安徽省安庆市怀宁县怀宁中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题理[含答案]

怀宁中学2019-2020学年高一下学期期中考试地理试卷★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

从“人多力量大”到1980年我国开始执行一对夫妇只能生育一胎的政策,2013年启动一方是独生子女的夫妇可生育两个孩子的政策,2016年全面放开二孩政策。

我国的生育政策经历了三次转变。

抚养比是指总体人口中非劳动年龄人口与劳动年龄人口数之比。

据此完成第1~2题。

1.从单独二孩到全面二孩政策,时间相隔不到三年。

影响两次生育政策调整间隔短的主要原因是()A.人口老龄化严重B.城市化水平较高C.育龄妇女人数少D.生育观念的改变2.全面放开二孩政策后十年内,我国()A.男女比例失调更加严重B.劳动年龄人口的抚养压力加重C.老年人口抚养比在下降D.劳动年龄人口比重在上升读图,图中a、b、c分别表示0~14岁、15~64岁、65岁及以上三种年龄人口数所占总人口比重，完成第3~4题。

3.图中甲、乙、丙、丁四个国家中,人口增长最快的是()A.甲B.乙C.丙D.丁4.图中丙国65岁及以上年龄人口所占总人口比重大小及应采取的相应正确措施是()A.20%鼓励生育B.50%采取移民政策C.50%计划生育D.20%鼓励人员出国中国进入急速老龄化阶段,预计到2025年,老龄人口数量将达到3亿人,下图为2010—2025年我国老年人口数量变化预测图。

2019-2020学年安徽省安庆市怀宁中学高一下学期期中数学（理）试题一、单选题1．数列1，3，6，10…的一个通项公式是（ ） A ．()21n a n n =--B ．21n a n =-C ．()12n n n a +=D ．()12n n n a -=【答案】C【解析】本题考察的是数列的通项公式，可以分别把A B C D 、、、四项的1234a a a a 、、、的值算出，与题意对比，得出结果。

【详解】A 项：123413713a a a a ====、、、，故A 项错误； B 项：123403815a a a a ====、、、，故B 项错误； C 项：123413610a a a a ====、、、，故C 项正确； D 项：12340136a a a a 、、、，====故D 项错误；故选C 。

【点睛】本题考察的是数列的通项公式，可以把数列的每一项对应的值算出与题目所给条件进行对比，从而得出结果。

2．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示），45ABC ∠=︒，1AB AD ==，DC BC ⊥，则这块菜地的面积为（ ）A ．222+B ．22+C ．21D ．12【答案】A【解析】由所给条件求出BC ，将斜二测直观图还原成直角梯形，利用梯形的面积公式即可求解. 【详解】如图1所示，过点A 作AE 垂直于BC 于点E ，45ABC ∠=︒Q ，1AB AD ==，22BE ∴=，则212BC =+,将斜二测直观图还原成图2所示直角梯形，其中22,1,1A B A D B C ''''''===+, 所以这块菜地的面积为21122=222⎛⎫++⨯ ⎪⎝⎭+.故选：A 【点睛】本题考查斜二测直观图的相关量计算，属于基础题. 3．若,a b ∈R ，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是A ．222a b ab +> B ．2a b ab +≥C ．11a b ab+> D ．2b aa b+≥ 【答案】D 【解析】试题分析：，所以A 错；，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当时，B 错；同时C 错；或都是正数，根据基本不等式求最值，，故D 正确．【考点】不等式的性质4．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x 倍，需经过y 年，则函数()y f x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】求得函数()y f x =的解析式，进而可判断出该函数的大致图象. 【详解】由题意可得1.104y x =，所以，() 1.104log f x y x ==，则D 选项中的图象符合. 故选：D. 【点睛】本题考查函数图象的识别，解答的关键在于求出函数解析式，属于基础题. 5．已知ABC V 中，4a =，43b =6A π=，则B 等于（ ）A ．30°B ．30°或150︒C ．60°D ．60︒或120︒【答案】D【解析】由正弦定理=sin sin a b A B ，得3sin 2B =，再根据大边对大角和三角形内角和定理即可. 【详解】解：ABC V 中，4a =，43b =6A π=，由正弦定理得，4=,sin sin sin 6a b B A B π==3B π=或23B π=满足b a >和A B π+< 故选：D 【点睛】考查正弦定理的应用，注意大边对大角和三角形内角和定理，基础题.6．已知1291a a －，，，－四个实数成等差数列，12391b b b －，，，，－五个实数成等比数列，则221()b a a －＝（ ） A ．8 B ．－8C ．±8D ．98【答案】B【解析】试题分析：先由等差数列和等比数列的性质，得()21198413a a d ----===-，()()22199b =-⨯-=；再利用等比数列中的第三项和第一项同号，得23b =-；所以2218()3=83b a a -⨯-－＝.故选B.【考点】等差数列的性质；等比数列的性质. 7．在坐标平面上，不等式组131y x y x -⎧⎨-+⎩…„所表示的平面区域的面积为（ ）A． B ．32C．D ．2【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域，根据对应图形，求出对应的面积即可． 【详解】作出不等式组对应的平面区域，则A （0，1），A 到直线y ＝x ﹣1，即x ﹣y ﹣1＝0的距离d === 由131y x y x =-⎧⎨=-+⎩得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即C （12，12-），由131y x y x =-⎧⎨=+⎩，得12x y =-⎧⎨=-⎩，即B （﹣1，﹣2），则|BC |221132(1)(2)22=--+-+=， 则△ABC 的面积S 113232222BC d =⋅=⨯⨯=， 故选：B ．【点睛】本题二元一次不等式组表示平面区域，根据条件作出平面区域，根据三角形的面积公式是解决本题的关键．8．设,a b ∈R ，若0a b ->，则下列不等式中正确的是（ ） A ．0b a -> B ．330a b +<C ．220a b -<D ．0b a +>【答案】D【解析】解析】利用赋值法:令1,0a b ==排除A,B,C,选D.9．已知等差数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，在1a 与2a 之间插入1个2，在2a 与3a 之间插入2个2，L L ，在n a 与1n a +之间插入n 个2，L ，构成一个新的数列{}n b ，若10k a b =，则k =（ ） A ．53 B ．54C ．55D ．56【答案】C【解析】分析出从1a 至10a 之间插入了1239++++L 个2，由此可得出123910k =+++++L ，进而得解.【详解】由题意可知，从1a 至10a 之间插入了1239++++L 个2， 又10k a b =Q ，因此，()10110123910552k ⨯+=+++++==L .故选：C. 【点睛】本题主要考查了数列的综合应用，解答的关键在于找出插入的数的个数，属于基础题. 10．在ABC V 中，有下列结论：①若222a b c >+，则ABC V 为钝角三角形；②若222a b c bc =++，则60A =o ； ③若333a b c +=，则ABC V 为锐角三角形；④::2:3:4a b c =，则::2:3:4A B C =. 其中正确的结论有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】利用余弦定理可判断命题①②的正误；利用作差法比较()322a b +与6c的大小关系，可得出22a b +与2c 的大小关系，利用余弦定理可判断命题③的正误；利用::2:3:4a b c =结合余弦定理求出cos B 的值，再由::2:3:4A B C =可求出cos B 的值，进而可判断命题④的正误. 【详解】对于命题①，若222a b c >+，则222cos 02b c a A bc+-=<，所以A 为钝角，则ABCV 为钝角三角形，命题①正确；对于命题②，由222a b c bc =++，得222b c a bc +-=-，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==-，0180A <<o o Q ，120A ∴=o ，命题②错误；对于命题③，若333a b c +=，则c 为最大边，C 为最大角，()()()()33222622332442332222332332abc a baba b a b a b a b a b ab +-=+-+=+-=+-()22222220a b a b a b ⎡⎤=-++>⎣⎦， 222a b c ∴+>，222cos 02a b c C ab+-∴=>，则角C 为锐角，所以，ABC V 为锐角三角形， 命题③正确；对于命题④，若::2:3:4a b c =，可得22211cos 216a cb B ac +-==，若::2:3:4A B C =，则60B =o ，1cos 2B =，不合乎题意，命题④错误. 故选：B. 【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形的形状以及求角，考查计算能力与推理能力，属于中等题.11．6个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，该几何体的主视图与俯视图如图所示，则其侧视图不可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【详解】如图（1）所以，A 正确；如图（2）所示，B 正确；如图（3）所示，C 正确，故选D ．12．数列{}n a 的通项222cos sin 33n n n a n ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其前n 项和为n S ，则31S 为（ ）A ．10.5-B ．470C ．10.5D ．470-【答案】A【解析】由二倍角公式得出22cos3nn a n π=，计算出32313592n n n a a a n --++=-，由此可计算出313031S S a =+，可得结果. 【详解】由二倍角公式得出22cos3nn a n π=， 2323ππ=Q，()()()()()22232313646232cos31cos3cos 233n n n n n a a a n n n πππ----++=-+-+()()222313259922n n n n -+-=-=-，()23130319110105109296131cos 4952510.52232S S a π⨯+⨯⨯∴=+=-+⨯=--=-. 故选：A. 【点睛】本题考查数列求和，计算出32313592n n n a a a n --++=-是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.二、填空题 13．不等式21131x x -≥+的解集是________． 【答案】123x x ⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩⎭【解析】将不等式变形为2031x x +≤+，解此不等式即可.【详解】 由21131x x -≥+的212103131x x x x -+-=≤++，解得123x -≤<-.因此，不等式21131x x -≥+的解集是123x x ⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩⎭.故答案为：123x x ⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查分式不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 14．已知1x >-，0y >且满足21x y +=，则121x y++的最小值为________． 【答案】92【解析】由所给等式推出112x y ++=，再利用基本不等式即可求得最小值. 【详解】12112x x y y ++=⇒+=Q ，且1x >-，0y >，1515922121212211x y x x y x y x y y ++⎛⎫∴+=++≥+= ⎪+⎝⎭⎛⎫+=+ ⎪++⎝⎭， 当且仅当1y x =+即12,33x y =-=时等号成立. 所以121x y ++的最小值为92. 故答案为：92【点睛】本题考查基本不等式“1”的妙用求和的最小值，属于基础题.15．某人在塔的正东方向沿着南偏西60°的方向前进40 m 以后，望见塔在东北方向上，若沿途测得塔的最大仰角为30°，则塔高为________________m ．【答案】10(33【解析】根据题意作出示意图：，此人在C 处，AB 为塔高，他沿CD 前进，CD =40 m ，此时∠DBF =45°，从点C 到点D 所测塔的仰角，只有点B 到CD 的距离最短时，仰角最大，这是因为tan ,ABAEB AB BE∠=为定值．根据正弦定理可解BDC V 中的BD ，在Rt BED V 中求BE ，再在Rt ABE V 中求塔高AB 即可. 【详解】画示意图如下图所示，此人在C 处，AB 为塔高，他沿CD 前进，CD =40 m ，此时∠DBF =45°，从点C 到点D 所测塔的仰角，只有点B 到CD 的距离最短时，仰角最大，这是因为tan ,ABAEB AB BE∠=为定值．过点B 作BE ⊥CD 于点E ，连接AE ，则=30AEB ∠o ． 在BDC V 中，CD =40 m ，∠BCD =30°，∠DBC =135°， 由正弦定理，得sin sin CD BD DBC DCB =∠∠，∴)40sin30202.sin135BD m ==oo在Rt BED V 中，1801353015,BDE ∠=--=oooo∴)()62sin152021031.4BE DB m ===o在Rt ABE V 中，30AEB ∠=o ，∴(()10tan3033.3AB BE m ==o故所求的塔高为(1033.3m - 【点睛】本题主要考查了解三角形的应用，正弦定理，属于中档题.16．已知数列{}n a 满足：1a m =（m 为正整数），1,?231,?nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，则m 所有可能的取值为________．【答案】2，3，16，20，21，128【解析】采用“倒推”的方式，推导过程中注意分类. 【详解】因为81a =，若7a 为奇数，则有7311a +=，无解，若7a 为偶数，则有712a =，即72a =； 72a =时，若6a 为奇数，则有6312a +=，无解，若6a 为偶数，则有622a=，即64a =；当64a =；时，若5a 为奇数，则有5314a +=，51a =，若5a 为偶数，则有542a=，即58a =；当51a =时，若4a 为奇数，则有4311a +=，无解，若4a 为偶数，则有412a =，即42a =； 当58a =时，若4a 为奇数，则有4318a +=，无解，若4a 为偶数，则有482a=，即416a =；当42a =时，若3a 为奇数，则有3312a +=，无解，若3a 为偶数，则有322a=，即34a =；当416a =时，若3a 为奇数，则有33116a +=，35a =，若3a 为偶数，则有3162a=，即332a =；当34a =时，若2a 为奇数，则有2314a +=，21a =，若2a 为偶数，则有242a =，即28a =；当35a =时，若2a 为奇数，则有2315a +=，无解，若2a 为偶数，则有252a =，即210a =； 当332a =时，若2a 为奇数，则有23132a +=，无解，若2a 为偶数，则有2322a=，即264a =；当21a =时，若1a 为奇数，则有1311a +=，无解，若1a 为偶数，则有112a =，即12a =； 当28a =时，若1a 为奇数，则有1318a +=，无解，若1a 为偶数，则有182a=，即116a =；当210a =时，若1a 为奇数，则有13110a +=，13a =，若1a 为偶数，则有1102a=，即120a =；当264a =时，若1a 为奇数，则有13164a +=，121a =，若1a为偶数，则有1642a =，即1128a =；综上：1a 可取的值有：2，3，16，20，21，128. 故答案为：2，3，16，20,21，128 【点睛】本题考查数列的应用，难度较难.遇到这种逐步推导的问题，首先要明确方向，也就是推导的顺序，其次就是推导的方法的选择：（1）分类逐步推导；（2）画树状图推导.三、解答题17．设变量x 、y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩．求目标函数23z x y =+的最小值．【答案】7【解析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线23z x y =+，找出使得直线23z x y =+在x 轴上截距最小时对应的最优解，代入目标函数计算即可.【详解】画出不等式3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩表示的可行域，如图：联立323x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，可得点()2,1B .让目标函数表示直线233x z y =-+在可行域上平移，当直线233x z y =-+经过可行域的顶点B 时，该直线在x 轴上的截距最小，此时z 取最小值，即min 437z =+=. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线的方法找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题. 18．已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为21nn +. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()12n an n b a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)21n a n =-；(2)()143149n n n T ++-⋅=.【解析】【详解】（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ， 令1,n =得12113a a =，所以123a a =. 令2,n =得12231125a a a a +=，所以2315a a =. 解得1a 1,d 2==，所以2 1.n a n =-（Ⅱ）由（Ⅰ）知21224,n n n b n n -=⋅=⋅所以121424......4,n n T n =⋅+⋅++⋅ 所以23141424......(1)44,n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅ 两式相减，得121344......44n n n T n +-=+++-⋅114(14)13444,1433n n n n n ++--=-⋅=⨯--所以113144(31)44.999n n n n n T ++-+-⋅=⨯+=【考点】1.等差数列的通项公式；2.数列的求和、“错位相减法”.19．已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，cos sin 0a C C b c --=．（1）求A ．（2）若2a =，ABC △，求b ，c ． 【答案】(1)60A =︒；(2)2b c ==. 【解析】试题分析：（1）由题意利用正弦定理边化角可得()sinAcosC sinB sinC sin A C sinC =+=++，化简可得()1302sin A -︒=，则60A =︒．（2）由题意结合三角形面积公式可得12S bc sinA =⋅=故4bc =，结合余弦定理计算可得4b c +=，则2b c ==． 试题解析：（1）∵在ABC V 中，0acosC b c --=，利用正弦定理可得()sinAcosC sinB sinC sin A C sinC =+=++，1cosA -=， 即()1302sin A -︒=， ∴3030A -︒=︒， ∴60A =︒．（2）若2a =，ABC V则124S bc sinA =⋅== ∴4bc =，又由余弦定理可得()2222234a b c bccosA b c bc =+-=+-=， ∴4b c +=， 故2b c ==．20．设数列{}n a 的通项公式为()*,0n a pn q n N P =+∈>．数列{}n b 定义如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值． （1）若12p =，13q =-，求3b ；（2）若2p =，1q =-，求数列{}m b 的前2m 项和公式； 【答案】（1）37b =；（2）22m m +【解析】（1）根据题意求出使3n a ≥成立的所有n 中的最小整数即为3b ；（2）解不等式n a m ≥得12m n +≥，m 分为奇数、偶数两种情况求出m b ，再利用等差数列的求和公式即可得解. 【详解】（1）由题意，得1123n a n =-，解11323n -≥，得203n ≥． ∴11323n -≥成立的所有n 中的最小整数为7，即37b =． （2）由题意，得21n a n =-，对于正整数，由n a m ≥，得12m n +≥． 根据m b 的定义可知当21m k =-时，()*m b k k N =∈；当2m k =时，()*1m b k k N=+∈．∴()()1221321242m m m b b b b b b b b b -+++=+++++++L L L[]2(1)(3)(123)234(1)222m m m m m m m m ++=++++++++++=+=+L L . 【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式、数列不等式，属于中档题.21．某商场在一部向下运行的手扶电梯终点的正上方竖直悬挂一幅广告画．如图，该电梯的高AB 为4米，它所占水平地面的长AC 为8米．该广告画最高点E 到地面的距离为10.5米，最低点D 到地面的距离6.5米．假设某人的眼睛到脚底的距离MN 为1.5米，他竖直站在此电梯上观看DE 的视角为θ．（1）设此人到直线EC 的距离为x 米，试用x 表示点M 到地面的距离； （2）此人到直线EC 的距离为多少米时，视角θ最大？【答案】（1）32xMH +=；（2）此人到直线EC 的距离为6米时，视角θ最大． 【解析】试题分析：（1）延长MN 交AC 于H ，MH 即为所求，只要求得NH 即可，这在ABC ∆中可求； （2）作MG CD ⊥于G ，则GME GMD θ=∠-∠，求出这两个角的正切值，由两角差的正切公式求出tan θ，最后由基本不等式可求得最大值． 试题解析：（1）作MG ⊥CE 交于点G ，作NH ⊥AC 交于H ，则CH ＝GM ＝x ． 在Rt△BAC 中，因为AB ＝4，AC ＝8，所以tan∠BCA ＝，所以NH ＝CH ·tan∠BCA ＝， 所以MH ＝MN ＋NH ＝．（2）因为MH ＝GC ，所以DG ＝DC －GC ＝DC －MH ＝5－，EG ＝EC －GC ＝EC －MH ＝9－．在Rt△DGM 中，tan∠DMG ＝＝，在Rt△EGM 中，tan∠EMG ＝＝，所以tan θ＝tan∠EMD ＝tan(∠EMG －∠DMG )＝＝＝＝（0＜x ≤8）．由x ＞0，得5x ＞0，＞0，所以5x －28＋≥2－28＝32，所以tan θ＝≤．当且仅当5x ＝，即x ＝6时取“＝”，且6∈(0，8]．因为y ＝tan θ在区间(0，)上是单调增函数，所以当x ＝6米时，tan θ取最大值，此时视角θ取最大值． 答：此人到直线EC 的距离为6米时，视角θ最大． 22．已知数列{}n a 中，11a =，214a =，()()112n n nn a a n n a +-=≥-．（1）设111n n b a +=-，求数列{}n b 的通项公式． （2）若1sin 3cos cos n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n S .【答案】（1）3n b n =；（2）()tan 33tan3n S n =+-. 【解析】（1）推导出11n n n b b n++=，并求出1b 的值，然后利用累乘法可求得数列{}n b 的通项公式；（2）利用两角差的正弦公式可得()tan3tan 33n c n n =-++，然后利用裂项求和法可求得数列{}n c 的前n 项和n S . 【详解】（1）由题意可得111111n n n n a b a a +++-=-=， ()()()11112111111111111n n n n n n n n n n a n n a a n n b ba na na na n+++++++++-+-+-++=-=-==⋅=，11n n b n b n ++∴=，且12113b a =-=， 3211212333121n n n b b b nb b n b b b n -∴=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=-L L ； （2）()()()()()1sin 333sin 33cos3cos 33sin 3sin 3cos cos cos3cos 33cos3cos 33n n n n n n n n n c b b n n n n +⎡⎤+-+-+⎣⎦===++Q ()tan3tan 33n n =-++，因此，()()()()tan3tan 6tan 6tan9tan9tan12tan3tan 33n S n n ⎡⎤=-++-++-++-++⎣⎦L ()tan 33tan3n =+-.【点睛】本题考查利用累乘法求数列通项，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.。

安徽省安庆市怀宁县怀宁中学2019-2020学年高一下学期期中语文试题一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3个题，9分）阅读下面的文字，完成1～3题。

从陶渊明看现代人的生存困境“樊笼”是陶渊明诗文中的核心意象之一，象征被限制了身心自由的、令人难以忍受的生存处境，如“久在樊笼里，复得返自然”。

人类自己创造的文明，支撑了人类的现实生存，却把人束缚在文明的种种框架之中而不得自由。

卢梭（1712—1778）的《社会契约论》开篇第一句话便是“人是生而自由的，但却无往不在枷锁之中”。

《国际歌》曾唱遍全世界，“让思想冲破牢笼”“把旧世界打个落花流水”。

从后来的无产阶级革命实践看，把“旧世界”打个落花流水倒不是太难，“新世界”要完全冲破牢笼却难办得多，哪怕仅仅是冲破思想的牢笼。

如果说陶渊明生活的农业时代“樊笼”（“樊”字从木）还是由“木头”制作的,那么，到了工业时代，在马克斯·韦伯（1864—1920）《新教伦理与资本主义精神》一书中，“木笼”变成了“铁笼”，“这个铁笼是机器般的非人格化的，它从形式理性那里借来抽象力量将人禁锢其中”，它“冷静超然，逻辑严密，等级森严，庞大无比”“最终要无情地吞噬一切”“一直持续到人类烧光最后一吨煤的时刻”。

人类文明在不断发展，人对自然的控制力在不断加大；但更糟糕的是，人们对自然、对他人的控制力量越是强大，人们自己被囚禁的程度也就越深。

高度发达的现代社会确实有一套自我粉饰的招数，能把牢笼打理得如同五星级宾馆，使囚犯忘记自己还是囚犯，使囚犯们积极踊跃地甘当囚犯。

牢笼固然可恶，对于现代人来说，更可怕的是失去了“走出牢笼”与“回归自然”的自觉意识。

现代人普遍相信“进步论”，相信现在比过去好，未来比现在好。

这种进步论若是以地球生态的尺度来衡量，是不足以证实的。

我们的地球生态不但现在不比过去好,未来更让人担忧。

尽管如此，现代人还是一心“向前进”，没有人愿意“向后退”，哪怕是后退一小步。

安徽省安庆市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2017高二下·雅安期末) 若i是虚数单位，则复数 =（）A . ﹣1B . 1C . ﹣iD . i2. （2分）在中, ，,点P在AM上且满足,则等于（）A .B .C .D .3. （2分） (2020高一下·揭阳月考) 已知，向量，则向量（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高一上·武邑月考) 下列几何体是组合体的是（）A .B .C .D .5. （2分）(2018·鸡西模拟) 已知向量，若，则k=（）A .B .C . 6D .6. （2分）(2019·吉林模拟) 已知A、B是抛物线上的两点，直线AB垂直于轴，F为抛物线的焦点，射线BF交抛物线的准线于点C，且，的面积为，则的值为（）A .C . 2D . 47. （2分）如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，在斜边AB上取两点M、N，使∠MCN=45°，设MN=x，BN=n，AM=m，则以x、m、n为边的三角形的形状为（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 随x、m、n的值而定8. （2分）已知中，A,B,C所对的边分别为a,b,c，且,那么角A等于（）A .B .C .D . 或9. （2分）(2017·云南模拟) 在△ABC中，CB=5，AD⊥BC交BC于点D，若CD=2时，则 =（）A . 5B . 2C . 1010. （2分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共7分)11. （1分） (2018高二下·长春期末) 复数 ________．12. （1分） (2018高二上·铜梁月考) 平面截球的球面所得圆的半径为1，球心到平面的距离为，则此球的体积为________.13. （1分）(2019·长宁模拟) 若圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积为________。

2019-2020学年安庆一中高一(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.下列函数中既是奇函数，又在(0,+∞)上单调递增的是()A. y=x2B. y=x3C. y=−xD. y=tanx2.已知向量，，如果向量与垂直，则的值为()A. B. C. D.3.在△ABC中，a=√2，b=√3，A=45°，则B等于()A. 60°B. 60°或120°C. 30°或150°D. 120°4.设数列{a n}的通项公式为a n=2n−7(n∈N∗)则|a1|+|a2|+⋯+|a7|=()A. 7B. 0C. 18D. 255.不等式的解集为，则实数的值为()A. B. C. D.6.如图是改革开放四十周年大型展览的展馆−国家博物馆．现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P离地面的高度OP(点O在柱楼底部)在地面上的两点A，B测得点P的仰角分别为30°，45°，且∠ABO=60°，AB=80米，则OP为()A. 10米B. 20米C. 30米D. 40米7.已知{a n}是公差为d的等差数列，S n为其前n项和.若S3=3a1+3，则d=()A. −2B. −1C. 1D. 28.锐角三角形ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，设B=2A，则ba的取范围是()A. (−2,2)B. (0,2)C. (√2,2)D. (√2,√3)9.在正项等比数列{a n}中，若a1+a3=10，a4+a6=54，则S5=()A. 31B. 312C. 63 D. 63410.已知向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(1,3)，则向量2a⃗−b⃗ 与a⃗的夹角为()A. 45°B. 105°C. 40°D. 35°11.若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e3(e为自然对数的底数)，则lna1+lna2+⋯+lna20=()A. 20B. 30C. 40D. 5012.如图，□ABCD中，∠ABC=75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，则∠AED的大小是()A. 60°B. 65°C. 70°D. 75°二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若关于x的不等式|ax+2|<6的解集为(−1,2)，则实数a的值等于______．14.设数列{a n}满足a n=a n+1+2(n∈N∗)，若当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1的取值范围是______ ．15.设是各项均为非零实数的等差数列的前项和，且满足条件，则的最大值为．16.去掉集合A={n|n≤10000,n∈N∗}中所有的完全平方数和完全立方数后，将剩下的元素按从小到大的顺序排成一个数列，则2014是这个数列的第______ 项．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在锐角△ABC中，a=2√3，_______．(1)求角A；(2)求△ABC的周长l的范围．注：在①m⃗⃗⃗ =(−cos A2,sin A2)，n⃗=(cos A2,sin A2)，且m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=−12，②cosA(2b−c)=acosC，③f(x)=cosxcos(x−π3)−14，f(A)=14这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解．如果选择多个条件分别作答，按第一个解答积分．18.已知的解集为，求不等式的解集．19.在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，其前n项和为T n，且b2+S2=11，2S3=9b3．(1)求数列{a n}和数列{b n}的通项；(2)问是否存在正整数m，n，r，使得T n=a m+r⋅b n成立？如果存在，请求出m，n，r的关系式；如果不存在，请说明理由．20.已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是正项等比数列，且满足a1=1，b1=4，a2+b2=10，a26−b3=10．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)记c n=a n b n，求数列{C n}的前n项和S n．21.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若，求ABC的面积．22.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+2S n⋅S n−1=0(n≥2)，a1=1．2}是等差数列；(1)求证：{1Sn(2)若b n=2n，求数列{b n}的前n项和T n．s n【答案与解析】1.答案：B解析：解：由于函数y=x2是偶函数，故不满足条件．由于函数y=x3是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增，故满足条件．由于函数y=−x是奇函数，但在(0,+∞)上单调递减，故不满足条件．由于函数y=tanx是奇函数，故不满足条件．故选B．先判断函数的奇偶性，再考查函数在(0,+∞)上单调性，从而得出结论．本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．2.答案：C解析：试题分析：，，，由于向量与垂直，所以，故选C．考点：1.平面向量垂直；2.平面向量的坐标运算3.答案：B解析：解：∵a=√2，b=√3，A=45°，∴利用正弦定理asinA =bsinB，可得：sinB=bsinAa=√3×√22√2=√32，∵a<b，可得：A<B，B∈(45°,180°)，∴可得：B=60°或120°．故选：B．直接利用正弦定理求出sin B的值，通过三角形的内角求出B的大小．本题是基础题，考查三角形的内角和，正弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．4.答案：D解析：解：∵数列{a n}的通项公式为a n=2n−7(n∈N∗)，∴由a n=2n−7≥0，，得n≥72∴|a1|+|a2|+⋯+|a7|=−a1−a2−a3+a4+a5+a6+a7=−(2×1−7)−(2×2−7)−(2×3−7)+2×4−7+2×5−7+2×6−7+2×7−7=25．故选：D．|a1|+|a2|+⋯+|a7|=−a1−a2−a3+a4+a5+a6+a7，由此能求出结果．本题考查数列的前7项的绝对值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数列的通项公式的合理运用．5.答案：C解析：试题分析：由题意知和方程的两根，且，∴，解得，故选C．考点：一元二次不等式与一元二次方程的关系．6.答案：D解析：解：设OP=ℎ，则OA=√3ℎ，OB=ℎ，在△AOB中，由余弦定理得：OA2=OB2+AB2−2OB⋅AB⋅cos∠ABO，即3ℎ2=ℎ2+6400−80ℎ，解得ℎ=40或ℎ=−80(舍)，故选：D．设OP=ℎ，用h表示出OA，OB，在△AOB中利用余弦定理列方程求出h．本题考查了余弦定理，解三角形的应用，属于基础题．7.答案：C解析：解：∵S3=3a1+3，∴3a1+3d=3a1+3，则d=1．故选：C．利用求和公式即可得出．本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.答案：D解析：先根据正弦定理得到asiA =bsiB，即得到ba，把B=2A代入然后利用二倍角正弦函数公式化简，最后利用余弦函数的值域即可求出ba的范围．本题考查学生利用正弦定理解决数学问题的能力，以及会利用二倍角的正弦函数公式化简求值，会求余弦函数在某区域的值域．解：根据正弦定得：asiA =binB；而三角形ABC是锐角三角形，A∈(π6,π4 )所以cosA∈(√22,√3 2)即得2cosA∈(√2,√3).得：ba =sinBsinA=sin2AsinA=2sinAcosAsinA=2cosA，故选D ．9.答案：B解析：解：设公比为q的正项等比数列{a n}中，若a1+a3=10，a4+a6=54，所以(a1+a3)⋅q3a1+a3=5410=18，解得q=12．所以a1+14a1=10，解得a1=8，所以S5=8×(1−125)1−12=312．故选：B．直接利用关系式求出首项和公比，进一步求出数列的和．本题考查的知识要点：等比数列的通项公式，等比数列的求和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．10.答案：A解析：解：向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(1,3)，∴2a⃗−b⃗ =(3,−1)，∴(2a⃗−b⃗ )⋅a⃗=6−1=5，|a⃗|=√5，|2a⃗−b⃗ |=√10，设量2a⃗−b⃗ 与a⃗的夹角为θ，∴cosθ=(2a⃗ −b⃗)⋅a⃗|2a⃗ −b⃗|⋅|a⃗ |=√10×√5=√22，∵0°≤θ≤180°，∴θ=45°，故选：A．根据向量的坐标运算和向量的夹角公式计算即可．本题考查了向量的坐标运算和向量的夹角公式，属于基础题11.答案：B解析：解：∵等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e3(e为自然对数的底数)，∴a10a11=a9a12=e3，∴lna1+lna2+⋯+lna20=ln(a1×a2×a3×…×a20)=ln(a10×a11)10=ln(e3)10=30．故选：B．由等比数列性质得a10a11=a9a12=e3，由此利用对数性质及运算法则能出lna1+lna2+⋯+lna20的值．本题考查对数函数、等比数列等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12.答案：B解析：解：取DE中点O，连接AO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴∠DAB=180°−∠ABC=105°，∵AF⊥BC，∴AF⊥AD，∴∠DAE=90°，∴OA=12DE=OD=OE，∵DE=2AB，∴OA=AB，∴∠AOB=∠ABO，∠ADO=∠DAO，∠AED=∠EAO，∵∠AOB=∠ADO+∠DAO=2∠ADO，∴∠ABD=∠AOB=2∠ADO，∴∠ABD+∠ADO+∠DAB=180°，∴∠ADO=25°，∠AOB=50°，∵∠AED+∠EAO+∠AOB=180°，∴∠AED=65°．故选：B．由DE=2AB，可作辅助线：取DE中点O，连接AO，根据平行四边形的对边平行，易得△ADE是直角三角形，由直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，即可得△ADO，△AOE，△AOB是等腰三角形，借助于方程求解即可．此题考查了直角三角形的性质(直角三角形斜边上的中线是斜边的一半)、平行四边形的性质(平行四边形的对边平行)以及等腰三角形的性质(等边对等角)，解题的关键是注意方程思想的应用．13.答案：−4解析：解：关于x的不等式|ax+2|<6的解集根据公式应该是−6<ax+2<6；这时，当a=0时，显然不合题意；当a>0时，−8a <x<4a，根据不等式|ax+2|<6的解集为(−1,2)，即满足4a =2且−8a=−1，显然矛盾；当a<0时，解为4a <x <−8a，根据不等式|ax+2|<6的解集为(−1,2)，即满足4a =−1且−8a=2，解得a=−4综上所述，答案为：a=−4．关于x的不等式|ax+2|<6的解集根据公式应该是−6<ax+2<6；再对a进行讨论，a=0时，显然不合题意；a>0时，−8a <x<4a即满足4a =2且−8a=−1，显然矛盾；当a<0时，解为4a<x <−8a，从而易得a=−4．不等式的解集公式应当记熟记牢；还要特别注意对含参不等式中的参数进行讨论．14.答案：(16,18)解析：解：∵数列{a n}满足a n=a n+1+2(n∈N∗)，∴数列为等差数列，公差为−2，∵当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，∴a9>0，a10<0，∴a1−16>0，a1−18<0∴16<a1<18)．故答案为：(16,18)．求出数列为等差数列，公差为−2，利用当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，可得a9>0，a10<0，即可求出首项a1的取值范围．本题考查首项a1的取值范围，确定数列为等差数列，公差为−2，a9>0，a10<0，即可得出结论．15.答案：解析：本题考查了差数列的通项公式及前n项和公式、两角和差的正弦公式及正弦函数的单调性，考查了三角函数代换方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．解：∵等差数列{a n}满足条件a12+a102≤4，可设a1=rcosθ，a10=rsinθ，(0<r)，则0<r≤2．∵a10=a1+9d，∴．∴∴的最大值为．故答案为．16.答案：1961解析：解：由1≤n2≤2014，解得1≤n≤√2014=44+(√2014−44)，因此在区间[1,2014]内的完全平方数共有44个．由1≤n3≤2014，解得1≤n≤32014=12+(32014−12)，因此在区间[1,2014]内的完全立方数共有12个．其中即是完全平方数，又是完全立方数的有3个：1，26，36．∴去掉集合A={n|n≤10000,n∈N∗}中所有的完全平方数和完全立方数53个后，将剩下的元素按从小到大的顺序排成一个数列，则2014是这个数列的第1961项．故答案为：1961．由1≤n2≤2014，解得1≤n≤√2014=44+(√2014−44)，因此在区间[1,2014]内的完全平方数共有44个．同理可得在区间[1,2014]内的完全立方数共有12个．其中即是完全平方数，又是完全立方数的有3个：1，26，36.即可得出．本题考查了完全平方数和完全立方数的性质及其数列，属于基础题．17.答案：解：(1)若选①，∵m⃗⃗⃗ =(−cos A2,sin A2)，n⃗=(cos A2,sin A2)，且m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=−12，∴−cos2A2+sin2A2=−12，∴cosA=12∵A∈(0,π2)，∴∠A=π3，(2)∵asinA=4，∴l△ABC=4sin(2π3−B)+4sinB+2√3，∴l△ABC=4√3sin(B+π6)+2√3，∵锐角△ABC且∠A=π3，∴∠B∈(π6,π2 )，∴B+π6∈(π3,2π3)，∴l△ABC∈(6+2√3,6√3)，(1)若选②∵cosA(2b−c)=acosC，∴2bcosA=acosC+ccosA=a⋅a2+b2−c22ab +c⋅b2+c2−a22bc，∴2bcosA=b，∴cosA=12，∵A∈(0,π2)，∴∠A=π3，(2)∵asinA =4，∴l△ABC=4sin(2π3−B)+4sinB+2√3，∴l△ABC=4√3sin(B+π6)+2√3，∵锐角△ABC且∠A=π3，∴∠B∈(π6,π2)，∴B+π6∈(π3,2π3)∴l△ABC∈(6+2√3,6√3)(1)若选③f(x)=cosx(12cosx+√32sinx)−14=12cos2x+√32cosxsinx−14，=12×1+cos2x2+√32×sin2x2−14=12(12cos2x+√32sin2x)=12sin(2x+π6)，∵f(A)=14∴sin(2A+π6)=12，∵A ∈(0,π2)，∴∠A =π3， (2)∵a sinA =4，∴l △ABC =4sin(2π3−B)+4sinB +2√3， ∴l △ABC =4√3sin(B +π6)+2√3，∵锐角△ABC 且∠A =π3， ∴∠B ∈(π6,π2)，∴B +π6∈(π3,2π3)，∴l △ABC ∈(6+2√3,6√3)解析：(1)若选①，结合向量数量积的坐标表示进行化简，可求cos A ，进而可求A ； 若选②，由已知结合余弦定理进行化简可求cos A ，进而可求A ； 若选③由已知结合和差角公式，辅助角公式进行化简，进而可求A ；(2)结合正弦定理及和差角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质可求．本题主要考查了和差角公式，辅助角公式，正弦定理，余弦定理等知识在三角化简求值中的应用，属于中档试题．18.答案：{x|−2<x <3}．解析：试题分析：解∵x 2+px +q <0的解集为，∴−，是方程x 2+px +q =0的两实数根，由根与系数的关系得，∴，∴不等式qx 2+px +1>0可化为−，即x 2−x −6<0，∴−2<x <3，∴不等式qx 2+px +1>0的解集为{x|−2<x <3}． 考点：一元二次不等式的解集点评：主要是考查了一元二次不等式的解集的求解，属于基础题。

2023-2024学年安徽省安庆市怀宁县高一下册期中数学试题一、单选题1．已知向量()1,2a =- ，()3,1b =r，则()a ab ⋅-= （）A ．2B ．4C ．6D ．-6【正确答案】C【分析】首先根据平面向量的坐标运算得到a b -，再根据平面向量数量积的运算进行计算即可得出答案.【详解】()=4,1a b --，()()14126a a b ⋅-=-⨯-+⨯= .故选：C.2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2+c 2-b ,则角B 的值为A ．6πB ．3πC ．6π或56πD ．3π或23π【正确答案】A【详解】由余弦定理和及已知条件得2cos ac B =，所以cos B =0B π<<，所以6B π=，故选A.1.余弦定理；2.同角三角基本关系.3．已知向量2a = ，1b = ，且向量a 在向量b上的投影向量为：b b-，则3a b +=r r （）A ．2B ．C D ．3【正确答案】C【分析】根据给定条件求出||cos ,a a b 〈〉，再利用向量数量积计算作答.【详解】向量a 在向量b 上的投影向量为(||cos ,)||ba ab b 〈〉，依题意，||cos ,1a a b 〈〉=- ，则||||cos ,1a b a b a b ⋅=〈〉=-，所以3a b +=r r 故选：C4．在ABC 中，若105,45,A B b ===c 等于（）A ．1B ．2C D【正确答案】B【分析】根据题意求得30C = ,再结合正弦定理，即可求解.【详解】在ABC 中，若105,45,A B b === 18030C A B =--= ,由正弦定理，可得sin 2sin b C c B ==.故选：B.5．如图，四边形OADB 是以向量OA a = ，OB b = 为边的平行四边形.又13BM BC =，13CN CD =，则用a ，b 表示MN = （）A ．1566a b+ B ．()23a b+C ．1126a b- D ．1126a b+【正确答案】C【分析】利用向量的线性运算的几何表示即得.【详解】∵四边形OADB 是以向量OA a = ，OB b = 为边的平行四边形，13BM BC =，13CN CD =，∴()()11213636MN ON OM OC OC OB BA OA OB OB OA OB =-=+--=+---1126OA OB =-=1126a b - .故选：C.6．对于直线m 、n 和平面α，下面命题中的真命题是（）A ．如果m α⊂，n α⊄，m 、n 是异面直线，那么//n αB ．如果m α⊂，n α⊄，m 、n 是异面直线，那么n 与α相交C ．如果m α⊂，//n α，m 、n 共面，那么//m nD ．如果//m α，//n α，m 、n 共面，那么//m n 【正确答案】C【分析】根据点、线、面的位置关系并结合图形即可判断答案【详解】解：对于A ，如果m α⊂，n α⊄，m 、n 是异面直线，则//n α或n 与α相交，故A 错；对于B ，如果m α⊂，n α⊄，m 、n 是异面直线，那么n 与α相交或平行，故B 错；对于C ，如果m α⊂，//n α，m 、n 共面，由线面平行的性质定理，可得//m n ，故C 对；对于D ，如果//m α，//n α，m 、n 共面，则//m n 或,m n 相交，故D 错故选：C7．向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：()2214a b AD BC ⋅=- ，我们称为极化恒等式.在△ABC 中，M 是BC 中点，3AM =，10BC =，则AB AC ⋅=（）A ．32B ．-32C ．16D ．-16【正确答案】D【分析】由题设有3AM = ，||10BC = 代入极化恒等式求AB AC ⋅uu u r uuu r即可.【详解】由题设，||3AM =，||10BC = ，2211(4||||)(36100)1644AB AC AM BC ⋅=⨯-=⨯-=- .故选：D8．能够判定两个平面α，β平行的条件是A ．平面α，β都和第三个平交，且交线平行B ．夹在两个平面间的线段相等C ．平面α内的无数条直线与平面β无公共点D ．平面α内的所有的点到平面β的距离都相等【正确答案】D【详解】平面α内的所有的点到平面β的距离都相等说明平面α、β无公共点．两个平面平行的判定.二、多选题9．下列结论正确的是（）A ．若a b =r r ，则a b =或a b =-r r .B ．若b a λ=，则a 与b 共线.C ．若{}12,e e 是平面内的一个基底，则平面内任一向量a都可以表示为1122a e e λλ=+ 且这对实数1λ，2λ是唯一的.D ．若)a =，()0,1b = ，a λb + 与a b λ-的夹角为锐角，则实数()2,2λ∈-.【正确答案】BC【分析】A 选项直接由向量的概念判断；B 选项由共线定理判断；C 选项由平面向量基本定理判断；D 选项由夹角为锐角时数量积大于0且不共线即可判断.【详解】a b =r r 说明,a b 模长相等，但方向不确定，A 错误；由平面向量共线定理知B 正确；由平面向量基本定理知C 正确；a λb + 与a b λ-的夹角为锐角，又),)a λb λa λb λ+=+-=-，可得2310))λλλ⎧+->⎪-≠+，解得22λ-<<且0λ≠，D 错误.故选：BC.10．不解三角形，根据已知条件，判断三角形的解的个数.下列说法中正确的是（）A ．7a =，14b =，30A =︒，ABC 有一解B ．3a =，5c =，120B =︒，ABC 有一解C ．6a =，9b =，45A =︒，ABC 有两解D ．9a =，10b =，60A =︒，ABC 有两解【正确答案】ABD【分析】根据a 和sin b A 大小确定三角形解的个数或者根据条件特点直接判断个数即可.【详解】对于A 选项，sin a b A =，所以有一解，故A 正确；对于B 选项，根据条件三角形一定是唯一确定的，所以有一解，故B 正确；对于C 选项，sin a b A <，所以无解，故C 错误；对于D 选项，sin b a b A >>，所以有两解，故D 正确.故选：ABD.三、单选题11．下列命题中，正确的是（）A ．平行于同一条直线的两个平面平行B ．平行于同一平面的两个平面平行C ．平行于同一平面的两直线关系不确定D ．两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面【正确答案】BCD【分析】通过举反例说明选项A 错误，其它选项根据线面、面面平行的判定和性质直接判断即可.【详解】对于A ，如图，平行于同一条直线的两个平交,故A 错误；对于B ，平行于同一平面的两个平面平行正确，故B 正确；对于C ，平行于同一平面的两直线关系不确定，可以平行，相交，也可以异面，故C 正确；对于D ，根据两个平面平行的性质定理，两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面正确，故C 正确；故选：BCD.四、多选题12．设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c cos cos )2sin a C c A b B +=，且3CAB π∠=，若点D 是ABC 外一点，1DC =，3DA =.下列说法中，正确的命题是（）A ．ABC 的内角3B π=B ．ABC 的内角3C π=C ．ACD D ．四边形ABCD 3+【正确答案】ABD【分析】根据正弦定理可求出3B π=，再根据3CAB π∠=，即可求出3C π=，进而判断AB是否正确；3sin 2ACD S D = 即可判断C 是否正确；根据四边形ABCD 的面积3sin 3ABC ACD S S S D π⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，即可求出四边形ABCD 面积的最大值，即可判断D是否正确.cos cos )2sin a C c A b B +=，)sin cos sin cos 2sin sin A C C A B B +=⋅，∴sin 2B =，∴3B π=．故A 正确．又∵3CAB π∠=．∴3C π=，故B 正确．由于1313sin sin 22ACD S D D =⋅⋅= ，由于角D 无法确定，故C 不一定正确.在等边ABC 中，设AC x =，0x >，在ADC △中，由余弦定理可得：2222cos AC AD CD AD CD D =+-⋅⋅，由于3AD =，1DC =，代入上式可得：2106cos x D =-；∴四边形ABCD 的面积2113sin 13sin sin 23242ABC ACD S S S x x D x D π=+=⋅+⋅⋅=+)35106cos 3sin 4232D D D π⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭，∴当角23D π=时，四边形ABCD面积的最大值，最大值为32+，故D 正确．故选：ABD ．五、填空题13．已知点(1,3),(4,1)A B -，O 为坐标原点，则与向量AB同方向的单位向量为_______．【正确答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】先求出向量AB 的坐标，再求出||ABAB的坐标即可得解.【详解】依题意，(4,1)(1,3)(3,4)AB OB OA =-=--=-，所以与AB 同方向的单位向量为34,55||AB AB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故34(,)55-14．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 4sin a A b B c C -=，1cos 4A =-，则bc=_______.【正确答案】6【分析】先结合正弦定理和余弦定理得到关于三边的方程组，再化简消去22a b -，即得结果.【详解】∵sin sin 4sin a A b B c C -=，1cos 4A =-，∴22222241cos 24a b c b c a A bc ⎧-=⎪⎨+-==-⎪⎩，消去22a b -得2132c bc =，0c >∴6c b =，即6bc=.故6.15．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为__________．【正确答案】2：1【分析】根据已知求出圆柱和圆锥的表面积，可得答案．【详解】∵圆柱的轴截面是边长为a 的正方形，故圆柱的底面半径r=12a ，母线长l=a ，故圆柱的表面积S=2πr （r+l ）=232a π，∵圆锥的轴截面是边长为a 的正三角形，故圆锥的底面半径r=12a ，母线长l=a ，故圆锥的表面积S=πr （r+l ）=234a π，故它们的表面积之比为：2：1，故答案为2：1．本题考查的知识点是旋转体的表面积，熟练掌握圆锥和圆柱表面积公式，是解答的关键．16．如图，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 为AD 的中点，F 为PC 上一点，当PA ∥平面EBF 时，PFFC=__________.【正确答案】12##0.5【分析】根据线面平行的性质得出线线平行，从而得出结果.【详解】如图，连结AC 交BE 于点O ，连结OF .//AD BC ，E 为AD 的中点，1=2AO AE OC BC =, PA ∥平面EBF ，平面EBF 平面PAC OF =，PA ⊂平面PAC ，∴PA ∥OF ，12PF AO FC OC ∴==.故答案为.12六、解答题17．已知向量a 与向量b 的夹角为3π，2a = ，3b = ，记向量32m a b =- ，2n a kb =+ .(1)若m n ⊥，求实数k 的值；(2)若//m n，求实数k 的值.【正确答案】(1)43；(2)43-.【分析】（1）由向量垂直，结合向量数量积的运算律有()2263420a k a b k b +-⋅-= ，根据已知条件即可求k 值.（2）由向量平行，即有实数λ使λ= m n ，进而可得()()322a k b λλ-=+ ，由a 与b不共线，即可求k 值.【详解】（1）由m n ⊥，则()()()2232263420m n a b a kb a k a b k b ⋅=-+=+-⋅-= ，所以2262(34)23cos2303k k π⨯+-⨯⨯⨯-⨯=，解得：43k =；（2）//m n，则存在实数λ使得λ= m n ，即()322a b a kb λ-=+ ，整理得：()()322a k b λλ-=+，又a 与b 不共线，则32020k λλ-=⎧⎨+=⎩，解得.43k =-18．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(2)cos cos b a C c A -=.(1)求角C 的大小；(2)若c =，且___________，求ABC 的周长.请在下列三个条件中，选择其中的一个条件补充到上面的横线中，并完成作答.①1sin sin 12A B =；②ABC23CA CB ⋅= .注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一解答计分.【正确答案】(1)3π(2)4+【分析】（1）首项根据正弦定理，可得(2sin sin )cos sin cos B A C C A -=，再根据三角形内角和以及诱导公式可得2sin cos sin B C B =，由此可求出角C 的大小；（2）根据正弦定理，三角形面积公式，以及数量积公式可知三个条件任选一个条件，都可以得到43ab =，再根据余弦定理即可求出a b +的值，进而求出ABC 的周长.【详解】（1）解：因为(2)cos cos b a C c A -=，所以(2sin sin )cos sin cos B A C C A -=，所以2sin cos sin()sin B C A C B =+=.而在ABC 中，sin 0B ≠.所以1cos 2C =，∵()0,C π∈，则3C π=.（2）解：由（1）可知，4sin sin sin sin3a b c A B C π====；所以4sin ,4sin a A b B ==若选①，即1sin sin 12A B =，则43ab =；若选②，即1sin 2ab C =43ab =；若选③，即23CA CB ⋅= ，则2cos 3ab C =，所以43ab =；故三个条件任选一个条件，都可以得到43ab =.由余弦定理，得2222()22cos 60()3()4c a b ab ab a b ab a b =+--︒=+-=+-，所以()216a b +=，则4a b +=或4a b +=-（舍去），所以ABC的周长为4a b c ++=+19．已知向量,,a b c 满足(1,3)a =- ，||b = ||c = （1）若a c ∥，求c 的坐标；（2）若()2a a b ^- ，求a 与b 的夹角.【正确答案】(1)c =- 或(c = .(2)4π.【分析】(1)本题可以设出向量c 的坐标，然后根据||c = a c ∥分别列出等式，通过计算即可得出结果；(2)首先可以通过()2a a b ^-以及(1,3)a =- 计算出20a b ×= ，再根据|a |= 、||b = 及向量的数量积公式即可得出结果．【详解】（1）设(,)c x y =因为||c = 2220x y +=，①因为a c∥，所以30y x --=，②联立①②，解得x y ì=ïíï=-îx y ì=ïíï=î故c =- 或(c = .（2）因为()2a a b ^- ，所以()20a a b ×-= ，即22a b a ×= ，又因为(1,3)a =- ，所以|a |= 20a b ×= .因为||b = cos ,2a b =因为,[0,]a b 狁 p ，所以a 与b 的夹角为4π.本题考查了向量的相关性质，主要考查向量的模长公式、向量的数量积、向量平行的相关性质，向量的数量积公式为cos ,a b a b a b �鬃 ，考查化归与转化思想，是中档题．20．如果四边形ABCD 是平行四边形，P 是平面ABCD 外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点.求证：MN //平面PAD .【正确答案】证明见解析【分析】取PD 的中点G ，连接GA ，GN ，然后可证明四边形AMNG 为平行四边形，然后得到//MN AG 即可.【详解】证明：如图，取PD 的中点G ，连接GA ，GN .∵G 、N 分别是PDC △的边PD ，PC 的中点，∴//GN DC ，12GN DC =，∵M 为平行四边形ABCD 的边AB 的中点，∴12AM DC =，//AM DC ，∴//AM GN ，AM GN =，∴四边形AMNG 为平行四边形，∴//MN AG ，又∵MN ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，∴//MN 平面PAD.21．设函数()f x m n =⋅u r r ，其中向量()2cos ,1m x = ，()()cos 32n x x x R =∈ .(1)求()f x 的最小值；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知()2f A =，1b =，△ABC 的面积为32，求sin sin b c B C ++的值.【正确答案】(1)1-；(2)2.【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示及倍角余弦公式、辅助角公式可得()f x =2sin 216x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，再由正弦函数性质求最小值.（2）由题设可得3A π=，应用三角形面积公式有2c =，由余弦定理可得a =弦定理2sin sin sin a b c A B C===，即可求目标式的值.【详解】（1）由题设，2()2cos 2f x x x =2cos 212sin 216x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，所以，当sin 216x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时()f x 的最小值为1-.（2）由()2f A =，得：2sin 2126A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又()0,A π∈，所以132666A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故5266A ππ+=，则3A π=.由11sin 122ABC S bc A c ==⨯⨯ .2c =在△ABC 中，由余弦定理得：22212cos 1421232a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以a =由2sin sin sin 2a b c A B C ===，则2sin 2sin 2sin sin sin sin b c B C B C B C ++==++.22．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，E ，F 分别为线段1AC ，11A C的中点．(1)求证：//EF 平面11BCC B ．(2)在线段1BC 上是否存在一点G ，使平面//EFG 平面11?ABB A 请说明理由．【正确答案】(1)证明见解析(2)存在，理由见解析【分析】（1）根据中位线的性质可得1//EF A A ，再根据线面平行的判定可得EF 1//B B 即可；（2）取1BC 的中点G ，连接,GE GF ，根据中位线的性质判定即可【详解】（1）证明：因为E ，F 分别为线段111AC AC 的中点所以1//EF A A .因为11//B B A A ，所以EF 1//B B .又因为EF ⊄平面11BCC B ，1B B ⊂平面11BCC B ，所以//EF 平面11BCC B ．（2）取1BC 的中点G ，连接GE ，.GF 因为E 为1AC 的中点所以//GE AB ．因为GE ⊄平面11ABB A ，AB ⊂平面11ABB A ，所以//GE 平面11ABB A ，同理可得，//EF 平面11ABB A ，又因为EF EG E = ，EG ，EF ⊂平面EFG ，所以平面//EFG 平面11ABB A 故在线段1BC 上存在一点G ，使平面//EFG 平面11ABB A ．。

安徽省安庆市怀宁县第二中学2019-2020学年高一下学期期中线上检测数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分。

） 1.已知,,a b c ∈R ，若a b >，则下列不等式成立的是（ ）A. 11a b <B. 22a b >C. 2211a bc c >++ D. a c b c >2.不等式13()()022x x +-≥的解集是（ ）A. 13{|}22x x -≤≤B. 13{|}22x x x ≤-≥或C. 13{|}22x x -<<D. 13{|}22x x x <->或3.等差数列{a n }中，a 1+a 4 +a 7 =39，a 2 +a 5+a 8 =33，则a 6的值为 （ ） A.10B.9C.8D.74.在ABC △中，已知4,6a b ==，60B =，则sin A 的值为（ ）A.5.在ABC ∆中，若0120,2==A b ，三角形的面积3=S ，则三角形外接圆的半径为（ ）AB ．2C．D ．46.已知是等比数列，前项和为，，则5S = （ ） A.132B.314C.334D.10187.已知变量x , y 满足约束条件13230x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩，则y x z +=2的最小值为（ ）A.1B.2C.3D.68.若(1,2),(1,0)a b ==，则a 与b 夹角的余弦值为（ ）A. B. 12 C. 13 D. 1{}n a n n S 41252==a a ，9.等差数列的前项和为n S ，若2086=+a a ，那么的值是（ ） A ．65B ．70C ．130D ．26010.若向量，的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝3，则|2|b a -＝（ ）B. 14D. 8 11.边长为8,7,5的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ． 120 B ． 135 C ． 90D ． 15012.若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，则m 的范围是（ ） A ．(1,9) B ．(,1](9,)-∞⋃+∞ C ． [1,9) D ．(,1)(9,)-∞⋃+∞ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

安徽省安庆市高一下学期期中数学试卷 （理科）姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 设 是等差数列，若,则数列 前 8 项的和为（ ）A . 128B . 80C . 64D . 562. （2 分） (2020 高一下·沈阳期中) 下列函数中，周期为 1 的奇函数是（ ）A . y=1-2sin2πxB . y=sinC . y=tan x D . y=sinπxcosπx3. （2 分） (2019·东北三省模拟)的内角 ， ， 的对边为 ， ， ，若，且的面积为A.1B.2C.3D.4，则的最大值为（ ）4. （2 分） (2018 高一下·北京期中) tan（ － ）= ，则 tan =（ ） A.2第 1 页 共 10 页B . －2C.D.－5. （2 分） 化简： A . 2+的值为（ ）B . 2-C . 1+D . -16. （2 分） 数列 中，对所有正整数 n 都成立，则 等于（ ）A . 34B . 55 C . 89 D . 100 7. （2 分） 各项为正的等比数列{an}中，a6 与 a12 的等比中项为 3，则 log3a7+log3a11=（ ）A.0 B.1 C.2D.38. （2 分） (2016 高二下·松原开学考)A.第 2 页 共 10 页=（ ）B. C. D.9. （2 分） 在中，，则的形状是（ ）A . 等腰非直角三角形B . 等腰直角三角形C . 直角非等腰三角形D . 等腰或直角三角形10. （2 分） 等比数列 x，3x+3，6x+6，…的第四项等于（ ）A . －24B . -12C . 12D . 2411. （2 分） (2017·辽宁模拟) 已知{an}是首项为 1 的等比数列，Sn 是{an}的前 n 项和，且 9S3=S6 ， 则数列的前 5 项和为（ ）A.B.C.D.12. （2 分） (2019 高一下·广东期中) 等差数列 中，，，则此第 3 页 共 10 页数列前 20 项和等于（ ）A . 160B . 180C . 200D . 220二、 填空题 (共 4 题；共 5 分)13. （1 分） (2020 高一下·无锡期中) 在中，内角的对边分别为， 为锐角，则的取值范围为________．，且满足14. （2 分） (2020·漯河模拟) 已知数列 的前 n 项和为 ，，，数列 的前 n 项和为 ，若使得恰好为数列________，所有正整数 m 组成的集合为________.中的某个奇数项，则数列的通项公式15. （1 分） (2018 高一下·宜昌期末) 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…， 被称为五角形数，其中第 1 个五角形数记作，第 2 个五角形数记作，第 3 个五角形数记作，第 4 个五角形数记作，……，若按此规律继续下去，若，则 ________．16. （1 分） (2016 高一下·台州期末) 在平面四边形 ABCD 中，∠A=∠B=60°，∠D=150°，BC=1，则四边形 ABCD 面积的取值范围是________．三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)17. （5 分） (2016 高一下·湖北期中) 和为 114 的三个数是一个公比不为 1 的等比数列的连续三项，也是一 个等差数列的第 1 项，第 4 项，第 25 项，求这三个数．第 4 页 共 10 页18. （10 分） 已知数列，若且对任意正整数 都有，数列 的前 项和（1） 求数列的通项公式；（2） 求数列的前 项和 。

2019-2020学年度安庆二中第二学期期中考试卷数学 第Ⅰ卷（选择题)一、单选题1.已知等比数列{}n a 的公比12q =-，该数列前3项的乘积为1，则1a =（ ） A. -2 B. 2C. -4D. 4【答案】A 【解析】 【分析】先由数列前3项的乘积为1，结合等比数列的通项公式得到318a =-，从而可求出结果. 【详解】由已知1231a a a ⋅⋅=， 所以21111a a q a q ⋅⋅=，即3311a q ⋅=， 又12q =-，所以318a =-，即12a =-. 故选：A.【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及等比数列的基本量计算，熟记等比数列的性质与通项公式即可，属于常考题型.2.已知,,,a b c d R ∈，下列说法正确的是 （ ） A. 若,a b c d >>，则ac bd > B. 若a b >，则22ac bc > C. 若0a b <<，则11a b< D. 若a b >，则a c b c ->-【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式性质得D 成立，举例说明A,B,C 错误. 【详解】因为2>1,-1>-2,2(-1)=1(-2),所以A 错； 因为2>1 ,2✖02=1✖02,所以B 错； 因为-2<-1,-1 2>-1 ,所以C 错；由不等式性质得若a b >，则a c b c ->-，所以D 对，选D. 【点睛】本题考查不等式性质，考查分析判断能力.3.设ΔABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，若πa 3,b 3,A 3===，则B =（ ） A.π5π66或 B.π6C.5π6D. 2π3【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理求解即可得到所求结果． 【详解】由正弦定理得sin sin a b A B=， ∴33sin 12sin 32b AB a===． 又b a <， ∴B 为锐角， ∴6B π=．故选B ．【点睛】在已知两边和其中一边的对角解三角形时，需要进行解的个数的讨论，解题时要结合三角形中的边角关系，即“大边（角）对大角（边）”进行求解，属于基础题． 4.《九章算术》中有这样一个问题：今有竹九节，欲均减容之（其意为：使容量均匀递减），上三节容四升，下三节容二升，中三节容几何？（ ） A. 二升 B. 三升C. 四升D. 五升【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，上、中、下三节的容量成等差数列．再利用等差数列的性质，求出中三节容量，即可得到答案．【详解】由题意，上、中、下三节的容量成等差数列，上三节容四升，下三节容二升，则中三节容量为4232+=，故选B ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的应用，其中解答中熟记等差数列的等差中项公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．5.已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2cos a b C =，且sin sin sin b a A Cc a B-+=-，则这个三角形的形状是（ ） A. 等边三角形 B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】分析：先由正弦定理进行角化边得到a 2+b 2-c 2=ab 再由余弦定理可得C 值，结合2cos a b C =即可得出结论.详解：由正弦定理化简（a-c ）（sinA+sinC ）=（a-b ）sinB ，得：（a-c ）（a+c ）=b （a-b ），整理得：a 2-c 2=ab-b 2，即a 2+b 2-c 2=ab ，由余弦定理得2221cos 223a b c C C ab π+-==⇒=，再由2cos a b C =，可得a=b ，结合C=60°，故三角形的形状为等边三角形，选A. 点睛：考查正余弦定理的运用，对sin sin sin b a A Cc a B-+=-角化边得到a 2+b 2-c 2=ab 再由余弦定理得出C 值是解题关键，属于中档题. 6.下列函数中，y 的最小值为4的是（ ）A. 4y x x=+B. 222y x =+C. 4xxy e e -=+D. 4sin (0)sin y x x xπ=+<< 【答案】C 【解析】 【分析】由基本不等式求最值的规则：“一正，二定，三相等”，对选项逐一验证即可. 【详解】选项A 错误，x 可能为负数，没有最小值；选项B 错误，化简可得22222y x x ⎫=++，2222x x +=+，即21x =-，显然没有实数满足21x =-；选项D 错误，由基本不等式可得取等号的条件为sin 2x =， 但由三角函数的值域可知sin 1x ≤； 选项C 正确，由基本不等式可得当2x e =， 即ln 2x =时，4x x y e e -=+取最小值4，故选C.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.7.设变量,x y 满足条件*3210411,x y x y x y +<⎧⎪+⎨⎪∈⎩N ，则54z x y =+的最大值为（ ）A. 13B. 14C. 1185D. 119【答案】B 【解析】 【分析】先根据变量x y ，满足条件*3210411x y x y x y N +<⎧⎪+⎨⎪∈⎩，，画可行域，将54z x y =+变形为544zy x =-+，平移直线54y x =-，使得直线在y 轴上的截距最大时的整点，即为最优点再求解. 【详解】由变量x y ，满足条件*3210411x y x y x y N +<⎧⎪+⎨⎪∈⎩，，画可行域如图所示A ,B 两点，将54z x y =+变形为544zy x =-+，平移直线54y x =-，在过整点()21B ，时，直线在y 轴上的截距最大，此时，目标函数取得最大值，最大值为14. 故选：B.【点睛】本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.8.在ABC ∆中，60A ∠=︒，1b =，3ABC S ∆，则2sin 2sin sin a b cA B C ++=++（ ）A.239326383D. 23【答案】A 【解析】 【分析】根据面积公式得到4c =，再利用余弦定理得到13a =，再利用正弦定理得到答案.【详解】13sin 3424ABC S bc A c c ∆==== 利用余弦定理得到：2222cos 11641313a b c bc A a =+-=+-=∴=正弦定理：sin sin sin a b c A B C== 故213239sin 2sin sin sin 3a b c a A B C A ++===++故选A【点睛】本题考查了面积公式，正弦定理，余弦定理，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.9.已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ABC ∆的外接圆的面积为3π，且222cos cos cos A B C -+1sin sin A C =+，则ABC ∆的最大边长为（ ）A. 2B. 33 D. 23【答案】B 【解析】 【分析】化简得到222sin sin sin sin sin 0A B C A C -++=，根据正弦定理得到2220a c b ac +-+=，根据余弦定理得到120B ∠=︒，再计算得到答案.【详解】ABC ∆的外接圆的面积为233R R ππ=∴=222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+则2221sin 1sin 1sin 1sin sin A B C A C --++-=+222sin sin sin sin sin 0A B C A C -++=，根据正弦定理：2220a c b ac +-+=根据余弦定理：22212cos cos 1202a cb ac B ac B B +-==-∴=-∴∠=︒ 故b 为最长边：2sin 3b R B == 故选B【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，外接圆面积，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.10.已知数列{}n a 满足：6(3)3,7,7n n a n n a an ---≤⎧=⎨>⎩*()n N ∈，且数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ）A. 9(,3)4B. 9[,3)4C. (1,3)D. (2,3)【答案】D 【解析】根据题意，a n ＝f (n )＝()633,7,7n a n x a n -⎧--≤⎨>⎩，n ∈N *，要使{a n }是递增数列，必有()86301373a a a a -⎧->⎪>⎨⎪-⨯-<⎩，据此有：3129a a a a <⎧⎪>⎨⎪><-⎩或，综上可得2<a <3. 本题选择D 选项.11.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则263n n S a ++的最小值为（ ）A. 4B. 3C. 232-D. 2【答案】D 【解析】 【分析】由题意得2(12)112d d +=+，求出公差d 的值，得到数列{}n a 的通项公式，前n 项和，从而可得263n n S a ++，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【详解】解：11a =，1a 、3a 、13a 成等比数列，2(12)112d d ∴+=+． 得2d =或0d =（舍去），21n a n ∴=-，2(121)2n n n S n +-∴==，∴()()22211426263322112n n n n S n n a n n n ++++++===+-+++．令1t n =+，则26442223n n S t t a t t+=+-≥⋅=+ 当且仅当2t =，即1n =时，∴263n n S a ++的最小值为2．故选：D ．【点睛】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．12.已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若关于x的不等式()()20f x af x +<⎡⎤⎣⎦恰有1个整数解，则实数a 的最大值为（ ） A. 2 B. 3C. 5D. 8【答案】D 【解析】 【分析】画出函数()f x 的图象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出. 【详解】解：函数()f x ，如图所示()()()()()200f x af x f x f x a +<⇒+<⎡⎤⎣⎦当0a >时，()0a f x -<<， 由于关于x不等式()()20f x af x +<⎡⎤⎣⎦恰有1个整数解因此其整数解为3，又()3963f =-+=- ∴30a -<-<，()48a f -≥=-，则38a <≤ 当0a =时，()20f x <⎡⎤⎣⎦，则0a =不满足题意； 当0a <时，()0f x a <<-当01a <-≤时，()0f x a <<-，没有整数解 当1a ->时，()0f x a <<-，至少有两个整数解 综上，实数a 的最大值为8 故选：D【点睛】本题主要考查了根据函数零点的个数求参数范围，属于较难题.第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题（每题5分，共20分）13.如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为60︒和30︒，如果这时气球的高是30米，则河流的宽度BC 为______米.【答案】3【解析】 【分析】由题意画出图形，利用特殊角的三角函数，可得答案．【详解】解：由题意可知30C ∠=︒，30BAC ∠=︒，30DAB ∠=︒，30AD m =， 30203cos30BC AB ∴===︒．故答案为3【点睛】本题给出实际应用问题，着重考查了三角函数的定义，属于简单题．14.设x ∈R 且0,x n N +≠∈，则231n x x x x ++++=______．【答案】11,11,11n n x x x x++=⎧⎪⎨-≠⎪-⎩【解析】【分析】讨论1x =，1x ≠两种情况，结合等比数列的求和公式即可得出答案. 【详解】当1x =时，2311n x x x x n ++++=+当1x ≠时，数列{}nx是首项为1，公比为x 的等比数列则由等比数列的求和公式可得123111n nx x x x x x+-++++=- 故答案为：11,11,11n n x x x x++=⎧⎪⎨-≠⎪-⎩【点睛】本题主要考查了求等比数列的前n 项和，解题时不要忽略公比为1的情况，属于中档题.15.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos cos b B a C c A =+，若ABC23，则ABC 面积的最大值是______. 3【解析】 【分析】由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合范围(0,)B π∈可求B 的值，利用正弦定理可求b 的值，进而根据余弦定理，基本不等式可求ac 的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解. 【详解】解：2cos cos cos b B a C c A =+，∴由正弦定理可得：2sin cos sin cos sin cos sin()B B A C C A A C =+=+，A B C π++=，(sin s )in A C B ∴+=，又(0,)B π∈，sin 0B ∴≠，2cos 1B ∴=，即1cos 2B =，可得：3B π=， ABC 外接圆的半径为233，2323sin2b π∴=⨯，解得2b =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得224a c ac +-=，又222a c ac +，2242a c ac ac ac ac ∴=+--=（当且仅当a c =时取等号），即ac 最大值为4， ABC ∴面积的最大值为14sin 32B ⨯=.3【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题． 16.已知数列{}n a 的前n 项和122n n n S a +=-，若不等式223(5)n n n a λ--<-，对n N +∀∈恒成立，则整数λ的最大值为______． 【答案】4 【解析】【详解】当1n =时，21122S a =-，得14a =，当2n ≥时，122nn n S a -=-， 又122n n n S a +=-，两式相减得1222nn n n a a a -=--，得122nn n a a -=+，所以11122n n nn a a ---=． 又1122a =，所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列， 12n na n =+，即(1)2nna n =+⋅． 因为0n a >，所以不等式223(5)n n n a λ--<-，等价于2352nn λ-->． 记122311,,224n n n b b b -==-=， 2n ≥时，112121223462n n nnn b n n b n ++--==--．所以3n ≥时，11,n nb b +< 综上，max 33()8n b b ==，所以33375,5888λλ-><-=，所以整数λ的最大值为4． 考点：1．数列的通项公式；2．解不等式． 三、解答题（共70分）17.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若7c =33ABC S ∆=ABC ∆的周长. 【答案】（1）3C π=（2）57【解析】【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，利用和角公式可得1cos ,2C =从而求得角C ；（2）根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =，由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=12cos sin()sin cos 23C A B C C C π∴+=⇒=⇒= （2）1313sin 362222ABC S ab C ab ab ∆=⇒=⋅⇒= 又2222cos a b ab C c +-=2213a b ∴+=，2()255a b a b ∴+=⇒+=ABC ∆∴的周长为57+考点：正余弦定理解三角形.18.设数列{}n a 满足：11a =，且112n n n a a a +-=+（2n ≥），3412a a +=. （1）求{}n a 的通项公式：（2）求数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.【答案】（1）21n a n =-（*n N ∈）（2）113(21)(23)n n n +-++ 【解析】 【分析】(1)先根据等差中项判别法判断出数列{}n a 是等差数列,然后根据已知条件列式求出公差d ,即可得到数列{}n a 的通项公式; (2)由(1)求出数列21{}n n a a +的通项公式,然后运用裂项相消法求出前n 项和n S . 【详解】(1)由112n n n a a a +-=+(2n ≥)可知数列{}n a 是等差数列,设公差为d , 因为11a =,所以34112312a a a d a d +=+++=,解得2d =, 所以{}n a 的通项公式为:21n a n =-(*n N ∈); (2)由(1)知211111(21)(23)42123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭,所以数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和:1111111114537592123n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11111432123n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ 113(21)(23)n n n +=-++. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用,考查裂项相消法求数列的前n 项和,难度不大. 19.已如函数()211f x x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭. （1）若不等式()0f x <解集为122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭时，求实数a 的值；（2）当0a >时，解关于x 的不等式()0f x ≥. 【答案】(1) 2a =或12(2)答案见解析 【解析】 【分析】 （1）易得12和2是方程()0f x =的根． （2）()()2111f x x a x x a x a a ⎛⎫⎛⎫=-++=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知两根为x a =或者1x a =，再分别讨论a 和1a的大小即可. 【详解】()()1f x x a x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（1）()()10f x x a x a ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭的解集为122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭2112a a =⎧⎪∴⎨=⎪⎩或1212a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2a ∴=或12（2）当1a a =，即1a =时，()()210f x x =-≥恒成立. x R ∴∈ 当1a a>，即1a >时，x a ≥或1x a ≤当1a a <，即01a <<时，1x a≥或x a ≤综上：1a =时，不等式()0f x ≥的解集为R ；1a >时，不等式()0f x ≥的解集为{x x a ≥或1x a ⎫≤⎬⎭； 01a <<时，不等式()0f x ≥的解集为{x x a ≤或1x a ⎫≥⎬⎭【点睛】此题考查二次函数含参解不等式题型，涉及到分类讨论，讨论时注意不重不漏，属于较难题目．20.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且22cos a c b C -=. (1)求sin 2A C B +⎛⎫+⎪⎝⎭的值； (2)若3b =c a -的取值范围. 【答案】3(2)(3,3- 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可整理求得cos B ，进而求得B 和A C +，代入求得结果；（2）利用正弦定理可将c a -表示为2sin 2sin C A -，利用两角和差正弦公式、辅助角公式将其整理为2sin 3C π⎛⎫-⎪⎝⎭，根据正弦型函数值域的求解方法，结合C 的范围可求得结果. 【详解】（1）由正弦定理可得：2sin sin 2sin cos A C B C -=A B C π++= ()sin sin A B C ∴=+()2sin sin 2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C C B C B C C B C ∴+-=+-=即2cos sin sin B C C =()0,C π∈ sin 0C ∴≠ 1cos 2B ∴=()0,B π∈ 3B π∴= 23AC π∴+=23sin sin 23A C B π+⎛⎫∴+==⎪⎝⎭（2）由（1）知：3sin sin 3B π== 32sin sin sin 32a c bA C B∴==== 2sin c C ∴=，2sin a A =()2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin cos 2cos sin c a C A C B C C B C B C∴-=-=-+=--2sin 3sin sin 32sin 3C C C C C C π⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭23A C π+=203C π∴<< ,333C πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭(2sin 3,33C π⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，即c a -的取值范围为(3,3-【点睛】本题考查解三角形知识的相关应用，涉及到正弦定理边化角的应用、两角和差正弦公式和辅助角公式的应用、与三角函数值域有关的取值范围的求解问题；求解取值范围的关键是能够利用正弦定理将边长的问题转化为三角函数的问题，进而利用正弦型函数值域的求解方法求得结果.21.设函数()24f x ax x b =++.（1）当2b =时，若对于[]1,2x ∈，有()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）已知a b >，若()0f x ≥对于一切实数x 恒成立，并且存在0x R ∈，使得20040ax x b ++=成立，求22a b a b+-的最小值.【答案】(1)5a 2≥-(2)42【解析】 【分析】（1）据题意知，把不等式的恒成立转化为224a x x ≥--恒成立，设1t x=，则()224g t t t =--，根据二次函数的性质，求得函数的最大致，即可求解.（2）由题意，根据二次函数的性质，求得4ab =，进而利用基本不等式，即可求解. 【详解】（1）据题意知，对于[]x 1,2∈，有2ax 4x 20++≥恒成立，即224x 224a x x x --≥=--恒成立，因此2max 24a xx ⎛⎫≥-- ⎪⎝⎭ ， 设11t ,t ,1x 2⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦则，所以()()22g t 2t 4t 2t 12=--=-++， 函数()g t 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递减的，∴ ()max 15g t g 22⎛⎫==- ⎪⎝⎭，5a 2∴≥-（2）由()f x 0≥对于一切实数x 恒成立，可得a 0,Δ0>≤且，由存在0x R ∈，使得200ax 4x b 0++=成立可得Δ0≥，16-4ab 0,4ab ∴∆==∴=，()()()222222a b 8a b 2aba b 8a b 42a ba ba b-⨯-+-++==≥=---a b 22-=等号成立，22a b 4 2.a b+∴≥-【点睛】本题主要考查了恒成立问题的求解，以及基本不等式求解最值问题，其中解答中掌握利用分离参数法是求解恒成立问题的重要方法，再合理利用二次函数的性质，合理利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 22.已知数列{}n a 中，11a =，13nn n a a a +=+. （1）求2a ，3a ； （2）求证：112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （3）数列{}n b 满足()312nn nnn b a =-⋅，数列{}n b 的前n 项和为nT ，若不等式1(1)2n n n nT λ--<+对一切*n ∈N 恒成立，求λ的取值范围. 【答案】（1）214a =，3113a =（2）见解析，231n n a =-（3）23λ-<<【解析】 【分析】（1）根据递推公式依次求出2a ，3a 即可得解；（2）转化条件得11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，结合111322a +=可得11322n n a +=即可得解； （3）由题意12n n n b -=，利用错位相减法可得1242nn n T -+=-，则条件可转化为12(1)42n n λ--<-，根据n 为偶数、n 为奇数分类讨论即可得解.【详解】（1）由11a =得112134a a a =+=，2231313a a a ==+. （2）由13n n n a a a ++=得13131n n n n a a a a ++==+，即11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 又111322a +=，所以112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以32是为首项，3为公比的等比数列. 所以111333222n n n a -+=⨯=，即231n n a =-. （3）()12231nnnn n b ann --⋅==， 0122111111123(1)22222n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯， 211111112(1)22222n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯. 两式相减得121011111222222222n n n n T n n -+=+++⋯+-⨯=-，1242n n n T -+=-，所以12(1)42n n λ--<-.令()()*1242n f n n -=-∈N ，易知()f n 单调递增， 若n 为偶数，则()21242f n λ-<-≤，所以3λ<； 若n 为奇数，则()11242f n λ--<-≤，所以2λ-<，所以2λ>-. 所以23λ-<<.【点睛】本题考查了递推公式的应用、等比数列的证明、数列通项的求解、错位相减求数列前n 项和，考查了恒成立问题的处理方法和分类讨论的思想，属于中档题.。