万有引力定律和开普勒三定律的互相推导

开普勒的行星第三定律万有引力万有引力是牛顿提出的一个基本物理定律，它描述了任何两个物体之间的引力作用。

而开普勒的行星第三定律则是描述了行星运动周期和轨道半径之间的关系。

这两个定律在天体物理研究中起着重要的作用，并且相互关联。

万有引力定律是由英国物理学家牛顿在17世纪提出的。

该定律表明，任何两个物体之间都存在引力，而且这个引力与它们的质量和距离有关。

具体来说，两个物体之间的引力正比于它们的质量乘积，反比于它们之间的距离的平方。

开普勒的行星第三定律是由德国天文学家开普勒在17世纪提出的。

这个定律描述了行星运动周期和轨道半径之间的关系。

根据这个定律，行星的运动周期的平方与它们的轨道半径的立方成正比。

换句话说，行星离太阳越远，它的运动周期就越长。

这两个定律之间的关系在理论物理研究中起着重要的作用。

根据万有引力定律，我们可以计算出行星之间的引力，从而预测它们的轨道和运动。

而开普勒的行星第三定律则为我们提供了一种计算行星轨道半径和运动周期之间关系的方法。

通过研究这两个定律，我们可以深入了解行星系统的形成和演化过程。

例如，根据开普勒的行星第三定律，我们可以推测出行星系统中可能存在的未被发现的行星。

通过观测已知行星的运动周期和轨道半径，我们可以推算出其他行星的存在。

除了行星系统的研究，万有引力定律和开普勒的行星第三定律还在其他领域有着广泛的应用。

例如，它们可以用于计算天体的质量，预测彗星的轨道，解释恒星的运动等等。

这些应用使得我们能够更好地理解宇宙的本质和运行机制。

虽然万有引力定律和开普勒的行星第三定律是在几个世纪前提出的，但它们至今仍然被广泛应用于现代科学研究中。

随着天文观测技术的不断进步，我们对宇宙的认识也在不断深化。

这些定律的应用和发展将继续推动着天体物理学的进步。

万有引力定律和开普勒的行星第三定律是天体物理学中的重要定律。

它们描述了物体之间的引力作用和行星运动周期与轨道半径之间的关系。

这些定律的研究和应用使我们能够更好地理解宇宙的本质和运行机制，推动着天体物理学的进步。

例1：从开普勒三定律推导万有引力定律：过焦点垂直于极轴半弦长为p，离心率为e的椭圆，取左焦点为极坐标原点，极轴指向右交点为初始方向，则椭圆上的点r⃗（r(t)，θ(t)）满足方程：r(t)=p1−ecosθ(t)(1)一些符号的意义：角速度公式：ω =dθ(t)dt(2)速度公式：v⃗⃗=ds⃗⃗⃗⃗⃗dt(3)加速度公式：a⃗⃗=dv⃗⃗⃗⃗⃗⃗dt(4)面积微分:dA =12r2d(θ(t))(5)两边除dt，并可得：dA dt =12r2ω根据开普勒第二定律，上式应该为常数，即dA dt =12r2ω=C1(6)因为mr2ω是角动量，从上面这个关系式上看，开普勒第二定律就是角动量守恒。

椭圆面积为：A=πab=∫dAdt dtT 0=∫C1dtT=C1T=12r2ωT所以：πab T =C1=12r2ω(7)(7)式再对t求导，能够得到下面等式：d(r2ω) dt =2rωdrdt+r2dωdt=0即：2ωṙ+rω=0(8) (8)是与径向垂直方向上的加速度，说明行星只受径向的向心力。

极坐标下的弧长公式为ds2=dr2+ r2dθ2同除dt2，注意到角速度公式(2)及速度公式(3)，有：v⃗⃗∙v⃗⃗=ṙ2+ r2ω2(9) (9)式再次对t求导，注意到加速度公式(4)以及矢量点积的可交换性质，有：2v v⃗⃗v ∙a a⃗⃗a=2ṙr+ 2rṙω2+ 2r2ωω利用(8)式，得：v(v⃗⃗v ∙a⃗⃗a)a=ṙ(r̈−rω2)+rω(2ωṙ+ rω)=ṙ(r̈−rω2)因为a⃗⃗与r⃗在同一直线上，容易看出v (v⃗⃗v ∙a⃗⃗a)就是v⃗⃗在r⃗上的投影，也就是ṙ，即：a⃗⃗=(r̈−rω2)e⃗⃗r⃗(10) (1)式可变为：Pr= 1−ecosθ(11) 对t求导，得：−pr2ṙ= ωesinθ同除ω得：−pr2ωṙ= esinθ因r2ω也是常数，继续对t求导，得：−pr2ωr̈= ωecosθ将（11）代入，消去ecosθ，注意到：p=b2a整理得：r̈−rω2=−1r2a(r2ω)2b2=−1r2(4π2a3T2)（12）由于开普勒第三定律：a3T2=C2（13）因此，(4π2a3T2)也是常数，记作k。

万有引力与开普勒定律在物理学中，万有引力定律和开普勒定律是两个重要的定律，它们对于我们理解天体运动和宇宙的结构起着关键的作用。

万有引力定律是由英国物理学家牛顿在17世纪提出的，而开普勒定律则是由德国天文学家开普勒在16世纪发现的。

本文将详细介绍这两个定律以及它们之间的关系。

一、万有引力定律万有引力定律是牛顿在1687年提出的，他通过观察苹果从树上落下以及行星运动的规律，总结出了这个定律。

它的表达式为：F =G * (m1 * m2) / r^2其中，F代表物体之间的引力，m1和m2分别代表两个物体的质量，r代表两个物体之间的距离，G为万有引力常数。

这个定律说明了两个物体之间的引力与它们质量的乘积成正比，与它们距离的平方成反比。

万有引力定律不仅适用于地球上的物体，也适用于天体间的相互作用。

它解释了行星绕太阳的运动、卫星绕行行星的运动，甚至还能解释地球上物体的自由落体运动。

牛顿通过这个定律建立了经典力学的基础，对物体的运动和力学规律有了更深入的理解。

二、开普勒定律开普勒定律是德国天文学家开普勒在17世纪提出的，他通过对行星运动的观察和数据分析，总结出了三个定律。

这三个定律描述了行星的轨道形状、行星在轨道上的运动速度以及行星的轨道周期与半长轴之间的关系。

第一定律：行星绕太阳的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。

第二定律：行星在其椭圆轨道上的面积速度相等，即在相同时间内，行星扫过的面积相等。

第三定律：行星的轨道周期的平方与半长轴的立方成正比。

开普勒定律的发现使得人们对天体运动规律有了更深入的认识。

它不仅适用于行星运动，也适用于卫星绕行行星的运动。

这些定律揭示了宇宙中的某种统一性和规律性，推动了人类对宇宙起源和结构的研究。

三、万有引力与开普勒定律的关系万有引力定律和开普勒定律是密切相关的，它们可以相互证明和推导。

在开普勒定律的第二定律中，行星在相同时间内所扫过的面积速度相等，这是因为行星受到的来自太阳的引力是保持角动量守恒的结果。

牛顿万有引力公式其实就是开普勒第三定律Ⅰ推导过程我们试着用牛顿的思路，完全用开普勒第三定律本身，变形出牛顿的万有引力公式。

首先给出开普勒第三定律：R3T 2 =K （1） R 为平均轨道半径，T 为环绕周期因为T=2πR V，代入公式（1）得 V 2·R=4π2K （2） 我们把变量放等号左边，常量放等号右面牛顿看到公式（2）后，肯定会想到向心加速度的公式 V 2R=a 然后让公式（2）的左边变成V 2R，公式（2）等式两边同除以R 2,公式变换V 2R=4π2K R 2 （3） 牛顿创造的力学的核心是F=ma ，他必定要把公式（3）的等号左边化成F,即V 2R·m 的形式。

所以公式（3）变两边同乘以m （m 可以是太阳系行星的质量）变换为：m·V2R=4π2K·mR2（4）接下来的变换是最为神奇和关键的一步，当牛顿看见公式（4）中“4π2K”时，觉得这个数值很大很大。

在牛顿时代之前，人们已经知道，k的大小只取决于中心天体，而是和绕行天体无关的常数。

人们也已经粗略的知道，中心天体越大，这个K值就越大，两者可能是成正比的。

牛顿顺着这些前人的思路，做出了一个非常大胆的假设，或者说是猜测，他猜测“4π2K”就是中心天体的质量，但他随后马上发现“4π2K”和质量的单位两者不相同，于是为了单位的平衡，牛顿认为需要加入了一个“带单位的常量”，它就是后来人们所熟悉的万有引力常数G。

至此，牛顿按照自己的意愿，人为的规定：MG=4π2K ,其中M是中心天体的质量。

把它代入公式（4）公式（4）变换为：m·V2R=GM·mR2（5）F=ma= m·V2R=GM·mR2公式（5）就是我们熟知的万有引力公式。

我们回顾和总结一下整个过程，从公式（1）（开普勒第三定律）到公式（4）只是普通的公式变换，公式（4）到公式（5），MG为什么可以替代“4π2K”，牛顿没有给出任何可信或可验证的证据。

万有引力公式推导
万有引力定律的推导以开普勒第三定律作为已知条件，开普勒第三定律r/T=C(C是常数)，推导得F=GMm/r，引力大小与它们质量的乘积成正比与它们距离的平方成反比，与两物体的化学组成和其间介质种类无关。

万有引力的科学意义
万有引力定律的辨认出，就是17世纪自然科学最了不起的成果之一。

它把地面上物体运动的规律和天体运动的规律统一了出来，对以后物理学和天文学的发展具备深刻的影响。

它第一次表述了（自然界中四种相互作用之一）一种基本相互作用的规律，在人类重新认识自然的历史上践行了一座里程碑。

万有引力定律揭示了天体运动的规律，在天文学上和宇宙航行计算方面有着广泛的应用。

它为实际的天文观测提供了一套计算方法，可以只凭少数观测资料，就能算出长周期运行的天体运动轨道，科学史上哈雷彗星、海王星、冥王星的发现，都是应用万有引力定律取得重大成就的例子。

利用万有引力公式，开普勒第三定律等还可以计算太阳、地球等无法直接测量的天体的质量。

牛顿还解释了月亮和太阳的万有引力引起的潮汐现象。

他依据万有引力定律和其他力学定律，对地球两极呈扁平形状的'原因和地轴复杂的运动，也成功的做了说明。

推翻了古代人类认为的神之引力。

对文化发展存有重大意义：并使人们创建了用能力认知天地间的各种事物的信心，革命了人们的思想，在科学文化的发展史上出了积极主动的促进促进作用。

万有引力定律推导开普勒第三定律大家都知道，天上有很多星星、行星，甚至有那些绕着我们地球转的月亮。

可是你有没有想过，为什么这些天体不会散得满天都是，而是总在固定的轨道上转来转去？为什么太阳的引力能牢牢抓住地球不让它飞出去？这背后可有一个了不起的定律——万有引力定律。

说起来，这个定律可不是简单的“天上有个重物把轻的吸引”这么简单，它可是通过一段非常精妙的推理，帮我们揭开了行星运动的神秘面纱。

今天，我就带你一起走一遍这条逻辑链，看看怎么从万有引力定律推导出咱们非常熟悉的开普勒第三定律。

咱们得从牛顿的万有引力定律说起。

这可是个经典中的经典，大家都知道，牛顿说过：“任何两个物体之间都有引力。

”简单说，就是天上星星、地上苹果，彼此之间都有相互吸引的力。

这个力，随着物体质量的增大而变强，随着它们之间的距离增大而变弱。

嗯，牛顿说得很清楚啊，你就把这想象成一个无形的“牵线人”，它不停地把天体拉得紧紧的，不让它们轻易松开。

是不是觉得很神奇，太阳和地球之间竟然能通过一根看不见的线维持这么复杂的运动？好啦，别急，我们慢慢理清楚。

然后咱们回到一个非常有趣的现象。

你想，地球绕着太阳转的速度怎么不快也不慢，而月亮也不乱跑，它总是围着地球稳稳地转。

哎，说到这，我得提一个人，约翰内斯·开普勒，他是一个天文学家，靠着观测太阳系的行星运动，发现了几个非常棒的规律，开普勒第三定律就是其中之一。

简单来说，开普勒第三定律告诉我们：“任何一颗行星绕太阳转的周期的平方，和它离太阳的平均距离的立方成正比。

”这个听起来可能有点绕，但其实没啥难度。

想象一下，地球离太阳有一个固定的距离，太阳对它的引力也就固定了，地球也因此保持着稳定的转动速度和周期。

咱们就可以开始解谜了，怎么从万有引力定律推导出开普勒的这个定律呢？别急，看我慢慢来。

根据牛顿的万有引力定律，太阳对地球的引力可以用一个简单的公式表示——引力 = (太阳的质量) × (地球的质量) ÷ (它们之间的距离平方)。

万有引力推导开普勒定律牛顿万有引力定律解释：随意率性两个粒子由经由过程连线偏向的力互相吸引.该引力的的大小与它们的质量乘积成正比,与它们距离的平方成反比.因为太阳超重于行星,我们可以假设太阳是固定的.用方程式暗示,;这里,是太阳感化於行星的万有引力.是行星的质量.是太阳的质量.是行星相对于太阳的位移向量.是的单位向量.牛顿第二定律声明：物體受力後所产生的加快度,和其所受的淨力成正比,和其質量成反比.用方程式暗示,.归并这两个方程式,. (1)思虑地位向量,随时光微分一次可得到速度向量,再微分一次则可得到加快度向量：,.(2)在这里,我们用到了单位向量微分方程式：,.归并方程式 (1) 与 (2) ,可以得到向量活动方程式：取各个分量,我们得到两个常微分方程式,一个是关于径向加快度,另一个是关于切向加快度：,(3).(4)导引开普勒第二定律只需切向加快度方程式.试想行星的角动量.因为行星的质量是常数,角动量随时光的导数为.角动量也是一个活动常数,即使距离与角速度都可能会随时光变更.从时光到时光扫过的区域,.行星太阳连线扫过的区域面积相依于距离时光.所以,开普勒第二定律是准确的.[编辑]开普勒第必定律导引设定.如许,角速度是.随时光微分与随角度微分的关系为.随时光微分徑向距離：.再微分一次：.代入径向活动方程式 (3) , ,.将此方程式除以,则可得到一个简略的常係数非齐次线性全微分方程式来描写行星轨道：.特点方程式为.求解剩馀的常係数齐次线性全微分方程式,.其特解方程式为;这里,与都是随意率性积分常数.分解特点方程式与特解方程式,.选择坐标轴,让.代回,.假若,则所描写的是椭圆轨道.所以,开普勒第必定律是准确的.[编辑]开普勒第三定律导引在树立牛顿万有引力定律的概念与数学架构上,开普勒第三定律是牛顿根据的主要线索之一.假若我们接收牛顿活动定律.试想一个虚拟行星围绕着太阳公转,行星的移动轨道刚巧呈圆形,轨道半径为.那末,太阳感化于行星的万有引力为.行星移动速度为.按照开普勒第三定律,这速度与半径的平方根成反比.所以,万有引力.猜测这精确是牛顿发明万有引力定律的思绪,固然我们其实不克不及完整肯定,因为我们无法在他的盘算本裡,找到任何干于这方面的证据.行星围绕太阳（核心 F1 ）的椭圆轨道.开普勒第必定律解释,行星围绕太阳的轨道是卵形的.椭圆的面积是;这里,与分离为椭圆的半長軸与半短軸.在开普勒第二定律导引里,行星－太阳连线扫过区域速度为.所以,行星公转周期为.(5)关于此行星围绕太阳,椭圆的半長軸,半短軸与近拱距（近拱点 A 与引力中间之间的距离）,远拱距（远拱点 B 与引力中间之间的距离）的关系分离为,(6).(7)假如想要知道半長軸与半短軸,必须先求得近拱距与远拱距.根据能量守恒定律,.在近拱点 A 与远拱点 B,径向速度都等于零：.所以,.稍为加以编排,可以得到的一元二次方程式：.其兩個根分离为椭圆轨道的近拱距与远拱距.;.代入方程式 (6) 与 (7) ,,.代入方程式 (5) ,周期的方程式为.。

开普勒三定律和万有引力定律的关系好吧，今天咱们就来聊聊开普勒的三定律和万有引力定律，听起来有点深奥，但其实没那么复杂。

想象一下，宇宙就像一个巨大的舞台，星星、行星们都是在上面翩翩起舞的演员。

开普勒就是那个给他们编舞的人，而牛顿则是掌握着舞台背后规则的导演。

是不是有点意思？开普勒三定律说的就是行星们围绕太阳转的规律，这些规律就像是舞蹈中的节奏，得有章法才行。

第一个定律说，行星们的轨道是椭圆形的，太阳位于一个焦点上。

你可以想象成一个大椭圆，行星在这个大椭圆里转圈，就像是在围着火堆跳舞，离得近的时候嗨得很，离得远的时候就有点冷场。

接下来第二个定律，行星在轨道上跑得快慢是有讲究的，离太阳近的时候，速度飞快，离得远的时候，就慢吞吞的，简直像个懒猫。

这就是“等面积定律”，越靠近太阳，舞步越轻快，越远就得悠着点。

第三个定律更是妙，行星绕太阳转的周期和它离太阳的距离有直接关系，离得远的，转得慢；离得近的，转得快。

就像一群朋友，离得近的时候一起疯，一散开就各自悠哉悠哉了。

好了，咱们再说说牛顿的万有引力定律，牛顿可真是个了不起的家伙。

他通过苹果落地的灵感，发现了万有引力的定律。

这就是告诉我们，所有的物体之间都有一种看不见的引力，越大越重的物体引力越强。

简直就像宇宙中的“吸引力法则”，把所有东西都紧紧地拽在一起，天上星星、地上石头，都是这位牛顿老爷子安排好的舞台角色。

这就能解释为什么行星不飞得乱七八糟，反而都能安安分分地围着太阳转，真是个绝妙的安排。

好吧，回到开普勒和牛顿的关系，开普勒的定律就像是描述了这个舞蹈的动作，而牛顿则是给了这个舞蹈一个科学的解释。

他们的理论就像是珠联璧合，开普勒提供了数据，牛顿给了背后的原因。

两者的结合让我们对宇宙的理解更进一步，真是天衣无缝的搭档。

可以说，开普勒的三定律就像是舞者的基本功，只有打好了基础，才能跳出优雅的舞姿。

而牛顿的万有引力就像是让这个舞台运转的发动机，没有它，一切都可能乱成一团。

万有引力定律公式详细推导过程
有很多的同学是非常想知道，万有引力定律公式详细推导过程是什幺，小编整理了相关信息，希望会对大家有所帮助！
1 万有引力定律推导公式是什幺根据开普勒的三定律以及牛顿第三定律得出.
具体如下;F 引= F 向=mw2r＝mv2/r 再由线速度与周期的关系得到
F 引=m(2πr/T)2/r=4π2mr/T2
F 引=4π2mr/T2=4π2(r3/T2)m/r2
F 引=4π2km/r2
所以可以得出结论：太阳对行星的引力跟行星的质量成正比,跟行星到太阳的距离的二次方成反比.
即：F∝m/r2
牛顿根据牛顿第三定律大胆的猜想：既然太阳对行星的引力与行星的质量成正比,也应该与太阳的质量成正比.
F 引∝Mm/r2
写成等式：F 引= GMm/r2
1 万有引力定律的定义任意两个质点有通过连心线方向上的力相互吸引。

该引力大小与它们质量的乘积成正比与它们距离的平方成反比，与两物体的化学组成和其间介质种类无关。

万有引力定律是艾萨克·牛顿在1687 年于《自然哲学的数学原理》上发表的。

万有引力定律的发现是近代经典物理学发展的必然结果。

科学史上普遍认。