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考点23圆的有关性质考点总结1.圆的有关概念(1)圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做圆的半径．以点O为圆心的圆，记做⊙O．(2)弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦．(3)与圆有关的角：①圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数．②圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角叫做圆周角．圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．(4)三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心．外心也是三角形三边中垂线的交点．(5)圆的内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角．2．圆的有关性质：(1)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．圆是中心对称图形，对称中心为圆心，圆绕着它的圆心旋转任意一个角度都能和原来的圆重合．(2)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．(3)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等．(4)圆心角与圆周角的关系：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．(5)确定圆的条件：①已知圆心、半径；②已知直径；③不在同一条直线上的三点．真题演练一、单选题1．（2021·浙江衢州·中考真题）已知扇形的半径为6，圆心角为150︒．则它的面积是（ ）A ．32π B ．3π C ．5π D ．15π【答案】D【分析】 已知扇形的半径和圆心角度数求扇形的面积，选择公式2360n R S π=直接计算即可． 【详解】 解：2150615360S ππ⨯==． 故选：D2．（2021·浙江嘉兴·中考真题）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB =AC =5，点D 在AC 上，且2AD =，点E 是AB 上的动点，连结DE ，点F ，G 分别是BC ，DE 的中点，连接AG ，FG ，当AG =FG 时，线段DE 长为（ ）A B C D ．4【答案】A【分析】连接DF ，EF ，过点F 作FN ⊥AC ，FM ⊥AB ，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点A ，D ，F ，E 四点共圆，⊥DFE =90°，然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得AE 的长度，从而求解．【详解】解：连接DF ，EF ，过点F 作FN ⊥AC ，FM ⊥AB⊥在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点G 是DE 的中点，⊥AG =DG =EG又⊥AG =FG⊥点A ，D ，F ，E 四点共圆，且DE 是圆的直径⊥⊥DFE =90°⊥在Rt ⊥ABC 中，AB =AC =5，点F 是BC 的中点，⊥CF =BF =122BC =，FN =FM =52 又⊥FN ⊥AC ，FM ⊥AB ，90BAC ∠=︒⊥四边形NAMF 是正方形⊥AN =AM =FN =52又⊥90NFD DFM ∠+∠=︒，90DFM MFE ∠+∠=︒⊥NFD MFE ∠=∠⊥⊥NFD ⊥⊥MFE⊥ME =DN =AN -AD =12⊥AE =AM +ME =3⊥在Rt ⊥DAE 中，DE故选：A ．3．（2021·浙江·中考真题）如图，已知点O 是ABC 的外心，∠40A =︒，连结BO ，CO ，则BOC ∠的度数是（ ）．A ．60︒B ．70︒C ．80︒D ．90︒【答案】C【分析】 结合题意，根据三角形外接圆的性质，作O ；再根据圆周角和圆心角的性质分析，即可得到答案．【详解】 ABC 的外接圆如下图⊥⊥40A =︒⊥280BOC A ∠=∠=︒故选：C ．4．（2021·浙江·中考真题）如图，已知在矩形ABCD 中，1,AB BC ==P 是AD 边上的一个动点，连结BP ，点C 关于直线BP 的对称点为1C ，当点P 运动时，点1C 也随之运动．若点P 从点A 运动到点D ，则线段1CC 扫过的区域的面积是（ ）A ．πB ．π+CD ．2π【答案】B【分析】先判断出点Q 在以BC 为直径的圆弧上运动，再判断出点C 1在以B 为圆心，BC 为直径的圆弧上运动，找到当点P 与点A 重合时，点P 与点D 重合时，点C 1运动的位置，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式求解即可．【详解】解：设BP 与CC 1相交于Q ，则⊥BQC =90°，⊥当点P 在线段AD 运动时，点Q 在以BC 为直径的圆弧上运动，延长CB 到E ，使BE =BC ，连接EC ，⊥C 、C 1关于PB 对称，⊥⊥EC 1C =⊥BQC =90°，⊥点C 1在以B 为圆心，BC 为直径的圆弧上运动，当点P 与点A 重合时，点C 1与点E 重合，当点P 与点D 重合时，点C 1与点F 重合，此时，tanPC AB PBC BC BC ∠=== ⊥⊥PBC =30°，⊥⊥FBP =⊥PBC =30°，CQ =12BC =BQ 32=，⊥⊥FBE =180°-30°-30°=120°，11322BCF S CC BQ =⨯==线段1CC 扫过的区域的面积是2120360BCF S ππ⨯+= 故选：B ． 5．（2021·浙江丽水·中考真题）如图，AB 是O 的直径，弦CD OA ⊥于点E ，连结,OC OD ．若O 的半径为,m AOD α∠=∠，则下列结论一定成立的是（ ）A ．tan OE m α=⋅B ．2sin CD m α=⋅C ．cos AE m α=⋅D ．2sin COD S m α=⋅【答案】B【分析】 根据垂径定理、锐角三角函数的定义进行判断即可解答．【详解】解：⊥AB 是O 的直径，弦CD OA ⊥于点E ， ⊥12DE CD = 在Rt EDO ∆中，OD m =，AOD α∠=∠ ⊥tan =DE OE α ⊥=tan 2tan DE CD OE αα=，故选项A 错误，不符合题意； 又sin DE OD α=⊥sin DE OD α=⊥22sin CD DE m α==，故选项B 正确，符合题意； 又cos OE ODα= ⊥cos cos OE OD m αα==⊥AO DO m ==⊥cos AE AO OE m m α=-=-，故选项C 错误，不符合题意；⊥2sin CD m α=，cos OE m α=⊥2112sin cos sin cos 22COD S CD OE m m m αααα∆=⨯=⨯⨯=，故选项D 错误，不符合题意；故选B ．6．（2021·浙江金华·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点,,,,,E F G H M N 都在同一个圆上．记该圆面积为1S ，ABC 面积为2S ，则12S S 的值是（ ）A ．52πB ．3πC ．5πD ．112π 【答案】C【分析】先确定圆的圆心在直角三角形斜边的中点，然后利用全等三角形的判定和性质确定⊥ABC 是等腰直角三角形，再根据直角三角形斜边中线的性质得到2214S AB =，再由勾股定理解得2254OF AB =，解得2154S AB π=⋅，据此解题即可． 【详解】 解：如图所示，正方形的顶点,,,,,E F G H M N 都在同一个圆上，∴圆心O 在线段,EF MN 的中垂线的交点上，即在Rt ABC 斜边AB 的中点，且AC =MC ，BC =CG ，⊥AG =AC +CG =AC +BC ，BM =BC +CM =BC +AC ，⊥AG =BM ，又⊥OG =OM ，OA =OB ，⊥⊥AOG ⊥⊥BOM ，⊥⊥CAB =⊥CBA ，⊥⊥ACB =90°，⊥⊥CAB =⊥CBA =45°，12OC AB ∴=， 2211112224S AB OC AB AB AB ∴=⋅=⋅= 22222215()24OF AO AF AB AB AB =+=+= 22154S OF AB ππ∴==⋅， 212254514AB S S AB ππ⋅∴==．故选：C ．7．（2021·浙江绍兴·中考真题）如图，正方形ABCD 内接于O ，点P 在AB 上，则P ∠的度数为（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】B【分析】 连接OB ，OC ，由正方形ABCD 的性质得90BOC ∠=°，再根据圆周角与圆心角的关系即可得出结论．【详解】解：连接OB ，OC ，如图，⊥正方形ABCD 内接于O ，⊥90BOC ∠=° ⊥11904522BPC BOC ∠=∠=⨯︒=︒ 故选：B ．8．（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知平面内有O 和点A ，B ，若O 半径为2cm ，线段3cm OA =，2cm OB =，则直线AB 与O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相交C ．相切D ．相交或相切【答案】D【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【详解】解：⊥⊥O 的半径为2cm ，线段OA =3cm ，线段OB =2cm ，即点A 到圆心O 的距离大于圆的半径，点B 到圆心O 的距离等于圆的半径， ⊥点A 在⊥O 外．点B 在⊥O 上，⊥直线AB 与⊥O 的位置关系为相交或相切，故选：D ．9．（2021·浙江·杭州市丰潭中学二模）如图，已知平面直角坐标系中，点A ，B 坐标分别为A （4，0），B （﹣6，0）．点C 是y 轴正半轴上的一点，且满足∠ACB ＝45°，圆圆得到了以下4个结论：∠∠ABC 的外接圆的圆心在OC 上；∠∠ABC ＝60°；∠∠ABC的外接圆的半径等于∠OC ＝12．其中正确的是（ ）A ．∠∠B ．∠∠C ．∠∠D ．∠∠【答案】C【分析】 如图，作出ABC 的外接圆，以AB 为斜边在x 轴上方作等腰Rt ABE △，过点E 作ED x ⊥轴于D ，连接EC ，过点E 作EF y ⊥轴于F ，由圆心必然在弦的垂直平分线上可判断⊥；再证明E 为ABC 外接圆圆心，求出半径，可判断⊥；再在ECF △中由勾股定理求出CF ，可求得OC 和1tan 2OC ABC OB ∠==，即可判断⊥⊥． 【详解】解：如图，作出ABC 的外接圆，以AB 为斜边在x 轴上方作等腰Rt ABE △， 过点E 作ED x ⊥轴于D ，连接EC ，过点E 作EF y ⊥轴于F ，⊥ABC 的外接圆的圆心必在弦AB 的垂直平分线上，⊥圆心肯定不在OC 上，故⊥错误；⊥⊥ACB ＝45°，⊥由圆周角定理得：AB 所对的圆心角必为90°，⊥EB ＝EA ，⊥在弦AB 的垂直平分线上，⊥⊥AEB ＝90°，⊥E 必为圆心，即AE 、BE 为半径， ⊥AE =⊥正确；⊥BD ＝5，OB ＝6，⊥OD ＝1，⊥⊥EDO ＝⊥DOF ＝⊥OFE ＝90°，⊥OD ＝EF ＝1，ED ＝FO ＝5，⊥7CF ==，⊥OC ＝OF +FC ＝12，故⊥正确；⊥1 tan2OCABCOB∠==，⊥⊥ABC≠60°，故⊥错误；故选：C．10．（2021·浙江·杭州市丰潭中学二模）如图，点A的坐标为（﹣3，2），∠A的半径为1，P为坐标轴上一动点，PQ切∠A于点Q，在所有P点中，使得PQ长最小时，点P 的坐标为（）A．（0，2）B．（0，3）C．（﹣2，0）D．（﹣3，0）【答案】D【分析】连接AQ、P A，如图，利用切线的性质得到⊥AQP=90°，再根据勾股定理得到PQ=AP⊥x轴时，AP的长度最小，利用垂线段最短可确定P点坐标．【详解】解：连接AQ、P A，如图，⊥PQ切⊥A于点Q，⊥AQ⊥PQ，⊥⊥AQP＝90°，⊥PQ当AP的长度最小时，PQ的长度最小，⊥AP⊥x轴时，AP的长度最小，⊥AP⊥x轴时，PQ的长度最小，二、填空题11．（2021·浙江杭州·中考真题）如图，已知O 的半径为1，点P 是O 外一点，且2OP =．若PT 是O 的切线，T 为切点，连接OT ，则PT =_____．【分析】根据圆的切线的性质，得90OTP ∠=︒，根据圆的性质，得1OT =，再通过勾股定理计算，即可得到答案．【详解】⊥PT 是O 的切线，T 为切点⊥90OTP ∠=︒⊥PT⊥O 的半径为1⊥1OT =⊥PT12．（2021·浙江台州·中考真题）如图，将线段AB 绕点A 顺时针旋转30°，得到线段AC ．若AB ＝12，则点B 经过的路径BC 长度为_____．（结果保留π）直接利用弧长公式即可求解．【详解】 解：30122180BC l ππ⋅==， 故答案为：2π．13．（2021·浙江温州·中考真题）图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2），则图1中所标注的d 的值为______；记图1中小正方形的中心为点A ，B ，C ，图2中的对应点为点A '，B '，C '．以大正方形的中心O 为圆心作圆，则当点A '，B '，C '在圆内或圆上时，圆的最小面积为______．【答案】6- (16π-【分析】（1）先求出剪拼后大正方形的面积，得到其边长，再结合图2，求出图1中长方形的长边除去长为d 部分的线段后，剩下的线段长刚好为大正方形的边长，最后用图1中的长方形的长减去图2中大正方形的边长即可完成求解；（2）结合两图分别求出对应线段的长，通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求出O 点到'B 、'A 、'C 之间的距离即可确定最小圆的半径，即可完成求解．【详解】解：⊥图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，⊥每个小正方形边长为2，图1和图2中整个图形的面积为2612=⨯，所以图2中正方形的边长''M N =如下图3所示；分别连接'OB 、'OA 、'OC ，并分别过点'B 、'A 、'C 向大正方形的对边作垂线，得到如图所示辅助线，综合两图可知，'1LA =,LJ ='1MA =,O⊥'1JA =，1OJ =,⊥)'1OA ===综合两图可知：'1B E =,6'32B D d =-=,DF =⊥()''33B F DF B D =-==1OF =,⊥'OB =；继续综合两图可知：''1C H C G ==,⊥'1C I OI =,⊥'OC =⊥2816=-<-⊥'B 距离O 点最远，⊥⊥圆的面积为(16π-；故答案为：6-(16π-．14．（2021·浙江宁波·中考真题）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文P ．若120P ∠=︒，O 的半径为6cm ，则图中CD 的长为________cm ．（结果保留π）【答案】2π【分析】连接OC 、OD ，利用切线的性质得到90OCP ODP ∠=∠=︒，根据四边形的内角和求得60COD ∠=︒，再利用弧长公式求得答案．【详解】连接OC 、OD ，⊥,AC BD 分别与O 相切于点C ，D ，⊥90OCP ODP ∠=∠=︒，⊥120P ∠=︒，360OCP ODP P COD ∠+∠+∠+∠=︒，⊥60COD ∠=︒，⊥CD 的长=6062180（cm ），故答案为：2π．．15．（2021·浙江温州·中考真题）如图，O 与OAB 的边AB 相切，切点为B ．将OAB 绕点B 按顺时针方向旋转得到O A B '''△，使点O '落在O 上，边A B '交线段AO 于点C ．若25A '∠=︒，则OCB ∠=______度．【答案】85AB 相切，可求⊥CBO ==30°，利用三角形内角和公式即可求解．【详解】解：连结OO′，⊥将OAB 绕点B 按顺时针方向旋转得到O A B '''△，⊥BO′=BO =OO′，⊥⊥BOO′为等边三角形，⊥⊥OBO′=60°，⊥O 与OAB 的边AB 相切，⊥⊥OBA =⊥O′BA′=90°，⊥⊥CBO =90°-⊥OBO′=90°-60°=30°，⊥⊥A′=25°⊥⊥A′O′B =90°-⊥A′=90°-25°=65°⊥⊥AOB =⊥A′O′B =65°，⊥⊥OCB =180°-⊥COB -⊥OBC =180°-65°-30°=85°．故答案为85．三、解答题16．（2021·浙江衢州·中考真题）如图，在ABC 中，CA CB =，BC 与A 相切于点D ，过点A 作AC 的垂线交CB 的延长线于点E ，交A 于点F ，连结BF ．（1）求证：BF 是A 的切线．【答案】（1）见解析；（2）3【分析】（1）连接AD ，根据题意证明ABF ABD △△≌，即可证明BF 是A 的切线；（2）根据题意即（1）的结论可得BEF CEA △∽△，列比例求出FB 的长，根据勾股定理求EF 即可．【详解】（1）证明如图，连接AD ，CA CB =，CAB ABC ∴∠=∠，AE AC ⊥，90CAB EAB ∴∠+∠=︒又A 切BC 于点D ，=90ADB ∴∠︒，90ABD BAD ∴∠+∠=︒，BAE BAD ∴∠=∠．又AB AB ，AF AD =，()ABF ABD SAS ∴△△≌，90AFB ADB ∴∠=∠=︒，BF ∴是A 的切线．（2）由（1）得：90AFB FAC ∠=∠=︒，//BF AC ∴，BEF CEA ∴△∽△，BE BF CE CA∴=， 20CB CA ==，5BE =，∴=．EF317．（2021·浙江台州·中考真题）如图，BD是半径为3的∠O的一条弦，BD＝点A是∠O上的一个动点（不与点B，D重合），以A，B，D为顶点作平行四边形ABCD．（1）如图2，若点A是劣弧BD的中点．∠求证：平行四边形ABCD是菱形；∠求平行四边形ABCD的面积．（2）若点A运动到优弧BD上，且平行四边形ABCD有一边与∠O相切．∠求AB的长；∠直接写出平行四边形ABCD对角线所夹锐角的正切值．【答案】⊥证明见解析；⊥（2）⊥AB【分析】（1）⊥利用等弧所对的弦相等可得AD AB=，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得证；⊥连接AO，交BD于点E，连接OD，根据垂径定理可得DE BE==用勾股定理求出OE的长，即可求解；（2）⊥分情况讨论当CD与O相切时、当BC与O相切时，利用垂径定理即可求解；⊥根据等面积法求出AH的长度，利用勾股定理求出DH的长度，根据正切的定义即可求解．【详解】解：（1）⊥⊥点A是劣弧BD的中点，⊥四边形ABCD 是平行四边形，⊥平行四边形ABCD 是菱形；⊥连接AO ，交BD 于点E ，连接OD ，，⊥点A 是劣弧BD 的中点，OA 为半径，⊥OA BD ⊥，OA 平分BD ， ⊥DE BE ==⊥平行四边形ABCD 是菱形，⊥E 为两对角线的交点，在Rt ODE △中，1OE ,⊥2AE =，⊥122ABCD S BD AE =⋅⨯= （2）⊥如图，当CD 与O 相切时，连接DO 并延长，交AB 于点F ，⊥CD 与O 相切，⊥DF CD ⊥，⊥四边形ABCD 是平行四边形，⊥//AB CD ，⊥DF AB ⊥，在Rt BDF △中，()2222323BF BD DF OF =-=-+， 在Rt BOF △中，22229BF BO OF OF =-=-，⊥()223239OF OF -+=-，解得73OF =，⊥BF =⊥2AB BF = 如图，当BC 与O 相切时，连接BO 并延长，交AD 于点G ，同理可得AG DG =73OG =，所以AB综上所述，AB ⊥过点A 作AH BD ⊥，，由（2）得：7163,33BD AD BG ==+= 根据等面积法可得1122BD AH AD BG ⋅=⋅， 解得329AH =，在在Rt ADH 中，DH ==⊥HI =⊥tan AH AIH HI ∠== 18．（2021·浙江金华·中考真题）在扇形AOB 中，半径6OA =，点P 在OA 上，连结PB ，将OBP 沿PB 折叠得到O BP '．（1）如图1，若75O ∠=︒，且BO '与AB 所在的圆相切于点B ．∠求APO ∠'的度数．∠求AP 的长．（2）如图2，BO '与AB 相交于点D ，若点D 为AB 的中点，且//PD OB ，求AB 的长．【答案】（1）⊥60°；⊥6-（2）125π 【分析】(1)根据图像折叠的性质，确定角之间的关系，通过已知的角度来间接求所求角的角度；求AP 的长，先连接'OO ，先在Rt OBQ △中，求出OQ ；再在Rt OPQ 中，求出OP 即可得到答案；（2）要求AB 的长，扇形的半径已知，就转化成求AOB ∠的度数，连接'OO ，通过条件找到角之间的等量关系，再根据三角形内角和为180︒，建立等式求出AOB ∠，最后利用弧长的计算公式进行计算．【详解】解：（1）⊥如图1，'BO 为圆的切线'90OBO ∴∠=︒．由题意可得，'45O BP OBP ∠=∠=︒，'O PB OPB ∠=∠．180180754560OPB BOP OBP ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒ '60O PB OPB ∴∠=∠=︒'60APO ∴∠=︒，⊥如图1，连结'OO ，交BP 于点Q ．则有'BP OO ⊥．在Rt OBQ △中，sin 45OQ OB =⨯︒=在Rt OPQ △中，sin 60OQ OP ==︒6AP OA OP ∴=-=-（2）如图2．连结OD ．设1a ∠=．⊥点D 为AB 的中点．BD AD ∴=21a ∴∠=∠=//PD OB321a ∴∠=∠=∠=．PD PO ∴=由题意可得，','PO PO O BOP =∠=∠．'PD PO ∴=''2PDO O BOP a ∴∠=∠=∠=又//,''2PD OB OBO PDO a ∴∠=∠=,4'2OB OD OBO a =∴∠=∠=43'180PDO ∠+∠+∠=︒，22180a a a ∴++=︒，解得36a =︒． 72AOB ∴∠=︒726121801805n R AB πππ⨯∴===．。
2019备战中考数学基础必练（浙教版）-圆的基本性质（含解析）一、单选题1.已知A、C、B是⊙O上三点，若∠AOC=40°，则∠ABC的度数是( )A. 10°B. 20°C. 40°D. 80°2.如图，在⊙O中，弦AD=弦DC ，则图中相等的圆周角的对数是（）A. 5对B. 6对C. 7对D. 8对3.在以下所给的命题中，正确的个数为() ①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④半径相等的两个半圆是等弧；⑤长度相等的弧是等弧．A. 1B. 2C. 3D. 44.如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，连接CC′，若CC′∥AB，则∠BAC的大小是（）A. 55°B. 60°C. 65°D. 70°5.如图，内接于，，，点D在AC弧上，则的大小为（）A. B. C. D.6.半径为r的圆的内接正三角形的边长是（）A. 2rB.C.D.7.如图，顺次连结圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝6，DF＝4，则菱形ABCD的边长为( )A. 4B. 3C. 5D. 78.如图，扇形折扇完全打开后，如果张开的角度（∠BAC）为120°，骨柄AB的长为30cm，扇面的宽度BD的长为20cm，那么这把折扇的扇面面积为（）A. cm2B. cm2C. cm2D. 300πcm2二、填空题9.如图，用一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点F旋转了108°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了________cm．10.若扇形的圆心角为60°，弧长为2π，则扇形的半径为________；11.经过一个点的圆有________个，圆心________；经过两点的圆有________个，圆心在________；若平面上三点能够确定一个圆，那么这三点所满足的条件是________．12.如图，在⊙O中， = ，AB=2，则AC=________．13.圆内接正六边形的边心距为2 ，则这个正六边形的面积为________ cm2．14.圆的对称中心是________ ．15.已知扇形的弧长为6πcm，圆心角为60°，则扇形的面积为________．16.如图，在中，，将它绕着点旋转后得到,则________.17.如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是________ ．三、解答题18.如图，是一个可以自由转动的圆盘，圆盘被分成6个全等的扇形．它可以看作是由什么“基本图案”通过怎样的旋转得到的？19.如图，是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面宽8cm，水的最大深度为2cm，求该输水管的半径是多少？20.如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．（1）求证：BD=CD；（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．四、综合题21.如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC= ．（1）作⊙O，使它过点A、B、C（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．（2）在（1）所作的圆中，圆心角∠BOC＝º,圆的半径为，劣弧的长为．22.如图，⊙O的直径为10，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．（1）求证：AC•CD=PC•BC；（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长．23.如图，正方形ABCO的边长为4，D为AB上一点，且BD=3，以点C为中心，把△CBD顺时针旋转90°，得到△CB1D1．（1）直接写出点D1的坐标；（2）求点D旋转到点D1所经过的路线长．答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】圆周角定理【解析】【解答】根据圆周角和圆心角的关系解决问题，由“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”解答.【分析】此题考查了原周角和圆心角的联系.2.【答案】D【考点】圆周角定理【解析】【解答】先找同弧所对的圆周角：弧AD所对的∠1=∠3；弧DC所对的∠2= ∠4；弧BC所对的∠5=∠6；弧AB所对的∠7=∠8.找等弧所对的圆周角，因为弧AC=弧DC ，所以∠1=∠4，∠1=∠2，∠4=∠3，∠2=∠3.由上可知，相等的圆周角有8对.【分析】在同圆或等圆中，判断两个圆周角是否相等，即看它们所对的弧是否相等，因等角对等弧，等弧对等角.3.【答案】C【考点】圆的认识【解析】【解答】根据直径和弦的概念，知①正确，②错误；根据弧和半圆的概念，知③正确；根据等弧的概念，半径相等的两个半圆一定能够重合，是等弧，④正确；长度相等的两条弧不一定能够重合，⑤错误．故选C．【分析】理解直径和弦.弧和半圆之间的关系，理解等弧的概念4.【答案】D【考点】旋转的性质【解析】【解答】解：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，∴AC=AC′，∠CAC′=40°，∴∠AC′C=∠ACC′=70°，∵CC′∥AB，∴∠BAC=∠ACC′=70°，故选D．【分析】根据旋转的性质得AC=AC′，∠CAC′等于旋转角，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠C'CA的度数，再由平行线的性质即可得到∠BAC的大小．5.【答案】C【考点】圆周角定理【解析】【解答】解：，，，弧AB对的圆周角是和，，故答案为：C．【分析】由三角形内角和定理可求∠ACB的度数，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠ADB=∠ACB即可求解。
专题3 圆的基本性质题型一 点与圆的位置关系例 1 [2017·大冶校级月考]若⊙O 的半径为5 cm ，平面上有一点A ，OA ＝6 cm ，那么点A 与⊙O 的位置关系是( A ) A ．点A 在⊙O 外 B ．点A 在⊙O 上 C ．点A 在⊙O 内D ．不能确定【解析】 ∵⊙O 的半径为5 cm ，OA ＝6 cm ，∴d ＞r ，∴点A 与⊙O 的位置关系是点A 在⊙O 外．变式跟进1．[2016·宜昌]在公园的O 处附近有E ，F ，G ，H 四棵树，位置如图1所示(图中小正方形的边长均相等)．现计划修建一座以O 为圆心，OA 为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E ，F ，G ，H 四棵树中需要被移除的为( A )图1A ．E ，F ，GB ．F ，G ，HC ．G ，H ，ED ．H ，E ，F【解析】 ∵OA ＝1＋22＝5，∴OE ＝2＜OA ，∴点E 在⊙O 内；OF ＝2＜OA ，∴点F 在⊙O 内；OG ＝1＜OA ，∴点G 在⊙O 内；OH ＝22＋22＝22＞OA ，∴点H 在⊙O 外．题型二 垂径定理及其推论例 2 如图2，⊙O 的直径CD ＝10，弦AB ＝8，AB ⊥CD ，垂足为M ，则DM 的长为( D ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8图2 例2答图【解析】 连结OA ，如答图所示． ∵⊙O 的直径CD ＝10，∴OA ＝5，∵弦AB ＝8，AB ⊥CD ，∴AM ＝12AB ＝12×8＝4，在Rt △AOM 中，OM ＝OA 2－AM 2＝52－42＝3，∴DM ＝OD ＋OM ＝5＋3＝8.【点悟】 已知直径与弦垂直的问题中，常连半径构造直角三角形，其中斜边为圆的半径，两直角边是弦长的一半和圆心到弦的距离，从而运用勾股定理计算．变式跟进2．如图3，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若CD ＝8，且AE ∶BE ＝1∶4，则AB 的长度为( A ) A ．10 B ．5 C ．12 D.53图3 第2题答图【解析】 如答图，连结OC ，设AE ＝x ，∵AE ∶BE ＝1∶4，∴BE ＝4x ，∴OC ＝2.5x ，∴OE ＝1.5x ，∵CD ⊥AB ，∴CE ＝DE ＝12CD ＝4，Rt △OCE 中，OE 2＋CE 2＝OC 2，∴(1.5x )2＋42＝(2.5x )2，∴x ＝2，∴AB ＝10.3．有一座弧形的拱桥如图4，桥下水面的宽度AB 为7.2 m ，拱顶与水面的距离CD 的长为2.4 m ，现有一艘宽3 m ，船舱顶部为长方形并且高出水面2 m 的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？图4 第3题答图解：如答图，连结ON ，OB . ∵OC ⊥AB ，∴D 为AB 中点， ∵AB ＝7.2 m ，∴BD ＝12AB ＝3.6 m.又∵CD ＝2.4 m ，∴设OB ＝OC ＝ON ＝r ，则OD ＝(r －2.4)m.在Rt △BOD 中，由勾股定理得r 2＝(r －2.4)2＋3.62，解得r ＝3.9.∵CD ＝2.4 m ，船舱顶部为长方形并高出水面2 m ，∴CE ＝2.4－2＝0.4(m)， ∴OE ＝r －CE ＝3.9－0.4＝3.5(m)，在Rt△OEN中，EN2＝ON2－OE2＝3.92－3.52＝2.96(m2)，∴EN≈1.72(m)．∴MN＝2EN＝2×1.72＝3.44 m＞3，∴此货船能顺利通过这座弧形拱桥．题型三圆周角定理的综合例 3 [2017·市南区一模]如图5，在直径为AB的⊙O中，C，D是⊙O上的两点，∠AOD＝58°，CD∥AB，则∠ABC的度数为__61°__．图5【解析】∵∠AOD＝58°，∴∠ACD＝∠AOD＝29°，∵CD∥AB，∴∠CAB＝∠ACD＝29°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°－29°＝61°.【点悟】(1)在同圆(或等圆)中，圆心角(或圆周角)、弧、弦中只要有一组量相等，则其他对应的各组量也分别相等，利用这个性质可以将问题互相转化，达到求解或证明的目的；(2)注意圆中的隐含条件(半径相等)的应用；(3)圆周角定理及其推论，是进行圆内角度数转化与计算的主要依据，遇直径，要想到直径所对的圆周角是90°，从而获得到直角三角形；遇到弧所对的圆周角与圆心角，要想到同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍以及同弧所对的圆周角相等．变式跟进4．如图6，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB＝__45°__．图6 第4题答图【解析】如答图，连结OA，OB.根据正方形的性质，得∠AOB＝90°.再根据圆周角定理，得∠APB＝45°.5．[2017·永嘉二模]如图7，已知AB是半圆O的直径，OC⊥AB交半圆于点C，D是射线OC上一点，连结AD交半圆O于点E，连结BE，CE.(1)求证：EC平分∠BED；(2)当EB＝ED时，求证：AE＝CE.图7 第5题答图证明：(1)∵AB 是半圆O 的直径，∴∠AEB ＝90°， ∴∠DEB ＝90°.∵OC ⊥AB ，∴∠AOC ＝∠BOC ＝90°，∴∠BEC ＝45°， ∴∠DEC ＝45°.∴∠BEC ＝∠DEC ， 即EC 平分∠BED ； (2)如答图，连结BC ，OE ，在△BEC 与△DEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝DE ，∠BEC ＝∠DEC ，EC ＝EC ，∴△BEC ≌△DEC ，∴∠CBE ＝∠CDE .∵∠CDE ＝90°－∠A ＝∠ABE ，∴∠ABE ＝∠CBE . ∴∠AOE ＝∠COE ，∴AE ＝CE .题型四 弧长的计算例 4 如图8，△ABC 是正三角形，曲线CDEF 叫做“正三角形的渐开线”，其中，CD ︵，DE ︵，EF ︵，圆心依次按A ，B ，C …循环，它们依次相连结．若AB ＝1，则曲线CDEF 的长是__4π__(结果保留π)．图8【解析】 CD ︵的长是120π·1180＝2π3，DE ︵的长是120π·2180＝4π3，EF ︵的长是120π·3180＝2π，则曲线CDEF的长是23π＋43π＋2π＝4π.变式跟进6．一个扇形的半径为8 cm ，弧长为163π cm ，则扇形的圆心角为__120°__．【解析】 设扇形的圆心角为n °，根据题意得163π＝n π×8180，解得n ＝120，∴扇形的圆心角为120°.题型五 扇形的面积计算例 5 [2016·河南]如图9，在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，以点A 为圆心，OA 的长为半径作OC ︵交AB ︵于点C ，若OA ＝2，则阴影部分的面积是 3－13π ．图9 例5答图【解析】 如答图，连结OC ，AC ，△OAC 是等边三角形，扇形OBC 的圆心角是30°，阴影部分的面积等于扇形OBC 的面积减去弓形OC 的面积．S 扇形OBC ＝30π×22360＝13π，S 弓形OC ＝60π×22360－34×22＝23π－3，S 阴影＝13π－⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－3＝3－13π.【点悟】 求不规则图形的面积，常转化为易解决的基本图形，然后求出各图形的面积，通过面积的和差求出结果．变式跟进7．若扇形的半径为3 cm ，扇形的面积为2π cm 2，则该扇形的圆心角为__80__°，弧长为__43π__cm.【解析】 由n π·32360＝2π，解得n ＝80，由2π＝12l ×3，解得l ＝43π. 8．如图10，以AB 为直径的⊙O 经过AC 的中点D ，DE ⊥BC 于点E ，若DE ＝1，∠C ＝30°，则图中阴影部分的面积是 49π－33．图10【解析】 ∵∠C ＝30°，DE ＝1，∠DEC ＝90°，∴DC ＝2，∵OD ∥BC ，∴∠ODA ＝30°，∵OD ＝OA ，∴∠OAD ＝∠ODA ＝30°，∴∠AOD ＝120°，∴OA ＝233，∴S 阴影＝120π×⎝ ⎛⎭⎪⎫2332360－12×2×33＝49π－33. 题型六 圆锥例 6 [2017·西湖区校级三模]一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°且半径为6的扇形，则这个圆锥的底面半径为( B )A ．2B ．2C ．2.5D ．3【解析】 设这个圆锥的底面半径为r ，根据题意，得2π·r ＝120π·6180，解得r ＝2.【点悟】 (1)圆锥侧面展开图是一个扇形；(2)圆锥的底面周长是其侧面展开图的弧长；(3)圆锥的母线就是其侧面展开扇形的半径．变式跟进9．一个圆锥的底面半径是5 cm ，其侧面展开图是圆心角为150°的扇形，则圆锥的母线长为( B ) A ．9 cm B ．12 cm C ．15 cm D ．18 cm 【解析】 设圆锥的母线长为l ，根据题意得2π×5＝150πl180，解得l ＝12.即圆锥的母线长为12 cm. 过关训练1．一个圆锥形的圣诞帽底面半径为12 cm ，母线长为13 cm ，则圣诞帽的侧面积为( B ) A ．312π cm 2B ．156π cm 2C ．78π cm 2D ．60π cm 2【解析】 圆锥的底面周长是12×2π＝24π，则圆锥的侧面积是12×24π×13＝156π(cm 2)．2．[2017·连云港三模]一个滑轮起重装置如图1所示，滑轮的半径是15 cm ，当重物上升15 cm 时，滑轮的一条半径OA 绕轴心O 按顺时针方向旋转的角度约为(π取3.14，结果精确到1°)( C )图1A ．115°B ．60°C ．57°D ．29°【解析】 根据题意得15＝n π·15180，解得n ＝180°π≈57°，∴OA 绕轴心O 按顺时针方向旋转的角度约为57°.3．一个隧道的横截面如图2所示，它的形状是以点O 为圆心，5为半径的圆的一部分，M 是⊙O 中弦CD 的中点，EM 经过圆心O 交⊙O 于点E .若CD ＝6，则隧道的高(ME 的长)为( D )图2A ．4B ．6C ．8D ．9【解析】 ∵M 是⊙O 弦CD 的中点，根据垂径定理：EM ⊥CD ，又CD ＝6，则有CM ＝12CD ＝3，设OM 是x ，在Rt △COM 中，有OC 2＝CM 2＋OM 2，即52＝32＋x 2，解得x ＝4，∴EM ＝5＋4＝9.4．[2017·大庆模拟]如图3是圆内接正方形ABCD ，分别将AB ︵，BC ︵，CD ︵，DA ︵沿边长AB ，BC ，CD ，DA 向内翻折，已知BD ＝2，则阴影部分的面积为__4－π__．图3【解析】 由圆内接正方形的性质知，正方形的边长等于半径的2倍，∴阴影部分的面积＝(2)2－[π－(2)2]＝4－π.5．[2016·贵港]如图4，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝60°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°后得到△ADE ，若AC ＝1，则线段BC 在上述旋转过程中扫过部分(阴影部分)的面积是__π2__(结果保留π)．图4【解析】 ∵∠C ＝90°，∠BAC ＝60°，AC ＝1，∴AB ＝2，S 扇形BAD ＝60π·22360＝2π3，S 扇形CAE ＝60π·12360＝π6，则S 阴影＝S 扇形DAB ＋S △ABC －S △ADE －S 扇形ACE ＝23π－π6＝π2.6．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图5所示，已知水杯的半径是4 cm ，水面宽度AB 是4 3 cm. (1)求水的最大深度(即CD )是多少？ (2)求杯底有水部分的面积(阴影部分)．图5解：(1)∵OD ⊥AB ，AB ＝4 3 cm ， ∴BC ＝12AB ＝12×43＝23(cm)，在Rt △OBC 中，∵OB ＝4 cm ，BC ＝23(cm)， ∴OC ＝OB 2－BC 2＝42－（23）2＝2(cm)， ∴DC ＝OD －OC ＝4－2＝2(cm)． ∴水的最大深度(即CD )是2 cm ； (2)∵OC ＝2，OB ＝4，∴OC ＝12OB ，∴∠ABO ＝30°，∵OA ＝OB ，∴∠BAO ＝∠ABO ＝30°，∴∠AOB ＝120°， ∵S △AOB ＝12AB ·OC ＝12×43×2＝43，S 扇形OAB ＝120π×42360＝163π，∴S 阴影＝S 扇形－S △AOB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫163π－43 cm 2.7．[2017·苏州一模]如图6，已知Rt △ABD 中，∠A ＝90°，将斜边BD 绕点B 顺时针方向旋转至BC ，使BC ∥AD ，过点C 作CE ⊥BD 于点E . (1)求证：△ABD ≌△ECB ；(2)若∠ABD ＝30°，BE ＝3，求CD ︵的长．图6解：(1)证明：∵∠A ＝90°，CE ⊥BD ， ∴∠A ＝∠BEC ＝90°. ∵BC ∥AD ，∴∠ADB ＝∠EBC .∵将斜边BD 绕点B 顺时针方向旋转至BC ， ∴BD ＝BC .在△ABD 和△ECB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠ADB ＝∠EBC ，∠A ＝∠BEC ，BD ＝CB ，∴△ABD ≌△ECB ； (2)∵△ABD ≌△ECB ，∴AD ＝BE ＝3.∵∠A ＝90°，∠ABD ＝30°，∴BD ＝2AD ＝6， ∵BC ∥AD ，∴∠A ＋∠ABC ＝180°， ∴∠ABC ＝90°，∴∠DBC ＝60°， ∴CD ︵的长为60π×6180＝2π.8．[2017·高密模拟]如图7，AB 为圆O 的直径，CD ⊥AB 于点E ，交圆O 于点D ，OF ⊥AC 于点F . (1)求证：OF ＝12BD ；(2)当∠D ＝30°，BC ＝1时，求圆中阴影部分的面积．图7 第8题答图解：(1)证明：∵OF ⊥AC ，∴AF ＝FC ， ∵OA ＝OB ，∴BC ＝2OF ，∵AB ⊥CD ， ∴BC ︵＝BD ︵，∴BC ＝BD ，∴OF ＝12BD ；(2)如答图，连结OC ，则OC ＝OA ＝OB ， ∵∠D ＝30°，∴∠A ＝∠D ＝30°， ∴∠COB ＝2∠A ＝60°，∴∠AOC ＝120°， ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°， 在Rt △ABC 中，BC ＝1， ∴AB ＝2，AC ＝3，∵OF ⊥AC ，∴AF ＝CF ，∵OA ＝OB ，∴OF 是△ABC 的中位线，∴OF ＝12BC ＝12，∴S △AOC ＝12AC ·OF ＝12×3×12＝34，S 扇形AOC ＝13π×OA 2＝π3，∴S 阴影＝S 扇形AOC －S △AOC ＝π3－34.9．[2017·河北区二模]如图8①，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，点M 是AC 的中点，以AB 为直径作⊙O 分别交AC ，BM 于点D ，E . (1)求证：MD ＝ME ；(2)如图②，连结OD ，OE ，当∠C ＝30°时，求证：四边形ODME 是菱形．图8证明：(1)在Rt △ABC 中，点M 是AC 的中点， ∴MA ＝MB ，∴∠A ＝∠MBA ， ∵四边形ABED 是圆内接四边形， ∴∠ADE ＋∠ABE ＝180°， 而∠ADE ＋∠MDE ＝180°，∴∠MDE ＝∠MBA .同理可得∠MED ＝∠A ， ∴∠MDE ＝∠MED ，∴MD ＝ME ； (2)∵∠C ＝30°，∴∠A ＝60°，∴∠ABM ＝60°，∴△OAD 和△OBE 为等边三角形， ∴∠BOE ＝60°，∴∠BOE ＝∠A ， ∴OE ∥AC ，同理可得OD ∥BM ，∴四边形DOEM 为平行四边形，而OD ＝OE ， ∴四边形ODME 是菱形．10．[2017·东莞校级模拟]如图9，⊙O 的内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别交于点E ，F . (1)当∠E ＝∠F 时，则∠ADC ＝__90__°；(2)当∠A ＝55°，∠E ＝30°时，求∠F 的度数；(3)若∠E ＝α，∠F ＝β，且α≠β，请你用含有α，β的代数式表示∠A 的大小．图9解：(1)∵∠E ＝∠F ，∠DCE ＝∠BCF ，∠ADC ＝∠E ＋∠DCE ，∠ABC ＝∠BCF ＋∠F ，∴∠ADC ＝∠ABC ，∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠ADC ＋∠ABC ＝180°，∴∠ADC ＝90°；(2)∵在△ABE 中，∠A ＝55°，∠E ＝30°，∴∠ABE ＝180°－∠A －∠E ＝95°，∴∠ADF ＝180°－∠ABE ＝85°，∴在△ADF 中，∠F ＝180°－∠ADF －∠A ＝40°；(3)∵∠ADC ＝180°－∠A －∠F ，∠ABC ＝180°－∠A －∠E ，又∵∠ADC ＋∠ABC ＝180°，∴180°－∠A －∠F ＋180°－∠A －∠E ＝180°，∴2∠A ＋∠E ＋∠F ＝180°，∴∠A ＝90°－∠E ＋∠F 2＝90°－α＋β2.。
《圆的基本性质》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1．理解圆及其有关概念，了解点与圆的位置关系.2. 认识图形的旋转，理解图形的旋转的性质.3. 理解圆的性质，垂径定理，圆心角定理，圆周角定理.4. 理解圆内接四边形的性质.5．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积.6. 会初步综合应用圆的有关知识，解决一些简单的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义（1）线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合.（3）不在同一条直线上的三个点确定一个圆.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2.点与圆的位置关系判定一个点P是否在⊙O上设⊙O的半径为，OP=，则有点P在⊙O 外；点P在⊙O 上；点P在⊙O 内.要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.4．与圆有关的角圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.在同圆或者等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.在同圆或者等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.5. 圆内接四边形圆内接四边形的对角互补.要点二、图形的旋转在平面内，一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转.这个定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.图形经过旋转所得的图形和原图形全等.对应点到旋转中心的距离相等.任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.要点三、正多边形各边相等，各内角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．要点四、弧长及扇形的面积圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的基础知识1．如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC外接圆半径的长度为 ．【解析】由已知得BC ∥x 轴，则BC 中垂线为2412x -+== 那么，△ABC 外接圆圆心在直线x=1上，设外接圆圆心P(1,a)，则由PA=PB=r 得到：PA 2=PB 2即(1+1)2+(a-3)2=(1+2)2+(a+2)2化简得 4+a 2-6a+9=9+a 2+4a+4 解得 a=0即△ABC 外接圆圆心为P(1,0)则 r PA ===【总结升华】 三角形的外心是三边中垂线的交点，由B 、C 的坐标知：圆心P （设△ABC 的外心为P ）必在直线x=1上；由图知：BC 的垂直平分线正好经过（1，0），由此可得到P （1，0）；连接PA 、PB ，由勾股定理即可求得⊙P 的半径长．类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理2．如图所示，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE ＝1cm ，EB ＝5cm ，∠DEB ＝60°， 求CD 的长．【答案与解析】作OF ⊥CD 于F ，连接OD ．∵ AE ＝1，EB ＝5，∴ AB ＝6． ∵ 32ABOA ==，∴ OE ＝OA-AE ＝3-1＝2． 在Rt △OEF 中，∵ ∠DEB ＝60°，∴ ∠EOF ＝30°，∴ 112EF OE ==，∴ OF =．在Rt △DFO 中，OF OD ＝OA ＝3，∴DF ===(cm)． ∵ OF ⊥CD ，∴ DF ＝CF ，∴ CD ＝2DF＝cm ．【总结升华】因为垂径定理涉及垂直关系，所以常常可以利用弦心距（圆心到弦的距离）、半径和半弦组成一个直角三角形，用勾股定理来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，然后用垂弦定理来解题．作OF ⊥CD 于F ，构造Rt △OEF ，求半径和OF 的长；连接OD ，构造Rt △OFD ，求CD 的长．举一反三： 【变式】如图，AB 、AC 都是圆O 的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M 、N ，如果MN ＝3，那么BC ＝ ．【答案】由OM⊥AB，ON⊥AC，得M 、N 分别为AB 、AC 的中点（垂径定理），则MN 是△ABC 的中位线，BC=2MN=6.3．如图，以原点O 为圆心的圆交x 轴于点A 、B 两点，交y 轴的正半轴于点C ，D 为第一象限内⊙O 上的一点，若∠DAB = 20°，则∠OCD = ．【答案】65°.【解析】连结OD ，则∠D OB = 40°，设圆交y 轴负半轴于E ，得∠D OE= 130°，∠OCD =65°. 【总结升华】根据同弧所对圆周角与圆心角的关系可求. 举一反三：【变式】如图，⊙O 的半径是2，AB 是⊙O 的弦，点P 是弦AB 上的动点，且1≤OP ≤2，则弦AB 所对的圆周角的度数是（ ）N MO C BA（第3题）A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°【答案】C.【解析】作OD⊥AB，如图，∵点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，∴OD=1，∴∠OAB=30°，∴∠AOB=120°，∴∠AEB=∠AOB=60°，∵∠E+∠F=180°，∴∠F=120°，即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．故选C．类型三、图形的旋转4．如图，图B是图A旋转后得到的，旋转中心是，旋转了 .【思路点拨】确定图形的旋转时，首先要确定旋转前后的对应点，即可确定旋转中心，对应点连线的夹角即为旋转角.【答案】X，180°.【解析】解：观察图形中Z点对应点的位置是图A绕旋转中心X按逆时针旋转180°得到的．故答案为：X；180°．【总结升华】本题考查了图形的旋转变化，主要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，对应点的连线是否过旋转中心，对应点连线的夹角为旋转角．类型四、圆中有关的计算5．（2016•十堰）如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（）A．10cm B．15cm C．10cm D．20cm【思路点拨】根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长，设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到r，然后利用勾股定理计算出圆锥的高．【答案】D．【解析】解：过O作OE⊥AB于E，∵OA=OB=60cm，∠AOB=120°，∴∠A=∠B=30°，∴OE=OA=30cm，∴弧CD的长==20π，设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=20π，解得r=10，∴圆锥的高==20．故选D．【总结升华】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．类型五、圆与其他知识的综合运用6．如图(1)是某学校存放学生自行车的车棚示意图(尺寸如图(1))，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图(2)是车棚顶部截面的示意图，AB所在圆的圆心为O．车棚顶部用一种帆布覆盖，求覆盖棚顶的帆布的面积(不考虑接缝等因素，计算结果保留π)．【答案与解析】连接OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，交AB于点F，如图(2)．由垂径定理，可知E是AB中点，F是AB的中点，∴ 12AE AB ==EF ＝2． 设半径为R 米，则OE ＝(R-2)m ．在Rt △AOE 中，由勾股定理，得222(2)R R =-+．解得R ＝4．∴ OE ＝2，12OE AO =，∴ ∠AOE ＝60°，∴ ∠AOB ＝120°． ∴ AB 的长为120481803ππ⨯=(m)．∴ 帆布的面积为8601603ππ⨯=(m 2)．【总结升华】本题以学生校园生活中的常见车棚为命题背景，使考生在考场上能有一种亲切的感觉，这也体现了中考命题贴近学生生活实际的原则．求覆盖棚顶的帆布的面积，就是求以AB 为底面的圆柱的侧面积．根据题意，应先求出AB 所对的圆心角度数以及所在圆的半径，才能求AB 的长．举一反三：【变式】某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.①请你补全这个输水管道的圆形截面图；②若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm ，水最深的地方的高度为4cm ，求这个圆形截面 的半径.【答案】①作法略.如图所示.②如图所示，过O 作OC ⊥AB 于D ，交于C ，∵ OC ⊥AB ，∴.由题意可知，CD=4cm. 设半径为x cm ，则.在Rt △BOD 中，由勾股定理得：∴.∴.即这个圆形截面的半径为10cm.。
第22讲 圆的基本性质1．圆的有关概念考试内容考试要求圆的定义 定义1：在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．b定义2：圆是到定点的距离 定长的所有点组成的图形．弦 连结圆上任意两点的 叫做弦．直径 直径是经过圆心的 ，是圆内最 的弦． 弧圆上任意两点间的部分叫做弧，弧有____________________之分，能够完全重合的弧叫做____________________.a等圆 能够重合的两个圆叫做等圆. 同心圆圆心相同的圆叫做同心圆．2.圆的对称性考试内容考试要求圆的对称性 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过 的直线． c圆是中心对称图形，对称中心为____________________.圆心角、弧、弦之间的关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中有一组量 ，那么它们所对应的其余各组量也分别相等．3.圆周角考试内容考试要求圆周角的顶点在圆上，并且 都和圆相交的角叫做圆周角．b定义圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的．c 推论1 同弧或等弧所对的圆周角．推论2半圆(或直径)所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是．推论3 圆内接四边形的对角．4.点与圆的位置关系考试内容考试要求位置关系点在圆内点在圆上点在圆外b 数量(d与r)的大小关系(设圆的半径为r，点到圆心的距离为d)_________________ _________________ _____________考试内容考试要求基本思想分类讨论思想：在很多没有给定图形的题目中，常常不能根据题目的条件把图形确定下来，因此会导致解的不唯一性．对于这种多解题必须要分类讨论，分类时要注意标准一致，不重不漏．如：圆周角所对的弦是唯一的，但是弦所对的圆周角不是唯一的．c 基本方法辅助线：有关直径的问题，如图，常作直径所对的圆周角．1．(2016·绍兴)如图，BD 是⊙O 的直径，点A 、C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB ＝60°，则∠BDC 的度数是( )A ．60°B ．45°C ．35°D ．30°2．(2015·宁波)如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，∠A ＝72°，则∠BCO 的度数为( )A ．15°B ．18°C ．20°D ．28°3．(2017·绍兴)如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A 在⊙O 上，边AB ，AC 分别与⊙O 交于点D ，E ，则∠DOE 的度数为____________________．第3题图 第4题图4．(2017·湖州)如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC.以AB 为直径作半圆O ，交BC 于点D.若∠BAC＝40°，则AD ︵的度数是____________________度．【问题】如图，四边形ABCD 内接于⊙O，CE 是直径．(1)观察图形，你能得到哪些信息？(2)若∠ADC＝130°，则∠B＝______，∠AOC ＝______，AE ︵的度数为____； (3) 若AC ＝6，AO ＝5，则AE ＝________．【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理圆的有关性质，弦、弧、圆心角的关系定理及推论，圆周角定理，圆的内接四边形等．类型一 圆的有关概念例1 下列语句中，正确的是__________________．①半圆是弧；②长度相等的弧是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是对称轴；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径；⑥三个点确定一个圆；⑦直径是圆中最长的弦；⑧一个点到圆的最小距离为6cm ，最大距离为9cm ，则该圆的半径是1.5cm 或7.5cm ；⑨⊙A 的半径为6，圆心A(3，5)，则坐标原点O 在⊙A 内．【解后感悟】圆中相关概念经常会出现错误，需要辨析，如在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等．1．(1)A 、B 是半径为5cm 的⊙O 上两个不同的点，则弦AB 的取值范围是( ) A ．AB>0 B ．0<AB<5 C ．0<AB<10 D ．0<AB ≤10 (2)下列说法中，正确的是( )A ．同一条弦所对的两条弧一定是等弧B ．相等圆周角所对弧相等C ．正多边形一定是轴对称图形D ．三角形的外心到三角形各边的距离相等(3) (2017·河北模拟)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，以顶点D 为圆心作半径为r 的圆，若要求另外三个顶点A 、B 、C 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r 的取值范围是____________________．类型二圆的内接多边形例2(2017·陕西模拟)如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F.(1)若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC；(2)若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；(3)若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β.请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．【解后感悟】本题主要考查圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．2．(1)(2015·杭州)圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝70°，则∠C＝( )A．20°B．30°C．70°D．110°(2)如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为( )A．45°B．50°C．60°D．75°(3)(2015·南京)如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B＋∠E＝____________________.类型三圆心角与圆周角的关系例3(1)如图，AB为⊙O的直径，诸角p，q，r，s之间的关系①p＝2q；②q＝r；③p ＋s＝180°中，正确的是( )A．只有①和②B．只有①和③C．只有②和③D．①，②和③(2)(2015·台州)如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC.①若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；②求证：∠1＝∠2.【解后感悟】解题利用图形联想，揭示数量关系，如等腰三角形、圆周角定理、圆内接四边形等知识；圆周角定理及其推论建立了圆心角、弦、弧、圆周角之间的关系，最终实现了圆中的角(圆心角和圆周角)的转化；当图中出现同弧或等弧时，常常考虑到弧所对的圆周角或圆心角，“一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半”，通过弧把角联系起来．注意掌握数形结合思想的应用．3．(1)(2017·衢州模拟)如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O 的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD等于____________________．(2)(2017·巴中模拟)如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE 上，连结AE，∠E＝36°，则∠ADC的度数是____________________．(3)(2017·潍坊模拟)如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD.已知DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，则弦BC的弦心距等于____________________．类型四圆的综合运用例4(2017·台州)如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点(不与B，C 重合)，PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．(1)求证：△APE是等腰直角三角形；(2)若⊙O的直径为2，求PC2＋PB2的值．【解后感悟】解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，注意数形结合的应用．4．(2017·丽水)如图，在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E.(1)求证：∠A＝∠ADE；(2)若AD＝16，DE＝10，求BC的长．【探索研究题】(2017·杭州)如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上(不与点A，B重合)，点D 为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O 交于点G，设∠GAB＝α，∠ACB＝β，∠EAG＋∠EBA＝γ，(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：α30°40°50°60°β120°130°140°150°γ150°140°130°120°猜想：β关于α的函数表达式，γ关于α的函数表达式，并给出证明；(2)若γ＝135°，CD＝3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．【方法与对策】本题涉及圆周角定理，勾股定理，解方程，垂直平分线的性质等知识，这样要联想，并及时调整图形，揭示数量关系特征，从而解决问题，这是中考命题的热点．【忽视圆周角顶点可能在优弧上，也可能在劣弧上】一条弦的长度等于它所在的圆的半径，那么这条弦所对的圆周角的度数是________．参考答案第22讲圆的基本性质【考点概要】1．等于线段弦长优弧、半圆、劣弧等弧2．圆心圆心相等 3.两边一半相等直角直径互补 4.d＜r d＝r d ＞r【考题体验】1．D 2.B 3.90° 4.140【知识引擎】【解析】(1)由圆心角、圆周角定理，圆的内接四边形可知：∠B＝∠E＝12∠AOC, ∠B＋∠D ＝180°， ∠CAE ＝90°等； (2)50°，100°，80°； (3)8.【例题精析】 例1 ①④⑦⑧⑨例2 (1)∠E＝∠F，∵∠DCE ＝∠BCF，∴∠ADC ＝∠E＋∠DCE，∠ABC ＝∠F＋∠BCF，∴∠ADC ＝∠ABC； (2)由(1)知∠ADC＝∠ABC，∵∠EDC ＝∠ABC，∴∠EDC ＝∠ADC，∴∠ADC ＝90°，∴∠A ＝90°－42°＝48°； (3)连结EF ，如图，∵四边形ABCD 为圆的内接四边形，∴∠ECD ＝∠A，∵∠ECD ＝∠1＋∠2，∴∠A ＝∠1＋∠2，∵∠A ＋∠1＋∠2＋∠E＋∠F ＝180°，∴2∠A＋α＋β＝180°，∴∠A ＝90°－α＋β2. 例3 (1)A ；(2)①∵BC＝CD ，∴BC ︵＝DC ︵.∴∠BAC ＝∠CAD＝∠CBD.∵∠CBD＝39°，∴∠BAC ＝∠CAD＝39°.∴∠BAD ＝∠BAC＋∠CAD＝78°.②∵EC ＝BC ，∴∠CBE ＝∠CEB，∵∠CBE ＝∠1＋∠CBD，∠CEB ＝∠2＋∠BAC ，又∵∠BAC＝∠CBD，∴∠1＝∠2.例4 (1)∵AB＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠C ＝∠ABC＝45°，∴∠AEP ＝∠ABP＝45°，∵PE 是直径，∴∠PAE ＝90°，∴∠APE ＝∠AEP＝45°，∴AP ＝AE ，∴△PAE 是等腰直角三角形. (2)作PM⊥AC 于M ，PN ⊥AB 于N ，则四边形PMAN 是矩形，∴PM ＝AN ，∵△PCM ，△PNB 都是等腰直角三角形，∴PC ＝2PM ，PB ＝2PN ，∴PC 2＋PB 2＝2(PM 2＋PN 2)＝2(AN 2＋PN 2)＝2PA 2＝PE 2＝22＝4.(也可以证明△ACP≌△ABE，△PBE 是直角三角形)【变式拓展】1．(1)D (2)C (3)3<r<5 2.(1)D (2)C (3)215° 3.(1)32° (2)54° (3)3 4.(1)连结OD ，∵DE 是切线，∴∠ODE ＝90°，∴∠ADE ＋∠BDO＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠B＝90°，∵OD ＝OB ，∴∠B ＝∠BDO，∴∠ADE＝∠A. (2)连结CD.∵∠ADE＝∠A，∴AE ＝DE ，∵BC 是⊙O 的直径，∠ACB ＝90°，∴EC 是⊙O 的切线，∴ED ＝EC ，∴AE ＝EC ，∵DE ＝10，∴AC ＝2DE ＝20，在Rt △ADC 中，DC ＝202－162＝12，设BD ＝x ，在Rt △BDC 中，BC 2＝x 2＋122，在Rt △ABC 中，BC 2＝(x ＋16)2－202，∴x 2＋122＝(x ＋16)2－202，解得x ＝9，∴BC ＝122＋92＝15.浙江省中考数学总复习第五章基本图形(二)第22讲圆的基本性质讲解篇11 / 11【热点题型】【分析与解】(1)猜想：β＝α＋90°，γ＝－α＋180°，连结OB ，∴由圆周角定理可知：2∠BCA＝360°－∠BOA，∵OB ＝OA ，∴∠OBA ＝∠OAB＝α，∴∠BOA ＝180°－2α，∴2β＝360°－(180°－2α)，∴β＝α＋90°，∵D 是BC 的中点，DE ⊥BC ，∴OE 是线段BC 的垂直平分线，∴BE ＝CE ，∠BED ＝∠CED，∠EDC ＝90°，∵∠BCA ＝∠EDC＋∠CED，∴β＝90°＋∠CED，∴∠CED ＝α，∴∠CED ＝∠OBA＝α，∴O 、A 、E 、B 四点共圆，∴∠EBO ＋∠EAG＝180°，∴∠EBA ＋∠OBA＋∠EAG＝180°，∴γ＋α＝180°；(2)当γ＝135°时，此时图形如图所示，∴α＝45°，β＝135°，∴∠BOA ＝90°，∠BCE ＝45°，由(1)可知：O 、A 、E 、B 四点共圆，∴∠BEC ＝90°，∵△ABE 的面积为△ABC的面积的4倍，∴AE AC ＝4，∴CEAC＝3，设CE ＝3x ，AC ＝x ，由(1)可知：BC ＝2CD ＝6，∵∠BCE ＝45°，∴CE ＝BE ＝3x ，∴由勾股定理可知：(3x)2＋(3x)2＝62，x ＝2，∴BE ＝CE ＝32，AC ＝2，∴AE ＝AC ＋CE ＝42，在Rt △ABE 中，由勾股定理可知：AB 2＝(32)2＋(42)2，∴AB ＝52，∵∠BAO ＝45°，∴∠AOB ＝90°，在Rt △AOB 中，设半径为r ，由勾股定理可知：AB 2＝2r 2，∴r ＝5，∴⊙O 半径的长为5.【错误警示】30°或150°。
与圆有关的位置关系1.能根据点到圆心的距离和半径的大小关系确定点与圆的位置关系；2.能根据圆心到直线的距离和半径的大小关系确定直线与圆的位置关系；3.能根据两圆的圆心距与两圆的半径之间的数量关系判定两圆的位置关系．1.点与圆的位置关系的判定；2.直线与圆的位置关系的判定.点与圆的位置关系1.点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP = d，则有：点P在圆内⇔d<r点P在圆上⇔d=r点P在圆外⇔d>r【注意】点与圆的位置关系是由点P到圆心的距离ｄ和圆的半径ｒ的数量关系决定的，在运用这一性质时应注意“形”与“数”之间的转化．2.确定圆的条件：不在同一条直线上的三点确定一个圆．【注意】可以让学生通过作图进行归纳总结“不在同一条直线上的三点确定一个圆”，熟练掌握其方法，经过一点或经过两点作圆，因为圆心不能唯一确定，半径也就不能确定．所以作出的圆都有无限多个．“不在同一直线上的三点确定一个圆”，这个“确定”的含义是“有且只有”．3.外接圆与外心：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心，三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．【注意】要注意的是，锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心是三角形斜边中点；钝角三角形的外心在三角形的外部，反之成立．例1.矩形ABCD中，AB=8，BC=35，点P在边AB上，且BP=3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）A.点B、C均在圆P外B.点B在圆P外、点C在圆P内C.点B在圆P内、点C在圆P外D.点B、C均在圆P内练习1.如图，在Rt⊙ABC中⊙ACB=90°，AC=6，AB=10，CD是斜边AB上的中线，以AC 为直径作⊙O，设线段CD的中点为P，则点P与⊙O的位置关系是（）A BA.点P 在⊙O 内B.点P 在⊙O 上C.点P 在⊙O 外D.无法确定 练习2.如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1， 点A 坐标为122⎛ ⎝⎭，，则点A 与⊙O 的位置关系是（ ）A.点A 在⊙O 外B.点A 在⊙O 上C.点A 在⊙O 内D.无法判断 练习3.点P 到⊙O 的圆心O 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，d 与r 的值是一元二次方程的两个根，则点P 与⊙O 的位置关系为（ ）A.点P 在⊙O 内B.点P 在⊙O 外C.点P 在⊙O 上D.点P 不在⊙O 上点与圆心之间的距离d 和该圆的半径r 有三种不同的大小关系，则点与圆也有三种不同的位置关系，所以在判断点与圆的位置关系时，只需要判断点到圆心的距离与半径的大小即可.例2.如图所示，一圆弧过方格的格点A 、B 、C ，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A 的坐标为（-2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）A.（-1，2）B.（1，-1）C.（-1，1）D.（2，1）练习1.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）0232=+-xxA.点PB.点QC.点RD.点M练习2.如图，小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A.第⊙块B.第⊙块C.第⊙块D.第⊙块三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心.例3.下列说法中，正确的有（）①三点可以确定一个圆；⊙ 三角形的外心是三角形三边中线的交点；⊙ 锐角三角形的外心在三角形外；⊙ 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等．A.1个 B.2个 C.3个 D.4个练习1.有如下结论：⊙一个圆只有一个内接三角形；⊙一个三角形只有一个外接圆；⊙直角三角形的外心是它斜边的中点；⊙等边三角形的外心是它角平分线的交点．A.1个B.2个C.3个D.4个练习2.正三角形的外接圆的半径和高的比为( )A.1⊙2B.2⊙3C.3⊙4D.1⊙3练习3.已知：如图，⊙O是⊙ABC的外接圆，D为CB延长线上一点，⊙AOC=130°，则⊙ABD 的度数为（）A.40°B.50°C.65°D.100°不在同一直线上三点才可以作一个圆，在同一直线上三点不能作一个圆，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，锐角三角形的外心在三角形的内部.直线与圆的位置关系1.直线与圆的三种位置关系：【注意】判断直线与圆的位置关系时，既可以用直线与圆的公共点个数来判断，也可以用圆心到直线的距离d与r的大小关系来判定．要注意让学生根据不同的条件准确快速地判断直线与圆的位置关系．2.切线的判定方法（1）定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线．（2）数量法：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线（d=r）．（3）判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.3.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．例1.已知⊙O的半径为3cm，点P是直线l上一点，OP长为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（）A.相交B.相切C.相离D.相交、相切、相离都有可能练习1.如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于点A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在的直线向下平移____cm时与⊙O相切.练习2.如图，直线AB、CD相交于点O，⊙AOD=30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA 上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（）秒钟后⊙P与直线CD相切．A．4B．8C．4或6D．4或8练习3.如图，⊙ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE 为直径的圆与BC的位置关系（）A.相交B.相切C.相离D.无法确定练习4.如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y=x与⊙O的位置关系是（）A.相离B.相切C.相交D.以上三种情况都有可能判断直线与圆的位置关系时，既可以用直线与圆的公共点个数来判断，也可以用圆心到直线的距离d与r的大小关系来判定．例2.如图，在⊙O中，AB是直径，AD是弦，⊙ADE = 60°，⊙C = 30°．判断直线CD 是否为⊙O的切线，并说明理由．练习1.已知：如图，O 为ABC ∆的外接圆，BC 为O 的直径，作射线BF ，使得BA 平分CBF ∠，过点A 作AD BF ⊥于点D ．求证： 直线DA 为⊙O 的切线．练习2.已知：如图，AB 为⊙O 的弦，过点O 作AB 的平行线，交⊙O 于点C ，直线OC 上一点D 满足⊙D=⊙ACB.判断直线BD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论．练习3.如图，D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB=AD=AO，求证：BD是⊙O的切线．练习4.已知：如图，⊙O是⊙ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊙DC，交DC的延长线于点E，且AC平分⊙EAB．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若⊙ADC=30°，AC=6，求BC的长．（1）应用判定定理判定圆的切线时，必须先弄清“题设”中的两个条件：一是经过半径的外端，二是垂直于这条半径，这两者缺一不可；（2）切线的判定定理中，只有证明是切线后，这个交点才能称为切点；（3）证明切线常见题型：⊙已知交点：连半径、证垂直；⊙交点未知：作垂直、证半径．例3.等腰⊙ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，过点D作⊙O的切线交AB于点E，交AC的延长线与点F．求证：EF⊙AB．练习1.如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线l，过点B 作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E．（1）求⊙AEC的度数；（2）求证：四边形OBEC是菱形．归纳切线的性质：(1)切线和圆有唯一公共点（切线的定义）；(2)圆心到直线的距离等于圆的半径（判定方法(2)的逆命题）；(3)切线垂直于过切点的半径（切线的性质定理）；(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点（推论1）；(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心（推论2）．例4.如图，圆O 与正方形ABCD 的两边AB 、AD 相切，且DE 与圆O 相切于E 点．若圆O 的半径为5，且AB=11，则DE 的长度为（ ）A ．5B ．6C ．√30D ．112练习1.如图，在Rt⊙AOB 中，OA=OB=3，⊙O 的半径为1，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则切线PQ的最小值为．练习2.对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在两个点A ，B ，使得⊙APB=60°，则称P 为⊙C 的关联点.已知点D （21，），E （0，-2），F （32，0） （1）当⊙O 的半径为1时，⊙在点D ，E ，F 中，⊙O 的关联点是__________；⊙过点F 作直线交y 轴正半轴于点G ，使⊙GFO=30°，若直线上的点P （m ，n ）是⊙O 的关联点，求m 的取值范围；（2）若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径的取值范围.21利用直线与圆相切的性质可以处理一些较综合的问题，其中相切的性质可以为解题提供垂直的条件.圆与圆的位置关系1.圆和圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含2.设两圆圆心距为d，两圆半径分别为R，r（R>r）由圆和圆的位置关系及圆心距d与R，r（R>r）之间的关系得：⇔>+；两圆外离d R r⇔=+；两圆外切d R r⇔-<<+；两圆相交R r d R r⇔=-；两圆内切d R r⇔≤<-两圆内含0d R r3.相交两圆性质定理: 两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的公共弦．4.相切两圆的性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上．例1.两圆的半径分别为3和5，圆心距为7，则两圆的位置关系是（ ）A.内切B.相交C.外切D.外离练习1.已知⊙O 1与⊙O 2相交，它们的半径分别是4，7，则圆心距12O O 可能是（ ）A.2B.3C.6D.12练习2.已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别是方程2430x x -+=的两根，且两圆的圆心距等于4，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是（ ）A.外离B.外切C.相交D.内切练习3.若两个圆相切于A 点，它们的半径分别为10cm 、4cm ，则这两个圆的圆心距为( )A ．14cmB ．6cmC ．14cm 或6cmD ．8cm练习4.定圆O 的半径是4cm ，动圆P 的半径是2cm ，动圆在直线l 上移动，当两圆相切时，OP 的值是（ ）A.2cm 或6cmB.2cmC.4cmD.6cm由圆和圆的位置关系及圆心距d 与R ，r （R>r ）之间的关系得：两圆外离d R r ⇔>+； 两圆外切d R r ⇔=+；两圆相交R r d R r ⇔-<<+；两圆内切d R r ⇔=-；两圆内含0d R r ⇔≤<-.例2.已知：如图，⊙O 1与⊙O 2外切于A 点，直线l 与⊙O 1、⊙O 2分别切于B ，C 点，若⊙O 1的半径r 1=2cm ，⊙O 2的半径r 2=3cm ．求BC 的长．练习1.如图为某机械的截面图，相切的两圆⊙O 1，⊙O 2均与⊙O 的弧AB 相切，且O 1O 2⊙l 1（l 1为水平线），⊙O 1，⊙O 2的半径均为30mm ，弧AB 的最低点到l 1的距离为30mm ，公切线l 2与l 1间的距离为100mm ．则⊙O 的半径为（ ）A.70mmB.80mmC.85mmD.100mm练习2.如图，⊙O 1，⊙O 2，⊙O 3两两相切,AB 为⊙O 1，⊙O 2的公切线，AB 为半圆，且分别与三圆各切于一点．若⊙O 1，⊙O 2的半径均为1，则⊙O 3的半径为（ ）A.1B. 121 1两圆相切有两种情况：内切和外切，注意在处理两圆相切问题时需要分类讨论.例3.已知：如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B 两点，过A 点的割线分别交两圆于C ，D ，弦CE⊙DB ，连接EB ，试判断EB 与⊙O 2的位置关系，并证明你的结论．练习1.已知：相交两圆的公共弦的长为6cm ，两圆的半径分别为cm 23，cm 5，求这两个圆的圆心距．练习2.已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，连接EB并延长交⊙O1于点C，直线CA交⊙O2于点D．（1）如图，当点D与点A不重合时，试猜想线段EA=ED是否成立？证明你的结论；（2）当点D与点A重合时，直线AC与⊙O2有怎样的位置关系？此时若BC=2，CE=8，求⊙O1的直径．两圆相交的重点是对相交弦的处理.本节课主要学习和圆相关的位置关系，其中点和圆的位置关系，圆和圆的位置关系作为了解部分，能简单判断出位置关系即可．而直线和圆的位置关系作为本节的重难点需要着重学习，尤其是切线的性质和判定定理，需要牢固掌握．。
第9讲圆的基本性质[学生用书P51]对称性的启示在具有对称性的平面图形中，圆这个最简单的曲线最令人惊叹．它是唯一具有无穷多条对称轴的轴对称图形，它又是特殊的中心对称图形．同学们都知道，中心对称图形绕其对称中心旋转180°后所得到的图形跟原图形重合，而将圆绕其中心旋转任意一个角度后所得的图形跟原图形重合，这是圆的独特性质．所以圆被称为最完美的曲线．同学们也许见过这样一道智力游戏题：设有数量足够多的各种面值的硬币，让两个人轮流的在圆形桌面上摆硬币，每次摆一个，个个不能互相重叠，也不能有一部分落在桌面的边缘外．这样，经过充分多次以后，谁先摆不下硬币就算输．试证：先摆的人有办法使对方一定输．先摆的人为什么能稳操胜券呢？就因为圆形桌面是中心对称图形．“先手”只要把第一个硬币摆在桌面的中心，以后不管“后手”把硬币摆在哪里，“先手”总可以把相同面值的硬币摆在与“后手”所摆硬币(关于中心)对称的地方．这样，只要“后手”有地方摆得下，“先手”也总可以摆得下．因此“后手”准输．这里仅仅利用了圆的中心对称性质．因此，本题中把圆形桌面改成矩形桌面、椭圆形桌面或其他具有中心对称性的图形的桌面，问题的结论仍然不变．同学们大概不会不知道我国著名的“太极图”(图①)吧！实际上，它是把一个圆分成阴阳两个部分而成的，因而具有“阴”和“阳”对立统一的深刻含义．太极图的画法：如图②所示，在一个大圆内分别以同一直径的两个半径为直径，做两个小圆，然后擦掉虚线所示的两个半圆，就画成一个太极图．类型之一圆的概念例1[镇海区校级自主招生]如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2，AB＝1，BC＝3.若此梯形的顶点A，B恰好在圆O的直径MN上，C，D在圆O上，则圆O的直径等于．【思路生成】首先连结OC，OD，然后设OC＝OD＝x，OB＝y，由在Rt△OAD 中，OA2＋AD2＝OD2，在Rt△OBC中，OB2＋BC2＝OC2，可得方程组即可求得圆O的直径．答图【解析】 如答图，连结OC ，OD ，∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，∴∠OAD ＝90°，∠OBC ＝90°，设OC ＝OD ＝x ，OB ＝y ，在Rt △OAD 中，OA 2＋AD 2＝OD 2，在Rt △OBC 中，OB 2＋BC 2＝OC 2，∵AD ＝2，AB ＝1，BC ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋9＝x 2，（y ＋1）2＋4＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝2，∴圆O 的直径等于213.圆的定义：1．在同一平面内，线段OP 绕着它固定的一个端点O 旋转一周，另一端点P 所经过的封闭曲线叫做圆．2．圆是到定点距离等于定长的点的集合．圆的基本性质：1．圆是轴对称图形：任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．2．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．3．同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也分别相等．确定圆的条件：确定一个圆必须明确两个要素：①圆心(决定圆的位置)；②半径(决定圆的大小)．点和圆的位置关系：点P 在圆内⇔d ＜r ；点P 在圆上⇔d ＝r ；点P 在圆外⇔d ＞r .1．[龙岩校级自主招生]如图，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，∠AOB 与∠C 互补，∠COD 与∠A 相等，则∠AOB 的度数是__108°__．【解析】 ∵∠AOB 与∠C 互补，∴∠C ＝∠D ＝180°－∠AOB ，∴∠COD ＝180°－2∠C ＝2∠AOB －180°，∵∠A ＝∠B ＝12(180°－∠AOB )，∠COD ＝∠A ，∴2∠AOB －180°＝12(180°－∠AOB )，解得∠AOB ＝108°.垂径定理1．与弦有关的题目，要求解边与角时，连结半径构造等腰三角形是常用的辅助线．2．求圆中的弦长时，通常作辅助线，由半径、弦的一半以及弦心距构成直角三角形运用勾股定理进行求解．类型之二垂径定理例2[上海竞赛题]如图，正方形ABCD的顶点A，D和正方形JKLM的顶点K，L在一个以5为半径的圆O上，点J，M在线段BC上，若正方形ABCD 的边长为6，求正方形JKLM的边长．【思路生成】作ON⊥AD于N，OH⊥KL于H，连结OD，OL，根据勾股定理和垂径定理求出ON，列出方程，解方程即可．答图解：如答图，过点O作直线OP⊥BC，分别交BC，KL，AD于点P，H，N，则ON⊥AD，OH⊥KL，连结DO，LO，在Rt△NOD中，ON＝OD2－DN2＝52－32＝4，OP＝PN－ON＝2.设HL＝x，则PH＝KL＝2x，OH＝OP＋PH＝2＋2x.在Rt△HOL中，x2＋(2x＋2)2＝52，解得x1＝－3(舍去)，x2＝75，∴正方形JKLM的边长为14 5.2．[芜湖校级自主招生]如图，三个全等的正方形内接于圆，正方形的边长为16，则圆的半径为(D)A．333 B．16 5C．16 2 D．517【解析】如答图，设圆心为O，连结OC，OD，延长BO与正方形的边交于点A，答图设圆心与上面正方形的距离为x，则BO＝16－x，AD＝8，AO＝16＋x，在Rt△OBC与Rt△OAD中，∵OC＝OD，∴BC2＋OB2＝AO2＋AD2，即162＋(16－x)2＝(16＋x)2＋82，解得x＝3，∴OB＝16－3＝13，∴OC＝BC2＋OB2＝162＋132＝517.3．[《时代学习报》数学文化节试题](1)如图1，多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成，⊙O过点A，D，E三点，求⊙O的半径；(2)如图2，若多边形ABDEC是由一个等腰三角形和一个矩形组成，AB＝AC＝BD＝2，⊙O过A，D，E三点，则⊙O的半径是否改变？答图解：(1)如答图，过A作BC的垂线交DE于F点，∵△ABC为等边三角形，∴AF平分BC，∵四边形BDEC为正方形，∴AF也垂直平分DE，∴过点A，D，E三点的圆的圆心O在AF上，连结AD，OD，则OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，又∵BC＝BD＝BA，∴∠BAD＝∠BDA，而AF∥BD，∴∠OAD＝∠BDA，∴∠ODA＝∠BAD，∴AB∥OD，∴四边形ABDO为菱形，∴AO＝AB＝2，即⊙O的半径为2；(2)⊙O的半径不改变．因为AB＝AC＝BD＝2，此题的求法和(1)一样，⊙O的半径为2.圆的基本性质中常见的基本图形类型之三垂径定理的应用例3[黑龙江竞赛题]如图，半径为2的圆O中，弦AB与弦CD垂直相交于P，连结OP，若OP＝1，求AB2＋CD2的值．【思路生成】解互相垂直的两条弦问题，常需多次运用垂径定理．解：如答图，过O 点作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F ，连结OD ，OA ，则AE ＝BE ，CF ＝DF .答图∵OE 2＝AO 2－AE 2＝4－14AB 2，OF 2＝OD 2－FD 2＝4－14CD 2，∴OE 2＋OF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－14AB 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－14CD 2＝PF 2＋OF 2＝OP 2＝12， 即4－14AB 2＋4－14CD 2＝1，故AB 2＋CD 2＝28.对称是一种美，它展示出整体的平衡与和谐．等腰三角形，正方形，圆，抛物线，双曲线等都是轴对称图形，它们能生成从形式到结果完美的图形．4．[岳麓区自主招生]如图，圆O 中，弦AC ⊥BD ，且OE ⊥CD 于E ，若AB 的长是10，则OE 的长是__5__．答图【解析】 如答图，作直径DF ，连结CF ，则∠DCF ＝90°，∠1＋∠2＝90°， ∵AC ⊥BD ，∴∠3＋∠4＝90°，∵∠2＝∠4，∴∠1＝∠3，∴AB ︵＝CF ︵，∴AB ＝CF ＝10.∴OE ⊥CD 于点E ，∴CE ＝DE .∵OD ＝OF ，∴OE ＝12CF ＝5.5．[第3届世界数学团体锦标赛试题]如图，圆O 中两条互相垂直的弦AB 和CD 的弦心距是3和2，它们将圆O 分成四部分：S 1，S 2，S 3，S 4，求(S 1＋S 3)－(S 2＋S 4)．解：如答图，以O 为对称中心，在⊙O 内分别作与AB ，CD 对称的弦A ′B ′，C ′D ′.观察此图，由题设条件，及圆的对称性可知(S 1＋S 3)－(S 2＋S 4)＝阴影长方形的面积＝4×6＝24.答图圆心角定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．1°弧的概念1°圆心角所对的弧叫做1°弧．类型之四 圆心角定理例4 [陕西竞赛题]如图，已知⊙O 的半径为R ，C ，D 是直径AB 同侧圆周上的两点，AC ︵的度数为96°，BD︵的度数为36°，动点P 在AB 上，则CP ＋PD 的最小值为．【解析】 如答图，作点D 关于AB 的对称点D ′，连结CD ′，由轴对称确定最短路线问题，CD ′与AB 的交点即为所求的点P ，CD ′的长度为PC ＋PD 的最小长度，答图∵AC ︵度数为96°，∴BC ︵的度数为180°－96°＝84°，连结OD ′，∵BD ︵＝36°，∴BD ′︵＝36°，∴CD ′︵＝84°＋36°＝120°，即∠COD ′＝120°，过点O 作OE ⊥CD ′，则∠COE ＝12∠COD ′＝60°，OE 垂直平分CD ′，∴CD ′＝2CE ＝2×32R ＝3R ，即CP ＋PD 的最小值为3R .6．[余姚自主招生]如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB ，CD ，EF ，如果AB ︵＋CD ︵＝EF ︵，那么AB ＋CD 与EF 的大小关系是( C )A ．AB ＋CD ＝EFB ．AB ＋CD <EFC ．AB ＋CD >EF D ．大小关系不确定【解析】 如答图，在EF ︵上取一点M 使EM ︵＝CD ︵，则FM ︵＝AB ︵，∴AB ＝FM ，CD＝EM，在△MEF中，FM＋EM>EF，∴AB＋CD>EF.答图辅助线规律已知弧的中点，连结半径，构造相等圆心角．基本概念三角形的外接圆：经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形的外心：三角形外接圆的圆心．圆的内接三角形：这个三角形叫做圆的内接三角形．三角形外心是三角形三条边的垂直平分线的交点．三点确定一个圆：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．7．[余姚校级自主招生]如图，⊙O的直径AB与弦EF相交于点P，交角为45°，若PE2＋PF2＝8，则AB等于__4__．答图【解析】如答图，作OG⊥EF于G，连结OE，根据垂径定理，可设EG＝FG＝x，则PE＝x＋PG，PF＝x－PG，又∵PE2＋PF2＝8，∴(x＋PG)2＋(x－PG)2＝8，整理得2x2＋2PG2＝8，x2＋PG2＝4，∵交角为45°，∴OG＝PG，∴OE2＝OG2＋EG2＝4，解得OE＝2，即圆的半径是2，∴直径AB是4.类型之五三角形的外接圆例5已知，如图1，△ABC中，BA＝BC，D是平面内不与A，B，C重合的任意一点，∠ABC＝∠DBE，BD＝BE.(1)求证：△ABD≌△CBE；(2)如图2，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论．图1 图2解：(1)证明：∵∠ABC ＝∠DBE ，∴∠ABC ＋∠CBD ＝∠DBE ＋∠CBD ，∴∠ABD ＝∠CBE ，在△ABD 与△CBE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BA ＝BC ，∠ABD ＝∠CBE ，BD ＝BE ，∴△ABD ≌△CBE ；(2)四边形BDCE 是菱形，证明如下：由(1)知△ABD ≌△CBE ，∴CE ＝AD ，∵点D 是△ABC 外接圆圆心，∴DA ＝DB ＝DC ，又∵BD ＝BE ，∴BD ＝BE ＝CE ＝CD ，∴四边形BDCE 是菱形．8．[四川竞赛题]已知在△ABC中，AB＝AC＝43，高AD＝4，则△ABC的外接圆的半径为(D)A．3 B．4 C．5 D．6【解析】由于AB＝AC，所以其外接圆的圆心在三角形的高上，如答图所示，答图∵AB＝43，AD＝4，AD⊥BC，∴BD＝（43）2－42＝42，可设圆的半径为x，则在Rt△BOD中，(4－x)2＋(42)2＝x2，解得x＝6.9．[雨花区校级自主招生]如图所示，四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝DB＝p，BC＝q，则AC＝．(用p，q表示)答图 【解析】 如答图，延长CD 交半径为p 的⊙D 于点E ，连结AE .显然A ，B ，C 在⊙D 上．∵AB ∥CD ，∴BC ︵＝AE ︵，∴BC ＝AE ＝q .在△ACE 中，∠CAE ＝90°，CE ＝2p ，AE ＝q ，故AC ＝CE 2－AE 2＝4p 2－q 2.10．[诸暨校级自主招生]如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AC ＝BC ，D 为AB ︵上一点，延长DA 至点E ，使CE ＝CD .(1)求证：AE ＝BD ；(2)若AC ⊥BC ，求证：AD ＋BD ＝2CD .证明：(1)∵△ABC 是⊙O 的内接三角形，AC ＝BC ，∴∠ABC ＝∠BAC ， ∵CE ＝CD ，∴∠CDE ＝∠CED ，又∵∠ABC ＝∠CDE ，∴∠ABC ＝∠BAC ＝∠CDE ＝∠CED ，∴∠ACB ＝∠DCE ，∴∠BCD ＝∠ACE ，在△AEC 和△BDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACE ＝∠BCD ，CE ＝CD ，∴△AEC ≌△BDC (SAS )，∴AE ＝BD ；(2)∵AC ⊥BC ，∴∠ACB ＝90°，∴∠DCE ＝90°，又∵CD ＝CE ，∴△DCE 为等腰直角三角形，∴DE ＝2CD ，又∵DE ＝AD ＋AE 且AE ＝BD ，∴AD ＋BD ＝2CD .例6 [希望杯培训题]如图所示，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝80°，在△ABC 内取一点M ，使得∠MBA ＝30°，∠MAB ＝10°，那么∠AMC 的度数是__70°__．答图【解析】如答图，作△ADB≌△AMB，连结CD，MD，∴∠MBD＝∠MBA＋∠DBA＝2∠MBA＝60°，∠AMB＝∠ADB＝180°－10°－30°＝140°，而∠ACB＝80°，AC＝BC，且180°－140°＝40°＝12×80°，∴D就在以C为圆心，AC为半径的圆上，∴AC＝DC＝BC，∵△MBD为等边三角形，∴BM＝DM，又CM＝CM，∴△CMD≌△CMB，∴∠CMD＝∠CMB.而∠CMD＋∠CMB＋∠BMD＝360°，∠BMD＝60°，∴∠CMD＝∠CMB＝150°，∠AMC＝360°－∠CMB－∠AMB＝360°－150°－140°＝70°.构造圆，利用圆的基本性质解题.[学生用书P28]【思维入门】1．[潍坊中考]点A ，C 是半径为3的圆周上两点，点B 为AC ︵的中点，以线段BA ，BC 为邻边作菱形ABCD ，顶点D 恰好在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为( D ) A.5或2 2 B.5或2 3 C.6或2 2 D.6或2 3【解析】 分两种情况讨论：如答图①所示，当对角线BD ＝2时，连结OA ，AC 交BD 于点E ，则AE ⊥BD ，BE ＝ED ＝1，OE ＝2，根据勾股定理，得AE 2＝OA 2－OE 2＝9－4＝5，AD 2＝AE 2＋ED 2＝6，∴AD ＝6，即菱形的边长为6；如答图②所示，当对角线BD ＝4时，同理，有OE ＝OD ＝1，由勾股定理，得AE 2＝OA 2－OE 2＝9－1＝8，AD 2＝AE 2＋ED 2＝12，∴AD ＝23，即菱形的边长为2 3.综上可知，该菱形的边长为6或2 3.①②答图2．[江苏竞赛题]P是圆O内一点，圆O的半径为15，P点到圆心的距离为9，通过P点、长度是整数的弦的条数是(D)A．5 B．7 C．10 D．12【解析】在⊙O中，半径是15，点P到圆心的距离为9，则过点P最长的弦是过点P的直径，长度为30.过点P最短的弦是垂直于OP的弦，这条弦长为24.最长的弦有一条，最短的弦有一条，而弦长分别是25，26，27，28，29的弦各有两条，所以过P点，长度是整数的弦一共有1＋2×5＋1＝12条．3．[青羊区自主招生]如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝22，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连结EF，则线段EF长度的最小值为(C)A．2 B. 2 C. 3 D．3【解析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高线时，直径AD最短，如答图，连结OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，答图∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，AB＝22，∴AD＝BD＝2，即此时圆的直径为2，由圆周角定理可知∠EOH＝12∠EOF＝∠BAC＝60°，∴在Rt△EOH中，EH＝OE·32＝1×32＝32，∴EF＝2EH＝ 3.4．[黄冈中学自主招生]在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是(2，a)(a>2)，半径为2，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为23，则a的值是．【解析】如答图，过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连结P A.∵AB＝23，∴AE＝3，P A＝2，∴PE＝1.∵点D在直线y＝x上，∴∠DOC＝45°，∵∠DCO＝90°，∴∠ODC＝45°，∴∠PDE＝∠ODC＝45°，答图∴∠DPE＝∠PDE＝45°，∴DE＝PE＝1，∴PD＝ 2.∵⊙P的圆心是(2，a)，∴点D的横坐标为2，∴OC＝2，∴DC＝OC＝2，∴a＝PD＋DC＝2＋ 2.5．[乐清自主招生]如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(10，0)，点B的坐标为(8，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为__(1，3)__．【解析】∵四边形OCDB是平行四边形，B(8，0)，∴CD∥OA，CD＝OB＝8，如答图，过点M作MF⊥CD于点F，则CF＝12CD＝4，答图过点C作CE⊥OA于点E，∵A(10，0)，∴OE＝OM－ME＝OM－CF＝5－4＝1.连结MC，则MC＝12OA＝5，∴在Rt△CMF中，由勾股定理得MF＝MC2－CF2＝52－42＝3. ∴点C的坐标为(1，3)．6．[台州中考]如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点(不与B，C重合)，PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．(1)求证：△APE是等腰直角三角形；(2)若⊙O的直径为2，求PC2＋PB2的值．解：(1)证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠C＝∠ABC＝45°，∴∠PEA＝∠ABC＝45°.又∵PE是⊙O的直径，∴∠P AE＝90°，∠PBE＝90°，∴∠PEA＝∠APE＝45°，∴△APE是等腰直角三角形；(2)∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝AB，同理AP＝AE，又∵∠CAB＝∠P AE＝90°，∴∠CAP＝∠BAE，∴△CAP≌△BAE，∴CP＝BE，在Rt△BPE中，∠PBE＝90°，PE＝2，∴PB2＋BE2＝PE2，∴CP2＋PB2＝PE2＝4.【思维拓展】7．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°，公路PQ上A 处距离O点240 m，如果火车行驶时，周围200 m以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以72 km/h的速度行驶时，A处受到噪音影响的时间为(B)A．12 s B．16 s C．20 s D．24 s【解析】如答图，过点A作AC⊥ON，AB＝AD＝200 m，∵∠QON＝30°，OA＝240 m，答图∴AC＝120 m，当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB＝200 m，∵AB＝200 m，AC＝120 m，∴由勾股定理得BC＝160 m，同理，CD＝160 m，即BD＝320 m，∵72 km/h＝20 m/s，∴影响时间为320÷20＝16(s)．8．[第25届希望杯初三第1试]如图，AB 是⊙O 的弦，CD 是⊙O 的直径，且CD 与AB 相交，若m ＝||S △CAB －S △DAB ，n ＝S △OAB ，则( B )A ．m ＞2nB ．m ＝2nC ．m ＜2nD ．m 与2n 的大小无法确定【解析】 设AB 与CD 交于点E ，∵CO ＝DO ，∴S △ACE ＋S △AOE ＝S △AOD ，S △CBE＋S △BOE ＝S △BOD ，∴S △ACB ＋S △ABO ＝12S四边形ACBD ，S △ABD ＋S △ACB ＝S 四边形ACBD ，∴|S △ABD －S △ACB |＝2S △ABO ，即m ＝2n .9．如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8 cm ，AC ︵＝CD ︵＝BD ︵，M 是AB 上一动点，CM ＋DM 的最小值为__8__cm.答图 【解析】 如答图，作点C 关于AB 的对称点C ′，连结C ′D 与AB 相交于点M ，此时C ′D 的长为CM ＋DM 的最小值．由垂径定理，得AC ︵＝AC ′︵，∴BD ︵＝AC ′︵，∵C ′D ︵＝AB ，∴C ′D ＝AB ＝8，∴CM ＋DM 的最小值为8 cm.10．[海淀区自主招生]如图，AB 为⊙O 的直径，E ，F 为AB 的三等分点，M ，N 为AB ︵上两点，且∠MEB ＝∠NFB ＝60°，EM ＋FN ＝33，则直径AB 的长为__6__．答图 【解析】 如答图，延长ME 交⊙O 于G ，过点O 作OH ⊥MG 于H ，连结MO ，过O 作OP ⊥FN ，垂足为P ，∵O 为AB 的中点，E ，F 为AB 的三等分点，∴OE ＝OF ，又∵MG ∥FN ，∴∠MEF ＝∠NFB ＝∠OFP ，∵∠OHG ＝∠OPF ＝90°，∴△OHE ≌△OPF ，∴OH ＝OP ，易证△OEG ≌△OFN ，∴EG ＝FN ，设⊙O 的直径AB ＝x ，∴OE ＝OA －AE ＝12x －13x ＝16x ，OM ＝12x ，∵∠MEB ＝60°，∴OH ＝OE ·32＝x 6×32＝3x 12，在Rt △MOH 中，MH ＝OM 2－OH 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 122＝36x 2－3x 2144＝33x 212， 根据垂径定理，MG ＝2MH ＝2×33x 212＝33x 6，∴EM ＋FN ＝33x 6＝33.∴x ＝6，即AB 的长为6.11．[全国竞赛]⊙O 的三个不同的内接正三角形将⊙O 分成的区域的个数是__28__.12．[涪城区校级自主招生]如图，已知等腰直角△ABC 中，∠BAC ＝90°，圆心O 在△ABC 内部，且⊙O 经过B ，C 两点，若BC ＝8，AO ＝1，求⊙O 的半径．答图解：如答图，连结BO，CO，延长AO交BC于D，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴AB＝AC，∵O是圆心，∴OB＝OC，∴直线OA是线段BC的垂直平分线，∴AD⊥BC，且D是BC的中点，在Rt△ABC中，AD＝BD＝12BC，∵BC＝8，∴BD＝AD＝4，∵AO＝1，∴OD＝AD－AO＝3，∵AD⊥BC，∴∠BDO＝90°，∴OB＝OD2＋BD2＝32＋42＝5.13．[鼓楼区校级自主招生]有一批圆心角为90°，半径为1的扇形状下脚料，现利用这批材料截取尽可能大的正方形材料，如图有两种截取方法：方法1，如图1所示，正方形OPQR的顶点P，Q，R均在扇形边界上；方法2，如图2所示，正方形顶点C，D，E，F均在扇形边界上．图1、图2均为轴对称图形．试分别求这两种截取方法得到的正方形面积．并说明哪种截取方法得到的正方形面积更大？解：如答图①，连结OQ ，设正方形OPQR 的边长为x ，则在Rt △OPQ 中，OQ 2＝OP 2＋PQ 2，即12＝x 2＋x 2，解得x ＝22， ∴S 四边形OPQR ＝12；① ② 答图如答图②，过O 作OG ⊥EF ，交CD 于点H ，连结OF ，设FG ＝x ，∵四边形CDEF 是正方形，∴OH ⊥CD ，∴FG ＝CH ＝x ，∵∠DOC ＝90°，H 为CD 中点，∴CH ＝OH ，∴OG ＝OH ＋HG ＝HC ＋CF ＝x ＋2x ＝3x ，在Rt △OFG 中，OF 2＝GF 2＋OG 2，即12＝x 2＋(3x )2，解得x ＝1010，∴CF ＝2x ＝105.∴S 四边形CDEF ＝25，∵12>25，∴第一种方法截取的正方形的面积更大．14．如图1，已知⊙O 的半径为1，PQ 是⊙O 的直径，n 个相同的正三角形沿PQ 排成一列，所有正三角形都关于PQ 对称，其中第一个△A 1B 1C 1的顶点A 1与点P 重合，第二个△A 2B 2C 2的顶点A 2是B 1C 1与PQ 的交点，…，最后一个△A n B n C n 的顶点B n ，C n 在圆上．(1)如图2，当n ＝1时，求正三角形的边长a 1；(2)如图3，当n ＝2时，求正三角形的边长a 2；(3)如图1，求正三角形的边长a n (用含n 的代数式表示)．解：(1)如答图①，设PQ 与B 1C 1交于点D ，连结B 1O .∵△PB 1C 1是等边三角形，∴A 1D ＝32a 1，在△OB 1D 中，OB 21＝B 1D 2＋OD 2，∵OD ＝A 1D －OA 1＝32a 1－1，∴12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 1－12，解得a 1＝3； (2)如答图②，设PQ 与B 2C 2交于点E ，连结B 2O .∵△A 2B 2C 2是等边三角形，∴A 2E ＝32a 2，∵△PB 1C 1是与△A 2B 2C 2边长相等的正三角形，∴P A 2＝A 2E ＝32a 2，OE ＝A 1E －OA 1＝3a 2－1，在△OB 2E 中，OB 22＝B 2E 2＋OE 2，即12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 22＋(3a 2－1)2，解得a 2＝8313；答图(3)设PQ 与B n C n 交于点F ，连结OB n ，则OF ＝32na n －1，在Rt △OB n F 中，OB 2n ＝B n F 2＋OF 2，即12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32na n －12.解得a n ＝43n3n 2＋1.【思维升华】15．[浙江自主招生]如图，已知圆O的圆心为O，半径为3，点M为圆O 内的一个定点，OM＝5，AB，CD是圆O的两条相互垂直的弦，垂足为M.(1)当AB＝4时，求四边形ADBC的面积；(2)当AB变化时，求四边形ADBC的面积的最大值．解：(1)如答图，作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，连结OB，OC，那么AB＝29－OF2＝4，答图∴OF＝5，又∵OE2＋OF2＝OM2＝5，∴OE＝0，∴CD＝6，∴S四边形ADBC ＝12AB×CD＝12；(2)设OF ＝x ，OE ＝y ，则x 2＋y 2＝5， ∵AB ＝29－x 2，CD ＝29－y 2，∴S 四边形ADBC ＝12AB ·CD＝29－x 2×9－y 2＝2－x 4＋5x 2＋36＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－522＋1694， ∴当x 2＝52时，四边形ADBC 的最大面积是13.。
专题30 圆的基本性质【知识要点】知识点一圆的基础概念圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，⑶其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆．弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．⏜，读作弧AB．在同圆或弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB等圆中，能够重合的弧叫做等弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．弦心距、半径、弦长的关系：（考点）知识点二垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造RT△，用勾股，求长度；2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．知识点一圆的基础概念圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．确定圆的条件：⑷圆心；⑸半径，⑹其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆．弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
