金融时间序列间的条件相关性分析与Copula函数的选择原则_李述山

收稿日期:2010-03-25基金项目:国家自然科学基金项目(70861003);教育部人文社会科学一般项目(06J A 790025、09Y J A 790092);江西财经大学∀金融深化过程中信用风险的测度与控制#创新团队基金项目(江财科研字[2005]4号)投资组合信用风险的测度和优化∃∃∃基于Copula 理论吴恒煜1,李 冰2,严 武2(1.华南理工大学工商管理学院,广州510640;江西财经大学金融学院,南昌330013)摘要:使用四种copu l a(即G auss i an copu l a 、St udent %s t-copu l a 、grouped t-copu l a 和C l ayton n-copu l a )对投资组合信用风险进行度量,并在此基础上,利用线性规划方法优化投资组合。

研究结果比较发现,几种copu la 中t-copu l a 度量投资组合信用风险相依最合适,并给出了相应的最优资产配置。

关键词:投资组合;信用风险;Copu l a 函数;线性规划;条件风险值CV aR中图分类号:F832 33 文献标识码:A 文章编号:1001-8409(2010)12-0128-06M easure m ent and Opti m izati on of Credit R isk of the Portfolio∃∃∃Based on Copu la TheoryWU H eng yu 1,L I B i ng 2,YAN W u 2(1School of Busi ness A d m i nistration,Sou t h China University of T echno logy,Guangzhou 510640;2Schoo l of F inance ,J iangx i Universit y of F inance&Econo m ics ,N anchang 330013)Abstract :The articl e uses four copulas (.i e .Gaussi an copula ,Students 't-copula ,grouped t-copula and C layton n -copu l a)to measure cred it ri sk of t he portfolio and optm i i ze portfoliow ith t he li near progra mm i ng .The res u lt show s that t-copu l a is t he best to m eas ure ri sk dependence and provi des optm i al asset all ocati on .Key words :portfoli o ;cred it ri sk ;Copula function ;li near progra mm i ng ;Cond iti onalV alue-at-R i sk (CVaR)1 引言金融衍生工具的一项重要作用就是以创新的方式管理金融风险中最重要的风险∃∃∃信用风险。

Copula函数理论Copula理论的是由Sklar在1959年提出的，Sklar指出，可以将任意一个n维联合累积分布函数分解为n个边缘累积分布和一个Copula函数。

边缘分布描述的是变量的分布，Copula函数描述的是变量之间的相关性。

也就是说，Copula函数实际上是一类将变量联合累积分布函数同变量边缘累积分布函数连接起来的函数，因此也有人称其为“连接函数”。

Copula函数是定义域为[0,1]均匀分布的多维联合分布函数，他可以将多个随机变量的边缘分布连.起来得到他们的联合分布。

Copula函数的性质定理1 (Sklar定理1959)令F为一个n维变量的联合累积分布函数，其中各变量的边缘累积分布函数记为F i，那么存在一个n维Copula函数C,使得F(g ,0 C(F1(X1), ,F n(X.)) (1) 若边缘累积分布函数F i是连续的，贝U Copula函数C是唯一的。

不然，Copula函数C只在各边缘累积分布函数值域内是唯一确定的。

对于有连续的边缘分布的情况，对于所有的u [0,1]n,均有C(u) F(F I W), ,F n1(u n)) ⑵在有非减的边缘变换绝大多数的从Sklar定理可以看出，Copula函数能独立于随机变量的边缘分布反映随机变量的相关性结构，从而可将联合分布分为两个独立的部分来分别处理：变量间的相关性结构和变量的边缘分布，其中相关性结构用Copula函数来描述。

Copula函数的优点在于不必要求具有相同的边缘分布，任意边缘分布经Copula 函数连接都可构造成联合分布，由于变量的所有信息都包含在边缘分布里，在转换过程中不会产生信息失真。

Copula函数总体上可以划分为三类：椭圆型、Archimedean (阿基米德)型和二次型，其中含一个参数的Archimedean Copula函数应用最为广泛，多维Archimedean Copula函数的构造通常是基于二维的，根据构造方式的不同可以分为对称型和非对称型两种.三种常用的3-维非对称型Archimedean Copula函数:Frank Archimedean Copula函数,Clayton Archimedean Copula函数,Gumbe Archimedean Copula 函数表1三印常用的A兽非时就*Afctwred即n CopUa医曲名器Copuld C (也A2MFrank或、J*)-1(1-? )(J-e )] ' )(1^ )|M)HJIChyton+ < -t *IM[(U| —1} *llj "1]阳■)[OJIG<岫a A * "J't 4 1 化[L*>［岫Copula函数的应用Copula函数的应用具体包括以下几个步骤：①确定各变量的边缘分布；② 确定Copula函数的参数"；③根据评价指标选取Copula函数，建立联合分布；④根据所建分布进行相应的统计分析。

摘 要Copula理论是一种基于联合分布的建模方法，最大的优点就是把边缘分布和相关结构分离开，它的提出为解决多元联合分布的构建以及变量间的非线性相关性问题提供了一个灵活实用的方法，人们将其广泛的用于金融领域，应用于投资组合、资产定价等方面，对金融数据相关性进行建模、分析有着非常重要的意义和作用。

本文主要讨论了Copula理论在金融领域的应用，分析了基于Copula理论的多金融资产的投资组合优化及风险度量的问题。

主要工作如下：首先介绍Copula函数的相关概念和性质，目前国内外Copula理论研究的进展情况，本文的研究思路、方法及相关应用。

传统的金融数据分析是基于正态分布的假设，但正态假设有其局限性，往往不能满足，本文打破传统的基于正态分布的假设，讨论了Copula理论和Monte Carlo模拟在风险VaR估计中的应用，并选用股票数据实例分析了基于Archimedean Copula的风险VaR估计，结果表明此方法是有效的，而传统的VaR计算方法低估了风险。

并进一步将此方法推广到多维资产的情形，说明与单支股票风险均值相比采用此方法确定的投资组合降低了金融风险。

文章为了进一步提高模型构造的有效性，提出了一种基于Bayes理论的混合Copula构造方法，把多个Copula函数所具有的优点融合到一个混合函数中，通过调整各个函数的权重系数来调整函数尾部相关性强弱，比单个Copula相关结构更为灵活。

另外，将Bootstrap方法引入到Copula中的参数估计中，实例表明采用Bootstrap 方法对参数的估计与实际值比较接近，为我们提供了解决问题的另一种有效的思路。

最后，对本文进行了总结，并对一些本文中可以继续探讨研究的方向进行了进一步的前景展望。

关键词：Copula函数；VaR估计；Bootstrap方法；投资组合Selection of Copulas and its Application on FinanceAbstractCopula functions which based on joint distribution provide a flexible and useful statistic tool to construct multivariate joint distribution and solve the nonlinear correlation problem. One of its advantages is the dependence structure of variables no longer depending on the marginal distributions. Copula theory has gained increasing attention in asset pricing, risk management, portfolio management and other applications. In detail, my research is as follows:We first introduce the ideas of copula theory and several copula functions which belong to Archimedean families. Then we discuss the use of Archimedean Copula in VaR and CVaR calculation without the traditional multidimensional normal distribution assumption in financial risk management. Our empirical analysis which based on stock market data uses Monte Carlo simulation method and the results show that the VaR calculated by copula method is larger than traditional method. It means that traditional method underestimated the risk of stock market, and the Monte Carlo simulation based on Copula is effective for financial Market. Then, this method is extended to the multidimensional case, to show that the VaR of proper portfolio is lower than means of risk with single stock.In order to improve the validation of model construction, we introduce a simple Bayesian method to choose the “best” copula which is a mixture of several different copulas. By estimating parameters of each chosen copula and adjusting their weight coefficients in the mixed copula, the model has all the advantages of the chosen copulas and has more flexibility because different weight coefficient combinations describe different asset correlations. In addition, we introduce Bootstrap method to estimate the parameters of Archimedean Copula. The real analysis also shows the estimated parameter by Bootstrap method gets closer to actual value. So it is another efficient way to solve our problems.At last, we make a summary of the whole paper, and look into the future of some aspects that could be discussed in the coming days.Key Words：Copulas; VaR estimation; Bootstrap method; portfolio目录摘 要 (1)Abstract (III)第一章 绪论 (1)1.1 研究背景与意义 (1)1.2 国内外研究现状 (2)1.3 论文组织结构 (3)第二章 Copula选择及检验 (4)2.1 Copula函数的基本概念 (4)2.1.1 Copula函数定义及性质 (4)2.1.2 阿基米德Copula (5)2.1.3 相关性度量 (6)2.2 常用的二元Archimedean Copula函数与相关性分析 (8)2.2.1 Gumbel Copula函数 (8)2.2.2 Clayton Copula函数 (9)2.2.3 Frank Copula函数 (10)2.3 Copula模型参数估计 (11)2.3.1 Genest and Rivest的非参数估计法 (11)2.3.2 极大似然估计法（The Maximum Likelihood Method） (12)2.3.3 边缘分布函数推断法（The method of Inference of Functionsfor Margins） (13)2.3.4 典型极大似然法（The Canonical Maximum Likelihood Method） (13)2.4 Copula的检验 (13)2.4.1 Klugman-Parsa法则 (13)2.4.2 Copula分布函数检验法则 (14)2.4.3 非参数检验法则 (14)第三章 基于Copula的VaR分析计算 (15)3.1 VaR的基本概念 (15)3.1.1 VaR的定义 (15)3.1.2 VaR的计算要素 (16)3.2 基于Copula的投资组合VaR的计算 (16)3.2.1 Copula-VaR的解析方法 (16)3.2.2 用Copula变换相关系数的VaR分析方法 (17)3.2.3 基于Copula的蒙特卡洛模拟法 (18)3.2.4 实证分析 (19)3.3 基于三维Copula的VaR计算 (25)3.3.1 多元阿基米德Copula的构造 (25)3.3.2 基于Copula的Monte Carlo模拟法 (26)3.3.3 实证分析 (27)第四章 混合Copula的构造与Bootstrap方法的应用 (30)4.1 混合Copula的构造与应用 (30)4.1.1 基于Bayes理论的混合Copula构造 (30)4.1.2 实证分析 (32)4.2 Bootstrap方法的应用 (35)4.2.1 Bootstrap基本原理 (35)4.2.2 Bootstrap估计Copula参数 (36)第五章 结论与展望 (38)5.1 结论 (38)5.2 展望 (38)参考文献 (39)在校期间研究成果 (42)致 谢 (43)附录 数据 (44)附录 程序 (50)第一章 绪论1.1 研究背景与意义当今金融市场的发展达到了空前的规模，国际化、自由化、证券化、金融创新得到了飞速发展，但其不稳定因素也随之增加，脆弱性体现了出来。

Copula理论及其在金融分析中的应用研究共3篇Copula理论及其在金融分析中的应用研究1Copula理论及其在金融分析中的应用研究Copula理论是一种用于描述多维随机变量之间依赖关系的数学工具。

如今，Copula理论已经成为金融工程领域中不可或缺的工具，由于金融市场的非线性、非对称性和异质性，传统的统计方法不能有效地解决金融问题，而Copula理论在解决金融问题方面的表现得到了广泛认可。

本文将介绍Copula理论的基本原理、Copula函数的类型以及其在金融分析中的应用研究。

一、Copula理论的基本原理Copula理论来源于统计学领域，它可以用来描述多维随机变量之间的相互关系，其中一个重要的应用就是对金融市场中的多维相关进行建模和预测。

Copula理论的核心是Copula函数。

Copula函数可以描述多个随机变量之间的依赖关系，它不仅可以提供相关系数（Pearson相关系数）以及协方差矩阵的信息，而且还可以捕捉多维依赖的非线性和异方性特点，并且避免了传统Pearson相关系数的局限性。

在Copula理论中，随机变量的边缘分布和Copula函数之间是相对独立的，也就是说，Copula函数只考虑变量之间的依赖关系，而不涉及其边缘分布的性质。

二、Copula函数的类型Copula函数有多种类型，其中常用的有以下几种：1.高维正交Copula函数这种函数可以用于高维随机变量的计算和预测，它的参数较少，能够处理非常大的维度和复杂的相互关系。

2.高维Epanechnikov Copula函数这种函数适合用于处理变量的边缘分布不一致的情况，能够解决非线性关系、长尾效应等一些问题。

3.高维t-分布Copula函数这种函数可以用于处理金融市场中的极端事件，即尾部厚的情况，它更能够刻画金融市场的风险。

三、Copula理论在金融分析中的应用研究Copula理论在金融工程领域中具有广泛的应用，以下是其最常见的应用：1.风险度量Copula理论是计算不同组合投资的风险的重要手段。

基于Pair-Copula的条件相关性分析安勇强;李述山;刘涛【摘要】Conditional Copula model based on pair-copula is establishedand several conditional dependence measurements are put forward .A method for determining conditional copula model is introduced and usedto study conditional dependence between two markets .As a supplementary measurement ,conditional dependence can reflect relationships of markets from another point of view and provide a new idea for studying dependence analysis .%运用Pair-Copula的思想建立了条件Copula函数模型，提出了几个条件相关性度量，给出了条件Copula的确定方法，并用条件Copula实证研究了两个市场的条件相关性。

作为非条件相关性度量的一种补充度量方法，条件相关性能从另一个角度反映出市场间的关系，提供了一种研究相关性分析的新思路。

【期刊名称】《山东理工大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(000)004【总页数】4页(P16-19)【关键词】条件Copula函数;条件相关性;Pair-Copula【作者】安勇强;李述山;刘涛【作者单位】山东科技大学信息科学与工程学院，山东青岛266590;山东科技大学信息科学与工程学院，山东青岛266590;山东科技大学信息科学与工程学院，山东青岛266590【正文语种】中文【中图分类】O212近年来，随着信息技术的发展，全球一体化进程加快，国家及地区的经济都会受到各种不确定因素的影响，使得金融风险管理成为国内外关注的课题.如何度量风险，有效的规避风险，一直是各国学者和经济工作者研究的重点问题，市场间相关性的研究就是其中的一个重要方面.研究市场间相关性可以使投资者了解市场间的关系，了解一个市场发生重大波动时另外一个市场的波动情况，从而提前采取有效措施规避风险.Copula能对整体的联合分布建模，它可以描述随机变量之间的相依结构，能够捕捉到非正态、非对称和厚尾信息.因此运用Copula技术来分析随机变量之间的相关性具有灵活、实用的特点.随着金融市场不确定性的显著增加，人们希望掌握市场更多信息，同时了解多个市场的关系，这就推动Copula技术向高维拓展.然而采用多维Copula函数会导致“维数灾难”，条件Pair-Copula的出现能够有效的解决这一问题.Pair-Copula能够对多维联合密度进行分解，把高维结构拆分为二元Pair-Copula密度和二元Copula密度的乘积，为研究高维相关性提供了一种方法.目前利用Copula技术研究相关性大部分集中于二元非条件变量间的相关性，很少用Copula刻画条件变量间的相关性.本文在文献[1]研究的基础上，拟用Pair-Copula构建条件Copula，建立条件相关性度量，并用条件Copula实证研究市场间的条件相关性.1 条件Copula及其性质1.1 条件Copula函数的定义定义1[1]一个二维的条件Copula是一个函数C：[0,1]×[0,1]×W→[0,1]，并满足以下条件：(1)C(u,0|w)=C(0,v|w)=0,C(u,1|w)=u,C(1,v|w)=v,∀u,v∈[0,1],∀w∈W.(2)Vc([u1,u2]×[v1,v2]|w)=C(u2,v2|w)-C(u1,v2|w)-C(u1,v1|w)≥0∀u1,u2,v1,v2∈[0,1],其中u1≤u2,v1≤v2，∀w∈W.1.2 连续条件分布的Skalar定理定理1[1] 设X|W～F,Y|W～G，(X,Y)|W～H.假设F，G分别在点x，y连续，那么存在唯一的一个条件Copula C，∀(x,y)∈[-∞,+∞]，∀w∈W满足H(x,y|w)=C(F(x|w),G(y|w)|w)(1)反之，如果X|W～F，Y|W～G，C是一个条件Copula，那么由上式定义的函数H 是一个带有条件边缘F和G的二元条件分布函数.类似于非条件Copula函数，条件Copula函数在严格单调变换下也有相似的性质，可参考文献[1].2 条件Copula的确定2.1 Pair-copula的分解[2]设一个n维随机变量X=(X1,X2，…，Xn)，其联合密度函数可以表示为f(x1,x2，…，xn)=fn(xn)f(xn-1|xn)f(xn-2|xn-1,xn)…f(x1|x2，…，xn)，其中任何一个条件密度函数都可以分解成如下形式：f(x|υ)=cxυj|υ-j(F(x|υ-j),F(υj|υ-j))f(x|υ-j),其中，υj表示n维向量υ中的一个分量，υ-j表示向量υ中除去υj后n-1维分量.在以上表达式中，密度函数cxυj|υ-j(·,·)称为条件Pair-Copula密度函数，其包含一对条件分布函数F(x|υ)，而条件分布函数可以通过下式求得由于式(1)不易直接求得条件分布函数，因此用条件Copula表示的条件联合分布函数不易表达，故可以考虑条件联合密度函数：h(x,y|w)=cxy|w(F(x|w),G(y|w))f(x|w)f(y|w)而f(x|w)=cxw(FX(x),FW(w))fX(x)，f(y|w)=cyw(FY(y),FW(w))fY(y)因此h(x,y|w)=cxy|w(F(x|w),G(y|w))×cxw(FX(x),FW(w))×cyw(FY(y),FW(w))fX(x)fY(y)其中(2)2.2 条件Copula的参数估计与拟合检验Copula的参数估计方法最常用的有两种，一种是参数法，另一种非参数法.参数法中有整体的极大似然估计法，分布估计法，半参数估计法.非参数估计法则是利用单参数Archimedean Copula函数的参数与其Kendall秩相关系数一一对应的关系来估计参数，当样本数量比较大时才较接近真实值，具有一定的局限性.本文采用经验分布拟合边缘分布，用对数极大似然估计法进行参数估计.原因是参数法的边缘分布需要预先设定，这样就会存在一定的误差，影响随机变量间的相关结构.本文以条件变量是一维的情况为例，估计步骤如下：步骤1 以xi={xi,1,xi,2,…，xi,T};i=1,2,3为观测值，用求出的边缘分布函数Fi(xi)转化成[0,1]上的数据，用极大似然法估计CXW(FX(x),FW(w))，CYW(FY(y),FW(w))中参数.步骤2 利用步骤1的结果，根据式(2)计算F(xt|wt)和G(yt|wt)，t=1,2…T.步骤3 把步骤2中求得的条件分布函数作为新的观测值，令对数似然函数lncxw(Fw(wt))+lncyw(FY(yt),Fw(wt))]极大化求得CXY|W(F(x|w),G(y|w))的参数.Copula函数的拟合检验方法很多，如AIC、BIC准则等，其他方法可参考文献[3].3 条件相关性度量定义2设X,Y,W为三个随机变量，(X′,Y′)=(X,Y)|W，则定义在第三个随机变量W条件下X与Y之间的条件Kendall秩相关系数为其中和独立且与(X′,Y′)同分布.它的非参数估计量是i,j=1,2，…，n(3)其中分别由式(2)求得.定义3设X,Y,W为三个随机变量，(X′,Y′)=(X,Y)|W的联合分布函数为H(x,y|w)，在W给定条件下的条件边际分布函数分别为F和G，则X与Y在W已知条件下的条件α下尾相关系数和条件α上尾相关系数分别为条件下尾相关系数和条件上尾相关系数分别为结论1[4] 设(X′,Y′)=(X,Y)|W对应的条件Copula函数为C′，则(4)(5)(6)其中4 实证分析本文采用上证综指、深证成指、香港恒生指数的周收盘价为样本，样本的时间段为2005年1月—2011年6月，共得到有效数据1241个，将第i个市场的周收盘价定义为pi,t(i=1,2,3).以对数收益率为研究对象，定义为Ri,t=100(lnpi,t-lnpi,t)，利用3种常用的Archimedean Copula：Gumble Copula、Clayton Copula、GS-Copula进行实证研究.研究股市间的条件相关性，最主要的是确定条件变量，为了充分利用数据信息，本文利用经验分布拟合数据的边缘分布，并经过概率积分变换得到区间[0,1]上的数据，用转换后的数据根据Kendal τ的非参数估计量表达式：i,j=1,2，…，n，计算两两收益率的相关系数，结果列于表1.表1 两两收益率间的Kendal秩相关系数上证综指深证成指香港恒生上证综指10.74620.6536深证成指10.6202香港恒生1由表1结果可以看出香港恒生和深证成指、上证综指的相关性较大，说明香港股市包含了内地股市部分信息，与内地股市有一定的内在关系，因此我们把香港恒生指数作为条件变量来研究深证成指和上证综指的条件相关性.令上证综指、深证成指、香港恒生分别由x,y,w表示，由参数估计步骤得到条件Copula参数见表2. 表2 Copula的参数估计值参数ClaytonGumbleGSθxw1.52681.25231.2845θyw1.20061.43521.3653θxy|w0.46390.43160.5232条件Copula似然值230.0975253.3221286.5034条件Copula AIC值-430.1862-453.6316-501.1403从表2的结果看出，在常用的Archimedean Copula族中，GS-Copula对金融市场间条件相关结构的描述具有良好的效果，又能同时捕捉到上尾和下尾的相关性，因此本文选用GS-Copula研究市场间的条件相关性.由式(4)、(6)计算条件τ、条件下尾和条件上尾相关系数估计值，由式(3)计算条件τ的非参数估计值，为了便于结果的对比，将各相关系数列于表3.表3 尾部相关系数、秩相关系数估计值尾相关系数上尾下尾λxw0.3016370.382631λyw0.2945480.352548λcxy|w0.2761420.315343秩相关系数参数估计非参数估计τxy0.74310.7462τcxy|w0.62110.6263从表3的结果一方面可以看出，上证综指、深证成指和香港恒生指数的尾部相关性都不是很强，说明当香港股市发生重大波动时对内地股市的影响较小；下尾相关性明显大于上尾相关性，说明股市受到负面冲击时产生的波动要大于受到正面冲击时的波动，这与实际情况相符.另一方面还可以发现，内地两个市场的条件相关系数与非条件相关系数相比变化较小，变化在0.1左右，这是因为内地股市成立较晚，制度不完善，发展较缓慢，会受到各种经济政策及内部经济环境的影响，而香港股市挂牌成立时间较早，实行的是较完善的金融市场制度，它与西方发达国家的股市关系较密切，易受到欧美主要股市的影响.因此虽然香港与内地两股市的相关性较强，却包含内地两个市场的共同信息较少，所以条件相关系数变化小.这一结论为投资者充分认识市场间的相关性和相互影响提供了一种新思路.5 结束语本文类似于通常的非线性相关性度量，建立了基于Pair-Copula分解的条件Copula模型，并建立了几个条件相关性度量，用条件Copula模型研究了在香港恒生指数条件下，上证综指和深证成指之间的条件相关性，发现在常用的Archimedean Copula中，GS-Copula能够较好的描述条件相关性，并且上证综指和深证成指的相关性与非条件相关性相差不大，说明香港股市包含了沪市和深市的共同信息较少.这一情况可为风险管理者和投资者做出合理的决策提供参考.文章只研究了条件变量是一维，相关变量是二元的情况，未来还可以探讨多维条件变量多元相关变量的情况.而条件Copula整体的拟合检验问题还有待研究.参考文献:【相关文献】[1]俞泽鹏.条件Copula的相关性质[J].佳木斯大学学报:自然科学版,2011(5):763-765.[2]Jaworski P,Durante F,Hardle W, et al. Copula theory and its applications:proceedings ofthe workshop Held in Warsaw,25-26 September 2009[M].Dortrecht：Springer,2010:94-103.[3]李述山.金融时间序列间的条件相关性分析与Copula函数的选择原则[J].统计与决策,2010(10):23-25.[4]李述山.阿基米德Copula函数的拟合检验[J].统计与决策,2012(12):77-78.。

连接函数（Copula）理论及其在金融中的应用Copula 理论及其在金融中的应用摘要：Copula 是一种常用于描述多维随机变量之间依赖关系的函数，它不仅能够描述变量的相互关联，还能够将变量的边际分布与依赖关系分离开来。

在金融领域，Copula 理论广泛应用于风险管理、衍生品定价和投资组合优化等领域。

本文介绍了 Copula 理论的基本概念、分类和性质，并探讨了其在金融中的应用和优势。

关键词：Copula 理论，依赖关系，金融，风险管理，衍生品定价，投资组合优化一、引言在金融中，随机变量之间的依赖关系是研究风险管理、衍生品定价和投资组合优化等领域的重要基础。

然而，在实际应用中，研究者通常会遇到两个问题。

第一个问题是如何描述多维随机变量之间的依赖关系。

传统的做法是使用相关系数或协方差矩阵来描述变量之间的线性关系，但是这种做法忽略了变量之间的非线性因素，不能完全反映变量之间的依赖关系。

第二个问题是如何将变量的边际分布和依赖关系分开来。

从统计学的角度来看，边际分布和依赖关系是不同的概念，它们之间的关系不应该混淆。

然而，在现实应用中，变量的边际分布和依赖关系通常是同时存在的，不加区分的分析会导致结果的误解。

为了解决这些问题，Copula 理论被提出作为一种描述多维随机变量之间依赖关系的方法。

该理论不仅能够描述变量的相互关联，还能够将变量的边际分布与依赖关系分离开来。

在本文中，我们将介绍 Copula 理论的基本概念、分类和性质，并探讨其在金融中的应用和优势。

二、Copula 理论的基本概念Copula 是从多元随机变量的联合分布函数中提取出依赖结构的工具，其主要思想是通过一个单独的函数来描述变量之间的依赖关系，从而将边际分布与依赖关系分离开来。

Copula 的基本定义是：设 $X_1, X_2, ..., X_d$ 为 $d$ 个随机变量，它们的边际分布函数分别为 $F_1, F_2, ..., F_d$，联合分布函数为$H$，则称 $C(u_1, u_2, ..., u_d)$ 为 $X_1, X_2, ..., X_d$ 的Copula 函数，其中 $u_i = F_i(x_i)$ 是 $X_i$ 的分位数。

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Copula理论及其在多变量金融时间序列分析上的应用研究Copula理论及其在多变量金融时间序列分析上的应用研究摘要：本文主要介绍Copula理论及其在多变量金融时间序列分析上的应用研究。

首先，我们概述了Copula理论的基本概念和特点，以及其在金融领域的应用优势。

接着，我们详细探讨了Copula函数的种类和选择方法，并介绍了Copula函数在金融时间序列分析中的应用案例。

最后，我们总结了Copula理论在多变量金融时间序列分析中的重要作用，并展望了未来的研究方向。

一、引言随着金融市场的快速发展和全球化程度的提高，对金融风险的准确度量和管理变得越来越重要。

多变量金融时间序列分析是对金融市场中多个变量间关联性的研究，其中建立精确的统计模型是至关重要的。

传统的方法使用线性相关性进行分析，但很多金融变量之间并不存在线性相关性。

因此，Copula理论应运而生，为研究金融变量之间的非线性关系提供了一种强大工具。

二、Copula理论的基本概念和特点Copula理论是由斯克洛乌卡和杰戴（Sklar, 1959）于20世纪50年代末提出的。

它独立于单变量分布的边缘分布，将边缘分布和相关结构分离开来，能够更准确地描述多维随机变量的联合分布。

Copula函数是一种连接多个边缘分布的函数，它的主要特点是能够捕捉变量之间的非线性关系，并提供了更多灵活的模型选择。

三、Copula函数的种类和选择方法Copula函数的种类较多，常见的有Gumbel、Clayton和Frank等。

选择合适的Copula函数对于分析金融时间序列数据至关重要。

一般来说，选择Copula函数需要通过相关系数矩阵的分析，如Pearson相关系数、Spearman相关系数和Kendall相关系数。

此外，还可以使用拟合优度统计量和模型比较指标来评估不同Copula函数的拟合效果和模型选择。

四、Copula函数在金融时间序列分析中的应用案例Copula函数在金融时间序列分析中有广泛的应用。

对Copula函数的选择及其在金融分析中的若干应用探讨摘要：copula理论是基于联合分布的一种建模方法，函数提供了一种灵活使用的方法，目前被广泛引用在金融领域。

本文主要对copula函数进行研究，探讨了copula函数在金融分析中的主要应用。

研究表明copula函数对金融数据的建模和分析有着重要的意义。

关键词：copula函数；金融；var估计引言随着金融市场规模的不断扩大，金融创新得到了飞速的发展。

随着经济增长速度的加快，制度体制也体现出一些弊端。

当面对这样的的金融体系，怎样提高金融变量分析的准确性，降低其风险就显得十分的重要，所以需要对研究的方法进行改进和加以分析。

1959年，copula函数应运而生，在20世纪90年代的时候被应用在金融行业。

这种copula函数的应用刻画可变量之间的非线性相关的关系，并且还能捕捉到概率分布的尾部相关关系，copula函数的应用范围更广，实用性强。

资产收益率中的联合分布是存在着很大的非对称性的，所以在本文中主要讨论了如何选择合适的函数来对非线性相关结构进行描述。

二、copula函数的选择和校验分析通过上述对copula函数和sklar定理的定义和介绍，我们知道利用分布函数的联合分布函数和逆函数可以对变量之间相关结果的copula函数进行描述，减少了多变量概率模型的分析难度，试分析的过程变得简单清晰。

指定的边缘分布模型能否拟合实际的分布，这对copula函数是否正确的对变量的相关结果进行描述很重高，所以要建立边缘分布检验和拟合评价的方法，下面主要指出两种copula函数校验的法则：①klugman-parsa法则；这种法则是在1999年的时候被提出，法则以直观的表达变量的实际分布并指出了分布的你和情况。

在校验中如果p-value过高，说明这个copula函数符合数据的结构描述。

②copula分布函数检验法则；直观的反映出随机变量和分布函数之间的差异。

如果p-value的值过高，说明copula函数符合数据结构的描述。

基于 Pair-Copula-GARCH 模型与 CVaR 的时变投资组合优化∗徐晓波;李述山;叶杨【摘要】以过去的信息为条件，以一致性风险度量 CVaR 为优化目标，以组合收益率为约束条件，建立了时变投资组合优化模型，通过基于 pair-copula-GARCH 模型的蒙特卡洛模拟方法得到未来某时刻收益率的多个可能情景，并引入一个特殊函数实现了投资组合模型的线性化，得到了最优投资组合策略。

最后针对提出的模型进行了实例分析。

%On the basis of the historical information,aiming at minimum the coherent risk measure CVaR and regarding portfolio returns as constraint conditions,the time-varying portfolio optimization model was established.The linearization of portfolio investments model was achieved by introducing a special function and some possible scenarios representing future mo-ment returns,which can be calculated by the Monte Carlo simulation method based on the pair-copula-GARCH model.The model helps us get optimal portfolio investmentsstrategy.Finally,the presented model was exemplified by a case.【期刊名称】《经济数学》【年(卷),期】2015(000)001【总页数】5页(P42-46)【关键词】pair-copula;GARCH 模型;时变 CVaR;投资组合优化【作者】徐晓波;李述山;叶杨【作者单位】山东科技大学数学与系统科学学院，山东青岛 266590;山东科技大学数学与系统科学学院，山东青岛 266590;山东科技大学数学与系统科学学院，山东青岛 266590【正文语种】中文【中图分类】F224经济全球化和金融一体化的趋势不断加深，这使得资本资源在全世界范围内得以合理配置的同时，也加剧了金融市场的波动.如何选取合适的风险度量指标对现实风险的有效管理、资产配置的最优化以及实现投资组合的效用最大化十分关键.投资组合的选择作为现代金融投资学的一个核心理论，其解决的主要问题是如何将有限数额的资金，分配到资产池中的各资产上，以实现投资主体对投资收益与风险的预期.著名的Makowitz模型是在投资组合预期收益率一定的情况下，使得投资组合方差最小优化模型，但是由于方差表示的是正负偏差，对于投资者而言并不拒绝实际收益高于期望的情形，这显然不符合现实.之后提出的VaR方法，近年来也发现一些缺陷，比如不满足次可加性和凸性，此外，在进行投资组合优化时，以VaR 为目标函数的规划问题在求解时也比较困难.鉴于VaR的这些缺陷，理论界提出了条件风险价值，简称CVaR，这种方法是对VaR的方法修正[1].CVaR是指在一定的置信水平上损失超过VaR的条件均值，反映的是超额损失的水平.与此同时，CVaR具有良好的次可加性和凸性，是一个一致性风险度量，在一定程度上弥补了VaR的不足，且容易进行优化处理.基于CVaR的优良性质，以组合的条件风险价值CVaR为最小目标函数，以投资者期望收益率为约束条件，建立投资组合模型[2]. 这个投资组合模型收益与风险的预期思想可以表示成：在投资收益一定的情况下，控制投资风险最小化.在投资组合应用中多使用CVaR的静态模型[3]来作为目标函数，即假定资产收益率序列的统计分布特征在一定时期内基本上稳定，然而市场时刻发生变化，往往收益率的分布也发生变化，这时CVaR的静态模型就会受到限制.另外，为了方便计算目标函数CVaR有效前沿，常常假设投资组合收益率服从多元正态分布，虽然多元正态分布简化了模型的计算，却低估了实际的风险.鉴于此，考虑到市场时刻变化引起的收益率及其风险的变化，以过去的信息为条件，以一致性风险度量CVaR为优化目标，以组合收益率为约束条件，建立了时变投资组合优化模型.利用pair-copula-GARCH-t(1,1)模型来拟合投资组合收益率，并在该模型的基础上运用蒙特卡洛法模拟将来某时刻的收益率向量，借鉴文献[4]的方法，通过构造一个特殊函数实现了模型的线性化，进而得到了最小最优投资组合策略.时变VaR是指在t时刻以前信息已知的条件下，在置信水平β下金融资产组合的最大可能损失，记作VaRt(β).时变CVaR是指t时刻以前信息已知的条件下，在置信水平β下，损失超过VaRt(β)的条件均值，反映的是超额损失的平均水平.其数学表达式为，其中，为t时刻组合中各资产的头寸或者权重；yt=(y1t,y2t,…,ynt)T(t=1,2,…,T)为收益率向量，f(xt,yt)为t时刻的损失函数，p(yt)为金融资产的联合分布密度函数.若投资者期望收益率u(xt)的最小值为u0，建立基于CVaRt(β)的时变投资组合模型：计算CVaRt(β)时都要涉及到VaRt(β)这个参数，并且参数还是内生的，所以直接计算比较困难，借鉴文献[4]的方法，定义函数其中[f(xt,yt)-αt]+=max (0,f(xt,yt)-αt).因此时变投资组合模型转化为对于n项资产，若在t时刻的收益率向量为yt=(y1t,y2t,…,ynt)T，权重向量为，则投资组合的收益率为，损失函数为记T(j=1,2,…,m)为n项资产收益率在t时刻的m种情形，则投资组合的收益率近似为txt，损失函数近似为，其中，那么Fβ(xt,αt)近似为其中引入虚拟变量zjt,j=1,2,…,m，t=1,2,…,T，则模型(4)转化为如下的线性优化模型：3.1 单资产风险GARCH-t(1,1)模型在刻画一个资产组合的风险时，必先考虑其内部的各个资产的风险，通常单个资产的风险可以用各自的边缘分布来描述.由于金融资产收益率多呈现波动聚集性且呈现“高峰厚尾”的特性，故可选用t分布噪声驱动的GARCH模型来估计单个资产的条件边缘分布，本文采用的GARCH-t(1,1)模型来估计第i项资产的条件边缘分布：式中，rit为t时刻的对数收益率序列；ait反映收益率波动性；αi0、αi1、βi、d 为模型参数.3.2 多资产相关结构残差序列(ε1t,ε2t,…,εnt)～C(u1,u2,…,un)，(t=1,2,…,T)，序列之间的相依结构可以用pair-copula分解模型来进行[7，8].对于高维联合分布，pair-copula分解存在许多的逻辑结构.两类最简单的藤包括：Canonical藤和D藤.根据两种藤的逻辑结构特点对一系列pair-copula乘积划分，可以把n维联合密度函数f(ε1t,ε2t,…,εnt)写成两种表达方式：1)对于Canonical藤有2)对于D藤有式中F(x|ν)可以通过下式求得：其中Cij|k是个二元copula分布函数，νj表示d维的向量ν中的一个分量，而ν-j是向量ν除去νj后的d-1维向量.3.3 pair-copula-GARCH模型由节3.1和节3.2可以得出多资产的pair-copula-GARCH模型：其中f(ε1t,ε2t,…,εnt)可由式(8)或式(9)给出.针对GARCH模型的参数估计与pair-copula模型的参数估计，本文采用对数极大似然估计法，具体步骤参考文献[5]和文献[6].3.4 蒙特卡洛模拟基于pair-copula-GARCH-t(1,1)的蒙特卡洛模拟步骤为：1)随机生成服从[0,1]均匀分布的序列{w1,w2,…,wn}.令z1=w1；2)由，令w2=F(z2|z1)；3)同理可得w3=F(z3|z1,z2),…,wn=F(zn|z1,z2,…,zn-1)；4)由zi的边际分布函数zi=F-1(wi|z1,z2,…,zn-1)得到{z1,z2,…,zn}；5)利用rit=μi+σitzi，得到t时刻金融资产模拟的对数收益率序列{r1t,r2t,…,rnt}；重复进行上述步骤m次，得到t时刻的金融资产收益率模拟序列}j=1,2,…,m.4.1 样本选取与统计分析选取上证指数、A股指数和金融指数3个指数进行投资组合分析，记第i个指数在第t日的收盘价为Pi,t，对数收益率定义为ri,t=100(ln Pi,t-ln Pi,t-1)，样本时间段为2009/1/9～2014/5/15，共1 295组有效数据.对数收益率序列的基本统计特征如表1.从表1中可以看出，3个指数的收益率序列偏度均明显不为0，说明收益率序列具有左偏或右偏特征，峰度均大于3，说明具有尖峰特征，同时J-B统计量也大于5%显著水平下的临界值5.991 5，表明这3种收益率显著拒绝正态分布假设的零假设.对收益序列的平稳性进行ADF检验，得到其t统计量的值分别为-35.27185(0.000)、-35.277 17(0.000)、-36.586 63(0.000)，对应的P值均接近于零，可以判断收益序列均为平稳序列.样本的异方差检验选择的滞后阶数为4，表2给出了相应的统计量和P值.4.2 边缘分布估计通过F统计量和P值可以看出在5%的置信水平下，收益率序列的残差序列均存在ARCH效应，由于t分布可以较好的描述金融时间序列高峰厚尾的特点，因此选用GARCH-t(1,1)模型描述金融收益序列的边缘分布，根据式(7)分别对3种指数的历史对数收益率建立模型，参数估计结果列于表3.4.3 相关结构参数估计金融数据经常同时呈现上下尾相关性，所以这里用t copula作为pair-copula的函数类型.通过比较收益率序列之间的相关系数来确定变量排列顺序，利用收益率序列Pearson相关系数确定树1的排序次序：上证指数、A股指数、金融指数，为了处理方便，依次编号为1、2、3.极大似然估计之前，先求出条件分布序列和参数初值，估计步骤如参考文献[6]，求出初值后代入式(12)令对数似然函数值最大化后得到参数估计的终值，估计结果见表4.采用节3.4的方法模拟2 000次作为下一交易日对数收益率向量，通过公式rit=100ln(1+yit)将对数收益率转化为百分比收益率yit.取u0=0.003，利用投资组合的优化模型(6)，得出了下一交易日不同置信度下的最小CVaRt值与投资组合的的权重，同理可得将来每一交易日的投资组合策略.表5仅列出两个交易日的运算结果.基于CVaRt的时变投资组合优化模型，考虑了市场时刻的改变引起的收益率分布发生的变化，使投资策略能及时反映投资环境的变化.由于投资组合的收益率一般不服从正态分布，本文应用pair-copula的多元分布函数能够有效解决投资组合收益率多元正态分布假设存在的误差，并且pair-copula分解充分考虑到维数的影响，可以更好描述投资组合中不同金融资产两两之间的尾部相关性，对联合密度函数进行pair-copula分解，可以根据实际数据拟合情况对每一对copula密度函数选择不同类型的copula函数族，使得结论更加贴近现实.采用基于pair-copula-GARCH模型与一致性风险度量的投资组合模型进行资产选择，可以使投资者的选择更加稳健，对研究风险管理和投资组合提供了一个新的思路.【相关文献】[1] ROCKAFELLAR,S URYASEV，Optimization of conditional value at risk[J].The Journal of Risk，2000，2(3)：21-41.[2] 郭文旌，徐少丽.基于Copula-EGARCH-CVaR的投资组合优化[J].统计与决策，2009(18)：45-47.[3] 杨爱军，高岳，孟德锋.基于CVaR风险度量的投资组合优化决策[J].统计与决策，2012(15)：39-42.[4] 王建华，李楚霖.度量与控制金融风险的新方法[J].武汉理工大学学报:信息与管理工程版，2002,24(4)：62-65.[5] 高铁梅.计量经济分析方法与建模[M]，北京：清华大学出版社，2009.[6] 黄恩喜，程希骏.基于pair-copula-GARCH模型的多资产组合VaR分析[J].中国科学院研究生院学报，2010,27(4)：440-447.[7] 卢颖，杜子平.基于pair-copula方法的高维相关结构构建[J].工业技术经济，2008,27(5)： 48-51.[8] 郭文伟.基于藤结构Copula模型的中国股市风格资产相依结构研究[J].经济数学，2013.30(4)：62-70.。

Copula函数在金融中的应用作者：李娟学位授予单位：西北工业大学被引用次数：1次参考文献(41条)1.Beatriz Vaz de Melo Mendes.Rafael Martins de Souza Measuing financial risks with copulas 20042.Bouye E.Durrleman V.Nikeghbali A Copulas for Finance:a reading guide and some applications 20003.Bouye E.Gaussel N.Salmon M Investigating dynamic dependence using copula(W P01214) 20014.Claudio Romano Calibrating and Simulating Copula Functions:an Application to the Italian Stock Market 20025.Diclemente A.Romano C Measuring portfolio value-at-risk by a copula-EVT based approach 20036.Davidsion R.Mackinnon J Estimation and inference in econometrics 19937.Embrechts P.Lindskog F.Mcneil A J Modeling Dependence with Copulas and Application to Risk Management 20018.Embrechts P Using copula to bound the Value-at-Risk for function of dependent risks 20019.Forbes K.Rigobon R No contagion,only interdependence:measuring stock market Co-movements 2002(05)10.Genest C.MacKay J The joy of Copulas:bivariate distributions with uniform marginals 1986(02)11.Genest C.Rivest L Statistical inference procedures for bivariate archimedean copulas 199312.Gaenssler P.Stute W Seninar on empirical processes(DMV Seminan Band 9) 198713.Joe H Multivariate Models and Dependence Concepts 199714.Juri A.Wutrich M V Copula convergence theorems for Tail events 2002(03)15.Juri A Tail dependence from a distributional point of view 200216.Joe H Multivariate Models and Dependence Concepts 199717.Nelsen R B An Introduction to Copulas 199818.P Embrechts.F Lindskog.A J McNeil Modelling Dependence with Copulas and Application to Risk Management 200119.Roberto De Matteis Fitting Copulas to Data 200120.SklarA Fonctionde repartition a dimension etleurs marges 195921.Stefano D.Alexander J M The t Copula and Related Copulas 200422.Schweizer B.E Wolff On nonparametric measures of dependence for random variables 198123.Van den Goorbergh R.Genest C.Werker B Multivariate option pricing using dynamic in copula models 200324.崔嵬.张尧庭.朱世武.谢邦昌如何选择度量金融风险的指标[期刊论文]-统计研究 2003(6)25.茆诗松.王静龙.濮晓龙高等数理统计 199826.孙志宾.顾岚Copula理论在金融中的应用[期刊论文]-广西师范大学学报(自然科学版) 2004(2)27.苏金明SPSS12.0 for Windows应用及开发指南 200428.田新时.郭海燕极值理论在风险度量中的应用--基于上证180指数[期刊论文]-运筹与管理 2004(1)29.韦艳华.张世英.郭焱金融市场相关程度与相关模式的研究[期刊论文]-系统工程学报 2004(4)。