由万有引力定律推导开普列三定律

开普勒第二定律证明开普勒第三定律开普勒第二定律证明开普勒第三定律引言：开普勒第二定律和开普勒第三定律是伟大的德国天文学家开普勒提出的三大行星运动定律之一。

开普勒第二定律描述了行星在其椭圆轨道上运动时，它们与太阳连线所扫过的面积相等的规律。

而开普勒第三定律则揭示了行星公转周期和距离太阳的平均距离之间的关系。

本文将从两个方面解释开普勒第二定律如何证明开普勒第三定律的。

一、开普勒第二定律的描述与论证1.1 开普勒第二定律概述开普勒第二定律，也称为面积速度定律，根据的是开普勒通过观测行星轨道运动得出的规律。

其主要观点是：一个行星在绕太阳公转时，它所扫过的面积在相等时间内是相等的。

这个定律展示了行星在其椭圆轨道上运动的速率是不均匀的。

1.2 开普勒第二定律与椭圆轨道之间的关系为了进一步证明开普勒第二定律，我们需要了解椭圆轨道的性质。

椭圆轨道有两个焦点，分别是太阳和行星。

根据椭圆的性质，椭圆轨道上的行星在靠近太阳的时候运动较快，在离太阳较远时运动较慢。

这使得行星在相等时间内所扫过的面积相等。

1.3 数学模型与证明利用微积分的知识，我们可以证明开普勒第二定律。

假设一个行星处于其椭圆轨道上某一位置，并以一定速率绕太阳公转。

我们将行星所在位置与太阳的连线记为r，行星的速度记为v。

开普勒指出，某一时间段dt内，行星所扫过的面积dA等于行星速度v乘以时间段dt。

即dA = 1/2*r * v * dt。

由于行星在椭圆轨道上运动，其速度v是变化的，因此需要对v进行分解为v_r和v_θ，分别表示径向速度和角速度。

这样，我们可以通过积分来计算整个轨道上行星扫过的总面积S。

利用微积分证明后，我们可以得到行星扫过的面积S与椭圆轨道的长半轴a和短半轴b之间的关系，即S = 1/2 * a * b * π。

这个结果进一步证明了开普勒第二定律的正确性。

二、开普勒第三定律的描述与论证2.1 开普勒第三定律概述开普勒第三定律，也称为周期定律，描述了行星公转周期和距离太阳平均距离之间的关系。

万有引力定律的推导过程引力是自然界中普遍存在的一种作用力，它是负责使物体相互吸引的力。

在古代，人们对引力的存在有直观的认识，但直到17世纪，牛顿通过深入的研究和实验才发现了引力的普遍性，并且提出了著名的万有引力定律。

万有引力定律可以描述任意两个物体之间的引力大小和方向。

它的推导过程基于牛顿的三大运动定律和开普勒行星运动定律。

我们来看牛顿的第一、第二和第三定律。

第一定律告诉我们，一个物体如果没有外力作用，将保持静止或匀速直线运动。

第二定律则指出，一个物体所受的力等于其质量乘以加速度。

第三定律表明，力是相互作用的，任何两个物体之间都会相互施加相等大小、方向相反的力。

根据这些定律，我们考虑两个质量分别为m1和m2的物体之间的引力。

根据第三定律，这两个物体之间互相施加的力大小相等，记为F。

根据第二定律，物体1所受的力F1等于m1乘以物体1的加速度a1，物体2所受的力F2等于m2乘以物体2的加速度a2。

当两个物体距离很远时，它们之间的相互作用力可以近似看作是一个点力，即可以看作是两个物体质心之间的引力。

质心是一个物体中所有质点质量的平均位置。

假设物体1和物体2的质心之间的距离为r，那么根据万有引力定律，这两个物体之间的引力F可以表示为F = G * (m1 * m2) / r²，其中G为万有引力常数。

为了更好地理解这个公式，我们可以将其与开普勒行星运动定律相联系。

根据开普勒第一定律，行星绕太阳运动的轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。

根据开普勒第二定律，行星在其轨道上的面积速率是恒定的。

根据开普勒第三定律，行星绕太阳的周期的平方与它们距离太阳的平均距离的立方成正比。

通过对这些定律的分析，我们可以得出结论：万有引力定律可以解释行星绕太阳运动的规律。

行星绕太阳的引力与其质量和距离太阳的距离有关，质量越大、距离越小，引力越大。

万有引力定律的推导过程基于牛顿的三大运动定律和开普勒行星运动定律，通过考虑质心之间的引力以及质量和距离的关系，最终得出了引力大小的计算公式。

牛顿万有引力公式其实就是开普勒第三定律Ⅰ推导过程我们试着用牛顿的思路，完全用开普勒第三定律本身，变形出牛顿的万有引力公式。

首先给出开普勒第三定律：R3T 2 =K （1） R 为平均轨道半径，T 为环绕周期因为T=2πR V，代入公式（1）得 V 2·R=4π2K （2） 我们把变量放等号左边，常量放等号右面牛顿看到公式（2）后，肯定会想到向心加速度的公式 V 2R=a 然后让公式（2）的左边变成V 2R，公式（2）等式两边同除以R 2,公式变换V 2R=4π2K R 2 （3） 牛顿创造的力学的核心是F=ma ，他必定要把公式（3）的等号左边化成F,即V 2R·m 的形式。

所以公式（3）变两边同乘以m （m 可以是太阳系行星的质量）变换为：m·V2R=4π2K·mR2（4）接下来的变换是最为神奇和关键的一步，当牛顿看见公式（4）中“4π2K”时，觉得这个数值很大很大。

在牛顿时代之前，人们已经知道，k的大小只取决于中心天体，而是和绕行天体无关的常数。

人们也已经粗略的知道，中心天体越大，这个K值就越大，两者可能是成正比的。

牛顿顺着这些前人的思路，做出了一个非常大胆的假设，或者说是猜测，他猜测“4π2K”就是中心天体的质量，但他随后马上发现“4π2K”和质量的单位两者不相同，于是为了单位的平衡，牛顿认为需要加入了一个“带单位的常量”，它就是后来人们所熟悉的万有引力常数G。

至此，牛顿按照自己的意愿，人为的规定：MG=4π2K ,其中M是中心天体的质量。

把它代入公式（4）公式（4）变换为：m·V2R=GM·mR2（5）F=ma= m·V2R=GM·mR2公式（5）就是我们熟知的万有引力公式。

我们回顾和总结一下整个过程，从公式（1）（开普勒第三定律）到公式（4）只是普通的公式变换，公式（4）到公式（5），MG为什么可以替代“4π2K”，牛顿没有给出任何可信或可验证的证据。

第四讲 开普勒三定律与万有引力定律【知识梳理】一、开普勒行星运动三定律1. 开普勒第一定律：2. 开普勒第二定律：3. 开普勒第三定律：二、万有引力定律1. 万有引力定律内容：2. 万有引力定律表达式：3. 万有引力常量：⑴ 开普勒第一定律中不同行星绕太阳运行时的椭圆轨道是不同的。

⑵ 开普勒第二定律中行星在近日点的速率大于在远日点的速率，从近日点向远日点运动时速率变小，从远日点向近日点运动时速率变大。

⑶ 开普勒第三定律的表达式k Tr =23中，k 是与太阳有关而与行星无关的常量，如果认为行星的轨道是圆的，式中半长轴r 代表圆的半径。

⑷开普勒三定律不仅适用于行星，也适用于卫星。

适用于卫星时,23k Tr =，常量k ’是由行星决定的另一常量，与卫星无关。

【例题1】太阳系中有一颗绕太阳公转的行星，距太阳的平均距离是地球到太阳平均距离的4倍，则该行星绕太阳公转的周期是多少年？【变式训练1】、已知地球半径约为R=6.4⨯106m,又知月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，则可估算出月球到地球的距离约 m.(结果只保留一位有效数字)。

图4-1（1）地球对物体的吸引力就是万有引力，重力只是万有引力的一个分力，万有引力的另一个分力是物体随地球自转所需的向心力。

如图4-1所示。

（2）物体在地球上不同的纬度处随地球自转所需的向心力的大小不同，重力大小也不同： 两极处：物体所受重力最大，大小等于万有引力，即2RMmGmg =。

赤道上：物体所受重力最小，22自ωmR R Mm Gmg -= 自赤道向两极，同一物体的重力逐渐增大，即g 逐渐增大。

（3）一般情况下，由于地球自转的角速度不大，可以不考虑地球的自转影响，近似的认为2RMmGmg = 【例题2】已知火星的半径为地球半径的一半，火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的4/9倍，则火星的质量约为地球质量的多少倍？【变式训练2】经测定，太阳光到达地球需要经过500s 的时间，已知地球的半径为6.4×106m ，试估算太阳质量与地球质量之比。

第二十五讲 开普勒三定律 万有引力定律及应用知识点回顾1．“地心说”和“日心说”的发展过程2．开普勒行星运动定律(1)开普勒第一定律行星运动的轨道不是正圆，行星与太阳的距离一直在变。

有时远离太阳，有时靠近太阳。

它的速度的大小、方向时刻在改变。

示意图如下：所有的行星围绕太阳运行的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上，这就是开普勒第一定律。

(2)开普勒第二定律对于每一个行星而言，太阳和行星的联线在相等的时间内扫过相等的面积。

根据开普勒第二定律可得，行星在远日点的速率较小，在近日点的速率较大。

(3)开普勒第三定律所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，这是开普勒第三定律。

每个行星的椭圆轨道只有一个，但是它们运动的轨道的半长轴的三次方与公转周期的平方的比值是相等的。

我们用R 表示椭圆的半长轴，T 代表公转周期，表达式可为k TR =23显然k 是一个与行星本身无关的量，只与中心体有关。

开普勒第三定律对所有行星都适用。

对于同一颗行星的卫星，也符合这个运动规律。

3、万有引力定律(1)定律的推导（2）定律的内容： 自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比。

（3）定律的公式： 如果用m 1和m 2表示两个物体的质量，用r 表示它们的距离，那么万有引力定律可以用下面的公式来表示221r m m G F = （4）说明a ．万有引力定律中的物体是指质点而言，不能随意应用于一般物体。

对于相距很远因而可以看作质点的物体，公式中的r 就是指两个质点间的距离；对均匀的球体，可以看成是质量集中于球心上的质点，这是一种等效的简化处理方法。

思考：在公式中，当r →0时，F →∞是否有意义？b ．两物体间相互作用的引力，是一对作用力和反作用力。

引力的方向在两质点的连线上。

c．G为引力常量，适用于任何两个物体，在数值上等于两个质量都是1kg的物体相距1m时的相互作用力，其数值与单位制有关。

万有引力公式推导
万有引力定律的推导以开普勒第三定律作为已知条件，开普勒第三定律r/T=C(C是常数)，推导得F=GMm/r，引力大小与它们质量的乘积成正比与它们距离的平方成反比，与两物体的化学组成和其间介质种类无关。

万有引力的科学意义
万有引力定律的辨认出，就是17世纪自然科学最了不起的成果之一。

它把地面上物体运动的规律和天体运动的规律统一了出来，对以后物理学和天文学的发展具备深刻的影响。

它第一次表述了（自然界中四种相互作用之一）一种基本相互作用的规律，在人类重新认识自然的历史上践行了一座里程碑。

万有引力定律揭示了天体运动的规律，在天文学上和宇宙航行计算方面有着广泛的应用。

它为实际的天文观测提供了一套计算方法，可以只凭少数观测资料，就能算出长周期运行的天体运动轨道，科学史上哈雷彗星、海王星、冥王星的发现，都是应用万有引力定律取得重大成就的例子。

利用万有引力公式，开普勒第三定律等还可以计算太阳、地球等无法直接测量的天体的质量。

牛顿还解释了月亮和太阳的万有引力引起的潮汐现象。

他依据万有引力定律和其他力学定律，对地球两极呈扁平形状的'原因和地轴复杂的运动，也成功的做了说明。

推翻了古代人类认为的神之引力。

对文化发展存有重大意义：并使人们创建了用能力认知天地间的各种事物的信心，革命了人们的思想，在科学文化的发展史上出了积极主动的促进促进作用。

开普勒三大定律和万有引力定律开普勒三大定律和万有引力定律一、开普勒三定律1．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆_，太阳处在椭圆的一个焦点_上．2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相同的时间内扫过相等的面积．3．开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的周期的平方的比值都相等，a3即＝k. T思考：开普勒第三定律中的k值有什么特点？二、万有引力定律1．内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与________________________________成正比，与它们之间____________________成反比．2．公式____________，通常取G＝____________ N·m2/kg2，G是比例系数，叫引力常量．3．适用条件公式适用于________间的相互作用．当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；均匀的球体可视为质点，r是__________间的距离；对一个均匀球体与球外一个质点的万有引力的求解也适用，其中r为球心到________间的距离．考点突破考点一天体产生的重力加速度问题考点解读星体表面及其某一高度处的重力加速度的求法：MmGM设天体表面的重力加速度为g，天体半径为R，则mg＝G，即g＝或GM＝gR2) RRMmGMR2若物体距星体表面高度为h，则重力mg′＝G，即g′＝. (R＋h)(R＋h)(R＋h)典例剖析例1 某星球可视为球体，其自转周期为T，在它的两极处，用弹簧秤测得某物体重为P，在它的赤道上，用弹簧秤测得同一物体重为0.9P，则星球的平均密度是多少？跟踪训练1 1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第2 752号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为16 km.若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度与地球相同．已知地球半径R＝6 400 km，地球表面重力加速度为g.这个小行星表面的重力加速度为( )11A．400gC．20gD.g 40020考点二天体质量和密度的计算考点解读1．利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.MmgR2MM3g由于Gmg，故天体质量M＝ρ. RGV434πGRR32．通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T，轨道半径r.Mm4π24π2r3(1)由万有引力等于向心力，即Gr，得出中心天体质量M＝；rTGT3MM3πr(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝ V43GTRR3(3)若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，3π则天体密度ρ＝.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估测出中心天GT体的密度．Mm特别提醒不考虑天体自转，对任何天体表面都可以认为mg＝G.从而得出GM＝gR2(通R常称为黄金代换)，其中M为该天体的质量，R为该天体的半径，g为相应天体表面的重力加速度．典例剖析例2 天文学家新发现了太阳系外的一颗行星，这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×1011－N·m2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为( )A．1.8×103 kg/m3B．5.6×103 kg/m3C．1.1×104 kg/m3D．2.9×104 kg/m3跟踪训练2 为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国于2019年10月发射了第一颗火星探测器“萤火一号”．假设探测器在离火星表面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和T2.火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G.仅利用以上数据，可以计算出( )A．火星的密度和火星表面的重力加速度B．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力C．火星的半径和“萤火一号”的质量D．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力.双星模型例3 宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动而不至因万有引力的作用吸引到一起．(1)试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量的反比．(2)设两者的质量分别为m1和m2，两者相距L，试写出它们角速度的表达式．建模1．要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力来源双星中两颗子星相互绕着旋转可看作匀速圆周运动，其向心力由两恒星间的万有引力提供．由于力的作用是相互的，所以两子星做圆周运动的向心力大小是相等的，利用万有引力定律可以求得其大小．2．要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的运动参量的关系两子星绕着连线上的一点做匀速圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等的，所以线速度与两子星的轨道半径成正比．3．要明确两子星做匀速圆周运动的动力学关系设两子星的质量分别为M1和M2，相距L，M1和M2的线速度分别为v1和v2，角速度分别为ω1和ω2，由万有引力定律和牛顿第二定律得： 2v1MMM1：GM1＝M1r1ω21Lr12v2MMM2：GM＝M2r2ω22 Lr2在这里要特别注意的是在求两子星间的万有引力时两子星间的距离不能代成了两子星做圆周运动的轨道半径．跟踪训练3 宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设每个星体的质量均为m.(1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期．(2)假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？配套练习开普勒定律的应用1．(2019·新课标全国·20)太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道．下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图象．图中坐标系的横轴是lg(T/T0)，纵轴是lg(R/R0)；这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，T0和R0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径．下列4幅图中正确的是( )2．(2019·安徽·22)(1)开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴aa3的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即＝k，k是一个对所有行星都相同的常T量．将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式．已知引力常量为G，太阳的质量为M太．(2)开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统(如地月系统)都成立．经测定月地距离为3.84×108 m，月球绕地球运动的周期为2.36×106 s，试计算地球的质量M地．(G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，结果保留一位有效数字)万有引力定律在天体运动中的应用3．一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上，已知万有引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为( ) A. 3Gρ4πGρC. GρGρ4．据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍．一个在地球表面重量为600 N的人在这个行星表面的重量将变为960 N，由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为( )A．0.5 B．2 C．3.2 D．45．宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球．经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L.若抛出时初速度增大到2倍，则抛出点与落地L.已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常量为G.求该星球的质量M.课后练习mm1．对万有引力定律的表达式F＝G( ) rA．公式中G为常量，没有单位，是人为规定的B．r趋向于零时，万有引力趋近于无穷大C．两物体之间的万有引力总是大小相等，与m1、m2是否相等无关D．两个物体间的万有引力总是大小相等，方向相反的，是一对平衡力2．最近，科学家通过望远镜看到太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运行一周所用的时间为1 200年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍．假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的量有( )A．恒星质量与太阳质量之比B．恒星密度与太阳密度之比C．行星质量与地球质量之比D．行星运行速度与地球公转速度之比3．两个大小相同的实心小铁球紧靠在一起时，它们之间的万有引力为F.若两个半径为实心小铁球半径2倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为( )A．2FB．4FC．8FD．16F4．如图1所示，A和B两行星绕同一恒星C做圆周运动，旋转方向相同，A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，某一时刻两行星相距最近，则( )A．经过T1＋T2两行星再次相距最近TTB．经过两行星再次相距最近 T2－T1T1＋T2C．经过两行星相距最远 2T1T2D．经过两行星相距最远 T2－T1图15．原香港中文大学校长、被誉为“光纤之父”的华裔科学家高锟和另外两名美国科学家共同分享了2019年度的诺贝尔物理学奖．早在1996年中国科学院紫金山天文台就将一颗于1981年12月3日发现的国际编号为“3463”的小行星命名为“高锟星”．假设“高11锟星”为均匀的球体，其质量为地球质量的，半径为地球半径的，则“高锟星”表面kq的重力加速度是地球表面的重力加速度的( )qkq2k2C. kqkq116．火星的质量和半径分别约为地球的，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重102力加速度约为( )A．0.2gB．0.4gC．2.5gD．5g图27．一物体从一行星表面某高度处自由下落(不计阻力)．自开始下落计时，得到物体离行星表面高度h随时间t变化的图象如图2所示，则根据题设条件可以计算出( )A．行星表面重力加速度的大小B．行星的质量C．物体落到行星表面时速度的大小D．物体受到行星引力的大小8．(2019·浙江·19)在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是、( )A．太阳引力远大于月球引力B．太阳引力与月球引力相差不大C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等 D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异。

万有引力定律推导开普勒第三定律大家都知道，天上有很多星星、行星，甚至有那些绕着我们地球转的月亮。

可是你有没有想过，为什么这些天体不会散得满天都是，而是总在固定的轨道上转来转去？为什么太阳的引力能牢牢抓住地球不让它飞出去？这背后可有一个了不起的定律——万有引力定律。

说起来，这个定律可不是简单的“天上有个重物把轻的吸引”这么简单，它可是通过一段非常精妙的推理，帮我们揭开了行星运动的神秘面纱。

今天，我就带你一起走一遍这条逻辑链，看看怎么从万有引力定律推导出咱们非常熟悉的开普勒第三定律。

咱们得从牛顿的万有引力定律说起。

这可是个经典中的经典，大家都知道，牛顿说过：“任何两个物体之间都有引力。

”简单说，就是天上星星、地上苹果，彼此之间都有相互吸引的力。

这个力，随着物体质量的增大而变强，随着它们之间的距离增大而变弱。

嗯，牛顿说得很清楚啊，你就把这想象成一个无形的“牵线人”，它不停地把天体拉得紧紧的，不让它们轻易松开。

是不是觉得很神奇，太阳和地球之间竟然能通过一根看不见的线维持这么复杂的运动？好啦，别急，我们慢慢理清楚。

然后咱们回到一个非常有趣的现象。

你想，地球绕着太阳转的速度怎么不快也不慢，而月亮也不乱跑，它总是围着地球稳稳地转。

哎，说到这，我得提一个人，约翰内斯·开普勒，他是一个天文学家，靠着观测太阳系的行星运动，发现了几个非常棒的规律，开普勒第三定律就是其中之一。

简单来说，开普勒第三定律告诉我们：“任何一颗行星绕太阳转的周期的平方，和它离太阳的平均距离的立方成正比。

”这个听起来可能有点绕，但其实没啥难度。

想象一下，地球离太阳有一个固定的距离，太阳对它的引力也就固定了，地球也因此保持着稳定的转动速度和周期。

咱们就可以开始解谜了，怎么从万有引力定律推导出开普勒的这个定律呢？别急，看我慢慢来。

根据牛顿的万有引力定律，太阳对地球的引力可以用一个简单的公式表示——引力 = (太阳的质量) × (地球的质量) ÷ (它们之间的距离平方)。

万有引力推导开普勒定律牛顿万有引力定律解释：随意率性两个粒子由经由过程连线偏向的力互相吸引.该引力的的大小与它们的质量乘积成正比,与它们距离的平方成反比.因为太阳超重于行星,我们可以假设太阳是固定的.用方程式暗示,;这里,是太阳感化於行星的万有引力.是行星的质量.是太阳的质量.是行星相对于太阳的位移向量.是的单位向量.牛顿第二定律声明：物體受力後所产生的加快度,和其所受的淨力成正比,和其質量成反比.用方程式暗示,.归并这两个方程式,. (1)思虑地位向量,随时光微分一次可得到速度向量,再微分一次则可得到加快度向量：,.(2)在这里,我们用到了单位向量微分方程式：,.归并方程式 (1) 与 (2) ,可以得到向量活动方程式：取各个分量,我们得到两个常微分方程式,一个是关于径向加快度,另一个是关于切向加快度：,(3).(4)导引开普勒第二定律只需切向加快度方程式.试想行星的角动量.因为行星的质量是常数,角动量随时光的导数为.角动量也是一个活动常数,即使距离与角速度都可能会随时光变更.从时光到时光扫过的区域,.行星太阳连线扫过的区域面积相依于距离时光.所以,开普勒第二定律是准确的.[编辑]开普勒第必定律导引设定.如许,角速度是.随时光微分与随角度微分的关系为.随时光微分徑向距離：.再微分一次：.代入径向活动方程式 (3) , ,.将此方程式除以,则可得到一个简略的常係数非齐次线性全微分方程式来描写行星轨道：.特点方程式为.求解剩馀的常係数齐次线性全微分方程式,.其特解方程式为;这里,与都是随意率性积分常数.分解特点方程式与特解方程式,.选择坐标轴,让.代回,.假若,则所描写的是椭圆轨道.所以,开普勒第必定律是准确的.[编辑]开普勒第三定律导引在树立牛顿万有引力定律的概念与数学架构上,开普勒第三定律是牛顿根据的主要线索之一.假若我们接收牛顿活动定律.试想一个虚拟行星围绕着太阳公转,行星的移动轨道刚巧呈圆形,轨道半径为.那末,太阳感化于行星的万有引力为.行星移动速度为.按照开普勒第三定律,这速度与半径的平方根成反比.所以,万有引力.猜测这精确是牛顿发明万有引力定律的思绪,固然我们其实不克不及完整肯定,因为我们无法在他的盘算本裡,找到任何干于这方面的证据.行星围绕太阳（核心 F1 ）的椭圆轨道.开普勒第必定律解释,行星围绕太阳的轨道是卵形的.椭圆的面积是;这里,与分离为椭圆的半長軸与半短軸.在开普勒第二定律导引里,行星－太阳连线扫过区域速度为.所以,行星公转周期为.(5)关于此行星围绕太阳,椭圆的半長軸,半短軸与近拱距（近拱点 A 与引力中间之间的距离）,远拱距（远拱点 B 与引力中间之间的距离）的关系分离为,(6).(7)假如想要知道半長軸与半短軸,必须先求得近拱距与远拱距.根据能量守恒定律,.在近拱点 A 与远拱点 B,径向速度都等于零：.所以,.稍为加以编排,可以得到的一元二次方程式：.其兩個根分离为椭圆轨道的近拱距与远拱距.;.代入方程式 (6) 与 (7) ,,.代入方程式 (5) ,周期的方程式为.。