第二章函数(二)

2.8函数与方程必备知识预案自诊知识梳理1.函数的零点(1）函数零点的定义对于函数y=f（x)(x∈D),把使成立的实数x叫做函数y=f（x)（x∈D)的零点。

(2）与函数零点有关的等价关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x）的图象与有交点⇔函数y=f(x)有.（3）函数零点的判定（零点存在性定理）2。

二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系图象3.二分法函数y=f（x)的图象在区间［a,b]上连续不断，且，通过不断地把它的零点所在区间，使所得区间的两个端点逐步逼近,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.1.若y=f（x)在闭区间[a,b]上的图象连续不断，且有f(a)f （b）<0,则函数y=f（x)一定有零点.2。

f（a)f(b）<0是y=f（x）在闭区间［a，b]上有零点的充分不必要条件.3.若函数f(x）在［a，b］上是单调函数,且f(x）的图象连续不断,则f（a)f(b)<0⇒函数f(x)在区间[a,b］上有且只有一个零点。

考点自诊1.判断下列结论是否正确，正确的画“√",错误的画“×”。

(1）函数f（x）=x2—1的零点是（—1,0）和(1，0).(）(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）在b2—4ac〈0时没有零点。

() (3）只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值。

()（4）已知函数f（x）在(a,b）内图象连续且单调，若f（a）f（b)〈0,则函数f（x）在[a，b］上有且只有一个零点.（)（5)函数y=2sin x—1的零点有无数多个.() 2。

(2020云南玉溪一中二模)函数f(x）=2x+3x的零点所在的一个区间是（）A。

(—2，—1)B.（—1，0)C。

（0,1）D。

（1，2)3.（2020山东济南二模,2）函数f（x)=x3+x—4的零点所在的区间为()A.（—1，0）B.(0,1）C。

§2.2 函数的单调性知识梳理：1．函数的单调性： (1)单调函数的定义自左向右看图像是上升的自左向右看图像是下降的(2)上是增加的或是减少的，那么就称A 为单调区间． 2．函数的最值1．(2014·北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2 C ．y ＝2－x D ．y ＝log 0.5(x ＋1) 答案 A解析 A 项，函数y ＝x ＋1在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故正确；B 项，函数y ＝(x －1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故错误；C 项，函数y ＝2－x ＝(12)x 在R 上为减函数，故错误；D 项，函数y ＝log 0.5(x ＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故错误．2．“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( ) 答案 CA ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析 当a ＝0时，f (x )＝|(ax －1)x |＝|x |在区间(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，结合函数f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |的图像知函数在(0，＋∞)上单调递增，如图(1)所示；当a >0时，结合函数f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |的图像知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示．所以，要使函数f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)上单调递增只需a ≤0. 即“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)上单调递增”的充要条件． 3．函数f (x )＝2x x ＋1在[1,2]的最大值和最小值分别是___________． 答案 43，1解析 f (x )＝2x x ＋1＝2(x ＋1)－2x ＋1＝2－2x ＋1在[1,2]上是增函数，∴f (x )max ＝f (2)＝43，f (x )min ＝f (1)＝1.4．(课本改编)已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________． 答案 (－∞，1]∪[2，＋∞)解析 函数f (x )＝x 2－2ax －3的图像开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．由图像可知函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f (x )在区间[1,2]上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞). 应用实例： 题型一 函数单调性的判断例1 (1)判断函数f (x )＝axx 2－1(a >0)在x ∈(－1,1)上的单调性．(2)求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间． 解 (1)设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2(x 21－1)(x 22－1)＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1).∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0.又∵a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0， ∴函数f (x )在(－1,1)上为减函数．(2)令u ＝x 2＋x －6，y ＝x 2＋x －6可以看作有y ＝u 与u ＝x 2＋x －6的复合函数． 由u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2. ∵u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在[0，＋∞)上是增函数． ∴y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)．思维升华 (1)对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之． (2)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y ＝f (u )与u ＝g (x )若具有相同的单调性，则y ＝f [g (x )]为增函数，若具有不同的单调性，则y ＝f [g (x )]必为减函数．(1)判断函数f (x )＝x ＋ax(a >0)在(0，＋∞)上的单调性．(2)求函数y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的单调区间．解 (1)设x 1，x 2是任意两个正数，且0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2 ＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )．当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，又x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数；当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，又x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上为增函数．(2)令u ＝x 2－4x ＋3，原函数可以看作y ＝log 13u 与u ＝x 2－4x ＋3的复合函数．令u ＝x 2－4x＋3>0，则x <1或x >3. ∴函数y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的定义域为 (－∞，1)∪(3，＋∞)．又u ＝x 2－4x ＋3的图像的对称轴为x ＝2，且开口向上，∴u ＝x 2－4x ＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．而函数y ＝log 13u 在(0，＋∞)上是减函数，∴y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．题型二 利用单调性求参数范围例2 (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A ．a >－14B ．a ≥－14C ．－14≤a <0D ．－14≤a ≤0(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________． 答案 (1)D (2)[32，2)解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增； 当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0. 综合上述得－14≤a ≤0.(2)由已知得f (x )为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a >1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a <2，∴a 的取值范围是[32，2)．思维升华 已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．(1)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1](2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x， x >1，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2， x ≤1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8) 答案 (1)D (2)B解析 (1)由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数可得[1,2]⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1.∵y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上为减函数，∴由g (x )＝ax ＋1在[1,2]上是减函数可得a >0，故0<a ≤1.(2)因为f (x )是R 上的增函数，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，a ≥4－a 2＋2.解得4≤a <8，故选B.题型三 利用函数的单调性求最值例3 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值； (2)证明：f (x )为减函数； (3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． (1)解 令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，∵当x >1时，f (x )<0，∴f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0， 即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数．(3)解 ∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数．∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得， f ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)，∴f (9)＝2f (3)＝－2. 即f (x )在[2,9]上的最小值为－2.思维升华 (1)抽象函数的单调性的判断要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x 1，x 2在所给区间内比较f (x 1)－f (x 2)与0的大小，或f (x 1)f (x 2)与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x 1＝x 2·x 1x 2或x 1＝x 2＋x 1－x 2等；(2)求函数最值的常用方法：①单调性法；②基本不等式法；③配方法；④图像法；⑤导数法．(1)如果函数f (x )对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，且当x ≥12时，f (x )＝log 2(3x－1)，那么函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为( ) A ．2B ．3C ．4D ．－1(2)函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝____.答案 (1)C (2)6解析 (1)根据f (1＋x )＝f (－x )，可知函数f (x )的图像关于直线x ＝12对称．又函数f (x )在[12，＋∞)上单调递增，故f (x )在(－∞，12]上单调递减，则函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为f (－2)＋f (0)＝f (1＋2)＋f (1＋0)＝f (3)＋f (1)＝log 28＋log 22＝4.(2)易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝1，f (b )＝13，即⎩⎨⎧1a －1＝1，1b －1＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4.∴a ＋b ＝6. 利用函数的单调性解不等式典例：(12分)函数f (x )对任意的m 、n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1. (1)求证：f (x )在R 上是增函数； (2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)<2.思维点拨 (1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f (x 2)－f (x 1)并与0比较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f ”运用单调性“去掉”是本题的切入点．要构造出f (M )<f (N )的形式． 规范解答(1)证明 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，∵当x >0时，f (x )>1，∴f (x 2－x 1)>1.[2分] f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1，[4分]∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0⇒f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在R 上为增函数．[6分](2)解 ∵m ，n ∈R ，不妨设m ＝n ＝1，∴f (1＋1)＝f (1)＋f (1)－1⇒f (2)＝2f (1)－1，[8分] f (3)＝4⇒f (2＋1)＝4⇒f (2)＋f (1)－1＝4⇒3f (1)－2＝4，∴f (1)＝2，∴f (a 2＋a －5)<2＝f (1)，[10分] ∵f (x )在R 上为增函数，∴a 2＋a －5<1⇒－3<a <2，即a ∈(－3,2)．[12分]答题模板解函数不等式问题的一般步骤：第一步：(定性)确定函数f (x )在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为f (M )<f (N )的形式；第三步：(去f )运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f ”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．温馨提醒 本题对函数的单调性的判断是一个关键点．不会运用条件x >0时，f (x )>1，构造不出f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1的形式，便找不到问题的突破口．第二个关键应该是将不等式化为f (M )<f (N )的形式．解决此类问题的易错点：忽视了M 、N 的取值范围，即忽视了f (x )所在的单调区间的约束.课堂小结： 1．利用定义证明或判断函数单调性的步骤： (1)取值；(2)作差；(3)定量；(4)判断． 2．判断单调性的常用方法：定义法、图像法、导数法．。

第2课时 对数函数及其性质(二)学习目标 1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法.2.会解简单的对数不等式.3.了解反函数的概念及它们的图象特点.知识点一 不同底的对数函数图象的相对位置一般地，对于底数a >1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x 轴；对于底数0<a <1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越小越靠近x 轴. 知识点二 反函数的概念一般地，像y ＝a x 与y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)这样的两个函数互为反函数.(1)y ＝a x 的定义域R 就是y ＝log a x 的值域；而y ＝a x 的值域(0，＋∞)就是y ＝log a x 的定义域. (2)互为反函数的两个函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象关于直线y ＝x 对称.(3)互为反函数的两个函数的单调性相同.但单调区间不一定相同.1.y ＝log 2x 2在(0，＋∞)上为增函数.( √ )2.212log y x 在(0，＋∞)上为增函数.( × )3.ln x <1的解集为(－∞，e).( × )4.y ＝a x 与x ＝log a y 的图象相同.( √ )题型一 比较大小例1 (1)若a ＝log 0.23，b ＝log 0.22.5，c ＝log 0.20.3，则( ) A.a >b >c B.c >b >a C.a >c >b D.c >a >b答案 B解析 因为0.3<2.5<3，且y ＝log 0.2x 在(0，＋∞)上是减函数，所以c >b >a . (2)比较下列各组数的大小：①log 534与log 543；②1135log 2log 2与；③log 23与log 54.解 ①方法一 对数函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，所以log 534<log 543.方法二 因为log 534<0，log 543>0，所以log 534<log 543.②由于1321log 21log 3=，1521log 21log 5=，又对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且0<15<13<1，所以0>log 213>log 215，所以1log 213<1log 215，所以3151l 2log 2og <.③取中间值1，因为log 23>log 22＝1＝log 55>log 54，所以log 23>log 54. 反思感悟 比较对数值大小时常用的四种方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性.(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. (3)底数和真数都不同，找中间量.(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.跟踪训练1 (1)设a ＝log 2π，12log πb =，c ＝π－2，则( )A.a >b >cB.b >a >cC.a >c >bD.c >b >a 答案 C解析 a ＝log 2π>1，12log π0b <=，c ＝π－2∈(0,1)，所以a >c >b .(2)比较下列各组值的大小： ①2233log 0.5,log 0.6；②log 1.51.6，log 1.51.4；③log 0.57，log 0.67；④log 3π，log 20.8.解 ①因为函数23log y x =是减函数，且0.5<0.6，所以2233log 0.5log 0.6>.②因为函数y ＝log 1.5x 是增函数，且1.6>1.4， 所以log 1.51.6>log 1.51.4.③因为0>log 70.6>log 70.5，所以1log 70.6<1log 70.5，即log 0.67<log 0.57. ④因为log 3π>log 31＝0，log 20.8<log 21＝0，所以log 3π>log 20.8. 题型二 对数不等式的解法 例2 (1)7171lo lo g (g 4)x x >- ；(2)log a (2x －5)>log a (x －1). 解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，4－x >0，x <4－x ，解得0<x <2.所以原不等式的解集为{x |0<x <2}.(2)当a >1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －5>0，x －1>0，2x －5>x －1.解得x >4.当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x －5>0，x －1>0，2x －5<x －1，解得52<x <4.综上所述，当a >1时，原不等式的解集为{x |x >4}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪52<x <4. 反思感悟 对数不等式的三种考查类型及解法(1)形如log a x >log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况进行讨论.(2)形如log a x >b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式(b ＝log a a b )，再借助y ＝log a x 的单调性求解.(3)形如log f (x )a >log g (x )a (f (x )，g (x )>0且不等于1，a >0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解.跟踪训练2 (1)求满足不等式log 3x <1的x 的取值集合； (2)若log a 25<1(a >0，且a ≠1)，求实数a 的取值范围.解 (1)因为log 3x <1＝log 33，所以x 满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 3x <log 33，即0<x <3.所以x 的取值集合为{x |0<x <3}. (2)log a 25<1，即log a 25<log a a .当a >1时，函数y ＝log a x 在定义域内是增函数， 所以log a 25<log a a 总成立；当0<a <1时，函数y ＝log a x 在定义域内是减函数， 由log a 25<log a a ，得a <25，即0<a <25.所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，25∪(1，＋∞).题型三 对数型复合函数的单调性命题角度1 求单调区间例3 求函数212log (1)y x =-的单调区间.解 要使212log (1)y x =-有意义，则1－x 2>0，所以x 2<1，所以－1<x <1， 因此函数的定义域为(－1,1). 令t ＝1－x 2，x ∈(－1,1).当x ∈(－1,0]时，x 增大，t 增大，y ＝12log t 减小.所以当x ∈(－1,0]时，212log (1)y x =-是减函数；同理可知，当x ∈[0,1)时，212log (1)y x =-是增函数.即函数212log (1)y x =-的单调递减区间是(－1,0]，单调递增区间为[0,1).反思感悟 求形如y ＝log a f (x )的函数的单调区间的步骤 (1)求出函数的定义域.(2)研究函数t ＝f (x )和函数y ＝log a t 在定义域上的单调性. (3)判断出函数的增减性求出单调区间.跟踪训练3 求函数f (x )＝log 2(1－2x )的单调区间.解 因为1－2x >0，所以x <12.又设u ＝1－2x ，则y ＝log 2u 是(0，＋∞)上的增函数. 又u ＝1－2x ，则当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，12时，u (x )是减函数， 所以函数f (x )＝log 2(1－2x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－∞，12. 命题角度2 已知复合函数单调性求参数范围例4 已知函数212log ()y x ax a =-+在区间(－∞，2)上是增函数，求实数a 的取值范围.考点 对数函数的单调性题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围解 令g (x )＝x 2－ax ＋a ，g (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，a 2上是减函数，∵0<12<1，∴12log ()y g x =是减函数，而已知复合函数212log ()y x ax a =-+在区间(－∞，2)上是增函数，∴只要g (x )在(－∞，2)上单调递减，且g (x )>0在x ∈(－∞，2)上恒成立， 即⎩⎪⎨⎪⎧2≤a 2，g (2)＝(2)2－2a ＋a ≥0，∴22≤a ≤2(2＋1)，故所求a 的取值范围是[22，22＋2].反思感悟 若a >1，则y ＝log a f (x )的单调性与y ＝f (x )的单调性相同，若0<a <1，则y ＝log a f (x )的单调性与y ＝f (x )的单调性相反.另外应注意单调区间必须包含于原函数的定义域. 跟踪训练4 若函数f (x )＝log a (6－ax )在[0,2]上为减函数，则a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(1,3) C.(1,3] D.[3，＋∞) 考点 对数函数的单调性题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围 答案 B解析 函数由y ＝log a u ，u ＝6－ax 复合而成，因为a >0，所以u ＝6－ax 是减函数，那么函数y ＝log a u 就是增函数，所以a >1，因为[0,2]为定义域的子集，所以当x ＝2时，u ＝6－ax 取得最小值，所以6－2a >0，解得a <3，所以1<a <3.故选B.1.不等式log 2(x －1)>－1的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >23 B.{x |x >2}C.{x |x >1}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >32 答案 D解析 ∵log 2(x －1)>－1＝log 212，∴x －1>12，即x >32.2.函数f (x )＝－2x ＋5＋lg(2－x －1)的定义域为( )A.(－5，＋∞)B.[－5，＋∞)C.(－5,0)D.(－2,0) 答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5>0，2－x －1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x >－5，2－x >20，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >－5，x <0，∴－5<x <0，故选C.3.如果2121l log og 0x y <<，那么( )A.y <x <1B.x <y <1C.1<x <yD.1<y <x 考点 对数不等式 题点 解对数不等式 答案 D4.若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝________. 考点 函数的反函数 题点 求函数的反函数 答案 log 2x5.函数f (x )＝ln x 2的单调减区间为____________. 考点 对数函数的单调性 题点 对数型复合函数的单调区间 答案 (－∞，0)1.与对数函数有关的复合函数的单调区间、奇偶性、不等式问题都要注意定义域的影响.2.y ＝a x 与x ＝log a y 的图象是相同的，只是为了适应习惯用x 表示自变量，y 表示因变量，把x ＝log a y 换成y ＝log a x ，y ＝log a x 才与y ＝a x 关于直线y ＝x 对称，因为点(a ，b )与点(b ，a )关于直线y ＝x 对称.一、选择题1.函数y ＝log 3(2x －1)的定义域为( ) A.[1，＋∞) B.(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫12，1考点 对数不等式 题点 解对数不等式 答案 A解析 要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 3(2x －1)≥0，2x －1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥1，2x －1>0，∴x ≥1， ∴函数y ＝log 3(2x －1)的定义域为[1，＋∞). 2.若log a 2<log b 2<0，则下列结论正确的是( ) A.0<a <b <1 B.0<b <a <1 C.a >b >1 D.b >a >1答案 B解析 因为log a 2<0，log b 2<0， 所以0<a <1,0<b <1， 又log a 2<log b 2， 所以a >b ， 故0<b <a <1.3.函数f (x )＝12log x 的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.(0,1] C.(0，＋∞) D.[1，＋∞)答案 D解析 f (x )的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞).4.函数y ＝15log (1－3x )的值域为( )A.RB.(－∞，0)C.(0，＋∞)D.(1，＋∞) 答案 C解析 因为3x >0，所以－3x <0， 所以1－3x <1.又y ＝15log t (t ＝1－3x )是关于t 的减函数，所以y ＝15log t >15log 1＝0.5.已知log a 12<2，那么a 的取值范围是( )A.0<a <22B.a >22C.22<a <1 D.0<a <22或a >1 考点 对数不等式 题点 解对数不等式 答案 D解析 当a >1时，由log a 12<log a a 2得a 2>12，故a >1；当0<a <1时，由log a 12<log a a 2得0<a 2<12，故0<a <22. 综上可知，a 的取值范围是0<a <22或a >1. 6.函数y ＝13log (－3＋4x －x 2)的单调递增区间是( )A.(－∞，2)B.(2，＋∞)C.(1,2)D.(2,3) 答案 D解析 由－3＋4x －x 2>0，得x 2－4x ＋3<0，得1<x <3. 设t ＝－3＋4x －x 2，其图象的对称轴为x ＝2. ∵函数y ＝13log t 为减函数，∴要求函数y ＝13log (－3＋4x －x 2)的单调递增区间，即求函数t ＝－3＋4x －x 2,1<x <3的单调递减区间， ∵函数t ＝－3＋4x －x 2,1<x <3的单调递减区间是(2,3)，∴函数y ＝13log (－3＋4x －x 2)的单调递增区间为(2,3)，故选D.7.已知函数f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围为( ) A.(－∞，4] B.[4，＋∞ ) C.[－4,4] D.(－4,4] 答案 D解析 令g (x )＝x 2－ax ＋3a ，∵f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上单调递减， ∴函数g (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，且恒大于0， ∴12a ≤2且g (2)>0， ∴a ≤4且4＋a >0，∴－4<a ≤4， 故选D.8.已知指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫1a x，当x ∈(0，＋∞)时，有y >1，则关于x 的不等式log a (x －1)≤log a (6－x )的解集为( ) A.⎣⎡⎭⎫72，＋∞ B.⎝⎛⎦⎤－∞，72 C.⎝⎛⎦⎤1，72 D.⎣⎡⎭⎫72，6答案 D解析 ∵y ＝⎝⎛⎭⎫1a x 在x ∈(0，＋∞)时，有y >1， ∴1a>1，∴0<a <1. 于是由log a (x －1)≤log a (6－x )， 得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥6－x ，x －1>0，6－x >0，解得72≤x <6，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪72≤x <6.故选D. 二、填空题9.若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点⎝⎛⎭⎫32，23，则a ＝________. 考点 函数的反函数 题点 反函数的图象与性质 答案2解析 因为点⎝⎛⎭⎫32，23在y ＝f (x )的图象上，所以点⎝⎛⎭⎫23，32在y ＝a x 的图象上，则有32＝23a ， 即a 2＝2，又因为a >0，所以a ＝ 2. 10.函数y ＝log 2(x 2－1)的增区间为________. 考点 对数函数的单调性 题点 对数型复合函数的单调区间 答案 (1，＋∞)解析 由x 2－1>0得函数的定义域为{x |x <－1或x >1}，又y ＝log 2x 在定义域上单调递增，y ＝x 2－1在(1，＋∞)上单调递增，∴函数的增区间为(1，＋∞).11.若函数f (x )＝log a x (其中a 为常数，且a >0，a ≠1)满足f (2)>f (3)，则f (2x －1)<f (2－x )的解集是________. 答案 {x |1<x <2} 解析 ∵f (2)>f (3)， ∴f (x )＝log a x 是减函数，由f (2x －1)<f (2－x )，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，2－x >0，2x －1>2－x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >12，x <2，x >1，∴1<x <2. 三、解答题12.已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－2. (1)若f (x )>0，求x 的取值范围； (2)若x ∈(－1,3]，求f (x )的值域. 解 (1)函数f (x )＝log 2(x ＋1)－2， ∵f (x )>0，即log 2(x ＋1)－2>0， ∴log 2(x ＋1)>2，∴x ＋1>4，∴x >3. 故x 的取值范围是x >3. (2)∵x ∈(－1,3]， ∴x ＋1∈(0,4]，∴log 2(x ＋1)∈(－∞，2]， ∴log 2(x ＋1)－2∈(－∞，0]， 故f (x )的值域为(－∞，0]. 13.已知f (x )＝12log (x 2－ax －a ).(1)当a ＝－1时，求f (x )的单调区间及值域；(2)若f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为增函数，求实数a 的取值范围. 考点 对数函数的单调性题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝12log (x 2＋x ＋1)，∵x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥34， ∴12log (x 2＋x ＋1)≤123log 4＝2－log 23， ∴f (x )的值域为(－∞，2－log 23].∵y ＝x 2＋x ＋1在⎝⎛⎦⎤－∞，－12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上单调递增，y ＝12log x 在(0，＋∞)上单调递减，∴f (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－12， 单调减区间为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. (2)令u (x )＝x 2－ax －a ＝⎝⎛⎭⎫x －a 22－a 24－a ， ∵f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为单调增函数， 又∵y ＝12log u (x )为单调减函数，∴u (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为单调减函数，且u (x )＞0在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上恒成立. ⎝⎛⎭⎫提示：⎝⎛⎭⎫－∞，－12⊆⎝⎛⎭⎫－∞，a 2 因此⎩⎨⎧ a 2≥－12，u ⎝⎛⎭⎫－12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，14＋a 2－a ≥0， 解得－1≤a ≤12. 故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12.14.若函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为________.考点 对数函数的综合问题题点 与单调性有关的对数函数综合问题答案 12解析 当a >1时，y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)在[0,1]上是增函数， ∴f (x )max ＝a ＋log a 2，f (x )min ＝a 0＋log a 1＝1，∴a ＋log a 2＋1＝a ，∴log a 2＝－1，a ＝12(舍去)； 当0<a <1时，y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)在[0,1]上是减函数，∴f (x )max ＝a 0＋log a (0＋1)＝1，f (x )min ＝a ＋log a 2，∴a ＋log a 2＋1＝a ，∴a ＝12. 综上所述，a ＝12. 15.已知函数f (x )＝lg(1＋x )－lg(1－x ).(1)求函数f (x )的定义域，并证明f (x )是定义域上的奇函数；(2)用定义证明f (x )在定义域上是增函数；(3)求不等式f (2x －5)＋f (2－x )<0的解集.(1)解 由对数函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x >0，1＋x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x <1，x >－1， 即－1<x <1，∴函数f (x )的定义域为(－1,1).∵f (－x )＝lg(1－x )－lg(1＋x )＝－f (x )，∴f (x )是定义域上的奇函数.(2)证明 设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝lg(1＋x 1)－lg(1－x 1)－lg(1＋x 2)＋lg(1－x 2)＝lg (1＋x 1)(1－x 2)(1＋x 2)(1－x 1). ∵－1<x 1<x 2<1，∴0<1＋x 1<1＋x 2，0<1－x 2<1－x 1，于是0<1＋x 11＋x 2<1,0<1－x 21－x 1<1， 则0<(1＋x 1)(1－x 2)(1＋x 2)(1－x 1)<1，∴lg (1＋x 1)(1－x 2)(1＋x 2)(1－x 1)<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，即函数f (x )是(－1,1)上的增函数.(3)解 ∵f (x )在(－1,1)上是增函数且为奇函数，∴不等式f (2x －5)＋f (2－x )<0可转化为f (2x －5)<－f (2－x )＝f (x －2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1<2x －5<1，－1<x －2<1，2x －5<x －2，解得2<x <3.∴不等式的解集为{x |2<x <3}.。

2。

4幂函数与二次函数必备知识预案自诊知识梳理1。

幂函数（1)幂函数的定义:形如（α∈R）的函数称为幂函数，其中x是,α是。

(2)五种幂函数的图象(3)五种幂函数的性质2。

二次函数(1)二次函数的三种形式一般式：；顶点式:,其中为顶点坐标;零点式:,其中为二次函数的零点.（2)二次函数的图象和性质1.幂函数y=xα的图象在第一象限的两个重要结论:（1)恒过点（1,1）；（2）当x∈(0,1）时,α越大，函数值越小；当x∈(1,+∞）时,α越大，函数值越大.2.研究二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）在区间[m,n]（m<n)上的单调性与值域时,分类讨论-b2a与m或n 的大小。

3.设f(x）=ax2+bx+c（a≠0)图象的对称轴为x=m，当a〉0时,若｜x1-m|〉|x2-m|，则f(x1）〉f（x2);当a〈0时，若｜x1-m｜>|x2—m|,则f（x1）<f(x2). 4。

一元二次方程f（x)=x2+px+q=0的实根分布：(1)方程f（x）=0在区间(m，+∞）内有根的充要条件为f(m)<0或{p2-4q≥0,-p2>m;考点自诊1。

判断下列结论是否正确，正确的画“√”,错误的画“×”.(1)函数y=-x2与y=2x12都是幂函数.（）(2）幂函数的图象经过第四象限,当α〉0时,幂函数y=xα是定义域上的增函数.(）(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当x=-b2a 时,y取得最小值4ac-b24a。

（)（4)幂函数的图象不经过第四象限。

(）(5）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值恒为负的充要条件是{a<0,b2-4ac<0.(）2.如图是①y=x a;②y=x b；③y=x c在第一象限的图象,则a,b,c 的大小关系为(）A.a>b〉cB.a<b<cC。

b<c〈aD.a<c〈b3.（2020湖北荆州质检)若对任意x∈[a，a+2］均有(3x+a）3≤8x3,则实数a的取值范围是（)A。