专题8.6 直线与椭圆的位置关系-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(解析版)

第八篇平面解析几何专题8.05椭圆及其几何性质【考试要求】1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.【知识梳理】1.椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质【微点提醒】点P (x 0，y 0)和椭圆的位置关系(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2>1.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( ) (2)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆.( )(3)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆.( ) (4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相同.( )【教材衍化】2.(选修2－1P49T1改编)若F 1(3，0)，F 2(－3，0)，点P 到F 1，F 2的距离之和为10，则P 点的轨迹方程是________.3.(选修2－1P49A6改编)已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为________.【真题体验】4.(2018·张家口调研)椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标为( )A.(±3，0)B.(0，±3)C.(±9，0)D.(0，±9)5.(2018·全国Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2，0)，则C 的离心率为( )A.13B.12C.22D.2236.(2018·武汉模拟)曲线x 225＋y 29＝1与曲线x 225－k ＋y 29－k ＝1(k <9)的( )A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等【考点聚焦】考点一 椭圆的定义及其应用【例1】 (1)如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是( )A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆(2)(2018·德阳模拟)设P 为椭圆C ：x 249＋y 224＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，且△PF 1F 2的重心为点G ，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，那么△GPF 1的面积为( ) A.24 B.12C.8D.6【规律方法】 (1)椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.【训练1】 (1)(2018·福建四校联考)已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( ) A.2 3B.6C.4 3D.2(2)(2018·衡水中学调研)设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6，4)，则|PM |－|PF 1|的最小值为________.考点二 椭圆的标准方程【例2】 (1)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A.x 264－y 248＝1 B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1D.x 264＋y 248＝1 (2)(一题多解)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，则椭圆的标准方程为________________.【规律方法】 根据条件求椭圆方程的主要方法有：(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a ，b .当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m ，n 的值即可. 【训练2】 (1)(2018·济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( ) A.x 236＋y 232＝1 B.x 29＋y 28＝1 C.x 29＋y 25＝1D.x 216＋y 212＝1 (2)(2018·榆林模拟)已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1D.x 25＋y 24＝1考点三 椭圆的几何性质多维探究角度1 椭圆的长轴、短轴、焦距【例3－1】 (2018·泉州质检)已知椭圆x 2m －2＋y 210－m ＝1的长轴在x 轴上，焦距为4，则m 等于( )A.8B.7C.6D.5角度2 椭圆的离心率【例3－2】 (2018·全国Ⅱ卷)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23 B.12C.13D.14角度3 与椭圆性质有关的最值或范围问题【例3－3】 (2017·全国Ⅰ卷)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点.若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A.(0，1]∪[9，＋∞)B.(0，3]∪[9，＋∞)C.(0，1]∪[4，＋∞)D.(0，3]∪[4，＋∞)【规律方法】1.求椭圆离心率的方法(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.2.在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围、离心率的范围等不等关系.【训练3】(1)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A.1B. 2C.2D.2 2(2)(2019·豫南九校联考)已知两定点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C 以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为()A.55 B.105 C.255 D.2105【反思与感悟】1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F 1F 2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况.2.求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法).先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a 2，b 2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程.若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )【易错防范】1.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x 2与y 2的分母大小.2.在解关于离心率e 的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e ∈(0，1)进行根的取舍，否则将产生增根.3.椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ，0＜e ＜1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题1.椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值等于( )A.5B.3C.5或3D.82.(2019·聊城模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为23，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 29＋y 24＝1D.x 29＋y 25＝1 3.已知圆(x －1)2＋(y －1)2＝2经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F 和上顶点B ，则椭圆C 的离心率为( ) A.12 B. 2 C.2 D.224.(2019·湖北重点中学联考)已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且垂直于长轴的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 1内切圆的半径为( ) A.43 B.1C.45D.345.已知椭圆x 24＋y 22＝1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1|－|PF 2|＝2，则△PF 1F 2的面积是( ) A. 2 B.2 C.2 2 D. 3二、填空题6.已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－23)且a ＝2b ，则椭圆的标准方程为________.7.设F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若△F 2AB的面积为43的等边三角形，则椭圆C 的方程为______________.8.(2019·昆明诊断)椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P 的坐标是________.三、解答题9.已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4，3).若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程.10.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为M ，上顶点为N ，右焦点为F ，若NM →·NF →＝0，则椭圆的离心率为( ) A.32 B.2－12 C.3－12 D.5－1212.(2019·湖南湘东五校联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，△PF 1F 2是以F 2P 为底边的等腰三角形，且60°<∠PF 1F 2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A.(3－12，1)B.(3－12，12)C.⎝⎛⎭⎫12，1D.⎝⎛⎭⎫0，12 13.(2018·浙江卷)已知点P (0，1)，椭圆x 24＋y 2＝m (m >1)上两点A ，B 满足AP →＝2PB →，则当m ＝________时，点B 横坐标的绝对值最大.14.(2019·石家庄月考)已知点M (6，2)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，且椭圆的离心率为63. (1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)，求△PAB 的面积.【新高考创新预测】15.(多填题)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1，0)，其关于直线y ＝bx 的对称点Q 在椭圆上，则离心率e ＝________，S △FOQ ＝________.。

第二节直线与椭圆的位置关系(一)-备考方向明确h --------------------------- 一方向比勢力更重要 ------------- 知识链条完善h -------------------------- 把散落的知识连起来------------阿络构建一、直线与椭圆的位置关系1. 若直线斜率不存在，数形结合分析.2. 若直线斜率k存在,设直线方程为y=kx+m,联立［厂2収1"；22得关于b x a y a bx 的方程(b 2+a2k2)x 2+2km<ax+a2(m2-b 2)=0,则有直线与椭圆相交？有两个交点？△ >0,直线与椭圆相切？有一个交点？上0,直线与椭圆相离？没有交点？ g.1. 概念理解(1) 直线与椭圆位置关系的判定有两种方法：几何法和代数法，几何法即借助椭圆与直线的图形进行判定，代数法即直线方程与椭圆方程联立得到关于x(或y)的一元二次方程，然后再判定直线与椭圆的关系，解题时应根据情况，进行判定.(2) 过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切，过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切，过椭圆内一点的直线均与椭圆相交，这与直线与圆的位置关系类似.2. 与直线与椭圆的位置相关的结论, , 2 2 , ,(1) 若P o(x o,y o)在椭圆刍+再=1上,则过P0的椭圆的切线方程是a bx o x + y o y =i~ar ■, , 2 2 , ,⑵若P o(X o,y o)在椭圆笃+再=1外,则过点P o作椭圆的两条切线，切点a b为R,P2,则切点弦PR的直线方程是竽+譽=1.a b二、直线与椭圆相交问题的处理方法1. 常规方法(通法), 2 2(1) 设直线y=kx+m与椭圆笃+音=1的交点为A(X1,y 1),B(x 2,y 2);a b⑵把直线与椭圆方程联立,得方程组；(3) 消去y得关于x的一元二次方程(或消去x得关于y的一元二次方程)；⑷由韦达定理得x1+x?,^1^x2的值(或Y1+y2,y1^y2的值)；(5)求解(用中点公式、弦长公式等).2. 点差法I型2 2(1) 设直线y=kx+m与椭圆笃+占=1的交点为A(X1,y 1),B(x 2,y 2);a b(2) 把点的坐标代入椭圆方程且作差可得k AB,弦长公式d=〔_k2• |x i-x2|= .i ；• |y i-y2|.3•点差法U型(弦AB的中点为(a,b))(1)设交点坐标为A(x,y),B(2a-x,2b-y);⑵把点的坐标代入椭圆方程；(3) 作差后依题意求解.1.概念理解常规方法是直线与椭圆相交问题的通用方法，运算量较大，运算应细心,按步骤整理，避免出错.在涉及中点、斜率问题时，可考虑点差法. 设出点的坐标，在遇到垂直、夹角问题时，可考虑运用向量法进行解题基本思路是先设元(设点的坐标),后消元.2.与直线与椭圆相交问题相关的结论. _ 2 2 _____________________________________ __(1)AB是椭圆务+气=1的不平行于对称轴的弦,M(x o,y 0)为AB的中点,a b.2 2贝卩k oM • k AB=- ,即k AB=- .a a y02 2⑵若P o(X o,y o)在椭圆笃+再=1内，则被P o所平分的中点弦的方程为a b2 2b2+ y°y =x0 +y。

第八篇平面解析几何专题8.6直线与椭圆的位置关系【考点聚焦突破】考点一中点弦及弦长问题角度1中点弦问题【例1－1】已知椭圆x 22＋y 2＝1，(1)过A (2，1)的直线l 与椭圆相交，求l 被截得的弦的中点轨迹方程；(2)求过点P P 点平分的弦所在直线的方程.【答案】见解析【解析】(1)设弦的端点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，其中点是M (x ，y )，则x 2＋x 1＝2x ，y 2＋y 1＝2y ，由于点P ，Q 在椭圆上，则有：y 21＝1，①y 22＝1，②①－②得y 2－y 1x 2－x 1＝－x 2＋x 12（y 2＋y 1）＝－x2y ，所以－x 2y ＝y －1x －2，化简得x 2－2x ＋2y 2－2y ＝0(包含在椭圆x 22＋y 2＝1内部的部分).(2)由(1)可得弦所在直线的斜率为k ＝－x 2y ＝－12，因此所求直线方程是y －12＝－2x ＋4y －3＝0.【规律方法】弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立、消元，利用根与系数关系表示中点；(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率.角度2弦长问题【例1－2】(2019·北京朝阳区模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且点F 1到椭圆C 上任意一点的最大距离为3，椭圆C 的离心率为12.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为－1的直线l 与以线段F 1F 2为直径的圆相交于A ，B 两点，与椭圆相交于C ，D ，且|CD ||AB |＝837？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.【答案】见解析【解析】(1)根据题意，设F 1，F 2的坐标分别为(－c ，0)，(c ，0)，c ＝3，＝12，解得a ＝2，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3，故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在斜率为－1的直线l ，设为y ＝－x ＋m ，由(1)知F 1，F 2的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，所以以线段F 1F 2为直径的圆为x 2＋y 2＝1，由题意知圆心(0，0)到直线l 的距离d ＝|－m |2<1，得|m |< 2.|AB |＝21－d 2＝21－m 22＝2×2－m 2，＋y 23＝1，x ＋m ，消去y ，得7x 2－8mx ＋4m 2－12＝0，由题意得Δ＝(－8m )2－4×7(4m 2－12)＝336－48m 2＝48(7－m 2)>0，解得m 2<7，设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8m7，x 1x 2＝4m 2－127，|CD |＝2|x 1－x 2|＝2＝2×336－48m 249＝467×7－m 2＝837|AB |＝837×2×2－m 2，解得m 2＝13<7，得m ＝±33.即存在符合条件的直线l ，其方程为y ＝－x ±33.【规律方法】 1.解决直线与椭圆相交的问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.2.设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝k 为直线斜率).【训练1】(1)(一题多解)已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________.(2)(一题多解)(2019·广东五校调研)若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为()A.x 212＋y 220＝1 B.x 24＋y 212＝1C.x 212＋y 28＝1 D.x 28＋y 212＝1【答案】(1)553(2)D【解析】(1)法一由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1，0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)，2（x －1），＋y 24＝1消去y ，得3x 2－5x ＝0，故得A (0，－2)，|AB |＝553.法二由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1，0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)，2（x －1），＋y 24＝1，消去y 得3x 2－5x ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0，则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝553.(2)法一∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，∴设椭圆方程为y 2b 2＋4＋x 2b 2＝1(b >0)，＋x 2b 2＝1，7消去x ，得(10b 2＋4)y 2－14(b 2＋4)y －9b 4＋13b 2＋196＝0，设直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1＋y 22＝1，∴y 1＋y 2＝14（b 2＋4）10b 2＋4＝2，解得b 2＝8.∴所求椭圆方程为x 28＋y 212＝1.法二∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，∴设椭圆的方程为y 2b 2＋4＋x 2b 2＝1(b >0).设直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则＋x 21b 2＝1，①＋x 22b 2＝1，②①－②得（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b 2＋4＋（x 1－x 2）（x 1＋x 2）b 2＝0，即y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－b 2＋4b 2，又∵弦AB 的中点的纵坐标为1，故横坐标为－2，k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝3，代入上式得3×2×12×（－2）＝－b 2＋4b 2，解得b 2＝8，故所求的椭圆方程为x 28＋y 212＝1.考点二最值与范围问题【例2】(2019·天津和平区质检)已知P 点坐标为(0，－2)，点A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，直线BP 交E 于点Q ，△ABP 是等腰直角三角形，且PQ →＝32QB →.(1)求椭圆E 的方程；(2)设过点P 的动直线l 与E 相交于M ，N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)由△ABP 是等腰直角三角形，得a ＝2，B (2，0).设Q (x 0，y 0)，则由PQ →＝32QB →0＝65，0＝－45，代入椭圆方程得b 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)依题意得，直线l 的斜率存在，方程设为y＝kx －2.kx －2，y 2＝1，消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.(*)因直线l 与E 有两个交点，即方程(*)有不等的两实根，故Δ＝(－16k )2－48(1＋4k 2)>0，解得k 2>34.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，1＋x 2＝16k1＋4k 2，1x 2＝121＋4k 2，因坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外，所以OM →·ON →>0，即x 1x 2＋y 1y 2>0，又由x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－2)(kx 2－2)＝(1＋k 2)x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4＝(1＋k 2)·121＋4k 2－2k ·16k1＋4k2＋4>0，解得k 2<4，综上可得34<k 2<4，则32<k <2或－2<k <－32.则满足条件的斜率k2【规律方法】最值与范围问题的解题思路1.构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解.2.构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解.在解题过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等.【易错警示】(1)设直线方程时，应注意讨论斜率不存在的情况.(2)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.【训练2】已知P (x 0，y 0)是椭圆C ：x 24＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若PF 1→·PF 2→<0，则x 0的取值范围是()－263，－233，－33，－63，【答案】A【解析】由题意可知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则PF 1→·PF 2→＝(x 0＋3)(x 0－3)＋y 20＝x 20＋y 20－3<0.因为点P在椭圆上，所以y 20＝1－x 204.所以x 203<0，解得－263<x 0<263，即x 0－263，【反思与感悟】解决中点弦、弦长及最值与范围问题一般利用“设而不求”的思想，通过根与系数的关系构建方程求解参数、计算弦长、表达函数.【易错防范】1.涉及直线的斜率时，要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.2.求某几何量的最值或范围要考虑其中变量的取值范围.【核心素养提升】【数学运算】——高考【解析】几何问题中的“设而不求”1.数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程，解析几何正是利用数学运算解决几何问题的一门科学.2.“设而不求”是简化运算的一种重要手段，它的精彩在于设而不求，化繁为简.解题过程中，巧妙设点，避免解方程组，常见类型有：(1)灵活应用“点、线的几何性质”解题；(2)根据题意，整体消参或整体代入等.类型1巧妙运用抛物线定义得出与根与系数关系的联系，从而设而不求【例1】(2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________.【答案】y ＝±22x 【解析】法一设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，由抛物线定义可得|AF |＋|BF |＝y A ＋p 2＋y B ＋p 2＝4×p2⇒y A ＋y B ＝p ，－y 2b 2＝1，2py ，可得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，法二(点差法)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p 2，|OF |＝p2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .易知直线AB 的斜率k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 222p －x 212p x 2－x 1＝x 2＋x 12p .－y 21b 2＝1，－y 22b 2＝1，得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2（x 1＋x 2）a 2（y 1＋y 2）＝b 2a 2·x 1＋x 2p ，则b 2a 2·x 1＋x 2p ＝x 2＋x 12p ，所以b 2a 2＝12⇒b a ＝22，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .类型2中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，“点差法”实质上是“设而不求”的一种方法【例2】(1)△ABC 的三个顶点都在抛物线E ：y 2＝2x 上，其中A (2，2)，△ABC 的重心G 是抛物线E 的焦点，则BC 所在直线的方程为________________.(2)抛物线E ：y 2＝2x 上存在两点关于直线y ＝k (x －2)对称，则k 的取值范围是________.【答案】(1)x ＋y ＋54＝0(2)(－2，2)【解析】(1)设B (x1，y 1)，C (x2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，易知＝12，0，0＝x 1＋x 22＝－14，0＝y 1＋y 22＝－1，即－14，－又y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝22y 0＝1y 0＝－1，故直线BC 的方程为y －(－1)4x ＋4y ＋5＝0.(2)当k ＝0时，显然成立.当k ≠0时，设两对称点为B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，BC 的中点为M (x 0，y 0)，由y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝22y 0＝1y 0，由对称性知k BC ＝－1k ，点M在直线y ＝k (x －2)上，所以y 0＝－k ，y 0＝k (x 0－2)，所以x 0＝1.由点M 在抛物线内，得y 20<2x 0，即(－k )2<2，所以－2<k <2，且k ≠0.综上，k 的取值范围为(－2，2).类型3中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ>0【例3】人教A 版教材《选修2－1》第62页习题2.3B 组第4题：已知双曲线x 2－y22＝1，过点P (1，1)能否作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点？【答案】见解析【解析】假设存在直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1≠x 221－y 212＝1，22－y 222＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－（y 1＋y 2）（y 1－y 2）2＝0，又x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝1，所以2(x 1－x 2)－(y 1－y 2)＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2，故直线l 的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.＝2x －1，2－y 22＝1，消去y 得2x 2－4x ＋3＝0，因为Δ＝16－24＝－8<0，方程无解，故不存在一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点.类型4求解直线与圆锥曲线的相关问题时，若两条直线互相垂直或两直线斜率有明确等量关系，可用“替代法”，“替代法”的实质是设而不求【例4】(2017·全国Ⅰ卷改编)已知F 为抛物线C ：y 2＝2x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为________.【答案】8【解析】法一由题意知，直线l 1，l 2的斜率都存在且不为0，l 1：x ＝ty ＋12，则直线l 1的斜率为1t，联立方程得2＝2x ，＝ty ＋12，消去x 得y 2－2ty －1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2t ，y 1y 2＝－1.所以|AB |＝t 2＋1|y 1－y 2|＝t 2＋1（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝t 2＋14t 2＋4＝2t 2＋2，同理得，用1t 替换t 可得|DE |＝2t 2＋2，所以|AB |＋|DE |＝4≥4＋4＝8，当且仅当t 2＝1t 2，即t ＝±1时等号成立，故|AB |＋|DE |的最小值为8.法二由题意知，直线l 1，l 2的斜率都存在且不为0，l 1的斜率为k ，则l 1：y ＝l 2：y2＝2x ，＝消去y 得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1＋2k 2.由抛物线的定义知，|AB |＝x 1＋x 2＋1＝1＋2k 2＋1＝2＋2k2.同理可得，用－1k 替换|AB |中k ，可得|DE |＝2＋2k 2，所以|AB |＋|DE |＝2＋2k 2＋2＋2k 2＝4＋2k 2＋2k 2≥4＋4＝8，当且仅当2k 2＝2k 2，即k ＝±1时等号成立，故|AB |＋|DE |的最小值为8.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.(基础题供选用)直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是()A.(1，＋∞)B.(1，3)∪(3，＋∞)C.(3，＋∞)D.(0，3)∪(3，＋∞)【答案】B【解析】x ＋2，＋y 23＝1，得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0.由Δ>0且m ≠3及m >0得m >1且m ≠3.2.设直线y ＝kx 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，分别过A ，B 两点向x 轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k 等于()A.±32B.±23C.±12D.±2【答案】A【解析】由题意可知，点A 与点B 的横坐标即为焦点的横坐标，又c ＝1，当k >0时，不妨设A ，B 两点的坐标分别为(－1，y 1)，(1，y 2)，代入椭圆方程得y 1＝－32，y 2＝32，解得k ＝32；同理可得当k <0时k ＝－32.3.(2019·长春二检)椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3，2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为()A.－23B.－32C.－49D.－94【答案】A 【解析】设以P 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，斜率为k ，则4x 21＋9y 21＝144，4x 22＋9y 22＝144，两式相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋9(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，又x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝4，y 1－y 2x 1－x 2＝k ，代入解得k ＝－23.4.(2019·青岛调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)及点B (0，a )，过点B 与椭圆相切的直线交x 轴的负半轴于点A ，F 为椭圆的右焦点，则∠ABF ＝()A.60°B.90°C.120°D.150°【答案】B【解析】由题意知，切线的斜率存在，设切线方程y ＝kx ＋a (k >0)kx ＋a ，＋y 2b 2＝1，消去y 整理得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2ka 3x ＋a 4－a 2b 2＝0，由Δ＝(2ka 3)2－4(b 2＋a 2k 2)(a 4－a 2b 2)＝0，得k ＝c a ，从而y ＝c ax ＋a 交x 轴于点－a 2c ，又F (c ，0)，易知BA →·BF →＝0，故∠ABF ＝90°.5.斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为()A.2B.455C.4105D.8105【答案】C 【解析】设直线l 的方程为y ＝x ＋t ，代入x 24＋y 2＝1，消去y 得54x 2＋2tx ＋t 2－1＝0，由题意知Δ＝(2t )2－5(t 2－1)>0即t 2<5，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8t 5，x 1x 2＝4（t 2－1）5，|AB |＝（1＋1）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝4255－t 2≤4105(当且仅当t ＝0时取等号).二、填空题6.已知椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1，0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为________________________.【答案】y 24＋x 2＝1【解析】因为椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1的右顶点为A (1，0)，所以b ＝1，焦点坐标为(0，c )，因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以2b 2a ＝1，a ＝2，所以椭圆方程为y 24＋x 2＝1.7.(2019·河南八校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，经过原点的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，若|PQ |＝a ，AP ⊥PQ ，则椭圆C 的离心率为________.【答案】255【解析】不妨设点P 在第一象限，O 为坐标原点，由对称性可得|OP |＝|PQ |2＝a 2，因为AP ⊥PQ ，所以在Rt △POA 中，cos ∠POA ＝|OP ||OA |＝12，故∠POA ＝60°，易得，代入椭圆方程得1168.已知椭圆的方程是x2＋2y2－4＝0，则以M(1，1)为中点的弦所在直线方程是________.【答案】x＋2y－3＝0【解析】由题意知，以M(1，1)为中点的弦所在直线的斜率存在，设其方程为y＝kx＋b，则有k＋b＝1，即b＝1－k，即y＝kx＋(1－k)，2＋2y2－4＝0，＝kx＋（1－k），则有(1＋2k2)x2＋(4k－4k2)x＋(2k2－4k－2)＝0，所以x1＋x22＝12·4k2－4k1＋2k2＝1，解得k＝－12(满足Δ>0)，故b＝32，所以y＝－12x＋32，即x＋2y－3＝0.三、解答题9.(2017·北京卷)已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2，0)，B(2，0)，焦点在x轴上，离心率为32.(1)求椭圆C的方程；(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.【答案】见解析【解析】(1)解设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0).2，＝32，解得c＝ 3.所以b2＝a2－c2＝1.所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(2)证明设M(m，n)，则D(m，0)，N(m，－n).由题设知m≠±2，且n≠0.直线AM的斜率k AM＝nm＋2，故直线DE 的斜率k DE ＝－m ＋2n.所以直线DE 的方程为y ＝－m ＋2n (x －m ).直线BN 的方程为y ＝n 2－m(x －2).＝－m ＋2n （x －m ），＝n 2－m（x －2），解得点E 的纵坐标y E ＝－n （4－m 2）4－m 2＋n 2.由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2，所以y E ＝－45n .又S △BDE ＝12|BD |·|y E |＝25|BD |·|n |，S △BDN ＝12|BD |·|n |.所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.10.(2019·上海静安区模拟)已知A ，B 分别为椭圆C ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)在x 轴正半轴、y 轴正半轴上的顶点，原点O 到直线AB 的距离为2217，且|AB |＝7.(1)求椭圆C 的离心率；(2)直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝2相切，并与椭圆C 交于M ，N 两点，若|MN |＝1227，求k 的值.【答案】见解析【解析】(1)由题设知，A (b ，0)，B (0，a )，直线AB 的方程为x b ＋y a ＝1，又|AB |＝a 2＋b 2＝7，ab a 2＋b 2＝2217，a >b >0，计算得出a ＝2，b ＝3，则椭圆C 的离心率为e ＝1－b 2a 2＝12.(2)由(1)知椭圆方程为y 24＋x 23＝1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)＋x 23＝1，kx ＋m消去y 得，(3k 2＋4)x 2＋6kmx ＋3m 2－12＝0，直线l 与椭圆相交，则Δ>0，即48(3k 2－m 2＋4)>0，且x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋4，x 1x 2＝3m 2－123k 2＋4.又直线l 与圆x 2＋y 2＝2相切，则|m |k 2＋1＝2，即m 2＝2(k 2＋1).而|MN |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋k 2·48（3k 2－m 2＋4）3k 2＋4＝1＋k 2·48（k 2＋2）3k 2＋4＝43·k 4＋3k 2＋23k 2＋4，又|MN |＝1227，所以43·k 4＋3k 2＋23k 2＋4＝1227，即5k 4－3k 2－2＝0，解得k ＝±1，且满足Δ>0，故k 的值为±1.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019·北京东城区调研)已知圆M ：(x －2)2＋y 2＝1经过椭圆C ：x 2m ＋y 23＝1(m >3)的一个焦点，圆M 与椭圆C 的公共点为A ，B ，点P 为圆M 上一动点，则P 到直线AB 的距离的最大值为()A.210－5B.210－4C.410－11D.410－10【答案】A 【解析】易知圆M 与x 轴的交点为(1，0)，(3，0)，∴m －3＝1或m －3＝9，则m ＝4或m ＝12.当m ＝12时，圆M 与椭圆C 无交点，舍去.所以m ＝4.x －2）2＋y 2＝1，＋y 23＝1，得x 2－16x ＋24＝0.又x ≤2，所以x ＝8－210.故点P 到直线AB 距离的最大值为3－(8－210)＝210－5.12.(2019·广州调研)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －22＝0与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)相切，且椭圆C 的右焦点F (c ，0)关于直线l ：y ＝c bx 的对称点E 在椭圆C 上，则△OEF 的面积为()A.12 B.32 C.1 D.2【答案】C【解析】＋2y －22＝0，＋y 2b 2＝1，消去x ，化简得(a 2＋2b 2)y 2－8b 2y ＋b 2(8－a 2)＝0，由Δ＝0得2b 2＋a 2－8＝0.设F ′为椭圆C 的左焦点，连接F ′E ，易知F ′E ∥l ，所以F ′E ⊥EF ，又点F 到直线l 的距离d ＝c 2c 2＋b 2＝c 2a ，所以|EF |＝2c 2a ，|F ′E |＝2a －|EF |＝2b 2a，在Rt △F ′EF 中，|F ′E |2＋|EF |2＝|F ′F |2，化简得2b 2＝a 2，代入2b 2＋a 2－8＝0得b 2＝2，a ＝2，所以|EF |＝|F ′E |＝2，所以S △OEF ＝12S △F ′EF ＝1.13.已知直线l ：y ＝kx ＋2过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点B 和左焦点F ，且被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为L ，若L ≥455，则椭圆离心率e 的取值范围是________.【答案】，255【解析】依题意，知b ＝2，kc ＝2.设圆心到直线l 的距离为d ，则L ＝24－d 2≥455，解得d 2≤165.又因为d ＝21＋k 2，所以11＋k 2≤45，解得k 2≥14.于是e 2＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝11＋k 2，所以0＜e 2≤45，又由0<e <1，解得0＜e ≤255.14.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2，1)，且离心率e ＝32.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求△PAB 的面积的最大值.【答案】见解析【解析】(1)因为e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以a 2＝4b 2.又椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点P (2，1)，所以4a 2＋1b2＝1.所以a 2＝8，b 2＝2.故所求椭圆方程为x 28＋y 22＝1.(2)设l 的方程为y ＝12x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)＝12x ＋m ，＋y 22＝1消去y 整理得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0.所以x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4.又直线l 与椭圆相交，所以Δ＝4m 2－8m 2＋16>0，解得|m |<2.则|AB |＝1＋14×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝5（4－m 2）.点P 到直线l 的距离d ＝|m |1＋14＝2|m |5.所以S △PAB ＝12d |AB |＝12×2|m |5×5（4－m 2）＝m 2（4－m 2）≤m 2＋4－m 22＝2.当且仅当m 2＝2，即m ＝±2时，△PAB 的面积取得最大值为2.【新高考创新预测】15.(思维创新)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，直线l 1：y ＝－12x ，直线l 2：y ＝12x ，P 为椭圆上任意一点，过P 作PM ∥l 1且与直线l 2交于点M ，作PN ∥l 2且与l 1交于点N ，若|PM |2＋|PN |2为定值，则椭圆的离心率为________.【答案】32【解析】设|PM |2＋|PN |2＝t ，1，12x2，－12x P (x ，y ).因为四边形PMON 为平行四边形，所以|PM |2＋|PN |2＝|ON |2＋|OM |2＝54x 21＋x 22)＝t .因为OP →＝OM →＋ON →1＋x 2，12x 1－12x ＝x 1＋x 2，＝12x 1－12x 2，则x 2＋4y 2＝2(x 21＋x 22)＝85t ，此方程为椭圆方程，即x 28t 5＋y 22t 5＝1，则椭圆的离心率e ＝8t 5－2t 58t5＝32.。

2025年高考数学一轮复习-8.5.2-直线与椭圆的位置关系【原卷版】1．直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 29＋y 2m ＝1总有公共点，则实数m 的取值范围是()A ．12≤m ＜9B ．9＜m ＜10C ．1≤m ＜9D ．1＜m ＜92．若直线mx ＋ny ＝9和圆x 2＋y 2＝9没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 216＝1的交点有()A ．1个B ．至多一个C ．2个D ．0个3．已知F 1，F 2是椭圆G ：x 252＋y 242＝1的左、右焦点，过F 1作直线l 交G 于A ，B 两点，若|AB |＝325，则△F 2AB 的面积为()A ．245B ．485C ．965D ．164154．已知点P (x ，y )是椭圆x 29＋y 24＝1上任意一点，则点P 到直线l ：y ＝x ＋5的最大距离为()A ．52＋262B ．52－262C ．52＋26D ．52－265．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图①所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆．某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图②所示，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于－58，则椭圆的离心率为()A ．34B ．58C ．74D ．646．(多选)设椭圆x 29＋y 23＝1的右焦点为F ，直线y ＝m (0＜m ＜3)与椭圆交于A ，B 两点，则()A ．|AF |＋|BF |为定值B ．△ABF 的周长的取值范围是[6,12]C ．当m ＝32时，△ABF 为直角三角形D ．当m ＝1时，△ABF 的面积为67．已知F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，|F 1F 2|＝2，过椭圆左焦点且斜率为2的直线交椭圆于A ，B 两点，若S △ABF 2＝4，则弦长|AB |＝________．8．直线5x ＋4y －1＝0交椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)于M ，N 两点，设MN 中点为P ，直线OP 的斜率等于54，O 为坐标原点，则椭圆C 的离心率为________．9．已知直线y ＝kx －1与椭圆x 24＋y 23＝1交于点A ，B ，与y 轴交于点P ，若AP ―→＝3PB ―→，则实数k 的值为________．10．已知点B 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝16上的任意一点，点F (－1,0)，线段BF 的垂直平分线交BC 于点P ．(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)直线l ：y ＝2x ＋m 与E 交于点M ，N ，且|MN |＝123019，求m 的值．11．(多选)已知P 是椭圆E ：x 24＋y 2m ＝1(m ＞0)上任意一点，M ，N 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)，若|k 1|＋|k 2|的最小值为1，则下列结论正确的是()A ．椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1B ．椭圆E 的离心率为12C ．曲线y ＝log 3x －12经过E 的一个焦点D ．直线2x －y －2＝0与E 有两个公共点12．已知椭圆x 22＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线AB 与椭圆交于A ，B两点，则△F 1AB 的周长是________，△F 1AB 内切圆面积的最大值是________．13．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)左焦点为F 1(－1,0)，经过点F 1的直线l 与圆F 2：(x －1)2＋y 2＝8相交于P ，Q 两点，M 是线段PF 2与C 的公共点，且|MF 1|＝|MP |．(1)求椭圆C 的方程；(2)l 与C 的交点为A ，B ，且A 恰为线段PQ 的中点，求△ABF 2的面积．14．如图，椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于点H ．若F 1，H 是线段MN 的三等分点，则△F 2MN 的周长为()A ．20B ．10C ．25D ．4515．定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1．(1)若椭圆C 2：x 216＋y 241，试判断C 2与C 1是否相似？如果相似，求出C 2与C 1的相似比；如果不相似，请说明理由；(2)写出与椭圆C 1相似且短半轴长为b 的焦点在x 轴上的椭圆C b 的标准方程．若在椭圆C b 上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋1对称，求实数b 的取值范围．2025年高考数学一轮复习-8.5.2-直线与椭圆的位置关系【解析版】1．直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 29＋y 2m ＝1总有公共点，则实数m 的取值范围是()A ．12≤m ＜9B ．9＜m ＜10C ．1≤m ＜9D ．1＜m ＜9解析：C 直线y ＝kx ＋1恒过定点P (0,1)，焦点在x 轴上的椭圆x 29＋y 2m＝1，可得0＜m＜9①，由直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 29＋y 2m＝1总有公共点，可得P 在椭圆上或椭圆内，即有09＋1m≤1，解得m ≥1②，由①②可得1≤m ＜9．故选C ．2．若直线mx ＋ny ＝9和圆x 2＋y 2＝9没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 216＝1的交点有()A ．1个B ．至多一个C ．2个D ．0个解析：C 因为直线mx ＋ny ＝9和圆x 2＋y 2＝9没有交点，所以9m 2＋n2＞3，即m 2＋n 2＜9，所以m 29＋n 216≤m 29＋n 29＜1，即点(m ，n )在椭圆x 29＋y 216＝1内，所以过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 216＝1的交点有2个，故选C ．3．已知F 1，F 2是椭圆G ：x 252＋y 242＝1的左、右焦点，过F 1作直线l 交G 于A ，B 两点，若|AB |＝325，则△F 2AB 的面积为()A ．245B ．485C ．965D ．16415解析：C由G ：x 252＋y 2421知c 2＝52－42＝32，所以F 1(－3，0)，把x ＝－3代入椭圆方程可得y 2＝4425，故y ＝±165，又|AB |＝325，所以AB ⊥x 轴，则S △F 2AB ＝12|AB |×2c ＝12×325×6＝965，故选C ．4．已知点P (x ，y )是椭圆x 29＋y 24＝1上任意一点，则点P 到直线l ：y ＝x ＋5的最大距离为()A ．52＋262B ．52－262C ．52＋26D ．52－26解析：A设直线y ＝x ＋m ＋y 24＝1，x ＋m得13x 2＋18mx ＋9m 2－36＝0，∴Δ＝(18m )2－4×13(9m 2－36)＝0，解得m ＝±13，切线方程为y ＝x ＋13和y ＝x －13，与l 距离较远的是y ＝x －13，∴所求最大距离为d ＝|－13－5|2＝52＋262．故选A ．5．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图①所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆．某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图②所示，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于－58，则椭圆的离心率为()A ．34B ．58C ．74D ．64解析：D设内层椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∵内外椭圆离心率相同，∴外层椭圆可设成x 2(ma )2＋y 2(mb )2＝1(m ＞1)，设切线AC 的方程为y ＝k 1(x ＋ma )，与x 2a 2＋y 2b 2＝1联立得：(b 2＋a 2k 21)x 2＋2ma 3k 21x ＋m 2a 4k 21－a 2b 2＝0，由Δ＝0,则k 21＝b 2a 2·1m 2－1，同理可得k 22＝b 2a 2·(m 2－1)，∴k 21·k 22＝b 4a 4＝则b 2a 2＝58，因此，e ＝c a ＝1－b 2a 2＝1－58＝64．故选D ．6．(多选)设椭圆x 29＋y 23＝1的右焦点为F ，直线y ＝m (0＜m ＜3)与椭圆交于A ，B 两点，则()A ．|AF |＋|BF |为定值B ．△ABF 的周长的取值范围是[6,12]C．当m＝32时，△ABF为直角三角形D．当m＝1时，△ABF的面积为6解析：ACD设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|＝|BF|，∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A正确；△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，∵|AF|＋|BF|为定值6，且|AB|的取值范围是(0,6)，∴△ABF的周长的取值范围是(6,12)，B错误；设点A在点B的左侧，将y＝3 2与椭圆方程联立，可解得－332，F(6，0)，∴AF―→·BF―→＝＝0．∴△ABF为直角三角形，C正确；将y＝1与椭圆方程联立，解得A(－6，1)，B(6，1)，∴S△ABF＝12×26×1＝6，D正确．故选A、C、D．7．已知F1，F2分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，|F1F2|＝2，过椭圆左焦点且斜率为2的直线交椭圆于A，B两点，若S△ABF2＝4，则弦长|AB|＝________．解析：∵S△ABF2＝4，∴12×2c×|y A－y B|＝4，又∵|F1F2|＝2，∴|y A－y B|＝4，∵直线过椭圆左焦点且斜率为2，∴|AB|＝1＋1k2|y A－y B|4＝25．答案：258．直线5x＋4y－1＝0交椭圆C：y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)于M，N两点，设MN中点为P，直线OP的斜率等于54，O为坐标原点，则椭圆C的离心率为________．解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中点为P(x0，y0)＋x21b2＝1，＋x22b2＝1，两式相减得b2(y21－y22)＋a2(x21－x22)＝0，即y1－y2x1－x2＝－k MN＝－a2b2·1k OP，因为k MN＝－54，k OP＝54，所以b2a2＝1625，所以e＝ca＝1－b2a2＝35．答案：359．已知直线y＝kx－1与椭圆x24＋y23＝1交于点A，B，与y轴交于点P，若AP―→＝3PB―→，则实数k的值为________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线y＝kx－1与y轴交于点P，所以P(0，－1)．联kx －1，＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－8kx －8＝0，Δ＞0．由根与系数的关系得x 1＋x 2＝8k3＋4k 2，x 1x 2＝－83＋4k 2．因为AP ―→＝3PB ―→，所以(－x 1，－1－y 1)＝3(x 2，y 2＋1)，所以x 1＝－3x 2，将其代入x 1＋x 2＝8k3＋4k 2，得x 2＝－4k 3＋4k 2．将x 1＝－3x 2，x 2＝－4k 3＋4k2代入x 1x 2＝－83＋4k 2，可得－＝－83＋4k 2k 2＝32，所以k ＝±62．答案：±6210．已知点B 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝16上的任意一点，点F (－1,0)，线段BF 的垂直平分线交BC 于点P ．(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)直线l ：y ＝2x ＋m 与E 交于点M ，N ，且|MN |＝123019，求m 的值．解：(1)由条件可得|PC |＋|PF |＝|PC |＋|PB |＝|BC |＝4＞|FC |＝2，所以动点P 的轨迹E 是以F ，C 为焦点的椭圆，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，所以2a ＝4,2c ＝2，所以a ＝2，c ＝1，b ＝3，所以动点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，＋y 23＝1，2x ＋m可得19x 2＋16mx ＋4m 2－12＝0，由Δ＝256m 2－76(4m 2－12)＞0，得m ∈(－19，19)，由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－16m19，x 1x 2＝4m 2－1219，因为|MN |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝123019，解得m ＝±1．11．(多选)已知P 是椭圆E ：x 24＋y 2m ＝1(m ＞0)上任意一点，M ，N 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)，若|k 1|＋|k 2|的最小值为1，则下列结论正确的是()A ．椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1B ．椭圆E 的离心率为12C ．曲线y ＝log 3x －12经过E 的一个焦点D ．直线2x －y －2＝0与E 有两个公共点解析：ACD设P (x 0，y 0)，M (x 1，y 1)，x 0≠±x 1，y 0≠±y 1，则N (－x 1，－y 1)，x 204＋y 20m＝1，x 214＋y 21m ＝1，所以y 20＝m －mx 204，y 21＝m －mx 214，k 1k 2＝y 0－y 1x 0－x 1·y 0＋y 1x 0＋x 1＝y 20－y 21x 20－x 21＝－m 4．于是|k 1|＋|k 2|≥2|k 1|·|k 2|＝2|k 1k 2|＝2|－m 4|＝m ，依题意，得m ＝1，解得m ＝1，故E 的方程为x 24＋y 2＝1，A 正确；离心率为32，B 错误；焦点坐标为(±3，0)，曲线y ＝log 3x －12经过焦点(3，0)，C 正确；又直线2x －y －2＝0过点(1,0)，且点(1,0)在E 内，故直线2x －y －2＝0与E 有两个公共点，D 正确．故选A 、C 、D ．12．已知椭圆x 22＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线AB 与椭圆交于A ，B两点，则△F 1AB 的周长是________，△F 1AB 内切圆面积的最大值是________．解析：根据椭圆定义可知△F 1AB 的周长C ＝4a ＝42；在△F 1AB 内，S ＝12Cr ＝22r ，问题转化为求△F 1AB 面积最大值，设AB ：x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(m 2＋2)y 2＋2my －1＝01＋y 2＝－2mm 2＋2，1y 2＝－1m 2＋2，于是S ＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|22m 2＋1m 2＋2＝22m 2＋1＋1m 2＋1≤222m 2＋1·1m 2＋1＝2，则22r ≤2⇒r ≤12⇒πr 2≤π4，等号在m ＝0时取到．答案：42π413．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)左焦点为F 1(－1,0)，经过点F 1的直线l 与圆F 2：(x －1)2＋y 2＝8相交于P ，Q 两点，M 是线段PF 2与C 的公共点，且|MF 1|＝|MP |．(1)求椭圆C 的方程；(2)l 与C 的交点为A ，B ，且A 恰为线段PQ 的中点，求△ABF 2的面积．解：(1)由圆F 2：(x －1)2＋y 2＝8可得|PF 2|＝22，因为|MF 1|＝|MP |，所以2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝|MP |＋|MF 2|＝|PF 2|＝22，即a ＝2，又c ＝1，故b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为A 为线段PQ 的中点，则AF 1⊥AF 2，所以AF 1―→·AF 2―→＝x 21＋y 21－1＝0，又x 212＋y 21＝1，解得x 1＝0，y 1＝±1，若y 1＝1，则A (0,1)，直线l 的方程为y ＝x ＋1，x ＋1，y 2＝12＝－43，2＝－13，即－43，－所以△ABF 2的面积S ＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12×2×43＝43，若y 1＝－1，同理可求得△ABF 2的面积S ＝43，综上所述，△ABF 2的面积为43．14．如图，椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于点H ．若F 1，H 是线段MN 的三等分点，则△F 2MN 的周长为()A ．20B ．10C ．25D ．45解析：D由F 1，H 是线段MN 的三等分点，得H 是F 1N 的中点，又F 1(－c,0)，∴点N的横坐标为c c ，＋y 24＝1，得2c 点M 的坐标代入椭圆方程得4c 2a2＋1，化简得c 2＝a 2－14，又c 2＝a 2－4，∴a 2－14＝a 2－4，得a 2＝5，∴a ＝5．由椭圆的定义知|NF 2|＋|NF 1|＝|MF 2|＋|MF 1|＝2a ，∴△F 2MN 的周长为|NF 2|＋|MF 2|＋|MN |＝|NF 2|＋|MF 2|＋|NF 1|＋|MF 1|＝4a ＝45，故选D ．15．定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1．(1)若椭圆C 2：x 216＋y 241，试判断C 2与C 1是否相似？如果相似，求出C 2与C 1的相似比；如果不相似，请说明理由；(2)写出与椭圆C 1相似且短半轴长为b 的焦点在x 轴上的椭圆C b 的标准方程．若在椭圆C b 上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋1对称，求实数b 的取值范围．解：(1)椭圆C 2与C 1相似．如图，在同一坐标系中作出C 1，C 2的图象．∵椭圆C 2的“特征三角形”是腰长为4，底边长为43的等腰三角形，而椭圆C 1的“特征三角形”是腰长为2，底边长为23的等腰三角形，∴两三角形的三边对应成比例，∴这两个等腰三角形相似，且相似比为2∶1，∴椭圆C 2和C 1相似，且相似比为2∶1．(2)椭圆C b 的方程为x 24b 2＋y 2b2＝1(b ＞0)．由题意，可设l MN ：y ＝－x ＋t ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为(x 0，y 0)．x ＋t ，＋y 2b 2＝1，消去y ，整理得5x 2－8tx ＋4(t 2－b 2)＝0，则x 0＝x 1＋x 22＝45t ，y 0＝t5．∵MN 的中点在直线y ＝x ＋1上，∴t 5＝45t ＋1，解得t ＝－53．故直线l MN 的方程为y ＝－x －53．若M ，N 存在，则方程5x 2－8＋－b 2＝0有两个不同的实数解，∴Δ－4×5×40，解得b ＞53．。