(完整)高中微积分基本知识

高中微积分基本知识第一章、极限与连续一、数列的极限1. 数列定义：按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数X!,K,X n丄叫数列，记作x n,并吧每个数叫做数列的项，第n个数叫做数列的第n项或通项界的概念：一个数列X n ，若M 0，s.t对nN*，都有X n M，则称人是有界的：若不论M有多大，总m N*，s.t x m M，则称x n是无界的若a x n b，则a称为x n的下界，b称为x n的上界X n有界的充要条件：x n既有上界，又有下界2. 数列极限的概念定义：设X n为一个数列，a为一个常数，若对0，总N , st当n N时，有x n a 则称a是数列x n的极限，记作lim x n a或x n a(n )n数列有极限时，称该数列为收敛的，否则为发散的几何意义：从第N 1项开始，x n的所有项全部落在点a的邻域(a ,a )3. 数列极限的性质①唯一性②收敛必有界③保号性：极限大小关系数列大小关系(n N时)二、函数的极限1. 定义：两种情形①x X o :设f (x)在点X o处的某去心邻域内有定义，A为常数，若对0，0，s.t当0 x x0时，恒有f (x) A 成立，则称f (x)在x x0时有极限A记作lim f (x) A或 f (x) A(x x°)X X0几何意义：对0, 0, s.t当0 X X o 时，f(x)介于两直线y A单侧极限：设f(x)在点x o处的右侧某邻域内有定义，A为常数，若对0 ,0 , s.t当0 x x0时，恒有f (x) A 成立，称f (x)在x0处有右极限A，记作lim f (x) A或f(x°) Ax xlim f (x) A的充要条件为：f(x°) f(x°) = Ax x垂直渐近线：当lim f (x) 时，x x0为f (x)在x0处的渐近线X x 0②x :设函数f (x)在x b 0上有定义，A为常数，若对0，X b, s.t 当x X时，有| f (x) A 成立，则称f (x)在x 时有极限A，记作lim f (x) A 或f (x) A(x )xlim f (x) A 的充要条件为：Jim f (x) Jim f (x) A水平渐进线：若lim f (x) A或lim f (x) A，则y A是f (x)的水平渐近线x x2. 函数极限的性质：①唯一性②局部有界性③局部保号性(②③在当0 |x x0时成立)三、极限的运算法则1. 四则运算法则设f(x)、g(x)的极限存在，lim f(x) A,lim g(x) B 贝V①lim f(x) g(x) A B②lim[ f (x)g(x)] AB③lim - (当B 0 时)g(x) B④lim cf (x) cA ( c为常数)⑤lim[f(x)]k A k( k为正整数)2. 复合运算法则设 y f [ (x)]，若 lim (x) a ，则 lim f[ (x)] f (a)xx x可以写成lim f[ (x)] f[lim (x)](换元法基础)XxXx四、极限存在准则及两个重要极限1 •极限存在准则①夹逼准则设有三个数列x n, y n, z n,满足y n X n Z n ，②单调有界准则lim y nnlimz nna 则lim X n an有界数列必有极限3.重要极限sin x ① lim1 ② lim 1 1 Xe1或lim 1 x ex0 x x x x 0五、无穷大与无穷小1.无穷小：在自变量某个变化过程中lim f(x) 0，则称f (x)为X在该变化过程中的无穷小探若f(X)0，则f(X)为x在所有变化过程中的无穷小若f(X)，则f(x)不是无穷小性质：1.有限个无穷小的代数和为无穷小2. 常量与无穷小的乘积为无穷小3. 有限个无穷小的乘积为无穷小4. 有极限的量与无穷小的乘积为无穷小5. 有界变量与无穷小的乘积为无穷小定理：lim f(x) A的充要条件是f(x) A (x)，其中(x)为x在该变化中过程中的无穷小无穷小的比较：(趋于0的速度的大小比较)(x), (x)，为同一变化过程中的无穷小若lim--c (c 0常数)则是的同阶无穷小(当c 1时为等价无穷小)若lim- kc ( c 0常数)则是的k阶无穷小若lim- -0 则是的高阶无穷小常用等价无穷小：(x 0) x: sinx: tanx: arcsinx: arctanx: In(1 x) : e x 1 ；1 cosx: ; (1 x) 1: x; a x 1 : xlna22•无穷大:设函数f (x)在x0的某去心邻域内有定义。

高中数学微积分知识点一、导数的概念与运算。

1. 导数的定义。

- 函数y = f(x)在x = x_0处的导数f^′(x_0)定义为f^′(x_0)=limlimits_Δ x→0(Δ y)/(Δ x)=limlimits_Δ x→0frac{f(x_0+Δ x)-f(x_0)}{Δ x}。

- 函数y = f(x)的导数f^′(x)，y^′或(dy)/(dx)，f^′(x)=limlimits_Δ x→0(f(x + Δ x)-f(x))/(Δ x)。

2. 导数的几何意义。

- 函数y = f(x)在点x_0处的导数f^′(x_0)的几何意义是曲线y = f(x)在点(x_0,f(x_0))处的切线斜率。

- 曲线y = f(x)在点(x_0,f(x_0))处的切线方程为y - f(x_0)=f^′(x_0)(x - x_0)。

3. 基本初等函数的导数公式。

- C^′=0（C为常数）- (x^n)^′=nx^n - 1（n∈ Q）- (sin x)^′=cos x- (cos x)^′=-sin x- (a^x)^′=a^xln a（a>0,a≠1）- (e^x)^′=e^x- (log_ax)^′=(1)/(xln a)（a>0,a≠1,x>0）- (ln x)^′=(1)/(x)（x>0）4. 导数的运算法则。

- (u± v)^′=u^′± v^′- (uv)^′=u^′v + uv^′- ((u)/(v))^′=frac{u^′v - uv^′}{v^2}(v≠0)二、导数的应用。

1. 函数的单调性。

- 设函数y = f(x)在某个区间内可导，如果f^′(x)>0，则y = f(x)在这个区间内单调递增；如果f^′(x)<0，则y = f(x)在这个区间内单调递减。

2. 函数的极值。

- 设函数y = f(x)在点x_0处可导，且在x_0处取得极值，那么f^′(x_0) = 0。

[学习目标] 1.了解导数和微积分的关系.2.掌握微积分基本定理.3.会用微积分基本定理求一些函数的定积分.知识点一 导数与定积分的关系f (x )d x 等于函数f (x )的任意一个原函数F (x )(F ′(x )＝f (x ))在积分区间[a ，b ]上的改变量F (b )－F (a ).以路程和速度之间的关系为例解释如下：如果物体运动的速度函数为v ＝v (t )，那么在时间区间[a ，b ]内物体的位移s 可以用定积分表示为s ＝v (t )d t .另一方面，如果已知该变速直线运动的路程函数为s ＝s (t )，那么在时间区间[a ，b ]内物体的位移为s (b )－s (a )，所以有v (t )d t ＝s (b )－s (a ).由于s ′(t )＝v (t )，即s (t )为v (t )的原函数，这就是说，定积分v (t )d t 等于被积函数v (t )的原函数s (t )在区间[a ，b ]上的增量s (b )－s (a ).思考 函数f (x )与其一个原函数的关系： (1)若f (x )＝c (c 为常数)，则F (x )＝cx ； (2)若f (x )＝x n (n ≠－1)，则F (x )＝1n ＋1·x n ＋1；(3)若f (x )＝1x ，则F (x )＝ln x (x >0)；(4)若f (x )＝e x ，则F (x )＝e x ；(5)若f (x )＝a x，则F (x )＝a xln a(a >0且a ≠1)；(6)若f (x )＝sin x ，则F (x )＝－cos x ； (7)若f (x )＝cos x ，则F (x )＝sin x . 知识点二 微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么f (x )d x ＝F (b )－F (a ). 思考 (1)函数f (x )的原函数F (x )是否唯一？(2)用微积分基本定理计算简单定积分的步骤是什么？ 答案 (1)不唯一.(2)①把被积函数f (x )变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等初等函数与常数的和或差；②用求导公式找到F (x )，使得F ′(x )＝f (x )； ③利用微积分基本定理求出定积分的值.题型一 求简单函数的定积分 例1 计算下列定积分. (1)3d x ；(2)(2x ＋3)d x ； (3) (4x －x 2)d x ；(4)(x －1)5d x . 解 (1)因为(3x )′＝3，所以3d x ＝(3x )⎪⎪⎪21＝3×2－3×1＝3. (2)因为(x 2＋3x )′＝2x ＋3， 所以(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )⎪⎪⎪2＝22＋3×2－(02＋3×0)＝10. (3)因为⎝⎛⎭⎫2x 2－x33′＝4x －x 2， 所以(4x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－x 33⎪⎪⎪3－1＝⎝⎛⎭⎫2×32－333－⎣⎡⎦⎤2×(－1)2－(－1)33＝203.(4)因为⎣⎡⎦⎤16(x －1)6′＝(x －1)5， 所以 (x －1)5d x ＝16(x －1)6⎪⎪⎪21＝16(2－1)6－16(1－1)6＝16. 反思与感悟 (1)用微积分基本定理求定积分的步骤： ①求f (x )的一个原函数F (x )； ②计算F (b )－F (a ). (2)注意事项：①有时需先化简，再求积分；②若F (x )是f (x )的原函数，则F (x )＋C (C 为常数)也是f (x )的原函数.随着常数C 的变化，f (x )有无穷多个原函数，这是因为F ′(x )＝f (x )，则[F (x )＋C ]′＝F ′(x )＝f (x )的缘故.因为⎠⎛ab f (x )d x＝[F (x )＋C ]|b a ＝[F (b )＋C ]－[F (a )＋C ]＝F (b )－F (a )＝F (x )|b a ，所以利用f (x )的原函数计算定积分时，一般只写一个最简单的原函数，不用再加任意常数C 了. 跟踪训练1 求下列函数的定积分： (1)⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ；(2)x (1＋x )d x . 解 (1)⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x 2＋2＋1x 2d x ＝⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛122d x ＋⎠⎛121x2d x ＝13x 3⎪⎪⎪ 21+2 x ⎪⎪⎪ 21 +⎝⎛⎭⎫-12⎪⎪⎪21＝13×(23－13)＋2×(2－1)－⎝⎛⎭⎫12－1 ＝296. (2)⎠⎛49x (1＋x )d x＝⎠⎛49(x ＋x )d x＝⎝⎛⎭⎫23x x ＋12x 2⎪⎪⎪94＝⎝⎛⎭⎫23×9×3＋12×92－⎝⎛⎭⎫23×4×2＋12×42 ＝2716. 题型二 求分段函数的定积分 例2 求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1)，x 2，x ∈[1，2)，2x ，x ∈[2，3]在区间[0,3]上的定积分.解 由定积分的性质知：⎠⎛03f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x ＝⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛232x d x＝x 44⎪⎪⎪10＋x 33⎪⎪⎪21＋2x ln 2⎪⎪⎪32＝14＋83－13＋8ln 2－4ln 2 ＝3112＋4ln 2. 反思与感悟 (1)分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成几个定积分的和的形式.(2)分段的标准是确定每一段上的函数表达式，即按照原函数分段的情况分就可以. 跟踪训练2 求下列定积分： (1)⎠⎛02|x 2－1|d x ；(2) ⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x .解 (1)∵y ＝|x 2－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，0≤x ＜1，x 2－1，1≤x ≤2，∴⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －x 33⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫x 33－x ⎪⎪⎪21＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫83－2－⎝⎛⎭⎫13－1 ＝2.(2) ⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x＝⎠⎜⎛0π2|sin x －cos x |d x＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎜⎛π4π2 (sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪π4＋(－cos x －sin x )⎪⎪⎪⎪π2π4＝⎝⎛⎭⎫22＋22－1＋(－1)－⎝⎛⎭⎫－22－22 ＝22－2.题型三 定积分的简单应用例3 已知f (a )＝⎠⎛01 (2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值.解 ∵⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2′＝2ax 2－a 2x ，∴⎠⎛01 (2ax 2－a 2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2⎪⎪⎪10 ＝23a －12a 2， 即f (a )＝23a －12a 2＝－12⎝⎛⎭⎫a 2－43a ＋49＋29 ＝－12⎝⎛⎭⎫a －232＋29， ∴当a ＝23时，f (a )有最大值29.反思与感悟 定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考查，解题过程中注意体会转化思想的应用. 跟踪训练3 已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a 、b 、c 的值.解 由f (－1)＝2，得a －b ＋c ＝2.① 又f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0，② 而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01 (ax 2＋bx ＋c )d x＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋12bx 2＋cx ⎪⎪⎪10 ＝13a ＋12b ＋c ， ∴13a ＋12b ＋c ＝－2，③ 由①②③式得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.1.⎠⎜⎛0π4cos 2xcos x ＋sin x d x 等于( )A.2(2－1)B.2＋1C.2－1D.2－2答案 C解析 结合微积分基本定理，得⎠⎜⎛0π4cos 2x －sin 2xcos x ＋sin x d x ＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪π40＝2－1. 2.下列定积分的值等于1的是( )A.⎠⎛01x d xB.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD.⎠⎛0112d x 答案 C解析 ⎠⎛01x d x ＝12x 2⎪⎪⎪ 10＝12，⎠⎛01(x ＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x ⎪⎪⎪ 10＝12＋1＝32，⎠⎛011d x ＝x ⎪⎪⎪10＝1，⎠⎛0112d x＝12x ⎪⎪⎪10＝12.故选C.3.⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2－23x d x ＝ . 答案 43解析 ⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2－23x d x ＝⎠⎛02x 2d x －⎠⎛0223x d x ＝x 33⎪⎪⎪20－x 23⎪⎪⎪20＝83－43＝43. 4.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，0≤x ＜1，3－x ，1≤x ≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝ .答案176解析 ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋1)d x ＋⎠⎛12(3－x )d x＝⎝⎛⎭⎫x 33＋x ⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫3x －x 22⎪⎪⎪21＝176.5.已知函数f (x )为偶函数，且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛－66 f (x )d x ＝ .答案 16解析 因为函数f (x )为偶函数， 且⎠⎛06f (x )d x ＝8，所以⎠⎛－66f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16.1.求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分.(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和. (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分.2.由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数.一、选择题1.函数y ＝⎠⎛0x cos x d x 的导数是( )A.cos xB.－sin xC.cos x －1D.sin x 答案 A解析 (sin x )′＝cos x ，⎠⎛0x cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪x0＝sin x ，故选A. 2.若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是( ) A.F (x )＝13x 3B.F (x )＝x 3C.F (x )＝13x 3＋1D.F (x )＝13x 3＋c (c 为常数)答案 B解析 若F (x )＝x 3，则F ′(x )＝3x 2，这与F ′(x )＝x 2不一致，故选B. 3. ⎠⎛－40|x ＋2|d x 等于( )A. ⎠⎛－40 (x ＋2)d xB. ⎠⎛－40 (－x －2)d xC.⎠⎛－4－2(x ＋2)d x ＋⎠⎛－202(－x －2)d xD.⎠⎛－4－2(－x －2)d x ＋⎠⎛－20 (x ＋2)d x答案 D解析 ∵|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，－2≤x ≤0，－x －2，－4≤x <－2，∴⎠⎛－40|x ＋2|d x ＝⎠⎛－4－2(－x －2)d x ＋⎠⎛－20 (x ＋2)d x .故选D.4.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则⎠⎛1－1f (x )d x 的值为( )A.32B.43C.23D.－23 答案 B解析 ⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－1x 2d x ＋⎠⎛011d x ＝⎪⎪x 330－1＋x |10＝13＋1＝43，故选B. 5.⎠⎜⎛0π2sin 2x2d x 等于( )A.π4 B.π2－1 C.2 D.π－24答案 D解析 ⎠⎜⎛0π2sin 2x 2d x ＝⎠⎜⎛0π21－cos x 2d x ＝⎪⎪12(x －sin x )π20＝π－24，故选D. 6.若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A.S 1＜S 2＜S 3B.S 2＜S 1＜S 3C.S 2＜S 3＜S 1D. S 3＜S 2＜S 1答案 B 解析 S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪21＝73，S 2＝⎪⎪⎪⎠⎛121x d x ＝ln x 21＝ln 2＜1，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x ⎪⎪⎪21＝e 2－e ＝e(e －1)＞73，所以S 2＜S 1＜S 3，选B.二、填空题7.⎠⎛－11 (1－x 2＋x )d x ＝ .答案 π2解析 ⎠⎛－11 (1－x 2＋x )d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛－11x d x ，根据定积分的几何意义可知⎠⎛－111－x 2d x 等于半径为1的半圆的面积， 即⎠⎛－111－x 2d x ＝π2，⎠⎛－11x d x ＝12x 2|1－1＝0，∴⎠⎛－11 (1－x 2＋x )d x ＝π2.8.若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为 .答案 3解析 ⎠⎛0T x 2d x ＝ 13x 3⎪⎪⎪t 0＝13T 3＝9，即T 3＝27，解得T ＝3. 9.设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0＝ .答案33解析 由⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，得⎠⎛1(ax 2＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx ⎪⎪⎪10＝13a ＋c ＝ax 20＋c ，∴a 3＝ax 20，∵a ≠0，∴x 20＝13，又0≤x 0≤1，∴x 0＝33.故填33. 10.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0.若f [f (1)]＝1，则a ＝ .答案 1解析 因为x ＝1>0，所以f (1)＝lg 1＝0.又x ≤0时，f (x )＝x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝x ＋t 3⎪⎪⎪a＝x ＋a 3，所以f (0)＝a 3.因为f [f (1)]＝1，所以a 3＝1，解得a ＝1. 三、解答题11.设f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求f (x )的解析式. 解 ∵f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则 ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝⎠⎛01ax d x ＋⎠⎛01b d x ＝12a ＋b ＝5， ⎠⎛01xf (x )d x ＝⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝⎠⎛01(ax 2)d x ＋⎠⎛01bx d x ＝13a ＋12b ＝176. 由⎩⎨⎧12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3.即f (x )＝4x ＋3. 12.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x ，x ∈(2，3].求⎠⎛03f (x )d x 的值.解 由积分的性质，知：⎠⎛03f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x＝⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x d x ＋⎠⎛232x d x＝x 44⎪⎪⎪⎪10＋23x 3221⎪⎪＋2x ln 232 ＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2 ＝－512＋432＋4ln 2.13.求定积分⎠⎛－43|x ＋a |d x .解 (1)当－a ≤－4即a ≥4时，原式＝⎠⎛－43(x ＋a )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22＋ax 3－4＝7a －72. (2)当－4＜－a ＜3即－3＜a ＜4时， 原式＝⎠⎛－4－a [－(x ＋a )]d x ＋⎠⎛－a3 (x ＋a )d x＝⎝⎛⎭⎫－x 22－ax ⎪⎪－a－4＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22＋ax 3－a ＝a 22－4a ＋8＋⎝⎛⎭⎫a 22＋3a ＋92 ＝a 2－a ＋252.(3)当－a ≥3即a ≤－3时，原式＝⎠⎛－43[－(x ＋a )]d x ＝⎝⎛⎭⎫－x 22－ax ⎪⎪⎪3-4＝－7a ＋72. 综上，得⎠⎛－43|x ＋a |d x ＝⎩⎪⎨⎪⎧7a －72(a ≥4)，a 2－a ＋252(－3＜a ＜4)，－7a ＋72(a ≤－3).。

高中数学微积分知识点总结微积分是数学中重要的分支之一，涵盖了许多关键的概念和技巧。

在高中数学教育中，微积分被广泛教授，并且是进入大学数学学习的基础。

本文将总结高中数学微积分的关键知识点，帮助学生巩固学习成果，并为他们进一步深入研究提供基础。

1. 导数导数是微积分的核心概念之一。

它描述了函数在某一点上的变化率。

导数的计算方法包括使用基本的求导法则，如常数规则，幂函数规则，指数函数规则和三角函数规则。

在计算导数时，我们还可以使用链式法则和隐式微分法。

2. 函数的极值函数的极值是函数图像上的最大值和最小值。

根据导数的性质，我们可以通过求导来找到函数的极值点。

具体来说，函数在导数为零或导数不存在的点可能具有极值。

然后，我们可以通过二阶导数的符号来确定这些点是极大值还是极小值。

3. 定积分定积分是微积分中的另一个关键概念，用于计算曲线下的面积或曲线长度。

定积分的计算需要求出积分上下限之间的函数的面积。

我们使用不定积分来计算定积分，并使用积分上下限来确定曲线的范围。

4. 微分方程微分方程是关于未知函数及其导数的方程。

高中数学中，主要学习了一阶微分方程。

求解微分方程的一般步骤包括分离变量，积分，以及解释常数。

解方程时，需要根据给定初始条件来求解常数。

5. 泰勒展开泰勒展开是将一个函数在某点周围展开为幂级数的表达式。

它可以用来近似计算复杂函数的值。

泰勒展开的基本思想是使用函数值及其各阶导数的信息来逼近函数的形式。

具体的展开公式取决于所考虑的阶数。

以上是高中数学微积分的一些关键知识点的总结。

通过掌握这些知识，学生们将能够更好地理解微积分的基本概念和方法，并为进一步深入研究打下坚实的基础。

希望本文对高中数学学生的学习有所帮助，并激发他们对微积分的兴趣和探索精神。

让我们一起享受微积分带来的挑战和成就吧！。

高中微积分基本知识第一章、 极限与连续 一、 数列的极限 1．数列定义：按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数1,,,n x x 叫数列，记作{}n x ，并吧每个数叫做数列的项，第n 个数叫做数列的第n 项或通项 界的概念：一个数列{}n x ，若0M ∃>，..s t 对*n N ∀∈，都有n x M ≤，则称{}n x 是有界的： 若不论M 有多大，总*m N ∃∈，..s t m x M >，则称{}n x 是无界的 若n a x b ≤≤，则a 称为n x 的下界，b 称为n x 的上界{}n x 有界的充要条件：{}n x 既有上界，又有下界2．数列极限的概念定义：设{}n x 为一个数列，a 为一个常数，若对∀0ε>，总∃N ,..s t 当n N >时，有n x a ε-< 则称a 是数列{}n x 的极限，记作lim n n x a →∞=或()n x a n →→∞数列有极限时，称该数列为收敛的，否则为发散的 几何意义：从第1N +项开始，{}n x 的所有项全部落在点a 的ε邻域(,)a a εε-+3． 数列极限的性质①唯一性 ②收敛必有界 ③保号性：极限大小关系⇒数列大小关系（n N >时） 二、 函数的极限 1.定义：两种情形①0x x →：设()f x 在点0x 处的某去心邻域内有定义，A 为常数，若对0ε∀>，0δ∃>，..s t 当00x x δ<-<时，恒有()f x A ε-<成立， 则称()f x 在0x x →时有极限A记作0lim ()x xf x A →=或0()()f x A x x →→几何意义：对0ε∀>，0δ∃>，..s t 当00x x δ<-<时，()f x 介于两直线y A ε=± 单侧极限：设()f x 在点0x 处的右侧某邻域内有定义，A 为常数，若对0ε∀>，0δ∃>，..s t 当00x x δ<-<时，恒有()f x A ε-<成立，称()f x 在0x 处有右极限A ，记作0lim ()x x f x A +→=或0()f x A +=lim ()x x f x A →=的充要条件为：00()()f x f x +-==A 垂直渐近线：当0lim ()x xf x →=∞时，0x x =为()f x 在0x 处的渐近线②x →∞：设函数()f x 在0x b ≥≥上有定义，A 为常数，若对0ε∀>，,..X b s t ∃>当x X >时，有()f x A ε-<成立，则称()f x 在x →∞时有极限A ，记作lim ()x f x A →∞=或()()f x A x →→∞lim ()x f x A →∞=的充要条件为：lim ()lim ()x x f x f x A →+∞→-∞==水平渐进线： 若lim ()x f x A →+∞=或lim ()x f x A →-∞=，则y A =是()f x 的水平渐近线2.函数极限的性质：①唯一性 ②局部有界性 ③局部保号性（②③在当00x x δ<-<时成立） 三、 极限的运算法则 1．四则运算法则设()f x 、()g x 的极限存在，lim (),lim ()f x A g x B ==则①lim ()()f x g x A B ±=± ②lim[()()]f x g x AB = ③()lim()f x Ag x B= （当0B ≠时） ④lim ()cf x cA = （c 为常数） ⑤lim[()]k k f x A = （k 为正整数） 2．复合运算法则设[()]y f x ϕ=，若0lim ()x x x a ϕ→=，则0lim [()]()x xf x f a ϕ→=可以写成0lim [()][lim ()]x x x xf x f x ϕϕ→→= （换元法基础）四、极限存在准则及两个重要极限 1．极限存在准则 ①夹逼准则设有三个数列{}n x ，{}n y ，{}n z ，满足n n n y x z ≤≤ ， lim lim n n n n y z a →∞→∞== 则lim n n x a →∞=②单调有界准则 有界数列必有极限 3．重要极限①0sin lim 1x x x →= ②1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭或()10lim 1x x x e →+= 五、无穷大与无穷小 1．无穷小：在自变量某个变化过程中lim ()0f x =，则称()f x 为x 在该变化过程中的无穷小 ※ 若()0f x =，则()f x 为x 在所有变化过程中的无穷小 若()f x ε=，则()f x 不是无穷小性质：1.有限个无穷小的代数和为无穷小 2.常量与无穷小的乘积为无穷小 3.有限个无穷小的乘积为无穷小 4.有极限的量与无穷小的乘积为无穷小 5.有界变量与无穷小的乘积为无穷小定理：lim ()f x A =的充要条件是()()f x A x α=+，其中()x α为x 在该变化中过程中的无穷小无穷小的比较：(趋于0的速度的大小比较)(),()x x ααββ==，为同一变化过程中的无穷小若lim c αβ=（0c ≠常数） 则α是β的同阶无穷小 （当1c =时为等价无穷小） 若lim kc αβ=（0c ≠常数） 则α是β的k 阶无穷小 若lim0αβ= 则α是β的高阶无穷小 常用等价无穷小：(0x →)sin tan arcsin arctan ln(1)1x x x x x x x e +-；21cos 2x x-；(1)1x x βααβ+-；1ln x a x a - 2．无穷大：设函数()f x 在0x 的某去心邻域内有定义。

高考数学中的微积分基本知识总结高考是每一个学生求学生涯中的重要节点，数学是其中不可或缺的一部分。

而微积分是高考数学中的重要考点，通常也是难点。

因此，在备考高考的过程中，掌握微积分基本知识是必不可少的。

本文将从微积分的概念、符号和运算、重要定理和应用四个方面，对高考数学中的微积分基本知识进行总结。

一、微积分的概念微积分是数学中的一个重要分支，它是求解变化率和变化量问题的数学工具。

它包括微分和积分两个部分。

微分是指函数在某一点的导数，表示函数曲线在该点处的切线斜率；积分是求解函数的面积或曲线弧长问题。

微积分是一个相对而言比较抽象的概念，但在实际的物理和工程问题中却具有广泛的应用。

二、符号和运算微积分中有许多特殊的符号和运算，掌握这些符号和运算是掌握微积分的关键。

其中最基本的符号和运算如下：1. 函数的导数函数的导数是指函数在某一点的切线斜率，用dy/dx或y'表示。

其中dy表示函数y的微小增量，dx表示函数x的微小增量，dy/dx表示函数y对函数x的改变速率。

2. 函数的微分函数的微分是指函数在某一点处的导数与自变量的微小增量之积，用dy表示。

其中函数的微分表示了函数在某一点处的微小改变量。

3. 积分积分是求解函数在某一区间内的面积，用∫f(x)dx表示。

其中f(x)表示被积函数，dx表示积分变量，积分的区间表示在这一区间内求解函数的面积。

三、重要定理微积分中有一些重要的定理，这些定理对于解题非常有帮助。

其中最重要的定理有如下几个：1. 中值定理中值定理是微积分中的一个基本定理，它是导数存在的一个重要结果。

中值定理表示：若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则存在x0∈(a，b)，使得f(b)-f(a）=f'(x0)×(b-a)。

2. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是几何意义上的中值定理，它是微积分中的一个重要定理。

拉格朗日中值定理表示：若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则存在x0∈(a，b)，使得f(b)-f(a）=f'(x0)×(b-a)。

高三微积分知识点汇总总结迈向高考的高三学生，微积分是数学学科中重要的一环。

在高考数学中，微积分所占的分值较大，因此掌握好微积分的知识点对于高考取得理想成绩至关重要。

本文将围绕高三微积分的知识点进行汇总总结。

一、函数及其性质微积分的基础知识主要围绕函数展开。

函数是数学中最为基本的概念之一，我们需要了解函数的定义、性质和分类。

同时，函数的极限、连续性、可导性也是微积分中重要的概念。

在研究函数的极限时，我们需要掌握极限的定义、性质和相关的运算法则。

通过极限的概念，我们可以推导出导数的定义，并学习相关的性质和基本的运算法则。

另外，我们还需要理解函数的连续性及其相关定理，以及导数的定义和计算方法。

二、函数的应用函数的应用是微积分中重要的一部分，也是学生比较感兴趣的部分。

在高三阶段，我们需要学习函数在几何、物理等领域中的应用。

例如，通过对函数的研究，我们可以推导出函数的单调性、极值、最值等问题。

同时，我们还可以利用微积分的方法计算曲线的弧长、曲率等相关量。

在物理学中，微积分也被广泛应用。

例如，我们可以利用微积分的知识计算物体的速度、加速度，研究物体的运动规律等。

另外，微积分还可以应用于经济学、生物学等学科中，对于分析和解决实际问题具有重要意义。

三、定积分定积分是微积分中的一个重要概念，也是高考中的重点内容。

我们需要掌握定积分的定义、性质及其计算方法。

在计算定积分时，常用的方法包括换元法、分部积分法和变限积分法。

在应用中，定积分的重要性也不容忽视。

我们可以利用定积分求解曲线的弧长、曲面的面积和体积等问题。

同时，定积分还可以应用于求解物体的质量、重心等相关量。

四、微分方程微分方程是微积分中的一个重要内容，也是高三阶段比较难的一部分。

我们需要学习一阶和二阶微分方程的基本概念、求解方法和应用。

在求解微分方程时，我们常用的方法包括变量分离法、齐次方程法和常系数线性齐次微分方程的特征根法。

在应用中，微分方程常被用于描述物理、生物、经济等领域的问题，例如弹簧振动、人口增长等。

高一微积分知识点的梳理总结微积分是数学的一个重要分支，对于高中学生来说，研究微积分是必不可少的。

本文将对高一微积分的知识点进行梳理总结，以便给学生们提供一个清晰的研究框架和理解微积分的基础。

1. 函数与极限函数是微积分的基础概念，理解函数的性质和图像对于研究微积分至关重要。

在函数的基础上，我们进一步研究了极限的概念，它是微积分的核心概念之一。

- 函数的定义和性质- 函数的图像及其性质- 极限的概念和性质- 极限的计算方法2. 导数与微分导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

了解导数的性质和计算方法，可以帮助我们研究函数的变化规律。

- 导数的定义和性质- 导数的计算方法- 函数的凹凸性和拐点- 微分的概念和应用3. 积分与定积分积分是微积分中的另一个核心概念，它描述了函数在一定区间上的累积效应。

研究积分的性质和计算方法，可以帮助我们解决各种实际问题。

- 积分的定义和性质- 积分的计算方法- 定积分的概念和应用- 反常积分的概念和计算方法4. 微分方程微分方程是微积分的重要应用之一，它描述了变量之间的关系，并通常包含一些未知函数。

研究微分方程的解法，可以帮助我们解决各种实际问题。

- 微分方程的类型和解法- 一阶线性微分方程的解法- 高阶线性微分方程的解法- 微分方程的应用5. 应用题微积分的应用广泛而深入，我们可以将微积分知识应用于各种实际问题的解决中。

通过解决应用题，可以提高对微积分知识的理解和运用能力。

- 函数的最值和最优化问题- 积分的应用问题- 微分方程的应用问题- 应用题的解法和思路以上是高一微积分知识点的梳理总结，希望对学生们的学习有所帮助。

通过系统地学习和练习这些知识点，相信你们对微积分的理解会更加深入，并能够熟练地运用微积分解决各种实际问题。

祝愿大家在微积分学习中取得好成绩！。

高中微积分基础知识微积分是数学中的一个重要分支，它主要研究函数的变化率和积分的概念。

在高中阶段，学生将接触到微积分的基础知识，包括导数、极限和积分等概念。

这些基础知识是学习更高层次的数学和科学学科的基础，也是理解自然界现象的数学工具之一。

首先，让我们来了解导数的概念。

导数可以视为函数在某一点上的变化率。

在几何上，导数可以表示为函数图像上某一点切线的斜率。

具体而言，对于一个函数f(x)，其在某一点x处的导数表示为f'(x)或df/dx。

导数的计算方法可以通过极限的概念来解释，在数学中，当dx趋近于0时，可以通过极限的运算得到导数的值，即f'(x) = lim (f(x + dx) - f(x)) / dx，其中dx为一个无限小的增量。

导数在实际应用中有着广泛的用途。

例如，当我们想要计算函数在某一点上的斜率时，可以使用导数。

此外，导数还可以用来研究函数的最大值和最小值，通过导数为0的点来确定函数的极值。

这种应用在经济学、物理学、工程学等领域中非常常见。

接下来，我们将探讨极限这个概念。

极限可以被视为函数在某一点无限接近于一个特定值的过程。

极限的计算方法也可以使用导数的概念来解释。

当我们想要计算函数在某一点的极限时，可以逐渐让自变量不断接近这个点，并观察因变量的取值趋势。

具体地说，对于函数f(x)，当x趋近于某一点a时，我们可以用lim f(x)表示这个极限。

极限的概念在微积分中扮演着非常重要的角色。

它被用来定义导数和积分，以及其他更高级的数学概念。

此外，在数学中，极限还用来证明一些数学定理和定律。

例如，柯西收敛准则是极限的一个重要应用，它用来判断一个数列是否收敛。

最后，让我们来了解积分的概念。

积分是函数在一定区间上的累加值。

在几何上，积分可以表示为函数图像下面面积的计算。

具体而言，对于函数f(x)，其在[a, b]区间上的积分表示为∫f(x) dx，其中a 和b为积分区间的上下界。

积分在实际应用中也有着广泛的应用。

第一章 函数，极限与连续第一节 函数注：函数是高中的重点知识，以下是高中函数全部重点，篇幅有点长，供查阅。

一、函数的概念与表示1、映射:设A 、B 是两个集合，如果按照某种映射法那么f ，对于集合A 中的任一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应〔包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法那么f 〕叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B 。

注意点:判断一个对应是映射的方法:可多对一，不可一对多，都有象，象唯一.2、函数:如果A,B 都是非空的数集，那么A 到B 的映射f ：A →B 就叫做A 到B 的函数，记作)(x f y =,其中B y A x ∈∈,.原像的集合A 叫做函数)(x f y =的定义域.由所有象f(x)构成的集合叫做)(x f y =的值域，显然值域是集合B 的子集.构成函数概念的三要素: ①定义域(x 的取值范围)②对应法那么〔f 〕③值域〔y 的取值范围〕两个函数是同一个函数的条件：定义域和对应关系完全一致. 二、函数的定义域、解析式与值域 1、求函数定义域的主要依据： 〔1〕整式的定义域是全体实数； 〔2〕分式的分母不为零；〔3〕偶次方根的被开方数大于等于零；〔4〕零取零次方没有意义〔零指数幂的底数不为0〕； 〔5〕对数函数的真数必须大于零；〔6〕指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；〔7〕假设函数)(x f y =是一个多项式，需要求出各单项式的定义域，然后取各局部结果的交集；〔8〕复合函数的定义域：假设)(x f 的定义域],[b a ，求复合函数))((x g f 的定义域，相当于求使],[)(b a x g ∈时x 的取值范围；假设复合函数))((x g f 的定义域，求)(x f 的定义域，相当于求)(x g 的值域. 2求函数值域的方法①直接法：从自变量x 的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合b ax y ±+= ③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y 的取值范围；适合分子或分母为二次且x ∈R 的分式；此种类型不拘泥于判别式法，如ka by +=2的形式可直接用不等式性质；n mx ax bx y ++=2可先化简再用均值不等式；nmx x n x m ax y ++'+'+=22通常用判别式法；nm x n x m x y +'+'+=2 可用判别式法或均值不等式；④别离常数：适合分子分母皆为一次式〔x 有范围限制时要画图〕；⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；⑥图象法：1.二次函数必画草图求其值域；在给定区间上求最值有两类：闭区间[]b a ,上的最值；求区间动〔定〕，对称轴定〔动〕的最值问题；注意“两看〞：一看开口，二看对称轴与给定区间的位置关系.)0,0(>>+=b a x b ax y 型函数的图像在单调性中的应用：增区间为],(ab --∞，),[+∞a b ，减区间为)0,[a b -，],0(ab ；⑦利用对号函数：xx y 1+=〔如右图〕；⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域.主要是含绝对值函数 三．函数的奇偶性1．定义: 设y=f(x)，x ∈A ，如果对于任意x ∈A ，都有()()f x f x -=，那么称y=f(x)为偶函数.如果对于任意x ∈A ，都有()()f x f x -=-，那么称y=f(x)为奇函数.2.性质：①y=f(x)是偶函数⇔y=f(x)的图象关于y 轴对称, y=f(x)是奇函数⇔y=f(x)的图象关于原点对称;②假设函数f(x)的定义域关于原点对称，那么f(0)=0;③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇[两函数的定义域D 1 ，D 2，D 1∩D 2要关于原点对称] 3．奇偶性的判断①看定义域是否关于原点对称;②看f(x)与f(-x)的关系或观察函数图像的对称关系；4，复合函数的奇偶性：“内偶那么偶，内奇同外〞 四、函数的单调性作用：比拟大小，解不等式，求最值.1、函数单调性的定义：如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有()()()2121)()(x f x f x f x f ><，那么就称函数)(x f 在区间D 上是增函数〔减函数〕，区间D 叫)(x f y =的单调区间. 图像特点：增函数：从左到右上升〔y 随x 的增大而增大或减小而减小〕；减函数：从左到右下降〔y 随x 的增大而减小或减小而增大〕； 2.判断单调性方法：①定义法[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x ->⇔-在上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x -<⇔-在上是减函数.②观察法：根据特殊函数图像特点；③掌握规律：对于两个单调函数()f x 和()g x ，假设它们的定义域分别为I 和J ，且I J ⋂≠∅：(i)当()f x 和()g x 具有相同的增减性时，①1()()()F x f x g x =+的增减性与()f x ，()g x 相同， ②2()()()F x f x g x =⋅、3()()()F x f x g x =-、4()()(()0)()f x F xg x g x =≠的增减性不能确定；(ii)当()f x 和()g x 具有相异的增减性时，我们假设()f x 为增函数，()g x 为减函数，那么：①1()()()F x f x g x =+的增减性不能确定； ②3()()()F x f x g x =-、4()()(()0)()f x F x g x g x =≠为增函数；5()()(()0)()g x F x f x f x =≠为减函数. 3.奇偶函数的单调性奇函数在其定义域内的对称区间上的单调性相同，偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。

高中微积分1. 引言微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是变化与积累的数学方法。

在高中阶段，微积分是数学课程中的重要组成部分。

通过学习微积分，我们可以更好地理解和描述自然界中的变化和积累过程，为进一步学习数学和其他科学提供坚实的基础。

本文将从微积分的基本概念、求导、积分和应用等方面进行介绍，帮助读者全面了解高中微积分的内容和应用。

2. 基本概念2.1 函数在微积分中，函数是一个非常重要的概念。

函数是一种对应关系，它将一个自变量映射到一个因变量。

在数学表示上，函数通常用f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是因变量。

函数可以用图像、表格或公式来表示。

2.2 极限极限是微积分中的核心概念之一。

极限描述了一个函数在某一点附近的趋势。

如果一个函数f(x)在x趋近于a的过程中，当x无限接近于a时，f(x)的值无限接近于某个常数L，那么我们就说f(x)在x=a时的极限为L，记作lim(f(x))=L。

2.3 导数导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

如果一个函数f(x)在某一点x处的导数存在，那么导数表示的是函数在该点的瞬时变化率。

导数可以通过极限的定义来求解，也可以通过导数的性质和公式进行计算。

2.4 积分积分是微积分中的另一个重要概念，它描述了函数在某一区间上的累积效果。

如果一个函数f(x)在区间[a, b]上有定义，那么积分表示的是函数在该区间上的累积效果。

积分可以通过求和的方法来近似计算，也可以通过积分的性质和公式进行计算。

3. 求导求导是微积分中的重要计算方法，它可以帮助我们求出函数在某一点的导数。

求导的过程可以通过导数的定义来进行，也可以通过导数的性质和公式进行计算。

3.1 导数的定义函数f(x)在某一点x处的导数可以通过极限的定义来求解。

导数的定义公式为：f'(x) = lim((f(x + h) - f(x)) / h), h -> 0其中h表示x的增量。

根据导数的定义，我们可以求出函数在某一点的瞬时变化率。

高中微积分基本知识第一章、极限与连续一、数列的极限1．数列定义：按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数叫数列，记作，并吧每个数叫做数列的项，第n个数叫做数列的第n项或通项界的概念：一个数列，若，对，都有，则称是有界的：若不论有多大，总，，则称是无界的若，则称为的下界，称为的上界有界的充要条件：既有上界，又有下界2．数列极限的概念定义：设为一个数列，为一个常数，若对，总,当时，有则称是数列的极限，记作或数列有极限时，称该数列为收敛的，否则为发散的几何意义：从第项开始，的所有项全部落在点的邻域3．数列极限的性质①唯一性②收敛必有界③保号性：极限大小关系数列大小关系（时）二、函数的极限1.定义：两种情形①：设在点处的某去心邻域内有定义，为常数，若对，，当时，xx有成立，则称在时有极限记作或几何意义：对，，当时，介于两直线单侧极限：设在点处的右侧某邻域内有定义，为常数，若对，，当时，xx有成立，称在处有右极限，记作或的充要条件为：=垂直渐近线：当时，为在处的渐近线②：设函数在上有定义，为常数，若对，当时，有成立，则称在时有极限，记作或的充要条件为：水平渐进线：若或，则是的水平渐近线2.函数极限的性质：①唯一性②局部有界性③局部保号性（②③在当时成立）三、极限的运算法则1．四则运算法则设、的极限存在，则①②③ （当时）④ （为常数）⑤ （为正整数）2．复合运算法则设，若，则可以写成（换元法基础）四、极限存在准则及两个重要极限1．极限存在准则①夹逼准则设有三个数列，，，满足，则②单调有界准则有界数列必有极限3．重要极限①② 或五、无穷大与无穷小1．无穷小：在自变量某个变化过程中，则称为x在该变化过程中的无穷小※ 若，则为x在所有变化过程中的无穷小若，则不是无穷小性质：1.有限个无穷小的代数和为无穷小2.常量与无穷小的乘积为无穷小3.有限个无穷小的乘积为无穷小4.有极限的量与无穷小的乘积为无穷小5.有界变量与无穷小的乘积为无穷小定理：的充要条件是，其中为x在该变化中过程中的无穷小无穷小的比较：(趋于0的速度的大小比较)，为同一变化过程中的无穷小若（常数）则是的同阶无穷小（当时为等价无穷小）若（常数）则是的k阶无穷小若则是的xx无穷小常用等价无穷小：()；；；2．无穷大：设函数在的某去心邻域内有定义。

数学高三必修知识点：微积分基础微积分是现代数学、物理、工程、经济学、生物学等学科的基础，其重要性不言而喻。

在高中数学学习中，微积分是一个非常重要的部分，高三学生必须掌握的知识点。

本文将详细介绍微积分的基础知识，包括极限、导数、积分等内容。

一、极限1.1 极限的定义极限是微积分的基石，主要研究函数当自变量趋近于某一值时函数值的趋近情况。

形式上，设函数f(x)在点a附近有定义，如果当x趋近于a时，f(x)趋近于一个确定的值L，那么就称f(x)在点a处极限为L，记作：[ _{x a} f(x) = L ]1.2 极限的基本性质（1）极限具有保号性，即如果( _{x a} f(x) = L )，那么当x趋近于a时，f(x)与L同号。

（2）极限具有叠加性，即如果( {x a} f(x) = L )，( {x a} g(x) = M )，那么( _{x a} [f(x) + g(x)] = L + M )。

（3）极限具有连续性，即如果( _{x a} f(x) = L )，且f(x)在a处连续，那么f(a) = L。

1.3 极限的计算方法（1）直接计算法：直接根据极限的定义计算极限。

（2）因式分解法：将函数f(x)进行因式分解，然后分别计算每个因式的极限。

（3）有理化方法：将分母有理化，使极限计算更简单。

（4）泰勒展开法：利用函数的泰勒展开式计算极限。

二、导数2.1 导数的定义导数是描述函数在某一点处变化率的概念。

设函数f(x)在点a附近有定义，如果存在一个实数M，当x趋近于a时，有：[ _{h 0} = M ]那么就称f(x)在点a处的导数为M，记作：[ f’(a) = M ]2.2 导数的计算方法（1）基本导数公式：对常见函数求导。

（2）导数的四则运算法则：求复合函数的导数。

（3）链式法则：求多个函数复合的导数。

（4）高阶导数：求函数的n阶导数。

（5）隐函数求导：求隐函数的导数。

（6）参数方程求导：求参数方程的导数。

f -1 f f f n nn n高等数学微积分知识整理第一章 极限与连续一、函数1、函数的定义与要素（定义域、对应法则；函数相等的条件）2、函数的性质：单调性，奇偶性，周期性，有界性 *单调性的定义（以递增为例）：∀x 1 , x 2 ∈ D f ，若x 1＜x 2时f (x 1 ) ≤ f (x )在D f 上严格单调递增。

f (x 2 )，则f (x )在D f 上单调递增；将≤ 改为＜，则*有界的定义： ∃M ＞0，对于∀x ∈ A ⊆ D f ，都有| f (x ) |≤ M ，则f (x )在A 上有界。

（f (x )≥m ∈R ，则 f (x )下有界；反之则上有界。

只有既上有界又下有界的函数才是有界函数。

）3、函数的运算：四则运算、复合运算、反函数*题型：判断某个函数由哪些基本初等函数复合而成。

*反函数存在的可能情况：①y 与 x 一一对应；②f (x )是某区间上的严格单调函数 （反函数的单调性与原来的函数相同）* D = R ；当x ∈ D 时，f -1 ( f (x )) = x ；当x ∈ R 时，f ( f -1 (x )) = x 。

4、初等函数：包括 6 大基本初等函数（常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）以及它们的有限次四则、复合运算构成的函数。

二、数列的极限1、数列的定义及表示方法2、数列的性质：单调性、有界性3、数列极限的定义：ε-N 语言（存在性命题要学会寻找充分条件，即增加对 N 的限制，从而找到 N ；绝对值不等式与不等式放缩也很重要）4、极限的四则运算5、无穷小量的性质（1） 若lim a = A ，则{a - A }是无穷小量。

（一种证明极限的方法） n →∞（2）有限个无穷小量相加、相乘还是无穷小量。

（3）无穷小量乘以有界量还是无穷小量。

6、收敛数列的性质 （1） 收敛数列必然有界 （2） 收敛数列的任一子列与该数列收敛于同一极限。

高考微积分知识点总结微积分是高考数学中的一项重要内容，也是学生普遍认为较为困难的部分之一。

本文将对高考微积分的几个重要知识点进行总结，帮助考生更好地理解和掌握这些内容。

一、函数与导数在微积分中，函数是一个基本概念。

在高考中，我们需要了解函数的定义、性质和图像的变化规律。

尤其需要重点掌握常见函数的图像和性质，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

理解函数的图像能够帮助我们更好地分析问题。

导数是微积分的核心概念之一。

它表示函数在某一点处的变化率，可以帮助我们研究函数的性质。

高考中常见的导数计算方法有基本导数公式、常数函数与幂函数的导数、和差积商的导数等。

熟练掌握这些公式是解题的基础。

二、微分与中值定理微分是导数的一种应用，它可以用来求函数在某一点处的变化量。

微分的基本思想是用切线逼近曲线，从而对曲线进行近似计算。

微分的计算方法包括常规方法、隐函数求导法和参数方程求导法。

中值定理是微积分中的一个重要定理，它通过研究函数的导数给出了函数值和平均斜率之间的关系。

高考中常见的中值定理有罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

它们是解决函数性质的关键工具，能够帮助我们简化计算和证明过程。

三、积分与定积分积分是微积分的另一个重要概念，它表示函数的累积效应。

高考中常见的积分计算方法有不定积分和定积分。

不定积分是求原函数的过程，可以通过基本积分公式和常见积分法进行计算；定积分是求曲线下面的面积，可以通过定积分定义和几何方法进行计算。

定积分是求解面积、长度、体积等几何问题的重要工具。

高考中常见的定积分应用包括曲线的长度、曲线与坐标轴所围的面积和旋转体的体积等。

熟练掌握定积分的计算和应用方法能够更轻松地解决相关问题。

四、微分方程微分方程是微积分的一个重要分支，用于描述自然界和社会现象中的变化规律。

高考中常见的微分方程有一阶常微分方程和二阶常微分方程。

解微分方程的方法主要包括分离变量法、齐次方程法和特殊方程法等。