《公式法(2)》课件
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人教版数学八年级上册+因式分解(2)——公式法(平方差公式)课件
－b2＝(a＋b)·(a－b)．
(3)4x2 － 1 ＝ ( 2x )2 － (
(2x＋1)(2x－1)
______________；
3．因式分解与整式乘法的关系：
(4)25 － 4m2 ＝ (
a2－b2
(5＋2m)(5－2m)
_________________.
(a＋b)(a－b)
1
)2 ＝
5 )2 － ( 2m )2 ＝
1
024，y＝
，求(x＋y)2－(x－y)2的值．
2 024
解：(x＋y)2－(x－y)2＝[(x＋y)＋(x－y)][(x＋y)－(x－y)]＝4xy.
当x＝2
1
024，y＝
时，原式＝4×2
2 024
1
024×
＝4.
2 024
因式分解(2)——公式法(平方差公式)
预习导学
1.如果把乘法公式反过来，就可
以把某些多项式因式分解，这种
方法叫公式法.
将下列各式因式分解：
(a＋x)(a－x)
(1)a2－x2＝____________；
(x＋3)(x－3)
(2)x2－9＝x2－( 3 )2＝____________；
2．运用平方差公式因式分解：a2
课堂导学
知识点1
直接运用公式因式分解
【例1】将下列各式因式分解．
(3m＋2n)(3m－2n)
(1)9m2－4n2＝(3m)2－(2n)2＝__________________；
2－62
2
2
(xy)
(xy＋6)(xy－6)
(2)x y －36＝__________＝________________；
21.2.2 公式法第2课 根的判别式-九年级数学上册课件(人教版)
2
解得 m≥ 且 m≠1.
3
不解方程，判断关于 x 的方程 x 2 2 2kx k 2
解： Δ ＝( 2 2 k )2 − 4×1×k2 = 4k2.
∵ k2≥0，
∴ 4k2≥0，
即 Δ≥0.
∴ 原方程有两个实数根．
0 根的情况.
在等腰△ABC 中，三边长分别为 a，b，c，其中 a = 5，若关于 x 的方程
（2）方程化为 4x2 − 12x + 9 = 0，a = 4，b = −12，c = 9，
∴ Δ = b2 − 4ac = (−12)2 − 4×4×9 = 0.
∴ 方程有两个相等的实数根．
（3）方程化为 5y2 −7y + 5 = 0，a = 5，b = −7，c = 5，
∴ Δ = b2－4ac = (−7)2－4×5×5 = −51＜0.
课堂练习
1.已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( B )
A. 该方程有两个相等的实数根
B. 该方程有两个不相等的实数根
C. 该方程无实数根
D. 该方程根的情况不确定
2.若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范
围是（ D ）
A．m≥1
B．m≤1
C．m＞1
则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是( B )
课堂小结
根的情况
判别式的情况
Δ= b2 − 4ac > 0
两个不相等的实数根
Δ= b2 − 4ac = 0
两个相等的实数根
Δ = b2 − 4ac< 0
没有实数根
两个实数根
Δ= b2 − 4ac≥0
注意：1.一元二次方程化为一般式
解得 m≥ 且 m≠1.
3
不解方程，判断关于 x 的方程 x 2 2 2kx k 2
解： Δ ＝( 2 2 k )2 − 4×1×k2 = 4k2.
∵ k2≥0，
∴ 4k2≥0，
即 Δ≥0.
∴ 原方程有两个实数根．
0 根的情况.
在等腰△ABC 中，三边长分别为 a，b，c，其中 a = 5，若关于 x 的方程
（2）方程化为 4x2 − 12x + 9 = 0，a = 4，b = −12，c = 9，
∴ Δ = b2 − 4ac = (−12)2 − 4×4×9 = 0.
∴ 方程有两个相等的实数根．
（3）方程化为 5y2 −7y + 5 = 0，a = 5，b = −7，c = 5，
∴ Δ = b2－4ac = (−7)2－4×5×5 = −51＜0.
课堂练习
1.已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( B )
A. 该方程有两个相等的实数根
B. 该方程有两个不相等的实数根
C. 该方程无实数根
D. 该方程根的情况不确定
2.若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范
围是（ D ）
A．m≥1
B．m≤1
C．m＞1
则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是( B )
课堂小结
根的情况
判别式的情况
Δ= b2 − 4ac > 0
两个不相等的实数根
Δ= b2 − 4ac = 0
两个相等的实数根
Δ = b2 − 4ac< 0
没有实数根
两个实数根
Δ= b2 − 4ac≥0
注意：1.一元二次方程化为一般式
人教版九年级数学上册第21章第2节《公式法》课件
△=b2﹣4ac=4+4=8＞0，
方程有两个不相等的实数根，
课堂检测
21.2 解一元二次方程/
基础巩固题
1.方程x2－4x＋4＝0的根的情况是( B ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.有一个实数 D.没有实数根
课堂检测
21.2 解一元二次方程/
基础巩固题
2. 关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等 的实根，则k的取值范围是 （ B ）
探究新知
21.2 解一元二次方程/
（3）4x2+1=-3x
（4）x²-2mx+4（m-1）=0
解：移项，得4x2+3x+1=0， 解：a＝1，b＝-2m ，c＝4（m-1）
a＝4，b＝3 ，c＝1
∵ △= b2-4ac
=9-4×4×1=-7＜0 ∴该方程没有实数根
∵ △= b2-4ac
=（-2m）²-4×1×4（m-1） =4m2-16（m-1） =4m2-16m+16 =（2m-4）2≥0
2a
二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根
公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.
当 b-4ac ＜0 时，方程有实数 根吗？
探究新知
21.2 解一元二次方程/
素养考点 1 公式法解方程
例1 用公式法解方程：
（1）x2-4x-7=0；
解：∵a=1，b=-4，c=-7, ∴b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0.
例2 不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）x2 2 6x 6 0
（2）x2+4x=2
解：a＝﹣1，b＝ 2 6，c＝﹣6 解： 移项，得 x2+4x-2=0
方程有两个不相等的实数根，
课堂检测
21.2 解一元二次方程/
基础巩固题
1.方程x2－4x＋4＝0的根的情况是( B ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.有一个实数 D.没有实数根
课堂检测
21.2 解一元二次方程/
基础巩固题
2. 关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等 的实根，则k的取值范围是 （ B ）
探究新知
21.2 解一元二次方程/
（3）4x2+1=-3x
（4）x²-2mx+4（m-1）=0
解：移项，得4x2+3x+1=0， 解：a＝1，b＝-2m ，c＝4（m-1）
a＝4，b＝3 ，c＝1
∵ △= b2-4ac
=9-4×4×1=-7＜0 ∴该方程没有实数根
∵ △= b2-4ac
=（-2m）²-4×1×4（m-1） =4m2-16（m-1） =4m2-16m+16 =（2m-4）2≥0
2a
二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根
公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.
当 b-4ac ＜0 时，方程有实数 根吗？
探究新知
21.2 解一元二次方程/
素养考点 1 公式法解方程
例1 用公式法解方程：
（1）x2-4x-7=0；
解：∵a=1，b=-4，c=-7, ∴b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0.
例2 不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）x2 2 6x 6 0
（2）x2+4x=2
解：a＝﹣1，b＝ 2 6，c＝﹣6 解： 移项，得 x2+4x-2=0
教学课件：七下湘教公式法第2课时 利用完全平方公式进行因式分解
(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2= a2-2ab+b2 .
将完全平方公式从右到左地使用，就可以把形
如这样的多项式进行因式分解.
例如， x2+4x+4 = x2+2·x·2+22 = (x+2)2 .
a2+2·a·b+b2 = (a+b)2
知识讲授
因式分解的完全平方公式
a 2 2ab b 2 a b
2
a 2ab b a b
2
2
2
注意：公式中
的, 既可以
是单项式，也
可以是多项式.
语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个
数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
知识讲授
我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.
能用完全平方公式分解因式的多项式的特点
(x2-1)2
[(x+1)(x-1)]2
(x+1)2(x-1)2.
知识讲授
例5 因式分解：
(1)3ax2+6axy+3ay2 ；
(2)( + )－（ + ） + .
解：(1)原式=3a（x2+2xy+y2）
有公因式，先
提公因式
=3a（x+y）2.
(2)原式 = （ + ）－ × （ + ） × +
法公式，我们得到了因式分解的两种方法：提取公因
式法、平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些
乘法公式可以用来分解因式呢？
完全平方公式
将完全平方公式从右到左地使用，就可以把形
如这样的多项式进行因式分解.
例如， x2+4x+4 = x2+2·x·2+22 = (x+2)2 .
a2+2·a·b+b2 = (a+b)2
知识讲授
因式分解的完全平方公式
a 2 2ab b 2 a b
2
a 2ab b a b
2
2
2
注意：公式中
的, 既可以
是单项式，也
可以是多项式.
语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个
数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
知识讲授
我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.
能用完全平方公式分解因式的多项式的特点
(x2-1)2
[(x+1)(x-1)]2
(x+1)2(x-1)2.
知识讲授
例5 因式分解：
(1)3ax2+6axy+3ay2 ；
(2)( + )－（ + ） + .
解：(1)原式=3a（x2+2xy+y2）
有公因式，先
提公因式
=3a（x+y）2.
(2)原式 = （ + ）－ × （ + ） × +
法公式，我们得到了因式分解的两种方法：提取公因
式法、平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些
乘法公式可以用来分解因式呢？
完全平方公式
最新部编人教版九年级上学期数学《公式法(2)》课件
重点、难点知识★▲
练习2. 用公式法解方程 4x2+4x+10=1-8x
解：整理，得 4x2+12x+9=0 因为b2-4ac=0
所以
x 12 0 8
利用公式法解一元二次方程
活动2 用求根公式解一元二次方程
重点、难点知识★▲
例3. 用公式法解方程： 2x2﹣5x 2 0
x5
5x 3
1
5x 3
知识梳理
求根公式是一元二次方程的专用公式，只有在确 定方程是一元二次方程时才能使用，同时，求根公式 也适用于解任何一元二次方程，是常用而重要的一元 二次方程的万能求根公式．
重难点归纳
（1）用求根公式解方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值． 2、求出b2-4ac的值． 3、代入求根公式 : x b b2 4ac (a≠0, b2-4ac≥0)
重点、难点知识★▲
练习5. 已知 x2-x-1=0，求：（1）求x的值．
（2）求
x4 2x2 1 x5
的值．
解：（1）x2-x-1=0， b2-4ac=（-1）2-4×1×（-1）=5，
x 1 5 21
x1
1 2
5,
x2
1 2
5
探究：利用公式法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
练习5. 已知 x2-x-1=0，求：（1）求x的值．
x 2 5 12 2 10 2 6 10 6
22
4
2
10 6
10 6
x1
2
, x2
2
探究：利用公式法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
例4. 解关于x的一元二次方程 x2+kx-3=0．
人教版八年级数学上册14.《公式法》第2课时教学课件
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
观察思考
你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积 吗？
a a²
ab a
a
b
同学们拼出的图形为：
ab a b
b² b b
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
观察思考 这个大正方形的面积可以怎么求？
b ab
做一做
分解因式： (1) 3a²x²24a²x48a²
(2)412(xy)+9(xy)²
解：(1)原式 3a²(x²8x16) 3a²(x4)²
有公因式要先提公因式.
(2)原式=2²2×2×3(xy)+3(xy)² 23xy² 23x3y²
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个 数的和(或差)的平方.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
归纳
完全平方式：a²2abb²
完全平方式的特点： 1.必须是三项式(或可以看成三项的)； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
延伸
1.计算 ： (1)100²21009999²
解：(1)原式(10099)² =1
(2)原式(3416)² 2500
(2)34²+3432+16²
利用完全平方公式分解因式， 可以简化计算
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
延伸
2.如果x²6x+N是一个完全平方式，那么N是( B )
14.3.2公式法 课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册
13.在括号内填上适当的数，使之能用完全平方公式进行因式分解.
（1）x2 （ ）xy+25y2； (2) 9a2 36ab ( ) .
14.已知a，b，c为三角形的三边，且a2 b2 c2 ab bc ac 0
判断此三角形的形状.
15.证明：无论a，b为何值，a2 b2 6a 10b 40 的值都大于0.
(1)a2b2 10ab 25;
(2) 16m2 40mn 25n2 ;
(3) x2 y2 8xy3 16 y4;
(4) x4 6x2 y2 9 y4 ;
(5) (m n)2 8(m n) 16 ; (6) (x y)2 4xy ;
(7) x2 4x 4;
(8) m2 12m 36 ;
16.若x 2z 3y，求 x2 9 y2 4z2 4xz 的值.
(3) x2 2x 1 ;
(6) 1 x2 x 1； 4
(9) a2 1 ab 1 b2 ; 24
(12) a2b2 6ab 9
2.把下列各式分解因式：
（1）a2 12a 36； (3) 9x2 12xy 4 y2 ; (5) 3x2 6xy 3y2； (7)(a b)2 6(a b) 9; (9) x4 2x2 1 ;
把（a-b）看作一个整体，这个多项式恰好是
（a-b）与5的平方，及（a-b）与5的乘积的2
倍，这样就可以利用完全平方公式分解因式了.
解：(1)m2 10mn 25n2 (m)2 2 (m)(5n) (5n)2 (m 5n)2
（3）(a b)2 1（0 a b） 25 (a b)2 2 5(a b) 52 (a b 5)2
(4)
x2 4x
2
8
x2 4x
（1）x2 （ ）xy+25y2； (2) 9a2 36ab ( ) .
14.已知a，b，c为三角形的三边，且a2 b2 c2 ab bc ac 0
判断此三角形的形状.
15.证明：无论a，b为何值，a2 b2 6a 10b 40 的值都大于0.
(1)a2b2 10ab 25;
(2) 16m2 40mn 25n2 ;
(3) x2 y2 8xy3 16 y4;
(4) x4 6x2 y2 9 y4 ;
(5) (m n)2 8(m n) 16 ; (6) (x y)2 4xy ;
(7) x2 4x 4;
(8) m2 12m 36 ;
16.若x 2z 3y，求 x2 9 y2 4z2 4xz 的值.
(3) x2 2x 1 ;
(6) 1 x2 x 1； 4
(9) a2 1 ab 1 b2 ; 24
(12) a2b2 6ab 9
2.把下列各式分解因式：
（1）a2 12a 36； (3) 9x2 12xy 4 y2 ; (5) 3x2 6xy 3y2； (7)(a b)2 6(a b) 9; (9) x4 2x2 1 ;
把（a-b）看作一个整体，这个多项式恰好是
（a-b）与5的平方，及（a-b）与5的乘积的2
倍，这样就可以利用完全平方公式分解因式了.
解：(1)m2 10mn 25n2 (m)2 2 (m)(5n) (5n)2 (m 5n)2
（3）(a b)2 1（0 a b） 25 (a b)2 2 5(a b) 52 (a b 5)2
(4)
x2 4x
2
8
x2 4x
《公式法》因式分解PPT课件(第2课时)
B. + −
C. − +
D. − + +
D
）
课堂检测
基础巩固题
3.如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是(
A . 11
B. 9
C. -11
)
B
D. -9
4.如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.
±8
课堂检测
∴＋＋＝(＋) ＝112＝121.
连接中考
（2020•眉山）已知 + = − − ，则 −
. 4
的值为
解析：由 +
得
+
= − − ，
− + + = ，
即 − + + + + = ，
∵ − = , = ，
∴原式=2.
巩固练习
变式训练
已知－＋－＋＝，求＋＋的值．
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
∴(－)＋(－)＝.
∵(－) ≥ ，(－) ≥ ，
∴－＝，－＝，∴＝，＝，
是.
巩固练习
变式训练
将前面例题的（2）（3）（4）变为完全平方式？
（2） + ²;
+ ² + ；
（3） + − ；
+ + ；
（4） + + .
+ + .
探究新知
知识点 2
用完全平方公式因式分解
《1432公式法2》课件(人教版八年级上)
如果一个多项式适当分组，使分组 后各组之间有公因式或可应用公式，那 么这个多项式就可以用分组的方法分解 因式。
练一练 mx+my-nx-ny
① ② ③④ ①②，③④两组，得（mx+my）-（nx+ny） 解1：原式= （mx+my）-（nx+ny）
=m(x+y)-n(x+y) =(x+y)(m-n)
二、分解因式
1．72-2(13x-7)2
2．8a2b2-2a4b-8b3
解：72-2(13x-1)2
解：8a2b2-2a4b-8b3
=2[62-(13x-7) 2] =2(6+13x-7)(6-13x+7)
=2b(4a2b-a4-4b2) =-2b(a4-4a2b+4b2)
=2(13x-1)(-13x+13) =-26(13x-1)(x-1)
4．若a+b=4，a2+b2=10 求a3+a2b+ab2+b3的值．
解：原式=(a3+a2b)+(ab2+b3) =a2(a+b)+b2(a+b) =(a+b)(a2+b2)
∵a+b=4，a2+b2=10 ∴原式=4×10=40
5．已知(x+y)2-2x-2y+1=0，求2x2+4xy+2y2的值．
3．(a+b) 2+2(a+b)-15 =__(a_+_b__+_5_)(_a_+_b_-_3_) 4．-1-2a-a2=__-_(a_+__1_) _2___ 5．x2-6x+9-y2 =_(_x_-3_+_y_)_(_x_-3_-_y_) 6．x2-4y2+x+2y=_(_x_+_2_y_)_(x_-_2_y_+_1_)_ 7．9x2+6xy+y2+3x+y =_(3_x_+_y_)_(_3_x_+_y_+_1_) 8．9x2+6xy+y2+3x+y-2=_(_3_x_+_y_+_2_)_(3_x_+__y_-1_)_
练一练 mx+my-nx-ny
① ② ③④ ①②，③④两组，得（mx+my）-（nx+ny） 解1：原式= （mx+my）-（nx+ny）
=m(x+y)-n(x+y) =(x+y)(m-n)
二、分解因式
1．72-2(13x-7)2
2．8a2b2-2a4b-8b3
解：72-2(13x-1)2
解：8a2b2-2a4b-8b3
=2[62-(13x-7) 2] =2(6+13x-7)(6-13x+7)
=2b(4a2b-a4-4b2) =-2b(a4-4a2b+4b2)
=2(13x-1)(-13x+13) =-26(13x-1)(x-1)
4．若a+b=4，a2+b2=10 求a3+a2b+ab2+b3的值．
解：原式=(a3+a2b)+(ab2+b3) =a2(a+b)+b2(a+b) =(a+b)(a2+b2)
∵a+b=4，a2+b2=10 ∴原式=4×10=40
5．已知(x+y)2-2x-2y+1=0，求2x2+4xy+2y2的值．
3．(a+b) 2+2(a+b)-15 =__(a_+_b__+_5_)(_a_+_b_-_3_) 4．-1-2a-a2=__-_(a_+__1_) _2___ 5．x2-6x+9-y2 =_(_x_-3_+_y_)_(_x_-3_-_y_) 6．x2-4y2+x+2y=_(_x_+_2_y_)_(x_-_2_y_+_1_)_ 7．9x2+6xy+y2+3x+y =_(3_x_+_y_)_(_3_x_+_y_+_1_) 8．9x2+6xy+y2+3x+y-2=_(_3_x_+_y_+_2_)_(3_x_+__y_-1_)_
课件4：14.3.2公式法（2）
就像平方差公式一样，完全平方公式也可以逆用，
从而进行一些简便计算与因式分解。即：
a 2 2ab b 2 a b
2
a 2 2ab b 2 a b
2
这个公式可以用文字表述为：
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的
两倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
牛刀小试(对下列各式因式分解)：
2
2
2
⑥ 25 x 20 x 4
2
（ − ）
因式分解：
①2a b 8ab
2
( )
提
高
训
练
一
② x y 4 x y 1
2
③ x y 4 x 2 y 2 4 x y
2
① （ + ）
② （ − + ）
判断△ABC的形状并说明理由。
整
式
的
乘
法
与
因
式
分
解
14.3
14.3.2
因式分解
公式法（2）
整
式
的
乘
法
与
因
式
分
解
复习回顾
还记得前面学的完全平方公式吗？
a b 2 a 2 2ab b 2
2
a
b
a b 2 a 2 2ab b 2
计
算
：
a 2 2ab b 2
x 44 x __________
2
(a+3)
2
① a +6a+9 = _________________
从而进行一些简便计算与因式分解。即：
a 2 2ab b 2 a b
2
a 2 2ab b 2 a b
2
这个公式可以用文字表述为：
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的
两倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
牛刀小试(对下列各式因式分解)：
2
2
2
⑥ 25 x 20 x 4
2
（ − ）
因式分解：
①2a b 8ab
2
( )
提
高
训
练
一
② x y 4 x y 1
2
③ x y 4 x 2 y 2 4 x y
2
① （ + ）
② （ − + ）
判断△ABC的形状并说明理由。
整
式
的
乘
法
与
因
式
分
解
14.3
14.3.2
因式分解
公式法（2）
整
式
的
乘
法
与
因
式
分
解
复习回顾
还记得前面学的完全平方公式吗？
a b 2 a 2 2ab b 2
2
a
b
a b 2 a 2 2ab b 2
计
算
：
a 2 2ab b 2
x 44 x __________
2
(a+3)
2
① a +6a+9 = _________________
公式法参考课件2
7
11 2
,
即：x1=9, x2= -2
x b
b2 4αc 2α
例 2 解方程： x2 3 2 3x
解：化简为一般式：x2 2 3x 3 0
这里 a=1, b= 2 3 , c= 3.
∵b2 - 4ac=( 2 3)2 - 4×1×3=0,
x 2
3 21
0
23 2
3,
即：x1= x2= 3
x b
b2 4αc 2α
例 3 解方程：（x-2)(1-3x)=6
解：去括号：x-2-3x2+6x=6 化简为一般式：-3x2+7x-8=0 3x2-7x+8=0 这里 a=3, b= -7, c= 8.
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×3×8=49 - 96= - 47< 0,
∴x没有实数解。
说说：利用配方法解下列一元二次方程的 基本步骤
（1）2x2-9x+8=0; （2）9x2+6x+1=0; （3）16x2+8x=3.
你能用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0),吗？
ax2+bx+c=0(a≠0)
两边都除以a
移项
配方
如果 b2-4ac≥0
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0), 当b2-4ac≥0时，它的根是：
x b
b2 4αc 2α
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
x b
b2 4αc 2α
例 1 解方程：x2-7x-18=0 解：这里 a=1, b= -7, c= -18.
公式法 第二课时-数学七年级下册同步教学课件(冀教版)
x
1 2
2
C．x 2－2x＋4＝(x－2)2
D．4x 2－y 2＝(4x＋y )(4x－y )
8 分解因式：mn 2－2mn＋m＝_m___(_n_－__1_)_2__． 9 因式分解：－2x 2y＋16xy－32y＝－__2__y_(_x_－__4__)_2． 10 若一个长方形的面积是x 3＋2x 2＋x (x＞0)，且一
1 2
2
＝
3m
1 2
2
.
总结
因式分解时，要注意综合运用所学的分解方法， 常用的分析思路是： ① 提公因式法； ② 公式法．有 时，需要反复利用公式法因式分解，直至每一个因式 都不能分解为止．注意综合利用乘法公式，既用到平 方差公式又用到完全平方公式．
1 把下列各式分解因式：
(1)6xy－x 2－9y 2；(2)－m 3＋2m 2－m； (3)3x 2－6x＋3； (4)4xy 2＋4x 2y＋y 3. 解：(1)6xy－x 2－9y 2＝－(x 2－6xy＋9y 2)＝－(x－3y )2. (2)－m 3＋2m 2－m＝－m (m 2－2m＋1)＝－m (m－1)2. (3)3x 2－6x＋3＝3(x 2－2x＋1)＝3(x－1)2. (4)4xy 2＋4x 2y＋y 3＝y (4x 2＋4xy＋y 2)＝y (2x＋y )2.
5 若x 2－14x＋m 2是完全平方式，则m＝__±__7___. 6 若关于x 的二次三项式x 2＋ax＋ 1 是完全平方式，则a 的
4 值是__±__1____．
知识点 2 用完全平方公式分解因式
我们把多项式a 2＋2ab＋b 2及a 2－2ab＋b 2叫做完
全平方式.在运用完全平方公式进行因式分解时，关 键是判断这个多项式是不是一个完全平方式. 例如:
2 解一元二次方程 公式法PPT课件(人教版)
12．已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋b－1＝0有两个相等的实数 根，则b 的值是__2__．
13．关于x 的方程(a＋1)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足的条件是 _a_≥_－__5_____．
14．用公式法解下列方程： (1)x(2x－4)＝5－8x；
解：原方程整理为 2x2＋4x－5＝0，∴b2－4ac＝16＋4×2×5＝ 56，∴x＝－24×±256，即 x1＝－2＋2 14，x2＝－2－2 14
练习1：对一元二次方程x2－2x＝1，b2－4ac＝__8__． 2．式子____b_2_－__4_a_c___叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别 式，常用Δ表示，Δ＞0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有 __有__两__个__不__等__的__实__数__根_______；Δ＝0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有 __两__个__相__等__的__实__数__根___；Δ＜0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)____无__实__数__根__． 练习2：(202X·长沙)若关于x的一元二次方程x2－4x－m＝0有两个 不相等的实数根，则实数m的取值范围是_____m_＞__－__4____．
8．一元二次方程x2－x－6＝0中，b2－4ac＝__2_5___，可得x1＝ __3__，x2＝__－__2__．
(91．)x用2－公3x式－法2＝解0下；列方解程：：x1＝3＋2 17，x2＝3－2 17 (2)8x2－8x＋1＝0；
解：x1＝2＋4 2，x2＝2－4 2
(3)2x2－2x＝5. 解：x1＝1＋2 11，x2＝1－2 11
知识点1：根的判别式 1．(202X·邵阳)一元二次方程2x2－3x＋1＝0的根的情况是( B ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．(202X·丽水)下列一元二次方程没有实数根的是( B ) A．x2＋2x＋1＝0 B．x2＋x＋2＝0 C．x2－1＝0 D．x2－2x－1＝0
《运用公式法》第二课时上课课件
a 2ab b a b
2
2
运用公式法分解因式：
由分解因式与整式乘法的关系可以看出， 如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把 某些多项式分解因式，这种分解因式的方法 叫做运用公式法。
a b (a b)(a b)
2 2
a 2ab b (a b)
2 2
2
练一练
填空：
（ 1 ） a 2+
2ab
+b2=(a+b)2 b2 =(a-b) 2
2 2
[x 2 x (2y) (2y) ]
2 2
( x 2 y)
2
(5) 4a 12ab 9b
2
2
2
原式 (2a) 2 (2a) (3b) (3b) 解：
2
(2a 3b)
（6） 16x4-8x2＋1
2 2
2
解： 原式 (4x ) 2 (4x ) 1 1 2 2 (4x 1)
（2）a2-2ab+
（3）m2+2m+
（4）n2-2n+
1
=( m+1 ) 2
=( n-1 ) 2
1
（5）x2-x+0.25=( x-0.5 ) 2
（6）4x2+4xy+( y ) 2=( 2x+y ) 2
例题解析
(1) x2＋14x＋49
解： 原式 x 2 x 7 7
2
2
(x 7)
解:原式=(x2+4)(x2-4)
（有公因式，先提公因式。） （因式分解要彻底。）
2．除了平方差公式外，还学过了哪些公式？
人教版九年级数学上册公式法2(根的判别式)课件
∆=b2-4ac =4-4×（k-1）=8-4k ∵方程有实数解 ∴8-4k≥0,k≤2 又k-1≠0，∴k≤2且k≠1
有实数解，则k
跟踪练习
1.关于x的方程
有两个相等
的实数根，则m的值为（ D ）
A．2 B．-2 C．0 D．±2
跟踪练习
2.关于x的方程x2＋2x－a=0没有实数根，则a的
值可能是( A )
的根的情况是（C ）
D．无法判定
跟踪练习
3.已知关于x的一元二次方程2x2−(m＋n)x＋mn＝0， 其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方
程的根的情况是（ B ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
能力提升
已知关于x的一元二次方程
(1)求证：此方程一定有两个不相等的实数根； (1)证:A=a-1,B=2a+1,C=2
跟踪练习
1.探讨关于x的一元二次方程
总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：
甲：a，b同号； 乙：
丙：
其中符合条件的是（ B ）
A．甲，乙，丙都正确 B．只有甲不正确 C．甲，乙，丙都不正确 D．只有乙正确
新知探究 根据根的判别式求字母系数的取值范围
已知一元二次方程
的取值范围是
.
解：a=k-1，b=2，c=1
A．－2 B．－1 C．0
D．2
本课小结
1.知道根的判别式的是b2-4ac并会求它的准确值 2.根据根的判别式判断方程根的情况 3.根据根的判别式求字母的取值范围.
当堂检测
1．下列一元二次方程有两个相等的实数根
的是（ ）
A．x2+2x=0 B．（x﹣1）2=0
有实数解，则k
跟踪练习
1.关于x的方程
有两个相等
的实数根，则m的值为（ D ）
A．2 B．-2 C．0 D．±2
跟踪练习
2.关于x的方程x2＋2x－a=0没有实数根，则a的
值可能是( A )
的根的情况是（C ）
D．无法判定
跟踪练习
3.已知关于x的一元二次方程2x2−(m＋n)x＋mn＝0， 其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方
程的根的情况是（ B ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
能力提升
已知关于x的一元二次方程
(1)求证：此方程一定有两个不相等的实数根； (1)证:A=a-1,B=2a+1,C=2
跟踪练习
1.探讨关于x的一元二次方程
总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：
甲：a，b同号； 乙：
丙：
其中符合条件的是（ B ）
A．甲，乙，丙都正确 B．只有甲不正确 C．甲，乙，丙都不正确 D．只有乙正确
新知探究 根据根的判别式求字母系数的取值范围
已知一元二次方程
的取值范围是
.
解：a=k-1，b=2，c=1
A．－2 B．－1 C．0
D．2
本课小结
1.知道根的判别式的是b2-4ac并会求它的准确值 2.根据根的判别式判断方程根的情况 3.根据根的判别式求字母的取值范围.
当堂检测
1．下列一元二次方程有两个相等的实数根
的是（ ）
A．x2+2x=0 B．（x﹣1）2=0
新湘教版七年级数学下册《3章 因式分解 3.3 公式法 3.3公式法(2)》课件_5
典例精析
例1 ：将下列多项式因式分解
9x2 3x 1 4
（3x）2 2 3x 1 ( 1 ) 2 22
（3x 1 ）2 2
4x2 12 xy 9 y2
(4x2 12 xy 9 y2 ) [(2x)2 2 2x 3y (3y)2 ]
(2x 3y)2
a4 2a2b b2
三、运用新知
1、判断：下列各式是不是完全平方式？并说明你的理由.
（1）a2－4a+4;
是 （2）1+4a²;
不是
（3）4b2+4b-1; 不是 （4）a2+ab+b2; 不是
分析： （2）因为它只有两项； （3）4b²与-1的符号不统一； （4）因为ab不是a与：
1. x²+4x+4= ( x)²+2·( x)·( 2)+( 2 )²=( x + 2 )² 2.m²-6m+9=( m)²- 2·(m)·(3 )+( 3 )²=( m - 3)² 3.a²+4ab+4b²=(a )²+2·( a ) ·(2b )+(2b )²=(a + 2b )² 像上面这样，把乘法公式从右到左使用，就可以把某些形式 的多项式进行因式分解，这种分解因式的方法叫做公式法.
1.简便计算（1）992 +198+1 （2）20142 −2014×4026+20132
2. 将 4x2 1 再加上一个整式，使它成为完全平方式，你 有几种方法？
课后作业： 课本第67页第2题 1、2、6、7。
a2+2ab+b2 观察这两个式子：
a2－2ab+b2
（1）每个多项式有几项？ 三项 （2）每个多项式的首项和尾项有什么特征？
3 公式法(二)课件 公开课一等奖课件
a表示x，b表示3.
m m (5) 1 m；是 a表示1 ，b表示 . 4 2 (6) 4 y 2 12 xy 9 x 2．
2
是
a表示2 y，b表示3x.
2. 把下列各式分解因式：
(1) x 2 12 xy 36 y 2 ; (2)16a 4 24a 2b 2 9b 4 ; (3) 2 xy x 2 y 2 ; (4)4 12( x y ) 9( x y ) 2 .
2 2 2
学习新知
a 2 2ab b 2 ( a b ) 2 2 2 2 a2 2ab b 2 ( a b )2 两个数的平方和，加上（或减去）这两个数 的积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方．
形如
a 2ab b 2 2 的多项式称为完全平方式. a 2ab b
2
2
(m 2n) (m n) ( 2m n) 2
2
例2.把下列各式分解因式: 2 2 (1)3ax 6axy 3ay
解:原式
3a( x 2 xy y )
2 2
3a( x y )
2
(2) x 2 4 y 2 4 xy 解：原式 ( x 2 4 y 2 4 xy )
2 2
2.请补上一项，使下列多项式成为完全平方式．
2 2 1 x _____ y (2 xy) ；
2 3 4 5
12ab ； 4a 9b ______
2 2
(4 y ) 4 y ； x _____
2 2
1 2 ab) b ； a ( _____ 4 2 4 2 y ． x 2 x y _____
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2a
25
10
即：x1
6 5
,
x2 2
3
探究：利用公式法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
例2. 用公式法解一元二次方程 x2+4x=2
解: 将方程化为一般形式，得 x2+4x-2=0 因为 b2-4ac=24 所以 x 4 24 2 6
2
即： x1 2 6, x2 2 6
4
探究：利用公式法解一元二次方程
21.2.2 公式法 第二课时
1
（1）用求根公式解方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值．
2、求出b2-4ac的值．
3、代入求根公式 : x b b2 4ac (a≠0, b2-4ac≥0)
2a
4、写出方程的解： x1 b
b2 4ac 2a
， x2
b
b2 4ac 2a
（2）求
x4 2x2 1 x5
的值．
解：
（2）x2-x-1=0， x2=x+1，
x4=（x2）2=（x+1）2=x2+2x+1=x+1+2x+1=3x+2，
x5=x（3x+2）=3x2+2x=3（x+1）+2x=5x+3，
2x2=2（x+1）=2x+2，
x4 2x2 1 3x 2 2x 2 1 5x 3
2
10
探究：利用公式法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
例5. 那么
如果a、b都是正实数，且
a b
（
C
）
1 a
1 b
1 ab
0
，
A. 1 5
2
B. 1 2
2
C. 1 5
2
1 2
D. 2
【思路点拔】整理原式后得到a2+ab-b2=0，把b当作 已知数，先求出a的值，再代入求出即可．
11
探究：利用公式法解一元二次方程
a 2 3 1
∴原式=
1 a2
a 1
| a 1|
a a 1
1 a
=a-1
2 3 1
即
1 2a a2
a 1
a2 2a 1 1
a2 a
1 a
3
15
探究：利用公式法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
练习6. 已知a，b，c均为实数，且 a 2 b 1 (c 3)2 0，
求关于x的方程ax2+bx+c=0的根．
重点、难点知识★▲
练习2. 用公式法解方程 4x2+4x+10=1-8x
解：整理，得 4x2+12x+9=0 因为b2-4ac=0
所以
x 12 0 8
即：
x1
x2
3 2
5
探究：利用公式法解一元二次方程
活动2 用求根公式解一元二次方程
重点、难点知识★▲
例3. 用公式法解方程： 2x2﹣5x 2 0
（2） 一元二次方程ax2 bx c 0根的判别式，通常用希腊字母 表示，即 b2 4ac .
2
探究：利用公式法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
练习1. 5x2-4x-12=0.
解：因为 a=5，b=-4，c=-12
b2-4ac=256
所以 x b b2 4ac (4) 256 4 16
解： a 2，b 5，c 2 Δ=b2-4ac=25-8=17
x 5 17 5 2 34
22
4
x1 5
2 4
34 , x2 5
2 4
34
6
探究：利用公式法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
练习3. 用公式法解方程： 2x2﹣2 5x 2 0
解： a 2，b 2 5，c 2 Δ=b2-4ac=20-8=12
14
探究：利用公式法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
解：①∵ a是一元二次方程x2-4x+1=0的根，
∴ a2-4a+1=0，
∴ a2-4a=-1；
∴ a2-4a+2012=-1+2012=2011；
②原方程的解是：x 4 2 3 2 3
2
∵a一元二次方程x2-4x+1=0的两个实数根中的较小根，
0
，
A. 1 5
2
B. 1 2
2
C. 1 5
2
1 2
D. 2
解： 1 1 1 0 , 即 a b 1
a b ab
ab a b
去分母后整理得：a2+ab-b2=0，
∵a、b都是正实数
a b b2 41 (b)2 b 5b
21
2
a b 5b
a b+ 5b 1+ 5
2
b 2b
x5
5x 3
1
5x 3
13
探究：利用公式法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
例6. 已知a是一元二次方程 x2-4x+1=0 的两个实数根
中较小的根，
①求a2-4a+2012的值；
②化简求值 1 2a a2 a2 2a 1 1 .
a 1
a2 a
a
【思路点拨】 ①根据一元二次方程解的定义，将x=a代入原方程，即可求得a24a的值；然后将a2-4a整体代入所求的代数式并求值即可； ②先利用公式法求得原方程的解，根据已知条件可知a值；然后将 其代入化简后的代数式求值即可．
,
x2
k
k 2 12 2
【思路点拨】先由根的判别式 Δ=b2-4ac≥0 判断是否有解， 再用求根公式求出方程的解.
8
探究：利用公式法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
练习4. 解关于x的一元二次方程 3x2+6x+k=0．
解：由题意得： 36 12k
若 0, 即k 3
x 6 36 12k 6
解：∵ a 2 b 1 (c 3)2 0
∴ a-2=0，b+1=0，c+3=0，
∴ a=2，b=-1，c=-3．
x 2 5 12 2 10 2 6 10 6
22
4
2
10 6
10 6
x1
2
, x2
2
7
探究：利用公式法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
例4. 解关于x的一元二次方程 x2+kx-3=0．
解：由题意得： k2 12 0
k k 2 12 x
2
x1 k
k2 2
12
x1 3
9 3k , 3
x2 3
9 3k 3
若 0, 即k 3, 则 x1 x2 1
若 0, 即k 3, 则原方程无解
9
探究：利用公式法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
活动3
公式法解一元二次方程的综合运用
例5. 那么
如果a、b都是正实数，且
a b
（
C
）
1 a
1 b
1 ab
重点、难点知识★▲
练习5. 已知 x2-x-1=0，求：（1）求x的值．
（2）求
x4 2x2 1 x5
的值．
解：（1）x2-x-1=0， b2-4ac=（-1）2-4×1×（-1）=5，
x 1 5 21
x1
1 2
5,
x2
1 2
5
12
探究：利用公式法解一元二次方程
重点、难点知识★▲
练习5. 已知 x2-x-1=0，求：（1）求x的值．