4.2提公因式法(一)

4.2 提公因式法（1）●学习目标分析（一）知识与技能1.了解公因式的意义，能准确的确定一个多项式各项的公因式；2.初步会用提公因式法分解因式，进一步理解因式分解与整式乘法的关系.（二）方法与过程经历探索寻找多项式各项的公因式的过程,培养合作探究的意识，积累合作的经验，进一步培养学生认真、严谨的科学态度.（三）情感态度价值观积极参与数学活动，养成独立思考的习惯，提高数学合作交流意识水平，加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法，进一步深化学生逆向思维能力.●教学重点能观察出多项式的公因式，并能利用提公因式法分解因式.●教学难点正确识别多项式各项的公因式.●教学方法独立思考、合作交流探究.●教具准备：多媒体课件●探究活动设计本节教学共设计了两个探究活动：一是探究如何确定公因式；二是探究如何提取公因式分解因式。

探究方法与步骤：1、创设问题情境，引发学生独立思考。

2、学生小组合作交流，共同探究。

3、交流展示讨论结果，归纳总结探究结论。

●教学过程设计：第一环节：温故知新1.因式分解的概念：把一个多项式化为___________的形式, 这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式。

2．下面由左到右的变形，哪个是分解因式？（1） 5x(2x -1)= 10x 2-5x(2) 10x 2-5x = 5x(2x -1)整式乘法与分解因式之间的关系是什么？【设计意图】 因式分解的概念及整式乘法与分解因式之间的关系两个知识点与本节课的学习紧密相关。

提公因式法分解因式实质上是逆用整式乘法中的单项式乘多项式将一个多项式化为两个整式乘积的形式。

第2题中设计的的两个等式也旨在渗透这一点。

加上课件动态演示互逆变形过程，增强了直观性。

通过分析因式分解与整式乘法之间的互逆过程学习因式分解的方法，以提高学生对知识间联系的认识。

第二环节：创设情境、导入新课近年来，我国土地沙漠化问题严重. 3月12日植树节到来之际，，学校组织了 “我参与、我奉献、我快乐”植树活动，要求每行种树15棵，其中初一年级种树27行，初二年级种树35行，初三年级种树38行，问完成这次植树活动学校共需要多少棵树苗？师：解决这个问题，你能列出怎样的算式？哪种算式计算起来较为简便？生：列式：①15×27+15×35+15×38②15×（27+35+38）15×27+15×35+15×38=15×（27+35+38）=15×100=1500师：这种运算方法的根据是什么？生：根据是乘法对加法的分配律师：为什么能逆用分配律呢？这个式子的各项有什么特点？生：这个式子的各项有相同的因数。

北师大版八年级数学下册第四章第4.2节《提公因式教法》说课一、说课标北师大版义务教育数学教材第四章《提公因式法（1）》的教学内容在课程标准的“数与代数”的一级主题中的“数与式”的二级主题下的“整式与分式”中，下表中红色字表示。

解读如下：1.经历探索多项式各项公因式的过程，并在具体问题中，能确定多项式各项的公因式。

2.会确定多项式提公因式后剩余的因式，进一步理解因式分解的意义。

定多项式提公因式后剩余的因式是《提公因式法》得难点，这里涉及到多项式除以单项式，学生掌握起来有一定难度，教学中应侧重这方面的讲解和巩固。

二、说教材1.教材的地位和作用本节课是新北师大版八年级（下）第四章第二节《提公因式法》的第一课时。

学习分解因式一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会分解的思想、逆向思考的作用。

它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础。

本章教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事实上，它是整式乘法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系。

分解因式的变形不仅体现了“化归”的思想，而且也是后续——分式化简、解方程、恒等变形等学习的基础。

分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用。

2. 学情分析学生的知识技能基础：初二学生对整式的运算比较熟悉，对互逆过程也有一定的感知。

在上一节课的基础上，学生基本上了解了分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系，能通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，这为今天的深入学习提供了必要的基础．学生的活动经验基础：初二学生已经具备了一定的自我学习能力，所以本节课中多为学生创造自主学习、合作学习的机会。

让他们主动参与、勤于动手、从而乐于探究如何用提公因式法分解因式。

学生有了上一节课的活动基础，由于本节课采用的活动方法与上节课很相似，依然是观察、对比等，学生对于这些活动方法较熟悉，有较好的活动经验．可能存在的障碍：学生在提出多项式的公因式后，在对另外一个因式的确定上可能会出现一些问题，如漏项、粗心导致的错误等。

4.2 提公因式法（一）杜姣姣【课标要求】：能利用提公因式法，公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）。

【学习目标】：一、经历探索、类比、归纳的过程，得出公因式的概念，并能在具体问题中确定多项式各项的公因式。

二、会用提公因式法对多项式进行因式分解。

【教学重点】：1.能确定一个多项式各项的公因式。

2.会用提公因式法对多项式进行因式分解。

【教学难点】：会用提公因式法对多项式进行因式分解。

【教学设计】：一、复习旧知：1、什么叫做因式分解？2、下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？（1）ay ax y x a +=+)(（2）)12(55102+=+x x x x（3）22)2(44－－y y y =+（4）t 3)4)(4(3t 162++=+－－t t t t因式分解是上一节学过的内容，上一节简单的介绍了什么叫做因式分解并可以判断出哪些式子的变形是因式分解，（2）先让同学们回顾一下因式分解式子变形的样子，进而可以引出这些因式分解是怎样进行的，引出新课的内容。

二、新课1、公因式的定义及确定一个多项式的公因式：（设计意图：针对目标1）(1)计算：2859851585⨯+⨯⨯-采用什么方法？依据是什么？(旨在让学生通过乘法分配律的逆运算这一特殊算法，使学生通过类比的思想自然地过渡到理解提公因式法的概念上，从而为提公因式法的掌握埋下伏笔。

)（2）多项式bc ab +、x x 332+、b nb mb －+2各项都含有相同的因式吗？（b 、x 3、b ）（3）试着说出公因式的定义，并举例说明。

（4）告知学生：找公因式时要从系数和字母及字母次数三方面来找，例如x x 332+的公因式不能把3忘掉了。

（学生的易错点，老师要明确告知）（5）练习：说出下列各多项式的公因式①3x+3x ②7x 3–212x ③8a 3b 2–12ab 3c+ab ④–24x 3+12x 2－28x2、利用提公因式法进行因式分解。

4.2提公因式法（1）学习目标：1.了解公因式的定义，能确定多项式各项的公因式。

2.会用提公因式法把多项式因式分解。

教学重点：能确定多项式公因式，并用提公因式法把多项式因式分解。

教学难点：确定多项式的公因式。

教学过程：一、复习回顾，引入课题1.什么是因式分解？2.因式分解与整式乘法有什么关系？二、自主先学，感知设疑小组讨论自学的收获和困惑：1.什么是公因式？2.如何确定多项式各项的公因式？3.会用提公因式法把多项式因式分解吗？三、目标导学，情境引入（一）展示学习目标，让学生齐读。

学习目标：1.了解公因式的定义，能确定多项式各项的公因式。

2.会用提公因式法把多项式因式分解。

（二）情境引入多项式ab+bc各项都含有相同的因式吗？多项式3x2+x呢？多项式m b2+nb-b呢？尝试将这几个多项式分别写成几个因式的乘积，并与同伴交流。

这几个多项式的相同因式比较好找，学生容易找到，并逆用乘法分配律将他们写成几个因式的乘积的形式，让学生初步感受找公因式，并提公因式。

四、互助研学，探究解疑（一）探究活动一公因式的定义利用情境中提出的几个多项式让学生归纳出公因式的定义，并让学生齐读记忆。

培养学生的初步归纳能力。

一个多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。

（二）议一议：确定公因式的方法？多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么？让学生分组讨论，教师可以点拨学生从系数，字母，指数三方面去考虑。

学生讨论后提问并归纳出确定公因式的方法：系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公因数；字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母；指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即取字母最低次幂。

简单的说就是：1.定系数；2.定字母；3.定指数。

（三）即学即练1.多项式8x2y-14x2y+4x y3各项的公因式是（）A. 8xyB. 2xyC. 4xyD. 2y2.下列多项式的各项中，公因式是5a2b的是（）A.15a2b−20a2b2B.30a2b3-15a b4-10a3b2C.10a2b2-20a2b3+50a4b5D.5a2b4-10a3b3+15a4b2(四)探究活动二提公因式分解因式你能将多项式2x2+6x3因式分解吗？指名上台讲解。

4.2提公因式法（第一课时）教学设计[北师大版八年级下册]内容分析：1.课标要求：初步掌握公因式为单项式的提公因式法因式分解2.内容分析知识层面：本节是提公因式法的第1小节，共两个课时。

学生在小学已有数的乘法分配律和数的乘法分配律的逆运算的经历，这个经历是为小学数的简便计算提供方法而应运而生的，到中学是为整式的计算中单项式乘多项式而总结得到乘法分配律的字母公式，整个学习过程都是为计算而出现的运算因此在提取公因式的过程，也让学生体会是为计算而所要出现这一算法的必要性学生比较容易接受。

教学过程类比以前的方法，使得在概念、知识点的讲授过程中，学生易于理解和掌握．让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系．为下一节公式法因式分解打下了关键的基础，也为今后分式的约分计算和公式法解一元二次方程奠定重要的基础。

这就体现了学好提公因的重要意义也给了学生一种知识层层递进，环环相扣的观念。

能力层面：学生在小学和前面的学习过程中，已经具有运用运算法则和运算律进行数的运算和整式的乘除及添去括号的能力，同时积累了一定的归纳与类比能力。

提公因式法，作为因式分解的基础起始课对下一节的公式法具有铺垫作用。

提公因式法其学习过程本质是观察、类比、归纳的过程，其研究方法也能为后续学习公式法等相关内容所用。

提公因的计算过程与数的乘法分配律的逆运算过程相似，可归为一类，进一步提高计算能力和积累归纳能力；通过类比可加强学生建立了关联新旧知识系统化的理念，提高类比能力。

思想层面：提公因看似很简单不起眼却是处在运算中第一或第二步的关键位置，如果这一步未提尽则直接后面的步步计算并影响计算结果的准确性，因此让学生清楚认识到掌握准确提尽公因的重要性。

基于以上分析，提公因是式的计算的一个要点所以我选择它作为代数计算教学的一个关键教学点。

3.学情分析：因为学生结构式三分之二是本施教区的农村孩子，三分之一是外来务工孩子，学生自身的素质水平总体相对较低，自主学习力也较差，前面整式计算和乘法分配律对他们来说比较抽象和易错，用逆向学习提公因会有点堵塞，所以要放慢速度借用简单的旧知识过渡引导学习新知识。

4.2提公因式法（第1课时公因式是单项式的因式分解）教学目标1.学会确定多项式中各项的公因式，会用提公因式法进行因式分解.2.通过与因数分解的类比，感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想.教学重点难点重点：理解公因式的意义.难点：会用提公因式法因式分解.教学过程复习巩固1.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式.2. 因式分解与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式.因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式.导入新课活动1（学生交流，教师点评）【问题1】观察下列各算式有什么共同的特点？（1）5×3+5×(-6)+5×2；（2）2πR+2πr；（3）ma+mb；（4）cx-c y+cz.公共特点：各式中的各项都含有一个公共的因数或因式.教师：多项式ab+bc各项都含有相同的因式吗？多项式3x2+x呢？多项式mb2+nb-b呢？学生：都含有相同的因式依次为b, x,b.探究新知探究点一公因式的定义把多项式各项都含有的相同的因式，叫做这个多项式的各项的公因式.活动2（学生交流，教师点评）【问题2】（师生互动）教师：尝试将这几个多项式分别写成几个因式的乘积.学生：ab+bc＝b（a+c），3x2+x＝x（3x+1），mb2+nb-b＝b(mb+n-1).【思考】如何找3x 2– 6 xy的公因式分析：系数：3，6的最大公约数是3.字母：相同的字母x.指数：相同字母x的最低次幂.解：3x 2– 6 xy的公因式是3x.探究点二确定公因式的方法活动3（学生交流，教师点评）确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：(1)定系数，即确定各项系数的最大公约数；(2)定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；(3)定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂.【例1】多项式6ab2c-3a2bc+12a2b2中各项的公因式是()A.abcB.3a2b2C.3a2b2cD.3ab解析：系数的最大公约数是3，相同字母的最低指数次幂是ab，可知公因式为3ab.故选D.答案：D【即学即练】多项式6ab2-8a4b3c中各项的公因式是_________.答案：2ab2探究点三提公因式法活动4（学生交流，教师点评）【例2】因式分解：（1）8a3b2+12ab3c；（2）-24x3-12x2+28x .分析：将原式各项提取公因式即可得到结果.解：(1) 8a3b2+12ab3c＝4ab2(2a2+3bc).（2）-24x3-12x2+28x＝-(24x³+12x²-28x)＝-(4x·6x²+4x·3x-4x·7)＝-4x(6x²+3x-7).【题后总结】(学生总结，老师点评)提公因式法的基本步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式.【总结】提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法.【思考】提公因式法因式分解的步骤?(小组交流，教师点评)【总结】第一步，找出公因式；第二步，提取公因式，即用公因式去除这个多项式,所得的商式作为另一个因式，将多项式化为两个因式的积.【即学即练】计算：(1)39×37-13×91；(2)29×20.15+72×20.15+13×20.15-20.15×14.分析：(1)首先提取公因式13，进而求出即可；(2)首先提取公因式20.15，进而求出即可.解：(1)39×37-13×91＝3×13×37-13×91＝13×(3×37-91)＝13×20＝260；(2)29×20.15+72×20.15+13×20.15-20.15×14＝20.15×(29+72+13-14)＝2015.【方法总结】在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便.课堂练习1.多项式−9x2y+3xy2−6xyz各项的公因式是()A.−3xyB.3yzC.3xzD.−3x2.多项式mx+n可分解为m(x−y)，则n表示的整式为()A.mB.myC.−yD.−my3.将3x(a−b)−9y(a−b)因式分解，应提的公因式是()A.3x−9yB.3x+9yC.a−bD.3(a−b)4.(−2)2 017+(−2)2 018的值为()A.2B.−2C.−22 017D.22 0175.将多项式−6a3b2−3a2b2+12a2b3因式分解时，应提取的公因式是()A.−3a2b2B.−3abC.−3a2bD.−3a3b3参考答案：1.A解析：因为−9x2y＝−3xy·3x，3xy2＝−3xy·(−y)，−6xyz＝−3xy·2z，所以多项式−9x2y+3xy2−6xyz各项的公因式为−3xy.2.D解析：∵m(x−y)＝mx−my，∴n＝−my.故选D.3.D解析：各项系数的最大公约数是3，相同的因式是a−b，所以应提的公因式是3(a−b).4.D解析：(−2)2 017+(−2)2 018＝(−2)2 017×(1−2)＝22 017.故选D.5. A解析：各项系数的最大公约数是−3，相同字母的最低指数次幂是a2b2，所以应提取的公因式是−3a2b2.故选A.课堂小结(学生总结，老师点评)一、公因式把多项式各项都含有的相同的因式，叫做这个多项式的各项的公因式.二、确定公因式的方法三、提公因式法的定义：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法.布置作业教材第96页习题4.2板书设计2提公因式法第1课时公因式是单项式的因式分解一、公因式的定义【问题1】观察下列各算式有什么共同的特点？（1）5×3+5×(-6)+5×2；（2）2πR+2πr；（3）ma+mb；（4）cx-c y+cz.例1多项式6ab2c-3a2bc+12a2b2中各项的公因式是() A.abc B.3a2b2 C.3a2b2c D.3ab例2因式分解：（1）8a3b2+12ab3c；（2）-24x3-12x2+28x .二、提公因式法1.定义2.步骤。

主备人：卫金萍审核人：时间：备注课题：§4.2提公因式法（一）学习目标：1、了解因式分解的意义及整式乘法的区别与联系；2、理解公因式的概念，会用提公因式法分解因式。

重点：会用提公因式法把多项式因式分解；难点：找出多项式的公因式，并能正确地提公因式。

一、自主学习1、某工厂有一个圆环形的机器零件，该零件的外壁是一个半径为R的圆，内壁是一个半径为r的圆，工人师傅求得圆环的面积为π（R2－r2），他为什么这样记录呢？2、请你用自己的语言给公因式和因式分解下个定义，并举例说明。

3、、今天学习的因式分解的方法叫什么？在运用时的关键是什么？4、、你能总结一下找公因式的方法吗？二、小组合作：1、填空题：（1）a（m-6），b（m-6）的公因式是________ （2）a（b-a）=-a（）（3）（a+b）（a-b）-（b+a）=（）（a-b-1）八年级数学导学案（4）2（x-y）-(x-y)2=(x - y) ( )2、把下列各式进行因式分解（1）3a2＋12a （2）－4x2y－16xy＋8x2（3）3（a-b）+a（b-a）（4）a（m-6）+b（m-6）( 5 ) 6(m-n)2+3(m-n) （6）x（x-y）+y（y-x）三、展示反馈：1.把下面多项式中各项的公因式填在括号内：(1)7(a-2)2+14(a-2) （）(2)a2b(x-y)-ab(y-x)2（）(3)x(x-y)-y(y-x)2 ( ) (4) 5(a-1)2-10(1-a) ( )2、选择题：（1）将多项式－4ab－8a2进行因式分解，得（）A、－a(4b＋8a)B、－2a(2b＋4a)C、－4a(b－2a)D、－4a(b＋2a)(2)计算：（－3）n＋2（－3）n－1，得（）A、3n－1B、（－3）n－1C、－（－3）n－1D、（－3）n3、把下列各式因式分解：（1）x2y－xy2 (2)4ab2c＋16ab(3)－2xy－4x2y＋8x3y (4)(3a＋b)(2a－3b)－3a(3a＋b)四、能力提升：思考：3200－4×3199＋10×3198是7的倍数吗？为什么？。