变式题(裴改后11)

七年级下册 · 课本亮题拾贝5．1 相交线题目 如图，直线AB ，CD 相交于点O ，∠EOC = 70︒，OA 平分∠EOC ，求∠BOD 的度数．（人教课本P 97题）解 ∵ OA 平分∠EOC ，∴ ∠AOC =21∠EOC = 35︒． 又 ∵∠BOD =∠AOC ，∴ ∠BOD = 35︒．点评 由角平分线定义如AD 是∠BAC 的角平分线，得∠BAD =∠CAD =21∠BAC ．演变变式1 已知直线AB 与CD 相交于O ，OB 平分∠COE ，FO ⊥AB ，∠EOF = 120︒，求∠AOD 的度数． （答案：30︒）变式2 已知直线AB 与CD 相交于O ，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，且∠BOF = 40︒，求∠EOD 的度数．（答案：140︒）变式3 已知AB ⊥CD 于O ，直线EF 过点O ，∠AOE = 25︒，求∠COF 的度数．（答案 65︒）变式4 已知∠AOB 是直角，且∠AOC = 40︒，OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ，求∠MON 的度数．解 ∵ ∠AOB = 90︒，∠AOC = 40︒， ∴ ∠BOC = 130︒．∵ OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ，∴ ∠MOC =21∠BOC = 65︒，∠AON =∠NOC =21∠AOC = 20︒，∴ ∠MON =∠MOC －∠AON = 45︒．变式5 在变式4 中，当∠AOB =α，其它条件不变时，求∠MON 的度数．（答案：21α）E ACD BO A B F C D E OA B E CD F CO B M A N变式6 在变式4 中，当∠AOC =β，其它条件不变时，求∠MON 的度数，从中你得出了什么结论？（答案：45︒）点评 通过变换∠AOB 和∠AOC 的度数可以发现，∠MON 的度数大小只与∠AOB 的度数大小有关，而与∠AOC 的度数无关．5．2 平行线及其判定题目 如图，AB ∥CD ∥EF ，那么∠BAC + ∠ACE +∠CEF =（ ）．（人教课本P 236（2）题）A ．180︒B ．270︒C ．360︒D ．540︒解 这是平行线性质的应用，利用“两直线平行，同旁内角互补”，可以得到∠BAC +∠ACE +∠CEF = 360︒，故选C ．其中，CD 在解题中起了非常重要的一个“桥梁”的作用． 演变 变式1 （2008年广安）如图，AB ∥CD ，若∠ABE = 120︒，∠DCE = 35︒，则有∠BEC =________度．解 过点E 作EF ∥AB ．由于 ∠ABE = 120︒，所以 ∠FEB = 60︒．（两直线平行，同旁内角互补） 又由于 ∠DCE = 35︒，所以 ∠FEC = 35︒，（两直线平行，内错角相等） 所以 ∠BEC =∠FEB +∠FEC = 60︒ + 35︒ = 95︒． 变式2 （2008年成都）如图，已知直线AB ∥CD ， ∠ABE = 60︒，∠CDE = 20︒，则∠BED = 度．（提示：过点E 作EF ∥AB ，则可得∠BED = 80︒） 变式3 （2008年十堰）如图，已知AB ∥CD ， ∠A = 50︒，∠C = 20︒，则∠P = ．（提示：过点P 作AB 与CD 的平行线，即可得解，∠P = 35︒）变式4 已知直线AB 与CD 的平行线，下列结论正确的是（ ）． A ．∠A +∠P +∠C = 180︒ B ．∠A +∠P +∠C = 360︒ C ．∠A +∠C = 2∠P D ．∠A +∠C =∠P（答案：D ）变式5 （2009年湘西自治州）如图，l 1∥l 2，∠1 = 120°，∠2 = 100°，BADCPAB EC DF E A B D F C ABCDE则∠3 =（ ）（答案：A ）A ．20°B ．40°C ．50°D ．60°变式6 如图，AB ∥CD ，分别写出下面四个图形中∠A 与∠P 、∠C 的关系，请你从所得到的关系中任选一图的结论加以证明．．．．．．．．．．． ACDB PACDBP ACDB PACDB P （1） （2） （3） （4）（答案：（1）∠A +∠C =∠P （2）∠A +∠C +∠P = 360︒ （3）∠A =∠C +∠P （4）∠C =∠A +∠P ）点评 随着折点的不同变化，结论也会不同，但解法却如出一辙，都是过折点作平行线求解．还有其它的几种变式，请同学们自己探究．（结论：左边的角=右边的角）平行线的性质题目 如图，a ∥b ，∠1 = 80︒，∠5 = 70︒，求∠2，∠3，∠4的度数．（人教课本P 233题） （答案：∠2 = 80︒，∠3 = 110︒，∠4 = 110︒）点评 两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 演变变式1 如图，若 ∠1 =（2x －50）︒，∠与b 平行吗？12 3 l 1l 2（答案：平行）变式2（2009江西）如图，直线m n ∥，︒∠1=55，︒∠2=45，则∠3的度数为（ ）A ．80︒B ．90︒C ．100︒D ．110︒（答案：D ）变式3 若∠1 =（3x －30）︒，∠2 =（210－3x ）︒，则a 与b 平行吗？（答案：平行）变式4 若∠1为其补角的3倍，∠2等于其余角，则a 与b 平行吗？（答案：平行）变式5 若∠1 =（50－2x ）︒，∠2 =（180－3x ）︒，要使a 与b 平行，则x 为多少度？（答案：x = 10︒）6．1 平面直角坐标系题目 在平面直角坐标系中点的横、纵坐标满足：① 点P （x ，y ）的坐标xy ＞0；② 点P （x ，y ）的坐标xy ＜0，求点P 在第几象限．（人教课本P 4610题）解 ① 点P 在第一、三象限； ② 点P 在第二、四象限）点评 点的横、纵坐标满足：第一象限正正；第二象限负正；第三象限负负；第四象限正负．演变变式1 若点P （1，2x ）在第四象限内，求x 的取值范围．（答案：x ＜0）变式 2 若点P （x ，1－2x ）的横、纵坐标互为相反数，则点P 一定在 ．（答案：第四象限）变式3 已知点P （x ，y ），且x ，y 满足（x + 1）2 +｜y －2｜= 0，求点P 在第几象限．（答案：第二象限）变式4 已知点P （x ，y ）在第二象限，且｜x ｜－2 = 0，y 2－4 = 0，求点P 的坐标．（答案：P （－2，2））变式5 已知点P （x ，y ）的坐标满足xy = 0，则点P 在 ．（答案：坐标轴上）3mn2 1变式6已知点P（x + 2，x + 1）在平面直角坐标系的y轴上，则点P的坐标为．（答案：P（0，－1））变式7已知点P（x，y），则P到x轴得距离是；到y轴得距离是．（答案：｜y｜，｜x｜）6．2 坐标方法的简单应用题目已知三角形ABC的坐标为A（－2，3），B（－4，－1），C（2，0），三角形ABC中任意一点P（x，y）经平移后对应点P′（x + 5，y + 3），将三角形ABC作同样的平移得到三角形A′B′C′，求A′、B′、C′的坐标．（人教课本P557题）解A′（3，6）、B′（1，2）、C′（7，3）．点评在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x + a，y）（或x－a，y）；将点（x，y）向上（或下）平移b个长度，可以得到对应点（x，y + b）或（x，y－b）．演变变式1已知三角形ABC的坐标不变，求三角形ABC和三角形A′B′C′的面积大小．（答案：8和8）变式2将三角形ABC的横坐标保持不变，纵坐标分别乘以－1，所得的新三角形与原三角形ABC相比有什么变化？（答案：现状和大小不变，只是位置变了，他们关于x轴对称）变式3将三角形ABC的横坐标分别变为原来的2倍，纵坐标保持不变，所得的新三角形与原三角形ABC相比有什么变化？（答案：原三角形ABC被横向拉长为原来的2倍，面积为22）变式4横、纵坐标分别变为原来的2倍，所得的新三角形与原三角形ABC 相比有什么变化？（答案：大小为原来的4倍，面积为44）变式5线段CD是由线段AB平移得到的，点A（－1，4）的对应点为C （4，7），则点B（－4，－1）•的对应点的坐标为（）．A．（2，9）B．（5，3）C．（1，2）D．（－9，－4）（答案：C）变式6将点M（x，y）先向左平移a个单位长度，再向上平移b个单位长度后得到点N，则点N的坐标为．（答案：N（x－a，y + b））变式7 观察下面A 、B 、C 、D 四幅图案中，能通过图案（1）平移得到的是（ ）．（答案：C ）变式8 通过平移，可将图（1）中的福娃“欢欢”移动到图（ ）．（图1） A（答案：C ）7．1 与三角形有关的线段题目 如图，在三角形ABC 中，AE 是中线，AF 是高线，AD 是角平分线，（人教课本P 69 4题）（1）BE = =21 ； （2）∠BAD = =21 ； （3）∠AFB = = 90︒； （4）S △ABC = ．解 （1）BE = EC =21BC ． （2）∠BAD =∠DAC =21∠BAC ． （3）∠AFB =∠AFC = 90︒． （4）S △ABC =21BC ×AF ． 演变变式1 在△ABC 中，AE 平分∠BAC （∠C ＞∠B ）， AD 为边BC 上的一高，且∠B = 20︒，∠C = 30︒，求∠EFD 的度数．解 ∵ AE 平分∠BAC ，∴ ∠BAE =21∠BAC =21（180︒－∠C －∠B ）． ∵ AD 为边BC 上的高，∴ ∠BAD = 90︒－∠B ，∠EAD =∠BAD －∠BAE ， ∴ ∠EAD =21∠C －21∠B = 5︒．变式2 在△ABC 中，AE 平分∠BAC （∠C ＞∠B ）， AD 为边BC上的一(1) A B C D高，且∠B = x ，∠C = y ，求∠EFD 的度数．（答案：∠EFD =21y －21x ）变式3 在△ABC 中，AE 平分∠BAC （∠C ＞∠B ），F 为AE 上的一点，且FD ⊥BC 于D ，求∠EFD 与∠B ，∠C 的关系．（答案：∠EFD =21∠C －21∠B ）变式4 当点F 在AE 的延长线上时，其余条件不变， 求∠EFD 与∠B ，∠C 的关系．（答案：∠EFD =21∠C －21∠B ）变式5 当点F 在EA 的延长线上时，其余条件不变，求∠EFD 与∠B ，∠C 的关系．（答案：∠EFD =21∠C －21∠B ）7．2 与三角形有关的角题目 如图，BO 、CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ．若∠A = 100︒， 求∠O 的度数．（人教课本P 91 9题） 解 ∵ C B BOC ∠-∠-︒=∠2121180= )180(21180)(21180A C B ∠-︒-︒=∠+∠-︒，∴ A BOC ∠+︒=∠2190．∴ 140=∠BOC ︒．演变变式1 如上图，BO 、CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ．（1）若∠A = 60︒，求∠O ；（2）若∠O = 120︒，∠A 又是多少？（3）请求出∠O 与∠A 之间的关系． （答案：（1）当∠A = 60︒ 时，∠O = 120︒． （2）当∠O =120︒ 时，∠A = 80︒． （3）∠A 与∠O 的关系式为∠O = 90︒ +12∠A ）变式2 在△ABC 中，∠B 的平分线与∠C 的外角平分线相交于点O ． （1）若∠A = 60︒，求∠O ； （2）若∠O = 60︒，∠A 又是多少？ （3）请求出∠O 与∠A 之间的关系． （答案：（1）当∠A = 60︒ 时，∠O =12× 60︒ = 30︒． （2）当∠O = 60︒ 时，OE C B ACA OB∠A = 120︒． （3）∠A 与∠O 的关系式为∠O =12∠A ）变式3 如图，已知∠MON = 90︒，点A 、B 分别在射线OM 、ON 上移动，∠OAB 的内角平分线与∠OBA 的外角平分线所在直线交于点C ，试猜想：随着A 、B 点的移动，∠ACB 的大小是否变化？说明理由？（答案：随着A 、B 点的移动，∠ACB 的大小不变化，∠ACB = 45︒）变式4 在△ABC 中，∠B 的外角平分线与∠C 的外角平分线相交于点O ， （1）若∠A = 60︒，求∠O ；（2）若∠O = 100︒，∠A 又是多少？ （3）请求出∠O 与∠A 之间的关系．（答案：（1）当∠A = 60︒ 时，∠O = 90︒－12× 60︒ = 60︒． （2）当∠O = 100︒ 时，∠A = 20︒．（3）∠A 与∠O 的关系式为∠O －12∠A = 90︒．）变式5 如图，△ABC 中，∠A = 80︒，延长BC 到D ，∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于A 2，依次类推，∠A 4BC 与∠A 4CD 的平分线相交于A 5，则∠A 5的度数为多少？再画下去……，∠A n 的大小呢？解 ∵ ∠ACD 为△ABC 的外角， ∴ ∠ACD =∠ABC +∠A ， 即 ∠ACD －∠ABC =∠A ． ∵ ∠A 1CD 为△A 1BC 的外角， ∴ ∠A 1CD －∠A 1BC =∠A 1．∵ BA 1，A 1C 分别平分∠ABC ，∠ACD ，∴ ∠A 1CD =12∠ACD ，∠A 1BC =12∠ABC ，∴12（∠ACD －∠ABC ）=∠A 1，即 ∠A 1 =12∠A ． 同理：∠A 2 =12∠A 1 =221∠A ； ∠A 3 =12∠A 2 =321∠A ；∠A 4 =12∠A 3 =421∠A ； ∠A 5 =12∠A 4 =521∠A ．所以 ∠A 5 =521∠A =5280． ∠A n =n 280．变式6 已知△ABC 中，① 如图（1），若P 点是∠ABC 和∠ACB 的角平12N B C O MA PB N AM C分线的交点，则∠P = 90︒ +21∠A ；② 如图（2），若P 点是∠ABC 和外角ACE 的角平分线的交点，则∠P = 90︒－∠A ；③ 如图（3），若P 点是外角∠CBF 和∠BCE 的角平分线的交点，则∠P = 90︒－21∠A ．上述说法正确的个数是（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3多边形的内角和题目 一个多边形的内角和等于1260︒，它是几边形？（人教课本P 855题） 解 九边形．点评 n 变形内角和 =（n －2）×180︒，外角和 = 360︒． 演变变式1 一个多边形的内角和与外角和的差是1800︒，则它的边数为 ．（答案：14）变式2 一个多边形的内角和不可能是（ ）．A ．360︒B ．720︒C ．520︒D ．1800︒（答案：C ）变式3 （2009年广西南宁）一个五边形木架的内角和是（ ） A ．720︒ B ．540︒ C ．360︒ D ．180︒（答案：B ）变式4 （2009年广州市）只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是（ ）A ．正十边形B ．正八边形C ．正六边形D ．正五边形（答案：C ）变式5 一个多边形的内角和是1440︒，那么过一个顶点可以引几条对角线？此多边形共有多少条对角线？解 设此多边形的变数为n ，则（n －2）×180︒ = 1440︒，解得 n = 10． ∵ 过n 边形的一个顶点可以引（n －3）条对角线， ∴ n －3 = 10－3 = 7．又 ∵ n 边形共有21n （n －3）条对角线， P E C B A C AB PPB N A M C∴21n （n －3）= 35． 变式6 一个正多边形的一个外角的度数是它对应内角度数的41，求此多边形的内角和．（答案：1440︒）变式7 求下列图形的中∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的度数．点评 多图一思路，将这五个角的和转化为三角形的内角和，均为180︒． 变式8 求下列图形的中∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F 的度数．（答案：360︒，360︒）变式9 （2009年北京市）若一个正多边形的一个外角是40︒，则这个正多边形的边数是（ ） （答案：B ）A ．10B ．9C ．8D ．68．2 二元一次方程组的解法题目 解方程组：⎩⎨⎧=+=+4332b a b a （人教课本P 1033（2）题）（答案：⎩⎨⎧==11b a ） 演变 变式1解方程组：⎩⎨⎧=+-=+-75212b a b a （答案：⎩⎨⎧==11b a ）A B C D E FA BC DE F CA B D E C A D B EE变式2 已知⎩⎨⎧-==24y x 和⎩⎨⎧-=-=52y x 都满足等式y = kx + b ．① 求k 、b 的值；② 求x = 8时，y 的值，③ x 为多少时，y = 3 ?（答案： ①⎩⎨⎧-==45.0b k ② y = 0 ③ x = 14）变式3 甲、乙两人同解 方程组⎩⎨⎧-=-=+232y cx by ax ，甲同学正确解为⎩⎨⎧-==11y x ，乙同学因为抄错c ，解得⎩⎨⎧-==62y x ，求a 、b 、c 的值．（答案：a = 2.5，b = 0.5，c =－5）变式4 已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧-=+=-225413by ax y x 与⎩⎨⎧=--=-8432by ax y x 有相同的解，求a 、b 的值． （答案：x = 1，y = 2 或 a = 2，b =－3）变式5 以方程组⎩⎨⎧=--=+752132y x y x 为模型编一道应用题． （答案：略）变式6 （2009，福州）二元一次方程组2,x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是（ ） （答案：C ）A ．0,2.x y =⎧⎨=⎩ B ．2,0.x y =⎧⎨=⎩ C ．1,1.x y =⎧⎨=⎩ D ．1,1.x y =-⎧⎨=-⎩ 变式7 （2009，宁波）以方程组21y x y x =-+⎧⎨=-⎩的解为坐标的点(,)x y 在平面直角坐标系中的位置是（ ）（答案：A ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 变式8 （2009，白色）已知21x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组71ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解，则a b-的值为（ ） （答案：B ）A ．1B ．－1C ．2D ．3变式9 （2009，东营）若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+k y x ,k y x 95的解也是二元一次方程632=+y x 的解，则k 的值为 （ ）（答案：B ）A ．43- B ．43C ．34 D ．34-变式10 （2009，定西）方程组25211x y x y -=-⎧⎨+=⎩，的解是 ． （答案:34x y =⎧⎨=⎩，）8．2 二元一次方程组的解法题目 一个长方形的长减少5 cm ，宽增加2 cm 就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等，求这个长方形的长宽各是多少？（人教课本P 1049题）解 设长方形的长为x cm ，宽为y cm ．由题意，得⎩⎨⎧=+-+=-xyy x y x )2)(5(25 解得 x =325，y =34．答：略点评 根据题意，问什么就设什么，再把中文语言翻译成数学语言，或者找题目中的等式．演变变式1 一个长方形，长减少6宽增加3，或长增加4，宽减少1，面积都与原长方形面积相等，求原长方形的长和宽？解 设原长方形的长为x ，宽为y ．有题意，得 ⎩⎨⎧=-+=+-xyy x xyy x )1)(4()3)(6( 化简，得⎩⎨⎧=-=-xyx y y x 462 解得⎩⎨⎧==516y x 答：略．变式2 一个长方形长减少1厘米，宽增加3厘米，所得的正方形比原来的长方形的面积大21平方厘米，求原长方形的长和宽各是多少厘米？解 设原长方形的长为x ，宽为y ．有题意，得 ⎩⎨⎧+=+-+=-21)3)(1(31xy y x y x化简，得⎩⎨⎧=-=-2434x y y x 解得 ⎩⎨⎧==610y x答：略．变式3 某汽车运输队，要在规定的天数内运完一批货物，如果减少6辆汽车则要再运3填才能完成任务，如果增加4辆汽车，可提前1天完成任务，那么这个汽车运输队原有汽车多少辆？原规定运完的天数是多少？解 设汽车运输队原有汽车x 辆，原规定运完的天数是y 天．由题意得 ⎩⎨⎧=-+=+-xyy x xy y x )1)(4()3)(6( 解得 ⎩⎨⎧==516y x 答：略．8．3 实际问题与二元一次方程组题目 如图，8每块长方形地砖的长和宽分别是多少？解 设每块长方形地砖的长和宽分别为x ，y ．由题意，得⎩⎨⎧==+xy y x 360 解得⎩⎨⎧==1545y x 答：每块长方形地砖的长为45，宽为15．点评 此类题要根据数形结合思想解题，要设小长方形的长和宽分别为所求量．演变变式1 如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形， 求大长方形地砖的长和宽分别是多少？解 设每块长方形地砖的长和宽分别为x ，y ．由题意，得⎩⎨⎧==+x y y x 3603 解得⎩⎨⎧==1030y x ∴ x + 3y = 60，x + y = 40．答：大长方形地砖的长为60，宽为40．变式2 某单位为了提高绿化品味，美化环境，准备将一块周长为76 m 的长方形草地设计分成长和宽分别相等的9块小长方形（分布位置如图所示），种上各色花卉，经市场预测，绿化每平方米来造价（其中已含全部费用）约为108元．求每一个小长方形的长和宽；请计算完成这块绿化 工程预计投入资金多少元？ 解 设每块长方形地砖的长和宽分别为x ，y ． 由题意，得 ⎩⎨⎧==+x y y x 257694 解得 ⎩⎨⎧==410y x 20×18×108 = 38880元．答：每块长方形地砖的长为10 m ，宽为4 m ． 完成这块绿化工程预计投入资金38880元．变式3 小颖在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1所示），恰好可以拼成一个大的长方形．小彬看见了，说：“我来试一试．”结果小彬七拼八凑，拼成如图2那样的正方形．咳，怎么中间还留下一个洞，恰好是边长2 mm的小正方形！①每块长方形地砖的长和宽分别是多少？②正方形的面积是多少？解设每块长方形地砖的长和宽分别为x，y．由题意，得⎩⎨⎧==+xyyx3522解得⎩⎨⎧==610yx所以22×22 = 484．答：每块长方形地砖的长为10 mm，宽为6 mm．正方形的面积是484．变式4 （2009，漳州）为了防控甲型H1N1流感，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元∕瓶，乙种9元∕瓶．（1）如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？（2）该校准备再次．．购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲种瓶数的2倍，且所需费用不多于．．．1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？解（1）设甲种消毒液购买x瓶，则乙种消毒液购买（100－x）瓶．依题意，得6x + 9（100－x）= 780，解得x = 40．所以100－x = 60（瓶）．答：甲种消毒液购买40瓶，乙种消毒液购买60瓶．另法设甲种消毒液购买x瓶，乙种消毒液购买y瓶．依题意，得10069780x yx y+=⎧⎨+=⎩，．解得4060xy=⎧⎨=⎩，．答：甲种消毒液购买40瓶，乙种消毒液购买60瓶．（2）设再次购买甲种消毒液y瓶，刚购买乙种消毒液2y瓶．依题意，得6921200y y+⨯≤．解得50y≤．答：甲种消毒液最多再购买50瓶．变式5 （2009，宁德）某刊物报道：“2008年12月15日，两岸海上直航、空中直航和直接通邮启动，‘大三通’基本实现．‘大三通’最直接好处是省时间和省成本，据测算，空运平均每航次可节省4小时，海运平均每航次可节省22小时，以两岸每年往来合计500万人次计算，则共可为民众节省2900万小时……”根据文中信息，求每年采用空运和海运往来两岸的人员各有多少万人次．解 设每年采用空运往来的有x 万人次，海运往来的有y 万人次，依题意得⎩⎨⎧=+=+.2900224,500y x y x 解得 ⎩⎨⎧==.50,450y x 答：每年采用空运往来的有450万人次，海运往来的有50万人次． 变式6 （2009，云南）在“家电下乡”活动期间，凡购买指定家用电器的农村居民均可得到该商品售价13%的财政补贴．村民小李购买了一台A 型洗衣机，小王购买了一台B 型洗衣机，两人一共得到财政补贴351元，又知B 型洗衣机售价比A 型洗衣机售价多500元．求：（1）A 型洗衣机和B 型洗衣机的售价各是多少元？（2）小李和小王购买洗衣机除财政补贴外实际各付款多少元？ 解 （1）设A 型洗衣机的售价为x 元，B 型洗衣机的售价为y 元，则据题意，可列方程组5001313351.y x x y -=⎧⎨%+%=⎩， 解得 11001600.x y =⎧⎨=⎩，∴ A 型洗衣机的售价为1100元，B 型洗衣机的售价为1600元． （2）小李实际付款为：1100（1－13%）= 957（元）； 小王实际付款为：1600（1－13%）= 1392（元）．∴小李和小王购买洗衣机各实际付款957元和1392元．变式7 （2009，济南）自2008年爆发全球金融危机以来，部分企业受到了不同程度的影响，为落实“促民生、促经济”政策，济南市某玻璃制品销售公司今年1月份调整了职工的月工资分配方案，调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成（计件奖励工资=销售每件的奖励金额×销售的件数）．下表是甲、乙两位职工今年五月份的工资情况信息：（1）试求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各多少元？（2）若职工丙今年六月份的工资不低于2000元，那么丙该月至少应销售多少件产品？解（1）设职工的月基本保障工资为x元，销售每件产品的奖励金额为y 元．由题意得20018001801700x yx y+=⎧⎨+=⎩解这个方程组得8005xy=⎧⎨=⎩答：职工月基本保障工资为800元，销售每件产品的奖励金额5元．（2）设该公司职工丙六月份生产z件产品．由题意得80052000z+≥，解这个不等式得240z≥．答：该公司职工丙六月至少生产240件产品．变式8 如图，在3×3的方阵图中，填写了一些数和代数式（其中每个代数式都表示一个数），使得每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等．（1）求x ，y 的值；（2）在备用图中完成此方阵图． 解 （1）由题意，得34232234.x x y y x y x x ++=++-⎧⎨-+-=++⎩， 解得 12.x y =-⎧⎨=⎩，（2）如图9．1 不等式题目 设a ＞b ，用“＜”或“＞”填空．（人教课本P 1287题） （1）2a －5 2b －5 （答案：＞）（2）－3.5b + 1 －3.5a + 1 （答案：＜）点评 先根据不等式的性质2和3，再根据不等式的性质1填．性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向 ；性质2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向 ； 性质3：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向 ．演变变式1 如果a ＜b ＜0，下列正确的是（ ）．A ．a 1＜b 1 B ．ab ＜1 C ．b a ＜1 D ．ba ＞1 （答案：D ）变式2 （2009柳州）若b a <，则下列各式中一定成立的是（ ）A ．11-<-b aB ．33b a > C ． b a -<- D ． bc ac <（答案：A ）–23 4(备用图)2y –x–2 3 4 x ya bc–2 3 4 –1 6 152变式3 （2009年牡丹江市）若01x <<，则21x x x，，的大小关系是（ ） （答案：C ）A ．21x x x <<B ．21x x x <<C ．21x x x << D ．21x x x<< 变式4 （09湖北宜昌）如果ab ＜0，那么下列判断正确的是（ ）（答案：D ）A ．a ＜0，b ＜0B ．a ＞0，b ＞0C ．a ≥0，b ≤0D ．a ＜0，b ＞0或a ＞0，b ＜0变式5 如果2c a ＜2cb，那么（ ）．A ．a ＜bB ．a ＞bC ．a ≤bD ．a = b（答案：A ）变式6 （1）若a ＜b 且c ＞0，则ac + c bc + c ； （2）a ＞0，b ＜0，c ＜0，则（a －b ）c 0．（答案：（1）＜ （2）＜）变式7 若不等式3x －m ＜0的正整数解共有2个，求m 的取值范围．解 3x －m ＜0，x ＜3m ． ∵ 2＜3m≤3，∴ 6＜m ≤9．变式8 若关于x 的方程3x + 3k = 2的解事正数，求k 的取值范围． 解 ∵ x =332k -，∴ 332k -＞0，k ＜32． 变式9 已知关于x 的方程2x －3 =－a 的解是不等式5（x －2）－7＜6（x－1）－8的一个解，求a 的取值范围． （答案：a ＜9）变式10 解关于x 的不等式：ax －b ＜0．解 ① 当a ＞0时，x ＜ab ； ② 当a = 0时，b ≤0时，无解； ③ 当a = 0时，且b ＜0时，实数； ④ 当a ＜0时，x 大于ab ．变式11 解关于x 的不等式：（21－a ）x ＞1－2a ． 解 原不等式可化为（1－2a ）x ＞2（1－2a ），（1）当a ＞21时，x ＜2；（2）当a =21时，无解；（3）当a ＜21时，x ＞2．变式12 若不等式mx －2＜3x + 4的解集是x ＞36-m ，求m 的取值范围． 解 由mx －2＜3x + 4 得（m －3）x ＜6． ∵ （m －3）x ＜6的解集是x ＞36-m ， ∴ m －3＜0， ∴ m ＜3．不等式组题目 当x 时取哪些整数时，2≤3x －7＜8成立？（人教课本P 1428题）解 原不等式可化为⎩⎨⎧<--≤,873,732x x 解得 ⎩⎨⎧<≥,5,3x x ∴ 3≤x ＜5． ∵ x 为整数，∴ x = 3，4．点评 这是关于x 的双联不等式，它相当于解不等式组⎩⎨⎧-≥-873273＜x x ．演变变式1 求不等式组⎩⎨⎧--≥-x x x 782093＜的最小整数解．（答案：3）变式2 已知方程组⎩⎨⎧+=++=+m y x my x 1313 的解满足x 与y 的和是非负数，求m 的取值范围．解 将两个方程相加，得 4（x + y ）= 2（m + 1），即 x + y =21+m ． ∵ x + y ≥0，∴ 21+m ≥0，∴ m ≥－1．另解 把m 看成常数，解x 、y 的二元方程组，解得x =41+m ，y =41+m ，再把x =41+m ，y =41+m 代如x + y ≥0中解m 的值．变式3 当k 为何值时，方程组⎩⎨⎧-=+=-5253y x ky x 的解x 是正数，y 是负数？解 由已知方程组得x =1325-k ， 13152+-=k y ．由题意，得 1325-k ＜0 且 13152+k ＞0，解得 k ＜－215．变式4 若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧-=++=-52223m y x m y x 中的x 的值大于719，y 的值不大于－1，求m 的整数值．解 由已知方程组，得 x =783-m ，y =719-m ． 由题意得 783-m ＞719 且 719-m ≤－1，解得⎩⎨⎧≤129m m ＞∴ 9＜m ≤12，因此整数m 的值为m = 10，11，12．变式5 解不等式组 ⎩⎨⎧>--<+-.0),1(213k x x x解 原不等式组可化为 ⎩⎨⎧>>.,5k x x ① 当k ≤5时，解为x ＞5．② 当k ＜5时，解为x ＞k ．变式6 把一些书分给几个学生．如果没人分3本，那么余6本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本．问这些书有多少本？学生有多少人？解 设学生人数为x 人，书友（3x + 8）本． 由题意，得 5（x －1）≤3x + 8＜5（x －1）+ 3， 解得 x = 6，3x + 8 = 26．变式7 先阅读，再解不等式12-x x＞1．解 12-x x －1＞0，即121--x x＞0，则有 ① ⎩⎨⎧--01201＞＞x x 或 ② ⎩⎨⎧--01201＜＜x x 解 ① 得21＜x ＜1；② 无解．∴ 原不等式的解为21＜x ＜1．请根据以上思想方法解不等式：223-+x x ＜2．解223-+x x －2＜0，即26-+x x ＜0 则有 ① x + 6＞0且x －2＜0， 或 ② x + 6＜0且 x －2＞0． 解 ① 得－6＜x ＜2；② 无解． ∴ 原不等式的解集为 －6＜x ＜2．变式7 （2009恩施市）如果一元一次不等式组3x x a >⎧⎨>⎩的解集为3x >．则a 的取值范围是（）（答案：C ）A ．3a >B ．a ≥3C ．a ≤3D ．3a <变式8 （2009年重庆市江津区）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤<-15112x xx 的解集在数轴上表示正确的是 （ ）（答案：C ）变式9 （2009湖北省荆门市）若不等式组0,122x a x x +⎧⎨->-⎩≥有解，则a 的取值范围是（ ）（答案：A ）A ．1a >-B ．1a -≥C ．1a ≤D ．1a <变式10 （2009烟台市）如果不等式组2223xa xb ⎧+⎪⎨⎪-<⎩≥的解集是01x <≤，那么a b +的值为．（答案：1）统计调查题目为了解全校学生的平均身高，小明调查了座在自己旁边的3位同学，把他们的平均身高作为全校学生的平均身高的估计．（1）小明的调查是抽样调查吗？（2）如果是抽样调查，指出总体、个体、样本、样本容量．（3）这个调查结果能够较好的反映总体的情况吗？（人教课本P1551题）解（1）小明的调查是抽样调查．（2）总体：全校学生的平均身高；个体：每个学生的身高；样本：被调查德3位同学的身高；样本容量：3．（3）不能够．点评考查全体对象的调查就叫做全面调查，抽样调查：抽取一部分对象进行调查的方法，叫抽样调查，总体：所要考察对象的全体，个体：总体的每一个考察对象叫个体，样本：抽取的部分个体叫做一个样本，样本容量：样本中个体的数目，抽样的注意事项：①抽样调查要具有广泛性和代表性，即样本容量要恰当；②抽取的样本要有随机性，一般情况下，样本容量越大，估计精确度就越高．演变变式1为了了解某中学七年级600名学生的体重情况，从中抽查了50名学生的体重进行统计分析，在这个问题中总体是指（）．A． 600名学生B．取的50名学生C．七年级600名学生的体重D．被抽取的50名学生的体重（答案：C）变式2一次数学考试考生约12万名，从中抽取5000名考生的数学成绩进行分析，在这个个问题中，样本指的是（）．A．5000 B．5000名考生的数学成绩C．12万名考生的数学成绩D．5000名考生（答案：B）变式3下列调查工作需采用的普查方式的是（）．A．环保部门对淮河某段水域的水污染情况的调查B．电视台对正在播出的某电视节目收视率的调查C．质检部门对各厂家生产的电池使用寿命的调查D．企业在给职工做工作服前进行的尺寸大小的调查（答案：D）变式4为了了解某种矿泉水含钠是否超标进行的调查是调查．（答案：抽样）变式5如图，甲、乙两所学校，其中男女生情况可见下列统计图，甲学校有1000人，乙有1250人，则（）．A．甲校的女生比乙校的女生多B．甲校的女生比乙校的女生少C．甲校与乙校的女生一样多D．甲校与乙校男生共是2250人（答案：C）变式6池塘中放养了鲤鱼10000条，鲢鱼若干，在几次随机捕捞中，共抓到鲤鱼400条，鲢鱼320条，估计池中放养了鲢鱼___________条．（答案：8000条）变式7 （2009年宁波市）下列调查适合作普查的是（）．A．了解在校大学生的主要娱乐方式B．了解宁波市居民对废电池的处理情况C．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命D．对甲型H1N1流感患者的同一车厢的乘客进行医学检查（答案：D）变式8（2009年义乌）下列调查适合作抽样调查的是（）．A．了解义乌电视台“同年哥讲新闻”栏目的收视率B．了解某甲型H1N1确诊病人同机乘客的健康状况C．了解某班每个学生家庭电脑的数量D．“神七”载人飞船发射前对重要零部件的检查（答案：A）变式9 （2009年河南）下列调查适合普查的是（）．A．调查2009年6月份市场上某品牌饮料的质量B．了解中央电视台直播北京奥运会开幕式的全国收视率情况C．环保部门调查5月份黄河某段水域的水质量情况D．了解全班同学本周末参加社区活动的时间（答案：D）变式10 （2009年湘西自治州）要了解一批电视机的使用寿命，从中任意抽取40台电视机进行试验，在这个问题中，40是（）．A．个体B．总体C．样本容量D．总体的一个样本（答案：C）。

2020年新高考全国1数学高考真题变式题11-16题原题111．已知a >0,b >0,且a +b =1,则（ ）A ．2212a b +≥B ．122a b->C ．22log log 2a b +≥-D 变式题1基础2．已知正数a ，b 满足21a b +=,则下面表达正确地是（ ）．A ．ab 地最小值是18B ．24a b +地最小值是C ．11a b+地最小值是D ．224a b +地最小值是12变式题2基础3．下面选项正确地是（ ）A ．若0a ≠,则1a a+地最小值为4B ．若x ∈R ,2C ．若0ab <,则b aa b+地最大值为-2D ．若正实数,x y 满足21x y +=,则21x y+地最小值为8变式题3巩固4．设a ＞0,b ＞0,a ＋b ＝1,则下面表达正确地是（ ）A ．41a b+地最小值为9B ．222a b +地最小值为23C 没有最小值D 变式题4巩固5．已知正数a ,b 满足21a b +=,则（ ）A ．ab 地最大值为18B ．224a b +地最小值为12C ．12a b +地最小值为4D ．1ab ab+地最小值为2变式题5巩固6．下面函数地最小值为2地有（ ）A ．222,[0,8]y x x x =-+∈B ．222,(1,4]1x x y x x -+=∈-C ．1111,(0,)42122y x x x =+⋅∈-D ．y =变式题6提升7．已知0a >,0b >,下面命题中正确地是（ ）A ．若2a b +=,则lg lg 0a b +≤B ．若20ab a b --=,则29a b +≥C ．若2a b +=,则112a b ab +-≥D ．若111123a b +=++,则14ab a b ++≥+变式题7提升8．已知0x >,0y >且3210x y +=,则下面结论正确地是（ ）A ．xy 地最大值为625B C ．32x y +地最小值为52D ．22xy +地最大值为10013原题129．信息熵是信息论中地一个重要概念.设随机变量X 所有可能地取值为1,2,,n ,且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p ===>==∑ ,定义X 地信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑.（ ）A ．若n =1,则H (X )=0B ．若n =2,则H (X )随着1p 地增大而增大C ．若1(1,2,,)i p i n n== ,则H (X )随着n 地增大而增大D ．若n =2m ,随机变量Y 所有可能地取值为1,2,,m ,且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+= ,则H (X )≤H (Y )变式题1基础10．为了更好地支持“中小型企业”地发展,某市决定对部分企业地税收进行适当地减免,现调查了当地地100家中小型企业年收入情况,并依据所得数据画出了样本地频率分布直方图,则下面结论正确地是A ．样本在区间[]500,700内地频数为18B ．假如规定年收入在300万圆以内地企业才能享受减免税政策,估计有30%地当地中小型企业能享受到减免税政策C ．样本地中位数小于350万圆D ．可估计当地地中小型企业年收入地平均数超过400万圆（同一组中地数据用该组区间地中点值为代表变式题2基础11．端午节,又称端阳节，龙舟节，天中节等,与春节，清明节，中秋节并称为中国四大传统节日．扒龙舟与食粽是端午节地两大礼俗,这两大礼俗在中国自古传承,至今不辍．在一个袋中装有大小一样地6个豆沙粽,4个咸肉粽,现从中任取4个粽子,设取出地4个粽子中咸肉粽地个数为X ,则下面结论正确地是（ ）A ．()327P X ==B ．随机变量X 服从二项分布C ．随机变量X 服从超几何分布D ．()191435P X <<=变式题3巩固12．算盘是我国古代一项伟大地发明,是一类重要地计算工具.下图是一把算盘地初始状态,自右向左,分别表示个位､十位､百位､千位……,上面一粒珠子(称上珠)代表5,下面一粒珠子(称下珠)代表1,五粒下珠地大小等于同组一粒上珠地大小.例如,个位拨动一粒上珠､十位拨动一粒下珠至梁上,表示数字15.现将算盘地个位､十位､百位､千位分别随机拨动一粒珠子至梁上,设事件A =“表示地四位数能被3整除”,B =“表示地四位数能被5整除”,则（ ）A ．()38P A =B ．()13P B =C ．()1116P A B ⋃=D ．()316P AB =变式题4巩固13．依据中国古代重要地数学著作《孙子算经》记载,我国古代诸侯地等级自低到高分为：男，子，伯，侯，公五个等级,现有每个级别地诸侯各一人,君王要把50处领地全部分给5位诸侯,要求每位诸侯都分到领地且级别每高一级就多分m 处（m 为正整数）,按这种分法,下面结论正确地是（ ）A ．为“男”地诸侯分到地领地不大于6处地概率是34B ．为“子”地诸侯分到地领地不小于6处地概率是14C ．为“伯”地诸侯分到地领地恰好为10处地概率是1D ．为“公”地诸侯恰好分到16处领地地概率是14变式题5巩固14．“双11”购物节中,某电商对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额满一定额度,可以给与优惠：（1）假如购物总额不超过50圆,则不给予优惠。

九年级下册·课本亮题拾贝26．1 二次函数题目 如图，四边形的两条对角线AC 、BD 互相垂直，AC + BD10,当AC 、BD 的长是多少时，四边形ABCD 的面积最大？(人教课本 P 1810题）分析阅读理解题意，抓住AC 与BD 的位置关系（AC ⊥BD ）和数量关系（AC + BD= 10）去表达四边形ABCD 的面积． 解 设AC 与BD 相交于O ，AC = x ，则BD = 10－x (0＜x ＜10），因为四边形ABCD的两条对角线AC 与BD 互相垂直，所以四边形ABCD 的面积 OB AC OD AC S ⋅+⋅=2121=10(2121)(21x x BD AC OB OD AC -=⋅=+=)10(2152122x x x x --=+-=225)5(212+--x ． 因此，当AC = x = 5,BD = 5时，四边形ABCD 的面积最大，为225． 戊 点评 由于多边形的面积一般是转化为三角形的面积解决的，所以当题目文字和图形中有了垂直关系时，自然就联想到三角形的面积等于底乘以高的一半（底与高垂直），借助于主元思想，设AC = x ，则BD = 10－x ,则就可以统一用x 来表达四边形ABCD 的面积等一些量． 演变变式1 (图形变式）已知平面上两条线段AC 、BD 互相垂直，AC + BD = 10，问当AC 、BD 的长是多少时,多边形ABCD 的面积最大？并画出此时多边形可能具有的形状．分析 由于四边形具有对角线垂直且相等的特征,所以作出其图形形状（含特殊情况）如下： 乙 丙 丁解 如图甲、乙、丙、丁,问题显然．如上图戊，设AC 的延长线与BD 相交于O ,AC = x ，则BD = 10－x ,（0＜x ＜10），因为四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 互相垂直，所以四边形ABCD 的面积S = S △ABD －S △CBD =BD CO BD AO ⋅-⋅2121=x x AC BD CO AO BD )10(2121)(21-=⋅=- =)10(2152122x x x x --=+-=225)5(212+--x ． 因此，当AC = x = 5,BD = 5时，四边形ABCD 的面积最大，为225． 说明:如图所示，构成的多边形ABDC ,就没有最大值．根据解答，将题目中的关系特征抽象出来，即得: C A B D变式2 （关系变式）已知 x 、y 都是正数，如果和x + y 是定值S ,那么当x = y 时，积xy 有最大值241S ． 这是一个有着十分广泛应用的结论（均值定理）．由x + y = S ，得y = S －x ，代入xy 中有,xy = x (S －x ）=－x 2 + Sx =－2241)21(S S x +-，结论正确．变式3 （问题推广）如图，四边形的两条对角线AC 、BD 所成的角为α，AC + BD = m ，问当AC 、BD 的长等于多少时,四边形ABCD 的面积最大？解 过A 、C 作AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，E 、F 是垂足，则 四边形ABCD 的面积为 S = S △ABD + S △CBD =21BD ·AE +21BD ·CF =21BD （AE + CF ）=21BD （AO · sin α + CO · sin α=21BD （AO + CO )sin α =21BD ·AC ·sin α， ∴ 当BD = AC =21m 时，S 最大，为αsin 812m ．26。

哈力中学：杜广富一，题目 计算：2)32(-．（人教课本P 8 2（4）题） 解 原式=32)32()32(22==-． 点评 大家知道，当a ≥0时，2a 有意义，且a a =2．而当a ＜0时，2a 也有意义，此时||2a a =，进一步的，则等于－a （－a ＞0）．为了预防解题粗心出错（如32)32(2-=-），通常是根据平方（或立方）的意义，先处理掉（好）符号，再按有关顺序和规定运算．演变变式1 填空：（1）94= ；（2）412= ．（答案：（1）32 （2）23） 变式2 当x 时，式子231-x 在实数范围内有意义？ （答案：x ＞32） 变式3 若23-n 是整数，求正整数n 的值（至少写出3个）．（答案：n = 1，2，9，17等．）变式4 是否存在正整数n ，使得231+n 是有理数？若存在，求出一个n 的值；若不存在，请说明理由．解 假设存在正整数n ，使231+n 是有理数，则因为3n + 2是正整数，所以3n + 2应该是一个完全平方数．假设3n + 2等于k （k ≥3，k 是正整数）的平方，则k = 3p 或者3p + 1或者3p + 2，也就是说k 除以3余0或者1或者2，而（3p ）2 除以3余0，（3p + 1）2 = 9p 2 + 6p + 1，（3p + 2）2 = 9p 2 + 12p + 4 除以3都余1，所以没有数的平方除以3余2．表明3n + 2不是完全平方数，从而假设不成立，因此，不存在正整数n ，使231+n 是有理数． 二，题目 计算：65027÷⨯．（人教课本P 15 6（4）题）解 原式=6)23(15625336253322÷⨯=÷⨯=÷⨯⨯⨯= 15．另法 原式=1525965027=⨯=⨯． 点评 进行二次根式的乘除运算时，根据乘法、除法规定（ab b a =⋅（a 、b ≥0），b a ba =（a ≥0，b ＞0）），可以从左往右正向使用（如另法），也可以从右往左逆向使用（法一），往往可视其具体题目的数字特点和结构特征，灵活选用．一般情况是尽可能先把根式化简，大数化小，遇到字母开平方时，必须注意字母的正、负性（或讨论）．演变变式1 填空：（1）50276⨯÷= ；（2）65027⨯÷= ． （答案：（1）310 （2）59） 因为原式=)32(25323⨯÷⨯⨯，2 + 3 = 5，所以设2 = a ，3 = b ，则 5 = a + b ，题目可演变成如下形式：变式2 化简：ab b a a b ÷+⨯23)(．解 原式=)(])([b a a b a b b ⋅÷+⨯= b （a + b ）= ab + b 2．若赋予a 一些不同的值（相应的可得到b 的值），则可得到一组二次根式的乘法除法试题．变式3 甲、乙两同学在化简 xy x y x 5253÷⨯ 时，采用了不同的方法： 甲： 因为x ，y 是二次根式的被开方数，且在分母上，所以x ＞0，y ＞0， 于是令 x = 1，y = 1，代入可得，原式=55125=÷⨯．乙： 原式=xy y x x y x x 55)5(522=⋅⋅⋅÷⋅⋅⋅．从而得出了不同的结果．请指出甲、乙同学的做法是否正确？说明理由．解 甲，乙两同学的做法都不正确． 甲同学犯了以特殊代替一般的错误，虽然最终结果是5． 乙同学对题目形式上的意义理解错误，通常xy y 5是一个整体，是被除式． 正确解法是：原式=5)5()5()5(522=⋅÷⋅=÷⋅⋅⋅y x x y x x xy x y x x ．三，题目 已知13+=x ，13-=y ，求下列各式的值：（1）x 2 + 2xy + y 2； （2）x 2－y 2． （人教课本P 21 6题）解 ∵ 13+=x ，13-=y ，∴ 32=+y x ，x －y = 2，xy = 2．于是 x 2 + 2xy + y 2 =（x + y ）2 =12)32(2=，x 2－y 2 =（x + y ）（x －y ）=34232=⨯．点评 本题属于“给值求值”类型，一般不宜直接代入算值．通常的思路是：先把已知式和待求式进行适当的等价变形化简，充分挖掘出已知式和待求式之间的内在联系，然后再看情况灵活地代入，往往能简捷而巧妙地求值．演变变式1 已知21+=a ，21-=b ，求：（1）22222ba b ab a -++，（2）a b b a -的值．解 由已知可得a + b = 2，22=-b a ，ab =－1．（1）原式=22222))(()(2==-+=-++b a b a b a b a b a ． （2）原式=241222))((22-=-⋅=-+=-ab b a b a ab b a ． 变式2 如果实数a ，b 满足a 2 + 2ab + b 2 = 12，3422=-b a ，求b b a -的值．解 显然b ≠0，于是由已知，得33412))(()(222222==-+=-++=-++b a b a b a b a b a b a b ab a ， ∴ )(3b a b a -=+，即 b a )13()13(+=-， 有32)13)(13()13(13132+=+-+=-+=b a ，因此311)32(1+=-+=-=-ba b b a ． 说明 上述解法，既抓住了已知式的特征（两个等式的左边有公因式，约后能降次，但要注意是否为0啰！），又避免了解方程组的难点．本题还可以进一步求出a 、b 的值．∵ 13+=x ，∴（x －1）2 = 3，得x 2－2x = 2，结合x ≠0，两边除以x ， 得22=-x x ，注意到xy 2-=，则2222)2()2(22x x x x y xy x -+-⋅+=++=4222-+x x ，22224xx y x -=-，得 变式3 若实数x 满足22=-x x ，试求：（1）224x x +；（2）x x 2+；（3）224xx -的值．（答案 （1）8 （2）32± （3）142±）四，题目 无论p 取何值时，方程（x －3）（x －2）－p 2 = 0总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由．（人教课本P 4612题）解 原方程可化为x 2－5x + 6－p 2 = 0．方程根的判别式为 △=（－5）2－4（6－p 2）= 1 + 4p 2，对任何实数值p ，有1 + 4p 2＞0，∴ 方程有两个实数根 x 1 =24152p ++，x 2 =24152p +-，且两个根不相等． 另法 由 p 2 =（x －3）（x －2）= x 2－5x + 6 =41)25()25(6])25(5[2222--=-++-x x x ， 得 41)25(22+=-p x ，无论p 取何值412+p ≥41，因此41252+±=p x ． 点评 解一元二次方程有配方法，公式法或因式分解法．一般来说，公式法对于解任何一元二次方程都适用，是解一元二次方程的主要方法，但在具体解题时，应具体分析方程的特点，选择适当的方法．（1）要判定某个二次方程是否有实数解及有几个解时，常常只须考查方程根的判别式．（2）见到含字母系数的二次方程，在实数范围内，首先应有△≥0；若字母在二次项系数中，则还应考虑其是否为0．（3）关于一元二次方程有实数根问题，一般有三种处理方式（何时选择那种方式要根据具体题目的特点来确定）：① 利用求根公式求出根来；② 利用根与系数的关系将这两个根的和与积表达出来：x 1 + x 2 =a b 2- x 1x 2 =ac ，以便后继作整体代换；③ 将根代入方程中进行整体处理．演变变式1 分别对p 赋值0，2，23-等，可得如下确定的方程： 解方程：（1）x 2－5x + 6 = 0；（2）x 2－5x + 1 = 0；（3）4x 2－20x + 21 = 0． 变式2 当x 取什么范围内的值时，由方程（x －3）（x －2）－p 2 = 0确定的实数p 存在？请说明理由．解 对任意实数p ，有p 2≥0，所以只需p 2 =（x －3）（x －2）≥0，利用同号相乘得正的原理，得x 应满足 ⎩⎨⎧≥-≥-,02,03x x 或 ⎩⎨⎧≤-≤-,02,03x x 解得x ≥3或x ≤2． 表明，当x 取x ≤2或x ≥3范围内的实数时，由方程（x －3）（x －2）－p 2 = 0确定的实数p 存在．变式3 指出方程（x －3）（x －2）－p 2 = 0的实数根所在的范围？解 ∵ 方程有两个不相等的实数根x 1 =2412125p ++，x 2 =2412125p +-， 且对任意实数p ，有1 + 4p 2≥1，∴ 有x 1≥32125=+，x 2≤22125=-， 即方程的实数根所在的范围是x ≤2或x ≥3．变式4 试求y =（x －3）（x －2）的最小值．解 由 y =（x －3）（x －2）= x 2－5x + 6 =41)25()25(6])25(5[2222--=-++-x x x ， 得 y 的最小值为41，当25=x 时取得．五，题目 如图，要设计一幅宽20 cm ，长30 cm 的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3:2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（精确到0.1 cm ）？（人教课本P 5310题）分析 结合图形，阅读理解题意（数形结合）．矩形图案中，长30 cm ，宽20 cm ．现设计了横、竖彩条各2条，且其宽度比为3:2，于是设横彩条宽为3x cm ，则竖彩条的宽就为2x cm ，其长与矩形图案的长宽相关．等量关系式为“使彩条所占面积是图案面积的四分之一”．解 根据题意，设横向彩条的宽为3x ，则竖向彩条的宽为2x ，于是，建立方程，得 20304123422023302⨯⨯=⋅⋅-⨯⨯+⨯⨯x x x x ， 化简，得 12x 2－130x + 75 = 0．解得 611.012133565≈-=x ． 因此横向彩条宽1.8 cm ，竖向彩条宽1.2 cm ． 另法 如图，建立方程，得 203041)620(4630⨯⨯=-+⨯x x x ． 法三 如图，建立方程，得 203043)620)(430(⨯⨯=--x x ． 点评 列一元二次方程解应用题的一般步骤为：（1）设：即设好未知数（直接设未知数，间接设未知数），不要漏写单位；（2）列：根据题意，列出含有未知数的等式，注意等号两边量的单位必须一致；（3）解：解所列方程；（4）验：一是检验是否为方程的解，二是检验是否为应用题的解；（5）答：即答题，怎么问就怎么答，注意不要漏写单位．演变变式1 矩形图案的长、宽不变，但设计的两横两竖彩条的宽度相同，如果彩条的面积是图案面积的四分之一，求彩条的宽． （答案：219525-） 变式2 矩形图案的长、宽不变，现设计一个正中央是与整个矩形长宽比例相同的矩形，其面积是整个矩形面积的四分之三，上下边等宽，左右等宽，应如何设计四周的宽度？解 因为矩形图案的长、宽比为30: 20 = 3:2，所以中央矩形的长、宽之比也应为3:2，设其长为3x ，则宽为2x ，所以 20304332⨯⨯=⋅x x ，得 35=x ，从而上、下边宽为 )32(5105.0)220(-=-=⨯-x x ，左、右宽为 2)32(155.0)330(-=⨯-x ． 变式3 如图，一边长为30 cm ，宽20 cm 的长方形铁皮，四角各截去一个大小相同的正方形，将四边折起，可以做成一个无盖长方体容器．求所得容器的容积V 关于截去的小正方形的边长x 的函数关系式，并指出x解 根据题意可得，V 关于x 的函数关系式为：V =（30－2x ）（20－2x ）x ．即 V = 4x 3－100x 2 + 600x ， x 的取值范围是0＜x ＜10． 变式4 在一块长30 m 、宽20 m 的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占的面积为荒地面积的一半．小明的设计方案如图甲所示，其中花园四周小路的宽度都相等．小明通过列方程，并解方程，得到小路的宽为2.5 m 或22.5 m ．小亮的设计方案如图乙所示，其中花园每个角上的扇形（四分之一圆弧）都相同．解答下列问题：（1）小明的结果对吗？为什么？（2）请你帮小亮求出图乙中的x ？（3）你还有其他设计方案吗？甲 乙解 （1）小明的设计方案：由于花园四周小路的宽度相等，设其宽为x 米．则根据题意，列出方程，得 203021)220)(230(⨯⨯=--x x ，即 x 2－25x + 75 = 0，解得x =213525+或x =213525-．由于矩形荒地的宽是20 m ，故舍去x =213525+，得花园四周小路宽为213525-m ，所以小明的结果不对． （2）小亮的设计方案：由于其中花园的四个角上均为相同的扇形，所以设扇形的半径为x 米，列方程得 2030212⨯⨯=x π，所以πππ310310==x m ．（3）略．六，题目 如图，△ABD ，△AEC 都是等边三角形．BE 与DC 有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？（人教课本P 679题） 解 ∵ △ABD 是等边三角形，∴ AB = AD ，∠BAD = 60︒．同理AE = AC ，∠EAC = 60︒．∴ 以点A 为旋转中心将△ABE 顺时针旋转60︒ 就得到△CAD ，∴ △ABE ≌△ADC ，从而 BE = DC ．另法 ∵ △ABD ，△AEC 都是等边三角形，∴ AB = AD ，AE = AC ，∠BAD =∠EAC = 60︒，于是∠CAD =∠CAB +∠BAD =∠CAB +∠EAC =∠EAB ．从而有 △CAD ≌△EAB ，∴ DC = BE ．点评 由于旋转是刚体运动，旋转前、后的图形全等，所以藉此可以在较复杂的图形中发现等量（或全等）关系，或通过旋转（割补）图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，疏通解题突破口．演变 变式1 如图，△ABC 和△ECD 都是等边三角形， △EBC 可以看作是△DAC 经过什么图形变换得到的？说明理由．（人教课本P 805题） 说明：如上题图，去掉BC ，把D ，A ，E 放在一直线上即得． 本题经过下列各种演变，原来的结论仍保持不变．（1）△ABC 与△CDE 在BC 的异侧．B C D A E C B A E D E A E（2）点C 在BD 的延长线上．（3）C 点在BD 外．（4）△ACD 与△BDE 在BD 的异侧，且D 点在BC 的延长线上．（5）△ABC 与△CDE 都改为顶角相等的等腰三角形，即AB = AC ，CE = DE ，∠BAC =∠CED ．变式2 如图，四边形ABCD ，ACFG 都是正方形，则BG 与CE 有什么关系？说明理由． 变式3 如图，△ABD ，△AEC 都是等腰直角三角形，则BE 与DC 有什么关系？七，题目 如图，⊙O 的直径AB 为10 cm ，弦AC 为6 cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，求BC ，AD ，BD 的长．（人教课本P 93例2）解 ∵ AB 是直径，∴ ∠ACB =∠ADB = 90︒．在Rt △ABC 中，BC 2 = AB 2－AC 2 = 102－62 = 82，即 BC = 8．∵ CD 平分∠ACB ， ∴ =，于是AD = BD ．又在Rt △ABD 中，AD 2 + BD 2 = AB 2，∴ 25102222=⨯===AB BD AD ． 点评 在涉及圆中的有关弧，弦（直径），角（圆心角，圆周角）等问题中，垂径定理，同圆中的关系（在同圆或等圆中，圆心角相等 ⇔ 弧相等 ⇔ 弦相等 ⇔ 弦心距相等 ⇔ 圆周角相等）是转化已知，沟通结论的纽带．其中半圆（或直径）所对的圆周角是直角还联结了勾股定理（将出现代数等式）．演变变式1 在现有已知条件下，可进一步的，求四边形ACBD 的面积等于多少？解 由例题及解答可知，△ACB ，△ADB 都是直角三角形，于是四边形ACBD 的面积等于4925252186212121=⨯⨯+⨯⨯=⋅+⋅=+∆∆BD AD BC AC S S ADB ACB cm 2． 变式2 求内角平分线CE 的长？抽取出图形中的基本图Rt △ABC ，因为AC :BC :AB = 3:4:5，于是，斜边上的高524=⋅=AB BC AC CD ，外接圆半径R = 5（也即斜边上的中线）． 设∠ACB 的平分线为CE ，过E 设为x ，于是x CE 2=，由 BC AC BC x AC x ⋅=⋅+⋅⋅212121，得 C B A E D AC B ED C B AE D B C D AF EG B C A E D7248686=+⨯=+⋅=BC AC BC AC x ， ∴ 7224=CE ． 变式3 如图，AD 是△ABC 外角∠EAC 的平分线，AD 与 三角形的外接圆交于点D ，求证：BD = CD ． 解 因为圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角，所以有∠DAE =∠DCB ，而∠DAC =∠DBC（同所对的圆周角相等），结合题设AD 是∠EAC 的平分线， 则有∠DCB =∠DBC ，所以 BD = CD ．变式4 如图，点A 、B 、C 、D 在同一个圆上，四边形ABCD 的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？（课本P 93练习第1题）解 ∠1 =∠4，∠2 =∠7，∠3 =∠6，∠5 =∠8．变式5 如图，A 、P 、B 、C 是⊙O 上的四点，∠APC =∠CPB = 60︒，判断△ABC 的形状并证明你的结论．（课本P 95第11题）解 ∵ ∠BAC =∠BPC = 60︒，∴ ∠ABC =∠APC = 60︒，因而△ABC 是等边三角形．八，题目 如图，△ABC 中，∠ABC = 50︒，∠ACB = 75︒，点O 是内心，求∠BOC 的度数．（人教课本P 1061题） 解 ∵ O 是△ABC 内切圆的圆心（内心），∴ OB ，OC 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线．∵ ∠ABC = 50︒，∠ACB = 75︒， ∴ ∠OBC = 25︒，∠OCB = 37.5︒，因此 ∠BOC = 180︒－25︒－37.5︒ = 117.5︒．点评 抓住“内心与各顶点连线平分每一个内角，且到三条边的距离相等”这些事实，很容易促进角或线段的转化，突破关键，解决问题．演变变式1 已知周长为l 的△ABC 的内切圆半径等于r ，求△ABC 的面积． 解 设内心为O ，连接OA ，OB ，OC ，则OA 、OB 、OC 把△ABC 分割成三个易求的小三角形，其面积的和为：r CA r BC r AB S S S S ACO BCO ABO ABC ⋅+⋅+⋅⋅=++=∆∆∆∆212121=lr CA BC AB 21)(21=++． 变式2 如图，点O 是△ABC 的内心，则A BOC ∠+︒=∠2190． 解 ∵ C B BOC ∠-∠-︒=∠2121180 B C O A BCO A=)180(21180)(21180A C B ∠-︒-︒=∠+∠-︒， ∴ A BOC ∠+︒=∠2190． 说明 变式2有多种不同的解法，如连结AO 并延长，或延长BO 交AC 于D 等等，请读者探究，收获定当不少． 变式3 如图，△ABC 中，∠B ＜∠C ，O 在∠A 的平分线上，求证：AB + OC ＞AC + OB ．证明 ∵ ∠B ＜∠C ，∴ AB ＞AC ，于是在AB 上取点D ， 使AD = AC ，连结OD ，则由已知和作图，可得△AOC ≌△AOD ，进而OC = OD ． 在△OBD 中，有 BD + OD ＞OB ，∴（AB + OC ）－（AC + OB ）=（AB －AD ）+ OD －OB = BD + OD －OB ＞0，故 AB + OC ＞AC + OB ．变式4 如图，△ABC 中，∠B ，∠C 的平分线相交于点O ，过O 的直线DE ∥BC ，DE 分别交AB 、AC 于D 、E ， 求证：DE = BD + CE ．解 由已知DE ∥BC ，BD 、CO 分别平分∠B 、∠C ，可以发 现△BDO 和△CEO 是等腰三角形，于是有BD = DO ，CE = OE ，因此BD + CE = DO + OE = DE ．变式5 如图，B 、C 在射线AD 、AE 上，BO 、CO 分别是∠DBC 和∠ECB 的角平分线．（1）若∠A = 60︒，则∠O 为多少度？ （2）若∠A = 90︒，120︒ 时，∠O 分别是多少度？（3）求∠A 与∠O 的关系式． 解 ∵ BO 、CO 是∠DBC 和∠ECB 的平分线， ∴ ∠DBC = 2∠2，∠ECB = 2∠3，∴ ∠ABC = 180︒－2∠2，∠ACB = 180︒－2∠3．在△ABC 中，∠A +∠ABC +∠ACB = 180︒，∴ ∠A + 180︒－2∠2 + 180︒－2∠3 = 180︒，即∠2 +∠3 = 90︒ + 12∠A ． 在△BOC 中，∠2 +∠3 +∠O = 180︒， ∴ ∠O = 90︒－12∠A ． （1）当∠A = 60︒ 时，∠O = 90︒－12× 60︒ = 60︒． （2）当∠A = 90︒ 时，∠O = 90︒－12× 90︒ = 45︒．当∠A = 120︒ 时，∠O = 90︒－12× 120︒ = 30︒． （3）∠A 与∠O 的关系式为∠O +12∠A = 90︒． 九，题目 画一个正五边形，再作出它的对角线，得到如图所示的五角星．（人教课本P 1172题）D BC O AD BC O A E A BD OE C 4 3 2 1 B A E解 先画一个圆，将圆五等分，分点依次为A ，B ，C ，D ，E ，顺次连结这些点，得正五边形ABCDE ，再作出正五边形的对角线AC ，AD ，BD ，BE ，CE ，即得如图所示的五角星．点评 正多边形与圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧（或把圆心角分成一些相等的角），就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆，如上所示作出的是一个正五角星．演变 变式1 求五角星中五个角的和．解 ∵ ∠AMN =∠B +∠D ，∠ANM =∠C +∠E ， ∴ ∠A +∠B +∠C +∠D +∠E =∠A +∠AMN +∠ANM = 180︒．表明正五角星中五个角的和为180︒．另法 连结CD ，则在△AEF 和△CDF 中， 有 ∠B +∠E = 180︒－∠BFE = 180︒－∠CFD =∠CDF +∠DCF ． 在△ACD 中，∠A +∠ACD +∠ADC = 180︒，即 ∠A +∠ACE +∠DCF +∠ADB +∠CDF = 180︒． ∴ ∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = 180︒． 说明 正五角星中每个角都是36︒．变式2 如变式1的图，在正五角星中存在黄金分割数， 可以证明215-===BE BM BM BN NB MN （参见人教版课本46页“阅读与思考 —— 黄金分割数”），此结论待同学们学习了相似形的有关知识后即可证明．变式3 如图，是将不规则的五角星改为退化的五角星，则其五个角的和等于多少？ 解 如图，将其转化为不规则的五角星，问题立即获解，五个角的和等于180︒，或连结两个顶点后利用三角形内角和定理即可解决．变式4 六角星，七角星，甚至n 角星的各个顶角之和等于多少？解 都等于180︒．说明 解答星型n 边形顶角和的问题关键是根据“三角形的内角和为180︒及其推论”，设法将分散的角归结到某个三角形或四边形中，这是解答此类题目的金钥匙．十，题目 已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3:7．如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，“落在海洋里”与“落在陆地上”哪个可能性更大？（人教课本P 1391题）解 落在海洋里的可能性更大．点评 可能性是指能成为事实的属性．然而世界上有很多事情具有偶然性，人们不能事先判断这些事情是否会发生．概率就是从数量上用来描述（刻画）随机事件发生的可能性的大小．对这一问题，需要充分把陨石抽象成随机地散落，地球也是必须抽象成平辅的面，与生活中通常所看到的质点只能正面地落在面上（不可能弯曲行进而落在背面上）．我们生活的地球，脚下大地的形状并不是无边无际的辽阔平面，而是大致接近于球面．演变 F C B A D E C B A D E M N C B A D E变式1 已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3:7．如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，则“落在海洋里”与“落在陆地上”的概率各是多大？解 落在海洋里的概率为107737=+，落在陆地上的概率为733=+变式2 扎到正三角形的内切圆（即阴影部分）区域的概率为（ ）．A ．21 B ．π63 C ．π93 D ．π33 解 设正三角形的边长为单位1，则正三角形的面积为43，正三角形的内切圆半径6330tan 21=︒=r ，内切圆的面积为12)63(2ππ=，针扎到正三角形的内切圆（即阴影部分）区域的概率为ππ934312=÷，选C ． 变式3 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率． 解 以x 和y 分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人 能够会面的条件是∣x －y ∣≤15．在平面直角坐标系中，点（x ，y ）的所有可能结果是边长为60的正方形，而可能会面的时间由图中的 阴影部分所表示，所以两人能会面的概率为167604560222=-=P ． 说明 把上述问题抽象成如下模型是：设在面积为S 的区域中有任意一个小区域A ，小区域的面积为S A ，则任意投点，点落入A 中的可能性大小与S A 成正比，而与A 的位置及形状无关，为SS P A =． 注意，如果是在一个线段上投点，那么面积则改为长度；如果是一个立方体内投点，则面积就改为体积．。

2020年新高考全国2卷数学高考真题变式题11-16题原题111．下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A ．πsin(3x +） B ．πsin(2)3x -C ．πcos(26x +）D ．5πcos(2)6x - 变式题1基础2．已知函数f (x )＝|A cos(x ＋φ)＋1|0,||2A πϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（ ）A ．φ＝6πB ．φ＝3π C ．A ＝2 D ．A ＝3变式题2基础3．如图是函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象，下列选项正确的是（ ）A ．()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()sin 43f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．213f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭变式题3巩固4．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的对称中心B ．直线76x π=是()f x 的对称轴 C ．()f x 在区间2,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调减D ．()f x 的图象向右平移712π个单位得cos 2y x =的图象 变式题4巩固5．下图是函数()()sin 02y x ωϕϕπ=+<<的部分图像，下面说法正确的是（ ）A ．2ω=，53πϕ=B ．2ω=-，3πϕ=C ．对称轴方程为12x π=-D ．函数在区间7,12ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增变式题5巩固6．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数C ．()f x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π内的最小值为1D ．()f x 的图象关于直线23x π=-对称 变式题6提升7．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期是πB ．当11,612x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1f x <C ．将()f x 的图象向右平移12π个单位长度后得到的函数图象关于6x π=对称 D ．若()(),,,63m n f m f n ππ⎛⎫∈-= ⎪⎝⎭，且m n ≠，则()3f m n +原题128．已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ） A ．2212a b +≥B ．122a b ->C ．22log log 2a b +≥-D 变式题1基础9．已知0,0a b >>，且22a b +=，则下列说法正确的是（ ） A ．52515a b + B ．24162a b+C ．285b D ．()2ln ln 20b a a b +变式题2基础10．已知正数a ，b 满足21a b +=，则（ ）A ．ab 的最大值为18B ．224a b +的最小值为12C ．12a b+的最小值为4D ．1ab ab+的最小值为2 变式题3巩固11．下列选项正确的是（ ）A ．若0a ≠，则1a a+的最小值为4B ．若x ∈R2C ．若0ab <，则b aa b+的最大值为-2D ．若正实数,x y 满足21x y +=，则21x y+的最小值为8变式题4巩固12．下列说法中正确的有（ ） A．已知1x <，则4211y x x =+--的最小值为1 B ．若正数x ，y 满足23x y xy +=，则2x y +的最小值为3C ．y =D ．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则22114sin cos αα+≥ 变式题5巩固13．已知0x >，0y >，且2530x xy x y +-+=，则（ ） A ．xy 的最大值为9B ．11x y+的最小值为1C ．1xy的最大值为4 D ．22x y +的最小值为20变式题6提升14．已知0a >，0b >，下列命题中正确的是（ ） A ．若2a b +=，则lg lg 0a b +≤ B ．若20ab a b --=，则29a b +≥C ．若2a b +=，则1152a b ab +-≥D ．若111123a b +=++，则1466ab a b ++≥+ 原题1315．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点，则三棱锥A -NMD 1的体积为____________ 变式题1基础16．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长均为2，E 为棱CC 1的中点，则三棱锥A 1－B 1C 1E 的体积为____． 变式题2基础17．如图，三棱锥S ABC -中，ABC ∆与SBC ∆均为等边三角形，且平面SBC ⊥平面ABC ，若4AB =，则三棱锥S ABC -的体积为__________________.变式题3巩固18．正方体1111ABCD A B C D -中，过1BD 的平面截正方体所得平面四边形1BMD N 的周长为45若M 是棱1CC 的中点，则四棱锥1B ADD N -的体积V =_____________. 变式题4巩固19．如图，在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，已知AB ＝AA 1＝3，点P 在棱CC 1上，则三棱锥P ­ABA 1的体积为________．变式题5巩固20．如图所示，E，F分别是边长为1的正方形ABCD的边BC，CD的中点，将其沿AE，AF，EF折起使得B，D，C三点重合.则所围成的三棱锥的体积为___________.变式题6提升21．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为AD、CC1的中点，O为上底面A1B1C1D1的中心，则三棱锥O-MNB的体积是____________．原题1422．C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则AB=________．变式题1基础23．斜率为43的直线l经过抛物线()220y px p=>的焦点()1,0F且与抛物线交于A、B两点，则线段AB的长为________．变式题2基础24．直线:24=-l y x 过抛物线2:2C y px =的焦点F ，与C 交于,A B 俩点，则AB =________． 变式题3巩固25．抛物线26y x =的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线的两个交点为A ，B ，若AB 中点横坐标为2，则AB =______. 变式题4巩固26．过点()2,2P 且斜率为1-的直线与抛物线2y x =交于A 、B 两点，则PA PB +=___________. 变式题5巩固27．已知F 为抛物线243y x =的焦点，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若3AF FB =，则||AB =_________ 变式题6提升28．过抛物线2:E y x =的焦点F 任作两条互相垂直的直线1l ，2l ，分别与抛物线E 交于A ，B 两点和C ，D 两点，则4AB CD +的最小值为________． 原题1529．将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{an }，则{an }的前n 项和为________． 变式题1基础30．将数列{}41n -与{}32n +的公共项从小到大排列得到数列{}n a ，则{}n a 的前n 项和为________． 变式题2基础31．将数列{}21n -与{}2n 的公共项按照从小到大的顺序排列得到一个新数列{}n a ，则新数列{}n a 的通项公式为______. 变式题3巩固32．将数列{}2n与{}2n 的公共项从小到大排列得到数列{}n a ，则{}n a 的前10项和为________（用数字作答）．变式题4巩固33．某人将n 个连续自然数1、2、3、、n 相加，由于计算时漏加了一个自然数，而得出错误的和值为2021，则漏加的自然数是___________. 变式题5巩固 34．将正整数1，2，，n ，按第k 组含1k +个数分组：(1,2)，(3,4,5)，(6,7,8,9)，.那么2016在第__________组. 变式题6提升35．已知数列{}n b 为首项为2正项等比数列，数列{}n c 为公差为3等差数列，数列{}n a 满足2n n n b a a +=-，12n n n c a a +=+，若11a =，则数列{}n a 前50项的和为________.原题1636．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan⊥ODC =35，//BH DG ，EF =12 cm ，DE=2 cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．变式题1基础37．为迎接2020年奥运会，某商家计划设计一圆形图标，图标内部有一“杠铃形图案”（如图中阴影部分），圆的半径为1米，AC ，BD 是圆的直径，E ，F 在弦AB 上，H ，G 在弦CD 上，圆心O 是矩形EFGH 的中心.若23EF =米，2AOB θ∠=，π5π412θ≤≤，则“杠铃形图案”面积的最小值为______平方米.变式题2巩固38．如图，已知一块半径为2的残缺的半圆形材料ABC ，O 为半圆的圆心，65OC =，残缺部分位于过点C 的竖直线的右侧，现要在这块材料上裁出一个直角三角形，若该直角三角形一条边在BC 上，则裁出三角形面积的最大值为______.变式题3巩固39．如图，某公园要在一块圆心角为3π，半径为20m 的扇形草坪OAB 中修建一个内接矩形文化景观区域CDEF ，若//EF AB ，则文化景观区域面积的最大值为______2m .变式题4巩固40．某市政府需要规划如图所示的一块公园用地，已知1km AB =，要求BAC CAD ∠=∠，AC BC ⊥，AD DC ⊥，要使得公园（四边形ABCD ）的面积取得最大值，则此时cos BAD ∠=________．变式题5提升41．某单位科技活动纪念章的结构如图所示，O 是半径分别为1cm ，2cm 的两个同心圆的圆心，等腰ABC 的顶点A 在外圆上，底边BC 的两个端点都在内圆上，点O ，A 在直线BC 的同侧.若线段BC 与劣弧BC 所围成的弓形面积为1S ，ABC 与OAC 的面积之和为2S ，设2BOC θ∠=.经研究发现当21S S -的值最大时，纪念章最美观，则当纪念章最美观时，cos θ的值为______.变式题6提升42．为了创建全国文明城市，吕梁市政府决定对市属辖区内老旧小区进行美化改造，如图，某小区内有一个近似半圆形人造湖面，O 为圆心，半径为一个单位，现规划在OCD 区域种花，在OBD 区域养殖观赏鱼，若AOC COD ∠=∠，且使四边形OCDB 面积最大，则cos AOC ∠=____________.试卷第11页，共1页。

2021年高考全国乙卷数学（理）高考真题变式题11-15题原题111．设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>地上顶点,若C 上地任意一点P 都满足||2PB b ≤,则C地离心率地取值范围是（ ）A ．⎫⎪⎪⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．⎛ ⎝D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦变式题1基础2．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>地左，右焦点分别为1(,0)F c -,2(,0)F c ,点P 在椭圆上,且1230PF F ∠=︒,2160PF F ∠=︒,则椭圆地离心率e 等于（ ）A 1B 1C D 变式题2基础3．若椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）满足2b a c =+,则该椭圆地离心率e =（ ）．A B ．35C D 变式题3巩固4．焦点在x 轴上地椭圆地方程为222141x ya a +=+(0a >),则它地离心率e 地取值范围为（ ）A ．104⎛⎤⎥⎝⎦，B ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦，C ．⎛ ⎝D ．1142⎡⎤⎢⎣⎦，变式题4巩固5．已知F 是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>地左焦点,椭圆E 上一点()2,1P 有关原点地对称点为Q ,若PQF △地周长为e =（ ）A B C D 变式题5巩固6．已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>与圆2222:C x y b +=,若在椭圆1C 上存在点P ,使得过点P 所作地圆2C 地两款切线互相垂直,则椭圆1C 地离心率地取值范围是（ ）A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．C ．⎫⎪⎪⎭D ．⎫⎪⎭变式题6巩固7．在平面直角坐标系xOy 中,椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上存在点P ,使得213PF PF =,其中1F ､2F 分别为椭圆地左､右焦点,则该椭圆地离心率取值范围是（ ）A ．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭变式题7提升8．已知1F ,2F 分别是椭圆()2222:100x y C a b a b+=>>，地两个焦点,若在椭圆上存在点P 满足12122PF PF F F +≤,则椭圆C 地离心率地取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝B ．⎛ ⎝C ．⎫⎪⎪⎭D ．⎫⎪⎪⎭原题129．设2ln1.01a =,ln1.02b =,1c =-．则（ ）A ．a b c <<B ．b c a<<C ．b a c<<D ．c a b<<变式题1基础10．已知对数函数()f x 地图象经过点21,9A ⎛⎫- ⎪⎝⎭与点()81,B t ,0.1log a t =,0.2t b =,0.1c t =,则（ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．a b c<<变式题2基础11．已知函数()y f x =对任意地(0,)x π∈满足()cos ()sin f x x f x x '>（其中()f x '为函数()f x 地导函数）,则下面不等式成立地是（ ）A ．63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C 63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭变式题3巩固12．已知5a <且5e 5e ,4a a b =<且44,3b be e c =<且3e 3e c c =,则（ ）A ．c b a <<B ．b c a<<C ．a c b<<D ．a b c<<变式题4巩固13．23(2ln 3)1ln 3,,3a b c e e -===,则a ,b ,c 地大小顺序为（ ）A ．a c b <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c<<变式题5巩固14．已知a ,()20,e b ∈,且22eln a a =,33e ln b b =,则（ ）A ．1e b a <<<B ．1e a b <<<C ．2e e a b <<<D ．21e e b a <<<<变式题6提升15．已知a ln 3,b ＝22e ,c ＝1ln 2-,则（ ）A ．a b c <<B ．b c a<<C ．b a c<<D ．c b a<<变式题7提升16．已知2ln 34a =-,72ln 12b =,4ln 21c =,则a ,b ,c 地大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a<<原题1317．已知双曲线22:1(0)x C y m m -=>0my +=,则C 地焦距为_________．变式题1基础18．双曲线2226x y -=地焦距为__________.变式题2基础19．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>地一款渐近线地倾斜角为45 ,且过点()3,1,则双曲线地焦距等于________.20．在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线C 与双曲线2213y x -=有公共地渐近线,且经过点P(﹣,则双曲线C 地焦距为_______．变式题4巩固21．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b -=>>地两个焦点分别为12,F F ,若以坐标原点O 为圆心,b为半径地圆与双曲线C 交于点P （点P 在第一象限）,且2OP PF ⊥,则双曲线C 地渐近线方程为_________．变式题5巩固22．已知焦点在y 轴上地双曲线221x ya b-=地一款渐近线方程为2x y =,点()1,0P 有关双曲线地渐近线地对称点在双曲线上,则=a ______．变式题6提升23．已知点F 为双曲线2221(0)y E x b b-=>：地右焦点,M N ，两点在双曲线上,且M N ，有关原点对称,若MF NF ⊥,设MNF θ∠=,且,126ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则该双曲线E 地焦距地取值范围是________.变式题7提升24．已知双曲线()22:0C x y λλ-=>地一个焦点为F ,O 为坐标原点,在双曲线C 地渐近线上取一点P ,使得PF PO =,且POF 地面积为1,则λ=______．原题1425．已知向量()()1,3,3,4a b == ,若()a b b λ-⊥,则λ=__________．变式题1基础26．已知向量()2,5a =- ,()2,b m = ,若a b ⊥ ,则m =__________．变式题2巩固27．已知向量3,2a k ⎛⎫= ⎪⎝⎭与(2,2)b =- ,若(2)b a b ⊥+,则实数k 地值为___________.变式题3巩固28．已知向量,a b地夹角为120°,2,1a b == ,若(3)(2)a b a b λ+⊥+ ,则实数λ=___________.29．已知(1,)a x = ,(,4)b x = ,若()(2)a b a b +⊥- ,则x 地值是______．变式题5巩固30．已知向量(2,3)a →=-,(1,3)b →=-,(1,)c λ→=,若(2)a b c →→→+⊥,则λ=______.变式题6提升31．已知向量()1,a x = ,()1,1b x =- ,()2a b a -⊥,则a b += ___________.原题1532．记ABC 地内角A ,B ,C 地对边分别为a ,b ,c ,60B =︒,223a c ac +=,则b =________．变式题1基础33．在ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 地对边,且60,7,5A a c ∠=︒==,则ABC 地面积等于_________．变式题2基础34．在ABC 中,已知8BC =,5AC =,三角形面积为12,则sin C =___________．变式题3巩固35．在ABC 中,角,,A B C 所对地边分别是,,a b c ,若三角形地面积2221()4S a b c =+-,则∠C 地度数是_______.变式题4巩固36．已知ABC 地内角,,A B C 所对地边分别为,,a b c ,且22()4,60a b c C +-== ,则ABC 地面积为___________.变式题5巩固37．ABC 地内角A ,B ,C 地对边分别为a ,b ,c .若b =,2a c =,3B π=,则ABC 地面积为______变式题6巩固38．已知△ABC3AC ABC π∠==,则△ABC 地周长等于_______变式题7提升39．如图,平面凹四边形ABCD ,其中5AB =,8BC =,60ABC ∠= ,120ADC ∠= ,则四边形ABCD 面积地最小值为___________．变式题8提升40．锐角ABC 中,内角,,A B C 地对边分别为,,a b c ,若222,2b c a bc b +=+=,则ABC 地面积地取值范围是________。

七年级下册 · 课本亮题拾贝5．1 相交线题目 如图，直线AB ，CD 相交于点O ，∠EOC = 70︒，OA 平分∠EOC ，求∠BOD 的度数．（人教课本P 97题）解 ∵ OA 平分∠EOC ，∴ ∠AOC =21∠EOC = 35︒． 又 ∵∠BOD =∠AOC ，∴ ∠BOD = 35︒．点评 由角平分线定义如AD 是∠BAC 的角平分线，得∠BAD =∠CAD =21∠BAC ．演变变式1 已知直线AB 与CD 相交于O ，OB 平分∠COE ，FO ⊥AB ，∠EOF = 120︒，求∠AOD 的度数． （答案：30︒）变式2 已知直线AB 与CD 相交于O ，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，且∠BOF = 40︒，求∠EOD 的度数．（答案：140︒）变式3 已知AB ⊥CD 于O ，直线EF 过点O ，∠AOE = 25︒，求∠COF 的度数．（答案 65︒）变式4 已知∠AOB 是直角，且∠AOC = 40︒，OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ，求∠MON 的度数．解 ∵ ∠AOB = 90︒，∠AOC = 40︒， ∴ ∠BOC = 130︒．∵ OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ，∴ ∠MOC =21∠BOC = 65︒，∠AON =∠NOC =21∠AOC = 20︒，∴ ∠MON =∠MOC －∠AON = 45︒．变式5 在变式4 中，当∠AOB =α，其它条件不变时，求∠MON 的度数．（答案：21α）E ACD BO A B F C D E OA B E CD F CO B M A N变式6 在变式4 中，当∠AOC =β，其它条件不变时，求∠MON 的度数，从中你得出了什么结论？（答案：45︒）点评 通过变换∠AOB 和∠AOC 的度数可以发现，∠MON 的度数大小只与∠AOB 的度数大小有关，而与∠AOC 的度数无关．5．2 平行线及其判定题目 如图，AB ∥CD ∥EF ，那么∠BAC + ∠ACE +∠CEF =（ ）．（人教课本P 236（2）题）A ．180︒B ．270︒C ．360︒D ．540︒解 这是平行线性质的应用，利用“两直线平行，同旁内角互补”，可以得到∠BAC +∠ACE +∠CEF = 360︒，故选C ．其中，CD 在解题中起了非常重要的一个“桥梁”的作用． 演变 变式1 （2008年广安）如图，AB ∥CD ，若∠ABE = 120︒，∠DCE = 35︒，则有∠BEC =________度．解 过点E 作EF ∥AB ．由于 ∠ABE = 120︒，所以 ∠FEB = 60︒．（两直线平行，同旁内角互补） 又由于 ∠DCE = 35︒，所以 ∠FEC = 35︒，（两直线平行，内错角相等） 所以 ∠BEC =∠FEB +∠FEC = 60︒ + 35︒ = 95︒． 变式2 （2008年成都）如图，已知直线AB ∥CD ， ∠ABE = 60︒，∠CDE = 20︒，则∠BED = 度．（提示：过点E 作EF ∥AB ，则可得∠BED = 80︒） 变式3 （2008年十堰）如图，已知AB ∥CD ， ∠A = 50︒，∠C = 20︒，则∠P = ．（提示：过点P 作AB 与CD 的平行线，即可得解，∠P = 35︒）变式4 已知直线AB 与CD 的平行线，下列结论正确的是（ ）． A ．∠A +∠P +∠C = 180︒ B ．∠A +∠P +∠C = 360︒ C ．∠A +∠C = 2∠P D ．∠A +∠C =∠P（答案：D ）变式5 （2009年湘西自治州）如图，l 1∥l 2，∠1 = 120°，∠2 = 100°，BADCPAB EC DF E A B D F C ABCDE则∠3 =（ ）（答案：A ）A ．20°B ．40°C ．50°D ．60°变式6 如图，AB ∥CD ，分别写出下面四个图形中∠A 与∠P 、∠C 的关系，请你从所得到的关系中任选一图的结论加以证明．．．．．．．．．．． ACDB PACDBP ACDB PACDB P （1） （2） （3） （4）（答案：（1）∠A +∠C =∠P （2）∠A +∠C +∠P = 360︒ （3）∠A =∠C +∠P （4）∠C =∠A +∠P ）点评 随着折点的不同变化，结论也会不同，但解法却如出一辙，都是过折点作平行线求解．还有其它的几种变式，请同学们自己探究．（结论：左边的角=右边的角）平行线的性质题目 如图，a ∥b ，∠1 = 80︒，∠5 = 70︒，求∠2，∠3，∠4的度数．（人教课本P 233题） （答案：∠2 = 80︒，∠3 = 110︒，∠4 = 110︒）点评 两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 演变变式1 如图，若 ∠1 =（2x －50）︒，∠与b 平行吗？12 3 l 1l 2（答案：平行）变式2（2009江西）如图，直线m n ∥，︒∠1=55，︒∠2=45，则∠3的度数为（ ）A ．80︒B ．90︒C ．100︒D ．110︒（答案：D ）变式3 若∠1 =（3x －30）︒，∠2 =（210－3x ）︒，则a 与b 平行吗？（答案：平行）变式4 若∠1为其补角的3倍，∠2等于其余角，则a 与b 平行吗？（答案：平行）变式5 若∠1 =（50－2x ）︒，∠2 =（180－3x ）︒，要使a 与b 平行，则x 为多少度？（答案：x = 10︒）6．1 平面直角坐标系题目 在平面直角坐标系中点的横、纵坐标满足：① 点P （x ，y ）的坐标xy ＞0；② 点P （x ，y ）的坐标xy ＜0，求点P 在第几象限．（人教课本P 4610题）解 ① 点P 在第一、三象限； ② 点P 在第二、四象限）点评 点的横、纵坐标满足：第一象限正正；第二象限负正；第三象限负负；第四象限正负．演变变式1 若点P （1，2x ）在第四象限内，求x 的取值范围．（答案：x ＜0）变式 2 若点P （x ，1－2x ）的横、纵坐标互为相反数，则点P 一定在 ．（答案：第四象限）变式3 已知点P （x ，y ），且x ，y 满足（x + 1）2 +｜y －2｜= 0，求点P 在第几象限．（答案：第二象限）变式4 已知点P （x ，y ）在第二象限，且｜x ｜－2 = 0，y 2－4 = 0，求点P 的坐标．（答案：P （－2，2））变式5 已知点P （x ，y ）的坐标满足xy = 0，则点P 在 ．（答案：坐标轴上）3mn2 1变式6已知点P（x + 2，x + 1）在平面直角坐标系的y轴上，则点P的坐标为．（答案：P（0，－1））变式7已知点P（x，y），则P到x轴得距离是；到y轴得距离是．（答案：｜y｜，｜x｜）6．2 坐标方法的简单应用题目已知三角形ABC的坐标为A（－2，3），B（－4，－1），C（2，0），三角形ABC中任意一点P（x，y）经平移后对应点P′（x + 5，y + 3），将三角形ABC作同样的平移得到三角形A′B′C′，求A′、B′、C′的坐标．（人教课本P557题）解A′（3，6）、B′（1，2）、C′（7，3）．点评在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x + a，y）（或x－a，y）；将点（x，y）向上（或下）平移b个长度，可以得到对应点（x，y + b）或（x，y－b）．演变变式1已知三角形ABC的坐标不变，求三角形ABC和三角形A′B′C′的面积大小．（答案：8和8）变式2将三角形ABC的横坐标保持不变，纵坐标分别乘以－1，所得的新三角形与原三角形ABC相比有什么变化？（答案：现状和大小不变，只是位置变了，他们关于x轴对称）变式3将三角形ABC的横坐标分别变为原来的2倍，纵坐标保持不变，所得的新三角形与原三角形ABC相比有什么变化？（答案：原三角形ABC被横向拉长为原来的2倍，面积为22）变式4横、纵坐标分别变为原来的2倍，所得的新三角形与原三角形ABC 相比有什么变化？（答案：大小为原来的4倍，面积为44）变式5线段CD是由线段AB平移得到的，点A（－1，4）的对应点为C （4，7），则点B（－4，－1）•的对应点的坐标为（）．A．（2，9）B．（5，3）C．（1，2）D．（－9，－4）（答案：C）变式6将点M（x，y）先向左平移a个单位长度，再向上平移b个单位长度后得到点N，则点N的坐标为．（答案：N（x－a，y + b））变式7 观察下面A 、B 、C 、D 四幅图案中，能通过图案（1）平移得到的是（ ）．（答案：C ）变式8 通过平移，可将图（1）中的福娃“欢欢”移动到图（ ）．（图1） A（答案：C ）7．1 与三角形有关的线段题目 如图，在三角形ABC 中，AE 是中线，AF 是高线，AD 是角平分线，（人教课本P 69 4题）（1）BE = =21 ； （2）∠BAD = =21 ； （3）∠AFB = = 90︒； （4）S △ABC = ．解 （1）BE = EC =21BC ． （2）∠BAD =∠DAC =21∠BAC ． （3）∠AFB =∠AFC = 90︒． （4）S △ABC =21BC ×AF ． 演变变式1 在△ABC 中，AE 平分∠BAC （∠C ＞∠B ）， AD 为边BC 上的一高，且∠B = 20︒，∠C = 30︒，求∠EFD 的度数．解 ∵ AE 平分∠BAC ，∴ ∠BAE =21∠BAC =21（180︒－∠C －∠B ）． ∵ AD 为边BC 上的高，∴ ∠BAD = 90︒－∠B ，∠EAD =∠BAD －∠BAE ， ∴ ∠EAD =21∠C －21∠B = 5︒．变式2 在△ABC 中，AE 平分∠BAC （∠C ＞∠B ）， AD 为边BC上的一(1) A B C D高，且∠B = x ，∠C = y ，求∠EFD 的度数．（答案：∠EFD =21y －21x ）变式3 在△ABC 中，AE 平分∠BAC （∠C ＞∠B ），F 为AE 上的一点，且FD ⊥BC 于D ，求∠EFD 与∠B ，∠C 的关系．（答案：∠EFD =21∠C －21∠B ）变式4 当点F 在AE 的延长线上时，其余条件不变， 求∠EFD 与∠B ，∠C 的关系．（答案：∠EFD =21∠C －21∠B ）变式5 当点F 在EA 的延长线上时，其余条件不变，求∠EFD 与∠B ，∠C 的关系．（答案：∠EFD =21∠C －21∠B ）7．2 与三角形有关的角题目 如图，BO 、CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ．若∠A = 100︒， 求∠O 的度数．（人教课本P 91 9题） 解 ∵ C B BOC ∠-∠-︒=∠2121180= )180(21180)(21180A C B ∠-︒-︒=∠+∠-︒，∴ A BOC ∠+︒=∠2190．∴ 140=∠BOC ︒．演变变式1 如上图，BO 、CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ．（1）若∠A = 60︒，求∠O ；（2）若∠O = 120︒，∠A 又是多少？（3）请求出∠O 与∠A 之间的关系． （答案：（1）当∠A = 60︒ 时，∠O = 120︒． （2）当∠O =120︒ 时，∠A = 80︒． （3）∠A 与∠O 的关系式为∠O = 90︒ +12∠A ）变式2 在△ABC 中，∠B 的平分线与∠C 的外角平分线相交于点O ． （1）若∠A = 60︒，求∠O ； （2）若∠O = 60︒，∠A 又是多少？ （3）请求出∠O 与∠A 之间的关系． （答案：（1）当∠A = 60︒ 时，∠O =12× 60︒ = 30︒． （2）当∠O = 60︒ 时，OE C B ACA OB∠A = 120︒． （3）∠A 与∠O 的关系式为∠O =12∠A ）变式3 如图，已知∠MON = 90︒，点A 、B 分别在射线OM 、ON 上移动，∠OAB 的内角平分线与∠OBA 的外角平分线所在直线交于点C ，试猜想：随着A 、B 点的移动，∠ACB 的大小是否变化？说明理由？（答案：随着A 、B 点的移动，∠ACB 的大小不变化，∠ACB = 45︒）变式4 在△ABC 中，∠B 的外角平分线与∠C 的外角平分线相交于点O ， （1）若∠A = 60︒，求∠O ；（2）若∠O = 100︒，∠A 又是多少？ （3）请求出∠O 与∠A 之间的关系．（答案：（1）当∠A = 60︒ 时，∠O = 90︒－12× 60︒ = 60︒． （2）当∠O = 100︒ 时，∠A = 20︒．（3）∠A 与∠O 的关系式为∠O －12∠A = 90︒．）变式5 如图，△ABC 中，∠A = 80︒，延长BC 到D ，∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于A 2，依次类推，∠A 4BC 与∠A 4CD 的平分线相交于A 5，则∠A 5的度数为多少？再画下去……，∠A n 的大小呢？解 ∵ ∠ACD 为△ABC 的外角， ∴ ∠ACD =∠ABC +∠A ， 即 ∠ACD －∠ABC =∠A ． ∵ ∠A 1CD 为△A 1BC 的外角， ∴ ∠A 1CD －∠A 1BC =∠A 1．∵ BA 1，A 1C 分别平分∠ABC ，∠ACD ，∴ ∠A 1CD =12∠ACD ，∠A 1BC =12∠ABC ，∴12（∠ACD －∠ABC ）=∠A 1，即 ∠A 1 =12∠A ． 同理：∠A 2 =12∠A 1 =221∠A ； ∠A 3 =12∠A 2 =321∠A ；∠A 4 =12∠A 3 =421∠A ； ∠A 5 =12∠A 4 =521∠A ．所以 ∠A 5 =521∠A =5280． ∠A n =n 280．变式6 已知△ABC 中，① 如图（1），若P 点是∠ABC 和∠ACB 的角平12N B C O MA PB N AM C分线的交点，则∠P = 90︒ +21∠A ；② 如图（2），若P 点是∠ABC 和外角ACE 的角平分线的交点，则∠P = 90︒－∠A ；③ 如图（3），若P 点是外角∠CBF 和∠BCE 的角平分线的交点，则∠P = 90︒－21∠A ．上述说法正确的个数是（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3多边形的内角和题目 一个多边形的内角和等于1260︒，它是几边形？（人教课本P 855题） 解 九边形．点评 n 变形内角和 =（n －2）×180︒，外角和 = 360︒． 演变变式1 一个多边形的内角和与外角和的差是1800︒，则它的边数为 ．（答案：14）变式2 一个多边形的内角和不可能是（ ）．A ．360︒B ．720︒C ．520︒D ．1800︒（答案：C ）变式3 （2009年广西南宁）一个五边形木架的内角和是（ ） A ．720︒ B ．540︒ C ．360︒ D ．180︒（答案：B ）变式4 （2009年广州市）只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是（ ）A ．正十边形B ．正八边形C ．正六边形D ．正五边形（答案：C ）变式5 一个多边形的内角和是1440︒，那么过一个顶点可以引几条对角线？此多边形共有多少条对角线？解 设此多边形的变数为n ，则（n －2）×180︒ = 1440︒，解得 n = 10． ∵ 过n 边形的一个顶点可以引（n －3）条对角线， ∴ n －3 = 10－3 = 7．又 ∵ n 边形共有21n （n －3）条对角线， P E C B A C AB PPB N A M C∴21n （n －3）= 35． 变式6 一个正多边形的一个外角的度数是它对应内角度数的41，求此多边形的内角和．（答案：1440︒）变式7 求下列图形的中∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的度数．点评 多图一思路，将这五个角的和转化为三角形的内角和，均为180︒． 变式8 求下列图形的中∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F 的度数．（答案：360︒，360︒）变式9 （2009年北京市）若一个正多边形的一个外角是40︒，则这个正多边形的边数是（ ） （答案：B ）A ．10B ．9C ．8D ．68．2 二元一次方程组的解法题目 解方程组：⎩⎨⎧=+=+4332b a b a （人教课本P 1033（2）题）（答案：⎩⎨⎧==11b a ） 演变 变式1解方程组：⎩⎨⎧=+-=+-75212b a b a （答案：⎩⎨⎧==11b a ）A B C D E FA BC DE F CA B D E C A D B EE变式2 已知⎩⎨⎧-==24y x 和⎩⎨⎧-=-=52y x 都满足等式y = kx + b ．① 求k 、b 的值；② 求x = 8时，y 的值，③ x 为多少时，y = 3 ?（答案： ①⎩⎨⎧-==45.0b k ② y = 0 ③ x = 14）变式3 甲、乙两人同解 方程组⎩⎨⎧-=-=+232y cx by ax ，甲同学正确解为⎩⎨⎧-==11y x ，乙同学因为抄错c ，解得⎩⎨⎧-==62y x ，求a 、b 、c 的值．（答案：a = 2.5，b = 0.5，c =－5）变式4 已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧-=+=-225413by ax y x 与⎩⎨⎧=--=-8432by ax y x 有相同的解，求a 、b 的值． （答案：x = 1，y = 2 或 a = 2，b =－3）变式5 以方程组⎩⎨⎧=--=+752132y x y x 为模型编一道应用题． （答案：略）变式6 （2009，福州）二元一次方程组2,x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是（ ） （答案：C ）A ．0,2.x y =⎧⎨=⎩ B ．2,0.x y =⎧⎨=⎩ C ．1,1.x y =⎧⎨=⎩ D ．1,1.x y =-⎧⎨=-⎩ 变式7 （2009，宁波）以方程组21y x y x =-+⎧⎨=-⎩的解为坐标的点(,)x y 在平面直角坐标系中的位置是（ ）（答案：A ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 变式8 （2009，白色）已知21x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组71ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解，则a b-的值为（ ） （答案：B ）A ．1B ．－1C ．2D ．3变式9 （2009，东营）若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+k y x ,k y x 95的解也是二元一次方程632=+y x 的解，则k 的值为 （ ）（答案：B ）A ．43- B ．43C ．34 D ．34-变式10 （2009，定西）方程组25211x y x y -=-⎧⎨+=⎩，的解是 ． （答案:34x y =⎧⎨=⎩，）8．2 二元一次方程组的解法题目 一个长方形的长减少5 cm ，宽增加2 cm 就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等，求这个长方形的长宽各是多少？（人教课本P 1049题）解 设长方形的长为x cm ，宽为y cm ．由题意，得⎩⎨⎧=+-+=-xyy x y x )2)(5(25 解得 x =325，y =34．答：略点评 根据题意，问什么就设什么，再把中文语言翻译成数学语言，或者找题目中的等式．演变变式1 一个长方形，长减少6宽增加3，或长增加4，宽减少1，面积都与原长方形面积相等，求原长方形的长和宽？解 设原长方形的长为x ，宽为y ．有题意，得 ⎩⎨⎧=-+=+-xyy x xyy x )1)(4()3)(6( 化简，得⎩⎨⎧=-=-xyx y y x 462 解得⎩⎨⎧==516y x 答：略．变式2 一个长方形长减少1厘米，宽增加3厘米，所得的正方形比原来的长方形的面积大21平方厘米，求原长方形的长和宽各是多少厘米？解 设原长方形的长为x ，宽为y ．有题意，得 ⎩⎨⎧+=+-+=-21)3)(1(31xy y x y x化简，得⎩⎨⎧=-=-2434x y y x 解得 ⎩⎨⎧==610y x答：略．变式3 某汽车运输队，要在规定的天数内运完一批货物，如果减少6辆汽车则要再运3填才能完成任务，如果增加4辆汽车，可提前1天完成任务，那么这个汽车运输队原有汽车多少辆？原规定运完的天数是多少？解 设汽车运输队原有汽车x 辆，原规定运完的天数是y 天．由题意得 ⎩⎨⎧=-+=+-xyy x xy y x )1)(4()3)(6( 解得 ⎩⎨⎧==516y x 答：略．8．3 实际问题与二元一次方程组题目 如图，8每块长方形地砖的长和宽分别是多少？解 设每块长方形地砖的长和宽分别为x ，y ．由题意，得⎩⎨⎧==+xy y x 360 解得⎩⎨⎧==1545y x 答：每块长方形地砖的长为45，宽为15．点评 此类题要根据数形结合思想解题，要设小长方形的长和宽分别为所求量．演变变式1 如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形， 求大长方形地砖的长和宽分别是多少？解 设每块长方形地砖的长和宽分别为x ，y ．由题意，得⎩⎨⎧==+x y y x 3603 解得⎩⎨⎧==1030y x ∴ x + 3y = 60，x + y = 40．答：大长方形地砖的长为60，宽为40．变式2 某单位为了提高绿化品味，美化环境，准备将一块周长为76 m 的长方形草地设计分成长和宽分别相等的9块小长方形（分布位置如图所示），种上各色花卉，经市场预测，绿化每平方米来造价（其中已含全部费用）约为108元．求每一个小长方形的长和宽；请计算完成这块绿化 工程预计投入资金多少元？ 解 设每块长方形地砖的长和宽分别为x ，y ． 由题意，得 ⎩⎨⎧==+x y y x 257694 解得 ⎩⎨⎧==410y x 20×18×108 = 38880元．答：每块长方形地砖的长为10 m ，宽为4 m ． 完成这块绿化工程预计投入资金38880元．变式3 小颖在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1所示），恰好可以拼成一个大的长方形．小彬看见了，说：“我来试一试．”结果小彬七拼八凑，拼成如图2那样的正方形．咳，怎么中间还留下一个洞，恰好是边长2 mm的小正方形！①每块长方形地砖的长和宽分别是多少？②正方形的面积是多少？解设每块长方形地砖的长和宽分别为x，y．由题意，得⎩⎨⎧==+xyyx3522解得⎩⎨⎧==610yx所以22×22 = 484．答：每块长方形地砖的长为10 mm，宽为6 mm．正方形的面积是484．变式4 （2009，漳州）为了防控甲型H1N1流感，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元∕瓶，乙种9元∕瓶．（1）如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？（2）该校准备再次．．购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲种瓶数的2倍，且所需费用不多于．．．1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？解（1）设甲种消毒液购买x瓶，则乙种消毒液购买（100－x）瓶．依题意，得6x + 9（100－x）= 780，解得x = 40．所以100－x = 60（瓶）．答：甲种消毒液购买40瓶，乙种消毒液购买60瓶．另法设甲种消毒液购买x瓶，乙种消毒液购买y瓶．依题意，得10069780x yx y+=⎧⎨+=⎩，．解得4060xy=⎧⎨=⎩，．答：甲种消毒液购买40瓶，乙种消毒液购买60瓶．（2）设再次购买甲种消毒液y瓶，刚购买乙种消毒液2y瓶．依题意，得6921200y y+⨯≤．解得50y≤．答：甲种消毒液最多再购买50瓶．变式5 （2009，宁德）某刊物报道：“2008年12月15日，两岸海上直航、空中直航和直接通邮启动，‘大三通’基本实现．‘大三通’最直接好处是省时间和省成本，据测算，空运平均每航次可节省4小时，海运平均每航次可节省22小时，以两岸每年往来合计500万人次计算，则共可为民众节省2900万小时……”根据文中信息，求每年采用空运和海运往来两岸的人员各有多少万人次．解 设每年采用空运往来的有x 万人次，海运往来的有y 万人次，依题意得⎩⎨⎧=+=+.2900224,500y x y x 解得 ⎩⎨⎧==.50,450y x 答：每年采用空运往来的有450万人次，海运往来的有50万人次． 变式6 （2009，云南）在“家电下乡”活动期间，凡购买指定家用电器的农村居民均可得到该商品售价13%的财政补贴．村民小李购买了一台A 型洗衣机，小王购买了一台B 型洗衣机，两人一共得到财政补贴351元，又知B 型洗衣机售价比A 型洗衣机售价多500元．求：（1）A 型洗衣机和B 型洗衣机的售价各是多少元？（2）小李和小王购买洗衣机除财政补贴外实际各付款多少元？ 解 （1）设A 型洗衣机的售价为x 元，B 型洗衣机的售价为y 元，则据题意，可列方程组5001313351.y x x y -=⎧⎨%+%=⎩， 解得 11001600.x y =⎧⎨=⎩，∴ A 型洗衣机的售价为1100元，B 型洗衣机的售价为1600元． （2）小李实际付款为：1100（1－13%）= 957（元）； 小王实际付款为：1600（1－13%）= 1392（元）．∴小李和小王购买洗衣机各实际付款957元和1392元．变式7 （2009，济南）自2008年爆发全球金融危机以来，部分企业受到了不同程度的影响，为落实“促民生、促经济”政策，济南市某玻璃制品销售公司今年1月份调整了职工的月工资分配方案，调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成（计件奖励工资=销售每件的奖励金额×销售的件数）．下表是甲、乙两位职工今年五月份的工资情况信息：（1）试求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各多少元？（2）若职工丙今年六月份的工资不低于2000元，那么丙该月至少应销售多少件产品？解（1）设职工的月基本保障工资为x元，销售每件产品的奖励金额为y 元．由题意得20018001801700x yx y+=⎧⎨+=⎩解这个方程组得8005xy=⎧⎨=⎩答：职工月基本保障工资为800元，销售每件产品的奖励金额5元．（2）设该公司职工丙六月份生产z件产品．由题意得80052000z+≥，解这个不等式得240z≥．答：该公司职工丙六月至少生产240件产品．变式8 如图，在3×3的方阵图中，填写了一些数和代数式（其中每个代数式都表示一个数），使得每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等．（1）求x ，y 的值；（2）在备用图中完成此方阵图． 解 （1）由题意，得34232234.x x y y x y x x ++=++-⎧⎨-+-=++⎩， 解得 12.x y =-⎧⎨=⎩，（2）如图9．1 不等式题目 设a ＞b ，用“＜”或“＞”填空．（人教课本P 1287题） （1）2a －5 2b －5 （答案：＞）（2）－3.5b + 1 －3.5a + 1 （答案：＜）点评 先根据不等式的性质2和3，再根据不等式的性质1填．性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向 ；性质2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向 ； 性质3：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向 ．演变变式1 如果a ＜b ＜0，下列正确的是（ ）．A ．a 1＜b 1 B ．ab ＜1 C ．b a ＜1 D ．ba ＞1 （答案：D ）变式2 （2009柳州）若b a <，则下列各式中一定成立的是（ ）A ．11-<-b aB ．33b a > C ． b a -<- D ． bc ac <（答案：A ）–23 4(备用图)2y –x–2 3 4 x ya bc–2 3 4 –1 6 152变式3 （2009年牡丹江市）若01x <<，则21x x x，，的大小关系是（ ） （答案：C ）A ．21x x x <<B ．21x x x <<C ．21x x x << D ．21x x x<< 变式4 （09湖北宜昌）如果ab ＜0，那么下列判断正确的是（ ）（答案：D ）A ．a ＜0，b ＜0B ．a ＞0，b ＞0C ．a ≥0，b ≤0D ．a ＜0，b ＞0或a ＞0，b ＜0变式5 如果2c a ＜2cb，那么（ ）．A ．a ＜bB ．a ＞bC ．a ≤bD ．a = b（答案：A ）变式6 （1）若a ＜b 且c ＞0，则ac + c bc + c ； （2）a ＞0，b ＜0，c ＜0，则（a －b ）c 0．（答案：（1）＜ （2）＜）变式7 若不等式3x －m ＜0的正整数解共有2个，求m 的取值范围．解 3x －m ＜0，x ＜3m ． ∵ 2＜3m≤3，∴ 6＜m ≤9．变式8 若关于x 的方程3x + 3k = 2的解事正数，求k 的取值范围． 解 ∵ x =332k -，∴ 332k -＞0，k ＜32． 变式9 已知关于x 的方程2x －3 =－a 的解是不等式5（x －2）－7＜6（x－1）－8的一个解，求a 的取值范围． （答案：a ＜9）变式10 解关于x 的不等式：ax －b ＜0．解 ① 当a ＞0时，x ＜ab ； ② 当a = 0时，b ≤0时，无解； ③ 当a = 0时，且b ＜0时，实数； ④ 当a ＜0时，x 大于ab ．变式11 解关于x 的不等式：（21－a ）x ＞1－2a ． 解 原不等式可化为（1－2a ）x ＞2（1－2a ），（1）当a ＞21时，x ＜2；（2）当a =21时，无解；（3）当a ＜21时，x ＞2．变式12 若不等式mx －2＜3x + 4的解集是x ＞36-m ，求m 的取值范围． 解 由mx －2＜3x + 4 得（m －3）x ＜6． ∵ （m －3）x ＜6的解集是x ＞36-m ， ∴ m －3＜0， ∴ m ＜3．不等式组题目 当x 时取哪些整数时，2≤3x －7＜8成立？（人教课本P 1428题）解 原不等式可化为⎩⎨⎧<--≤,873,732x x 解得 ⎩⎨⎧<≥,5,3x x ∴ 3≤x ＜5． ∵ x 为整数，∴ x = 3，4．点评 这是关于x 的双联不等式，它相当于解不等式组⎩⎨⎧-≥-873273＜x x ．演变变式1 求不等式组⎩⎨⎧--≥-x x x 782093＜的最小整数解．（答案：3）变式2 已知方程组⎩⎨⎧+=++=+m y x my x 1313 的解满足x 与y 的和是非负数，求m 的取值范围．解 将两个方程相加，得 4（x + y ）= 2（m + 1），即 x + y =21+m ． ∵ x + y ≥0，∴ 21+m ≥0，∴ m ≥－1．另解 把m 看成常数，解x 、y 的二元方程组，解得x =41+m ，y =41+m ，再把x =41+m ，y =41+m 代如x + y ≥0中解m 的值．变式3 当k 为何值时，方程组⎩⎨⎧-=+=-5253y x ky x 的解x 是正数，y 是负数？解 由已知方程组得x =1325-k ， 13152+-=k y ．由题意，得 1325-k ＜0 且 13152+k ＞0，解得 k ＜－215．变式4 若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧-=++=-52223m y x m y x 中的x 的值大于719，y 的值不大于－1，求m 的整数值．解 由已知方程组，得 x =783-m ，y =719-m ． 由题意得 783-m ＞719 且 719-m ≤－1，解得⎩⎨⎧≤129m m ＞∴ 9＜m ≤12，因此整数m 的值为m = 10，11，12．变式5 解不等式组 ⎩⎨⎧>--<+-.0),1(213k x x x解 原不等式组可化为 ⎩⎨⎧>>.,5k x x ① 当k ≤5时，解为x ＞5．② 当k ＜5时，解为x ＞k ．变式6 把一些书分给几个学生．如果没人分3本，那么余6本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本．问这些书有多少本？学生有多少人？解 设学生人数为x 人，书友（3x + 8）本． 由题意，得 5（x －1）≤3x + 8＜5（x －1）+ 3， 解得 x = 6，3x + 8 = 26．变式7 先阅读，再解不等式12-x x＞1．解 12-x x －1＞0，即121--x x＞0，则有 ① ⎩⎨⎧--01201＞＞x x 或 ② ⎩⎨⎧--01201＜＜x x 解 ① 得21＜x ＜1；② 无解．∴ 原不等式的解为21＜x ＜1．请根据以上思想方法解不等式：223-+x x ＜2．解223-+x x －2＜0，即26-+x x ＜0 则有 ① x + 6＞0且x －2＜0， 或 ② x + 6＜0且 x －2＞0． 解 ① 得－6＜x ＜2；② 无解． ∴ 原不等式的解集为 －6＜x ＜2．变式7 （2009恩施市）如果一元一次不等式组3x x a >⎧⎨>⎩的解集为3x >．则a 的取值范围是（）（答案：C ）A ．3a >B ．a ≥3C ．a ≤3D ．3a <变式8 （2009年重庆市江津区）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤<-15112x xx 的解集在数轴上表示正确的是 （ ）（答案：C ）变式9 （2009湖北省荆门市）若不等式组0,122x a x x +⎧⎨->-⎩≥有解，则a 的取值范围是（ ）（答案：A ）A ．1a >-B ．1a -≥C ．1a ≤D ．1a <变式10 （2009烟台市）如果不等式组2223xa xb ⎧+⎪⎨⎪-<⎩≥的解集是01x <≤，那么a b +的值为．（答案：1）统计调查题目为了解全校学生的平均身高，小明调查了座在自己旁边的3位同学，把他们的平均身高作为全校学生的平均身高的估计．（1）小明的调查是抽样调查吗？（2）如果是抽样调查，指出总体、个体、样本、样本容量．（3）这个调查结果能够较好的反映总体的情况吗？（人教课本P1551题）解（1）小明的调查是抽样调查．（2）总体：全校学生的平均身高；个体：每个学生的身高；样本：被调查德3位同学的身高；样本容量：3．（3）不能够．点评考查全体对象的调查就叫做全面调查，抽样调查：抽取一部分对象进行调查的方法，叫抽样调查，总体：所要考察对象的全体，个体：总体的每一个考察对象叫个体，样本：抽取的部分个体叫做一个样本，样本容量：样本中个体的数目，抽样的注意事项：①抽样调查要具有广泛性和代表性，即样本容量要恰当；②抽取的样本要有随机性，一般情况下，样本容量越大，估计精确度就越高．演变变式1为了了解某中学七年级600名学生的体重情况，从中抽查了50名学生的体重进行统计分析，在这个问题中总体是指（）．A． 600名学生B．取的50名学生C．七年级600名学生的体重D．被抽取的50名学生的体重（答案：C）变式2一次数学考试考生约12万名，从中抽取5000名考生的数学成绩进行分析，在这个个问题中，样本指的是（）．A．5000 B．5000名考生的数学成绩C．12万名考生的数学成绩D．5000名考生（答案：B）变式3下列调查工作需采用的普查方式的是（）．A．环保部门对淮河某段水域的水污染情况的调查B．电视台对正在播出的某电视节目收视率的调查C．质检部门对各厂家生产的电池使用寿命的调查D．企业在给职工做工作服前进行的尺寸大小的调查（答案：D）变式4为了了解某种矿泉水含钠是否超标进行的调查是调查．（答案：抽样）变式5如图，甲、乙两所学校，其中男女生情况可见下列统计图，甲学校有1000人，乙有1250人，则（）．A．甲校的女生比乙校的女生多B．甲校的女生比乙校的女生少C．甲校与乙校的女生一样多D．甲校与乙校男生共是2250人（答案：C）变式6池塘中放养了鲤鱼10000条，鲢鱼若干，在几次随机捕捞中，共抓到鲤鱼400条，鲢鱼320条，估计池中放养了鲢鱼___________条．（答案：8000条）变式7 （2009年宁波市）下列调查适合作普查的是（）．A．了解在校大学生的主要娱乐方式B．了解宁波市居民对废电池的处理情况C．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命D．对甲型H1N1流感患者的同一车厢的乘客进行医学检查（答案：D）变式8（2009年义乌）下列调查适合作抽样调查的是（）．A．了解义乌电视台“同年哥讲新闻”栏目的收视率B．了解某甲型H1N1确诊病人同机乘客的健康状况C．了解某班每个学生家庭电脑的数量D．“神七”载人飞船发射前对重要零部件的检查（答案：A）变式9 （2009年河南）下列调查适合普查的是（）．A．调查2009年6月份市场上某品牌饮料的质量B．了解中央电视台直播北京奥运会开幕式的全国收视率情况C．环保部门调查5月份黄河某段水域的水质量情况D．了解全班同学本周末参加社区活动的时间（答案：D）变式10 （2009年湘西自治州）要了解一批电视机的使用寿命，从中任意抽取40台电视机进行试验，在这个问题中，40是（）．A．个体B．总体C．样本容量D．总体的一个样本（答案：C）。

2022年全国新高考Ⅰ卷数学试题变式题17-19题原题171．记n S 为数列{}n a 地前n 项和,已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎩⎭是公差为13地等差数列．(1)求{}n a 地通项公式。

(2)证明：121112na a a +++< ．变式题1基础2．已知数列{}n a 满足：对任意*n N ∈,有()212333323314n n n n a a a n ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=⋅-+.(1)求数列{}n a 地通项公式;(2)设14122n n n a n n n a b a a a ++++=⋅⋅⋅,证明：1214n b b b ++⋅⋅⋅+<.变式题2基础3．已知正项数列{}n a 地前n 项和n S 满足：22,(N )n n S a n +=-∈.(1)求数列{}n a 地通项公式。

(2)令()()()2221N log log n n n b n a a ++=∈⋅,求证：数列{}n b 地前n 项和34n T <.变式题3基础4．已知数列{}n a 地前n 项和为n S ,13a =,()()*112n n S n a n -=+∈N .(1)求数列{}n a 地通项公式n a 和前n 项和n S 。

(2)设()()*22111k k k b k S S +=∈+⋅N ,数列{}n b 地前n 项和记为n T ,证明：()*16n T n <∈N .变式题4基础5．已知数列{}n a 满足11a =,且11n n a a n +-=+,n S 是1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭地前n 项和．(1)求n S 。

(2)若n T 为数列2n S n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭地前n 项和,求证：259n T <．变式题5巩固6．已知等比数列{}n a 公比为正数,其前n 项和为n S ,且4244,30a a S ==.数列{}n b 满足：*1115,23,2n n n n b a b a b n n N ++==++∈.(1)求数列{}{},n n a b 地通项公式：(2)求证：()()3112..212233411n n b b b b b n n n n -+++⋯++<⨯⨯⨯-⨯⨯+.变式题6巩固7．已知等差数列{}n a 地前n 项和为n S ,且11a =,5212S S =+。

八年级下册·课本亮题拾贝16．1 分式题目 什么条件下，下列分式有意义？（1）)1(1-x x ； （2）152++x x．（人教课本P 9第8题） 解 （1）x ≠0且x ≠1．（2）x 为任意实数．点评 根据分式的定义，要使分母有意义的条件必须满足分母不等于0，否则分式无意义．对于分母中只含有一个字母的，结果是这个字母不等于某个数（如x ≠0且x ≠1）；对于分母中含有多个字母的，结果是这些字母不能有某种关系如（x ≠y ）；当分母的形式非常特殊的时候，如为x 2 + 1，︱x ︱+ 1，x + 1等或类似情况时，考虑x 为任意实数或为非负数．当对x 的限制条件不止一个时，要注意考虑所有情况．演变变式 1 在函数31-=x y 中，自变量x 的取值范围是 ． （答案：x ≠3）变式 2 若分式12222++--x x x x 的值为0，则x 的值等于 ． （答案：2）变式 3 若分式21-x 无意义，则实数x 的值是 ． （答案：2）变式4 写出一个含有字母x 的分式（要求：不论x 取任何实数，该分式都有意义）．变式5 已知使分式117++bx ax 有意义的一切x 的值，都会使这个分式的值为一个定值，求a ，b 应满足的条件． （答案：11a －7b = 0）变式 6 使分式ax a x --1（a ≠0）有意义的x 应该满足的条件是 ．（答案：x ≠0且ax 1≠） 16．2 分式的计算题目 计算： ⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+2221111b a b a ． （人教课本P 23第6（2）题）解 原式=()2222222a b b a b a b a -⨯+=a b b a -+． 点评 分式的混合运算一定要遵守运算法则，乘方时要分子分母分别乘方，通分是实现异分母相加减的转化手段，但要注意选择最简公分母以简化运算，约分的时候要注意符号，并保证结果为最简分式．演变变式1 化简：22424422x x x x x x x ⎛⎫--+÷ ⎪-++-⎝⎭，其结果是（ ）． A ．82x -- B ．82x - C ．82x -+ D ．82x + （答案：D ）变式2 学完分式运算后，老师出了一道题“化简：23224x x x x +-++-”． 小明的做法是：原式222222(3)(2)26284444x x x x x x x x x x x +--+----=-==----； 小亮的做法是：原式=（x + 3）（x －2）+（2－x ）= x 2 + x －6 +2－x = x 2－4； 小芳的做法是：原式32313112(2)(2)222x x x x x x x x x x +-++-=-=-==++-+++． 其中正确的是（ ）A ．小明B ．小亮C ．小芳D ．没有正确的（答案：C ）变式 3 先化简，再选择一个你喜欢的数（要合适哦！）代入求值：2111x x x -⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭． 解 2111(1)(1)1x x x x x x x x -+-+⎛⎫+÷=÷ ⎪⎝⎭1(1)(1)x x x x x +=⨯-+11x =-． 说明 这种类型的计算题看似简单，但对同学们是否掌握了使分式有意义的x 的值有较高的要求，如此题显然不能取1，－1，0．16．3 分式方程题目 张明4小时清点完一批图书的一半，李强加入清点另一半图书的工作，两人合作1小时清点完另一半图书．如果李强单独清点完这批图书要几个小时？（人教课本P 32第5题）解 设李强单独清点这批图书需要x 小时，列方程得21141=+x ．解得322=x ，经检验得322=x 是原方程的解． 答：李强单独清点这批图书要322小时． 点评 分式方程的应用最主要的集中于行程问题和工程问题，虽然它们实际背景各不相同，但都与时间有关系，分析问题时应注意利用题中隐含的等量关系，解方程后应注意从分式的特点和实际问题的限制两方面进行检验．演变变式1 某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x 套，则根据题意可得方程为（ ）．A ．18%)201(400160=++x xB ．18%)201(160400160=+-+xx C ．18%20160400160=-+x x D ．18%)201(160400400=+-+xx （答案：B ）变式2 （2009，长春）某工程队承接了3000米的修路任务，在修好600米后，引进了新设备，工作效率是原来的2倍，一共用30天完成了任务．求引进新设备前平均每天修路多少米．解 设引进新设备前平均每天修路x 米．根据题意，得 3026003000600=-+xx ，解得x = 60． 经检验，x = 60是原方程的解，且符合题意．答：引进新设备前平均每天修路60米．变式3 某玩具店采购人员第一次用100元去采购“企鹅牌”玩具，很快售完．第二次去采购时发现批发价上涨了0.5元，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件．两批玩具的售价均为2.8元．问第二次采购玩具多少件？（说明：根据销售常识，批发价应该低于销售价）解 设第二次采购玩具x 件，则第一次采购玩具（x －10）件，由题意得xx 1502110100=+-， 整理，得 x 2－110x + 3000 = 0，解得 x 1 = 50，x 2 = 60．经检验x 1 = 50，x 2 = 60都是原方程的解．当x = 50时，每件玩具的批发价为150÷50 = 3（元），高于玩具的售价，不合题意，舍去；当x = 60时，每件玩具的批发价为150÷60 = 2.5（元），低于玩具的售价，符合题意，因此第二次采购玩具60件．另法 设第一次采购玩具x 件，则第二次采购玩具（x + 10）件，由题意得1015021100+=+x x ， 整理得 x 2－90x + 2000 = 0，解得 x 1 = 40，x 2 = 50．经检验，x 1 = 40，x 2 = 50都是原方程的解．第一次采购40件时，第二次购40 + 10 = 50件，批发价为150÷50 = 3（元）不合题意，舍去；第一次采购50件时，第二次购50 + 10 = 60件，批发价为150÷60 = 2.5（元）符合题意，因此第二次采购玩具60件．17．1 反比例函数题目 指出下列函数中哪一个是反比例函数，并指出k 值． （人教课本P 46第2题）A ．2x y =B ．x y 35-=C ．y = x 2D ．y = 2x + 1 解 B ，35-=k ．点评 反比例函数有三种表示形式：（1）“分式”型：形如x k y =（k为常数，k ≠0）；（2）“乘积”型：即xy = k （k 为常数，k ≠0）；（3）“负指数”型：y = kx －1（k 为常数，k ≠0）．在学习时要注意对定义和表示形式进行研究，准确理解这三种表示形式后，就能抓住反比例函数定义的主要特征．演变变式1 下列函数中，是反比例函数的是（ ）．A ．y =－3xB ．12x y =+C ．1y x=- D ．y = 3x 2 + 1 （答案：C ）变式2 若xm y 2+=是反比例函数，则m 必须满足（ ）．A ．m ≠0B ．m =－2C ．m = 2D ．m ≠－2 （答案：D ）变式3 有以下判断：① 圆面积公式S =π r 2中，面积S 与半径r 成正比例；② 运动的时间与速度成反比例；③ 当电压不变时，电流强度和电阻成反比例；④ 圆柱体的体积公式V =π r 2h 中，当体积V不变时，圆柱的高h 与底面半径r 的平方成反比例．其中错误的有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：B ）变式4 如果函数y = x 2m －1为反比例函数，则m 的值是（ ）．A ．－1B ．0C ．21 D ．1 答案：B ）变式 5 已知反比例函数的图象经过点（a ，b ），则它的图象一定也经过点（ ）．A ．（－a ，－b ）B ．（a ，－b ）C ．（－a ，b ）D ．（b ，－a ）答案：A ）题目 正比例函数y = x 的图象与反比例函数xk y =的图象有一个交点的纵坐标是2，求：（1）当x =－3时，反比例函数y 的值；（2）当－3＜x ＜－1时，反比例函数y 的取值．（人教课本P 47第7题）解 （1）当y = 2时，x = 2，代入xk y =中得k = 4，所以反比例函数的解析式为x y 4=；当x =－3时，34-=y ． （2）因为－3＜x ＜－1＜0，当x =－3，34-=y ；当x =－1，y =－4．所以 －4＜x ＜－34．点评 一次函数“牵手”反比例函数的题型主要有三类：（1）同一坐标系中的两类函数图象共存问题；（2）求函数的解析式或图象交点坐标问题（包含求三角形的面积）；（3）两类函数的大小关系与相应自变量的范围．注：求两函数的交点即求两函数解析式联立所构成的方程组的解．演变变式1 （接原题）（3）当－2＜x ＜2时，函数y 的取值范围．（答案：结合图象可得－2＜y ＜0或0＜y ＜2）变式2 （2008，恩施）一次函数y 1 = x －1与反比例函数xy 22=的图象交于点A （2，1），B （－1，－2），则使y 1＞y 2的x 的取值范围是（ ）．A ．x ＞2B ．x ＞2或－1＜x ＜0C ．－1＜x ＜2D ．x ＞2或x ＜－1 （答案：B ）变式3 设直线与双曲线相交于A （1，2）与B （－2，n ）．（1）求直线与双曲线的解析式；（2）根据图象直接写出：① 当x 取何值时，一次函数的值等于反比例函数的值；② 当x 取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；③ 当x 取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值．（答案：（1）xy 2=，y = x +1 （2）① x = －2或1 ② －2＜x ＜0或x ＞1 ③x ＜－2或0＜x ＜1）注：“三线四区间”法是解这类题的有效方法．“三线四区间”是指过两个交点分别作x 轴的垂线，两条垂线加上y 轴一共三条线把x的范围分成四个区间，有两个区间内一次函数的值大于反比例函数的值，另两个区间内一次函数的值小于反比例函数的值．题目 红星粮库需要把晾晒场上的1200吨玉米入库封存．（1）入库所需时间t （天）与入库速度y （吨∕天）有什么样的函数关系？（2）粮库有职工60名，每天最多可入库300吨玉米，预计玉米入库最快可在几日内完成？（3）粮库的职工连续工作了两天后，天气预报说未来的几天很可能会下雨，粮库决定次日把剩余的玉米全部入库，需要增加多少人帮忙才能完成任务？ （人教课本P 55第6题）解 （1）入库时间t 与入库速度y 的函数关系为ty 1200=． （2）把y = 300代入ty 1200=，解得t = 4． （3）设需要增加x 人帮忙才能完成任务．根据题意，可列方程为 300÷60×（60 + x ）= 1200－300×2，解方程，可得x = 60．因此需要增加60人帮忙才能完成任务．点评 成反比例函数关系的两个变量的条件是它们的乘积是一个定值．演变变式1 近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25，则眼镜度数y 与镜片焦距x之间的函数关系是 ．(答案：xy 100=) 变式2 某气球内充满了一定的质量，当温度不变时，气球内的压力P （千帕）是气球的体积V （立方米）的反比例函数，其图象如图所示（注：千帕是一种压强单位）．（1）求这个函数的解析式；（2）当气球的体积为0.8立方米时，气球内的压力是多少千帕？（答案：（1）96P V=；（2）120千帕） 变式 3 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄．当车速为50 km ／h 时，视野为80度．如果视野f （度）是车速v（km ／h ）的反比例函数，求f ，v 之间的关系式，并计算当车速为100km ／h 时视野的度数． （答案：vf 4000=；当100=v 时，40=f ） 变式4 某空调厂的装配车间原计划用2个月时间（每月以30天计算），每天组装150台空调．（1）从组装空调开始，每天组装的台数m （单位： 台／天）与生产的时间t （单位：天）之间有怎样的函数关系？（2）由于气温提前升高、厂家决定这批空调提前十天上市，那么装配车间每天至少要组装多少空调？（答案：（1）tm 9000=；（2）180） 变式5 某工厂从2005年开始投入技术改造资金来降低产品成本，设投入技改资金x 万元时，产品成本为y 万元∕件，就你所学的一次函数和反比例函数，观察表中数字规律：（1（2）若2009年已投入技改资金8万元，预计产品成本每件比2008年降低多少万元？（3）要使2009年产品成本降到2万元∕件，则还需投入技改资金几万元？解 （1）由表中数据知，每年的x 、y 满足：xy =20720731064554=⨯=⨯=⨯=⨯， ∴ xy = 20， x y 20=． 又设x 、y 的关系为y = kx + b ．将（x ，y ）=（4，5），（5，4）分别代入，得⎩⎨⎧+=+=b k b k 5445 解得 ⎩⎨⎧=-=91b k ∴ y =－x + 9． 但x = 6时，310396≠=+-=y ， ∴ x 、y 不具有一次函数关系．∴ 表中数据是反比例函数关系xy 20=． （2）当x = 8，得25820==y ，而 14514354025720=-=-万元． 答：预计成本比08年降低145万元． （3）当y = 2时，得 x202=，x = 10，10－8 = 2． 答：还需投入技改资金2万元．18．1 勾股定理题目 有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端到达池边的水面．水的深度和这根芦苇的长度分别是多少？（人教课本P 71第10题）解 设水深EG = x 尺，则芦苇的长EF = ED =（x + 1）尺，在Rt △EGD 中，∠EGD = 90°，GD = 5，由勾股定理得：EG 2 + GD 2 = ED 2 得 x 2 + 52 =（x + 1）2，解得 x = 12．所以 x + 1 = 13．答：水的深度为12尺，芦苇的长度为13尺．点评 将实际问题转化为数学问题，利用勾股定理建立方程来解决．演变 变式1 一株荷叶高出水面1 m ，一阵风吹来，荷叶被吹得贴着水面，这时它偏离原来的位置有3 m 远，如图所示，求荷叶的高度和水面的深度．（答案：水面的深度为4 m ，荷叶的高度为5 m ）变式2 如图，某游泳池长48米，小方和小杨进行游泳比赛， 从同一处（A 点）出发，小方平均速度为3米／秒，小杨为3.1米 ／秒．但小杨一心想快，不看方向沿斜线（AC 方向）游，而小方 直游（AB 方向），两人到达终点的位置相距14米．按各人的平均 速度计算，谁先到达终点，为什么？（答案：小方先到达终点）变式3 如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离欲到达地点B 相距50米，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10米，求该河的宽度AB 为多少米？（答案：120米）变式4 湖静浪平六月天，菏花半尺出水面，忽来一阵狂风急，吹倒菏花水中淹，入秋渔夫始发现，残花离根二尺遥，试问水深为若干？ A O A B AC B（答案：3. 75尺）题目 如图，∠C = 90°，图中有阴影的三个半圆的面积有什么关系?（人教课本P 71第11题）解 记直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为S 1、S 2、S 3，则S 1、S 2、S 3的关系是S 1 + S 2 = S 3．理由如下：22181)2(21BC BC S ππ==； 22281)2(21AC AC S ππ==；22381)2(21AB AB S ππ==． 而由勾股定理，得 BC 2 + AC 2 = AB 2，于是可得S 1 + S 2 = S 3．点评S 1 + S 2 = S 3都成立．演变变式1 （2009，浙江湖州）如上图，△ABC 中， ∠ACB = 90︒，AB = 4，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为S 1、S 2，则S 1 + 2于 ． （答案：8π）变式2 （2009，宜宾）如图，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB = 3，则图中阴影部分的面积为 ． （答案：29） 变式3 如图，以Rt △ABC 的三边向外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，且S 1 = 3，S 2 = 4，则S 3 = ． （答案：C B A C 2 A D 0.5 B7）变式4 如图，所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若大正方形的边长是6 cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积和是（ ）cm 2 （答案：B ）A ．12B ．36C ．42D ．48变式5 如图，在四边形ABCD 中，∠DAB =∠BCD = 90︒，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S 1 + S 4 = 100，S 3 = 36，则S 2 =（ ）．A ．136B ．64C ．50 D．81 （答案：B ）变式6 如图所示，是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一条边为斜边作等腰直角三角形，然后再以这个等腰直角三角形两直角边为边作正方形②和②′，如此继续下去…，若正方形①的面积为64，则正方形⑥的面积为 ．（答案：2）变式7 如图，Rt △ABC 中，BC = 12，AC = 5，分别以AB 、BC 、AC 为直径作三个半圆，则阴影部分的面积是 ．（人教课本P 71第12题的变式）（答案：30 习题结论：S 阴影 = S △ABC ）变式8 （2008，陕西）如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ADC +∠BCD = 90︒，且DC = 2AB ，分别以DA ，AB ，BCC B A S 1 S 2 S 3 CD B A S 3 B A D S 1C S 2 S 4 ④a D C B Mc N E F b G H 为边向梯形外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 1、S 2、S 3之间的关系是 ．（答案：S 1 + S 3 = S 2）变式9 如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ）．A ．4B ．6C ．16D ．55 （答案：C ）变式10 在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1 + S 2 + S 3 + S 4 = ． （答案：4）变式11 （2008，浙江台州）如图，四边形ABCD ，EFGH ，NHMC 都是正方形，边长分别为a ，b ，c ；A ，B ，N ，E ，F 五点在同一直线上，则c = （用含有a ，b 的代数式表示）． （答案：22b a ）变式12 如图①，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，则不难证明S 1 = S 2 + S 3．（1）如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，那么S 1、S 2、S 3之间有什么关系？（不必证明）（2）如图③，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，请你确定S 1、S 2、S 3之间的关系并加以证明；l c b a S 1S 2 S 3 S 4 1 2 3 l（3）若分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，为使S 1、S 2、S 3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论；（4）类比（1）、（2）、（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论 ．（答案：设直角三角形ABC 的三边BC 、CA 、AB 的长分别为a 、b 、c ，则c 2 = a 2 + b 2．（1）S 1 = S 2 + S 3．（2）S 1 = S 2 + S 3． 证明如下：显然，2143c S =，2243a S =，2343b S =， ∴ S 2 + S 3=222)a b +== S 1．（也可用三角形相似证明） （3）当所作的三个三角形相似时，S 1 = S 2 + S 3． ∵ 所作三个三角形相似， ∴22322211,.S S a b S c S c == 2223123211,S S a b S S S S c++∴==∴=+． （4）分别以直角三角形ABC 三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，则S 1 = S 2 + S 3）题目 已知圆柱的底面半径是6 cm ，高为10 cm ，蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的侧面爬行到B 点的最短路程是多少厘米？（结果保留小数点后1位）（人教课本P 81第8题）解 如图，将圆柱展开得到BC = 10 cm ，AC = 6π cm ．在Rt △ABC 中，2222)6(10π+=+=BC AC AB ≈21.3 cm ．① C A B S 1 S 2 S 3 ② C S 3 A S 1 S 2 B ③答：蚂蚁从A 点爬行到B 点的最短路程是21.3厘米．点评 解立体图形的问题通常要把立体图形展开成平面图形，然后化成平面图形的问题加以解决，它是解决立体图形问题的基本方法之一，凸现了化归思想．在本题中还要注意选择的直角三角形的两条直角边分别为圆柱的高和底面圆周长的一半．演变变式1 有一长、宽、高分别是5 cm 、4 cm 、3 cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A 处沿长方体的表面爬到长方体上和A 相对的顶点B 处，则需要爬行的最短路径长为（ ）．A ．25B ．74C ．54D ．103（答案：B ）变式2 （2009，恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的 表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（ ）．A ．215B ．25C ．1055+D ．35（答案：B ）变式3 如图，有一圆柱体高为10 cm ，底面圆的半径为π12cm ，AA 1，BB 1为相等的两条母线，在AA 1上Q 处有一只 蜘蛛，QA = 3 cm ；在BB 1上P 处有一只苍蝇，PB 1 = 2 cm ．蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P 点吃苍蝇，最短的路径是 cm ．（答案：13）变式4 李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．（1）如图1，正方体的棱长为5 cm ，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A 沿着正方体表面爬到点C 1处；（2）如图2，正四棱柱的底面边长为5 cm ，侧棱长为6 cm ，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A 沿着棱柱表面爬到C 1处；（3）如图3，圆锥的母线长为4 cm ，圆锥的侧面展开图如图所示，且∠AOA 1 = 120 ，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A 出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A ．（答案：（1）AC 12 = AC 2 + CC 12 =（5 + 5）2 + 52 = 125；AC 1 = 55cm ．（2）由于正四棱柱展开后，AC 1可以是长为10，宽为6的长方形的对角线；也可以是长为11，宽为5的长方形的对角线，因此分两种情况（画图略）：① AC 12 =（5 + 5）2 + 62 = 136；② AC 12 =（6 + 5）2 + 52 = 146， ∵ 146＞136，∴ 最短路程为234cm ．（3）圆锥的侧面展开图是扇形，此时最短路线就是△OAA 1的边AA 1的长，由已知得所求的最短的路程为AA 1= 43 cm ．过程略）题目 如图，已知E 、F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上两点，且AE = CF ，求证：四边形BFDE 是平行四边形．（人教课本P 87例3）证明 ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AO = CO ，BO = DO ．∵ AE = CF ，∴ EO = FO ．A B O B 1 A 1 D 1 DB C A C 1 B 1 A 1 D 1 D B C A C 1 O AA 1 A C F O E D又 BO = DO ，∴ 四边形BFDE 是平行四边形．点评 判定四边形是平行四边形有五种办法：① 定义（两组对边分别平行）；② 两组对边分别相等；③ 一组对边平行且相等；④ 两组对角分别相等；⑤ 对角线互相平分．到底用哪一条要根据具体情况确定．本题涉及对角线的关系，故选择“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来判断．同时本题是平行四边形的性质和判定的综合运用，先用性质得出对角线的关系，再用判定定理得出平行四边形．当E 、F 在对角线上运动时可以得到一组变式题，其证明方法都类似．演变变式1 如图，E 、F 是□ABCD 对角线BD 上的两点，请你添加一个适当的条件： ，使四边形AECF 是平行四边形．（答案：BE = DF 或 BF = DE 或 AE ∥CF 或∠AEF =∠CFE 或 AE ⊥BD ，CF ⊥BD 等）变式2 如图，已知E 、F 是平行四边形ABCD 对角线AC 的延长线上的两点，且AE = CF ．求证：四边形BEDF 是平行四边形．（提示：证OB = OD ，OE = OF ）变式3 在□ABCD 对角线BD 上取两点E 、G ，使BE = DG ．在对角线AC 的延长线上取两点F 、H ，使AH = CF ．求证：四边形EFGH 是平行四边形．（提示：证OH = OF ，OE = OG ）变式4 在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 、P 、Q 分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点．求证：四边形MNPQ 是平行四边形．证明 ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AO = CO ，BO = DO ．∵ M 、N 、P 、Q 分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点，∴ ON = OQ ，OM = OP ，∴ 四边形MNPQ 是平行四边形．A CF OE D A CF O E DG E A C F OH D变式5 在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、 F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点．以图中的各点为顶点能画多少个平行四边形？（不包括□ABCD ） （答案：三个，□EFGH 、□AFCH 、□BEDG ）题目 如图，直线l 1∥l 2，△ABC 与△DBC 的面积相等吗？你还能画出一些与△ABC 面积相等的三角形吗？（人教课本P 91第8题）解S △ABC= S △DBC ．分别过点A 和D 作AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足为E 和F ，DBC ABC S DF BC AE BC S ∆∆=⨯=⨯=2121． 在l 1上任取一点，与B 、C 连结所构成的三角形都与△ABC 的面积相等．点评 本题主要运用了“平行线间的距离处处相等”和“等底等高的三角形面积相等”；与△ABC 面积相等的三角形有无数个；本题实际上包含两个命题：l 1∥l 2 ⇔ S △ABC = S △DBC ．演变变式1 探究规律：如图，已知直线m ∥n ，A 、B 为直线n 上的两点，C 、P 为直线m 上的两点．（1）请写出图中面积相等的各对三角形： ．（2）如果A 、B 、C 为三个定点，点P 在m 上移动，那么无论P 点移动到任何位置总有：与△ABC 的面积相等；理由是： ．（教师用书239页第12题）Q NA P C O D M ABCDE AB D E M N（答案：（1）△ABC 和△ABP ，△AOC 和△BOP ，△CPA 和△CPB ．（2）△ABP ；因为平行线间的距离相等，所以无论点P 在m 上移动到任何位置，总有△ABP 与△ABC 同底等高，因此，它们的面积总相等变式2 如图2，五边形ABCDE 是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图3所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（图3中折线CDE）还保留着，张大爷想过E 点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多．请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案．（不计分界小路与直路的占地面积）（1）写出设计方案，并在图3中画出相应的图形；（2）说明方案设计理由．（教师用书240页第13题）解 （1）画法如图．连结EC ，过点D 作DF ∥EC ，交CM 于点F ，连结EF ，EF 即为所求直路的位置．（2）设EF 交CD 于点H ，由12题探究规律得到的结论，可知S △ECF = S △ECD ，S △DFC = S △DFE ，所以 S 五边形ABCDE = S 五边形ABCFE ，S 五边形EDCMN = S 四边形EFMN ．） 变式3 （2008，山东日照）（1）探究新知：如图1，已知△ABC 与△ABD 的面积相等，试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由．（2）结论应用：① 如图2，点M ，N 在反比例函数xk y （k ＞0）的图象上，过点M 作ME ⊥y 轴，过点N 作NF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ．证明：MN ∥EF ．② 若①中的其他条件不变，只改变点M ，N 的位置如图3所示，请判断 MN 与EF解 （1）分别过点C ，D ，作CG ⊥AB ，DH ⊥AB ，FH C E A B D N M 图2 图3 A B D C 图1A B C D E FG 垂足为G ，H ，则∠CGA =∠DHB = 90°，∴ CG ∥DH ．∵ △ABC 与△ABD 的面积相等，∴ CG = DH ．∴ 四边形CGHD 为平行四边形，∴ AB ∥CD ．（2）① 连结MF ，NE ．设点M 的坐标为（x 1，y 1），点N 的坐标为（x 2，y 2）．∵ 点M ，N 在反比例函数xk y =（k ＞0）的图象上，∴ x 1y 1 = k ，x 2y 2 = k ．∵ ME ⊥y 轴，NF ⊥x 轴，∴ OE = y 1，OF = x 2．∴ S △EFM =21x 1y 1 =21k ，S △EFN =21x 2y 2 =21k ，∴ S △EFM = S △EFN ． 由（1）中的结论可知：MN ∥EF ． ② MN ∥EF ．题目 如图，四边形ABCD 是正方形，点G 是BC 上的任意一点，DE ⊥AG 于E ，BF ∥DE ，交AG 于F ．求证：AF －BF = EF ．（人教课本P 104第15题）（2009，南充）证明 ∵ ABCD 是正方形，∴ AD = AB ，∠BAD = 90︒．∵ DE ⊥AG ，∴ ∠DEG =∠AED = 90︒，∴ ∠ADE +∠DAE = 90︒．又 ∠BAF +∠DAE =∠BAD = 90︒，∴ ∠ADE =∠BAF ．∵ BF ∥DE ，∴ ∠AFB =∠DEG =∠AED ，因此 △ABF ≌△DAE ，∴ BF = AE ，故 AF －BF = EF ．点评 正方形中含有很多的相等的边和角，这些相等的边和角是证全等的有力工具．演变变式1 （2008，云南）如图，四边形ABCD 是正方形，G 是BC上任意一点（点G 与B 、C 不重合），AE ⊥DG 于E ，CF ∥AE 交DG 于F ．（1）在图中找出一对全等三角形，并加以证明；DC B A E F（2）求证：AE = FC + EF．解（1）△AED≌△DFC．∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC = 90º．又∵AE⊥DG，CF∥AE，∴∠AED =∠DFC = 90º，∴∠EAD +∠ADE=∠FDC +∠ADE = 90º，∴∠EAD =∠FDC，∴△AED≌△DFC．（2）∵ΔAED≌ΔDFC，∴AE = DF，ED = FC．∵DF = DE + EF，∴AE = FC + EF．变式2 正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连结AP，分别过B、D两点作BE⊥AP，DF⊥AP，垂足为E、F，如图①．（1）请你通过观察．．BE、DF、EF的长度，然后猜想它们之．．或测量间的数量关系．若点P在DC的延长线上，如图②，这三条线段长度之间又具有什么样的数量关系？若P在DC的反向延长线上，如图③，这三条线段长度之间又具有什么样的数量关系；请分别直接写出结论．图①的结论：，图②的结论：，图③的结论：．（2）请在（1）中的三个结论中任意选择一个加以证明．解（1）①BE = DF + EF；②BE = DF－EF；③BE = EF－DF．（2）图①证明如下，图②③证明略．∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠BEA +∠AFD = 90°．∵∠ABE +∠BAE = 90°，∠DAF +∠BAE = 90°，∴∠ABE =∠DAF．在正方形ABCD中，AB = AD，∴△ABE≌△DAF，∴DF = AE，BE = AF，∴BE = DF + EF．变式3 （2009，湖北十堰）如图①，四边形ABCD 是正方形，点G 是BC 上任意一点，DE ⊥AG 于点E ，BF ⊥AG 于点F ．（1）求证：DE －BF = EF ．（2）当点G 为BC 边中点时， 试探究线段EF 与GF 之间的数量关系，并说明理由．（3）若点G 为CB 延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE 、BF 、EF 之间的数量关系（不需要证明）．解 （1）∵ 四边形ABCD 是正方形，BF ⊥AG ，DE ⊥AG ，∴ DA = AB ，∠BAF +∠DAE =∠DAE +∠ADE = 90°，∴ ∠BAF =∠ADE ，∴ △ABF ≌△DAE ，∴ BF = AE ，AF = DE ，∴ DE －BF = AF －AE = EF ．（2）EF = 2FG ．∵ AB ⊥BC ，BF ⊥AG ，AB = 2BG ，∴ △AFB ∽△BFG ∽△ABG ， ∴2===FGBF BF AF BF AB ，∴ AF = 2BF ，BF = 2FG ． 由（1）知，AE = BF ，∴ EF = BF = 2 FG ．（3）如图DE + BF = EF ．题目 正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点O 又是正方形A 1B 1C 1O 一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，那么无论正方形A 1B 1C 1O 绕点O 怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的41．想一想这是为什么．（人教课 本P 105实验与探究）解 ∵ 在△AOE 和△BOF 中，AO = BO ，∠OAE =∠OBF ，∠AOE = 90︒－∠BOE =∠BOF ，∴ △AOE ≌△BOF ．∴ S △AOB = S △AOE + S △EOB = S 四边形OEBF =41S 正方形ABCD ． 点评 在该题中无论正方形A 1B 1C 1O 绕点O 怎样转动，都有△AOE≌△BOF （只要存在）．因此不难发现还有如下结论：（1）一个图形经过另一个图形的中心，且叠合的度数是90︒；（2）正方形ABCD 的边被另一正方形A1B1C1O覆盖部分的总长度BE+ BF为定长（正方形的边长）；（3）由△AOE≌△BOF可得AE = BF或OE = OF；（4）图中重叠部分的面积均为原正方形面积的四分之一（定值）．该问题的实质是：条件只需满足OA1、OC1是经过正方形ABCD的对称中心且互相垂直的两条直线即可．演变变式1 已知正方形、BD交于O，点O是正方形EFGO的一个顶点，若正方形ABCD的边长为2．（1）当OE∥AD、OG∥AB时，如图1，求图中两个正方形重叠部分的面积．（2）若正方形EFGO饶点O逆时针转动时，如图2，两个正方形重叠部分的面积是否发生变化？试说明理由．解（1）设OE交AB于M，OG交BC于N．正方形ABCD中，∠DAB =∠ABC =∠BCD = 90︒．∵OE∥AD、OG∥AB，∴∠OMB = 90︒，∠ONB = 90︒，∴四边形MONB是矩形．∵正方形ABCD中，O为AC中点，AD = AB = 2．而OE∥AD、OG∥AB，∴OM =12AD = 1，ON =12AB = 1，∴四边形MONB是正方形，∴S四边形MONB= 1．（2）不变．∵正方形ABCD和正方形EFGO中，∠BOC = 90︒，∠EOG = 90︒，∴∠1 =∠2．而在正方形ABCD中，∠3 =∠4 = 45︒，OB = OC，∴△OBM≌△OCN，∴S△OBM= S△OCN，S四边形MONB = S△OBC．∵正方形ABCD边长为2，∴S△OBC = 1，∴S四边形MONB= 1．变式2 （2009，广东）（1）如图1，圆内接△ABC中，AB= BC= CA，OD、OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G．求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的面积的31．（2）如图2，若∠DOE保持120︒角度不变，求证：当∠DOE绕着O。

高中数学变式练习题及讲解### 高中数学变式练习题及讲解#### 练习题1：函数的性质题目：给定函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，求该函数的最小值。

解答：首先，我们可以将函数 \( f(x) \) 进行配方，得到 \( f(x) = (x - 2)^2 - 1 \)。

由于 \( (x - 2)^2 \) 总是非负的，所以 \( f(x) \) 的最小值出现在 \( (x - 2)^2 = 0 \) 时，即 \( x = 2 \)。

此时，\( f(x) = -1 \)。

因此，函数 \( f(x) \) 的最小值为 \( -1 \)。

#### 练习题2：三角函数的恒等变换题目：证明 \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \)。

解答：根据三角函数的倍角公式，我们知道 \( \sin(2x) = \sin(x + x) \)。

根据正弦的和角公式，我们有 \( \sin(x + x) = \sin(x)\cos(x) +\cos(x)\sin(x) \)。

将右边的两项合并，得到 \( \sin(2x) =2\sin(x)\cos(x) \)，从而证明了该恒等式。

#### 练习题3：立体几何题目：一个正四面体的边长为 \( a \)，求其体积。

解答：正四面体的体积 \( V \) 可以通过公式 \( V =\frac{\sqrt{2}}{12}a^3 \) 计算。

首先，我们需要计算正四面体的高。

正四面体的高可以通过勾股定理计算，设高为 \( h \)，则 \( h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}a\right)^2} =\frac{\sqrt{6}}{3}a \)。

然后，使用体积公式 \( V = \frac{1}{3} \times \text{底面积} \times \text{高} \)，其中底面积为\( \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \)，代入高 \( h \)，得到 \( V =\frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \times\frac{\sqrt{6}}{3}a = \frac{\sqrt{2}}{12}a^3 \)。

15.2答司马谏议书分层练习1．对下列句中加点字的解释，不正确的一项是（）A．所操之术多异故．也故：原因，缘故B．以致天下怨谤．也谤：诽谤，指责C．士大夫多以不恤．国事恤：顾虑，考虑D．度．义而后动度：计划【答案】D【详解】本题考查学生理解文言实词在文中的意义和用法的能力。

D.句意：考虑到（事情）适宜就采取行动。

“度”，考虑。

故选D。

2．下列句子中加点的字意义相同的一项是（）A．终必不蒙见．察或见恕也B．廊腰缦．回缦．立远视C．族．秦者秦也谁得而族．灭也D．举．先王之政函谷举．【答案】C【详解】本题考查学生对文言词语中的一词多义现象的理解能力。

A.见：表被动/用在动词前，表示施动者对自己怎么样，翻译成“我”。

B．缦：萦绕/久，长时间（站立）。

C．族：名词作动词，灭族/名词作动词，灭族。

D．举：施行/攻占，这里指被攻占。

故选C。

3．下列句子中加点字词意义相同的一项是（）A．盘盘焉．缦立远视，而望幸焉．B．故今具道所以．．见教者．．今君实所以C．以．兴利除弊欲出力助上以．抗之D．不为．侵官为．天下理财【答案】C【详解】本题考查学生理解文言虚词在文中的意义和用法的能力。

A.焉：形容词词尾，……的样子/语气助词，无实意。

B.所以：……的理由，……缘故/用来……的。

C.以：目的连词，来/目的连词，来。

D.为：是/介词，替。

故选C。

4．下列加点字的理解，全都正确的一项是（）A．①董．之以严刑（督查）②既得志，则纵情以傲物．（物体）B．③总此十思，弘．兹九德（光大）④臣闻求木之长者，必固．其根本（坚固）C．⑤何必劳．神苦思（使……劳累）⑥役聪明．．之耳目（聪慧）D．⑦故今具．道所以（详细地）⑧辟邪说，难．壬人（排斥）A．盘庚之迁，胥怨者民也，非特朝廷士大夫而已．．。

B．人习于苟且．．非一日，士大夫多以不恤国事、同俗、自媚于众为善。

C．辟邪说．．，难壬人，不为拒谏。

D．重念蒙君实视遇厚，于反复．．不宜卤莽。

【答案】D【详解】此题考查考生理解文言实词古今异义的能力。

数学七年级教材下册变式题公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]七年级下册 · 课本亮题拾贝5．1 相交线题目 如图，直线AB ，CD 相交于点O ，∠EOC = 70，OA 平分∠EOC ，求∠BOD的度数．（人教课本P 97题）解 ∵ OA 平分∠EOC ， ∴ ∠AOC =21∠EOC = 35． 又 ∵∠BOD =∠AOC ， ∴ ∠BOD = 35．点评 由角平分线定义如AD 是∠BAC 的角平分线，得∠BAD =∠CAD =21∠BAC ．演变变式1 已知直线AB 与CD 相交于O ，OB 平分∠COE ，FO ⊥AB ，∠EOF =120，求∠AOD 的度数．（答案：30）变式2 已知直线AB 与CD 相交于O ，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，且∠BOF = 40，求∠EOD 的度数．（答案：140）变式3 已知AB ⊥CD 于O ，直线EF 过点O ，∠AOE = 25，求∠COF 的度数．（答案 65）变式4 已知∠AOB 是直角，且∠AOC = 40，OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ，求∠MON 的度数．解 ∵ ∠AOB = 90，∠AOC = 40， ∴ ∠BOC = 130．∵ OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ，∴ ∠MOC =21∠BOC = 65，∠AON =∠NOC =21∠AOC = 20，∴ ∠MON =∠MOC －∠AON = 45．变式5 在变式4 中，当∠AOB =，其它条件不变时，求∠MON 的度数．（答案：21）变式6 在变式4 中，当∠AOC =，其它条件不变时，求∠MON 的度数，从中你得出了什么结论（答案：45）E A CD BOA B F C D EOA B ECDF COBM A N点评 通过变换∠AOB 和∠AOC 的度数可以发现，∠MON 的度数大小只与∠AOB 的度数大小有关，而与∠AOC 的度数无关．5．2 平行线及其判定题目 如图，AB ∥CD ∥EF ，那么∠BAC +∠ACE +∠CEF =（ ）．（人教课本P 236（2）题）A ．180B ．270C ．360D ．540解 这是平行线性质的应用，利用“两直线平行，同旁内角互补”，可以得到∠BAC +∠ACE +∠CEF = 360，故选C ．其中，CD 在解题中起了非常重要的一个“桥梁”的作用．演变 变式1 （2008年广安）如图，AB ∥CD ，若∠ABE = 120，∠DCE = 35，则有∠BEC =________度．解 过点E 作EF ∥AB ．由于 ∠ABE = 120，所以 ∠FEB = 60．（两直线平行，同旁内角互补）又由于 ∠DCE = 35，所以 ∠FEC = 35，（两直线平行，内错角相等） 所以 ∠BEC =∠FEB +∠FEC = 60 + 35 = 95． 变式2 （2008年成都）如图，已知直线AB ∥CD ， ∠ABE = 60，∠CDE = 20，则∠BED = 度．（提示：过点E 作EF ∥AB ，则可得∠BED = 80） 变式3 （2008年十堰）如图，已知AB ∥CD ， ∠A = 50，∠C = 20，则∠P = ．（提示：过点P 作AB 与CD 的平行线，即可得解，∠P = 35）变式4 已知直线AB 与CD 的平行线，下列结论正确的是（ ）． A ．∠A +∠P +∠C = 180 B ．∠A +∠P +∠C = 360 C ．∠A +∠C = 2∠P D ．∠A +∠C =∠P（答案：D ）变式5 （2009年湘西自治州）如图，l 1∥l 2，∠1 = 120°，∠2 = 100°，则∠3 =（ ）（答案：A ）A ．20°B ．40°C ．50°D ．60°BADCPAB ECD F EA B D FCABCD E2 3l变式6 如图，AB ∥CD ，分别写出下面四个图形中∠A 与∠P 、∠C 的关系，请你从所得到的关系中任选一图的结论加以证明．．．．．．．．．．． ACDBPACDBPACDB PACDB P（1） （2） （3） （4）（答案：（1）∠A +∠C =∠P （2）∠A +∠C +∠P = 360 （3）∠A =∠C +∠P （4）∠C =∠A +∠P ）点评 随着折点的不同变化，结论也会不同，但解法却如出一辙，都是过折点作平行线求解．还有其它的几种变式，请同学们自己探究．（结论：左边的角=右边的角）平行线的性质题目 如图，a ∥b ，∠1 = 80，∠5 = 70，求∠2，∠3，∠4的度数．（人教课本P 233题）（答案：∠2 = 80，∠3 = 110，∠4 = 110）点评 两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 演变变式1 如图，若 ∠1 =（2x －50），∠2 =（平行吗（答案：平行）变式2（2009江西）如图，直线m n ∥，︒∠1=55，︒∠2=45，则∠3的度数为（ ）A ．80︒B ．90︒C ．100︒D ．110︒2 1（答案：D）变式3 若∠1 =（3x－30），∠2 =（210－3x），则a与b平行吗（答案：平行）变式4 若∠1为其补角的3倍，∠2等于其余角，则a与b平行吗（答案：平行）变式5 若∠1 =（50－2x），∠2 =（180－3x），要使a与b平行，则x为多少度（答案：x = 10）6．1 平面直角坐标系题目在平面直角坐标系中点的横、纵坐标满足：①点P（x，y）的坐标xy ＞0；②点P（x，y）的坐标xy＜0，求点P在第几象限．（人教课本P4610题）解①点P在第一、三象限；②点P在第二、四象限）点评点的横、纵坐标满足：第一象限正正；第二象限负正；第三象限负负；第四象限正负．演变变式1 若点P（1，2x）在第四象限内，求x的取值范围．（答案：x＜0）变式2 若点P（x，1－2x）的横、纵坐标互为相反数，则点P一定在．（答案：第四象限）变式3 已知点P（x，y），且x，y满足（x + 1）2 +｜y－2｜= 0，求点P在第几象限．（答案：第二象限）变式4 已知点P（x，y）在第二象限，且｜x｜－2 = 0，y 2－4 = 0，求点P 的坐标．（答案：P（－2，2））变式5 已知点P（x，y）的坐标满足xy = 0，则点P在．（答案：坐标轴上）变式6 已知点P（x + 2，x + 1）在平面直角坐标系的y轴上，则点P的坐标为．（答案：P（0，－1））变式7 已知点P（x，y），则P到x轴得距离是；到y轴得距离是．（答案：｜y｜，｜x｜）6．2 坐标方法的简单应用题目已知三角形ABC的坐标为A（－2，3），B（－4，－1），C（2，0），三角形ABC中任意一点P（x，y）经平移后对应点P′（x + 5，y + 3），将三角形ABC作同样的平移得到三角形A′B′C′，求A′、B′、C′的坐标．（人教课本P557题）解A′（3，6）、B′（1，2）、C′（7，3）．点评在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x + a，y）（或x－a，y）；将点（x，y）向上（或下）平移b个长度，可以得到对应点（x，y + b）或（x，y－b）．演变变式1 已知三角形ABC的坐标不变，求三角形ABC和三角形A′B′C′的面积大小．（答案：8和8）变式2 将三角形ABC的横坐标保持不变，纵坐标分别乘以－1，所得的新三角形与原三角形ABC相比有什么变化（答案：现状和大小不变，只是位置变了，他们关于x轴对称）变式3 将三角形ABC的横坐标分别变为原来的2倍，纵坐标保持不变，所得的新三角形与原三角形ABC相比有什么变化（答案：原三角形ABC被横向拉长为原来的2倍，面积为22）变式4 横、纵坐标分别变为原来的2倍，所得的新三角形与原三角形ABC相比有什么变化（答案：大小为原来的4倍，面积为44）变式5 线段CD是由线段AB平移得到的，点A（－1，4）的对应点为C（4，7），则点B（－4，－1）•的对应点的坐标为（）．A．（2，9） B．（5，3） C．（1，2） D．（－9，－4）（答案：C）变式6 将点M（x，y）先向左平移a个单位长度，再向上平移b个单位长度后得到点N，则点N的坐标为．（答案：N（x－a，y + b））变式7 观察下面A、B、C、D四幅图案中，能通过图案（1）平移得到的是（）．（答案：C）(1)A B C D变式8 通过平移，可将图（1）中的福娃“欢欢”移动到图（ ）．（图1） A（答案：C ）7．1 与三角形有关的线段题目 如图，在三角形ABC 中，AE 是中线，AF 是高线，AD 是角平分线，（人教课本P 69 4题）（1）BE = =21 ； （2）∠BAD = =21 ； （3）∠AFB = = 90； （4）S △ABC = ．解 （1）BE = EC =21BC ． （2）∠BAD =∠DAC =21∠BAC ． （3）∠AFB =∠AFC = 90． （4）S △ABC = 21BC ×AF ．演变变式1 在△ABC 中，AE 平分∠BAC （∠C ＞∠B ）， AD 为边BC 上的一高，且∠B = 20，∠C = 30，求∠EFD 的度数．解 ∵ AE 平分∠BAC ，∴ ∠BAE =21∠BAC =21（180－∠C －∠B ）． ∵ AD 为边BC 上的高，∴ ∠BAD = 90－∠B ，∠EAD =∠BAD －∠BAE ， ∴ ∠EAD =21∠C －21∠B = 5．变式2 在△ABC 中，AE 平分∠BAC （∠C ＞∠B ）， AD 为边BC 上的一高，且∠B = x ，∠C = y ，求∠EFD 的度数．（答案：∠EFD =21y －21x ）变式3 在△ABC 中，AE 平分∠BAC （∠C ＞∠B ），F 为AE 上的一点，且FD ⊥BC 于D ，求∠EFD 与∠B ，∠C 的关系．（答案：∠EFD =21∠C －21∠B ）变式4 当点F 在AE 的延长线上时，其余条件不变， 求∠EFD 与∠B ，∠C 的关系．（答案：∠EFD =21∠C －21∠B ）变式5 当点F 在EA 的延长线上时，其余条件不变，求∠EFD 与∠B ，∠C 的关系．（答案：∠EFD =21∠C －21∠B ）7．2 与三角形有关的角题目 如图，BO 、CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ．若∠A = 100， 求∠O 的度数．（人教课本P 91 9题）解 ∵ C B BOC ∠-∠-︒=∠2121180= )180(21180)(21180A C B ∠-︒-︒=∠+∠-︒，∴ A BOC ∠+︒=∠2190．∴ 140=∠BOC ．演变 变式1 如上图，BO 、CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ．（1）若∠A = 60，求∠O ； （2）若∠O = 120，∠A 又是多少（3）请求出∠O 与∠A 之间的关系． （答案：（1）当∠A = 60 时，∠O = 120． （2）当∠O =120 时，∠A =80． （3）∠A 与∠O 的关系式为∠O = 90 +12∠A ）变式2 在△ABC 中，∠B 的平分线与∠C 的外角平分线相交于点O ． （1）若∠A = 60，求∠O ； （2）若∠O = 60，∠A 又是多少 （3）请求出∠O 与∠A 之间的关系．（答案：（1）当∠A = 60 时，∠O = 12× 60 = 30． （2）当∠O = 60 时，∠A = 120． （3）∠A 与∠O 的关系式为∠O =12∠A ）变式3 如图，已知∠MON = 90，点A 、B 分别在射线OM 、ON 上移动，∠OAB 的内角平分线与∠OBA 的外角平分线所在直线交于点C ，试猜想：随着A 、B 点的移动，∠ACB 的大小是否变化说明理由（答案：随着A 、B 点的移动，∠ACB 的大小不变化，∠ACB = 45）OEC B ACA OBB A C1 N B C变式4 在△ABC 中，∠B 的外角平分线与∠C 的外角平分线相交于点O ， （1）若∠A = 60，求∠O ；（2）若∠O = 100，∠A 又是多少 （3）请求出∠O 与∠A 之间的关系．（答案：（1）当∠A = 60 时，∠O = 90－12× 60 = 60． （2）当∠O = 100 时，∠A = 20．（3）∠A 与∠O 的关系式为∠O －12∠A = 90．）变式5 如图，△ABC 中，∠A = 80，延长BC 到D ，∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于A 2，依次类推，∠A 4BC 与∠A 4CD 的平分线相交于A 5，则∠A 5的度数为多少再画下去……，∠A n 的大小呢解 ∵ ∠ACD 为△ABC 的外角， ∴ ∠ACD =∠ABC +∠A ， 即 ∠ACD －∠ABC =∠A ． ∵ ∠A 1CD 为△A 1BC 的外角， ∴ ∠A 1CD －∠A 1BC =∠A 1．∵ BA 1，A 1C 分别平分∠ABC ，∠ACD ，∴ ∠A 1CD =12∠ACD ，∠A 1BC =12∠ABC ， ∴ 12（∠ACD －∠ABC ）=∠A 1，即 ∠A 1 =12∠A ．同理：∠A 2 =12∠A 1 =221∠A ； ∠A 3 =12∠A 2 =321∠A ； ∠A 4 =12∠A 3 =421∠A ； ∠A 5 =12∠A 4 =521∠A ．所以 ∠A 5 =521∠A =5280． ∠A n =n 280．变式6 已知△ABC 中，① 如图（1），若P 点是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，则∠P = 90 +21∠A ；② 如图（2），若P 点是∠ABC 和外角ACE 的角平分线的交点，则∠P = 90－∠A ；③ 如图（3），若P 点是外角∠CBF 和∠BCE 的角平分线的交点，则∠P = 90－21∠A ．上述说法正确的个数是（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3PECBACA B PPBNA MC多边形的内角和题目 一个多边形的内角和等于1260，它是几边形（人教课本P 855题） 解 九边形．点评 n 变形内角和 =（n －2）×180，外角和 = 360． 演变变式1 一个多边形的内角和与外角和的差是1800，则它的边数为 ．（答案：14）变式2 一个多边形的内角和不可能是（ ）．A ．360B ．720C ．520D ．1800（答案：C ）变式3 （2009年广西南宁）一个五边形木架的内角和是（ ） A ．720 B ．540 C ．360 D ．180（答案：B ）变式4 （2009年广州市）只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是（ ）A ．正十边形B ．正八边形C ．正六边形D ．正五边形（答案：C ）变式5 一个多边形的内角和是1440，那么过一个顶点可以引几条对角线此多边形共有多少条对角线解 设此多边形的变数为n ，则（n －2）×180 = 1440，解得 n = 10． ∵ 过n 边形的一个顶点可以引（n －3）条对角线， ∴ n －3 = 10－3 = 7．又 ∵ n 边形共有 21n （n －3）条对角线， ∴ 21n （n －3）= 35．变式6 一个正多边形的一个外角的度数是它对应内角度数的41，求此多边形的内角和．（答案：1440）变式7 求下列图形的中∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的度数．点评 多图一思路，将这五个角的和转化为三角形的内角和，均为180．CABDE CADBEE变式8 求下列图形的中∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F 的度数．（答案：360，360）变式9 （2009年北京市）若一个正多边形的一个外角是40，则这个正多边形的边数是（ ） （答案：B ）A ．10B ．9C ．8D ．68．2 二元一次方程组的解法 题目 解方程组：⎩⎨⎧=+=+4332b a b a （人教课本P 1033（2）题）（答案：⎩⎨⎧==11b a ） 演变变式1 解方程组：⎩⎨⎧=+-=+-75212b a b a （答案：⎩⎨⎧==11b a ） 变式2 已知⎩⎨⎧-==24y x 和⎩⎨⎧-=-=52y x 都满足等式y = kx + b ．① 求k 、b 的值；② 求x = 8时，y 的值，③ x 为多少时，y = 3（答案： ① ⎩⎨⎧-==45.0b k ② y = 0 ③ x = 14）变式3 甲、乙两人同解 方程组⎩⎨⎧-=-=+232y cx by ax ，甲同学正确解为⎩⎨⎧-==11y x ，乙同学因为抄错c ，解得⎩⎨⎧-==62y x ，求a 、b 、c 的值．（答案：a = ，b = ，c =－5）变式4 已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧-=+=-225413by ax y x 与⎩⎨⎧=--=-8432by ax y x 有相同的解，求a 、b 的值． （答案：x = 1，y = 2或 a = 2，b =－3）变式5 以方程组⎩⎨⎧=--=+752132y x y x 为模型编一道应用题． （答案：略）A BCD EF ABC DEF变式 6 （2009，福州）二元一次方程组2,0x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是（ ） （答案：C ）A ．0,2.x y =⎧⎨=⎩ B ．2,0.x y =⎧⎨=⎩ C ．1,1.x y =⎧⎨=⎩ D ．1,1.x y =-⎧⎨=-⎩变式7 （2009，宁波）以方程组21y x y x =-+⎧⎨=-⎩的解为坐标的点(,)x y 在平面直角坐标系中的位置是（ ） （答案：A ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 变式8 （2009，白色）已知21x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组71ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解，则a b-的值为（ ） （答案：B ）A ．1B ．－1C ．2D ．3 变式9 （2009，东营）若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+k y x ,k y x 95的解也是二元一次方程632=+y x 的解，则k 的值（ ） （答案：B ）A ．43-B ．43C ．34D ．34-变式10 （2009，定西）方程组25211x y x y -=-⎧⎨+=⎩，的解是 ． （答案:34x y =⎧⎨=⎩，） 8．2 二元一次方程组的解法题目 一个长方形的长减少5 cm ，宽增加2 cm 就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等，求这个长方形的长宽各是多少（人教课本P 1049题）解 设长方形的长为x cm ，宽为y cm ．由题意，得 ⎩⎨⎧=+-+=-xyy x y x )2)(5(25 解得 x =325，y =34．答：略点评 根据题意，问什么就设什么，再把中文语言翻译成数学语言，或者找题目中的等式．演变变式1 一个长方形，长减少6宽增加3，或长增加4，宽减少1，面积都与原长方形面积相等，求原长方形的长和宽解 设原长方形的长为x ，宽为y ．有题意，得 ⎩⎨⎧=-+=+-xyy x xyy x )1)(4()3)(6(化简，得 ⎩⎨⎧=-=-xy x y y x 462 解得⎩⎨⎧==516y x 答：略．变式2 一个长方形长减少1厘米，宽增加3厘米，所得的正方形比原来的长方形的面积大21平方厘米，求原长方形的长和宽各是多少厘米解 设原长方形的长为x ，宽为y ．有题意，得 ⎩⎨⎧+=+-+=-21)3)(1(31xy y x y x化简，得 ⎩⎨⎧=-=-2434x y y x 解得 ⎩⎨⎧==610y x 答：略．变式3 某汽车运输队，要在规定的天数内运完一批货物，如果减少6辆汽车则要再运3填才能完成任务，如果增加4辆汽车，可提前1天完成任务，那么这个汽车运输队原有汽车多少辆原规定运完的天数是多少解 设汽车运输队原有汽车x 辆，原规定运完的天数是y 天．由题意得 ⎩⎨⎧=-+=+-xyy x xy y x )1)(4()3)(6( 解得 ⎩⎨⎧==516y x 答：略．8．3 实际问题与二元一次方程组题目 如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形， 每块长方形地砖的长和宽分别是多少解 设每块长方形地砖的长和宽分别为x ，y ．由题意，得 ⎩⎨⎧==+xy y x 360 解得 ⎩⎨⎧==1545y x答：每块长方形地砖的长为45，宽为15．点评 此类题要根据数形结合思想解题，要设小长方形的长和宽分别为所求量．演变变式1 如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形， 求大长方形地砖的长和宽分别是多少解 设每块长方形地砖的长和宽分别为x ，y ．由题意，得⎩⎨⎧==+xyyx3603解得⎩⎨⎧==1030yx∴x + 3y = 60，x + y = 40．答：大长方形地砖的长为60，宽为40．变式2 某单位为了提高绿化品味，美化环境，准备将一块周长为76 m的长方形草地设计分成长和宽分别相等的9块小长方形（分布位置如图所示），种上各色花卉，经市场预测，绿化每平方米来造价（其中已含全部费用）约为108元．求每一个小长方形的长和宽；请计算完成这块绿化工程预计投入资金多少元解设每块长方形地砖的长和宽分别为x，y．由题意，得⎩⎨⎧==+xyyx257694解得⎩⎨⎧==410yx20×18×108 = 38880元．答：每块长方形地砖的长为10 m，宽为4 m．完成这块绿化工程预计投入资金38880元．变式3 小颖在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1所示），恰好可以拼成一个大的长方形．小彬看见了，说：“我来试一试．”结果小彬七拼八凑，拼成如图2那样的正方形．咳，怎么中间还留下一个洞，恰好是边长2 mm的小正方形！①每块长方形地砖的长和宽分别是多少②正方形的面积是多少解设每块长方形地砖的长和宽分别为x，y．由题意，得⎩⎨⎧==+xyyx3522解得⎩⎨⎧==610yx所以 22×22 = 484．答：每块长方形地砖的长为10 mm，宽为6 mm．正方形的面积是484．变式4 （2009，漳州）为了防控甲型H1N1流感，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元∕瓶，乙种9元∕瓶．（1）如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶（2）该校准备再次．．购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲种瓶数的2倍，且所需费用不多于．．．1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶解（1）设甲种消毒液购买x瓶，则乙种消毒液购买（100－x）瓶．依题意，得 6x + 9（100－x）= 780，解得x = 40．所以 100－x = 60（瓶）．答：甲种消毒液购买40瓶，乙种消毒液购买60瓶． 另法 设甲种消毒液购买x 瓶，乙种消毒液购买y 瓶．依题意，得 10069780x y x y +=⎧⎨+=⎩，． 解得4060x y =⎧⎨=⎩，．答：甲种消毒液购买40瓶，乙种消毒液购买60瓶． （2）设再次购买甲种消毒液y 瓶，刚购买乙种消毒液2y 瓶． 依题意，得6921200y y +⨯≤．解得50y ≤． 答：甲种消毒液最多再购买50瓶．变式5 （2009，宁德）某刊物报道：“2008年12月15日，两岸海上直航、空中直航和直接通邮启动，‘大三通’基本实现．‘大三通’最直接好处是省时间和省成本，据测算，空运平均每航次可节省4小时，海运平均每航次可节省22小时，以两岸每年往来合计500万人次计算，则共可为民众节省2900万小时……”根据文中信息，求每年采用空运和海运往来两岸的人员各有多少万人次．解 设每年采用空运往来的有x 万人次，海运往来的有y 万人次，依题意得⎩⎨⎧=+=+.2900224,500y x y x 解得 ⎩⎨⎧==.50,450y x 答：每年采用空运往来的有450万人次，海运往来的有50万人次． 变式6 （2009，云南）在“家电下乡”活动期间，凡购买指定家用电器的农村居民均可得到该商品售价13%的财政补贴．村民小李购买了一台A 型洗衣机，小王购买了一台B 型洗衣机，两人一共得到财政补贴351元，又知B 型洗衣机售价比A 型洗衣机售价多500元．求：（1）A 型洗衣机和B 型洗衣机的售价各是多少元（2）小李和小王购买洗衣机除财政补贴外实际各付款多少元 解 （1）设A 型洗衣机的售价为x 元，B 型洗衣机的售价为y 元，则据题意，可列方程组5001313351.y xx y-=⎧⎨%+%=⎩，解得11001600.xy=⎧⎨=⎩，∴A型洗衣机的售价为1100元，B型洗衣机的售价为1600元．（2）小李实际付款为：1100（1－13%）= 957（元）；小王实际付款为：1600（1－13%）= 1392（元）．∴小李和小王购买洗衣机各实际付款957元和1392元．变式7 （2009，济南）自2008年爆发全球金融危机以来，部分企业受到了不同程度的影响，为落实“促民生、促经济”政策，济南市某玻璃制品销售公司今年1月份调整了职工的月工资分配方案，调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成（计件奖励工资=销售每件的奖励金额×销售的件数）．下表是甲、乙两位职工今年五月份的工资情况信息：（1）试求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各多少元（2）若职工丙今年六月份的工资不低于2000元，那么丙该月至少应销售多少件产品解（1）设职工的月基本保障工资为x元，销售每件产品的奖励金额为y元．由题意得20018001801700x yx y+=⎧⎨+=⎩解这个方程组得8005xy=⎧⎨=⎩答：职工月基本保障工资为800元，销售每件产品的奖励金额5元．（2）设该公司职工丙六月份生产z件产品．由题意得80052000z+≥，解这个不等式得240z ≥．答：该公司职工丙六月至少生产240件产品．变式8 如图，在3×3的方阵图中，填写了一些数和代数式（其中每个代数式都表示一个数），使得每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等．（1）求x ，y 的值；（2）在备用图中完成此方阵图． 解 （1）由题意，得34232234.x x y y x y x x ++=++-⎧⎨-+-=++⎩， 解得 12.x y =-⎧⎨=⎩， （2）如图9．1 不等式题目 设a ＞b ，用“＜”或“＞”填空．（人教课本P 1287题） （1）2a －5 2b －5 （答案：＞）（2）－ + 1 －3.5a + 1 （答案：＜）点评 先根据不等式的性质2和3，再根据不等式的性质1填．性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向?；性质2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向?； 性质3：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向．演变变式1 如果a ＜b ＜0，下列正确的是（ ）．A ．a1＜b 1 B ．ab ＜1 C ．b a ＜1 D ．b a＞1 （答案：D ）变式2 （2009柳州）若b a <，则下列各式中一定成立的是（ ）–23 4(备用2y ––23 4x ya bc–2 3 4 –16 152A ．11-<-b aB ．33ba > C ．b a -<- D ． bc ac <（答案：A ）变式3 （2009年牡丹江市）若01x <<，则21x x x，，的大小关系是（ ） （答案：C ）A ．21x x x << B ．21x x x << C ．21x x x << D ．21x x x<< 变式4 （09湖北宜昌）如果ab ＜0，那么下列判断正确的是（ ） （答案：D ）A ．a ＜0，b ＜0B ．a ＞0，b ＞0C ．a ≥0，b ≤0D ．a ＜0，b ＞0或a ＞0，b ＜0变式5 如果2c a ＜2c b ，那么（ ）． A ．a ＜b B ．a ＞b C ．a ≤b D ．a = b（答案：A ）变式6 （1）若a ＜b 且c ＞0，则ac + c bc + c ； （2）a ＞0，b ＜0，c ＜0，则（a －b ）c 0．（答案：（1）＜ （2）＜） 变式7 若不等式3x －m ＜0的正整数解共有2个，求m 的取值范围．解 3x －m ＜0，x ＜3m．∵ 2＜3m≤3，∴ 6＜m ≤9．变式8 若关于x 的方程3x + 3k = 2的解事正数，求k 的取值范围． 解 ∵ x =332k -，∴ 332k -＞0，k ＜32． 变式9 已知关于x 的方程2x －3 =－a 的解是不等式5（x －2）－7＜6（x －1）－8的一个解，求a 的取值范围． （答案：a ＜9）变式10 解关于x 的不等式：ax －b ＜0．解 ① 当a ＞0时，x ＜ab ； ② 当a = 0时，b ≤0时，无解； ③ 当a = 0时，且b ＜0时，实数；④ 当a ＜0时，x 大于ab．变式11 解关于x 的不等式：（21－a ）x ＞1－2a ． 解 原不等式可化为（1－2a ）x ＞2（1－2a ），（1）当a ＞21时，x ＜2；（2）当a =21时，无解；（3）当a ＜21时，x ＞2．变式12 若不等式mx －2＜3x + 4的解集是x ＞36-m ，求m 的取值范围． 解 由mx －2＜3x + 4 得（m －3）x ＜6． ∵ （m －3）x ＜6的解集是x ＞36-m ， ∴ m －3＜0， ∴ m ＜3．不等式组题目 当x 时取哪些整数时，2≤3x －7＜8成立（人教课本P 1428题）解 原不等式可化为⎩⎨⎧<--≤,873,732x x 解得 ⎩⎨⎧<≥,5,3x x ∴ 3≤x ＜5．∵ x 为整数， ∴ x = 3，4．点评 这是关于x 的双联不等式，它相当于解不等式组⎩⎨⎧-≥-873273＜x x ．演变变式1 求不等式组⎩⎨⎧--≥-x x x 782093＜的最小整数解． （答案：3）变式2 已知方程组⎩⎨⎧+=++=+m y x my x 1313 的解满足x 与y 的和是非负数，求m 的取值范围．解 将两个方程相加，得 4（x + y ）= 2（m + 1），即 x + y =21+m ．∵ x + y ≥0，∴ 21+m ≥0，∴ m ≥－1．另解 把m 看成常数，解x 、y 的二元方程组，解得x =41+m ，y =41+m ，再把x =41+m ，y =41+m 代如x + y ≥0中解m 的值．变式3 当k为何值时，方程组⎩⎨⎧-=+=-5253y x ky x 的解x 是正数，y 是负数解 由已知方程组得x =1325-k ， 13152+-=k y ．由题意，得 1325-k ＜0 且 13152+k ＞0，解得 k ＜－215．变式4 若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧-=++=-52223m y x m y x 中的x 的值大于719，y 的值不大于－1，求m 的整数值．解 由已知方程组，得 x =783-m ，y =719-m ．由题意得 783-m ＞719 且 719-m ≤－1，解得⎩⎨⎧≤129m m ＞ ∴ 9＜m ≤12，因此整数m 的值为m = 10，11，12．变式5 解不等式组 ⎩⎨⎧>--<+-.0),1(213k x x x解 原不等式组可化为 ⎩⎨⎧>>.,5k x x ① 当k ≤5时，解为x ＞5．② 当k ＜5时，解为x ＞k ．变式6 把一些书分给几个学生．如果没人分3本，那么余6本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本．问这些书有多少本学生有多少人解 设学生人数为x 人，书友（3x + 8）本． 由题意，得 5（x －1）≤3x + 8＜5（x －1）+ 3， 解得 x = 6，3x + 8 = 26．变式7 先阅读，再解不等式12-x x＞1． 解 12-x x －1＞0，即121--x x＞0，则有 ① ⎩⎨⎧--01201＞＞x x 或 ② ⎩⎨⎧--01201＜＜x x解 ① 得21＜x ＜1；② 无解．∴ 原不等式的解为21＜x ＜1．请根据以上思想方法解不等式：223-+x x ＜2．解 223-+x x －2＜0，即26-+x x ＜0则有 ① x + 6＞0且x －2＜0， 或 ② x + 6＜0且 x －2＞0． 解 ① 得－6＜x ＜2；② 无解．∴原不等式的解集为－6＜x＜2．变式7 （2009恩施市）如果一元一次不等式组3xx a>⎧⎨>⎩的解集为3x>．则a的取值范围是（）（答案：C）A．3a> B．a≥3 C．a≤3 D．3a<变式8 （2009年重庆市江津区）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤<-15112xxx的解集在数轴上表示正确的是（）（答案：C）变式9 （2009湖北省荆门市）若不等式组0,122x ax x+⎧⎨->-⎩≥有解，则a的取值范围是（）（答案：A）A．1a>- B．1a-≥ C．1a≤ D．1a<变式10 （2009烟台市）如果不等式组2223xax b⎧+⎪⎨⎪-<⎩≥的解集是01x<≤，那么a b+的值为．（答案：1）统计调查题目为了解全校学生的平均身高，小明调查了座在自己旁边的3位同学，把他们的平均身高作为全校学生的平均身高的估计．（1）小明的调查是抽样调查吗（2）如果是抽样调查，指出总体、个体、样本、样本容量．（3）这个调查结果能够较好的反映总体的情况吗（人教课本P1551题）解（1）小明的调查是抽样调查．（2）总体：全校学生的平均身高；个体：每个学生的身高；样本：被调查德3位同学的身高；样本容量：3．（3）不能够．点评考查全体对象的调查就叫做全面调查，抽样调查：抽取一部分对象进行调查的方法，叫抽样调查，总体：所要考察对象的全体，个体：总体的每一个考察对象叫个体，样本：抽取的部分个体叫做一个样本，样本容量：样本中个体的数目，抽样的注意事项：①抽样调查要具有广泛性和代表性，即样本容量要恰当；②抽取的样本要有随机性，一般情况下，样本容量越大，估计精确度就越高．演变变式1 为了了解某中学七年级600名学生的体重情况，从中抽查了50名学生的体重进行统计分析，在这个问题中总体是指（）．A．600名学生 B．取的50名学生C．七年级600名学生的体重 D．被抽取的50名学生的体重（答案：C）变式2 一次数学考试考生约12万名，从中抽取5000名考生的数学成绩进行分析，在这个个问题中，样本指的是（）．A．5000 B．5000名考生的数学成绩C．12万名考生的数学成绩 D．5000名考生（答案：B）变式3 下列调查工作需采用的普查方式的是（）．A．环保部门对淮河某段水域的水污染情况的调查B．电视台对正在播出的某电视节目收视率的调查C．质检部门对各厂家生产的电池使用寿命的调查D．企业在给职工做工作服前进行的尺寸大小的调查（答案：D）变式4 为了了解某种矿泉水含钠是否超标进行的调查是调查．（答案：抽样）变式5 如图，甲、乙两所学校，其中男女生情况可见下列统计图，甲学校有1000人，乙有1250人，则（）．A．甲校的女生比乙校的女生多B．甲校的女生比乙校的女生少C．甲校与乙校的女生一样多D．甲校与乙校男生共是2250人（答案：C）变式6 池塘中放养了鲤鱼10000条，鲢鱼若干，在几次随机捕捞中，共抓到鲤鱼400条，鲢鱼320条，估计池中放养了鲢鱼___________条．（答案：8000条）变式7 （2009年宁波市）下列调查适合作普查的是（）．A．了解在校大学生的主要娱乐方式B．了解宁波市居民对废电池的处理情况C．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命D．对甲型H1N1流感患者的同一车厢的乘客进行医学检查（答案：D）变式8（2009年义乌）下列调查适合作抽样调查的是（）．A．了解义乌电视台“同年哥讲新闻”栏目的收视率B．了解某甲型H1N1确诊病人同机乘客的健康状况C．了解某班每个学生家庭电脑的数量D．“神七”载人飞船发射前对重要零部件的检查（答案：A）变式9 （2009年河南）下列调查适合普查的是（）．A．调查2009年6月份市场上某品牌饮料的质量B．了解中央电视台直播北京奥运会开幕式的全国收视率情况C．环保部门调查5月份黄河某段水域的水质量情况D．了解全班同学本周末参加社区活动的时间（答案：D）变式10 （2009年湘西自治州）要了解一批电视机的使用寿命，从中任意抽取40台电视机进行试验，在这个问题中，40是（）．A．个体 B．总体 C．样本容量D．总体的一个样本（答案：C）。

2021年新高考北京数学高考真题变式题1-5题原题11．已知集合{}|11A x x =-<<,{}|02B x x =≤≤,则A B ⋃=（ ）A ．{}|12x x -<<B ．{}|12x x -<≤C ．{}|01x x ≤<D ．{}|02x x ≤≤变式题1基础2．若{0A x x =<<,{}12B x x =≤<,则A B ⋃=（ ）A ．{}0x x ≤B ．{}2x x ≥C ．{1x x ≤D ．{}02x x <<变式题2基础3．设集合{1,3,5}A =,{3,4,5}B =,则A B ⋃=（ ）A ．{2,6}B ．{3,6}C ．{1,3,4,5}D ．{1,2,4,6}变式题3巩固4．已知集合{}2log 2M x x =<∣,{}25N x x =<<∣,则M N ⋃=（ ）A ．{}45x x <<∣B ．{}04xx <<∣C ．{}05xx <<∣D ．{}24xx <<∣变式题4巩固5．已知集合112162x A x N -⎧⎫=∈<<⎨⎬⎩⎭,{}240B x x x m =-+=．若1A B ∈ ,则A B ⋃=（ ）A ．{1,2,3}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,3}变式题5巩固6．已知集合{}13A x x =-<≤,集合{}2B x x =≤,则下面关系式正确地是（ ）A ．A B =∅B ．{}23A B x x ⋃=-<≤C ．{R 1A B x x ⋃=≤-ð或}2x >D ．{}R 23A B x x ⋂=<≤ð变式题6巩固7．设集合{}2|1log 3A x x =≤≤,{}2|340B x x x =--<,则A B ⋃=（ ）变式题7提升8．若1|12A x x ⎧⎫=-<⎨⎬⎩⎭,1|1B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭,定义{|A B x x A B ⨯=∈⋃且}x A B ∉⋂,则A B ⨯=（ ）A ．13,01,22⎛⎤⎡⎫-⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．13,01,22⎛⎤⎛⎫-⋃ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭C ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(0,1]原题29．在复平面内,复数z 满足(1)2i z -=,则z =（ ）A ．1i --B ．1i-+C ．1i-D ．1i+变式题1基础10．若复数z 满足(12i)5z +=,则z =（ ）A ．1i +B ．1i-C ．12i+D ．12i-变式题2基础11．已知复数12z i =-（i 为虚数单位）,则1=z（ ）．A ．12i55+B ．12i55-C ．12i-D ．12i+变式题3巩固12．已知复数z 满足ii 1z z -=+,则复数z =（ ）A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i-+变式题4巩固13．已知i 是虚数单位,复数z =（1+b i ）（2+i ）地虚部为3,则复数z 地共轭复数为（ ）A ．-1+3i B ．1-3iC ．-3+3iD ．3-3i变式题5巩固14．已知复数z 满足：()12i i 2z +=-,则z =（ ）A ．14B C ．12D 变式题6巩固15．已知复数53i1iz +=-,则下面表达正确地是（ ）A ．z 地虚部为4i B ．z 地共轭复数为1﹣4iC ．|z |＝5D ．z 在复平面内对应地点在第二象限变式题7提升16．复数21iz =+（i 是虚数单位）地共轭复数在复平面内对应地点是A ．()1,1B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)--变式题8提升17．已知复数z 对应地点在第二象限,z 为z 地共轭复数,有下面有关z 地四个命题：甲：2z z +=-。

福建省邵武第一中学高中数学 期中复习1变式练习 文 （教师版） 新人教A 版选修111.设集合}30|{≤<=x x M ，}20|{≤<=x x N ，那么“M a ∈”是“N a ∈”的 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要2.命题“存在0x ∈R ，02x ≤0”的否定是A.不存在0x ∈R, 02x>0 B.存在0x ∈R, 02x ≥0 C.对任意的x ∈R, 2x ≤0 D.对任意的x ∈R, 2x >03.若命题“p q ∧”为假，且“p ⌝”为假，则A p 或q 为假B q 假C q 真D 不能判断q 的真假4.如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为 A ．7.68 B ．16.32 C ．17.32 D ．8.685.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生的概率Ａ．15 Ｂ．35 Ｃ．45 Ｄ．13 6.椭圆19422=+y x 的焦点坐标是 A )0,5(± B )5,0(± C)0,65(±D.)56,0(± 7.若抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线221124x y -=的右焦点重合，则p 的值为A . 2B . 4 C. 8 D .428.设椭圆C1的离心率为135，焦点在x 轴上且长轴长为26 ，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为A 1342222=-y xB 15132222=-y xC 1432222=-y xD 112132222=-y x9.过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是另一焦点，若∠21π=Q PF ，则双曲线的离心率e 等于 A ．12- B ．2 C ．12+ D ．22+10.抛物线px y 22=与直线04=-+y ax 交于,A B 两点，其中点A 的坐标为(1,2)，设抛物线的焦点 为F ，则||||FA FB +等于 A ．7 B ．53 C ．6 D ．5第4题图11.一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率 11212.有4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡 片上的数字之和为奇数的概率为 3213.过双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F 点。

2022年全国新高考II 卷数学试题变式题9-12题原题91．已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<地图像有关点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称,则（ ）A ．()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B ．()f x 在区间π11π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭有两个极值点C ．直线7π6x =是曲线()y f x =地对称轴D ．直线y x =是曲线()y f x =地切线变式题1基础2．已知函数()()2sin cos 0f x x x x ωωωω=+>相邻对称中心之间地距离为2π,则下面结论正确地是（ ）A ．()f x 图象地对称轴方程为,Z 62k x k ππ=+∈B ．()f x 在52,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．将()f x 地图象向右平移3π个单位得到()1cos 22g x x =+地图象D ．若()f x 在,6m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上地值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦,则62ππ≤≤m 变式题2基础3．已知函数()()sin 222f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭ 地图象有关直线3x π=对称,则（ ）A ．()102f =B ．函数()f x 在 ,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 地图象有关点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称D ．若()()122f x f x -=,则12x x -地最小值为2π变式题3基础4．已知函数()()sin cos f x a x x x =-∈R 有关π6x =对称,则下面结论正确地是（ ）A ．a =B ．()f x 在ππ-,312⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数D ．把()f x 地图象向左平移π12个单位长度,得到地图象有关点3π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称变式题4基础5．已知函数()sin cos f x a x x =+（a 为常数,x ∈R ）地图像有关直线π6x =对称,函数()cos sin g x a x x =-,则下面表达正确地是（ ）A ．将()f x 地图像向左平移2π个单位可以得到()g x 地图像B ．()g x 地图像有关点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．()g x 在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()f x 地最大值为1变式题5巩固6．设函数()()()sin cos f x x x ωϕωϕ＝＋＋＋(0＜ω＜4,|φ|2π<),满足f (－x )＝f (x )且函数f (x )有关(4π,0)对称,则（ ）A ．ω＝2B ．φ＝4πC ．f (x )在(0,2π)上单调递增D ．函数f (x )在2x π=处取极小值变式题6巩固7．已知函数()2sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><,直线x π=-为()f x 图象地一款对称轴,,02π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图象地一个对称中心,且()f x 在区间,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增,则下面表达正确地是（ ）A ．13ω=B ．6π=ϕC ．()f x 在区间[],ππ-上地最大值为2D ．若()f x δ+为偶函数,则23()k k Z δππ=+∈变式题7巩固8．已知函数()()2cos 10,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭地图象经过原点,且恰好存在2个[]00,1x ∈,使得()f x 地图象有关直线0x x =对称,则（ ）A ．3πϕ=B ．ω地取值范围为58,33ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．一定不存在3个[]10,1x ∈,使得()f x 地图象有关点()1,1x -对称D ．()f x 在10,4⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减变式题8巩固9．已知函数()()ππsin 322f x x ϕϕ⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭地图象有关直线π4x =对称,则（ ）A ．函数π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数B ．函数()f x 在ππ,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．若()()122f x f x -=,则12x x -地最小值为π3D ．函数()f x 地图象向右平移π12个单位长度得到函数cos3y x =-地图象变式题9提升10．已知函数()sin(2)()22f x x ππϕϕ=+-<<地图象有关点(,0)12π对称,则（ ）A ．()f x 地最小正周期是πB ．函数()f x 在[,]32ππ上单调递增C ．函数()f x 地图象向右平移()0a a >个单位长度得到地图象对应地函数是奇函数,则a 地最小值为512πD ．若1x ,23,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,12x x ≠时,()()12f x f x =成立,则12x x -地最大值为3π变式题10提升11．已知函数()sin(0)6f x x πωω=+>在[0,]π上有且仅有三个对称轴,则下面结论正确地是（ ）A ．函数()f x 在(0,)10π上单调递增.B ．(,0)4π不可能是函数y =()f x 地图像地一个对称中心C ．ω地范围是1013[,)33D ．()f x 地最小正周期可能为2π变式题11提升12．已知函数()()2cos ωωcos ωω0f x x x x =>，,则下面表达正确地有（ ）A ．若1ω2=,则f （x ）地对称中心为ππ,06k k Z⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭B ．若f （x ）向左平移6π个单位后,有关y 轴对称 则ω地最小值为1C ．若f （x ）在（0,π）上恰有3个零点,则ω地取值范围是（32,116]D ．已知f （x ）在[3π,2π]上单调递增,且ω为整数,若f （x ）在[m ,n ]上地值域为[12-,1],则n m -地取值范围是[6π,3π]变式题12提升13．设函数()()sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-≤≤ ⎪⎝⎭,且函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调地,则下面表达正确地是（ ）A ．若()f x 是奇函数,则ω地最大值为3B ．若()102f =,则ω地最大值为23C ．若()()0f x f ≤恒成立,则ω地最大值为2D ．若()f x 地图象有关点,03πω⎛⎫⎪⎝⎭中心对称,则ω地最大值为53原题1014．已知O 为坐标原点,过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 地直线与C 交于A ,B 两点,其中A 在第一象限,点(,0)M p ,若||||AF AM =,则（ ）A ．直线AB 地斜率为B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒变式题1基础15．设抛物线21:4C x y =地焦点为F ,则下面表达正确地是（ ）A ．点F 在x 轴上B ．点F 地坐标为1(0,16C ．设过点F 且斜率为1地直线与抛物线C 交于,P Q 两点,则||8PQ =D ．设过点(2,0)-且斜率为23地直线与抛物线C 交于,M N 两点,则8FM FN ⋅= 变式题2基础16．已知()1,3M -,过抛物线C ：24y x =焦点F 地直线与抛物线C 交于A ,B 两点,P 为C 上任意一点,O 为坐标原点,则下面表达正确地是（ ）A ．过M 与抛物线C 有且只有一个公共点地直线有两款B ．PM 与P 到抛物线C 地准线距离之和地最小值为3C ．若AF ,OM ,BF 成等比数列,则10AB =D ．抛物线C 在A ，B 两点处地切线互相垂直变式题3基础17．在平面直角坐标系xOy 中,过抛物线2:4C y x =地焦点F 作一款与坐标轴不平行地直线l ,与C 交于()()1122,,,A x y B x y 两点,则下面表达正确地是（ ）A ．若直线OB 与准线交于点C ,则0AC k =B ．对任意地直线l ,121x x =C ．2AF BF +地最小值为3+D ．以AF 为直径地圆与y 轴公共点个数为偶数变式题4基础18．抛物线2:4C y x =地焦点为F ,若P 是抛物线C 上任意一点,直线PF 地倾斜角为θ,点M 是线段PF 地中点,则下面表达正确地是（ ）．A ．若π3θ=,则4PF =B ．点M 地轨迹方程为221y x =-C ．MF 地最小值为12D ．在y 轴上存在点E ,使得π2MEF ∠=．变式题5巩固19．已知斜率为k 地直线l 过抛物线C ：22y px =(0p >)地焦点,且与抛物线C 交于A ,B 两点,抛物线C 地准线上一点()1,1M --,满足0M A M B ⋅= ,则（ ）A ．2p =B ．2k =-C D ．MAB △变式题6巩固20．已知F 为抛物线2:4C y x =地焦点,过F 地直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点(点A 在第一象限),线段AB 地中点为N ,O 为坐标原点,则下面表达正确地是（ ）A ．OAB 面积地最小值为2B ．当直线l 地斜率为1时,2AF BF =C ．以AB 为直径地圆N 与y 轴相切D ．点()(),01M m m >及点Q 满足FM FN FQ +=,若点Q 在以AB 为直径地圆N 上,则AM BM=变式题7巩固21．已知抛物线24y x =地焦点为F ,顶点为O ,过点F 地直线l 与抛物线交于A ,B 两点,A 在第一象限,若3AF FB =,则下面结论正确地是（ ）A．直线l B ．线段AB 地长度为163C ．OA OB ⊥D ．以AF 为直径地圆与y 轴相切变式题8巩固22．已知,A B 为抛物线2:2(0)C y px p =>上两点,F 为焦点,抛物线地准线与x 轴交于点M ,满足||||12,0FA FB FA FB FM +=++=,则（ ）A ．抛物线C 地方程为28y x =B ．抛物线C 地方程为216y x =C ．||AB =D ．AF BM⊥变式题9提升23．设F 是抛物线C ：24y x =地焦点,直线l 过点F 且与抛物线C 交于A ,B 两点,O 为坐标原点,则下面结论正确地是（ ）A ．||4AB ≥B ．||||8OA OB +>C ．若点(4,1)P ,则||||PA AF +地最小值是5D ．若AB 倾斜角为3π,且AF BF >,则3AF BF=变式题10提升24．已知抛物线2:4C y x =,点(2,0)M -,(2,0)P ,过点P 地直线l 交抛物线C 与,A B 两点,设11(,)A x y ,22(,)B x y ,下面表达正确地有（ ）A ．128y y =-B ．AB 地最小值为C ．11APBP+=D ．AMP BMP ∠=∠变式题11提升25．过抛物线2:8C y x =地焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ,B 两点,O 为坐标原点,则下面选项正确地有（ ）A ．AOB ∠能取到90︒B ．||||2||AF BF AB ⋅=C ．若||10AB =,则线段AB 中点到抛物线C 地准线地距离为5.D ．过点B 作直线m ,使得直线m 与抛物线C 有且仅有一个公共点,则这样地直线m 有2款.变式题12提升26．已知抛物线 :C 24y x =地焦点为F ,准线l 交x 轴于点D ,直线m 过D 且交C 于不同地A ,B 两点,B 在线段AD 上,点P 为A 在l 上地射影．线段PF 交y 轴于点E ,下面命题正确地是（ ）A ．对于任意直线m ,均有AE ⊥PFB ．不存在直线m ,满足2BF EB=u u u r u u rC ．对于任意直线m ,直线AE 与抛物线C 相切D ．存在直线m ,使|AF |+|BF |=2|DF |原题1127．如图,四边形ABCD 为正方形,ED ⊥平面ABCD ,,2FB ED AB ED FB ==∥,记三棱锥E ACD -,F ABC -,F ACE -地体积分别为123,,V V V ,则（ ）A ．322V V =B ．31V V =C ．312V V V =+D ．3123V V =变式题1基础28．在棱长固定地正方体1111ABCD A B C D -中,点E ,F 分别满足AE AB λ=,([0,1],[0,1])BF BC μλμ=∈∈,则（ ）A ．当12μ=时,三棱锥11A B EF -地体积为定值B ．当12μ=时,存在λ使得1BD ⊥平面1B EF C ．当12λ=时,点A ,B 到平面1B EF 地距离相等D ．当λμ=时,总有11A F C E ⊥变式题2基础29．如图,正方体1111ABCD A B C D -地棱长为4,线段11B D 上有两个动点E ，F ,且1EF =,则下面结论中错误地是（ ）A ．11A C FB⊥B ．AEF 地面积与BEF 地面积相等C ．AC ⊥平面BEFD ．三棱锥A BEF -地体积会随着E ，F 地运动而变化变式题3基础30．如图所示,在正方体1111ABCD A B C D -中,过对角线1BD 地一个平面交棱1AA 于E ,交棱1CC 于F ,给出下面几个命题中真命题是（ ）A ．四边形1BFD E 有可能是正方形B ．平面1BFD E 有可能垂直于平面1BB DC ．设1D F 与DC 地延长线交于M ,1DE 与DA 地延长线交于N ,则M ､N ､B 三点共线D ．四棱锥11B BFD E -地体积为定值变式题4基础31．在正方体1111ABCD A B C D -中,点E 为线段11B D 上地动点,则（ ）A ．直线DE 与直线AC 所成角为定值B ．点E 到直线AB 地距离为定值C ．三棱锥1E A BD -地体积为定值D ．三棱锥1E A BD -外接球地体积为定值变式题5巩固32．在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形,PA ⊥底面ABCD ,PA AB =,截面BDE 与直线PC 平行,与PA 交于点E ,则下面判断正确地是（ ）A ．E 为PA 地中点B ．PB 与CD 所成地角为π3C ．BD ⊥平面PACD ．三棱锥C BDE -与四棱锥P ABCD -地体积之比等于1:4变式题6巩固33．如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,M ,N ,P 分别为棱1BB ,11B C ,1CC 地中点,则下面结论正确地是（ ）A ．1A C ⊥平面1D MNB ．点P 与点D 到平面1D MN 地距离相等C ．平面1D MN 截正方体1111ABCD A B C D -所得截面图形为等腰梯形D ．平面1D MN 将正方体1111ABCD A B C D -分割成地上，下两部分地体积之比为7:17变式题7巩固34．如图,在正四棱锥P ﹣ABCD 中,AB ＝1,PB ＝2,E 是PC 地中点．设棱锥P ﹣ABCD 与棱锥E ﹣BCD 地体积分别为V 1,V 2,PB ,PC 与平面BDE 所成地角分别为α,β,则（ ）A ．PA ∥平面BDEB ．PC ⊥平面BDE C ．V 1：V 2＝4：1D ．sin α：sin β＝1：2变式题8巩固35．如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,122AA AB AD ==,E ,F 分别是棱11C D ,1CC 地中点,则（ ）A ．△BDF 是等边三角形B ．直线1A E 与BF 是异面直线C ．1A F ⊥平面BDFD ．三棱锥1A ABD -与三棱锥1A FDB -地体积相等变式题9提升36．已知正方体1111ABCD A B C D -地棱长为2,动点F 在正方形11CDD C 内,则（ ）A ．若1C F ⊥平面1A CF ,则点F 地位置唯一B ．若1//B F 平面1A BD ,则1B F 不可能垂直1CDC ．若()112BF BC BD =+,则三棱锥11-F B CC 地外接球表面积为4πD ．若点E 为BC 中点,则三棱锥11A AB E -地体积是三棱锥1-A FA B 体积地一半变式题10提升37．如图,直线PA 垂直于圆O 平面,△ABC 内接于圆O ,且AB 为圆O 地直径,点M 为线段PB 地中点．以下结论成立地是（ ）A ．BC ⊥PCB ．OM ⊥平面ABCC ．点B 到平面PAC 地距离等于线段BC 地长D ．三棱锥M -PAC 地体积等于三棱锥M -ABC 体积变式题11提升38．如图,已知三棱柱111ABC A B C -地侧棱垂直于底面,且底面ABC ∆为等腰直角三角形,2ACB π∠=,1AA =,M N ，分别是1BC BB ，地中点,P 是线段11A C 上地动点,则下面结论正确地是（ ）A ．1A P MN⊥B ．直线MN 与直线11A BC ．直线MN ⊥平面1A PND ．若P 是线段11A C 地中点,则三棱锥1A PMN -地体积1V 与三棱柱111ABC A B C -地体积2V 之比为18变式题12提升39．已知正方体ABCD -1111D C B A 地棱长为2,F 是正方形11CDD C 地中心,则（ ）A ．三棱锥F -11B CC 地外接球表面积为4πB ．1//B F 平面1A BDC ．1C F ⊥平面1A CF ,且1C F =D ．若点E 为BC 中点,则三棱锥11A AB E -地体积是三棱锥1-A FA B 体积地一半.原题1240．若x ,y 满足221+-=x y xy ,则（ ）A ．1x y +≤B ．2x y +≥-C ．222x y +≤D ．221x y +≥变式题1基础41．已知正实数,a b 满足4a b +=,则下面不等式恒成立地是（ ）A ．4ab ≤B ．134ab+≥+C ．2ln ln ln 2a b ⋅…D ．121b a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭变式题2基础42．若0x >,0y >,且()1xy x y -+=,则下面结论正确地是（ ）．A ．)21x y +≥B ．)21xy ≥C ．)21x y +≤D ．)21xy ≤+变式题3基础43．已知,(0,)x y ∈+∞,设2M x y =+,N xy =,以下四个命题中正确地有（ ）A ．若1N =,则M 有最小值B ．若6M N +=,则N 有最大值2C ．若1M =,则108N <≤D ．若231M N =+,则M 有最小值85变式题4基础44．已知正数a,b 满足22a b ab +=,则下面表达一定正确地是（ ）A ．24a b +≥B ．4a b +≥C ．8ab ≥D ．2248a b +≥变式题5巩固45．已知正数,a b 满足20a b ab +-=,则下面表达一定正确地是（ ）A ．29a b +…B ．8ab …C ．9ab …D ．当且仅当3a b ==时,2+a b 得到最小值变式题6巩固46．已知0,0x y >>,且24x y +=,则（ ）A y 地最大值为2B ．2114x y +地最小值为916C ．4x y +地最大值为8D ．42x y +地最小值为8变式题7巩固47．已知0a >,0b >,且24a b +=,则（ ）A ．124a b->B ．22log log 1a b +≤C ≥D ．412528a b +≥变式题8巩固48．已知0,0a b >>,且21a b +=,则（ ）A ．ab 地最大值为19B ．12a b+地最小值为9C ．22a b +地最小值为15D ．(1)(1)a b ++地最大值为2变式题9提升49．若a ,()0,b ∈+∞,1a b +=,则下面表达正确地有（ ）A ．11a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭地最小值为4BC ．12a b+地最小值为3+D ．222a b a b a b +++变式题10提升50．已知0x >,0y >,且30x y xy ++-=,则（ ）A ．xy 地取值范围是[]1,9B ．x y +地取值范围是[)2,3C ．4x y +地最小值是3D ．2x y +地最小值是3-变式题11提升51．已知函数2()log x f x =,且正实数a ,b 满足()()1f a f b +=,则下面结论可能成立地是（ ）A ．2a b =B ．1122a b --+地最大值为32C ．2ab =D ．2211a b +地最小值为变式题12提升52．已知,0,260x y x y xy >++-=,则（ ）A ．xyB ．2x y +地最小值为4C ．x y +地最小值为3-D ．22(2)(1)x y +++地最小值为16。