浙江省余姚中学高二数学上学期第一次质检试题 理(无答案)新人教a版

第一学期满分150分 时间120分钟一、选择题:（本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）.1. 对于一条边在x 轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观 ( ) 图，其直观图面积是原三角形面积的A. 2倍倍倍 D. 12倍2.圆的方程是(x －1)(x+2)+(y －2)(y+4)=0，则圆心的坐标是 ( )A ．(1,－1)B ．(12,－1) C.(－1,2) D ．(－12,－1).3.圆22y 2x 4y 402tx y 2t 0(t R)x +-+-=---=∈与直线的位置关系 ( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能4.如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为21则该几何体的俯视图可以是 ( )5.已知实数r 是常数，如果),(00y x M 是圆222r y x =+内异于圆心的一点，那么直线200r y y x x =+与圆222r y x =+的位置关系是 ( )A ．相交但不经过圆心B ．相交且经过圆心C ．相切D ．相离6.一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥（母线长等于圆锥底面的直径的圆锥）的体积之比为 （ ）Ａ．235∶∶ Ｂ．234∶∶C ．358∶∶D ．469∶∶7.方程0442244=+--y x y x 表示的曲线是 ( )A.两个圆B.四条直线C.两条平行线和一个圆D.两条相交直线和一个圆8.设圆222(y 5)r (x+3)++=上有且只有两点到直线4x 3y 2-=的距离等于1,则圆的半径的取值范围是 ( ) A 16r 5<<B r 45> C 46r 55<< D r 1> 9.已知异面直线和所成的角为，P 为空间一定点，则过点P 且与直线a,b 所成角都是的直线有且仅有几条 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．410.已知正四棱锥S —ABCD 侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成角的大小为 ( ) A ．90° B ．60° C ．45°D ．30°二、填空题:(本大题共7小题,每小题4分，满分28分)11.已知点A （－3，1，4），则点A 关于原点的对称点B 的坐标为 ；AB 的长为 ．12.关于x 的方程a x x +=-24有两个不相等的实根，则a 的取值范围是__________.13. 设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)．则该几何体的体积为 m 3.14.已知圆C 的圆心与点(21)P -，关于直线1y x =+对称．直线34110x y +-=与圆C 相交于A B ，两点，且6AB =，则圆C 的方程为 ．15.点P 在直线L: y x =上运动，向圆C:22y 2x 4y x 30++-+= 引一条切线，切点为E ，则|PE|的最小值为 ．a,b,c 1a b,b c,a c;2a b b c a c 3a b a c b c 4a b b c ,a c 5a//b b//c,a//c;____⊥⊥⊥16.设是空间的三条直线，给出以下五个命题：、若则、若、是异面直线，、是异面直线，则、也是异面直线；、若和相交，和相交，则和也相交；、若和共面，和共面则和也共面；、若，则其中正确的是（写出所有正确的序号）17.圆C 的方程为22(2)4x y -+=，圆M 的方程为22(25cos )(5sin )1x y θθ--+-=()R θ∈，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE 、PF ，切点分别为E 、F ，则PE PF 的最小值为______.三、解答题:(本大题共5题,满分72分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 18.已知一个圆锥的底面半径为R ,高为H ,在其中有一个高为x 的内接圆柱. 如图所示. (1)若设圆柱底面半径为r , 求证: (1)x r R H=-; (2)当x 为何值时,圆柱的侧面积最大?并求出这个最大值.19.某组合体的三视图如下：俯视图的外形为正六边形，φ表示直径，求其表面积和体积。

2021年高二数学上学期第一次质检试卷理（含解析）一．选择题（每小题4分，计40分）1．垂直于同一条直线的两条直线一定（）A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能2．下面4个命题：①若直线a与b异面，b与c异面，则a与c异面②若直线a与b相交，b与c相交，则a与c相交③若直线a∥b，b∥c，则a∥b∥c④若直线a∥b，则a，b与直线c所成的角相等．其中真命题的个数是（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 43．一直异面直线a，b分别在α，β内，面α∩β=c，则直线c（）A．一定与a，b中的两条都相交 B．至少与a，b中的一条平行C．至多与a，b中的一条相交 D．至少与a，b中的一条相交4．在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°（如图），若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（）A． B． C． D．5．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为（）A． B． C． 6 D． 126．一个骰子由1﹣6六个数字组成，请你根据图中的三种状态所显示的数字，推出“？”处的数字式（）A． 6 B． 3 C． 1 D． 27．下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是（）A． B． C． D．8．一棱台两底面周长的比为1：5，过侧棱的中点作平行于底面的截面，则该棱台被分成两部分的体积比是（）A． 1：125 B． 27：125 C． 13：49 D． 13：629．α、β、γ表示不同平面，m、n表示不同直线，则下列说法中可以判定α∥β的是（）①α⊥γ，β⊥γ；②由α内不共线的三点作平面β的垂线，各点与垂足间线段的长度都相等；③m∥n，m⊥α，n⊥β；④m、n是α内两条直线，且m∥β，n∥β．A．①② B．② C．③④ D．③10．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是（）A． EF与BB1垂直 B． EF与BD垂直 C． EF与CD异面 D． EF与A1C1异面二．填空题（每小题4分，计28分）11．直线AB、AD⊂α，直线CB、CD⊂β，点E∈AB，点F∈BC，点G∈CD，点H∈DA，若直线EH∩直线FG=M，则点M在上．12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若过A、C、B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l 与A1C1的位置关系是．13．空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，若AC=BD=a，且AC 与BD所成的角为60°，则四边形EFGH的面积是．14．已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为．15．如图所示，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是．16．已知三棱锥A﹣BCD中，AB⊥面BCD，BC⊥CD，AB=BC=CD=1，则BD与平面ACD所成角的大小为．17．已知球面（x﹣1）2+（y+2）2+（z﹣3）2=9与点A（﹣3，2，5），则球面上的点与点A 的距离的最大值和最小值分别为．三．解答题（共5小题，计52分）18．一几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m）（1）试画出它的直观图；（2）求它的表面积和体积．19．已知平面α∥β，直线AB⊄β，且直线AB∥α，求证：AB∥β．20．如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=3，AC=2，AB⊥AC，A1C1⊥BC1侧棱与底面成60°角．（1）求证：AC⊥平面ABC1；（2）求证：C1在平面ABC上的射影H在直线AB上；（3）求此三棱柱体积的最小值．21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=2，AB=AC=1，∠BAC=90°，点M是BC的中点，点N在侧棱CC1上，NM⊥AB1．（1）求证：平面AB1M⊥平面AMN；（2）求异面直线B1N与AB所成的角的正切值；（3）求二面角A﹣B1N﹣M的大小．22．如图，在矩形ABCD中，，BC=3，沿对角线BD将△BCD折起，使点C移到点C′，且C′在平面ABD的射影O恰好在AB上，则以C′，A，B，D为顶点，构成一个四面体．（1）求证：BC′⊥面ADC'；（2）求二面角A﹣BC′﹣D的正弦值；（3）求直线AB和平面BC′D所成的角的正弦值．xx学年浙江省杭州市富阳市场口中学高二（上）第一次质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（每小题4分，计40分）1．垂直于同一条直线的两条直线一定（）A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：分类讨论．分析：根据在同一平面内两直线平行或相交，在空间内两直线平行、相交或异面判断．解答：解：分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面．故选D点评：本题主要考查在空间内两条直线的位置关系．2．下面4个命题：①若直线a与b异面，b与c异面，则a与c异面②若直线a与b相交，b与c相交，则a与c相交③若直线a∥b，b∥c，则a∥b∥c④若直线a∥b，则a，b与直线c所成的角相等．其中真命题的个数是（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解答：解：在①中：如图1所示：直线a与b异面，b与c异面，但是直线a与c平行，所以①错误；在②中：如图2所示：直线a与b相交，b与c相交，但是直线a与c异面，所以②错误；在③中：根据公理4可知：平行具有传递性，即若直线a∥b，b∥c，则直线a∥b∥c，所以③正确；在④中：不管是平面中的直线所成的角，还是异面直线所成角，根据等角定理可知：若直线a∥b，则a、b与c所成的角相等，即④正确．故选：B．点评：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．3．一直异面直线a，b分别在α，β内，面α∩β=c，则直线c（）A．一定与a，b中的两条都相交 B．至少与a，b中的一条平行C．至多与a，b中的一条相交 D．至少与a，b中的一条相交考点：平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：根据平行公理，异面直线判定，逐项进行判断，进而得到答案．解答：解：对于A：若直线c与a，b中的一条相交，另一条平行也可以，故A错误；对于B：c与a，b都平行，得出a，b平行，与a，b异面矛盾，故B错误；对于C：c可以和a，b都相交，故C错误；对于D：如果c与a，b均不相交，则直线c与a，b均平行，与已知矛盾，故D正确；故选D点评：本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系，其中熟练掌握空间直线不同位置关系的定义及几何特征是解答本题的关键．4．在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°（如图），若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（）A． B． C． D．考点：组合几何体的面积、体积问题．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：大圆锥的体积减去小圆锥的体积就是旋转体的体积，结合题意计算可得答案．解答：解：依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，所以OA=，OB=1所以旋转体的体积：=故选：A．点评：本题考查圆锥的体积，考查空间想象能力，是基础题．5．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为（）A． B． C． 6 D． 12考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；图表型．分析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个正六棱锥，其标点在底面的投影是底面的中心，底面是一个正六边形，欲求侧视图的面积，由于其是一个等腰三角形，其高为棱锥的高，底面边长是六边形相对边长的距离，求出此两量的长度，即可求其面积．解答：解：此几何体为一个正六棱锥，其顶点在底面的投影是底面的中心由于正视图中△ABC是边长为2的正三角形，其高为=，即侧视图中三角形的高为又中心到边为的距离为，故侧视图中三角形的底边长为故侧视图的面积为=故选B．点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是正六棱锥的侧视图的面积，由三角形面积公式直接求即可．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”，三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．6．一个骰子由1﹣6六个数字组成，请你根据图中的三种状态所显示的数字，推出“？”处的数字式（）A． 6 B． 3 C． 1 D． 2考点：进行简单的合情推理．专题：常规题型；空间位置关系与距离．分析：由图中的前两个状态可知，“？”处的数字可能为什1或6，进一步看状态一可知，不可能为1．解答：解：由图中的前两个状态可知，1的周围为2，3，4，5；则“？”处的数字可能为什1或6；从状态一可知，不可能为1；故为6，故选A．点评：本题考查了学生的空间想象力，属于基础题．7．下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是（）A． B． C． D．考点：平面的基本性质及推论．专题：图表型．分析：由中点构成的中位线和几何体的特征先判断是否平行，再判断是否在同一个平面内．解答：解：A、有题意和长方体知，PS∥QR，则P、Q、R、S四个点共面，故A不对；B、有题意和长方体知，PS∥QR，则P、Q、R、S四个点共面，故B不对；C、因PR和QS分别是相邻侧面的中位线，所以PS∥QR，即P、Q、R、S四个点共面，故C 不对；D、根据图中几何体得，P、Q、R、S四个点中任意两个点都在两个平面内，并且任意两个点的连线既不平行也不相交，故四个点共面不共面，故D对；故选D．点评：本题考查了公理2以及推论的应用、棱柱和棱锥的结构特征，主要根据中点构成中位线的性质和几何体进行判断．8．（4分）（xx秋•富阳市校级月考）一棱台两底面周长的比为1：5，过侧棱的中点作平行于底面的截面，则该棱台被分成两部分的体积比是（）A． 1：125 B． 27：125 C． 13：49 D． 13：62考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意可得3个面的面积比为1：9：25，代入棱台的体积公式可得．解答：解：由题意设上、下底面对应的边的分别为x：5x，故截面上的对应边为3x，棱台的高为2h，即对应边的比为：1：3：5，故面积比为1：9：25，不妨设为s，9s，25s，故体积比为=故选C．点评：本题考查棱台的结构特点，涉及多边形的相似比和面积比的关系，属基础题．9．α、β、γ表示不同平面，m、n表示不同直线，则下列说法中可以判定α∥β的是（）①α⊥γ，β⊥γ；②由α内不共线的三点作平面β的垂线，各点与垂足间线段的长度都相等；③m∥n，m⊥α，n⊥β；④m、n是α内两条直线，且m∥β，n∥β．A．①② B．② C．③④ D．③考点：平面与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解答：解：①若α⊥γ，β⊥γ，则由正方体的侧面都垂直于底面，但正方体的侧面平行或相交，由此知α与β平行或相交，故①不成立；②由α内不共线的三点作平面β的垂线，各点与垂足间线段的长度都相等，则不能判断α∥β，∵α，β也可能相交，可以使其中两个点共线，另一点不共线，使共线的两点在交点的同侧，另一点在异侧，此时α与β相交，故②不成立；③若m∥n，m⊥α，n⊥β，则由平面与平面平行的判定定理知α∥β，故③成立；④若m、n是α内两条直线，且m∥β，n∥β，若m，n相交，则α∥β，若m∥n，则α不一定平行于β，故④不成立．故选：D．点评：本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是（）A． EF与BB1垂直 B． EF与BD垂直 C． EF与CD异面 D． EF与A1C1异面考点：异面直线的判定．专题：作图题；综合题．分析：观察正方体的图形，连B1C，则B1C交BC1于F且F为BC1中点，推出EF∥A1C1；分析可得答案．解答：解：连B1C，则B1C交BC1于F且F为BC1中点，三角形B1AC中EF，所以EF∥平面ABCD，而B1B⊥面ABCD，所以EF与BB1垂直；又AC⊥BD，所以EF与BD垂直，EF与CD异面．由EF，AC∥A1C1得EF∥A1C1故选D．点评：本题考查异面直线的判定，考查空间想象能力，是基础题．二．填空题（每小题4分，计28分）11．直线AB、AD⊂α，直线CB、CD⊂β，点E∈AB，点F∈BC，点G∈CD，点H∈DA，若直线EH∩直线FG=M，则点M在BD 上．考点：平面的基本性质及推论．专题：证明题．分析：由已知中直线AB、AD⊂α，直线CB、CD⊂β，可得平面α∩平面β=直线BD，进而由点E∈AB，点F∈BC，点G∈CD，点H∈DA，可得直线EH⊂平面α，直线EH⊂平面α，若直线EH∩直线FG=M，进而由公理三，可得答案．解答：解：∵直线AB、AD⊂α，E∈AB，H∈DA，∴E∈α，且H∈α，则直线EH⊂α同理可得直线直线EH⊂α又∵直线AB、AD⊂α，直线CB、CD⊂β，可得α∩β=BD若直线EH∩直线FG=M，由公理三可得，M在平面α与平面β的交线BD上故答案为：BD点评：本题考查的知识点是平面的基本性质及推论，熟练掌握平面性质的三个公理及其推论是解答的关键．12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若过A、C、B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l 与A1C1的位置关系是l∥A1C1．考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：由A1C1∥AC，得A1C1∥平面AB1C，平面AB1C∩底面A1B1C1D1=直线l，由线面平行的性质定理，得l∥A1C1．解答：解：因为A1C1∥AC，A1C1不包含于平面AB1C，AC⊂平面AB1C，所以A1C1∥平面AB1C，又因为A1C1在底面A1B1C1D1内，平面AB1C∩底面A1B1C1D1=直线l，根据线面平行的性质定理，得l∥A1C1．故答案为：l∥A1C1．点评：本题考查两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．13．空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，若AC=BD=a，且AC 与BD所成的角为60°，则四边形EFGH的面积是．考点：棱锥的结构特征．专题：计算题．分析：先证明四边形EFGH为菱形，然后说明∠EFG=60°，最后根据三角形的面积公式即可求出所求．解答：解：连接EH，因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且EH=BD．同理，FG∥BD，EF∥AC，且FG=BD，EF=AC．所以EH∥FG，且EH=FG．所以四边形EFGH为平行四边形．因为AC=BD=a，AC与BD所成的角为60°所以EF=EH．所以四边形EFGH为菱形，∠EFG=60°．∴四边形EFGH的面积是2××=故答案为：点评：主要考查知识点：简单几何体和公理四，公理四：和同一条直线平行的直线平行，证明菱形常用方法是先证明它是平行四边形再证明邻边相等相等，以及面积公式属于基础题．14．已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为．考点：球的体积和表面积．专题：压轴题；空间位置关系与距离．分析：本题考查的知识点是球的表面积公式，设球的半径为R，根据题意知由与球心距离为R的平面截球所得的截面圆的面积是π，我们易求出截面圆的半径为1，根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出该球的半径，进而求出球的表面积．解答：解：设球的半径为R，∵AH：HB=1：2，∴平面α与球心的距离为R，∵α截球O所得截面的面积为π，∴d=R时，r=1，故由R2=r2+d2得R2=12+（R）2，∴R2=∴球的表面积S=4πR2=．故答案为：．点评：若球的截面圆半径为r，球心距为d，球半径为R，则球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，即R2=r2+d215．如图所示，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是90°．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；压轴题．分析：由题意设棱长为a，补正三棱柱ABC﹣A2B2C2，构造直角三角形A2BM，解直角三角形求出BM，利用勾股定理求出A2M，从而求解．解答：解：设棱长为a，补正三棱柱ABC﹣A2B2C2（如图）．平移AB1至A2B，连接A2M，∠MBA2即为AB1与BM所成的角，在△A2BM中，A2B=a，BM==a，A2M==a，∴A2B2+BM2=A2M2，∴∠MBA2=90°．故答案为90°．点评：此题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．16．已知三棱锥A﹣BCD中，AB⊥面BCD，BC⊥CD，AB=BC=CD=1，则BD与平面ACD所成角的大小为30°．考点：直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：以B为原点，BC为x轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BD 与平面ACD所成角的大小．解答：解；如图，以B为原点，BC为x轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，由题意知D（1，1，0），B（0，0，0），C（1，0，0），A（0，0，1），=（﹣1，﹣1，0），=（1，0，﹣1），=（1，1，﹣1），设平面ACD的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得，设BD与平面ACD所成角的大小为θ，sinθ=|cos＜＞|=||=，∴θ=30°，∴BD与平面ACD所成角的大小为30°．故答案为：30°．点评：本题考查直线与平面所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．17．已知球面（x﹣1）2+（y+2）2+（z﹣3）2=9与点A（﹣3，2，5），则球面上的点与点A 的距离的最大值和最小值分别为9，3 ．考点：球面几何；空间两点间的距离公式．专题：计算题．分析：首先判断该点是在球内部还是外部，代入A点坐标为36大于9，所以在外部．球心（1，﹣2，3）与A点距离为6．球半径为3．由此能求出球面上的点与点A的距离的最大值和最小值．解答：解：把点A（﹣3，2，5）代入球面（x﹣1）2+（y+2）2+（z﹣3）2，得（﹣3﹣1）2+（2+2）2+（5﹣3）2=36＞9，所以点A在球面外部，∵球心（1，﹣2，3）与A点（﹣3，2，5）距离：d==6．球半径R=3．所以球面上的点与点A的距离的最大值是6+3=9，最小值是6﹣3=3．故答案为：9，3．点评：本题考查球面几何的基本知识及其应用，是基础题．解题时要认真审题，注意空间中两点间距离公式的合理运用．三．解答题（共5小题，计52分）18．一几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m）（1）试画出它的直观图；（2）求它的表面积和体积．考点：由三视图求面积、体积；由三视图还原实物图．专题：计算题；作图题．分析：（1）由三视图可知该几何体为棱柱，底面为直角梯形，上下底边长分别为1和2，高为1，侧棱垂直于底面，长为1．由此可画出直观图．（2）分别求出个面的面积，之和即为表面积；法一：将该几何体看作一个长方体被截去一个角，而且被截去的部分为一直三棱柱，利用长方体和棱柱的体积公式求解即可．法二：该几何体为直四棱柱，体面为直角梯形，故利用棱柱的体积公式求解即可．解答：解：（1）由三视图可知该几何体为棱柱，底面为直角梯形，上下底边长分别为1和2，高为1，侧棱垂直于底面，长为1．直观图如图所示：（2）法一：由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角，且该几何体的体积是以A1A，A1D1，A1B1为棱的长方体的体积的，在直角梯形AA1B1B中，作BE⊥A1B1于E，则AA1EB是正方形，∴AA1=BE=1．在Rt△BEB1中，BE=1，EB1=1，∴BB1=．∴几何体的表面积S=S正方形AA1D1D+2S梯形AA1B1B+S矩形BB1C1C+S正方形ABCD+S矩形A1B1C1D1=1+2××（1+2）×1+1×+1+1×2=7+（m2）．∴几何体的体积V=×1×2×1=（m3），∴该几何体的表面积为（7+）m2，体积为m3．法二：几何体也可以看作是以AA1B1B为底面的直四棱柱，其表面积求法同法一，V直四棱柱D1C1CD﹣A1B1BA=Sh=×（1+2）×1×1=（m3）．∴几何体的表面积为（7+）m2，体积为m3．点评：本题考查空间几何体的三视图、直观图、及几何体的表面积和体积，考查空间想象能力和运算能力．19．已知平面α∥β，直线AB⊄β，且直线AB∥α，求证：AB∥β．考点：平面与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定．专题：计算题．分析：由平面α∥β，直线AB⊄β，且直线AB∥α，过直线AB作平面γ交α于CD，交β于EF，知CD∥EF，CD∥AB，故EF∥AB，由此能够证明AB∥β．解答：证明：∵平面α∥β，直线AB⊄β，且直线AB∥α，过直线AB作平面γ交α于CD，交β于EF，∴CD∥EF，CD∥AB，∴EF∥AB，∵EF⊂平面β，直线AB⊄β，∴AB∥β．点评：本题考查平面与平面之间的位置关系和应用，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．20．如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=3，AC=2，AB⊥AC，A1C1⊥BC1侧棱与底面成60°角．（1）求证：AC⊥平面ABC1；（2）求证：C1在平面ABC上的射影H在直线AB上；（3）求此三棱柱体积的最小值．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）根据棱柱的性质，我们可得A1C1∥AC，又由已知中A1C1⊥BC1，AB⊥AC，我们根据线面垂直的判定定理可得AC⊥面ABC1；（2）根据（1）的结论，由线面垂直的判定定理可得平面ABC⊥平面ABC1，在平面ABC1内，过C1作C1H⊥AB于H，则C1H⊥平面ABC，即C1点在平面ABC上的射影H在直线AB上；（3）连接HC，由（2）的结论可得C1H⊥平面ABC，即∠C1CH就是侧棱CC1与底面所成的角，由已知中侧棱与底面成60°角，故可得当CH=AC时，棱柱的体积取最小值，求出棱柱的底面积和高，代入棱柱体积公式即可得到答案．解答：证明：（1）由棱柱性质，可知A1C1∥AC，∵A1C1⊥BC1，∴AC⊥BC1，又∵AC⊥AB，∴AC⊥平面ABC1（2）由（1）知AC⊥平面ABC1，又AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1，在平面ABC1内，过C1作C1H⊥AB于H，则C1H⊥平面ABC故点C1在平面ABC上的射影H在直线AB上．解：（3）连接HC，由（2）知C1H⊥平面ABC，∴∠C1CH就是侧棱CC1与底面所成的角，∴∠C1CH=60°，C1H=CH•tan60°=CHV棱柱=S△ABC•C1H=CH=3CH∵CA⊥AB，∴CH≥AC=2，所以棱柱体积最小值3×2=6．点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，棱柱的体积，空间线面关系，其中熟练掌握空间直线与平面平行或垂直的判定、性质、定义及几何特征是解答本题的关键．21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=2，AB=AC=1，∠BAC=90°，点M是BC的中点，点N在侧棱CC1上，NM⊥AB1．（1）求证：平面AB1M⊥平面AMN；（2）求异面直线B1N与AB所成的角的正切值；（3）求二面角A﹣B1N﹣M的大小．考点：异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（1）首先证明线面垂直，进一步转化为面面垂直（2）先找到异面直线所成角的平面角，再利用解三角形知识求解．（3）建立空间直角坐标系，利用向量知识来解决二面角问题，使用法向量是解题的关键解答：（1）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=2，AB=AC=1，∠BAC=90°，点M是BC的中点BB1⊥AM AM⊥BCAM⊥平面B1BCC1∴AM⊥MN∵MN⊥AB1∴MN⊥平面AB1MMN⊂平面AMN∴平面AB1M⊥平面AMN（2）解：由（1）得：MN⊥B1M设CN=x则：C1N=2﹣x解得：x=异面直线B1N与AB所成的角即∠A1B1N利用勾股定理得：tan∠A1B1N=（3）解：建立空间直角坐标系A﹣xyz由于AM⊥平面B1BCC1设平面AB1N的法向量为进一步求出：利用且解得：设二面角的平面角为θcosθ==﹣由于二面角的大小为锐角θ=45°故答案为：（1）略（2）tan∠A1B1N=（3）θ=45°点评：本题考查的知识点：线面垂直的判定和性质，面面垂直的判定，勾股定理得应用，异面直线所成的角，空间直角坐标系，向量的数量积，法向量，夹角公式及相关的运算问题．22．如图，在矩形ABCD中，，BC=3，沿对角线BD将△BCD折起，使点C移到点C′，且C′在平面ABD的射影O恰好在AB上，则以C′，A，B，D为顶点，构成一个四面体．（1）求证：BC′⊥面ADC'；（2）求二面角A﹣BC′﹣D的正弦值；（3）求直线AB和平面BC′D所成的角的正弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：计算题；证明题；转化思想．分析：（1）利用三垂线定理证明DA⊥BC′，然后证明BC′⊥面ADC′；（2）通过BC′⊥平面ADC′，说明∠DC′A是二面角A﹣BC′﹣D的平面角，通过△AC′D，求二面角A﹣BC′﹣D的正弦值；（3）作AM⊥DC′于M，连接BM，证明AM⊥平面BC′D，得到∠ABM是AB与平面BC′D所成的角，然后求直线AB和平面BC'D所成的角的正弦值．解答：解：（1）…（4分）（2）BC′⊥平面ADC′，C′D⊂平面ADC′，C′A⊂平面ADC′，所以BC′⊥C′D，BC′⊥C′A，所以∠DC′A是二面角A﹣BC′﹣D的平面角，…（6分）而…（7分）在．…（8分）（3）作AM⊥DC′于M，连接BM，BC′⊥C′A，AM∩AC′=A，∴BC′⊥平面ADC′BC′⊂平面SDC′，∴平面ADC′⊥平面BDC′，又AM⊥DC′，DC′=平面ADC′∩平面BDC′，所以AM⊥平面BC′D，所以∠ABM是AB与平面BC′D所成的角…（10分）在…（12分）在（13分）点评：本题是中档题，考查直线与平面垂直，二面角、直线与平面所成的角，考查空间想象能力，计算能力．25896 6528 攨36890 901A 通24472 5F98 徘22771 58F3 壳 36166 8D46 赆30361 7699 皙35273 89C9 觉s20092 4E7C 乼 20538 503A 债24919 6157 慗。

2022-2022年高二上半期第一次质量检测数学（浙江省余姚中学）选择题过双曲线的左顶点作斜率为2的直线，若与双曲线的两条渐近线分别相交于点，且，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题可知A（﹣1，0）所以直线l的方程为y=2x+2∵双曲线M的方程为x2﹣=1，∴两条渐近线方程为y=﹣bx或y=bx由y=2x+2和y=﹣bx联解，得B的纵坐标为yB=，同理可得C 的横坐标为xC=。

∵，可得3yB=yC，即•3=，解之得b=4，（b=0舍去）因此，c=，可得双曲线的离心率e==．故选C．设分别是双曲线的左、右焦点.若点在双曲线上，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点．∵点P在双曲线上，且，根据直角三角形斜边中线是斜边的一半，∴=2|=|=2．故选B．选择题设点是曲线上的点,，，则（）A. B.C. D. 与10的大小关系不确定【答案】A【解析】曲线可化为：，∴曲线围成的图形是一正方形，与坐标轴的交点分别为（±5，0），（0，±3），和已知椭圆是内接的关系，根据图形的对称性，当且仅当点P为（0，±3）时，|PF1|+|PF2|最大为10，又因为，故取不到最大值。

填空题若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线的方程是______，若点是直线上一点，则到椭圆的两个焦点的距离之和的最小值等于______.【答案】【解析】设l斜率为k，椭圆的弦被点平分，由点差法得到，得到K=，代入已知的中点P的坐标得到直线方程为；设点, 则到椭圆的两个焦点距离，先找点关于的对称点为,连接，交直线于点M，此时距离之和最小，最小值为。

故答案为：(1) (2) 。

填空题若是双曲线的左，右焦点，点是双曲线上一点，若，则_____，的面积______.【答案】【解析】根据双曲线的概念得到若，则，因为，而当P点落在ｙ轴上时才会有，故舍掉。

用心 爱心 专心1第 一 学 期一．选择题（共10题，每小题5分）：1．圆()1122=+-y x 的圆心到直线x y 33=的距离是（ ） A ．21Ｂ．23 Ｃ．１ Ｄ．3２．两条直线0,0222111=++=++C y B x A C y B x A 垂直的充要条件是（ ） A ．02121=+B B A A Ｂ．02121=-B B A A Ｃ．121-=A AＤ．121=BB ３．一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积（单位2cm ）为（ ）A ．21248+Ｂ．22448+ Ｃ．21236+ Ｄ．22436+４．在棱长为２的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，F E 、分别是AD CC 、1的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成角的余弦值为（ ）A ．510 Ｂ．515 Ｃ．54 Ｄ．32５．对于平面α和共面的直线n m 、，下列命题中为真命题的是（ ） A ．若α⊥m ，n m ⊥，则α//n Ｂ．若α//m ，α//n ，则n m //（第3题图）6666ABCDA 1B 1C 1D 1OFE（第4题图）用心 爱心 专心 2Ｃ．若α⊂m ，α//n ，则n m // Ｄ．若n m 、与α所成角相等，则n m // ６．平面内到两定点的距离之比为１:２的动点的轨迹是（ ） A ．线段 Ｂ．直线 Ｃ．圆 Ｄ．椭圆７．已知直线l 方程为()0,=y x f ，点),(111y x P 、),(222y x P 分别在l 上和l 外，则方程()()()0,,,2211=--y x f y x f y x f 表示（ ）A ．过点1P 且与l 垂直的直线 Ｂ．与l 重合的直线 Ｃ．过点2P 且与l 平行的直线 Ｄ．不过点2P ，但与l 平行的直线 8．多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，AB EF //,23=EF ,EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为（ ）A ．29 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．2159．若直线1=+by a x 与圆122=+y x 有公共点，则（ ）A ．122≤+b a Ｂ．122≥+b a Ｃ．11122≤+b a Ｄ．11122≥+b a10．给出命题：①设l 、m 位直线，α为平面，若直线m l //，且α⊂m ，则α//l ； ②若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补； ③设n m 、是一对异面直线，则存在平面α，使α⊂m 且α//n ； ④若一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面，则这两个二面角的平面角相等或互补．上述命题中真命题的个数为（ ） A ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 二．填空题（共7题，每小题4分）：11．已知1F 、2F 为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于B A 、两点，若1222=+B F A F ，则=AB _________．12．正方体1111D C B A ABCD -中，直线B A 1与平面CD B A 11所成的角为_________． 13．已知集合{}0103|2≤--=x x x A ，{}121|-≤≤+=m x m x B ，若B 是A 的充分条件，则m 的取值范围是_________．14．已知球O 的面上四点D C B A 、、、，⊥DA 平面ABC ，ABCD(第14题图)ABCDE F(第8题图)用心 爱心 专心 3BC AB ⊥，3===BC AB DA ，则球O 的体积为_________．15．直线b x y +=与曲线21y x -=有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是_________． 16．正三棱柱111C B A ABC -中，底面边长和侧棱长都为2，过底面上一边AB 作平面α，使α与底面ABC 成︒60的二面角，则正三棱柱被平面α截得的截面面积为_________． 17．过点()3,2P 作圆122=+y x 的两条切线PB PA 、，B A 、为切点，则直线AB 的方程为_________．三．解答题（共5大题，共72分）：18．（14分）在△ABC 中，已知()2,5-A ，()3,7B ，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上．求： （1）顶点C 的坐标； （2）直线MN 的方程．19．（14分）已知0>c ，设P ：函数xc y =在R 上单调递减；Q ：不等式12>-+c x x 的解集为R ．若P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围．20．（14分）某几何体的一棱长为7，它在正视图中的射影长为6，它在侧视图、俯视图中的投影分别为a 、b ．联想长方体…… （1）求22b a +的值；（2）求b a +的最大值． 21．（15分）在四棱锥ABCD P -中，△PBC 为正三角形，⊥AB 平面PBC ，CD AB //，DC AB 21=，BC DC 3=，E 为PD 中点．（1）求证：直线//AE 平面PBC ；（2）求证：平面⊥APD 平面PDC ；（3）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小． 22．（15分）设二次函数()m x x x f ++=22的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C ． （1）求实数m 的取值范围；（2）求圆C 的方程．问圆C 是否经过定点？若有，求出定点的坐标，并证明你的结论．A DB CEP(第21题图)。

2017学年度余姚中学 高二实获班数学第一次质量检测试卷第一学期一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分） 1． 已知i 为虚数单位，则32i +=（ ）ABCD ．32．已知{|21}A x x =-<<，{|21}x B x =>，则()A B R ð为（ ）A ．(2,1)-B ．(,1)-∞C ．(0,1)D ．(2,0]-3．函数2ln y x x =+的图象大致为（ ）4．设函数f (x )=sin(ωx +ϕ)(ω >0)，则f (x )的奇偶性（ ） A ．与ω有关，且与ϕ有关 B ．与ω有关，但与ϕ无关C ．与ω无关，且与ϕ无关D ．与ω无关，但与ϕ有关5． 已知x R ∈，则|3||1|2x x ---<“”是1x “≠”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6． 在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知∠B =30º,△ABC 的面积为32．且 sin A +sin C =2sin B ，则b 的值为（ ）A ．4+B ．4-C 1D 17．已知O 为坐标原点，F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左、右顶点，P 为C上一点，且PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，直线BM 与y 轴交于点N ，若2OE ON =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3B ．2C ．32D ．438．下列说法正确的是( ) A. “若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤” B.{}n a 为等比数列，则“123a a a <<”是“45a a <”的既不充分也不必要条件C. 若,a b R ∈，则1a b +>是1a b +>的充分而不必要条件D.“tan α必要不充分条件是“3πα≠”9．曲线24x y x+=的一条切线l 与,y x y =轴三条直线围成的三角形记为OAB ∆，则OAB ∆外接圆面积的最小值为（ ）A． B．(83π C．)161π D．(162π10. 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 分别是直线CD 、AB 上的动点，点P 是△A 1C 1D 内的动点(不包括边界)，记直线D 1P 与MN 所成角为θ，若θ的最小值为3π，则点P 的轨迹是（ ） A.圆的一部分 B.椭圆的一部分C.抛物线的一部分D.双曲线的一部分二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________，表面积为__________． 12．已知复数(是虚数单位)，则z 对应的点在复平面第__________象限，z =__________. 13．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且1111,n n n a a S S ++=-=，则n S = ； 数列{}n a 通项公式为=n a ________． 14．已知函数f (x )=x 3+ax +b 的图象在点(1,f (1))处的切线方程为2x -y -5=0，则a =__________，b =__________．15．命题“存在x R ∈，使得2250x x ++=”的否定是 __________．16. 已知2()ln (21),f x x x ax a x a R =-+-∈在1x =处取得极大值，则实数a 的取值范围是__________． 17. 已知点O 在二面角AB αβ--的棱上，点P 在α内，且45POB ∠=．若对于β内异于O 的任意一点Q ，都有45POQ ∠≥，则二面角AB αβ--的大小是__________．512iz i=+i11题）正视图侧视图（第10题）B 1D 1B三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（本小题满分14分）已知0>c ，设P ：函数x c y =在R 上单调递减； Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R . 如果P Q ∨为真，P Q∧为假，求c 的取值范围.19. （本小题满分15分） 如图，AB =BE =BC =2AD =2，且AB ⊥BE ，∠DAB =60º，AD ∥BC ，BE ⊥AD .(Ⅰ)求证: 平面ADE ⊥平面 BDE ； (Ⅱ)求直线AD 与平面DCE 所成角的正弦值．20．（本题满分15分）已知24()1x tf x x -=+的两个极值点为,αβ，记(,()),(,())A f B f ααββ. (Ⅰ)若函数()f x 的零点为γ，证明：2αβγ+=.(Ⅱ) 设点,0,,044t t C m D m ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，是否存在实数t ，对任意m >0，四边形ACBD 均为平行四边形. 若存在，求出实数t ；若不存在，请说明理由.EDABC（第19题图）21．(本小题满分15分)已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点F 的坐标为(1，0)，P ，Q 为椭圆上位于y 轴右侧的两个动点，使PF ⊥QF ，C 为PQ 中点，线段PQ 的垂直平分线交x 轴，y 轴于点,A B （线段PQ 不垂直x 轴），当Q 运动到椭圆的右顶点时，||PF =． (Ⅰ)求椭圆M 的标准方程； (Ⅱ)若:3:5ABO BCF S S =△△，求直线PQ 的方程.22. (本小题满分15分)已知函数)1(1)ln()(+++-+=n n n x n n x x f n （其中n 为常数，*N n ∈）， 将函数()n f x 的最大值记为n a ，由na 构成的数列{}n a 的前n 项和记为n S . （Ⅰ）求n S ；（Ⅱ）若对任意的*N n ∈，总存在+∈R x 使1n x x a a e -+=，求a 的取值范围；（Ⅲ）比较()11n n n f e e e n+++⋅与n a 的大小，并加以证明.（第21题图）。

余姚中学高二数学第一次质量检测（理科实验班）满分150分时间120分钟一、选择题:（本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）.1. 对于一个底边在x轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观 ( )图，其直观图面积是原三角形面积的A. 2倍倍倍 D.12倍2.圆的方程是(x－1)(x+2)+(y－2)(y+4)=0，则圆心的坐标是 ( )A．(1,－1) B．(12,－1)C.(－1,2) D．(－12,－1).3.如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为21则该几何体的俯视图可以是（）4、已知抛物线方程为24y x=，直线l的方程为40x y-+=，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为1d，P到直线l的距离为2d，则12d d+的最小值为（）A．22+B．12+C．22-D．12-5、过双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左焦点(,0)(0)F c c->，作圆2224ax y+=的切线，切点为E，延长FE交曲线右支于点P，若()12OE OF OP=+，则双曲线的离心率为（）A B C D6、P 是双曲线116922=-y x 的右支上一点，点N M ,分别是圆4)5(22=++y x 和1)5(22=+-y x 上的动点，则PN PM -的最小值为 ( )A ． 1B ． 2C ． 3D ．47.已知异面直线错误！未找到引用源。

和错误！未找到引用源。

所成的角为错误！未找到引用源。

，P 为空间一定点，则过点P 且与直线a,b 所成角都是错误！未找到引用源。

的直线有且仅有几条 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 8、已知抛物线的一条过焦点F 的弦PQ ，点R 在直线PQ 上，且满足1()2OR OP OQ =+，R 在抛物线准线上的射影为S ，设αβ、是PQS ∆中的两个锐角，则下列四个式子中 不一定．．．正确的是（ ）A ．tan tan 1αβ=B ．sin sin αβ+C ．cos cos 1αβ+>D ．|tan()|tan2αβαβ+->9.如图所示，已知正四棱锥S —ABCD 侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成角的大小为 （ ） A ．90° B ．60° C ．45°D ．30°10.已知圆O ：x 2+y 2=1，圆O 1：（x ﹣错误！未找到引用源。

正视图 侧视图俯视图考试范围：必修2第一章 第四章（注：本试卷满分150分，时间120分钟，不准使用计算器）一 、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.已知ABCD 为平行四边形，且A （4，1，3），B （2，－5，1），C （3，7，－5），则点D 的坐标为 （ ）A ．（27，4，－1） B ．（2，3，1） C ．（－3，1，5） D ．（5，13，－3）2.圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于,A B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（ ）A . 30x y ++=B ．250x y --=C ．390x y --=D ．4370x y -+=3.若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是（ ）A ． 50<<kB ． 05<<-kC ． 130<<kD ． 50<<k4.圆()2211y x +=-被直线0x y -=分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为 （ ）A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶55.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 、π3B 、π33 C 、π334 D 、π332 6.从圆222210x x y y -+-+=外一点(3,2)P向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ）Ａ. 12 Ｂ. 35Ｄ. 07.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A 2a πB273a π C 2113a π D 25a π8.由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为（ ）A .1B .22C . 7D .39.若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22,则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A ． ]412[ππ， B ．]12512[ππ， C ．]36[ππ， D ．]20[π， 10.直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于Ｅ．F 两点，则∆EOF （O 为原点）的面积为（ ）A ．23 B ．43C ．52D ．556二 、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11.已知点)3,2,1(P ，)2,5,3(-Q ，它们在面xoy 内的射影分别是','Q P ，则=''Q P 。

余姚中学高三数学（理）第一次质量检测试卷(时间：120分钟 满分：150分 本次考试不准用计算器)一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U R =，集合{}3A x Z y x =∈=-{}5B x x =>,则I A =)(B C U （ ） A.[]3,5 B. [)3,5 C. {}4,5 D. {}3,4,5 2．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA u u u r ，OB uuu r ，则复数12zz 对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知,αβ的终边在第一象限，则“αβ>”是“sin sin αβ>” （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分与不必要条件4.已知2cos 23θ=，则44sin cos θθ-的值为 （ ） A 2 B 2- C 1811 D 29-5．将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图象向左平移6π个单位得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的图象 ( ) A ．关于直线24x π=对称 B ．关于直线 1124x π=对称 C ．关于点(,0)24π-对称 D ．关于点(,0)24π对称6．设函数()f x 的定义域为A ，且满足任意x A ∈恒有()()22f x f x +-=的函数可以是 ( )A ．22()log (1)f x x x =++ B ．3()(2)1f x x =-+C ．()1x f x x =- D ．2()(1)f x x =- 7.在等差数列{a n }中，a 1＝－2012，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2012的值等于 ( )A. －2011B. －2012C. －2014D. －20138.如图，函数()y f x =的图象为折线ABC ，设()()g x f f x =⎡⎤⎣⎦，则函数()y g x =的图象为 （ ） A．C ．9.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧∈---∈-=)1,0[,1)1(1)0,1[,)(x x f x x x f ，若方程0)(=+-k kx x f 有两个实数根，则k 的取值范围是 （ ） A. 11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦ B. 1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C. [)1,-+∞ D. 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭10.设O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足()sin sin AB ACOP OA AB B AC Cλ=++u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r，()+∞∈,0λ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的 （ ） A ．外心 B.内心 C.重心 D.垂心二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分,请将答案填在相对应空格． 11.设集合A ＝{x |x ＝5k ＋1，k ∈N}，B ＝{x |0≤x ≤6，x ∈Q}，则A ∩B ＝________.12.已知向量a ρ，b ρ满足1||=，2||=，a b a ρϖρ⊥-)(，则向量a ρ与向量b ρ的夹角为 ．13.已知数列{a n }为等差数列，若 a 7a 6<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0的n 的y yy y最大值为________．14．△ABC 中，若22,sin a b C B -==，则A = ▲ .15.设=)(x f R x x x ∈+,3，当02πθ≤≤时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值范围是16．已知函数211()()6(,1)12x f x x bx a b a a =+++>-为常数，，且8(lg log 1000)8f =，则(lg lg 2)f 的值是 ▲ .17．设函数()f x 的定义域、值域分别为A,B ，且A B I 是单元集，下列命题：①若{}A B a =I ，则()f a a =；②若B 不是单元集，则满足[]()()f f x f x =的x 值可能不存在； ③若()f x 具有奇偶性，则()f x 可能为偶函数；④若()f x 不是常数函数，则()f x 不可能为周期函数； 其中，正确命题的序号为 ．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．18．已知p ：28200x x -++≥，q ：22210(0)x x m m -+-≤>．（1）若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围；（2）若“非p ”是“非q ”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．19．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1cos .2a C cb += （1）求角A 的大小；（2）若△ABC 的周长为3，求△ABC 的面积的最大值．20.已知向量2,1),(cos ,cos )444x x x m n ==u r r ，记()f x m n =u r r g ， （1）求()f x 的值域和单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=，若1()2f A +=，试判断ABC ∆的形状。

余姚中学高二实验班数学期中试卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案写在答题卷中的相应位置上) 1.设n m l ,,为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的个数是 （ ）①若α⊥l ，则l 与α相交 ②若，，，，n l m l n m ⊥⊥⊂⊂αα则α⊥l ③若l ||m ，m ||n ，α⊥l ，则α⊥n ④若l ||m ，α⊥m ，α⊥n ，则l ||nA ．1B ．2C ．3D ．42. 若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是( ))(A 50<<k )(B 05<<-k )(C 130<<k )(D 50<<k3．方程2212sin 6sin 2x y θθ+=+-所表示的曲线为( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在x 轴上的双曲线 D ．焦点在y 轴上的双曲线4.如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是 （ ）正视图侧视图俯视图A ．B ．C ．D ． 5.已知圆222410x y x y ++-+=关于直线220ax by -+=41(0,0),a b a b>>+对称则的最小值是（ ）A ．4B ．6C ． 8D ．96．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中 ⑴BM 与ED 平行 ⑵CN 与BE 是异面直线 ⑶CN 与BM 成60︒ ⑷DN 与FN 垂直以上四个命题中，正确命题的序号是（ ） A.⑴⑵⑶ B.⑵⑷ C.⑶⑷ D.⑵⑶⑷7．双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的渐近线上任意一点P 到两个焦点的距离之差的绝对值与2a 的大小关系为（ ）A ．恒等于2aB ．恒大于2aC ．恒小于2aD ．不确定8.一个半径为2的球放在桌面上，桌面上的一点1A 的正上方有一个光源A ，1AA 与球相切，16,AA =球在桌面上的投影是一个椭圆，则这个椭圆的离心率等于（ ）A ．12 B．2 C．3 D．29.椭圆2212516x y +=的左右焦点分别为12,F F ，弦AB 过1F ，若2ABF ∆的内切圆周长为π，,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则12y y -值为 （ ） A ．103B ．53C ．203 D．310．已知双曲线200822=-y x 的左、右顶点分别为1A 、2A ，P 为其右支上一点，且 21214A PA PA A ∠=∠，则21A PA ∠等于（ ）A ．12πB ．36πC ．18π D 无法确定二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分,把答案填在答题卷中的相应位置上) 11.在抛物线y 2=16x 内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________. 12将直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位长度，则所得到的直线方程为 。

2023-2024学年浙江省宁波市余姚中学高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．在平面直角坐标系中，斜率为√3的直线倾斜角为（ ） A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°2．如图，空间四边形OABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，点M 在OA →上，且OM ＝2MA ，点N 为BC 中点，则MN →=（ ）A ．12a →−23b →+12c →B ．−23a →+12b →+12c →C ．12a →+12b →−12c →D ．23a →+23b →−12c →3．已知向量a →、b →是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c →在直线l 上，则c →•a →=0，且c →•b →=0是l ⊥α的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．从分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片中，无放回地随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是5的倍数的概率为（ ） A ．13B ．25C ．35D ．155．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的13，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm ，五眼中一眼的宽度为1cm ，如图中提供的直线AB 近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（ ）A．1.8cm B．2.5cm C．3.2cm D．3.9cm6．已知函数y＝xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y＝f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．7．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）A．平均数为3，中位数为2B．中位数为3，众数为2C．平均数为2，方差为2.4D．中位数为3，方差为2.88．过直线3x+4y+12＝0上一点P作圆C：x2+y2﹣2x＝0的切线，切点为A，B，则四边形P ACB的面积的最小值为（）A．√6B．2√2C．3D．2√3二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求）9．已知圆O 1：(x −1)2+y 2=4和圆O 2：x 2+(y −1)2=2的交点为A ，B ，则（ ） A ．两圆的圆心距|O 1O 2|＝2 B ．直线AB 的方程为x ﹣y +1＝0C ．圆O 2上存在两点P 和Q 使得|PQ |＞|AB |D ．圆O 1上的点到直线AB 的最大距离为2+√210．抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子，用a 表示黄色骰子朝上的点数，b 表示白色骰子朝上的点数，用（a ，b ）表示一次试验的结果，该试验的样本空间为Ω，事件A ＝“关于x 的方程2x 2﹣2（a +b ）x +5（a +b ）＝0无实根”，事件B ＝“a ＝4”，事件C ＝“b ＜4”，事件D ＝“ab ＞20”则（ ） A ．A 与B 互斥 B ．A 与D 对立 C ．B 与C 相互独立D ．B 与D 相互独立11．某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村振兴”．从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人，中年人，其他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列说法正确的有（ ）A ．该平台女性主播占比的估计值为0.4B ．从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为0.7C ．按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取6名D ．从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，已知该幸运主播是青年人的条件下，又是女性的概率为0.612．如图，棱长为6的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 满足AM →=λAC 1→，CN →=μCD →，其中λ、μ∈（0，1），点P 是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（ ）A ．当λ=13时，DM ∥平面CB 1D 1B ．当μ=12时，若B 1P ∥平面A 1NC 1，则|B 1P |的最大值为3√5C ．当λ=μ=12时，若PM ⊥D 1N ，则点P 的轨迹长度为12+6√5D ．过A 、M 、N 三点作正方体的截面，截面图形可以为矩形 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．若直线x +ay ＝0与直线（a +1）x +2y +a ﹣2＝0平行，则a ＝ ．14．点A （1，2，1），B （3，3，2），C （1，4，3），若D 在线段AB 上，且满足CD ⊥AB ，则点D 的坐标为 ．15．已知函数f （x ）＝e x +1，g （x ）＝lnx +1，其中e 是自然对数的底数．设直线y ＝t （t ＞0）与曲线y ＝f （x ）与y ＝g （x ）分别交于A （x 1，f （x 1）），B （x 2，g （x 2））两点，若对任意t ＞0，均有x 2﹣x 1＞a 成立，则a 的取值范围为 ．16．已知函数f(x)={xe x+e −e 2，x ≤0−x 2−14，x ＞0，点M ，N 是函数y ＝f （x ）图象上不同的两个点，设O 为坐标原点，则tan ∠MON 的取值范围是 ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛；从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]得到如图所示的频率分布直方图． （Ⅰ）求频率分布直方图中a 的值； （Ⅱ）求样本成绩的第75百分位数；（Ⅲ）已知落在[50，60）的平均成绩是51，方差是7，落在[60，70）的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩的总平均数z 和总方差s 2．18．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面P AB ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，P A ＝BC ＝3，AB＝AD＝2，PB=√13．E为PD中点，点F在PC上，且PC＝3FC．（1）求证：AB⊥平面P AD；（2）求二面角F﹣AE﹣D的余弦值；（3）线段AC上是否存在点Q，使得DQ∥平面F AE？说明理由．19．（12分）如图，公路AM、AN围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα＝﹣1，在该块土地中P 处有一小型建筑，经测量，它到公路AM、AN的距离分别为1km，√2km，现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园．（1）以A为坐标原点建立适当的平面直角坐标系，并求出P点的坐标；（2）三条公路围成的工业园区ABC的面积恰为4km2，求公路BC所在直线方程．20．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣lnx．（1）求函数f（x）的极值；（2）证明：当0＜a＜1时，∃x∈（0，+∞），使得f（x）＜3a﹣a2﹣ln2．21．（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)过点M(√22，√32)，且离心率为e=√22．（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆C和圆O：x2+y2＝1．过点A（m，0）（m＞1）作直线l1和l2，且两直线的斜率之积等于1，l1与圆O相切于点P，l2与椭圆相交于不同的两点M、N，求m的取值范围．22．（12分）已知函数f(x)=a(x+4)e x，其中a∈R且a≠0．（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若存在实数x0，使得f（x0）＝x0，则称x0为函数f（x）的“不动点”求函数f（x）的“不动点”的个数；（3）若关于x的方程f（f（x））＝f（x）有两个相异的实数根，求a的取值范围．2023-2024学年浙江省宁波市余姚中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．在平面直角坐标系中，斜率为√3的直线倾斜角为（ ） A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°解：设此直线的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°），∵tan θ=√3，∴θ＝60°， 故选：B ．2．如图，空间四边形OABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，点M 在OA →上，且OM ＝2MA ，点N 为BC 中点，则MN →=（ ）A ．12a →−23b →+12c →B ．−23a →+12b →+12c →C ．12a →+12b →−12c →D ．23a →+23b →−12c →解：由题意MN →=MA →+AB →+BN → =13OA →+OB →−OA →+12BC → =−23OA →+OB →+12OC →−12OB →=−23OA →+12OB →+12OC →又OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，∴MN →=−23a →+12b →+12c →故选：B ．3．已知向量a →、b →是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c →在直线l 上，则c →•a →=0，且c →•b →=0是l ⊥α的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：（1）由c →⋅a →=0，c →⋅b →=0得，c →⊥a →，c →⊥b →； ∵a →，b →所在直线不一定相交，c →所在直线为l ； ∴得不到l ⊥α；即c →⋅a →=0，且c →⋅b →=0不是l ⊥α的充分条件；（2）若l ⊥α，向量a →，b →所在直线在平面α内，c →在直线l 上；∴c →⊥a →，c →⊥b →；∴c →⋅a →=0，且c →⋅b →=0；即c →•a →=0，且c →•b →=是l ⊥α的必要条件； 综上得c →•a →=0，且c →•b →=是l ⊥α的必要不充分条件． 故选：B ．4．从分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片中，无放回地随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是5的倍数的概率为（ ） A ．13B ．25C ．35D ．15解：由题意可知，从6个数字中无放回地随机抽取两张，共有6×5＝30种结果， 若要是5的倍数，则两张卡片中必有一张是5， 若第一张抽到的是5，共有5种抽法， 若第二张抽到的是5，共有5种抽法，故抽到的两张卡片上的数字之积是5的倍数的共10种抽法， 所以所求概率为P =1030=13． 故选：A ．5．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的13，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm ，五眼中一眼的宽度为1cm ，如图中提供的直线AB 近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（ ）A ．1.8cmB ．2.5cmC ．3.2cmD ．3.9cm解：如图所示：以鼻尖所在位置为原点O ，中庭下边界为x 轴，垂直中庭下边界为y 轴，建立平面直角坐标系， 则A(12，4)，B(−32，2)，直线AB ：y−42−4=x−12−32−12，整理为x −y +72=0，原点O 到直线距离为|72|√1+1=7√24≈2.5．故选：B ．6．已知函数y ＝xf ′（x ）的图象如图所示（其中f ′（x ）是函数f （x ）的导函数），下面四个图象中，y ＝f （x ）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．解：由图象看出，﹣1＜x ＜0，和x ＞1时xf ′（x ）＞0；x ≤﹣1，和0≤x ≤1时xf ′（x ）≤0； ∴﹣1＜x ≤1时，f ′（x ）≤0；x ＞1，或x ≤﹣1时，f ′（x ）≥0； ∴f （x ）在（﹣1，1]上单调递减，在（﹣∞，﹣1]，（1，+∞）上单调递增； ∴f （x ）的大致图象应是B ． 故选：B ．7．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）A．平均数为3，中位数为2B．中位数为3，众数为2C．平均数为2，方差为2.4D．中位数为3，方差为2.8解：对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误；对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B 错误；对于C，若平均数为2，且出现6点，则方差S2＞15（6﹣2）2＝3.2＞2.4，∴平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故C正确；对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为：x=15（1+2+3+3+6）＝3方差为S2=15[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（6﹣3）2]＝2.8，可以出现点数6，故D错误．故选：C．8．过直线3x+4y+12＝0上一点P作圆C：x2+y2﹣2x＝0的切线，切点为A，B，则四边形P ACB的面积的最小值为（）A．√6B．2√2C．3D．2√3解：圆C：x2+y2﹣2x＝0的圆心C（1，0），半径r＝1，由于AC⊥P A，BC⊥PB，|P A|＝|PB|，可得四边形P ACB的面积为12r|P A|+12r|PB|＝r|P A|＝|P A|，又|P A|2＝|PC|2﹣r2＝|PC|2﹣1，要求四边形P ACB的面积的最小值，只需求|P A|的最小值，即求|PC|的最小值．而|PC|的最小值为C到直线3x+4y+12＝0的距离d．由点到直线的距离公式可得d=|3+0+12|√9+16=3，所以|P A|的最小值为√32−1=2√2，则四边形P ACB的面积的最小值为2√2．故选：B．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求）9．已知圆O1：(x−1)2+y2=4和圆O2：x2+(y−1)2=2的交点为A，B，则（）A．两圆的圆心距|O1O2|＝2B．直线AB的方程为x﹣y+1＝0C．圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|＞|AB|D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+√2解：圆O1的圆心坐标为（1，0），圆O2的圆心坐标（0，1），对于A，因为两个圆相交，所以两圆的圆心距|O1O2|=√(1−0)2+(0−1)2=√2，故A错误；对于B，将两圆方程作差可得﹣2x+2y﹣2＝0，即得公共弦AB的方程为x﹣y+1＝0，故B正确；对于C，直线AB经过圆O2的圆心坐标（0，1），所以线段AB是圆O2的直径，故圆O2中不存在比AB 长的弦，故C错误；=√2，对于D，圆O1的圆心坐标为（1，0），半径为2，圆心到直线AB：x﹣y+1＝0的距离为√2故圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+√2，故D正确．故选：BD．10．抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子，用a表示黄色骰子朝上的点数，b表示白色骰子朝上的点数，用（a，b）表示一次试验的结果，该试验的样本空间为Ω，事件A＝“关于x的方程2x2﹣2（a+b）x+5（a+b）＝0无实根”，事件B＝“a＝4”，事件C＝“b＜4”，事件D＝“ab＞20”则（）A．A与B互斥B．A与D对立C．B与C相互独立D．B与D相互独立解：根据题意，Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}，共36个基本事件；事件A＝“关于x的方程2x2﹣2（a+b）x+5（a+b）＝0无实根”，则Δ＝4（a+b）2﹣40（a+b）＜0，必有0＜a+b＜10，则事件A＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，1），（6，2），（6，3）}，共30个基本事件；事件B＝{（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6）}，共6个基本事件；事件C＝{（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（6，1），（6，2），（6，3）}，共18个基本事件；事件D＝“ab＞20”，D＝{（4，6）、（5，5）、（5，6）、（6，4）、（6，5）、（6，6）}，共6个基本事件；分析选项：对于A，A与B可能同时发生，A、B不是互斥事件，A错误；对于B，A与D对立，B正确；对于C，事件BC＝{（4，1），（4，2），（4，3）}，有3个基本事件，则P（BC）=336=112，而P（B）=636=16，P（C）=1836=12，有P（B）P（C）＝P（BC），则B与C相互独立，C正确；对于D，事件BD＝{（4，6）}，有1个基本事件，则P（BD）=1 36，P（B）=636=16，P（D）=636=16，有P（B）P（D）＝P（BD），则B与D相互独立，D正确．故选：BCD．11．某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村振兴”．从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人，中年人，其他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列说法正确的有（）A．该平台女性主播占比的估计值为0.4B．从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为0.7 C．按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取6名D．从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，已知该幸运主播是青年人的条件下，又是女性的概率为0.6解：该平台女性主播占比的估计值为60%×40%+30%×30%+10%×70%＝0.4，A 选项正确； 随机抽取一位主播是中年男性的概率为30%×70%＝0.21，B 选项错误；用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取20×30%＝6名，C 选项正确；随机选取一位做为幸运主播，设该幸运主播是青年人为事件A ，该幸运主播是女性为事件B ，则P(B|A)=P(AB)P(A)=60%×40%60%=0.4，D 选项错误； 故选：AC ．12．如图，棱长为6的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 满足AM →=λAC 1→，CN →=μCD →，其中λ、μ∈（0，1），点P 是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（ ）A ．当λ=13时，DM ∥平面CB 1D 1B ．当μ=12时，若B 1P ∥平面A 1NC 1，则|B 1P |的最大值为3√5C ．当λ=μ=12时，若PM ⊥D 1N ，则点P 的轨迹长度为12+6√5D ．过A 、M 、N 三点作正方体的截面，截面图形可以为矩形解：建立如图所示的空间直角坐标系，则D 1（0，0，0）、B 1（6，6，0）、C （0，6，6）、A （6，0，6）、D （0，0，6）、C 1（0，6，0），当λ=13时，DM →=AM →−AD →=13AC 1→−AD →=13(−6，6，−6)−(−6，0，0)=(4，2，−2)，设平面CB 1D 1的法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)，因为D 1B 1→=(6，6，0)，D 1C →=(0，6，6)，所以{m →⋅D 1B 1→=6x 1+6y 1=0m →⋅D 1C →=6y 1+6z 1=0，不妨取y 1＝﹣1，可得m →=(1，−1，1)，所以m →⋅DM →=4−2−2=0，则m →⊥DM →， 因为DM ⊄平面CB 1D 1，故当λ=13时，DM ||平面CB 1D 1，A 对；当μ=12时，N 为CD 中点，分别取AB 、BC 中点G 、H ，连接B 1G 、GH 、B 1H 、A 1C 1、GN ，因为G 、H 分别为AB 、BC 的中点，所以GH ||AC ，又因为AA 1||CC 1且AA 1＝CC 1，所以四边形AA 1C 1C 为平行四边形，所以AC ||A 1C 1， 因为GH ||AC ，所以GH ||A 1C 1，因为GH ⊄平面A 1NC 1，A 1C 1⊂平面A 1NC 1，所以GH ||平面A 1NC 1， 同理可得，B 1G ||平面A 1NC 1，因为B 1G ∩GH ＝G ，B 1G 、GH ⊂平面B 1GH ，所以平面B 1GH ||平面A 1NC 1，当点P 为△B 1GH 的边上一点（异于点B 1）时，则B 1P ⊂平面B 1GH ，则B 1P ||平面A 1NC 1， 故点P 的轨迹为△B 1GH 的边（除去点B 1）．因为|B 1G|=√BB 12+BG 2=√62+32=3√5，同理可得|B 1H|=3√5，结合图形可得|B 1P|max =|B 1G|=|B 1H|=3√5，B 正确；当λ=μ=12时，M 、N 分别为AC 1、CD 的中点，如图所示：此时点N （0，3，6）、M （3，3，3）、D 1（0，0，0），D 1N →=(0，3，6)，当点P 在平面AA 1D 1D 内运动时，设点P （x ，0，z ），其中0≤x ≤6，0≤z ≤6，则MP →=(x −3，−3，z −3)，因为D 1N ⊥MP ，则D 1N →⋅MP →=−9+6(z −3)=6z −27=0，解得z =92，设点P 的轨迹分别交棱AA 1、DD 1于点R 、Q ，则R(6，0，92)、Q(0，0，92)，当点P 在平面CC 1D 1D 内运动时，设点P （x ，0，z ），其中0≤y ≤6，0≤z ≤6，MP →=(−3，y −3，z −3)， 则D 1N →⋅MP →=3y −9+6(z −3)=3y +6z −27=0，设点P 的轨迹交棱CC 1于点F ，则F(0，6，32)，设点P 的轨迹交棱BB 1于点T ，因为平面AA 1D 1D ||平面BB 1C 1C ，平面RQFT ∩平面AA 1D 1D ＝RQ ，平面RQFT ∩平面BB 1C 1C ＝FT ， 所以RQ ||FT ，同理可得QF ||RT ，所以四边形RQFT 为平行四边形，且|FT |＝|RQ |＝6，|RT|=|FQ|=√02+62+(32−92)2=3√5，因此，点P 的轨迹的长度即为平行四边形RQFT 的周长2(6+3√5)=12+6√5，C 对； 设截面AMN 交棱A 1B 1于点U ，连接AU 、C 1U ，由题意，截面AMN 与平面AC 1N 重合，因为平面ABCD ||平面A 1B 1C 1D 1，平面ANC 1∩平面ABCD ＝AN ，平面ANC 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝C 1U ， 所以AN ||C 1U ，同理可得AU ||C 1U ，所以四边形AUC 1N 为平行四边形，易知N （0，6﹣6λ，6），其中0＜λ＜1，所以AN →=(−6，6−6λ，0)，C 1N →=(0，−6λ，6)， 所以AN →⋅C 1N →=−6λ(6−6λ)=36λ(λ−1)＜0，故AN 与C 1N 不可能垂直， 故平行四边形AUC 1N 不可能为矩形，即过A 、M 、N 三点的截面不可能是矩形，所以D 错．故选：ABC ．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．若直线x +ay ＝0与直线（a +1）x +2y +a ﹣2＝0平行，则a ＝ 1或﹣2 ． 解：因为直线x +ay ＝0与直线（a +1）x +2y +a ﹣2＝0平行， 所以a （a +1）＝1×2，解得a ＝1或a ＝﹣2，检验：当a ＝1或a ＝﹣2时，两条直线均不重合，所以a ＝1或a ＝﹣2． 故答案为：1或﹣2．14．点A （1，2，1），B （3，3，2），C （1，4，3），若D 在线段AB 上，且满足CD ⊥AB ，则点D 的坐标为 (73，83，53) ．解：设D 的坐标为D （x ，y ，z ），则CD →=(x −1，y −4，z −3)， AB →=(2，1，1)，AD →=(x −1，y −2，z −1)， 因为D 在线段AB 上，且满足CD ⊥AB ，所以CD →⊥AB →，AD →∥AB →，即{2(x −1)+(y −4)+(z −3)=0x−12=y−21=z−11，解得：{x =73y =83z =53，所以点D 的坐标为(73，83，53)．故答案为：(73，83，53)．15．已知函数f （x ）＝e x +1，g （x ）＝lnx +1，其中e 是自然对数的底数．设直线y ＝t （t ＞0）与曲线y ＝f （x ）与y ＝g （x ）分别交于A （x 1，f （x 1）），B （x 2，g （x 2））两点，若对任意t ＞0，均有x 2﹣x 1＞a 成立，则a 的取值范围为 （﹣∞，2） ． 解：已知函数f （x ）＝e x +1，g （x ）＝lnx +1，因为直线y ＝t （t ＞0）与曲线y ＝f （x ）与y ＝g （x ）分别交于A （x 1，f （x 1）），B （x 2，g （x 2））两点， 所以f(x 1)=e x 1+1=t ，g(x 2)=lnx 2+1=t ， 所以x 1=lnt −1，x 2=e t−1， 此时x 2−x 1=e t−1−lnt +1，当t ＞0时，不妨设h （t ）＝e t ﹣1﹣lnt +1，可得ℎ′(t)=e t−1−1t，当0＜t ＜1时，h ′（t ）＜0，h （t ）单调递减； 当t ＞1时，h ′（t ）＞0，h （t ）单调递增，所以当t ＝1时，函数h （t ）取得极小值也是最小值，最小值为h （1）＝2， 则对任意t ＞0，均有x 2﹣x 1＞a 成立， 此时a ＜（x 2﹣x 1）min ＝h （t ）min ＝2， 则a 的取值范围为（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．16．已知函数f(x)={xe x+e−e 2，x ≤0−x 2−14，x ＞0，点M ，N 是函数y ＝f （x ）图象上不同的两个点，设O 为坐标原点，则tan ∠MON 的取值范围是 （0，2+ee )．． ．解：当x ≤0时，f(x)=xex+e −e 2，f ′(x)=e x+e −xe x+e e 2x+2e =e x+e (1−x)e 2x+2e=1−xe x+e ＞0，f(x)=xe x+e −e 2在（﹣∞，0]上单调递增，作出函数f(x)={xe x+e −e 2，x ≤0−x 2−14，x ＞0的图象如图， 设过原点且与f （x ）（x ≤0）的图象相切的切线方程为y ＝kx ，切点为(x 0，x 0ex 0+e−e 2)，所以切线方程为y =1−x 0e x 0+e (x −x 0)+x 0ex 0+e −e 2， 将原点坐标代入切线方程可得，x 02−x 0e x 0+e+x 0e x 0+e−e 2=0，即x 02e x 0+e−e 2=0，即x 02e x 0+e=e 2，构造函数q （x ）＝x 2e ﹣x ﹣e（x ≤0），则g '（x ）＝（2x ﹣x 2）e﹣x ﹣e≤0，∴函数g （x ）＝x 2e ﹣x ﹣e在（﹣∞，0]上单调递减，且g （﹣e ）＝e 2，得x ＝﹣e ，则k =1+ee 0=1+e ， 而函数f(x)=−x 2−14（x ＞0）过原点的切线方程为y ＝﹣x ，设直线y ＝（1+e ）x 到直线y ＝﹣x 的角为θ， 则tanθ=−1−(1+e)1−1−e =2+ee，结合图形可知，tan ∠MON 的取值范围是（0，2+ee )．故答案为：（0，2+ee)．．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛；从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）求样本成绩的第75百分位数；（Ⅲ）已知落在[50，60）的平均成绩是51，方差是7，落在[60，70）的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩的总平均数z和总方差s2．解：（Ⅰ）由频率分布直方图可得（0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010）×10＝1，解得a＝0.030；（Ⅱ）成绩落在[40，80）内的频率为（0.005+0.010+0.020+0.030）×10＝0.65＜0.75，落在[40，90）内的频率为（0.005+0.010+0.020+0.030+0.025）×10＝0.9＞0.75，设第75百分位数为m，则m落在区间[80，90）内，由0.65+（m﹣80）×0.025＝0.75，得m＝84，即第75百分位数为84；（Ⅲ）由图可知，成绩在[50，60）的市民人数为100×0.1＝10，成绩在[60，70）的市民人数为100×0.2＝20，故两组成绩的总平均数z=10×51+20×6330=59，由样本方差计算总体方差公式可得总方差为：s2=130{10[7+（51﹣59）2]+20[4+（63﹣59）2]}＝37．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AB⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，P A＝BC＝3，AB ＝AD＝2，PB=√13．E为PD中点，点F在PC上，且PC＝3FC．（1）求证：AB⊥平面P AD；（2）求二面角F﹣AE﹣D的余弦值；（3）线段AC上是否存在点Q，使得DQ∥平面F AE？说明理由．（1）证明：在△P AB中，∵P A＝3，AB＝2，PB=√13，∴PA2+AB2=32+22=(√13)2=PB2．∴∠P AB ＝90°，即AB ⊥P A ．又∵AB ⊥AD ，在平面P AD 中，P A ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面P AD ；（2）解：∵平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ， AB ⊥AD ，AD ⊂平面ABCD ，∴AD ⊥平面P AB ，得AD ⊥P A ，已证AB ⊥P A ，且已知AB ⊥AD ，∴以A 为坐标原点，分别以AD 、AB 、AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则D （2，0，0），P （0，0，3），C （3，2，0）．AP →=(0，0，3)，AD →=(2，0，0)，AC →=(3，2，0)，CP →=(−3，−2，3)，∵E 为PD 中点，∴AE →=12(AP →+AD →)=(1，0，32)．由PC ＝3FC 知，AF →=AC →+CF →=AC →+13CP →=(3，2，0)+(−1，−23，1)=(2，43，1)．设平面AEF 的法向量为n →=(x ，y ，z)，由{n →⋅AE →=x +32z =0n →⋅AF →=2x +43y +z =0，令z ＝2，得n →=(−3，3，2)．又AB ⊥平面P AD ，∴平面P AD 的法向量为AB →=(0，2，0)． ∴cos〈n →，AB →〉=n →⋅AB→|n →||AB →|=2×9+9+4=3√2222，由题知，二面角F ﹣AE ﹣D 为锐角，∴二面角F ﹣AE ﹣D 的余弦值为3√2222；（3）解：设Q 是线段AC 上一点，则存在λ∈[0，1]使得AQ →=λAC →． ∵AC →=(3，2，0)，DA →=(−2，0，0)，∴DQ →=DA →+AQ →=DA →+λAC →=(3λ−2，2λ，0)． ∵DQ ⊄平面AEF ，∴要使DQ ∥平面AEF ，则DQ →⋅n →=0，即（3λ﹣2，2λ，0）•（﹣3，3，2）＝0．即（3λ﹣2）×（﹣3）+2λ×3+0×2＝0．解得λ＝2．∵λ＝2∉[0，1]，∴线段AC上不存在Q，使得DQ∥平面AEF．19．（12分）如图，公路AM、AN围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα＝﹣1，在该块土地中P 处有一小型建筑，经测量，它到公路AM、AN的距离分别为1km，√2km，现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园．（1）以A为坐标原点建立适当的平面直角坐标系，并求出P点的坐标；（2）三条公路围成的工业园区ABC的面积恰为4km2，求公路BC所在直线方程．解：（1）以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，由题意，设点P（a，1），且直线AN的斜率为k AN＝tanα＝﹣1，经过点A（0，0），所以直线AN的方程为x+y＝0，又点P到直线AN的距离为√2，所以√2=√2，解得a＝1或a＝﹣3（舍），故点P的坐标为（1，1）；（2）由题意可知，直线BC的斜率一定存在，设直线BC的直线方程为y﹣1＝k（x﹣1），联立直线BC与AN的方程，{y−1=k(x−1) x+y=0，解得点C的坐标为(k−1k+1，1−kk+1)，在直线BC的方程中，令y＝0，解得x B=−1k+1=k−1k，所以S△ABC=12⋅k−1k⋅(−k−1k+1)=4，解得k=−1 3，故直线BC的方程为x+3y﹣4＝0．20．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣lnx．（1）求函数f（x）的极值；（2）证明：当0＜a＜1时，∃x∈（0，+∞），使得f（x）＜3a﹣a2﹣ln2．解：（1）已知f（x）＝ax﹣lnx，函数定义域为（0，+∞），可得f′(x)=a−1x=ax−1x，当a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，无极值；当x∈(0，1a)时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈(1a，+∞)时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以当x=1a时，函数f（x）取得极小值，极小值f（1a）＝1+lna，无极大值，综上，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上无极值；当a＞0时，f（x）的极小值为1+lna，无极大值；（2）证明：由（1）知，当0＜a＜1时，f（x）的最小值为1+lna，若∃x∈（0，+∞），使得f（x）＜3a﹣a2﹣ln2，此时a2﹣3a+1+lna+ln2＜0，不妨设g（a）＝a2﹣3a+1+lna+ln2，函数定义域为（0，1），可得g′(a)=2a−3+1a=(2a−1)(a−1)a，当a∈(0，12)时，g′（a）＞0，g（a）单调递增，当a∈(12，1)时，g′（a）＜0，g（a）单调递减，所以当a=12时，g(a)max=g(12)=14−32+1+ln12+ln2=−14＜0，故∃x∈（0，+∞），使得f（x）＜3a﹣a2﹣ln2．21．（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)过点M(√22，√32)，且离心率为e=√22．（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆C和圆O：x2+y2＝1．过点A（m，0）（m＞1）作直线l1和l2，且两直线的斜率之积等于1，l1与圆O相切于点P，l2与椭圆相交于不同的两点M、N，求m的取值范围．（1）解：由椭圆C：x2a2+y2b2=1过点M(√22，√32)，且离心率为e=√22，可得{12a2+34b2=1e=ca=√22a2=b2+c2，解得a2＝2，b2＝1，c2＝1，所以椭圆C的标准方程为x22+y2=1．（2）解：由题意，两直线l1、l2的斜率均存在，且两直线的斜率之积为1，设l2的斜率为k，则l1的斜率为1k(k≠0)，则直线l2的方程为y＝k（x﹣m），即kx﹣y﹣km＝0，直线l1的方程为y=1k(x−m)，即x﹣ky﹣m＝0，因为l1与圆O相切于点P，所以√1+k2=1，化简得m2＝1+k2，由{y=k(x−m)x22+y2=1，整理得（2k2+1）x2﹣4mk2x+2k2m2﹣2＝0，所以Δ＝（﹣4mk2）2﹣4（2k2+1）（2m2k2﹣2）＞0，化简得1+k2（2﹣m2）＞0，由m2＝1+k2，可得k2＝m2﹣1，代入上式化简得m4﹣3m2+1＜0，解得3−√52＜m2＜3+√52，又因为m＞1，可得1＜m2＜3+√52，得1＜m＜√5+12，所以m的取值范围是(1，√5+12)．22．（12分）已知函数f(x)=a(x+4)e x，其中a∈R且a≠0．（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若存在实数x0，使得f（x0）＝x0，则称x0为函数f（x）的“不动点”求函数f（x）的“不动点”的个数；（3）若关于x的方程f（f（x））＝f（x）有两个相异的实数根，求a的取值范围．解：（1）当a＝1时，f（x）=x+4e x，定义域为R，f′（x）=−x+3e x，令f ′（x ）＝0，得x ＝﹣3，∴当x ＜﹣3时，f ′（x ）＞0；当x ＞﹣3时，f ′（x ）＜0．∴f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，﹣3），单调递减区间为（﹣3，+∞）．（2）函数f （x ）的不动点即为方程f （x ）﹣x ＝0的根，即方程a(x+4)e x −x ＝0， ∴xe x x+4−a ＝0，设F （x ）=xe x x+4−a （x ≠﹣4）， F ′（x ）=(x+2)2e x (x+4)2≥0，当且仅当x ＝﹣2时取等号， ∴F （x ）在（﹣∞，﹣4）和（﹣4，+∞）上单调递增，由F （x ）=xe x −a(x+4)x+4，设h （x ）＝xe x ﹣a （x +4）， 当a ＞0时，若x ∈（﹣∞，﹣4）时，h （﹣4）=−4e 4＜0，h （﹣4−1ae ）＞0， ∴存在t 1∈（﹣∞，﹣4），使得h （t 1）＝0，即存在唯一t 1∈（﹣∞，﹣4），使得F （t 1）＝0， 当x ∈（﹣4，+∞）时，h （0）＝﹣4a ＜0，h （4a ）＞0，存在t 2∈（0，+∞），使得h （t 2）＝0，即存在唯一t 2∈（0，+∞）使得F （t 2）＝0， 当a ＜0时，当x ∈（﹣∞，﹣4）时，F （x ）=xe x x+4−a ＞0无零点， 当x ∈（﹣4，+∞）时，∵h （0）＝﹣4a ＞0，h （﹣4）=−4e 4＜0， 存在t 0∈（﹣4，0），使得h （t 0）＝0，即存在唯一t 0∈（﹣4，+∞）使得F （t 0）＝0， 综上所述，当a ＞0时，函数f （x ）有两个“不动点”t 1，t 2，当a ＜0时，函数f （x ）有一个“不动点”．（3）∵f （f （x ））﹣f （x ）＝0，由（2）可得f （x ）＝t i （其中i ∈{0，1，2}），由F （t i ）＝0得a =t i e t i t i +4，代入x+4e x =t i +4e t i， 设G （x ）=x+4e x， 由（1）知，当x ∈（﹣∞，﹣4]时，G （x ）单调递增，且G （x ）∈（﹣∞，0]， ∴在（﹣4，﹣3）上G （x ）单调递增，且G （x ）∈（0，e 3），在（﹣3，+∞）上G （x ）单调递减，且G （x ）∈（0，e 3），由G（x）＝G（t1）＜0可得x＝t1，G（x）＝G（t2）＞0可得x＝t2，x0，共三个解，∴F（t）有一个零点t0，∴f（f（x））﹣f（x）＝0，∴f（x）＝t0，由F（t0）＝0得a=t0e t0t0+4，代入x+4e x=t0+4e t0，由（1）知当t0＝﹣3，即a=−3e3时，G（x1）＝G（t0）的解为t0，当t0≠﹣3，即a＜0且a≠−3e3时，G（x1）＝G（t0）的解为x1，t0，综上所述，当a＜0且a≠−3e3时方程有两个不同实数根．。