞0，则ln＞ln，即为f（x1）＞f（x2），可得f（x）在（1，+∞）上单调递减．21．（12分）函数f（x）的定义域为R，且对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0，f（x）＜0，f（1）=﹣2．（1）求证：f（x）是奇函数．（2）求证：f（x）在R上是减函数．（3）解不等式：f（2x﹣1）＜﹣4．【解答】解：（1）∵f（x）+f（y）=f（x+y），∴令x=y=0，得f（0）+f（0）=f（0），∴f（0）=0，再令y=﹣x，得f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，∴y=f（x）是R上的奇函数；（2）令x1＜x2，∵f（x+y）=f（x）+f（y），且y=f（x）是R上的奇函数，∴f（x2）﹣f（x1）=f（x2）+f（﹣x1）=f（x2﹣x1），∵x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，∵当x＞0时，f（x）＜0，∴f（x2﹣x1）＜0，∴f（x2）﹣f（x1）＜0，即f（x1）＞f（x2），∴y=f（x）是R上的减函数；（3）f（1）=﹣2，f（x+y）=f（x）+f（y），可得f（2）=f（1）+f（1）=﹣4，f（2x﹣1）＜﹣4=f（1）+f（1）=f（2）由（2）知，f（x）在R上是减函数∴2x﹣1＞2，2x＞3，∴不等式的解集为．22．（12分）已知定义在R上的函数是奇函数．（1）求a的值；（2）判断f（x）的单调性（不需要写出理由）；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，即，∴；（2）f（x）在R上为减函数；（3）∵f （t 2﹣2t ）+f （2t 2﹣k ）＜0，∴f （t 2﹣2t ）＜﹣f （2t 2﹣k ）∵f （x ）为奇函数，∴f （t 2﹣2t ）＜f （k ﹣2t 2），又f （x ）在R 上为减函数，∴t 2﹣2t ＞k ﹣2t 2，∴3t 2﹣2t ＞k ， 又，当t=时，上式取得最小值﹣， ∴．赠送：初中数学几何模型举例 【模型四】几何最值模型：图形特征： PA Bl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

2020—2021学年度第一学期期中考试高二数学试题（文科）第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．直线310x y+-=的倾斜角是A．30B．120︒C．135︒D．150︒2．已知△ABC是边长为4的等边三角形，则△ABC的斜二测直观图的面积为A．6B．26C．43D．233．如图是一个几何体的三视图，则此几何体的直观图是A．B．C．D．4．已知直线310x y+-=与直线2330x my++=平行，则它们之间的距离是A．1B．54C．3D．45．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断正确的是A．平面BME//平面CAN B．AF CN//C ．//BM 平面EFD D ．BE 与AN 相交6．已知α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，有以下命题： ①若m α⊥，m β⊥，则αβ∥.②若//m α，//n α，则//m n .③若m α⊂，m β⊥，则αβ⊥.④若l αβ=，m α⊂，m l ⊥，则m β⊥. 其中真命题有A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④ 7．与直线2x+y －1=0关于点（1－0）对称的直线方程是A ．2x+y －3=0B ．2x+y +3=0C ．x +2y +3=0D ．x+2y －3=0 8．若方程224250x y mx y m ++-+=表示的曲线为圆，则m 的取值范围是 A ．114m << B ．14m <或1m C ．14m < D ．1m 9．已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数a = A ．1 B ．1- C ．2-或1 D ．2或1 10．如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形，ED ⊥平面ABCD ，FC ⊥平面ABCD ，22ED FC ==，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为A ．13B ．55C ．31010D ．2311．在直三棱柱111ABC A B C -中，13AB BC AB BC ，，==⊥，122AA =，则其外接球的体积为A ．12πBC ．D ． 12．已知两点()A 3,4-，()B 3,2，过点()P 1,0的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是A ．()1,1-B ．()(),11,∞∞--⋃+C ．[]1,1-D ．][(),11,∞∞--⋃+第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知直线1:(2)(1)10l a x a y ++--=与直线2:(1)(23)20l a x a y -+++=垂直，a =_____－14．已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11C D 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为 .15．设三棱锥P ABC -的三条侧棱两两垂直，且2PA PB PC ===，则三棱锥P ABC -的体积是______．16．经过点P （2，1）作直线l 分别交x 轴、y 轴的正半轴于A 、B 两点，当△AOB 面积最小时，直线l 的方程为_____.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知平面内两点(8,6),(2,2)A B -.（1）求AB 的中垂线方程；（2）求过点(2,3)P -且与直线AB 平行的直线l 的方程．18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，,D E 分别是11A B ，BC 的中点. 求证：（1）平面ACD ⊥平面11BCC B ；（2）1//B E 平面ACD .19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//BC AD ，AB BC ⊥，1AB BC ==，2AD AP ==，E 为PD 的中点，F 为BP的中点.（1）求证：//CE 平面PAB ；（2）求点D 到平面PBC 的距离.20．已知直线l 方程为()2380m x my m +---=，m R ∈.（1）求证：直线l 恒过定点P ，并求出定点P 的坐标；（2）若直线l 在x 轴，y 轴上的截距相等，求直线l 的方程.21．求下列圆的方程（1）已知点A (-4，-5)，B (6，-1)，以线段AB 为直径的圆的方程． （2）过两点C (-1，1)和D (1，3)，圆心在x 轴上的圆的标准方程．22．在正方体1111ABCD A B C D -中.（1）求证：11C D BD ⊥；（2）M 是AB 中点时，求直线1C M 与面11BCD A 所成角.2020—2021学年度第一学期期中考试高二数学试题（文科）参考答案1．D【解析】【分析】首先求出直线的斜率，由倾斜角与斜率的关系即可求解.【详解】直线10x +-=的斜率k== 设其倾斜角为()0180θθ︒≤<︒，则tan θ=， ∴150θ=︒.故选：D.【点睛】本题考查了直线斜率与倾斜角的关系，属于较易题.2．A【解析】【分析】本题首先可以设△ABC 的原图面积为1S 以及斜二测直观图的面积为2S ，然后根据题意求出△ABC 的原图面积1S ，最后根据原图面积与斜二测直观图面积比值为果.【详解】设△ABC 的原图面积为1S ，斜二测直观图的面积为2S ，因为△ABC 是边长为4的等边三角形，所以△ABC 的原图面积11423432S ，因为原图面积与斜二测直观图面积比值为1222S S ， 所以斜二测直观图的面积12622S S ，故选：A. 【点睛】本题考查三角形的斜二测直观图的面积的求法，可通过原图面积与斜二测直观图面积比值为.3．D【解析】【分析】由已知可得原几何体是一个圆锥和圆柱的组合体，上部分是一个圆锥，下部分是一个圆柱，而且圆锥和圆柱的底面积相等，故此几何体的直观图是：故选D【详解】4．B【解析】【分析】12m m=⇒=10y +-=可化为220y +-=，再由两直线之间的距离公式，即可求解.【详解】10y +-=与直线30my ++=12m m=⇒=，即230y ++=10y +-=可化为220y +-=，所以两直线之间的距离为54d ==，故选B. 【点睛】本题主要考查了两条平行线的距离的求解，其中解答中根据两直线的平行关系，求得m 的值，再利用两平行线间的距离公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．A【解析】【分析】将正方体的平面展开图复原为几何图形，进而判断选项的正误即可.【详解】解：将正方体的平面展开图复原为几何图形，选项A ，如图可知//AN BM ，且BM ⊂平面BME ，//AN 平面BME ， NC BE //，且BE ⊂平面BME ，//NC 平面BME ，所以平面BME //平面CAN ，故正确.选项B ，如图，可知AF 与CN 为异面直线，不平行，故错误.选项C ，如图可知平面EFD 与BM 会相交，并不平行，故错误.选项D，如图可知BE与AN为异面直线，不相交，故错误.故选：A.【点睛】本题考查空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的关系，考查空间想象能力，属于基础题.6．B【解析】【分析】①由线面垂直的性质和面面平行的定义，命题正确②m与n有可能相交，命题错误③由面面垂直的判定定理判断，命题正确④成立的前提是面面垂直，命题错误【详解】对命题①，由线面垂直的性质和面面平行的定义可知，若m α⊥，m β⊥，则α平面与β无公共点，可证αβ∥，命题①正确对命题②，若m 与n 为另一平行平面的两条交线，也满足条件，但推不出结论，命题②错误对命题③，由面面垂直的判定定理可知：如果一个平面经过另一平面的垂线,则这两个平面相互垂直. ③中m α⊂，m β⊥，所以αβ⊥．命题③正确对命题④，若二面角的平面角为锐角时，m 与β斜交，命题④错误．【点睛】本题考查空间线面位置关系的判断证明，旨在考查学生基础知识的掌握能力和空间想象能力 7．A【解析】在所求直线上取点（x－y ），关于点（1－0）对称的点的坐标为（a－b ），则1202x a y b +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩－a=2-x－b=-y－－－a－b ）在直线2x+y -1=0上 －2a+b -1=0－2－2-x－-y -1=0－2x+y -3=0故选A8．B【解析】【分析】根据二元二次方程表示圆的条件，可以求得若方程224250x y mx y m ++-+=表示圆，必有2164200m m +->，即可求出m 的取值范围.【详解】方程224250x y mx y m ++-+=表示圆，必有2164200m m +->， 即24510m m -+>，解可得，14m <或1m ， 故选：B.【点睛】 本题考查二元二次方程表示圆的条件，若方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆，则有2240D E F +->，考查计算能力，属于基础题.9．D【解析】【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a 的值，即可得到答案．【详解】由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为122x y a a a+=--，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a 2a a-=-，解得a 1=； 综上所述，实数a 2=或a 1=．故选D ．【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10．C【解析】【分析】根据题意画出图形,取ED 中点P ,连接,AP PF ,可得//AP BF ,故EAP ∠为异面直线AE 与BF 所成角,结合已知,即可求得答案.【详解】根据题意画出图形,取ED 中点P ,连接,AP PF//PD FC 且PD FC =∴四边形PDFC 是平行四边形∴//PF DC 且PF DC =又四边形ABCD 是的正方形可得//AB DC 且AB DC =故//AB PF 且AB PF =∴四边形ABPF 是的平行四边形∴//BF AP 且BF AP =故EAP ∠为异面直线AE 与BF 所成角在Rt APD 根据勾股定理可得:AP ==在Rt EAD 根据勾股定理可得:AE ===在EAP 中根据余弦定理:2222cos EP EA AP EA AP EAP =+-⋅⋅∠ 可得：222cos 2EA AP EP EAP EA AP+-∠=⋅=== 故选:C【点睛】本题考查求异面直线夹角,解题关键是掌握异面直线夹角的定义和将异面直线夹角转化为共面夹角的求法,考查分析能力和计算能力,属于中档题.11．D【解析】【分析】三棱柱的外接球就是长方体的外接球，从而可得结果.【详解】因为直三棱柱111ABC A B C -中，1AB BC AB BC ==⊥，，1AA =三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径就是长方体的体对角线长，所以2R R ===外接球的体积为334433R ππ==，故选D.【点睛】 本题主要考查直三棱柱的性质以及球的体积公式，属于中档题. 求多面体外接球的体积与表面积时，除了设出球心求外接球半径外，还可以将所给多面体补成长方体求解.12．D【解析】分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．详解：－点A－－3－4－－B－3－2），过点P－1－0）的直线L 与线段AB 有公共点， －直线l 的斜率k≥k PB 或k≤k PA －－PA 的斜率为4031--- =－1－PB 的斜率为2031--=1－ －直线l 的斜率k≥1或k≤－1－故选D－点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．直线的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时，是要画出正切的函数图像，再分析.13．1或-1【解析】【分析】由直线垂直可得（a+2－－a－1－+－1－a－－2a+3－=0，解之即可．【详解】依题意，l1⊥l2－故（a+2－－a－1－+－1－a－－2a+3－=0－化简得a2=1，解得a=1或a=－1故a的值为：1或﹣1【点睛】本题考查直线垂直的充要条件l1－l2 A1A2－B1B2－0.，属于基础题．14．2 3【解析】【分析】【详解】连接DE，设AD=2，易知AD－BC，－－DAE就是异面直线AE与BC所成角，在－RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3，－cos－DAE==．15．4 3【解析】【分析】根据锥体的体积公式，找到并求出三棱锥的高及底面面积即可求解. 【详解】由题意可知该三棱锥为棱长为2的正方体的一个角，如图所示：所以1114 =(22)23323 PBCV S PA⋅=⨯⨯⨯=锥故答案为：4 3【点睛】本题考查锥体体积公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题.16．x+2y﹣4＝0；【解析】【分析】先设出直线方程，然后表示出三角形的面积，利用基本不等式即可求解．【详解】由题意可知，直线的斜率一定存在，故设直线方程y﹣1＝k（x﹣2），k＜0，令x＝0可得，y＝1﹣2k，令y＝0可得x＝2﹣1k，则11121222AOBS OA OB kk=⋅=⨯--＝()1114444422kk⎛⎫--+≥+=⎪⎝⎭，当且仅当﹣4k ＝﹣1k 即k ＝﹣12时取等号， 此时直线方程y ﹣1＝﹣12（x ﹣2）,即x +2y ﹣4＝0． 故答案为：x +2y ﹣4＝0．【点睛】本题主要考查了直线方程的应用及利用基本不等式求最值问题，属于基础题．17．（1）34230x y --=; （2）4310x y ++=.【解析】试题分析：(1)首先求得中点坐标，然后求得斜率，最后利用点斜式公式即可求得直线方程；(2)利用点斜式可得直线方程为4310x y ++=.试题解析：（1）8252+=，6222-+=- ∴AB 的中点坐标为()5,2- 624823AB k --==--，∴AB 的中垂线斜率为34∴由点斜式可得()3254y x +=- ∴AB 的中垂线方程为34230x y --= （2）由点斜式()4323y x +=-- ∴直线l 的方程4310x y ++= 18．（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）证明AC ⊥平面11BCC B 得到答案.（2）F 为AC 中点，连接EF ，DF ，确定四边形1FEB D 为平行四边形，得到证明.【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C -，则1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，故1CC AC ⊥， AC BC ⊥，1BC CC C =，故AC ⊥平面11BCC B ，AC ⊂平面ACD ，故平面ACD ⊥平面11BCC B .（2）如图所示：F 为AC 中点，连接EF ，DF ，故1//2EF AB ，11//2DB AB ， 故1//EF DB ，故四边形1FEB D 为平行四边形，故1//B E DF ，DF ⊂平面ADC ， 故1//B E 平面ACD .【点睛】本题考查了面面垂直，线面平行，意在考查学生的推断能力和空间想象能力.19．（1）证明见解析；（2. 【解析】【分析】（1）取AP 的中点G ，连接,EG BG ，证明四边形BCEG 为平行四边形，则有//CE BG ，即可证//CE 平面PAB ；（2）过点A 作AH BP ⊥，垂足为H ，证明AH ⊥平面PBC ，又//AD BC ，所以点D 到平面PBC 的距离即为AH 长，求解AH 即可.此问也可采用等体积法求解.【详解】（1）如图，取AP 的中点G ，连接,EG BG .∵,DE PE AG PG ==，∴//GE AD 且2AD GE =.∵2AD =，∴1GE =.∵//,1BC AD BC =，∴//GE BC 且GE BC =，∴四边形BCEG 为平行四边形，∴//CE BG .又∵BG ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，∴//CE 平面PAB .（2）如图，过点A 作AH BP ⊥，垂足为H .∵AP ⊥平面,ABCD BC ⊂平面ABCD ，∴⊥AP BC .∵,BC AB AB AP A ⊥⋂=，又,AP AB ⊂平面PAB ，∴BC ⊥平面PAB .∵AH ⊂平面PAB ，∴AH BC ⊥.∵,,,AH BP BP BC B BP BC ⊥⋂=⊂平面PBC ，∴AH ⊥平面PBC .在Rt APB △中，AB AP BP AH BP ⨯===== ∵//,AD BC BC ⊂平面,PBC AD ⊄平面PBC ，∴//AD 平面PBC ，∴点D 到平面PBC 的距离与点A 到平面PBC 的距离相等，故点D 到平面PBC . （注：也可利用P BCD D PBC V V --=求解）【点睛】本题主要考查了直线与平面平行的证明，直线与平面垂直的判断，点到平面距离的计算，考查了学生的直观想象，逻辑推理与运算求解能力，考查了转化与化归的思想.20．（1）()4,1P（2）50x y +-=或40x y -=【解析】【分析】(1)将含有m 的项提取出来,再令m 所乘的式为0,不含m 的项也为0,列方程求解即可.(2)算出直线l 在,x y 轴上的截距令其相等求解即可.【详解】(1) 由()2380m x my m +---=化简得(3)280m x y x --+-=,令3042801x y x x y --==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩ ,故直线l 恒过定点()4,1P (2)由题得()2380m x my m +---=中20,0m m +≠≠.令0x =有38380m my m y m -----=⇒=,故l 在y 轴上的截距为38m m--. 令0y =有()3823802m m x m x m ++--=⇒=+.故l 在y 轴上的截距为382m m ++. 故()()3838382202m m m m m m --+=⇒++=+,故1m =-或83m =-. 当1m =-时, 化简得50x y +-=,当83m =-时,化简得40x y -= 故直线的方程为50x y +-=或40x y -=【点睛】本题主要考查了直线方程的定点问题以及解决的问题等,属于中等题型.21．（1）22(1)(3)29x y -++=；（2）22(2)10x y -+=．【解析】【分析】（1）求出圆心坐标和圆的半径即可得；（2）设圆心坐标为(,0)a ，利用圆上两点到圆心距离相等求得a ，然后再求得圆半径，得圆方程．【详解】（1）由题意线段AB 中点坐标为(1,3)-，半径为r ==∴所求圆方程为22(1)(3)29x y -++=；（2）设圆心坐标为(,0)a ，∵圆过,C D 两点，=，解得2a ==，∴圆方程为22(2)10x y -+=．【点睛】本题考查求圆的标准方程，确定圆心与圆的半径是解题关键． 22．（1）见解析；（2）4π. 【解析】【分析】（1）连接1CD ，证明1C D ⊥平面1BCD ，进而可得出11C D BD ⊥；（2）连接1BC 、1A B 、1AB ，设11C DCD O =，过点M 在平面11AA B B 内作1MQ A B ⊥，垂足为点Q ，连接OQ ，设1OQ C M N =，则角1C NO ∠和MNQ ∠均为直线1C M 与平面11BCD A 所成的角，从而可得出111sin C O MQ C NO C M+∠=，即可求出所求角. 【详解】（1）如下图所示，连接1CD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，BC ⊥平面11CDD C ，1C D ⊂平面11CDD C ，1C D BC ∴⊥， 四边形11CDD C 为正方形，11C D CD ∴⊥，1BC CD C =，1C D ∴⊥平面1BCD ，1BD ⊂平面1BCD ，11C D BD ∴⊥； （2）连接1BC 、1A B 、1AB ，设11C DCD O =，过点M 在平面11AA B B 内作1MQ A B ⊥，垂足为点Q ，设11AB A B E =，设正方体的棱长为2，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AD B C 且11AD B C =，所以，四边形11AB C D 为平行四边形，11//AB C D ∴，1C D ⊥平面11BCD A ，1AB ∴⊥平面11BCD A ，在平面11ABB A 内，11AB A B ⊥，1MQ A B ⊥，1//MQ AB ∴，1//MQ C O ∴，则M 、Q 、1C 、O 四点共面， M 为AB的中点，111242MQ AE AB ∴===，且1112C O C D == BM ⊥平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B ，1BM BC ∴⊥，由勾股定理得13C M ===， 连接OQ ，设1OQ C M N =，则直线1C M 与面11BCD A 所成角为1C NO MNQ ∠=∠， 则111sin C O C NO C N ∠=，sin MQ MNQ MN ∠=，由连比定理得111112sin 32C O MQ C O MQ C NO C N MN C M ++∠====+，则14C NO π∠=， 因此，直线1C M 与面11BCD A 所成角为4π. 【点睛】 本题考查线线垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。