专题8.6 直线与椭圆的位置关系-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(解析版)

则弦长 |AB|= _______ , 通径长是 _______
.
10
小结
1、直线与椭圆的三种位置关系及等价条件；
2、弦长的计算方法： （1）垂径定理：|AB|= （2）弦长公式：
|AB|=
（只适用于圆）
=
（适用于任何曲线）
3、弦中点问题的两种处理方法： （1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； （2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。
.
r d A（x1,y1）
B（x2,y2） 过右焦点且垂直于x轴
的直线所截得的弦长。
通径
2、中心在原点，一个焦点为F（0， ）的椭圆被 直线 y=3x-2所截得弦的中点横坐标是1/2，求椭圆 方程。
.
7
例2
椭圆
的两个焦点为F1 、F2 ，过左焦点作
直线与椭圆交于A，B 两点，若△ AB F2 的面积为20，
.
3
例1：已知直线y=x- 与椭圆x2+4y2=2 ，判断它们的位置关系。
解：联立方程组
由韦达定理
消去y x2+4y2=2
----- (1)
因为 ∆>0 所以，方程（１）有两个根， 则原方程组有两组解….
那么，相交所得的弦的弦长是多少？ 弦长公式：
.
4
小结：椭圆与直线的位置关系及判断方法
判断方法
的弦被（4，2）平分，那
么这弦所在直线方程为（ D ）
A、x-2y=0 B、x+2y- 4=0 C、2x+3y-12=0 D、x+2y-8=0
2、y=kx+1与椭圆 （）
恰有公共点，则m的范围 C
A、（0，1） B、（0，5 ）

第八篇平面解析几何专题8.05椭圆及其几何性质【考试要求】1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.【知识梳理】1.椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质【微点提醒】点P (x 0，y 0)和椭圆的位置关系(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2>1.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( ) (2)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆.( )(3)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆.( ) (4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相同.( )【教材衍化】2.(选修2－1P49T1改编)若F 1(3，0)，F 2(－3，0)，点P 到F 1，F 2的距离之和为10，则P 点的轨迹方程是________.3.(选修2－1P49A6改编)已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为________.【真题体验】4.(2018·张家口调研)椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标为( )A.(±3，0)B.(0，±3)C.(±9，0)D.(0，±9)5.(2018·全国Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2，0)，则C 的离心率为( )A.13B.12C.22D.2236.(2018·武汉模拟)曲线x 225＋y 29＝1与曲线x 225－k ＋y 29－k ＝1(k <9)的( )A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等【考点聚焦】考点一 椭圆的定义及其应用【例1】 (1)如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是( )A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆(2)(2018·德阳模拟)设P 为椭圆C ：x 249＋y 224＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，且△PF 1F 2的重心为点G ，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，那么△GPF 1的面积为( ) A.24 B.12C.8D.6【规律方法】 (1)椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.【训练1】 (1)(2018·福建四校联考)已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( ) A.2 3B.6C.4 3D.2(2)(2018·衡水中学调研)设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6，4)，则|PM |－|PF 1|的最小值为________.考点二 椭圆的标准方程【例2】 (1)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A.x 264－y 248＝1 B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1D.x 264＋y 248＝1 (2)(一题多解)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，则椭圆的标准方程为________________.【规律方法】 根据条件求椭圆方程的主要方法有：(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a ，b .当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m ，n 的值即可. 【训练2】 (1)(2018·济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( ) A.x 236＋y 232＝1 B.x 29＋y 28＝1 C.x 29＋y 25＝1D.x 216＋y 212＝1 (2)(2018·榆林模拟)已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1D.x 25＋y 24＝1考点三 椭圆的几何性质多维探究角度1 椭圆的长轴、短轴、焦距【例3－1】 (2018·泉州质检)已知椭圆x 2m －2＋y 210－m ＝1的长轴在x 轴上，焦距为4，则m 等于( )A.8B.7C.6D.5角度2 椭圆的离心率【例3－2】 (2018·全国Ⅱ卷)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23 B.12C.13D.14角度3 与椭圆性质有关的最值或范围问题【例3－3】 (2017·全国Ⅰ卷)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点.若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A.(0，1]∪[9，＋∞)B.(0，3]∪[9，＋∞)C.(0，1]∪[4，＋∞)D.(0，3]∪[4，＋∞)【规律方法】1.求椭圆离心率的方法(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.2.在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围、离心率的范围等不等关系.【训练3】(1)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A.1B. 2C.2D.2 2(2)(2019·豫南九校联考)已知两定点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C 以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为()A.55 B.105 C.255 D.2105【反思与感悟】1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F 1F 2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况.2.求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法).先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a 2，b 2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程.若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )【易错防范】1.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x 2与y 2的分母大小.2.在解关于离心率e 的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e ∈(0，1)进行根的取舍，否则将产生增根.3.椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ，0＜e ＜1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题1.椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值等于( )A.5B.3C.5或3D.82.(2019·聊城模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为23，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 29＋y 24＝1D.x 29＋y 25＝1 3.已知圆(x －1)2＋(y －1)2＝2经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F 和上顶点B ，则椭圆C 的离心率为( ) A.12 B. 2 C.2 D.224.(2019·湖北重点中学联考)已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且垂直于长轴的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 1内切圆的半径为( ) A.43 B.1C.45D.345.已知椭圆x 24＋y 22＝1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1|－|PF 2|＝2，则△PF 1F 2的面积是( ) A. 2 B.2 C.2 2 D. 3二、填空题6.已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－23)且a ＝2b ，则椭圆的标准方程为________.7.设F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若△F 2AB的面积为43的等边三角形，则椭圆C 的方程为______________.8.(2019·昆明诊断)椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P 的坐标是________.三、解答题9.已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4，3).若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程.10.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为M ，上顶点为N ，右焦点为F ，若NM →·NF →＝0，则椭圆的离心率为( ) A.32 B.2－12 C.3－12 D.5－1212.(2019·湖南湘东五校联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，△PF 1F 2是以F 2P 为底边的等腰三角形，且60°<∠PF 1F 2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A.(3－12，1)B.(3－12，12)C.⎝⎛⎭⎫12，1D.⎝⎛⎭⎫0，12 13.(2018·浙江卷)已知点P (0，1)，椭圆x 24＋y 2＝m (m >1)上两点A ，B 满足AP →＝2PB →，则当m ＝________时，点B 横坐标的绝对值最大.14.(2019·石家庄月考)已知点M (6，2)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，且椭圆的离心率为63. (1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)，求△PAB 的面积.【新高考创新预测】15.(多填题)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1，0)，其关于直线y ＝bx 的对称点Q 在椭圆上，则离心率e ＝________，S △FOQ ＝________.。

2
9
+ = 1有两个公共点时，
求这些直线被椭圆截得的线段的中点的轨迹方程。
3
= − 2x
(− 2<x< 2)
归纳总结
必备知识

考查方向

思想方法
解题误区

达标练习
x2 y2

1，
3
2
1.已知椭圆
中点轨迹方程.
过左焦点的直线
l
与椭圆相交于A,B两点，求AB的
x2
2
（文））设B是椭圆C：5 y 1
例2
2024高考卷1第16题


已知A（0,3)和P(3, )为椭圆C： + =1


>>
上的两点.
（1）求离心率；
（2）若过P的直线 l 交C于另一点B,且∆ABP的面积为
9，求l的方程.
跟踪练习
x 2 y2
1
（1）．椭圆 E： 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的左焦点为 F 1，右焦点为 F2，离心率 e＝ ，过 F 1 的直线交椭圆于 A，B 两点，且△ABF 2 的周长为 8.
考点一 直线与椭圆的位置关系
典型例题
例1
课本114页例7改编

已知椭圆 +


=1,直线l：4x-5y+40=0，
求椭圆上的点到直线l的距离的最小值.
y
o
x
跟踪练习




若直线 = + 与椭圆 +
= ,

总有公共点, 求的取值范围.
y
o
x
考点二
弦长问题

求 △F1 AB 的面积.
分析:先画图熟悉题意, 点 F1 到直线 AB 的距离易知,
要求 S△F1AB ,关键是求弦长 AB. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组
解 例焦:2∵:点已椭，圆知过点x2F2 F21作y、2倾F斜21分的角别两为个 是4焦椭的点圆直坐2x线标2 ，F11y求(21△,10F)的1, AF左2B(1、 的, 0右 面) 积. ∴直线 AB 的方程为 y x 1 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )
是否存在一点，它到直线l的距离最小？ y 最小距离是多少？
解：设直线m平行于l，
则l可写成：4x 5y k 0
x o
4x 5y k 0
由方程组
x2
y2
消去y，得25x2 8kx k 2 - 225 0
25 9 1
由 0，得64k 2 - 4 2（5 k 2 - 225） 0
平分，求此弦所在直线的方程.
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
知识点3：中点弦问题
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作 差构造出中点坐标和斜率．
设A(x1, y1), B(x2 , y2 ), AB中点M (x0 , y0 )，
则有：2x0 x1 x2 , 2 y0 y1 y2
1 a2
1 b2
1
a2
b2
a2b2
题型一：直线与椭圆的位置关系
练习1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有 两个公共点?有一个公共点?没有公共点?
当k= 6 时有一个交点 3
当k> 6 或k<- 6 时有两个交点

交 C 于 A，B 两点，且 AB＝3，则 C 的方程为__________． x42＋y32＝1 [依题意，设椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)．
过点 F2(1,0)且垂直于 x 轴的直线被曲线 C 截得弦长 AB＝3，
∴点 A1，32必在椭圆上，∴a12＋49b2＝1.
①
圆的右焦点，则 S△ABF 的最大值为 bc.( )
(4)直线 y＝k(x－1)＋1 与椭圆x92＋y42＝1 的位置关系随 k 的变化而变化．(
)
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．(教材改编)若斜率为 1 的直线 l 与椭圆x42＋y2＝1 相交于 A，B 两点，则
AB 的最大值为________．
又由 c＝1，得 1＋b2＝a2.
②
由①②联立，得 b2＝3，a2＝4.
故所求椭圆 C 的方程为x42＋y32＝1.]
5．若椭圆x42＋y22＝1 中过点 P(1,1)的弦恰好被 P 平分，则此弦所在直线的方
程是________． x＋2y－3＝0 [设弦的两个端点分别为(x1，y1)，(x2，y2)则
ax212＋by212＝1， ∴xa222＋by222＝1.
∴a12(x1＋x2)(x1－x2)＋b12(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∴a12＋b12kAD·kBD＝0，∵e＝ac＝12，∴ba22＝34，∴k1＝－4k3AD. ∵AD⊥AB，∴k2＝－k1AD，∴kk12＝－－4kk31AADD＝34. 法二：设 A(x0，y0)，D(x1，y1)，则 B(－x0，－y0)． 则 kAD·kBD＝yx11－ －yx00·yx11＋ ＋yx00＝xy2112－－xy0022＝b21－axx21212－ －bx2021－ax202＝－ab22，下同法一.

第二节直线与椭圆的位置关系(一)-备考方向明确h --------------------------- 一方向比勢力更重要 ------------- 知识链条完善h -------------------------- 把散落的知识连起来------------阿络构建一、直线与椭圆的位置关系1. 若直线斜率不存在，数形结合分析.2. 若直线斜率k存在,设直线方程为y=kx+m,联立［厂2収1"；22得关于b x a y a bx 的方程(b 2+a2k2)x 2+2km<ax+a2(m2-b 2)=0,则有直线与椭圆相交？有两个交点？△ >0,直线与椭圆相切？有一个交点？上0,直线与椭圆相离？没有交点？ g.1. 概念理解(1) 直线与椭圆位置关系的判定有两种方法：几何法和代数法，几何法即借助椭圆与直线的图形进行判定，代数法即直线方程与椭圆方程联立得到关于x(或y)的一元二次方程，然后再判定直线与椭圆的关系，解题时应根据情况，进行判定.(2) 过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切，过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切，过椭圆内一点的直线均与椭圆相交，这与直线与圆的位置关系类似.2. 与直线与椭圆的位置相关的结论, , 2 2 , ,(1) 若P o(x o,y o)在椭圆刍+再=1上,则过P0的椭圆的切线方程是a bx o x + y o y =i~ar ■, , 2 2 , ,⑵若P o(X o,y o)在椭圆笃+再=1外,则过点P o作椭圆的两条切线，切点a b为R,P2,则切点弦PR的直线方程是竽+譽=1.a b二、直线与椭圆相交问题的处理方法1. 常规方法(通法), 2 2(1) 设直线y=kx+m与椭圆笃+音=1的交点为A(X1,y 1),B(x 2,y 2);a b⑵把直线与椭圆方程联立,得方程组；(3) 消去y得关于x的一元二次方程(或消去x得关于y的一元二次方程)；⑷由韦达定理得x1+x?,^1^x2的值(或Y1+y2,y1^y2的值)；(5)求解(用中点公式、弦长公式等).2. 点差法I型2 2(1) 设直线y=kx+m与椭圆笃+占=1的交点为A(X1,y 1),B(x 2,y 2);a b(2) 把点的坐标代入椭圆方程且作差可得k AB,弦长公式d=〔_k2• |x i-x2|= .i ；• |y i-y2|.3•点差法U型(弦AB的中点为(a,b))(1)设交点坐标为A(x,y),B(2a-x,2b-y);⑵把点的坐标代入椭圆方程；(3) 作差后依题意求解.1.概念理解常规方法是直线与椭圆相交问题的通用方法，运算量较大，运算应细心,按步骤整理，避免出错.在涉及中点、斜率问题时，可考虑点差法. 设出点的坐标，在遇到垂直、夹角问题时，可考虑运用向量法进行解题基本思路是先设元(设点的坐标),后消元.2.与直线与椭圆相交问题相关的结论. _ 2 2 _____________________________________ __(1)AB是椭圆务+气=1的不平行于对称轴的弦,M(x o,y 0)为AB的中点,a b.2 2贝卩k oM • k AB=- ,即k AB=- .a a y02 2⑵若P o(X o,y o)在椭圆笃+再=1内，则被P o所平分的中点弦的方程为a b2 2b2+ y°y =x0 +y。

特殊情况处理
对于直线与椭圆相切或重合的情况，需要单独讨论。相切 时，二次方程有唯一解；重合时，二次方程有无穷多解。
02
直线与椭圆位置关系分类
相离关系
定义
直线与椭圆没有交点，即直线的方程和椭圆的方程 联立后无解。
判定方法
通过比较直线与椭圆的方程，可以判断它们是否相 离。具体来说，如果直线的斜率与椭圆的离心率满 足一定条件，则直线与椭圆相离。
直线方程的解集为一直线；直线的斜率等于其倾斜角 的正切值；两直线平行当且仅当斜率相等。
椭圆方程及性质
标准方程
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0，焦点在x轴上) 或 y^2/a^2 + x^2/b^2 = 1 (a > b > 0，焦点在y轴上)
一般方程
Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0 (A、B不同时为0，且A*B > 0)
总结归纳，形成体系
对所学知识和方法进行总结归 纳，形成完整的知识体系和方 法体系。
关注冷点，防备陷阱
注意一些容易忽略的知识点和 方法，避免在考试中失分。
THANK YOU
感谢聆听
示例
设直线 $l$ 的参数方程为 $left{ begin{array}{l} x = 1 + frac{sqrt{2}}{2}t y = frac{sqrt{2}}{2}t end{array} right.$，椭圆 $C$ 的参数方程为 $left{ begin{array}{l} x = 2costheta y = sqrt{3}sintheta end{array} right.$。将直线的参数方程代入椭圆 的普通方程 $frac{x^2}{4} + frac{y^2}{3} = 1$，整理得 $7t^2 + 8sqrt{2}t - 24 = 0$。计算判别式 $Delta = (8sqrt{2})^2 - 4 times 7 times (-24) = 32 + 672 = 704 > 0$，因此直线 $l$ 与 椭圆 $C$ 相交。

第八篇平面解析几何专题8.6直线与椭圆的位置关系【考点聚焦突破】考点一中点弦及弦长问题角度1中点弦问题【例1－1】已知椭圆x 22＋y 2＝1，(1)过A (2，1)的直线l 与椭圆相交，求l 被截得的弦的中点轨迹方程；(2)求过点P P 点平分的弦所在直线的方程.【答案】见解析【解析】(1)设弦的端点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，其中点是M (x ，y )，则x 2＋x 1＝2x ，y 2＋y 1＝2y ，由于点P ，Q 在椭圆上，则有：y 21＝1，①y 22＝1，②①－②得y 2－y 1x 2－x 1＝－x 2＋x 12（y 2＋y 1）＝－x2y ，所以－x 2y ＝y －1x －2，化简得x 2－2x ＋2y 2－2y ＝0(包含在椭圆x 22＋y 2＝1内部的部分).(2)由(1)可得弦所在直线的斜率为k ＝－x 2y ＝－12，因此所求直线方程是y －12＝－2x ＋4y －3＝0.【规律方法】弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立、消元，利用根与系数关系表示中点；(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率.角度2弦长问题【例1－2】(2019·北京朝阳区模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且点F 1到椭圆C 上任意一点的最大距离为3，椭圆C 的离心率为12.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为－1的直线l 与以线段F 1F 2为直径的圆相交于A ，B 两点，与椭圆相交于C ，D ，且|CD ||AB |＝837？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.【答案】见解析【解析】(1)根据题意，设F 1，F 2的坐标分别为(－c ，0)，(c ，0)，c ＝3，＝12，解得a ＝2，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3，故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在斜率为－1的直线l ，设为y ＝－x ＋m ，由(1)知F 1，F 2的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，所以以线段F 1F 2为直径的圆为x 2＋y 2＝1，由题意知圆心(0，0)到直线l 的距离d ＝|－m |2<1，得|m |< 2.|AB |＝21－d 2＝21－m 22＝2×2－m 2，＋y 23＝1，x ＋m ，消去y ，得7x 2－8mx ＋4m 2－12＝0，由题意得Δ＝(－8m )2－4×7(4m 2－12)＝336－48m 2＝48(7－m 2)>0，解得m 2<7，设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8m7，x 1x 2＝4m 2－127，|CD |＝2|x 1－x 2|＝2＝2×336－48m 249＝467×7－m 2＝837|AB |＝837×2×2－m 2，解得m 2＝13<7，得m ＝±33.即存在符合条件的直线l ，其方程为y ＝－x ±33.【规律方法】 1.解决直线与椭圆相交的问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.2.设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝k 为直线斜率).【训练1】(1)(一题多解)已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________.(2)(一题多解)(2019·广东五校调研)若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为()A.x 212＋y 220＝1 B.x 24＋y 212＝1C.x 212＋y 28＝1 D.x 28＋y 212＝1【答案】(1)553(2)D【解析】(1)法一由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1，0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)，2（x －1），＋y 24＝1消去y ，得3x 2－5x ＝0，故得A (0，－2)，|AB |＝553.法二由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1，0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)，2（x －1），＋y 24＝1，消去y 得3x 2－5x ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0，则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝553.(2)法一∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，∴设椭圆方程为y 2b 2＋4＋x 2b 2＝1(b >0)，＋x 2b 2＝1，7消去x ，得(10b 2＋4)y 2－14(b 2＋4)y －9b 4＋13b 2＋196＝0，设直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1＋y 22＝1，∴y 1＋y 2＝14（b 2＋4）10b 2＋4＝2，解得b 2＝8.∴所求椭圆方程为x 28＋y 212＝1.法二∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，∴设椭圆的方程为y 2b 2＋4＋x 2b 2＝1(b >0).设直线y ＝3x ＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则＋x 21b 2＝1，①＋x 22b 2＝1，②①－②得（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b 2＋4＋（x 1－x 2）（x 1＋x 2）b 2＝0，即y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－b 2＋4b 2，又∵弦AB 的中点的纵坐标为1，故横坐标为－2，k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝3，代入上式得3×2×12×（－2）＝－b 2＋4b 2，解得b 2＝8，故所求的椭圆方程为x 28＋y 212＝1.考点二最值与范围问题【例2】(2019·天津和平区质检)已知P 点坐标为(0，－2)，点A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，直线BP 交E 于点Q ，△ABP 是等腰直角三角形，且PQ →＝32QB →.(1)求椭圆E 的方程；(2)设过点P 的动直线l 与E 相交于M ，N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)由△ABP 是等腰直角三角形，得a ＝2，B (2，0).设Q (x 0，y 0)，则由PQ →＝32QB →0＝65，0＝－45，代入椭圆方程得b 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)依题意得，直线l 的斜率存在，方程设为y＝kx －2.kx －2，y 2＝1，消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.(*)因直线l 与E 有两个交点，即方程(*)有不等的两实根，故Δ＝(－16k )2－48(1＋4k 2)>0，解得k 2>34.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，1＋x 2＝16k1＋4k 2，1x 2＝121＋4k 2，因坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外，所以OM →·ON →>0，即x 1x 2＋y 1y 2>0，又由x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－2)(kx 2－2)＝(1＋k 2)x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4＝(1＋k 2)·121＋4k 2－2k ·16k1＋4k2＋4>0，解得k 2<4，综上可得34<k 2<4，则32<k <2或－2<k <－32.则满足条件的斜率k2【规律方法】最值与范围问题的解题思路1.构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解.2.构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解.在解题过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等.【易错警示】(1)设直线方程时，应注意讨论斜率不存在的情况.(2)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.【训练2】已知P (x 0，y 0)是椭圆C ：x 24＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若PF 1→·PF 2→<0，则x 0的取值范围是()－263，－233，－33，－63，【答案】A【解析】由题意可知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则PF 1→·PF 2→＝(x 0＋3)(x 0－3)＋y 20＝x 20＋y 20－3<0.因为点P在椭圆上，所以y 20＝1－x 204.所以x 203<0，解得－263<x 0<263，即x 0－263，【反思与感悟】解决中点弦、弦长及最值与范围问题一般利用“设而不求”的思想，通过根与系数的关系构建方程求解参数、计算弦长、表达函数.【易错防范】1.涉及直线的斜率时，要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.2.求某几何量的最值或范围要考虑其中变量的取值范围.【核心素养提升】【数学运算】——高考【解析】几何问题中的“设而不求”1.数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程，解析几何正是利用数学运算解决几何问题的一门科学.2.“设而不求”是简化运算的一种重要手段，它的精彩在于设而不求，化繁为简.解题过程中，巧妙设点，避免解方程组，常见类型有：(1)灵活应用“点、线的几何性质”解题；(2)根据题意，整体消参或整体代入等.类型1巧妙运用抛物线定义得出与根与系数关系的联系，从而设而不求【例1】(2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________.【答案】y ＝±22x 【解析】法一设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，由抛物线定义可得|AF |＋|BF |＝y A ＋p 2＋y B ＋p 2＝4×p2⇒y A ＋y B ＝p ，－y 2b 2＝1，2py ，可得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，法二(点差法)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p 2，|OF |＝p2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .易知直线AB 的斜率k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 222p －x 212p x 2－x 1＝x 2＋x 12p .－y 21b 2＝1，－y 22b 2＝1，得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2（x 1＋x 2）a 2（y 1＋y 2）＝b 2a 2·x 1＋x 2p ，则b 2a 2·x 1＋x 2p ＝x 2＋x 12p ，所以b 2a 2＝12⇒b a ＝22，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .类型2中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，“点差法”实质上是“设而不求”的一种方法【例2】(1)△ABC 的三个顶点都在抛物线E ：y 2＝2x 上，其中A (2，2)，△ABC 的重心G 是抛物线E 的焦点，则BC 所在直线的方程为________________.(2)抛物线E ：y 2＝2x 上存在两点关于直线y ＝k (x －2)对称，则k 的取值范围是________.【答案】(1)x ＋y ＋54＝0(2)(－2，2)【解析】(1)设B (x1，y 1)，C (x2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，易知＝12，0，0＝x 1＋x 22＝－14，0＝y 1＋y 22＝－1，即－14，－又y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝22y 0＝1y 0＝－1，故直线BC 的方程为y －(－1)4x ＋4y ＋5＝0.(2)当k ＝0时，显然成立.当k ≠0时，设两对称点为B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，BC 的中点为M (x 0，y 0)，由y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝22y 0＝1y 0，由对称性知k BC ＝－1k ，点M在直线y ＝k (x －2)上，所以y 0＝－k ，y 0＝k (x 0－2)，所以x 0＝1.由点M 在抛物线内，得y 20<2x 0，即(－k )2<2，所以－2<k <2，且k ≠0.综上，k 的取值范围为(－2，2).类型3中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ>0【例3】人教A 版教材《选修2－1》第62页习题2.3B 组第4题：已知双曲线x 2－y22＝1，过点P (1，1)能否作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点？【答案】见解析【解析】假设存在直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1≠x 221－y 212＝1，22－y 222＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－（y 1＋y 2）（y 1－y 2）2＝0，又x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝1，所以2(x 1－x 2)－(y 1－y 2)＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2，故直线l 的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.＝2x －1，2－y 22＝1，消去y 得2x 2－4x ＋3＝0，因为Δ＝16－24＝－8<0，方程无解，故不存在一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点.类型4求解直线与圆锥曲线的相关问题时，若两条直线互相垂直或两直线斜率有明确等量关系，可用“替代法”，“替代法”的实质是设而不求【例4】(2017·全国Ⅰ卷改编)已知F 为抛物线C ：y 2＝2x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为________.【答案】8【解析】法一由题意知，直线l 1，l 2的斜率都存在且不为0，l 1：x ＝ty ＋12，则直线l 1的斜率为1t，联立方程得2＝2x ，＝ty ＋12，消去x 得y 2－2ty －1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2t ，y 1y 2＝－1.所以|AB |＝t 2＋1|y 1－y 2|＝t 2＋1（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝t 2＋14t 2＋4＝2t 2＋2，同理得，用1t 替换t 可得|DE |＝2t 2＋2，所以|AB |＋|DE |＝4≥4＋4＝8，当且仅当t 2＝1t 2，即t ＝±1时等号成立，故|AB |＋|DE |的最小值为8.法二由题意知，直线l 1，l 2的斜率都存在且不为0，l 1的斜率为k ，则l 1：y ＝l 2：y2＝2x ，＝消去y 得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1＋2k 2.由抛物线的定义知，|AB |＝x 1＋x 2＋1＝1＋2k 2＋1＝2＋2k2.同理可得，用－1k 替换|AB |中k ，可得|DE |＝2＋2k 2，所以|AB |＋|DE |＝2＋2k 2＋2＋2k 2＝4＋2k 2＋2k 2≥4＋4＝8，当且仅当2k 2＝2k 2，即k ＝±1时等号成立，故|AB |＋|DE |的最小值为8.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.(基础题供选用)直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是()A.(1，＋∞)B.(1，3)∪(3，＋∞)C.(3，＋∞)D.(0，3)∪(3，＋∞)【答案】B【解析】x ＋2，＋y 23＝1，得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0.由Δ>0且m ≠3及m >0得m >1且m ≠3.2.设直线y ＝kx 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，分别过A ，B 两点向x 轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k 等于()A.±32B.±23C.±12D.±2【答案】A【解析】由题意可知，点A 与点B 的横坐标即为焦点的横坐标，又c ＝1，当k >0时，不妨设A ，B 两点的坐标分别为(－1，y 1)，(1，y 2)，代入椭圆方程得y 1＝－32，y 2＝32，解得k ＝32；同理可得当k <0时k ＝－32.3.(2019·长春二检)椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3，2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为()A.－23B.－32C.－49D.－94【答案】A 【解析】设以P 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，斜率为k ，则4x 21＋9y 21＝144，4x 22＋9y 22＝144，两式相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋9(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，又x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝4，y 1－y 2x 1－x 2＝k ，代入解得k ＝－23.4.(2019·青岛调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)及点B (0，a )，过点B 与椭圆相切的直线交x 轴的负半轴于点A ，F 为椭圆的右焦点，则∠ABF ＝()A.60°B.90°C.120°D.150°【答案】B【解析】由题意知，切线的斜率存在，设切线方程y ＝kx ＋a (k >0)kx ＋a ，＋y 2b 2＝1，消去y 整理得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2ka 3x ＋a 4－a 2b 2＝0，由Δ＝(2ka 3)2－4(b 2＋a 2k 2)(a 4－a 2b 2)＝0，得k ＝c a ，从而y ＝c ax ＋a 交x 轴于点－a 2c ，又F (c ，0)，易知BA →·BF →＝0，故∠ABF ＝90°.5.斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为()A.2B.455C.4105D.8105【答案】C 【解析】设直线l 的方程为y ＝x ＋t ，代入x 24＋y 2＝1，消去y 得54x 2＋2tx ＋t 2－1＝0，由题意知Δ＝(2t )2－5(t 2－1)>0即t 2<5，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8t 5，x 1x 2＝4（t 2－1）5，|AB |＝（1＋1）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝4255－t 2≤4105(当且仅当t ＝0时取等号).二、填空题6.已知椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1，0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为________________________.【答案】y 24＋x 2＝1【解析】因为椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1的右顶点为A (1，0)，所以b ＝1，焦点坐标为(0，c )，因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以2b 2a ＝1，a ＝2，所以椭圆方程为y 24＋x 2＝1.7.(2019·河南八校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，经过原点的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，若|PQ |＝a ，AP ⊥PQ ，则椭圆C 的离心率为________.【答案】255【解析】不妨设点P 在第一象限，O 为坐标原点，由对称性可得|OP |＝|PQ |2＝a 2，因为AP ⊥PQ ，所以在Rt △POA 中，cos ∠POA ＝|OP ||OA |＝12，故∠POA ＝60°，易得，代入椭圆方程得1168.已知椭圆的方程是x2＋2y2－4＝0，则以M(1，1)为中点的弦所在直线方程是________.【答案】x＋2y－3＝0【解析】由题意知，以M(1，1)为中点的弦所在直线的斜率存在，设其方程为y＝kx＋b，则有k＋b＝1，即b＝1－k，即y＝kx＋(1－k)，2＋2y2－4＝0，＝kx＋（1－k），则有(1＋2k2)x2＋(4k－4k2)x＋(2k2－4k－2)＝0，所以x1＋x22＝12·4k2－4k1＋2k2＝1，解得k＝－12(满足Δ>0)，故b＝32，所以y＝－12x＋32，即x＋2y－3＝0.三、解答题9.(2017·北京卷)已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2，0)，B(2，0)，焦点在x轴上，离心率为32.(1)求椭圆C的方程；(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.【答案】见解析【解析】(1)解设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0).2，＝32，解得c＝ 3.所以b2＝a2－c2＝1.所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(2)证明设M(m，n)，则D(m，0)，N(m，－n).由题设知m≠±2，且n≠0.直线AM的斜率k AM＝nm＋2，故直线DE 的斜率k DE ＝－m ＋2n.所以直线DE 的方程为y ＝－m ＋2n (x －m ).直线BN 的方程为y ＝n 2－m(x －2).＝－m ＋2n （x －m ），＝n 2－m（x －2），解得点E 的纵坐标y E ＝－n （4－m 2）4－m 2＋n 2.由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2，所以y E ＝－45n .又S △BDE ＝12|BD |·|y E |＝25|BD |·|n |，S △BDN ＝12|BD |·|n |.所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.10.(2019·上海静安区模拟)已知A ，B 分别为椭圆C ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)在x 轴正半轴、y 轴正半轴上的顶点，原点O 到直线AB 的距离为2217，且|AB |＝7.(1)求椭圆C 的离心率；(2)直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝2相切，并与椭圆C 交于M ，N 两点，若|MN |＝1227，求k 的值.【答案】见解析【解析】(1)由题设知，A (b ，0)，B (0，a )，直线AB 的方程为x b ＋y a ＝1，又|AB |＝a 2＋b 2＝7，ab a 2＋b 2＝2217，a >b >0，计算得出a ＝2，b ＝3，则椭圆C 的离心率为e ＝1－b 2a 2＝12.(2)由(1)知椭圆方程为y 24＋x 23＝1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)＋x 23＝1，kx ＋m消去y 得，(3k 2＋4)x 2＋6kmx ＋3m 2－12＝0，直线l 与椭圆相交，则Δ>0，即48(3k 2－m 2＋4)>0，且x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋4，x 1x 2＝3m 2－123k 2＋4.又直线l 与圆x 2＋y 2＝2相切，则|m |k 2＋1＝2，即m 2＝2(k 2＋1).而|MN |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋k 2·48（3k 2－m 2＋4）3k 2＋4＝1＋k 2·48（k 2＋2）3k 2＋4＝43·k 4＋3k 2＋23k 2＋4，又|MN |＝1227，所以43·k 4＋3k 2＋23k 2＋4＝1227，即5k 4－3k 2－2＝0，解得k ＝±1，且满足Δ>0，故k 的值为±1.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019·北京东城区调研)已知圆M ：(x －2)2＋y 2＝1经过椭圆C ：x 2m ＋y 23＝1(m >3)的一个焦点，圆M 与椭圆C 的公共点为A ，B ，点P 为圆M 上一动点，则P 到直线AB 的距离的最大值为()A.210－5B.210－4C.410－11D.410－10【答案】A 【解析】易知圆M 与x 轴的交点为(1，0)，(3，0)，∴m －3＝1或m －3＝9，则m ＝4或m ＝12.当m ＝12时，圆M 与椭圆C 无交点，舍去.所以m ＝4.x －2）2＋y 2＝1，＋y 23＝1，得x 2－16x ＋24＝0.又x ≤2，所以x ＝8－210.故点P 到直线AB 距离的最大值为3－(8－210)＝210－5.12.(2019·广州调研)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －22＝0与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)相切，且椭圆C 的右焦点F (c ，0)关于直线l ：y ＝c bx 的对称点E 在椭圆C 上，则△OEF 的面积为()A.12 B.32 C.1 D.2【答案】C【解析】＋2y －22＝0，＋y 2b 2＝1，消去x ，化简得(a 2＋2b 2)y 2－8b 2y ＋b 2(8－a 2)＝0，由Δ＝0得2b 2＋a 2－8＝0.设F ′为椭圆C 的左焦点，连接F ′E ，易知F ′E ∥l ，所以F ′E ⊥EF ，又点F 到直线l 的距离d ＝c 2c 2＋b 2＝c 2a ，所以|EF |＝2c 2a ，|F ′E |＝2a －|EF |＝2b 2a，在Rt △F ′EF 中，|F ′E |2＋|EF |2＝|F ′F |2，化简得2b 2＝a 2，代入2b 2＋a 2－8＝0得b 2＝2，a ＝2，所以|EF |＝|F ′E |＝2，所以S △OEF ＝12S △F ′EF ＝1.13.已知直线l ：y ＝kx ＋2过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点B 和左焦点F ，且被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为L ，若L ≥455，则椭圆离心率e 的取值范围是________.【答案】，255【解析】依题意，知b ＝2，kc ＝2.设圆心到直线l 的距离为d ，则L ＝24－d 2≥455，解得d 2≤165.又因为d ＝21＋k 2，所以11＋k 2≤45，解得k 2≥14.于是e 2＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝11＋k 2，所以0＜e 2≤45，又由0<e <1，解得0＜e ≤255.14.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2，1)，且离心率e ＝32.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求△PAB 的面积的最大值.【答案】见解析【解析】(1)因为e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以a 2＝4b 2.又椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点P (2，1)，所以4a 2＋1b2＝1.所以a 2＝8，b 2＝2.故所求椭圆方程为x 28＋y 22＝1.(2)设l 的方程为y ＝12x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)＝12x ＋m ，＋y 22＝1消去y 整理得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0.所以x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4.又直线l 与椭圆相交，所以Δ＝4m 2－8m 2＋16>0，解得|m |<2.则|AB |＝1＋14×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝5（4－m 2）.点P 到直线l 的距离d ＝|m |1＋14＝2|m |5.所以S △PAB ＝12d |AB |＝12×2|m |5×5（4－m 2）＝m 2（4－m 2）≤m 2＋4－m 22＝2.当且仅当m 2＝2，即m ＝±2时，△PAB 的面积取得最大值为2.【新高考创新预测】15.(思维创新)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，直线l 1：y ＝－12x ，直线l 2：y ＝12x ，P 为椭圆上任意一点，过P 作PM ∥l 1且与直线l 2交于点M ，作PN ∥l 2且与l 1交于点N ，若|PM |2＋|PN |2为定值，则椭圆的离心率为________.【答案】32【解析】设|PM |2＋|PN |2＝t ，1，12x2，－12x P (x ，y ).因为四边形PMON 为平行四边形，所以|PM |2＋|PN |2＝|ON |2＋|OM |2＝54x 21＋x 22)＝t .因为OP →＝OM →＋ON →1＋x 2，12x 1－12x ＝x 1＋x 2，＝12x 1－12x 2，则x 2＋4y 2＝2(x 21＋x 22)＝85t ，此方程为椭圆方程，即x 28t 5＋y 22t 5＝1，则椭圆的离心率e ＝8t 5－2t 58t5＝32.。

2025年高考数学一轮复习-8.5.2-直线与椭圆的位置关系【原卷版】1．直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 29＋y 2m ＝1总有公共点，则实数m 的取值范围是()A ．12≤m ＜9B ．9＜m ＜10C ．1≤m ＜9D ．1＜m ＜92．若直线mx ＋ny ＝9和圆x 2＋y 2＝9没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 216＝1的交点有()A ．1个B ．至多一个C ．2个D ．0个3．已知F 1，F 2是椭圆G ：x 252＋y 242＝1的左、右焦点，过F 1作直线l 交G 于A ，B 两点，若|AB |＝325，则△F 2AB 的面积为()A ．245B ．485C ．965D ．164154．已知点P (x ，y )是椭圆x 29＋y 24＝1上任意一点，则点P 到直线l ：y ＝x ＋5的最大距离为()A ．52＋262B ．52－262C ．52＋26D ．52－265．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图①所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆．某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图②所示，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于－58，则椭圆的离心率为()A ．34B ．58C ．74D ．646．(多选)设椭圆x 29＋y 23＝1的右焦点为F ，直线y ＝m (0＜m ＜3)与椭圆交于A ，B 两点，则()A ．|AF |＋|BF |为定值B ．△ABF 的周长的取值范围是[6,12]C ．当m ＝32时，△ABF 为直角三角形D ．当m ＝1时，△ABF 的面积为67．已知F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，|F 1F 2|＝2，过椭圆左焦点且斜率为2的直线交椭圆于A ，B 两点，若S △ABF 2＝4，则弦长|AB |＝________．8．直线5x ＋4y －1＝0交椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)于M ，N 两点，设MN 中点为P ，直线OP 的斜率等于54，O 为坐标原点，则椭圆C 的离心率为________．9．已知直线y ＝kx －1与椭圆x 24＋y 23＝1交于点A ，B ，与y 轴交于点P ，若AP ―→＝3PB ―→，则实数k 的值为________．10．已知点B 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝16上的任意一点，点F (－1,0)，线段BF 的垂直平分线交BC 于点P ．(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)直线l ：y ＝2x ＋m 与E 交于点M ，N ，且|MN |＝123019，求m 的值．11．(多选)已知P 是椭圆E ：x 24＋y 2m ＝1(m ＞0)上任意一点，M ，N 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)，若|k 1|＋|k 2|的最小值为1，则下列结论正确的是()A ．椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1B ．椭圆E 的离心率为12C ．曲线y ＝log 3x －12经过E 的一个焦点D ．直线2x －y －2＝0与E 有两个公共点12．已知椭圆x 22＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线AB 与椭圆交于A ，B两点，则△F 1AB 的周长是________，△F 1AB 内切圆面积的最大值是________．13．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)左焦点为F 1(－1,0)，经过点F 1的直线l 与圆F 2：(x －1)2＋y 2＝8相交于P ，Q 两点，M 是线段PF 2与C 的公共点，且|MF 1|＝|MP |．(1)求椭圆C 的方程；(2)l 与C 的交点为A ，B ，且A 恰为线段PQ 的中点，求△ABF 2的面积．14．如图，椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于点H ．若F 1，H 是线段MN 的三等分点，则△F 2MN 的周长为()A ．20B ．10C ．25D ．4515．定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1．(1)若椭圆C 2：x 216＋y 241，试判断C 2与C 1是否相似？如果相似，求出C 2与C 1的相似比；如果不相似，请说明理由；(2)写出与椭圆C 1相似且短半轴长为b 的焦点在x 轴上的椭圆C b 的标准方程．若在椭圆C b 上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋1对称，求实数b 的取值范围．2025年高考数学一轮复习-8.5.2-直线与椭圆的位置关系【解析版】1．直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 29＋y 2m ＝1总有公共点，则实数m 的取值范围是()A ．12≤m ＜9B ．9＜m ＜10C ．1≤m ＜9D ．1＜m ＜9解析：C 直线y ＝kx ＋1恒过定点P (0,1)，焦点在x 轴上的椭圆x 29＋y 2m＝1，可得0＜m＜9①，由直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 29＋y 2m＝1总有公共点，可得P 在椭圆上或椭圆内，即有09＋1m≤1，解得m ≥1②，由①②可得1≤m ＜9．故选C ．2．若直线mx ＋ny ＝9和圆x 2＋y 2＝9没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 216＝1的交点有()A ．1个B ．至多一个C ．2个D ．0个解析：C 因为直线mx ＋ny ＝9和圆x 2＋y 2＝9没有交点，所以9m 2＋n2＞3，即m 2＋n 2＜9，所以m 29＋n 216≤m 29＋n 29＜1，即点(m ，n )在椭圆x 29＋y 216＝1内，所以过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 216＝1的交点有2个，故选C ．3．已知F 1，F 2是椭圆G ：x 252＋y 242＝1的左、右焦点，过F 1作直线l 交G 于A ，B 两点，若|AB |＝325，则△F 2AB 的面积为()A ．245B ．485C ．965D ．16415解析：C由G ：x 252＋y 2421知c 2＝52－42＝32，所以F 1(－3，0)，把x ＝－3代入椭圆方程可得y 2＝4425，故y ＝±165，又|AB |＝325，所以AB ⊥x 轴，则S △F 2AB ＝12|AB |×2c ＝12×325×6＝965，故选C ．4．已知点P (x ，y )是椭圆x 29＋y 24＝1上任意一点，则点P 到直线l ：y ＝x ＋5的最大距离为()A ．52＋262B ．52－262C ．52＋26D ．52－26解析：A设直线y ＝x ＋m ＋y 24＝1，x ＋m得13x 2＋18mx ＋9m 2－36＝0，∴Δ＝(18m )2－4×13(9m 2－36)＝0，解得m ＝±13，切线方程为y ＝x ＋13和y ＝x －13，与l 距离较远的是y ＝x －13，∴所求最大距离为d ＝|－13－5|2＝52＋262．故选A ．5．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图①所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆．某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图②所示，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于－58，则椭圆的离心率为()A ．34B ．58C ．74D ．64解析：D设内层椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∵内外椭圆离心率相同，∴外层椭圆可设成x 2(ma )2＋y 2(mb )2＝1(m ＞1)，设切线AC 的方程为y ＝k 1(x ＋ma )，与x 2a 2＋y 2b 2＝1联立得：(b 2＋a 2k 21)x 2＋2ma 3k 21x ＋m 2a 4k 21－a 2b 2＝0，由Δ＝0,则k 21＝b 2a 2·1m 2－1，同理可得k 22＝b 2a 2·(m 2－1)，∴k 21·k 22＝b 4a 4＝则b 2a 2＝58，因此，e ＝c a ＝1－b 2a 2＝1－58＝64．故选D ．6．(多选)设椭圆x 29＋y 23＝1的右焦点为F ，直线y ＝m (0＜m ＜3)与椭圆交于A ，B 两点，则()A ．|AF |＋|BF |为定值B ．△ABF 的周长的取值范围是[6,12]C．当m＝32时，△ABF为直角三角形D．当m＝1时，△ABF的面积为6解析：ACD设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|＝|BF|，∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A正确；△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，∵|AF|＋|BF|为定值6，且|AB|的取值范围是(0,6)，∴△ABF的周长的取值范围是(6,12)，B错误；设点A在点B的左侧，将y＝3 2与椭圆方程联立，可解得－332，F(6，0)，∴AF―→·BF―→＝＝0．∴△ABF为直角三角形，C正确；将y＝1与椭圆方程联立，解得A(－6，1)，B(6，1)，∴S△ABF＝12×26×1＝6，D正确．故选A、C、D．7．已知F1，F2分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，|F1F2|＝2，过椭圆左焦点且斜率为2的直线交椭圆于A，B两点，若S△ABF2＝4，则弦长|AB|＝________．解析：∵S△ABF2＝4，∴12×2c×|y A－y B|＝4，又∵|F1F2|＝2，∴|y A－y B|＝4，∵直线过椭圆左焦点且斜率为2，∴|AB|＝1＋1k2|y A－y B|4＝25．答案：258．直线5x＋4y－1＝0交椭圆C：y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)于M，N两点，设MN中点为P，直线OP的斜率等于54，O为坐标原点，则椭圆C的离心率为________．解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中点为P(x0，y0)＋x21b2＝1，＋x22b2＝1，两式相减得b2(y21－y22)＋a2(x21－x22)＝0，即y1－y2x1－x2＝－k MN＝－a2b2·1k OP，因为k MN＝－54，k OP＝54，所以b2a2＝1625，所以e＝ca＝1－b2a2＝35．答案：359．已知直线y＝kx－1与椭圆x24＋y23＝1交于点A，B，与y轴交于点P，若AP―→＝3PB―→，则实数k的值为________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线y＝kx－1与y轴交于点P，所以P(0，－1)．联kx －1，＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－8kx －8＝0，Δ＞0．由根与系数的关系得x 1＋x 2＝8k3＋4k 2，x 1x 2＝－83＋4k 2．因为AP ―→＝3PB ―→，所以(－x 1，－1－y 1)＝3(x 2，y 2＋1)，所以x 1＝－3x 2，将其代入x 1＋x 2＝8k3＋4k 2，得x 2＝－4k 3＋4k 2．将x 1＝－3x 2，x 2＝－4k 3＋4k2代入x 1x 2＝－83＋4k 2，可得－＝－83＋4k 2k 2＝32，所以k ＝±62．答案：±6210．已知点B 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝16上的任意一点，点F (－1,0)，线段BF 的垂直平分线交BC 于点P ．(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)直线l ：y ＝2x ＋m 与E 交于点M ，N ，且|MN |＝123019，求m 的值．解：(1)由条件可得|PC |＋|PF |＝|PC |＋|PB |＝|BC |＝4＞|FC |＝2，所以动点P 的轨迹E 是以F ，C 为焦点的椭圆，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，所以2a ＝4,2c ＝2，所以a ＝2，c ＝1，b ＝3，所以动点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，＋y 23＝1，2x ＋m可得19x 2＋16mx ＋4m 2－12＝0，由Δ＝256m 2－76(4m 2－12)＞0，得m ∈(－19，19)，由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－16m19，x 1x 2＝4m 2－1219，因为|MN |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝123019，解得m ＝±1．11．(多选)已知P 是椭圆E ：x 24＋y 2m ＝1(m ＞0)上任意一点，M ，N 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)，若|k 1|＋|k 2|的最小值为1，则下列结论正确的是()A ．椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1B ．椭圆E 的离心率为12C ．曲线y ＝log 3x －12经过E 的一个焦点D ．直线2x －y －2＝0与E 有两个公共点解析：ACD设P (x 0，y 0)，M (x 1，y 1)，x 0≠±x 1，y 0≠±y 1，则N (－x 1，－y 1)，x 204＋y 20m＝1，x 214＋y 21m ＝1，所以y 20＝m －mx 204，y 21＝m －mx 214，k 1k 2＝y 0－y 1x 0－x 1·y 0＋y 1x 0＋x 1＝y 20－y 21x 20－x 21＝－m 4．于是|k 1|＋|k 2|≥2|k 1|·|k 2|＝2|k 1k 2|＝2|－m 4|＝m ，依题意，得m ＝1，解得m ＝1，故E 的方程为x 24＋y 2＝1，A 正确；离心率为32，B 错误；焦点坐标为(±3，0)，曲线y ＝log 3x －12经过焦点(3，0)，C 正确；又直线2x －y －2＝0过点(1,0)，且点(1,0)在E 内，故直线2x －y －2＝0与E 有两个公共点，D 正确．故选A 、C 、D ．12．已知椭圆x 22＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线AB 与椭圆交于A ，B两点，则△F 1AB 的周长是________，△F 1AB 内切圆面积的最大值是________．解析：根据椭圆定义可知△F 1AB 的周长C ＝4a ＝42；在△F 1AB 内，S ＝12Cr ＝22r ，问题转化为求△F 1AB 面积最大值，设AB ：x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(m 2＋2)y 2＋2my －1＝01＋y 2＝－2mm 2＋2，1y 2＝－1m 2＋2，于是S ＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|22m 2＋1m 2＋2＝22m 2＋1＋1m 2＋1≤222m 2＋1·1m 2＋1＝2，则22r ≤2⇒r ≤12⇒πr 2≤π4，等号在m ＝0时取到．答案：42π413．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)左焦点为F 1(－1,0)，经过点F 1的直线l 与圆F 2：(x －1)2＋y 2＝8相交于P ，Q 两点，M 是线段PF 2与C 的公共点，且|MF 1|＝|MP |．(1)求椭圆C 的方程；(2)l 与C 的交点为A ，B ，且A 恰为线段PQ 的中点，求△ABF 2的面积．解：(1)由圆F 2：(x －1)2＋y 2＝8可得|PF 2|＝22，因为|MF 1|＝|MP |，所以2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝|MP |＋|MF 2|＝|PF 2|＝22，即a ＝2，又c ＝1，故b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为A 为线段PQ 的中点，则AF 1⊥AF 2，所以AF 1―→·AF 2―→＝x 21＋y 21－1＝0，又x 212＋y 21＝1，解得x 1＝0，y 1＝±1，若y 1＝1，则A (0,1)，直线l 的方程为y ＝x ＋1，x ＋1，y 2＝12＝－43，2＝－13，即－43，－所以△ABF 2的面积S ＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12×2×43＝43，若y 1＝－1，同理可求得△ABF 2的面积S ＝43，综上所述，△ABF 2的面积为43．14．如图，椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于点H ．若F 1，H 是线段MN 的三等分点，则△F 2MN 的周长为()A ．20B ．10C ．25D ．45解析：D由F 1，H 是线段MN 的三等分点，得H 是F 1N 的中点，又F 1(－c,0)，∴点N的横坐标为c c ，＋y 24＝1，得2c 点M 的坐标代入椭圆方程得4c 2a2＋1，化简得c 2＝a 2－14，又c 2＝a 2－4，∴a 2－14＝a 2－4，得a 2＝5，∴a ＝5．由椭圆的定义知|NF 2|＋|NF 1|＝|MF 2|＋|MF 1|＝2a ，∴△F 2MN 的周长为|NF 2|＋|MF 2|＋|MN |＝|NF 2|＋|MF 2|＋|NF 1|＋|MF 1|＝4a ＝45，故选D ．15．定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1．(1)若椭圆C 2：x 216＋y 241，试判断C 2与C 1是否相似？如果相似，求出C 2与C 1的相似比；如果不相似，请说明理由；(2)写出与椭圆C 1相似且短半轴长为b 的焦点在x 轴上的椭圆C b 的标准方程．若在椭圆C b 上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋1对称，求实数b 的取值范围．解：(1)椭圆C 2与C 1相似．如图，在同一坐标系中作出C 1，C 2的图象．∵椭圆C 2的“特征三角形”是腰长为4，底边长为43的等腰三角形，而椭圆C 1的“特征三角形”是腰长为2，底边长为23的等腰三角形，∴两三角形的三边对应成比例，∴这两个等腰三角形相似，且相似比为2∶1，∴椭圆C 2和C 1相似，且相似比为2∶1．(2)椭圆C b 的方程为x 24b 2＋y 2b2＝1(b ＞0)．由题意，可设l MN ：y ＝－x ＋t ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为(x 0，y 0)．x ＋t ，＋y 2b 2＝1，消去y ，整理得5x 2－8tx ＋4(t 2－b 2)＝0，则x 0＝x 1＋x 22＝45t ，y 0＝t5．∵MN 的中点在直线y ＝x ＋1上，∴t 5＝45t ＋1，解得t ＝－53．故直线l MN 的方程为y ＝－x －53．若M ，N 存在，则方程5x 2－8＋－b 2＝0有两个不同的实数解，∴Δ－4×5×40，解得b ＞53．。

5
5
8
55
【备用例题】 已知椭圆 4x2+y2=1,直线 y=x+m,设直线与椭圆相交于 A(x1,y1), B(x2,y2)两点,求△AOB 面积的最大值及△AOB 面积最大时的直线方程.
解:可求得 O 到 AB 的距离 d= m ,又|AB|= 2 10 8m2 ,
2
5
所以 S = △AOB 1 |AB|·d= 1 × 2 10 8m2 · m
直线与椭圆的位置关系
yy
OO
xx
1.直线 y kx 1 与椭圆
x2 5

y2 m
1 总有公共
点，则 m 的取值范围是
.
分析：依题意知直线过定点（0，1）,且点在
椭圆上或内部，即 02 12 1 且 m 5
5m
2.直线 y kx k与椭圆 x2 y2 1 有几个公共点？
4
例2.若点 O,F 分别为椭圆 x2 + y 2 =1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上任一点,求 95
OP · FP 的最小值.
y
P
FＯxyB来自CＯ Axy
N
Ｏ
M
x
练习3.
已知椭圆 x2 + y 2 = 1的左顶点为A(-2,0). 4
过（- 6 ,0）作一条斜率不为0的直线L. 5
2
25
2
=2
(5
m2)m2
≤
5 2 4

m2


m2
=1
.
54
5
2
4
当且仅当“ 5 -m2=m2”时,上式取“=”. 4
此时 m=± 10 ∈[- 5 , 5 ].

第2课时直线与椭圆的位置关系1．点与椭圆的位置关系已知点P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔01x 20a 2＋y 20b 2<1；(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔02x 20a 2＋y 20b 2＝1；(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔03x 20a 2＋y 20b 2>1．2．直线与椭圆位置关系的判断已知直线y ＝kx ＋m ，椭圆x 2a 2＋y2b2＝1kx ＋m ，＋y 2b 2＝1，得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0，若该一元二次方程的判别式为Δ，则Δ>0⇔有04两个交点⇔相交；Δ＝0⇔有05一个交点⇔相切；Δ<0⇔06无交点⇔相离．3．弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|k 为直线的斜率且k ≠0.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)：(1)通径的长度为2b 2a.(2)A 1，A 2为椭圆的长轴顶点，P 是椭圆上异于A 1，A 2的任一点，则kPA 1·kPA 2＝－b 2a 2.(3)AB 是椭圆的不平行于对称轴的弦，O 为原点，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝－b 2a 2.(4)过原点的直线交椭圆于A ，B 两点，P 是椭圆上异于A ，B 的任一点，则k P A ·k PB ＝－b 2a 2.(5)点P (x 0，y 0)在椭圆上，过点P 的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆通径是所有的焦点弦中最短的弦．()(2)直线y ＝x 与椭圆x 22＋y 2＝1一定相交．()(3)直线y ＝x －1被椭圆x 22＋y 2＝1截得的弦长为 2.()答案(1)√(2)√(3)×2．小题热身(1)(人教A 选择性必修第一册习题3.1T14改编)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为()A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定答案A解析直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．(2)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为M ，N ，点P 在C 上，且直线PN 的斜率为－14，则直线PM 的斜率为()A ．13B ．3C ．－13D ．－3答案B解析∵椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为M ，N ，∴点M 的坐标为(－2，0)，点N 的坐标为(2，0)，又直线PN 的斜率为－14，∴直线PN 的方程为y ＝－14(x －2)，代入椭圆C 的方程x 24＋y 23＝1，得13x 2－4x －44＝0，设点P 的坐标为(x ，y )，则x ＋2＝413，解得x ＝－2213，y ＝1213，故直线PM 的斜率k ＝1213－2213＋2＝3.故选B.(3)已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1，0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆的方程为________________．答案y 24＋x 2＝1解析因为椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1的右顶点为A (1，0)，所以b ＝1，因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以2b 2a ＝1，a ＝2，所以椭圆的方程为y 24＋x 2＝1.(4)(人教A 选择性必修第一册习题3.1T13改编)已知椭圆C 1：x 24＋y 23＝1，过点P (2，2)作椭圆C 1的切线，则切线方程为________________．答案x －8y ＋14＝0或x ＝2解析因为224＋223>1，所以点P 在C 1外部，当斜率不存在时，易知x ＝2为椭圆的一条切线；当斜率存在时，设切线斜率为k ，则切线方程为y －2＝k (x －2)，代入C 1中，并整理得(3＋4k 2)x 2＋16(k －k 2)x ＋16k 2－32k ＋4＝0，因为直线与椭圆相切，则Δ＝[16(k －k 2)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－32k ＋4)＝0，解得k ＝18，此时切线方程为x －8y ＋14＝0，所以切线方程为x －8y ＋14＝0或x＝2.考点探究——提素养考点一直线与椭圆的位置关系例1已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．解将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，2x ＋m ，＋y 22＝1，消去y 并整理，得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0，Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程有两个相同的实数根，直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ＜0，即m ＜－32或m ＞32时，方程没有实数根，直线l 与椭圆C 没有公共点．【通性通法】(1)利用判别式处理直线与椭圆的位置关系的步骤(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有公共点．【巩固迁移】1．已知动点M 到两定点F 1(－m ，0)，F 2(m ，0)的距离之和为4(0<m <2)，且动点M 的轨迹曲线C 过点(1)求m 的值；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与曲线C 有两个不同的交点A ，B ，求k 的取值范围．解(1)由0<m <2，得2m <4，知曲线C 是以两定点F 1(－m ，0)，F 2(m ，0)为焦点，长半轴长为2的椭圆，所以a ＝2，设曲线C 的方程为x 24＋y 2b 2＝1，把点N，得34＋14b2＝1，解得b 2＝1，由c 2＝a 2－b 2，解得c 2＝3，所以m ＝ 3.(2)由(1)知曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1，联立曲线C 的方程与直线l 的方程，y 2＝1，kx ＋2，消去y ，得2＋22kx ＋1＝0，则有Δ＝4k 2－1>0，解得k 2>14.所以k >12或k <－12，所以k ∞，＋考点二弦长问题例2(2024·内蒙古呼和浩特阶段考试)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，焦距为22，斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .(1)求椭圆M 的方程；(2)若k ＝1，求|AB |的最大值．解(1)由题意，2＝b 2＋c 2，＝c a ＝63，c ＝22，解得c ＝2，a ＝3，b ＝a 2－c 2＝（3）2－（2）2＝1，所以椭圆M 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)因为k ＝1，所以设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．x ＋m ，y 2＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0，又直线l 与椭圆M 有两个不同的交点，所以Δ＝36m 2－16(3m 2－3)＝12(4－m 2)>0，所以－2<m <2，所以x 1＋x 2＝－3m2，x 1x 2＝3m 2－34，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2·9m 24－（3m 2－3）＝12－3m 22，故当m ＝0，即直线l 过原点时，|AB |最大，最大值为 6.【通性通法】求弦长的方法(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接利用两点间距离公式求解．(2)当直线的斜率存在时，可利用弦长公式求解，但利用弦长公式时不要忽略判别式应大于0.提醒：运用弦长公式时，设直线方程也很考究．若直线经过的定点在纵轴上，一般设为斜截式方程y ＝kx ＋t ；若直线经过的定点在横轴上，一般设为x ＝my ＋n .【巩固迁移】2．(2023·海口模拟)一条过原点的直线与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个交点为(3，6)，则它被椭圆截得的弦长为()A ．3B ．6C ．23D ．26答案B解析如图，设过原点O 的直线的方程为y ＝kx (k ≠0)，该直线与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个交点分别为A (3，6)，B (x ，y )，则根据对称性可知A ，B 两点关于原点O 对称，即|OA |＝|OB |，又|OA |＝（3）2＋（6）2＝3，该直线被椭圆截得的弦长为|AB |，所以|AB |＝|OA |＋|OB |＝3＋3＝6.故选B.考点三中点弦问题例3已知P (1，1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被点P 平分，则此弦所在的直线方程为________________．答案x ＋2y －3＝0解析解法一：易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为y －1＝k (x －1)，弦所在的直线与椭圆交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．1＝k （x －1），＋y 22＝1，消去y ，得(2k 2＋1)x 2－4k (k－1)x ＋2(k 2－2k －1)＝0，显然Δ>0，∴x 1＋x 2＝4k （k －1）2k 2＋1，又x 1＋x 2＝2，∴4k （k －1）2k 2＋1＝2，解得k ＝－12.经检验，k ＝－12满足题意．故此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y－3＝0.解法二：易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其斜率为k ，弦所在的直线与椭圆交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1①，x 224＋y 222＝1②，由①－②，得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）4＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）2＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，又x 2－x 1≠0，∴k＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12.经检验，k ＝－12满足题意．∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x＋2y －3＝0.【通性通法】解决圆锥曲线“中点弦”问题的方法【巩固迁移】3．(2022·新高考Ⅱ卷)已知直线l 与椭圆x 26＋y 23＝1在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴、y轴分别交于M ，N 两点，且|MA |＝|NB |，|MN |＝23，则l 的方程为________________．答案x ＋2y －22＝0解析令AB 的中点为E ，因为|MA |＝|NB |，所以|ME |＝|NE |，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 216＋y 213＝1，x 226＋y 223＝1，所以x 216－x 226＋y 213－y 223＝0，即（x 1＋x 2）（x 1－x 2）6＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）3＝0，所以（y 1＋y 2）（y 1－y 2）（x 1＋x 2）（x 1－x 2）＝－12，即k OE ·k AB ＝－12，设直线AB ：y ＝kx ＋m ，k ＜0，m ＞0，令x ＝0得y ＝m ，令y ＝0得x ＝－mk ，即－m k，N (0，m )，所以－m 2k ，所以k ×m2－m2k ＝－12，解得k ＝－22或k ＝22(舍去)，又|MN |＝23，即|MN |＝（2m ）2＋m 2＝23，解得m ＝2或m ＝－2(舍去)，所以直线AB ：y ＝－22x ＋2，即x＋2y －22＝0.考点四切线问题例4(2023·陕西渭南二模)在椭圆x 29＋y 24＝1上求一点M ，使点M 到直线x ＋2y －10＝0的距离最大，则点M 的坐标为()A ．(－3，0)B －95，－C2D ．(－2，0)答案B解析如图，根据题意可知，当点M 在第三象限且椭圆在点M 处的切线与直线x ＋2y －10＝0平行时，点M 到直线x ＋2y －10＝0的距离取得最大值，可设切线方程为x ＋2y＋m ＝0(m >0)，＋2y ＋m ＝0，x 2＋9y 2＝36，整理得25y 2＋16my ＋4m 2－36＝0，Δ＝162m 2－100(4m 2－36)＝0，因为m >0，解得m ＝5，所以椭圆x 29＋y 24＝1在点M 处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0，联立2y ＋5＝0，＋y 24＝1，可得点M－95，故选B.【通性通法】(1)椭圆上的点到直线的距离的最值问题的解题方法：首先转化为平行直线与椭圆相切，然后求出两条平行直线间的距离即可．(2)直线与椭圆相切，有且仅有一个公共点，过椭圆外一点可以作两条切线，过椭圆上一点只能作一条切线．【巩固迁移】4．(2024·河北唐山模拟)已知F 为椭圆C ：x 23＋y 22＝1的右焦点，点A 是直线x ＝3上的动点，过点A 作椭圆C 的切线AM ，AN ，切点分别为M ，N ，则|MF |＋|NF |－|MN |的值为()A ．3B ．2C ．1D ．0答案D解析由已知可得F (1，0)，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，A (3，t )，则切线AM ，AN 的方程分别为x 1x 3＋y 1y 2＝1，x 2x 3＋y 2y 2＝1，因为切线AM ，AN 过点A (3，t )，所以x 1＋ty 12＝1，x 2＋ty 22＝1，所以直线MN 的方程为x ＋ty 2＝1，因为F (1，0)，所以1＋t ×02＝1，所以点F (1，0)在直线MN上，所以M ，N ，F 三点共线，所以|MF |＋|NF |－|MN |＝0.故选D.考点五直线与椭圆的综合问题例5(2023·天津高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，右焦点为F ，|A 1F |＝3，|A 2F |＝1.(1)求椭圆的方程和离心率e ；(2)已知点P 是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线A 2P 交y 轴于点Q ，若三角形A 1PQ 的面积是三角形A 2FP 的面积的二倍，求直线A 2P 的方程．解(1)如图，由题意可知＋c ＝3，－c ＝1，＝2，＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，此椭圆的离心率e ＝c a ＝12.(2)由题意知直线A 2P 的斜率存在且不为0，所以可设直线A 2P 的方程为y ＝k (x －2)．k （x －2），＋y 23＝1，可得(3＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0，设P (x P ，y P )，则由根与系数的关系可知x P ＋2＝16k 23＋4k 2，即x P ＝8k 2－63＋4k 2，则y P ＝k (x P －2)＝－12k3＋4k 2.由直线A 2P 交y 轴于点Q 可得Q (0，－2k )，所以S △A 1PQ ＝|S △A 1P A 2－S △A 1QA 2|＝12×4×|y P －y Q |，S △A 2FP ＝12×1×|y P |，因为S △A 1PQ ＝2S △A 2FP ，所以2|y P －y Q |＝|y P |，①当2|y P |－2|y Q |＝|y P |时，|y P |＝2|y Q |，即有12|k |3＋4k 2＝2·|－2k |，解得k ＝0，不符合题意，舍去．②当2|y Q |－2|y P |＝|y P |时，2|y Q |＝3|y P |，即有4|k |＝36|k |3＋4k 2，解得k ＝0(舍去)或k ＝±62.故直线A 2P 的方程为y ＝±62(x －2)．【通性通法】(1)求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是方程思想，即根据题意，列出有关的方程，利用代数的方法求解．为减少计算量，在代数运算中，经常运用设而不求的方法．(2)直线方程的设法，根据题意，如果需要讨论斜率不存在的情况，则设直线方程为x ＝my ＋n 避免讨论；若所研究的直线的斜率存在，则可设直线方程为y ＝kx ＋t 的形式；若包含平行于坐标轴的直线，则不要忘记斜率不存在的情况的讨论．【巩固迁移】5．在①离心率e ＝22；②过点a ＝2b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1，0)，且________．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，若△OMN (O 为坐标原点)的面积为23，求直线l的方程．解(1)选条件①：由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1，0)，得c ＝1，因为离心率e ＝c a ＝22，所以a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.选条件②：由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1，0)，得c ＝1，又椭圆C 过点则1a 2＋12b2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.选条件③：由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1，0)，得c ＝1，又a ＝2b ，a 2＝b 2＋c 2，则b 2＝c 2＝1，a 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，y 2＝1，my ＋1，得(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0，因为Δ＝4m 2＋4(m 2＋2)＝8(m 2＋1)>0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2，所以△OMN 的面积S ＝12|OF |·|y 2－y 1|＝12（y 2＋y 1）2－4y 2y 1＝12＝2m 2＋1m 2＋2，因为△OMN 的面积为23，所以m 2＋1m 2＋2＝23，解得m ＝±1，所以直线l 的方程为x ＋y －1＝0或x －y －1＝0.课时作业一、单项选择题1．若直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是()A ．(1，＋∞)B ．(1，3)∪(3，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(0，3)∪(3，＋∞)答案B解析x ＋2，＋y 23＝1，得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0.由Δ>0且m ≠3及m >0，得m >1且m ≠3.故选B.2．(2024·河南郑州质检)已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且倾斜角为45°的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，则|AB |＝()A ．247B ．127C ．1227D ．837答案A解析直线AB 的方程为y ＝x －1，联立椭圆方程x 24＋y 23＝1，整理得7x 2－8x －8＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝87，x 1x 2＝－87，所以|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝247.故选A ．3．(2024·四川内江模拟)椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 在椭圆上且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为()A ．65B ．3C ．113D ．3711答案A解析由x 24＋y 23＝1，得a 2＝4，b 2＝3，所以a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以F 1(－1，0)，F 2(1，0)，当x ＝－1时，14＋y 23＝1，解得|y |＝32.因为MF 1⊥x 轴，所以|MF 1|＝32，所以|F 2M |＝|MF 1|2＋|F 1F 2|2＝94＋4＝52.设F 1到直线F 2M 的距离为d ，因为d ·|MF 2|＝|MF 1||F 1F 2|，所以52d ＝32×2，解得d ＝65.故选A.4．(2023·河北张家口一模)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点(2，0)的直线交椭圆于A ，B两点．若AB C 的离心率为()A ．12B ．22C ．63D ．32答案D解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆的方程，可得x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减，得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2＋（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b 2＝0①，又x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－1，y 1－y 2x 1－x 2＝－12－01－2＝12，所以代入①，可得2a 2－12b 2＝0，化简得a 2＝4b 2，又b 2＝a 2－c 2，所以a 2＝4a 2－4c 2，经检验符合题意．故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝32.故选D.5．(2023·新课标Ⅱ卷)已知椭圆C ：x 23＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线y ＝x ＋m 与C 交于A ，B 两点，若△F 1AB 的面积是△F 2AB 面积的2倍，则m ＝()A ．23B ．23C ．－23D ．－23答案C解析x ＋m ，y 2＝1，消去y 可得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0.因为直线与椭圆相交于A ，B 两点，则Δ＝36m 2－4×4(3m 2－3)>0，解得－2<m <2.设F 1到AB 的距离为d 1，F 2到AB 的距离为d 2，易知F 1(－2，0)，F 2(2，0)，则d 1＝|－2＋m |2，d 2＝|2＋m |2，S △F 1ABS △F 2AB＝|－2＋m |2|2＋m |2＝|－2＋m ||2＋m |＝2，解得m ＝－23或m ＝－32(舍去)．故选C.6．(2024·广东珠海模拟)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，平行四边形ABCD 内接于椭圆E ，且直线AB 与AD 的斜率之积为－12，则椭圆E 的方程为()A ．x 28＋y 24＝1B ．x 212＋y 28＝1C ．x 216＋y 212＝1D ．x 220＋y 216＝1答案A解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由对称性可得D (－x 2，－y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，所以两式相减可得y 22－y 21x 22－x 21＝－b 2a 2，因为直线AB 与AD 的斜率之积为－12，所以y 2－y 1x 2－x 1·－y 2－y 1－x 2－x 1＝－12，即y 22－y 21x 22－x 21＝－12，所以b 2a 2＝12.设椭圆E 的半焦距为c ，因为椭圆E 的焦距为4，所以2c ＝4，所以c ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝4，a 2＝8，所以椭圆E 的方程为x 28＋y 24＝1.故选A.7．(2023·湖南部分学校联考)已知椭圆C ：x 24＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A ，B是椭圆C 上异于长轴端点的两点，且满足AF →1＝λF 1B →，若AB ⊥AF 2，则λ＝()A ．5B ．4C ．3D ．2答案C解析因为AF →1＝λF 1B →，所以点A ，B ，F 1共线，设|AF 1|＝t ，则|AF 2|＝2a －t ＝4－t ，所以t 2＋(4－t )2＝(22)2，解得t ＝2，即|AF 1|＝|AF 2|＝2，不妨设A (0，2)，则AB ：y ＝x ＋2，联立x ＋2，＋y 22＝1，＝0，＝2＝－423，＝－23，则－423，因为AF →1＝λF 1B →，所以λ＝223＝3.故选C.8．若点(m ，n )在椭圆9x 2＋y 2＝9上，则nm －3的最小值为()A ．－223B ．－233C ．－32D ．－324答案D解析由题知椭圆的方程为x 2＋y 29＝1，如图，求n m －3的最小值即求点(m ，n )与点(3，0)连线斜率的最小值，设过点(m ，n )和点(3，0)的直线方程为y ＝k (x －3)，＝k （x －3），2＋y 29＝1，得(9＋k 2)x 2－6k 2x ＋9(k 2－1)＝0.由题意，知当Δ＝0时，直线的斜率取得最小值，则由Δ＝(－6k 2)2－4(9＋k 2)[9(k 2－1)]＝0，得k 2＝98，故k ＝－324，为斜率的最小值，即n m －3的最小值为－324.故选D.二、多项选择题9．直线y ＝kx －2k ＋62与椭圆x 24＋y 23＝1的位置关系可能为()A ．相交B ．相切C ．相离D ．有3个公共点答案AB解析直线y ＝kx －2k ＋62＝k (x －2)＋62恒过定点，故直线与椭圆可能相交，也可能相切．故选AB.10．设椭圆的方程为x 22＋y 24＝1，斜率为k 的直线不经过原点O ，而且与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是()A ．直线AB 与OM 垂直B ．若点M 的坐标为(1，1)，则直线方程为2x ＋y －3＝0C ．若直线方程为y ＝x ＋1，则点MD ．若直线方程为y ＝x ＋2，则|AB |＝423答案BD解析对于A ，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质k AB ·k OM ＝－42＝－2≠－1，所以A不正确；对于B ，根据k AB ·k OM ＝－2，所以k AB ＝－2，所以直线方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0，所以B 正确；对于C ，若直线方程为y ＝x ＋1，点则k AB ·k OM ＝1×4＝4≠－2，所以C 不正确；对于D ，若直线方程为y ＝x ＋2，与椭圆方程x 22＋y 24＝1联立，可得2x 2＋(x ＋2)2－4＝0，整理，得3x 2＋4x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－43，所以|AB |＝1＋12|－43－0|＝423，所以D 正确．故选BD.三、填空题11．已知椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过原点的直线l 与E 交于A ，B 两点，且AF 1，BF 2都与x 轴垂直，则|AB |＝________．答案13解析由题意，得c 2＝a 2－b 2＝4－3＝1，因为直线l 过原点，且交椭圆E 于A ，B 两点，所以A 与B 关于原点对称，又AF 1，BF 2都与x 轴垂直，所以设A (－1，y 1)，B (1，－y 1)，则|AB |＝（－1－1）2＋[y 1－（－y 1）]2＝4＋4y 21.又点A 在椭圆E 上，所以14＋y 213＝1，得y 21＝94，则|AB |＝4＋4×94＝13.12．已知直线l ：y ＝k (x －1)与椭圆C ：x 24＋y 2＝1交于不同的两点A ，B ，AB 中点的横坐标为12，则k ＝________．答案±12解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，k （x －1），y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0，因为直线l 过椭圆内的定点(1，0)，所以Δ>0，x 1＋x 2＝8k 24k 2＋1，所以x 1＋x 22＝4k 24k 2＋1＝12，即k2＝14，所以k ＝±12.13．与椭圆x 22＋y 2＝1有相同的焦点且与直线l ：x －y ＋3＝0相切的椭圆的离心率为________．答案55解析因为所求椭圆与椭圆x 22＋y 2＝1有相同的焦点，所以可设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)，＋y 2a 2－1＝1，x ＋3，消去y ，得(2a 2－1)x 2＋6a 2x ＋10a 2－a 4＝0，因为直线l 与椭圆相切，所以Δ＝36a 4－4(2a 2－1)(10a 2－a 4)＝0，化简，得a 4－6a 2＋5＝0，解得a 2＝5或a 2＝1(舍去)，则a ＝ 5.又c ＝1，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝15＝55.14．已知点M 是椭圆x 29＋y 216＝1上任意一点，则点M 到直线x ＋y －7＝0的距离的最大值为________．答案62解析设与直线x ＋y －7＝0平行的直线x ＋y ＝m 与椭圆x 29＋y 216＝1相切，＋y 216＝1，y ＝m ，得25x 2－18mx ＋9m 2－144＝0，则Δ＝(18m )2－4×25×(9m 2－144)＝0，解得m ＝5或m ＝－5，由椭圆与x ＋y －7＝0的位置关系，取离直线x ＋y －7＝0远的切线x ＋y ＝－5，此时切点M 是椭圆x 29＋y 216＝1上到直线x ＋y －7＝0的距离最大的点，最大距离等于两条平行直线间的距离d ＝|5＋7|12＋12＝6 2.四、解答题15．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，焦距为6 3.(1)求椭圆E 的方程；(2)若点M (4，2)是直线l 被椭圆E 所截得的线段的中点，求直线l 的方程．解(1)由已知，得2c ＝63，e ＝c a ＝32，所以c ＝33，a ＝6，所以b 2＝a 2－c 2＝62－(33)2＝9，所以椭圆E 的方程为x 236＋y 29＝1.(2)设直线l 与椭圆E 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则x 2136＋y 219＝1且x 2236＋y 229＝1，两式相减并化简得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24（y 1＋y 2），又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12，即k l ＝－12，所以直线l 的方程为x ＋2y －8＝0.16．(2023·河北石家庄模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点P (2，1)，且离心率e ＝32.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，与椭圆C 交于A ，B 两点．若|AB |＝5，求直线l 的方程．解(1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a2＝34，∴a 2＝4b 2.又椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点P (2，1)，∴4a 2＋1b 2＝1，∴a 2＝8，b 2＝2.故椭圆C 的方程为x 28＋y 221.(2)设直线l 的方程为y ＝12x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，＝12x ＋m ，＋y 22＝1，整理，得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0，∴Δ＝4m 2－8m 2＋16＞0，解得|m |＜2.∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4.则|AB |＝1＋14×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝5（4－m 2）＝5，解得m ＝±3.故直线l 的方程为y ＝12x ±3.17．(多选)(2024·青岛质检)已知椭圆C ：x 24＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线y ＝kx (k ≠0)与C 交于A ，B 两点，AE ⊥x 轴，垂足为E ，直线BE 与C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是()A ．四边形AF 1BF 2为平行四边形B ．∠F 1PF 2＜90°C ．直线BE 的斜率为12kD ．S 四边形AF 1BF 2∈(0，4]答案ABC解析对于A ，根据椭圆的对称性可知，|OF 1|＝|OF 2|，|OA |＝|OB |，故四边形AF 1BF 2为平行四边形，故A 正确；对于B ，根据椭圆的性质，当P 在上、下顶点时，|OP |＝b ＝2＝c .此时∠F 1PF 2＝90°.由题意可知P 不可能在上、下顶点，故∠F 1PF 2＜90°，故B 正确；对于C ，如图，不妨设B 在第一象限，BD ⊥x 轴，垂足为D ，则直线BE 的斜率为|BD ||ED |＝|BD |2|OD |＝12k ，故C 正确；对于D ，S 四边形AF 1BF 2＝2S △BF 1F 2＝|F 1F 2|·|BD |＝22|BD |.又0＜|BD |＜2，故S 四边形AF 1BF 2∈(0，4)，故D 错误．故选ABC.18．(多选)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两焦点分别是F 1，F 2，其中|F 1F 2|＝2c .直线l ：y ＝k (x ＋c )(k ∈R )与椭圆C 交于A ，B 两点，则下列说法中正确的是()A ．△ABF 2的周长为4aB ．若O 为坐标原点，AB 的中点为M ，则k OM ·k ＝b 2a 2C ．若AF 1→·AF 2→＝3c 2，则椭圆的离心率的取值范围是55，12D ．若|AB |的最小值为3c ，则椭圆的离心率e ＝13答案AC解析由直线l ：y ＝k (x ＋c )过点(－c ，0)，知弦AB 过椭圆的左焦点F 1，所以△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ，所以A 正确；设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则k OM ＝y 1＋y 2x 1＋x 2，k ＝y 1－y 2x 1－x 2，所以k OM ·k ＝y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝y 21－y 22x 21－x 22，由＋y 21b 2＝1，①＋y 22b 2＝1，②及①－②，得x 21－x 22a 2＋y 21－y 22b 2＝0，所以y 21－y 22x 21－x 22＝－b 2a 2，则k OM ·k ＝y 21－y 22x 21－x 22＝－b 2a 2，所以B 错误；因为AF 1→＝(－c －x 1，－y 1)，AF 2→＝(c －x 1，－y 1)，所以AF 1→·AF 2→＝x 21－c 2＋y 21＝c 2a 2x 21＋a 2－2c 2∈[a 2－2c 2，a 2－c 2]，则a 2－2c 2≤3c 2≤a 2－c 2，可得e ＝ca∈55，12，所以C 正确；由过焦点的弦中通径最短，得|AB |的最小值为通径2b 2a ，则有2b 2a ＝3c ，即2a 2－3ac －2c 2＝0，解得a ＝2c ，所以e ＝c a ＝12，所以D 错误．故选AC.19．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P (1，0)的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若△ABO 的面积为35(O 为坐标原点)，求直线l 的方程．解(1)由题意，＝32，＝2，＝a 2－b 2，2＝4，2＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意，知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．my ＋1，y 2＝1，消去x 并整理，得(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0，Δ＝(2m )2－4(m 2＋4)×(－3)＝16m 2＋48>0，则y 1＋y 2＝－2m m 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4，故|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝4m 2＋3m 2＋4，因为△ABO 的面积为35，所以12|OP ||y 1－y 2|＝12×1×4m 2＋3m 2＋4＝2m 2＋3m 2＋4＝35，设t ＝m 2＋3≥3，则2t t 2＋1＝35，整理，得(3t －1)(t －3)＝0，解得t ＝3或t ＝13(舍去)，即m ＝±6.故直线l 的方程为x ＝±6y ＋1，即x ±6y －1＝0.20.(2023·福建三明期末)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，左、右顶点分别为A ，B ，P 是椭圆C 上异于A ，B 的任意一点，PA ，PB 的斜率之积为－34，且△PAB 面积的最大值为2 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线PF 交椭圆C 于另一点Q ，分别过P ，Q 作椭圆的切线，这两条切线交于点M ，证明：MF ⊥PQ .解(1)设点P (x 1，y 1)，由A (－a ，0)，B (a ，0)，得k P A ·k PB ＝y 1x 1＋a ·y 1x 1－a ＝y 21x 21－a 2.因为点P 在椭圆C 上，所以x 21a 2＋y 21b2＝1，即y 21＝b 2a 2(a 2－x 21)，则k P A ·k PB ＝y 21x 21－a 2＝－b 2a 2＝－34，所以b ＝32a .因为△PAB 面积的最大值为23，所以S ＝12·2a ·b ＝ab ＝32a 2＝23，所以a ＝2，b ＝3，即椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：下面证明椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)在H (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b2＝1.理由如下：当y 0≠0时，切线的斜率存在，设切线方程为y ＝kx ＋m ，代入椭圆方程，得(a 2k 2＋b 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0，由Δ＝(2a 2km )2－4(a 2k 2＋b 2)(a 2m 2－a 2b 2)＝0，化简得a 2k 2－m 2＋b 2＝0，所以x 0＝－2a 2km ±Δ2（a 2k 2＋b 2）＝－2a 2km ±02m 2＝－a 2k m .将x 0＝－a 2k m 代入y 0＝kx 0＋m ，得y 0＝b 2m ，于是k ＝－mx 0a 2＝－x 0a 2·b 2y 0＝－b 2x 0a 2y 0，则椭圆的切线斜率为－b 2x 0a 2y 0，切线方程为y －y 0＝－b 2x 0a 2y 0(x －x 0)，整理得a 2y 0y ＋b 2x 0x ＝a 2y 20＋b 2x 20，其中b 2x 20＋a 2y 20＝a 2b 2，故a 2y 0y ＋b 2x 0x ＝a 2b 2，即x 0x a 2＋y 0y b 2＝1.当y 0＝0时，x 0＝a 或－a ；当x 0＝a 时，切线方程为x ＝a ，满足x 0x a 2＋y 0y b 2＝1；当x 0＝－a 时，切线方程为x ＝－a ，满足x 0x a 2＋y 0y b 2＝1.综上，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)在H (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b2＝1.由题意知，直线PF 的斜率不为零，设直线PF ：x ＝ny －1，点Q (x 2，y 2)，由(1)及以上知，椭圆C 在点P (x 1，y 1)处的切线方程为x 1x 4＋y 1y 31，同理可得，椭圆C 在点Q (x 2，y 2)处的切线方程为x 2x 4＋y 2y 3＝1.＋y 1y 3＝1，＋y 2y 3＝1，得交点M 的横坐标x M ＝4（y 2－y 1）x 1y 2－x 2y 1＝4（y 2－y 1）（ny 1－1）y 2－（ny 2－1）y 1＝－4，故可设点M (－4，t )，＋ty 13＝1，＋ty 23＝1，所以直线PQ 的方程为－x ＋ty 3＝1，k PQ ＝3t，又k MF ＝t －4＋1＝－t 3，所以k PQ ·k MF＝3t·1，所以MF ⊥PQ ，即证．。

高考数学一轮复习考点知识专题讲解直线与椭圆考点要求1.理解直线与椭圆位置关系判断方法.2.掌握直线被椭圆所截的弦长公式.3.了解直线与椭圆相交的综合问题．知识梳理1．直线与椭圆的位置判断将直线方程与椭圆方程联立，消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，则直线与椭圆相交⇔Δ>0；直线与椭圆相切⇔Δ＝0；直线与椭圆相离⇔Δ<0. 2．弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] 或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]， k 为直线斜率且k ≠0. 常用结论已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．(1)通径的长度为2b 2a.(2)过左焦点的弦AB ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则焦点弦|AB |＝2a ＋e (x 1＋x 2)；过右焦点弦CD ，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则焦点弦|CD |＝2a －e (x 3＋x 4)．(e 为椭圆的离心率) (3)A 1，A 2为椭圆的长轴顶点，P 是椭圆上异于A 1，A 2的任一点，则kPA 1·kPA 2＝－b 2a 2.(4)AB 是椭圆的不平行于对称轴的弦，O 为原点，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝－b 2a 2.(5)过原点的直线交椭圆于A ，B 两点，P 是椭圆上异于A ，B 的任一点，则k PA ·k PB ＝－b 2a 2.(6)点P (x 0，y 0)在椭圆上，过点P 的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)椭圆通径是所有的焦点弦中最短的弦．(√) (2)直线y ＝x 与椭圆x 22＋y 2＝1一定相交．(√)(3)直线y ＝x －1被椭圆x 22＋y 2＝1截得的弦长为2.(×)(4)过椭圆上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的直线的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.(×) 教材改编题1．直线y ＝x ＋1与椭圆x 25＋y 24＝1的位置关系是()A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法判断 答案A解析方法一(通解)联立直线与椭圆的方程得⎩⎨⎧y ＝x ＋1，x 25＋y24＝1，消去y 得9x 2＋10x －15＝0，Δ＝100－4×9×(－15)>0，所以直线与椭圆相交． 方法二(优解)直线过点(0,1)，而0＋14<1，即点(0,1)在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交．2．已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，则弦AB 的长为()A.45B.65C.85D.135 答案C解析由题意得，a 2＝4，b 2＝1，所以c 2＝3， 所以右焦点坐标为(3，0)， 则直线l 的方程为y ＝x －3， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y ＝x －3，x24＋y 2＝1，消y 得，5x 2－83x ＋8＝0，则x 1＋x 2＝835，x 1·x 2＝85， 所以|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫8352－4×85＝85.即弦AB 的长为85.3．已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1,0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为________． 答案y 24＋x 2＝1解析因为椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1的右顶点为A (1,0)，所以b ＝1，因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1， 所以2b 2a＝1，a ＝2，所以椭圆方程为y 24＋x 2＝1.题型一 直线与椭圆的位置关系例1已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点．解将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎨⎧y ＝2x ＋m ，x 24＋y22＝1，消去y 并整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.①当Δ>0，即－32<m <32时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．②当Δ＝0，即m ＝±32时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点． 教师备选直线y ＝kx －2k ＋1与椭圆x 24＋y 23＝1的位置关系是()A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法判断 答案A解析直线y ＝kx －2k ＋1＝k (x －2)＋1恒过定点(2，1)，又点(2，1)在椭圆内，故直线与椭圆相交．思维升华 判断直线与椭圆位置关系的方法(1)判断直线与椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点． 跟踪训练1已知动点M 到两定点F 1(－m ,0)，F 2(m ,0)的距离之和为4(0<m <2)，且动点M 的轨迹曲线C 过点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12.(1)求m 的值；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与曲线C 有两个不同的交点A ，B ，求k 的取值范围． 解(1)由0<m <2，得2m <4，可知曲线C 是以两定点F 1(－m ,0)，F 2(m ,0)为焦点，长半轴长为2的椭圆，所以a ＝2，设曲线C 的方程为x 24＋y 2b 2＝1，把点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12代入，得34＋14b2＝1， 解得b 2＝1，由c 2＝a 2－b 2， 解得c 2＝3， 所以m ＝ 3.(2)由(1)知曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1，联立方程得⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋2，消去y 得⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0，则有Δ＝4k 2－1>0，得k 2>14.所以k >12或k <－12，所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.题型二 弦长及中点弦问题 命题点1弦长问题例2(2022·百校联盟开学考)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点P (2,1)，且离心率e ＝32. (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若|AB |＝5，求直线l 的方程．解(1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.又椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2,1)，∴4a 2＋1b2＝1，∴a 2＝8，b 2＝2.故所求椭圆方程为x 28＋y 22＝1.(2)设l 的方程为y ＝12x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y 22＝1，整理，得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0. ∴Δ＝4m 2－8m 2＋16>0，解得|m |<2. ∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4. 则|AB |＝1＋14×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5(4－m 2)＝5， 解得m ＝± 3.所求直线l 的方程为y ＝12x ± 3.命题点2中点弦问题例3已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为__________． 答案x ＋2y －3＝0解析方法一易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为y －1＝k (x －1)，弦所在的直线与椭圆相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y －1＝k (x －1)，x 24＋y22＝1，消去y 得，(2k 2＋1)x 2－4k (k －1)x ＋2(k 2－2k －1)＝0， ∴x 1＋x 2＝4k (k －1)2k 2＋1，又∵x 1＋x 2＝2， ∴4k (k －1)2k 2＋1＝2，解得k ＝－12.经检验，k ＝－12满足题意．故此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.方法二易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k ，弦所在的直线与椭圆相交于A ，B 两点， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 214＋y 212＝1，① x 224＋y 222＝1，② ①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，又x 2－x 1≠0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. 经检验，k ＝－12满足题意．∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.教师备选已知直线l 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点P (1,1)．(1)求直线l 的方程；(2)求△OAB 的面积．解(1)由斜率公式可知k OP ＝1， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 代入椭圆方程得，⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1⇒x 21－x 224＋y 21－y 223＝0，化简得－34×x 1＋x 2y 1＋y 2＝y 1－y 2x 1－x 2＝k AB ，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴k AB ＝－34，∴直线方程为y －1＝－34(x －1)，∴直线l 的方程为3x ＋4y －7＝0.(2)将直线方程与椭圆方程联立，可得21x 2－42x ＋1＝0，Δ＝422－4×21>0， ∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝121.由弦长公式得到 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋916×4－421＝54×410521＝510521，再由点到直线的距离公式得到坐标原点到直线AB 的距离d ＝|－7|9＋16＝75， ∴△OAB 的面积S ＝12×510521×75＝1056.思维升华 解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路跟踪训练2(1)(2022·济宁模拟)已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，过点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，12的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若P 为AB 的中点，则直线AB 的方程为() A ．3x －2y －2＝0 B ．3x ＋2y －4＝0C ．3x ＋4y －5＝0D ．3x －4y －1＝0 答案B解析设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由中点坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x22＝1，y 1＋y 22＝12，所以⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 213＝1，①x 224＋y 223＝1，②①－②得x 21－x 224＋y 21－y 223＝0，即y 21－y 22x 21－x 22＝－34， 即y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝12k AB ＝－34， 所以k AB ＝－32，因此直线AB 的方程为y －12＝－32(x －1)，即3x ＋2y －4＝0.(2)已知椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过原点的直线l 与E 交于A ，B两点，且AF 1，BF 2都与x 轴垂直，则|AB |＝________. 答案13解析由题意得c 2＝a 2－b 2＝4－3＝1，因为直线l 过原点，且交椭圆E 于A ，B 两点，所以A 与B 关于原点对称，又AF 1，BF 2都与x 轴垂直， 所以设A (－1，y 1)，B (1，－y 1)，则|AB |＝(－1－1)2＋[y 1－(－y 1)]2＝4＋4y 21. 又点A 在椭圆E 上， 所以14＋y 213＝1，得y 21＝94，则|AB |＝4＋4×94＝13.题型三 直线与椭圆的综合问题例4已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P (1,0)的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若△ABO 的面积为35(O 为坐标原点)，求直线l 的方程．解(1)由题意可得⎩⎨⎧c a ＝32，2b ＝2，c 2＝a 2－b 2，解得a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知直线的斜率不为0，则设直线的方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧x ＝my ＋1，x24＋y 2＝1，整理得(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0，Δ＝(2m )2－4(m 2＋4)×(－3)＝16m 2＋48>0， 则y 1＋y 2＝－2mm 2＋4， y 1y 2＝－3m 2＋4，故|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m m 2＋42＋12m 2＋4＝4m 2＋3m 2＋4，因为△ABO 的面积为35，所以12|OP ||y 1－y 2|＝12×1×4m 2＋3m 2＋4＝2m 2＋3m 2＋4＝35，设t ＝m 2＋3≥3， 则2t t 2＋1＝35， 整理得(3t －1)(t －3)＝0，解得t ＝3或t ＝13(舍去)，即m ＝± 6.故直线的方程为x ＝±6y ＋1，即x ±6y －1＝0. 教师备选(2020·天津)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (0，－3)，右焦点为F ，且|OA |＝|OF |，其中O 为原点． (1)求椭圆的方程；(2)已知点C 满足3OC →＝OF →，点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程． 解(1)由已知可得b ＝3，记半焦距为c ，由|OF |＝|OA |可得c ＝b ＝3， 又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝18， 所以椭圆的方程为x 218＋y 29＝1.(2)因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ， 所以AB ⊥CP .依题意，直线AB 和直线CP 的斜率均存在． 设直线AB 的方程为y ＝kx －3.联立方程组⎩⎨⎧y ＝kx －3，x 218＋y29＝1，消去y 可得(2k 2＋1)x 2－12kx ＝0， 解得x ＝0或x ＝12k2k 2＋1. 依题意，可得点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12k2k 2＋1，6k 2－32k 2＋1. 因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0，－3)， 所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 2k 2＋1，－32k 2＋1. 由3OC →＝OF →，得点C 的坐标为(1,0)， 故直线CP 的斜率为－32k 2＋1－06k 2k 2＋1－1＝32k 2－6k ＋1.又因为AB ⊥CP ，所以k ·32k 2－6k ＋1＝－1，整理得2k 2－3k ＋1＝0，解得k ＝12或k ＝1.所以直线AB 的方程为y ＝12x －3或y ＝x －3，即x －2y －6＝0或x －y －3＝0.思维升华 (1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y (或x )得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解．(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 跟踪训练3已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，短轴的两个端点分别为B 1，B 2.(1)若△F 1B 1B 2为等边三角形，求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的短轴长为2，过点F 2的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且F 1P —→⊥F 1Q —→，求直线l 的方程．解(1)由题意知，△F 1B 1B 2为等边三角形， 所以c ＝3b ，又c ＝1， 所以b ＝33， 又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝43，故椭圆C 的方程为3x 24＋3y 2＝1.(2)易知椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1，当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝1，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎨⎧y ＝k (x －1)，x22＋y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2(k 2－1)2k 2＋1，F 1P —→＝(x 1＋1，y 1)，F 1Q —→＝(x 2＋1，y 2)，因为F 1P —→⊥F 1Q —→， 所以F 1P —→·F 1Q —→＝0， 即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋k 2(x 1－1)(x 2－1) ＝(k 2＋1)x 1x 2－(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1 ＝7k 2－12k 2＋1＝0， 解得k 2＝17，即k ＝±77，故直线l 的方程为x ＋7y －1＝0或x －7y －1＝0.课时精练1．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是()A ．(1，＋∞)B ．(1,3)∪(3，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(0,3)∪(3，＋∞) 答案B解析由⎩⎨⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y23＝1，得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0. 由Δ>0且m ≠3及m >0， 得m >1且m ≠3.2．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，过M 的右焦点F (3,0)作直线交椭圆于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为(2,1)，则椭圆M 的方程为() A.x 29＋y 26＝1 B.x 24＋y 2＝1 C.x 212＋y 23＝1 D.x 218＋y 29＝1答案D解析直线AB 的斜率k ＝1－02－3＝－1， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程可得x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1，两式相减，整理得2a 2－1b2＝0，又c ＝3，a 2＝b 2＋c 2. 联立解得a 2＝18，b 2＝9. 所以椭圆M 的方程为x 218＋y 29＝1. 3．已知椭圆x 22＋y 2＝1与直线y ＝x ＋m 交于A ，B 两点，且|AB |＝423，则实数m 的值为()A ．±1B ．±12 C. 2 D ．± 2答案A解析由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，消去y 并整理，得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0.Δ＝16m 2－12(2m 2－2) ＝－8m 2＋24>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝2m 2－23.由题意，得|AB |＝2(x 1＋x 2)2－8x 1x 2＝423，解得m ＝±1，经检验满足题意．4．已知直线y ＝kx ＋1，当k 变化时，此直线被椭圆x 24＋y 2＝1截得的最大弦长是()A ．2 B.433C ．4D ．不能确定 答案B解析直线恒过定点(0,1)，且点(0,1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x ，y )，则弦长为x 2＋(y －1)2＝4－4y 2＋y 2－2y ＋1 ＝－3y 2－2y ＋5＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＋163， 所以当y ＝－13时，弦长最大为433.5．已知F 1，F 2分别为椭圆x 22＋y 2＝1的左、右焦点，过F 1作倾斜角为π4的弦AB ，则△F 2AB的面积为() A.233 B.43 C.433 D.423－1 答案B解析由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝2－1＝1，F 1(－1,0)，F 2(1,0)， 直线AB 的方程为y ＝x ＋1， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝x ＋1，得3y 2－2y －1＝0，y 1＝－13，y 2＝1，所以2F AB S △＝12|F 1F 2||y 1－y 2|＝12×2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝43. 6．设椭圆的方程为x 22＋y 24＝1，斜率为k 的直线不经过原点O ，而且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点．下列结论正确的是()A ．直线AB 与OM 垂直B ．若点M 坐标为(1,1)，则直线方程为2x ＋y －3＝0C ．若直线方程为y ＝x ＋1，则点M 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43 D ．若直线方程为y ＝x ＋2，则|AB |＝ 3答案B解析对于A 项，根据椭圆的中点弦的性质k AB ·k OM ＝－42＝－2≠－1，所以A 项不正确； 对于B 项，根据k AB ·k OM ＝－2，所以k AB ＝－2，所以直线方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0，所以B 项正确；对于C 项，若直线方程为y ＝x ＋1，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43， 则k AB ·k OM ＝1×4＝4≠－2，所以C 项不正确；对于D 项，若直线方程为y ＝x ＋2，与椭圆方程x 22＋y 24＝1联立， 得到2x 2＋(x ＋2)2－4＝0，整理得3x 2＋4x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－43， 所以|AB |＝1＋12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－43－0＝423， 所以D 项不正确．7．直线y ＝x ＋1被椭圆x 2＋2y 2＝4所截得的弦的中点坐标是________．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13 解析将直线y ＝x ＋1代入椭圆x 2＋2y 2＝4中，得x 2＋2(x ＋1)2＝4，∴3x 2＋4x －2＝0，∴弦的中点横坐标是x ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－23， 代入直线y ＝x ＋1中，得y ＝13， ∴弦的中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13. 8．与椭圆x 22＋y 2＝1有相同的焦点且与直线l ：x －y ＋3＝0相切的椭圆的离心率为________．答案55 解析因为所求椭圆与椭圆x 22＋y 2＝1有相同的焦点，所以可设所求椭圆的方程为 x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)， 联立方程组⎩⎨⎧ x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，y ＝x ＋3⇒(2a 2－1)x 2＋6a 2x ＋10a 2－a 4＝0，因为直线l 与椭圆相切，所以Δ＝36a 4－4(2a 2－1)(10a 2－a 4)＝0，化简得a 4－6a 2＋5＝0，即a 2＝5或a 2＝1(舍)．则a ＝ 5.又c ＝1，所以e ＝c a ＝15＝55. 9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，椭圆上长轴顶点和短轴顶点的距离为 5. (1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆的左焦点且斜率为2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，求|AB |.解(1)由题意知，e ＝c a ＝33， 即a ＝3c ，短轴一个顶点到长轴一个顶点的距离为5，即b 2＋a 2＝(5)2＝5，而a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝3，b 2＝2，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. (2)由(1)知，左焦点为(－1,0)，直线l 的方程为 y ＝2(x ＋1)，设A (x ，y )，B (x ′，y ′)，联立直线l 与椭圆的方程，消去y 整理得7x 2＋12x ＋3＝0，所以x ＋x ′＝－127，xx ′＝37， 所以|AB |＝1＋k 2(x ＋x ′)2－4xx ′＝1＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1272－4×37＝1037. 10．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，椭圆M 的离心率为12，且过点⎝⎛⎭⎪⎫1，32. (1)求椭圆M 的方程；(2)若过点N (1,1)的直线与该椭圆M 交于P ，Q 两点，且线段PQ 的中点恰为点N ，求直线PQ 的方程．解(1)∵e ＝c a＝1－b 2a 2＝12， 则3a 2＝4b 2， 将⎝⎛⎭⎪⎫1，32代入椭圆方程得 1a 2＋94b 2＝1， 解得a ＝2，b ＝3，∴椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，∵线段PQ 的中点恰为点N ，∴x P ＋x Q ＝2，y P ＋y Q ＝2.∵x 2P 4＋y 2P 3＝1，x 2Q 4＋y 2Q 3＝1，两式相减可得 14(x P ＋x Q )(x P －x Q )＋13(y P ＋y Q )(y P －y Q ) ＝0， ∴y P －y Q x P －x Q ＝－34， 即直线PQ 的斜率为－34， ∴直线PQ 的方程为y －1＝－34(x －1)， 即3x ＋4y －7＝0.11．(2022·临汾模拟)过椭圆内定点M 且长度为整数的弦，称作该椭圆过点M 的“好弦”．在椭圆x 264＋y 216＝1中，过点M (43，0)的所有“好弦”的长度之和为() A ．120 B ．130 C ．240 D ．260 答案C解析由已知可得a ＝8，b ＝4，所以c ＝43，故M 为椭圆的右焦点，由椭圆的性质可得当过焦点的弦垂直x 轴时弦长最短，所以当x ＝43时，最短的弦长为2b 2a ＝2×168＝4， 当弦与x 轴重合时，弦长最长为2a ＝16，则弦长的取值范围为[4,16]，故弦长为整数的弦有4到16的所有整数，则“好弦”的长度和为4＋16＋(5＋6＋7＋…＋15)×2＝240.12．(2022·江南十校模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与椭圆交于M ，N 两点，若△MNF 2的周长为8，则△MF 1F 2面积的最大值为() A.32B. 3 C ．2 3 D ．3 答案B解析由椭圆的定义可得△MNF 2的周长为|MN |＋|MF 2|＋|NF 2|＝|MF 1|＋|NF 1|＋|MF 2|＋|NF 2|＝4a ＝8，∴a ＝2，则c ＝3，则△MF 1F 2面积的最大值为12·2c ·b ＝bc ＝ 3. 13．(2022·兰州质检)已知P (2，－2)是离心率为12的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)外一点，经过点P 的光线被y 轴反射后，所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，则此条切线的斜率是()A ．－18B ．－12C ．1 D.18答案D解析由题意可知e ＝c a ＝12， 又a 2＝b 2＋c 2，故b 2＝34a 2，设过点P 的直线斜率为k ，则直线方程为y ＋2＝k (x －2)，即y ＝kx －2k －2，则反射后的切线方程为y ＝－kx －2k －2，由⎩⎨⎧ y ＝－kx －2k －2，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16k (k ＋1)x ＋16k 2＋32k ＋16－3a 2＝0，∵所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，∴Δ＝[16k (k ＋1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2＋32k ＋16－3a 2)＝0，化简得4a 2k 2＋3a 2＝16k 2＋32k ＋16，即⎩⎨⎧4a 2＝16，3a 2＝32k ＋16， 解得⎩⎨⎧a 2＝4，k ＝－18. ∴此切线的斜率为18. 14．已知F 为椭圆C ：x 26＋y 22＝1的右焦点，过F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，M 为AB 的中点，则M 到x 轴的最大距离为________． 答案33 解析因为a 2＝6，b 2＝2，所以椭圆的右焦点坐标为(2,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：x＝ty＋2(t≠0)(显然当直线斜率为0和不存在时，不可能最大)，与椭圆方程联立，消去x得，(t2＋3)y2＋4ty－2＝0，Δ＝16t2＋8(t2＋3)>0恒成立，所以y1＋y2＝－4tt2＋3，即弦AB的中点M的纵坐标为y1＋y2 2＝－2tt2＋3，所以M到x轴的距离为2|t|t2＋3.当t≠0时，2|t|t2＋3＝2|t|＋3|t|≤223＝33，当且仅当t2＝3时等号成立，故M到x轴的最大距离为3 3.15．已知从圆C：x2＋y2＝r2(r>0)上一点Q(0，r)作两条互相垂直的直线与椭圆τ：x212＋y24＝1相切，同时圆C与直线l：mx＋y－3m－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为()A．2 3 B．4 C．4 3 D．8答案C解析由题意可设过Q(0，r)与椭圆τ相切的直线方程为y＝kx＋r，联立⎩⎨⎧ x 212＋y 24＝1，y ＝kx ＋r ，消元可得(1＋3k 2)x 2＋6krx ＋3r 2－12＝0，所以Δ＝36k 2r 2－4(1＋3k 2)(3r 2－12)＝0，即12k 2－r 2＋4＝0，所以两直线的斜率之积k 1k 2＝－r 2＋412＝－1， 所以r 2＝16，所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝16，直线l ：mx ＋y －3m －1＝0过定点P (3，1)，且点P 在圆C 内部，当|AB |最小时，CP ⊥AB ，此时圆心到直线l 的距离d ＝|CP |＝2，|AB |＝242－22＝4 3.16．已知直线l 经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点(1,0)，交椭圆C 于点A ，B ，点F 为椭圆C 的左焦点，△ABF 的周长为8.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线m 与直线l 的倾斜角互补，且交椭圆C 于点M ，N ，|MN |2＝4|AB |，求证：直线m 与直线l 的交点P 在定直线上．(1)解由已知得⎩⎨⎧ c ＝1，4a ＝8，∴⎩⎨⎧ c ＝1，a ＝2，∴b 2＝3，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明若直线l 的斜率不存在，则直线m 的斜率也不存在，这与直线m 与直线l 相交于点P 矛盾，∴直线l 的斜率存在．设l ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，m ：y ＝－k (x ＋t )，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )．将直线m 的方程代入椭圆方程得，(3＋4k 2)x 2＋8k 2tx ＋4(k 2t 2－3)＝0，∴x M ＋x N ＝－8k 2t 3＋4k 2， x M x N ＝4(k 2t 2－3)3＋4k 2， ∴|MN |2＝(1＋k 2)·16(12k 2－3k 2t 2＋9)(3＋4k 2)2. 同理，|AB |＝1＋k 2·49k 2＋93＋4k 2 ＝12(1＋k 2)3＋4k 2. 由|MN |2＝4|AB |得t ＝0，此时，Δ＝64k 4t 2－16(3＋4k 2)(k 2t 2－3)>0，∴直线m ：y ＝－kx ，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12k ， 即点P 在定直线x ＝12上．。

所在直线的斜率不存在，由题意知｜ AB ｜＋｜ CD ｜＝7，
不满足条件.
②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线 AB 的方程为
y ＝ k （ x －1）， A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ），
1

则直线 CD 的方程为 y ＝－ （ x －1）.
将直线 AB 的方程代入椭圆方程中并整理得（3＋4 k 2 ） x 2 －8 k 2 x
D. 5 2 − 26
目录
高中总复习·数学（提升版）
解析： 设直线 y ＝ x ＋ m 与椭圆相切，由
2
2
＋
9
4
= 1，
＝＋
得13 x 2＋
18 mx ＋9 m 2－36＝0，∴Δ＝（18 m ）2－4×13（9 m 2－36）＝0，解
得 m ＝± 13 ，切线方程为 y ＝ x ＋ 13 和 y ＝ x － 13 ，与 l 距离较
M （ x 0， y 0），则：①弦长 l ＝ 1 + 2 ｜ x 1－ x 2｜＝
1+
1
2 0
｜ y 1－ y 2｜；②直线 AB 的斜率 kAB ＝－ 2 .
2

0
2. 注意两种特殊情况：（1）直线与椭圆的对称轴平行或垂直；（2）
直线过椭圆的焦点.
目录
高中总复习·数学（提升版）
2
远的是 y ＝ x － 13 ，∴所求最大距离为 d ＝
|− 13−5｜
2
5 2＋ 26
＝
.故
2
选A.
目录
高中总复习·数学（提升版）
练后悟通
研究直线与椭圆位置关系的方法
（1）研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆

直线与椭圆的位置关系（1）高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★★☆已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点31,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，直线:l y kx m =+与椭圆C 交于A ，P 两点，与x 轴、y 轴分别相交于点N 和点M ，且||||PM MN =，点Q 是点P 关于x 轴的对称点，QM 的延长线交椭圆于点B ，过点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为1A 、1B .（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在直线l ，使得点N 平分线段1A ，1B ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【参考答案】（1）22143x y +=；（2）见解析. 【试题解析】（1）由题意知3b c =，即3b c =，22224,3a c b c ==，即2222143x y c c+=, ∵31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上， ∴22914143c c +=，解得2221,4,3c a b ===， 所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）存在.设()()1122,,,A x y B x y ，()0,,,0m M m N k ⎛⎫-⎪⎝⎭， ∵||||PM MN =， ∴,2,,2m m P m Q m k k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴()230QM m m k k m k--==--. 由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2223484120k x kmx m +++-=， ∴12834m km x k k +=-+，21241234m m x k k-⋅=+， 由223143y kx m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222336244120k x kmx m +-+-=， ∴222248=336112m km km x k k k+=++， ∴12228811234m m km km x x k k k k +++=-++， ∴122288211234km km m x x k k k+=--++. 若N 平分线段11A B ，则22288211234m km km m k k k k -=--++，即228811234km km k k =++， ∴2211234k k +=+， ∴12k =±， ∴()2,2P m m ±， ∴2244143m m +=，解得2321,77m m ==±， 所以直线l 的方程为121+27y x =，12127y x =-或12127y x =-+，12127y x =--. 【解题必备】（1）判断直线与椭圆的位置关系时，一般把二者方程联立得到方程组，判断方程组解的个数，方程组有几个解，直线与椭圆就有几个公共点，方程组的解对应公共点的坐标.由直线与椭圆的公共点个数求参数取值范围时，联立二者方程消元化为一元方程，对于二次方程依据判别式与0的大小关系求解．（2）求直线与椭圆的相交弦长时，可以先求出两个公共点的坐标，代入两点间距离公式，也可以联立方程消元为二次方程，利用根与系数关系得到212||1||AB k x x =+-.（3）对于直线与椭圆位置关系的题目，注意设而不求和整体代入方法的运用．解题步骤为：①设直线与椭圆的交点为1122(,),(,)A x y B x y ；②联立直线与椭圆的方程，消元得到关于x 或y 的一元二次方程；③利用根与系数的关系设而不求；④利用题干中的条件转化为12x x +，12x x ⋅或12y y +，12y y ⋅，进而求解.1．已知椭圆22:186x y C +=的左、右顶点分别为,A B ，点P 为椭圆C 上不同于,A B 两点的动点，若直线PA 斜率的取值范围是[1]2，，则直线PB 斜率的取值范围是 A ．[]21﹣，﹣ B ．33,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，- D ．33,48⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,1)A --，若点A 与椭圆左焦点构成的直线的斜率为1k 与右焦点构成的直线的斜率为2k ，且1212k k ⋅=-. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点A 的直线l 与椭圆C 的另一个交点为Q ，与y 轴的交点为R ，O 为椭圆C 的中心，点P 在椭圆上，且//OP l ，若2||||3||AQ AR OP ⋅=，求直线l 的方程.1．【答案】D 【解析】由题意得()()22,0,22,0A B -，设()00,P x y ，则2200186x y +=，其中022x ≠±，所以2020002200006183==8842222PA PB x y y y k k x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅=---+-， 又因为直线PA 斜率的取值范围是[1]2，，所以直线PB 斜率的取值范围是33,48⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．故选D.【名师点睛】本题考查椭圆中直线斜率的取值范围，解题的关键是设()00,P x y ，表示出2020618=8PA PB x k k x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅-，属于一般题． 2．【答案】（1）22182x y +=；（2）10x y -+=或250x y ++=. 【解析】（1）121,2k k ⋅=- 111222c c --∴⋅=--+--，得2226c a b ==-①， 又因为椭圆C 过点()2,1A --， 所以22411a b+=②. 由①、②得228,2a b ==，所以椭圆C 的方程为22182x y +=. （2）设直线l 的方程为()12y k x +=+，由()2212182y k x x y ⎧+=+⎪⎨+=⎪⎩得：()()()()22412840x k x k ⎡⎤+++-+=⎣⎦， 因为2x ≠-，所以284241Q k x k ++=+， 由题意知直线OP 的方程为y kx =， 由22182y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()22148k x +=，所以22814P x k =+， 又因为2||||3||AQ AR OP ⋅=，所以()()22023Q p x x --⨯--=，即22848234114k k k+⨯=⨯++， 所以1k =或2k =-，所以当1k =时，直线l 的方程为：10x y -+=；当2k =-时，直线l 的方程为：250x y ++=.【名师点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆相交交点坐标的求法，考查方程的思想，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.求解时，（1）利用1212k k ⋅=-，结合椭圆过A 点列方程组，解方程组求得22,a b 的值，进而求得椭圆方程.（2）设出直线l 的方程，联立直线l 的方程和椭圆方程，求得Q 点的横坐标；联立直线OP 的方程和椭圆方程，求得2P x ，根据2||||3||AQ AR OP ⋅=列方程，解方程求得k 的值，进而求得直线l 的方程.。

直线与椭圆的位置关系1. 求解直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，转化为利用判别式判断一元二次方程是否有解，应特别注意数形结合思想的应用.2. 注意根与系数的关系的应用. （1）弦长公式：斜率为k 的直线被圆锥曲线截得弦AB ，若A 、B 两点的坐标分别是()11,A x y ，()22,B x y 则221212()()AB x x y y =-+-2121k x x =+-221212(1)[()4]k x x x x =++-21k a∆=+.3. 有关中点弦问题.（1）已知直线与圆锥曲线方程，求弦的中点及与中点有关的问题，常用根与系数的关系. （2）有关弦的中点轨迹，中点弦所在直线方程，中点坐标问题，有时采用“点差法”可简化运算.4. 圆锥曲线中的有关最值问题，常用代数法和几何法解决.（1）若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决.（2）若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数、三角函数、均值不等式等）求最值.二、题型梳理1．直线与椭圆位置关系的判断将直线的方程和椭圆的方程联立，通过讨论此方程组的实数解的组数来确定，即用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判断式Δ的符号来确定：当Δ>0时，直线和椭圆相交；当Δ＝0时，直线和椭圆相切；当Δ<0时，直线和椭圆相离．2．直线和椭圆相交的弦长公式 |AB |＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2] 或|AB |＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[y 1＋y 22－4y 1y 2]. 3．直线与椭圆相交时的常见处理方法当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”，设而不求计算弦长；涉及到求平行弦中点的轨迹、求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．考点1点差法与中点弦例1 （1）椭圆221164x y+=的弦被点()2,1P所平分，求此弦所在直线的方程.（2）已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)过点P(－1，－1)，c为椭圆的半焦距，且c＝2b.过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l1的斜率为－1，求△PMN的面积；(3)若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程.考点2直线与圆锥曲线的位置关系例2 在平面直角坐标系xOy中，经过点(0且斜率为k的直线l与椭圆221 2xy+=有两个不同的交点P和Q．求k的取值范围.规律方法（1）解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法：一是判别式法；二是几何法；（2）直线与圆锥曲线有唯一交点，不等价于直线与圆锥曲线相切，还有一种情况是平行于对称轴（抛物线）或平行于渐近线（双曲线）；（3）联立方程组、消元后得到一元二次方程，不但要对∆进行讨论，还要对二次项系数是否为0进行讨论.考点3 与弦长有关的问题例3 已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点F 作倾斜角为π6的直线l 交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长.考点4 例4 过点)0 ,3(-P 面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值.例5 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x (a>b>0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC=2AB ，求直线AB 的方程.yxOABP考点5 椭圆中的定点、定值问题例6 椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，过其右焦点F 与长轴垂直的弦长为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，点P 是直线x ＝1上的动点，直线P A 与椭圆的另一交点为M ，直线PB 与椭圆的另一交点为N .求证：直线MN 经过一定点.例7 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B ，C 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上不同的三点，A ⎝⎛⎭⎫32，322，B (－3，－3)，C 在第三象限，线段BC 的中点在直线OA 上.(1)求椭圆的标准方程； (2)求点C 的坐标；(3)设动点P 在椭圆上(异于点A ，B ，C )，且直线PB ，PC 分别交直线OA 于M ，N 两点，证明：OM →·ON →为定值，并求出该定值.探究提高 (1)求定值问题常见的方法有两种：△从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.△直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.(2)如果要解决的问题是一个定点问题，而题设条件又没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，明确解决问题的目标，然后进行推理探究，这种先根据特殊情况确定定点，再进行一般性证明的方法就是由特殊到一般的方法.考点6 圆锥曲线中的最值、范围问题例8 已知圆为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足的轨迹为曲线E.（I ）求曲线E 的方程；（II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足，求的取值范围.M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++N AM NP AP AM 点,0,2=⋅=λ=λ1.已知直线y =－x +1与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线l ：x －2y =0上，求此椭圆的离心率.2.已知椭圆C 的方程x y 22431+=，试确定m 的取值范围，使得对于直线4y x m =+，椭圆C 上有不同两点关于该直线对称.3.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点为F ，离心率22=e ，椭圆C 上的点到F的距离的最大值为12+，直线l 过点F 与椭圆C 交于不同的两点,.A B （1） 求椭圆C 的方程； （2） 若223||=AB ，求直线l 的方程.4.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，直线:l y kx m =+交椭圆于不同的两点A ，B .（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若坐标原点O 到直线l 的距离为2，求AOB ∆面积的最大值.5.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点P (－1，－1)，c 为椭圆的半焦距，且c ＝2b .过点P作两条互相垂直的直线l 1，l 2与椭圆C 分别交于另两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 1的斜率为－1，求△PMN 的面积； (3)若线段MN 的中点在x 轴上，求直线MN 的方程.6.已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（△）求椭圆C 的标准方程；（△）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．7.已知，椭圆C 以过点A （1，），两个焦点为（－1，0）（1，0）. (1) 求椭圆C 的方程；(2) E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值.32本次课课后练习1.椭圆221369x y +=的一条弦被()4,2A 平分，那么这条弦所在的直线方程是 .2.已知椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程．3.已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB ＝2OA ，求直线AB 的方程．4.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (1，0)，离心率为22.分别过O ，F 的两条弦AB ，CD 相交于点E (异于A ，C 两点)，且OE ＝EF . (1)求椭圆的方程；(2)求证：直线AC ，BD 的斜率之和为定值.5.已知,A B 是椭圆C :()222210x y a b a b+=>>的左，右顶点，B (2，0)，过椭圆C 的右焦点F 的直线交于其于点M ， N ， 交直线4x =于点P ，且直线PA ，PF ，PB 的斜率成等差数列． （△）求椭圆C 的方程；（△）若记,AMB ANB ∆∆的面积分别为12,S S 求12S S 的取值范围．x6.已知椭圆的中点为坐标原点O，椭圆短轴长为2，动点M(2，t)(t＞0)在椭圆的准线上．(1)求椭圆的标准方程．(2)求以OM为直径且被直线3x－4y－5＝0截得的弦长为2的圆的方程；(3)设点F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线FH，且与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．。

[基础题组练]1．若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( )A ．至多为1B ．2C ．1D ．0解析：选B.由题意知，4m 2＋n2>2，即m 2＋n 2<2， 所以点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故所求交点个数是2.2．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.43B.53C.54D.103解析：选B.由题意知椭圆的右焦点F 的坐标为(1，0)，则直线AB 的方程为y ＝2x －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得交点A (0，－2)，B ⎝⎛⎭⎫53，43，所以S △OAB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝12×1×⎪⎪⎪⎪－2－43＝53，故选B. 3．已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 23＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 解析：选C.设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则c ＝1.因为过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 两点，且|AB |＝3，所以b 2a ＝32，b 2＝a 2－c 2，所以a 2＝4，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.4．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2B.455C.4105D.8105解析：选C.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0. 则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4（t 2－1）5.所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝2·⎝⎛⎭⎫－85t 2－4×4（t 2－1）5＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 5．中心为(0，0)，一个焦点为F (0，52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆的方程是( )A.2x 275＋2y 225＝1 B.x 275＋y 225＝1 C.x 225＋y 275＝1 D.2x 225＋2y 275＝1 解析：选C.c ＝52，设椭圆方程为x 2a 2－50＋y 2a2＝1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，y ＝3x －2，消去y ，整理得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝12（a 2－50）10a 2－450＝1，解得a 2＝75，所以椭圆方程为x 225＋y 275＝1.6．已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________．解析：由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1，0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)． 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2（x －1），x 25＋y 24＝1，消去y ，整理得3x 2－5x ＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得 x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0.则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2 ＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝（1＋22）⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫532－4×0＝553.答案：5537．直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为________．解析：由点差法可求出k 1＝－12·x 中y 中，所以k 1·y 中x 中＝－12，即k 1k 2＝－12.答案：－128．(2019·广东广州模拟)已知中心在坐标原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，点F 关于直线y ＝12x 的对称点在椭圆C 上，则椭圆C 的方程为________________．解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意可知c ＝1，即a 2－b 2＝1①，设点F (1，0)关于直线y ＝12x 的对称点为(m ，n )，可得n －0m －1＝－2②.又因为点F 与其对称点的中点坐标为⎝⎛⎭⎫m ＋12，n 2，且中点在直线y ＝12x 上，所以有n 2＝12×m ＋12③，联立②③，解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝45，即对称点为⎝⎛⎭⎫35，45，代入椭圆方程可得925a 2＋1625b 2＝1④，联立①④，解得a 2＝95，b 2＝45，所以椭圆方程为5x 29＋5y 24＝1.答案：5x 29＋5y 24＝19．(2019·安徽五校联盟第二次质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点坐标分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，P 为椭圆C 上一点，满足3|PF 1|＝5|PF 2|且cos ∠F 1PF 2＝35.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于A ，B 两点， 点Q ⎝⎛⎭⎫14，0，若|AQ |＝|BQ |，求k 的取值范围．解：(1)由题意设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则3r 1＝5r 2，又r 1＋r 2＝2a ，所以r 1＝54a ，r 2＝34a .在△PF 1F 2中，由余弦定理得，cos ∠F 1PF 2＝r 21＋r 22－|F 1F 2|22r 1r 2＝⎝⎛⎭⎫54a 2＋⎝⎛⎭⎫34a 2－222×54a ×34a ＝35，解得a ＝2，因为c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1y ＝kx ＋m ，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2，且Δ＝48(3＋4k 2－m 2)＞0，①设AB 的中点为M (x 0，y 0)，连接QM ，则x 0＝x 1＋x 22＝－4km 3＋4k 2，y 0＝kx 0＋m ＝3m3＋4k 2， 因为|AQ |＝|BQ |，所以AB ⊥QM ，又Q ⎝⎛⎭⎫14，0，M 为AB 的中点，所以k ≠0，直线QM 的斜率存在，所以k ·k QM ＝k ·3m3＋4k 2－4km 3＋4k 2－14＝－1，解得m ＝－3＋4k 24k ，②把②代入①得3＋4k 2＞⎝⎛⎭⎫－3＋4k 24k 2，整理得16k 4＋8k 2－3＞0，即(4k 2－1)(4k 2＋3)＞0，解得k ＞12或k ＜－12，故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，过点A (－a ，0)，B (0，b )的直线倾斜角为π6，原点到该直线的距离为32. (1)求椭圆的方程；(2)斜率大于零的直线过D (－1，0)与椭圆交于E ，F 两点，若ED →＝2DF →，求直线EF 的方程．解：(1)由题意，b a ＝33，12a ·b ＝12·32·a 2＋b 2，得a ＝3，b ＝1，所以椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)设EF ：x ＝my －1(m ＞0)代入x 23＋y 2＝1，得(m 2＋3)y 2－2my －2＝0，设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，由ED →＝2DF →，得y 1＝－2y 2. 由y 1＋y 2＝－y 2＝2mm 2＋3，y 1y 2＝－2y 22＝－2m 2＋3， 得⎝⎛⎭⎫－2m m 2＋32＝1m 2＋3，所以m ＝1，m ＝－1(舍去)，直线EF 的方程为x ＝y －1即x －y ＋1＝0.[综合题组练]1．(一题多解)(2019·南宁模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4，1)，则椭圆的离心率是( )A.12 B.22 C.32D.55解析：选C.法一：设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程，得⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.因为k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1，且x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2，所以b 2a 2＝14，e ＝ca ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝32，故选C.法二：将直线方程x －y ＋5＝0代入x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，得(a 2＋b 2)x 2＋10a 2x ＋25a 2－a 2b 2＝0，设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－10a 2a 2＋b 2，又由中点坐标公式知x 1＋x 2＝－8，所以10a 2a 2＋b 2＝8，解得a ＝2b ，又c ＝a 2－b 2＝3b ，所以e ＝c a ＝32.故选C.2．(综合型)设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP→＋OF 2→)·PF 2→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选D.因为(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝(OP →＋F 1O →)·PF 2→＝F 1P →·PF 2→＝0，所以PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°. 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12，2mn ＝4，mn ＝2， 所以S △F 1PF 2＝12mn ＝1.3．从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．解析：由题意可设P (－c ，y 0)(c 为半焦距)， k OP ＝－y 0c ，k AB ＝－ba ，由于OP ∥AB ，所以－y 0c ＝－b a ，y 0＝bca，把P ⎝⎛⎭⎫－c ，bc a 代入椭圆方程得（－c ）2a 2＋⎝⎛⎭⎫bc a 2b 2＝1， 所以⎝⎛⎭⎫c a 2＝12，所以e ＝c a ＝22.答案：224.如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1P A 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________．解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∠B 1P A 2为钝角可转化为B 2A 2→，F 2B 1→所夹的角为钝角，则(a ，－b )·(－c ，－b )<0，得b 2<ac ，即a 2－c 2<ac ，故⎝⎛⎭⎫c a 2＋c a －1>0即e 2＋e －1>0，e >5－12或e <－5－12，又0<e <1，所以5－12<e <1.答案：⎝⎛⎭⎪⎫5－12，15．(2019·成都模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，长半轴与短半轴的比值为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点A (1，0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N .若点B (0，1)在以线段MN 为直径的圆上，求直线l 的方程．解：(1)由题可知c ＝3，ab ＝2，a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)易知当直线l 的斜率为0或直线l 的斜率不存在时，不合题意．当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)。