2011届高考数学权威预测：42算法的含义、程序框图

2011届高考数学一轮复习精品题集程序框图第4章框图§4.1-2流程图、结构图重难点：了解工序流程图（即统筹图）和结构图；能绘制简单实际问题的流程图，了解流程图在解决实际问题中的作用；会运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息．考纲要求：①了解程序框图．②了解工序流程图（即统筹图）和结构图．③能绘制简单实际问题的流程图，了解流程图在解决实际问题中的作用；会运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息．经典例题：画出解关于x的不等式，0<+bax(Rba∈,)的流程图.当堂练习：1A．．．2A． B． C． D．3．下列对程序框图的描述，正确的是（）A．只有一个起点，一个终点B．只有一个起点，一个或多个终点C．多个起点，一个或多个终点D．多个起点，只有一个终点4．右图是《集合》的知识结构图，如果要加入“子集”，则应该放在（）A．“集合的概念”的下位B．“集合的表示”的下位C．“基本关系”的下位D．“基本运算”的下位5．下面的程序框图的作用是按大小顺序输出两数，则括号处的处理可以是（）A ．A ←B ：B ←A B ．T ←B ：B ←A ：A ←TC ． T ←B ：A ←T ：B ←AD ．A ←B ：T ←A ：B ←T6．某成品的组装工序图如右，箭头上的数字表示组装过程中所需要的时间（小时），不同车间可同时工作，同一车间不能同时做两种或两种以上的工作，则组装该产品所需要的最短时间是（ ）A ．11B ．13C ．15D ．17 7．一般来说，一个复杂的流程图都可以分解成_________、_________、__________三种结构；8．一般地，对于树状结构图，下位比上位________，上位比下位___________； 9．读下面的流程图，若输入的值为－5时，输出的结果是__________.10．某公司做人事调整：设总经理一个，配有经理助理一名；设副经理两人，直接对总经理负责，设有6个部门，其中副经理A 管理生产部、安全部和质量部，经理B 管理销售部、财务部和保卫部；生产车间由生产部和安全部共同管理，公司配有质检中心和门岗。

2011年高考数学复习：9.1 算法与程序框图一、选择题（共5小题）1．下面程序框图中，循环体执行的次数是（）A．50 B．49 C．100 D．992．执行程序框图，若p=4，则输出的S等于（）A．B．C．D．3．（2009•天津）阅读如图的程序框图，则输出的S的值为（）A．9 B．36 C．100 D．2254．（2009•浙江）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．75．如图是一个算法的程序框图，当输入的x值为3时，输出y的结果恰好是，则？处的关系式是（）A．y=x3 B．y=3﹣x C．y=3x D．y=6．张老师给学生出了一道题，“试写一个程序框图，计算S=1++++”．发现同学们有如下几种做法，其中有一个是错误的，这个错误的做法是（）A．B．C．D．二、填空题（共3小题）7．如图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是_________．8．随机抽取某产品n件，测得其长度分别为a1，a2，…，a n，则如图所示的程度框图输出s=_________，s表示的样本的数字特征是_________．9．（2009•山东）执行程序框图，输出的T=_________．三、解答题（共3小题）10．已知某算法的程序框图如图所示，若将输出的（x，y）值依次记为（x1，y1）、（x2，y2）、…、（x n，y n）、…若程序运行中输出的一个数组是（x，﹣8），求x的值．11．画出计算S=1•22+2•23+3•24+…+10•211的值的程序框图．12．甲，乙两位同学为解决数列求和问题，试图编写一程序．两人各自编写的程序框图分别如图1和如图2．（1）根据图1和图2，试判断甲，乙两位同学编写的程序框图输出的结果是否一致？当n=20时分别求它们输出的结果；（2）若希望通过对图2虚框中某一步（或几步）的修改来实现“求首项为2，公比为3的等比数列的前n项和”，请你给出修改后虚框部分的程序框图．2011年高考数学复习：9.1 算法与程序框图参考答案与试题解析一、选择题（共5小题）1．下面程序框图中，循环体执行的次数是（）A．50 B．49 C．100 D．99考点：循环结构。

第十三章 推理与证明、算法初步高考试题考点一 算法与概率统计的交汇问题1.(2012年陕西卷,理10)如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图,P 表示估计结果,则图中空白框内应填入( )(A)P=1000N (B)P=41000N(C)P=1000M(D)P=41000M解析:由几何概型知点(x i ,y i )(i ≤1000)落在单位圆在第一象限内的部分的概率为4P =1000M ,所以π≈P=41000M. 答案:D2.(2011年湖南卷,理13)若执行如图所示的框图,输入x 1=1,x 2=2,x 3=3,x =2,则输出的数等于 .解析:S=13[(x 1-x )2+(x 2-x )2+(x 3-x )2]=13[(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2] =23. 答案:23考点二 算法与数列的交汇问题1.(2013年新课标全国卷Ⅰ,理5)执行如图所示的程序框图,如果输入的t ∈[-1,3],则输出的s 属于( )(A)[-3,4] (B)[-5,2] (C)[-4,3] (D)[-2,5]解析:由题意知输出s 为分段函数, s=23,4,1t t t t t ⎧⎪⎨-⎪⎩＜1≥在t ∈[-1,3]时的值域. 当-1≤t<1时,s=3t ∈[-3,3); 当1≤t ≤3时,s=4t-t 2=-(t-2)2+4,所以此时3≤s ≤4. 综上知函数的值域为[-3,4], 即输出的s 属于[-3,4].故选A. 答案:A2.(2013年浙江卷,理5)某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是95,则( )(A)a=4 (B)a=5 (C)a=6(D)a=7解析:由程序框图及最后输出的值是95可知:当k=1时,S=1,k>a 不成立, 故S=1+112⨯=32, k=2>a 不成立, 故S=32+123⨯=53, k=3>a 不成立,故S=53+134⨯=74,k=4>a 不成立, 故S=74+145⨯=95, 此时k=5>a 成立,所以a=4. 答案:A3.(2013年安徽卷,理2)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( )(A)16(B)2524 (C)34(D)1112解析:该算法流程图实为计算s=12+14+16的值,s=1112,故选D. 答案:D4.(2011年江西卷,理13)如图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是 .解析:第一次进入判断框前n=1,s=0+(-1)1+1=0;第二次进入判断框前n=2,s=0+(-1)2+2=3;第三次进入判断框前n=3,s=3+(-1)3+3=5;第四次进入判断框前n=4,s=5+(-1)4+4=10,跳出循环,输出s 的值为10. 答案:10考点三 算法与函数不等式的交汇问题1.(2013年重庆卷,理8)执行如图所示的程序框图,如果输出s=3,那么判断框内应填入的条件是( )(A)k ≤6 (B)k ≤7(C)k ≤8 (D)k ≤9解析:第一次循环s=log 23,k=3; 第二次循环s=log 23·log 34,k=4; 第三次循环s=log 23·log 34·log 45,k=5; 依次进行.第六次循环s=log 23·log 34·log 45·log 56·log 67·log 78=log 28=3,k=8,此时终止循环. 则判断框内应填k ≤7.故选B. 答案:B2.(2012年江西卷,理14)如图为某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是 .解析:此框图依次执行如下循环: 第一次:T=0,k=1,sinπ2>sin 0成立, a=1,T=T+a=1,k=2,2<6,继续循环; 第二次:sin π>sin π2不成立,a=0,T=T+a=1,k=3, 3<6,继续循环; 第三次:sin3π2>sin π不成立,a=0,T=T+a=1, k=4,4<6,继续循环; 第四次: sin 2π>sin3π2成立, a=1,T=T+a=2,k=5,继续循环; 第五次: sin5π2>sin 2π成立, a=1,T=T+a=3,k=6,6<6不成立, 跳出循环,输出T 的值3. 答案:3考点四 算法语句(2013年陕西卷,理2)根据下列算法语句,当输入x 为60时,输出y 的值为( )(A)25(B)30(C)31(D)61解析:由题意,得y=()()()0.550,250.65050,x x x x ⎧⎪⎨+-⎪⎩≤＞x=60时,y=25+0.6×(60-50)=31.故选C. 答案:C模拟试题考点一 算法与概率统计知识的交汇(2011福州模拟)某调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查,设平均每人每天做作业的时间为x 分钟,有1000名小学生参加了此项调查.调查所得的数据用程序框图处理,若输出的结果是680,则平均每天做作业的时间在0～60分钟内的学生的频率是( )(A)680(B)320(C)0.68 (D)0.32解析:S 是学习时间大于60分钟的人数, ∴作业时间在0～60分钟内的学生的频率为3201000=0.32. 答案:D考点二 算法与数列的交汇1.(2013北京四中测验)已知数列{a n }中,a 1=1,a n+1=a n +n,若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项,则判断框内的条件是( )(A)n ≤8? (B)n ≤9? (C)n ≤10? (D)n ≤11?解析:通过分析,本程序框图为“当型”循环结构.判断框内为满足循环的条件第1次循环,S=1+1=2,n=1+1=2;第2次循环,S=2+2=4,n=2+1=3;…当执行第10项时,n=11, n 的值为执行之后加1的值,所以,判断条件应为进入之前的值.故答案为:n ≤9?或n<10?,选B. 答案:B2.(2012合肥质检)如图所示的程序框图运行的结果是 .解析:由程序框图的算法原理可得:A=0,i=1; A=112⨯,i=2; A=112⨯+123⨯,i=3;… A=112⨯+123⨯+…+120112012⨯,i=2012; A=112⨯+123⨯+…+120112012⨯+120122013⨯,i=2013, 不满足循环条件, 输出A=112⨯+123⨯+…+120112012⨯+120122013⨯=1-12013=20122013. 答案:20122013考点三 算法与函数、不等式的交汇问题1.(2013贵州六校联考)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入x 的值为-5,则输出的y 值是( )(A)-1(B)1(C)2(D)14解析:第一次输入x=-5,满足|x|>3,x=|-5-3|=8, 第二次满足|x|>3,x=|8-3|=5, 第三次满足|x|>3,x=|5-3|=2,第四次不满足|x|>3,此时y=12log x=12log 2=-1,输出y=-1.故选A. 答案:A2.(2012安庆模拟)执行如图所示的程序框图,如果输出的是a=341,那么判断框中可以是( )(A)k<4? (B)k<5? (C)k<6? (D)k<7?解析:由程序框图可知a=4a+1=1,k=k+1=2; a=4a+1=5,k=k+1=3; a=4a+1=21,k=k+1=4; a=4a+1=85,k=k+1=5; a=4a+1=341;k=k+1=6.要使得输出的结果是a=341,判断框中应是“k<6?”. 答案:C综合检测1.(2012乐山二调)如图是求112122++……+(共6个2)的值的程序框图,图中的判断框中应填( )(A)i ≤5? (B)i<5?(C)i ≥5? (D)i>5?解析:由于所给计算的表达式中共有6个2,故只需5次循环即可,由此控制循环次数的变量i 应满足i ≤5. 答案:A2.(2011北京西城区高三一模)阅读如图所示的程序框图,如果输出的函数值在区间[14,12]内,则输入的实数x 的取值范围是( )(A)(-∞,-2] (B)[-2,-1] (C)[-1,2] (D)[2,+∞) 解析:若x ∉[-2,2],则f(x)=2∉[14,12],不合题意; 当x ∈[-2,2]时,f(x)=2x∈[14,12],得x ∈[-2,-1],故选B. 答案:B3.(2011大连市高三一模)定义某种运算S=a ⊗b,运算原理如图所示,则式子:5π2tan ln e 4⎡⎤⎛⎫⊗ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦+11lg 1003-⎡⎤⎛⎫⊗⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦的值是 .解析:2tan 5π4=2,ln e=1,∵2>1,∴5π2tan4⎛⎫⎪⎝⎭⊗ln e=211+=3;lg 100=2,113-⎛⎫⎪⎝⎭=3,∵2<3,∴lg 100⊗113-⎛⎫⎪⎝⎭=312-=1.∴5π2tan ln e4⎡⎤⎛⎫⊗⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦+11lg 1003-⎡⎤⎛⎫⊗⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=4.答案:4。

2011年高考文科数学分类汇编---算法初步一、选择题:1.（2011年高考江西卷文科13)下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是____.【答案】27【解析】由框图的顺序，s=0,n=1,s=(s+n)n=(0+1)*1=1,n=n+1=2,依次循环S=(1+2)*2=6,n=3,注意此刻3>3仍然是否，所以还要循环一次s=(6+3)*3=27,n=4，此刻输出，s=27.2. （2011年高考陕西卷文科7)如右框图，当126,9,x x ==8.5p =时，3x 等于(A) 7 (B) 8 (C)10 （D ）11【答案】B【解析】：12697.522x x ++==而8.5p =则1223||||x x x x ->- 所以23398.522x x x p ++===即38x =故选B 二、填空题:3.(2011年高考安徽卷文科12)如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 .【答案】15【命题意图】本题考查算法框图的识别，考查等差数列前n 项和. 【解析】由算法框图可知(1)1232k k T k +=++++= ，若T ＝105，则K ＝14，继续执行循环体，这时k ＝15，T >105，所以输出的k 值为15.（2011年高考福建卷文科5)阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是A.3B.11C.38D.123【答案】B【解析】221,10,123;310,3211;1110a a a a a a =<=+==<=+==>,所以输出11a =,选B.5．（2011年高考湖南卷文科11)若执行如图2所示的框图，输入12341,2,4,8,x x x x ====则输出的数等于 ． 答案：154解析：由框图功能可知，输出的数等于12341544x x x x x +++==。

图2。

温馨提示：考点42 算法与程序框图、基本算法语句、算法案例一、选择题1.(2018·全国卷II高考理科·T7)同 (2018·全国卷II高考文科·T8)为计算S=1-+-+…+-,设计了如图的程序框图,则在空白框中应填入()A.i=i+1B.i=i+2C.i=i+3D.i=i+4【命题意图】本题考查对程序框图的理解以及算法的循环结构.也考查推理论证能力,难度较小.【解析】选B.由题意N=1+++…+,T=++…+,相邻两项分母相差2,所以选B.2.(2018·北京高考理科·T3) 同(2018·北京高考文科·T3)执行如图所示的程序框图,输出的s值为()A. B. C. D.【命题意图】本小题主要考查程序框图的循环结构与数列求和,意在考查循环结构的理解与基本运算能力,培养学生的逻辑思维能力与基本运算能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.【解析】选B.运行过程如下:k=1,s=1;s=1+(-1)1=1-;k=2;判断k≥3?否,所以运行循环;s=(1-)+(-1)2=1-+;k=3;判断k≥3?是,输出s,此时s=1-+=.3.(2018·天津高考理科·T3)同 (2018·天津高考文科·T4)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为20,则输出T的值为()A.1B.2C.3D.4【命题意图】本题考查考生对算法的含义和算法思想的了解、对程序框图基本逻辑结构的理解,以及对算法语句的掌握.考查考生对程序框图基本逻辑结构的理解和掌握情况,要求考生领会算法的含义和算法的思想.【解析】选B.依题设可知:N=20,i=2,T=0,=10是整数;T=1,i=3<5,=不是整数;i=4<5,=5是整数;T=2,i=5≥5,输出T=2.4.(2018·江苏高考·T4)一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S的值为.【解析】代入程序前I=1,S=1,符合I<6,第一次代入后I=3,S=2,符合I<6,继续代入;第二次代入后I=5,S=4,符合I<6,继续代入;第三次代入后I =7,S =8,不符合I <6,输出结果S =8.故最后输出S 的值为8.答案:8关闭Word 文档返回原板块高中数学公式及常用结论大全1. 元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.2.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.3.包含关系A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=4.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<()()()()card A B card B C card CA card ABC ---+⇔|()|22M N M Nf x +--<⇔()0()f x N M f x ->-⇔11()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a bk +<-<,或0)(2=k f 且22122k abk k <-<+.9.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a=-=；[]q p abx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =.(2)当a<0时，若[]q p a b x ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若[]q p abx ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =. 10.一元二次方程的实根分布依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩；（3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.12.真值表13.14.四种命题的相互关系原命题 互逆 逆命题15.充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.18．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．19.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称. 21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数. 22．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=. (2)函数()y f x =图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=-()()f a b mx f mx ⇔+-=.24.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1x fy -=的图象关于直线y=x 对称.25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. 26．互为反函数的两个函数的关系a b f b a f =⇔=-)()(1.27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx f y +=-是])([1b x f ky -=的反函数.28.几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=. (2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠. (4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+0()(0)1,lim1x g x f x→==.29.几个函数方程的周期(约定a>0) （1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x +=+∈,则)(x f 的周期T=2a ；(3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ；(4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ；(6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a. 30.分数指数幂(1)m na =0,,a m n N *>∈，且1n >）.(2)1m nm na a-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.31．根式的性质（1）n a =.（2）当n为奇数时，a =；当n为偶数时，,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.32．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)r s r s a a a a r s Q +⋅=>∈. (2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈. (3)()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈.注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.34.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >). 推论 log log m n a a nb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). 35．对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则(1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log aa a MM N N=-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈.36.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广若0a >,0b >,0x >,1x a ≠,则函数log ()ax y bx =(1)当a b >时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为增函数.(2)当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为减函数.推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则 （1）log ()log m p m n p n ++<.（2）2log log log 2a a a m nm n +<. 38. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)xy N p =+.39.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).40.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-. 41.等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈； 其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.42.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩；其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩. 43.分期付款(按揭贷款)每次还款(1)(1)1nnab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ). 44．常见三角不等式(1)若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.45.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=.46.正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩47.和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+=)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ). 48.二倍角公式 sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-.49. 三倍角公式 3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+.3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+.323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-.50.三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=.51.正弦定理 2sin sin sin a b cR A B C ===. 52.余弦定理2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.53.面积定理(1)111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）.(2)111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)OAB S ∆=54.三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 55. 简单的三角方程的通解 sin (1)arcsin (,||1)k x a x k a k Z a π=⇔=+-∈≤.s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=⇔=±∈≤. tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=⇒=+∈∈.特别地,有sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=⇔=+-∈.s cos 2()co k k Z αβαπβ=⇔=±∈. tan tan ()k k Z αβαπβ=⇒=+∈.56.最简单的三角不等式及其解集sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤⇔∈++-∈. sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈--+∈. cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z ππ>≤⇔∈-+∈. cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈++-∈.tan ()(arctan ,),2x a a R x k a k k Z πππ>∈⇒∈++∈.tan ()(,arctan ),2x a a R x k k a k Z πππ<∈⇒∈-+∈.57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ;(2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 58.向量的数量积的运算律： (1) a ·b= b ·a （交换律）;(2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 59.平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．60．向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=.61.a 与b 的数量积(或内积) a ·b =|a ||b |cos θ．a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．62.平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. (4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +. 63.两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).64.平面两点间的距离公式,A B d =||AB AB AB =⋅=11(,)x y ，B 22(,)x y ). 65.向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 A ||b ⇔b =λ a 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 66.线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+⇔12(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+）. 67.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 68.点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k .69.“按向量平移”的几个结论(1)点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=.(5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则 （1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==. （2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅. （4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=. （5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+. 71.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>（4）柯西不等式 22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈（5）b a b a b a +≤+≤-. 72.极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2； （2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广 已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+（1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大；当||y x -最小时,||y x +最小. （2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小；当||y x -最小时, ||xy 最大. 73.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<； 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.74.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-. 75.无理不等式 （1）()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩. （2）2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或.（3）2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩.76.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩77.斜率公式2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.78.直线的五种方程(1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． (2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). (4)截距式1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) (5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 79.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 80.夹角公式 (1)2121tan ||1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π. 81. 1l 到2l 的角公式 (1)2121tan 1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π.82．四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数． (2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直直线系方程0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．83.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).84. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是：若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 85. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域 设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是： 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分； 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.86. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).87. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----= 1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数．88.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.89.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .91.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线． (2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=; ②斜率为k的圆的切线方程为y kx =±92.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.93.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式)(21c a x e PF +=，)(22x ca e PF -=.94．椭圆的的内外部(1)点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<.(2)点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b⇔+>.95. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b+=.(2)过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b+=. (3)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=.96.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.97.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->.(2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b⇔-<.98.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x aby ±=.(2)若渐近线方程为x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x（0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.99. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b-=.(2)过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=. (3)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.100. 抛物线px y 22=的焦半径公式 抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+. 过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122. 101.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y py或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中22y px =.102.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线： (1)顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；(2)焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-； (3)准线方程是2414ac b y a--=.103.抛物线的内外部(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>. (2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->.点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->. (3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>. (4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->. 104. 抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.(2)过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+. (3)抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =. 105.两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <. 当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =1212|||AB x x y y ==-=-A ),(),,(2211y x B y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F bkx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）.107.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. （2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B++++--=++. 108.“四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y+代y 即得方程0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.109．证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行.110．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行.111．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直.112．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b =b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b )＋c =a ＋(b ＋c )． (3)数乘分配律：λ(a ＋b )=λa ＋λb ．116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 117.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb ．P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB =⇔(1)OP t OA tOB =-+.||AB CD ⇔AB 、CD 共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD =且AB CD 、不共线.118.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+． 推论 空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+， 或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA y MB =++.119.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时，若O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若O ∉平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面．C A B 、、、D 四点共面⇔AD 与AB 、AC 共面⇔AD x AB y AC =+⇔(1)OD x y OA xOB yOC =--++（O ∉平面ABC ）.120.空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c ．推论 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP xOA yOB zOC =++. 121.射影公式已知向量AB =a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量.作A 点在l 上的射影'A ，作B 点在l 上的射影'B ，则''||cos A B AB =〈a ，e 〉=a ·e 122.向量的直角坐标运算 设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则 (1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4)a ·b ＝112233a b a b a b ++；123.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.124．空间的线线平行或垂直 设111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r，则a b r r P ⇔(0)a b b λ=≠r r r r ⇔121212x x y y z zλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩；a b ⊥r r ⇔0a b ⋅=r r⇔1212120x x y y z z ++=.125.夹角公式设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则 cos 〈a ，b 〉=.推论 222222*********3123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++，此即三维柯西不等式. 126. 四面体的对棱所成的角四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为θ,则2222|()()|cos 2AB CD BC DA AC BDθ+-+=⋅.127．异面直线所成角cos |cos ,|a b θ=r r=||||||a b a b ⋅=⋅r rr r（其中θ（090θ<≤oo）为异面直线a b ,所成角，,a b r r分别表示异面直线a b ,的方向向量） 128.直线AB 与平面所成角sin||||AB marc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量).129.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,A B 、为ABC ∆的两个内角，则2222212sin sin (sin sin )sin A B θθθ+=+. 特别地,当90ACB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=.130.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,''A B 、为ABO ∆的两个内角，则222'2'212tan tan (sin sin )tan A B θθθ+=+. 特别地,当90AOB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=. 131.二面角l αβ--的平面角cos||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||m narc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）.132.三余弦定理设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=. 133. 三射线定理若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ，则有22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ϕθθθθθϕ=+- ;1212||180()θθϕθθ-≤≤-+(当且仅当90θ=时等号成立).134.空间两点间的距离公式 若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d =||AB AB AB =⋅=135.点Q 到直线l 距离h =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a =PA ，向量b =PQ ). 136.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).137.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 138.异面直线上两点距离公式d =',d EA AF =.d ='E AA F ϕ=--）.(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,AF n =,EF d =).139.三个向量和的平方公式2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++⋅+⋅+⋅140. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 141. 面积射影定理'cos S S θ=.(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ).142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则①1S c l =斜棱柱侧. ②1V S l =斜棱柱.143．作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比． 145.欧拉定理(欧拉公式)2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).(1)E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系12E nF =；(2)若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系：12E mV =.146.球的半径是R ，则其体积343V R π=,其表面积24S R π=．147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3) 球与正四面体的组合体: 棱长为a的正四面体的内切球的半径为12a ,外接球的半径为4a . 148．柱体、锥体的体积13V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.13V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.149.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++.150.分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =⨯⨯⨯.151.排列数公式m n A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)． 注:规定1!0=.152.排列恒等式(1）1(1)m m n n A n m A -=-+;(2)1m mn n n A A n m-=-;(3)11m m n n A nA --=; (4)11n n n n n n nA A A ++=-;(5)11m m m n n nA A mA -+=+.(6)1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-.153.组合数公式mnC =m n m mA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤).154.组合数的两个性质(1)m n C =mn n C - ;(2) m n C +1-m n C =m n C 1+.注:规定10=nC . 155.组合恒等式 (1)11m m n n n m C C m --+=;(2)1m m n n n C C n m -=-;(3)11m m nn n C C m--=; (4)∑=nr r n C 0=n 2;(5)1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C .(6)n nn r n n n nC C C C C 2210=++++++ .(7)14205312-+++=+++n n n n n n nC C C C C C . (8)1321232-=++++n n n n n nn nC C C C . (9)r n m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 . (10)nn n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ .156.排列数与组合数的关系m m n n A m C =⋅！ .157．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. (1)“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种.(2)紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有k m k n k k A A --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k k k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有k h h h A A 1+种.(3)两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n nn m C A A 11++=种排法.(4)两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为nn m C +.158．分配问题(1)(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有mnn n n n n mn n n mn n mn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- . (2)(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有mn nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--.(3)(非平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被。

⾼考数学复习算法初步考点：程序框图
2013⾼考作为2013年六⽉的关键词，牵动着万千考⽣和家长的神经，店铺⾼考频道会全程陪伴⼤家，为⼤家提供贴⼼的服务。

在考前的⼀段时间⾥，本频道精⼼为各位考⽣提供了⼤量的⾼考复习资料，希望对⼤家有所帮助。

本频道在此预祝愿⼤家考出⼀个美好的未来。

2：程序框图
(1)程序框图基本概念：
①程序构图的概念：程序框图⼜称流程图，是⼀种⽤规定的图形、指向线及⽂字说明来准确、直观地表⽰算法的图形。

⼀个程序框图包括以下⼏部分：表⽰相应操作的程序框;带箭头的流程线;程序框外必要⽂字说明。

②构成程序框的图形符号及其作⽤
学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作⽤及使⽤规则，画程序框图的规则如下：
1、使⽤标准的图形符号。

2、框图⼀般按从上到下、从左到右的⽅向画。

3、除判断框外，⼤多数流程图符号只有⼀个进⼊点和⼀个退出点。

判断框具有超过⼀个退出点的唯⼀符号。

4、判断框分两⼤类，⼀类判断框“是”与“否”两分⽀的判断，⽽且有且仅有两个结果;另⼀类是多分⽀判断，有⼏种不同的结果。

5、在图形符号内描述的语⾔要⾮常简练清楚。

算法的含义、程序框图通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如，二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。

在具体问题的解决过程中（如，三元一次方程组求解等问题），理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环 起止框表示一个算法的起始和结束，是任何算法程序框图不可缺少的。

输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置。

处理框赋值、计算。

算法中处理数据需要的算式、公式等，它们分别写在不同的用以处理数据的处理框内。

判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时在出口处标明则标明“否”或“N”。

流程线算法进行的前进方向以及先后顺序循环框用来表达算法中重复操作以及运算连结点连接另一页或另一部分的框图注释框帮助编者或阅读者理解框图（3）程序框图的构成 一个程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框；带箭头的流程线；程序框内必要的说明文字 3．几种重要的结构 （1）顺序结构 顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的。

它是由若干个依次执行的步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。

见示意图和实例： 顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤。

如在示意图中，A框和B框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执行B框所指定的操作。

（2）条件结构 如下面图示中虚线框内是一个条件结构，此结构中含有一个判断框，算法执行到此判断给定的条件P是否成立，选择不同的执行框（A框、B框）。

无论P条件是否成立，只能执行A框或B框之一，不可能既执行A框又执行B框，也不可能A框、B框都不执行。

A框或B框中可以有一个是空的，即不执行任何操作 见示意图 （3）循环结构 在一些算法中要求重复执行同一操作的结构称为循环结构。

1．算法的概念：由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者看成按照一定规则解决某一类问题的明确的和有限的步骤，称为算法（algorithm ）． 通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．2．算法的特征：⑴有穷性：算法必须在执行有限步后结束，通常还理解为实际上能够容忍的合理限度； ⑵确定性：算法的每一个步骤必须有确定的含义；⑶可行性：组成算法的每个步骤和操作必须是相当基本的，原则上都是能精确地执行的； ⑷输入：有零个或多个输入： ⑸输出：有一个或多个输出．3．算法的描述：⑴用自然语言；⑵用数学语言；⑶用算法语言（程序设计语言）；⑷用程序框图（流程图）．4．算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件（分支）结构和循环结构．⑴顺序结构：最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的．如下图，只有在执行完A 框指定的操作后，才能接着执行B 框指定的操作；⑵条件（分支）结构：在一个算法中，用来处理需要根据条件是否成立有不同的流向的结构．常见的条件结构的程序框图有下面两种形式：否否是是BAAP PBA⑶循环结构：从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，就是循环结构，其中反复执行的步骤称为循环体．常见的循环结构的框图对应为：知识内容板块一.算法的含义与描述<教师备案>1．在画程序框图时，从开始框沿箭头必须能到达结束框，特别是条件分支结构应沿每条支路都能到达结束框，流程线必须加箭头表示顺序．2．对于循环结构有如下需要注意的情况：⑴循环结构非常适合计算机处理，因为计算机的运算速度非常快，执行成千上万次的重复计算，只不过是一瞬间的事，且能保证每次的结果都正确；⑵循环结构要有中止循环体的条件，不能无休止的运算下去，循环结构中一定包含条件结构，如i n≤就是中止循环的条件；⑶循环结构的关键是，要理解“累加变量”和“用1i 代替i”，S是一个累加变量，i是计数变量，每循环一次，S和i都要发生变化，这两步要重复计算若干次；⑷一种循环结构是先判断i n≤是否成立，若是，执行循环体；若否，则中止循环，像这样，每次执行循环体前对控制循环条件进行判断，条件满足时执行循环体，不满足则停止，称为当型循环．除了当型循环外，常用的循环结构还有直到型循环．5．程序框图的概念：用一些通用的图形符号构成的一张图来表示算法，称为程序框图（简称框图）．<教师备案>1．画程序框图的规则：⑴使用标准的框图的符号；⑵框图一般按从上到下、从左到右的方向画；⑶除判断框外，大多数框图符号只有一个进入点和一个退出点．判断框是具有超过一个退出点的惟一符号；⑷一种判断框是“是”与“不是”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一种是多分支判断，有几种不同的结果；⑸在图形符号内描述的语言要非常简练清楚．2．画程序框图要注意的几点：⑴起、止框是任何流程不可少的，表示程序的开始和结束；⑵输入、输出框可以用在算法中任何需要输入、输出的位置；⑶算法中间要处理数据或计算，可分别写在不同的处理框内；⑷当算法要求你对两个不同的结果进行判断时，要写在判断框内；⑸一个算法步骤到另一个算法步骤用流程线连结；⑹如果一个框图需要分开来画，要在断开处画上连结点，并标出连结的号码．如：用海伦公式求任意三角形的面积的程序框图，其中断开处画上连结点，并标出连结的号码．(1)(1)结束输出SS=p(p-a)(p-b)(p-c)p=a+b+c2输入a,b,c开始题型一：算法的含义【例1】下面对算法描述正确的一项是（）A．算法只能用自然语言来描述B．算法只能用图形方式来表示C．同一问题可以有不同的算法D．同一问题的算法不同，结果必然不同【考点】算法的含义【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】C【例2】关于算法的说法中，正确的是（）A．算法就是某个问题的解题过程B．算法执行后可以产生不确定的结果C．解决某类问题的算法不是唯一的D．算法可以无限地操作下去不停止【考点】算法的含义【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】C【例3】下面四种叙述能称为算法的是（）典例分析A．在家里一般是妈妈做饭B．做米饭要需要刷锅．添水．加热这些步骤C．在野外做饭叫野炊D．做饭必需要有米【考点】算法的含义【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】B【例4】下面的结论正确的是（）A．一个程序算法步骤是可逆的B．一个算法可以无止境的运算下去C．完成一件事的算法有且只有一种D．设计算法要本着简单方便的原则【考点】算法的含义【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】D【例5】算法的有穷性是指（）A．算法最后包含输出B．算法的每个操作步骤都是可执行的C．算法的步骤必须有限D．以上都不正确【考点】算法的含义【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】C【例6】指出下列哪一个不是算法（）A．解方程260x-=的过程是移项和系数化为1B．从济南到温哥华需要先乘火车到北京，再从北京乘飞机到温哥华C．解方程2x x+-=210D．利用公式2π3=，计算半径为3的圆的面积为2⨯S rπ【考点】算法的含义【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】C【例7】看下面的四段话，其中不是解决问题的算法的是（）A．从济南到北京旅游，先坐火车，再坐飞机抵达B．解一元一次方程的步骤是去分母．去括号．移项．合并同类项．系数化为1C．方程210x-=有两个实根D．求12345+=，6410+=，最终结+=，10515+=，再由于336++++的值，先计算123果为15【考点】算法的含义【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】C【例8】不能描述算法的是（）A．流程图B．伪代码C．数据库D．自然语言【考点】算法的含义【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】C【例9】早上从起床到出门需要洗脸刷牙（5min）．刷水壶（2min）．烧水（8min）．泡面（3min）．吃饭（10min）．听广播（8min）几个步骤，下列选项中最好的一种算法为（）A．s1洗脸刷牙s2刷水壶s3烧水s4泡面s5吃饭s6听广播B．s1刷水壶s2烧水的同时洗脸刷牙s3泡面s4吃饭s5听广播C．s1刷水壶s2烧水的同时洗脸刷牙s3泡面s4吃饭的同时听广播D．s1吃饭的同时听广播s2泡面s3烧水的同时洗脸刷牙s4刷水壶【考点】算法的含义【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】C【例10】已知直角三角形两直角边长为a，b，求斜边长c的一个算法分下列三步：①计算c=；②输入直角三角形两直角边长a，b的值；③输出斜边长c的值，其中正确的顺序是（）A．①②③B．②③①C．①③②D．②①③【考点】算法分析【难度】2星【题型】选择【关键词】北京师大附中，2009，高二，期中考试【解析】【答案】D题型二：算法分析（自然语言与数学语言）【例11】算法：S1 输入nS2 判断n是否是2，若2n>，则执行S3n=，则n满足条件，若2S3 依次从2到1n-检验能不能整除n，若不能整除n，满足上述条件的是（）A．质数B．奇数C．偶数D．约数【考点】算法分析【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】【答案】A【例12】“鸡兔同笼“是我国隋朝时期的数学著作《孙子算经》中的一个有趣而具有深远影响的题目：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何．用方程组的思想不难解决这一问题，请你设计一个这类问题的通用算法．【考点】算法分析【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】鸡兔同笼，设鸡兔总头数为H，总脚数为F，求鸡兔各有多少只．【答案】算法如下：第一步输入总头数H，总脚数F；第二步 计算鸡的个数42H Fx -=； 第三步 计算兔的个数22F Hy -=；第四步 输出,x y【例13】 某人带着一只狼和一只羊及一捆青菜过河，只有一条船，船仅可载重此人和狼．羊及青菜中的一种，没有人在的时候，狼会吃羊，羊会吃青菜，设计安全过河的算法． 【考点】算法分析 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 S 1：人带羊过河；S2：人自己返回； S3：人带狼过河； S4：人带羊返回； S5：人带青菜过河； S6：人自己返回； S7：人带羊过河．【答案】【例14】 人鬼过河现在河的岸边有三个人和三个鬼，河上只有一条小船，船上最多能坐两个“人”，在河的任何一边，当鬼的个数比人多时，鬼就会吃掉人．请问如何才能使人和鬼都平安的到达对岸．【考点】算法分析 【难度】3星 【题型】解答【关键词】【解析】 要想使人鬼都安全过河，需要下面11步．Step1： Step2：Step3： Step4：Step5： Step6：Step7： Step8：Step9： Step10：Step11：【答案】【例15】 现在有三个油瓶，分别能装8kg ．5kg ．3kg 的油，当8kg 的瓶子装满油时，设计一个用这三个瓶子倒油的算法，怎样倒能使这些油被平分到两个瓶子里．（注：没有其它瓶子） 【考点】算法分析 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 S 1：先规定8kg 的大油瓶为A ，5kg 和3kg 的油瓶分别为B ．C ；S2：从A 瓶往C 瓶里倒3kg ，将C 装满，此时A 中剩下5kg 油； S3：将C 中的3kg 油倒进B ； S4：再从A 往C 内倒3kg 油； S5：从C 往B 倒2kg ，即将B 装满； S6：将B 中油全部倒入A ； S7：将C 中油全部倒入B ；S8：从A 中往C 中倒油，将C 装满，此时A 中油为4kg ； S9：将C 中油全部倒入B 中，则B 中油也为4kg ．【答案】【例16】 设计一个算法求解方程组374513x y x y +=⎧⎨+=⎩【考点】算法分析 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 法一（高斯消元法）S1：①×5-②：1122x =； S2：解上式得2x =； S3：再代入①求解得1y =． S4：输出计算的结果x y ，． 法二（公式法）S1：113a =，121a =，214a =，225a =，17b =，213b =；S2：1122211211D a a a a =-=，112221222D b a b a =-=，221112111D b a b a =-=； S3：判断0D ≠；S4：计算x =12D D=，21Dy D ==．S5：输出计算的结果x y ，．【答案】【例17】 用二分法设计一个求方程220x -=的近似根的算法． 【考点】算法分析【难度】3星【题型】解答【关键词】无 【解析】 【答案】算法分析：回顾二分法解方程的过程，并假设所求近似根与准确解的差的绝对值不超过0．005，则不难设计出以下步骤：第一步：令2()2f x x =-．因为(1)0f <，(2)0f >，所以设121,2x x ==．第二步：令122x xm +=，判断()f m 是否为0，若则，则m 为所求；若否，则继续判断1()()f x f m ⋅大于0还是小于0．第三步：若1()()0f x f m ⋅>，则令1x m =；否则，令2x m =．第四步：判断120.005x x -<是否成立？若是，则12,x x 之间的任意取值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步．小结：算法具有以下特性：（1）有穷性；（2）确定性；（3）顺序性；（4）不惟一性；（5）普遍性【例18】 分别用自然语言．数学语言写出对任意四个整数a ．b ．c ．d ，求出最小值的算法． 【考点】算法分析 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 自然语言：S1：先将这四个整数的值输入； S2：假定序列中的整数a 为“最小值”；S3：将序列中的数b 与“最小值”比较，如果它小于此“最小值”，这时就假定“最小值”是这个整数；S4：对序列中整数c ．d ，重复S3；S5：在序列中一直到没有可比的数为止，这时假定的“最小值”就是这个序列中的最小值． 数学语言：S1：输入a ．b ．c ．d 四个数的值； S2：min a =；S3：如果min b <，则min b =； S4：如果min c <，则min c =； S5：如果min d <，则min d =；S6：min 就是a ．b ．c ．d 中的最小值．【答案】【例19】 某批发商按客户订单数额的大小分别给予不同的优惠折扣．计算客户应付货款的算法步骤如下：S1 输入订单数额x （单位：件）；输入单价A （单位：元）； S2 若250x <，则折扣率0d =；若250500x <≤，则折扣率0.05d =； 若5001000x <≤，则折扣率0.10d =； 若1000x ≥，则折扣率0.15d =；S3 计算应付货款()1T Ax d =-（单位：元）；S4 输出应付货款T ．已知一客户买400件时付款38000元，则应付货款为88200元时订单数额是 ．【考点】算法分析【难度】2星 【题型】填空【关键词】2009，宣武，一模【解析】 由题意有()40010.0538000100A A ⋅⋅-=⇒=．不妨设应付货款为88200时的订单数额[)500,1000x ∈． 于是有()10010.1088200980x x ⋅⋅-=⇒=．满足题意．【答案】980题型三：算法的三种基本逻辑结构与程序框图【例20】 流程图中表示判断框的是 （ ）A ．矩形框B ．菱形框C ．圆形框D ．椭圆形框【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图 【难度】1星 【题型】选择【关键词】无 【解析】 【答案】A【例21】 框图与算法相比，下列判断正确的是（ ）A ．程序框图将算法的基本逻辑展现得很清楚B ．算法使用自然语言描述解决问题的步骤，程序框图使得这些步骤更为直观C ．实质不变，形势变复杂了D ．程序框图更接近于计算机理解 【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图 【难度】1星 【题型】选择【关键词】无 【解析】 【答案】B【例22】 尽管算法千差万别，程序框图按逻辑结构分类有（ ）类A ．2B ．3C ．4D ．5 【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图 【难度】1星 【题型】选择【关键词】无 【解析】 【答案】B【例23】 算法的三种基本结构是（ ）A ．顺序结构、选择结构、循环结构B ．顺序结构、流程结构、循环结构C ．顺序结构、分支结构、流程结构．D ．流程结构、循环结构、分支结构 【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图 【难度】1星 【题型】选择【关键词】无 【解析】 【答案】A【例24】下列关于框图的逻辑结构正确的是（）A．用顺序结构画出电水壶烧开水的框图是唯一的B．条件结构中不含顺序结构C．条件结构中一定含有循环结构D．循环结构中一定含有条件结构【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】D【例25】下面的问题中必须用条件结构才能实现的个数是（）（1）已知三角形三边长，求三角形的面积；（2）求方程0a b为常数）的根；ax b+=（,（3）求三个实数,,a b c中的最大者；（4）求123100L的值．++++A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】C【例26】已知函数()|3|=-，以下程序框图表示的是给定x值，求相应的函数值的算法，请将该程f x x序框图补充完整．【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图【难度】1星【题型】填空【关键词】【解析】当条件⑴满足时，有|3|3=-=-，故此时3y x xx<；当此条件不成立时，即3x≥时，|3|3=-=-，y x x【答案】⑴3x≤也可以）x<，⑵3y x=-；（⑴写成3【例27】写出下边程序框图的运行结果：【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图【难度】1星【题型】填空【关键词】【解析】变量i从2开始，到18为止，每次增加2，故2461890L，即输出结果为90．s=++++=【答案】90【例28】如图给出的是计算13599L的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）++++A．99i>i<D．100i>C．100i<B．99【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图【难度】1星【题型】选择【关键词】【解析】【答案】C【例29】写出右边框图中的运算结果，____S=．【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图 【难度】1星 【题型】填空【关键词】【解析】 425242S =+= 【答案】425242S =+=【例30】 写出右面的程序框图所表示的函数．【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图 【难度】2星 【题型】解答【关键词】【解析】 224(0)1(0)x x y x x +>⎧=⎨+⎩≤． 【答案】224(0)1(0)x x y x x +>⎧=⎨+⎩≤【例31】 如右图给出的是计算1112420+++L 的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）C ．20i >D ．20i <【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图 【难度】2星 【题型】选择【关键词】 【解析】 【答案】B【例32】 如图是一个算法的程序框图，若该程序输出的结果为45，则判断框中应填入的条件是（ ） A ．4?T > B ．4?T < C ．3?T > D ．3?T <【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图 【难度】2星 【题型】选择【关键词】2010，东城，一模【解析】 循环一次得：12,1,2i T S ===；两次得：1123,2,263i T S ===+=；三次得：2134,3,3124i T S ===+=；四次得：3145,4,4205i T S ===+=，此时需要跳出循环，故填4?T <．【答案】B【例33】 按如图所示的程序框图运算，若输入6x =，则输出k 的值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【难度】2星 【题型】选择【关键词】2010，东城，一模【解析】 6x =，0k =，13x =，1k =，27x =，2k =，55x =，3k =，111x =，4k =，111100x =>，跳出循环，输出4k =．【答案】B【例34】 已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（ ）A ．求数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和()n *∈NB ．求数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和()n *∈NC ．求数列1n ⎧⎫⎨⎬的前11项和()n *∈N D ．求数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前11项和()n *∈N【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图 【难度】2星 【题型】选择【关键词】2010，石景山，一模【解析】 注意n 和k 的步长分别是2和1．【答案】B【例35】 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）A ．1321B ．2113C ．813D ．138【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图 【难度】2星 【题型】选择【关键词】2010，西城，一模【解析】 1,1,220x y z ===<；1,2,320x y z ===<；L ，8,13,2120x y z ===>，故输出138． 【答案】D【例36】 已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ）第 7 题A ．1-B ．1C ．2D ．12【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图 【难度】2星【题型】选择【关键词】2010，海淀，一模 【解析】∵()20100mod 3i ==，∴对应的1a =-．【答案】A【例37】 已知程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是_______________．【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图【难度】2星【题型】填空【关键词】2010，海淀，一模【解析】∵()202mod3i==，∴对应的12a=．【答案】12【例38】如图，下程序框图的程序执行后输出的结果是．【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图【难度】2星【题型】填空【关键词】2010，朝阳，一模【解析】将经过i次运行后的,n S值列表如下．于是55S=．【例39】右边程序框图的程序执行后输出的结果是．【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图【难度】2星【题型】填空【关键词】2010，朝阳，一模【解析】将经过i次运行后的,n S值列表如下．i 1 2 3 4 5 ．．．m．．．25n 3 5 7 9 11 21m+51 S 1 4 9 16 25 2m625 于是625S=．【答案】625【例40】执行如图程序框图，输出S的值等于．12题图否是输出Si <=4i=i + 1S =S + AA=A + iA=0，S=0，i=1结束开始【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图 【难度】2星 【题型】选择【关键词】2010，宣武，一模【解析】 运算顺序如下1,1,23,4,36,10,410,20,54A S i A S i A S i A S i ===→===→===→===>，输出S ，故20S =．【答案】20【例41】 某程序框图如图所示，该程序运行后输出,M N 的值分别为 ．【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2010，崇文，一模【解析】 依据程序框图画出运行n 次后,,M N i 的值．n 1 2 3 i 2 34 M2 5 13 N 3 8214次运行后43i =>，于是有13,21M N ==．【答案】13，21【例42】在右边的程序框图中，若输出i的值是4，则输入x的取值范围是．【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图【难度】2星【题型】填空【关键词】2010，丰台，一模【解析】∵328228x x->⇔>，->⇔>，322810x x->⇔>x xx x32104->⇔>，3242∴要使得刚好进行4次运算后输出的82<≤．xx>，则有24【答案】(]2,4【例43】在右面的程序框图中，若5x=，则输出i的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图【难度】2星【题型】选择【关键词】2010，丰台，一模【解析】51337109325→→→→，对应的4i=．【答案】C【例44】 执行如图所示的程序框图，输出的T 等于（ ）A ．10B ．15C ．20D ．30【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图 【难度】2星 【题型】选择【关键词】2010，东城，二模【解析】 简单的程序框图，4个循环后可得1620S T =<=．【答案】C【例45】 在数列{}n a 中，11a =，1n n a a n -=+，2n ≥．为计算这个数列前10项的和，现给出该问题算法的程序框图（如图所示），则图中判断框（1）处合适的语句是（ ）A ．8i ≥B ．9i ≥C ．10i ≥D ．11i ≥【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图 【难度】2星 【题型】选择【关键词】2010，西城，二模【解析】 观察程序框图可得,,i a s 分别为该数列的项号，对应的项，以及前i 项和．因此判断框中的语句应该使得当10i =时能够跳转，因此选择C ．【答案】C【例46】 执行右图所示的程序框图，输出结果y 的值是_________．【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2010，丰台，二模【解析】 容易知道判断框的出口输出为2x =，于是最终输出的222e e 1x y --===．【答案】1【例47】 按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M 处条件为（ ）C ．16k <D ．8k ≥【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图 【难度】2星 【题型】选择【关键词】2010，海淀，二模【解析】 循环一次得1,2S k ==；二次得3,4S k ==；三次得7,8S k ==；四次得15,16S k ==跳出循环，结合选项知选A ．【答案】A【例48】 若某程序的框图如图，若输入的x 的值为12，则执行该程序后，输出的y 值为 ．【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2010，海淀，二模【解析】 112x =<，故12442xy ===．【答案】2【例49】 某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x 值为31，则a 等于（ ）A ．B ．0C ．1D ．2【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图 【难度】2星 【题型】选择【关键词】2010，朝阳，二模1615311a a +=⇒=【答案】C【例50】 右面的程序框图，如果输入三个实数a ．b ．c ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ） A ．c x > B ．x c > C ．c b > D ．b c >【难度】2星【题型】选择【关键词】2008，海南宁夏，高考【解析】【答案】A【例51】某地区为了了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h）．随机选择了50位老人的进行S的值是．【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图【难度】2星【题型】填空【关键词】2008，江苏，高考【解析】由算法流程，知 4.50.12 5.50.20 6.50.407.50.208.50.08 6.42S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．【答案】6.42【例52】 执行下边的程序框图，若0.8p =，则输出的n = ．【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2008，山东，高考【解析】 00.8S =<，进入循环，2n =，0.50.8S =<，进入第二次循环，30.50.250.750.8n S ==+=<，，进入第三次循环，4n =，0.50.250.1250.8S =++>，跳出循环，故4n =．【答案】4【例53】 阅读如图的程序框图，若输入4m =，6n =，则输出a = ，i =（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”）【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2008，广东，高考【解析】 要结束程序的运算，就必须通过n 整除a 的条件运算，而同时m 也整除a ，那么a 的最小值应为m 和n 的最小公倍数12，即此时有3i =．【答案】12,3【例54】执行右边的程序框图，输出的T=．【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图【难度】2星【题型】填空【关键词】2008，山东，高考【解析】5221046S n T S n T，，，，===⇒===⇒===⇒===，，，，S n T S n T1561220820，，，⇒===251030S n T此时T S>，跳出循环，输出30T=．【答案】30【例55】阅读右面的程序框图，则输出的S=（）A．26B．35C．40D．57【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图【难度】2星【题型】选择【关键词】2009，天津，高考【解析】222573T S i T S i，，，，===⇒===⇒===⇒===，，，，T S i T S i815411265，，，⇒===>144065T S i跳出循环，输出40S=．【答案】C【例56】 随机抽取某产品n 件，测得其长度分别为12n a a a L ，，，．则如图所示的程序框图输出的s = ，s 表示的样本的数字特征是 ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“:=”）i =i +1S =(i -1)×S+a ii否是开始结束输 出 Si ≤ n ?S=0, i=1输入 n ,a 1,a 2,...,a n【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2009，广东，高考【解析】 1i =时，11a s =；2i =时，122a as +=；3i =时，1231232233a a a a a as +⋅+++==；可推测出程序框图输出的12na a a s n+++=L ，可利用数学归纳法得到严格的证明．【答案】12na a a n+++L ，平均数【例57】 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 k=k+1S=S+2SS <100?S=0k=0输出k否是结束开始【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图 【难度】2星 【题型】选择【关键词】2009，浙江，高考 【解析】 113238113S k S k S k ==⇒==⇒=+==，，，111124S k ⇒=+=，，11112100+>跳出循环．【答案】A【例58】 如果执行右边的程序框图，输入2x =-，0.5h =，那么输出的各个数的和等于（ ）A ．3B ．3.5C ． 4D ．4.5x ≥ 2输出 y x = x + hy = 1y = x y = 0x<1x < 0输入x, h 否否否是是是结束开始【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图 【难度】2星 【题型】选择【关键词】2009，海南宁夏，高考【解析】 20x =-<0y ⇒=，输出0y =20.5x x ⇒<=，，00.51<<，故0.5y =，输出0.5；0.52<，0.50.51x =+=，于是1y =，输出1；1.5x =，1y =，输出1，此时 1.52x =<；于是 1.50.52x =+=，1y =，输出1，2x =，跳出循环． 输出各个数之和00.5111 3.5=++++=．【答案】B【例59】 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园．在右边的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 ．开始T ←9，S ←0输出T ，S否是T ≤19T ←T +1输出a结束【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2010，上海，高考【解析】【答案】S S a←+【例60】阅读右边的程序框图，若输出s的值为7-，则判断框内可填写( ) A．3?i<i<D．6?i<B．4?i<C．5?【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图【难度】2星【题型】选择【关键词】2010，天津，高考【解析】【答案】D【例61】某程序框图如图所示，若输出的57S=，则判断框内为( )A．4?k>k>D．7?k>C．6?k>B．5?【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图【难度】2星【题型】选择【关键词】2010，浙江，高考【解析】【答案】A【例62】如图所示，程序框图（算法流程图）的输出x __ __．【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图【难度】2星【题型】填空【关键词】2010，安徽，高考【解析】【答案】12【例63】阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于（）A．2B．3C．4D．5【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图【难度】2星【题型】选择【关键词】2010，福建，高考【解析】【答案】C【例64】某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中n 位居民的月均用水量分别为1x ，…，4x （单位：吨）．根据图2所示的程序框图，若1x ，2x ，分别为1，2，则输出的结果s 为 ．【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图 【难度】2星【题型】填空【关键词】2010，广东，高考 【解析】【答案】0.25【例65】 如果执行右面的程序框图，输入正整数,n m ，满足n m ≥，那么输出的p 等于（ ）A ．1C m n -B ．1A m n -C ．C m nD ．A mn【考点】算法的三种基本逻辑结构与程序框图 【难度】2星【题型】选择【关键词】2010，辽宁，高考 【解析】 【答案】D【例66】 如果执行下面的框图，输入5N =，则输出的数等于( )。

高中数学考点精讲算法与程序框图的理解高中数学考点精讲：算法与程序框图的理解在高中数学的学习中，算法与程序框图是一个重要且富有挑战性的考点。

它不仅是数学知识的一部分，还与计算机科学有着紧密的联系，对于培养我们的逻辑思维和解决问题的能力具有重要意义。

首先，让我们来明确一下什么是算法。

简单来说，算法就是解决某一类问题的明确和有限的步骤。

比如说，我们要做一道数学题，从读题、分析题目、选择解题方法到最终得出答案，这一系列的步骤就可以看作是一个算法。

算法具有确定性、有限性和可行性等特点。

确定性意味着每一步都有明确的规定和结果，不会产生歧义；有限性则要求算法在有限的步骤内能够结束；可行性表示算法的每一步都能够通过实际的操作来实现。

而程序框图呢，它是算法的一种直观表示方法。

就好像是给算法画了一幅“地图”，让我们能够更清晰地看到整个算法的流程和结构。

程序框图通常由一些图形符号组成，比如矩形表示处理框，用于赋值、计算等操作；菱形表示判断框，用于根据条件进行判断并决定流程走向；箭头则表示流程线，指明算法的执行顺序。

那么，为什么我们要学习算法与程序框图呢？一方面，它能够帮助我们更加有条理地思考和解决问题。

在面对复杂的问题时，通过将其分解为一个个具体的步骤，并以程序框图的形式呈现出来，可以让我们的思路更加清晰，避免混乱和遗漏。

另一方面，随着计算机技术的飞速发展，算法已经成为了计算机程序设计的基础。

了解算法和程序框图，能够为我们今后学习计算机相关知识打下良好的基础。

接下来，我们具体来看一看程序框图中的一些常见结构。

顺序结构是最简单的一种结构，它按照从上到下的顺序依次执行各个步骤。

就像我们早上起床后，先穿衣、再刷牙、然后洗脸，这就是一个典型的顺序结构。

选择结构则根据条件的不同来决定执行不同的分支。

比如说，如果今天是周末，我们就可以睡个懒觉；如果不是周末，就得按时起床去上学。

在程序框图中，通过判断框来实现选择结构。

循环结构就更有趣了，它用于重复执行一段代码，直到满足特定的条件为止。