第四章 矩阵
1.设1）311212123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，111210101B -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭2）111a b c A c b a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，111a c B b b c a ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
计算AB ，AB BA -。
解 1）622610812AB -⎛⎫ ⎪= ⎪
⎪
-⎝⎭ ，400410434BA ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭222200442AB BA -⎛⎫ ⎪
-= ⎪ ⎪--⎝⎭ 2）222
22222223a b c a b c ac b AB a b c
ac b a b c a b c a b c ⎛⎫
+++++
⎪=+++++ ⎪ ⎪++++⎝
⎭222222a ac c b ab c c a BA a ac c b b c ab b a c b bc c c ac a ⎛⎫+++++ ⎪
=+++++ ⎪ ⎪+++++⎝⎭
33()ij AB BA a ⨯-=， 其中
11a b ac =-， 22212a a b c b ab c =++---， 221322a b ac a c =+-- 21a c bc =-， 2222a ac b =-， 32223a a b c ab b c =++--- 23132a c a =--， 32a c bc =-， 33a b ab =-
2.计算
2
2111)310012⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭
5322)42⎛⎫ ⎪--⎝⎭
113)01n
⎛⎫ ⎪⎝⎭ cos sin 4)sin cos n
ϕ
ϕϕ
ϕ-⎛⎫
⎪⎝⎭
()15)2,3,111⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭，()112,3,11⎛⎫ ⎪
-- ⎪ ⎪-⎝⎭ ()11121321
223131
32
336),
,11a a a x x y a a a y a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
2111111117)11111111---⎛⎫ ⎪---
⎪ ⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭，1111111111111111n
---⎛⎫
⎪--- ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭
1
08)0100
n
λλ
λ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
解 2
2117441)310943012334⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
。
5
32322)4248-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
。
3)采用数学归纳法，可证
1110101n
n ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
事实上，当2n =时，有
2
11120101⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
结论成立。
当1n k =-时，归纳假设结论成立，即
11111010
1k k --⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
于是当n k =时，有
1
111111111110101010
10101k
k k k --⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭g ，
即证1110101n
n ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
成立。
4）采用数学归纳法，可证
cos sin cos sin sin cos sin cos n
n n n n ϕ
ϕϕ
ϕϕϕϕ
ϕ--⎛⎫⎛⎫
=
⎪
⎪⎝⎭⎝⎭，
事实上，当2n =时，有
2
2222
cos sin cos sin cos sin sin cos 2cos sin cos sin ϕϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕ-⎛⎫
--⎛⎫=
⎪
⎪-⎝⎭⎝⎭
cos 2sin 2sin 2cos 2ϕϕϕϕ-⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
结论成立。
当1n k =-时，归纳假设结论成立，即
1
cos sin cos(1)sin(1)sin cos sin(1)cos(1)k k k k k ϕϕϕϕϕ
ϕϕ
ϕ-----⎛⎫
⎛⎫
=
⎪
⎪--⎝⎭
⎝⎭，
于是当n k =时，有
1
cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos k
k ϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕ----⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=
⎪
⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
g
cos(1)sin(1)cos sin sin(1)cos(1)sin cos k k k k ϕϕϕϕϕϕϕϕ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
g 123
4x x x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，
其中
1cos(1)cos sin(1)sin cos x k k k ϕϕϕϕϕ
=---=，
同理可得
2sin x k ϕ=-， 3sin x k ϕ=， 4cos x k ϕ=，
因而有
cos sin cos sin sin cos sin cos n
n n n n ϕϕϕ
ϕϕϕϕ
ϕ--⎛⎫⎛⎫
=
⎪
⎪⎝⎭⎝⎭。
5）()12,3,1101⎛⎫ ⎪--= ⎪ ⎪
-⎝⎭
，()123112,3,12311231-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭。
6）()11
12112
2221
2
,
,1a a b x y a a b b b c ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
111211222212(,,)1x a x a y b a x a y b b x b y c y ⎛⎫
⎪
=++++++ ⎪ ⎪⎝⎭
22
11122212222a x a xy a y b x b y c =+++++。
7）注意到
2
2111140001
0001111040001002
111100400010111100
040001---⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
--- ⎪ ⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
这意味着，若令
